aboutsummaryrefslogtreecommitdiff
path: root/af/n1.lyx
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'af/n1.lyx')
-rw-r--r--af/n1.lyx2257
1 files changed, 1815 insertions, 442 deletions
diff --git a/af/n1.lyx b/af/n1.lyx
index fe32176..ee3a964 100644
--- a/af/n1.lyx
+++ b/af/n1.lyx
@@ -120,411 +120,1273 @@ lineal conjugada
\end_layout
\begin_layout Section
-Espacios de Banach
+Espacios vectoriales topológicos
\end_layout
\begin_layout Standard
-Dados un
+Un
+\series bold
+espacio vectorial topológico
+\series default
+ (
+\series bold
+e.v.t.
+\series default
+) es un espacio topológico
+\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ donde
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es un
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset
--espacio vectorial
-\begin_inset Formula $X$
+-espacio vectorial y
+\begin_inset Formula $s:E\times E\to E$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $A\subseteq X$
+\begin_inset Formula $p:\mathbb{K}\times E\to E$
\end_inset
-, llamamos
-\begin_inset Formula $\text{span}A$
+ dadas por
+\begin_inset Formula $s(x,y)\coloneqq x+y$
\end_inset
- al menor subespacio vectorial de
-\begin_inset Formula $X$
+ y
+\begin_inset Formula $p(\alpha,x)\coloneqq\alpha x$
\end_inset
- que contiene a
-\begin_inset Formula $A$
+ son continuas en la topología producto, y entonces
+\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset
-, y decimos que una
-\begin_inset Formula $q:X\to\mathbb{R}$
+ es una
+\series bold
+topología vectorial
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset
- es:
-\end_layout
+-espacios vectoriales
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
-\begin_layout Enumerate
+ y
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+, un
\series bold
-Subaditiva
+operador
\series default
- si
-\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,q(x+y)\leq q(x)+q(y)$
+ es una función lineal de
+\begin_inset Formula $E$
\end_inset
-.
-\end_layout
+ a
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
-\begin_layout Enumerate
+, y llamamos
+\series bold
+dual algebraico
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+ al conjunto de funciones de
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+, llamadas
\series bold
-Positivamente homogénea
+formas lineales
\series default
- si
-\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K}\cap\mathbb{R}^{+},\forall x\in X,q(ax)=aq(x)$
+ de
+\begin_inset Formula $E$
\end_inset
.
-\end_layout
+ Si
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
-\begin_layout Enumerate
+ y
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ son
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+-e.v.t.s,
+\begin_inset Formula ${\cal L}(E,F)$
+\end_inset
+
+ es el conjunto de operadores continuos de
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+, y llamamos
\series bold
-Absolutamente homogénea
+dual topológico
\series default
- si
-\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K},\forall x\in X,q(ax)=|a|q(x)$
+ de
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $E'\coloneqq{\cal L}(E,\mathbb{K})$
\end_inset
.
\end_layout
-\begin_layout Enumerate
-Una
-\series bold
-seminorma
-\series default
- si es subaditiva y absolutamente homogénea.
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+sremember{TEM}
\end_layout
-\begin_layout Enumerate
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
Una
\series bold
-norma
+base de entornos
\series default
- si es una seminorma con
-\begin_inset Formula $q^{-1}(0)=0$
+ de
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ es una subfamilia
+\begin_inset Formula ${\cal B}(p)\subseteq{\cal E}(p)$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(p),\exists U\in{\cal B}(p):U\subseteq V$
\end_inset
.
+ [...] Un espacio topológico [...] satisface el
+\series bold
+primer axioma de numerabilidad
+\series default
+, o es
+\series bold
+1AN
+\series default
+, si todo punto posee una base de entornos numerable [...].
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+eremember
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
\end_layout
\begin_layout Standard
-Toda norma es definida positiva
+Si
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+-e.v.t.:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $s_{a}:E\to E$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $y\in E$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $p_{\lambda}:E\to E$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}^{*}$
+\end_inset
+
+ dados por
+\begin_inset Formula $s_{a}(x)\coloneqq x+a$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $p_{\lambda}(x)\coloneqq\lambda x$
+\end_inset
+
+ son homeomorfismos.
\begin_inset Note Comment
status open
\begin_layout Plain Layout
-, pues si
-\begin_inset Formula $x\in X\setminus0$
+\begin_inset Formula $s_{a}$
\end_inset
-,
-\begin_inset Formula $q(x)=|-1|q(x)=q(-x)\neq0$
+ es la composición de
+\begin_inset Formula $x\mapsto(x,a)$
\end_inset
-, pero
-\begin_inset Formula $0=q(0)=q(x-x)\leq q(x)+q(-x)=2q(x)$
+ con la suma, por lo que es continua, y análogamente lo es
+\begin_inset Formula $p_{\lambda}$
+\end_inset
+
+, pero la inversa de
+\begin_inset Formula $s_{a}$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula $s_{-a}$
+\end_inset
+
+ y la de
+\begin_inset Formula $p_{\lambda}$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula $p_{\lambda^{-1}}$
+\end_inset
+
+, que también son continuas.
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La suma de un abierto y un subconjunto cualquiera de
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es abierta en
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sean
+\begin_inset Formula $G\subseteq E$
+\end_inset
+
+ abierto y
+\begin_inset Formula $A\subseteq E$
+\end_inset
+
+.
