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@@ -187,10 +187,14 @@ El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos \begin_inset Formula $(n+1)a\coloneqq na+a$ \end_inset - y +, \begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq a^{n}a$ \end_inset + y +\begin_inset Formula $(-na)\coloneqq-(na)$ +\end_inset + . \end_layout @@ -212,8 +216,8 @@ identidad uno \series default . - Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos - a anillos conmutativos y con identidad. + Salvo que se indique lo contrario, los anillos serán conmutativos y con + identidad. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -232,10 +236,6 @@ uno \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset - para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - son anillos con la suma y el producto usuales. \end_layout @@ -265,25 +265,25 @@ El conjunto de funciones \begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset - que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad + que se anulan en casi todo punto es un anillo conmutativo sin identidad con la suma y producto de funciones. \end_layout \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset - son anillos, -\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ + es una familia de anillos, +\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$ \end_inset es un anillo con las operaciones componente a componente, el \series bold anillo producto \series default - de -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ + de los +\begin_inset Formula $A_{i}$ \end_inset . @@ -351,15 +351,7 @@ Llamamos \end_inset . - [...] Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo [...], -\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ -\end_inset - - es un anillo [...]. + [...]. Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -368,19 +360,11 @@ Llamamos \begin_inset Formula $n$ \end_inset - es un entero positivo, el conjunto + es un entero positivo, [...] \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ \end_inset - de matrices cuadradas en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - de tamaño -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es un anillo con la suma y el producto habituales. + [...] es un anillo con la suma y el producto habituales. \end_layout \begin_layout Standard @@ -480,87 +464,8 @@ status open . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -8. -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son invertibles si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $ab$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $ba$ -\end_inset - -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, definimos -\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq0$ -\end_inset - -, y para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $na\coloneqq(n-1)a+a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq-(na)$ -\end_inset - -. - Definimos -\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq1_{A}$ -\end_inset - -, para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a^{n}\coloneqq a^{n-1}a$ -\end_inset - -, y si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es invertible, -\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}$ -\end_inset - -. - -\end_layout - \begin_layout Standard -Dados un anillo +[...] Dados un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -596,263 +501,6 @@ Dados un anillo . \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $n,m\geq0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ -\end_inset - -, y si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es invertible, esto se cumple para -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - enteros arbitrarios. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si [...] -\begin_inset Formula $n\geq0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ -\end_inset - -, y si [...] -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son invertibles, esto se cumple para todo entero -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un anillo es -\series bold -conmutativo -\series default - si su producto es conmutativo, y tiene -\series bold -identidad -\series default - si este tiene elemento neutro -\begin_inset Formula $1\in A$ -\end_inset - - llamado -\series bold -uno -\series default -. - Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos - a anillos conmutativos y con identidad. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - - son anillos con la suma y el producto usuales. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $c\in\mathbb{C}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[c]\coloneqq\left\{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n}\right\} _{a\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}}\subseteq\mathbb{C}$ -\end_inset - - es un anillo con la suma y el producto de complejos, y en particular lo - es -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\text{i}]\coloneqq\{a+b\text{i}\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$ -\end_inset - -, el -\series bold -anillo de los enteros de Gauss -\series default -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -El conjunto de funciones -\begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ -\end_inset - - que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad - con la suma y producto de funciones. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ -\end_inset - - son anillos, -\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ -\end_inset - - es un anillo con las operaciones componente a componente, el -\series bold -anillo producto -\series default - de -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$ -\end_inset - - es un anillo con la suma componente a componente y el producto -\begin_inset Formula $a\cdot b\coloneqq(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})_{n}$ -\end_inset - -, el -\series bold -anillo de las series de potencias -\series default - sobre -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, y un -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - se suele denotar como -\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\begin_inset Formula $Y^{X}$ -\end_inset - - al conjunto de funciones de -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $Y$ -\end_inset - -. - [...] Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo [...], -\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ -\end_inset - - es un anillo [...]. - Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo y -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es un entero positivo, el conjunto -\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ -\end_inset - - de matrices cuadradas en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - de tamaño -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es un anillo con la suma y el producto habituales. -\end_layout - \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -989,31 +637,6 @@ status open . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -6. -\end_layout - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es invertible, -\begin_inset Formula $f(a)$ -\end_inset - - también lo es y -\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ -\end_inset - -. -\end_layout - \begin_layout Standard [...] Ejemplos: \end_layout @@ -1040,25 +663,19 @@ Dados anillos \end_inset . + [...] \end_layout \begin_layout Enumerate -Sea -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - un subanillo de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +3. +\end_layout -, la inclusión -\begin_inset Formula $i:B\to A$ \end_inset - es un homomorfismo. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1083,6 +700,15 @@ Dado un anillo \end_layout \begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout + +\end_inset + Dada una familia de anillos \begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset @@ -1107,6 +733,15 @@ proyección \end_layout \begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + +\end_inset + La \series bold conjugación @@ -1164,6 +799,22 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Un homomorfismo \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -1212,6 +863,22 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Un \series bold isomorfismo de anillos @@ -1396,10 +1063,154 @@ grupo de las unidades \begin_inset Formula $xy\in A^{*}\iff x,y\in A^{*}$ \end_inset +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in A^{*}$ +\end_inset + +, llamamos +\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}=(a^{n})^{-1}$ +\end_inset + . \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $n,m\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, esto se cumple para +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + enteros arbitrarios. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + +\end_inset + +Si [...] +\begin_inset Formula $n\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ +\end_inset + +, y si [...] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son invertibles, esto se cumple para todo entero +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +6. +\end_layout + +\end_inset + +Si [ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es un homomorfismo de anillos y] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, +\begin_inset Formula $f(a)$ +\end_inset + + también lo es y +\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset @@ -1412,7 +1223,7 @@ cancelable \begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(ax=ay\implies x=y)$ \end_inset -, si y sólo si no es divisor de cero. +. Toda unidad es cancelable, pues podemos cancelar multiplicando por el inverso. Si \begin_inset Formula $A$ @@ -1606,26 +1417,6 @@ begin{exinfo} \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es nilpotente entonces -\begin_inset Formula $1+(a)\subseteq A^{*}$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $e\in A$ \end_inset @@ -1683,12 +1474,8 @@ Dados anillos \begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a=(a_{1},\dots,a_{n})\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ -\end_inset - , -\begin_inset Formula $a$ +\begin_inset Formula $a\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset es invertible, cancelable, divisor de cero, nilpotente o idempotente en @@ -1761,11 +1548,11 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$ +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}|>2$ \end_inset , -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$ +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}|=|\mathbb{N}|$ \end_inset . @@ -1788,1244 +1575,6 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Section -Dominios -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un anillo es -\series bold -reducido -\series default - si no tiene elementos nilpotentes distintos de 0, si y sólo si todo elemento - no nulo tiene cuadrado no nulo. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Trivial. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si hubiera -\begin_inset Formula $b\in\text{Nil}(A)\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, sea -\begin_inset Formula $n>0$ -\end_inset - - mínimo con -\begin_inset Formula $b^{n}=0$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un -\series bold -dominio -\series default - si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo - es cancelable, y es un -\series bold -cuerpo -\series default - si todo elemento no nulo es unidad. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. - Los recíprocos no se cumplen, pues -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es un dominio que no es un cuerpo y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ -\end_inset - - es un anillo reducido que no es un dominio. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - -Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular - lo es todo dominio finito. -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a,b\in D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - -\series bold -divide a -\series default - -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es -\series bold -divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - o -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - es -\series bold -múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - -, si existe -\begin_inset Formula $c\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $ac=b$ -\end_inset - -. - Esta relación es reflexiva y transitiva, y para -\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\mid c$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ -\end_inset - -. - Dos elementos -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son -\series bold -asociados -\series default - si -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\mid a$ -\end_inset - -, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $b=au$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $b=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=0$ -\end_inset - - y tomamos -\begin_inset Formula $u=1$ -\end_inset - -. - En otro caso, sean -\begin_inset Formula $c,d\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $ac=b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $bd=a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $dc=1$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $c$ -\end_inset - - es unidad. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo [...] y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es -\series bold -irreducible -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ -\end_inset - -, y es -\series bold -primo -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, todo primo es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Irreducible en un dominio no implica primo. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es irreducible si y sólo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es maximal entre los ideales principales no nulos de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, es decir, si -\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $S\subseteq A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es un -\series bold -máximo común divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -[ -\begin_inset Formula $=\gcd S$ -\end_inset - -], si divide a cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un -\series bold -mínimo común múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - -[ -\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ -\end_inset - -], si es múltiplo de cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y divide a cada elemento que cumple esto. - Para -\begin_inset Formula $a,b\in A$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - - si y solo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es el menor ideal principal de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - que contiene a -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - -. - En particular, si -\begin_inset Formula $(a)=(S)$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es el mayor ideal principal de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - contenido en -\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ -\end_inset - -. - En particular, si -\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son asociados en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son asociados en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - divide a todo elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in(S)$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -. - En tal caso llamamos -\series bold -identidad de Bézout -\series default - a una expresión de la forma -\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ -\end_inset - -, que existe porque -\begin_inset Formula $a\in(S)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ -\end_inset - - si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - son las unidades de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $1\in(S)$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Dado un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, una -\series bold -factorización en producto de irreducibles -\series default - de -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - - es una expresión de la forma -\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ -\end_inset - -, donde -\begin_inset Formula $u$ -\end_inset - - es una unidad de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ -\end_inset - - son irreducibles en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. - Dos factorizaciones en producto de irreducibles de -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ -\end_inset - -, son -\series bold -equivalentes -\series default - si -\begin_inset Formula $m=n$ -\end_inset - - y existe una permutación -\begin_inset Formula $\sigma$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ -\end_inset - - tal que para -\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p_{k}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ -\end_inset - - son asociados, en cuyo caso -\begin_inset Formula $u$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $v$ -\end_inset - - también lo son. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un -\series bold -dominio de factorización -\series default - ( -\series bold -DF -\series default -) si todo elemento no nulo de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - admite una factorización en producto de irreducibles, y es un -\series bold -dominio de factorización única -\series default - ( -\series bold -DFU -\series default - o -\series bold -UFD -\series default -) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate - -\series bold -Teorema Fundamental de la Aritmética: -\series default - -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es un DFU. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dado -\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ -\end_inset - - es un DF. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es producto de una unidad por primos, si y sólo si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. - También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $n\geq2$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es unidad si y sólo si -\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si fuera -\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$ -\end_inset - -, sean -\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $r=dr'$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n=dn'$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$ -\end_inset - - pero -\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - - es divisor de cero. -\begin_inset Formula $\#$ -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $ar+bn=1$ -\end_inset - - se traduce en que -\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - dividen a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Sean -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - un divisor primo de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -, como -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - - y por tanto a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Sea -\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$ -\end_inset - - la descomposición prima de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -, como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ -\end_inset - - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es primo. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies2]$ -\end_inset - - Visto. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ -\end_inset - - Probamos el contrarrecíproco. - Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $1<p,q<n$ -\end_inset - -, con -\begin_inset Formula $n=pq$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es divisor de 0 en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ -\end_inset - - Para -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - y por tanto -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - - es unidad. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es reducido si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es -\series bold -libre de cuadrados -\series default -, es decir, si no tiene divisores cuadrados de primos. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si no fuera libre de cuadrados, sea -\begin_inset Formula $n=p^{2}q$ -\end_inset - - para ciertos -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - primo, en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - -\begin_inset Formula $pq\neq0$ -\end_inset - - pero -\begin_inset Formula $(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -La descomposición en primos de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es de la forma -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset - - con los -\begin_inset Formula $p_{i}$ -\end_inset - - distintos, y si -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - cumple -\begin_inset Formula $r^{2}=0$ -\end_inset - - entonces en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - cada -\begin_inset Formula $p_{i}$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{2}$ -\end_inset - - y por tanto a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $r=0$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Section Subanillos \end_layout @@ -3404,20 +1953,23 @@ Dado un anillo \end_layout \begin_layout Standard -[...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -9. + + +\backslash +vspace{6pt} \end_layout \end_inset -Si +[...] Si [ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es un homomorfismo y] \begin_inset Formula $B'$ \end_inset @@ -3436,27 +1988,6 @@ Si . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -10. -\end_layout - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es un isomorfismo de anillos, -\begin_inset Formula $f^{-1}$ -\end_inset - - también. -\end_layout - \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -3473,20 +2004,6 @@ end{reminder} \end_layout -\begin_layout Standard -Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido - es reducido. - No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es subanillo del cuerpo -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - - pero no es un cuerpo. -\end_layout - \begin_layout Section Ideales \end_layout @@ -3670,11 +2187,11 @@ Sean \begin_inset Formula $x+y\in I$ \end_inset -, luego + y \begin_inset Formula $a+b\equiv a'+b'$ \end_inset - y la suma está bien definida. +. Además \begin_inset Formula $ab=(a'+x)(b'+y)=a'b'+a'y+b'x+xy$ \end_inset @@ -3838,7 +2355,7 @@ La intersección de una familia de ideales de \begin_inset Formula $S\subseteq A$ \end_inset -, llamamos +, el \series bold ideal de \begin_inset Formula $A$ @@ -3850,7 +2367,7 @@ ideal de \series default - a + es \begin_inset Formula \[ (S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A\mid S\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}}, @@ -3858,7 +2375,7 @@ ideal de \end_inset -y decimos que +y \begin_inset Formula $S$ \end_inset @@ -3899,8 +2416,8 @@ conjunto generador \begin_inset Formula $S$ \end_inset -, y el conjunto de estas combinaciones es claramente un ideal, luego ambos - conjuntos son iguales. +, y el conjunto de estas es claramente un ideal, luego ambos conjuntos son + iguales. \end_layout \begin_layout Standard @@ -3937,7 +2454,7 @@ ideal principal \end_inset es uno de la forma -\begin_inset Formula $Ab\coloneqq(b)$ +\begin_inset Formula $(b)$ \end_inset para algún @@ -3979,31 +2496,252 @@ ideal principal \end_inset si y sólo si -\begin_inset Formula $b'\mid b$ +\begin_inset Formula $b'$ \end_inset -, y en un dominio -\begin_inset Formula $(b)=(b')$ + divide a +\begin_inset Formula $b$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $b$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + es nilpotente entonces +\begin_inset Formula $1+(a)\subseteq A^{*}$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b'$ +\begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset - son asociados. - + cancelable no invertible, +\begin_inset Formula $(b,X)$ +\end_inset + + no es un ideal principal de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +, y en particular +\begin_inset Formula $(X,Y)$ +\end_inset + + no es un ideal principal de +\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $e\in A$ +\end_inset + + es idempotente, para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $(e)$ +\end_inset + + es un anillo con identidad +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset + +. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard -Un +No todos los ideales son finitamente generados. + En efecto, dado un anillo no trivial +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, en +\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +\end_inset + + con las operaciones componente a componente, +\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ +\end_inset + + formado por los elementos de +\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +\end_inset + + con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de +\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +\end_inset + +, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita + de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo + ceros y no generan elementos de +\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ +\end_inset + + con un 1 después de esta posición. +\end_layout + +\begin_layout Section +Dominios +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un anillo es \series bold -dominio de ideales principales +reducido \series default - (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales. + si no tiene elementos nilpotentes distintos de 0, si y sólo si todo elemento + no nulo tiene cuadrado no nulo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Trivial. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si hubiera +\begin_inset Formula $b\in\text{Nil}(A)\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $n>0$ +\end_inset + + mínimo con +\begin_inset Formula $b^{n}=0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un +\series bold +dominio +\series default + si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo + es cancelable, y es un +\series bold +cuerpo +\series default + si todo elemento no nulo es unidad. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. + Los recíprocos no se cumplen, pues +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es un dominio que no es un cuerpo y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ +\end_inset + + es un anillo reducido que no es un dominio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido + es reducido. + No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es subanillo del cuerpo +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + pero no es un cuerpo. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4014,58 +2752,205 @@ status open \backslash -begin{reminder}{GyA} +begin{exinfo} \end_layout \end_inset -Si +Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular + lo es todo dominio finito. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un dominio \begin_inset Formula $D$ \end_inset - es un DIP y -\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ + y +\begin_inset Formula $a,b\in D$ \end_inset , \begin_inset Formula $a$ \end_inset - es irreducible si y solo si -\begin_inset Formula $(a)$ + +\series bold +divide a +\series default + +\begin_inset Formula $b$ \end_inset - es un ideal maximal, si y solo si -\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es un cuerpo, si y solo si + es +\series bold +divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + es +\series bold +múltiplo +\series default + de \begin_inset Formula $a$ \end_inset - es primo, si y solo si -\begin_inset Formula $(a)$ +, +\begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset - es un ideal primo, si y solo si -\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ +, si existe +\begin_inset Formula $c\in D$ \end_inset - es un dominio. - [...] Todo DIP es un DFU. -\begin_inset ERT + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset + +. + Esta relación es reflexiva y transitiva, y para +\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $a\mid b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\mid c$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ +\end_inset + +. + Dos elementos +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son +\series bold +asociados +\series default + si +\begin_inset Formula $a\mid b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\mid a$ +\end_inset + +, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $b=au$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $b=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + + y tomamos +\begin_inset Formula $u=1$ +\end_inset + +. + En otro caso, sean +\begin_inset Formula $c,d\in D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $bd=a$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $dc=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + es unidad. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset -\backslash -end{reminder} \end_layout \end_inset +\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4076,57 +2961,494 @@ status open \backslash -begin{exinfo} +begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset -Dado un anillo + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b\in A$ + un anillo [...] y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ \end_inset - cancelable no invertible, -\begin_inset Formula $(b,X)$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X]$ + es +\series bold +irreducible +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, y en particular -\begin_inset Formula $(X,Y)$ + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ \end_inset - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ +, y es +\series bold +primo +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ \end_inset . - Si -\begin_inset Formula $e\in A$ +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es idempotente, para + es un dominio, todo primo es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Irreducible en un dominio no implica primo. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es irreducible si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es maximal entre los ideales principales no nulos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, es decir, si +\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S\subseteq A$ +\end_inset + +, \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset + es un +\series bold +máximo común divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + , -\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $(e)$ +[ +\begin_inset Formula $=\gcd S$ \end_inset - es un anillo con identidad -\begin_inset Formula $e$ +], si divide a cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un +\series bold +mínimo común múltiplo +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset + +[ +\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ +\end_inset + +], si es múltiplo de cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y divide a cada elemento que cumple esto. + Para +\begin_inset Formula $a,b\in A$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\end_inset + + si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es el menor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +. + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=(S)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es el mayor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + contenido en +\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset . + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son asociados en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son asociados en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + divide a todo elemento de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in(S)$ +\end_inset + +, [...] +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +\end_inset + +. + En tal caso llamamos +\series bold +identidad de Bézout +\series default + a una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ +\end_inset + +, que existe porque +\begin_inset Formula $a\in(S)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ +\end_inset + + si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + son las unidades de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $1\in(S)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Dado un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, una +\series bold +factorización en producto de irreducibles +\series default + de +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + es una unidad de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ +\end_inset + + son irreducibles en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. + Dos factorizaciones en producto de irreducibles de +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ +\end_inset + +, son +\series bold +equivalentes +\series default + si +\begin_inset Formula $m=n$ +\end_inset + + y existe una permutación +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + + tal que para +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p_{k}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ +\end_inset + + son asociados, en cuyo caso +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + también lo son. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un +\series bold +dominio de factorización +\series default + ( +\series bold +DF +\series default +) si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + admite una factorización en producto de irreducibles, y es un +\series bold +dominio de factorización única +\series default + ( +\series bold +DFU +\series default + o +\series bold +UFD +\series default +) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Teorema Fundamental de la Aritmética: +\series default + +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es un DFU. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dado +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ +\end_inset + + es un DF. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es producto de una unidad por primos, si y sólo si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. +\end_layout + +\begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -4134,7 +3456,7 @@ status open \backslash -end{exinfo} +end{reminder} \end_layout \end_inset @@ -4143,34 +3465,78 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Standard -No todos los ideales son finitamente generados. - En efecto, dado un anillo no trivial -\begin_inset Formula $A$ +Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. + También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +dominio de ideales principales +\series default + (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + \end_inset -, en -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +Si +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - con las operaciones componente a componente, -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ + es un DIP y +\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ \end_inset - formado por los elementos de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ + es irreducible si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset -, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita - de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo - ceros y no generan elementos de -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ + es un ideal maximal, si y solo si +\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ \end_inset - con un 1 después de esta posición. + es un cuerpo, si y solo si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es primo, si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ +\end_inset + + es un ideal primo, si y solo si +\begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ +\end_inset + + es un dominio. + [...] Todo DIP es un DFU. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard @@ -4406,11 +3772,7 @@ Sean \end_inset , como -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $n\mid r^{m}$ \end_inset , @@ -4450,35 +3812,15 @@ Sea \end_inset , como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}\mid r$ \end_inset -, si +, llamando \begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ -\end_inset - - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $n\mid p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}\mid r^{m}$ \end_inset . @@ -4510,14 +3852,10 @@ Sea Probamos el contrarrecíproco. Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $1<p,q<n$ +\begin_inset Formula $p,q\in\{2,\dots,n-1\}$ \end_inset -, con + con \begin_inset Formula $n=pq$ \end_inset @@ -4662,11 +4000,7 @@ La descomposición en primos de \end_inset , luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ +\begin_inset Formula $n\mid r$ \end_inset y @@ -5760,7 +5094,7 @@ Hay tantos ideales de \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - es un DIP, luego estos elementos se corresponden precisamente con los + es un DIP, luego estos elementos se corresponden con los \begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -5777,7 +5111,7 @@ Hay tantos ideales de \end_inset positivos ya que los negativos son sus asociados y -\begin_inset Formula $(0)=(n)$ +\begin_inset Formula $0\nmid n$ \end_inset . @@ -6201,13 +5535,6 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Newpage pagebreak -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard \begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ \end_inset @@ -6224,7 +5551,6 @@ comaximales \end_inset . - Propiedades: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -7182,27 +6508,27 @@ para \begin_layout Enumerate Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, usando la recurrencia -\begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq q$ +\begin_inset Formula $r_{0}\coloneqq q$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq r$ +\begin_inset Formula $r_{1}\coloneqq r$ \end_inset , -\begin_inset Formula $q_{i-1}=r_{i}q_{i}+q_{i+1}$ +\begin_inset Formula $r_{i+1}=r_{i-1}-q_{i}r_{i}$ \end_inset , con -\begin_inset Formula $r_{i},q_{i+1}\in\mathbb{Z}$ +\begin_inset Formula $q_{i},r_{i+1}\in\mathbb{Z}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $0\leq q_{i+1}<q_{i}$ +\begin_inset Formula $0\leq r_{i+1}<r_{i}$ \end_inset , hasta llegar a un -\begin_inset Formula $q_{n}=1$ +\begin_inset Formula $r_{n}=1$ \end_inset . @@ -7212,8 +6538,8 @@ Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, usando Se va despejando hacia atrás, haciendo \begin_inset Formula \begin{multline*} -1=q_{n}=q_{n-2}-r_{n-1}q_{n-1}=q_{n-2}-r_{n-1}(q_{n-3}-r_{n-2}q_{n-2})=\\ -=-r_{n-1}q_{n-3}+(1+r_{n-1}r_{n-2})q_{n-2}=\dots=q_{0}t+q_{1}s. +1=r_{n}=r_{n-2}-q_{n-1}r_{n-1}=r_{n-2}-q_{n-1}(r_{n-3}-q_{n-2}r_{n-2})=\\ +=-q_{n-1}r_{n-3}+(1+q_{n-1}q_{n-2})r_{n-2}=\dots=r_{0}t+r_{1}s. \end{multline*} \end_inset @@ -7452,11 +6778,8 @@ espectro primo \begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset -, la biyección -\begin_inset Formula $\{J\in{\cal L}(A)\mid I\subseteq J\}\to{\cal L}(A/I)$ -\end_inset - - se restringe a una biyección +, la biyección del teorema de la correspondencia se restringe a una biyección + \begin_inset Formula $\{J\in\text{Spec}(A)\mid I\subseteq J\}\to\text{Spec}(A/I)$ \end_inset @@ -7770,7 +7093,7 @@ status open \backslash -vspace{6pt} +vspace{4pt} \end_layout \end_inset @@ -7792,9 +7115,6 @@ Dados un homomorfismo \end_inset es suprayectivo. -\end_layout - -\begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -8400,7 +7720,7 @@ radical a \begin_inset Formula \[ -\sqrt{I}\coloneqq\{x\in A\mid\exists n\in\mathbb{N}\mid x^{n}\in I\}=\bigcap\{J\trianglelefteq_{\text{r}}A\mid I\subseteq J\}=\bigcap\{J\trianglelefteq_{\text{p}}A\mid I\subseteq J\}, +\sqrt{I}\coloneqq\{x\in A\mid\exists n\in\mathbb{N}:x^{n}\in I\}=\bigcap\{J\trianglelefteq_{\text{r}}A\mid I\subseteq J\}=\bigcap\{J\trianglelefteq_{\text{p}}A\mid I\subseteq J\}, \] \end_inset @@ -85,11 +85,7 @@ Retículos \end_layout \begin_layout Standard -Un -\series bold -conjunto ordenado -\series default - +Un conjunto ordenado \begin_inset Formula $(A,\leq)$ \end_inset @@ -342,11 +338,6 @@ cocompacto \end_inset . - -\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}$ -\end_inset - - tiene un maximal \end_layout \begin_layout Standard @@ -533,7 +524,7 @@ Dado un anillo \end_inset es un retículo completo con supremo -\begin_inset Formula $\bigvee S=\sum S=\{a_{1}+\dots+a_{n}\}_{n\in\mathbb{N},\{a_{1},\dots,a_{n}\}\subseteq\bigcup S}$ +\begin_inset Formula $\bigvee S=\sum S=\left(\bigcup S\right)$ \end_inset e ínfimo @@ -725,7 +716,7 @@ Sean \end_deeper \begin_layout Enumerate Los dominios que no son cuerpos no son artinianos, y en particular los DIPs - son noetherianos pero no artinianos. + que no son cuerpos son noetherianos pero no artinianos. \end_layout \begin_deeper @@ -832,7 +823,7 @@ Para todo cuerpo \end_inset , -\begin_inset Formula $A=\frac{K[X]}{(X^{n})}$ +\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(X^{n})}$ \end_inset es noetheriano y artiniano. @@ -1127,7 +1118,7 @@ Todo ideal suyo contiene una potencia de su radical. \end_layout \begin_layout Enumerate -si +Si \begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset @@ -2295,7 +2286,21 @@ Si existe \end_layout \begin_layout Standard -Dado un anillo artiniano +Los DIPs que no son cuerpos tienen dimensión 1, pues el único primo que + no es maximal es +\begin_inset Formula $(0)$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + cancelable no invertible, +\begin_inset Formula $(0)\subsetneq(b)$ +\end_inset + +. + Dado un anillo artiniano \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -517,23 +517,7 @@ status open \end_inset - -\begin_inset Formula $N\neq\emptyset$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $n\in N$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $1n=(1+0)n=1n+0n\implies0n=0\in N$ -\end_inset - -, y es claro que es cerrado para combinaciones -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - --lineales. +Obvio. \end_layout \begin_layout Itemize @@ -558,10 +542,6 @@ Claramente es cerrado para la suma y el producto, y también para el opuesto \begin_inset Formula $-n=(-1)n\in N$ \end_inset -, ya que -\begin_inset Formula $n+(-1)n=(1-1)n=0n=0$ -\end_inset - . \end_layout @@ -578,8 +558,8 @@ Llamamos \begin_inset Formula $M$ \end_inset - ordenado por inclusión, que es un retículo en el que el ínfimo es la intersecci -ón y el supremo es la suma, definida para + ordenado por inclusión, que es un retículo en que el ínfimo es la intersección + y el supremo es la suma, definida para \begin_inset Formula ${\cal S}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset @@ -766,7 +746,7 @@ Para \begin_inset Formula $IX\leq_{A}M$ \end_inset -, y en particular, para +, y para \begin_inset Formula $m\in M$ \end_inset @@ -799,7 +779,7 @@ Para \begin_inset Formula $SN\leq_{A}M$ \end_inset -, y en particular, para +, y para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset @@ -1106,7 +1086,7 @@ Si \end_inset contiene al -\begin_inset Formula $0=f^{-1}(N')$ +\begin_inset Formula $0=f^{-1}(0)$ \end_inset , y si @@ -1134,7 +1114,7 @@ La composición de \begin_inset Formula $A$ \end_inset --homomorfismos. +-homomorfismo. \end_layout \begin_layout Standard @@ -1222,7 +1202,7 @@ isomorfos \begin_inset Formula $f^{-1}(n+n')=m+m'=f^{-1}(n)+f^{-1}(n')$ \end_inset - y +, y \begin_inset Formula $f(am)=af(m)=an$ \end_inset @@ -1437,15 +1417,11 @@ Demostración: \begin_inset Formula $f$ \end_inset - es suprayectivo, si -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - es un -\begin_inset Formula $_{A}M$ + es suprayectivo y +\begin_inset Formula $S\leq{}_{A}M$ \end_inset --submódulo, para +, para \begin_inset Formula $b\in B$ \end_inset @@ -1525,8 +1501,8 @@ Si \begin_inset Formula $\iota:A\hookrightarrow B$ \end_inset - es una inclusión, restringir escalares es limitarse a considerar escalares - de + es una inclusión, restringir escalares es limitarse a los escalares de + \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1602,7 +1578,7 @@ Si \begin_inset Formula $nM=0$ \end_inset - y, si +, y si \begin_inset Formula $p$ \end_inset @@ -1666,11 +1642,11 @@ Si \end_deeper \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset es un cuerpo, -\begin_inset Formula $_{\mathbb{K}[X]}\text{Mod}\equiv\prod_{V\in_{\mathbb{K}}\text{Vect}}\text{End}_{\mathbb{K}}(V)$ +\begin_inset Formula $_{K[X]}\text{Mod}\equiv\prod_{V\in_{K}\text{Vect}}\text{End}_{K}(V)$ \end_inset por la biyección @@ -1682,7 +1658,7 @@ Si \end_inset y los -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -submódulos de @@ -1690,7 +1666,7 @@ y los \end_inset son sus -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -subespacios vectoriales @@ -1721,7 +1697,7 @@ y los tiene \series bold estructura de -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -módulo asociada al endomorfismo @@ -1730,14 +1706,10 @@ estructura de \begin_inset Formula $f$ \end_inset -, y si +, y para \begin_inset Formula $p\in K[X]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f:V\to V$ -\end_inset - , llamamos \begin_inset Formula $p(f):V\to V$ \end_inset @@ -1756,7 +1728,7 @@ Si \end_inset es un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -módulo, @@ -1764,7 +1736,7 @@ Si \end_inset es un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -endomorfismo, y por restricción de escalares @@ -1772,11 +1744,11 @@ Si \end_inset es un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -módulo o -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -espacio vectorial y @@ -1793,7 +1765,7 @@ Si \end_inset es un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -espacio vectorial y @@ -1801,11 +1773,11 @@ Si \end_inset un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -endomorfismo, el producto -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]\times V\to V$ +\begin_inset Formula $K[X]\times V\to V$ \end_inset dado por @@ -1825,11 +1797,11 @@ dad y distributividad por ambos lados). \end_inset Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $a\in K$ \end_inset y @@ -1837,7 +1809,7 @@ Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para \end_inset , partiendo del -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -módulo, @@ -1845,15 +1817,15 @@ Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para \end_inset por asociatividad y distributividad del producto en el -\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$ +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -módulo, y partiendo del -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -espacio vectorial y endomorfismo, -\begin_inset Formula $a_{\mathbb{K}[X]}v=af^{0}(v)=a$ +\begin_inset Formula $a_{K[X]}v=af^{0}(v)=a$ \end_inset y @@ -2334,22 +2306,6 @@ Sistemas generadores \end_layout \begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $m\in_{A}M$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -submódulo cíclico -\series default - a -\begin_inset Formula $(m)\coloneqq Am=\{am\}_{a\in A}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X\subseteq_{A}M$ \end_inset @@ -2450,8 +2406,20 @@ Por definición todo \begin_inset Formula $A$ \end_inset --lineales, por lo que el conjunto de estas está en el ínfimo, y el ínfimo - está en el conjunto. +-lineales, por lo que el conjunto de estas está en el ínfimo y es en sí + un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2532,8 +2500,8 @@ El \end_layout \begin_layout Enumerate -En -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +Un +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -espacio vectorial es finitamente generado si y sólo si es de dimensión @@ -2617,7 +2585,7 @@ En general los submódulos de módulos finitamente generados no son finitamente \begin_inset Formula $A=(1)$ \end_inset - y contiene ideales no finitamente generados. + y puede contener ideales no finitamente generados. \end_layout \end_deeper @@ -2626,7 +2594,7 @@ En general los submódulos de módulos finitamente generados no son finitamente \end_inset es un -\begin_inset Formula $A$ +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset -módulo cíclico pero no es finitamente generado como @@ -2750,27 +2718,19 @@ Si \begin_inset Formula $N\cap K\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{r})$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $N+K\eqqcolon(y_{1},\dots,y_{s})$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,s\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $y_{j}\eqqcolon n_{j}+k_{j}$ + y +\begin_inset Formula $N+K\eqqcolon(n_{1}+k_{1},\dots,n_{s}+k_{s})$ \end_inset - con + con cada \begin_inset Formula $n_{j}\in N$ \end_inset - y + y cada \begin_inset Formula $k_{j}\in K$ \end_inset -, entonces +, \begin_inset Formula $N=(x_{1},\dots,x_{r},n_{1},\dots,n_{s})$ \end_inset @@ -2817,6 +2777,22 @@ Los epimorfismos conservan los conjuntos generadores. \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +vspace{1ex} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard \series bold Lema de Nakayama: @@ -3014,7 +2990,7 @@ suma directa interna \end_inset , escrita -\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}M_{i}$ +\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}N_{i}$ \end_inset , que es isomorfa con la suma directa externa. @@ -3052,7 +3028,7 @@ suma directa interna \end_inset Para -\begin_inset Formula $n\in\bigoplus_{i}N_{i}$ +\begin_inset Formula $n\in\sum_{i}N_{i}$ \end_inset con @@ -3108,7 +3084,7 @@ Si \end_inset , -\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N\oplus N'\land N\cap N'=0$ +\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N+N'\land N\cap N'=0$ \end_inset , y entonces: @@ -3149,7 +3125,7 @@ La unicidad garantiza que está bien definida y el resto es trivial. \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong N'$ +\begin_inset Formula $N\cong\frac{M}{N'}$ \end_inset . @@ -3476,7 +3452,7 @@ En general un submódulo de \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset - ya que en todo cociente de + ya que todo cociente de \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset @@ -3616,20 +3592,21 @@ indescomponible \end_layout \begin_layout Enumerate -Todo subespacio -\begin_inset Formula $W$ -\end_inset - - de un espacio vectorial -\begin_inset Formula $V$ -\end_inset - - tiene complementos directos (no únicos). +Todo subespacio de un espacio vectorial tiene complementos directos (no + únicos). \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard -Una base de +Si +\begin_inset Formula $V\leq_{K}V$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + cuerpo, una base de \begin_inset Formula $W$ \end_inset @@ -3781,11 +3758,16 @@ Como \begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}$ \end_inset - divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la primera y + divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la izquierda y + \begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}\mid q_{i}a_{i}$ \end_inset , con lo que +\begin_inset Formula $n=\prod_{j}p_{j}^{m_{j}}\mid q_{i}a_{i}$ +\end_inset + +, \begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=0$ \end_inset @@ -3815,9 +3797,9 @@ Un \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open @@ -3904,66 +3886,24 @@ status open \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ -\end_inset - -, por el argumento anterior -\begin_inset Formula $(em)$ -\end_inset - - es un sumando directo, de modo que bien -\begin_inset Formula $(em)=0$ -\end_inset - - y por tanto -\begin_inset Formula $em=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $e\in\text{ann}_{A}(M)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{0}$ -\end_inset - -, bien -\begin_inset Formula $(em)=(m)$ -\end_inset - y existe -\begin_inset Formula $b\in A$ -\end_inset +\begin_inset Note Note +status open - con -\begin_inset Formula $bem=m$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio Saorín +\end_layout -, de modo que -\begin_inset Formula $(be-1)m=0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{b}\overline{e}=\overline{1}$ -\end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $\overline{e}$ -\end_inset +\end_layout - es una unidad con -\begin_inset Formula $\overline{e}\overline{e}=\overline{e}$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{1}$ -\end_inset -. \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $M\in\text{MaxSpec}(A)$ @@ -4135,10 +4075,6 @@ Dados \begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset - es suprayectivo si y sólo si \begin_inset Formula $M=\sum_{i\in I}Am_{i}$ \end_inset @@ -4171,7 +4107,7 @@ Dados \begin_inset Formula $am_{i}\neq0$ \end_inset -, en cuyo caso decimos que +, en cuyo caso \begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ \end_inset @@ -4308,7 +4244,7 @@ coordenadas \begin_inset Formula $m$ \end_inset - la base, con + en la base, con \begin_inset Formula $m=\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset @@ -4341,7 +4277,7 @@ base canónica \begin_inset Formula $e_{i}$ \end_inset - tiene 1 en la entrada + tiene un 1 en la entrada \begin_inset Formula $i$ \end_inset @@ -4476,11 +4412,7 @@ status open \end_inset Un -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - --submódulo de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\begin_inset Formula $M\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset es libre si y sólo si es cíclico, si y solo si es finitamente generado. @@ -4535,7 +4467,11 @@ end{exinfo} \begin_inset Formula $I$ \end_inset -, en cuyo caso todas sus bases tienen cardinal +, en cuyo caso, si +\begin_inset Formula $A\neq0$ +\end_inset + +, todas las bases tienen cardinal \begin_inset Formula $|I|$ \end_inset @@ -4551,7 +4487,7 @@ rango \begin_inset Formula $\text{rg}M$ \end_inset -, y en particular. +. \series bold Demostración: @@ -4568,7 +4504,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ \end_inset -, y si hay tal isomorfismo, +, y recíprocamente, si hay tal isomorfismo, \begin_inset Formula $M$ \end_inset @@ -4582,28 +4518,15 @@ Demostración: por el isomorfismo. Si -\begin_inset Formula $A=0$ -\end_inset - - entonces -\begin_inset Formula $M=0$ +\begin_inset Formula $A\neq0$ \end_inset - y el resultado es claro. - En otro caso existe +, existe \begin_inset Formula $J\trianglelefteq_{\text{m}}A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $JM$ -\end_inset - - es un -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - --submódulo de -\begin_inset Formula $M$ +\begin_inset Formula $JM\leq_{A}M$ \end_inset , luego si @@ -4643,15 +4566,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ \end_inset - es -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -lo mismo -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - - que un + es un \begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ \end_inset @@ -4738,7 +4653,7 @@ lo mismo \begin_inset Formula $J\overline{M}$ \end_inset - que deben tener el mismo cardinal, lo que prueba la unicidad del rango. + que deben tener el mismo cardinal. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4819,8 +4734,8 @@ Obvio. \end_layout \begin_layout Standard -Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual a un generador - del módulo, pues si +Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual al cardinal de + un generador del módulo, pues si \begin_inset Formula $X$ \end_inset @@ -5000,7 +4915,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $A$ \end_inset --isomorfismo con cada +-homomorfismo con cada \begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ \end_inset @@ -5101,7 +5016,7 @@ Sean \end_inset , de modo que todo elemento de -\begin_inset Formula $I$ +\begin_inset Formula $N$ \end_inset se puede expresar como combinación lineal de los @@ -5109,7 +5024,7 @@ Sean \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}L_{ij}$ +\begin_inset Formula $N=\bigvee_{ij}L_{ij}$ \end_inset . @@ -5160,12 +5075,17 @@ end{exinfo} \series bold noetheriano \series default - si cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados, + si +\begin_inset Formula $({\cal L}(_{A}M),\subseteq)$ +\end_inset + + cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados, y es \series bold artiniano \series default - si cumple la DCC, con lo que un anillo + si cumple la DCC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente cogenerados +, con lo que un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -5436,7 +5356,7 @@ Como todos sus subgrupos son los de esta cadena, \end_inset es artiniano, y no es finitamente generado porque de serlo, como todos - sus subgrupos también lo son, sería noetheriano. + sus subgrupos propios lo son, sería noetheriano. \end_layout \end_deeper @@ -5564,24 +5484,8 @@ sucesión exacta corta \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulos, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - - son homomorfismos y el núcleo de cada morfismo es la imagen del que le - precede tomando como homomorfismos -\begin_inset Formula $0\to L$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $N\to0$ -\end_inset - - los únicos posibles, lo que equivale a que +-módulos, cada flecha es un homomorfismo y el núcleo de cada morfismo es + la imagen del que le precede, lo que equivale a que \begin_inset Formula $f$ \end_inset @@ -5806,7 +5710,7 @@ Si \begin_inset Formula $q=(q-p)+p\in P$ \end_inset - y se concluye que + y se concluye \begin_inset Formula $P=Q$ \end_inset @@ -4712,11 +4712,11 @@ pero para \end_inset y -\begin_inset Formula $Z_{i1}=Y_{ij}$ +\begin_inset Formula $Z_{1j}=Y_{1j}$ \end_inset , con lo que -\begin_inset Formula $Z_{i1}=qZ_{11}+r$ +\begin_inset Formula $Z_{1j}=qZ_{11}+r$ \end_inset con @@ -4727,7 +4727,7 @@ pero para \begin_inset Formula $\delta(r)<\delta(Z_{11})=\delta(X_{11})=\delta_{0}$ \end_inset - y, restando a la +, y restando a la \begin_inset Formula $i$ \end_inset @@ -4735,12 +4735,12 @@ pero para \begin_inset Formula $q$ \end_inset -, se obtendría una matriz + se obtendría una matriz \begin_inset Formula $Z'$ \end_inset con -\begin_inset Formula $\delta(Z'_{i1})<\delta_{0}\#$ +\begin_inset Formula $\delta(Z'_{1j})<\delta_{0}\#$ \end_inset . |