aboutsummaryrefslogtreecommitdiff
path: root/gcs
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Diffstat (limited to 'gcs')
-rw-r--r--gcs/n1.lyx108
-rw-r--r--gcs/n2.lyx236
-rw-r--r--gcs/n3.lyx140
3 files changed, 242 insertions, 242 deletions
diff --git a/gcs/n1.lyx b/gcs/n1.lyx
index 75dd0c2..d5a87e7 100644
--- a/gcs/n1.lyx
+++ b/gcs/n1.lyx
@@ -119,7 +119,7 @@ vector tangente
\end_inset
a
-\begin_inset Formula $\alpha':=(\alpha_{1}',\dots,\alpha_{n}'):I\to\mathbb{R}^{n}$
+\begin_inset Formula $\alpha'\coloneqq (\alpha_{1}',\dots,\alpha_{n}'):I\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
.
@@ -140,7 +140,7 @@ alabeada
hélice cilíndrica
\series default
,
-\begin_inset Formula $\alpha(t):=(a\cos t,a\sin t,bt)$
+\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq (a\cos t,a\sin t,bt)$
\end_inset
para ciertos
@@ -215,7 +215,7 @@ cambio de parámetro
\end_inset
, y si tenemos una curva
-\begin_inset Formula $\alpha:=I\to\mathbb{R}^{n}$
+\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq I\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
, llamamos
@@ -231,7 +231,7 @@ reparametrización
\end_inset
a la curva
-\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h:J\to\mathbb{R}^{n}$
+\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h:J\to\mathbb{R}^{n}$
\end_inset
.
@@ -300,7 +300,7 @@ Sean
\end_inset
, y una partición
-\begin_inset Formula $P:=\{a=t_{0}<\dots<t_{m}=b\}$
+\begin_inset Formula $P\coloneqq \{a=t_{0}<\dots<t_{m}=b\}$
\end_inset
, llamamos
@@ -316,7 +316,7 @@ longitud
\end_inset
a
-\begin_inset Formula $L(\alpha,P):=\sum_{k=1}^{m}|\alpha(t_{k})-\alpha(t_{k-1})|$
+\begin_inset Formula $L(\alpha,P)\coloneqq \sum_{k=1}^{m}|\alpha(t_{k})-\alpha(t_{k-1})|$
\end_inset
, y longitud de
@@ -375,7 +375,7 @@ L_{a}^{b}(\alpha)=\int_{a}^{b}|\alpha'(t)|dt.
Demostración:
\series default
Sea
-\begin_inset Formula $P:=\{a=t_{0}<\dots<t_{m}=b\}\in{\cal P}[a,b]$
+\begin_inset Formula $P\coloneqq \{a=t_{0}<\dots<t_{m}=b\}\in{\cal P}[a,b]$
\end_inset
, por el teorema de los valores intermedios, en cada
@@ -391,7 +391,7 @@ Demostración:
\end_inset
, luego si
-\begin_inset Formula $f(s_{1},\dots,s_{n}):=|(\alpha'_{1}(s_{1}),\dots,\alpha'_{n}(s_{n}))|$
+\begin_inset Formula $f(s_{1},\dots,s_{n})\coloneqq |(\alpha'_{1}(s_{1}),\dots,\alpha'_{n}(s_{n}))|$
\end_inset
,
@@ -490,7 +490,7 @@ Con esto, la longitud de una curva es independiente de su parametrización,
\end_inset
es un cambio de parámetro que conserva la orientación y
-\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$
+\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$
\end_inset
,
@@ -556,7 +556,7 @@ p.p.a.
\end_inset
es un cambio de parámetro tal que
-\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$
+\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$
\end_inset
es p.p.a,
@@ -724,7 +724,7 @@ g(t):=\int_{t_{0}}^{t}|\alpha'(u)|du=L_{t_{0}}^{t}(\alpha),
\end_inset
, luego por el teorema de la función inversa,
-\begin_inset Formula $J:=g(I)$
+\begin_inset Formula $J\coloneqq g(I)$
\end_inset
es abierto y
@@ -733,7 +733,7 @@ g(t):=\int_{t_{0}}^{t}|\alpha'(u)|du=L_{t_{0}}^{t}(\alpha),
es un difeomorfismo.