+ Todo
+\begin_inset Formula $p\in G+A$
+\end_inset
+
+ es de la forma
+\begin_inset Formula $p=g+a$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $q(x)>0$
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, pero entonces
+\begin_inset Formula $G+a\subseteq G+A$
+\end_inset
+
+ es un entorno de
+\begin_inset Formula $g+a$
+\end_inset
+
+ por el homeomorfismo
+\begin_inset Formula $s_{a}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
\end_inset
\end_layout
+\begin_layout Enumerate
+La suma de un cerrado y un compacto de
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es cerrada en
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Sean
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ el cerrado y
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ el compacto, tomamos una sucesión convergente arbitraria en
+\begin_inset Formula $F+K$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $(x_{n}+y_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ con cada
+\begin_inset Formula $x_{n}\in F$
+\end_inset
+
+ y cada
+\begin_inset Formula $y_{n}\in K$
+\end_inset
+
+, y
+\begin_inset Formula $z\coloneqq\lim_{n}(x_{n}+y_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Como
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es compacto, existe una subsucesión
+\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
+\end_inset
+
+ convergente a un
+\begin_inset Formula $x\in K$
+\end_inset
+
+, luego
+\begin_inset Formula $(y_{n_{k}})_{k}$
+\end_inset
+
+ converge a
+\begin_inset Formula $z-x\in F$
+\end_inset
+
+ y por tanto
+\begin_inset Formula $z=(z-x)+x\in F+K$
\end_inset
.
\end_layout
-\begin_layout Standard
-Un
-\series bold
-espacio normado
-\series default
- es un
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset
--espacio vectorial
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Un subespacio vectorial de
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
- con una norma
-\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert:X\to\mathbb{R}$
+ es propio si y sólo si su interior es vacío.
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea
+\begin_inset Formula $Y<X$
+\end_inset
+
+ un subespacio vectorial propio y
+\begin_inset Formula $p\in X\setminus Y$
+\end_inset
+
+, para
+\begin_inset Formula $y\in Y$
+\end_inset
+
+, por continuidad de la suma y el producto,
+\begin_inset Formula $\lim_{h\to0}(y+hp)=y$
+\end_inset
+
+, por lo que
+\begin_inset Formula $(y+\frac{p}{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
+\end_inset
+
+ es una sucesión de elementos de
+\begin_inset Formula $X\setminus Y$
+\end_inset
+
+ que converge a
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $y\notin\mathring{Y}$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\mathring{Y}=\emptyset$
\end_inset
.
- Todo espacio normado
-\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset
- es un espacio métrico con la distancia
-\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto\Vert x-y\Vert$
+
+\end_layout
+
\end_inset
-, y llamamos
-\begin_inset Formula $B_{X}\coloneqq B[0,1]=\overline{B(0,1)}=\{x\in X\mid\Vert x\Vert\leq1\}$
+El contrarrecíproco es trivial.
+\end_layout
+
\end_inset
- y conjunto de
-\series bold
-vectores unitarios
-\series default
- a
-\begin_inset Formula $S_{X}\coloneqq\partial B(0,1)=\{x\in X\mid\Vert x\Vert=1\}$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $F\subseteq E$
+\end_inset
+
+ es un subespacio vectorial también lo es
+\begin_inset Formula $\overline{F}$
\end_inset
.
- La norma es uniformemente continua en este espacio métrico
\begin_inset Note Comment
status open
\begin_layout Plain Layout
-, pues para
-\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+Dados
+\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset
-, si
-\begin_inset Formula $x,y\in X$
+ y
+\begin_inset Formula $x,y\in\overline{F}$
\end_inset
- cumplen
-\begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
+,
+\begin_inset Formula $x$
\end_inset
-, por subaditividad es
-\begin_inset Formula $\Vert x\Vert\leq\Vert x-y\Vert+\Vert y\Vert$
+ e
+\begin_inset Formula $y$
\end_inset
- y por tanto
-\begin_inset Formula $\left|\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\right|=\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\leq\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
+ son límites de sucesiones respectivas
+\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n},\{y_{n}\}_{n}\subseteq F$
\end_inset
+, con lo que
+\begin_inset Formula $x+y=\lim_{n}(x_{n}+y_{n})\in\overline{F}$
+\end_inset
+ y
+\begin_inset Formula $ax=\lim_{n}ax_{n}\in\overline{F}$
+\end_inset
+
+.
\end_layout
\end_inset
-.
- Un vector es
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ es otro e.v.t.
+ y
+\begin_inset Formula $T:E\to F$
+\end_inset
+
+ es lineal,
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si lo es en 0, y si
+\begin_inset Formula $F=\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+ con la topología usual,
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ es continua si y sólo si
+\begin_inset Formula $\ker T\leq E$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A\subseteq E$
+\end_inset
+
+ es
\series bold
-unitario
+equilibrado
\series default
- si tiene norma 1.
- Un
+ si
+\begin_inset Formula $\forall\alpha\in\mathbb{K},(|\alpha|\leq1\implies\alpha A\subseteq A)$
+\end_inset
+
+, es
\series bold
-espacio de Banach
+absorbente
\series default
- es un espacio normado completo.
+ si
+\begin_inset Formula $\forall x\in E,\exists\rho_{0}>0:\forall\rho\in\mathbb{K},(|\rho|\geq\rho_{0}\implies x\in\rho A)$
+\end_inset
+
+, y es
+\series bold
+total
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula $\overline{\text{span}A}=E$
+\end_inset
+
+.
+ Los entornos de 0 son absorbentes.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
\end_layout
\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
+Si
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+-e.v.t.
+ y
+\begin_inset Formula ${\cal U}$
+\end_inset
+
+ una base de entornos de 0:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para
+\begin_inset Formula $x\in E$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{K}^{*}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $x+\alpha{\cal U}$
+\end_inset
+
+ es base de entornos de
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Note
status open
\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
-\backslash
-begin{samepage}
\end_layout
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall M\subseteq E,\overline{M}=\bigcap_{U\in{\cal U}}(M+U)$
\end_inset
+.
