aboutsummaryrefslogtreecommitdiff
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat
-rw-r--r--ac/n.lyx14
-rw-r--r--ac/n1.lyx5476
-rw-r--r--ac/n3.lyx1461
-rw-r--r--af/n1.lyx14
-rw-r--r--dsi/n.lyx60
-rw-r--r--dsi/n5.lyx2409
6 files changed, 9047 insertions, 387 deletions
diff --git a/ac/n.lyx b/ac/n.lyx
index d405db4..b01fe84 100644
--- a/ac/n.lyx
+++ b/ac/n.lyx
@@ -210,5 +210,19 @@ filename "n2.lyx"
\end_layout
+\begin_layout Chapter
+Módulos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n3.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
\end_body
\end_document
diff --git a/ac/n1.lyx b/ac/n1.lyx
index b76855a..3cbfecf 100644
--- a/ac/n1.lyx
+++ b/ac/n1.lyx
@@ -195,112 +195,472 @@ El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos
\end_layout
\begin_layout Standard
-Dados un anillo
-\begin_inset Formula $A$
+Un anillo es
+\series bold
+conmutativo
+\series default
+ si su producto es conmutativo, y tiene
+\series bold
+identidad
+\series default
+ si este tiene elemento neutro
+\begin_inset Formula $1\in A$
+\end_inset
+
+ llamado
+\series bold
+uno
+\series default
+.
+ Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos
+ a anillos conmutativos y con identidad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $a,b,c\in A$
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ para
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ son anillos con la suma y el producto usuales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para
+\begin_inset Formula $c\in\mathbb{C}$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $a0=0$
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[c]\coloneqq\left\{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n}\right\} _{a\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}}\subseteq\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ es un anillo con la suma y el producto de complejos, y en particular lo
+ es
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\text{i}]\coloneqq\{a+b\text{i}\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$
+\end_inset
+
+, el
+\series bold
+anillo de los enteros de Gauss
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+El conjunto de funciones
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad
+ con la suma y producto de funciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
+\end_inset
+
+ son anillos,
+\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$
+\end_inset
+
+ es un anillo con las operaciones componente a componente, el
+\series bold
+anillo producto
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado un anillo
+\begin_inset Formula $A$
\end_inset
,
-\begin_inset Note Comment
+\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ es un anillo con la suma componente a componente y el producto
+\begin_inset Formula $a\cdot b\coloneqq(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})_{n}$
+\end_inset
+
+, el
+\series bold
+anillo de las series de potencias
+\series default
+ sobre
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, y un
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ se suele denotar como
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
status open
\begin_layout Plain Layout
-pues
-\begin_inset Formula $a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0\implies0=a0$
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
\end_inset
-;
+
\end_layout
+\begin_layout Standard
+Llamamos
+\begin_inset Formula $Y^{X}$
\end_inset
-
-\begin_inset Formula $-(-a)=a$
+ al conjunto de funciones de
+\begin_inset Formula $X$
\end_inset
-,
-\begin_inset Note Comment
+ a
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+.
+ [...] Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo [...],
+\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$
+\end_inset
+
+ es un anillo [...].
+ Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo y
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es un entero positivo, el conjunto
+\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$
+\end_inset
+
+ de matrices cuadradas en
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ de tamaño
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es un anillo con la suma y el producto habituales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo y
+\begin_inset Formula $a,b,c\in A$
+\end_inset
+
+: [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
status open
\begin_layout Plain Layout
-pues
-\begin_inset Formula $x=-(-a)\implies0=x+(-a)\implies a=x+(-a)+a=x$
+3.
+\end_layout
+
\end_inset
-;
+[...] El 0 y el 1 son únicos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+4.
\end_layout
\end_inset
-
-\begin_inset Formula $a-b=c\iff b+c=a$
+El opuesto de
+\begin_inset Formula $a$
\end_inset
-,
-\begin_inset Note Comment
+ es único, y si
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es invertible, el inverso es único.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
status open
\begin_layout Plain Layout
-pues
-\begin_inset Formula $a-b=c\implies a=a-b+b=c+b=b+c$
+5.
+\end_layout
+
\end_inset
- y
-\begin_inset Formula $b+c=a\implies c=-b+b+c=-b+a=a-b$
+
+\begin_inset Formula $0a=a0=0$
\end_inset
-;
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+6.
\end_layout
\end_inset
-
-\begin_inset Formula $(a-b)c=ac-bc$
+
+\begin_inset Formula $a(-b)=(-a)b=-(ab)$
\end_inset
+.
+\end_layout
-\begin_inset Note Comment
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
status open
\begin_layout Plain Layout
-, pues
-\begin_inset Formula $(a-b)c+bc=ac-bc+bc=ac\implies ac-bc=(a-b)c$
+7.
+\end_layout
+
\end_inset
-,
+
+\begin_inset Formula $a(b-c)=ab-ac$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+8.
\end_layout
\end_inset
+
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
y
-\begin_inset Formula $(-a)b=-(ab)$
+\begin_inset Formula $b$
\end_inset
+ son invertibles si y sólo si lo son
+\begin_inset Formula $ab$
+\end_inset
-\begin_inset Note Comment
-status open
+ y
+\begin_inset Formula $ba$
+\end_inset
-\begin_layout Plain Layout
-, pues
-\begin_inset Formula $(-a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=-ab$
+, en cuyo caso
+\begin_inset Formula $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Si
+\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset
+, definimos
+\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a:=0$
+\end_inset
+, y para
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $na:=(n-1)a+a$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $(-n)a:=-(na)$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos
+\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}:=1_{A}$
+\end_inset
+
+, para
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a^{n}:=a^{n-1}a$
+\end_inset
+
+, y si
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es invertible,
+\begin_inset Formula $a^{-n}:=(a^{-1})^{n}$
+\end_inset
+
+.
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un anillo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n(a+b)=na+nb$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(n+m)a=na+ma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n(ma)=(nm)a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $n,m\geq0$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$
+\end_inset
+
+, y si
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es invertible, esto se cumple para
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ enteros arbitrarios.
\end_layout
+\begin_layout Enumerate
+Si [...]
+\begin_inset Formula $n\geq0$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$
+\end_inset
+
+, y si [...]
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son invertibles, esto se cumple para todo entero
+\begin_inset Formula $n$
\end_inset
.
\end_layout
\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
Un anillo es
\series bold
conmutativo
@@ -543,44 +903,268 @@ homomorfismo de anillos
\end_inset
.
- Entonces
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un
+\series bold
+automorfismo
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un isomorfismo de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ [...] Sean
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo de anillos y
+\begin_inset Formula $a,b,a_{1},\dots,a_{n}\in A$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f(0)=0$
\end_inset
+.
+\end_layout
-\begin_inset Note Comment
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(-a)=-f(a)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f(a-b)=f(a)-f(b)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+5.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $f(na)=nf(a)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
status open
\begin_layout Plain Layout
-, pues
-\begin_inset Formula $f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)=f(0)+0$
+6.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es invertible,
+\begin_inset Formula $f(a)$
+\end_inset
+
+ también lo es y
+\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$
\end_inset
-,
+.
\end_layout
+\begin_layout Standard
+[...] Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados anillos
+\begin_inset Formula $A$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\forall a\in A,f(-a)=-f(a)$
+\begin_inset Formula $B$
\end_inset
+,
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
-\begin_inset Note Comment
-status open
+ dada por
+\begin_inset Formula $f(a)=0$
+\end_inset
-\begin_layout Plain Layout
-, pues
-\begin_inset Formula $f(-a)+f(a)=f(-a+a)=f(0)=0$
+ es un homomorfismo si y sólo si
+\begin_inset Formula $B=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sea
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ un subanillo de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, la inclusión
+\begin_inset Formula $i:B\to A$
+\end_inset
+
+ es un homomorfismo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado un anillo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\mu:\mathbb{Z}\to A$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula $\mu(n):=n1$
+\end_inset
+
+ es el único homomorfismo de anillos de
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dada una familia de anillos
+\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$
\end_inset
+ y
+\begin_inset Formula $j\in I$
+\end_inset
+, la
+\series bold
+proyección
+\series default
+
+\begin_inset Formula $p_{j}:\prod_{i\in I}A_{i}\to A_{j}$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula $p_{j}(a):=a_{j}$
+\end_inset
+
+ es un homomorfismo.
\end_layout
+\begin_layout Enumerate
+La
+\series bold
+conjugación
+\series default
+ de complejos, dada por
+\begin_inset Formula $\overline{a+bi}:=a-bi$
+\end_inset
+
+ para
+\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, es un automorfismo en
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset
.
- Un homomorfismo
+ [...] Si
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ es un entero que no es un cuadrado, definiendo el conjugado de
+\begin_inset Formula $a+b\sqrt{d}$
+\end_inset
+
+ como
+\begin_inset Formula $a-b\sqrt{d}$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$
+\end_inset
+
+ o en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$
+\end_inset
+
+ tenemos un automorfismo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un homomorfismo
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset
@@ -1269,7 +1853,11 @@ Si hubiera
\end_layout
\begin_layout Standard
-Un anillo es un
+Un anillo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un
\series bold
dominio
\series default
@@ -1279,7 +1867,10 @@ dominio
cuerpo
\series default
si todo elemento no nulo es unidad.
- Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido.
Los recíprocos no se cumplen, pues
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset
@@ -1500,6 +2091,10 @@ status open
.
\end_layout
+\begin_layout Subsection
+Elementos primos e irreducibles
+\end_layout
+
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open
@@ -1570,7 +2165,36 @@ Irreducible en un dominio no implica primo.
\end_layout
\begin_layout Standard
-Dados un anillo [...]
+Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un dominio,
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es irreducible si y sólo si
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es maximal entre los ideales principales no nulos de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, es decir, si
+\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un anillo conmutativo
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
@@ -1631,6 +2255,183 @@ mínimo común múltiplo
\end_inset
y divide a cada elemento que cumple esto.
+ Para
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
+\end_inset
+
+ si y solo si
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es el menor ideal principal de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ que contiene a
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, si
+\begin_inset Formula $(a)=(S)$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
+\end_inset
+
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es el mayor ideal principal de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ contenido en
+\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$
+\end_inset
+
+.
+ En particular, si
+\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$
+\end_inset
+
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son asociados en
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$
+\end_inset
+
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son asociados en
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ divide a todo elemento de
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $a\in(S)$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
+\end_inset
+
+.
+ En tal caso llamamos
+\series bold
+identidad de Bézout
+\series default
+ a una expresión de la forma
+\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$
+\end_inset
+
+, que existe porque
+\begin_inset Formula $a\in(S)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$
+\end_inset
+
+ si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ son las unidades de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $1\in(S)$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$
+\end_inset
+
+.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -1649,58 +2450,201 @@ end{reminder}
\end_layout
+\begin_layout Subsection
+Dominios de factorización única
+\end_layout
+
\begin_layout Standard
-Un
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un dominio
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, una
\series bold
-dominio de factorización única
+factorización en producto de irreducibles
\series default
- (DFU) es un dominio
+ de
+\begin_inset Formula $a\in D$
+\end_inset
+
+ es una expresión de la forma
+\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$
+\end_inset
+
+, donde
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset
+
+ es una unidad de
\begin_inset Formula $D$
\end_inset
- en el que, para
-\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
+ y
+\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$
\end_inset
-, existen
-\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$
+ son irreducibles en
+\begin_inset Formula $D$
\end_inset
- irreducibles con
-\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$
+.
+ Dos factorizaciones en producto de irreducibles de
+\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset
-, y si
-\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$
+,
+\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$
\end_inset
- son irreducibles con
-\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$
+ y
+\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$
\end_inset
-, entonces
-\begin_inset Formula $n=m$
+, son
+\series bold
+equivalentes
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula $m=n$
\end_inset
y existe una permutación
-\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$
+\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset
- tal que cada
-\begin_inset Formula $b_{i}$
+ de
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}:=\{1,\dots,n\}$
\end_inset
- es asociado a
-\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$
+ tal que para
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$
\end_inset
-.
- Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles.
- También lo son
+,
+\begin_inset Formula $p_{k}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$
+\end_inset
+
+ son asociados, en cuyo caso
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+ también lo son.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un
+\series bold
+dominio de factorización
+\series default
+ (
+\series bold
+DF
+\series default
+) si todo elemento no nulo de
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ admite una factorización en producto de irreducibles, y es un
+\series bold
+dominio de factorización única
+\series default
+ (
+\series bold
+DFU
+\series default
+ o
+\series bold
+UFD
+\series default
+) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Teorema Fundamental de la Aritmética:
+\series default
+
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset
- y los anillos de polinomios sobre un DFU.
+ es un DFU.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$
+\end_inset
+
+ es un DF.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un dominio
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es producto de una unidad por primos, si y sólo si
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles.
