aboutsummaryrefslogtreecommitdiff
path: root/af/n1.lyx
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'af/n1.lyx')
-rw-r--r--af/n1.lyx355
1 files changed, 148 insertions, 207 deletions
diff --git a/af/n1.lyx b/af/n1.lyx
index ee3a964..e368de8 100644
--- a/af/n1.lyx
+++ b/af/n1.lyx
@@ -82,8 +82,7 @@
\begin_body
\begin_layout Standard
-Salvo que se indique lo contrario, al hablar de espacios vectoriales entenderemo
-s que lo son sobre
+Salvo que se indique lo contrario, los espacios vectoriales son sobre
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset
@@ -212,7 +211,7 @@ dual algebraico
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset
-, llamadas
+, las
\series bold
formas lineales
\series default
@@ -261,6 +260,39 @@ dual topológico
\end_layout
\begin_layout Standard
+Dados e.l.t.s
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $T:E\to F$
+\end_inset
+
+ es un
+\series bold
+isomorfismo topológico
+\series default
+ si es un isomorfismo y un homeomorfismo, y entonces
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ son
+\series bold
+topológicamente isomorfos
+\series default
+.
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open
@@ -678,10 +710,10 @@ Si
\end_inset
es continua si y sólo si lo es en 0, y si
-\begin_inset Formula $F=\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $T$
\end_inset
- con la topología usual,
+ es una forma lineal,
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
@@ -1229,7 +1261,7 @@ funcional de Minkowski
\begin_inset Formula $p_{A}:E\to\mathbb{R}$
\end_inset
- como
+ dada por
\begin_inset Formula $p_{A}(x)\coloneqq\inf\{t>0\mid x\in tA\}$
\end_inset
@@ -1253,7 +1285,7 @@ Si
\end_inset
es subaditiva y
-\begin_inset Formula $\{x\in E\mid p_{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq\{x\in E\mid p_{A}(x)\leq1\}$
+\begin_inset Formula $\{p_{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq\{p_{A}(x)\leq1\}$
\end_inset
.
@@ -1336,11 +1368,11 @@ Si
\end_inset
, y entonces
-\begin_inset Formula $\mathring{C}=\{x\in E\mid p_{C}(x)<1\}$
+\begin_inset Formula $\mathring{C}=\{p_{C}(x)<1\}$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\overline{C}=\{x\in E\mid p_{C}(x)\leq1\}$
+\begin_inset Formula $\overline{C}=\{p_{C}(x)\leq1\}$
\end_inset
.
@@ -1366,7 +1398,7 @@ Una seminorma
\end_inset
es abierta, si y sólo si
-\begin_inset Formula $0\in\mathring{\overbrace{\{x\in E\mid p(x)<1\}}}$
+\begin_inset Formula $0\in\mathring{\overbrace{\{p(x)<1\}}}$
\end_inset
, si y sólo si
@@ -1435,8 +1467,7 @@ Dados dos e.l.c.
\begin_inset Formula $T:E\to F$
\end_inset
- lineal es continua si y sólo si lo es en 0, si y sólo si para toda seminorma
- continua
+ lineal es continua si y sólo si para toda seminorma continua
\begin_inset Formula $q:F\to\mathbb{R}$
\end_inset
@@ -1495,6 +1526,33 @@ nproof
\end_layout
+\begin_layout Standard
+Como
+\series bold
+teorema
+\series default
+, un e.l.c.
+
+\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es metrizable si y sólo si es 1AN, si y sólo si
+\begin_inset Formula ${\cal T}$
+\end_inset
+
+ es asociada a una familia numerable de seminormas continuas.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
\begin_layout Section
Ejemplos de espacios localmente convexos
\end_layout
@@ -1574,11 +1632,7 @@ Si
\begin_inset Formula $C_{\text{b}}(X)$
\end_inset
- al subespacio de
-\begin_inset Formula $(\mathbb{K}^{X},{\cal T}_{\text{p}})$
-\end_inset
-
- de las funciones continuas y acotadas.
+ al de las funciones continuas y acotadas.
