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diff --git a/fvv2/n3.lyx b/fvv2/n3.lyx index 11ac40c..74dc33c 100644 --- a/fvv2/n3.lyx +++ b/fvv2/n3.lyx @@ -172,7 +172,7 @@ status open \end_inset Sea -\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{E\in\Sigma'\mid f^{-1}(E)\in\Sigma\}$ +\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \{E\in\Sigma'\mid f^{-1}(E)\in\Sigma\}$ \end_inset , vemos que @@ -200,11 +200,11 @@ Sea \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $T:=(X,{\cal T})$ +\begin_inset Formula $T\coloneqq (X,{\cal T})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $T':=(X,{\cal T}')$ +\begin_inset Formula $T'\coloneqq (X,{\cal T}')$ \end_inset espacios topológicos, toda función @@ -315,7 +315,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\varphi(\omega):=(u_{1}(\omega),\dots,u_{n}(\omega))$ +\begin_inset Formula $\varphi(\omega)\coloneqq (u_{1}(\omega),\dots,u_{n}(\omega))$ \end_inset es medible. @@ -601,7 +601,7 @@ Una función -medible \series default si es -\begin_inset Formula $(\Sigma,\Sigma':=\sigma(\{(a,+\infty]\}_{a\in\mathbb{R}}))$ +\begin_inset Formula $(\Sigma,\Sigma'\coloneqq \sigma(\{(a,+\infty]\}_{a\in\mathbb{R}}))$ \end_inset -medible. @@ -627,7 +627,7 @@ Una función \end_inset y la notación -\begin_inset Formula $\{f\bullet a\}\mid =\{\omega\in\Omega\mid f(\omega)\bullet a\}$ +\begin_inset Formula $\{f\bullet a\}\coloneqq \{\omega\in\Omega\mid f(\omega)\bullet a\}$ \end_inset . @@ -1002,7 +1002,7 @@ Si \begin_deeper \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $Z:=\{f\neq g\}$ +\begin_inset Formula $Z\coloneqq \{f\neq g\}$ \end_inset , @@ -1478,11 +1478,11 @@ Toda función \begin_deeper \begin_layout Standard Basta aplicar lo anterior a -\begin_inset Formula $f^{+}:=\max\{0,f\}$ +\begin_inset Formula $f^{+}\coloneqq \max\{0,f\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f^{-}:=-\min\{0,f\}$ +\begin_inset Formula $f^{-}\coloneqq -\min\{0,f\}$ \end_inset y restar las sucesiones resultantes. @@ -1554,7 +1554,7 @@ Sea \end_inset y -\begin_inset Formula ${\cal S}(\Omega)^{+}:=\{h\in{\cal S}(\Omega)\mid h\geq0\}$ +\begin_inset Formula ${\cal S}(\Omega)^{+}\coloneqq \{h\in{\cal S}(\Omega)\mid h\geq0\}$ \end_inset , llamamos @@ -1562,7 +1562,7 @@ Sea integral \series default de una función simple -\begin_inset Formula $h:=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\chi_{E_{k}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq \sum_{k=1}^{n}a_{k}\chi_{E_{k}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ \end_inset como @@ -1633,11 +1633,11 @@ Supongamos \begin_deeper \begin_layout Standard Sean -\begin_inset Formula $C:=\{c_{1},\dots,c_{r}\}=\{a_{i}+b_{j}\}_{i\in\{1,\dots,n\},j\in\{1,\dots,m\}}$ +\begin_inset Formula $C\coloneqq \{c_{1},\dots,c_{r}\}=\{a_{i}+b_{j}\}_{i\in\{1,\dots,n\},j\in\{1,\dots,m\}}$ \end_inset , y -\begin_inset Formula $C_{k}:=\bigcup_{a_{i}+b_{j}=c_{k}}(A_{i}\cap B_{j})$ +\begin_inset Formula $C_{k}\coloneqq \bigcup_{a_{i}+b_{j}=c_{k}}(A_{i}\cap B_{j})$ \end_inset para cada @@ -1688,7 +1688,7 @@ Si \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(E):=\int f\chi_{E}d\mu$ +\begin_inset Formula $\nu(E)\coloneqq \int f\chi_{E}d\mu$ \end_inset es una medida finita. @@ -1817,7 +1817,7 @@ Si para \end_inset definimos -\begin_inset Formula $E_{t}:=E\cap\{f>t\}$ +\begin_inset Formula $E_{t}\coloneqq E\cap\{f>t\}$ \end_inset , entonces @@ -1950,7 +1950,7 @@ teorema de convergencia monótona de Lebesgue Demostración: \series default Sea -\begin_inset Formula $\alpha:=\sup\int f_{n}d\mu\in[0,+\infty]$ +\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq \sup\int f_{n}d\mu\in[0,+\infty]$ \end_inset , como @@ -1979,7 +1979,7 @@ Demostración: \end_inset , se tiene que -\begin_inset Formula $(E_{n}:=\{f_{n}\geq s\})_{n}$ +\begin_inset Formula $(E_{n}\coloneqq \{f_{n}\geq s\})_{n}$ \end_inset es creciente con @@ -2041,7 +2041,7 @@ teorema de Beppo-Levi Demostración: \series default -\begin_inset Formula $(F_{n}:=\sum_{k=1}^{n}f_{k})_{n}$ +\begin_inset Formula $(F_{n}\coloneqq \sum_{k=1}^{n}f_{k})_{n}$ \end_inset es una sucesión de funciones medibles, por lo que basta tomar límites en @@ -2116,7 +2116,7 @@ lema de Fatou \end_inset es una sucesión de funciones medibles, su límite inferior -\begin_inset Formula $f(\omega):=\liminf_{n}f_{n}(\omega)$ +\begin_inset Formula $f(\omega)\coloneqq \liminf_{n}f_{n}(\omega)$ \end_inset es medible y @@ -2129,7 +2129,7 @@ lema de Fatou Demostración: \series default -\begin_inset Formula $(g_{n}:=\inf_{m\geq n}\{f_{m}(x)\})_{n}$ +\begin_inset Formula $(g_{n}\coloneqq \inf_{m\geq n}\{f_{m}(x)\})_{n}$ \end_inset define una sucesión creciente de funciones medibles convergente hacia @@ -2162,7 +2162,7 @@ teorema \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(E):=\int_{E}g\,d\mu$ +\begin_inset Formula $\nu(E)\coloneqq \int_{E}g\,d\mu$ \end_inset es una medida y para @@ -2203,7 +2203,7 @@ Demostración: es una medida. Sea -\begin_inset Formula $s:=\sum_{i=1}^{m}a_{i}\chi_{E_{i}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ +\begin_inset Formula $s\coloneqq \sum_{i=1}^{m}a_{i}\chi_{E_{i}}\in{\cal S}(\Omega)^{+}$ \end_inset , @@ -2236,7 +2236,7 @@ Una función medible \end_inset , si y sólo si -\begin_inset Formula $f^{+}=\max\{f,0\},f^{-}=\min\{f,0\}\mid \Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$ +\begin_inset Formula $f^{+}=\max\{f,0\},f^{-}=\min\{f,0\}:\Omega\rightarrow[-\infty,+\infty]$ \end_inset son integrables, y definimos @@ -2391,7 +2391,7 @@ La aplicación \end_inset dada por -\begin_inset Formula $\nu(f):=\int f\,d\mu$ +\begin_inset Formula $\nu(f)\coloneqq \int f\,d\mu$ \end_inset es lineal. @@ -2418,7 +2418,7 @@ Sean \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $h:=u+v\implies h^{+}-h^{-}=u^{+}-u^{-}+v^{+}-v^{-}\implies h^{+}+(u^{-}+v^{-})=(u^{+}+v^{+})+h^{-}\implies\int h^{+}d\mu+\int u^{-}d\mu+\int v^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu+\int v^{+}d\mu+\int h^{-}d\mu\implies\int h\,d\mu=\int h^{+}d\mu-\int h^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu-\int u^{-}d\mu+\int v^{+}d\mu-\int v^{-}d\mu=\int u\,d\mu+\int v\,d\mu$ +\begin_inset Formula $h\coloneqq u+v\implies h^{+}-h^{-}=u^{+}-u^{-}+v^{+}-v^{-}\implies h^{+}+(u^{-}+v^{-})=(u^{+}+v^{+})+h^{-}\implies\int h^{+}d\mu+\int u^{-}d\mu+\int v^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu+\int v^{+}d\mu+\int h^{-}d\mu\implies\int h\,d\mu=\int h^{+}d\mu-\int h^{-}d\mu=\int u^{+}d\mu-\int u^{-}d\mu+\int v^{+}d\mu-\int v^{-}d\mu=\int u\,d\mu+\int v\,d\mu$ \end_inset . @@ -2458,7 +2458,7 @@ Si \end_inset , sea -\begin_inset Formula $a:=\frac{\int f\,d\mu}{|\int f\,d\mu|}$ +\begin_inset Formula $a\coloneqq \frac{\int f\,d\mu}{|\int f\,d\mu|}$ \end_inset y como @@ -2498,11 +2498,11 @@ integrable sobre extensión canónica \series default -\begin_inset Formula $\tilde{f}:=f\chi_{E}$ +\begin_inset Formula $\tilde{f}\coloneqq f\chi_{E}$ \end_inset es integrable, y entonces se define -\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu:=\int\tilde{f}\,d\mu$ +\begin_inset Formula $\int_{E}f\,d\mu\coloneqq \int\tilde{f}\,d\mu$ \end_inset . @@ -2691,7 +2691,7 @@ teorema de la convergencia dominada \end_inset , entonces la función límite -\begin_inset Formula $f(\omega):=\lim_{n}f_{n}(\omega)$ +\begin_inset Formula $f(\omega)\coloneqq \lim_{n}f_{n}(\omega)$ \end_inset , definida en casi todo punto, es integrable, @@ -2828,15 +2828,15 @@ teorema Demostración: \series default Por el teorema de la convergencia monótona, -\begin_inset Formula $G:=\sum_{n}|f_{n}|$ +\begin_inset Formula $G\coloneqq \sum_{n}|f_{n}|$ \end_inset converge en casi todo punto y es integrable, y -\begin_inset Formula $S:=\sum_{n}f_{n}$ +\begin_inset Formula $S\coloneqq \sum_{n}f_{n}$ \end_inset también, y como para -\begin_inset Formula $(g_{m}:=\sum_{n=0}^{m}f_{n})_{m}$ +\begin_inset Formula $(g_{m}\coloneqq \sum_{n=0}^{m}f_{n})_{m}$ \end_inset se tiene @@ -2908,11 +2908,11 @@ Demostración: \end_inset de funciones simples -\begin_inset Formula $s_{k}(t):=\sum_{i=1}^{m_{k}}\chi_{N_{ki}}\inf_{x\in N_{ki}}\{f(x)\}$ +\begin_inset Formula $s_{k}(t)\coloneqq \sum_{i=1}^{m_{k}}\chi_{N_{ki}}\inf_{x\in N_{ki}}\{f(x)\}$ \end_inset está acotada por la función constante -\begin_inset Formula $M:=\chi_{[a,b]}\sup_{x\in[a,b]}\{|f(x)|\}$ +\begin_inset Formula $M\coloneqq \chi_{[a,b]}\sup_{x\in[a,b]}\{|f(x)|\}$ \end_inset y converge a @@ -3064,7 +3064,7 @@ status open \end_inset , -\begin_inset Formula $(f_{k}:=\chi_{I_{k}}f)$ +\begin_inset Formula $(f_{k}\coloneqq \chi_{I_{k}}f)$ \end_inset es una sucesión de funciones que tiende a @@ -3218,7 +3218,7 @@ soporte \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{sop}(g):=\overline{\{g\neq0\}}$ +\begin_inset Formula $\text{sop}(g)\coloneqq \overline{\{g\neq0\}}$ \end_inset , y @@ -3315,11 +3315,11 @@ Demostración: \end_inset es continua, y como -\begin_inset Formula $\delta:=\min\{d(x,K)\mid x\notin A\}>0$ +\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \min\{d(x,K)\mid x\notin A\}>0$ \end_inset , -\begin_inset Formula $A_{0}:=\{x\mid d(x,K)<\frac{\delta}{2}\}$ +\begin_inset Formula $A_{0}\coloneqq \{x\mid d(x,K)<\frac{\delta}{2}\}$ \end_inset es un abierto acotado con @@ -3328,11 +3328,11 @@ Demostración: . Tomando -\begin_inset Formula $F_{0}:=\mathbb{R}^{n}\backslash A_{0}=\{x\mid d(x,K)\geq\frac{\delta}{2}\}$ +\begin_inset Formula $F_{0}\coloneqq \mathbb{R}^{n}\backslash A_{0}=\{x\mid d(x,K)\geq\frac{\delta}{2}\}$ \end_inset , podemos definir -\begin_inset Formula $f_{0}(y):=\frac{d(y,F_{0})}{1+d(y,F_{0})}$ +\begin_inset Formula $f_{0}(y)\coloneqq \frac{d(y,F_{0})}{1+d(y,F_{0})}$ \end_inset , que cumple @@ -3352,11 +3352,11 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $f_{0}(y)\geq k_{0}:=\frac{\frac{\delta}{2}}{1+\frac{\delta}{2}}$ +\begin_inset Formula $f_{0}(y)\geq k_{0}\coloneqq \frac{\frac{\delta}{2}}{1+\frac{\delta}{2}}$ \end_inset y la función continua -\begin_inset Formula $f(x):=\min\{1,\frac{f_{0}(x)}{k_{0}}\}$ +\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq \min\{1,\frac{f_{0}(x)}{k_{0}}\}$ \end_inset tiene soporte compacto en @@ -3400,7 +3400,7 @@ Para casi todo \end_inset -\begin_inset Formula $f^{\omega}(x):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f^{\omega}(x)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es continua. @@ -3412,7 +3412,7 @@ Para todo \end_inset -\begin_inset Formula $f_{x}(\omega):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f_{x}(\omega)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es medible. @@ -3448,7 +3448,7 @@ Entonces para todo \end_inset es integrable y -\begin_inset Formula $F(x):=\int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ \end_inset es continua. @@ -3572,7 +3572,7 @@ Para casi todo \end_inset -\begin_inset Formula $f^{\omega}(x):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f^{\omega}(x)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es derivable ( @@ -3588,7 +3588,7 @@ Para todo \end_inset -\begin_inset Formula $f_{x}(\omega):=f(x,\omega)$ +\begin_inset Formula $f_{x}(\omega)\coloneqq f(x,\omega)$ \end_inset es medible, siendo integrable para algún @@ -3628,7 +3628,7 @@ Entonces para todo \end_inset es integrable, -\begin_inset Formula $F(x):=\int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ +\begin_inset Formula $F(x)\coloneqq \int f(x,\omega)d\mu(\omega)$ \end_inset es derivable y |