+ También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -2300,6 +3244,276 @@ anillo
\end_layout
\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo anillo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de sí mismo, el
+\series bold
+subanillo impropio
+\series default
+, y el resto de subanillos son
+\series bold
+propios
+\series default
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+3.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\{0\}$
+\end_inset
+
+ es subanillo de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $A=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+4.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Llamamos
+\series bold
+subanillo primo
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1:=\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$
+\end_inset
+
+, el menor subanillo de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+5.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ son anillos y
+\begin_inset Formula $B\neq0$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$
+\end_inset
+
+ es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de
+\begin_inset Formula $A\times B$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+7.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado un espacio topológico
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\{f\in\mathbb{R}^{X}:f\text{ continua}\}$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{X}$
+\end_inset
+
+ con la suma y el producto por elementos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+8.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado un espacio vectorial
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\{f\in V^{V}:f\text{ lineal}\}$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de
+\begin_inset Formula $(V^{V},+,\circ)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+9.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado un anillo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y un conjunto
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\{f\in A^{X}:f\text{ constante}\}$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de
+\begin_inset Formula $A^{X}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+9.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si
+\begin_inset Formula $B'$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f^{-1}(B')$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+10.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es un isomorfismo de anillos,
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ también.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido
es reducido.
No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues
@@ -2642,6 +3856,10 @@ end{exinfo}
\end_layout
+\begin_layout Subsection
+Ideales finitamente generados
+\end_layout
+
\begin_layout Standard
La intersección de una familia de ideales de
\begin_inset Formula $A$
@@ -2895,17 +4113,258 @@ end{exinfo}
\end_layout
\begin_layout Standard
+Un
+\series bold
+dominio de ideales principales
+\series default
+ (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DIP y
+\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es irreducible si y solo si
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es un ideal maximal, si y solo si
+\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo, si y solo si
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es primo, si y solo si
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es un ideal primo, si y solo si
+\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$
+\end_inset
+
+ es un dominio.
+ [...] Todo DIP es un DFU.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+En un DIP,
+\begin_inset Formula $(a)+(b)=(\gcd\{a,b\})$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $(a)\cap(b)=(\text{lcm}\{a,b\})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+No todos los ideales son finitamente generados.
+ En efecto, dado un anillo no trivial
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
- es un cuerpo si y sólo si sus únicos ideales son 0 y
+, en
+\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ con las operaciones componente a componente,
+\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$
+\end_inset
+
+ formado por los elementos de
+\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de
+\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita
+ de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo
+ ceros y no generan elementos de
+\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$
+\end_inset
+
+ con un 1 después de esta posición.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
+ es un cuerpo si y sólo si los únicos ideales de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ son 0 y
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, si y sólo si todo homomorfismo de anillos
+\begin_inset Formula $A\to B$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $B\neq0$
+\end_inset
+
+ es inyectivo.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Aritmética modular
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Dado
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$
+\end_inset
+
+, llamamos
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}:=\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+ es unidad si y sólo si
+\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
.
\end_layout
-\begin_layout Itemize
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open
@@ -2918,30 +4377,135 @@ status open
\end_inset
-Dado
-\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+Si fuera
+\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$
\end_inset
-, si
-\begin_inset Formula $I\neq0$
+, sean
+\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$
\end_inset
-, existe
-\begin_inset Formula $e\in I\setminus\{0\}$
+ con
+\begin_inset Formula $r=dr'$
\end_inset
-, pero
-\begin_inset Formula $e$
+ y
+\begin_inset Formula $n=dn'$
\end_inset
- es unidad, luego
-\begin_inset Formula $I=A$
+, entonces
+\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$
+\end_inset
+
+ pero
+\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$
+\end_inset
+
+, con lo que
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es divisor de cero.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Una identidad de Bézout
+\begin_inset Formula $ar+bn=1$
+\end_inset
+
+ se traduce en que
+\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$
\end_inset
.
\end_layout
-\begin_layout Itemize
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+ es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ dividen a
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ un divisor primo de
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, como
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ divide a
+\begin_inset Formula $r^{m}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ divide a
+\begin_inset Formula $r^{m}$
+\end_inset
+
+ y por tanto a
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open
@@ -2954,120 +4518,248 @@ status open
\end_inset
-Si
-\begin_inset Formula $A$
+Sea
+\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$
+\end_inset
+
+ la descomposición prima de
+\begin_inset Formula $n$
\end_inset
- no fuera un cuerpo, sea
-\begin_inset Formula $e\in A\setminus0$
+, como
+\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
\end_inset
- no invertible,
-\begin_inset Formula $1\notin(e)$
+ divide a
+\begin_inset Formula $r$
\end_inset
-, pues no existe
-\begin_inset Formula $f\in A$
+, si
+\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$
\end_inset
- tal que
-\begin_inset Formula $ef=1$
+,
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ divide a
+\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$
+\end_inset
+
+ y este a
+\begin_inset Formula $r^{m}$
\end_inset
, luego
-\begin_inset Formula $0\subsetneq(e)\subsetneq A$
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ divide a
+\begin_inset Formula $r^{m}$
\end_inset
.
\end_layout
-\begin_layout Standard
-Un
-\series bold
-dominio de ideales principales
-\series default
- (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales, como
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
\end_inset
- y
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+ es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si
+\begin_inset Formula $n$
\end_inset
- para todo cuerpo
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+ es primo.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $1\implies2]$
+\end_inset
+
+ Visto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $2\implies3]$
+\end_inset
+
+ Probamos el contrarrecíproco.
+ Si existen
+\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $1<p,q<n$
+\end_inset
+
+, con
+\begin_inset Formula $n=pq$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es divisor de 0 en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
\end_inset
.
- Todo DIP es un DFU.
\end_layout
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $3\implies1]$
+\end_inset
+
+ Para
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y por tanto
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es unidad.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+ es reducido si y sólo si
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es
+\series bold
+libre de cuadrados
+\series default
+, es decir, si no tiene divisores cuadrados de primos.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
status open
\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
-\backslash
-begin{exinfo}
\end_layout
\end_inset
-En un DIP,
-\begin_inset Formula $(a)+(b)=(\gcd\{a,b\})$
+Si no fuera libre de cuadrados, sea
+\begin_inset Formula $n=p^{2}q$
\end_inset
- y
-\begin_inset Formula $(a)\cap(b)=(\text{lcm}\{a,b\})$
+ para ciertos
+\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ primo, en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $pq\neq0$
+\end_inset
+
+ pero
+\begin_inset Formula $(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=0$
\end_inset
.
-\begin_inset ERT
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
status open
\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
-\backslash
-end{exinfo}
\end_layout
\end_inset
+La descomposición en primos de
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
-\end_layout
+ es de la forma
+\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
+\end_inset
-\begin_layout Standard
-No todos los ideales son finitamente generados.
- En efecto, dado un anillo no trivial
-\begin_inset Formula $A$
+ con los
+\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset
-, en
-\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+ distintos, y si
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
\end_inset
- con las operaciones componente a componente,
-\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$
+ cumple
+\begin_inset Formula $r^{2}=0$
\end_inset
- formado por los elementos de
-\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+ entonces en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset
- con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de
-\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
+ cada
+\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset
-, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita
- de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo
- ceros y no generan elementos de
-\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$
+ divide a
+\begin_inset Formula $r^{2}$
\end_inset
- con un 1 después de esta posición.
+ y por tanto a
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+, luego
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ divide a
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $r=0$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+Operaciones con ideales
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -3338,6 +5030,60 @@ end{exinfo}
\end_layout
\begin_layout Standard
+Dados
+\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+, en general
+\begin_inset Formula $I\cdot J$
+\end_inset
+
+ no es un ideal.
+ En efecto, sean
+\begin_inset Formula $A\coloneqq\mathbb{Z}[X,Y]$
+\end_inset
+
+ e
+\begin_inset Formula $I\coloneqq(X,Y)\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula $X^{2},Y^{2},XY\in I\cdot I$
+\end_inset
+
+, y si
+\begin_inset Formula $I\cdot I$
+\end_inset
+
+ fuera un ideal sería
+\begin_inset Formula $p\coloneqq X^{2}+XY+Y^{2}\in I\cdot I$
+\end_inset
+
+ y por tanto habría
+\begin_inset Formula $q=a_{0}X+b_{0}Y+\dots,r=a_{1}X+b_{1}Y+\dots\in I$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $p=qr$
+\end_inset
+
+, pero entonces
+\begin_inset Formula $a_{0}a_{1},b_{0}b_{1},a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}=1$
+\end_inset
+
+, pero como los coeficientes son enteros las dos primeras ecuaciones implican
+
+\begin_inset Formula $a_{0}=a_{1},b_{0}=b_{1}\in\{\pm1\}$
+\end_inset
+
+ y por tanto
+\begin_inset Formula $a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}\in\{\pm2\}\#$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
El
\series bold
ideal producto
@@ -3442,16 +5188,23 @@ Llamamos
\end_inset
.
-\begin_inset Note Note
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-Here
-\end_layout
+
+\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+\end_inset
+ es
+\series bold
+nilpotente
+\series default
+ si existe
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset
+ tal que
+\begin_inset Formula $I^{n}=0$
+\end_inset
+.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -3579,32 +5332,36 @@ begin{exinfo}
\end_inset
-Dados un DIP
+Dados un dominio
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
- e
-\begin_inset Formula $I,J_{1},J_{2}\trianglelefteq A$
+,
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
\end_inset
- con
-\begin_inset Formula $I\neq0$
+ e
+\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
\end_inset
- e
-\begin_inset Formula $IJ_{1}=IJ_{2}$
+ no trivial, si
+\begin_inset Formula $(a)I=(b)I$
\end_inset
-, entonces
-\begin_inset Formula $J_{1}=J_{2}$
+ entonces
+\begin_inset Formula $(a)=(b)$
\end_inset
.
- Esto no es cierto en general si
-\begin_inset Formula $A$
+ Esto no es cierto en general si se cambian
+\begin_inset Formula $(a)$
\end_inset
- no es un DIP.
+ o
+\begin_inset Formula $(b)$
+\end_inset
+
+ por ideales no principales.
\begin_inset ERT
status open
@@ -3621,60 +5378,6 @@ end{exinfo}
\end_layout
\begin_layout Standard
-Dados
-\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
-\end_inset
-
-, en general
-\begin_inset Formula $I\cdot J$
-\end_inset
-
- no es un ideal.
- En efecto, sean
-\begin_inset Formula $A\coloneqq\mathbb{Z}[x,y]=\mathbb{Z}[x][y]$
-\end_inset
-
- e
-\begin_inset Formula $I\coloneqq(x,y)\trianglelefteq A$
-\end_inset
-
-, entonces
-\begin_inset Formula $x^{2},y^{2},xy\in I\cdot I$
-\end_inset
-
-, y si
-\begin_inset Formula $I\cdot I$
-\end_inset
-
- fuera un ideal sería
-\begin_inset Formula $p\coloneqq x^{2}+xy+y^{2}\in I\cdot I$
-\end_inset
-
- y por tanto habría
-\begin_inset Formula $q=a_{0}x+b_{0}y+\dots,r=a_{1}x+b_{1}y+\dots\in I$
-\end_inset
-
- con
-\begin_inset Formula $p=qr$
-\end_inset
-
-, pero entonces
-\begin_inset Formula $a_{0}a_{1},b_{0}b_{1},a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}=1$
-\end_inset
-
-, pero como los coeficientes son enteros las dos primeras ecuaciones implican
-
-\begin_inset Formula $a_{0}=a_{1},b_{0}=b_{1}\in\{\pm1\}$
-\end_inset
-
- y por tanto
-\begin_inset Formula $a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}\in\{\pm2\}\#$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
Para
\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
\end_inset
@@ -3724,7 +5427,7 @@ completamente idempotente
\end_inset
cumple
-\begin_inset Formula $I=I^{2}\coloneqq I\cdot I$
+\begin_inset Formula $I=I^{2}$
\end_inset
, si y sólo si para todo
@@ -3793,11 +5496,11 @@ Sea
\end_inset
la proyección canónica,
-\begin_inset Formula $J=\pi^{-1}(0)$
+\begin_inset Formula $J=\ker\pi$
\end_inset
, luego
-\begin_inset Formula $f^{-1}(J)=(\pi\circ f)^{-1}(0)$
+\begin_inset Formula $f^{-1}(J)=f^{-1}(\pi^{-1}(0))=\ker(\pi\circ f)$
\end_inset
es un ideal.
@@ -3835,19 +5538,19 @@ extensión
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean
-\begin_inset Formula $f(a)\in\text{Im}f$
-\end_inset
-
- para cierto
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $f(x),f(y)\in f(I)$
+\begin_inset Formula $x,y\in I$
\end_inset
- con
-\begin_inset Formula $x,y\in I$
+, de modo que
+\begin_inset Formula $f(a)\in\text{Im}f$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $f(x),f(y)\in f(I)$
\end_inset
,
@@ -3881,15 +5584,11 @@ La inclusión
\end_inset
es un homomorfismo de anillos y
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\trianglelefteq A$
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}$
\end_inset
, pero
-\begin_inset Formula $\iota(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$
-\end_inset
-
- no es ideal de
-\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\begin_inset Formula $\iota(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\ntrianglelefteq\mathbb{Q}$
\end_inset
.
@@ -3925,7 +5624,7 @@ Primero vemos que las imágenes están donde deben.
\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
\end_inset
-, sabemos que
+,
\begin_inset Formula $f(I)\trianglelefteq\text{Im}f$
\end_inset
@@ -3933,7 +5632,7 @@ Primero vemos que las imágenes están donde deben.