+\begin_inset Note Note
+status open
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
\end_layout
-\begin_layout Standard
-Sea
-\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset
- un
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal U},\exists V\in{\cal U}:V+V\subseteq U$
\end_inset
--espacio normado:
+.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-Todo subespacio vectorial de
-\begin_inset Formula $X$
+\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal U},\exists V\in{\cal U}:\forall\alpha\in\mathbb{K},(|\alpha|\leq1\implies\alpha V\subseteq U)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
\end_inset
- es normado con la norma inducida.
+
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $s:X\times X\to X$
+Todo
+\begin_inset Formula $U\in{\cal U}$
+\end_inset
+
+ es absorbente.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\tilde{{\cal U}}\coloneqq\left\{ \bigcup_{|\alpha|\leq1}\alpha U\right\} _{U\in{\cal U}}$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $p:\mathbb{K}\times X\to X$
+\begin_inset Formula $\overline{{\cal U}}\coloneqq\{\overline{U}\}_{U\in{\cal U}}$
\end_inset
- dadas por
-\begin_inset Formula $s(x,y)\coloneqq x+y$
+ son bases de entornos de 0, con lo que toda e.v.t.
+ tiene una base de entornos del 0 formada por conjuntos absorbentes, equilibrado
+s y cerrados.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una
+\series bold
+base de filtro
+\series default
+ en un conjunto
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula ${\cal U}\subseteq{\cal P}(S)$
+\end_inset
+
+ no vacío tal que
+\begin_inset Formula $\forall U,V\in{\cal U},\exists W\in{\cal U}:W\subseteq U\cap V$
+\end_inset
+
+, y se puede definir una topología en
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ tomando una base de filtros sobre cada punto, que actuará como base de
+ entornos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Espacios localmente convexos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ un espacio vectorial y
+\begin_inset Formula ${\cal U}$
+\end_inset
+
+ una base de filtro en
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ formada por conjuntos absorbentes y equilibrados y tal que
+\begin_inset Formula $\bigcap{\cal U}=0$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $p(a,x)\coloneqq ax$
+\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal U},\exists V\in{\cal U}:V+V\subseteq U$
\end_inset
- son continuas.
-\begin_inset Note Comment
+, existe una única topología vectorial sobre
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ tal que para
+\begin_inset Formula $x\in E$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $\{x+U\}_{U\in{\cal U}}$
+\end_inset
+
+ es base de entornos de
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Note
status open
\begin_layout Plain Layout
-Sea
-\begin_inset Formula $A\subseteq X$
+nproof
+\end_layout
+
\end_inset
- abierto, queremos ver que
-\begin_inset Formula $s^{-1}(A)$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado un
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset
- y
-\begin_inset Formula $p^{-1}(A)$
+-espacio vectorial
+\begin_inset Formula $E$
\end_inset
- son abiertos con la topología producto.
- Sean
-\begin_inset Formula $(x,y)\in s^{-1}(A)$
+,
+\begin_inset Formula $q:E\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es
+\series bold
+subaditiva
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in E,q(x+y)\leq q(x)+q(y)$
+\end_inset
+
+,
+\series bold
+positivamente homogénea
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula $\forall\lambda\in\mathbb{R}^{+},\forall x\in E,q(\lambda x)=\lambda q(x)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $b\coloneqq s(x,y)$
+\series bold
+absolutamente homogénea
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula $\forall\lambda\in\mathbb{K},\forall x\in E,q(\lambda x)=|\lambda|q(x)$
\end_inset
-, existe
-\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+.
+ Una
+\series bold
+seminorma
+\series default
+ es una función
+\begin_inset Formula $E\to\mathbb{R}$
\end_inset
- tal que
-\begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$
+ subaditiva y absolutamente homogénea.
+ Las seminormas son no negativas
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues si
+\begin_inset Formula $q:E\to\mathbb{R}$
\end_inset
-, pero entonces, para
-\begin_inset Formula $(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\times B(y,\frac{\varepsilon}{2})$
+ es una seminorma y
+\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset
,
+\begin_inset Formula $0=0q(x)=q(0x)=q(0)=q(x-x)\leq q(x)+q(-x)=q(x)+|-1|q(x)=2q(x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ un espacio vectorial y
+\begin_inset Formula ${\cal P}\subseteq\mathbb{R}^{E}$
+\end_inset
+
+ una familia de seminormas con
+\begin_inset Formula $\bigcap_{p\in{\cal P}}\{x\in E\mid p(x)=0\}=0$
+\end_inset
+
+,
\begin_inset Formula
\[
-\Vert s(x',y')-b\Vert=\Vert\cancel{b}+(x'-x)+(y'-y)\cancel{-b}\Vert\leq\Vert x'-x\Vert+\Vert y'-y\Vert<\varepsilon,
+{\cal U}\coloneqq\left\{ \bigcap_{p\in{\cal F}}\{x\in E\mid p(x)<\varepsilon\}\right\} _{{\cal F}\subseteq{\cal P}\text{ finito},\varepsilon>0}
\]
\end_inset
-luego
-\begin_inset Formula $s(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\subseteq A$
+es una base de filtro formada por conjuntos convexos, absorbentes y equilibrados
+, con intersección vacía y tal que para
+\begin_inset Formula $U\in{\cal U}$
+\end_inset
+
+ existe
+\begin_inset Formula $V\in{\cal V}$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $V+V\subseteq U$
+\end_inset
+
+, y llamamos
+\series bold
+topología asociada a
+\begin_inset Formula ${\cal P}$
+\end_inset
+
+
+\series default
+ a la única topología vectorial sobre
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ que tiene a
+\begin_inset Formula ${\cal U}$
+\end_inset
+
+ como base de entornos de 0.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial,
+\begin_inset Formula $A\subseteq E$
+\end_inset
+
+ es
+\series bold
+absolutamente convexo
+\series default
+ si es convexo y equilibrado, si y sólo si
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K},(|\alpha|+|\beta|\leq1\implies\alpha x+\beta y\in A)$
\end_inset
.
