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| -rw-r--r-- | ac/n1.lyx | 5469 |
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@@ -195,112 +195,6 @@ El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos \end_layout \begin_layout Standard -Dados un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a,b,c\in A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a0=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -pues -\begin_inset Formula $a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0\implies0=a0$ -\end_inset - -; -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $-(-a)=a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -pues -\begin_inset Formula $x=-(-a)\implies0=x+(-a)\implies a=x+(-a)+a=x$ -\end_inset - -; -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a-b=c\iff b+c=a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -pues -\begin_inset Formula $a-b=c\implies a=a-b+b=c+b=b+c$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b+c=a\implies c=-b+b+c=-b+a=a-b$ -\end_inset - -; -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $(a-b)c=ac-bc$ -\end_inset - - -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $(a-b)c+bc=ac-bc+bc=ac\implies ac-bc=(a-b)c$ -\end_inset - -, -\end_layout - -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(-a)b=-(ab)$ -\end_inset - - -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $(-a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=-ab$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard Un anillo es \series bold conmutativo @@ -334,12 +228,8 @@ uno \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset para @@ -439,7 +329,7 @@ status open \backslash -begin{reminder}{ga} +begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset @@ -494,6 +384,267 @@ Llamamos \end_layout \begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo y +\begin_inset Formula $a,b,c\in A$ +\end_inset + +: [...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +3. +\end_layout + +\end_inset + +[...] El 0 y el 1 son únicos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout + +\end_inset + +El opuesto de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es único, y si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, el inverso es único. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $0a=a0=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +6. +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a(-b)=(-a)b=-(ab)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +7. +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a(b-c)=ab-ac$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son invertibles si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $ab$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $ba$ +\end_inset + +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Si +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, definimos +\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a:=0$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $na:=(n-1)a+a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(-n)a:=-(na)$ +\end_inset + +. + Definimos +\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}:=1_{A}$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a^{n}:=a^{n-1}a$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, +\begin_inset Formula $a^{-n}:=(a^{-1})^{n}$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a,b\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $n(a+b)=na+nb$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(n+m)a=na+ma$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $n(ma)=(nm)a$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $n,m\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, esto se cumple para +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + enteros arbitrarios. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si [...] +\begin_inset Formula $n\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ +\end_inset + +, y si [...] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son invertibles, esto se cumple para todo entero +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -543,44 +694,268 @@ homomorfismo de anillos \end_inset . - Entonces + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +automorfismo +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un isomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + [...] Sean +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + un homomorfismo de anillos y +\begin_inset Formula $a,b,a_{1},\dots,a_{n}\in A$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(0)=0$ \end_inset +. +\end_layout -\begin_inset Note Comment +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(-a)=-f(a)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(a-b)=f(a)-f(b)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)=f(0)+0$ +5. +\end_layout + \end_inset -, + +\begin_inset Formula $f(na)=nf(a)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +6. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, +\begin_inset Formula $f(a)$ +\end_inset + + también lo es y +\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ +\end_inset + +. \end_layout +\begin_layout Standard +[...] Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados anillos +\begin_inset Formula $A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\forall a\in A,f(-a)=-f(a)$ +\begin_inset Formula $B$ \end_inset +, +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset -\begin_inset Note Comment -status open + dada por +\begin_inset Formula $f(a)=0$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $f(-a)+f(a)=f(-a+a)=f(0)=0$ + es un homomorfismo si y sólo si +\begin_inset Formula $B=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sea +\begin_inset Formula $B$ \end_inset + un subanillo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, la inclusión +\begin_inset Formula $i:B\to A$ +\end_inset + es un homomorfismo. \end_layout +\begin_layout Enumerate +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\mu:\mathbb{Z}\to A$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\mu(n):=n1$ +\end_inset + + es el único homomorfismo de anillos de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . - Un homomorfismo +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dada una familia de anillos +\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $j\in I$ +\end_inset + +, la +\series bold +proyección +\series default + +\begin_inset Formula $p_{j}:\prod_{i\in I}A_{i}\to A_{j}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $p_{j}(a):=a_{j}$ +\end_inset + + es un homomorfismo. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La +\series bold +conjugación +\series default + de complejos, dada por +\begin_inset Formula $\overline{a+bi}:=a-bi$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +, es un automorfismo en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + +. + [...] Si +\begin_inset Formula $d$ +\end_inset + + es un entero que no es un cuadrado, definiendo el conjugado de +\begin_inset Formula $a+b\sqrt{d}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $a-b\sqrt{d}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ +\end_inset + + o en +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ +\end_inset + + tenemos un automorfismo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un homomorfismo \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -1269,7 +1644,11 @@ Si hubiera \end_layout \begin_layout Standard -Un anillo es un +Un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un \series bold dominio \series default @@ -1279,7 +1658,10 @@ dominio cuerpo \series default si todo elemento no nulo es unidad. - Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. Los recíprocos no se cumplen, pues \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -1500,6 +1882,10 @@ status open . \end_layout +\begin_layout Subsection +Elementos primos e irreducibles +\end_layout + \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -1570,7 +1956,36 @@ Irreducible en un dominio no implica primo. \end_layout \begin_layout Standard -Dados un anillo [...] +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es irreducible si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es maximal entre los ideales principales no nulos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, es decir, si +\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un anillo conmutativo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1598,11 +2013,7 @@ máximo común divisor \begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -[ -\begin_inset Formula $=\gcd S$ -\end_inset - -], si divide a cada elemento de +, si divide a cada elemento de \begin_inset Formula $S$ \end_inset @@ -1622,505 +2033,403 @@ mínimo común múltiplo \begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset -[ -\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ -\end_inset - -], si es múltiplo de cada elemento de +, si es múltiplo de cada elemento de \begin_inset Formula $S$ \end_inset y divide a cada elemento que cumple esto. