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@@ -2091,10 +2091,6 @@ status open . \end_layout -\begin_layout Subsection -Elementos primos e irreducibles -\end_layout - \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -2435,39 +2431,7 @@ Si \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Subsection -Dominios de factorización única -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - +[...] \end_layout \begin_layout Standard @@ -3856,7 +3820,7 @@ end{exinfo} \end_layout -\begin_layout Subsection +\begin_layout Section Ideales finitamente generados \end_layout @@ -4039,80 +4003,6 @@ ideal principal \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\in A$ -\end_inset - - cancelable no invertible, -\begin_inset Formula $(b,X)$ -\end_inset - - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - -, y en particular -\begin_inset Formula $(X,Y)$ -\end_inset - - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $e\in A$ -\end_inset - - es idempotente, para -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $(e)$ -\end_inset - - es un anillo con identidad -\begin_inset Formula $e$ -\end_inset - -. -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard Un \series bold dominio de ideales principales @@ -4195,12 +4085,49 @@ begin{exinfo} \end_inset -En un DIP, -\begin_inset Formula $(a)+(b)=(\gcd\{a,b\})$ +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(a)\cap(b)=(\text{lcm}\{a,b\})$ +\begin_inset Formula $b\in A$ +\end_inset + + cancelable no invertible, +\begin_inset Formula $(b,X)$ +\end_inset + + no es un ideal principal de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +, y en particular +\begin_inset Formula $(X,Y)$ +\end_inset + + no es un ideal principal de +\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $e\in A$ +\end_inset + + es idempotente, para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $(e)$ +\end_inset + + es un anillo con identidad +\begin_inset Formula $e$ \end_inset . @@ -5332,7 +5259,16 @@ begin{exinfo} \end_inset -Dados un dominio +En un DIP, +\begin_inset Formula $(a)+(b)=(\gcd\{a,b\})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(a)\cap(b)=(\text{lcm}\{a,b\})$ +\end_inset + +. + Dados un dominio \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -6250,6 +6186,9 @@ característica . [...] La característica de un dominio no trivial es 0 o un número primo. +\end_layout + +\begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -6266,16 +6205,7 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{samepage} -\end_layout - +\begin_inset Newpage pagebreak \end_inset @@ -6470,22 +6400,6 @@ status open \backslash -end{samepage} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash begin{exinfo} \end_layout @@ -9406,7 +9320,7 @@ coeficiente principal \series bold mónico \series default - si su coeficiente princial es 1. + si su coeficiente principal es 1. El polinomio 0 tiene grado \begin_inset Formula $-\infty$ \end_inset @@ -537,7 +537,7 @@ Dado un anillo \end_inset e ínfimo -\begin_inset Formula $\inf S=\bigcap S$ +\begin_inset Formula $\bigwedge S=\bigcap S$ \end_inset . @@ -771,7 +771,7 @@ Para \end_inset , los -\begin_inset Formula $I_{n}\coloneqq\{a\mid \forall k>n,a_{k}=0\}$ +\begin_inset Formula $I_{n}\coloneqq\{a\mid\forall k>n,a_{k}=0\}$ \end_inset cumplen @@ -779,7 +779,7 @@ Para \end_inset y los -\begin_inset Formula $J_{n}\coloneqq\{a\mid \forall k<n,a_{k}=0\}$ +\begin_inset Formula $J_{n}\coloneqq\{a\mid\forall k<n,a_{k}=0\}$ \end_inset cumplen @@ -2218,7 +2218,7 @@ dimensión de Krull es \begin_inset Formula \[ -\dim A\coloneqq\text{Kdim}A\coloneqq\sup\{n\in\mathbb{N}\mid \exists P_{0},\dots,P_{n}\trianglelefteq_{\text{p}}A:P_{0}\subsetneq\dots\subsetneq P_{n}\}\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}, +\dim A\coloneqq\text{Kdim}A\coloneqq\sup\{n\in\mathbb{N}\mid\exists P_{0},\dots,P_{n}\trianglelefteq_{\text{p}}A\mid P_{0}\subsetneq\dots\subsetneq P_{n}\}\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}, \] \end_inset @@ -529,15 +529,16 @@ Llamamos \begin_inset Formula $M$ \end_inset - ordenado por inclusión, que es un retículo en la que el ínfimo es la intersecci -ón y el supremo es la suma. -\begin_inset Note Note -status open + ordenado por inclusión, que es un retículo en el que el ínfimo es la intersecci +ón y el supremo es la suma, definida para +\begin_inset Formula ${\cal S}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -TODO definida más adelante. - Añadir demostración. -\end_layout + como +\begin_inset Formula +\[ +\sum{\cal S}\coloneqq\left\{ \sum_{N\in F}a_{N}\;\middle|\;F\subseteq{\cal S}\text{ finito},a_{N}\in N\right\} . +\] \end_inset @@ -1440,15 +1441,3565 @@ y los \end_inset . + Decimos que +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + tiene +\series bold +estructura de +\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\end_inset + +-módulo asociada al endomorfismo +\series default + +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\end_inset + +-módulo, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\end_inset + +-endomorfismo, y por restricción de escalares +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\end_inset + +-módulo o +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\end_inset + +-espacio vectorial y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + un +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\end_inset + +-endomorfismo (vectorial). + Y si +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\end_inset + +-espacio vectorial y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + un +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\end_inset + +-endomorfismo, el producto +\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]\times V\to V$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)v\coloneqq\sum_{i}r_{i}f^{i}(v)$ +\end_inset + + hereda las propiedades del producto escalar (identidad en el anillo, asociativi +dad y distributividad por ambos lados). + Todas son obvias salvo la asociatividad, pero +\begin_inset Formula +\begin{multline*} +\left(\sum_{i}q_{i}X^{i}\right)\left(\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)v\right)=\left(\sum_{i}q_{i}X^{i}\right)\left(\sum_{i}r_{i}f^{i}(v)\right)=\\ +=\sum_{i}q_{i}f^{i}\left(\sum_{j}r_{j}f^{j}(v)\right)=\sum_{i}\sum_{j}q_{i}r_{j}f^{i+j}(v)=\sum_{i}\sum_{k=0}^{i}q_{k}r_{i-k}f^{i}(v)=\\ +=\left(\sum_{i}\sum_{k=0}^{i}q_{k}r_{i-k}X^{i}\right)v=\left(\left(\sum_{i}q_{i}X^{i}\right)\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)\right)v. +\end{multline*} + +\end_inset + +Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{K}[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + +, partiendo del +\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\end_inset + +-módulo, +\begin_inset Formula $\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)v=\sum_{i}r_{i}f^{i}(v)=\sum_{i}r_{i}X^{i}v=\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)v$ +\end_inset + + por asociatividad y distributividad del producto en el +\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\end_inset + +-módulo, y partiendo del +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\end_inset + +-espacio vectorial y endomorfismo, +\begin_inset Formula $a_{\mathbb{K}[X]}v=af^{0}(v)=a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(v\mapsto Xv)(v)=Xv=f(v)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Teoremas de isomorfía +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de la correspondencia: +\series default + Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p:M\to M/N$ +\end_inset + + es la proyección canónica, +\begin_inset Formula +\[ +\rho:\{K\leq_{A}M\mid N\subseteq K\}\to\{L\leq_{A}M/N\} +\] + +\end_inset + +dada por +\begin_inset Formula $\rho(K)\coloneqq K/N\coloneqq p(K)=\{k+N\}_{k\in