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@@ -549,1176 +549,6 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Section -Grupos abelianos -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\series bold -orden -\series default - de [un grupo] -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - al cardinal del conjunto. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo, -\begin_inset Formula $(A,+)$ -\end_inset - - es su -\series bold -grupo aditivo -\series default -, que es abeliano, y -\begin_inset Formula $(A^{*},\cdot)$ -\end_inset - - es su -\series bold -grupo de unidades -\series default -, que es abeliano cuando el anillo es conmutativo. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\series bold -orden -\series default - de -\begin_inset Formula $a\in G$ -\end_inset - - al orden de -\begin_inset Formula $\langle a\rangle$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $|a|\coloneqq|\langle a\rangle|$ -\end_inset - -, y escribimos -\begin_inset Formula $\langle a\rangle_{n}$ -\end_inset - - para referirnos a -\begin_inset Formula $\langle a\rangle$ -\end_inset - - indicando que tiene orden -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -. - El orden de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - divide al de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to G$ -\end_inset - - el homomorfismo dado por -\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq a^{n}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\ker f=n\mathbb{Z}$ -\end_inset - - para algún -\begin_inset Formula $n\geq0$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $n=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es inyectivo y -\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},+)\cong\langle a\rangle$ -\end_inset - -, y en otro caso -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\cong\langle a\rangle$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $n=|a|$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a^{n}=1\iff|a|\mid n$ -\end_inset - -. - De aquí, -\begin_inset Formula $a^{k}=a^{l}\iff k\equiv l\bmod n$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $|a|$ -\end_inset - - es el menor entero positivo con -\begin_inset Formula $a^{n}=1$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - tiene orden finito y -\begin_inset Formula $n>0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula -\[ -|a^{n}|=\frac{|a|}{\text{mcd}\{|a|,n\}}. -\] - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $G=\langle a\rangle$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - tiene orden infinito, -\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z},+)\cong C_{\infty}$ -\end_inset - - y los subgrupos de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - son los -\begin_inset Formula $\langle a^{n}\rangle$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $|G|=n$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z}_{n},+)\cong C_{n}$ -\end_inset - - y los subgrupos de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - son exactamente uno de orden -\begin_inset Formula $d$ -\end_inset - - por cada -\begin_inset Formula $d\mid n$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\langle a^{n/d}\rangle_{d}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Todos los subgrupos y grupos cociente de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - son cíclicos. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así, si -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}$ -\end_inset - - es primo, todos los grupos de orden -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - son isomorfos a -\begin_inset Formula $(\mathbb{Z}_{p},+)$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $G=\langle g_{1},\dots,g_{n}\rangle$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $N\unlhd G$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $G/N=\langle g_{1}N,\dots,g_{n}N\rangle$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Teorema chino de los restos para grupos: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - - son subgrupos cíclicos de órdenes respectivos -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $G\times H$ -\end_inset - - es cíclico si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - son coprimos. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $g,h\in G$ -\end_inset - - tienen órdenes respectivos -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - coprimos y -\begin_inset Formula $gh=hg$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $\langle g,h\rangle$ -\end_inset - - es cíclico de orden -\begin_inset Formula $nm$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un grupo -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in G$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -conjugado -\series default - de -\begin_inset Formula $g\in G$ -\end_inset - - por -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $g^{a}\coloneqq a^{-1}ga$ -\end_inset - -, y conjugado de -\begin_inset Formula $X\subseteq G$ -\end_inset - - por -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $X^{a}\coloneqq\{x^{a}\}_{x\in X}$ -\end_inset - -. - Dos elementos -\begin_inset Formula $x,y\in G$ -\end_inset - - o conjuntos -\begin_inset Formula $x,y\subseteq G$ -\end_inset - - son -\series bold -conjugados -\series default - en -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - si existe -\begin_inset Formula $a\in G$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $x^{a}=y$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $a\in G$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -automorfismo interno -\series default - definido por -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - al automorfismo -\begin_inset Formula $\iota_{a}:G\to G$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula $\iota_{a}(x)\coloneqq x^{a}$ -\end_inset - -. - Su inverso es -\begin_inset Formula $\iota_{a^{-1}}$ -\end_inset - -. - El conjugado por -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - de un subgrupo de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - es otro subgrupo de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - del mismo orden. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\forall g,a,b\in G,g^{ab}=(g^{a})^{b}$ -\end_inset - -, y [...] la relación de ser conjugados es de equivalencia. - Las clases de equivalencia se llaman -\series bold -clases de conjugación -\series default - de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - -, y llamamos -\begin_inset Formula $a^{G}\coloneqq[a]=\{a^{g}\}_{g\in G}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - un conjunto. - Una -\series bold -acción por la izquierda -\series default - de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - es una función -\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\forall x\in X,(\forall g,h\in G,(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\land1\cdot x=x)$ -\end_inset - -, y una -\series bold -acción por la derecha -\series default - de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - es una función -\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\forall x\in X,(\forall g,h\in G,x\cdot(gh)=(x\cdot g)\cdot h\land x\cdot1=x)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ -\end_inset - - es una acción por la izquierda de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $x\in X$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -órbita -\series default - de -\begin_inset Formula $x$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $G\cdot x\coloneqq\{g\cdot x\}_{g\in G}$ -\end_inset - - y -\series bold -estabilizador -\series default - de -\begin_inset Formula $x$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$ -\end_inset - - es una acción por la derecha de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $x\in X$ -\end_inset - -, llamamos órbita de -\begin_inset Formula $x$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $x\cdot G\coloneqq\{x\cdot g\}_{g\in G}$ -\end_inset - - y estabilizador de -\begin_inset Formula $x$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq\{g\in G\mid x\cdot g=x\}$ -\end_inset - -. - Las órbitas forman una partición de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Llamamos -\series bold -acción por traslación a la izquierda -\series default - a la acción por la izquierda de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $G/H$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $g\cdot xH=gxH$ -\end_inset - -. - Entonces -\begin_inset Formula $G\cdot xH=G/H$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula -\[ -\text{Estab}_{G}(xH)=[...]