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@@ -89,7 +89,7 @@ grupo abeliano \begin_inset Formula $(A,+)$ \end_inset - formada por un conjunto + formado por un conjunto \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -151,7 +151,153 @@ producto \end_inset ). +\end_layout + +\begin_layout Standard +El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos +\begin_inset Formula $a-b\coloneqq a+(-b)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $ab\coloneqq a\cdot b$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un anillo y +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, definimos +\begin_inset Formula $0a=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a^{0}=1$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(n+1)a\coloneqq na+a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq a^{n}a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a,b,c\in A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a0=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +pues +\begin_inset Formula $a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0\implies0=a0$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\end_inset + +\begin_inset Formula $-(-a)=a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +pues +\begin_inset Formula $x=-(-a)\implies0=x+(-a)\implies a=x+(-a)+a=x$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a-b=c\iff b+c=a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +pues +\begin_inset Formula $a-b=c\implies a=a-b+b=c+b=b+c$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b+c=a\implies c=-b+b+c=-b+a=a-b$ +\end_inset + +; +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $(a-b)c=ac-bc$ +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues +\begin_inset Formula $(a-b)c+bc=ac-bc+bc=ac\implies ac-bc=(a-b)c$ +\end_inset + +, +\end_layout + +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(-a)b=-(ab)$ +\end_inset + + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues +\begin_inset Formula $(-a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=-ab$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -255,6 +401,10 @@ anillo producto \begin_layout Enumerate Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, \begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$ \end_inset @@ -274,7 +424,7 @@ anillo de las series de potencias \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - se suele escribir con la notación + se suele denotar como \begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$ \end_inset @@ -282,150 +432,81 @@ anillo de las series de potencias \end_layout \begin_layout Standard -El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos -\begin_inset Formula $a-b\coloneqq a+(-b)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $ab\coloneqq a\cdot b$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo y -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, definimos -\begin_inset Formula $0a=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a^{0}=1$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset +\begin_inset ERT +status open -, -\begin_inset Formula $(n+1)a\coloneqq na+a$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - y -\begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq a^{n}a$ -\end_inset -. +\backslash +begin{reminder}{ga} \end_layout -\begin_layout Standard -Dados un anillo -\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a,b,c\in A$ -\end_inset -, -\begin_inset Formula $a0=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -pues -\begin_inset Formula $a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0\implies0=a0$ -\end_inset - -; \end_layout +\begin_layout Standard +Llamamos +\begin_inset Formula $Y^{X}$ \end_inset - -\begin_inset Formula $-(-a)=a$ + al conjunto de funciones de +\begin_inset Formula $X$ \end_inset -, -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -pues -\begin_inset Formula $x=-(-a)\implies0=x+(-a)\implies a=x+(-a)+a=x$ + a +\begin_inset Formula $Y$ \end_inset -; -\end_layout - +. + [...] Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - -\begin_inset Formula $a-b=c\iff b+c=a$ + es un anillo [...], +\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ \end_inset -, -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -pues -\begin_inset Formula $a-b=c\implies a=a-b+b=c+b=b+c$ + es un anillo [...]. + Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b+c=a\implies c=-b+b+c=-b+a=a-b$ + es un anillo y +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -; -\end_layout - + es un entero positivo, el conjunto +\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ \end_inset - -\begin_inset Formula $(a-b)c=ac-bc$ + de matrices cuadradas en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $(a-b)c+bc=ac-bc+bc=ac\implies ac-bc=(a-b)c$ + de tamaño +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -, + es un anillo con la suma y el producto habituales. \end_layout -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(-a)b=-(ab)$ -\end_inset - - -\begin_inset Note Comment +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $(-a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=-ab$ -\end_inset +\backslash +end{reminder} \end_layout \end_inset -. + \end_layout \begin_layout Standard @@ -551,7 +632,7 @@ Un \series bold isomorfismo de anillos \series default - es un homomorfismo biyectivo, y entonces su inversa es un homomorfismo. + es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo. En efecto, sea \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -621,7 +702,7 @@ trivial \begin_inset Formula $0$ \end_inset -, al único con un solo elemento, o en el que +, al único con un solo elemento, o el único con \begin_inset Formula $1=0$ \end_inset @@ -870,7 +951,19 @@ nilpotente \begin_inset Formula $a^{n}=0$ \end_inset -, en cuyo caso es divisor de 0, pues tomando el menor +, en cuyo caso, si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + no es trivial, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es divisor de cero, pues el 0 es claramente divisor de cero y, si +\begin_inset Formula $a\neq0$ +\end_inset + +, tomando el menor \begin_inset Formula $n$ \end_inset @@ -904,11 +997,12 @@ nilradical \end_inset nilpotentes. - El 1 es invertible y no nilpotente, y si + El 1 es invertible. + El 0 es nilpotente y, si \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es no trivial, el 0 es nilpotente y no unidad. + es no trivial, es no unidad. \end_layout \begin_layout Standard @@ -941,7 +1035,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $u+a\in U(A)$ +\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ \end_inset . @@ -1070,7 +1164,7 @@ Si \begin_inset Formula $m<0$ \end_inset - entonces +, \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}$ \end_inset @@ -1086,7 +1180,7 @@ Si \begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$ \end_inset - entonces +, \begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$ \end_inset @@ -1198,6 +1292,418 @@ cuerpo \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + +Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular + lo es todo dominio finito. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a,b\in D$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + +\series bold +divide a +\series default + +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es +\series bold +divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + es +\series bold +múltiplo +\series default + de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\mid b$ +\end_inset + +, si existe +\begin_inset Formula $c\in D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset + +. + Esta relación es reflexiva y transitiva, y para +\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $a\mid b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\mid c$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ +\end_inset + +. + Dos elementos +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son +\series bold +asociados +\series default + si +\begin_inset Formula $a\mid b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\mid a$ +\end_inset + +, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $b=au$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $b=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + + y tomamos +\begin_inset Formula $u=1$ +\end_inset + +. + En otro caso, sean +\begin_inset Formula $c,d\in D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $bd=a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $dc=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + es unidad. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo [...] y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es +\series bold +irreducible +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ +\end_inset + +, y es +\series bold +primo +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un dominio, todo primo es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Irreducible en un dominio no implica primo. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un anillo [...] +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S\subseteq A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + es un +\series bold +máximo común divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\end_inset + +[ +\begin_inset Formula $=\gcd S$ +\end_inset + +], si divide a cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un +\series bold +mínimo común múltiplo +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset + +[ +\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ +\end_inset + +], si es múltiplo de cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y divide a cada elemento que cumple esto. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +dominio de factorización única +\series default + (DFU) es un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + en el que, para +\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$ +\end_inset + + irreducibles con +\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$ +\end_inset + + son irreducibles con +\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $n=m$ +\end_inset + + y existe una permutación +\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$ +\end_inset + + tal que cada +\begin_inset Formula $b_{i}$ +\end_inset + + es asociado a +\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$ +\end_inset + +. + Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. + También lo son +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + y los anillos de polinomios sobre un DFU. +\end_layout + +\begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $n\geq2$ \end_inset @@ -1262,7 +1768,11 @@ Si fuera \begin_inset Formula $r$ \end_inset - es divisor de 0. + es divisor de cero. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -1400,7 +1910,7 @@ Sea \end_inset y este a -\begin_inset Formula $r$ +\begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset , luego @@ -1431,18 +1941,15 @@ Sea \begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset - Obvio. + Visto. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - Si -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - no fuera primo, existen + Probamos el contrarrecíproco. + Si existen \begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -1454,7 +1961,7 @@ Sea \begin_inset Formula $n=pq$ \end_inset -, luego +, \begin_inset Formula $p$ \end_inset @@ -1614,410 +2121,6 @@ La descomposición en primos de \end_layout \end_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - -Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular - lo es todo dominio finito. -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a,b\in D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - -\series bold -divide a -\series default - -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es -\series bold -divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - o -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - es -\series bold -múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - -, si existe -\begin_inset Formula $c\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $ac=b$ -\end_inset - -. - Esta relación es reflexiva y transitiva, y para -\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\mid c$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ -\end_inset - -. - Dos elementos -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son -\series bold -asociados -\series default - si -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\mid a$ -\end_inset - -, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $b=au$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $b=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=0$ -\end_inset - - y tomamos -\begin_inset Formula $u=1$ -\end_inset - -. - En otro caso, sean -\begin_inset Formula $c,d\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $ac=b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $bd=a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $dc=1$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $c$ -\end_inset - - es unidad. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo [...] y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es -\series bold -irreducible -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ -\end_inset - -, y es -\series bold -primo -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, todo primo es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Irreducible en un dominio no implica primo. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un anillo [...] -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $S\subseteq A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es un -\series bold -máximo común divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -, si divide a cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un -\series bold -mínimo común múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - -, si es múltiplo de cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y divide a cada elemento que cumple esto. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\series bold -dominio de factorización única -\series default - (DFU) es un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - en el que, para -\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ -\end_inset - -, existen -\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$ -\end_inset - - irreducibles con -\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$ -\end_inset - -, y si -\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$ -\end_inset - - son irreducibles con -\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $n=m$ -\end_inset - - y existe una permutación -\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$ -\end_inset - - tal que cada -\begin_inset Formula $b_{i}$ -\end_inset - - es asociado con -\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$ -\end_inset - -. - Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. - También lo son -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - y los anillos de polinomios sobre un DFU. -\end_layout - \begin_layout Section Subanillos \end_layout @@ -2066,7 +2169,7 @@ subanillo \begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset - Basta tomar el homomorfismo identidad. + Basta tomar el homomorfismo inclusión. \end_layout \begin_layout Description @@ -2169,11 +2272,11 @@ anillo \end_inset , -\begin_inset Formula $A[x]$ +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset , es el subanillo de -\begin_inset Formula $A\llbracket x\rrbracket$ +\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket$ \end_inset formado por las series con una cantidad finita de elementos no nulos, y @@ -2182,7 +2285,7 @@ anillo \end_inset es un subanillo de -\begin_inset Formula $A[x]$ +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset identificando @@ -2381,11 +2484,11 @@ Sean \begin_inset Formula $a\equiv a',b\equiv b'\in A$ \end_inset -, sean +, entonces \begin_inset Formula $x\coloneqq a-a',y\coloneqq b-b'\in I$ \end_inset -, entonces +, luego \begin_inset Formula $a+b=a'+x+b'+y=a'+b'+(x+y)$ \end_inset @@ -2417,11 +2520,11 @@ Sean es un anillo con los neutros y simétricos indicados. Además, -\begin_inset Formula $p(1)=[1]$ +\begin_inset Formula $p(1)=\overline{1}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $p(a+b)=[a+b]=[a]+[b]=p(a)+p(b)$ +\begin_inset Formula $p(a+b)=\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}=p(a)+p(b)$ \end_inset y del mismo