K}$ +\end_inset + + es una biyección que conserva la inclusión, y +\begin_inset Formula +\[ +p(K)=\frac{K+N}{N}. +\] + +\end_inset + + +\series bold +Demostración: +\series default + Que conserve la inclusión es claro, y que +\begin_inset Formula $p(K)=p(K+N)$ +\end_inset + + también. + Si +\begin_inset Formula $K\leq_{A}M$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $N\subseteq K$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $k,l\in K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\overline{0},\overline{k}+\overline{l}=\overline{k+l},a\overline{k}=\overline{ak}\in K/N$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $K/N\leq_{A}M/N$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $L\leq_{A}M/N$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $n\in N$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p(n)=\overline{n}=\overline{0}\in L$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $N\subseteq p^{-1}(L)$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $k,l\in p^{-1}(L)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\overline{k},\overline{l}\in L$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{ak}=a\overline{k},\overline{k+l}=\overline{k}+\overline{l}\in L$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $ak,k+l\in p^{-1}(L)$ +\end_inset + +. + Queda ver que +\begin_inset Formula $\rho$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $L\to p^{-1}(L)$ +\end_inset + + son inversas una de la otra. + Por teoría de conjuntos, para +\begin_inset Formula $L\subseteq M/N$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p(p^{-1}(L))=\{p(k)\in M\mid k\in p^{-1}(L)\}=\{p(k)\in M\mid p(k)\in L\}=L$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $K\subseteq M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p^{-1}(p(K))=\{k\in M\mid p(k)\in p(K)\}=\{k\in M\mid\exists k'\in K:p(k)=p(k')\}\supseteq K$ +\end_inset + +, y solo hay que ver que si +\begin_inset Formula $K\leq_{A}M$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $p^{-1}(p(K))\subseteq K$ +\end_inset + +. + Pero si +\begin_inset Formula $k\in p^{-1}(p(K))$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $k'\in K$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p(k)=p(k')$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $p(k-k')=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $k-k'\in N\subseteq K$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $k=k'+(k-k')\in K$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teoremas de isomorfía: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f:M\to N$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismo, +\begin_inset Formula $\frac{M}{\ker f}\cong\text{Im}f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $N'\coloneqq\text{Im}f\leq_{A}N$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $f:N\to N'$ +\end_inset + + es un homomorfismo suprayectivo. + Sea entonces +\begin_inset Formula $\overline{f}:M/\ker f\to\text{Im}f$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\overline{f}(\overline{a})\coloneqq f(a)$ +\end_inset + +, que está bien definida porque para +\begin_inset Formula $k\in\ker f$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $\overline{f}(\overline{a+k})=f(a)+f(k)=f(a)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\overline{f}(\overline{a})=f(a)=0\implies a\in\ker f\implies\overline{a}=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\overline{f}$ +\end_inset + + es inyectiva y suprayectiva y por tanto un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-isomorfismo. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $N,K\leq_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{N}{N\cap K}\cong\frac{N+K}{K}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $p:M\to M/K$ +\end_inset + + la proyección canónica, +\begin_inset Formula $p(N)=\frac{N+K}{K}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $f\coloneqq p|_{N}:N\to\frac{N+K}{K}$ +\end_inset + + es suprayectiva y +\begin_inset Formula $f(a)=0\iff f\in K$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\ker f=N\cap K$ +\end_inset + + y el resultado se obtiene del primer teorema de isomorfía. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $N,K\leq_{A}M$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $N\subseteq K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{M/N}{K/N}\cong\frac{M}{K}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $p:M\to M/K$ +\end_inset + + la proyección canónica, como +\begin_inset Formula $N\subseteq K=\ker p$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\overline{p}:\frac{M}{N}\to\frac{M}{K}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\overline{p}(\overline{a})\coloneqq p(a)$ +\end_inset + + está bien definida, es suprayectiva y su núcleo es +\begin_inset Formula $\frac{K}{N}$ +\end_inset + +, y el resultado se obtiene del primer teorema de isomorfía. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Operaciones con submódulos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $m\in_{A}M$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +submódulo cíclico +\series default + a +\begin_inset Formula $(m)\coloneqq Am=\{am\}_{a\in A}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $X\subseteq_{A}M$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold + +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + generado por +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + +\series default + a +\begin_inset Formula +\[ +(X)\coloneqq AX\coloneqq\min\{N\leq_{A}M\mid X\subseteq N\}=\{a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}\}_{a_{i}\in A,x_{i}\in X}. +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +El conjunto de combinaciones +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-lineales de elementos de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + contiene a +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + y es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, por lo que contiene al mínimo de los +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-submódulos que cumplen esto. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Por definición todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + contiene a sus combinaciones +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-lineales, por lo que el conjunto de estas está en el ínfimo, y el ínfimo + está en el conjunto. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Claramente +\begin_inset Formula $(\emptyset)=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})=Ax_{1}+\dots+Ax_{n}$ +\end_inset + +, y llamamos +\series bold +submódulo cíclico +\series default + generado por +\begin_inset Formula $m\in_{A}M$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $Am\coloneqq(m)\coloneqq(\{m\})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +conjunto +\series default + o +\series bold +sistema generador +\series default + de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $X\subseteq M$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(X)=M$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $(M)=M$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es +\series bold +finitamente generado +\series default + si admite un conjunto generador finito, y es +\series bold +cíclico +\series default + si admite uno unipuntual. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo regular es cíclico, +\begin_inset Formula $_{A}A=(1)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +En +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\end_inset + +-espacio vectorial es finitamente generado si y sólo si es de dimensión + finita, y entonces los generadores minimales son bases y tienen todos el + mismo número de elementos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +No siempre los generadores minimales finitos tienen igual número de elementos. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{\mathbb{Z}}$ +\end_inset + + tiene generadores minimales +\begin_inset Formula $\{1\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{3,5\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\{X_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal P}(M)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M=\sum_{i}(X_{i})$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $M=(\bigcup X_{i})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f:M\to N$ +\end_inset + + es un epimorfismo y +\begin_inset Formula $M=(X)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N=(f(X))$ +\end_inset + +, luego si +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es finitamente generado también lo es +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + +, y en particular los cocientes de módulos finitamente generados son finitamente + generados. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +En general los submódulos de módulos finitamente generados no son finitamente + generados. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}A)={\cal L}(A)$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $A=(1)$ +\end_inset + + y contiene ideales no finitamente generados. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo cíclico pero no es finitamente generado como +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $S\subseteq A[X]$ +\end_inset + + es finito, +\begin_inset Formula $X^{\max_{f\in S}\text{gr}f+1}\notin AS$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A[X]\neq AS$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + es cíclico como +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +-módulo pero no es finitamente generado como +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + +-módulo. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{Q}$ +\end_inset + + es finito y +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es un primo que no divide a los denominadores de los elementos de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en forma irreducible, +\begin_inset Formula $\frac{1}{p}\notin\mathbb{Z}S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\{N_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + + y el homomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos +\begin_inset Formula $\phi:\bigoplus_{i\in I}N_{i}\to M$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\phi(m)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es suprayectiva si y sólo si +\begin_inset Formula $M=\sum_{i}N_{i}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es inyectiva si y sólo si los elementos de +\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ +\end_inset + + tienen una expresión única como +\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $n_{i}\in N_{i}$ +\end_inset + + casi todos nulos, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall i,N_{i}\cap\sum_{j\neq i}N_{j}=0$ +\end_inset + +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ +\end_inset + + es la +\series bold +suma directa interna +\series default + de +\begin_inset Formula $(N_{i})_{i}$ +\end_inset + +, escrita +\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}M_{i}$ +\end_inset + +, que es isomorfa con la suma directa externa. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\iff2]$ +\end_inset + + Por definición de +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ +\end_inset + + Si +\begin_inset Formula $n_{i}=\sum_{j\neq i}n_{j}$ +\end_inset + +, por unicidad es +\begin_inset Formula $n_{i}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ +\end_inset + + Para +\begin_inset Formula $n\in\bigoplus_{i}N_{i}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\phi(n)=\sum_{i}n_{i}=0$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $i\in I$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $n_{i}=-\sum_{j\neq i}n_{j}=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $n=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es la suma directa interna de los +\begin_inset Formula $N_{i}$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es un isomorfismo, si y sólo si cada elemento de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + se escribe de forma única como +\begin_inset Formula $\sum_{i}m_{i}$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $m_{i}\in M_{i}$ +\end_inset + + y casi todos nulos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $N,N'\leq_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N\oplus N'\land N\cap N'=0$ +\end_inset + +, y entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La +\series bold +proyección +\series default + +\begin_inset Formula $p:M\to N$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $p(x+x')\coloneqq x$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $x\in N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x'\in N'$ +\end_inset + + es un homomorfismo suprayectivo con núcleo +\begin_inset Formula $N'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +La unicidad garantiza que está bien definida y el resto es trivial. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong N'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Por el primer teorema de isomorfía en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es finitamente generado si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Por ser isomorfos a espacios cociente del módulo finitamente generado +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +La unión de un conjunto generador de +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + y uno de +\begin_inset Formula $N'$ +\end_inset + + es uno de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + + es un +\series bold +sumando directo +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + si existe +\begin_inset Formula $N'\leq_{A}M$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $M=N\oplus N'$ +\end_inset + + llamado +\series bold +complemento directo +\series default + de +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, si y sólo si la inclusión +\begin_inset Formula $\iota:N\hookrightarrow M$ +\end_inset + + tiene un inverso por la izquierda, es decir, un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismo +\begin_inset Formula $h:M\to N$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{N}$ +\end_inset + +, que deja fijos los puntos de +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +La proyección +\begin_inset Formula $p:M\to N$ +\end_inset + + cumple +\begin_inset Formula $p\circ\iota=1_{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $N'\coloneqq\ker h$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $x\in N\cap N'$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $0=h(x)=h(\iota(x))=x$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $x\in M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x=h(x)+(x-h(x))$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $h(x)\in N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x-h(x)\in N'=\ker h$ +\end_inset + + ya que +\begin_inset Formula $h(x-\iota(h(x)))=h(x)-h(x)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En general un submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + no es isomorfo a un cociente de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + ni al revés, pues el cociente +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ +\end_inset + + no es isomorfo a un ideal de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ +\end_inset + + no es isomorfo a un cociente de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + ya que en todo cociente de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + cumple que para cada +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + hay un +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x=y+y$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $y=\frac{x}{2}$ +\end_inset + +) y esto no ocurre en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $M=\bigoplus_{i\in I}M_{i}$ +\end_inset + +, cada +\begin_inset Formula $M_{i}$ +\end_inset + + es un sumando directo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + con complemento directo +\begin_inset Formula $\bigoplus_{j\in I\setminus\{i\}}M_{i}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Estaba en mis notas de clase y no sé que significa. +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +Tenemos un isomorfismo +\begin_inset Formula $_{A}\text{Mod}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong M$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\text{End}_{A}(M)\cong\text{End}_{A}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ +\end_inset + + entonces la aplicación +\begin_inset Formula $\mu:\frac{A}{I}\to\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\overline{a}\mapsto\mu_{\overline{a}}\coloneqq(\overline{b}\mapsto\overline{ab})$ +\end_inset + + es un isomorfismo de anillos. + En efecto, +\begin_inset Formula $\ker\mu=\{\overline{a}:\mu_{\overline{a}}\equiv0\}=\{\overline{a}\in\frac{A}{I}:\forall\overline{b}\in\frac{A}{I},\overline{a}\overline{b}=\overline{0}\}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\ker\mu=0$ +\end_inset + + implica que +\begin_inset Formula $\mu$ +\end_inset + + es inyectiva. + +\begin_inset Formula $\mu$ +\end_inset + + suprayectiva: Sea +\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $f:\frac{A}{I}\to\frac{A}{I}$ +\end_inset + +), sea +\begin_inset Formula $\overline{a}\coloneqq f(\overline{1})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(\overline{b})=f(\overline{b}\overline{1})=\overline{b}f(\overline{1})=\overline{b}\overline{a}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es +\series bold +indescomponible +\series default + si sus únicos sumandos directos son 0 y +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo subespacio +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + de un espacio vectorial +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + tiene complementos directos (no únicos). +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Una base de +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + se completa a una de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + y el subespacio generado por los vectores que se añaden es un complemento + directo de +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dada una familia +\begin_inset Formula $\{M_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}\text{Mod}$ +\end_inset + +, podemos identificar cada +\begin_inset Formula $M_{i}$ +\end_inset + + con el submódulo de +\begin_inset Formula $\prod_{i}M_{i}$ +\end_inset + + con entradas nulas en cada componente salvo la +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y entonces la familia +\begin_inset Formula $(M_{i})_{i}$ +\end_inset + + es independiente y su suma directa interna coincide con la suma directa + externa. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ +\end_inset + + tiene un elemento cancelable (no invertible), +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + no es un sumando directo de +\begin_inset Formula $_{A}A$ +\end_inset + +. + En particular, si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $_{A}A$ +\end_inset + + es indescomponible. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Si tuviera complemento directo +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + +, este sería no nulo por ser +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + propio, luego si +\begin_inset Formula $b\in I$ +\end_inset + + es cancelable y +\begin_inset Formula $c\in J\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $0\neq bc\in I\cap J\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{r}\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + son primos distintos, +\begin_inset Formula $n\coloneqq\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q_{i}\coloneqq\frac{n}{p_{i}^{m_{i}}}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}=\bigoplus_{i=1}^{r}q_{i}\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Como +\begin_inset Formula $\gcd\{q_{1},\dots,q_{r}\}=1$ +\end_inset + +, hay una identidad de Bézout +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}q_{i}=1$ +\end_inset + + y la suma de ideales es +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + +. + Para ver que es directa, si +\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=\sum_{j\neq i}q_{j}\overline{a_{j}}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $q_{i}a_{i}=nb+\sum_{j\neq i}q_{j}a_{j}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}$ +\end_inset + + divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la primera y +\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}\mid q_{i}a_{i}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=0$ +\end_inset + + y la suma es directa. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo cíclico +\begin_inset Formula $M\neq0$ +\end_inset + + es indescomponible si y sólo si los únicos idempotentes de +\begin_inset Formula $\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $\overline{0}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Probamos el contrarrecíproco. + Sea +\begin_inset Formula $m\in M\setminus0$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $M=(m)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=\{a\in A:am=0\}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ +\end_inset + + es un idempotente distinto de +\begin_inset Formula $\overline{0}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{1}$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $\iota:(em)\to M$ +\end_inset + + es la inclusión y +\begin_inset Formula $h:M\to(em)$ +\end_inset + + el homomorfismo producto por +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $b\in M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $h(\iota(bem))=h(bem)=be^{2}m=bem$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{(em)}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(em)$ +\end_inset + + es sumando directo distinto de 0 y +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ +\end_inset + +, por el argumento anterior +\begin_inset Formula $(em)$ +\end_inset + + es un sumando directo, de modo que bien +\begin_inset Formula $(em)=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $em=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $e\in\text{ann}_{A}(M)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{0}$ +\end_inset + +, bien +\begin_inset Formula $(em)=(m)$ +\end_inset + + y existe +\begin_inset Formula $b\in A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $bem=m$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $(be-1)m=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{b}\overline{e}=\overline{1}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\overline{e}$ +\end_inset + + es una unidad con +\begin_inset Formula $\overline{e}\overline{e}=\overline{e}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $M\in\text{MaxSpec}(A)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +, el +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo +\begin_inset Formula $\frac{A}{M^{n}}$ +\end_inset + + es indescomponible. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio Saorín 1 +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un DIP y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{A}{(a)}$ +\end_inset + + es indescomponible si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es asociado a +\begin_inset Formula $p^{t}$ +\end_inset + + para ciertos +\begin_inset Formula $p\in A$ +\end_inset + + irreducible y +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio Saorín 2 +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Módulos libres +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $X\coloneqq\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ +\end_inset + +, el homomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es suprayectivo si y sólo si +\begin_inset Formula $M=\sum_{i\in I}Am_{i}$ +\end_inset + +, y es inyectivo si y sólo si cada elemento de +\begin_inset Formula $(X)$ +\end_inset + + se expresa de forma única como +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ +\end_inset + + con los +\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ +\end_inset + + casi todos nulos, si y sólo si los submódulos +\begin_inset Formula $(Am_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + son independientes y para cada +\begin_inset Formula $i\in I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $am_{i}\neq0$ +\end_inset + +, en cuyo caso decimos que +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + es +\series bold +linealmente independiente +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ +\end_inset + + Si +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}=\sum_{i}a'_{i}m_{i}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\phi(a)=\phi(a')$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a=a'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ +\end_inset + + La expresión de elementos de +\begin_inset Formula $(X)$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $n_{i}=a_{i}m_{i}\in Am_{i}$ +\end_inset + + es única, luego los +\begin_inset Formula $Am_{i}$ +\end_inset + + son independientes, y si hubiera +\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i\in I$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $am_{i}=0$ +\end_inset + + habría dos expresiones +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ +\end_inset + + para el +\begin_inset Formula $0\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ +\end_inset + + Si +\begin_inset Formula $\phi(a)=\sum_{i}a_{i}m_{i}=0$ +\end_inset + +, por lo primero cada +\begin_inset Formula $a_{i}m_{i}=0$ +\end_inset + +, y por lo segundo cada +\begin_inset Formula $a_{i}=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una familia +\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ +\end_inset + + es una +\series bold +base +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + si es linealmente independiente y genera +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ +\end_inset + + es biyectiva, si y sólo si para cada +\begin_inset Formula $m\in M$ +\end_inset + + existe una única elección de coeficientes +\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ +\end_inset + + casi todos nulos, llamados +\series bold +coordenadas +\series default + de +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + la base, con +\begin_inset Formula $m=\sum_{i}a_{i}m_{i}$ +\end_inset + +. + Un módulo es +\series bold +libre +\series default + si tiene una base. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El módulo 0 es libre con base vacía. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Los +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ +\end_inset + + son libres con la +\series bold +base canónica +\series default + +\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + +, donde cada +\begin_inset Formula $e_{i}$ +\end_inset + + tiene 1 en la entrada +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y un 0 en el resto. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo espacio vectorial es libre, y las bases coinciden con los conjuntos + linealmente independientes maximales y los conjuntos generadores minimales. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{A}A[X]$ +\end_inset + + es libre con base +\begin_inset Formula $(X^{n})_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[\text{i}]$ +\end_inset + + es libre con base +\begin_inset Formula $\{1,\text{i}\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ +\end_inset + + no es libre. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $\frac{a}{r},\frac{b}{s}\in\mathbb{Q}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $br\frac{a}{r}-as\frac{b}{s}=0$ +\end_inset + +, luego los conjuntos linealmente independientes son de un elemento, pero + estos no generan +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es un grupo abeliano finito no nulo, +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}M$ +\end_inset + + no es libre. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +No puede ser isomorfo a un +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{(I)}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + +Los isomorfismos conservan bases. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es libre si y sólo si es isomorfo a +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +, en cuyo caso todas sus bases tienen cardinal +\begin_inset Formula $|I|$ +\end_inset + +, llamado el +\series bold +rango +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\text{rg}M$ +\end_inset + +, y en particular. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es libre con base +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + +, hay un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + +, y si hay tal isomorfismo, +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + tiene la base resultante de llevar la base canónica de +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + por el isomorfismo. + Si +\begin_inset Formula $A=0$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $M=0$ +\end_inset + + y el resultado es claro. + En otro caso existe +\begin_inset Formula $J\trianglelefteq_{\text{m}}A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $JM$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, luego si +\begin_inset Formula $\overline{M}\coloneqq\frac{M}{JM}$ +\end_inset + +, los elementos de +\begin_inset Formula $J\overline{M}$ +\end_inset + + son sumas de elementos de la forma +\begin_inset Formula $j\overline{m}=jm+JM=JM$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $j\in J$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m\in M$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ +\end_inset + +. + Pero un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo +\begin_inset Formula $\overline{M}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ +\end_inset + + es +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +lo mismo +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + que un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ +\end_inset + +-módulo, luego +\begin_inset Formula $\overline{M}$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ +\end_inset + +-módulo y por tanto es un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ +\end_inset + +-espacio vectorial. + Sea entonces +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{\overline{m_{i}}\}_{i\in I}\subseteq\overline{M}$ +\end_inset + + es un conjunto generador, y es linealmente independiente. + En efecto, si +\begin_inset Formula $\sum_{i}\overline{a_{i}}\overline{m_{i}}=\overline{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $x\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}\in JM$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $x=\sum_{j=1}^{n}b_{j}x_{j}$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $b_{j}\in J$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula $x_{j}\in M$ +\end_inset + + y, escribiendo cada +\begin_inset Formula $x_{j}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $\sum_{i}c_{ji}m_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x=\sum_{j}\sum_{i}b_{j}c_{ji}m_{i}=\sum_{i}\left(\sum_{j}b_{j}c_{ji}\right)m_{i}$ +\end_inset + +, y por la independencia lineal de los +\begin_inset Formula $m_{i}$ +\end_inset + +, cada +\begin_inset Formula $a_{i}=\sum_{j}b_{j}c_{ji}\in J$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\overline{a_{i}}=\overline{0}$ +\end_inset + +. + Haciendo esta operación con dos bases distintas de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + con el mismo +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + se obtienen dos bases distintas del espacio vectorial +\begin_inset Formula $J\overline{M}$ +\end_inset + + que deben tener el mismo cardinal, lo que prueba la unicidad del rango. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo libre es finitamente generado si y sólo si tiene rango finito, es + decir, si es isomorfo a un +\begin_inset Formula $A^{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $S\subseteq_{A}M$ +\end_inset + + un generador finito de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(b_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + + el isomorfismo asociado a la base, si +\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq\{i\in I:(\phi^{-1}(a))_{i}\neq0\}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $J\coloneqq\bigcup_{a\in S}f(a)$ +\end_inset + + es finito, pero necesariamente +\begin_inset Formula $J=I$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Obvio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual a un generador + del módulo, pues si +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un generador de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + existe un epimorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(X)}\to M$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{x}a_{x}x$ +\end_inset + + y, por el primer teorema de isomorfía, +\begin_inset Formula $\frac{A^{(X)}}{\ker\phi}\cong M$ +\end_inset + +. + En particular todo módulo finitamente generado es cociente de un módulo + libre de rango finito y todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo cíclico es cociente de +\begin_inset Formula $_{A}A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $_{A}L=L_{1}\oplus\dots\oplus L_{t}$ +\end_inset + + es una suma directa interna y cada +\begin_inset Formula $L_{i}$ +\end_inset + + es libre con base finita +\begin_inset Formula $X_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + tiene como base la concatenación de las +\begin_inset Formula $X_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{rg}L=\text{rg}L_{1}+\dots+\text{rg}L_{t}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $t\leq1$ +\end_inset + + es obvio, y para +\begin_inset Formula $t>2$ +\end_inset + + se ve por inducción. + Para +\begin_inset Formula $t=2$ +\end_inset + +, las uniones de conjuntos generadores generan el submódulo suma, y queda + ver que si +\begin_inset Formula $\{n_{1},\dots,n_{r}\}\subseteq L_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{k_{1},\dots,k_{s}\}\subseteq L_{2}$ +\end_inset + + son linealmente independientes, la unión, que es disjunta, es linealmente + independiente. + Pero si +\begin_inset Formula $(a\coloneqq a_{1}n_{1}+\dots+a_{r}n_{r})+(b\coloneqq b_{1}k_{1}+\dots+b_{s}k_{s})=0$ +\end_inset + + para ciertos +\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}\in A$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a,b=0$ +\end_inset + + por ser +\begin_inset Formula $a\in L_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in L_{2}$ +\end_inset + +, luego cada +\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{n_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}N$ +\end_inset + +, existe un único +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismo +\begin_inset Formula $f:M\to N$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Existe un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\phi(e_{i})=m_{i}$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $e_{i}$ +\end_inset + + de la base canónica y un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismo +\begin_inset Formula $\psi:A^{(I)}\to N$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\psi(e_{i})=n_{i}$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $f\coloneqq\psi\circ\phi^{-1}:M\to N$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-isomorfismo con cada +\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ +\end_inset + +. + Para la unicidad, como +\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i}$ +\end_inset + + es un conjunto generador, dos +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismos que actúen igual sobre sus elementos son iguales. +\end_layout + +\begin_layout Section +Condiciones de cadena en módulos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}N\in{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + + es compacto si y sólo si es finitamente generado. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $N=\bigvee_{n\in N}(n)$ +\end_inset + +, por lo que existen +\begin_inset Formula $n_{1},\dots,n_{k}\in N$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $N=(n_{1})\vee\dots\vee(n_{k})=(n_{1},\dots,n_{k})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $N\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{n})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}(_{A}N)$ +\end_inset + + no vacío con +\begin_inset Formula $N=\bigvee S$ +\end_inset + +, para cada +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $x_{i}\in N$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $L_{i1},\dots,L_{ik_{i}}\in S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{i1}\in L_{i1},\dots,p_{ik_{i}}\in L_{ik_{i}}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x_{i}=a_{i1}+\dots+a_{ik_{i}}$ +\end_inset + +, de modo que todo elemento de +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + se puede expresar como combinación lineal de los +\begin_inset Formula $a_{ij}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}L_{ij}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es +\series bold +noetheriano +\series default + si cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados, + y es +\series bold +artiniano +\series default + si cumple la DCC, con lo que un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano cuando lo es +\begin_inset Formula $_{A}A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Un espacio vectorial es noetheriano si y sólo si es artiniano, si y sólo + si es finitamente generado, si y sólo si es de dimensión finita. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies3]$ +\end_inset + + Por definición. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies4\implies1,2]$ +\end_inset + + Por álgebra lineal. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies4]$ +\end_inset + + Probamos el contrarrecíproco. + Si +\begin_inset Formula $(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + es una familia de vectores linealmente independiente y llamamos +\begin_inset Formula $V_{n}\coloneqq\text{span}\{v_{m}\}_{m\geq n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $V_{1}\supsetneq V_{2}\supsetneq V_{3}\supsetneq\dots$ +\end_inset + + viola la DCC. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ +\end_inset + + no es noetheriano ni artiniano. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\dots\subsetneq(4)\subsetneq(2)\subsetneq(1)\subsetneq(\frac{1}{2})\subsetneq(\frac{1}{4})\subsetneq\dots$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es un homomorfismo de anillos y vemos a un +\begin_inset Formula $_{B}M$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo por restricción de escalares sobre +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano también lo es +\begin_inset Formula $_{B}M$ +\end_inset + +. + En particular si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es cuerpo y +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + tiene dimensión finita, +\begin_inset Formula $_{B}M$ +\end_inset + + es noetheriano y artiniano. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + +, por lo que si en +\begin_inset Formula ${\cal L}({}_{A}M)$ +\end_inset + + no hay cadenas de cierta forma, en +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)$ +\end_inset + + tampoco. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +En el grupo +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\left(\overline{\frac{1}{n}}\right)=\left\{ \overline{\frac{0}{n}},\overline{\frac{1}{n}},\dots,\overline{\frac{n-1}{n}}\right\} \cong\mathbb{Z}_{n} +\] + +\end_inset + + admite como generadores unitarios los +\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{n}}$ +\end_inset + + en que la fracción es irreducible. + Si +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\coloneqq\left\{ \overline{\frac{a}{p^{n}}}\right\} _{a\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + es un subgrupo de +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ +\end_inset + + que es artiniano pero no noetheriano, y que no es finitamente generado + pero todos sus subgrupos propios son cíclicos de la forma +\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + + es la unión de la cadena de subgrupos +\begin_inset Formula +\[ +0=\left(\overline{\frac{1}{p^{0}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{2}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{3}}}\right)\subsetneq\dots, +\] + +\end_inset + + por lo que no es noetheriano. + Si +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}N\leq\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + + contiene una cantidad infinita de elementos +\begin_inset Formula $\overline{\frac{1}{p^{n}}}$ +\end_inset + +, contiene a todos los miembros de la cadena y +\begin_inset Formula $N=\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + +, y en otro caso, sea +\begin_inset Formula $n\coloneqq\max\left\{ n\in\mathbb{N}:\overline{\frac{1}{p^{n}}}\in\mathbb{N}\right\} $ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N=\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in N$ +\end_inset + + con la fracción irreducible, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es coprimo con +\begin_inset Formula $p^{m}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{m}}}\right)=\left(\overline{\frac{a}{p^{n}}}\right)\subseteq N$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $m\leq n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Obvio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como todos sus subgrupos son los de esta cadena, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + + es artiniano, y no es finitamente generado porque de serlo, como todos + sus subgrupos también lo son, sería noetheriano. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Una +\series bold +sucesión exacta corta +\series default + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ +\end_inset + + en la que +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + son homomorfismos y el núcleo de cada morfismo es la imagen del que le + precede tomando como homomorfismos +\begin_inset Formula $0\to L$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N\to0$ +\end_inset + + los únicos posibles, lo que equivale a que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + sea un monomorfismo y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + un epimorfismo con +\begin_inset Formula $\text{Im}f=\ker g$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Toda sucesión exacta corta con término central +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es isomorfa a una de la forma +\begin_inset Formula $0\to K\overset{\iota}{\hookrightarrow}M\overset{\pi}{\to}\frac{M}{K}\to0$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $\iota$ +\end_inset + + es la inclusión y +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + la proyección canónica. + +\series bold +Demostración: +\series default + Dada +\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $K\coloneqq\text{Im}f$ +\end_inset + +, restringiendo +\begin_inset Formula $\hat{f}:L\to K$ +\end_inset + + tenemos un isomorfismo que nos permite cambiar +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\iota$ +\end_inset + + ya que +\begin_inset Formula $\iota\circ\hat{f}=f$ +\end_inset + +, y por el primer teorema de isomorfía en +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{M}{K}\cong N$ +\end_inset + +, por lo que cambiamos +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\frac{M}{K}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + ya que el isomorfismo de la prueba del teorema de isomorfía es +\begin_inset Formula $\overline{g}:\frac{M}{K}\to N$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\overline{g}(\overline{m})\coloneqq g(m)$ +\end_inset + + y claramente +\begin_inset Formula $\overline{g}\circ\pi=g$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano, como +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}N)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + +, también lo es +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + +, y como la biyección +\begin_inset Formula $\rho:\{K\in{\cal L}(_{A}M)\mid N\subseteq K\}\to{\cal L}(_{A}M/N)$ +\end_inset + + del teorema de correspondencia conserva la inclusión, +\begin_inset Formula $\rho^{-1}({\cal L}(_{A}M/N))\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + + y también lo es +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $P\subseteq Q$ +\end_inset + + son submódulos de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $P\cap N=Q\cap N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P+N=Q+N$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $q\in Q$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $q\in Q+N=P+N$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $q=p+n$ +\end_inset + + para ciertos +\begin_inset Formula $p\in P$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in N$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $q-p=n\in Q\cap N=P\cap N\subseteq P$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $q=(q-p)+p\in P$ +\end_inset + + y se concluye que +\begin_inset Formula $P=Q$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +\end_inset + + son noetherianos o artinianos respectivamente, sea +\begin_inset Formula $(P_{n})_{n}$ +\end_inset + + una cadena ascendente o descendente de submódulos de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, los +\begin_inset Formula $P_{n}\cap N$ +\end_inset + + y los +\begin_inset Formula $\frac{P_{n}+N}{N}$ +\end_inset + + forman cadenas ascendentes o descendentes de submódulos de +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +\end_inset + + respectivamente, y por hipótesis ambas se estabilizan a partir de un +\begin_inset Formula $n_{0}$ +\end_inset + + que podemos suponer común, pero entonces, para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $P_{n}\subseteq P_{n+1}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $P_{n}\cap N=P_{n+1}\cap N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\frac{P_{n}\cap N}{N}=\frac{P_{n+1}+N}{N}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $P_{n}=P_{n+1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La suma directa finita de módulos noetherianos o artinianos es respectivamente + noetheriana o artiniana. + En efecto, para +\begin_inset Formula $n\leq1$ +\end_inset + + módulos es obvio, para +\begin_inset Formula $n=2$ +\end_inset + + se deduce de lo anterior y de que, si +\begin_inset Formula $M=N\oplus K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $K\cong\frac{M}{N}$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $n>2$ +\end_inset + + se hace inducción. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano, respectivamente, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $n>0$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ +\end_inset + + noetheriano o noetheriano, si y sólo si todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo finitamente generado es noetheriano o artiniano. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies3]$ +\end_inset + + Es fácil ver que los submódulos de +\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ +\end_inset + + son productos de submódulos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, que son ideales, pero si +\begin_inset Formula $(M_{k}\coloneqq I_{k1}\times\dots\times I_{kn})_{k}$ +\end_inset + + es una cadena ascendente de submódulos de +\begin_inset Formula $A^{n}$ +\end_inset + +, cada cadena ascendente +\begin_inset Formula $(I_{ki})_{k}$ +\end_inset + + se estabiliza en un punto, que podemos suponer común, y +\begin_inset Formula $(M_{k})_{k}$ +\end_inset + + se estabiliza. + Entonces para +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + finitamente generado existe un epimorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{n}\to M$ +\end_inset + + y las cadenas ascendentes de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + también se estabilizan. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies2]$ +\end_inset + + Obvio. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies1]$ +\end_inset + + Si +\begin_inset Formula $A^{n}$ +\end_inset + + es noetheriano para cierto +\begin_inset Formula $n>0$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ +\end_inset + + una cadena ascendente de ideales de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(I_{k},0,\dots,0)_{k}$ +\end_inset + + es una cadena ascendente de submódulos de +\begin_inset Formula $A^{n}$ +\end_inset + + y por tanto se estabiliza, luego +\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ +\end_inset + + también se estabiliza. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para artinianos es análogo. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dados un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + noetheriano o artiniano, respectivamente, y un homomorfismo +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $_{A}B$ +\end_inset + + por restricción de escalares es finitamente generado, entonces +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es un anillo noetheriano o artiniano. \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard +Por lo anterior lo es +\begin_inset Formula $_{A}B$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}B)\subseteq{\cal L}(_{A}B)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A=A_{1}\times\dots\times A_{n}$ +\end_inset + + es un producto de anillos, todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo es isomorfo a un producto +\begin_inset Formula $M_{1}\times\dots\times M_{n}$ +\end_inset + +, donde cada +\begin_inset Formula $M_{i}$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A_{i}$ +\end_inset + +-módulo, y en particular +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}M)\cong{\cal L}(_{A_{1}}M_{1})\times\dots\times{\cal L}(_{A_{n}}M_{n})$ +\end_inset + +. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout -TODO +TODO ejercicio Saorín 4 \end_layout \end_inset @@ -1456,6 +5007,263 @@ TODO \end_layout +\begin_layout Standard + +\series bold +Lema de Artin: +\series default + En un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + en que 0 es producto finito de ideales maximales, un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si el número de ideales que hay que multiplicar es +\begin_inset Formula $n\leq1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un cuerpo y sabemos que se cumple. + Para +\begin_inset Formula $n>1$ +\end_inset + +, por inducción, sean +\begin_inset Formula $0=J_{1}J_{2}$ +\end_inset + + donde cada +\begin_inset Formula $J_{i}$ +\end_inset + + es producto de menos de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + maximales. + Si por ejemplo +\begin_inset Formula $J_{1}=M_{1}\cdots M_{k}$ +\end_inset + + con los +\begin_inset Formula $M_{i}$ +\end_inset + + maximales, en +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $0=\frac{J_{1}}{J_{1}}=\frac{M_{1}\cdots M_{k}}{J_{1}}=\frac{M_{1}}{J_{1}}\cdots\frac{M_{k}}{J_{1}}$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $J_{1}\subseteq M_{i}$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{M_{i}}{J_{1}}\trianglelefteq_{\text{m}}\frac{A}{J_{1}}$ +\end_inset + + y, en +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ +\end_inset + +, 0 es producto de menos de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + maximales y por tanto un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ +\end_inset + +-módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano, y análogamente para un + +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ +\end_inset + +-módulo. + Dado +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N\coloneqq J_{1}M$ +\end_inset + + es anulado por +\begin_inset Formula $J_{2}$ +\end_inset + + y por tanto se puede ver como un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ +\end_inset + +-módulo con +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{2}}N)={\cal L}(_{A}N)$ +\end_inset + + por restricción de escalares, mientras que +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}=\frac{M}{J_{1}M}$ +\end_inset + + es anulado por +\begin_inset Formula $J_{1}$ +\end_inset + + y se puede ver como un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ +\end_inset + +-módulo con +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{1}}M/N)={\cal L}(_{A}M/N)$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es noetheriano si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $_{A}M/N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $_{A}N$ +\end_inset + +, si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $_{A/J_{1}}M/N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $_{A/J_{2}}N$ +\end_inset + +, si y sólo si son artinianos, si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $_{A}M/N$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $_{A}N$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es noetheriano. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de Akizuki: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Un anillo es artiniano si y sólo si es noetheriano de dimensión 0. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Ya vimos que entonces es de dimensión 0 y el 0 es producto finito de maximales, + luego es noetheriano por el lema de Artin. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Por ser noetheriano, 0 es producto finito de ideales primos, que son maximales + por ser de dimensión 0, luego el anillo es artiniano por el lema de Artin. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Un módulo de un anillo artiniano es artiniano si y sólo si es noetheriano, + si y sólo si es finitamente generado. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\iff2]$ +\end_inset + + Por el argumento anterior el 0 es producto finito de maximales y aplica + el lema de Artin. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ +\end_inset + + Por definición. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ +\end_inset + + Visto. +\end_layout + \end_deeper +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo es +\series bold +de longitud finita +\series default + si es noetheriano y artiniano. + Un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es artiniano si y sólo si todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo finitamente generado es de longitud finita. +\end_layout + \end_body \end_document |