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@@ -325,6 +325,13 @@ grupo abeliano \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Newpage pagebreak +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Ejemplos: \end_layout @@ -486,9 +493,10 @@ Claramente \end_inset -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout Sea \begin_inset Formula $X$ \end_inset @@ -511,6 +519,11 @@ Sea es un monoide conmutativo cuyos elementos invertibles son las funciones que no se anulan. +\end_layout + +\end_inset + + \begin_inset Note Comment status open @@ -2246,7 +2259,7 @@ Dado como el conjunto de vértices de un enlosado del plano complejo por losas rectangulares con base 1 y altura -\begin_inset Formula $\sqrt{m}$ +\begin_inset Formula $\sqrt{|m|}$ \end_inset . @@ -4323,7 +4336,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $x-y\in F$ +\begin_inset Formula $x-y\in K$ \end_inset y por tanto @@ -3238,7 +3238,7 @@ PID \end_layout \begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\iff3]$ +\begin_inset Formula $2\iff3\implies6]$ \end_inset Visto. @@ -3251,13 +3251,6 @@ PID Visto. \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies6]$ -\end_inset - - Obvio. -\end_layout - \begin_layout Standard Todo DIP es un DFU. @@ -3387,7 +3380,13 @@ euclídea \end_inset . - +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage pagebreak +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard @@ -3530,10 +3529,14 @@ Sean \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $I=(a)\iff\forall x\in I\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x)$ +\begin_inset Formula +\[ +I=(a)\iff\forall x\in I\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x). +\] + \end_inset -. + \begin_inset Note Comment status open @@ -3811,10 +3814,13 @@ Sean \end_inset , definimos la relación binaria -\begin_inset Formula $(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}$ +\begin_inset Formula +\[ +(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}. +\] + \end_inset -. Esta relación es de equivalencia \begin_inset Note Comment status open @@ -449,11 +449,21 @@ El coeficiente de grado \begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset - no es un cuerpo, pues + no es un cuerpo +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues \begin_inset Formula $(X)$ \end_inset - es un ideal propio no nulo. + es un ideal propio no nulo +\end_layout + +\end_inset + +. Es un dominio si y sólo si lo es \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1532,6 +1542,11 @@ Para \begin_inset Formula $m:=\max\{k\in\mathbb{N}:(X-a)^{k}\mid f\}$ \end_inset + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout , pues \begin_inset Formula $(X-a)^{0}\mid f$ \end_inset @@ -1544,6 +1559,11 @@ Para \begin_inset Formula $k=\text{gr}((X-a)^{k})\leq\text{gr}(f)$ \end_inset + +\end_layout + +\end_inset + . Llamamos a \begin_inset Formula $m$ @@ -2012,7 +2032,7 @@ derivada \end_inset como -\begin_inset Formula $P':=D(P):=\sum_{k}ka_{k}X^{k-1}$ +\begin_inset Formula $P':=D(P):=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ \end_inset , y escribimos @@ -2490,7 +2510,7 @@ Si hubiera \end_inset . - Si + Entonces si \begin_inset Formula $p=PQ$ \end_inset @@ -2970,6 +2990,22 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Como \series bold teorema @@ -3258,6 +3294,22 @@ Queda ver que todo irreducible \end_layout \end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open @@ -5256,7 +5308,7 @@ Sean \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{m}]$ +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset , por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos. @@ -5299,8 +5351,8 @@ grado \begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ \end_inset -, al mayor de los grados de los monomios en la expresión por monomios de - +, al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios + de \begin_inset Formula $p$ \end_inset @@ -2557,39 +2557,7 @@ status open \end_inset - -\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z}_{n},+)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $H\cong(\mathbb{Z}_{m},+)$ -\end_inset - -, y por el teorema chino de los restos para anillos, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\times\mathbb{Z}_{m}\cong\frac{\mathbb{Z}}{nm\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}_{nm}$ -\end_inset - - como anillos, luego los grupos aditivos también son isomorfos y -\begin_inset Formula $G\times H\cong(\mathbb{Z}_{n},+)\times(\mathbb{Z}_{m},+)\cong(\mathbb{Z}_{nm},+)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Sea +Si \begin_inset Formula $d:=\text{mcd}\{n,m\}>1$ \end_inset @@ -2636,6 +2604,38 @@ Sea no es cíclico. \end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z}_{n},+)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $H\cong(\mathbb{Z}_{m},+)$ +\end_inset + +, y por el teorema chino de los restos para anillos, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\times\mathbb{Z}_{m}\cong\frac{\mathbb{Z}}{nm\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}_{nm}$ +\end_inset + + como anillos, luego los grupos aditivos también son isomorfos y +\begin_inset Formula $G\times H\cong(\mathbb{Z}_{n},+)\times(\mathbb{Z}_{m},+)\cong(\mathbb{Z}_{nm},+)$ +\end_inset + +. +\end_layout + \end_deeper \begin_layout Enumerate Si @@ -1700,7 +1700,7 @@ Demostración: , tenemos una expresión \begin_inset Formula \[ -A=\langle a_{11}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{1}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{1m_{1}}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{1m}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{k1}\rangle_{p_{k}^{\alpha_{k1}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{km_{k}}\rangle_{p_{k}^{\alpha_{km}}} +A=\langle a_{11}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{1}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{1m}\rangle_{p_{1}^{\alpha_{1m}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{k1}\rangle_{p_{k}^{\alpha_{k1}}}\oplus\dots\oplus\langle a_{km}\rangle_{p_{k}^{\alpha_{km}}} \] \end_inset @@ -1809,7 +1809,7 @@ Todas las descomposiciones primarias de \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $A:=A_{11}\oplus\dots\oplus A_{1m_{1}}\oplus\dots\oplus A_{k1}\oplus\dots\oplus A_{kj}$ +\begin_inset Formula $A:=A_{11}\oplus\dots\oplus A_{1m_{1}}\oplus\dots\oplus A_{k1}\oplus\dots\oplus A_{km_{k}}$ \end_inset con @@ -1122,7 +1122,8 @@ Demostración: \begin_inset Formula $\sigma^{i-1}=(1\,2\,b_{3}\,\dots\,b_{p})$ \end_inset -, y podemos renombrar los +, y como las propiedades de las permutaciones no varían por biyecciones + en el conjunto permutado, podemos renombrar los \begin_inset Formula $b_{i}$ \end_inset @@ -1130,16 +1131,6 @@ Demostración: \begin_inset Formula $b_{i}=i$ \end_inset - -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -¿Cómo? -\end_layout - -\end_inset - . Entonces \begin_inset Formula $(1\,2),(1\,2\,\dots\,p)\in H$ @@ -1909,7 +1900,7 @@ Que \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset - se un producto de 2 o más transposiciones disjuntas. + sea un producto de 2 o más transposiciones disjuntas. Podemos suponer \begin_inset Formula $\sigma=(1\,2)(3\,4)\cdots$ \end_inset |