- Sean
-\begin_inset Formula $(a,x)\subseteq p^{-1}(A)$
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
\end_inset
- y
-\begin_inset Formula $b\coloneqq p(a,x)$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La intersección de conjuntos absolutamente convexos es absolutamente convexa,
+ y llamamos
+\series bold
+envoltura absolutamente convexa
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset
-, existe
-\begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$
+,
+\begin_inset Formula $\Gamma(A)$
\end_inset
- tal que
-\begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$
+ a la intersección de todos los conjuntos absolutamente convexos que contienen
+ a
+\begin_inset Formula $A$
\end_inset
-, pero entonces para
-\begin_inset Formula $(a',x')\in B(a,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})\times B(x,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})$
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La intersección de conjuntos convexos es convexa, y llamamos
+\series bold
+envoltura convexa
+\series default
+ de
+\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula
-\begin{align*}
-\Vert p(a',x')-b\Vert & =\Vert((a'-a)+a)((x'-x)+x)-ax\Vert=\\
- & =|a'-a|\Vert x'-x\Vert+|a|\Vert x'-x\Vert+|a'-a|\Vert x\Vert<\\
- & <\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}\left(\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}+|a|+\Vert x\Vert\right)\leq\varepsilon\frac{1+|a|+\Vert x\Vert}{|a|+\Vert x\Vert+1}=\varepsilon,
-\end{align*}
+\begin_inset Formula $\text{co}A$
+\end_inset
+, a la intersección de todos los convexos que contienen a
+\begin_inset Formula $A$
\end_inset
-con lo que
-\begin_inset Formula $p(a',x')\in B(b,\varepsilon)\subseteq A$
+, que es absolutamente convexa si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es equilibrado.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un
+\series bold
+espacio localmente convexo
+\series default
+ es un e.v.t.
+
+\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
\end_inset
+ con una base de entornos de 0 formada por conjuntos convexos, y entonces
+
+\begin_inset Formula ${\cal T}$
+\end_inset
+
+ es
+\series bold
+localmente convexa
+\series default
.
+ Todo e.l.c.
+ tiene una base de entornos del origen formada por conjuntos absolutamente
+ convexos y cerrados.
+ Un
+\series bold
+espacio de Fréchet
+\series default
+ es un e.l.c.
+ metrizable y completo.
\end_layout
+\begin_layout Standard
+Dados un espacio vectorial
+\begin_inset Formula $E$
\end_inset
+ y
+\begin_inset Formula $A\subseteq E$
+\end_inset
+ absorbente, llamamos
+\series bold
+funcional de Minkowski
+\series default
+ asociado a
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ a
+\begin_inset Formula $p_{A}:E\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ como
+\begin_inset Formula $p_{A}(x)\coloneqq\inf\{t>0\mid x\in tA\}$
+\end_inset
+
+, y entonces:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $s_{y}:X\to X$
+\begin_inset Formula $p_{A}$
\end_inset
- con
-\begin_inset Formula $y\in X$
+ es no negativa y positivamente homogénea.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es convexo,
+\begin_inset Formula $p_{A}$
+\end_inset
+
+ es subaditiva y
+\begin_inset Formula $\{x\in E\mid p_{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq\{x\in E\mid p_{A}(x)\leq1\}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es absolutamente convexo,
+\begin_inset Formula $p_{A}$
+\end_inset
+
+ es una seminorma.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Toda seminorma
+\begin_inset Formula $p:E\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es el funcional de Minkowski asociado a
+\begin_inset Formula $\{x\in E\mid p(x)\leq1\}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $E$
\end_inset
+ es un e.v.t.
y
-\begin_inset Formula $p_{a}:X\to X$
+\begin_inset Formula $C\subseteq E$
\end_inset
- con
-\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}^{*}$
+ es convexo y absorbente,
+\begin_inset Formula $0\in\mathring{C}$
\end_inset
- dados por
-\begin_inset Formula $s_{y}(x)\coloneqq x+y$
+ si y sólo si el funcional de Minkowski
+\begin_inset Formula $p_{C}$
+\end_inset
+
+ es continuo en
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, y entonces
+\begin_inset Formula $\mathring{C}=\{x\in E\mid p_{C}(x)<1\}$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $p_{a}(x)\coloneqq ax$
+\begin_inset Formula $\overline{C}=\{x\in E\mid p_{C}(x)\leq1\}$
\end_inset
- son homeomorfismos.
-\begin_inset Note Comment
+.
+\begin_inset Note Note
status open
\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $s_{y}$
+nproof
+\end_layout
+
\end_inset
- es la composición de
-\begin_inset Formula $x\mapsto(x,y)$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una seminorma
+\begin_inset Formula $p:E\to\mathbb{R}$
\end_inset
- con la suma, por lo que es continua, y análogamente lo es
-\begin_inset Formula $p_{a}$
+ es continua si y sólo si
+\begin_inset Formula $\{x\in E\mid p(x)<1\}$
\end_inset
-, pero la inversa de
-\begin_inset Formula $s_{y}$
+ es abierta, si y sólo si
+\begin_inset Formula $0\in\mathring{\overbrace{\{x\in E\mid p(x)<1\}}}$
\end_inset
- es
-\begin_inset Formula $s_{-y}$
+, si y sólo si
+\begin_inset Formula $p$
\end_inset
- y la de
-\begin_inset Formula $p_{a}$
+ es continua en 0, si y sólo si existe una seminorma continua
+\begin_inset Formula $q:E\to\mathbb{R}$
\end_inset
- es
-\begin_inset Formula $p_{a^{-1}}$
+ con
+\begin_inset Formula $p\leq q$
\end_inset
-, que también son continuas.