\begin_inset Formula $J\trianglelefteq\text{Im}f$
\end_inset
-, sabemos que
+,
\begin_inset Formula $f^{-1}(J)\trianglelefteq A$
\end_inset
@@ -3942,11 +5641,11 @@ Primero vemos que las imágenes están donde deben.
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $f^{-1}(0)=\ker f\subseteq f^{-1}(J)$
+\begin_inset Formula $\ker f=f^{-1}(0)\subseteq f^{-1}(J)$
\end_inset
.
- Ahora vemos que la extensión y la contracción son inversas una de la otra.
+ Veamos ahora que la extensión y la contracción son inversas una de la otra.
Por teoría de conjuntos, para todo
\begin_inset Formula $J\subseteq\text{Im}f$
\end_inset
@@ -4014,10 +5713,14 @@ Si
\end_inset
es la proyección canónica,
-\begin_inset Formula $\rho:\{J\trianglelefteq A:I\subseteq J\}\to\{K\trianglelefteq A/I\}$
+\begin_inset Formula
+\[
+\rho:\{J\trianglelefteq A:I\subseteq J\}\to\{K\trianglelefteq A/I\}
+\]
+
\end_inset
- dada por
+dada por
\begin_inset Formula $\rho(J)\coloneqq J/I\coloneqq p(J)=\{x+I\}_{x\in J}$
\end_inset
@@ -4141,7 +5844,11 @@ Hay tantos ideales de
\begin_inset Formula $m$
\end_inset
- positivos ya que los negativos son sus asociados.
+ positivos ya que los negativos son sus asociados y
+\begin_inset Formula $(0)=(n)$
+\end_inset
+
+.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -4202,7 +5909,7 @@ Para
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $f(x)=\overline{f}(p(x))=h(0+I)=0$
+\begin_inset Formula $f(x)=\overline{f}(p(x))=\overline{f}(0)=0$
\end_inset
, luego
@@ -4269,7 +5976,7 @@ Teoremas de isomorfía:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-Para un isomorfismo de anillos
+Para un homomorfismo de anillos
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset
@@ -4460,6 +6167,121 @@ Sea
\end_deeper
\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Un anillo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ tiene
+\series bold
+característica
+\series default
+
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{\geq0}$
+\end_inset
+
+ si
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es el menor entero positivo con
+\begin_inset Formula $n1_{A}=0_{A}$
+\end_inset
+
+, o 0 si no existe tal
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ Sean
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo conmutativo,
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to A$
+\end_inset
+
+ el único homomorfismo de anillos (
+\begin_inset Formula $f(n)=n1$
+\end_inset
+
+) y
+\begin_inset Formula $n\geq0$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ tiene característica
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $\ker f=n\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, si y sólo si el subanillo primo de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es isomorfo a
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+, si y sólo si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ contiene un subanillo isomorfo a
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ [...] La característica de un dominio no trivial es 0 o un número primo.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
\end_inset
@@ -4575,7 +6397,7 @@ Para
\begin_inset Formula $x\in I_{1}\cap I_{2}$
\end_inset
-, existen
+, como existen
\begin_inset Formula $a\in I_{1}$
\end_inset
@@ -4587,7 +6409,7 @@ Para
\begin_inset Formula $a+b=1$
\end_inset
-, luego
+,
\begin_inset Formula $x=ax+bx$
\end_inset
@@ -4648,6 +6470,22 @@ status open
\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
begin{exinfo}
\end_layout
@@ -4730,7 +6568,7 @@ Teorema chino de los restos:
\end_inset
dado por
-\begin_inset Formula $\phi(x)=(g_{1}(x),\dots,g_{n}(x))$
+\begin_inset Formula $\phi(x)\coloneqq(g_{1}(x),\dots,g_{n}(x))$
\end_inset
es un homomorfismo con núcleo
@@ -5199,28 +7037,15 @@ radical de Jacobson
\end_inset
a
-\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)\coloneqq\bigcap\text{MaxSpec}(A)$
+\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)\coloneqq\bigcap\text{MaxSpec}(A)=\{a\in A:1+(a)\subseteq A^{*}\}$
\end_inset
.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\forall a\in A,(1+(a)\subseteq A^{*}\implies a\in\text{Jac}(A))$
-\end_inset
-
-, y en particular
-\begin_inset Formula $\text{Nil}(A)\subseteq\text{Jac}(A)$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
+
\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)$
\end_inset
- no contiene elementos idempotentes no nulos.
+ no contiene idempotentes no nulos.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -5228,15 +7053,11 @@ Un anillo
\begin_inset Formula $A$
\end_inset
- es
-\series bold
-local
-\series default
- si tiene un único ideal maximal
+ tiene un único ideal maximal
\begin_inset Formula $M$
\end_inset
-, si y sólo si
+ si y sólo si
\begin_inset Formula $A\setminus A^{*}$
\end_inset
@@ -5244,8 +7065,11 @@ local
\begin_inset Formula $M=A\setminus A^{*}$
\end_inset
-.
- Entonces decimos que
+, y entonces decimos que
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+,
\begin_inset Formula $(A,M)$
\end_inset
@@ -5257,12 +7081,7 @@ local
\series bold
anillo local
\series default
-.
- Si
-\begin_inset Formula $(A,M)$
-\end_inset
-
- es un anillo local,
+, y
\begin_inset Formula $1+M$
\end_inset
@@ -5272,6 +7091,14 @@ anillo local
.
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+ es un anillo local si y sólo si
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es potencia de primo.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -5349,120 +7176,142 @@ Si
\end_layout
\begin_layout Standard
-\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+Dados anillos locales
+\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
\end_inset
- es
-\series bold
-nil
-\series default
- si está contenido en
-\begin_inset Formula $\text{Nil}(A)$
+, los idempotentes de
+\begin_inset Formula $A_{1}\times\dots\times A_{n}$
\end_inset
-, y en tal caso:
-\end_layout
+ son las
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\forall a\in A,(a+I\in(A/I)^{*}\implies a\in A^{*})$
+-uplas
+\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n})$
+\end_inset
+
+ con cada
+\begin_inset Formula $e_{i}\in\{0,1\}$
\end_inset
.
-\end_layout
+ Para
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
-\begin_layout Enumerate
-Si
-\begin_inset Formula $A/I$
+ con factorización prima
+\begin_inset Formula $p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{t}^{m_{t}}$
\end_inset
- no tiene idempotentes distintos de
-\begin_inset Formula $\overline{0}$
+ (con los
+\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset
- y
-\begin_inset Formula $\overline{1}$
+ distintos y los
+\begin_inset Formula $t_{i}\geq1$
\end_inset
-, tampoco los tiene
-\begin_inset Formula $A$
+),
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
\end_inset
-.
-\end_layout
+ tiene
+\begin_inset Formula $2^{t}$
+\end_inset
+
+ idempotentes dados por los sistemas de ecuaciones diofánticas
+\begin_inset Formula
+\[
+\left\{ \begin{array}{rl}
+e_{I} & \equiv0\mod\left(q\coloneqq\prod_{i\in I}p_{i}^{m_{i}}\right),\\
+e_{I} & \equiv1\mod\left(r\coloneqq\prod_{i\notin I}p_{i}^{m_{i}}\right),
+\end{array}\right.
+\]
-\begin_layout Enumerate
-Si
-\begin_inset Formula $I$
\end_inset
- es maximal,
-\begin_inset Formula $A$
+para
+\begin_inset Formula $I\subseteq\{1,\dots,t\}$
\end_inset
- es un anillo local.
-\end_layout
+.
+ En concreto existen
+\begin_inset Formula $s,t\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
+ con
+\begin_inset Formula $x=1+qt=rs$
+\end_inset
-\begin_layout Plain Layout
+, de modo que
+\begin_inset Formula $rs-qt=1$
+\end_inset
+ y, como
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
-\backslash
-end{exinfo}
-\end_layout
+ y
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+ son coprimos, se pueden obtener
+\begin_inset Formula $s$
\end_inset
+ y
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+ con una identidad de Bézout.
+ Para obtener una identidad de Bézout:
\end_layout
-\begin_layout Standard
-\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+\begin_layout Enumerate
+Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, usando
+ la recurrencia
+\begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq q$
\end_inset
- es
-\series bold
-nilpotente
-\series default
- si existe
-\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+,
+\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq r$
\end_inset
- tal que
-\begin_inset Formula $I^{n}=0$
+,
+\begin_inset Formula $q_{i-1}=r_{i}q_{i}+q_{i+1}$
\end_inset
-, donde
-\begin_inset Formula $I^{0}\coloneqq A$
+, con
+\begin_inset Formula $r_{i},q_{i+1}\in\mathbb{Z}$
\end_inset
- y, para
-\begin_inset Formula $n>0$
+ y
+\begin_inset Formula $0\leq q_{i+1}<q_{i}$
\end_inset
-,
-\begin_inset Formula $I^{n}\coloneqq II^{n-1}$
+, hasta llegar a un
+\begin_inset Formula $q_{n}=1$
\end_inset
.
\end_layout
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
+\begin_layout Enumerate
+Se va despejando hacia atrás, haciendo
+\begin_inset Formula
+\begin{multline*}
+1=q_{n}=q_{n-2}-r_{n-1}q_{n-1}=q_{n-2}-r_{n-1}(q_{n-3}-r_{n-2}q_{n-2})=\\
+=-r_{n-1}q_{n-3}+(1+r_{n-1}r_{n-2})q_{n-2}=\dots=q_{0}t+q_{1}s.
+\end{multline*}
-\begin_layout Plain Layout
+\end_inset
-\backslash
-begin{exinfo}
\end_layout
-\end_inset
-
-Todo ideal nil finitamente generado es nilpotente.
+\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open
@@ -5507,7 +7356,7 @@ primo
\end_inset
es un dominio, si y sólo si
-\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\forall I_{1},\dots,I_{n}\trianglelefteq A,(I_{1}\cdots I_{n}\subseteq J\implies\exists k:I_{k}\subseteq J)$
+\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\forall J_{1},\dots,J_{n}\trianglelefteq A,(J_{1}\cdots J_{n}\subseteq I\implies\exists k:J_{k}\subseteq I)$
\end_inset
.
@@ -5556,11 +7405,11 @@ primo
\end_inset
Si fuera cada
-\begin_inset Formula $I_{k}\nsubseteq J$
+\begin_inset Formula $J_{k}\nsubseteq I$
\end_inset
, sea
-\begin_inset Formula $x_{k}\in I_{k}\setminus J$
+\begin_inset Formula $x_{k}\in J_{k}\setminus I$
\end_inset
para cada
@@ -5568,11 +7417,11 @@ primo
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $x_{1}\cdots x_{n}\in I_{1}\cdots I_{n}\subseteq J$
+\begin_inset Formula $x_{1}\cdots x_{n}\in J_{1}\cdots J_{n}\subseteq I$
\end_inset
, pero si
-\begin_inset Formula $J$
+\begin_inset Formula $I$
\end_inset
es primo existe
@@ -5580,7 +7429,7 @@ primo
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $x_{j}\in J\#$
+\begin_inset Formula $x_{j}\in I\#$
\end_inset
.
@@ -5595,30 +7444,79 @@ primo
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $a_{1}a_{2}\in J$
+\begin_inset Formula $a_{1}a_{2}\in I$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $(a_{1})(a_{2})=(a_{1}a_{2})\subseteq J$
+\begin_inset Formula $(a_{1})(a_{2})=(a_{1}a_{2})\subseteq I$
\end_inset
, luego por hipótesis
\begin_inset Formula $(a_{1})\subseteq J$
\end_inset
+ o
+\begin_inset Formula $(a_{2})\subseteq J$
+\end_inset
+
y por tanto
\begin_inset Formula $a_{1}\in J$
\end_inset
o
-\begin_inset Formula $(a_{2})\subseteq J$
+\begin_inset Formula $a_{2}\in J$
\end_inset
- y por tanto
-\begin_inset Formula $a_{2}\in J$
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+[Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo y
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+,]
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es primo si y sólo si
+\begin_inset Formula $(a)$
+\end_inset
+
+ es un ideal primo no nulo de
+\begin_inset Formula $A$
\end_inset
.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -5768,11 +7666,11 @@ Para
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset
-, supuesto esto probado para
+, suponemos esto probado para
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset
-, si fuera
+, y suponemos por reducción al absurdo que
\begin_inset Formula $I\nsubseteq J_{k}$
\end_inset
@@ -5780,11 +7678,12 @@ Para
\begin_inset Formula $k$
\end_inset
-, para cada
+.
+ Para cada
\begin_inset Formula $i$
\end_inset
-,
+, como
\begin_inset Formula $I\subseteq J_{k}$
\end_inset
@@ -5792,7 +7691,11 @@ Para
\begin_inset Formula $k\neq i$
\end_inset
- y por tanto existe
+,
+\begin_inset Formula $I\nsubseteq\bigcup_{k\neq i}J_{k}$
+\end_inset
+
+ y existe
\begin_inset Formula $a_{i}\in I$
\end_inset
@@ -5800,7 +7703,7 @@ Para
\begin_inset Formula $a_{i}\notin\bigcup_{k\neq i}J_{k}$
\end_inset
- y por tanto
+, por lo que
\begin_inset Formula $a_{i}\in J_{i}$
\end_inset
@@ -6025,7 +7928,7 @@ contra-inductivo
\series bold
Lema de Zorn dual:
\series default
- Todo conjunto contra-inductivo tiene al menos un elemento minimal.