=H^{x^{-1}}. -\] - -\end_inset - -Análogamente llamamos -\series bold -acción por traslación a la derecha -\series default - a la acción por la derecha de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $H\backslash G$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $Hx\cdot g=Hxg$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Cuando -\begin_inset Formula $H=1$ -\end_inset - -, la acción de traslación es de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - -, con -\begin_inset Formula $G\cdot x=G$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)=1$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -La -\series bold -acción por conjugación -\series default - de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - es la acción por la derecha -\begin_inset Formula $x\cdot g\coloneqq x^{g}$ -\end_inset - -. - Entonces -\begin_inset Formula $x\cdot G=x^{G}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)=C_{G}(x)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - es el conjunto de subgrupos de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - -, la -\series bold -acción por conjugación de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en sus subgrupos -\series default - es la acción por la derecha de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - -\begin_inset Formula $H\cdot g=H^{g}$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - es un conjunto, -\begin_inset Formula $\cdot:S_{n}\times X^{n}\to X^{n}$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $\sigma\cdot(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$ -\end_inset - - es una acción por la izquierda. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ -\end_inset - - una acción por la izquierda, -\begin_inset Formula $H\leq G$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $Y\subseteq X$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $\forall h\in H,y\in Y,h\cdot y\in Y$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\cdot|_{H\times Y}$ -\end_inset - - es una acción por la izquierda de -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $Y$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - un grupo actuando sobre un conjunto -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $x\in X$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $g\in G$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\leq G$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $[G:\text{Estab}_{G}(x)]=|G\cdot x|$ -\end_inset - -. - En particular, si -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - es finito, -\begin_inset Formula $|G\cdot x|\mid|G|$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si la acción es por la izquierda, -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(g\cdot x)=\text{Estab}_{G}(x)^{g^{-1}}$ -\end_inset - -, y si es por la derecha, -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x\cdot g)=\text{Estab}_{G}(x)^{g}$ -\end_inset - -. - En particular, si -\begin_inset Formula $x,g\in G$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $H\leq G$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $C_{G}(x^{g})=C_{G}(x)^{g}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $N_{G}(H^{g})=N_{G}(H)^{g}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $R$ -\end_inset - - es un conjunto irredundante de representantes de las órbitas, -\begin_inset Formula $|X|=\sum_{r\in R}|G\cdot r|=\sum_{r\in R}[G:\text{Estab}_{G}(r)]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así, si -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - es un grupo y -\begin_inset Formula $a\in G$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $|a^{G}|=[G:C_{G}(a)]$ -\end_inset - -, y en particular -\begin_inset Formula $a^{G}$ -\end_inset - - es unipuntual si y sólo si -\begin_inset Formula $a\in Z(G)$ -\end_inset - -. - -\series bold -Ecuación de clases: -\series default - Si -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - es finito y -\begin_inset Formula $X\subseteq G$ -\end_inset - - contiene exactamente un elemento de cada clase de conjugación con al menos - dos elementos, entonces -\begin_inset Formula $|G|=|Z(G)|+\sum_{x\in X}[G:C_{G}(x)]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un número primo -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -, un -\series bold - -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --grupo -\series default - es un grupo en que todo elemento tiene orden potencia de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -, y un grupo finito es un -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --grupo si y sólo si su orden es potencia de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Teorema de Cauchy: -\series default - Si -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - es un grupo finito con orden múltiplo de un primo -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - tiene un elemento de orden -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un grupo finito -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - y un número primo -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $H\leq G$ -\end_inset - - es un -\series bold - -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --subgrupo de Sylow -\series default - de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - si es un -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --grupo y -\begin_inset Formula $[G:H]$ -\end_inset - - es coprimo con -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -, si y sólo si es un -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --grupo y -\begin_inset Formula $|H|$ -\end_inset - - es la mayor potencia de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - que divide a -\begin_inset Formula $|G|$ -\end_inset - -. - Llamamos -\begin_inset Formula $s_{p}(G)$ -\end_inset - - al número de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --subgrupos de Sylow de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Teoremas de Sylow: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - un número primo y -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - un grupo finito de orden -\begin_inset Formula $n\coloneqq p^{k}m$ -\end_inset - - para ciertos -\begin_inset Formula $k,m\in\mathbb{N}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $p\nmid m$ -\end_inset - -. - Entonces: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - tiene al menos un -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --subgrupo de Sylow, que tendrá orden -\begin_inset Formula $p^{k}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - - es un -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --subgrupo de Sylow de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $Q$ -\end_inset - - es un -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --subgrupo de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - -, existe -\begin_inset Formula $g\in G$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $Q\subseteq P^{g}$ -\end_inset - -. - En particular, todos los -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --subgrupos de Sylow de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - son conjugados en -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $s_{p}(G)\mid m$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $s_{p}(G)\equiv1\bmod p$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Section Submódulos de torsión \end_layout @@ -1776,10 +606,13 @@ submódulo de torsión \end_inset a -\begin_inset Formula $t(M)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de torsión}\}\leq_{A}M$ +\begin_inset Formula +\[ +t(M)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de torsión}\}\leq_{A}M. +\] + \end_inset -. En efecto, para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset @@ -1841,10 +674,13 @@ subgrupo de \end_inset a -\begin_inset Formula $M(p)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de }p\text{-torsión}\}\leq_{A}M$ +\begin_inset Formula +\[ +M(p)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de }p\text{-torsión}\}\leq_{A}M. +\] + \end_inset -. En efecto, para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset @@ -2148,7 +984,7 @@ de . \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $G$ \end_inset @@ -2173,73 +1009,115 @@ Si . \end_layout -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $K$ +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ \end_inset - un cuerpo y -\begin_inset Formula $M_{(V,f)}$ +, +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - el -\begin_inset Formula $K[X]$ + y +\begin_inset Formula $_{A}M\coloneqq\frac{A}{(p^{n})}$ \end_inset --módulo asociado a un par -\begin_inset Formula $(V,f)$ +, para +\begin_inset Formula $k\in\{0,\dots,n-1\}$ \end_inset - de un espacio vectorial y un -\begin_inset Formula $K$ + es +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{k})=\frac{(p^{n-k})}{(p^{n})}$ \end_inset --endomorfismo -\begin_inset Formula $V\to V$ + y para +\begin_inset Formula $k\geq n$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $M_{(V,f)}$ + es +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{k})=M$ \end_inset - es de torsión finitamente generado si y sólo si -\begin_inset Formula $_{K}V$ +, y +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p)$ \end_inset - es de dimensión finita, y si -\begin_inset Formula $p\in K[X]$ + es un +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$ \end_inset - es irreducible, -\begin_inset Formula $M_{(V,f)}$ +-espacio vectorial de dimensión 1. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $Q$ \end_inset - es finitamente generado de -\begin_inset Formula $p$ + es el cuerpo de fracciones de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset --torsión si y sólo si -\begin_inset Formula $_{K}V$ + y +\begin_inset Formula $N\leq_{A}Q$ \end_inset - es de dimensión finita y -\begin_inset Formula $p(f)^{m}=0\in\text{End}_{K}(V)$ + es no nulo, +\begin_inset Formula $\frac{Q}{N}$ \end_inset - para cierto -\begin_inset Formula $m>0$ + es un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -. -\begin_inset Foot +-módulo de torsión. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismo +\begin_inset Formula $f:M\to N$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(t(M))\subseteq t(N)$ +\end_inset + +, y la inclusión puede ser estricta incluso cuando +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es un monomorfismo o un epimorfismo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -¿Qué será -\begin_inset Formula $p(f)^{m}$ -\end_inset -? + +\backslash +end{exinfo} \end_layout \end_inset @@ -2248,7 +1126,7 @@ status open \end_layout \begin_layout Section -Parte libre de torsión de un módulo finitamente generado +Parte libre de torsión \end_layout \begin_layout Standard @@ -2706,6 +1584,134 @@ Si \end_layout \end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula ${\cal T}$ +\end_inset + + la clase de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos de torsión y +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + + la de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos libres de torsión: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + + y tanto +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $\frac{N}{M}$ +\end_inset + + están en una de las clases, entonces +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + también. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M\in{\cal T}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $N,\frac{N}{M}\in{\cal T}$ +\end_inset + +, pero esto no se cumple para +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $K,N\leq_{A}M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $K+N$ +\end_inset + + está en una de las clases, +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + están también en la misma. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $K,N\leq_{A}M$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $K,N\in{\cal T}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $K+N\in{\cal T}$ +\end_inset + +, pero esto no se cumple para +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Módulos finitamente generados de \begin_inset Formula $p$ @@ -2814,7 +1820,7 @@ La existencia es por el lema de Zorn. status open \begin_layout Plain Layout -TODO +TODO ejercicio de Saorín. \end_layout \end_inset @@ -2841,7 +1847,7 @@ Si status open \begin_layout Plain Layout -TODO +TODO ejercicio de Saorín. \end_layout \end_inset @@ -2879,7 +1885,7 @@ Si status open \begin_layout Plain Layout -TODO +TODO ejercicio de Saorín. \end_layout \end_inset @@ -3493,7 +2499,10 @@ descomposición indescomponible \end_inset . - +\end_layout + +\begin_layout Standard + \series bold Demostración: \series default @@ -3899,128 +2908,228 @@ Existen enteros \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un grupo cíclico +\begin_inset Formula $\langle a\rangle_{n}$ +\end_inset + + es indescomponible si y sólo si tiene orden potencia de primo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un grupo +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset +, llamamos \series bold -Teoremas de clasificación de endomorfismos de espacios vectoriales: +exponente \series default - Sean -\begin_inset Formula $V$ + o +\series bold +periodo +\series default + de +\begin_inset Formula $G$ \end_inset - un -\begin_inset Formula $K$ +, +\begin_inset Formula $\text{Exp}(G)$ \end_inset --espacio vectorial de dimensión finita y -\begin_inset Formula $f:V\to V$ +, al menor +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - un -\begin_inset Formula $K$ + tal que +\begin_inset Formula $\forall g\in G,g^{n}=1$ +\end_inset + +, o a +\begin_inset Formula $\infty$ \end_inset --endomorfismo: + si este no existe. + [...] \end_layout -\begin_layout Enumerate -Existen -\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{k}\in K[X]$ +\begin_layout Standard +Si un grupo es finito tiene periodo finito, y si tiene periodo finito es + periódico. + Los recíprocos no se cumplen. + Todo +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - mónicos irreducibles distintos y -\begin_inset Formula $n_{ij}\in\mathbb{N}^{*}$ -\end_inset +-grupo es periódico, pero no necesariamente finito. + [...] +\end_layout - para -\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,k\}$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,r_{i}\}$ + es un grupo abeliano, +\begin_inset Formula $B\leq A$ \end_inset -, unívocamente determinados, y vectores -\begin_inset Formula $v_{ij}\in V$ +, +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -, tales que -\begin_inset Formula $\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}K\{f^{s}(v_{ij})\}_{s\geq0}$ +, +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset - es una descomposición de -\begin_inset Formula $V$ + y +\begin_inset Formula $na=0$ \end_inset - en suma directa interna de subespacios vectoriales -\begin_inset Formula $f$ +, en +\begin_inset Formula $A/B$ \end_inset --invariantes y cada -\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}}(v_{ij})=0\neq p_{i}(f)^{n_{ij}-1}(v_{ij})$ + es +\begin_inset Formula $|a+B|\mid|a|$ \end_inset . + En general estos órdenes no coinciden. + [...] \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $M$ +Dados dos grupos abelianos finitos +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - el -\begin_inset Formula $K[X]$ +, una descomposición por suma directa de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulo asociado a -\begin_inset Formula $(V,f)$ + y una de +\begin_inset Formula $B$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $W\leq V$ + son +\series bold +semejantes +\series default + si existe una biyección entre los subgrupos en la descomposición de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $N$ + y la de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + que a cada subgrupo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + le asocia uno de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + isomorfo. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dos grupos abelianos finitos son isomorfos si y sólo si tienen descomposiciones + primarias semejantes, si y sólo si tienen descomposiciones invariantes + semejantes, si y sólo si tienen la misma lista de divisores elementales, + si y sólo si tienen la misma lista de factores invariantes. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + \end_inset - el -\begin_inset Formula $K[X]$ + +\end_layout + +\begin_layout Section +Módulos de torsión finitamente generados +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset --submódulo de + es finitamente generado de torsión, llamamos +\series bold +divisores irreducibles +\series default + de \begin_inset Formula $M$ \end_inset - asociado a -\begin_inset Formula $(W,f|_{W})$ + a los +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ \end_inset -, basta ver que -\begin_inset Formula $N\cong\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}$ + con +\begin_inset Formula $M(p)=0$ \end_inset - si y sólo si existe -\begin_inset Formula $v\in V$ +. + Si además +\begin_inset Formula $M\neq0$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $W=K\{f^{s}(v)_{s\geq0}\}$ + y sus factores invariantes son +\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}}(v)=0\neq p_{i}(f)^{n_{ij}-1}(v)$ +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=(d_{t})$ \end_inset . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +\begin_inset Formula $\subseteq]$ \end_inset @@ -4028,142 +3137,326 @@ status open \end_inset -Sean -\begin_inset Formula $\phi:\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}\to N$ +Para +\begin_inset Formula $a\in\text{ann}_{A}(M)$ \end_inset - el isomorfismo y -\begin_inset Formula $v\coloneqq\phi(\overline{1})$ +, como +\begin_inset Formula $\frac{A}{(d_{t})}$ +\end_inset + + es isomorfo a un sumando directo de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset , -\begin_inset Formula $p_{i}^{n_{ij}}\overline{1}=0$ +\begin_inset Formula $a\frac{A}{(d_{t})}=0$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $a\frac{A}{(d_{t})}=\frac{(a)+(d_{t})}{(d_{t})}=0$ \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $0=p_{i}^{n_{ij}}\phi(\overline{1})=p_{i}^{n_{ij}}v=p_{i}(f)^{n_{ij}}(v)$ +\begin_inset Formula $(a)+(d_{t})\subseteq(d_{t})$ \end_inset - por la definición del -\begin_inset Formula $K[X]$ + y +\begin_inset Formula $a\in(d_{t})$ \end_inset --módulo, pero -\begin_inset Formula $p_{i}^{n_{ij}-1}\overline{1}\neq0$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}-1}(v_{ij})\neq0$ + +\end_layout + \end_inset -. - Finalmente, como -\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}=K\{\overline{1},X\overline{1},\dots,X^{s}\overline{1},\dots\}$ + +\begin_inset Formula $M\cong\bigoplus_{j=1}^{t}\frac{A}{(d_{j})}$ +\end_inset + + y, como cada +\begin_inset Formula $d_{j}\mid d_{t}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $M=K\{f^{s}(v)\}_{s\geq0}$ +\begin_inset Formula $d_{t}M=0$ \end_inset - ya que -\begin_inset Formula $\phi(X^{s}\overline{1})=X^{s}\phi(\overline{1})=f^{s}(v)$ +, luego +\begin_inset Formula $(d_{t})\subseteq\text{ann}_{A}(M)$ \end_inset . \end_layout +\end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +Un +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ + es divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset + si y sólo si lo es de +\begin_inset Formula $d_{t}$ +\end_inset +, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $x\in