+.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
\end_layout
\end_inset
@@ -532,58 +1394,263 @@ status open
\end_layout
-\begin_layout Enumerate
-La suma de un abierto y un subconjunto cualquiera de
-\begin_inset Formula $X$
+\begin_layout Standard
+Como
+\series bold
+teorema
+\series default
+, un e.v.t.
+
+\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
\end_inset
- es abierta en
-\begin_inset Formula $X$
+ es localmente convexo si y sólo si
+\begin_inset Formula ${\cal T}$
+\end_inset
+
+ está asociada a una familia de seminormas.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados dos e.l.c.
+
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ y
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula $T:E\to F$
+\end_inset
+
+ lineal es continua si y sólo si lo es en 0, si y sólo si para toda seminorma
+ continua
+\begin_inset Formula $q:F\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ existe una seminorma continua
+\begin_inset Formula $p:E\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $q\circ T\leq p$
\end_inset
.
-\begin_inset Note Comment
+\begin_inset Note Note
status open
\begin_layout Plain Layout
-Sean
-\begin_inset Formula $G\subseteq X$
+nproof
+\end_layout
+
\end_inset
- abierto y
-\begin_inset Formula $A\subseteq X$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Como
+\series bold
+teorema
+\series default
+, si
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ es un e.v.t.,
+\begin_inset Formula $E'\neq0$
+\end_inset
+
+ si y sólo si existe
+\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(0_{E})$
+\end_inset
+
+ convexo distinto de
+\begin_inset Formula $E$
\end_inset
.
- Todo
-\begin_inset Formula $p\in G+A$
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
\end_inset
- es de la forma
-\begin_inset Formula $p=g+a$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Ejemplos de espacios localmente convexos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $Z$
\end_inset
- con
-\begin_inset Formula $g\in G$
+ es un conjunto y
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{Z}$
+\end_inset
+
+ es un
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial,
+\begin_inset Formula $\{f\mapsto|f(z)|\}_{z\in Z}$
+\end_inset
+
+ es una familia de seminormas en
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{Z}$
+\end_inset
+
+ que define la
+\series bold
+topología de convergencia puntual
+\series default
+,
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{p}}$
+\end_inset
+
+, sobre
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{Z}$
+\end_inset
+
+, en que una base de entornos en un
+\begin_inset Formula $f:Z\to\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula
+\[
+\left\{ \{g\in\mathbb{K}^{Z}\mid\forall z\in F,|f(z)-g(z)|<\varepsilon\}\right\} _{F\subseteq Z\text{ finito},\varepsilon>0}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es un espacio topológico, llamamos
+\begin_inset Formula $C(X)$
+\end_inset
+
+ al subespacio de
+\begin_inset Formula $(\mathbb{K}^{X},{\cal T}_{\text{p}})$
+\end_inset
+
+ de las funciones continuas y
+\begin_inset Formula $C_{\text{b}}(X)$
+\end_inset
+
+ al subespacio de
+\begin_inset Formula $(\mathbb{K}^{X},{\cal T}_{\text{p}})$
+\end_inset
+
+ de las funciones continuas y acotadas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es
+\series bold
+completamente regular
+\series default
+ si para todo cerrado
+\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $a\in A$
+\begin_inset Formula $x\in X\setminus A$
\end_inset
-, pero entonces
-\begin_inset Formula $G+a\subseteq G+A$
+ existe
+\begin_inset Formula $f:X\to\mathbb{R}$
\end_inset
- es un entorno de
-\begin_inset Formula $g+a$
+ continua con
+\begin_inset Formula $f(A)=0$
\end_inset
- por el homeomorfismo
-\begin_inset Formula $s_{a}$
+ y
+\begin_inset Formula $f(x)=1$
\end_inset
-.
+, y entonces, si
+\begin_inset Formula ${\cal K}$
+\end_inset
+
+ es la familia de los compactos de
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+, la familia de seminormas
+\begin_inset Formula $\{f\mapsto\max_{x\in K}|f(x)|\}_{K\in{\cal K}}$
+\end_inset
+
+ en
+\begin_inset Formula $C(X)$
+\end_inset
+
+ tiene asociada una topología
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{K}}$
+\end_inset
+
+, la
+\series bold
+topología de convergencia uniforme sobre compactos
+\series default
+, en que una base de entornos de
+\begin_inset Formula $f\in C(X)$
+\end_inset
+
+ es
+\begin_inset Formula
+\[
+\left\{ \{g\in C(X)\mid\forall x\in K,|f(x)-g(x)|<\varepsilon\}\right\} _{K\in{\cal K},\varepsilon>0}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
\end_layout
\end_inset
@@ -591,74 +1658,234 @@ Sean
\end_layout
-\begin_layout Enumerate
-La suma de un cerrado y un compacto de
+\begin_layout Standard
+Una
+\series bold
+sucesión exhaustiva de compactos
+\series default
+ de un espacio topológico
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
- es cerrada en
+ es una sucesión
+\begin_inset Formula $(K_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ de compactos con unión
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
+ y tal que cada
+\begin_inset Formula $K_{n}\subseteq\mathring{K}_{n+1}$
+\end_inset
+
.
-\begin_inset Note Comment
+ Todo abierto
+\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{K}^{k}$
+\end_inset
+
+ es completamente regular y admite una sucesión exhaustiva de compactos
+
+\begin_inset Formula $(K_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+, y entonces
+\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{K}}$
+\end_inset
+
+ es la topología asociada a la familia
+\begin_inset Formula $\{f\mapsto\max_{x\in K_{n}}|f(x)|\}_{n}$
+\end_inset
+
+ y está asociada a la métrica
+\begin_inset Formula
+\[
+d(f,g)\coloneqq\sum_{n}\frac{1}{2^{n}}\frac{p_{K_{n}}(f-g)}{1+p_{K_{n}}(f-g)},
+\]
+
+\end_inset
+
+con lo que
+\begin_inset Formula $(C(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$
+\end_inset
+
+ es un espacio de Fréchet.
