1 files changed, 1461 insertions, 0 deletions
diff --git a/ac/n3.lyx b/ac/n3.lyx
new file mode 100644
index 0000000..0293687
--- /dev/null
+++ b/ac/n3.lyx
@@ -0,0 +1,1461 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Dado un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, un 
+\series bold
+módulo
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ o 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ es una terna 
+\begin_inset Formula $(M,+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ donde 
+\begin_inset Formula $(M,+)$
+\end_inset
+
+ es un grupo abeliano y 
+\begin_inset Formula $\cdot:A\times M\to M$
+\end_inset
+
+ es una operación llamada 
+\series bold
+producto por escalares
+\series default
+ tal que para 
+\begin_inset Formula $a,b\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m,n\in M$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $1m=m$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(ab)m=a(bm)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(a+b)m=am+bm$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a(m+n)=am+an$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0m=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $1m=(1+0)m=1m+0m$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a0=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $a0=a(0+0)=a0+a0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $-(am)=(-a)m=a(-m)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $am+(-a)m=(a-a)m=0m=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $am+a(-m)=a(m-m)=a0=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $_{A}\text{Mod}$
+\end_inset
+
+ a la clase de los módulos sobre 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado un cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, la clase de espacios vectoriales sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $_{K}\text{Vect}=_{K}\text{Mod}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La clase de grupos abelianos es 
+\begin_inset Formula $\text{GrAb}=_{\mathbb{Z}}\text{Mod}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+Un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+-módulo es un grupo abeliano con un producto por escalares de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ y este producto debe cumplir 
+\begin_inset Formula $(a+1)m=am+a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(-a)m=a(-m)$
+\end_inset
+
+, por lo que se puede definir de una y sólo una forma.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Llamamos 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo regular
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $_{A}A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Llamamos 
+\series bold
+anulador
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $X\subseteq A$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\coloneqq\{m\in M:Xm=0\}\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\{M_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es una familia de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulos, 
+\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}M_{i}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo con las operaciones componente a componente, y también lo es la
+ 
+\series bold
+suma directa
+\series default
+ (
+\series bold
+externa
+\series default
+) 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\bigoplus_{i\in I}M_{i}\coloneqq\left\{ x\in\prod_{i\in I}M_{i}:\{i\in I:x_{i}\neq0\}\text{ finito}\right\} .
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dados un conjunto 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ y un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\begin_inset Formula $M^{I}\coloneqq\prod_{i\in I}M$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $M^{(I)}\coloneqq\bigoplus_{i\in I}M$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo libre de rango 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$
+\end_inset
+
+, que si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo es el espacio vectorial 
+\begin_inset Formula $A^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Submódulos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $N\subseteq_{A}M$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+submódulo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ o un 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-submódulo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+, si es un subgrupo de 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ cerrado para el producto por escalares, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $0\in N$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ es cerrado para 
+\series bold
+combinaciones 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineales
+\series default
+, en cuyo caso 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ es un módulo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $N\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y, para 
+\begin_inset Formula $n\in N$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $1n=(1+0)n=1n+0n\implies0n=0\in N$
+\end_inset
+
+, y es claro que es cerrado para combinaciones 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Claramente es cerrado para la suma y el producto, y también para el opuesto
+ porque si 
+\begin_inset Formula $n\in N$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $-n=(-1)n\in N$
+\end_inset
+
+, ya que 
+\begin_inset Formula $n+(-1)n=(1-1)n=0n=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}M)$
+\end_inset
+
+ al conjunto de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-submódulos de 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ ordenado por inclusión, que es un retículo en la que el ínfimo es la intersecci
+ón y el supremo es la suma.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+TODO definida más adelante.
+ Añadir demostración.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado un cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-submódulo es un subespacio vectorial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+-submódulo es un subgrupo abeliano.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo módulo 
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ tiene al menos los submódulos 0 y 
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+, y puede no haber más.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_{2}$
+\end_inset
+
+ no tiene más.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Los submódulos del módulo regular son los ideales, 
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}A)={\cal L}(A)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es subanillo de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo tomando como producto por escalares el producto en 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+ En general 
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}B)\neq{\cal L}(_{B}B)$
+\end_inset
+
+.