+ Todo conjunto contra-inductivo no vacío tiene al menos un elemento minimal.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -6059,8 +7962,8 @@ primo minimal
\begin_inset Formula $Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$
\end_inset
- contiene a
-\begin_inset Formula $I$
+ con
+\begin_inset Formula $I\subseteq Q$
\end_inset
,
@@ -6174,7 +8077,7 @@ Demostración:
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset
- y, si
+, y si
\begin_inset Formula $J'$
\end_inset
@@ -6345,22 +8248,6 @@ radical
\end_layout
\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-begin{samepage}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
Propiedades:
\end_layout
@@ -6436,22 +8323,6 @@ Sea
\end_deeper
\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-end{samepage}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
Un
\series bold
subconjunto multiplicativo
@@ -6786,5 +8657,2840 @@ Si
es un radical si y sólo si es intersección de ideales primos.
\end_layout
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+ es
+\series bold
+nil
+\series default
+ si está contenido en
+\begin_inset Formula $\text{Nil}(A)$
+\end_inset
+
+, y en tal caso:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall a\in A,(a+I\in(A/I)^{*}\implies a\in A^{*})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $A/I$
+\end_inset
+
+ no tiene idempotentes distintos de
+\begin_inset Formula $\overline{0}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\overline{1}$
+\end_inset
+
+, tampoco los tiene
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es maximal,
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo local.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo ideal nil finitamente generado es nilpotente.
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{exinfo}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Dominios euclídeos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un dominio
+\begin_inset Formula $D\neq0$
+\end_inset
+
+, una función
+\begin_inset Formula $\delta:D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ es
+\series bold
+euclídea
+\series default
+ si cumple:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall a,b\in D\setminus\{0\},(a\mid b\implies\delta(a)\leq\delta(b))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D:(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un
+\series bold
+dominio euclídeo
+\series default
+ es uno que admite una función euclídea.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+El valor absoluto es una función euclídea en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+El cuadrado del módulo complejo es una función euclídea en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[i]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+ una función euclídea en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ un ideal de
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $a\in I\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula
+\[
+I=(a)\iff\forall x\in I\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x).
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Todo dominio euclídeo es DIP.
+ Si
+\begin_inset Formula $\delta$
+\end_inset
+
+ es una función euclídea en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, un elemento
+\begin_inset Formula $a\in D$
+\end_inset
+
+ es una unidad si y sólo si
+\begin_inset Formula $\delta(a)=\delta(1)$
+\end_inset
+
+, si y sólo si
+\begin_inset Formula $\forall x\in D\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Cuerpos de fracciones
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean
+\begin_inset Formula $D\neq0$
+\end_inset
+
+ un dominio y
+\begin_inset Formula $X:=D\times(D\setminus\{0\})$
+\end_inset
+
+, definimos la relación binaria
+\begin_inset Formula
+\[
+(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}.
+\]
+
+\end_inset
+
+ Esta relación es de equivalencia.
+ Llamamos
+\begin_inset Formula $a/s:=\frac{a}{s}:=[(a,s)]\in Q(D):=X/\sim$
+\end_inset
+
+, y las operaciones
+\begin_inset Formula
+\begin{align*}
+\frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}},
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+están bien definidas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para
+\begin_inset Formula $a,b\in D$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{0}{1}\iff a=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{1}{1}\iff a=s$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{at}{st}=\frac{a}{s}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{b}{s}\iff a=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\frac{a}{s}+\frac{b}{s}=\frac{a+b}{s}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...]
+\begin_inset Formula $(Q(D),+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo llamado
+\series bold
+cuerpo de fracciones
+\series default
+ o
+\series bold
+de cocientes
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ cuyo cero es
+\begin_inset Formula $\frac{0}{1}$
+\end_inset
+
+ y cuyo uno es
+\begin_inset Formula $\frac{1}{1}$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ es el cuerpo de fracciones de
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula $u(a):=a/1$
+\end_inset
+
+ es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ como un subdominio de
+\begin_inset Formula $Q(D)$
+\end_inset
+
+ identificando a cada
+\begin_inset Formula $a\in D$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $a/1\in Q(D)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Propiedad universal del cuerpo de fracciones:
+\series default
+ Dados un dominio
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula $u(a):=a/1$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo y
+\begin_inset Formula $f:D\to K$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo inyectivo, el único homomorfismo de cuerpos
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:Q(D)\to K$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
+\end_inset
+
+ viene dado por
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(\frac{a}{s})=f(a)f(s)^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo no trivial y
+\begin_inset Formula $g,h:Q(D)\to K$
+\end_inset
+
+ homomorfismos que coinciden en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula $g=h$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ un cuerpo no trivial y
+\begin_inset Formula $v:D\to F$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo inyectivo tal que para todo cuerpo
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ y homomorfismo inyectivo
+\begin_inset Formula $f:D\to K$
+\end_inset
+
+ existe un único homomorfismo
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:F\to K$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
+\end_inset
+
+, entonces existe un isomorfismo
+\begin_inset Formula $\phi:F\to Q(D)$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $\phi\circ v=u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un dominio,
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo no trivial y
+\begin_inset Formula $f:D\to K$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo inyectivo,
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ contiene un subcuerpo isomorfo a
+\begin_inset Formula $Q(D)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí, para
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])\cong\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
+\end_inset
+
+, lo que nos permite identificar los elementos de
+\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])$
+\end_inset
+
+ con los de
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo no trivial, existe un subcuerpo
+\begin_inset Formula $K'$
+\end_inset
+
+ de
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ llamado
+\series bold
+subcuerpo primo
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ contenido en cualquier subcuerpo de
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, y este es isomorfo a
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
+\end_inset
+
+ si la característica de
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es un entero primo
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ o a
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ en caso contrario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Polinomios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ identificando los elementos de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ con los
+\series bold
+polinomios constantes
+\series default
+, de la forma
+\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ Dado un ideal
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0}\in I\}$
+\end_inset
+
+ e
+\begin_inset Formula $I[X]:=\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$
+\end_inset
+
+ son ideales de
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado
+\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+, llamamos
+\series bold
+grado
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $\text{gr}(p):=\max\{k\in\mathbb{N}:p_{k}\neq0\}$
+\end_inset
+
+,
+\series bold
+coeficiente
+\series default
+ de
+\series bold
+grado
+\series default
+
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ de
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $p_{k}$
+\end_inset
+
+,
+\series bold
+coeficiente independiente
+\series default
+ al de grado 0 y
+\series bold
+coeficiente principal
+\series default
+ al de grado
+\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$
+\end_inset
+
+.
+ Un polinomio es
+\series bold
+mónico
+\series default
+ si su coeficiente princial es 1.
+ El polinomio 0 tiene grado
+\begin_inset Formula $-\infty$
+\end_inset
+
+ por convención.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un
+\series bold
+monomio
+\series default
+ es un polinomio de la forma
+\begin_inset Formula $aX^{n}$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Todo polinomio en
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ se escribe como suma finita de monomios de distinto grado de forma única
+ salvo orden.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ tienen coeficientes principales respectivos
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$
+\end_inset
+
+, con desigualdad estricta si y sólo si
+\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $p+q=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)\leq\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$
+\end_inset
+
+, con igualdad si y sólo si
+\begin_inset Formula $pq\neq0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ no es un cuerpo.
+ Es un dominio si y sólo si lo es
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, en cuyo caso llamamos
+\series bold
+cuerpo de las funciones racionales
+\series default
+ sobre
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ al cuerpo de fracciones de
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...]
+\series bold
+Propiedad universal del anillo de polinomios
+\series default
+ (
+\series bold
+PUAP
+\series default
+)
+\series bold
+:
+\series default
+ Sean
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo y
+\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$
+\end_inset
+
+ el homomorfismo inclusión:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para cada homomorfismo de anillos conmutativos
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+, el único homomorfismo
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X]\to B$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(X)=b$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula
+\[
+\tilde{f}\left(\sum_{n}p_{n}X^{n}\right):=\sum_{n}f(p_{n})b^{n}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset
+
+ están determinados salvo isomorfismos por la propiedad universal: dados
+ un homomorfismo de anillos
+\begin_inset Formula $v:A\to P$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $t\in P$
+\end_inset
+
+ tales que, para cada homomorfismo de anillos
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+, existe un único
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(t)=b$
+\end_inset
+
+, existe un isomorfismo
+\begin_inset Formula $\phi:A[X]\to P$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\phi(X)=t$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+, el
+\series bold
+homomorfismo de sustitución
+\series default
+ o
+\series bold
+de evaluación
+\series default
+ en
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to B$
+\end_inset
+
+ dado por
+\begin_inset Formula
+\[
+S_{b}(p):=p(b):=\sum_{n}p_{n}b^{n},
+\]
+
+\end_inset
+
+y su imagen es el subanillo generado por
+\begin_inset Formula $A\cup\{b\}$
+\end_inset
+
+, llamado
+\begin_inset Formula $A[b]$
+\end_inset
+
+.
+ Todo
+\begin_inset Formula $p\in A[X]$
+\end_inset
+
+ induce una
+\series bold
+función polinómica
+\series default
+
+\begin_inset Formula $\hat{p}:B\to B$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula $\hat{p}(b):=S_{b}(p)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, el homomorfismo de sustitución
+\begin_inset Formula $S_{X+a}$
+\end_inset
+
+ es un automorfismo de
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ con inverso
+\begin_inset Formula $S_{X-a}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo conmutativo,
+\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo homomorfismo de anillos
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ induce un homomorfismo
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X]\to B[X]$
+\end_inset
+
+ dado por
+\begin_inset Formula
+\[
+\hat{f}(p)=\sum_{n}f(p_{n})X^{n},
+\]
+
+\end_inset
+
+que es inyectivo o suprayectivo si lo es
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un subanillo de
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ lo es de
+\begin_inset Formula $B[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ es un ideal de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, el
+\series bold
+homomorfismo de reducción de coeficientes módulo
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ es
+\begin_inset Formula $\tilde{\pi}:A[X]\to(A/I)[X]$
+\end_inset
+
+ dado por
+\begin_inset Formula
+\[
+\tilde{\pi}(p):=\sum_{n}(p_{n}+I)X^{n}.
+\]
+
+\end_inset
+
+Su núcleo es
+\begin_inset Formula $I[X]$
+\end_inset
+
+, por lo que
+\begin_inset Formula $(A/I)[X]\cong\frac{A[X]}{I[X]}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Sean
+\begin_inset Formula $f,g\in A[X]$
+\end_inset
+
+, si el coeficiente principal de
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es invertible en
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, existen dos únicos polinomios
+\begin_inset Formula $q,r\in A[X]$
+\end_inset
+
+, llamados respectivamente
+\series bold
+cociente
+\series default
+ y
+\series bold
+resto
+\series default
+ de la
+\series bold
+división
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ entre
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+, tales que
+\begin_inset Formula $f=gq+r$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(g)$
+\end_inset
+
+ [...].
+ En particular, el grado es una función euclídea.
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema del resto:
+\series default
+ Dados
+\begin_inset Formula $f\in A[X]$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, el resto de
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ entre
+\begin_inset Formula $X-a$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula $f(a)$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí se obtiene el
+\series bold
+teorema de Ruffini
+\series default
+, que dice que
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es divisible por
+\begin_inset Formula $X-a$
+\end_inset
+
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $f(a)=0$
+\end_inset
+
+, en cuyo caso
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es una
+\series bold
+raíz
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para
+\begin_inset Formula $f\in A[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, existe
+\begin_inset Formula $m:=\max\{k\in\mathbb{N}:(X-a)^{k}\mid f\}$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos a
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+
+\series bold
+multiplicidad
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, y
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es raíz de
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $m\geq1$
+\end_inset
+
+.
+ Decimos que
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es una
+\series bold
+raíz simple
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ si
+\begin_inset Formula $m=1$
+\end_inset
+
+ y que es una
+\series bold
+raíz compuesta
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula $m>1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La multiplicidad de
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es el único natural
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$
+\end_inset
+
+ para algún
+\begin_inset Formula $g\in A[X]$
+\end_inset
+
+ del que
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ no es raíz.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un dominio,
+\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$
+\end_inset
+
+ son
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ elementos de
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$
+\end_inset
+
+ para cada
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$
+\end_inset
+
+, por lo que
+\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+ y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+, y el número de raíces, no son superiores a
+\begin_inset Formula $\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Principio de las identidades polinómicas:
+\series default
+ Sea
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un dominio:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para
+\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$
+\end_inset
+
+, si las funciones polinómicas
+\begin_inset Formula $f,g:D\to D$
+\end_inset
+
+ coinciden en
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ elementos de
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$
+\end_inset
+
+, los polinomios
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ son iguales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+ define dos funciones polinómicas distintas en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo
+
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+, todos los elementos de
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
+\end_inset
+
+ son raíces de 0 y
+\begin_inset Formula $X^{p}-X$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un anillo conmutativo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, definimos la
+\series bold
+derivada
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $P:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$
+\end_inset
+
+ como
+\begin_inset Formula $P':=D(P):=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$
+\end_inset
+
+, y escribimos
+\begin_inset Formula $P^{(0)}:=P$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $P^{(n+1)}:=P^{(n)\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ Dados
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados un dominio
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ de característica 0,
+\begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $a\in D$
+\end_inset
+
+, la multiplicidad de
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ es el menor
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un anillo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $A[X]$
+\end_inset
+
+ es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un dominio y
+\begin_inset Formula $p\in D$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ si y sólo si lo es en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es primo en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+, lo es en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU,
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ si y sólo si lo es en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+, si y sólo si es primo en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, si y sólo si lo es en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un DFU, definimos
+\begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $\varphi(a)$
+\end_inset
+
+ es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles
+ de
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+, contando repetidos, y para
+\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU,
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es su cuerpo de fracciones y
+\begin_inset Formula $f\in D[X]$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+, es irreducible en
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU si y sólo si lo es
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Si
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU y
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$
+\end_inset
+
+, con lo que
+\begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$
+\end_inset
+
+ y, en particular, si
+\begin_inset Formula $x\in D$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $[x]$
+\end_inset
+
+ es el conjunto de los asociados de
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos
+\begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$
+\end_inset
+
+ como
+\begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ Esto está bien definido.