M\setminus\{0\}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $px=0$ +\end_inset + +. \end_layout +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\iff2]$ \end_inset -Por la hipótesis y la definición de -\begin_inset Formula $N$ + Si +\begin_inset Formula $(p_{ij})_{1\leq i\leq k}^{1\leq j\leq r_{i}}$ +\end_inset + + son los divisores elementales de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset , -\begin_inset Formula $N=(v)$ +\begin_inset Formula $d_{t}=p_{1}^{n_{1r_{1}}}\cdots p_{k}^{n_{kr_{k}}}$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $v$ +, luego los divisores irreducibles son los irreducibles de la factorización + irreducible de +\begin_inset Formula $d_{t}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies3]$ \end_inset - es anulado por -\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}}$ + Si +\begin_inset Formula $M(p)\neq0$ \end_inset - y por tanto hay un epimorfismo -\begin_inset Formula $\psi:\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}\twoheadrightarrow K[X]v=N$ +, sea +\begin_inset Formula $z\in M(p)\setminus\{0\}$ \end_inset con -\begin_inset Formula $\ker\psi\trianglelefteq\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}$ +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(z)=(p^{s})$ \end_inset -, pero los únicos ideales de -\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}$ + y +\begin_inset Formula $s$ \end_inset - son -\begin_inset Formula $(\overline{p_{i}}^{k})$ + mínimo, +\begin_inset Formula $s>0$ +\end_inset + + ya que de lo contrario sería +\begin_inset Formula $(p^{s})=A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $z=1z=0$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $x\coloneqq p^{s-1}z\in M\setminus\{0\}$ +\end_inset + + cumple +\begin_inset Formula $px=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x\in M(p)\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Así, si +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es un grupo abeliano finito, los divisores irreducibles de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + son los +\begin_inset Formula $p>0$ +\end_inset + + que dividen a +\begin_inset Formula $|M|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ +\end_inset + + finitamente generado de torsión, +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + un divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M(p)\cong\bigoplus_{j=0}^{r}\frac{A}{(p^{n_{j}})}$ \end_inset con -\begin_inset Formula $k\in\{0,\dots,n_{ij}\}$ +\begin_inset Formula $0<n_{1}\leq\dots\leq n_{r}$ \end_inset -, y como -\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}-1}(v)\neq0$ +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $0\neq\text{ann}_{M}(p_{i})\subseteq\text{ann}_{M}(p_{i}^{2})\subseteq\dots\subseteq\text{ann}_{M}(p_{i}^{s})\subseteq\dots$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\overline{p_{i}}^{n_{ij}-1}\notin\ker\psi$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}=\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid s\geq n_{r}\}$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $\ker\psi=0$ +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $s\geq n_{r}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M(p)\subseteq\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{s})\subseteq M(p)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\psi$ +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})=M(p)$ \end_inset - es un isomorfismo. +. \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate -Existen polinomios mónicos no constantes -\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$ +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + \end_inset - unívocamente determinados y vectores -\begin_inset Formula $v_{j}\in V$ +Sea +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + el conjunto de la izquierda, queremos ver que si +\begin_inset Formula $s\in X$ \end_inset - tales que -\begin_inset Formula $\bigoplus_{i=1}^{t}\text{span}\{f^{s}(v_{j})\}_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ + entonces +\begin_inset Formula $s+1\in X$ \end_inset - es una descomposición de -\begin_inset Formula $V$ +, de modo que si fuera +\begin_inset Formula $s<n_{r}$ \end_inset - en subespacios -\begin_inset Formula $f$ +, por inducción sería +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})=M(p)\#$ +\end_inset + +. + Sabemos que +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s+1})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{s+2})$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M}(p^{s+2})$ \end_inset --invariantes y cada -\begin_inset Formula $d_{j}(f)(v_{j})=0$ +, +\begin_inset Formula $p^{s+1}(px)=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $px\in\text{ann}_{M}(p^{s+1})=\text{ann}_{M}(p^{s})$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $p^{s+1}x=p^{s}(px)=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M}(p^{s+1})$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M(p)=\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})$ \end_inset . @@ -4172,723 +3465,1809 @@ Existen polinomios mónicos no constantes \begin_deeper \begin_layout Standard Sean +\begin_inset Formula $(q_{i}^{m_{ij}})_{1\leq i\leq k}^{1\leq j\leq r_{i}}$ +\end_inset + + los divisores elementales de \begin_inset Formula $M$ \end_inset - el -\begin_inset Formula $K[X]$ + con +\begin_inset Formula $p=q_{1}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $r=r_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n_{j}=m_{1j}$ +\end_inset + +, hay un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{m_{ir_{i}}}\frac{A}{(q_{i}^{m_{ij}})}\to M$ \end_inset --módulo asociado a -\begin_inset Formula $(V,f)$ +, pero +\begin_inset Formula +\[ +X\coloneqq\text{ann}_{\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{m_{ir_{i}}}\frac{A}{(q_{i}^{m_{ij}})}}(p^{n_{r}})=\bigoplus_{j=1}^{n_{r}}\frac{A}{(p^{n_{j}})} +\] + +\end_inset + + ya que, si +\begin_inset Formula $i\neq1$ \end_inset , -\begin_inset Formula $W\leq V$ +\begin_inset Formula $\text{ann}_{\frac{A}{(q_{i}^{s})}}(p^{n_{j}})=0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $N$ + al ser +\begin_inset Formula $p^{n_{j}}+(q_{i}^{s})$ \end_inset - el -\begin_inset Formula $K[X]$ + una unidad de +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p_{h}^{s})}$ \end_inset --submódulo de -\begin_inset Formula $M$ +, de modo que +\begin_inset Formula +\[ +\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})=\phi(X)=\phi\left(\bigoplus_{j=1}^{n_{r}}\frac{A}{(p^{n_{j}})}\right)=M(p). +\] + \end_inset - asociado a -\begin_inset Formula $(W,f|_{W})$ + +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ \end_inset -, basta ver que -\begin_inset Formula $N\cong\frac{K[X]}{(d_{j})}$ + finitamente generado de torsión, +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ \end_inset - si y sólo si existe -\begin_inset Formula $v\in V$ + un divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $\{f^{s}(v)\}{}_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ + y, para +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - es base de -\begin_inset Formula $W$ +, +\begin_inset Formula $\mu_{h}$ \end_inset - como -\begin_inset Formula $K$ + el número de divisores elementales de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset --espacio vectorial y -\begin_inset Formula $d_{j}(f)(v)=0$ + iguales a +\begin_inset Formula $p^{h}$ \end_inset -. +: \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +Para +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +, +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ \end_inset + es un +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$ +\end_inset +-espacio vectorial. \end_layout +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Como +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -Sean -\begin_inset Formula $\phi:\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}\to N$ + es primo en un DIP, +\begin_inset Formula $(p)$ \end_inset - el isomorfismo y -\begin_inset Formula $v\coloneqq\phi(\overline{1})$ + es maximal, luego +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$ +\end_inset + + es un cuerpo, y el resultado se sigue de que +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + anula a +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $\delta_{h}\coloneqq\dim_{\frac{A}{(p)}}\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $d_{j}\overline{1}=0$ +\begin_inset Formula $\mu_{h}=\delta_{h}-\delta_{h+1}$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $0=d_{j}\phi(\overline{1})=d_{j}v=d_{j}(f)(v)$ +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $n\coloneqq\min\{s>0\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}$ \end_inset -, y como -\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(d_{j})}=K\{\overline{1},X\overline{1},\dots,X^{\text{gr}d_{j}-1}\overline{1}\}$ +. + Para +\begin_inset Formula $h>n$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $(X^{s}\overline{1})_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ +, +\begin_inset Formula $\mu_{h}=0$ \end_inset - linealmente independiente, -\begin_inset Formula $N=K\{f^{s}(v)\}_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ + y, como +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s-1})=\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $(f^{s}(v))_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ +, +\begin_inset Formula $\delta_{h}=\delta_{h+1}$ \end_inset - linealmente independiente. +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +\begin_layout Standard +Sea ahora +\begin_inset Formula $h\leq n$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +. + Si +\begin_inset Formula $\{p=p_{1},\dots,p_{k}\}$ \end_inset + son los divisores irreducibles (distintos) de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset -\end_layout +, entonces +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{h})=\bigoplus_{i=1}^{k}\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$ +\end_inset +. + En efecto, si +\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$ \end_inset +, +\begin_inset Formula $p^{h}x=0$ +\end_inset -\begin_inset Formula $v$ + en +\begin_inset Formula $M(p_{i})$ \end_inset - es anulado por -\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}}$ + y por tanto en +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y por tanto hay un epimorfismo -\begin_inset Formula $\psi:\frac{K[X]}{(d_{j})}\twoheadrightarrow K[X]v=K\{f^{s}(v)\}_{s\in\mathbb{N}}=K\{f^{s}(v)\}_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}=N$ +, y si +\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M}(p^{h})$ \end_inset -, pero si -\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +, si +\begin_inset Formula $x\eqqcolon x_{1}+\dots+x_{k}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\text{gr}p<\text{gr}d_{j}$ + con cada +\begin_inset Formula $x_{i}\in M(p_{i})$ \end_inset - cumple -\begin_inset Formula $\psi(\overline{p})=p(f)(v)=\sum_{i}p_{i}f^{i}(v)=0$ +, entonces +\begin_inset Formula $0=p^{h}x=p^{h}x_{1}+\dots+p^{h}x_{k}$ \end_inset -, como los -\begin_inset Formula $f^{i}(v)$ + y cada +\begin_inset Formula $p^{h}x_{i}=0$ \end_inset - son linealmente independiente, cada -\begin_inset Formula $p_{i}=0$ +, luego +\begin_inset Formula $x\in\bigoplus_{i=1}^{k}\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $p=0$ +. + Pero para +\begin_inset Formula $i>1$ \end_inset -, y como cada elemento de -\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(d_{j})}$ +, si +\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$ \end_inset - tiene un representante de grado menor que el de -\begin_inset Formula $d_{j}$ +, +\begin_inset Formula $p^{h}x=0$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\ker\psi=0$ +\begin_inset Formula $x\in M(p)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\psi$ +\begin_inset Formula $x\in M(p)\cap M(p_{i})=0$ \end_inset - es un isomorfismo. +, luego +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})=0$ +\end_inset + + y queda +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{h})=\text{ann}_{M(p)}(p^{h})$ +\end_inset + +, con lo que podemos suponer +\begin_inset Formula $M=M(p)$ +\end_inset + +. \end_layout -\end_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open +Para +\begin_inset Formula $h\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout +, como +\begin_inset Formula +\[ +M\cong\bigoplus_{i=1}^{n}\left(\frac{A}{(p^{i})}\right)^{\mu_{i}}\eqqcolon M'\oplus\left(\frac{A}{(p^{h})}\right)^{\mu_{h}}\oplus\dots\oplus\left(\frac{A}{(p^{n})}\right)^{\mu_{n}}, +\] +\end_inset -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout +se tiene +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\text{ann}_{M}(p^{n-h}) & =M'\oplus\left(\frac{A}{(p^{h})}\right)^{\mu_{h}}\oplus\left(\frac{(p)}{(p^{h+1})}\right)^{\mu_{h+1}}\oplus\dots\oplus\left(\frac{(p^{n-h})}{(p^{n})}\right)^{\mu_{n}},\\ +\text{ann}_{M}(p^{n-h-1}) & =M'\oplus\left(\frac{(p)}{(p^{h})}\right)^{\mu_{h}}\oplus\left(\frac{(p^{2})}{(p^{h+1})}\right)^{\mu_{h+1}}\oplus\dots\oplus\left(\frac{(p^{n-h+1})}{(p^{n})}\right)^{\mu_{n}}. +\end{align*} \end_inset +El sumando directo +\begin_inset Formula $M''$ +\end_inset -\end_layout + se cancela en +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{n-h})}{\text{ann}_{M}(p^{n-h-1})}$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula +\[ +\frac{\left(\frac{(p^{i})}{(p^{h+i})}\right)^{\mu_{h+i}}}{\left(\frac{(p^{i+1})}{(p^{h+i})}\right)^{\mu_{h+i}}}\cong\left(\frac{(p^{i})}{(p^{i+1})}\right)^{\mu_{h+i}}\cong\left(\frac{A}{(p)}\right)^{\mu_{h+i}}, +\] -\begin_layout Standard -Un grupo cíclico -\begin_inset Formula $\langle a\rangle_{n}$ \end_inset - es indescomponible si y sólo si tiene orden potencia de primo. +con lo que +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{n-h})}{\text{ann}_{M}(p^{n-h-1})}\cong\left(\frac{A}{(p)}\right)^{\mu_{h}+\mu_{h+1}+\dots+\mu_{n}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\delta_{h}=\sum_{i=h}^{n}\mu_{i}$ +\end_inset + +, de donde se obtiene +\begin_inset Formula $\mu_{h}=\delta_{h}-\delta_{h+1}$ +\end_inset + +. \end_layout +\end_deeper \begin_layout Standard -Dado un grupo -\begin_inset Formula $G$ +Sean +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, llamamos -\series bold -exponente -\series default - o + un anillo arbitrario, +\begin_inset Formula $0=M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq\dots\subseteq M_{n}$ +\end_inset + + una cadena de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos y, para +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X_{i}\subseteq M_{i}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\frac{M_{i}}{M_{i-1}}=(\overline{X_{i}})$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $M_{n}=(\bigcup_{i=1}^{n}X_{i})$ +\end_inset + +. + \series bold -periodo +Demostración: \series default - de -\begin_inset Formula $G$ + Si +\begin_inset Formula $n=0$ +\end_inset + + es obvio. + Si +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + +, la proyección canónica +\begin_inset Formula $M_{1}\to\frac{M_{1}}{M_{0}}$ +\end_inset + + es un isomorfismo y ya estaría. + Si +\begin_inset Formula $n>1$ +\end_inset + +, probado esto para +\begin_inset Formula $n-1$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $x\in M_{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\text{Exp}(G)$ +\begin_inset Formula $\overline{x}\in\frac{M_{n}}{M_{n-1}}$ \end_inset -, al menor -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ + se escribe como +\begin_inset Formula $\overline{x}=\sum_{y\in X_{n}}a_{y}\overline{y}$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $\forall g\in G,g^{n}=1$ + con los +\begin_inset Formula $a_{y}\in A$ \end_inset -, o a -\begin_inset Formula $\infty$ + casi todos nulos, de modo que +\begin_inset Formula $x'\coloneqq x-\sum_{y\in X_{n}}a_{y}y\in M_{n-1}$ \end_inset - si este no existe. - [...] + y, como +\begin_inset Formula $x'\in(\bigcup_{i=1}^{n-1}X_{i})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x\in(\bigcup_{i=1}^{n}X_{i})$ +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard -Si un grupo es finito tiene periodo finito, y si tiene periodo finito es - periódico. - Los recíprocos no se cumplen. - Todo +Como +\series bold +teorema +\series default +, si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es finitamente generado de torsión, \begin_inset Formula $p$ \end_inset --grupo es periódico, pero no necesariamente finito. - [...] + es un divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $n\coloneqq\min\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(F_{h})_{h=1}^{n}$ +\end_inset + + es una familia de subconjuntos de +\begin_inset Formula $M(p)$ +\end_inset + + tal que cada +\begin_inset Formula $F_{h}\subseteq\text{ann}_{M}(p^{h})$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula $F_{h}\cup pF_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$ +\end_inset + + es una unión disjunta que induce una base de +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$ +\end_inset + +-espacio vectorial: \end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall x\in\bigcup_{i=1}^{n}F_{h},Ax\cong\frac{A}{(p^{h})}\iff x\in F_{h}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ +\begin_inset Formula $Ax\cong\frac{A}{(p^{h})}$ \end_inset - es un grupo abeliano, -\begin_inset Formula $B\leq A$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)=p^{h}$ +\end_inset + +. + Ahora bien, si +\begin_inset Formula $x\in F_{h}\subseteq\text{ann}_{M}(p^{h})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a\in A$ +\begin_inset Formula $p^{h}\in\text{ann}_{A}(x)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(p^{h})\subseteq\text{ann}_{A}(x)$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $a\in\text{ann}_{A}(x)$ +\end_inset + +, tomando +\begin_inset Formula $a\eqqcolon p^{s}b$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\nmid p$ +\end_inset + +, si fuera +\begin_inset Formula $s<h$ \end_inset , -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\begin_inset Formula $\overline{p^{s}x}\in p^{s}F_{h}$ +\end_inset + + es elemento de una base de +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h-s})}{\text{ann}_{M}(p^{h-s-1})}$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $ax=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\overline{bp^{s}x}=\overline{ax}=0$ +\end_inset + +, se tiene +\begin_inset Formula $\overline{b}=0$ \end_inset y -\begin_inset Formula $na=0$ +\begin_inset Formula $b\in(p)\#$ \end_inset -, en -\begin_inset Formula $A/B$ +, de modo que +\begin_inset Formula $s\geq h$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $|a+B|\mid|a|$ +, +\begin_inset Formula $a\in(p^{h})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)\subseteq(p^{h})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M(p)=\bigoplus_{h=1}^{n}\bigoplus_{x\in F_{h}}Ax$ \end_inset . - En general estos órdenes no coinciden. - [...] \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -Dados dos grupos abelianos finitos -\begin_inset Formula $A$ +\begin_inset Formula $0=\text{ann}_{M}(p^{0})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{1})\subseteq\dots\subseteq\text{ann}_{M}(p^{n})=M(p)$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $X_{h}\coloneqq F_{h}\cup pF_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$ +\end_inset + +, cada +\begin_inset Formula $\overline{X_{h}}$ +\end_inset + + genera +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $B$ +\begin_inset Formula $X\coloneqq\bigcup_{h=1}^{n}X_{h}$ \end_inset -, una descomposición por suma directa de -\begin_inset Formula $A$ + genera +\begin_inset Formula $M(p)$ \end_inset - y una de -\begin_inset Formula $B$ +, pero +\begin_inset Formula $X\subseteq(\bigcup_{i=1}^{n}F_{i})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{x\in F_{i}}Ax$ \end_inset - son -\series bold -semejantes -\series default - si existe una biyección entre los subgrupos en la descomposición de -\begin_inset Formula $A$ + y por tanto +\begin_inset Formula $M(p)=\sum_{h=1}^{n}\sum_{x\in F_{h}}Ax$ \end_inset - y la de -\begin_inset Formula $B$ +. + Para ver que la suma es directa, si +\begin_inset Formula $n=1$ \end_inset - que a cada subgrupo de -\begin_inset Formula $A$ +, +\begin_inset Formula $M(p)=\text{ann}_{M}(p)$ \end_inset - le asocia uno de -\begin_inset Formula $B$ + es un espacio vectorial con base +\begin_inset Formula $F_{1}$ \end_inset - isomorfo. - [...] + ya que la proyección canónica +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p)\to\frac{\text{ann}_{M}(p)}{\text{ann}_{M}(1)}$ +\end_inset + + es un isomorfismo. + Si +\begin_inset Formula $n>1$ +\end_inset + +, probado esto para +\begin_inset Formula $n-1$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $\sum_{h=1}^{n}\sum_{x\in F_{h}}a_{x}x=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sum_{x\in F_{n}}a_{x}x=-\sum_{h=1}^{n-1}\sum_{x\in F_{h}}a_{x}x\in(\bigcup_{h=1}^{n-1}F_{h})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{n-1})$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $F_{n}$ +\end_inset + + induce una base del +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$ +\end_inset + +-espacio vectorial +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{n})}{\text{ann}_{M}(p^{n-1})}$ +\end_inset + + y, como +\begin_inset Formula $\sum_{x\in F_{n}}\overline{a_{x}}\overline{x}=0\in\frac{\text{ann}_{M}(p^{n})}{\text{ann}_{M}(p^{n-1})}$ +\end_inset + +, cada +\begin_inset Formula $a_{x}\in(p)$ +\end_inset + + y, llamando +\begin_inset Formula $a_{x}\coloneqq pa'_{x}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sum_{x\in F_{n}}a'_{x}(px)+\sum_{x\in\bigcup_{h=1}^{n-1}F_{h}}a_{x}x=0$ +\end_inset + +, pero llamando +\begin_inset Formula $F'_{h}\coloneqq F_{h}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $h<n-1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $F'_{n-1}\coloneqq F_{n-1}\cup pF_{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(F'_{h})_{h=1}^{n-1}$ +\end_inset + + cumple respecto a +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{n-1})$ +\end_inset + + las mismas propiedades de +\begin_inset Formula $(F_{h})_{h=1}^{n}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $M(p)$ +\end_inset + +, y por hipótesis de inducción los submódulos +\begin_inset Formula $\{Apx\}_{x\in F_{n}}\cup\bigcup_{h=1}^{n-1}\{Ax\}_{x\in F_{h}}$ +\end_inset + + son independientes, con lo que los +\begin_inset Formula $a_{x}$ +\end_inset + + son todos nulos. \end_layout -\begin_layout Standard -Dos grupos abelianos finitos son isomorfos si y sólo si tienen descomposiciones - primarias semejantes, si y sólo si tienen descomposiciones invariantes - semejantes, si y sólo si tienen la misma lista de divisores elementales, - si y sólo si tienen la misma lista de factores invariantes. - [...] +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|F_{h}|$ +\end_inset + + es el número de divisores elementales de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + iguales a +\begin_inset Formula $p^{h}$ +\end_inset + +. \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open +\begin_inset Formula $M(p)\cong\bigoplus_{h=1}^{n}\bigoplus_{x\in F_{h}}\frac{A}{(p^{h})}=\bigoplus_{h=1}^{n}\left(\frac{A}{(p^{h})}\right)^{|F_{h}|}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout +. +\end_layout +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Podemos encontrar tal familia tomando una base +\begin_inset Formula $(\overline{x_{i}})_{i}$ +\end_inset -\backslash -end{reminder} + de +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ +\end_inset + +, haciendo +\begin_inset Formula $F_{n}\coloneqq\{x_{i}\}_{i}$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $h$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $n-1$ +\end_inset + + hasta 1, completando el conjunto linealmente independiente de +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ +\end_inset + + inducido por +\begin_inset Formula $pF_{h+1}\cup p^{2}F_{h+2}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$ +\end_inset + + con vectores +\begin_inset Formula $(\overline{x_{i}})_{i}$ +\end_inset + + para formar una base y haciendo +\begin_inset Formula $F_{h}\coloneqq\{x_{i}\}_{i}$ +\end_inset + +. \end_layout +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $h=n$ +\end_inset + +, la +\begin_inset Formula $F_{n}$ +\end_inset + + definida cumple las propiedades. + Si +\begin_inset Formula $h<n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $F_{h+1},\dots,F_{n}$ +\end_inset + + cumplen las propiedades, +\begin_inset Formula $pF_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$ +\end_inset + + es una unión disjunta ya que, si hubiera +\begin_inset Formula $i,j\in\{h+1,\dots,n\}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $i<j$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p^{i-h}F_{i}\cap p^{j-h}F_{j}\neq\emptyset$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $x\in F_{i}$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y\in F_{j}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p^{i-h}x=p^{j-h}y$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $p^{i-h}(x-p^{j-i}y)=0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $x-p^{j-i}y\in\text{ann}_{M}(p^{j-h})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{j-1})$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $x$ \end_inset + y +\begin_inset Formula $p^{j-i}y$ +\end_inset + + son elementos de una base de +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{j})}{\text{ann}_{M}(p^{j-1})}\#$ +\end_inset + +. + Además, +\begin_inset Formula $\phi:\frac{\text{ann}_{M}(p^{h+1})}{\text{ann}_{M}(p^{h})}\rightarrowtail\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\phi(\overline{z})\coloneqq p\overline{z}$ +\end_inset + es un monomorfismo ya que +\begin_inset Formula $p\overline{z}=0\iff pz\in\text{ann}_{M}(p^{h-1})\iff z\in\text{ann}_{M}(p^{h})\iff\overline{z}=0$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $F_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h-1}F_{n}$ +\end_inset + + induce una base de +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h+1})}{\text{ann}_{M}(p^{h})}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $pF_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$ +\end_inset + + induce una familia linealmente independiente en +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ +\end_inset + +. + Completamos esta familia para formar una base y ahora la unión sigue siendo + disjunta por inducir una base. \end_layout +\end_deeper \begin_layout Section -Determinación de descomposiciones de módulos de torsión finitamente generados +Descomposiciones en dominios euclídeos \end_layout \begin_layout Standard -En esta sección, salvo que se indique lo contrario, -\begin_inset Formula $M$ +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + \end_inset - es un -\begin_inset Formula $A$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un dominio +\begin_inset Formula $D\neq0$ \end_inset --módulo finitamente generado de torsión y -\begin_inset Formula $\{p_{1},\dots,p_{k}\}\coloneqq\{p\in{\cal P}\mid M(p)\neq0\}$ +, una función +\begin_inset Formula $\delta:D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$ \end_inset - son sus + es \series bold -divisores irreducibles +euclídea \series default -. - + si cumple: \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $M\neq0$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall a,b\in D\setminus\{0\},(a\mid b\implies\delta(a)\leq\delta(b))$ \end_inset - tiene factores invariantes -\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D\mid(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ \end_inset -: +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +dominio euclídeo +\series default + es uno que admite una función euclídea. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=(d_{t})$ +El valor absoluto es una función euclídea en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +El cuadrado del módulo complejo es una función euclídea en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[i]$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\subseteq]$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\delta$ \end_inset + una función euclídea en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset -\end_layout +, +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + un ideal de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -Para -\begin_inset Formula $a\in\text{ann}_{A}(M)$ + y +\begin_inset Formula $a\in I\setminus\{0\}$ \end_inset -, como -\begin_inset Formula $\frac{A}{(d_{t})}$ +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +I=(a)\iff\forall x\in I\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x). +\] + \end_inset - es isomorfo a un sumando directo de -\begin_inset Formula $M$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Todo dominio euclídeo es DIP. + Si +\begin_inset Formula $\delta$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a\frac{A}{(d_{t})}=0$ + es una función euclídea en +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $a\frac{A}{(d_{t})}=\frac{(a)+(d_{t})}{(d_{t})}=0$ +, un elemento +\begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $(a)+(d_{t})\subseteq(d_{t})$ + es una unidad si y sólo si +\begin_inset Formula $\delta(a)=\delta(1)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a\in(d_{t})$ +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall x\in D\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x)$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\supseteq]$ + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + \end_inset \end_layout +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, sean +\begin_inset Formula $A$ \end_inset + un dominio euclídeo, +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ +\end_inset -\begin_inset Formula $M\cong\bigoplus_{j=1}^{t}\frac{A}{(d_{j})}$ + y +\begin_inset Formula $A^{r}\oplus\bigoplus_{i=1}^{t}\frac{A}{(d_{i})}$ \end_inset - y, como cada -\begin_inset Formula $d_{j}\mid d_{t}$ + la descomposición invariante externa de +\begin_inset Formula $M(C)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $d_{t}M=0$ +\begin_inset Formula $C$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $(d_{t})\subseteq\text{ann}_{A}(M)$ + es equivalente a +\begin_inset Formula +\[ +\begin{pmatrix}\boxed{I_{m-r-t}}\\ + & d_{1}\\ + & & \ddots\\ + & & & d_{t}\\ + & & & & \phantom{0} +\end{pmatrix}\in{\cal M}_{m\times n}(A), +\] + \end_inset -. -\end_layout +llamada +\series bold +forma normal +\series default + de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Un -\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ + y a la que se puede llegar desde +\begin_inset Formula $C$ \end_inset - es divisor irreducible de -\begin_inset Formula $M$ + por transformaciones elementales. + +\series bold +Demostración: +\series default + Primero vemos que +\begin_inset Formula $C$ \end_inset - si y sólo si lo es de -\begin_inset Formula $d_{t}$ + se puede llevar a una matriz +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $x\in M\setminus\{0\}$ + de la forma dada con +\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$ +\end_inset + + y luego que +\begin_inset Formula $M(D)$ +\end_inset + + tiene la descomposición invariante indicada, y el resultado se obtiene + de que +\begin_inset Formula $M(C)\cong M(D)$ +\end_inset + + y de la unicidad de la descomposición invariante. + Para lo primero, si +\begin_inset Formula $C=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $m=0$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $n=0$ +\end_inset + + no hay que hacer nada. + En otro caso, sean +\begin_inset Formula ${\cal C}\subseteq{\cal M}_{m\times n}(A)$ +\end_inset + + el conjunto de matrices alcanzables desde +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + por transformaciones elementales en filas y columnas, +\begin_inset Formula $\delta:A\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$ +\end_inset + + una función euclídea y +\begin_inset Formula $X\in{\cal C}$ +\end_inset + + e índices +\begin_inset Formula $i,j$ \end_inset con -\begin_inset Formula $px=0$ +\begin_inset Formula $\delta_{0}\coloneqq\delta(X_{ij})$ +\end_inset + + mínimo, por intercambio de filas 1 e +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y de columnas 1 y +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + podemos suponer +\begin_inset Formula $i=j=1$ \end_inset . -\end_layout + Para +\begin_inset Formula $j\in\{2,\dots,n\}$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\iff2]$ +, si fuera +\begin_inset Formula $X_{11}\nmid X_{1j}$ \end_inset - Si -\begin_inset Formula $(p_{ij})_{1\leq i\leq k}^{1\leq j\leq r_{i}}$ + sería +\begin_inset Formula $X_{1j}\eqqcolon qX_{11}+r$ \end_inset - son los divisores elementales de -\begin_inset Formula $M$ + con +\begin_inset Formula $r\neq0$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $d_{t}=p_{1}^{n_{1r_{1}}}\cdots p_{k}^{n_{kr_{k}}}$ + y +\begin_inset Formula $\delta(r)<\delta(X_{11})$ \end_inset -, luego los divisores irreducibles son los irreducibles de la factorización - irreducible de -\begin_inset Formula $d_{t}$ +, pero restando a la columna +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + la primera por +\begin_inset Formula $q_{1j}$ +\end_inset + + quedaría una matriz +\begin_inset Formula $X'$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\delta(X'_{1j})<\delta(X_{11})=\delta_{0}\#$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $X_{11}\mid X_{1j}$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + y, análogamente, +\begin_inset Formula $X_{11}\mid X_{1i}$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $i$ \end_inset . -\end_layout + Si ahora definimos +\begin_inset Formula $q_{i}$ +\end_inset -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies3]$ + y +\begin_inset Formula $s_{j}$ \end_inset - Si -\begin_inset Formula $M(p)\neq0$ + de modo que cada +\begin_inset Formula $X_{i1}=q_{i}X_{11}$ \end_inset -, sea -\begin_inset Formula $z\in M(p)\setminus\{0\}$ + y cada +\begin_inset Formula $X_{1j}=s_{j}X_{11}$ +\end_inset + +, restando a la fila +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + la primera por +\begin_inset Formula $q_{i}$ +\end_inset + + y a la columna +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + la primera por +\begin_inset Formula $s_{j}$ +\end_inset + + queda una matriz +\begin_inset Formula +\[ +Y=\left(\begin{array}{c|c} +X_{11} & 0\\ +\hline 0 & B +\end{array}\right), +\] + +\end_inset + +pero para +\begin_inset Formula $i,j\geq2$ +\end_inset + +, si fuera +\begin_inset Formula $X_{11}\nmid Y_{ij}$ +\end_inset + +, sumando a la primera fila la +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +-ésima quedaría una matriz +\begin_inset Formula $Z$ \end_inset con -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(z)=(p^{s})$ +\begin_inset Formula $Z_{11}=X_{11}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $s$ +\begin_inset Formula $Z_{i1}=Y_{ij}$ \end_inset - mínimo, -\begin_inset Formula $s>0$ +, con lo que +\begin_inset Formula $Z_{i1}=qZ_{11}+r$ \end_inset - ya que de lo contrario sería -\begin_inset Formula $(p^{s})=A$ + con +\begin_inset Formula $r\neq0$ \end_inset y -\begin_inset Formula $z=1z=0$ +\begin_inset Formula $\delta(r)<\delta(Z_{11})=\delta(X_{11})=\delta_{0}$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $x\coloneqq p^{s-1}z\in M\setminus\{0\}$ + y, restando a la +\begin_inset Formula $i$ \end_inset - cumple -\begin_inset Formula $px=0$ +-ésima fila la primera por +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + +, se obtendría una matriz +\begin_inset Formula $Z'$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\delta(Z'_{i1})<\delta_{0}\#$ \end_inset . -\end_layout + Por tanto +\begin_inset Formula $X_{11}$ +\end_inset -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ + divide a todo elemento de +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - -\begin_inset Formula $x\in M(p)\neq0$ +, y si +\begin_inset Formula $B\eqqcolon XB'$ +\end_inset + +, por inducción +\begin_inset Formula $B'$ +\end_inset + + es semejante a una matriz de la forma original y por tanto +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + también lo es e +\begin_inset Formula $Y_{11}\mid Y_{22}\mid\dots$ +\end_inset + +, pero como los +\begin_inset Formula $Y_{ii}$ +\end_inset + + nulos están al final de la +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +diagonal +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + y los invertibles están al principio, si hay digamos +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + invertibles, multiplicando +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\text{diag}(Y_{11}^{-1},\dots,Y_{kk}^{-1},1,\dots,1)$ +\end_inset + + se obtiene la matriz +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. + Para la segunda parte, sean +\begin_inset Formula $s\coloneqq m-r-t$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(e_{i})_{i=1}^{n}$ +\end_inset + + la base canónica de +\begin_inset Formula $A^{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(f_{i})_{i=1}^{m}$ +\end_inset + + la de +\begin_inset Formula $A^{m}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f_{D}\coloneqq(v\mapsto Dv):A^{n}\to A^{m}$ +\end_inset + + lleva a cada +\begin_inset Formula $e_{i}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $f_{i}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,s\}$ +\end_inset + +, a cada +\begin_inset Formula $e_{s+i}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $d_{i}f_{s+i}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,t\}$ +\end_inset + + y al resto de elementos de la base canónica a 0, luego descomponiendo +\begin_inset Formula $A^{n}=A^{s}\oplus A^{t}\oplus A^{n-s-t}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A^{m}=A^{s}\oplus A^{t}\oplus A^{r}$ +\end_inset + + se puede descomponer +\begin_inset Formula $f_{D}=1_{A^{s}}\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{t}(a\mapsto d_{i}a)\right)\oplus0$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $0:A^{n-s-t}\to A^{r}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula +\[ +\frac{A}{M(D)}=\frac{A}{\text{Im}f_{D}}\cong\frac{A^{s}}{A^{s}}\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{t}\frac{A}{(d_{i})}\right)\oplus\frac{A^{r}}{0}\cong A^{r}\oplus\bigoplus_{i=1}^{t}\frac{A}{(d_{i})} +\] + +\end_inset + +con +\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper \begin_layout Standard -Así, si -\begin_inset Formula $M$ +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + \end_inset - es un grupo abeliano finito, los divisores irreducibles de -\begin_inset Formula $M$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - son los -\begin_inset Formula $p>0$ + es un dominio euclídeo: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La forma normal de +\begin_inset Formula $P\in\text{GL}_{k}(A)$ \end_inset - que dividen a -\begin_inset Formula $|M|$ + es +\begin_inset Formula $I_{k}$ \end_inset . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $V\in_{K}\text{Vect}$ +Es de la forma +\begin_inset Formula $\text{diag}(1,\dots,1,d_{1},\dots,d_{t},0,\dots,0)$ \end_inset - de dimensión finita y -\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$ + con los +\begin_inset Formula $d_{i}$ +\end_inset + + no invertibles, pero es invertible y una matriz diagonal invertible debe + tener todos los elementos de la diagonal invertibles. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $C,D\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset - con polinomio característico -\begin_inset Formula $\varphi\in K[X]$ + son equivalentes, es posible llegar de +\begin_inset Formula $C$ \end_inset -: + a +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + por transformaciones elementales en filas y columnas. \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Existen matrices invertibles +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $D=PCQ$ +\end_inset + +, pero desde +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + se puede llegar a su forma normal, que es la identidad, por transformaciones + elementales, de modo que +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + son productos de matrices elementales. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout +\begin_layout Section +Presentaciones de grupos abelianos finitamente generados +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una \series bold -Teorema de Cayley-Hamilton: +presentación \series default + de un grupo abeliano finitamente generado +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es una expresión +\begin_inset Formula +\[ +(x_{1},\dots,x_{m}/\rho_{1},\dots,\rho_{n}), +\] + +\end_inset + + donde los +\begin_inset Formula $x_{i}$ +\end_inset + + son variables o +\series bold +generadores +\series default + y los +\begin_inset Formula $\rho_{j}=\sum_{i=1}^{m}c_{ij}x_{i}$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + +-combinaciones lineales de dichas variables o +\series bold +relatores +\series default +, de forma que +\begin_inset Formula $M\cong\frac{F}{N}$ +\end_inset + + siendo +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + el grupo abeliano libre con base +\begin_inset Formula $\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + su subgrupo generado por los +\begin_inset Formula $\rho_{j}$ +\end_inset + +, o equivalentemente, +\begin_inset Formula $M\cong M(C)$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $C=(c_{ij})\in{\cal M}_{m\times n}(\mathbb{Z})$ +\end_inset + +. -\begin_inset Formula $\varphi_{f}(f)=0$ +\series bold +Demostración: +\series default + Existe un único homomorfismo +\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}^{n}\to F$ +\end_inset + + que lleva cada +\begin_inset Formula $e_{j}$ +\end_inset + + de la base canónica de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{n}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\rho_{j}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\text{Im}f=N$ +\end_inset + +, y un único isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:F\to\mathbb{Z}^{m}$ +\end_inset + + que lleva cada +\begin_inset Formula $x_{i}$ +\end_inset + + al elemento +\begin_inset Formula $\hat{e}_{i}$ +\end_inset + + de la base canónica de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{m}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\phi\circ f$ +\end_inset + + lleva cada +\begin_inset Formula $e_{j}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $(c_{1j},\dots,c_{mj})$ +\end_inset + + y por tanto cada +\begin_inset Formula $v\in\mathbb{Z}^{n}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $Cv$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M(C)=\frac{\mathbb{Z}^{m}}{\text{Im}(\phi\circ f)}=\frac{\phi(F)}{\phi(N)}\cong\frac{F}{N}$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{n}(K)$ +Para encontrar la estructura de un grupo abeliano finitamente generado a + partir de su presentación por generadores y relatores: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Usar transformaciones elementales sobre la matriz +\begin_inset Formula $C$ \end_inset - la matriz asociada a -\begin_inset Formula $f$ + asociada a la presentación hasta llegar a su forma normal +\begin_inset Formula $D=PCQ$ \end_inset - bajo cualquier base de -\begin_inset Formula $V$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Obtener el rango libre de torsión de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $I\coloneqq I_{n}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Obtener los factores invariantes +\begin_inset Formula $d_{j}$ \end_inset -, queremos ver que -\begin_inset Formula $\varphi=\det(XI-C)$ + de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - cumple -\begin_inset Formula $\sum_{i=0}^{n}\varphi_{i}C^{i}=0$ + y usar el teorema chino de los restos para factorizar cada +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{d_{j}}$ \end_inset -. - Por la prueba de la fórmula de la matriz inversa, para toda matriz -\begin_inset Formula $A$ + en producto finito de grupos abelianos de la forma +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p_{i}^{n_{ij}}}$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $A\cdot\text{adj}(A)^{\intercal}=|A|I$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Una vez obtenida de aquí la descomposición primaria externa, convertirla + trivialmente en descomposición primaria interna de +\begin_inset Formula $M(D)$ \end_inset -, por lo que viendo -\begin_inset Formula $XI-C\in{\cal M}_{n}(K[X])$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Multiplicar cada sumando directo en esta descomposición por +\begin_inset Formula $P^{-1}$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $(XI-C)\text{adj}(XI-C)^{\intercal}=\varphi I$ +, obteniendo una descomposición directa interna de +\begin_inset Formula $M(P^{-1}D)=M(CQ)=M(C)$ \end_inset . - Como las entradas de -\begin_inset Formula $\text{adj}(XI-C)^{\intercal}$ -\end_inset +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout - son polinomios de grado máximo -\begin_inset Formula $n-1$ \end_inset -, podemos escribir -\begin_inset Formula $\text{adj}(XI-C)^{t}\eqqcolon\sum_{i=0}^{n-1}B_{i}X^{i}$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +determinante +\series default + del endomorfismo +\begin_inset Formula $g:\mathbb{Z}^{n}\to\mathbb{Z}^{n}$ \end_inset - con cada -\begin_inset Formula $B_{i}\in{\cal M}_{n}(K)$ +, +\begin_inset Formula $\det g$ \end_inset - y entonces -\begin_inset Formula $(XI-C)\sum_{i=0}^{n-1}B_{i}X^{i}=\sum_{i=0}^{n}\varphi_{i}I$ +, a +\begin_inset Formula $\det M_{{\cal BB}}(g)$ \end_inset -. - Viendo esta igualdad en -\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(K)[X]$ + para cualquier base +\begin_inset Formula ${\cal B}$ \end_inset -, igualando coeficientes, -\begin_inset Formula -\begin{align*} -B_{n-1} & =\varphi_{n}I, & B_{n-2}-CB_{n-1} & =\varphi_{n-1}I, & & \cdots, & B_{0}-B_{1}C & =\varphi_{1}I, & -B_{0}C & =\varphi_{0}I, -\end{align*} + de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{n}$ +\end_inset +, que no depende de la base elegida, y entonces +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Z}^{n}}{\text{Im}g}$ \end_inset -y multiplicando la primera igualdad por -\begin_inset Formula $C^{n}$ + es finito si y sólo si +\begin_inset Formula $\det g\neq0$ \end_inset -, la segunda por -\begin_inset Formula $C^{n-1}$ +, en cuyo caso su orden es el valor absoluto de +\begin_inset Formula $\det g$ \end_inset -, etc., -\begin_inset Formula -\begin{align*} -C^{n}B_{n-1} & =\varphi_{n}I, & C^{n-1}B_{n-2}-C^{n}B_{n-1} & =\varphi_{n-1}I, & & \dots, -\end{align*} +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout \end_inset \end_layout -\end_deeper \end_body \end_document |