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@@ -207,5 +207,19 @@ filename "n5.lyx" \end_layout +\begin_layout Chapter +Grupos de permutaciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n6.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + \end_body \end_document @@ -345,6 +345,26 @@ grupo diédrico infinito \end_layout +\begin_layout Enumerate +Sea +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + un anillo conmutativo, +\begin_inset Formula $B^{*}\propto B:=B^{*}\times B$ +\end_inset + + es un grupo abeliano con la operación +\begin_inset Formula $(u,a)(v,b)=(uv,ub+va)$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $(u,a)^{n}=(u^{n},nu^{n-1}a)$ +\end_inset + +. +\end_layout + \begin_layout Section Subgrupos \end_layout @@ -3378,14 +3398,26 @@ Dado un número primo \begin_inset Formula $p$ \end_inset --grupo finito +-grupo \series default - es un grupo finito cuyo orden es potencia de + es un grupo en que todo elemento tiene orden potencia de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, y por el teorema de Lagrange, un grupo finito es un +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-grupo si y sólo si su orden es potencia de \begin_inset Formula $p$ \end_inset . - Si + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si \begin_inset Formula $G$ \end_inset diff --git a/ga/n6.lyx b/ga/n6.lyx new file mode 100644 index 0000000..4dad294 --- /dev/null +++ b/ga/n6.lyx @@ -0,0 +1,1910 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\begin_modules +algorithm2e +\end_modules +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package 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+ +, y entonces +\begin_inset Formula $h:S_{A}\to S_{B}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $h(\sigma):=f\circ\sigma\circ f^{-1}$ +\end_inset + + es un isomorfismo. + Por tanto, las propiedades de +\begin_inset Formula $S_{A}$ +\end_inset + + solo dependen del cardinal. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Nos centraremos en los grupos de permutaciones entre conjuntos finitos, + +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Entonces representamos una +\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula +\[ +\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & \cdots & n\\ +\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) +\end{pmatrix}. +\] + +\end_inset + +Una +\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$ +\end_inset + + +\series bold +fija +\series default + un +\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}_{n}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\sigma(i)=i$ +\end_inset + +, y lo +\series bold +cambia +\series default + o +\series bold +mueve +\series default + en caso contrario. + Llamamos +\begin_inset Formula $M(\sigma):=\{i\in\mathbb{N}_{n}:\sigma(i)\neq i\}$ +\end_inset + +, y es claro que +\begin_inset Formula $M(\sigma)=\emptyset\iff\sigma=1$ +\end_inset + + y que +\begin_inset Formula $|M(\sigma)|\neq1$ +\end_inset + +. + Dos permutaciones +\begin_inset Formula $\sigma,\tau\in S_{n}$ +\end_inset + + son +\series bold +disjuntas +\series default + si lo son +\begin_inset Formula $M(\sigma)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M(\tau)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tau$ +\end_inset + + son permutaciones disjuntas, +\begin_inset Formula $\sigma\tau=\tau\sigma$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M(\sigma\tau)=M(\sigma)\cup M(\tau)$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $i\in M(\sigma)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma(i)\in M(\sigma)$ +\end_inset + +, pues si fuera +\begin_inset Formula $\sigma(i)\notin M(\sigma)$ +\end_inset + + sería +\begin_inset Formula $\sigma(\sigma(i))=\sigma(i)$ +\end_inset + +, contradiciendo que +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + sea biyectiva. +\begin_inset Formula $\#$ +\end_inset + + Entonces +\begin_inset Formula $i,\sigma(i)\notin M(\tau)$ +\end_inset + + por ser +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tau$ +\end_inset + + disjuntas, luego +\begin_inset Formula $\sigma(\tau(i))=\sigma(i)=\tau(\sigma(i))$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $(\sigma\tau)(i)=\sigma(i)\neq i$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $i\in M(\sigma\tau)$ +\end_inset + +. + De forma análoga, si +\begin_inset Formula $i\in M(\tau)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma(\tau(i))=\tau(\sigma(i))$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i\in M(\sigma\tau)$ +\end_inset + +. + Finalmente, si +\begin_inset Formula $i\notin M(\sigma),M(\tau)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma(\tau(i))=i=\tau(\sigma(i))$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Ciclos +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold + ciclo +\series default + de +\series bold +longitud +\series default + +\begin_inset Formula $s\in\{2,\dots,n\}$ +\end_inset + + o +\series bold + +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + +-ciclo +\series default + es una permutación +\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $|M(\sigma)|=s$ +\end_inset + + y podemos ordenar sus elementos como +\begin_inset Formula $M(\sigma)=\{i_{1},\dots,i_{s}\}$ +\end_inset + + de forma que +\begin_inset Formula $\sigma(i_{k})=i_{k+1}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,s-1\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma(i_{s})=i_{1}$ +\end_inset + +. + Denotamos este ciclo como +\begin_inset Formula +\[ +\sigma=(i_{1}\,i_{2}\,\dots\,i_{s}). +\] + +\end_inset + + Los 2-ciclos se llaman +\series bold +transposiciones +\series default + o +\series bold +trasposiciones +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $\sigma:=(i_{1}\,\dots\,i_{s})\in S_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $t\in\{1,\dots,s\}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\sigma=(i_{t}\,\dots\,i_{s}\,i_{1}\,\dots\,i_{t-1})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\sigma(i_{s})=i_{1}$ +\end_inset + +; para +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,s-1\}$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $k\neq t-1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma(i_{k})=i_{k+1}$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\sigma(i_{t-1})=\sigma(i_{t})$ +\end_inset + +. + Además se fijan los mismos puntos. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $i_{t}=\sigma^{t-1}(i_{1})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $t=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $i_{1}=\sigma^{0}(i_{1})$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $t>1$ +\end_inset + +, supuesto esto probado para +\begin_inset Formula $\sigma^{t-1}(i_{1})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $i_{t}=\sigma(i_{t-1})=\sigma(\sigma^{t-2}(i_{1}))=\sigma^{t-1}(i_{1})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $|\sigma|=s$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,s-1\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma^{k}(i_{1})=i_{k+1}\neq i_{1}$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma^{s}(i_{1})=\sigma(\sigma^{s-1}(i_{1}))=\sigma(i_{s})=i_{1}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\sigma^{s}(i_{k})=\sigma^{s+k-1}(i_{1})=\sigma^{k-1}(i_{1})=i_{k}$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\sigma^{s}=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, toda permutación +\begin_inset Formula $\sigma\neq1$ +\end_inset + + se puede expresar de forma única salvo orden como producto de ciclos disjuntos. + +\series bold +Demostración: +\series default + Razonamos por inducción en +\begin_inset Formula $|M(\sigma)|\geq2$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $M(\sigma)=\{i,j\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma=(i\,j)$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $\sigma=\tau_{1}\cdots\tau_{k}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\tau_{1},\dots,\tau_{k}$ +\end_inset + + ciclos disjuntos, como +\begin_inset Formula $M(\sigma)=\sum_{i}M(\tau_{i})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $k=1$ +\end_inset + +. + Supongamos que esto se cumple para toda permutación no identidad que mueve + menos elementos que +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + +. + Sean +\begin_inset Formula $i\in M(\sigma)$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $(i_{n})_{n}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $i_{0}:=i$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i_{n}:=\sigma(i_{n-1})$ +\end_inset + +, como los +\begin_inset Formula $i_{n}$ +\end_inset + + toman valores en un conjunto finito, existen +\begin_inset Formula $0\le j<k$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $i_{j}=i_{k}$ +\end_inset + +, y podemos tomar +\begin_inset Formula $j=0$ +\end_inset + + porque, si el menor +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + que se puede tomar es positivo, +\begin_inset Formula $i_{j-1}=\sigma^{-1}(i_{j})=\sigma^{-1}(i_{k})=i_{k-1}\#$ +\end_inset + +. + Tomamos el menor +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + positivo con +\begin_inset Formula $i_{0}=i_{k}$ +\end_inset + +, y entonces +\begin_inset Formula $\tau:=(i_{0}\,\dots\,i_{k-1})$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +-ciclo. + Sea +\begin_inset Formula $\rho\in S_{n}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula +\[ +\rho(j):=\begin{cases} +j, & \text{j\ensuremath{\in\{i_{0}\,\dots\,i_{k-1}\}\lor j\notin M(\sigma);}}\\ +\sigma(j), & \text{en otro caso}. +\end{cases} +\] + +\end_inset + +Claramente +\begin_inset Formula $\tau$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\rho$ +\end_inset + + son disjuntas, +\begin_inset Formula $|M(\rho)|=|M(\sigma)|-k<|M(\sigma)|$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma=\tau\rho$ +\end_inset + +, y por la hipótesis de inducción, +\begin_inset Formula $\rho=:\rho_{1}\cdots\rho_{l}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\rho_{1},\dots,\rho_{l}$ +\end_inset + + disjuntos dos a dos. + Además, +\begin_inset Formula $M(\tau)\cap M(\rho_{i})\subseteq M(\tau)\cap M(\rho)=\emptyset$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\sigma=\tau\rho_{1}\cdots\rho_{l}$ +\end_inset + + es un producto de ciclos disjuntos. + Para la