+\begin_inset Note Note
status open
\begin_layout Plain Layout
-Sean
-\begin_inset Formula $F$
+nproof
+\end_layout
+
\end_inset
- el cerrado y
-\begin_inset Formula $K$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de Weierstrass:
+\series default
+ Si
+\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset
- el compacto, tomamos una sucesión convergente arbitraria en
-\begin_inset Formula $F+K$
+ es abierto, el límite de una sucesión de funciones holomorfas en
+\begin_inset Formula $({\cal C}(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$
\end_inset
-,
-\begin_inset Formula $(x_{n}+y_{n})_{n}$
+ es holomorfa, y en particular
+\begin_inset Formula $({\cal H}(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$
\end_inset
- con cada
-\begin_inset Formula $x_{n}\in F$
+ es un espacio de Fréchet.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
\end_inset
- y cada
-\begin_inset Formula $y_{n}\in K$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{FVV2}
+\end_layout
+
\end_inset
-, y
-\begin_inset Formula $z\coloneqq\lim_{n}(x_{n}+y_{n})$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos
+\series bold
+soporte
+\series default
+ de una función
+\begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset
-.
- Como
-\begin_inset Formula $K$
+ a
+\begin_inset Formula $\text{sop}(g)\coloneqq\overline{\{g\neq0\}}$
\end_inset
- es compacto, existe una subsucesión
-\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
+[...].
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
\end_inset
- convergente a un
-\begin_inset Formula $x\in K$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea
+\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
-, luego
-\begin_inset Formula $(y_{n_{k}})_{k}$
+ abierto:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+El conjunto de funciones
+\begin_inset Formula $f:\Omega\to\mathbb{R}$
\end_inset
- converge a
-\begin_inset Formula $z-x\in F$
+
+\begin_inset Formula $m$
\end_inset
- y por tanto
-\begin_inset Formula $z=(z-x)+x\in F+K$
+ veces diferenciables con
+\begin_inset Formula $\dif^{(m)}f$
+\end_inset
+
+ continua,
+\begin_inset Formula ${\cal E}^{m}(\Omega)\coloneqq{\cal C}^{m}(\Omega)$
+\end_inset
+
+, es un espacio de Fréchet con la
+\series bold
+topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y sus
+ derivadas hasta el grado
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+
+\series default
+, dada por la familia de seminormas
+\begin_inset Formula
+\[
+\left\{ p_{K}^{m}(f)\coloneqq\sup_{\begin{subarray}{c}
+\alpha\in\mathbb{N}^{n}\\
+|\alpha|\coloneqq\alpha_{1}+\dots+\alpha_{n}\leq m
+\end{subarray}}\sup_{x\in K}|D^{\alpha}f(x)|\right\} _{K\subseteq\Omega\text{ compacto}},
+\]
+
+\end_inset
+
+donde
+\begin_inset Formula
+\[
+D^{\alpha}f(x)\coloneqq\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\cal E}(\Omega)\coloneqq{\cal C}^{\infty}(\Omega)\coloneqq\bigcap_{m}{\cal C}^{m}(\Omega)$
+\end_inset
+
+ es un e.l.c.
+ metrizable con la
+\series bold
+topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y todas
+ sus derivadas
+\series default
+, dada por la familia de seminormas
+\begin_inset Formula $\{p_{K}^{m}\}_{K\subseteq\Omega\text{ compacto},m\in\mathbb{N}}$
\end_inset
.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
\end_layout
\end_inset
@@ -667,45 +1894,184 @@ Sean
\end_layout
\begin_layout Enumerate
-Si
-\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
+Si para
+\begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$
\end_inset
- es un subespacio vectorial también lo es
-\begin_inset Formula $\overline{Y}$
+ compacto,
+\begin_inset Formula ${\cal D}_{K}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{\infty}(\Omega)\mid\text{sop}f\subseteq K\}$
+\end_inset
+
+, llamamos
+\series bold
+base de distribuciones
+\series default
+ a
+\begin_inset Formula ${\cal D}(\Omega)\coloneqq\bigcup_{K\subseteq\Omega\text{ compacto}}{\cal D}_{K}(\Omega)\neq0$
+\end_inset
+
+ con la topología más fina que hace continuas las inclusiones
+\begin_inset Formula ${\cal D}_{K}(\Omega)\hookrightarrow{\cal D}(\Omega)$
\end_inset
.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Espacios normados
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una
+\series bold
+norma
+\series default
+ es una seminorma
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula $q^{-1}(0)=0$
+\end_inset
+
+.
+ Un
+\series bold
+espacio normado
+\series default
+ es un
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ con una norma
+\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert:X\to\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+ Todo espacio normado
+\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
+\end_inset
+
+ es un e.l.c.
+ metrizable con la distancia
+\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto\Vert x-y\Vert$
+\end_inset
+
+.
+
\begin_inset Note Comment
status open
\begin_layout Plain Layout
-Dados
-\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
+
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Claramente es una distancia y
+\begin_inset Formula $\{B(0,\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ es una base de entornos convexos del 0.
+ Sean
+\begin_inset Formula $A\subseteq X$
+\end_inset
+
+ abierto,
+\begin_inset Formula $s:X\times X\to X$
+\end_inset
+
+ la suma y
+\begin_inset Formula $p:\mathbb{K}\times X\to X$
+\end_inset
+
+ el producto, queremos ver que
+\begin_inset Formula $s^{-1}(A)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $x,y\in\overline{Y}$
+\begin_inset Formula $p^{-1}(A)$
\end_inset
-,
-\begin_inset Formula $x$
+ son abiertos.