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -1705,7 +1759,7 @@ d(f,g)\coloneqq\sum_{n}\frac{1}{2^{n}}\frac{p_{K_{n}}(f-g)}{1+p_{K_{n}}(f-g)},
\end_inset
-con lo que
+y
\begin_inset Formula $(C(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$
\end_inset
@@ -1818,7 +1872,7 @@ El conjunto de funciones
\end_inset
veces diferenciables con
-\begin_inset Formula $\dif^{(m)}f$
+\begin_inset Formula $\dif^{\kern1pt{}m}\kern-2pt{}f$
\end_inset
continua,
@@ -1840,7 +1894,7 @@ topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y sus
\left\{ p_{K}^{m}(f)\coloneqq\sup_{\begin{subarray}{c}
\alpha\in\mathbb{N}^{n}\\
|\alpha|\coloneqq\alpha_{1}+\dots+\alpha_{n}\leq m
-\end{subarray}}\sup_{x\in K}|D^{\alpha}f(x)|\right\} _{K\subseteq\Omega\text{ compacto}},
+\end{subarray}}\sup_{x\in K}|\text{D}^{\alpha}f(x)|\right\} _{K\subseteq\Omega\text{ compacto}},
\]
\end_inset
@@ -1848,7 +1902,7 @@ topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y sus
donde
\begin_inset Formula
\[
-D^{\alpha}f(x)\coloneqq\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}.
+\text{D}^{\alpha}f(x)\coloneqq\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}.
\]
\end_inset
@@ -2083,33 +2137,6 @@ con lo que
\end_layout
\begin_layout Standard
-Como
-\series bold
-teorema
-\series default
-, un e.l.c.
-
-\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
-\end_inset
-
- es metrizable si y sólo si es 1AN, si y sólo si
-\begin_inset Formula ${\cal T}$
-\end_inset
-
- es asociada a una familia numerable de seminormas continuas.
-\begin_inset Note Note
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-nproof
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
Un e.l.c.
\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
@@ -2234,10 +2261,7 @@ Un
espacio de Banach
\series default
es un espacio normado completo.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Sea
+ Sea
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset
@@ -2253,11 +2277,7 @@ Sea
\end_inset
es completo si y sólo si toda sucesión
-\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$
-\end_inset
-
- en
-\begin_inset Formula $X$
+\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset
con
@@ -2450,7 +2470,7 @@ Operadores
\end_layout
\begin_layout Standard
-Un operador entre espacios normados se dice
+Un operador entre espacios normados es
\series bold
acotado
\series default
@@ -2462,7 +2482,7 @@ acotado
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset
--espacio normado, llamamos
+-espacio normado,
\begin_inset Formula $X^{*}\coloneqq X'={\cal L}(X,\mathbb{K})$
\end_inset
@@ -2684,16 +2704,12 @@ tomando
\begin_inset Formula $({\cal L}(X,Y),\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset
- también lo es.
- Si
-\begin_inset Formula $Y=\mathbb{K}$
-\end_inset
-
-,
-\begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)=X^{*}$
+ también.
+ En
+\begin_inset Formula $X^{*}$
\end_inset
- y esta norma se llama
+ esta norma se llama
\series bold
norma dual
\series default
@@ -3083,25 +3099,13 @@ Isomorfismos topológicos
\end_layout
\begin_layout Standard
-Dados dos espacios normados
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- e
-\begin_inset Formula $Y$
-\end_inset
-
-, una función
-\begin_inset Formula $T:X\to Y$
+Una función
+\begin_inset Formula $T$
\end_inset
- es un
-\series bold
-isomorfismo topológico
-\series default
- si es un isomorfismo y un homeomorfismo, si y sólo si es lineal, suprayectiva
- y
-\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x\in X,m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$
+ entre espacios normados es un isomorfismo topológico si y sólo si es lineal,
+ suprayectiva y
+\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x,m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$
\end_inset
.
@@ -3176,27 +3180,15 @@ Para
\end_layout
\begin_layout Standard
-Dos espacios normados
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- e
-\begin_inset Formula $Y$
-\end_inset
-
- son
-\series bold
-topológicamente isomorfos
-\series default
- si existe un isomorfismo topológico entre ellos, y son
+Dos espacios normados son
\series bold
isométricamente isomorfos
\series default
- si este se puede tomar
+ si entre ellos hay un isomorfismo topológico
\series bold
isométrico
\series default
-, que conserve distancias o, equivalentemente, normas.
+, es decir, que conserve distancias o, equivalentemente, normas.