unicidad, si +\begin_inset Formula $\sigma=\tau_{1}\cdots\tau_{m}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\tau_{1},\dots,\tau_{m}$ +\end_inset + + ciclos disjuntos, +\begin_inset Formula $i_{0}\in M(\tau_{j})$ +\end_inset + + para un único +\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,m\}$ +\end_inset + +, y podemos suponer +\begin_inset Formula $j=1$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\tau(i_{0})=\sigma(i_{0})=\tau_{1}(i_{0})$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\tau=\tau_{1}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\rho=\tau_{2}\cdots\tau_{m}$ +\end_inset + +, y de la unicidad de la factorización de +\begin_inset Formula $\rho$ +\end_inset + + se deduce la unicidad de la de +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +El +\series bold +tipo +\series default + de una permutación +\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}\setminus1$ +\end_inset + + es la lista +\begin_inset Formula $[s_{1},\dots,s_{k}]$ +\end_inset + + de las longitudes de los ciclos en su factorización en ciclos disjuntos, + en orden creciente. + El orden de +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + es el mínimo común múltiplo de las componentes de su tipo. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $\sigma=\tau_{1}\cdots\tau_{k}$ +\end_inset + + la factorización de +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + como producto de ciclos disjuntos, +\begin_inset Formula $s_{i}=|\tau_{i}|$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Como los +\begin_inset Formula $\tau_{i}$ +\end_inset + + conmutan y, para cada +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M(\tau_{i}^{m})\subseteq M(\tau_{i})$ +\end_inset + +, la factorización de +\begin_inset Formula $\sigma^{m}$ +\end_inset + + por ciclos disjuntos es +\begin_inset Formula $\sigma^{m}=\tau_{1}^{m}\cdots\tau_{k}^{m}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\sigma^{m}=1$ +\end_inset + + si y solo si cada +\begin_inset Formula $\tau_{i}^{m}=1$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $s_{i}\mid m$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{mcm}\{s_{1},\dots,s_{m}\}\mid m$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dada una permutación +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + y un ciclo +\begin_inset Formula $\tau:=(i_{1}\,\dots\,i_{s})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\tau^{\alpha}=(\alpha^{-1}(i_{1})\,\dots\,\alpha^{-1}(i_{s}))$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $\tau^{\alpha}=\alpha^{-1}(i_{1}\,\dots\,i_{s})\alpha=(\alpha^{-1}(i_{1})\,\dots\,\alpha^{-1}(i_{s}))$ +\end_inset + +. + Como +\series bold +teorema +\series default +, dos elementos de +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + + son conjugados si y sólo si tienen el mismo tipo, luego las clases de conjugaci +ón están formadas por los elementos de igual tipo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Es fácil ver que, si +\begin_inset Formula $\tau_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tau_{2}$ +\end_inset + + son ciclos disjuntos, +\begin_inset Formula $\alpha\tau_{1}\alpha^{-1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha\tau_{2}\alpha^{-1}$ +\end_inset + + también lo son, luego si +\begin_inset Formula $\tau_{1},\dots,\tau_{k}$ +\end_inset + + son ciclos disjuntos, +\begin_inset Formula $\alpha\tau_{1}\cdots\tau_{k}\alpha^{-1}=(\alpha\tau_{1}\alpha^{-1})\cdots(\alpha\tau_{k}\alpha^{-1})$ +\end_inset + +, y entonces es claro que dos elementos conjugados de +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + + tienen el mismo tipo. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma'$ +\end_inset + + tienen el mismo tipo, las descomposiciones en producto de ciclos disjuntos + tienen forma +\begin_inset Formula $\sigma=:\tau_{1}\cdots\tau_{k}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma'=:\tau'_{1}\cdots\tau_{k}'$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $|\tau_{i}|=|\tau'_{i}|$ +\end_inset + +. + Por tanto existen biyecciones +\begin_inset Formula $\alpha_{i}:M(\tau_{i})\to M(\tau'_{i})$ +\end_inset + + que conservan la estructura de los ciclos, y como +\begin_inset Formula $|M(\sigma)|=|M(\sigma')|$ +\end_inset + +, existe una biyección +\begin_inset Formula $\beta:\mathbb{N}_{n}\setminus M(\sigma)\to\mathbb{N}_{n}\setminus M(\sigma')$ +\end_inset + +. + Sea ahora +\begin_inset Formula $\alpha\in S_{n}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\alpha(x):=\alpha_{i}(x)$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $x\in M(\tau_{i})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha(x):=\beta(x)$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $x\notin M(\sigma)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\tau_{i}=\alpha\tau_{i}\alpha^{-1}$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\sigma=\alpha\sigma\alpha^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +, los siguientes conjuntos son generadores de +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El de todos los ciclos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El de todas las trasposiciones. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(i_{1}\,\dots\,i_{s})=(i_{1}\,i_{s})(i_{1}\,i_{s-1})\cdots(i_{1}\,i_{2})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\{(1\,2),(1\,3),\dots,(1\,n)\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(i\,j)=(1\,i)(1\,j)(1\,i)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\{(1\,2),(2\,3),\dots,(n-1\,n)\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $j\geq2$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha:=(2\,3)(3\,4)\cdots(j-1\,j)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(1\,2)^{\alpha}=(\alpha^{-1}(1)\,\alpha^{-1}(2))=(1\,j)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\{(1\,2),(1\,2\,\dots\,n-1\,n)\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\tau:=(1\,2)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma:=(1\,2\,\dots\,n-1\,n)$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,n-1\}$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $\sigma^{j-1}(1)=j$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma^{j-1}(2)=j+1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\tau^{\sigma^{1-j}}=(j\,j+1)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es primo y +\begin_inset Formula $H\leq S_{p}$ +\end_inset + + contiene una transposición y un +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-ciclo, +\begin_inset Formula $H=S_{p}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Podemos suponer que +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + contiene a +\begin_inset Formula $(1\,2)$ +\end_inset + + y un +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-ciclo +\begin_inset Formula $\sigma=(a_{1}\,\dots\,a_{p})$ +\end_inset + +, y podemos suponer +\begin_inset Formula $a_{1}=1$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $a_{i}=2$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma^{i-1}=(1\,2\,b_{3}\,\dots\,b_{p})$ +\end_inset + +, y podemos renombrar los +\begin_inset Formula $b_{i}$ +\end_inset + + de forma que +\begin_inset Formula $b_{i}=i$ +\end_inset + + +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +¿Cómo? +\end_layout + +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $(1\,2),(1\,2\,\dots\,p)\in H$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $H=S_{p}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +El grupo alternado +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$ +\end_inset + +, existe un automorfismo de anillos +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(k)=k$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(X_{i})=X_{\sigma(i)}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula +\[ +P:=\prod_{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}). +\] + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $i<j$ +\end_inset + +, puede ocurrir: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Que sea +\begin_inset Formula $\sigma(i)<\sigma(j)$ +\end_inset + +, y entonces el factor +\begin_inset Formula $X_{\sigma(j)}-X_{\sigma(i)}$ +\end_inset + + aparece en +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Que sea +\begin_inset Formula $\sigma(i)>\sigma(j)$ +\end_inset + +, y entonces el factor +\begin_inset Formula $X_{\sigma(j)}-X_{\sigma(i)}$ +\end_inset + + aparece en +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)$ +\end_inset + + pero en +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + aparece su opuesto, y decimos que +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + +\series bold +presenta una inversión +\series default + para el par +\begin_inset Formula $(i,j)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Entonces +\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$ +\end_inset + + es +\series bold +par +\series default + si +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + presenta un número par de inversiones, si y sólo si +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)=P$ +\end_inset + +, y es +\series bold +impar +\series default + si presenta un número impar de inversiones, si y sólo si +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)=-P$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La +\series bold +aplicación signo +\series default +, +\begin_inset Formula $\text{sgn}:S_{n}\to\mathbb{Z}^{*}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}(P)=\text{sgn}(\sigma)P$ +\end_inset + +, es un homomorfismo de grupos. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $\sigma,\tau\in S_{n}$ +\end_inset + +, es fácil comprobar que +\begin_inset Formula $\overbrace{\sigma\circ\tau}=\hat{\sigma}\circ\hat{\tau}$ +\end_inset + +, y entonces +\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma\circ\tau)P=\overbrace{\sigma\circ\tau}(P)=\hat{\sigma}(\hat{\tau}(P))=\hat{\sigma}(\text{sgn}(\tau)P)=\text{sgn}(\tau)\hat{\sigma}(P)=\text{sgn}(\tau)\text{sgn}(\sigma)P$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma\circ\tau)=\text{sgn}(\sigma)\text{sgn}(\tau)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Propiedades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma)=\text{sgn}(\sigma^{-1})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma)\text{sgn}(\sigma^{-1})=\text{sgn}(1)=1$ +\end_inset + +, luego o +\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma)=\text{sgn}(\sigma^{-1})=1$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\text{sgn}(\sigma)=\text{sgn}(\sigma^{-1})=-1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Toda transposición es impar. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\sigma:=(m\,n)$ +\end_inset + + una transposición con +\begin_inset Formula $m<n$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i<j$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + presenta una inversión en +\begin_inset Formula $(i,j)$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $\sigma(i)>\sigma(j)$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $m=i<j\leq n$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $m\leq i<j=n$ +\end_inset + +, teniendo en cuenta que +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + tiene que mover +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $j$ +\end_inset + + para que haya una inversión. + En total hay +\begin_inset Formula $2(m-n)-1$ +\end_inset + + inversiones, un número impar. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\tau_{1},\dots,\tau_{r}$ +\end_inset + + son transposiciones, +\begin_inset Formula $\text{sgn}(\tau_{1}\cdots\tau_{r})=(-1)^{r}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + es par si y sólo si es producto de un número par de transposiciones. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Un ciclo de longitud +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + tiene signo +\begin_inset Formula $(-1)^{s-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La paridad de una permutación coincide con la del número de componentes + pares de su tipo. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $[s_{1},\dots,s_{k}]$ +\end_inset + + el tipo de una +\begin_inset Formula $\sigma\in S_{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + es producto de ciclos de longitudes +\begin_inset Formula $s_{1}-1,\dots,s_{k}-1$ +\end_inset + +. + Los ciclos con +\begin_inset Formula $s_{i}$ +\end_inset + + impar son pares y los de longitud par son impares, de donde se deduce el + resultado. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +grupo alternado +\series default + en +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + elementos a +\begin_inset Formula $A_{n}:=\ker\text{sgn}$ +\end_inset + +, el subgrupo de +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + + de las permutaciones pares. + +\begin_inset Formula $A_{n}$ +\end_inset + + es un subgrupo normal de +\begin_inset Formula $S_{n}$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{S_{n}}{A_{n}}\cong\{-1,1\}\cong\mathbb{Z}_{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $[S_{n}:A_{n}]=2$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $|A_{n}|=\frac{n!}{2}$ +\end_inset + + y . + En efecto, es normal por ser el núcleo de un homomorfismo, y el resto es + consecuencia de que el signo es suprayectivo para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + + y del primer teorema de isomorfía. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Son generadores de +\begin_inset Formula $A_{n}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El conjunto de todos los productos de dos transposiciones. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Toda permutación par es producto de un número par de transposiciones. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +El conjunto de todos los 3-ciclos. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $(i\,j)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(k\,l)$ +\end_inset + + dos transposiciones. + Si son disjuntas, +\begin_inset Formula $(i\,j)(k\,l)=(j\,l\,k)(i\,k\,j)$ +\end_inset + +. + Si son iguales, el producto es 1. + En otro caso podemos suponer +\begin_inset Formula $i=k$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $j\neq l$ +\end_inset + +, y entonces +\begin_inset Formula $(i\,j)(i\,l)=(i\,l\,j)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Teorema de Abel +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un grupo +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + no trivial es +\series bold +simple +\series default + si sus únicos subgrupos normales son 1 y +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +. + Así, un grupo abeliano es simple si y sólo si tiene orden primo. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de Abel: +\series default + Si +\begin_inset Formula $n\geq5$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A_{n}$ +\end_inset + + es un grupo simple. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $H\neq1$ +\end_inset + + un subgrupo normal de +\begin_inset Formula $A_{n}$ +\end_inset + + y veamos que +\begin_inset Formula $H=A_{n}$ +\end_inset + +. + Supongamos primero que +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + contiene un 3-ciclo +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + +, y veamos que cualquier otro 3-ciclo +\begin_inset Formula $\sigma'$ +\end_inset + + está en +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + +. + Sabemos que existe +\begin_inset Formula $\alpha\in S_{n}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\sigma'=\sigma^{\alpha}$ +\end_inset + +, por tener +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma'$ +\end_inset + + el mismo tipo. + Si +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es par, +\begin_inset Formula $\alpha\in A_{n}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\sigma'\in A_{n}$ +\end_inset + + por la normalidad de +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A_{n}$ +\end_inset + +. + En otro caso, como +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + solo cambia 3 elementos y +\begin_inset Formula $n\geq5$ +\end_inset + +, existe una transposición +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + disjunta con +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\sigma^{\beta}=\sigma$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\sigma^{\beta\alpha}=(\sigma^{\beta})^{\alpha}=\sigma^{\alpha}=\sigma'$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $\beta'\in A_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Queda probar que +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + contiene un +\begin_inset Formula $3$ +\end_inset + +-ciclo. + Sea +\begin_inset Formula $\sigma\in H\setminus1$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $r:=|M(\sigma)|$ +\end_inset + + mínimo, y queremos ver que +\begin_inset Formula $r=3$ +\end_inset + +. + No puede ser +\begin_inset Formula $r=1$ +\end_inset + + y, como +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + es par, tampoco puede ser +\begin_inset Formula $r=2$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $r\geq3$ +\end_inset + +. + Si suponemos +\begin_inset Formula $r>3$ +\end_inset + +, hay dos posibilidades: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Que en la factorización de +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + en ciclos disjuntos haya un ciclo de longitud al menos 3. + Entonces +\begin_inset Formula $M(\sigma)\geq5$ +\end_inset + +, pues de lo contrario, como en la factorización hay un ciclo de longitud + al menos 3, +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + sería un 4-ciclo y no estaría en +\begin_inset Formula $A_{n}\#$ +\end_inset + +. + Podemos suponer +\begin_inset Formula $1,2,3,4,5\in M(\sigma)$ +\end_inset + + y que algún ciclo de la descomposición es de la forma +\begin_inset Formula $(1\,2\,3\,\dots)$ +\end_inset + + con longitud al menos 3. + Sea +\begin_inset Formula $\alpha:=(3\,4\,5)\in A_{n}$ +\end_inset + +, por la normalidad de +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sigma^{\alpha}\in H$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\beta:=\sigma^{-1}\sigma^{\alpha}\in H$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\sigma(i)=i$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $i>5$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha(i)=i$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\beta(i)=i$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $M(\beta)\subseteq M(\sigma)$ +\end_inset + +, y la inclusión es estricta porque +\begin_inset Formula $\sigma(1)=2$ +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $\beta(1)=1$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\beta\in H$ +\end_inset + + cambia menos de +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + elementos, luego debe ser +\begin_inset Formula $\beta=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma^{\alpha}=\sigma$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\alpha\sigma=\sigma\alpha$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $(\alpha\sigma)(2)=4$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(\sigma\alpha)(2)=3\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Que +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + se un producto de 2 o más transposiciones disjuntas. + Podemos suponer +\begin_inset Formula $\sigma=(1\,2)(3\,4)\cdots$ +\end_inset + + (puede haber más transposiciones o no. + Sean +\begin_inset Formula $\alpha:=(3\,4\,5)\in A_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta:=\sigma^{-1}\sigma^{\alpha}\in H$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $i\neq5$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sigma(i)=i$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $i\neq3,4,5$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\alpha(i)=i$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\beta(i)=i$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $M(\beta)\subseteq M(\sigma)\cup\{5\}$ +\end_inset + +. + Pero 1 y 2 son fijados por +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + y movidos por +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + cambia menos de +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + elementos y por tanto +\begin_inset Formula $\beta=1$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\sigma\alpha=\alpha\sigma$ +\end_inset + +, sin embargo +\begin_inset Formula $(\sigma\alpha)(3)=3$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(\alpha\sigma)(3)=5\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_body +\end_document |