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - + Para +\begin_inset Formula $a,b\in A$ \end_inset - +: \end_layout -\begin_layout Standard -Un -\series bold -dominio de factorización única -\series default - (DFU) es un dominio -\begin_inset Formula $D$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset - en el que, para -\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ + si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset -, existen -\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$ + es el menor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - irreducibles con -\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$ + que contiene a +\begin_inset Formula $S$ \end_inset -, y si -\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$ +. + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=(S)$ \end_inset - son irreducibles con -\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$ +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $n=m$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset - y existe una permutación -\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset - tal que cada -\begin_inset Formula $b_{i}$ + es el mayor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es asociado a -\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$ + contenido en +\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset . - Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. - También lo son -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset - y los anillos de polinomios sobre un DFU. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $n\geq2$ +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset -: +. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset - es unidad si y sólo si -\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ +, +\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son asociados en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset +, +\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ +\end_inset -\end_layout + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + y +\begin_inset Formula $b$ \end_inset -Si fuera -\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$ + son asociados en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $r=dr'$ + divide a todo elemento de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset y -\begin_inset Formula $n=dn'$ +\begin_inset Formula $a\in(S)$ \end_inset , entonces -\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$ +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset - pero -\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$ +. + En tal caso llamamos +\series bold +identidad de Bézout +\series default + a una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $r$ + con +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ \end_inset - es divisor de cero. -\begin_inset Formula $\#$ + y +\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ \end_inset - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +, que existe porque +\begin_inset Formula $a\in(S)$ \end_inset - +. \end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ \end_inset -Una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $ar+bn=1$ + si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset - se traduce en que -\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$ + son las unidades de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de -\begin_inset Formula $n$ +Si +\begin_inset Formula $1\in(S)$ \end_inset - dividen a -\begin_inset Formula $r$ +, +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset +\backslash +end{reminder} \end_layout \end_inset -Sean -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - con -\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - un divisor primo de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -, como -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - - y por tanto a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset +\end_layout -. +\begin_layout Subsection +Dominios de factorización única \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset +\backslash +begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$ -\end_inset - la descomposición prima de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -, como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset +\end_layout - divide a -\begin_inset Formula $r$ +\begin_layout Standard +Dado un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ +, una +\series bold +factorización en producto de irreducibles +\series default + de +\begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $n$ + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ +, donde +\begin_inset Formula $u$ \end_inset - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ + es una unidad de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $n$ + y +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ + son irreducibles en +\begin_inset Formula $D$ \end_inset . -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ + Dos factorizaciones en producto de irreducibles de +\begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset - es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ +, +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ \end_inset - es primo. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies2]$ + y +\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ \end_inset - Visto. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ +, son +\series bold +equivalentes +\series default + si +\begin_inset Formula $m=n$ \end_inset - Probamos el contrarrecíproco. - Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ + y existe una permutación +\begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $1<p,q<n$ + de +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}:=\{1,\dots,n\}$ \end_inset -, con -\begin_inset Formula $n=pq$ + tal que para +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es divisor de 0 en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\begin_inset Formula $p_{k}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ -\end_inset - - Para -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ + y +\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ + son asociados, en cuyo caso +\begin_inset Formula $u$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $r$ + y +\begin_inset Formula $v$ \end_inset - es unidad. + también lo son. \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - es reducido si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ + es un +\series bold +dominio de factorización +\series default + ( +\series bold +DF +\series default +) si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - es + admite una factorización en producto de irreducibles, y es un \series bold -libre de cuadrados +dominio de factorización única \series default -, es decir, si no tiene divisores cuadrados de primos. + ( +\series bold +DFU +\series default + o +\series bold +UFD +\series default +) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +\series bold +Teorema Fundamental de la Aritmética: +\series default + +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - + es un DFU. \end_layout +\begin_layout Enumerate +Dado +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset -Si no fuera libre de cuadrados, sea -\begin_inset Formula $n=p^{2}q$ -\end_inset - - para ciertos -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset + es un DF. +\end_layout - primo, en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\begin_layout Standard +Un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - -\begin_inset Formula $pq\neq0$ + es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - pero -\begin_inset Formula $(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=0$ + es producto de una unidad por primos, si y sólo si +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -. + es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset +\backslash +end{reminder} \end_layout \end_inset -La descomposición en primos de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es de la forma -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset - - con los -\begin_inset Formula $p_{i}$ -\end_inset - distintos, y si -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - cumple -\begin_inset Formula $r^{2}=0$ -\end_inset - - entonces en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - cada -\begin_inset Formula $p_{i}$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{2}$ -\end_inset - - y por tanto a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $r=0$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset +\end_layout -. +\begin_layout Standard +Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. + También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. \end_layout -\end_deeper \begin_layout Section Subanillos \end_layout @@ -2300,6 +2609,276 @@ anillo \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un subanillo de sí mismo, el +\series bold +subanillo impropio +\series default +, y el resto de subanillos son +\series bold +propios +\series default +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +3. +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\{0\}$ +\end_inset + + es subanillo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $A=\{0\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout + +\end_inset + +Llamamos +\series bold +subanillo primo +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1:=\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ +\end_inset + +, el menor subanillo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + son anillos y +\begin_inset Formula $B\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$ +\end_inset + + es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de +\begin_inset Formula $A\times B$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +7. +\end_layout + +\end_inset + +Dado un espacio topológico +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{f\in\mathbb{R}^{X}:f\text{ continua}\}$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{X}$ +\end_inset + + con la suma y el producto por elementos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout + +\end_inset + +Dado un espacio vectorial +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{f\in V^{V}:f\text{ lineal}\}$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $(V^{V},+,\circ)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +9. +\end_layout + +\end_inset + +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y un conjunto +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{f\in A^{X}:f\text{ constante}\}$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A^{X}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +9. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $B'$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f^{-1}(B')$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +10. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es un isomorfismo de anillos, +\begin_inset Formula $f^{-1}$ +\end_inset + + también. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido es reducido. No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues @@ -2642,6 +3221,10 @@ end{exinfo} \end_layout +\begin_layout Subsection +Ideales finitamente generados +\end_layout + \begin_layout Standard La intersección de una familia de ideales de \begin_inset Formula $A$ @@ -2895,17 +3478,258 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Standard +Un +\series bold +dominio de ideales principales +\series default + (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DIP y +\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es irreducible si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es un ideal maximal, si y solo si +\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ +\end_inset + + es un cuerpo, si y solo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es primo, si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es un ideal primo, si y solo si +\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ +\end_inset + + es un dominio. + [...] Todo DIP es un DFU. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + +En un DIP, +\begin_inset Formula $(a)+(b)=(\gcd\{a,b\})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(a)\cap(b)=(\text{lcm}\{a,b\})$ +\end_inset + +. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +No todos los ideales son finitamente generados. + En efecto, dado un anillo no trivial \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un cuerpo si y sólo si sus únicos ideales son 0 y +, en +\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +\end_inset + + con las operaciones componente a componente, +\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ +\end_inset + + formado por los elementos de +\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +\end_inset + + con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de +\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +\end_inset + +, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita + de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo + ceros y no generan elementos de +\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ +\end_inset + + con un 1 después de esta posición. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + \begin_inset Formula $A$ \end_inset + es un cuerpo si y sólo si los únicos ideales de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + son 0 y +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, si y sólo si todo homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $A\to B$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $B\neq0$ +\end_inset + + es inyectivo. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Aritmética modular +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + +Dado +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ +\end_inset + +, llamamos +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}:=\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ +\end_inset + +. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + + es unidad si y sólo si +\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + . \end_layout -\begin_layout Itemize +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -2918,30 +3742,135 @@ status open \end_inset -Dado -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +Si fuera +\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $I\neq0$ +, sean +\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$ \end_inset -, existe -\begin_inset Formula $e\in I\setminus\{0\}$ + con +\begin_inset Formula $r=dr'$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $e$ + y +\begin_inset Formula $n=dn'$ \end_inset - es unidad, luego -\begin_inset Formula $I=A$ +, entonces +\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$ +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + es divisor de cero. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Una identidad de Bézout +\begin_inset Formula $ar+bn=1$ +\end_inset + + se traduce en que +\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + + es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + dividen a +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + un divisor primo de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $r^{m}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $r^{m}$ +\end_inset + + y por tanto a +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -2954,120 +3883,248 @@ status open \end_inset -Si -\begin_inset Formula $A$ +Sea +\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$ \end_inset - no fuera un cuerpo, sea -\begin_inset Formula $e\in A\setminus0$ + la descomposición prima de +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - no invertible, -\begin_inset Formula $1\notin(e)$ +, como +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ \end_inset -, pues no existe -\begin_inset Formula $f\in A$ + divide a +\begin_inset Formula $r$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $ef=1$ +, si +\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ +\end_inset + + y este a +\begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset , luego -\begin_inset Formula $0\subsetneq(e)\subsetneq A$ +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -Un -\series bold -dominio de ideales principales -\series default - (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales, como -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ + es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - para todo cuerpo -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ + es primo. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ +\end_inset + + Visto. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ +\end_inset + + Probamos el contrarrecíproco. + Si existen +\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $1<p,q<n$ +\end_inset + +, con +\begin_inset Formula $n=pq$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es divisor de 0 en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset . - Todo DIP es un DFU. \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ +\end_inset + + Para +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + es unidad. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + + es reducido si y sólo si +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es +\series bold +libre de cuadrados +\series default +, es decir, si no tiene divisores cuadrados de primos. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} \end_layout \end_inset -En un DIP, -\begin_inset Formula $(a)+(b)=(\gcd\{a,b\})$ +Si no fuera libre de cuadrados, sea +\begin_inset Formula $n=p^{2}q$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $(a)\cap(b)=(\text{lcm}\{a,b\})$ + para ciertos +\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + primo, en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $pq\neq0$ +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=0$ \end_inset . -\begin_inset ERT +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset -\backslash -end{exinfo} \end_layout \end_inset +La descomposición en primos de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset -\end_layout + es de la forma +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ +\end_inset -\begin_layout Standard -No todos los ideales son finitamente generados. - En efecto, dado un anillo no trivial -\begin_inset Formula $A$ + con los +\begin_inset Formula $p_{i}$ \end_inset -, en -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ + distintos, y si +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset - con las operaciones componente a componente, -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ + cumple +\begin_inset Formula $r^{2}=0$ \end_inset - formado por los elementos de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ + entonces en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ + cada +\begin_inset Formula $p_{i}$ \end_inset -, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita - de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo - ceros y no generan elementos de -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ + divide a +\begin_inset Formula $r^{2}$ \end_inset - con un 1 después de esta posición. + y por tanto a +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r=0$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Operaciones con ideales \end_layout \begin_layout Standard @@ -3338,6 +4395,60 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ +\end_inset + +, en general +\begin_inset Formula $I\cdot J$ +\end_inset + + no es un ideal. + En efecto, sean +\begin_inset Formula $A\coloneqq\mathbb{Z}[X,Y]$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $I\coloneqq(X,Y)\trianglelefteq A$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $X^{2},Y^{2},XY\in I\cdot I$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $I\cdot I$ +\end_inset + + fuera un ideal sería +\begin_inset Formula $p\coloneqq X^{2}+XY+Y^{2}\in I\cdot I$ +\end_inset + + y por tanto habría +\begin_inset Formula $q=a_{0}X+b_{0}Y+\dots,r=a_{1}X+b_{1}Y+\dots\in I$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p=qr$ +\end_inset + +, pero entonces +\begin_inset Formula $a_{0}a_{1},b_{0}b_{1},a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}=1$ +\end_inset + +, pero como los coeficientes son enteros las dos primeras ecuaciones implican + +\begin_inset Formula $a_{0}=a_{1},b_{0}=b_{1}\in\{\pm1\}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}\in\{\pm2\}\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard El \series bold ideal producto @@ -3442,16 +4553,23 @@ Llamamos \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -Here -\end_layout + +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\end_inset + es +\series bold +nilpotente +\series default + si existe +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset + tal que +\begin_inset Formula $I^{n}=0$ +\end_inset +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -3592,7 +4710,7 @@ Dados un dominio \end_inset no trivial, si -\begin_inset Formula $I(a)=I(b)$ +\begin_inset Formula $(a)I=(b)I$ \end_inset entonces @@ -3600,7 +4718,15 @@ Dados un dominio \end_inset . - Esto no es cierto en general cuando los ideales no son principales. + Esto no es cierto en general si se cambian +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $(b)$ +\end_inset + + por ideales no principales. \begin_inset ERT status open @@ -3617,60 +4743,6 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Standard -Dados -\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ -\end_inset - -, en general -\begin_inset Formula $I\cdot J$ -\end_inset - - no es un ideal. - En efecto, sean -\begin_inset Formula $A\coloneqq\mathbb{Z}[x,y]=\mathbb{Z}[x][y]$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $I\coloneqq(x,y)\trianglelefteq A$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $x^{2},y^{2},xy\in I\cdot I$ -\end_inset - -, y si -\begin_inset Formula $I\cdot I$ -\end_inset - - fuera un ideal sería -\begin_inset Formula $p\coloneqq x^{2}+xy+y^{2}\in I\cdot I$ -\end_inset - - y por tanto habría -\begin_inset Formula $q=a_{0}x+b_{0}y+\dots,r=a_{1}x+b_{1}y+\dots\in I$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $p=qr$ -\end_inset - -, pero entonces -\begin_inset Formula $a_{0}a_{1},b_{0}b_{1},a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}=1$ -\end_inset - -, pero como los coeficientes son enteros las dos primeras ecuaciones implican - -\begin_inset Formula $a_{0}=a_{1},b_{0}=b_{1}\in\{\pm1\}$ -\end_inset - - y por tanto -\begin_inset Formula $a_{0}b_{1}+b_{0}a_{1}\in\{\pm2\}\#$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ \end_inset @@ -3720,7 +4792,7 @@ completamente idempotente \end_inset cumple -\begin_inset Formula $I=I^{2}\coloneqq I\cdot I$ +\begin_inset Formula $I=I^{2}$ \end_inset , si y sólo si para todo @@ -3789,11 +4861,11 @@ Sea \end_inset la proyección canónica, -\begin_inset Formula $J=\pi^{-1}(0)$ +\begin_inset Formula $J=\ker\pi$ \end_inset , luego -\begin_inset Formula $f^{-1}(J)=(\pi\circ f)^{-1}(0)$ +\begin_inset Formula $f^{-1}(J)=f^{-1}(\pi^{-1}(0))=\ker(\pi\circ f)$ \end_inset es un ideal. @@ -3831,19 +4903,19 @@ extensión \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $f(a)\in\text{Im}f$ -\end_inset - - para cierto \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f(x),f(y)\in f(I)$ +\begin_inset Formula $x,y\in I$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $x,y\in I$ +, de modo que +\begin_inset Formula $f(a)\in\text{Im}f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(x),f(y)\in f(I)$ \end_inset , @@ -3877,15 +4949,11 @@ La inclusión \end_inset es un homomorfismo de anillos y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\trianglelefteq A$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}$ \end_inset , pero -\begin_inset Formula $\iota(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ -\end_inset - - no es ideal de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\begin_inset Formula $\iota(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\ntrianglelefteq\mathbb{Q}$ \end_inset . @@ -3921,7 +4989,7 @@ Primero vemos que las imágenes están donde deben. \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset -, sabemos que +, \begin_inset Formula $f(I)\trianglelefteq\text{Im}f$ \end_inset @@ -3929,7 +4997,7 @@ Primero vemos que las imágenes están donde deben. \begin_inset Formula $J\trianglelefteq\text{Im}f$ \end_inset -, sabemos que +, \begin_inset Formula $f^{-1}(J)\trianglelefteq A$ \end_inset @@ -3938,11 +5006,11 @@ Primero vemos que las imágenes están donde deben. \end_inset , -\begin_inset Formula $f^{-1}(0)=\ker f\subseteq f^{-1}(J)$ +\begin_inset Formula $\ker f=f^{-1}(0)\subseteq f^{-1}(J)$ \end_inset . - Ahora vemos que la extensión y la contracción son inversas una de la otra. + Veamos ahora que la extensión y la contracción son inversas una de la otra. Por teoría de conjuntos, para todo \begin_inset Formula $J\subseteq\text{Im}f$ \end_inset @@ -4010,10 +5078,14 @@ Si \end_inset es la proyección canónica, -\begin_inset Formula $\rho:\{J\trianglelefteq A:I\subseteq J\}\to\{K\trianglelefteq A/I\}$ +\begin_inset Formula +\[ +\rho:\{J\trianglelefteq A:I\subseteq J\}\to\{K\trianglelefteq A/I\} +\] + \end_inset - dada por +dada por \begin_inset Formula $\rho(J)\coloneqq J/I\coloneqq p(J)=\{x+I\}_{x\in J}$ \end_inset @@ -4137,7 +5209,11 @@ Hay tantos ideales de \begin_inset Formula $m$ \end_inset - positivos ya que los negativos son sus asociados. + positivos ya que los negativos son sus asociados y +\begin_inset Formula $(0)=(n)$ +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4198,7 +5274,7 @@ Para \end_inset , -\begin_inset Formula $f(x)=\overline{f}(p(x))=h(0+I)=0$ +\begin_inset Formula $f(x)=\overline{f}(p(x))=\overline{f}(0)=0$ \end_inset , luego @@ -4456,6 +5532,121 @@ Sea \end_deeper \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + +Un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + tiene +\series bold +característica +\series default + +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{\geq0}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es el menor entero positivo con +\begin_inset Formula $n1_{A}=0_{A}$ +\end_inset + +, o 0 si no existe tal +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. + Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo conmutativo, +\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to A$ +\end_inset + + el único homomorfismo de anillos ( +\begin_inset Formula $f(n)=n1$ +\end_inset + +) y +\begin_inset Formula $n\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + tiene característica +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $\ker f=n\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, si y sólo si el subanillo primo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es isomorfo a +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + contiene un subanillo isomorfo a +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + +. + [...] La característica de un dominio no trivial es 0 o un número primo. