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@@ -161,5 +161,19 @@ filename "n1.lyx" \end_layout +\begin_layout Chapter +Superficies +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n2.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + \end_body \end_document diff --git a/gcs/n2.lyx b/gcs/n2.lyx new file mode 100644 index 0000000..8980526 --- /dev/null +++ b/gcs/n2.lyx @@ -0,0 +1,3896 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package 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+\begin_inset Formula $U\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + +, un entorno +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y un homeomorfismo +\begin_inset Formula $X:U\to V$ +\end_inset + + diferenciable con diferencial +\begin_inset Formula $dX(q)$ +\end_inset + + inyectiva para todo +\begin_inset Formula $q\in U$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es una +\series bold +parametrización +\series default +, +\series bold +carta +\series default + o +\series bold +sistema de coordenadas +\series default + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + es el +\series bold +entorno coordenado +\series default +. + También llamamos parametrización al par +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Que +\begin_inset Formula $dX(q)$ +\end_inset + + sea inyectiva equivale a que +\begin_inset Formula $X_{u}(q):=dX(q)(e_{1})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X_{v}(q):=dX(q)(e_{2})$ +\end_inset + + sean linealmente independientes, lo que equivale a que el jacobiano +\begin_inset Formula $JX(q)$ +\end_inset + + tenga rango máximo. +\end_layout + +\begin_layout Section +Criterios para determinar superficies +\end_layout + +\begin_layout Standard +Claramente, para +\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + +, si todo +\begin_inset Formula $p\in S$ +\end_inset + + tiene un entorno relativo +\begin_inset Formula $V\subseteq S$ +\end_inset + + que es una superficie, entonces +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es una superficie. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $U\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + abierto y +\begin_inset Formula $f:U\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + diferenciable, el +\series bold +grafo +\series default + +\begin_inset Formula $G(f):=\{(u,v,f(u,v))\}_{(u,v)\in U}$ +\end_inset + + es una superficie regular. + En efecto, +\begin_inset Formula $X:U\to G(f)$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$ +\end_inset + + es continua y su inversa es la proyección sobre el plano +\begin_inset Formula $XY$ +\end_inset + +, que es continua, luego +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un homeomorfismo, y es diferenciable con +\begin_inset Formula $X_{u}(u,v)=(1,0,\frac{\partial f}{\partial u}(u,v))$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X_{v}(u,v)=(0,1,\frac{\partial f}{\partial v}(u,v))$ +\end_inset + + linealmente independientes. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +TODO Recordatorio del teorema de la función implícita. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $V\subseteq\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + + abierto, +\begin_inset Formula $f:V\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + diferenciable y +\begin_inset Formula $p\in V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es un +\series bold +punto crítico +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $df(p)=0$ +\end_inset + +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $f(p)$ +\end_inset + + es un +\series bold +valor crítico +\series default +. + Un +\series bold +valor regular +\series default + es un +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + que no es crítico. + Entonces, si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es un valor regular de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, la +\series bold +superficie de nivel +\series default + +\begin_inset Formula $S:=f^{-1}(\{a\})$ +\end_inset + + es una superficie regular. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $p_{0}:=(x_{0},y_{0},z_{0})\in S$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $df(p_{0})\neq0$ +\end_inset + +, al menos una de las derivadas parciales no se anula. + Podemos suponer +\begin_inset Formula $\frac{\partial f}{\partial z}(p_{0})\neq0$ +\end_inset + +, y por el teorema de la función implícita, existen entornos +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $(x_{0},y_{0})$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $z_{0}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + y una +\begin_inset Formula $g:U\to I$ +\end_inset + + diferenciable tales que +\begin_inset Formula $g(x_{0},y_{0})=z_{0}$ +\end_inset + +; para +\begin_inset Formula $(x,y)\in U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(x,y,g(x,y))=a$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $(U\times I)\cap f^{-1}(a)=\{(u,v,g(u,v))\}_{(u,v)\in U}$ +\end_inset + +, y por la proposición anterior, +\begin_inset Formula $V:=(U\times I)\cap S=G(g)$ +\end_inset + + es una superficie regular. + Como esto ocurre para todo +\begin_inset Formula $p\in S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es una superficie regular. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage newpage +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados +\begin_inset Formula $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(a,b,c)\neq\mathbf{0}$ +\end_inset + +, el plano +\begin_inset Formula $\pi:=\{ax+by+cz=d\}$ +\end_inset + + es una superficie regular. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $f(x,y,z):=ax+by+cz$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $df(x,y,z)\equiv(a,b,c)$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es diferenciable sin puntos críticos y +\begin_inset Formula $\pi=\{f(x,y,z)=d\}$ +\end_inset + + es una superficie regular. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dados +\begin_inset Formula $a,b,c\in\mathbb{R}^{*}$ +\end_inset + +, el +\series bold +elipsoide +\series default + +\begin_inset Formula $E:=\{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\}$ +\end_inset + + es una superficie regular. + En particular +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{2}$ +\end_inset + + es una superficie regular. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $f(x,y,z):=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es diferenciable con +\begin_inset Formula $df(x,y,z)\equiv(\frac{2x}{a^{2}},\frac{2y}{b^{2}},\frac{2z}{c^{2}})$ +\end_inset + +, luego el único punto crítico de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es el origen y su único valor crítico es pues 0. + Por tanto +\begin_inset Formula $E=\{f(x,y,z)=1\}$ +\end_inset + + es una superficie regular. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +El +\series bold +hiperboloide de una hoja +\series default + +\begin_inset Formula $H:=\{x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\}$ +\end_inset + + y el +\series bold +hiperboloide de dos hojas +\series default + +\begin_inset Formula $H':=\{x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\}$ +\end_inset + + son superficies regulares +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +. + Estas son superficies de revolución resultantes de rotar la hipérbola +\begin_inset Formula $\{xy=1\}$ +\end_inset + + alrededor de uno de sus ejes de simetría, la recta +\begin_inset Formula $\{y=-x\}$ +\end_inset + +, en el caso de +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + +, o de la recta +\begin_inset Formula $\{y=x\}$ +\end_inset + +, en el caso de +\begin_inset Formula $H'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es diferenciable con +\begin_inset Formula $df(x,y,z)=(2x,2y,-2z)$ +\end_inset + +, luego el único punto crítico de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es el origen y su único valor crítico es 0, con lo que +\begin_inset Formula $H=\{f(x,y,z)=1\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $H'=\{f(x,y,z)=-1\}$ +\end_inset + + son superficies regulares. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +La recta +\begin_inset Formula $\ell_{1}:=\{y=-x\}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + tiene un vector ortogonal unitario +\begin_inset Formula $v_{1}:=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ +\end_inset + +, y dado un punto +\begin_inset Formula $p:=(x,\frac{1}{x})$ +\end_inset + + de la hipérbola, su simétrico por +\begin_inset Formula $\ell_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p_{1}:=p-2\langle p,v_{1}\rangle v_{1}=(x,\frac{1}{x})-(x+\frac{1}{x})(1,1)=(-\frac{1}{x},-x)$ +\end_inset + +, también está en la hipérbola, y +\begin_inset Formula $\ell_{1}$ +\end_inset + + es efectivamente un eje de simetría. + Análogamente, +\begin_inset Formula $v_{2}:=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ +\end_inset + + es unitario y ortogonal a +\begin_inset Formula $\ell_{2}:=\{y=x\}$ +\end_inset + +, y el simétrico de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\ell_{2}$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $p_{2}:=p-2\langle p,v_{2}\rangle v_{2}=(x,\frac{1}{x})-(x-\frac{1}{x})(1,-1)=(\frac{1}{x},x)$ +\end_inset + +, que también está en la hipérbola. +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +Finalmente, +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +TODO Ver que efectivamente salen las superficies buscadas. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dados +\begin_inset Formula $a>r>0$ +\end_inset + +, el toro +\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}:=\{(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}=r^{2}\}$ +\end_inset + + es una superficie regular, y se obtiene de girar sobre el eje +\begin_inset Formula $Z$ +\end_inset + + la circunferencia en el plano +\begin_inset Formula $YZ$ +\end_inset + + de radio +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + y centro +\begin_inset Formula $(0,a,0)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Dicha circunferencia es +\begin_inset Formula $S=\{x=0,(y-a)^{2}+z^{2}=r^{2}\}$ +\end_inset + +. + Dado un punto +\begin_inset Formula $(0,y,z)$ +\end_inset + + de la circunferencia, al girar el punto, se obtienen puntos +\begin_inset Formula $(x,y,z)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}$ +\end_inset + + constante y +\begin_inset Formula $z$ +\end_inset + + constante, y como la distancia del centro de rotación al centro de la circunfer +encia es siempre +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +, la ecuación que define el toro es +\begin_inset Formula $(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}=r^{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea ahora +\begin_inset Formula $f(x,y,z):=(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +df(x,y,z)\equiv\begin{pmatrix}2(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & 2(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & 2z\end{pmatrix}. +\] + +\end_inset + +Así, los puntos críticos cumplen +\begin_inset Formula $z=0$ +\end_inset + + y, bien +\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ +\end_inset + +, bien +\begin_inset Formula $x,y=0$ +\end_inset + +. + Los valores críticos son pues +\begin_inset Formula $f(0,0,0)=a^{2}$ +\end_inset + + y, para el caso +\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(x,y,0)=(\sqrt{a^{2}}-a)^{2}=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $S=\{f(x,y,z)=r^{2}\}$ +\end_inset + + es una superficie regular. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $U\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + abierto, +\begin_inset Formula $X:U\to S$ +\end_inset + + una función diferenciable con diferencial inyectiva en todo punto y +\begin_inset Formula $q_{0}\in U$ +\end_inset + +, existen un entorno +\begin_inset Formula $U'\subseteq U$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $q_{0}$ +\end_inset + + y una proyección +\begin_inset Formula $\pi:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + sobre uno de los planos coordenados de forma que +\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(\pi\circ X)(U')$ +\end_inset + + es un difeomorfismo. + +\series bold +Demostración: +\series default + Como +\begin_inset Formula $dX(q_{0})$ +\end_inset + + es inyectiva, +\begin_inset Formula $JX(q_{0})$ +\end_inset + + tiene un menor de orden 2 con determinante no nulo, que podemos suponer + que es el formado por las dos primeras filas, y tomamos correspondientemente + la proyección +\begin_inset Formula $\pi(x,y,z):=(x,y)$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula +\[ +d(\pi\circ X)(q_{0})=d\pi(X(q_{0}))\circ dX(q_{0})\equiv\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}(q_{0}) & \frac{\partial x}{\partial v}(q_{0})\\ +\frac{\partial y}{\partial u}(q_{0}) & \frac{\partial y}{\partial v}(q_{0}) +\end{pmatrix} +\] + +\end_inset + +es un isomorfismo de espacios vectoriales, y por el teorema de la función + inversa, existe un entorno +\begin_inset Formula $U'\subseteq U$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $q_{0}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $(\pi\circ X)(U')=:U''$ +\end_inset + + es abierto y +\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to U''$ +\end_inset + + es un difeomorfismo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados una superficie regular +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{0}\in S$ +\end_inset + +, existen un entorno +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $p_{0}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y una función +\begin_inset Formula $f:U\subseteq\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + diferenciable tales que +\begin_inset Formula $V\in\{\{z=f(x,y)\},\{y=f(x,z)\},\{x=f(y,z)\}\}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p_{0}\in V:=X(U)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $q_{0}:=X^{-1}(p_{0})$ +\end_inset + +, el resultado anterior nos da un entorno +\begin_inset Formula $U'\subseteq U$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $q_{0}$ +\end_inset + + y una proyección +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + en un plano coordenado (por ejemplo, el +\begin_inset Formula $XY$ +\end_inset + +) de forma que +\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U'':=(\pi\circ X)(U'))$ +\end_inset + + es un difeomorfismo. + Sea ahora +\begin_inset Formula $V:=X(U')$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\pi:V\to U''$ +\end_inset + + viene dada por la composición de funciones inyectivas +\begin_inset Formula $\pi=(\pi\circ X)\circ X^{-1}$ +\end_inset + + y por tanto es inyectiva con inversa dada por +\begin_inset Formula $\pi^{-1}(x,y,z)=(x,y,f(x,y,z))$ +\end_inset + + para algún +\begin_inset Formula $f:U''\to\mathbb{R}$ +\end_inset + +, que es diferenciable por ser la composición de funciones diferenciables + +\begin_inset Formula $\pi^{-1}=X\circ(\pi\circ X)^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El cono +\begin_inset Formula $C:=\{x^{2}+y^{2}=z^{2}\}$ +\end_inset + + no es una superficie regular. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + un entorno del +\begin_inset Formula $0\in C$ +\end_inset + +, que podemos tomar de la forma +\begin_inset Formula $B_{\infty}(0,r)$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $(\frac{r}{2},0,\frac{r}{2}),(-\frac{r}{2},0,\frac{r}{2})\in V\cap C$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $V\cap C$ +\end_inset + + no es un grafo en la coordenada +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +, y análogamente tampoco lo es en la coordenada +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + ni en la +\begin_inset Formula $z$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $C\setminus\{0\}$ +\end_inset + + sí es una superficie regular. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $df(x,y,z)\equiv(2x,2y,-2z)$ +\end_inset + +, luego el único punto crítico es 0 y, como este no está en el dominio, + +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + no tiene valores críticos, y +\begin_inset Formula $C\setminus\{0\}=\{f(x,y,z)=0\}$ +\end_inset + + es una superficie regular. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + una superficie regular, +\begin_inset Formula $U\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + un abierto no vacío y +\begin_inset Formula $X:U\subseteq\mathbb{R}^{2}\to S$ +\end_inset + + una función diferenciable inyectiva con diferencial inyectiva en todo punto, + entonces +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un homeomorfismo y por tanto una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $q_{0}\in U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{0}:=X(q_{0})$ +\end_inset + +, existen un entorno +\begin_inset Formula $U'\subseteq U$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $p_{0}$ +\end_inset + + y una proyección +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + en un plano coordenado de forma que +\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U'':=(\pi\circ X)(U'))$ +\end_inset + + es un homeomorfismo. + Como +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es inyectiva, +\begin_inset Formula $X:U'\to(V':=X(U'))$ +\end_inset + + es biyectiva, y queda ver que +\begin_inset Formula $X^{-1}:V'\to U'$ +\end_inset + + es continua, pero +\begin_inset Formula $X^{-1}=(\pi\circ X)^{-1}\circ\pi$ +\end_inset + + es composición de funciones continuas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $U:=(0,\pi)\times(0,2\pi)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{S}^{2}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi):=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X|_{U}$ +\end_inset + + es una parametrización de la esfera que cubre todo salvo el meridiano +\begin_inset Formula $\varphi=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M:=X([0,\pi],0)$ +\end_inset + +. + Llamamos +\series bold +colatitud +\series default + a +\begin_inset Formula $\theta$ +\end_inset + + y +\series bold +longitud +\series default + a +\begin_inset Formula $\varphi$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es diferenciable y, dado un +\begin_inset Formula $(\theta,\varphi)\in U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +JX(\theta,\varphi)=\begin{pmatrix}\cos\theta\cos\varphi & -\sin\theta\sin\varphi\\ +\cos\theta\sin\varphi & \sin\theta\cos\varphi\\ +-\sin\theta & 0 +\end{pmatrix}. +\] + +\end_inset + +Como +\begin_inset Formula $\sin\theta\neq0$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $\cos\varphi\neq0$ +\end_inset + +, el menor formado por las dos últimas filas tiene determinante +\begin_inset Formula $\sin^{2}\theta\cos\varphi\neq0$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $\cos\varphi=0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\sin\varphi\in\{\pm1\}$ +\end_inset + + y el menor resultante de eliminar la segunda fila tiene determinante +\begin_inset Formula $-\sin^{2}\theta\sin\varphi\neq0$ +\end_inset + +. + Por tanto +\begin_inset Formula $dX(\theta,\varphi)$ +\end_inset + + es inyectiva. + Además, dados +\begin_inset Formula $(\theta,\varphi),(\theta',\varphi')\in U$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi)=X(\theta',\varphi')$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\theta=\theta'$ +\end_inset + + porque el coseno es inyectivo en +\begin_inset Formula $(0,\pi)$ +\end_inset + +, pero entonces, como +\begin_inset Formula $\sin\theta\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(\cos\varphi,\sin\varphi)=(\cos\varphi',\sin\varphi')$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $\varphi,\varphi'\in(0,2\pi)$ +\end_inset + +, se tiene +\begin_inset Formula $\varphi=\varphi'$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X|_{U}$ +\end_inset + + es inyectiva. + Esto prueba que +\begin_inset Formula $X|_{U}$ +\end_inset + + es una parametrización. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Respecto a la imagen, es fácil ver que para cualesquiera +\begin_inset Formula $\theta,\varphi\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi)\in\mathbb{S}^{2}$ +\end_inset + +. + Para ver que ningún punto de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + está en la imagen, nótese que el argumento de inyectividad es aplicable + para todo +\begin_inset Formula $\varphi\in[0,2\pi)$ +\end_inset + + siempre que +\begin_inset Formula $\theta\in(0,\pi)$ +\end_inset + +, lo que nos deja solo con +\begin_inset Formula $X(0,0)=(0,0,1)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X(1,0)=(0,0,-1)$ +\end_inset + +, que no están en +\begin_inset Formula $X(U)$ +\end_inset + + porque los +\begin_inset Formula $(x,y,z)\in X(U)$ +\end_inset + + cumplen +\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=\sin^{2}\theta(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi)=\sin^{2}\theta>0$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Finalmente, dado +\begin_inset Formula $(x,y,z)\in\mathbb{S}^{2}\setminus M$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $\theta:=\arccos z$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\varphi:=\arccos\frac{x}{\sin\theta}=\arccos\frac{x}{\sqrt{1-z^{2}}}$ +\end_inset + + (usando que +\begin_inset Formula $\theta\neq\pm1$ +\end_inset + +), de modo que +\begin_inset Formula $\cos\theta=\cos\arccos z=z$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\sin\theta\cos\varphi=\sin\theta\cdot\frac{x}{\sin\theta}=x$ +\end_inset + +. + Entonces, si +\begin_inset Formula $y\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\sin\theta\sin\varphi=\sin\theta\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}=\sin\theta\sqrt{1-\frac{x^{2}}{1-z^{2}}}=\sin\theta\sqrt{\frac{1-z^{2}-x^{2}}{1-z^{2}}}=\sin\theta\frac{|y|}{\sin\theta}=y, +\] + +\end_inset + + por lo que +\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi)=(x,y,z)$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $y\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sin\theta\cos(2\pi-\varphi)=\sin\theta\cos\varphi=x$ +\end_inset + +, pero sin embargo +\begin_inset Formula $\sin\theta\sin(2\pi-\varphi)=-\sin\theta\sin\varphi=-\sin\theta\frac{|y|}{\sin\theta}=y$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi)=(x,y,z)$ +\end_inset + +. + Esto prueba la sobreyectividad. + +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $S:=\{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N:=(0,0,2)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\pi:S\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + la función que a cada +\begin_inset Formula $p\in S\setminus\{N\}$ +\end_inset + + le asocia la intersección del plano +\begin_inset Formula $XY$ +\end_inset + + con la recta que pasa por +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + +, llamada +\series bold +proyección estereográfica +\series default +. + Entonces +\begin_inset Formula $\pi^{-1}$ +\end_inset + + es una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Dado un +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{S}^{2}\setminus\{N\}$ +\end_inset + +, los puntos de +\begin_inset Formula $\overline{Np}$ +\end_inset + + son de la forma +\begin_inset Formula $(\mu x,\mu y,2+\mu(z-2))$ +\end_inset + +, para algún +\begin_inset Formula $\mu\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +. + Para el punto que corta al plano +\begin_inset Formula $XY$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $2+\mu(z-2)=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\mu=\frac{-2}{z-2}=\frac{2}{2-z}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula +\[ +\pi(x,y,z)=\left(\frac{2x}{2-z},\frac{2y}{2-z}\right). +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula +\[ +X(u,v):=\left(\frac{4u}{u^{2}+v^{2}+4},\frac{4v}{u^{2}+v^{2}+4},\frac{2(u^{2}+v^{2})}{u^{2}+v^{2}+4}\right), +\] + +\end_inset + +dado +\begin_inset Formula $(u,v)\in\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $(x,y,z):=X(u,v)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $2-z=2-\frac{2(u^{2}+v^{2})}{u^{2}+v^{2}+4}=\frac{2(u^{2}+v^{2}+4)-2(u^{2}+v^{2})}{u^{2}+v^{2}+4}=\frac{8}{u^{2}+v^{2}+4}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula +\[ +\pi(X(u,v))=\pi(x,y,z)=\left(\frac{\frac{8u}{u^{2}+v^{2}+4}}{\frac{8}{u^{2}+v^{2}+4}},\frac{\frac{8v}{u^{2}+v^{2}+4}}{\frac{8}{u^{2}+v^{2}+4}}\right)=(u,v). +\] + +\end_inset + +Recíprocamente, dado +\begin_inset Formula $(x,y,z)\in\mathbb{S}^{2}\setminus\{N\}$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $(u,v):=\pi(x,y,z)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +u^{2}+v^{2}+4 & =\left(\frac{2x}{2-z}\right)^{2}+\left(\frac{2y}{2-z}\right)^{2}+4=\frac{4(x^{2}+y^{2})+4(2-z)^{2}}{(2-z)^{2}}\\ + & =\frac{4(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z+4)}{(2-z)^{2}}=\frac{4(x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}-2z+3)}{(2-z)^{2}}\\ + & =\frac{4(4-2z)}{(2-z)^{2}}=\frac{8}{2-z}, +\end{align*} + +\end_inset + +luego +\begin_inset Formula +\begin{align*} +X(\pi(x,y,z)) & =X(u,v)=\left(\frac{4\frac{2x}{2-z}}{\frac{8}{2-z}},\frac{4\frac{2x}{2-z}}{\frac{8}{2-z}},\frac{2\frac{4x^{2}+4y^{2}}{(2-z)^{2}}}{\frac{8}{2-z}}\right)=\left(x,y,\frac{x^{2}+y^{2}}{2-z}\right)\\ + & =\left(x,y,\frac{1-(z-1)^{2}}{2-z}\right)=\left(x,y,\frac{2z-z^{2}}{2-z}\right)=(x,y,z). +\end{align*} + +\end_inset + +Esto prueba que +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + son una inversa de la otra. + Además, +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula +\begin{align*} +JX(u,v) & =\begin{pmatrix}\frac{4(u^{2}+v^{2}+4)-8u^{2}}{(u^{2}+v^{2}+4)^{2}} & \frac{-8uv}{(u^{2}+v^{2}+4)^{2}}\\ +\frac{-8uv}{(u^{2}+v^{2}+4)^{2}} & \frac{4(u^{2}+v^{2}+4)-8v^{2}}{(u^{2}+v^{2}+4)^{2}}\\ +\frac{4u(u^{2}+v^{2}+4)-4u(u^{2}+v^{2})}{(u^{2}+v^{2}+4)^{2}} & \frac{4v(u^{2}+v^{2}+4)-4v(u^{2}+v^{2})}{(u^{2}+v^{2}+4)^{2}} +\end{pmatrix}\\ + & =\frac{4}{(u^{2}+v^{2}+4)^{2}}\begin{pmatrix}-u^{2}+v^{2}+4 & -2uv\\ +-2uv & u^{2}-v^{2}+4\\ +4u & 4v +\end{pmatrix}. +\end{align*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si tomamos la submatriz formada por las dos últimas filas, el determinante + es +\begin_inset Formula +\begin{multline*} +\frac{4}{(u^{2}+v^{2}+4)^{2}}\begin{vmatrix}-2uv & u^{2}-v^{2}+4\\ +4u & 4v +\end{vmatrix}=\frac{64u}{(u^{2}+v^{2}+4)^{4}}\begin{vmatrix}-2v & u^{2}-v^{2}+4\\ +1 & v +\end{vmatrix}=\\ +=\frac{64u}{(u^{2}+v^{2}+4)^{4}}(-2v^{2}-u^{2}+v^{2}-4)=\frac{-64u}{(u^{2}+v^{2}+4)^{3}}, +\end{multline*} + +\end_inset + +que es no nulo si y sólo si +\begin_inset Formula $u\neq0$ +\end_inset + +. + Cuando +\begin_inset Formula $u=0$ +\end_inset + +, tomamos la submatriz formada por la primera y tercera filas, con determinante +\begin_inset Formula +\[ +\frac{16}{(v^{2}+4)^{4}}\begin{vmatrix}v^{2}+4 & 0\\ +0 & 4v +\end{vmatrix}=\frac{64v}{(v^{2}+4)^{3}}, +\] + +\end_inset + +que es no nulo si y sólo +\begin_inset Formula $v\neq0$ +\end_inset + +. + Finalmente, cuando +\begin_inset Formula $u,v=0$ +\end_inset + +, la submatriz formada por las dos primeras filas tiene determinante +\begin_inset Formula +\[ +\frac{16}{256}\begin{vmatrix}4 & 0\\ +0 & 4 +\end{vmatrix}=1\neq0, +\] + +\end_inset + +por lo que en ningún punto se anulan los 3 determinantes simultáneamente + y +\begin_inset Formula $JX(u,v)$ +\end_inset + + tiene rango máximo. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Funciones diferenciables en superficies +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + una superficie regular y +\begin_inset Formula $(U_{1},X_{1})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(U_{2},X_{2})$ +\end_inset + + parametrizaciones con +\begin_inset Formula $V:=X_{1}(U_{1})\cap X_{2}(U_{2})\neq\emptyset$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +cambio de coordenadas +\series default + de +\begin_inset Formula $X_{1}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $X_{2}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $F:=X_{2}^{-1}\circ X_{1}:X_{1}^{-1}(V)\to X_{2}^{-1}(V)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + es un difeomorfismo. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $F:=X_{2}^{-1}\circ X_{1}$ +\end_inset + +. + Dados +\begin_inset Formula $p\in V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(V)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(p)$ +\end_inset + +, existe un entorno +\begin_inset Formula $U'_{2}\subseteq X_{2}^{-1}(V)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $q_{2}$ +\end_inset + + y una proyección +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + sobre un plano coordenado de forma que +\begin_inset Formula $\pi\circ X_{2}|_{U'_{2}}$ +\end_inset + + es un difeomorfismo. + Como +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + es un homeomorfismo y +\begin_inset Formula $F(q_{1})=q_{2}\in U'_{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $U'_{1}:=F^{-1}(U'_{2})$ +\end_inset + + es un entorno de +\begin_inset Formula $q_{1}$ +\end_inset + +, por lo que para +\begin_inset Formula $q\in U'_{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $((\pi\circ X_{2})\circ F)(q)=(\pi\circ X_{2}\circ X_{2}^{-1}\circ X_{1})(q)=(\pi\circ X_{1})(q)$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $F|_{U'_{1}}=(\pi\circ X_{2})^{-1}\circ\pi\circ X_{1}$ +\end_inset + +, que es diferenciable por ser composición de funciones diferenciables, + y como +\begin_inset Formula $q_{1}$ +\end_inset + + es arbitrario, +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + es diferenciable en todo +\begin_inset Formula $X_{1}^{-1}(V)$ +\end_inset + +. + Por simetría, +\begin_inset Formula $F^{-1}=X_{1}\circ X_{2}^{-1}$ +\end_inset + + también es diferenciable, luego +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + es un difeomorfismo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una función +\begin_inset Formula $f:S\to\mathbb{R}^{m}$ +\end_inset + + es +\series bold +diferenciable +\series default + en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + si para toda parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f\circ X$ +\end_inset + + es diferenciable en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +, si y sólo si para todo +\begin_inset Formula $p\in S$ +\end_inset + + existe una parametrización +\begin_inset Formula $(U_{p},X_{p})$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p\in X_{p}(U_{p})$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $f\circ X_{p}$ +\end_inset + + es diferenciable en +\begin_inset Formula $U_{p}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Obvio. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + una parametrización cualquiera en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $q\in U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p:=X(q)$ +\end_inset + +, existe una parametrización +\begin_inset Formula $(U_{p},X_{p})$ +\end_inset + + que cumple las condiciones. + Sean +\begin_inset Formula $q':=U_{p}^{-1}(p)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V:=X(U)\cap X_{p}(U_{p})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f\circ X|_{X^{-1}(V)}=(f\circ X_{p})\circ(X_{p}^{-1}\circ X)|_{X^{-1}(V)}$ +\end_inset + +, que es composición de funciones diferenciables, luego +\begin_inset Formula $f\circ X$ +\end_inset + + es diferenciable en +\begin_inset Formula $X^{-1}(V)$ +\end_inset + +, que contiene a +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + +, y por ser +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + arbitrario, es diferenciable en todo +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Propiedades +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + una superficie regular y +\begin_inset Formula $f:S\to\mathbb{R}^{m}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si existen +\begin_inset Formula $W\subseteq\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + + abierto con +\begin_inset Formula $S\subseteq W$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}:W\to\mathbb{R}^{m}$ +\end_inset + + diferenciable con +\begin_inset Formula $\tilde{f}|_{S}=f$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es diferenciable. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f\circ X=\tilde{f}\circ X:U\to\mathbb{R}^{m}$ +\end_inset + + es diferenciable por ser composición de funciones diferenciables. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es diferenciable, es continua. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $p\in S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p\in X(U)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f\circ X$ +\end_inset + + es diferenciable y por tanto continua, pero como +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un homeomorfismo, +\begin_inset Formula $X^{-1}$ +\end_inset + + es continua y +\begin_inset Formula $f=(f\circ X)\circ X^{-1}$ +\end_inset + + es continua en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es arbitrario, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es continua en todo +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f=:(f_{1},\dots,f_{m})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es diferenciable si y sólo si cada +\begin_inset Formula $f_{i}$ +\end_inset + + lo es. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Dada una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $f\circ X$ +\end_inset + + es diferenciable, cada +\begin_inset Formula $(f\circ X)_{i}=f_{i}\circ X$ +\end_inset + + también. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Dada una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + +, como cada +\begin_inset Formula $f_{i}\circ X=(f\circ X)_{i}$ +\end_inset + + es diferenciable, +\begin_inset Formula $f\circ X$ +\end_inset + + también lo es. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f_{1},f_{2}:S\to\mathbb{R}^{m}$ +\end_inset + + son diferenciables, +\begin_inset Formula $f_{1}+f_{2}$ +\end_inset + + también lo es. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Dada una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f_{1}\circ X$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f_{2}\circ X$ +\end_inset + + son diferenciables, luego +\begin_inset Formula $(f_{1}\circ X)+(f_{2}\circ X)=(f_{1}+f_{2})\circ X$ +\end_inset + + también. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g:S\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + son diferenciables, +\begin_inset Formula $fg$ +\end_inset + + también. + Si además +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + no se anula, +\begin_inset Formula $f/g$ +\end_inset + + es diferenciable. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Dada una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f\circ X$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g\circ X$ +\end_inset + + son diferenciables, luego +\begin_inset Formula $(f\circ X)(g\circ X)=(fg)\circ X$ +\end_inset + + también y, si +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + no se anula, +\begin_inset Formula $(f\circ X)/(g\circ X)=(f/g)\circ X$ +\end_inset + + también. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + una superficie regular y +\begin_inset Formula $p_{0}\in\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(p):=|p-p_{0}|^{2}$ +\end_inset + + es diferenciable en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +, pero la función distancia, +\begin_inset Formula $g(p):=|p-p_{0}|$ +\end_inset + +, es diferenciable en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $p_{0}\notin S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Como +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es polinómica, es diferenciable en todo +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + + y por tanto en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + es diferenciable en todo +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}\setminus\{p_{0}\}$ +\end_inset + +, luego lo es en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $p_{0}\notin S$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $p_{0}\in S$ +\end_inset + +, dada una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p_{0}\in X(U)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(g\circ X)(q)=|X(q)-p_{0}|=|X(q)-X(q_{0})|$ +\end_inset + + para algún +\begin_inset Formula $q_{0}\in U$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\frac{\partial(g\circ X)}{\partial q}=\frac{\sum_{i=1}^{3}(X_{i}(q)-X_{i}(q_{0}))X'_{i}(q)}{|X(q)-X(q_{0})|}$ +\end_inset + +, que no está definida en +\begin_inset Formula $q_{0}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dado un vector +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + unitario, la +\series bold +función altura +\series default +, +\begin_inset Formula $h(p):=\langle p,v\rangle$ +\end_inset + +, representa la distancia de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + al plano ortogonal a +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + por el origen y es diferenciable en toda superficie regular +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Por ser +\begin_inset Formula $h$ +\end_inset + + polinómica y por tanto diferenciable en todo +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Subsection +Funciones diferenciables entre dos superficies +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dadas dos superficies +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $F:S_{1}\to S_{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + es diferenciable si y sólo si para cualesquiera parametrizaciones +\begin_inset Formula $(U_{1},X_{1})$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(U_{2},X_{2})$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $F(X_{1}(U_{1}))\cap X_{2}(U_{2})\neq\emptyset$ +\end_inset + +, la +\series bold +expresión en coordenadas +\series default + de +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}$ +\end_inset + +, es diferenciable en su dominio. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Queremos ver que +\begin_inset Formula $F:S_{1}\to\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + + es diferenciable. + Dados +\begin_inset Formula $p\in S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(U_{1},X_{1})$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p\in X_{1}(U_{1})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(U_{2},X_{2})$ +\end_inset + + una de +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $F(p)\in X_{2}(U_{2})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}$ +\end_inset + + es diferenciable en su dominio +\begin_inset Formula $U:=U_{1}\cap X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}^{-1}(U_{2})))$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $F\circ X_{1}|_{U}=X_{2}\circ X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}|_{U}=X_{2}\circ\tilde{F}$ +\end_inset + + también lo es y la parametrización +\begin_inset Formula $(U,X_{1}|_{U})$ +\end_inset + + cubre a +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y cumple las condiciones. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $(U_{1},X_{1})$ +\end_inset + + es una parametrización de +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $G:=F\circ X_{1}:U_{1}\to S_{2}$ +\end_inset + + es diferenciable. + Sea entonces +\begin_inset Formula $(U_{2},X_{2})$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $G(U_{1})\cap X_{2}(U_{2})\neq\emptyset$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + es continua, el dominio de la expresión en coordenadas +\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ G$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $U:=U_{1}\cap G^{-1}(X_{2}(U_{2}))$ +\end_inset + +, es un abierto no vacío. + Queremos ver que +\begin_inset Formula $\tilde{F}:U\to U_{2}$ +\end_inset + + es diferenciable. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para cada +\begin_inset Formula $q\in U$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $p:=G(q)\in V_{2}$ +\end_inset + +, existe una parametrización +\begin_inset Formula $(U_{p},X_{p})$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p\in V_{p}:=X_{p}(U_{p})$ +\end_inset + + de tipo grafo, por ejemplo de la forma +\begin_inset Formula $X_{p}(u,v)=(u,v,f(u,v))$ +\end_inset + + para una cierta +\begin_inset Formula $f:U_{p}\to\mathbb{R}$ +\end_inset + +, y podemos suponer +\begin_inset Formula $V_{p}\subseteq V_{2}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula +\[ +\tilde{F}|_{G^{-1}(V_{p})}=X_{2}^{-1}\circ G=(X_{2}^{-1}\circ X_{p})\circ X_{p}^{-1}\circ G|_{G^{-1}(V_{p})}, +\] + +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $X_{2}^{-1}\circ X_{p}$ +\end_inset + + es diferenciable por ser un cambio de coordenadas, +\begin_inset Formula $X_{p}^{-1}$ +\end_inset + + lo es por ser una proyección ortogonal en un plano coordenado y +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + lo es por hipótesis. + Como +\begin_inset Formula $q\in G^{-1}(V_{p})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + es arbitrario, +\begin_inset Formula $\tilde{F}$ +\end_inset + + es diferenciable en todo +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + son superficies regulares, +\begin_inset Formula $F:S_{1}\to S_{2}$ +\end_inset + + es diferenciable si y sólo si para todo +\begin_inset Formula $p\in S_{1}$ +\end_inset + + existen parametrizaciones +\begin_inset Formula $(U_{1},X_{1})$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(U_{2},X_{2})$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $F(p)$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}$ +\end_inset + + es diferenciable en su dominio. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Consecuencia directa del resultado anterior. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Dado +\begin_inset Formula $p\in S_{1}$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $(U_{1},X_{1})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(U_{2},X_{2})$ +\end_inset + + las parametrizaciones mencionadas y +\begin_inset Formula $U:=X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}(U_{2})))$ +\end_inset + +, que es abierto, entonces +\begin_inset Formula $F\circ X_{1}|_{U}=X_{2}\circ(X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1})|_{U}$ +\end_inset + + es diferenciable por ser composición de diferenciables, luego +\begin_inset Formula $(U,X_{1}|_{U})$ +\end_inset + + es una parametrización de +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $F\circ X_{1}$ +\end_inset + + diferenciable. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Difeomorfismos entre superficies +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dadas dos superficies regulares +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F:S_{1}\to S_{2}$ +\end_inset + + es un +\series bold +difeomorfismo +\series default + si una biyección diferenciable con inversa +\begin_inset Formula $S_{2}\to S_{1}$ +\end_inset + + diferenciable. + +\begin_inset Formula $S_{1}$ +\end_inset + + es +\series bold +difeomorfa +\series default + a +\begin_inset Formula $S_{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S_{1}\approx S_{2}$ +\end_inset + +, si existe un difeomorfismo entre ellas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dadas dos variedades diferenciales +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es +\series bold +localmente difeomorfa +\series default + a +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + si todo +\begin_inset Formula $x\in X$ +\end_inset + + tiene un entorno difeomorfo a un abierto de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + +. + Dada una superficie regular +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + con una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X:U\to X(U)$ +\end_inset + + es un difeomorfismo, y en particular +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es localmente difeomorfa a un plano. + +\series bold +Demostración: +\series default + Tomamos el plano +\begin_inset Formula $\pi:=\mathbb{R}^{2}\times\{0\}$ +\end_inset + +. + Dados +\begin_inset Formula $p\in S$ +\end_inset + +, una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $V:=X(U)$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i:\mathbb{R}^{2}\to\pi$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $i(u,v):=(u,v,0)$ +\end_inset + +, tomamos +\begin_inset Formula $f:=i\circ X^{-1}:V\to i(U)$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $f^{-1}=X\circ\pi_{z}|_{i(U)}$ +\end_inset + + es una biyección diferenciable por ser composición de biyecciones diferenciable +s, queda ver que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es diferenciable, pero tomando la parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f\circ X=i:U\to i(U)$ +\end_inset + + es diferenciable. +\end_layout + +\begin_layout Section +Plano tangente +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + una superficie regular, +\begin_inset Formula $\alpha:I\to S$ +\end_inset + + una curva diferenciable, +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\alpha(I)\cap(V:=X(U))\neq\emptyset$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $J:=\{t\in I:\alpha(t)\in V\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:J\to