Dos normas
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert,|\cdot|:X\to\mathbb{R}$
\end_inset
@@ -3864,7 +3856,7 @@ Finalmente, si
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-La aplicación cociente
+La proyección
\begin_inset Formula $X\to X/Y$
\end_inset
@@ -4167,12 +4159,8 @@ Desigualdad de Hölder:
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}>0$
\end_inset
-,
-\begin_inset Formula $p>1$
-\end_inset
-
y
-\begin_inset Formula $q>1$
+\begin_inset Formula $p,q>1$
\end_inset
con
@@ -4613,11 +4601,20 @@ Por isomorfismo podemos suponer que el dominio es
\series bold
Teorema de Bolzano-Weierstrass:
\series default
- En espacio normados de dimensión finita, los conjuntos cerrados y acotados
- son compactos, pues esto ocurre en
+ En espacios normados de dimensión finita, los cerrados acotados son compactos
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues esto ocurre en
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
.
\begin_inset Foot
status open
@@ -4637,15 +4634,15 @@ El teorema se suele enunciar como que toda sucesión en un cerrado acotado
\series bold
Lema de Riesz:
\series default
- Dados un subespacio normado
+ Dados un espacio normado
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
-, un subespacio cerrado
-\begin_inset Formula $Y\subsetneq X$
+,
+\begin_inset Formula $Y<X$
\end_inset
- y
+ cerrado y
\begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$
\end_inset
@@ -4839,7 +4836,7 @@ Teorema de Riesz:
\end_inset
tuviera dimensión infinita, habría una sucesión
-\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\in S_{X}\subseteq B_{X}$
+\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq S_{X}\subseteq B_{X}$
\end_inset
con
@@ -4950,7 +4947,7 @@ Sean
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset
- una aplicación lineal con imagen de dimensión finita,
+ lineal con imagen de dimensión finita,
\begin_inset Formula $T$
\end_inset
@@ -5180,15 +5177,10 @@ Si además
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-El espacio
\begin_inset Formula $C_{\text{b}}(S)$
\end_inset
- de funciones
-\begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$
-\end_inset
-
- continuas y acotadas es un subespacio cerrado de
+ es un subespacio cerrado de
\begin_inset Formula $\ell^{\infty}(S)$
\end_inset
@@ -5206,8 +5198,7 @@ nproof
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-Una función
-\begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$
+\begin_inset Formula $f:S\to\mathbb{K}$
\end_inset
@@ -5228,7 +5219,7 @@ se anula en el infinito
\end_inset
continuas que se anulan en el infinito es un subespacio cerrado de
-\begin_inset Formula $C_{\text{c}}(S)$
+\begin_inset Formula $C_{\text{b}}(S)$
\end_inset
.
@@ -5286,7 +5277,7 @@ Llamando
\begin_inset Formula $\ell^{\infty}$
\end_inset
- es no separable.
+ no es separable.
\begin_inset Note Note
status open
@@ -5312,7 +5303,7 @@ nproof
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $c_{0}\subsetneq c\subsetneq\ell^{\infty}$
+\begin_inset Formula $c_{0}<c<\ell^{\infty}$
\end_inset
.
@@ -5736,11 +5727,6 @@ entonces:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-Para
-\begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$
-\end_inset
-
- compacto,
\begin_inset Formula $({\cal D}_{K}^{m}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{m}(\Omega)\mid\text{sop}f\subseteq K\},\Vert\cdot\Vert_{m})$
\end_inset
@@ -5761,11 +5747,7 @@ nproof
\begin_inset Formula ${\cal D}^{m}(\Omega)\coloneqq(\{f\in{\cal C}^{m}(\Omega)\mid\text{sop}f\text{ compacto}\},\Vert\cdot\Vert_{m})$
\end_inset
- es un espacio normado, y en particular lo es
-\begin_inset Formula $(C_{c}(\Omega),\Vert\cdot\Vert_{\infty})={\cal D}^{0}(\Omega)$
-\end_inset
-
-.
+ es un espacio normado.
\begin_inset Note Note
status open
@@ -5779,11 +5761,7 @@ nproof
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula ${\cal D}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{\infty}(\Omega)\mid\text{sop}f\text{ compacto}\}$
-\end_inset
-
- es un subespacio de
-\begin_inset Formula ${\cal D}^{m}(\Omega)$
+\begin_inset Formula ${\cal D}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{\infty}(\Omega)\mid\text{sop}f\text{ compacto}\}<\text{\ensuremath{{\cal D}}}^{m}(\Omega)$
\end_inset
.