+ Por ejemplo, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ solo tiene dos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+-submódulos (sus ideales) pero tiene muchos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+-submódulos (sus subgrupos), y dados un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{f\in A[X]:\text{gr}f\leq n\}$
+\end_inset
+
+ es un submódulo de 
+\begin_inset Formula $_{A}A[X]$
+\end_inset
+
+ pero no de 
+\begin_inset Formula $_{A[X]}A[X]$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}M_{i}\leq_{A}\prod_{i\in I}M_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $M/N\coloneqq\{\overline{m}\coloneqq m+N\}_{m\in M}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo con la suma y el producto heredados, el 
+\series bold
+módulo cociente
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para 
+\begin_inset Formula $m,m',n,n'\in M$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $m-m',n-n'\in N$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\overline{m}+\overline{n}=\overline{m+n}=\overline{m+n+(m'-m+n'-n)}=\overline{m'+n'}=\overline{m'}+\overline{n'}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a\overline{m}=\overline{am}=\overline{am+a(m'-m)}=\overline{am'}=a\overline{m'}$
+\end_inset
+
+, por lo que las operaciones están bien definidas, y es fácil ver que se
+ cumplen los axiomas de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Dado un cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, el módulo cociente de 
+\begin_inset Formula $_{K}V$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $U\leq_{K}V$
+\end_inset
+
+ es el espacio vectorial cociente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+El módulo cociente de 
+\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}G$
+\end_inset
+
+ por 
+\begin_inset Formula $H\leq_{\mathbb{Z}}G$
+\end_inset
+
+ es el grupo cociente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Homomorfismos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+homomorfismo de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulos
+\series default
+, 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo
+\series default
+ o 
+\series bold
+aplicación 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineal
+\series default
+ entre 
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $_{A}N$
+\end_inset
+
+ es un homomorfismo de grupos abelianos 
+\begin_inset Formula $f:M\to N$
+\end_inset
+
+ que conserva el producto por escalares, y llamamos 
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{A}(M,N)$
+\end_inset
+
+ al conjunto de los 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismos de 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+, que es un grupo abeliano con la suma.
+ El 
+\series bold
+núcleo
+\series default
+ de un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $\ker f\coloneqq f^{-1}(0)$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectivo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\ker f=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $f(x)=0=f(0)\implies x=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies f(a-b)=0\implies a-b=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $M'\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(M')\leq_{A}N$
+\end_inset
+
+, y en particular 
+\begin_inset Formula $f(M)\leq_{A}N$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f(M')$
+\end_inset
+
+ contiene al 
+\begin_inset Formula $0=f(0)$
+\end_inset
+
+ y sus combinaciones 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineales son la imagen de combinaciones 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-lineales en 
+\begin_inset Formula $M'$
+\end_inset
+
+, que están en 
+\begin_inset Formula $M'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $N'\leq_{A}N$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(N')\leq_{A}M$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $f^{-1}(N')$
+\end_inset
+
+ contiene al 
+\begin_inset Formula $0=f^{-1}(N')$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{k}\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m_{1},\dots,m_{k}\in f^{-1}(N')$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(a_{1}m_{1}+\dots+a_{k}m_{k})=a_{1}f(m_{1})+\dots+a_{k}f(m_{k})\in N'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+La composición de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismos es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un homomorfismo es un 
+\series bold
+monomorfismo
+\series default
+ si es inyectivo, un 
+\series bold
+epimorfismo
+\series default
+ si es suprayectivo y un 
+\series bold
+isomorfismo
+\series default
+ si es biyectivo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las proyecciones canónicas 
+\begin_inset Formula $M\to M/N$
+\end_inset
+
+ son epimorfismos.
+ Los inversos de isomorfismos son isomorfismos, y se dice que los módulos
+ involucrados son 
+\series bold
+isomorfos
+\series default
+.
