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@@ -222,36 +222,28 @@ TMYCIN: Tiny EMYCIN-like Expert System Tool \end_layout \begin_layout Itemize + +\lang english Wikipedia, the Free Encyclopedia. \emph on -Hipónimo -\emph default -, -\emph on -Hiperónimo -\emph default -, -\emph on -Meronimia -\emph default -, -\emph on -Holonimia +T-norm \emph default . + +\lang spanish Recuperado de \begin_inset Flex URL status open \begin_layout Plain Layout -https://es.wikipedia.org/ +https://en.wikipedia.org/ \end_layout \end_inset - el 25 de septiembre de 2022. + el 6 de diciembre de 2022. \end_layout \begin_layout Chapter @@ -128,6 +128,19 @@ F\eqqcolon\sum_{x\in U}\frac{\mu_{F}(x)}{x}\eqqcolon\int_{x\in U}\frac{\mu_{F}(x donde la fracción y los símbolos sumatorio e integral son solo símbolos y no se pueden simplificar. + Se suele usar la primera notación cuando +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + es +\series bold +discreto +\series default + (todos sus puntos son aislados) y la segunda cuando es +\series bold +continuo +\series default + (no tiene puntos aislados). Si \begin_inset Formula $U=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ \end_inset @@ -366,8 +379,11 @@ Dados dos conjuntos borrosos \begin_inset Formula $\forall x\in U,A(x)\leq B(x)$ \end_inset -. - +, y esto es un orden parcial. +\end_layout + +\begin_layout Section +T-normas \end_layout \begin_layout Standard @@ -487,8 +503,7 @@ Las diapositivas dicen \begin_inset Formula $p\in\mathbb{R}$ \end_inset -, pero es fácil ver que la monotonía y otras propiedades sólo se cumplen - cuando +, pero la monotonía y otras propiedades sólo se cumplen cuando \begin_inset Formula $p\geq-1$ \end_inset @@ -1341,11 +1356,702 @@ Las propiedades se deducen de las de la familia correspondiente de t-normas. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Note Note + +\series bold +Familia Yager: +\series default + Para +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{R}^{+}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x\oplus y\coloneqq\min\{1,\sqrt[p]{x^{p}+y^{p}}\}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Claramente es conmutativa y monótona, +\begin_inset Formula $a\oplus0=\min\{1,\sqrt[p]{a^{p}}\}=a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\oplus1=\min\{1,\sqrt[p]{a^{p}+1}\}=1$ +\end_inset + + ya que +\begin_inset Formula $\sqrt[p]{a^{p}+1}\geq\sqrt[p]{1}=1$ +\end_inset + +. + Para la asociatividad, sea +\begin_inset Formula $f(x,y)\coloneqq\sqrt[p]{x^{p}+y^{p}}$ +\end_inset + +, queremos ver que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es asociativa, pero para +\begin_inset Formula $a,b,c\in[0,1]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +f(f(a,b),c)=\sqrt[p]{\left(\sqrt[p]{a^{p}+b^{p}}\right)^{p}+c^{p}}=\sqrt[p]{a^{p}+b^{p}+c^{p}}=f(a,f(b,c)). +\] + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $f(a,b)\geq1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=1\oplus c=1$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $1\geq a\oplus(b\oplus c)\geq a\oplus b=1$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $f(a,b)<1$ +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))\geq1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(a\oplus b)\oplus c=\max\{1,f(f(a,b),c)\}=1$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $f(b,c)\geq1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)=a\oplus1=1$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $f(b,c)<1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)=\max\{1,f(a,f(b,c))=1$ +\end_inset + +. + Finalmente, si +\begin_inset Formula $f(a,b)<1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(f(a,b),c)<1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(b,c)\leq f(f(a,b),c)<1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\oplus(b\oplus c)=\max\{1,f(a,f(b,c))\}=f(f(a,b),c)=(a\oplus b)\oplus c$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +complemento +\series default + o +\series bold +negación +\series default + es una función +\begin_inset Formula $N:[0,1]\to[0,1]$ +\end_inset + + monótona decreciente con +\begin_inset Formula $N(0)=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N(1)=0$ +\end_inset + +, y es +\series bold +fuerte +\series default + si es estrictamente decreciente e involutivo ( +\begin_inset Formula $N^{2}=1_{[0,1]}$ +\end_inset + +). + También se puede requerir que sea continuo. + Algunos complementos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Usual: +\series default + +\begin_inset Formula $N(x)\coloneqq1-x$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Familia Sugeno: +\series default + Para +\begin_inset Formula $\lambda\in(-1,\infty)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N(x)\coloneqq\frac{1-x}{1+\lambda x}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $N(0)=\frac{1}{1}=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N(1)=\frac{0}{1+\lambda}=0$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + es continua y +\begin_inset Formula $N'(x)=\frac{-(1+\lambda x)-\lambda(1-x)}{(1+\lambda x)^{2}}=0$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $1+\lambda x=-\lambda+\lambda x$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\lambda=-1\#$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + no tiene extremos internos y es monótona decreciente. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Familia Yager: +\series default + Para +\begin_inset Formula $w\in\mathbb{R}^{+}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N(x)\coloneqq\sqrt[w]{1-x}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una t-norma +\begin_inset Formula $*$ +\end_inset + + y una s-norma +\begin_inset Formula $\oplus$ +\end_inset + + son +\series bold +duales +\series default + o +\series bold +conjugadas +\series default + respecto a un complemento +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $N(x\oplus y)=N(x)*N(y)$ +\end_inset + +. + Toda t-norma tiene una única s-norma dual bajo el complemento usual. + La de la t-norma del mínimo es la s-norma del máximo, y la de la t-norma + drástica es la s-norma drástica. + Normalmente se usa la negación usual, la t-norma del mínimo y la s-norma + del máximo. +\end_layout + +\begin_layout Section +Unión, intersección y complemento +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un complemento +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + +, una t-norma +\begin_inset Formula $*$ +\end_inset + + y una s-norma +\begin_inset Formula $\oplus$ +\end_inset + + duales y conjuntos borrosos +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + sobre un universo +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +A\cup B & \coloneqq\int_{x\in U}\frac{A(x)\oplus B(x)}{x}, & A\cap B & \coloneqq\int_{x\in U}\frac{A(x)*B(x)}{x}, & \overline{A} & \coloneqq\int_{x\in U}\frac{N(A(x))}{x}. +\end{align*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La unión e intersección son conmutativas y asociativas. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A\cup\emptyset=A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A\cap\emptyset=\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A\cup U=A\cap U=A$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $U\coloneqq\int_{x\in U}\frac{1}{x}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Las siguientes se cumplen para las normas usuales pero no en general: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $x\in U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\max\{A,\min\{B,C\}\}=\min\{\max\{A,C\},\max\{B,C\}\}$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $0<a,b,c<1$ +\end_inset + +, con las normas drásticas, +\begin_inset Formula $a\oplus(b*c)=a\oplus0=a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(a\oplus b)*(a\oplus c)=1*1=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $x\in U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\min\{A,\max\{B,C\}\}=\max\{\min\{A,B\},\min\{A,C\}\}$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $0<a,b,c<1$ +\end_inset + +, con las normas drásticas, +\begin_inset Formula $a*(b\oplus c)=a*1=a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(a*b)\oplus(a*c)=0\oplus0=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A\cup A=A\cap A=A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $x\in U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\max\{A(x),A(x)\}=A(x)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\min\{A(x),A(x)\}=A(x)$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $a\in(0,1)$ +\end_inset + +, con las normas drásticas, +\begin_inset Formula $a\oplus a=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a*a=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Las