Llamando
-\begin_inset Formula $h:=g^{-1}$
+\begin_inset Formula $h\coloneqq g^{-1}$
\end_inset
, como
@@ -769,11 +769,11 @@ catenaria
distribuida uniformemente, suspendida por sus extremos y sometida a un
campo gravitatorio uniforme.
Se expresa como
-\begin_inset Formula $\alpha(t):=(t,\cosh t)$
+\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq (t,\cosh t)$
\end_inset
, y admite una reparametrización por longitud de arco
-\begin_inset Formula $\beta(s):=(\arg\sinh s,\sqrt{1+s^{2}})$
+\begin_inset Formula $\beta(s)\coloneqq (\arg\sinh s,\sqrt{1+s^{2}})$
\end_inset
de igual orientación.
@@ -790,7 +790,7 @@ g(t):=\int_{0}^{t}|\alpha'(u)|du=\int_{0}^{t}|(1,\sinh u)|du=\int_{0}^{t}\cosh u
\end_inset
entonces
-\begin_inset Formula $h(s):=g^{-1}(s)=\arg\sinh s$
+\begin_inset Formula $h(s)\coloneqq g^{-1}(s)=\arg\sinh s$
\end_inset
, luego la reparametrización es
@@ -803,7 +803,7 @@ entonces
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Dada la circunferencia
-\begin_inset Formula $\alpha(t):=p+(r\cos t,r\sin t)$
+\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq p+(r\cos t,r\sin t)$
\end_inset
para ciertos
@@ -815,7 +815,7 @@ Dada la circunferencia
\end_inset
, la reparametrización por longitud de arco es
-\begin_inset Formula $\beta(s):=p+(r\cos\frac{s}{r},r\sin\frac{s}{r})$
+\begin_inset Formula $\beta(s)\coloneqq p+(r\cos\frac{s}{r},r\sin\frac{s}{r})$
\end_inset
.
@@ -831,7 +831,7 @@ g(t):=\int_{0}^{t}|\alpha'(u)|du=\int_{0}^{t}r\,du=rt,
\end_inset
luego
-\begin_inset Formula $h(s):=g^{-1}(s)=\frac{s}{r}$
+\begin_inset Formula $h(s)\coloneqq g^{-1}(s)=\frac{s}{r}$
\end_inset
y la reparametrización es
@@ -874,11 +874,11 @@ Entonces, dada una curva
\end_inset
p.p.a., si
-\begin_inset Formula $\mathbf{t}(s):=\alpha'(s)$
+\begin_inset Formula $\mathbf{t}(s)\coloneqq \alpha'(s)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\mathbf{n}(s):=J\mathbf{t}(s)$
+\begin_inset Formula $\mathbf{n}(s)\coloneqq J\mathbf{t}(s)$
\end_inset
es su
@@ -1016,7 +1016,7 @@ Si
radio de curvatura
\series default
a
-\begin_inset Formula $\rho(s):=\frac{1}{|\kappa(s)|}$
+\begin_inset Formula $\rho(s)\coloneqq \frac{1}{|\kappa(s)|}$
\end_inset
.
@@ -1042,7 +1042,7 @@ El radio de curvatura de una circunferencia de radio
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea
-\begin_inset Formula $\alpha(s):=p+r(\cos\frac{s}{r},\sin\frac{s}{r})$
+\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq p+r(\cos\frac{s}{r},\sin\frac{s}{r})$
\end_inset
con
@@ -1080,7 +1080,7 @@ La curvatura de una recta es 0.