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard \begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ \end_inset @@ -4571,7 +5762,7 @@ Para \begin_inset Formula $x\in I_{1}\cap I_{2}$ \end_inset -, existen +, como existen \begin_inset Formula $a\in I_{1}$ \end_inset @@ -4583,7 +5774,7 @@ Para \begin_inset Formula $a+b=1$ \end_inset -, luego +, \begin_inset Formula $x=ax+bx$ \end_inset @@ -4644,6 +5835,22 @@ status open \backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash begin{exinfo} \end_layout @@ -4726,7 +5933,7 @@ Teorema chino de los restos: \end_inset dado por -\begin_inset Formula $\phi(x)=(g_{1}(x),\dots,g_{n}(x))$ +\begin_inset Formula $\phi(x)\coloneqq(g_{1}(x),\dots,g_{n}(x))$ \end_inset es un homomorfismo con núcleo @@ -5211,15 +6418,11 @@ Un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es -\series bold -local -\series default - si tiene un único ideal maximal + tiene un único ideal maximal \begin_inset Formula $M$ \end_inset -, si y sólo si + si y sólo si \begin_inset Formula $A\setminus A^{*}$ \end_inset @@ -5227,8 +6430,11 @@ local \begin_inset Formula $M=A\setminus A^{*}$ \end_inset -. - Entonces decimos que +, y entonces decimos que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, \begin_inset Formula $(A,M)$ \end_inset @@ -5240,12 +6446,7 @@ local \series bold anillo local \series default -. - Si -\begin_inset Formula $(A,M)$ -\end_inset - - es un anillo local, +, y \begin_inset Formula $1+M$ \end_inset @@ -5254,6 +6455,15 @@ anillo local \end_inset . + +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + + es un anillo local si y sólo si +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es potencia de primo. \end_layout \begin_layout Standard @@ -5425,8 +6635,8 @@ para \end_layout \begin_layout Enumerate -Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, haciendo - +Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, usando + la recurrencia \begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq q$ \end_inset @@ -5434,7 +6644,7 @@ Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, haciendo \begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq r$ \end_inset - y la recurrencia +, \begin_inset Formula $q_{i-1}=r_{i}q_{i}+q_{i+1}$ \end_inset @@ -5467,120 +6677,6 @@ Se va despejando hacia atrás, haciendo \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ -\end_inset - - es -\series bold -nil -\series default - si está contenido en -\begin_inset Formula $\text{Nil}(A)$ -\end_inset - -, y en tal caso: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall a\in A,(a+I\in(A/I)^{*}\implies a\in A^{*})$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A/I$ -\end_inset - - no tiene idempotentes distintos de -\begin_inset Formula $\overline{0}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\overline{1}$ -\end_inset - -, tampoco los tiene -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - es maximal, -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo local. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ -\end_inset - - es -\series bold -nilpotente -\series default - si existe -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $I^{n}=0$ -\end_inset - -, donde -\begin_inset Formula $I^{0}\coloneqq A$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $n>0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $I^{n}\coloneqq II^{n-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - -Todo ideal nil finitamente generado es nilpotente. \begin_inset ERT status open @@ -5625,7 +6721,7 @@ primo \end_inset es un dominio, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\forall I_{1},\dots,I_{n}\trianglelefteq A,(I_{1}\cdots I_{n}\subseteq J\implies\exists k:I_{k}\subseteq J)$ +\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\forall J_{1},\dots,J_{n}\trianglelefteq A,(J_{1}\cdots J_{n}\subseteq I\implies\exists k:J_{k}\subseteq I)$ \end_inset . @@ -5674,11 +6770,11 @@ primo \end_inset Si fuera cada -\begin_inset Formula $I_{k}\nsubseteq J$ +\begin_inset Formula $J_{k}\nsubseteq I$ \end_inset , sea -\begin_inset Formula $x_{k}\in I_{k}\setminus J$ +\begin_inset Formula $x_{k}\in J_{k}\setminus I$ \end_inset para cada @@ -5686,11 +6782,11 @@ primo \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{1}\cdots x_{n}\in I_{1}\cdots I_{n}\subseteq J$ +\begin_inset Formula $x_{1}\cdots x_{n}\in J_{1}\cdots J_{n}\subseteq I$ \end_inset , pero si -\begin_inset Formula $J$ +\begin_inset Formula $I$ \end_inset es primo existe @@ -5698,7 +6794,7 @@ primo \end_inset con -\begin_inset Formula $x_{j}\in J\#$ +\begin_inset Formula $x_{j}\in I\#$ \end_inset . @@ -5713,30 +6809,79 @@ primo \end_inset con -\begin_inset Formula $a_{1}a_{2}\in J$ +\begin_inset Formula $a_{1}a_{2}\in I$ \end_inset , -\begin_inset Formula $(a_{1})(a_{2})=(a_{1}a_{2})\subseteq J$ +\begin_inset Formula $(a_{1})(a_{2})=(a_{1}a_{2})\subseteq I$ \end_inset , luego por hipótesis \begin_inset Formula $(a_{1})\subseteq J$ \end_inset + o +\begin_inset Formula $(a_{2})\subseteq J$ +\end_inset + y por tanto \begin_inset Formula $a_{1}\in J$ \end_inset o -\begin_inset Formula $(a_{2})\subseteq J$ +\begin_inset Formula $a_{2}\in J$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $a_{2}\in J$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + +[Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un anillo y +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +,] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es primo si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es un ideal primo no nulo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard @@ -5886,11 +7031,11 @@ Para \begin_inset Formula $n>1$ \end_inset -, supuesto esto probado para +, suponemos esto probado para \begin_inset Formula $n-1$ \end_inset -, si fuera +, y suponemos por reducción al absurdo que \begin_inset Formula $I\nsubseteq J_{k}$ \end_inset @@ -5898,11 +7043,12 @@ Para \begin_inset Formula $k$ \end_inset -, para cada +. + Para cada \begin_inset Formula $i$ \end_inset -, +, como \begin_inset Formula $I\subseteq J_{k}$ \end_inset @@ -5910,7 +7056,11 @@ Para \begin_inset Formula $k\neq i$ \end_inset - y por tanto existe +, +\begin_inset Formula $I\nsubseteq\bigcup_{k\neq i}J_{k}$ +\end_inset + + y existe \begin_inset Formula $a_{i}\in I$ \end_inset @@ -5918,7 +7068,7 @@ Para \begin_inset Formula $a_{i}\notin\bigcup_{k\neq i}J_{k}$ \end_inset - y por tanto +, por lo que \begin_inset Formula $a_{i}\in J_{i}$ \end_inset @@ -6143,7 +7293,7 @@ contra-inductivo \series bold Lema de Zorn dual: \series default - Todo conjunto contra-inductivo tiene al menos un elemento minimal. + Todo conjunto contra-inductivo no vacío tiene al menos un elemento minimal. \end_layout \begin_layout Standard @@ -6177,8 +7327,8 @@ primo minimal \begin_inset Formula $Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$ \end_inset - contiene a -\begin_inset Formula $I$ + con +\begin_inset Formula $I\subseteq Q$ \end_inset , @@ -6292,7 +7442,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $Q$ \end_inset - y, si +, y si \begin_inset Formula $J'$ \end_inset @@ -6872,5 +8022,2840 @@ Si es un radical si y sólo si es intersección de ideales primos. \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\end_inset + + es +\series bold +nil +\series default + si está contenido en +\begin_inset Formula $\text{Nil}(A)$ +\end_inset + +, y en tal caso: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall a\in A,(a+I\in(A/I)^{*}\implies a\in A^{*})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A/I$ +\end_inset + + no tiene idempotentes distintos de +\begin_inset Formula $\overline{0}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{1}$ +\end_inset + +, tampoco los tiene +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es maximal, +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un anillo local. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo ideal nil finitamente generado es nilpotente. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Dominios euclídeos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un dominio +\begin_inset Formula $D\neq0$ +\end_inset + +, una función +\begin_inset Formula $\delta:D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$ +\end_inset + + es +\series bold +euclídea +\series default + si cumple: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall a,b\in D\setminus\{0\},(a\mid b\implies\delta(a)\leq\delta(b))$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D:(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +dominio euclídeo +\series default + es uno que admite una función euclídea. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El valor absoluto es una función euclídea en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El cuadrado del módulo complejo es una función euclídea en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[i]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\delta$ +\end_inset + + una función euclídea en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + un ideal de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in I\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +I=(a)\iff\forall x\in I\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x). +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Todo dominio euclídeo es DIP. + Si +\begin_inset Formula $\delta$ +\end_inset + + es una función euclídea en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, un elemento +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + + es una unidad si y sólo si +\begin_inset Formula $\delta(a)=\delta(1)$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall x\in D\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Cuerpos de fracciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $D\neq0$ +\end_inset + + un dominio y +\begin_inset Formula $X:=D\times(D\setminus\{0\})$ +\end_inset + +, definimos la relación binaria +\begin_inset Formula +\[ +(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}. +\] + +\end_inset + + Esta relación es de equivalencia. + Llamamos +\begin_inset Formula $a/s:=\frac{a}{s}:=[(a,s)]\in Q(D):=X/\sim$ +\end_inset + +, y las operaciones +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}}, +\end{align*} + +\end_inset + +están bien definidas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $a,b\in D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{0}{1}\iff a=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{1}{1}\iff a=s$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{at}{st}=\frac{a}{s}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{b}{s}\iff a=b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}+\frac{b}{s}=\frac{a+b}{s}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] +\begin_inset Formula $(Q(D),+,\cdot)$ +\end_inset + + es un cuerpo llamado +\series bold +cuerpo de fracciones +\series default + o +\series bold +de cocientes +\series default + de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + cuyo cero es +\begin_inset Formula $\frac{0}{1}$ +\end_inset + + y cuyo uno es +\begin_inset Formula $\frac{1}{1}$ +\end_inset + + . +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + es el cuerpo de fracciones de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + +. + [...] +\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $u(a):=a/1$ +\end_inset + + es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + como un subdominio de +\begin_inset Formula $Q(D)$ +\end_inset + + identificando a cada +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a/1\in Q(D)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Propiedad universal del cuerpo de fracciones: +\series default + Dados un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $u(a):=a/1$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo y +\begin_inset Formula $f:D\to K$ +\end_inset + + un homomorfismo inyectivo, el único homomorfismo de cuerpos +\begin_inset Formula $\tilde{f}:Q(D)\to K$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ +\end_inset + + viene dado por +\begin_inset Formula $\tilde{f}(\frac{a}{s})=f(a)f(s)^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo no trivial y +\begin_inset Formula $g,h:Q(D)\to K$ +\end_inset + + homomorfismos que coinciden en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $g=h$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + un cuerpo no trivial y +\begin_inset Formula $v:D\to F$ +\end_inset + + un homomorfismo inyectivo tal que para todo cuerpo +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + y homomorfismo inyectivo +\begin_inset Formula $f:D\to K$ +\end_inset + + existe un único homomorfismo +\begin_inset Formula $\tilde{f}:F\to K$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ +\end_inset + +, entonces existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:F\to Q(D)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\phi\circ v=u$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un dominio, +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo no trivial y +\begin_inset Formula $f:D\to K$ +\end_inset + + un homomorfismo inyectivo, +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + contiene un subcuerpo isomorfo a +\begin_inset Formula $Q(D)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí, para +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])\cong\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ +\end_inset + +, lo que nos permite identificar los elementos de +\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])$ +\end_inset + + con los de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo no trivial, existe un subcuerpo +\begin_inset Formula $K'$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + llamado +\series bold +subcuerpo primo +\series default + de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + contenido en cualquier subcuerpo de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, y este es isomorfo a +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ +\end_inset + + si la característica de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es un entero primo +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + o a +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + en caso contrario. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Polinomios +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + identificando los elementos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + con los +\series bold +polinomios constantes +\series default +, de la forma +\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$ +\end_inset + +. + Dado un ideal +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0}\in I\}$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $I[X]:=\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ +\end_inset + + son ideales de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +grado +\series default + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\text{gr}(p):=\max\{k\in\mathbb{N}:p_{k}\neq0\}$ +\end_inset + +, +\series bold +coeficiente +\series default + de +\series bold +grado +\series default + +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $p_{k}$ +\end_inset + +, +\series bold +coeficiente independiente +\series default + al de grado 0 y +\series bold +coeficiente principal +\series default + al de grado +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ +\end_inset + +. + Un polinomio es +\series bold +mónico +\series default + si su coeficiente princial es 1. + El polinomio 0 tiene grado +\begin_inset Formula $-\infty$ +\end_inset + + por convención. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +monomio +\series default + es un polinomio de la forma +\begin_inset Formula $aX^{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Todo polinomio en +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + se escribe como suma finita de monomios de distinto grado de forma única + salvo orden. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + + tienen coeficientes principales respectivos +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$ +\end_inset + +, con desigualdad estricta si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p+q=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)\leq\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$ +\end_inset + +, con igualdad si y sólo si +\begin_inset Formula $pq\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + no es un cuerpo. + Es un dominio si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, en cuyo caso llamamos +\series bold +cuerpo de las funciones racionales +\series default + sobre +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + al cuerpo de fracciones de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] +\series bold +Propiedad universal del anillo de polinomios +\series default + ( +\series bold +PUAP +\series default +) +\series bold +: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo y +\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$ +\end_inset + + el homomorfismo inclusión: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para cada homomorfismo de anillos conmutativos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in B$ +\end_inset + +, el único homomorfismo +\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X]\to B$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}(X)=b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula +\[ +\tilde{f}\left(\sum_{n}p_{n}X^{n}\right):=\sum_{n}f(p_{n})b^{n}. +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + están determinados salvo isomorfismos por la propiedad universal: dados + un homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $v:A\to P$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $t\in P$ +\end_inset + + tales que, para cada homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in B$ +\end_inset + +, existe un único +\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}(t)=b$ +\end_inset + +, existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A[X]\to P$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\phi(X)=t$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in B$ +\end_inset + +, el +\series bold +homomorfismo de sustitución +\series default + o +\series bold +de evaluación +\series default + en +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to B$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula +\[ +S_{b}(p):=p(b):=\sum_{n}p_{n}b^{n}, +\] + +\end_inset + +y su imagen es el subanillo generado por +\begin_inset Formula $A\cup\{b\}$ +\end_inset + +, llamado +\begin_inset Formula $A[b]$ +\end_inset + +. + Todo +\begin_inset Formula $p\in A[X]$ +\end_inset + + induce una +\series bold +función