+ Además,
+\begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos
+\begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$
+\end_inset
+
+ tal que, para
+\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $c(p):=\{x:x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$
+\end_inset
+
+, y para
+\begin_inset Formula $p\in K[X]$
+\end_inset
+
+, si
+\begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$
+\end_inset
+
+ cumple
+\begin_inset Formula $ap\in D[X]$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $c(p):=a^{-1}c(ap)$
+\end_inset
+
+.
+ Esto está bien definido.
+ Si
+\begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es el
+\series bold
+contenido
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $a=c(p)$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para
+\begin_inset Formula $a\in K$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $p\in K[X]$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $a\in D$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $p\in D[X]$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $a\mid p$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $a\mid c(p)$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un polinomio
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es
+\series bold
+primitivo
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula $c(p)=1$
+\end_inset
+
+, esto es, si
+\begin_inset Formula $p\in D[X]$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Lema de Gauss:
+\series default
+ Para
+\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$
+\end_inset
+
+, y en particular
+\begin_inset Formula $fg$
+\end_inset
+
+ es primitivo si y sólo si
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ lo son.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado
+\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$
+\end_inset
+
+ primitivo,
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+ si y sólo si lo es en
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+, si y sólo si
+\begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$
+\end_inset
+
+, si y sólo si
+\begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$
+\end_inset
+
+.
+ [...]
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que si
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU con cuerpo de fracciones
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, los irreducibles de
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+ son precisamente los de
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ y los polinomios primitivos de
+\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$
+\end_inset
+
+ irreducibles en
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Sean
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ un cuerpo y
+\begin_inset Formula $f\in K[X]$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ tiene una raíz en
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ no es irreducible en
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+ si y sólo si no tiene raíces en
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU con cuerpo de fracciones
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+, todas las raíces de
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ son de la forma
+\begin_inset Formula $\frac{r}{s}$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterio de reducción:
+\series default
+ Sean
+\begin_inset Formula $\phi:D\to K$
+\end_inset
+
+ un homomorfismo de anillos donde
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un DFU y
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo,
+\begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$
+\end_inset
+
+ el homomorfismo inducido por
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ un polinomio primitivo de
+\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$
+\end_inset
+
+, si
+\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $K[X]$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En particular, si
+\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ es primo,
+\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$
+\end_inset
+
+ es primitivo,
+\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Criterio de Eisenstein:
+\series default
+ Sean
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ un DFU,
+\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$
+\end_inset
+
+ primitivo y
+\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$
+\end_inset
+
+, si existe un irreducible
+\begin_inset Formula $p\in D$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es irreducible en
+\begin_inset Formula $D[X]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y existe
+\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ cuya multiplicidad en
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es 1,
+\begin_inset Formula $X^{n}-a$
+\end_inset
+
+ es irreducible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para
+\begin_inset Formula $n\geq3$
+\end_inset
+
+, llamamos
+\series bold
+raíces
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimas de la unidad
+\series default
+ o
+\series bold
+de 1
+\series default
+ a las raíces de
+\begin_inset Formula $X^{n}-1$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+, que son los
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ vértices del
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ágono regular inscrito en el círculo unidad de
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ con un vértice en el 1.
+
+\begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$
+\end_inset
+
+, donde
+\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X):=X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$
+\end_inset
+
+ es el
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimo polinomio ciclotómico
+\series default
+ y sus raíces en
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ son las raíces
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimas de 1 distintas de 1.
+ En
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$
+\end_inset
+
+, pero si
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es primo,
+\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$
+\end_inset
+
+ es irreducible.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+[...] Dados un anillo conmutativo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
+
+, definimos el
+\series bold
+anillo de polinomios
+\series default
+ en
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ indeterminadas con coeficientes en
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ como
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]:=A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos
+\series bold
+indeterminadas
+\series default
+ a los símbolos
+\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$
+\end_inset
+
+ y
+\series bold
+polinomios en
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ indeterminadas
+\series default
+ a los elementos de
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+.
+ Dados un anillo conmutativo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ no es un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ es un dominio si y sólo si lo es
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un dominio,
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]^{*}=A^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ es un DFU si y sólo si lo es
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ es un DIP si y sólo si
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ e
+\begin_inset Formula $i:=(i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$
+\end_inset
+
+, llamamos a
+\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+
+\series bold
+monomio
+\series default
+ de
+\series bold
+tipo
+\series default
+
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ y coeficiente
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+ Todo
+\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ se escribe de forma única como suma de monomios de distinto tipo,
+\begin_inset Formula
+\[
+p:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}},
+\]
+
+\end_inset
+
+con
+\begin_inset Formula $p_{i}=0$
+\end_inset
+
+ para casi todo
+\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+PUAP en
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ indeterminadas:
+\series default
+ Sean
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo conmutativo,
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ la inclusión:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados un homomorfismo de anillos
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
+\end_inset
+
+, existe un único homomorfismo de anillos
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(X_{k})=b_{k}$
+\end_inset
+
+ para
+\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados un anillo conmutativo
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}\in P$
+\end_inset
+
+ y un homomorfismo
+\begin_inset Formula $v:A\to P$
+\end_inset
+
+ tales que, dados un homomorfismo de anillos
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
+\end_inset
+
+, existe un único homomorfismo
+\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\tilde{f}(T_{k})=b_{k}$
+\end_inset
+
+ para
+\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+, existe un isomorfismo
+\begin_inset Formula $\phi:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to P$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\phi(X_{k})=T_{k}$
+\end_inset
+
+ para cada
+\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados dos anillos conmutativos
+\begin_inset Formula $A\subseteq B$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
+\end_inset
+
+, el
+\series bold
+homomorfismo de sustitución
+\series default
+
+\begin_inset Formula $S:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$
+\end_inset
+
+ viene dado por
+\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n}):=S(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ Su imagen es el subanillo de
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ generado por
+\begin_inset Formula $A\cup\{b_{1},\dots,b_{n}\}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$
+\end_inset
+
+, y dados dos homomorfismos de anillos
+\begin_inset Formula $f,g:A[b_{1},\dots,b_{n}]\to C$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f=g$
+\end_inset
+
+ si y sólo si
+\begin_inset Formula $f|_{A}=g|_{A}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $f(b_{k})=g(b_{k})$
+\end_inset
+
+ para todo
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Sean
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ un anillo y
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ una permutación de
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}$
+\end_inset
+
+ con inversa
+\begin_inset Formula $\tau:=\sigma^{-1}$
+\end_inset
+
+, tomando
+\begin_inset Formula $B=A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $b_{k}=X_{\sigma(k)}$
+\end_inset
+
+ en el punto anterior obtenemos un automorfismo
+\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ con inversa
+\begin_inset Formula $\hat{\tau}$
+\end_inset
+
+ que permuta las indeterminadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+, por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo homomorfismo de anillos conmutativos
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ induce un homomorfismo
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+ dado por
+\begin_inset Formula $\hat{f}(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos
+\series bold
+grado
+\series default
+ de un monomio
+\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $i_{1}+\dots+i_{n}$
+\end_inset
+
+, y grado de
+\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\setminus0$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$
+\end_inset
+
+, al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios
+ de
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces
+\begin_inset Formula $\text{gr}(p+q)\leq\max\{\text{gr}(p),\text{gr}(q)\}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)\leq\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$
+\end_inset
+
+.
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un polinomio es
+\series bold
+homogéneo
+\series default
+ de grado
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ si es suma de monomios de grado
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ Todo polinomio se escribe de modo único como suma de polinomios homogéneos
+ de distintos grados, sin más que agrupar los monomios de igual grado en
+ la expresión como suma de monomios.
+ Así, si
+\begin_inset Formula $D$
+\end_inset
+
+ es un dominio,
+\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)=\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$
+\end_inset
+
+ para cualesquiera
+\begin_inset Formula $p,q\in D[X_{1},\dots,X_{n}]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
\end_body
\end_document
diff --git a/ac/n3.lyx b/ac/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..0293687
--- /dev/null
+++ b/ac/n3.lyx
@@ -0,0 +1,1461 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\begin_preamble
+\input{../defs}
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
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+\font_sc false
+\font_osf false
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+\default_output_format default
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+\cite_engine_type default
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+\shortcut idx
+\color #008000
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+\paragraph_indentation default
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+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Dado un anillo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, un
+\series bold
+módulo
+\series default
+ sobre
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ o
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo
+\series default
+
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ es una terna
+\begin_inset Formula $(M,+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ donde
+\begin_inset Formula $(M,+)$
+\end_inset
+
+ es un grupo abeliano y
+\begin_inset Formula $\cdot:A\times M\to M$
+\end_inset
+
+ es una operación llamada
+\series bold
+producto por escalares
+\series default
+ tal que para
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $m,n\in M$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $1m=m$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(ab)m=a(bm)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(a+b)m=am+bm$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a(m+n)=am+an$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0m=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $1m=(1+0)m=1m+0m$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a0=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $a0=a(0+0)=a0+a0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $-(am)=(-a)m=a(-m)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $am+(-a)m=(a-a)m=0m=0$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $am+a(-m)=a(m-m)=a0=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Llamamos
+\begin_inset Formula $_{A}\text{Mod}$
+\end_inset
+
+ a la clase de los módulos sobre
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado un cuerpo
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, la clase de espacios vectoriales sobre
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula $_{K}\text{Vect}=_{K}\text{Mod}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La clase de grupos abelianos es
+\begin_inset Formula $\text{GrAb}=_{\mathbb{Z}}\text{Mod}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+Un
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+-módulo es un grupo abeliano con un producto por escalares de
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y este producto debe cumplir
+\begin_inset Formula $(a+1)m=am+a$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $(-a)m=a(-m)$
+\end_inset
+
+, por lo que se puede definir de una y sólo una forma.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Llamamos
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo regular
+\series default
+ a
+\begin_inset Formula $_{A}A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Llamamos
+\series bold
+anulador
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $X\subseteq A$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\coloneqq\{m\in M:Xm=0\}\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $\{M_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es una familia de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulos,
+\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}M_{i}$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo con las operaciones componente a componente, y también lo es la
+
+\series bold
+suma directa
+\series default
+ (
+\series bold
+externa
+\series default
+)
+\begin_inset Formula
+\[
+\bigoplus_{i\in I}M_{i}\coloneqq\left\{ x\in\prod_{i\in I}M_{i}:\{i\in I:x_{i}\neq0\}\text{ finito}\right\} .
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados un conjunto
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+, llamamos
+\begin_inset Formula $M^{I}\coloneqq\prod_{i\in I}M$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $M^{(I)}\coloneqq\bigoplus_{i\in I}M$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo libre de rango
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ a
+\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$
+\end_inset
+
+, que si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo es el espacio vectorial
+\begin_inset Formula $A^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Submódulos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $N\subseteq_{A}M$
+\end_inset
+
+ es un
+\series bold
+submódulo
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ o un
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-submódulo
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+, si es un subgrupo de
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ cerrado para el producto por escalares, si y sólo si
+\begin_inset Formula $0\in N$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ es cerrado para
+\series bold
+combinaciones
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineales
+\series default
+, en cuyo caso
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ es un módulo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $N\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y, para
+\begin_inset Formula $n\in N$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $1n=(1+0)n=1n+0n\implies0n=0\in N$
+\end_inset
+
+, y es claro que es cerrado para combinaciones
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Claramente es cerrado para la suma y el producto, y también para el opuesto
+ porque si
+\begin_inset Formula $n\in N$
+\end_inset
+
+ entonces
+\begin_inset Formula $-n=(-1)n\in N$
+\end_inset
+
+, ya que
+\begin_inset Formula $n+(-1)n=(1-1)n=0n=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}M)$
+\end_inset
+
+ al conjunto de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-submódulos de
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ ordenado por inclusión, que es un retículo en la que el ínfimo es la intersecci
+ón y el supremo es la suma.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+TODO definida más adelante.