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea
-\begin_inset Formula $\alpha(s):=p+sv$
+\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq p+sv$
\end_inset
para ciertos
@@ -1109,7 +1109,7 @@ Sea
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
La catenaria
-\begin_inset Formula $\alpha(s):=(\arg\sinh s,\sqrt{1+s^{2}})$
+\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq (\arg\sinh s,\sqrt{1+s^{2}})$
\end_inset
tiene radio de curvatura
@@ -1277,7 +1277,7 @@ movimiento rígido
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $M(x):=Ax+b$
+\begin_inset Formula $M(x)\coloneqq Ax+b$
\end_inset
para ciertos
@@ -1326,7 +1326,7 @@ Sean
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $\varphi(s):=\int_{s_{0}}^{s}\kappa$
+\begin_inset Formula $\varphi(s)\coloneqq \int_{s_{0}}^{s}\kappa$
\end_inset
y
@@ -1424,15 +1424,15 @@ Sean
.
Sean entonces
-\begin_inset Formula $b:=\beta(s_{0})-A\alpha(s_{0})$
+\begin_inset Formula $b\coloneqq \beta(s_{0})-A\alpha(s_{0})$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $Mx:=Ax+b$
+\begin_inset Formula $Mx\coloneqq Ax+b$
\end_inset
un movimiento rígido y
-\begin_inset Formula $\gamma:=M\circ\alpha$
+\begin_inset Formula $\gamma\coloneqq M\circ\alpha$
\end_inset
, y queremos ver que
@@ -1449,7 +1449,7 @@ Sean
\end_inset
, luego si
-\begin_inset Formula $f(s):=\frac{1}{2}|t_{\beta}(s)-t_{\gamma}(s)|^{2}$
+\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \frac{1}{2}|t_{\beta}(s)-t_{\gamma}(s)|^{2}$
\end_inset
, entonces
@@ -1516,7 +1516,7 @@ Dados una curva regular
\end_inset
que preserva la orientación tal que
-\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$
+\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$
\end_inset
es p.p.a., llamamos
@@ -1565,7 +1565,7 @@ Demostración:
\end_inset
, luego para
-\begin_inset Formula $s:=h^{-1}(t)$
+\begin_inset Formula $s\coloneqq h^{-1}(t)$
\end_inset
,
@@ -1602,19 +1602,19 @@ Sean
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $p_{0}:=\alpha(s_{0})$
+\begin_inset Formula $p_{0}\coloneqq \alpha(s_{0})$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\mathbf{t}_{0}:=\mathbf{t}(s_{0})$
+\begin_inset Formula $\mathbf{t}_{0}\coloneqq \mathbf{t}(s_{0})$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\mathbf{n}_{0}:=\mathbf{n}(s_{0})$
+\begin_inset Formula $\mathbf{n}_{0}\coloneqq \mathbf{n}(s_{0})$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\ell:=p_{0}+\langle\mathbf{t}_{0}\rangle$
+\begin_inset Formula $\ell\coloneqq p_{0}+\langle\mathbf{t}_{0}\rangle$
\end_inset
y
@@ -1634,7 +1634,7 @@ distancia orientada
\end_inset
a
-\begin_inset Formula $\text{dist}(p,\ell):=\langle p-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle$
+\begin_inset Formula $\text{dist}(p,\ell)\coloneqq \langle p-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle$
\end_inset
.
@@ -1647,11 +1647,11 @@ distancia orientada
\end_inset
en dos semiplanos
-\begin_inset Formula $H^{+}:=\{p\mid \text{dist}(p,\ell)\geq0\}$
+\begin_inset Formula $H^{+}\coloneqq \{p\mid \text{dist}(p,\ell)\geq0\}$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $H^{-}:=\{p\mid \text{dist}(p,\ell)\leq0\}$
+\begin_inset Formula $H^{-}\coloneqq \{p\mid \text{dist}(p,\ell)\leq0\}$
\end_inset
, de modo que
@@ -1685,7 +1685,7 @@ Si
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea
-\begin_inset Formula $f(s):=\text{dist}(\alpha(s),\ell)=\langle\alpha(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle$
+\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \text{dist}(\alpha(s),\ell)=\langle\alpha(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle$
\end_inset
, entonces
@@ -1929,7 +1929,7 @@ Sean
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $f(s):=\text{dist}(\alpha(s),\ell)-\text{dist}(\beta(s),\ell)=\langle\alpha(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle-\langle\beta(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle=\langle\alpha(s)-\beta(s),\mathbf{n}_{0}\rangle$
+\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \text{dist}(\alpha(s),\ell)-\text{dist}(\beta(s),\ell)=\langle\alpha(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle-\langle\beta(s)-p_{0},\mathbf{n}_{0}\rangle=\langle\alpha(s)-\beta(s),\mathbf{n}_{0}\rangle$
\end_inset
, entonces
@@ -2065,7 +2065,7 @@ curvatura
\end_inset
a
-\begin_inset Formula $\kappa(s):=|\mathbf{t}'(s)|$
+\begin_inset Formula $\kappa(s)\coloneqq |\mathbf{t}'(s)|$
\end_inset
.