U$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t):=X^{-1}(\alpha(t))$ +\end_inset + + es una curva en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + llamada +\series bold +expresión en coordenadas +\series default + de +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + una superficie regular y +\begin_inset Formula $p\in S$ +\end_inset + +, un +\begin_inset Formula $v\in\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + + es un +\series bold +vector tangente +\series default + a +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + si existe una curva diferenciable +\begin_inset Formula $\alpha:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\alpha(0)=p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha'(0)=v$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +plano tangente +\series default + a +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $T_{p}S$ +\end_inset + +, al conjunto de vectores tangentes a +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +. + Dados una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $T_{p}S=dX(q)(\mathbb{R}^{2})$ +\end_inset + +, un plano vectorial en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + + del que +\begin_inset Formula $\{X_{u}(q),X_{v}(q)\}$ +\end_inset + + es una base. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $v\in dX(q)(\mathbb{R}^{2})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $w\in\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $v=dX(q)(w)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t):=q+tw$ +\end_inset + + definida en un entorno de la forma +\begin_inset Formula $(-\varepsilon,\varepsilon)$ +\end_inset + + con imagen en +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha:=X\circ\tilde{\alpha}:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + es una curva diferenciable con +\begin_inset Formula $\alpha(0)=p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha'(0)=dX(\tilde{\alpha}(0))(\tilde{\alpha}'(0))=dX(q)(w)=v$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $v\in T_{p}S$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $v\in T_{p}S$ +\end_inset + +, existe una curva diferenciable +\begin_inset Formula $\alpha:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\alpha(0)=p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha'(0)=v$ +\end_inset + + con expresión en coordenadas +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:J\subseteq I\to U$ +\end_inset + +, pero entonces +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(0)=X^{-1}(\alpha(0))=q$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $dX(q)(\tilde{\alpha}'(0))=dX(\tilde{\alpha}(0))(\tilde{\alpha}'(0))=(X\circ\tilde{\alpha})'(0)=\alpha'(0)=v$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $v\in dX(q)(\mathbb{R}^{2})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +recta normal +\series default + a una superficie regular +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en un punto +\begin_inset Formula $p\in S$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $(T_{p}S)^{\bot}$ +\end_inset + +. + Entonces el +\series bold +vector normal +\series default + ( +\series bold +unitario +\series default +) a +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es un vector unitario +\begin_inset Formula $N(p)$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $(T_{p}S)^{\bot}=\text{span}\{N(p)\}$ +\end_inset + +, unívocamente determinado salvo el signo, y dado por +\begin_inset Formula +\[ +N(X(q))=\pm\frac{X_{u}(q)\wedge X_{v}(q)}{|X_{u}(q)\wedge X_{v}(q)|}. +\] + +\end_inset + +Tomando signo positivo, la base +\begin_inset Formula $\{X_{u}(q),X_{v}(q),N(q)\}$ +\end_inset + + está orientada positivamente. +\end_layout + +\begin_layout Section +Primera forma fundamental +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados una superficie regular +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p\in S$ +\end_inset + +, definimos el producto escalar +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{p}:=\langle\cdot,\cdot\rangle|_{T_{p}S}$ +\end_inset + + como el producto escalar usual restringido al plano tangente. + Llamamos +\series bold +primera forma fundamental +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula ${\cal I}_{p}:T_{p}S\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula ${\cal I}_{p}(v):=\langle v,v\rangle_{p}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +coeficientes de la primera forma fundamental +\series default + de una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $E:=\langle X_{u},X_{u}\rangle$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F:=\langle X_{u},X_{v}\rangle$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $G:=\langle X_{v},X_{v}\rangle$ +\end_inset + +, de modo que para +\begin_inset Formula $q\in U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p:=X(q)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $w\in T_{p}S$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $u,v\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + son tales que +\begin_inset Formula $w=uX_{u}(q)+vX_{v}(q)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula +\[ +{\cal I}_{p}(v)=u^{2}E(q)+2uvF(q)+v^{2}G(q). +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $U\subseteq\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + abierto, +\begin_inset Formula $f:U\to\mathbb{R}^{2}$ +\end_inset + + diferenciable, +\begin_inset Formula $S:=G(f)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + la parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f_{u}:=\frac{\partial f}{\partial u}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f_{v}:=\frac{\partial f}{\partial v}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $E=1+f_{u}^{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F=f_{u}f_{v}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $G=1+f_{v}^{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $X_{u}=(1,0,f_{u})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X_{v}=(0,1,f_{v})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $p,v,w\in\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $S:=p+\langle v,w\rangle$ +\end_inset + + un plano y +\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{2},X)$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $X(t,u)=p+tv+uw$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $E=|v|^{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F=\langle v,w\rangle$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $G=|w|^{2}$ +\end_inset + +. + En particular, si +\begin_inset Formula $(v,w)$ +\end_inset + + es una base ortonormal, +\begin_inset Formula $E=G=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $F=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $X_{u}=(v_{1},v_{2},v_{3})=v$ +\end_inset + + y, análogamente, +\begin_inset Formula $X_{v}=w$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dados +\begin_inset Formula $r>0$ +\end_inset + +, el cilindro +\begin_inset Formula $C:=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$ +\end_inset + + y la parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $U:=(0,2\pi)\times\mathbb{R}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X(u,v):=(r\cos u,r\sin u,v)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $E=r^{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $G=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $X_{u}=(-r\sin u,r\cos u,0)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X_{v}=(0,0,v)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $a>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha(u):=(\cos