siguientes no se cumplen tampoco para las normas del máximo y el mínimo: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Ley de la contradicción: +\series default + +\begin_inset Formula $A\cup\overline{A}=U$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $0.7\oplus N(0.7)=\max\{0.7,0.3\}=0.7\neq1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Ley del medio excluido: +\series default + +\begin_inset Formula $A\cap\overline{A}=\emptyset$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $0.7*N(0.7)=\min\{0.7,0.3\}=0.3\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Relaciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados conjuntos borrosos +\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\end_inset + + sobre universos +\begin_inset Formula $U_{1},\dots,U_{n}$ +\end_inset + +, su +\series bold +producto cartesiano borroso +\series default + es +\begin_inset Formula +\[ +A_{1}\times\dots\times A_{n}\coloneqq\int_{x\in U_{1}\times\dots\times U_{n}}\frac{A_{1}(x_{1})*\dots*A_{n}(x_{n})}{x}, +\] + +\end_inset + +y una +\series bold +relación borrosa +\series default + es un conjunto borroso sobre +\begin_inset Formula $U_{1}\times\dots\times U_{n}$ +\end_inset + +. + El +\series bold +dominio +\series default + y el +\series bold +rango +\series default + de una relación borrosa binaria +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + sobre +\begin_inset Formula $A\times B$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\text{Dom}R & \coloneqq\int_{x\in A}\frac{\max_{y\in Y}R(x,y)}{x}, & \text{Ran}R & \coloneqq\int_{x\in B}\frac{\max_{x\in X}R(x,y)}{x}. +\end{align*} + +\end_inset + +La +\series bold +composición borrosa +\series default + o +\series bold + sup-star +\series default + de dos relaciones borrosas +\begin_inset Formula $R:A\times B\to[0,1]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S:B\times C\to[0,1]$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula +\[ +R\circ S\coloneqq\int_{(x,z)\in A\times C}\frac{\sup_{y\in B}(R(x,y)*S(y,z))}{(x,z)}. +\] + +\end_inset + +Nótese que el orden es al contrario que en la composición convencional. + Esta composición se llama +\series bold +max-min +\series default + si la t-norma es el mínimo y +\series bold +max-producto +\series default + si es el producto algebraico. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Propiedades: +\begin_inset Foot +status open + +\begin_layout Plain Layout +Las diapositivas incluyen también +\begin_inset Formula $R\circ(S\cup T)=(R\cup S)\circ(R\cup T)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $R\circ(S\cap T)\subseteq(R\cap S)\circ(R\cap T)$ +\end_inset + +, pero estas no son correctas ni siquiera cuando tienen sentido, ni siquiera + con las normas y negación usuales. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Asociativa. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Sean +\begin_inset Formula $R:A\times B\to[0,1]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S:B\times C\to[0,1]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $T:C\times D\to[0,1]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $w\in D$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(R\circ(S\circ T))(x,w)=\sup_{y\in B}(R(x,y)*\sup_{z\in C}(S(y,z)*T(z,w)))$ +\end_inset + +, pero por monotonía de +\begin_inset Formula $*$ +\end_inset + + esto es igual a +\begin_inset Formula $\sup_{y\in B}\sup_{z\in C}(R(x,y)*S(y,z)*T(z,w)$ +\end_inset + +, y por simetría y usando la asociatividad de +\begin_inset Formula $*$ +\end_inset + + esto es igual a +\begin_inset Formula $((R\circ S)\circ T)(x,w)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $S\subseteq T\implies R\circ S\subseteq R\circ T$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout -TODO from pg 27 familia Yager & proof +Si +\begin_inset Formula $R:A\times B\to[0,1]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S,T:B\times C\to[0,1]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x\in A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $z\in C$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S\subseteq T$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +(R\circ S)(x,z)=\sup_{y\in B}(R(x,y)*S(y,z))\leq\sup_{y\in B}(R(x,y)*T(y,z))=(R\circ T)(x,z). +\] + +\end_inset + + \end_layout \end_inset |