@@ -2147,7 +2147,7 @@ torsión
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $\tau(s):=\langle\mathbf{t}(s)\land\mathbf{n}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle=\langle\mathbf{b}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle$
+\begin_inset Formula $\tau(s)\coloneqq \langle\mathbf{t}(s)\land\mathbf{n}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle=\langle\mathbf{b}'(s),\mathbf{n}(s)\rangle$
\end_inset
.
@@ -2321,7 +2321,7 @@ status open
\end_inset
Si
-\begin_inset Formula $\alpha(s):=p+sv$
+\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq p+sv$
\end_inset
,
@@ -2472,7 +2472,7 @@ Si
\end_inset
y, si
-\begin_inset Formula $f(s):=\langle\alpha(s),\mathbf{b}(s)\rangle$
+\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \langle\alpha(s),\mathbf{b}(s)\rangle$
\end_inset
,
@@ -2513,7 +2513,7 @@ Sean
\end_inset
un cambio de parámetro que conserva la orientación y tal que
-\begin_inset Formula $\beta:=\alpha\circ h$
+\begin_inset Formula $\beta\coloneqq \alpha\circ h$
\end_inset
es p.p.a., definimos la curvatura de
@@ -2521,11 +2521,11 @@ Sean
\end_inset
como
-\begin_inset Formula $\kappa_{\alpha}(t):=\kappa_{\beta}(h^{-1}(t))$
+\begin_inset Formula $\kappa_{\alpha}(t)\coloneqq \kappa_{\beta}(h^{-1}(t))$
\end_inset
y, si esta no se anula, la torsión como
-\begin_inset Formula $\tau_{\alpha}(t):=\tau_{\beta}(h^{-1}(t))$
+\begin_inset Formula $\tau_{\alpha}(t)\coloneqq \tau_{\beta}(h^{-1}(t))$
\end_inset
.
@@ -2542,7 +2542,7 @@ Sean
Demostración:
\series default
Sea
-\begin_inset Formula $s:=h^{-1}(t)$
+\begin_inset Formula $s\coloneqq h^{-1}(t)$
\end_inset
,
@@ -2792,7 +2792,7 @@ Sea entonces
\end_inset
la curva dada por
-\begin_inset Formula $\alpha(s):=\int_{s_{0}}^{s}\mathbf{t}(u)du$
+\begin_inset Formula $\alpha(s)\coloneqq \int_{s_{0}}^{s}\mathbf{t}(u)du$
\end_inset
, para todo
@@ -2883,15 +2883,15 @@ Sean
.