+ Añadir demostración.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado un cuerpo
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, un
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-submódulo es un subespacio vectorial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Un
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+-submódulo es un subgrupo abeliano.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo módulo
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ tiene al menos los submódulos 0 y
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+, y puede no haber más.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_{2}$
+\end_inset
+
+ no tiene más.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Los submódulos del módulo regular son los ideales,
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}A)={\cal L}(A)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es subanillo de
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo tomando como producto por escalares el producto en
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+ En general
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}B)\neq{\cal L}(_{B}B)$
+\end_inset
+
+.
+ Por ejemplo,
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ solo tiene dos
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+-submódulos (sus ideales) pero tiene muchos
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+-submódulos (sus subgrupos), y dados un anillo
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\{f\in A[X]:\text{gr}f\leq n\}$
+\end_inset
+
+ es un submódulo de
+\begin_inset Formula $_{A}A[X]$
+\end_inset
+
+ pero no de
+\begin_inset Formula $_{A[X]}A[X]$
+\end_inset
+
+.
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}M_{i}\leq_{A}\prod_{i\in I}M_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $M/N\coloneqq\{\overline{m}\coloneqq m+N\}_{m\in M}$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo con la suma y el producto heredados, el
+\series bold
+módulo cociente
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ por
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para
+\begin_inset Formula $m,m',n,n'\in M$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $m-m',n-n'\in N$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\overline{m}+\overline{n}=\overline{m+n}=\overline{m+n+(m'-m+n'-n)}=\overline{m'+n'}=\overline{m'}+\overline{n'}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $a\overline{m}=\overline{am}=\overline{am+a(m'-m)}=\overline{am'}=a\overline{m'}$
+\end_inset
+
+, por lo que las operaciones están bien definidas, y es fácil ver que se
+ cumplen los axiomas de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado un cuerpo
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, el módulo cociente de
+\begin_inset Formula $_{K}V$
+\end_inset
+
+ por
+\begin_inset Formula $U\leq_{K}V$
+\end_inset
+
+ es el espacio vectorial cociente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+El módulo cociente de
+\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}G$
+\end_inset
+
+ por
+\begin_inset Formula $H\leq_{\mathbb{Z}}G$
+\end_inset
+
+ es el grupo cociente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Homomorfismos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un
+\series bold
+homomorfismo de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulos
+\series default
+,
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo
+\series default
+ o
+\series bold
+aplicación
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineal
+\series default
+ entre
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $_{A}N$
+\end_inset
+
+ es un homomorfismo de grupos abelianos
+\begin_inset Formula $f:M\to N$
+\end_inset
+
+ que conserva el producto por escalares, y llamamos
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{A}(M,N)$
+\end_inset
+
+ al conjunto de los
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismos de
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+, que es un grupo abeliano con la suma.
+ El
+\series bold
+núcleo
+\series default
+ de un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula $\ker f\coloneqq f^{-1}(0)$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectivo si y sólo si
+\begin_inset Formula $\ker f=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $f(x)=0=f(0)\implies x=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies f(a-b)=0\implies a-b=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $M'\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f(M')\leq_{A}N$
+\end_inset
+
+, y en particular
+\begin_inset Formula $f(M)\leq_{A}N$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f(M')$
+\end_inset
+
+ contiene al
+\begin_inset Formula $0=f(0)$
+\end_inset
+
+ y sus combinaciones
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineales son la imagen de combinaciones
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineales en
+\begin_inset Formula $M'$
+\end_inset
+
+, que están en
+\begin_inset Formula $M'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $N'\leq_{A}N$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f^{-1}(N')\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f^{-1}(N')$
+\end_inset
+
+ contiene al
+\begin_inset Formula $0=f^{-1}(N')$
+\end_inset
+
+, y si
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{k}\in A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $m_{1},\dots,m_{k}\in f^{-1}(N')$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f(a_{1}m_{1}+\dots+a_{k}m_{k})=a_{1}f(m_{1})+\dots+a_{k}f(m_{k})\in N'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+La composición de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismos es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un homomorfismo es un
+\series bold
+monomorfismo
+\series default
+ si es inyectivo, un
+\series bold
+epimorfismo
+\series default
+ si es suprayectivo y un
+\series bold
+isomorfismo
+\series default
+ si es biyectivo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las proyecciones canónicas
+\begin_inset Formula $M\to M/N$
+\end_inset
+
+ son epimorfismos.
+ Los inversos de isomorfismos son isomorfismos, y se dice que los módulos
+ involucrados son
+\series bold
+isomorfos
+\series default
+.
+ En efecto, si
+\begin_inset Formula $f:M\to N$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-isomorfismo,
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $n,n'\in N$
+\end_inset
+
+ con imágenes por
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $m,m'\in M$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $f(m+m')=f(m)+f(m')=n+n'$
+\end_inset
+
+ y por tanto
+\begin_inset Formula $f^{-1}(n+n')=m+m'=f^{-1}(n)+f^{-1}(n')$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $f(am)=af(m)=an$
+\end_inset
+
+ y por tanto
+\begin_inset Formula $f^{-1}(an)=am=af^{-1}(n)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+En un cuerpo
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, un
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-homomorfismo es una aplicación lineal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Un
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+-homomorfismo es un homomorfismo de grupos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{2},\mathbb{Z}_{3})=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Restricción de escalares
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un homomorfismo de anillos
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+, cada
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+-módulo
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo definiendo
+\begin_inset Formula $am\coloneqq f(a)m$
+\end_inset
+
+, lo que se conoce como
+\series bold
+restricción de escalares
+\series default
+.
+ Entonces
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{B}(M,N)\subseteq\text{Hom}_{A}(M,N)$
+\end_inset
+
+ y ambos son igualdades cuando
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectivo.
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Todo
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+-submódulo de
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-submódulo, y todo
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+-homomorfismo
+\begin_inset Formula $h:M\to N$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo ya que
+\begin_inset Formula $h(a\cdot_{_{A}M}m)=h(f(a)\cdot_{_{B}M}m)=f(a)\cdot_{_{B}N}h(m)=a\cdot_{_{A}N}h(m)$
+\end_inset
+
+.
+ Si
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectivo, si
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+-submódulo, para
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $s\in S$
+\end_inset
+
+, existe
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $f(a)=b$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $bs=f(a)s=as\in B$
+\end_inset
+
+, y si
+\begin_inset Formula $h:M\to N$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo, es un homomorfismo de grupos abelianos y, para
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $m\in M$
+\end_inset
+
+, sea
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $f(a)=b$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $h(bm)=h(am)=ah(m)=bh(m)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es el único homomorfismo de anillos
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\to A$
+\end_inset
+
+, la restricción de escalares de un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo es el grupo abeliano subyacente, y la de un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo es el homomorfismo de los grupos abelianos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $\iota:A\hookrightarrow B$
+\end_inset
+
+ es una inclusión, restringir escalares es limitarse a considerar escalares
+ de
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{\mathbb{R}[X]}(\mathbb{R}[X],\mathbb{R}[X])\subsetneq\text{Hom}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[X],\mathbb{R}[X])$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+La inclusión es por restricción de escalares con la inclusión, y la derivada
+ es un
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+-homomorfismo (lleva 0 a 0 y conserva sumas y producto por escalares de
+
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+) pero no es un
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
+\end_inset
+
+-homomorfismo (no conserva producto por
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $_{A/I}\text{Mod}\equiv\{M\in_{A}\text{Mod}:IM=0\}$
+\end_inset
+
+ por la biyección
+\begin_inset Formula
+\[
+(M,+,\cdot)\mapsto(M,+,(a,m)\mapsto\overline{a}m),
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/I}M)={\cal L}(_{A}M)$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{A/I}(M,N)=\text{Hom}_{A}(M,N)$
+\end_inset
+
+.
+ En particular los
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+-módulos son grupos abelianos
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $nM=0$
+\end_inset
+
+ y, si
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es primo, los
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
+\end_inset
+
+-espacios vectoriales son grupos abelianos con
+\begin_inset Formula $pM=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $_{A/I}M$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo por restricción de escalares en la proyección canónica
+\begin_inset Formula $A\to A/I$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $am=\overline{a}m$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $IM=\overline{0}M=0$
+\end_inset
+
+ y las igualdades se tienen porque la proyección canónica es suprayectiva.
+ Si
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ cumple
+\begin_inset Formula $IM=0$
+\end_inset
+
+, el producto
+\begin_inset Formula $\overline{a}m\coloneqq am$
+\end_inset
+
+ está bien definido y convierte a
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ en un
+\begin_inset Formula $(A/I)$
+\end_inset
+
+-módulo.
+ Estos procesos son uno inverso del otro.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo,
+\begin_inset Formula $_{\mathbb{K}[X]}\text{Mod}\equiv\prod_{V\in_{\mathbb{K}}\text{Vect}}\text{End}_{\mathbb{K}}(V)$
+\end_inset
+
+ por la biyección
+\begin_inset Formula
+\[
+(V,+,\cdot)\mapsto((V,+,\cdot),v\mapsto Xv),
+\]
+
+\end_inset
+
+y los
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+\end_inset
+
+-submódulos de
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son sus
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+-subespacios vectoriales
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+-invariantes
+\series default
+ siendo
+\begin_inset Formula $f(v)\coloneqq vX$
+\end_inset
+
+, es decir, los
+\begin_inset Formula $W\leq V$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $f(W)\subseteq W$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+TODO
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_body
+\end_document
diff --git a/af/n1.lyx b/af/n1.lyx
index 3808078..e557567 100644
--- a/af/n1.lyx
+++ b/af/n1.lyx
@@ -3747,7 +3747,16 @@ Si
\end_inset
y una sucesión de vectores unitarios
-\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$
+\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq X$
+\end_inset
+
+ con cada
+\begin_inset Formula $y_{n}\in M_{n}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $d(M_{n},y_{n+1})\geq\frac{1}{2}$
+
\end_inset
con cada
@@ -3755,7 +3764,8 @@ Si
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $d(M_{n},x_{n+1})\geq\frac{1}{2}$
+\begin_inset Formula $d(M_{n},x_{n+1})\geq\frac{1}{2}$ >>>>>>> af
+
\end_inset
.
diff --git a/dsi/n.lyx b/dsi/n.lyx
index d40ea5e..7ba4de5 100644
--- a/dsi/n.lyx
+++ b/dsi/n.lyx
@@ -208,6 +208,52 @@ Rete: A Fast Algorithm for the May Pattern/Many Object Pattern Match Problem
(1981).
\end_layout
+\begin_layout Itemize
+
+\lang english
+Gordon S.
+ Novak Jr.
+
+\emph on
+TMYCIN: Tiny EMYCIN-like Expert System Tool
+\emph default
+ (2006).
+ University of Texas at Austin.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Wikipedia, the Free Encyclopedia.
+
+\emph on
+Hipónimo
+\emph default
+,
+\emph on
+Hiperónimo
+\emph default
+,
+\emph on
+Meronimia
+\emph default
+,
+\emph on
+Holonimia
+\emph default
+.
+ Recuperado de
+\begin_inset Flex URL
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+https://es.wikipedia.org/
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ el 25 de septiembre de 2022.
+\end_layout
+
\begin_layout Chapter
Ontologías
\end_layout
@@ -264,5 +310,19 @@ filename "n4.lyx"
\end_layout
+\begin_layout Chapter
+MYCIN
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset include
+LatexCommand input
+filename "n5.lyx"
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
\end_body
\end_document
diff --git a/dsi/n5.lyx b/dsi/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..d3d758e
--- /dev/null
+++ b/dsi/n5.lyx
@@ -0,0 +1,2409 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\begin_preamble
+\input{../defs}
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
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+\font_sc false
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+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
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+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style french
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Un
+\series bold
+agente antimicrobiano
+\series default
+ es un fármaco para eliminar microbios o detener su crecimiento.
+ Elegir uno sería fácil si hubiera un único agente no tóxico efectivo para
+ cada tipo de bacteria.
+ MYCIN es un sistema basado en reglas escrito en Lisp que usa información
+ clínica para aconsejar sobre el tratamiento de una infección.
+ Fue creado por un equipo de programación heurística del
+\lang english
+Stanford Research Institute
+\lang spanish
+ de la Universidad de Stanford, formado entre otros por:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Edward Feigenbaum, que defendió el uso de sistemas de producciones para
+ codificar conocimiento específico de un dominio en base a trabajos de Allan
+ Newell que defendían de estos sistemas como un formalismo elegante y eficiente
+ para el modelado psicológico.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Bruce Buchanan y Edward Shortliffe, que participaron previamente en DENDRAL
+ y el sistema de alerta de interacción de medicamentos MEDIPHOR.
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Las diapositivas dicen que estos se incorporaron posteriormente; Wikipedia
+ que era la tesis doctoral de Shortliffe dirigida por Buchanan.
+ Las diapositivas no dicen que estos estuvieran en DENDRAL y MEDIPHOR pero
+ lo intuyen, Wikipedia dice que Buchanan estuvo en DENDRAL y MEDIPHOR no
+ aparece en Internet.
+ En casos como este se da prioridad a lo estudiado en clase porque es lo
+ que entra en el examen, y no porque necesariamente sea verdad.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Stanley Cohen, jefe del departamento de farmacología clínica de Stanford
+ que también trabajó en MEDIPHOR.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Stanton Axline y Thomas Merigan, del departamento de enfermedades infecciosas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tiene 5 módulos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+De consulta.