+ En efecto, si 
+\begin_inset Formula $f:M\to N$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-isomorfismo, 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n,n'\in N$
+\end_inset
+
+ con imágenes por 
+\begin_inset Formula $f^{-1}$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $m,m'\in M$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(m+m')=f(m)+f(m')=n+n'$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(n+n')=m+m'=f^{-1}(n)+f^{-1}(n')$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(am)=af(m)=an$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(an)=am=af^{-1}(n)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+En un cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-homomorfismo es una aplicación lineal.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+-homomorfismo es un homomorfismo de grupos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{2},\mathbb{Z}_{3})=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Restricción de escalares
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un homomorfismo de anillos 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+, cada 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+-módulo 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo definiendo 
+\begin_inset Formula $am\coloneqq f(a)m$
+\end_inset
+
+, lo que se conoce como 
+\series bold
+restricción de escalares
+\series default
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{B}(M,N)\subseteq\text{Hom}_{A}(M,N)$
+\end_inset
+
+ y ambos son igualdades cuando 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectivo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Todo 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+-submódulo de 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-submódulo, y todo 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+-homomorfismo 
+\begin_inset Formula $h:M\to N$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo ya que 
+\begin_inset Formula $h(a\cdot_{_{A}M}m)=h(f(a)\cdot_{_{B}M}m)=f(a)\cdot_{_{B}N}h(m)=a\cdot_{_{A}N}h(m)$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectivo, si 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+-submódulo, para 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $s\in S$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(a)=b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $bs=f(a)s=as\in B$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $h:M\to N$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo, es un homomorfismo de grupos abelianos y, para 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m\in M$
+\end_inset
+
+, sea 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(a)=b$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $h(bm)=h(am)=ah(m)=bh(m)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Ejemplos:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es el único homomorfismo de anillos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\to A$
+\end_inset
+
+, la restricción de escalares de un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo es el grupo abeliano subyacente, y la de un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-homomorfismo es el homomorfismo de los grupos abelianos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\iota:A\hookrightarrow B$
+\end_inset
+
+ es una inclusión, restringir escalares es limitarse a considerar escalares
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{\mathbb{R}[X]}(\mathbb{R}[X],\mathbb{R}[X])\subsetneq\text{Hom}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[X],\mathbb{R}[X])$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+La inclusión es por restricción de escalares con la inclusión, y la derivada
+ es un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+-homomorfismo (lleva 0 a 0 y conserva sumas y producto por escalares de
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+) pero no es un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
+\end_inset
+
+-homomorfismo (no conserva producto por 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $_{A/I}\text{Mod}\equiv\{M\in_{A}\text{Mod}:IM=0\}$
+\end_inset
+
+ por la biyección 
+\begin_inset Formula 
+\[
+(M,+,\cdot)\mapsto(M,+,(a,m)\mapsto\overline{a}m),
+\]
+
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/I}M)={\cal L}(_{A}M)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{Hom}_{A/I}(M,N)=\text{Hom}_{A}(M,N)$
+\end_inset
+
+.
+ En particular los 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\end_inset
+
+-módulos son grupos abelianos 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $nM=0$
+\end_inset
+
+ y, si 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es primo, los 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
+\end_inset
+
+-espacios vectoriales son grupos abelianos con 
+\begin_inset Formula $pM=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $_{A/I}M$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+-módulo por restricción de escalares en la proyección canónica 
+\begin_inset Formula $A\to A/I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $am=\overline{a}m$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $IM=\overline{0}M=0$
+\end_inset
+
+ y las igualdades se tienen porque la proyección canónica es suprayectiva.
+ Si 
+\begin_inset Formula $_{A}M$
+\end_inset
+
+ cumple 
+\begin_inset Formula $IM=0$
+\end_inset
+
+, el producto 
+\begin_inset Formula $\overline{a}m\coloneqq am$
+\end_inset
+
+ está bien definido y convierte a 
+\begin_inset Formula $M$
+\end_inset
+
+ en un 
+\begin_inset Formula $(A/I)$
+\end_inset
+
+-módulo.
+ Estos procesos son uno inverso del otro.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo, 
+\begin_inset Formula $_{\mathbb{K}[X]}\text{Mod}\equiv\prod_{V\in_{\mathbb{K}}\text{Vect}}\text{End}_{\mathbb{K}}(V)$
+\end_inset
+
+ por la biyección
+\begin_inset Formula 
+\[
+(V,+,\cdot)\mapsto((V,+,\cdot),v\mapsto Xv),
+\]
+
+\end_inset
+
+y los 
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
+\end_inset
+
+-submódulos de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son sus 
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+-subespacios vectoriales 
+\series bold
+
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+-invariantes
+\series default
+ siendo 
+\begin_inset Formula $f(v)\coloneqq vX$
+\end_inset
+
+, es decir, los 
+\begin_inset Formula $W\leq V$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(W)\subseteq W$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+TODO
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_body
+\end_document