Sean entonces
-\begin_inset Formula $b:=\beta(s_{0})-A\alpha(s_{0})$
+\begin_inset Formula $b\coloneqq \beta(s_{0})-A\alpha(s_{0})$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $M(x):=Ax+b$
+\begin_inset Formula $M(x)\coloneqq Ax+b$
\end_inset
un movimiento rígido y
-\begin_inset Formula $\gamma:=M\circ\alpha$
+\begin_inset Formula $\gamma\coloneqq M\circ\alpha$
\end_inset
, y queremos ver que
@@ -2918,7 +2918,7 @@ Se tiene
\end_inset
Sea ahora
-\begin_inset Formula $f(s):=\frac{1}{2}(|\mathbf{t}_{\beta}(s)-\mathbf{t}_{\gamma}(s)|^{2}+|\mathbf{n}_{\beta}(s)-\mathbf{n}_{\gamma}(s)|^{2}+|\mathbf{b}_{\beta}(s)-\mathbf{b}_{\gamma}(s)|^{2})$
+\begin_inset Formula $f(s)\coloneqq \frac{1}{2}(|\mathbf{t}_{\beta}(s)-\mathbf{t}_{\gamma}(s)|^{2}+|\mathbf{n}_{\beta}(s)-\mathbf{n}_{\gamma}(s)|^{2}+|\mathbf{b}_{\beta}(s)-\mathbf{b}_{\gamma}(s)|^{2})$
\end_inset
, entonces
diff --git a/gcs/n2.lyx b/gcs/n2.lyx
index b768ad2..92cf906 100644
--- a/gcs/n2.lyx
+++ b/gcs/n2.lyx
@@ -157,11 +157,11 @@ Que
\end_inset
sea inyectiva equivale a que
-\begin_inset Formula $X_{u}(q):=dX(q)(e_{1})$
+\begin_inset Formula $X_{u}(q)\coloneqq dX(q)(e_{1})$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $X_{v}(q):=dX(q)(e_{2})$
+\begin_inset Formula $X_{v}(q)\coloneqq dX(q)(e_{2})$
\end_inset
sean linealmente independientes, lo que equivale a que el jacobiano
@@ -209,7 +209,7 @@ Sean
grafo
\series default
-\begin_inset Formula $G(f):=\{(u,v,f(u,v))\}_{(u,v)\in U}$
+\begin_inset Formula $G(f)\coloneqq \{(u,v,f(u,v))\}_{(u,v)\in U}$
\end_inset
es una superficie regular.
@@ -218,7 +218,7 @@ grafo
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$
+\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u,v,f(u,v))$
\end_inset
es continua y su inversa es la proyección sobre el plano
@@ -400,7 +400,7 @@ valor regular
superficie de nivel
\series default
-\begin_inset Formula $S:=f^{-1}(\{a\})$
+\begin_inset Formula $S\coloneqq f^{-1}(\{a\})$
\end_inset
es una superficie regular.
@@ -409,7 +409,7 @@ superficie de nivel
Demostración:
\series default
Sea
-\begin_inset Formula $p_{0}:=(x_{0},y_{0},z_{0})\in S$
+\begin_inset Formula $p_{0}\coloneqq (x_{0},y_{0},z_{0})\in S$
\end_inset
, como
@@ -466,7 +466,7 @@ Demostración:
\end_inset
, y por la proposición anterior,
-\begin_inset Formula $V:=(U\times I)\cap S=G(g)$
+\begin_inset Formula $V\coloneqq (U\times I)\cap S=G(g)$
\end_inset
es una superficie regular.
@@ -495,7 +495,7 @@ Dados
\end_inset
, el plano
-\begin_inset Formula $\pi:=\{ax+by+cz=d\}$
+\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \{ax+by+cz=d\}$
\end_inset
es una superficie regular.
@@ -504,7 +504,7 @@ Dados
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea
-\begin_inset Formula $f(x,y,z):=ax+by+cz$
+\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq ax+by+cz$
\end_inset
,
@@ -533,7 +533,7 @@ Dados
elipsoide
\series default
-\begin_inset Formula $E:=\{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\}$
+\begin_inset Formula $E\coloneqq \{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\}$
\end_inset
es una superficie regular.
@@ -547,7 +547,7 @@ elipsoide
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea
-\begin_inset Formula $f(x,y,z):=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$
+\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$
\end_inset
,
@@ -577,7 +577,7 @@ El
hiperboloide de una hoja
\series default
-\begin_inset Formula $H:=\{x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\}$
+\begin_inset Formula $H\coloneqq \{x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\}$
\end_inset
y el
@@ -585,7 +585,7 @@ hiperboloide de una hoja
hiperboloide de dos hojas
\series default
-\begin_inset Formula $H':=\{x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\}$
+\begin_inset Formula $H'\coloneqq \{x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1\}$
\end_inset
son superficies regulares.