+ Sean
+\begin_inset Formula $(x,y)\in s^{-1}(A)$
\end_inset
- e
-\begin_inset Formula $y$
+ y
+\begin_inset Formula $b\coloneqq s(x,y)$
\end_inset
- son límites de sucesiones respectivas
-\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n},\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$
+, existe
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset
-, con lo que
-\begin_inset Formula $x+y=\lim_{n}(x_{n}+y_{n})\in\overline{Y}$
+ tal que
+\begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$
+\end_inset
+
+, pero entonces, para
+\begin_inset Formula $(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\times B(y,\frac{\varepsilon}{2})$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula
+\[
+\Vert s(x',y')-b\Vert=\Vert\cancel{b}+(x'-x)+(y'-y)\cancel{-b}\Vert\leq\Vert x'-x\Vert+\Vert y'-y\Vert<\varepsilon,
+\]
+
+\end_inset
+
+luego
+\begin_inset Formula $s(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ Sean
+\begin_inset Formula $(a,x)\subseteq p^{-1}(A)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $ax=\lim_{n}ax_{n}\in\overline{Y}$
+\begin_inset Formula $b\coloneqq p(a,x)$
+\end_inset
+
+, existe
+\begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$
+\end_inset
+
+ tal que
+\begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$
+\end_inset
+
+, pero entonces para
+\begin_inset Formula $(a',x')\in B(a,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})\times B(x,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula
+\begin{align*}
+\Vert p(a',x')-b\Vert & =\Vert((a'-a)+a)((x'-x)+x)-ax\Vert=\\
+ & =|a'-a|\Vert x'-x\Vert+|a|\Vert x'-x\Vert+|a'-a|\Vert x\Vert<\\
+ & <\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}\left(\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}+|a|+\Vert x\Vert\right)\leq\varepsilon\frac{1+|a|+\Vert x\Vert}{|a|+\Vert x\Vert+1}=\varepsilon,
+\end{align*}
+
+\end_inset
+
+con lo que
+\begin_inset Formula $p(a',x')\in B(b,\varepsilon)\subseteq A$
\end_inset
.
@@ -716,70 +2082,140 @@ Dados
\end_layout
-\begin_layout Enumerate
-Un subespacio vectorial de
-\begin_inset Formula $X$
+\begin_layout Standard
+Como
+\series bold
+teorema
+\series default
+, un e.l.c.
+
+\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
\end_inset
- es propio si y sólo si su interior es vacío.
-\begin_inset Note Comment
-status open
+ es metrizable si y sólo si es 1AN, si y sólo si
+\begin_inset Formula ${\cal T}$
+\end_inset
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
+ es asociada a una familia numerable de seminormas continuas.
+\begin_inset Note Note
status open
\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\implies]$
+nproof
+\end_layout
+
\end_inset
\end_layout
+\begin_layout Standard
+Un e.l.c.
+
+\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
\end_inset
-Sea
-\begin_inset Formula $Y<X$
+ es
+\series bold
+normable
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset
- un subespacio vectorial propio y
-\begin_inset Formula $p\in X\setminus Y$
+ es la topología asociada a una norma en
+\begin_inset Formula $E$
\end_inset
-, para
-\begin_inset Formula $y\in Y$
+.
+ Si
+\begin_inset Formula $E$
\end_inset
-,
-\begin_inset Formula $(y+\frac{p}{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
+ es un e.l.c.,
+\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset
- es una sucesión de elementos de
-\begin_inset Formula $X\setminus Y$
+ es
+\series bold
+acotado
+\series default
+ si
+\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal E}(0),\exists\rho>0:A\subseteq\rho U$
\end_inset
- que converge a
-\begin_inset Formula $y$
+, si y sólo si para toda seminorma
+\begin_inset Formula $p:E\to\mathbb{R}$
\end_inset
-, con lo que
-\begin_inset Formula $y\notin\text{int}Y$
+ continua es
+\begin_inset Formula $\sup\{p(x)\}_{x\in A}<\infty$
\end_inset
- e
-\begin_inset Formula $\text{int}Y=\emptyset$
+.
+
+\series bold
+Teorema de Kolmogoroff:
+\series default
+ Un e.l.c.
+ es normable si y sólo si
+\begin_inset Formula $0_{E}$
\end_inset
-.
+ tiene un entorno acotado.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
\end_layout
-\begin_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ es un espacio normado, llamamos
+\begin_inset Formula $B_{X}\coloneqq B[0,1]=\overline{B(0,1)}=\{x\in X\mid\Vert x\Vert\leq1\}$
+\end_inset
+
+, que es equilibrado y absorbente, y conjunto de
+\series bold
+vectores unitarios
+\series default
+ a
+\begin_inset Formula $S_{X}\coloneqq\partial B(0,1)=\{x\in X\mid\Vert x\Vert=1\}$
+\end_inset
+
+.
+ La norma es uniformemente continua
+\begin_inset Note Comment
status open
\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\impliedby]$
+, pues para
+\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
+\end_inset
+
+, si
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ cumplen
+\begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
+\end_inset
+
+, por subaditividad es
+\begin_inset Formula $\Vert x\Vert\leq\Vert x-y\Vert+\Vert y\Vert$
+\end_inset
+
+ y por tanto
+\begin_inset Formula $\left|\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\right|=\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\leq\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
\end_inset
@@ -787,13 +2223,29 @@ status open
\end_inset
-El contrarrecíproco es trivial.
+.
+ Todo subespacio vectorial de un espacio normado es normado con la norma
+ inducida.
\end_layout
-\end_deeper
+\begin_layout Standard
+Un
+\series bold
+espacio de Banach
+\series default
+ es un espacio normado completo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea
+\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset
+ un
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
+\end_inset
+-espacio normado:
\end_layout
\begin_layout Enumerate
@@ -993,90 +2445,25 @@ Toda sucesión de Cauchy en
\end_layout
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-end{samepage}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
+\begin_layout Section
+Operadores
\end_layout
\begin_layout Standard
-Dado un espacio normado
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
-,
-\begin_inset Formula $A\subseteq X$
-\end_inset
-
- es
+Un operador entre espacios normados se dice
\series bold
acotado
\series default
- si
-\begin_inset Formula $\{\Vert x\Vert\}_{x\in A}$
-\end_inset
-
- está acotado superiormente.