modo @@ -2429,7 +2532,7 @@ Sean \end_inset , y -\begin_inset Formula $p(x)=[x]=0\iff x-0=x\in I$ +\begin_inset Formula $p(x)=\overline{x}=0\iff x-0=x\in I$ \end_inset . @@ -2465,7 +2568,7 @@ ideal impropio \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, que es el único que contiene una unidad. +, el único que contiene una unidad. En efecto, si \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset @@ -2482,6 +2585,10 @@ ideal impropio \begin_inset Formula $a=(au^{-1})u\in I$ \end_inset +, luego +\begin_inset Formula $I=A$ +\end_inset + . \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ @@ -2520,27 +2627,6 @@ Dados anillos \end_inset . - Si -\begin_inset Formula $e\in A$ -\end_inset - - es idempotente, para -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $(e)$ -\end_inset - - es un anillo con identidad -\begin_inset Formula $e$ -\end_inset - -. \begin_inset ERT status open @@ -2557,7 +2643,7 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Standard -La intersección de toda familia de ideales de +La intersección de una familia de ideales de \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -2581,7 +2667,7 @@ ideal de \end_inset generado por -\begin_inset Formula $G$ +\begin_inset Formula $S$ \end_inset @@ -2589,7 +2675,7 @@ ideal de a \begin_inset Formula \[ -(S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A:G\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}}, +(S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A:S\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}}, \] \end_inset @@ -2718,7 +2804,7 @@ ideal principal \begin_inset Formula $b'\mid b$ \end_inset - y en un dominio +, y en un dominio \begin_inset Formula $(b)=(b')$ \end_inset @@ -2767,8 +2853,29 @@ Dado un anillo \begin_inset Formula $(X,Y)$ \end_inset - no es principal de -\begin_inset Formula $A[X,Y]$ + no es un ideal principal de +\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $e\in A$ +\end_inset + + es idempotente, para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $(e)$ +\end_inset + + es un anillo con identidad +\begin_inset Formula $e$ \end_inset . @@ -2815,15 +2922,19 @@ Dado \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset -, si existe +, si +\begin_inset Formula $I\neq0$ +\end_inset + +, existe \begin_inset Formula $e\in I\setminus\{0\}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $1=e^{-1}e\in I$ +, pero +\begin_inset Formula $e$ \end_inset - e + es unidad, luego \begin_inset Formula $I=A$ \end_inset @@ -2875,12 +2986,12 @@ Un \series bold dominio de ideales principales \series default - (DIP) es uno en que todos los ideales son principales, como + (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales, como \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[x]$ +\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ \end_inset para todo cuerpo @@ -2981,8 +3092,8 @@ Dados subconjuntos \end_inset . - Si -\begin_inset Formula $S_{1}\eqqcolon\{a\}$ + Para +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , llamamos @@ -3019,50 +3130,7 @@ Dados subconjuntos \end_layout \begin_layout Standard -El -\series bold -ideal suma -\series default - de -\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ -\end_inset - - es el ideal -\begin_inset Formula $I+J$ -\end_inset - - -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -, pues si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $x,x'\in I$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $y,y'\in J$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $(x+y)+(x'+y')=(x+x')+(y+y')\in I+J$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a(x+y)=ax+ay\in I+J$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -. - Si +Si \begin_inset Formula $S_{1},S_{2}\subseteq A$ \end_inset @@ -3070,10 +3138,6 @@ status open \begin_inset Formula $(S_{1})+(S_{2})=(S_{1}\cup S_{2})$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $I+J=(I\cup J)$ -\end_inset - . \begin_inset Note Comment status open @@ -3188,7 +3252,19 @@ Sea \end_inset + Llamamos +\series bold +ideal suma +\series default + de +\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $I+J=(I\cup J)$ +\end_inset +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -3273,7 +3349,7 @@ ideal producto es \begin_inset Formula \[ -IJ\coloneqq(I\cdot J)=\{x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}\}_{n\in\mathbb{N},x\in I^{n},y\in J^{n}}\subseteq I\cap J. +IJ\coloneqq(I\cdot J)=\{x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}\}_{x_{i}\in I,y_{i}\in J,\forall i}\subseteq I\cap J. \] \end_inset @@ -3353,6 +3429,32 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +Llamamos +\begin_inset Formula $I^{0}\coloneqq A$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $I^{n+1}\coloneqq II^{n}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +Here +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $S_{1},S_{2}\subseteq A$ \end_inset @@ -3397,23 +3499,19 @@ Usando combinaciones lineales, los elementos de \begin_inset Formula $y_{j}\in S_{2}$ \end_inset -, pero entonces +, pero \begin_inset Formula $x_{i}y_{j}\in S_{1}\cdot S_{2}$ \end_inset - y, como -\begin_inset Formula $(S_{1}\cdot S_{2})$ -\end_inset - - es un ideal, -\begin_inset Formula $(a_{i}b_{j})(x_{i}y_{j})$ + y por tanto +\begin_inset Formula $a_{i}b_{j}x_{i}y_{j}$ \end_inset está en \begin_inset Formula $(S_{1}\cdot S_{2})$ \end_inset - y la suma de estos elementos también. +, y la suma de elementos de este tipo también. \end_layout \begin_layout Itemize |