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@@ -137,7 +137,7 @@ Asociativa \end_layout \begin_layout Standard -Un elemento +Un \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset @@ -245,7 +245,7 @@ simétrico \begin_inset Formula $y$ \end_inset - o + e \series bold invertible \series default @@ -430,7 +430,11 @@ Llamamos \begin_inset Formula $(X^{X},\circ)$ \end_inset - es un monoide, pero no es conmutativo si hay al menos dos elementos. + es un monoide, pero no es conmutativo si +\begin_inset Formula $|X|\geq2$ +\end_inset + +. \begin_inset Note Comment status open @@ -485,45 +489,6 @@ Claramente \end_layout \begin_layout Enumerate -Llamamos -\series bold -grupo simétrico -\series default - en -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $S_{X}$ -\end_inset - -, al conjunto de biyecciones de -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - -. - Entonces -\begin_inset Formula $(S_{X},\circ)$ -\end_inset - - es un grupo. -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -Es asociativa, tiene como neutro la identidad y todo elemento es invertible. -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate Sea \begin_inset Formula $X$ \end_inset @@ -615,7 +580,7 @@ Si \begin_inset Formula $f$ \end_inset - lo es por la derecha, entonces + lo es por la derecha, \begin_inset Formula $e=f$ \end_inset @@ -700,7 +665,7 @@ Si \end_inset tiene simétrico por un lado, es cancelable por dicho lado. - En particular, todo elemento invertible es cancelable. + En particular, todo invertible es cancelable. \begin_inset Note Comment status open @@ -779,7 +744,7 @@ distributivo \begin_inset Formula $\cdot$ \end_inset - es conmutativo, decimos que + es conmutativo, \begin_inset Formula $(A,+,\cdot)$ \end_inset @@ -791,8 +756,7 @@ anillo conmutativo \end_layout \begin_layout Standard -Asumimos que el producto tiene más preferencia que la suma, y escribimos - +Asumimos que el producto tiene más prioridad que la suma, y escribimos \begin_inset Formula $ab:=a\cdot b$ \end_inset @@ -920,7 +884,7 @@ Dada una familia de anillos \begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$ \end_inset - es un anillos con las operaciones definidas componente a componente, esto + es un anillo con las operaciones definidas componente a componente, esto es, dados \begin_inset Formula $a,b\in\prod_{i\in I}A_{i}$ \end_inset @@ -942,7 +906,7 @@ Dada una familia de anillos \begin_inset Formula $X$ \end_inset - es un conjunto, el conjunto + es un conjunto, \begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ \end_inset @@ -966,7 +930,7 @@ Si \begin_inset Formula $n$ \end_inset - es un entero positivo, entonces el conjunto + es un entero positivo, el conjunto \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ \end_inset @@ -978,7 +942,23 @@ Si \begin_inset Formula $n$ \end_inset - es un anillo con la suma y el producto habituales de matrices. + es un anillo con la suma y el producto habituales. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard @@ -1228,7 +1208,7 @@ Si \begin_inset Formula $0=1$ \end_inset -, entonces +, \begin_inset Formula $A=\{0\}$ \end_inset @@ -1249,6 +1229,22 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1316,7 +1312,7 @@ Dado un anillo \end_layout \begin_layout Standard -Propiedades: Dados un anillo +Dados un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1476,7 +1472,7 @@ Si \begin_inset Formula $a$ \end_inset - es invertible, esto también se cumple para + es invertible, esto se cumple para \begin_inset Formula $n$ \end_inset @@ -1614,7 +1610,7 @@ Si \begin_inset Formula $b$ \end_inset - son invertibles, esto también se cumple para todo entero + son invertibles, esto se cumple para todo entero \begin_inset Formula $n$ \end_inset @@ -1682,7 +1678,7 @@ Sean \begin_inset Formula $B\subseteq A$ \end_inset -, decimos que +, \begin_inset Formula $B$ \end_inset @@ -1727,7 +1723,7 @@ inducida \begin_inset Formula $B$ \end_inset - es cerrado respecto a + cerrado respecto a \begin_inset Formula $*$ \end_inset @@ -1832,12 +1828,12 @@ Para que \begin_inset Formula $B\subseteq A$ \end_inset - es un subanillo de un anillo + es un subanillo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset si y sólo si contiene al 1 y es cerrado para sumas productos y opuestos, - si y sólo si contiene al 1 es cerrado para restas y productos, y en tal + si y sólo si contiene al 1 y es cerrado para restas y productos, y en tal caso el cero de \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1947,6 +1943,22 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Algunos subanillos: \end_layout @@ -2151,7 +2163,7 @@ Si \begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$ \end_inset - no es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de + es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de \begin_inset Formula $A\times B$ \end_inset @@ -2211,7 +2223,7 @@ Dado \begin_inset Formula $m$ \end_inset - es el cuadrado de un entero, entonces + es el cuadrado de un entero, \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]=\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -2292,6 +2304,22 @@ Dado un anillo . \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Homomorfismos \end_layout @@ -2313,16 +2341,40 @@ homomorfismo \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(f(x+y)=f(x)+f(y)\land f(xy)=f(x)f(y))$ + tal que para +\begin_inset Formula $x,y\in A$ \end_inset - y +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(x)+f(y)=f(x+y)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset . - Un +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +isomorfismo +\series default + es un homomorfismo biyectivo, y un \series bold automorfismo \series default @@ -2330,7 +2382,7 @@ automorfismo \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un homomorfismo de + es un isomorfismo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -2338,11 +2390,7 @@ automorfismo \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, y un -\series bold -isomorfismo de anillos -\series default - es un homomorfismo de anillos biyectivo. +. Dos anillos \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -2359,7 +2407,7 @@ isomorfos \end_layout \begin_layout Standard -Propiedades: Sean +Sean \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -2789,7 +2837,7 @@ Dado un anillo \begin_inset Formula $\mu(n):=n1$ \end_inset - es el único homomorfismo de anillos + es el único homomorfismo de anillos de \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -2969,11 +3017,6 @@ status open \end_inset . - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -3189,7 +3232,7 @@ congruentes módulo \series default , -\begin_inset Formula $a\equiv b$ +\begin_inset Formula $a\equiv b\bmod I$ \end_inset , si @@ -3209,7 +3252,11 @@ congruentes módulo \end_inset . - + Además, +\begin_inset Formula $a\equiv b\bmod(0)\iff a=b$ +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -3233,7 +3280,7 @@ Las operaciones \begin_inset Formula $[1]$ \end_inset -, y llamamos a este anillo +, que llamamos \series bold anillo cociente de \begin_inset Formula $A$ @@ -3337,7 +3384,16 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout Es claro que +\end_layout + +\end_inset + + \begin_inset Formula $A/0\cong A$ \end_inset @@ -3396,6 +3452,22 @@ En efecto, dado \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Dado un anillo conmutativo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -3541,6 +3613,22 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset @@ -3772,11 +3860,11 @@ Teorema de la correspondencia: \begin_inset Formula $I$ \end_inset - y el conjunto de los ideales de + y el de los ideales de \begin_inset Formula $A/I$ \end_inset - y tanto +, y tanto \begin_inset Formula $\pi$ \end_inset @@ -3800,7 +3888,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $A$ \end_inset - , +, \begin_inset Formula $J/I$ \end_inset @@ -3809,7 +3897,7 @@ Demostración: \end_inset . - En efecto, como + Como \begin_inset Formula $0\in J$ \end_inset @@ -3980,7 +4068,8 @@ Para ver que \begin_inset Formula $J/I\subseteq K/I$ \end_inset -, pero para +. + Para \begin_inset Formula $[x]\in J/I$ \end_inset @@ -4019,7 +4108,7 @@ Para ver que \end_inset . - En efecto, sea + Sea \begin_inset Formula $x\in\pi^{-1}(X)$ \end_inset @@ -4035,7 +4124,7 @@ Para ver que \begin_inset Formula $x+a\in\pi^{-1}(Y)$ \end_inset -, pero como +, y como \begin_inset Formula $\pi^{-1}(Y)$ \end_inset @@ -4080,7 +4169,7 @@ La intersección de una familia de ideales de \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, definimos +, definimos los ideales \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} \sum_{x\in X}I_{x} & := & \left\{ \sum_{x\in S}a_{x}:S\subseteq X\text{ finito},a_{x}\in I_{x}\right\} ,\\ @@ -4141,7 +4230,7 @@ Sean \begin_inset Formula $(n)\cap(m)=(\text{mcm}(n,m))$ \end_inset -, + y \begin_inset Formula $(n)+(m)=(\text{mcd}(n,m))$ \end_inset @@ -4268,11 +4357,6 @@ Demostración: \end_inset . - De aquí que -\begin_inset Formula $\tilde{f}$ -\end_inset - - es un homomorfismo. Para ver que \begin_inset Formula $i\circ\tilde{f}\circ p=f$ \end_inset @@ -4287,7 +4371,7 @@ Demostración: . Para la unicidad, sea -\begin_inset Formula $\tilde{f}:A/K\to I$ +\begin_inset Formula $\hat{f}:A/K\to I$ \end_inset otro isomorfismo con @@ -4356,15 +4440,7 @@ Segundo teorema de isomorfía: \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, el ideal -\begin_inset Formula $J/I$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $A/I$ -\end_inset - - cumple +, \begin_inset Formula \[ \frac{A/I}{J/I}\cong\frac{A}{J}. @@ -4564,12 +4640,12 @@ Sea \begin_inset Formula $\text{Im}f=(B+I)/I$ \end_inset -, y entonces basta aplicar el primer teorema de isomorfía. +, y basta aplicar el primer teorema de isomorfía. \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard -Decimos que un anillo +Un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -4817,6 +4893,13 @@ status open \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Newpage pagebreak +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard \series bold Teorema chino de los restos: @@ -4825,12 +4908,12 @@ Teorema chino de los restos: \begin_inset Formula $A$ \end_inset - un anillo conmutativo e -\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}$ + un anillo conmutativo, +\begin_inset Formula $n\geq1$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $n\geq1$ + e +\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}$ \end_inset ideales de |