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@@ -137,7 +137,7 @@ Asociativa \end_layout \begin_layout Standard -Un elemento +Un \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset @@ -245,7 +245,7 @@ simétrico \begin_inset Formula $y$ \end_inset - o + e \series bold invertible \series default @@ -430,7 +430,11 @@ Llamamos \begin_inset Formula $(X^{X},\circ)$ \end_inset - es un monoide, pero no es conmutativo si hay al menos dos elementos. + es un monoide, pero no es conmutativo si +\begin_inset Formula $|X|\geq2$ +\end_inset + +. \begin_inset Note Comment status open @@ -485,45 +489,6 @@ Claramente \end_layout \begin_layout Enumerate -Llamamos -\series bold -grupo simétrico -\series default - en -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $S_{X}$ -\end_inset - -, al conjunto de biyecciones de -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - -. - Entonces -\begin_inset Formula $(S_{X},\circ)$ -\end_inset - - es un grupo. -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -Es asociativa, tiene como neutro la identidad y todo elemento es invertible. -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate Sea \begin_inset Formula $X$ \end_inset @@ -615,7 +580,7 @@ Si \begin_inset Formula $f$ \end_inset - lo es por la derecha, entonces + lo es por la derecha, \begin_inset Formula $e=f$ \end_inset @@ -700,7 +665,7 @@ Si \end_inset tiene simétrico por un lado, es cancelable por dicho lado. - En particular, todo elemento invertible es cancelable. + En particular, todo invertible es cancelable. \begin_inset Note Comment status open @@ -779,7 +744,7 @@ distributivo \begin_inset Formula $\cdot$ \end_inset - es conmutativo, decimos que + es conmutativo, \begin_inset Formula $(A,+,\cdot)$ \end_inset @@ -791,8 +756,7 @@ anillo conmutativo \end_layout \begin_layout Standard -Asumimos que el producto tiene más preferencia que la suma, y escribimos - +Asumimos que el producto tiene más prioridad que la suma, y escribimos \begin_inset Formula $ab:=a\cdot b$ \end_inset @@ -920,7 +884,7 @@ Dada una familia de anillos \begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$ \end_inset - es un anillos con las operaciones definidas componente a componente, esto + es un anillo con las operaciones definidas componente a componente, esto es, dados \begin_inset Formula $a,b\in\prod_{i\in I}A_{i}$ \end_inset @@ -942,7 +906,7 @@ Dada una familia de anillos \begin_inset Formula $X$ \end_inset - es un conjunto, el conjunto + es un conjunto, \begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ \end_inset @@ -966,7 +930,7 @@ Si \begin_inset Formula $n$ \end_inset - es un entero positivo, entonces el conjunto + es un entero positivo, el conjunto \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ \end_inset @@ -978,7 +942,23 @@ Si \begin_inset Formula $n$ \end_inset - es un anillo con la suma y el producto habituales de matrices. + es un anillo con la suma y el producto habituales. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard @@ -1228,7 +1208,7 @@ Si \begin_inset Formula $0=1$ \end_inset -, entonces +, \begin_inset Formula $A=\{0\}$ \end_inset @@ -1249,6 +1229,22 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1316,7 +1312,7 @@ Dado un anillo \end_layout \begin_layout Standard -Propiedades: Dados un anillo +Dados un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1476,7 +1472,7 @@ Si \begin_inset Formula $a$ \end_inset - es invertible, esto también se cumple para + es invertible, esto se cumple para \begin_inset Formula $n$ \end_inset @@ -1614,7 +1610,7 @@ Si \begin_inset Formula $b$ \end_inset - son invertibles, esto también se cumple para todo entero + son invertibles, esto se cumple para todo entero \begin_inset Formula $n$ \end_inset @@ -1682,7 +1678,7 @@ Sean \begin_inset Formula $B\subseteq A$ \end_inset -, decimos que +, \begin_inset Formula $B$ \end_inset @@ -1727,7 +1723,7 @@ inducida \begin_inset Formula $B$ \end_inset - es cerrado respecto a + cerrado respecto a \begin_inset Formula $*$ \end_inset @@ -1832,12 +1828,12 @@ Para que \begin_inset Formula $B\subseteq A$ \end_inset - es un subanillo de un anillo + es un subanillo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset si y sólo si contiene al 1 y es cerrado para sumas productos y opuestos, - si y sólo si contiene al 1 es cerrado para restas y productos, y en tal + si y sólo si contiene al 1 y es cerrado para restas y productos, y en tal caso el cero de \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1947,6 +1943,22 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Algunos subanillos: \end_layout @@ -2151,7 +2163,7 @@ Si \begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$ \end_inset - no es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de + es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de \begin_inset Formula $A\times B$ \end_inset @@ -2211,7 +2223,7 @@ Dado \begin_inset Formula $m$ \end_inset - es el cuadrado de un entero, entonces + es el cuadrado de un entero, \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]=\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -2292,6 +2304,22 @@ Dado un anillo . \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Homomorfismos \end_layout @@ -2313,16 +2341,40 @@ homomorfismo \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(f(x+y)=f(x)+f(y)\land f(xy)=f(x)f(y))$ + tal que para +\begin_inset Formula $x,y\in A$ \end_inset - y +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(x)+f(y)=f(x+y)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset . - Un +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +isomorfismo +\series default + es un homomorfismo biyectivo, y un \series bold automorfismo \series default @@ -2330,7 +2382,7 @@ automorfismo \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un homomorfismo de + es un isomorfismo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -2338,11 +2390,7 @@ automorfismo \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, y un -\series bold -isomorfismo de anillos -\series default - es un homomorfismo de anillos biyectivo. +. Dos anillos \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -2359,7 +2407,7 @@ isomorfos \end_layout \begin_layout Standard -Propiedades: Sean +Sean \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -2789,7 +2837,7 @@ Dado un anillo \begin_inset Formula $\mu(n):=n1$ \end_inset - es el único homomorfismo de anillos + es el único homomorfismo de anillos de \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -2969,11 +3017,6 @@ status open \end_inset . - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -3189,7 +3232,7 @@ congruentes módulo \series default , -\begin_inset Formula $a\equiv b$ +\begin_inset Formula $a\equiv b\bmod I$ \end_inset , si @@ -3209,7 +3252,11 @@ congruentes módulo \end_inset . - + Además, +\begin_inset Formula $a\equiv b\bmod(0)\iff a=b$ +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -3233,7 +3280,7 @@ Las operaciones \begin_inset Formula $[1]$ \end_inset -, y llamamos a este anillo +, que llamamos \series bold anillo cociente de \begin_inset Formula $A$ @@ -3337,7 +3384,16 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout Es claro que +\end_layout + +\end_inset + + \begin_inset Formula $A/0\cong A$ \end_inset @@ -3396,6 +3452,22 @@ En efecto, dado \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Dado un anillo conmutativo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -3541,6 +3613,22 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -3772,11 +3860,11 @@ Teorema de la correspondencia: \begin_inset Formula $I$ \end_inset - y el conjunto de los ideales de + y el de los ideales de \begin_inset Formula $A/I$ \end_inset - y tanto +, y tanto \begin_inset Formula $\pi$ \end_inset @@ -3800,7 +3888,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $A$ \end_inset - , +, \begin_inset Formula $J/I$ \end_inset @@ -3809,7 +3897,7 @@ Demostración: \end_inset . - En efecto, como + Como \begin_inset Formula $0\in J$ \end_inset @@ -3980,7 +4068,8 @@ Para ver que \begin_inset Formula $J/I\subseteq K/I$ \end_inset -, pero para +. + Para \begin_inset Formula $[x]\in J/I$ \end_inset @@ -4019,7 +4108,7 @@ Para ver que \end_inset . - En efecto, sea + Sea \begin_inset Formula $x\in\pi^{-1}(X)$ \end_inset @@ -4035,7 +4124,7 @@ Para ver que \begin_inset Formula $x+a\in\pi^{-1}(Y)$ \end_inset -, pero como +, y como \begin_inset Formula $\pi^{-1}(Y)$ \end_inset @@ -4080,7 +4169,7 @@ La intersección de una familia de ideales de \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, definimos +, definimos los ideales \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \sum_{x\in X}I_{x} & := & \left\{ \sum_{x\in S}a_{x}:S\subseteq X\text{ finito},a_{x}\in I_{x}\right\} ,\\ @@ -4141,7 +4230,7 @@ Sean \begin_inset Formula $(n)\cap(m)=(\text{mcm}(n,m))$ \end_inset -, + y \begin_inset Formula $(n)+(m)=(\text{mcd}(n,m))$ \end_inset @@ -4268,11 +4357,6 @@ Demostración: \end_inset . - De aquí que -\begin_inset Formula $\tilde{f}$ -\end_inset - - es un homomorfismo. Para ver que \begin_inset Formula $i\circ\tilde{f}\circ p=f$ \end_inset @@ -4287,7 +4371,7 @@ Demostración: . Para la unicidad, sea -\begin_inset Formula $\tilde{f}:A/K\to I$ +\begin_inset Formula $\hat{f}:A/K\to I$ \end_inset otro isomorfismo con @@ -4356,15 +4440,7 @@ Segundo teorema de isomorfía: \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, el ideal -\begin_inset Formula $J/I$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $A/I$ -\end_inset - - cumple +, \begin_inset Formula \[ \frac{A/I}{J/I}\cong\frac{A}{J}. @@ -4564,12 +4640,12 @@ Sea \begin_inset Formula $\text{Im}f=(B+I)/I$ \end_inset -, y entonces basta aplicar el primer teorema de isomorfía. +, y basta aplicar el primer teorema de isomorfía. \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard -Decimos que un anillo +Un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -4817,6 +4893,13 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Newpage pagebreak +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard \series bold Teorema chino de los restos: @@ -4825,12 +4908,12 @@ Teorema chino de los restos: \begin_inset Formula $A$ \end_inset - un anillo conmutativo e -\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}$ + un anillo conmutativo, +\begin_inset Formula $n\geq1$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $n\geq1$ + e +\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}$ \end_inset ideales de @@ -253,7 +253,7 @@ status open \end_layout \begin_layout Enumerate -Un elemento +Un \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset @@ -1218,11 +1218,7 @@ múltiplo \end_inset . - Propiedades: -\begin_inset Formula $\forall a\in A$ -\end_inset - -: + Propiedades: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -2075,7 +2071,7 @@ máximo común divisor \end_inset , -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset , si divide a cada elemento de @@ -2095,7 +2091,7 @@ mínimo común múltiplo \end_inset , -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset , si es múltiplo de cada elemento de @@ -2533,7 +2529,7 @@ factorización en producto de irreducibles \end_inset , -\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ \end_inset y @@ -2610,10 +2606,6 @@ UFD ) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. \end_layout -\begin_layout Standard -Ejemplos: -\end_layout - \begin_layout Enumerate \series bold @@ -2886,7 +2878,7 @@ Un dominio \end_inset puede expresarse como producto de una unidad por irreducibles. - Ahora bien, sea + Sea entonces \begin_inset Formula $p\in D$ \end_inset @@ -2996,7 +2988,7 @@ Un dominio \begin_inset Formula $p\in D$ \end_inset - irreducible y sean + irreducible, \begin_inset Formula $u\in D^{*}$ \end_inset @@ -3095,7 +3087,7 @@ Un dominio \begin_inset Formula $q_{i}$ \end_inset - es irreducible por ser primo, existe + es irreducible, existe \begin_inset Formula $w\in D^{*}$ \end_inset @@ -3230,7 +3222,7 @@ PID \begin_inset Formula $D$ \end_inset -, pero en un DIP estos son precisamente todos los ideales no nulos de +, pero en un DIP estos son todos los ideales no nulos de \begin_inset Formula $D$ \end_inset @@ -3273,15 +3265,11 @@ Todo DIP es un DFU. Demostración: \series default Supongamos que existe -\begin_inset Formula $a_{0}\in D\setminus\{0\}$ -\end_inset - - que no admite factorización en irreducibles. - Si \begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$ \end_inset - no admite factorización, como + que no admite factorización en irreducibles. + Entonces, como \begin_inset Formula $a$ \end_inset @@ -3318,7 +3306,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $D$ \end_inset - con + de elementos que no admiten factorización con \begin_inset Formula $(a_{0})\subsetneq(a_{1})\subsetneq\dots$ \end_inset @@ -3408,7 +3396,6 @@ Un dominio euclídeo \series default es uno que admite una función euclídea. - Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -3828,8 +3815,12 @@ Sean \end_inset . - Esta relación es de equivalencia; en efecto, las propiedades reflexiva - y transitiva son claras, y si + Esta relación es de equivalencia +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +; en efecto, las propiedades reflexiva y transitiva son claras, y si \begin_inset Formula $a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}$ \end_inset @@ -3857,6 +3848,11 @@ Sean \begin_inset Formula $a_{1}s_{3}=s_{1}a_{3}$ \end_inset + +\end_layout + +\end_inset + . \end_layout @@ -3865,7 +3861,7 @@ Llamamos \begin_inset Formula $a/s:=\frac{a}{s}:=[(a,s)]\in Q(D):=X/\sim$ \end_inset -, y se tiene que las operaciones +, y las operaciones \begin_inset Formula \begin{align*} \frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}}, @@ -3925,8 +3921,12 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -Propiedades: -\begin_inset Formula $\forall a,b\in D;s,t\in D\setminus\{0\}$ +Para +\begin_inset Formula $a,b\in D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$ \end_inset : @@ -4136,7 +4136,6 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -Así, \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset @@ -4145,7 +4144,7 @@ Así, \end_inset . - Es fácil ver que función + Es fácil ver que la función \begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ \end_inset @@ -4173,7 +4172,11 @@ Así, \end_layout \begin_layout Standard -Así, dados un dominio + +\series bold +Propiedad universal del cuerpo de fracciones: +\series default + Dados un dominio \begin_inset Formula $D$ \end_inset @@ -4189,11 +4192,7 @@ Así, dados un dominio \end_layout \begin_layout Enumerate - -\series bold -Propiedad universal del cuerpo de fracciones: -\series default - Sean +Sean \begin_inset Formula $K$ \end_inset @@ -245,7 +245,7 @@ Si \begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$ \end_inset - tienen coeficientes principales + tienen coeficientes principales respectivos \begin_inset Formula $p$ \end_inset @@ -253,7 +253,7 @@ Si \begin_inset Formula $q$ \end_inset - respectivamente: +: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -544,18 +544,22 @@ Propiedad universal \end_layout \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout - un anillo y -\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$ \end_inset - el homomorfismo inclusión: + \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Standard \series bold Propiedad universal del anillo de polinomios @@ -568,7 +572,19 @@ PUAP \series bold : \series default - Para cada homomorfismo de anillos conmutativos + Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo y +\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$ +\end_inset + + el homomorfismo inclusión: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para cada homomorfismo de anillos conmutativos \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -766,6 +782,22 @@ Tomando \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Así: \end_layout @@ -1037,7 +1069,7 @@ homomorfismo de reducción de coeficientes módulo \end_inset Su núcleo es -\begin_inset Formula $I[X]:=\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}:a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ +\begin_inset Formula $I[X]$ \end_inset , por lo que @@ -1126,6 +1158,8 @@ noprefix "false" \end_inset . + En particular, el grado es una función euclídea. + \begin_inset Note Comment status open @@ -1470,7 +1504,7 @@ teorema de Ruffini \begin_inset Formula $f(a)=0$ \end_inset -, en cuyo caso decimos que +, en cuyo caso \begin_inset Formula $a$ \end_inset @@ -1720,7 +1754,7 @@ Si \begin_inset Formula $f$ \end_inset -, y el número de raíces, son no superiores a +, y el número de raíces, no son superiores a \begin_inset Formula $\text{gr}(f)$ \end_inset @@ -1882,11 +1916,11 @@ Sean \begin_inset Formula $D$ \end_inset - es