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Dados dos
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
-\end_inset
-
--espacios normados
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- e
-\begin_inset Formula $Y$
-\end_inset
-
-, un
-\series bold
-operador
-\series default
- de
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- a
-\begin_inset Formula $Y$
-\end_inset
-
- es una función lineal de
+ si es continuo, y si
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
- a
-\begin_inset Formula $Y$
-\end_inset
-
-, y se llama
-\series bold
-acotado
-\series default
- si es continuo.
- Llamamos
-\begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)$
-\end_inset
-
- al conjunto de operadores acotados de
-\begin_inset Formula $X$
+ es un
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset
- a
-\begin_inset Formula $Y$
+-espacio normado, llamamos
+\begin_inset Formula $X^{*}\coloneqq X'={\cal L}(X,\mathbb{K})$
\end_inset
.
@@ -1298,6 +2685,19 @@ tomando
\end_inset
también lo es.
+ Si
+\begin_inset Formula $Y=\mathbb{K}$
+\end_inset
+
+,
+\begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)=X^{*}$
+\end_inset
+
+ y esta norma se llama
+\series bold
+norma dual
+\series default
+.
\begin_inset Note Comment
status open
@@ -1678,45 +3078,8 @@ Sean
\end_layout
-\begin_layout Standard
-Una
-\series bold
-forma lineal
-\series default
- en
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- es una función lineal
-\begin_inset Formula $X\to\mathbb{K}$
-\end_inset
-
-.
- Llamamos
-\series bold
-dual algebraico
-\series default
- de
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- al conjunto de formas lineales de
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- y
-\series bold
-dual topológico
-\series default
- de
-\begin_inset Formula $X$
-\end_inset
-
- a
-\begin_inset Formula $X^{*}\coloneqq{\cal L}(X,\mathbb{K})$
-\end_inset
-
-.
+\begin_layout Section
+Isomorfismos topológicos
\end_layout
\begin_layout Standard
@@ -2261,6 +3624,10 @@ luego
\end_layout
+\begin_layout Section
+Espacios cociente
+\end_layout
+
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open
@@ -3152,10 +4519,6 @@ Para la otra cota,
\end_layout
-\begin_layout Standard
-Así:
-\end_layout
-
\begin_layout Enumerate
Todos los espacios normados de igual dimensión finta son topológicamente
isomorfos.
@@ -3511,6 +4874,28 @@ end{samepage}
\end_layout
\begin_layout Standard
+Para
+\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ abierto,
+\begin_inset Formula $({\cal H}(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$
+\end_inset
+
+ es un espacio de Fréchet que no es de Banach.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+nproof
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
Dado un espacio normado
\begin_inset Formula $X$
\end_inset
@@ -3743,54 +5128,6 @@ end{reminder}
\end_layout
\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-begin{reminder}{FVV2}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Llamamos
-\series bold
-soporte
-\series default
- de una función
-\begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
-\end_inset
-
- a
-\begin_inset Formula $\text{sop}(g)\coloneqq\overline{\{g\neq0\}}$
-\end_inset
-
-[...].
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-end{reminder}
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
Para
\begin_inset Formula $S\neq\emptyset$
\end_inset
@@ -3815,7 +5152,11 @@ espacio de las funciones acotadas
\begin_inset Formula $\ell^{\infty}(S)\coloneqq(\{f\in\mathbb{K}^{S}\mid\Vert f\Vert_{\infty}<\infty\},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$
\end_inset
-.
+ y
+\series bold
+topología de convergencia uniforme
+\series default
+ a la topología asociada a esta norma.
\begin_inset Note Note
status open
@@ -3840,7 +5181,7 @@ Si además
\begin_layout Enumerate
El espacio
-\begin_inset Formula $C_{b}(S)$
+\begin_inset Formula $C_{\text{b}}(S)$
\end_inset
de funciones
@@ -3887,7 +5228,7 @@ se anula en el infinito
\end_inset
continuas que se anulan en el infinito es un subespacio cerrado de
-\begin_inset Formula $C_{b}(S)$
+\begin_inset Formula $C_{\text{c}}(S)$
\end_inset
.
@@ -3909,7 +5250,7 @@ Si
\end_inset
es localmente compacto y Hausdorff, el espacio
-\begin_inset Formula $C_{c}(S)$
+\begin_inset Formula $C_{\text{c}}(S)$
\end_inset
de funciones
@@ -4216,7 +5557,7 @@ Si
\end_inset
con la medida de Lebesgue inducida,
-\begin_inset Formula $C_{c}(\Omega)$
+\begin_inset Formula $C_{\text{c}}(\Omega)$
\end_inset
es denso en
@@ -4237,6 +5578,22 @@ nproof
\end_layout
\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
Para
\begin_inset Formula $p\geq1$
\end_inset
@@ -4318,6 +5675,22 @@ nproof
\end_layout
\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{samepage}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
La suma de subespacios cerrados puede no ser un subespacio cerrado.
\begin_inset Note Note
status open
@@ -4368,7 +5741,7 @@ Para
\end_inset
compacto,
-\begin_inset Formula ${\cal D}_{K}^{m}(\Omega)\coloneqq(\{f\in{\cal C}^{m}(\Omega)\mid\text{sop}f\subseteq K\},\Vert\cdot\Vert_{m})$
+\begin_inset Formula $({\cal D}_{K}^{m}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{m}(\Omega)\mid\text{sop}f\subseteq K\},\Vert\cdot\Vert_{m})$
\end_inset
es un espacio de Banach.
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