+
+\series default
+ Núcleo del sistema, que interactúa con los médicos para recoger información
+ del paciente y generar recomendaciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+De explicación.
+
+\series default
+ Genera explicaciones y justificaciones de las recomendaciones de conocimiento.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+De adquisición de conocimiento.
+
+\series default
+ Usado por los expertos para actualizar la base de conocimiento.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Base de conocimiento.
+
+\series default
+ Almacena las reglas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Base de datos de pacientes.
+
+\series default
+ Va almacenado los datos relativos al paciente que está siendo analizado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+MYCIN determina el tratamiento en 4 fases:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Decidir si la infección es significativa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Determinar los organismos implicados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Seleccionar fármacos apropiados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Elegir el fármaco o combinación de fármacos más apropiado para el paciente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Base de datos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un
+\series bold
+parámetro clínico
+\series default
+ es una característica con un valor como el nombre del paciente, el lugar
+ del cultivo, la morfología del organismo, la dosis del fármaco, etc.
+ Tiene las siguientes propiedades:
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Aprovecho que Lisp es
+\emph on
+\lang english
+case insensitive
+\emph default
+\lang spanish
+ para aumentar la legibilidad.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Expect
+\family default
+ Tipo de valor esperado:
+\family typewriter
+yn
+\family default
+,
+\family typewriter
+numb
+\family default
+,
+\family typewriter
+one-of
+\family default
+ o
+\family typewriter
+any
+\family default
+.
+ Los parámetros pueden ser multivaluados, de un solo valor o booleanos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Prompt
+\family default
+,
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\family typewriter
+prompt1
+\family default
+ Pregunta que hay que hacer para solicitar un valor.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Labdata
+\family default
+ Indica si el dato procede de laboratorio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Trans
+\family default
+ Información para traducir lo expresado por el parámetro al inglés.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Default
+\family default
+ Unidad en que se expresan los valores numéricos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Condition
+\family default
+ Expresión a ejecutar antes de preguntar el valor del parámetro, que devuelve
+ verdadero si no hay que preguntar el valor.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Lookahead
+\family default
+ Reglas que referencian al parámetro en su premisa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Updated-by
+\family default
+ Reglas que lo actualizan.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Contained-in
+\family default
+ Reglas que lo contienen en el consecuente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las únicas propiedades obligatorias son
+\family typewriter
+expect
+\family default
+ y
+\family typewriter
+trans
+\family default
+.
+ MYCIN tiene 65 parámetros clínicos en 6 clases:
+\family typewriter
+prop-cul
+\family default
+,
+\family typewriter
+prop-drg
+\family default
+,
+\family typewriter
+prop-op
+\family default
+,
+\family typewriter
+prop-org
+\family default
+,
+\family typewriter
+prop-pt
+\family default
+ y
+\family typewriter
+prop-ther
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los valores de un parámetro clínico se representan con una lista
+\family typewriter
+(
+\emph on
+value cf
+\emph default
+)
+\family default
+ formada por el valor del parámetro y un
+\series bold
+factor de certeza
+\series default
+, un número del
+\begin_inset Formula $-1$
+\end_inset
+
+ al 1 que indica un grado de certeza subjetiva de que el parámetro tenga
+ ese valor, donde 1 significa que se está totalmente seguro,
+\begin_inset Formula $-1$
+\end_inset
+
+ que se está totalmente seguro de que es falso y 0 que no se tiene evidencia
+ a favor ni en contra o las evidencias se contrarrestan perfectamente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El módulo de traducción considera que algo es definitivo si
+\begin_inset Formula $|\text{CF}|=1$
+\end_inset
+
+, que hay una fuerte evidencia si
+\begin_inset Formula $0.8\leq|\text{CF}|<1$
+\end_inset
+
+, que hay evidencia si
+\begin_inset Formula $0.4\leq|\text{CF}|<0.8$
+\end_inset
+
+ y que hay una débil evidencia si
+\begin_inset Formula $|\text{CF}|<0.4$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si un parámetro solo puede tomar un valor, la suma de los
+\begin_inset Formula $\text{CFs}$
+\end_inset
+
+ de los distintos parámetros no puede ser mayor que 1 (sí puede ser menor
+ que
+\begin_inset Formula $-1$
+\end_inset
+
+), y si una hipótesis tiene
+\begin_inset Formula $\text{CF}=1$
+\end_inset
+
+ el resto se pueden suponer con
+\begin_inset Formula $\text{CF}=-1$
+\end_inset
+
+.
+ Si un parámetro es booleano su único valor almacenado es
+\family typewriter
+yes
+\family default
+ y el CF de
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+no
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ será el opuesto al de
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+yes
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+.
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las inferencias se hacen dentro de un
+\series bold
+contexto
+\series default
+, formado por un tipo de contexto, valores de los parámetros clínicos, y
+ un posible contexto padre, formando los contextos un
+\series bold
+árbol de contexto
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un tipo de contexto se define con
+\family typewriter
+(defcontext
+\emph on
+contextname parms initialdata goals
+\emph default
+)
+\family default
+ y lo forman:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Un nombre (un símbolo).
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Una lista de parámetros clínicos aplicables.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Una lista de parámetros cuyos parámetros se han de obtener al principio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Una lista de objetivos (parámetros).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tipos de contexto predefinidos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Person
+\family default
+ Raíz del árbol, con los datos del paciente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Priorculs
+\family default
+ Hijo de
+\family typewriter
+person
+\family default
+, cultivo en la historia clínica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Priororgs
+\family default
+ Hijo de
+\family typewriter
+priorcul
+\family default
+, organismo identificado en la historia clínica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Priordrogs
+\family default
+ Hijo de
+\family typewriter
+priororgs
+\family default
+, fármaco administrado en la historia clínica.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Curcul
+\family default
+ Hijo de
+\family typewriter
+person
+\family default
+, cultivo en la sesión actual.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Curorg
+\family default
+ Hijo de
+\family typewriter
+curcul
+\family default
+, cultivo en la sesión actual.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Curdrogs
+\family default
+ Hijo de
+\family typewriter
+curorg
+\family default
+ o
+\family typewriter
+priororgs
+\family default
+, fármaco en la sesión actual.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Opers
+\family default
+ Hijo de
+\family typewriter
+person
+\family default
+, procedimientos terapéuticos seguidos por el paciente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Opdrogs
+\family default
+ Hijo de
+\family typewriter
+opers
+\family default
+, fármacos tomados por el paciente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Possther
+\family default
+ Tratamiento candidato a ser recomendado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todos salvo
+\family typewriter
+person
+\family default
+ pueden tener más de una instancia.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+La descripción de un parámetro clínico es de la forma
+\family typewriter
+(
+\emph on
+name domain
+\emph default
+ [
+\emph on
+cosas
+\emph default
+])
+\family default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+(defcontext
+\emph on
+name parms initialdata goals
+\emph default
+) make-context
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Base de conocimiento
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La última versión de MYCIN de 1978 tenía unas 500 reglas, definidas con
+
+\family typewriter
+(defrules (
+\emph on
+rule-name premise action
+\emph default
+)*)
+\family default
+ y formadas por:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Un
+\series bold
+nombre
+\series default
+, un símbolo no evaluado.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Una
+\series bold
+premisa
+\series default
+, una expresión que devuelve un factor de certeza o
+\family typewriter
+NIL
+\family default
+ (equivalente a 0), como puede ser:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+($and
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\emph on
+expr
+\emph default
+*)
+\family default
+.
+ Conjunción de premisas; toma el mínimo de sus CF si es mayor que
+\begin_inset Formula $0.2$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Primero hace un prescan y si ese prescan no da nil entonces ya hace bien.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+filbreak
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+(
+\emph on
+fn cntxt parm value
+\emph default
+*)
+\family default
+, donde
+\family typewriter
+\emph on
+fn
+\family default
+\emph default
+ es una de las funciones del Cuadro
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "tab:valfun"
+plural "false"
+caps "false"
+noprefix "false"
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float table
+wide false
+sideways false
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="6" columns="4">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Función
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Valor según el CF
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Función
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Valor según el CF
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+same
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $(\text{CF}>.2\to\text{CF};\mathtt{T}\to\mathtt{NIL})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+defis
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}=1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+thoughtnot
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $(\text{CF}<-.2\to-\text{CF};\mathtt{T}\to\mathtt{NIL})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+defnot
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}=-1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+notsame
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}\leq.2$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+notdefis
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}\in(.2,1)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+mightbe
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}\geq-.2$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+notdefnot
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}\in(-1,.2)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+vnotknown
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $|\text{CF}|\leq.2$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Caption Standard
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "tab:valfun"
+
+\end_inset
+
+Funciones de evaluación de factores de certeza.
+ Reciben un contexto (normalmente el actual en la variable global
+\family typewriter
+cntxt
+\family default
+), un parámetro (símbolo no evaluado) y una serie de valores (símbolos no
+ evaluados, normalmente uno) y actúa según el máximo de los
+\begin_inset Formula $\text{CFs}$
+\end_inset
+
+ de que el parámetro tenga cada valor en el contexto, que se toma 0 si el
+ conjunto de valores es vacío.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\family typewriter
+(
+\emph on
+fn cntxt parm
+\emph default
+)
+\family default
+, donde
+\family typewriter
+\emph on
+fn
+\family default
+\emph default
+ es una de las funciones del Cuadro
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "tab:parmfun"
+plural "false"
+caps "false"
+noprefix "false"
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float table
+wide false
+sideways false
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="3" columns="4">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Función
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Valor según CF
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Función
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Valor según CF
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+known
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}>.2$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+definite
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}=1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+notknown
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}\leq.2$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+notdefinite
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\text{CF}<1$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Caption Standard
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "tab:parmfun"
+
+\end_inset
+
+Funciones de evaluación de parámetros.
+ Como las del Cuadro
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "tab:valfun"
+plural "false"
+caps "false"
+noprefix "false"
+
+\end_inset
+
+ pero tomando el máximo CF entre todos los posibles valores del parámetro.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Una
+\series bold
+acción
+\series default
+, una expresión de la forma:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+(conclude
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\emph on
+cntxt
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+parm
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+value
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+tally
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+rulecf
+\emph default
+)
+\family default
+ Establece el factor de certeza de que
+\family typewriter
+\emph on
+parm
+\family default
+\emph default
+ (símbolo no evaluado) valga
+\family typewriter
+\emph on
+value
+\family default
+\emph default
+ (no evaluado sólo si es un símbolo) en el contexto
+\family typewriter
+\emph on
+cntxt
+\family default
+\emph default
+ a
+\begin_inset Formula $f\coloneqq\text{\emph{\texttt{tally}}}\cdot\frac{\text{\emph{\texttt{rulecf}}}}{1000}$
+\end_inset
+
+.
+ Si este parámetro ya tenía asignado un factor de certeza
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ para ese valor, este se actualiza a
+\begin_inset Formula
+\[
+\begin{cases}
+e+f(1-e), & e,f\geq0;\\
+e+f(1+e), & e,f<0;\\
+\frac{e+f}{1-\min\{|e|,|f|\}}, & \text{en otro caso},
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+lanzando un error si
+\begin_inset Formula $\{e,f\}=\{1,-1\}$
+\end_inset
+
+ al ser esto una contradicción.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+(do-all
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\emph on
+expr
+\emph default
+*)
+\family default
+ Ejecuta todas las expresiones.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Una disyunción en la premisa se puede representar con varias reglas con
+ la misma acción.
+ Para aplicar una regla, se evalúa la premisa, se guarda el factor de certeza
+ devuelto en la variable global
+\family typewriter
+tally
+\family default
+ y, si este es mayor que
+\begin_inset Formula $0.2$
+\end_inset
+
+, se evalúa la conclusión.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las reglas se organizan en grupos según el tipo de contexto en que se pueden
+ aplicar (ver Cuadro
+\begin_inset CommandInset ref
+LatexCommand ref
+reference "tab:rule-types"
+plural "false"
+caps "false"
+noprefix "false"
+
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Float table
+wide false
+sideways false
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\align center
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="7" columns="4">
+<features tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tipo de regla
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tipos de contexto
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tipo de regla
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Tipos de contexto
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Culrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Curcul
+\family default
+,
+\family typewriter
+priorculs
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Drgrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Curdrogs
+\family default
+,
+\family typewriter
+priordrogs
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Curculrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Curcul
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Oprules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Opers
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Curorgrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Curorg
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Patrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Person
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Pdrgrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Priordrogs
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Orderrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Recomendaciones terapéuticas
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Prculrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Priorculs
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Therrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+Selección de fármacos
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Prorgrules
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\family typewriter
+Priororgs
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Caption Standard
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset CommandInset label
+LatexCommand label
+name "tab:rule-types"
+
+\end_inset
+
+Tipos de reglas predefinidos y tipos de contexto en que se aplican.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La regla
+\family typewriter
+rule092
+\family default
+ define el objetivo global del sistema: si existe un organismo que requiere
+ tratamiento y existen indicios de la existencia de otros organismos que
+ requieren tratamiento, aunque no hayan sido detectados en los cultivos
+ en curso, entonces recopilar los posibles tratamientos que puedan ser efectivos
+ contra los organismos considerados y determinar cuál es la mejor terapia
+ de la lista.
