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@@ -147,7 +147,7 @@ Llamamos \end_inset , o -\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A):={\cal M}_{nn}(A)$ +\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)\coloneqq {\cal M}_{nn}(A)$ \end_inset , pudiendo omitir @@ -184,7 +184,7 @@ Dadas \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $X+Y:=(X_{ij}+Y_{ij})_{1\leq i\leq m}^{1\leq j\leq n}$ +\begin_inset Formula $X+Y\coloneqq (X_{ij}+Y_{ij})_{1\leq i\leq m}^{1\leq j\leq n}$ \end_inset , y dadas @@ -196,7 +196,7 @@ Dadas \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $XY:=(\sum_{k=1}^{n}X_{ik}Y_{kj})_{1\leq i\leq m}^{1\leq j\leq p}$ +\begin_inset Formula $XY\coloneqq (\sum_{k=1}^{n}X_{ik}Y_{kj})_{1\leq i\leq m}^{1\leq j\leq p}$ \end_inset . @@ -238,7 +238,7 @@ matriz adjunta \end_inset a -\begin_inset Formula $M^{*}:=(\overline{M_{ji}})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{C})$ +\begin_inset Formula $M^{*}\coloneqq (\overline{M_{ji}})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{C})$ \end_inset y @@ -250,7 +250,7 @@ matriz traspuesta \end_inset a -\begin_inset Formula $M^{t}:=(M_{ji})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{C})$ +\begin_inset Formula $M^{t}\coloneqq (M_{ji})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{C})$ \end_inset , que coincide con la adjunta cuando los coeficientes son reales, y se tiene @@ -347,7 +347,7 @@ vector propio polinomio característico \series default , -\begin_inset Formula $p_{A}(\lambda):=\det(A-\lambda I)$ +\begin_inset Formula $p_{A}(\lambda)\coloneqq \det(A-\lambda I)$ \end_inset . @@ -364,7 +364,7 @@ espectro \end_inset es -\begin_inset Formula $\sigma(A):=\{\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\}$ +\begin_inset Formula $\sigma(A)\coloneqq \{\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\}$ \end_inset y su @@ -372,7 +372,7 @@ espectro radio espectral \series default es -\begin_inset Formula $\rho(A):=\max\{|\lambda_{1}|,\dots,|\lambda_{n}|\}$ +\begin_inset Formula $\rho(A)\coloneqq \max\{|\lambda_{1}|,\dots,|\lambda_{n}|\}$ \end_inset . @@ -476,7 +476,7 @@ matriz de coeficientes \end_inset -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})_{ij}$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})_{ij}$ \end_inset , @@ -484,7 +484,7 @@ matriz de coeficientes columna de términos independientes \series default a la matriz columna -\begin_inset Formula $b:=(b_{i})_{ij}$ +\begin_inset Formula $b\coloneqq (b_{i})_{ij}$ \end_inset y @@ -852,7 +852,7 @@ Lo probamos primero para \end_inset y -\begin_inset Formula $W:=\text{span}(p_{2},\dots,p_{n})$ +\begin_inset Formula $W\coloneqq \text{span}(p_{2},\dots,p_{n})$ \end_inset , existen @@ -987,7 +987,7 @@ Existe \end_inset unitaria tal que -\begin_inset Formula $T:=U^{-1}AU=U^{*}AU$ +\begin_inset Formula $T\coloneqq U^{-1}AU=U^{*}AU$ \end_inset es triangular superior, pero @@ -1187,7 +1187,7 @@ Para \end_inset , y haciendo -\begin_inset Formula $u_{j}:=\frac{f_{j}}{\mu_{j}}$ +\begin_inset Formula $u_{j}\coloneqq \frac{f_{j}}{\mu_{j}}$ \end_inset para @@ -1330,7 +1330,7 @@ Sean \end_inset ), -\begin_inset Formula $E_{k}:=\text{span}\{p_{1},\dots,p_{k}\}$ +\begin_inset Formula $E_{k}\coloneqq \text{span}\{p_{1},\dots,p_{k}\}$ \end_inset para cada @@ -1375,7 +1375,7 @@ Sean \end_inset unitaria tal que -\begin_inset Formula $D:=U^{*}AU=\text{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq U^{*}AU=\text{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ \end_inset , @@ -1519,7 +1519,7 @@ Queremos ver que . Si -\begin_inset Formula $E_{k-1}^{\bot}:=\{v\in V\mid v\bot E_{k-1}\}$ +\begin_inset Formula $E_{k-1}^{\bot}\coloneqq \{v\in V\mid v\bot E_{k-1}\}$ \end_inset , basta ver que para todo subespacio @@ -1671,7 +1671,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\Vert f\Vert:=\sqrt{\langle f,f\rangle}$ +\begin_inset Formula $\Vert f\Vert\coloneqq \sqrt{\langle f,f\rangle}$ \end_inset define una norma en @@ -1845,7 +1845,7 @@ Entonces, para \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ \end_inset : @@ -2028,7 +2028,7 @@ La norma euclídea \series default , -\begin_inset Formula $\Vert A\Vert_{E}:=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}$ +\begin_inset Formula $\Vert A\Vert_{E}\coloneqq \sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}$ \end_inset , es una norma matricial no subordinada a ninguna norma en @@ -2150,7 +2150,7 @@ Sea \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $D_{\delta}:=\text{diag}(1,\delta,\dots,\delta^{n-1})$ +\begin_inset Formula $D_{\delta}\coloneqq \text{diag}(1,\delta,\dots,\delta^{n-1})$ \end_inset para @@ -2202,7 +2202,7 @@ La diagonal no cambia, la matriz sigue siendo triangular superior y, para . Tomando la norma -\begin_inset Formula $\Vert v\Vert_{*}:=\Vert(UD_{\delta})^{-1}v\Vert_{\infty}$ +\begin_inset Formula $\Vert v\Vert_{*}\coloneqq \Vert(UD_{\delta})^{-1}v\Vert_{\infty}$ \end_inset , la norma subordinada a esta cumple @@ -2353,7 +2353,7 @@ Demostración: \end_inset , sea -\begin_inset Formula $B_{\varepsilon}:=\frac{B}{\rho(B)+\varepsilon}$ +\begin_inset Formula $B_{\varepsilon}\coloneqq \frac{B}{\rho(B)+\varepsilon}$ \end_inset , se tiene @@ -2510,7 +2510,7 @@ número de condición \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{cond}A:=\Vert A\Vert\Vert A^{-1}\Vert$ +\begin_inset Formula $\text{cond}A\coloneqq \Vert A\Vert\Vert A^{-1}\Vert$ \end_inset , con lo que si @@ -2556,7 +2556,7 @@ número de condición \begin_layout Standard Llamamos -\begin_inset Formula $\text{cond}_{p}(A):=\Vert A^{-1}\Vert_{p}\Vert A\Vert_{p}$ +\begin_inset Formula $\text{cond}_{p}(A)\coloneqq \Vert A^{-1}\Vert_{p}\Vert A\Vert_{p}$ \end_inset . @@ -2654,7 +2654,7 @@ Sean \end_inset invertible con -\begin_inset Formula $D:=P^{-1}AP=:\text{diag}(\lambda_{i})$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq P^{-1}AP=:\text{diag}(\lambda_{i})$ \end_inset , @@ -2666,7 +2666,7 @@ Sean \end_inset para toda matriz diagonal y -\begin_inset Formula $D_{i}:=B(\lambda_{i},\text{cond}(P)\Vert\Delta A\Vert)\subseteq\mathbb{C}$ +\begin_inset Formula $D_{i}\coloneqq B(\lambda_{i},\text{cond}(P)\Vert\Delta A\Vert)\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset , @@ -289,14 +289,20 @@ status open \backslash -Entrada{$A:=(a_{ij})$, matriz cuadrada de tamaño $n$.