@@ -615,7 +615,7 @@ hiperboloide de dos hojas
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea
-\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-z^{2}$
+\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}-z^{2}$
\end_inset
,
@@ -644,7 +644,7 @@ Sea
\begin_layout Standard
Para ver que los ejes de simetría de la hipérbola son los mencionados, sean
-\begin_inset Formula $v:=(a,b)$
+\begin_inset Formula $v\coloneqq (a,b)$
\end_inset
unitario tal que
@@ -652,7 +652,7 @@ Para ver que los ejes de simetría de la hipérbola son los mencionados, sean
\end_inset
es un eje de simetría y
-\begin_inset Formula $p:=(x,\frac{1}{x})\in\{xy=1\}$
+\begin_inset Formula $p\coloneqq (x,\frac{1}{x})\in\{xy=1\}$
\end_inset
, el simétrico de
@@ -767,7 +767,7 @@ Queda ver que las figuras de revolución son efectivamente las mencionadas.
\end_inset
y los puntos son de la forma
-\begin_inset Formula $(x,y,z):=((u+\frac{1}{u})\cos v,(u+\frac{1}{u})\sin v,-u+\frac{1}{u})/2$
+\begin_inset Formula $(x,y,z)\coloneqq ((u+\frac{1}{u})\cos v,(u+\frac{1}{u})\sin v,-u+\frac{1}{u})/2$
\end_inset
, de modo que
@@ -857,7 +857,7 @@ u+\frac{1}{u}
\end_inset
y los puntos son de la forma
-\begin_inset Formula $(x,y,z):=((u-\frac{1}{u})\cos v,(u-\frac{1}{u})\sin v,u+\frac{1}{u})/2$
+\begin_inset Formula $(x,y,z)\coloneqq ((u-\frac{1}{u})\cos v,(u-\frac{1}{u})\sin v,u+\frac{1}{u})/2$
\end_inset
, de modo que
@@ -924,7 +924,7 @@ Dados
\end_inset
, el toro
-\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}:=\{(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}=r^{2}\}$
+\begin_inset Formula $\mathbb{T}^{2}\coloneqq \{(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}=r^{2}\}$
\end_inset
es una superficie regular, y se obtiene de girar sobre el eje
@@ -983,7 +983,7 @@ encia es siempre
\begin_layout Standard
Sea ahora
-\begin_inset Formula $f(x,y,z):=(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}$
+\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq (\sqrt{x^{2}+y^{2}}-a)^{2}+z^{2}$
\end_inset
, entonces
@@ -1076,7 +1076,7 @@ Demostración:
tiene un menor de orden 2 con determinante no nulo, que podemos suponer
que es el formado por las dos primeras filas, y tomamos correspondientemente
la proyección
-\begin_inset Formula $\pi(x,y,z):=(x,y)$
+\begin_inset Formula $\pi(x,y,z)\coloneqq (x,y)$
\end_inset
.
@@ -1153,11 +1153,11 @@ Demostración:
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $p_{0}\in V:=X(U)$
+\begin_inset Formula $p_{0}\in V\coloneqq X(U)$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $q_{0}:=X^{-1}(p_{0})$
+\begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq X^{-1}(p_{0})$
\end_inset
, el resultado anterior nos da un entorno
@@ -1177,12 +1177,12 @@ Demostración:
\end_inset
) de forma que
-\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U'':=(\pi\circ X)(U'))$
+\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U''\coloneqq (\pi\circ X)(U'))$
\end_inset
es un difeomorfismo.
Sea ahora
-\begin_inset Formula $V:=X(U')$
+\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U')$
\end_inset
,
@@ -1215,7 +1215,7 @@ Ejemplos:
\begin_layout Enumerate
El cono
-\begin_inset Formula $C:=\{x^{2}+y^{2}=z^{2}\}$
+\begin_inset Formula $C\coloneqq \{x^{2}+y^{2}=z^{2}\}$
\end_inset
no es una superficie regular.
@@ -1274,7 +1274,7 @@ Sea
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-z^{2}$
+\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}-z^{2}$
\end_inset
, entonces
@@ -1326,7 +1326,7 @@ Demostración:
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $p_{0}:=X(q_{0})$
+\begin_inset Formula $p_{0}\coloneqq X(q_{0})$
\end_inset
, existen un entorno
@@ -1342,7 +1342,7 @@ Demostración:
\end_inset
en un plano coordenado de forma que
-\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U'':=(\pi\circ X)(U'))$
+\begin_inset Formula $\pi\circ X:U'\to(U''\coloneqq (\pi\circ X)(U'))$
\end_inset
es un homeomorfismo.