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para recopilar los tratamientos, se usan los CF de las hipótesis para selecciona
+r las identificaciones más probables y, para cada organismo identificado,
+ se dispara una regla de tipo
+\family typewriter
+therules
+\family default
+.
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+¿Es esto lo mismo que
+\family typewriter
+\size normal
+therrules
+\family default
+? Las diapositivas son horribles así que no lo sé.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ Una regla de este tipo puede ser
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+si el organismo es pseudomonas entonces el tratamiento es colistina (
+\begin_inset Formula $.98$
+\end_inset
+
+), polimyxcina (
+\begin_inset Formula $.96$
+\end_inset
+
+), gentamicina (
+\begin_inset Formula $.96$
+\end_inset
+
+), carbenicilina (
+\begin_inset Formula $.65$
+\end_inset
+
+) o sulfisoxazolona (
+\begin_inset Formula $.64$
+\end_inset
+
+)
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, donde los números indican la posibilidad de que el organismo aislado en
+ el hospitar de Stanford sea sensible al fármaco, pero se pueden modificar
+ si el sistema se instala en otro hospital, y puede cambiarlos el propio
+ MYCIN si tiene datos reales relativos a dicho organismo en el paciente
+ o si puede inferirlos de la información sobre los cultivos realizados.
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las reglas
+\family typewriter
+therules
+\family default
+ no son disparadas directamente por el mecanismo de inferencia ya que no
+ se encuentran en ninguna lista
+\family typewriter
+updated-by
+\family default
+ de los parámetros clínicos.
+ El resultado final es una o más listas de posibles fármacos junto a su
+ sensibilidad inferida por MYCIN.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para seleccionar la mejor terapia, se tienen en cuenta la sensibilidad del
+ organismo al fármaco, si se está administrando un fármaco de similar sensibilid
+ad y la cobertura y las contra-indicaciones de los fármacos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Módulo de consulta
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Usa las bases de datos y de conocimiento; un
+\series bold
+diccionario
+\series default
+ para el procesamiento del lenguaje natural para entender las preguntas
+ del usuario;
+\series bold
+listas
+\series default
+ para referenciar variables sin duplicar su contenido, y
+\series bold
+tablas de conocimiento
+\series default
+ que indican qué valores deben tomar ciertos parámetros clínicos bajo ciertas
+ circunstancias.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El proceso de consulta tiene dos pasos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Crear el contexto del paciente como nodo raíz del árbol de contexto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Aplicar las reglas que definen los objetivos principal de dicho contexto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El motor de inferencia usa encaminamiento hacia atrás mediante dos procesos:
+
+\family typewriter
+monitor
+\family default
+, que analiza las premisas de una regla, y
+\family typewriter
+findout
+\family default
+, que deriva el valor de un parámetro de las reglas o preguntando al usuario.
+ Concretamente:
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Monitor
+\family default
+ Evalúa las premisas.
+ Para cada una, si no tiene toda la información para evaluar el parámetro,
+ llama a
+\family typewriter
+findout
+\family default
+ y termina si la premisa resulta no ser cierta (si
+\begin_inset Formula $\text{CF}\leq0.2$
+\end_inset
+
+).
+ Finalmente, si se cumple la premisa (no devuelve
+\family typewriter
+nil
+\family default
+), evalúa las conclusiones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\family typewriter
+Findout
+\family default
+ Si
+\family typewriter
+labdata
+\family default
+ es cierto, primero pregunta el valor al usuario y, si este no lo conoce,
+ ejecuta
+\family typewriter
+monitor
+\family default
+ para cada regla relevante (en
+\family typewriter
+updated-by
+\family default
+).
+ En otro caso primero ejecuta
+\family typewriter
+monitor
+\family default
+ para cada regla relevante y, si esto no consigue el valor (ninguna de las
+ reglas es aplicable) pregunta al usuario.
+ Los valores se guardan en el contexto en la memoria dinámica para no volver
+ a preguntarla o calcularla, en lo que llamamos la
+\series bold
+agenda
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El árbol de contexto se puede extender
+\series bold
+explícitamente
+\series default
+ cuando una regla hace referencia a contextos que no han sido creados, en
+ cuyo caso se ejecuta
+\family typewriter
+findout
+\family default
+ y si se devuelven uno o más valores se crea el nodo, o
+\series bold
+implícitamente
+\series default
+ cuando no hay referencia explícita a un contexto necesario para evaluar
+ una condición o cuando al evaluar una regla no existen los contextos apropiados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se pueden producir bucles por reglas auto-referenciadas, en que un parámetro
+ aparece tanto en la premisa como en la conclusión para aumentar el grado
+ de certeza de la conclusión, y por ciclos en la cadena de razonamiento.
+ Para evitarlo se mantiene una lista de los parámetros que están siendo
+ evaluados por
+\family typewriter
+findout
+\family default
+ y se consideran desconocidos los parámetros en la lista, evitando considerar
+ las reglas que lo tienen en la premisa.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Módulo de explicación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Está formado por:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+RSC
+\series default
+ (
+\series bold
+\emph on
+\lang english
+Reasoning Status Checker
+\series default
+\emph default
+\lang spanish
+): Permite al usuario preguntar, cada vez que se le lanza una pregunta:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+Por qué se ha hecho la pregunta (
+\family typewriter
+why
+\family default
+), para lo que el sistema recorre el árbol de contexto en sentido ascendente
+ para determinar qué reglas y objetivos de más alto nivel se está intentando
+ seguir.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Cómo se ha llegado a cierta conclusión (
+\family typewriter
+how
+\family default
+), para lo que se recorre el árbol en sentido descendente para determinar
+ qué reglas y subobjetivos se han satisfecho.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\series bold
+GQA
+\series default
+ (
+\series bold
+\emph on
+\lang english
+General Question Answerer
+\series default
+\emph default
+\lang spanish
+): Permite consultas en lenguaje natural sobre
+\series bold
+conocimiento estático
+\series default
+, información almacenada de parámetros clínicos, hechos médicamente ciertos,
+ y
+\series bold
+conocimiento dinámico
+\series default
+, conclusiones e información usada en el proceso de consulta, derivada de
+ las reglas y no completamente cierta.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para entender una consulta, se reduce a un conjunto de palabras terminales,
+ se identifica el tipo de consulta según una serie de patrones preestablecidos
+ para decidir si responde el RSC o el GCA.
+ Entonces se determina qué parámetros, valores y pesos son relevantes en
+ la consulta a partir de la información en el diccionario, usando el peso
+ para descartar parámetros no relevantes, se determinan las reglas que pueden
+ responder a la consulta, se eligen las que cumplen las restricciones para
+ los valores de los parámetros y se muestran estas al usuario.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Proceso de evaluación
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se seleccionaron 10 casos clínicos con las condiciones de que no debía haber
+ más de 3 casos de meningitis viral y debería haber como mínimo uno de tuberculo
+sis, uno micótico, uno vírico, uno bacteriano grampositivo y otro bacteriano
+ gramnegativo.
+ Estos se presentaron a MYCIN, 5 médicos docentes, un becario pos-doctoral,
+ un médico residente, un alumno, que recomendaron un tratamiento para cada
+ caso, y las 90 recomendaciones junto a los 10 tratamientos que se prescribieron
+ en realidad se presentaron a cada uno de 8 evaluadores que hicieron sus
+ propias recomendaciones y clasificaron cada una de las 100 como
+\series bold
+equivalente
+\series default
+ si coincide o equivale a la del evaluador,
+\series bold
+alternativa aceptable
+\series default
+ si es distinta pero aceptable o
+\series bold
+no aceptable
+\series default
+ si es inapropiada o inaceptable.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se analizaron las 800 valoraciones con ANOVA para ver si había diferencias
+ estadísticamente significativas entre MYCIN y los otros 9 prescriptores,
+ se usó el test de Tukey para determinar esas diferencias y se hizo lo mismo
+ con los evaluadores.
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El
+\begin_inset Formula $\unit[65]{\%}$
+\end_inset
+
+ de los tratamientos de MYCIN fueron catalogados como aceptables frente
+ a un
+\begin_inset Formula $\unit[55.5]{\%}$
+\end_inset
+
+ entre los 5 médicos docentes, aunque había mucha variabilidad entre ellos
+ con un ratio entre
+\begin_inset Formula $\unit[42.5]{\%}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\unit[62.5]{\%}$
+\end_inset
+
+.
+ Se define
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Incorrectamente.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ el consenso entre evaluadores como que al menos 5 de ellos acepten el mismo
+ tratamiento, y MYCIN dio 7 tratamientos con consenso y 0 fallos frente
+ a una media de
+\begin_inset Formula $4.4$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $0.8$
+\end_inset
+
+ entre los médicos docentes.
+ Esto muestra un rendimiento de MYCIN ligeramente superior al de los miembros
+ del departamento de enfermedades infecciosas del hospital de la universidad
+ de Stanford, pero el estudio es limitado por el reducido número de casos
+ frente a la gran cantidad de posibles infecciones.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+MYCIN no fue usado en la práctica porque los usuarios no se sentían cómodos
+ con la interfaz
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+La cual era horrible.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+ Además, la mayoría de hospitales no tenían mucha potencia de cálculo y
+ la base de conocimiento sólo cubre una pequeña parte del dominio de enfermedade
+s infecciosas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Clasificación heurística
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+William J.
+ Clancey analizó una serie de sistemas expertos para caracterizar el
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+nivel de conocimiento
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Foot
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Aparentemente tenemos que estudiar este término pero no lo que significa.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ y concluyó que casi todos usan lo que llamó
+\series bold
+clasificación heurística
+\series default
+, un proceso de clasificación para relacionar conceptos de dos jerarquías
+ distintas por procedimientos aproximados para problemas en que una gran
+ cantidad de atributos para cada categoría imposibilita una comparación
+ directa.
+ Fases:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Abstracción de datos.
+
+\series default
+ Convertir datos observados en datos abstractos.
+ Tipos de abstracción:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Description
+
+\series bold
+Definicional
+\series default
+ Se definen clases de objetos en base a sus propiedades esenciales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\series bold
+Cualitativa
+\series default
+ Se crean categorías según el valor de medidas cuantitativas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+
+\series bold
+Por
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+generalización
+\series default
+ Jerarquía
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+es-un
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+, recorrida en sentido ascendente.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Equiparación heurística.
+
+\series default
+ Los datos abstractos disparan hipótesis abstractas (categorías generales).
+ La relación entre datos e hipótesis no es uno a uno y puede haber excepciones
+ a las reglas generales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Refinamiento.
+
+\series default
+ Una vez el espacio de soluciones está acotado, se evalúan las subcategorías
+ y se refinan las verosímiles mediante
+\series bold
+clasificación jerárquica
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En el caso de un diagnóstico, se introduce una jerarquía de hipótesis diagnóstic
+as y una de datos, se infieren datos y se definen asociaciones no jerárquicas
+ entre datos y categorías.
+ Se usa una taxonomía de categorías diagnósticas para guiar y focalizar
+ el razonamiento sobre hipótesis diagnósticas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Primero se considera como hipótesis una categoría diagnóstica general, se
+ evalúa la hipótesis y, si es verosímil, se refina en hipótesis más específicas,
+ repitiendo con cada hipótesis específica y parando cuando ninguna hipótesis
+ se puede refinar más.
+ El estado inicial es un conjunto de observaciones iniciales y una hipótesis
+ inicial muy abstracta; el estado final es un conjunto de hipótesis concretas
+ más plausibles, y hay dos subtareas:
+\series bold
+evaluar
+\series default
+ una hipótesis que no se ha evaluado anteriormente para obtener su verosimilitud
+ y
+\series bold
+refinar
+\series default
+ una hipótesis verosímil que no se ha refinado anteriormente para obtener
+ otras más concretas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Resultados
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+MYCIN probó que los SBCs pueden abordar eficientemente problemas complejos
+ en dominios específicos y sentó las bases de este tipo de sistemas: conocimient
+o separado de la resolución; posibilidad de justificar las conclusiones;
+ enfoque en los procesos de evaluación, distintos a los de sistemas convencional
+es; declaración y organización explícita de los elementos de conocimiento
+ usado para describir las reglas, anticipando la importancia de las ontologías,
+ e importancia del proceso de adquisición de conocimiento para el éxito
+ del SBC.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+A partir de MYCIN surgieron muchos proyectos que profundizaron en distintos
+ aspectos básicos de estos sistemas:
+\series bold
+EMYCIN
+\series default
+, un entorno de desarrollo creado a partir del motor de MYCIN y en que se
+ basaron muchos SBC;
+\series bold
+TIERESIAS
+\series default
+, un entorno de adquisición de conocimiento que hacía de intérprete entre
+ los expertos y MYCIN;
+\series bold
+GUIDON
+\series default
+, una extensión de MYCIN para uso formativo;
+\series bold
+ONCOCIN
+\series default
+, un sistema que asignaba protocolos de tratamiento a enfermos de cáncer
+ y los monitorizaba, y
+\series bold
+NEOMYCIN
+\series default
+, sistema resultante de la reorganización de la base de conocimiento de
+ MYCIN para que GUIDON la usara de forma más efectiva.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
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