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@@ -399,7 +399,8 @@ Si \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies2\implies3,4\implies5]$ @@ -441,6 +442,11 @@ Si es un grupo con el mismo 1. \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $S$ @@ -987,7 +993,8 @@ normal \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\iff2\iff3\implies4,5]$ @@ -1087,6 +1094,11 @@ normal Por simetría con los dos anteriores. \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $N\leq G$ @@ -1167,10 +1179,10 @@ Si \end_inset tiene índice 2, es normal. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Como las clases por la izquierda módulo \begin_inset Formula $H$ \end_inset @@ -1194,16 +1206,20 @@ Como las clases por la izquierda módulo . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula ${\cal SL}_{n}(\mathbb{R})\unlhd{\cal GL}_{n}(\mathbb{R})$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Si \begin_inset Formula $a,b\in{\cal GL}_{n}(\mathbb{R})$ \end_inset @@ -1219,7 +1235,11 @@ Si si y sólo si tienen igual determinante. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard \series bold @@ -1396,42 +1416,50 @@ Propiedades: Si \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $f(1)f(1)=f(1\cdot1)=f(1)=f(1)1\implies f(1)=1$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1)=1$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(a_{1}\cdots a_{n})=f(a_{1})\cdots f(a_{n})$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Para \begin_inset Formula $n=0$ \end_inset @@ -1452,16 +1480,20 @@ Para . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(a^{m})=f(a)^{m}$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Para \begin_inset Formula $m=0$ \end_inset @@ -1491,7 +1523,11 @@ Para . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $f$ @@ -1502,10 +1538,10 @@ Si \end_inset también. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Sean \begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset @@ -1525,16 +1561,20 @@ Sean . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $g\circ f:G\to K$ \end_inset es un homomorfismo de grupos. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Para \begin_inset Formula $a,b\in G$ \end_inset @@ -1546,7 +1586,11 @@ Para . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f^{-1}(H')\leq G$ \end_inset @@ -1566,10 +1610,10 @@ Para \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Claramente \begin_inset Formula $1\in f^{-1}(H')$ \end_inset @@ -1617,13 +1661,13 @@ ab^{-1}=f^{-1}(f(ab^{-1}))=f^{-1}(f(a)f(b)^{-1}), \end_inset . -\begin_inset Newpage pagebreak +\end_layout + \end_inset \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f$ \end_inset @@ -1633,9 +1677,9 @@ ab^{-1}=f^{-1}(f(ab^{-1}))=f^{-1}(f(a)f(b)^{-1}), \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -1672,6 +1716,7 @@ Como . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -1709,6 +1754,11 @@ Si \end_layout \end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(G')\leq H$ \end_inset @@ -1732,10 +1782,10 @@ Si \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Claramente \begin_inset Formula $1\in f(G')$ \end_inset @@ -1797,7 +1847,11 @@ Claramente . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Algunos homomorfismos: \end_layout @@ -2030,13 +2084,6 @@ Si \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Newpage newpage -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard Así: \end_layout @@ -2069,10 +2116,10 @@ Si \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout La norma \begin_inset Formula $|\cdot|:\mathbb{C}^{*}\to\mathbb{R}^{*}$ \end_inset @@ -2088,16 +2135,20 @@ La norma , y aplicamos el primer teorema de isomorfía. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula ${\cal GL}_{n}(\mathbb{R})/{\cal SL}_{n}(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{*}$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout El determinante \begin_inset Formula $\det:{\cal GL}_{n}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ \end_inset @@ -2113,7 +2164,11 @@ El determinante , y aplicamos el primer teorema de isomorfía. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard En general, \begin_inset Formula $H,K\leq G$ @@ -2124,7 +2179,11 @@ En general, \end_inset . - En efecto, si +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, si \begin_inset Formula $\sigma,\tau\in S_{3}$ \end_inset @@ -2171,6 +2230,11 @@ En general, , luego esto no es un grupo. \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Orden de un elemento \end_layout @@ -2291,6 +2355,11 @@ Si \end_inset + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout En efecto, sean \begin_inset Formula $m:=|a|$ \end_inset @@ -2314,6 +2383,11 @@ En efecto, sean . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $G=\langle a\rangle$ @@ -3187,10 +3261,10 @@ Sean \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Como \begin_inset Formula $1\cdot x=x$ \end_inset @@ -3219,7 +3293,11 @@ Como . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $[G:\text{Estab}_{G}(x)]=|G\cdot x|$ \end_inset @@ -3234,10 +3312,10 @@ Como \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Sea \begin_inset Formula $H:=\text{Estab}_{G}(x)$ \end_inset @@ -3278,7 +3356,11 @@ Sea . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Si la acción es por la izquierda, \begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(g\cdot x)=\text{Estab}_{G}(x)^{g^{-1}}$ @@ -3306,10 +3388,10 @@ Si la acción es por la izquierda, \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Si la acción es por la izquierda, \begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)^{g^{-1}}=\{ghg^{-1}:h\cdot x=x\}=\{p\in G:g^{-1}pg\cdot x=x\}=\{p\in G:p\cdot(g\cdot x)=g\cdot x\}=\text{Estab}_{G}(g\cdot x)$ \end_inset @@ -3322,7 +3404,11 @@ Si la acción es por la izquierda, . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $R$ @@ -3333,10 +3419,10 @@ Si \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Se debe a que las órbitas forman una partición de \begin_inset Formula $X$ \end_inset @@ -3344,7 +3430,11 @@ Se debe a que las órbitas forman una partición de . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Así, si \begin_inset Formula $G$ @@ -3404,7 +3494,17 @@ Dado un número primo \begin_inset Formula $p$ \end_inset -, y por el teorema de Lagrange, un grupo finito es un +, y +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +por el teorema de Lagrange, +\end_layout + +\end_inset + +un grupo finito es un \begin_inset Formula $p$ \end_inset @@ -3430,7 +3530,11 @@ Si \end_inset . - En efecto, si +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, si \begin_inset Formula $X\subseteq G$ \end_inset @@ -3466,6 +3570,11 @@ Si . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard \series bold @@ -3488,9 +3597,10 @@ Teorema de Cauchy: \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \series bold Demostración: @@ -3584,7 +3694,7 @@ Demostración: . \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Como \begin_inset Formula $|\sigma|=p$ \end_inset @@ -3670,6 +3780,11 @@ Como . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Teoremas de Sylow \end_layout @@ -147,7 +147,8 @@ independiente \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies2]$ @@ -241,6 +242,11 @@ independiente . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Cuando \begin_inset Formula $(B_{i})_{i\in I}$ @@ -304,10 +310,10 @@ Para cada \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout La intersección es nula y, dado \begin_inset Formula $(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -319,7 +325,11 @@ La intersección es nula y, dado . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate En \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ @@ -330,10 +340,10 @@ En \end_inset no hay dos subgrupos no triviales independientes. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -387,7 +397,11 @@ Sean y tampoco son independientes. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\hat{B}_{i}:=0\times\dots0\times B_{i}\times0\times\dots\times0\leq B_{1}\times\dots\times B_{n}$ @@ -461,9 +475,7 @@ indescomponible si no es suma directa de dos subgrupos propios. Todo grupo abeliano finito no trivial es suma directa de grupos indescomponible s. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate + \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset @@ -474,16 +486,16 @@ s. son indescomponibles. \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Standard Un grupo cíclico \begin_inset Formula $\langle a\rangle_{n}$ \end_inset es indescomponible si y sólo si tiene orden potencia de primo. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open @@ -515,7 +527,7 @@ Si . \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open @@ -563,7 +575,11 @@ Si el orden no es potencia de primo, existen . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Dado un grupo \begin_inset Formula $G$ @@ -621,7 +637,12 @@ de torsión Si un grupo es finito tiene periodo finito, y si tiene periodo finito es periódico. Los recíprocos no se cumplen. - En efecto, + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, \begin_inset Formula $\prod_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}_{2}$ \end_inset @@ -630,11 +651,20 @@ Si un grupo es finito tiene periodo finito, y si tiene periodo finito es \end_inset es periódico pero con periodo infinito. +\end_layout + +\end_inset + Todo \begin_inset Formula $p$ \end_inset --grupo es periódico, pero no necesariamente finito, pues +-grupo es periódico, pero no necesariamente finito +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues \begin_inset Formula $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}_{p^{n}}$ \end_inset @@ -642,7 +672,12 @@ Si un grupo es finito tiene periodo finito, y si tiene periodo finito es \begin_inset Formula $p$ \end_inset --grupo de orden infinito. +-grupo de orden infinito +\end_layout + +\end_inset + +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -674,6 +709,11 @@ t_{p}(A):=\{a\in A:\exists n\in\mathbb{N}:p^{n}a=0\}=\{a\in A:|a|\text{ es poten \end_inset + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout En efecto, si \begin_inset Formula $p^{n}a=0$ \end_inset @@ -687,7 +727,12 @@ En efecto, si \end_inset , y el recíproco es obvio. - Si + +\end_layout + +\end_inset + +Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -733,6 +778,11 @@ con cada . +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + \series bold Demostración: \series default @@ -874,12 +924,27 @@ Demostración: . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $n:=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{k}^{\alpha_{k}}$ \end_inset - es una factorización prima, por el teorema chino de los restos, + es una factorización prima +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, por el teorema chino de los restos +\end_layout + +\end_inset + +, \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\cong\mathbb{Z}_{p_{1}^{\alpha_{1}}}\times\dots\times\mathbb{Z}_{p_{k}^{\alpha_{k}}}$ \end_inset @@ -913,10 +978,19 @@ Si \end_inset es +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $n(a+B)=0$ \end_inset , luego +\end_layout + +\end_inset + + \begin_inset Formula $|a+B|\mid|a|$ \end_inset @@ -930,7 +1004,8 @@ Un grupo abeliano finito es indescomponible si y solo si es un \end_inset -grupo cíclico. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 @@ -975,7 +1050,7 @@ Sea \end_layout \begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Queda ver que \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -1055,7 +1130,7 @@ Queda ver que es cíclico. \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Dado \begin_inset Formula $x$ \end_inset @@ -1170,7 +1245,7 @@ Dado . \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Con esto, para cada \begin_inset Formula $i$ \end_inset @@ -1291,6 +1366,11 @@ Ya hemos visto que todo grupo cíclico de orden es indescomponible. \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Esto significa que todo grupo abeliano finito es suma directa de subgrupos cíclicos, cada uno con orden potencia de primo. @@ -134,6 +134,14 @@ Nos centraremos en los grupos de permutaciones entre conjuntos finitos, \end_inset + +\end_layout + +\begin_layout Section +Ciclos +\end_layout + +\begin_layout Standard Una \begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$ \end_inset @@ -211,6 +219,13 @@ Si . \series bold + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold Demostración: \series default Para @@ -290,8 +305,9 @@ Demostración: . \end_layout -\begin_layout Section -Ciclos +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard @@ -376,10 +392,10 @@ Dados \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sigma(i_{s})=i_{1}$ \end_inset @@ -403,16 +419,20 @@ Dados Además se fijan los mismos puntos. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $i_{t}=\sigma^{t-1}(i_{1})$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Para \begin_inset Formula $t=1$ \end_inset @@ -436,16 +456,20 @@ Para . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $|\sigma|=s$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Para \begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,s-1\}$ \end_inset @@ -473,7 +497,11 @@ Para . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Como \series bold @@ -935,42 +963,50 @@ El de todos los ciclos. \begin_layout Enumerate El de todas las trasposiciones. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(i_{1}\,\dots\,i_{s})=(i_{1}\,i_{s})(i_{1}\,i_{s-1})\cdots(i_{1}\,i_{2})$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\{(1\,2),(1\,3),\dots,(1\,n)\}$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(i\,j)=(1\,i)(1\,j)(1\,i)$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\{(1\,2),(2\,3),\dots,(n-1\,n)\}$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Dados \begin_inset Formula $j\geq2$ \end_inset @@ -986,16 +1022,20 @@ Dados . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\{(1\,2),(1\,2\,\dots\,n-1\,n)\}$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Sean \begin_inset Formula $\tau:=(1\,2)$ \end_inset @@ -1023,7 +1063,11 @@ Sean . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $p$ @@ -1042,7 +1086,10 @@ Si \end_inset . - +\end_layout + +\begin_layout Standard + \series bold Demostración: \series default @@ -1253,6 +1300,11 @@ aplicación signo , es un homomorfismo de grupos. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + \series bold Demostración: \series default @@ -1275,6 +1327,11 @@ Demostración: . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Propiedades: \end_layout @@ -1284,10 +1341,10 @@ Propiedades: \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma)\text{sgn}(\sigma^{-1})=\text{sgn}(1)=1$ \end_inset @@ -1302,13 +1359,17 @@ Propiedades: . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Toda transposición es impar. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Sean \begin_inset Formula $\sigma:=(m\,n)$ \end_inset @@ -1361,7 +1422,11 @@ Sean inversiones, un número impar. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\tau_{1},\dots,\tau_{r}$ @@ -1396,10 +1461,10 @@ Un ciclo de longitud \begin_layout Enumerate La paridad de una permutación coincide con la del número de componentes pares de su tipo. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Si \begin_inset Formula $[s_{1},\dots,s_{k}]$ \end_inset @@ -1425,7 +1490,11 @@ Si resultado. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Llamamos \series bold @@ -1469,7 +1538,11 @@ grupo alternado \end_inset y . - En efecto, es normal por ser el núcleo de un homomorfismo, y el resto es +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, es normal por ser el núcleo de un homomorfismo, y el resto es consecuencia de que el signo es suprayectivo para \begin_inset Formula $n\geq2$ \end_inset @@ -1477,6 +1550,11 @@ grupo alternado y del primer teorema de isomorfía. \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Son generadores de \begin_inset Formula $A_{n}$ |