} +Entrada{$A +\backslash +coloneqq (a_{ij})$, matriz cuadrada de tamaño $n$.} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash -Salida{Factorización $(L:=(l_{ij}),U:=(u_{ij}))$ de $A$, o error.} +Salida{Factorización $(L +\backslash +coloneqq (l_{ij}),U +\backslash +coloneqq (u_{ij}))$ de $A$, o error.} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -558,7 +564,7 @@ Una matriz \end_inset Sea -\begin_inset Formula $(L:=(l_{ij}),U:=(u_{ij}))$ +\begin_inset Formula $(L\coloneqq (l_{ij}),U\coloneqq (u_{ij}))$ \end_inset esta factorización, @@ -786,11 +792,11 @@ A partir de la factorización de Dootlittle \end_inset con -\begin_inset Formula $D:=\text{diag}(u_{11},\dots,u_{nn})$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq \text{diag}(u_{11},\dots,u_{nn})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\tilde{U}:=(u_{ij}/u_{ii})_{ij}$ +\begin_inset Formula $\tilde{U}\coloneqq (u_{ij}/u_{ii})_{ij}$ \end_inset . @@ -1045,11 +1051,11 @@ es de filas si y sólo si ninguno de sus menores principales hasta \begin_layout Standard En tal caso, sean -\begin_inset Formula $L:=M_{1}^{-1}\cdots M_{n-1}^{-1}$ +\begin_inset Formula $L\coloneqq M_{1}^{-1}\cdots M_{n-1}^{-1}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $U:=A^{(n)}$ +\begin_inset Formula $U\coloneqq A^{(n)}$ \end_inset , entonces @@ -1270,7 +1276,7 @@ Diagonal estrictamente dominante \begin_layout Standard Una matriz -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ \end_inset tiene @@ -1303,7 +1309,7 @@ Toda matriz con diagonal estrictamente dominante es no singular y admite Demostración: \series default Si -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})$ \end_inset fuese singular, sus columnas serían linealmente dependientes y existiría @@ -1383,7 +1389,7 @@ y, despejando . Como -\begin_inset Formula $B:=(b_{ij}):=M_{1}A$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq (b_{ij})\coloneqq M_{1}A$ \end_inset tiene la misma primera fila que @@ -1491,7 +1497,7 @@ Si lo fuera, las columnas serían linealmente dependientes y existiría \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{A}:=y^{*}Ax$ +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{A}\coloneqq y^{*}Ax$ \end_inset es un producto escalar en @@ -1499,7 +1505,7 @@ Si lo fuera, las columnas serían linealmente dependientes y existiría \end_inset y -\begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{A}:=\sqrt{x^{*}Ax}$ +\begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{A}\coloneqq \sqrt{x^{*}Ax}$ \end_inset es una norma, la @@ -1523,7 +1529,7 @@ Para \end_inset , -\begin_inset Formula $B:=X^{t}AX\in{\cal M}_{k}$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq X^{t}AX\in{\cal M}_{k}$ \end_inset es PD. @@ -1734,7 +1740,7 @@ Sea \end_inset ortogonal con -\begin_inset Formula $D:=O^{t}AO$ +\begin_inset Formula $D\coloneqq O^{t}AO$ \end_inset diagonal. @@ -1824,7 +1830,7 @@ Sea \end_inset es PD, -\begin_inset Formula $\sqrt{D}:=\text{diag}(\sqrt{D_{11}},\dots,\sqrt{D_{nn}})$ +\begin_inset Formula $\sqrt{D}\coloneqq \text{diag}(\sqrt{D_{11}},\dots,\sqrt{D_{nn}})$ \end_inset tiene diagonal positiva, y como @@ -1836,7 +1842,7 @@ Sea \end_inset , basta tomar -\begin_inset Formula $L_{C}:=L\sqrt{D}$ +\begin_inset Formula $L_{C}\coloneqq L\sqrt{D}$ \end_inset y entonces @@ -1991,7 +1997,7 @@ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ \end_inset si -\begin_inset Formula $\delta_{0},\delta_{1}:=1$ +\begin_inset Formula $\delta_{0},\delta_{1}\coloneqq 1$ \end_inset y, para @@ -1999,7 +2005,7 @@ si \end_inset , -\begin_inset Formula $\delta_{k}:=b_{k}\delta_{k-1}-a_{k}c_{k-1}\delta_{k-2}$ +\begin_inset Formula $\delta_{k}\coloneqq b_{k}\delta_{k-1}-a_{k}c_{k-1}\delta_{k-2}$ \end_inset , entonces @@ -2131,7 +2137,7 @@ H_{v}a=a-\frac{2}{v^{*}v}vv^{*}a=a-\frac{2v^{*}a}{\Vert v\Vert^{2}}v=a-\frac{2\V \end_inset , pero -\begin_inset Formula $p:=(\Vert a\Vert\cos\alpha)\frac{v}{\Vert v\Vert}$ +\begin_inset Formula $p\coloneqq (\Vert a\Vert\cos\alpha)\frac{v}{\Vert v\Vert}$ \end_inset es la proyección de @@ -2208,7 +2214,7 @@ Dados \end_inset , las matrices -\begin_inset Formula $A_{\gamma}:=H_{a+(\gamma,0,\dots,0)}$ +\begin_inset Formula $A_{\gamma}\coloneqq H_{a+(\gamma,0,\dots,0)}$ \end_inset con @@ -2246,11 +2252,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $e_{1}:=(1,0,\dots,0)$ +\begin_inset Formula $e_{1}\coloneqq (1,0,\dots,0)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $v_{\gamma}:=a+\gamma e_{1}$ +\begin_inset Formula $v_{\gamma}\coloneqq a+\gamma e_{1}$ \end_inset , entonces @@ -2350,11 +2356,11 @@ noprefix "false" \end_inset haciendo -\begin_inset Formula $R:=H_{m}\cdots H_{1}A$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq H_{m}\cdots H_{1}A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $Q:=(H_{m}\cdots H_{1})^{-1}=H_{1}^{-1}\cdots H_{m}^{-1}=H_{1}^{*}\cdots H_{m}^{*}$ +\begin_inset Formula $Q\coloneqq (H_{m}\cdots H_{1})^{-1}=H_{1}^{-1}\cdots H_{m}^{-1}=H_{1}^{*}\cdots H_{m}^{*}$ \end_inset . @@ -2383,7 +2389,9 @@ times n$.} \backslash -Salida{Factorización $(Q,R:=(r_{ij}))$ de $A$.} +Salida{Factorización $(Q,R +\backslash +coloneqq (r_{ij}))$ de $A$.} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -2722,7 +2730,7 @@ Si Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $K:=\{g\in G\mid \Vert f-g\Vert\leq\Vert f\Vert\}$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq \{g\in G\mid \Vert f-g\Vert\leq\Vert f\Vert\}$ \end_inset , @@ -2923,7 +2931,7 @@ Sean \begin_deeper \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $\alpha:=\inf_{h\in C}\Vert h\Vert$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \inf_{h\in C}\Vert h\Vert$ \end_inset , para @@ -3280,7 +3288,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $G:=\text{span}(A_{1},\dots,A_{n})$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \text{span}(A_{1},\dots,A_{n})$ \end_inset , la mejor aproximación @@ -113,7 +113,7 @@ método iterativo de resolución \end_inset tal que la solución del sistema es el único punto fijo de -\begin_inset Formula $\Phi(x):=Tx+c$ +\begin_inset Formula $\Phi(x)\coloneqq Tx+c$ \end_inset . @@ -126,11 +126,11 @@ método iterativo de resolución \end_inset dada por -\begin_inset Formula $x_{0}:=x$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq x$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=\Phi(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq\Phi(x_{k})$ \end_inset converge hacia el punto fijo, @@ -158,11 +158,11 @@ Sea \end_inset , la sucesión -\begin_inset Formula $x_{0}:=y$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq y$ \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=Tx_{k}+c$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq Tx_{k}+c$ \end_inset , converge. @@ -186,7 +186,7 @@ Entonces existe una norma matricial tal que \end_inset , y si -\begin_inset Formula $\Phi(x):=Tx+c$ +\begin_inset Formula $\Phi(x)\coloneqq Tx+c$ \end_inset , @@ -227,7 +227,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $y:=x-v$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq x-v$ \end_inset y @@ -293,7 +293,7 @@ Dado un sistema lineal método iterativo de Richardson \series default para una matriz -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq(a_{ij})$ \end_inset sin ceros en la diagonal consiste en tomar como matriz fácil de invertir @@ -351,15 +351,15 @@ En adelante, \begin_layout Standard Para el método de Jacobi tomamos -\begin_inset Formula $M:=D$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq D$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N:=-(L+U)$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq-(L+U)$ \end_inset , y nos queda el método iterativo -\begin_inset Formula $(T_{J}:=-D^{-1}(L+U),D^{-1}b)$ +\begin_inset Formula $(T_{J}\coloneqq-D^{-1}(L+U),D^{-1}b)$ \end_inset . @@ -368,7 +368,7 @@ Para el método de Jacobi tomamos \begin_layout Standard Para calcular de forma eficiente, en cada iteración calculamos -\begin_inset Formula $r_{k}:=Ax_{k}-b$ +\begin_inset Formula $r_{k}\coloneqq Ax_{k}-b$ \end_inset y @@ -426,15 +426,15 @@ x_{(k+1)i}:=x_{ki}-\frac{\tilde{r}_{ki}}{a_{ii}}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_{i}-\su \end_inset Esto es el método -\begin_inset Formula $(T_{G}:=-(L+D)^{-1}U,(L+D)^{-1}b)$ +\begin_inset Formula $(T_{G}\coloneqq-(L+D)^{-1}U,(L+D)^{-1}b)$ \end_inset , equivalente a tomar -\begin_inset Formula $M:=L+D$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq L+D$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N:=-U$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq-U$ \end_inset . @@ -576,7 +576,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $z:=T_{G}y$ +\begin_inset Formula $z\coloneqq T_{G}y$ \end_inset , con lo que @@ -630,7 +630,7 @@ Por tanto \end_inset y, tomando -\begin_inset Formula $y:=(1,\dots,1)_{\infty}$ +\begin_inset Formula $y\coloneqq(1,\dots,1)_{\infty}$ \end_inset , @@ -683,7 +683,7 @@ entonces . En efecto, sea -\begin_inset Formula $Q(\lambda):=\text{diag}(\lambda,\lambda^{2},\dots,\lambda^{n})$ +\begin_inset Formula $Q(\lambda)\coloneqq\text{diag}(\lambda,\lambda^{2},\dots,\lambda^{n})$ \end_inset , es fácil ver que @@ -696,11 +696,11 @@ entonces \end_inset son los ceros de -\begin_inset Formula $p_{J}(\lambda):=\det(-D^{-1}(L+U)-\lambda I_{n})$ +\begin_inset Formula $p_{J}(\lambda)\coloneqq\det(-D^{-1}(L+U)-\lambda I_{n})$ \end_inset , que son los mismos que los de -\begin_inset Formula $q_{J}(\lambda):=\det(L+U+\lambda D)$ +\begin_inset Formula $q_{J}(\lambda)\coloneqq\det(L+U+\lambda D)$ \end_inset . @@ -709,11 +709,11 @@ entonces \end_inset son los ceros de -\begin_inset Formula $p_{G}(\lambda):=\det(-(L+D)^{-1}U-\lambda I_{n})$ +\begin_inset Formula $p_{G}(\lambda)\coloneqq\det(-(L+D)^{-1}U-\lambda I_{n})$ \end_inset , que son los de -\begin_inset Formula $q_{G}(\lambda):=\det(U+\lambda L+\lambda D)$ +\begin_inset Formula $q_{G}(\lambda)\coloneqq\det(U+\lambda L+\lambda D)$ \end_inset . @@ -772,15 +772,15 @@ x_{(k+1)i}:=x_{ki}-\frac{\omega}{a_{ii}}\tilde{r}_{ki} en el método de Gauss-Seidel. Entonces el método es -\begin_inset Formula $(T_{R}(\omega):=(D+\omega L)^{-1}((1-\omega)D-\omega U),(D+\omega L)^{-1}\omega)$ +\begin_inset Formula $(T_{R}(\omega)\coloneqq(D+\omega L)^{-1}((1-\omega)D-\omega U),(D+\omega L)^{-1}\omega)$ \end_inset , que equivale a tomar -\begin_inset Formula $M:=\frac{1}{\omega}D+L$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq\frac{1}{\omega}D+L$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N:=\frac{1-\omega}{\omega}D-U$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq\frac{1-\omega}{\omega}D-U$ \end_inset . @@ -877,11 +877,11 @@ Si Demostración: \series default Si -\begin_inset Formula $M:=\frac{1}{\omega}D+L$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq\frac{1}{\omega}D+L$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N:=\frac{1-\omega}{\omega}D-U$ +\begin_inset Formula $N\coloneqq\frac{1-\omega}{\omega}D-U$ \end_inset , @@ -907,7 +907,7 @@ Demostración: . En dimensión finita, -\begin_inset Formula $\Vert M^{-1}N\Vert_{A}=\max\{\Vert M^{-1}Nv\Vert_{A}\mid \Vert v\Vert_{A}=1\}$ +\begin_inset Formula $\Vert M^{-1}N\Vert_{A}=\max\{\Vert M^{-1}Nv\Vert_{A}\mid\Vert v\Vert_{A}=1\}$ \end_inset . @@ -924,7 +924,7 @@ Demostración: \end_inset y -\begin_inset Formula $w:=M^{-1}Av$ +\begin_inset Formula $w\coloneqq M^{-1}Av$ \end_inset , entonces @@ -1007,7 +1007,7 @@ Si \end_inset si y sólo si minimiza -\begin_inset Formula $g(x):=x^{t}Ax-2x^{t}b$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x^{t}Ax-2x^{t}b$ \end_inset , y para @@ -1015,7 +1015,7 @@ Si \end_inset , el mínimo de -\begin_inset Formula $h(t):=g(x+tv)$ +\begin_inset Formula $h(t)\coloneqq g(x+tv)$ \end_inset es @@ -1171,7 +1171,7 @@ método del descenso rápido \end_inset y hacer -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=x_{k}-\alpha\nabla g(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq x_{k}-\alpha\nabla g(x_{k})$ \end_inset , donde @@ -1585,7 +1585,7 @@ precondicionamiento \end_inset fácil de invertir tal que -\begin_inset Formula $\tilde{A}:=C^{-1}A(C^{-1})^{t}$ +\begin_inset Formula $\tilde{A}\coloneqq C^{-1}A(C^{-1})^{t}$ \end_inset es SPD y @@ -1594,7 +1594,7 @@ precondicionamiento . Llamando -\begin_inset Formula $\tilde{x}:=C^{t}x$ +\begin_inset Formula $\tilde{x}\coloneqq C^{t}x$ \end_inset , el sistema @@ -181,15 +181,15 @@ Sean \end_inset las sucesiones dadas por -\begin_inset Formula $x_{0}:=p$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq p$ \end_inset , -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=Ax_{k}$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq Ax_{k}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $r_{k}:=\frac{\langle x_{k+1},y\rangle}{\langle x_{k},y\rangle}$ +\begin_inset Formula $r_{k}\coloneqq \frac{\langle x_{k+1},y\rangle}{\langle x_{k},y\rangle}$ \end_inset , entonces @@ -214,7 +214,7 @@ Sean Demostración: \series default Sean -\begin_inset Formula $\phi(x):=\langle x,y\rangle$ +\begin_inset Formula $\phi(x)\coloneqq \langle x,y\rangle$ \end_inset , @@ -317,11 +317,11 @@ En la práctica no se calcula \end_inset dada por -\begin_inset Formula $y_{0}:=\frac{x_{0}}{\Vert x_{0}\Vert}$ +\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq \frac{x_{0}}{\Vert x_{0}\Vert}$ \end_inset e -\begin_inset Formula $y_{k+1}:=\frac{Ay_{k}}{\Vert Ay_{k}\Vert}$ +\begin_inset Formula $y_{k+1}\coloneqq \frac{Ay_{k}}{\Vert Ay_{k}\Vert}$ \end_inset , y entonces @@ -457,7 +457,7 @@ método de Jacobi de giros en planos determinados por dos vectores de la base canónica de forma que -\begin_inset Formula $(A_{k}:=(O_{1}\cdots O_{k})^{t}A(O_{1}\cdots O_{k}))_{k}$ +\begin_inset Formula $(A_{k}\coloneqq (O_{1}\cdots O_{k})^{t}A(O_{1}\cdots O_{k}))_{k}$ \end_inset , que podemos obtener como @@ -481,7 +481,7 @@ Sean \end_inset , -\begin_inset Formula $A:=(a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ +\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ \end_inset simétrica, @@ -689,7 +689,7 @@ egroup \end_inset y -\begin_inset Formula $B:=(b_{ij}):=O^{t}AO$ +\begin_inset Formula $B\coloneqq (b_{ij})\coloneqq O^{t}AO$ \end_inset , entonces: @@ -839,7 +839,7 @@ de donde se obtiene la primera parte del enunciado. \end_inset , y dada -\begin_inset Formula $C:=(c_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq (c_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ \end_inset , @@ -885,7 +885,7 @@ Para el \end_inset descrito en el apartado anterior, sean -\begin_inset Formula $x:=\frac{a_{qq}-a_{pp}}{2a_{pq}}$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq \frac{a_{qq}-a_{pp}}{2a_{pq}}$ \end_inset , @@ -900,11 +900,11 @@ t:=\begin{cases} \end_inset -\begin_inset Formula $c:=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}$ +\begin_inset Formula $c\coloneqq \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $s:=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}$ \end_inset , para @@ -926,11 +926,11 @@ b_{pi}=b_{ip} & =ca_{ip}-sa_{iq}, & b_{qi}=b_{iq} & =sa_{ip}+ca_{iq}, & b_{ij} & \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $x:=\frac{a_{qq}-a_{pp}}{2a_{pq}}$ +\begin_inset Formula $x\coloneqq \frac{a_{qq}-a_{pp}}{2a_{pq}}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $t:=\tan\theta$ +\begin_inset Formula $t\coloneqq \tan\theta$ \end_inset . @@ -1036,7 +1036,9 @@ status open \backslash -Entrada{Matriz simétrica real $A:=(a_{ij})$ de tamaño $n$ y nivel de tolerancia +Entrada{Matriz simétrica real $A +\backslash +coloneqq (a_{ij})$ de tamaño $n$ y nivel de tolerancia a errores $e>0$.