@@ -5828,7 +5806,7 @@ Sean
\end_inset
-entonces para
+para
\begin_inset Formula $p\in[1,\infty]$
\end_inset
@@ -5837,7 +5815,7 @@ entonces para
espacio de Hardy
\series default
-\begin_inset Formula $H^{p}(D)\coloneqq(\{f\in{\cal H}(D):\Vert f\Vert_{H_{p}}<\infty)$
+\begin_inset Formula $H^{p}(D)\coloneqq(\{f\in{\cal H}(D)\mid\Vert f\Vert_{H_{p}}<\infty\},\Vert\cdot\Vert_{H_{p}})$
\end_inset
es un espacio de Banach.
@@ -6270,7 +6248,11 @@ Si
\end_inset
, pero esto no es cierto en espacios topológicos arbitrarios.
- Sean
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sean
\begin_inset Formula $X\coloneqq\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
\end_inset
@@ -6311,7 +6293,7 @@ nproof
\end_layout
-\begin_layout Standard
+\begin_layout Plain Layout
Sean
\begin_inset Formula $Y\coloneqq[0,1]^{\mathbb{R}}$
\end_inset
@@ -6357,6 +6339,11 @@ nproof
\end_layout
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
\begin_layout Section
Familias sumables
\end_layout
@@ -6427,15 +6414,11 @@ Si
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset
- es un espacio normado,
-\begin_inset Formula $I\neq\emptyset$
-\end_inset
-
- y
+ es un espacio normado y
\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$
\end_inset
-:
+ es no vacía:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
@@ -6493,28 +6476,11 @@ nproof
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-Si
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
- es de Banach, toda familia absolutamente sumable es sumable.
-\begin_inset Note Note
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-nproof
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- es de Banach si y sólo si toda familia sumable es absolutamente sumable.
+ es de Banach si y sólo si toda familia sumable es absolutamente sumable,
+ y entonces toda familia absolutamente sumable es sumable.
\begin_inset Note Note
status open
@@ -6557,7 +6523,11 @@ propiedad S
\end_inset
.
- Por ejemplo
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Por ejemplo
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$
\end_inset
@@ -6582,42 +6552,18 @@ nproof
\end_layout
-\begin_layout Standard
-Si
-\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
-\end_inset
-
- es de dimensión finita y
-\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$
-\end_inset
-
- no es vacía:
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in I}$
-\end_inset
-
- es absolutamente sumable si y sólo si es sumable.
-\begin_inset Note Note
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-nproof
-\end_layout
-
\end_inset
\end_layout
-\begin_layout Enumerate
+\begin_layout Standard
Si
-\begin_inset Formula $I=(\mathbb{N},\geq)$
+\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset
-,
-\begin_inset Formula $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
+ es de dimensión finita,
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$
\end_inset
es sumable si y sólo si
@@ -6625,7 +6571,7 @@ Si
\end_inset
es absolutamente convergente, si y sólo si
-\begin_inset Formula $\sup_{n\in\mathbb{N}}\sum_{i=1}^{n}\Vert x_{i}\Vert<\infty$
+\begin_inset Formula $\sup_{n}\sum_{i\in\mathbb{N}_{n}}\Vert x_{i}\Vert<\infty$
\end_inset
.
@@ -6654,7 +6600,7 @@ Teorema de reordenación de Riemann:
\begin_inset Formula $x\in[-\infty,\infty]$
\end_inset
-, existe
+, existe una biyección
\begin_inset Formula $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$
\end_inset
@@ -6700,12 +6646,7 @@ incondicionalmente convergente
\begin_inset Formula $\sum_{n}x_{\pi(n)}$
\end_inset
- converge.
- Si
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- es de Banach, esto ocurre si y sólo si
+ converge, si y sólo si
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset
@@ -6742,7 +6683,7 @@ teorema
, si y sólo si
\begin_inset Formula
\[
-\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall\{z_{j}\}_{j\in\mathbb{N}_{n}}\subseteq X,\left(\sup_{S\subseteq\mathbb{N}_{n}}\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert <\delta\implies\sum_{j\in J}\Vert z_{j}\Vert<\varepsilon\right),
+\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall\{z_{j}\}_{j\in\mathbb{N}_{n}}\subseteq X,\left(\sup_{S\subseteq\mathbb{N}_{n}}\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert <\delta\implies\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}\Vert z_{j}\Vert<\varepsilon\right),
\]
\end_inset
@@ -6753,7 +6694,7 @@ si y sólo si toda serie sumable en
es absolutamente convergente.
\begin_inset Note Note
-status open
+status collapsed
\begin_layout Plain Layout
nproof
generated by cgit v1.2.3 (git 2.46.0) at 2025-10-30 22:40:12 +0000