polinómica +\series default + +\begin_inset Formula $\hat{p}:B\to B$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\hat{p}(b):=S_{b}(p)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dado +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, el homomorfismo de sustitución +\begin_inset Formula $S_{X+a}$ +\end_inset + + es un automorfismo de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + con inverso +\begin_inset Formula $S_{X-a}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un anillo conmutativo, +\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + induce un homomorfismo +\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X]\to B[X]$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula +\[ +\hat{f}(p)=\sum_{n}f(p_{n})X^{n}, +\] + +\end_inset + +que es inyectivo o suprayectivo si lo es +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + lo es de +\begin_inset Formula $B[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es un ideal de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, el +\series bold +homomorfismo de reducción de coeficientes módulo +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + +\series default + es +\begin_inset Formula $\tilde{\pi}:A[X]\to(A/I)[X]$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula +\[ +\tilde{\pi}(p):=\sum_{n}(p_{n}+I)X^{n}. +\] + +\end_inset + +Su núcleo es +\begin_inset Formula $I[X]$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $(A/I)[X]\cong\frac{A[X]}{I[X]}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Sean +\begin_inset Formula $f,g\in A[X]$ +\end_inset + +, si el coeficiente principal de +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + es invertible en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, existen dos únicos polinomios +\begin_inset Formula $q,r\in A[X]$ +\end_inset + +, llamados respectivamente +\series bold +cociente +\series default + y +\series bold +resto +\series default + de la +\series bold +división +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + entre +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + +, tales que +\begin_inset Formula $f=gq+r$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(g)$ +\end_inset + + [...]. + En particular, el grado es una función euclídea. + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema del resto: +\series default + Dados +\begin_inset Formula $f\in A[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, el resto de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + entre +\begin_inset Formula $X-a$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $f(a)$ +\end_inset + +. + De aquí se obtiene el +\series bold +teorema de Ruffini +\series default +, que dice que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es divisible por +\begin_inset Formula $X-a$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $f(a)=0$ +\end_inset + +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es una +\series bold +raíz +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $f\in A[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $m:=\max\{k\in\mathbb{N}:(X-a)^{k}\mid f\}$ +\end_inset + +. + Llamamos a +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + +\series bold +multiplicidad +\series default + de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es raíz de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $m\geq1$ +\end_inset + +. + Decimos que +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es una +\series bold +raíz simple +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $m=1$ +\end_inset + + y que es una +\series bold +raíz compuesta +\series default + si +\begin_inset Formula $m>1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La multiplicidad de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es el único natural +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$ +\end_inset + + para algún +\begin_inset Formula $g\in A[X]$ +\end_inset + + del que +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + no es raíz. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + elementos de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$ +\end_inset + + y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, y el número de raíces, no son superiores a +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Principio de las identidades polinómicas: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un dominio: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ +\end_inset + +, si las funciones polinómicas +\begin_inset Formula $f,g:D\to D$ +\end_inset + + coinciden en +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + elementos de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$ +\end_inset + +, los polinomios +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + son iguales. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + + define dos funciones polinómicas distintas en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo + +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, todos los elementos de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ +\end_inset + + son raíces de 0 y +\begin_inset Formula $X^{p}-X$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, definimos la +\series bold +derivada +\series default + de +\begin_inset Formula $P:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $P':=D(P):=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ +\end_inset + +, y escribimos +\begin_inset Formula $P^{(0)}:=P$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P^{(n+1)}:=P^{(n)\prime}$ +\end_inset + +. + Dados +\begin_inset Formula $a,b\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + de característica 0, +\begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + +, la multiplicidad de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + es el menor +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un cuerpo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un dominio y +\begin_inset Formula $p\in D$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es primo en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +, lo es en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU, +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +, si y sólo si es primo en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un DFU, definimos +\begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\varphi(a)$ +\end_inset + + es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles + de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, contando repetidos, y para +\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU, +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es su cuerpo de fracciones y +\begin_inset Formula $f\in D[X]$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +, es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. + [...] +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU y +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$ +\end_inset + + y, en particular, si +\begin_inset Formula $x\in D$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $[x]$ +\end_inset + + es el conjunto de los asociados de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. + Definimos +\begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$ +\end_inset + +. + Esto está bien definido. + Además, +\begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos +\begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$ +\end_inset + + tal que, para +\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c(p):=\{x:x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$ +\end_inset + + cumple +\begin_inset Formula $ap\in D[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c(p):=a^{-1}c(ap)$ +\end_inset + +. + Esto está bien definido. + Si +\begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es el +\series bold +contenido +\series default + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $a=c(p)$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $a\in K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p\in D[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\mid p$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $a\mid c(p)$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un polinomio +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es +\series bold +primitivo +\series default + si +\begin_inset Formula $c(p)=1$ +\end_inset + +, esto es, si +\begin_inset Formula $p\in D[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Lema de Gauss: +\series default + Para +\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$ +\end_inset + +, y en particular +\begin_inset Formula $fg$ +\end_inset + + es primitivo si y sólo si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + lo son. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$ +\end_inset + + primitivo, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + + si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí que si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU con cuerpo de fracciones +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, los irreducibles de +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + + son precisamente los de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y los polinomios primitivos de +\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ +\end_inset + + irreducibles en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Sean +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo y +\begin_inset Formula $f\in K[X]$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + tiene una raíz en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + no es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + + si y sólo si no tiene raíces en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU con cuerpo de fracciones +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\end_inset + +, todas las raíces de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + son de la forma +\begin_inset Formula $\frac{r}{s}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio de reducción: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $\phi:D\to K$ +\end_inset + + un homomorfismo de anillos donde +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU y +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es un cuerpo, +\begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$ +\end_inset + + el homomorfismo inducido por +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + un polinomio primitivo de +\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En particular, si +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ +\end_inset + + es primitivo, +\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio de Eisenstein: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un DFU, +\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\end_inset + + primitivo y +\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ +\end_inset + +, si existe un irreducible +\begin_inset Formula $p\in D$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + y existe +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + cuya multiplicidad en +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es 1, +\begin_inset Formula $X^{n}-a$ +\end_inset + + es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $n\geq3$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +raíces +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésimas de la unidad +\series default + o +\series bold +de 1 +\series default + a las raíces de +\begin_inset Formula $X^{n}-1$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + +, que son los +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + vértices del +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ágono regular inscrito en el círculo unidad de +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + + con un vértice en el 1. + +\begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X):=X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ +\end_inset + + es el +\series bold + +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésimo polinomio ciclotómico +\series default + y sus raíces en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + + son las raíces +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésimas de 1 distintas de 1. + En +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$ +\end_inset + + es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +, definimos el +\series bold +anillo de polinomios +\series default + en +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + indeterminadas con coeficientes en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]:=A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$ +\end_inset + +. + Llamamos +\series bold +indeterminadas +\series default + a los símbolos +\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$ +\end_inset + + y +\series bold +polinomios en +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + indeterminadas +\series default + a los elementos de +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + +. + Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + no es un cuerpo. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + es un dominio si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]^{*}=A^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + es un DFU si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + es un DIP si y sólo si +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un cuerpo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i:=(i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$ +\end_inset + +, llamamos a +\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + +\series bold +monomio +\series default + de +\series bold +tipo +\series default + +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y coeficiente +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +. + Todo +\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + se escribe de forma única como suma de monomios de distinto tipo, +\begin_inset Formula +\[ +p:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}, +\] + +\end_inset + +con +\begin_inset Formula $p_{i}=0$ +\end_inset + + para casi todo +\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +PUAP en +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + indeterminadas: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo conmutativo, +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + la inclusión: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados un homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ +\end_inset + +, existe un único homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}(X_{k})=b_{k}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}\in P$ +\end_inset + + y un homomorfismo +\begin_inset Formula $v:A\to P$ +\end_inset + + tales que, dados un homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ +\end_inset + +, existe un único homomorfismo +\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}(T_{k})=b_{k}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +, existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to P$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\phi(X_{k})=T_{k}$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados dos anillos conmutativos +\begin_inset Formula $A\subseteq B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ +\end_inset + +, el +\series bold +homomorfismo de sustitución +\series default + +\begin_inset Formula $S:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ +\end_inset + + viene dado por +\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n}):=S(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ +\end_inset + +. + Su imagen es el subanillo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + generado por +\begin_inset Formula $A\cup\{b_{1},\dots,b_{n}\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$ +\end_inset + +, y dados dos homomorfismos de anillos +\begin_inset Formula $f,g:A[b_{1},\dots,b_{n}]\to C$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f=g$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $f|_{A}=g|_{A}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(b_{k})=g(b_{k})$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo y +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + una permutación de +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}$ +\end_inset + + con inversa +\begin_inset Formula $\tau:=\sigma^{-1}$ +\end_inset + +, tomando +\begin_inset Formula $B=A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{k}=X_{\sigma(k)}$ +\end_inset + + en el punto anterior obtenemos un automorfismo +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + con inversa +\begin_inset Formula $\hat{\tau}$ +\end_inset + + que permuta las indeterminadas. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + +, por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo homomorfismo de anillos conmutativos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + induce un homomorfismo +\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\hat{f}(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +grado +\series default + de un monomio +\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $i_{1}+\dots+i_{n}$ +\end_inset + +, y grado de +\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\setminus0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ +\end_inset + +, al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\text{gr}(p+q)\leq\max\{\text{gr}(p),\text{gr}(q)\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)\leq\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un polinomio es +\series bold +homogéneo +\series default + de grado +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + si es suma de monomios de grado +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. + Todo polinomio se escribe de modo único como suma de polinomios homogéneos + de distintos grados, sin más que agrupar los monomios de igual grado en + la expresión como suma de monomios. + Así, si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)=\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ +\end_inset + + para cualesquiera +\begin_inset Formula $p,q\in D[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \end_body \end_document |