infinito si y sólo si dos polinomios distintos cualesquiera en + es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset - definen funciones polinómicas distintas en + define dos funciones polinómicas distintas en \begin_inset Formula $D$ \end_inset @@ -2739,7 +2773,7 @@ Sea \end_inset , contando repetidos, y para -\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus0$ +\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$ \end_inset , @@ -2758,11 +2792,11 @@ Si \begin_inset Formula $D$ \end_inset - es un DFU y + es un DFU, \begin_inset Formula $K$ \end_inset - es su cuerpo de fracciones, + es su cuerpo de fracciones y \begin_inset Formula $f\in D[X]$ \end_inset @@ -2809,7 +2843,7 @@ Demostración: \end_inset obtenemos un -\begin_inset Formula $c\in D\setminus0$ +\begin_inset Formula $c\in D\setminus\{0\}$ \end_inset con @@ -2851,7 +2885,7 @@ Demostración: \end_inset , podemos tomar -\begin_inset Formula $g':=a^{-1}g$ +\begin_inset Formula $g':=(bc)^{-1}g$ \end_inset y @@ -2936,13 +2970,6 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Newpage newpage -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard Como \series bold teorema @@ -3285,7 +3312,11 @@ Si \begin_inset Formula $K$ \end_inset - es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia + es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + \begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$ \end_inset @@ -3406,7 +3437,7 @@ status open \begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$ \end_inset -, decimos que +, \begin_inset Formula $a$ \end_inset @@ -3426,8 +3457,12 @@ contenido \end_layout \begin_layout Standard -Propiedades: -\begin_inset Formula $\forall a\in K,p\in K[X]$ +Para +\begin_inset Formula $a\in K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ \end_inset : @@ -3812,6 +3847,22 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Dado \begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$ \end_inset @@ -3846,11 +3897,27 @@ Dado Visto. \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Description \begin_inset Formula $3\implies4]$ \end_inset - Visto. + Obvio. \end_layout \begin_layout Description @@ -4372,11 +4439,11 @@ En particular, si \begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ \end_inset - es primitivo y + es primitivo, \begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ \end_inset -, si +, \begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$ \end_inset @@ -4970,7 +5037,15 @@ p=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}=\sum_{i\in\mat \end_layout \begin_layout Standard -Sean + +\series bold +PUAP en +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + indeterminadas: +\series default + Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -4982,19 +5057,21 @@ Sean \begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset - la inclusión, por inducción: -\end_layout + la inclusión +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout +, por inducción +\end_layout -\series bold -PUAP en -\begin_inset Formula $n$ \end_inset - indeterminadas: -\series default - Dados un homomorfismo de anillos +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados un homomorfismo de anillos \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -102,7 +102,7 @@ Notación multiplicativa \begin_inset Formula $a^{-1}$ \end_inset - al inverso de + al simétrico de \begin_inset Formula $a\in G$ \end_inset @@ -141,7 +141,7 @@ Notación aditiva \begin_inset Formula $-a$ \end_inset - al inverso de + al simétrico de \begin_inset Formula $a\in G$ \end_inset @@ -531,10 +531,10 @@ Los subgrupos de \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Si \begin_inset Formula $S$ \end_inset @@ -566,7 +566,11 @@ Si . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Dado un cuerpo \begin_inset Formula $K$ @@ -646,7 +650,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $\langle X\rangle:=\{x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{n_{m}}\}_{m\in\mathbb{N},n_{1},\dots,n_{m}\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $\langle X\rangle:=\{x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{m}^{n_{m}}\}_{m\in\mathbb{N},x_{i}\in X,n_{i}\in\mathbb{Z}}$ \end_inset es el @@ -830,7 +834,7 @@ clase lateral módulo \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $G/H:=G/(\equiv_{i}\bmod H)$ +\begin_inset Formula $G/H:=G/(\equiv_{i}\bmod\ H)$ \end_inset . @@ -859,11 +863,11 @@ clase lateral módulo por la derecha \series default , es -\begin_inset Formula $Ha=\{ah\}_{h\in H}$ +\begin_inset Formula $Ha=\{ha\}_{h\in H}$ \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $H\backslash G:=G/(\equiv_{d}\bmod H)$ +\begin_inset Formula $H\backslash G:=G/(\equiv_{d}\bmod\ H)$ \end_inset . @@ -1265,7 +1269,7 @@ Teorema de la correspondencia: \begin_inset Formula $G/N$ \end_inset - que conserva las inclusiones y la normalidad. + que conserva las inclusiones y la normalidad en ambas direcciones. \series bold Demostración: @@ -1388,7 +1392,7 @@ automorfismo \end_layout \begin_layout Standard -Propiedades: Si +Si \begin_inset Formula $G\overset{f}{\to}H\overset{g}{\to}K$ \end_inset @@ -1930,7 +1934,7 @@ homomorfismo trivial \begin_layout Enumerate Dado -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}$ +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ \end_inset , @@ -1974,7 +1978,7 @@ Si \begin_layout Enumerate Dado -\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}^{+}:=\mathbb{R}^{>0}$ +\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}^{+}$ \end_inset , @@ -2893,7 +2897,7 @@ acción por la izquierda \end_inset es una función -\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$ +\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ \end_inset tal que @@ -2913,7 +2917,7 @@ acción por la derecha \end_inset es una función -\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ +\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$ \end_inset tal que @@ -3021,10 +3025,6 @@ estabilizador . \end_layout -\begin_layout Standard -Ejemplos: -\end_layout - \begin_layout Enumerate Llamamos \series bold @@ -98,7 +98,7 @@ suma \end_inset a -\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}B_{i}:=\{\sum_{i\in I}b_{i}:b_{i}\in B_{i},\{i\in I:b_{i}\neq0\}\text{ finito}\}$ +\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}B_{i}:=\{\sum_{i\in I}b_{i}:b_{i}\in B_{i},\{i\in I:b_{i}\neq0\}\text{ es finito}\}$ \end_inset . @@ -404,7 +404,7 @@ Sean \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $\hat{B}_{i}:=0\times\dots0\times B_{i}\times0\times\dots\times0\leq B_{1}\times\dots\times B_{n}$ +\begin_inset Formula $\hat{B}_{i}:=0\times\dots\times0\times B_{i}\times0\times\dots\times0\leq B_{1}\times\dots\times B_{n}$ \end_inset , entonces @@ -1544,29 +1544,31 @@ rangle$}}{ \backslash gamma \backslash -in C$, +in C$, obtener $x +\backslash +in +\backslash +gamma$ \end_layout \begin_layout Plain Layout - obtener $x -\backslash -in -\backslash -gamma=x+ -\backslash -langle a + tal que $|x|=| \backslash -rangle$ +gamma|$ \end_layout \begin_layout Plain Layout - tal que $|x|=| + \backslash -gamma|$ +tcp*{$ \backslash -; +gamma=x+ +\backslash +langle a +\backslash +rangle$} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1823,7 +1825,7 @@ Sea \end_inset con -\begin_inset Formula $\alpha_{i1}\geq\dots\alpha_{im_{i}}\geq1$ +\begin_inset Formula $\alpha_{i1}\geq\dots\geq\alpha_{im_{i}}\geq1$ \end_inset para cada @@ -618,7 +618,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula \[ \rho(j):=\begin{cases} -j, & \text{j\ensuremath{\in\{i_{0}\,\dots\,i_{k-1}\}\lor j\notin M(\sigma);}}\\ +j, & j\in\{i_{0}\,\dots\,i_{k-1}\}\lor j\notin M(\sigma);\\ \sigma(j), & \text{en otro caso}. \end{cases} \] @@ -931,7 +931,7 @@ Si \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $\tau_{i}=\alpha\tau_{i}\alpha^{-1}$ +\begin_inset Formula $\tau_{i}'=\alpha\tau_{i}\alpha^{-1}$ \end_inset para todo @@ -939,7 +939,7 @@ Si \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $\sigma=\alpha\sigma\alpha^{-1}$ +\begin_inset Formula $\sigma'=\alpha\sigma\alpha^{-1}$ \end_inset . @@ -1537,7 +1537,7 @@ grupo alternado \begin_inset Formula $|A_{n}|=\frac{n!}{2}$ \end_inset - y . +. \begin_inset Note Comment status open @@ -1745,7 +1745,7 @@ Demostración: \end_inset , pero -\begin_inset Formula $\beta'\in A_{n}$ +\begin_inset Formula $\beta\alpha\in A_{n}$ \end_inset . |