} \end_layout @@ -1644,7 +1646,7 @@ Para la primera parte del teorema, sean \end_inset y -\begin_inset Formula $\varepsilon_{k}:=\sum_{i\neq j}(a_{kij})^{2}$ +\begin_inset Formula $\varepsilon_{k}\coloneqq \sum_{i\neq j}(a_{kij})^{2}$ \end_inset . @@ -1747,7 +1749,7 @@ de donde \begin_layout Standard Sea -\begin_inset Formula $D_{k}:=\text{diag}(a_{k11},\dots,a_{knn})$ +\begin_inset Formula $D_{k}\coloneqq \text{diag}(a_{k11},\dots,a_{knn})$ \end_inset . @@ -2096,11 +2098,11 @@ Dada una matriz \end_inset como -\begin_inset Formula $A_{0}:=A$ +\begin_inset Formula $A_{0}\coloneqq A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $A_{k+1}:=R_{k}Q_{k}$ +\begin_inset Formula $A_{k+1}\coloneqq R_{k}Q_{k}$ \end_inset , donde @@ -2119,11 +2121,11 @@ Dada una matriz \begin_layout Standard Para obtener una aproximación de los valores propios a partir de una aproximació n -\begin_inset Formula $A_{p}:=(u_{ij})$ +\begin_inset Formula $A_{p}\coloneqq (u_{ij})$ \end_inset de dicha matriz, definimos una matriz -\begin_inset Formula $V:=(v_{ij})\in{\cal M}_{n}$ +\begin_inset Formula $V\coloneqq (v_{ij})\in{\cal M}_{n}$ \end_inset dada por @@ -319,7 +319,7 @@ Sean \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=f(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq f(x_{k})$ \end_inset converge. @@ -343,7 +343,7 @@ begin{samepage} \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $R:=[a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]$ +\begin_inset Formula $R\coloneqq [a_{1},b_{1}]\times\dots\times[a_{n},b_{n}]$ \end_inset , @@ -399,7 +399,7 @@ La aceleración de Gauss-Seidel \series default de una iteración de punto fijo consiste en considerar, en vez de -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=g(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq g(x_{k})$ \end_inset , @@ -483,11 +483,11 @@ teorema \end_inset , la sucesión dada por -\begin_inset Formula $x_{0}:=x$ +\begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq x$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x_{k+1}:=x_{k}-df(x_{k})^{-1}f(x_{k})$ +\begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq x_{k}-df(x_{k})^{-1}f(x_{k})$ \end_inset converge a @@ -523,7 +523,7 @@ Demostración : \series default Queremos ver que -\begin_inset Formula $g(x):=x-df(x)^{-1}f(x)$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq x-df(x)^{-1}f(x)$ \end_inset es contractiva cerca de @@ -660,7 +660,7 @@ Para \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\varphi(t):=f(y+t(x-y))$ +\begin_inset Formula $\varphi(t)\coloneqq f(y+t(x-y))$ \end_inset , por la regla de la cadena, @@ -703,7 +703,7 @@ Cuando esto se cumple, \end_inset y tomando -\begin_inset Formula $M:=\frac{K}{2}\sup_{x\in B(\xi,r)}\Vert df(x)^{-1}\Vert$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \frac{K}{2}\sup_{x\in B(\xi,r)}\Vert df(x)^{-1}\Vert$ \end_inset se obtiene la acotación. @@ -759,7 +759,7 @@ A_{k}:=A_{k-1}+\frac{1}{\Vert x_{k}-x_{k-1}\Vert_{2}^{2}}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1}) \end_inset tomando -\begin_inset Formula $A_{0}:=df(x_{0})$ +\begin_inset Formula $A_{0}\coloneqq df(x_{0})$ \end_inset . @@ -1137,7 +1137,7 @@ noprefix "false" \end_inset , y consiste en minimizar la función -\begin_inset Formula $g(x):=\Vert f(x)\Vert_{2}^{2}$ +\begin_inset Formula $g(x)\coloneqq \Vert f(x)\Vert_{2}^{2}$ \end_inset desplazándonos, en cada iteración, en la dirección de mayor descenso en |