u,\sin u,au)$ +\end_inset + +, el +\series bold +helicoide +\series default + es la superficie regular obtenida de trazar, desde cada punto de +\begin_inset Formula $\alpha(\mathbb{R})$ +\end_inset + +, una recta paralela al plano +\begin_inset Formula $XY$ +\end_inset + + que pasa por el eje +\begin_inset Formula $Z$ +\end_inset + +. + Una parametrización es pues +\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{2},X)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $X(u,v):=(v\cos u,v\sin u,au)$ +\end_inset + +, y entonces +\begin_inset Formula $E=a^{2}+v^{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $G=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $X_{u}=(-v\sin u,v\cos u,a)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X_{v}=(\cos u,\sin u,0)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + una superficie regular, +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + los coeficientes de su primera forma fundamental: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $E,G>0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $X_{u},X_{v}\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $EG-F^{2}=|X_{u}\land X_{v}|^{2}>0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $|X_{u}\land X_{v}|^{2}+\langle X_{u},X_{v}\rangle^{2}=|X_{u}|^{2}|X_{v}|^{2}\sin^{2}\theta+|X_{u}|^{2}|X_{v}|^{2}\cos^{2}\theta=|X_{u}|^{2}|X_{v}|^{2}$ +\end_inset + + para un cierto ángulo +\begin_inset Formula $\theta$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $EG-F^{2}=|X_{u}|^{2}|X_{v}|^{2}-\langle X_{u},X_{v}\rangle^{2}=|X_{u}\land X_{v}|^{2}>0$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $X_{u}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X_{v}$ +\end_inset + + son linealmente independientes. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Subsection +Elemento de arco +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + una superficie regular, +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\alpha:I\to X(U)$ +\end_inset + + una curva con +\begin_inset Formula $0\in I$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=(u,v):I\to U$ +\end_inset + + su expresión en coordenadas y +\begin_inset Formula $s(t):=L_{0}^{t}(\alpha)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\dot{s}^{2}(t)=E(\tilde{\alpha}(t))\dot{u}^{2}(t)+2F(\tilde{\alpha}(t))\dot{u}(t)\dot{v}(t)+G(\tilde{\alpha}(t))\dot{v}^{2}(t)$ +\end_inset + +, lo que suele escribirse como +\begin_inset Formula +\[ +(ds)^{2}=E(du)^{2}+2Fdudv+G(dv)^{2}, +\] + +\end_inset + +y se dice que +\begin_inset Formula $ds$ +\end_inset + + es el +\series bold +elemento de arco +\series default + o +\series bold +de línea +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +. + En efecto, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +s(t) & =\int_{0}^{t}|\alpha'(r)|dr=\int_{0}^{t}\sqrt{{\cal I}_{\alpha(r)}(\alpha'(r))}dr\\ + & =\int_{0}^{t}\sqrt{E(\tilde{\alpha}(r))u'(r)^{2}+2F(\tilde{\alpha}(r))u'(r)v'(r)+G(\tilde{\alpha}(r))v'(r)^{2}}dr. +\end{align*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Parametrizaciones ortogonales +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + una superficie regular, +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + una parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(u_{0},v_{0})\in U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha:I\to S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta:J\to S$ +\end_inset + + las +\series bold +curvas coordenadas +\series default + para +\begin_inset Formula $(u_{0},v_{0})$ +\end_inset + +, dadas por +\begin_inset Formula $\alpha(u):=X(u,v_{0})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta(v):=X(u_{0},v)$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $E$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + son los coeficientes de la primera forma fundamental, +\begin_inset Formula $\alpha$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset + + se cortan en +\begin_inset Formula $X(u_{0},v_{0})$ +\end_inset + + formando un ángulo +\begin_inset Formula +\[ +\theta:=\arccos\frac{F}{\sqrt{EG}}. +\] + +\end_inset + +Así, estas curvas son ortogonales si y sólo si +\begin_inset Formula $F=0$ +\end_inset + +, y si esto ocurre en todo +\begin_inset Formula $(u_{0},v_{0})\in U$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es una +\series bold +parametrización ortogonal +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Áreas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +región +\series default + de una superficie regular +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es un subconjunto +\begin_inset Formula $R\subseteq S$ +\end_inset + + conexo y relativamente compacto tal que cada componente conexa de su frontera + es una curva regular salvo en un número finito de puntos y homeomorfa a + +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + es una región de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + tal que existe una parametrización +\begin_inset Formula $(U,X)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $R\subseteq X(U)$ +\end_inset + +, definimos el +\series bold +área +\series default + de +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula +\[ +A(R):=\int_{X^{-1}(R)}|X_{u}\wedge X_{v}|du\,dv=\int_{X^{-1}(R)}\sqrt{EG-F^{2}}du\,dv. +\] + +\end_inset + +El área no depende de la parametrización. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $(\overline{U},\overline{X})$ +\end_inset + + otra parametrización de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $R\subseteq\overline{X}(\overline{U})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $h:=(\overline{u},\overline{v}):=\overline{X}^{-1}\circ X$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $X(u,v)=\overline{X}(\overline{u}(u,v),\overline{v}(u,v))$ +\end_inset + +, se tiene +\begin_inset Formula $X_{u}=\overline{X}_{u}\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}+\overline{X}_{v}\frac{\partial\overline{v}}{\partial u}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X_{v}=\overline{X}_{u}\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}+\overline{X}_{v}\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}$ +\end_inset + +, y usando la antisimetría del producto vectorial, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +X_{u}\land X_{v} & =\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}(\overline{X}_{u}\land\overline{X}_{v})+\frac{\partial\overline{v}}{\partial u}\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}(\overline{X}_{v}\wedge\overline{X}_{u})\\ + & =\left(\frac{\partial\overline{u}}{\partial u}\frac{\partial\overline{v}}{\partial v}-\frac{\partial\overline{v}}{\partial u}\frac{\partial\overline{u}}{\partial v}\right)(\overline{X}_{u}\land\overline{X}_{v})=\det(Jh)(\overline{X}_{u}\land\overline{X}_{v}). +\end{align*} + +\end_inset + +Por tanto +\begin_inset Formula $|\overline{X}_{u}\wedge\overline{X}_{v}|=|\det(Jh)|^{-1}|X_{u}\wedge X_{v}|=|\det(Jh^{-1})||X_{u}\land X_{v}|$ +\end_inset + +, y entonces, por el teorema del cambio de variable, +\begin_inset Formula +\[ +\iint_{\overline{X}^{-1}(R)}|\overline{X}_{u}\land\overline{X}_{v}|d\overline{u}\,d\overline{v}=\iint_{\overline{X}^{-1}(R)}|X_{u}\wedge X_{v}||\det(Jh^{-1})|d\overline{u}\,d\overline{v}=\iint_{X^{-1}(R)}|X_{u}\wedge X_{v}|du\,dv. +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +TODO Toro de revolución +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document |