@@ -1351,7 +1351,7 @@ Demostración:
\end_inset
es inyectiva,
-\begin_inset Formula $X:U'\to(V':=X(U'))$
+\begin_inset Formula $X:U'\to(V'\coloneqq X(U'))$
\end_inset
es biyectiva, y queda ver que
@@ -1371,7 +1371,7 @@ Ejemplos:
\begin_layout Enumerate
Sean
-\begin_inset Formula $U:=(0,\pi)\times(0,2\pi)$
+\begin_inset Formula $U\coloneqq (0,\pi)\times(0,2\pi)$
\end_inset
y
@@ -1379,7 +1379,7 @@ Sean
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi):=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$
+\begin_inset Formula $X(\theta,\varphi)\coloneqq (\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$
\end_inset
,
@@ -1391,7 +1391,7 @@ Sean
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $M:=X([0,\pi],0)$
+\begin_inset Formula $M\coloneqq X([0,\pi],0)$
\end_inset
.
@@ -1561,11 +1561,11 @@ Finalmente, dado
\end_inset
, sean
-\begin_inset Formula $\theta:=\arccos z$
+\begin_inset Formula $\theta\coloneqq \arccos z$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\varphi:=\arccos\frac{x}{\sin\theta}=\arccos\frac{x}{\sqrt{1-z^{2}}}$
+\begin_inset Formula $\varphi\coloneqq \arccos\frac{x}{\sin\theta}=\arccos\frac{x}{\sqrt{1-z^{2}}}$
\end_inset
(usando que
@@ -1622,11 +1622,11 @@ Finalmente, dado
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Sean
-\begin_inset Formula $S:=\{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\}$
+\begin_inset Formula $S\coloneqq \{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\}$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $N:=(0,0,2)$
+\begin_inset Formula $N\coloneqq (0,0,2)$
\end_inset
y
@@ -1721,7 +1721,7 @@ dado
\end_inset
, si
-\begin_inset Formula $(x,y,z):=X(u,v)$
+\begin_inset Formula $(x,y,z)\coloneqq X(u,v)$
\end_inset
,
@@ -1741,7 +1741,7 @@ Recíprocamente, dado
\end_inset
, si
-\begin_inset Formula $(u,v):=\pi(x,y,z)$
+\begin_inset Formula $(u,v)\coloneqq \pi(x,y,z)$
\end_inset
,
@@ -1873,7 +1873,7 @@ Sean
\end_inset
parametrizaciones con
-\begin_inset Formula $V:=X_{1}(U_{1})\cap X_{2}(U_{2})\neq\emptyset$
+\begin_inset Formula $V\coloneqq X_{1}(U_{1})\cap X_{2}(U_{2})\neq\emptyset$
\end_inset
, llamamos
@@ -1889,7 +1889,7 @@ cambio de coordenadas
\end_inset
a
-\begin_inset Formula $F:=X_{2}^{-1}\circ X_{1}:X_{1}^{-1}(V)\to X_{2}^{-1}(V)$
+\begin_inset Formula $F\coloneqq X_{2}^{-1}\circ X_{1}:X_{1}^{-1}(V)\to X_{2}^{-1}(V)$
\end_inset
.
@@ -1910,7 +1910,7 @@ teorema
Demostración:
\series default
Sea
-\begin_inset Formula $F:=X_{2}^{-1}\circ X_{1}$
+\begin_inset Formula $F\coloneqq X_{2}^{-1}\circ X_{1}$
\end_inset
.
@@ -1919,11 +1919,11 @@ Demostración:
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(V)$
+\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq X_{1}^{-1}(V)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q_{2}\coloneqq X_{2}^{-1}(p)$
\end_inset
, existe un entorno
@@ -1952,7 +1952,7 @@ Demostración:
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $U'_{1}:=F^{-1}(U'_{2})$
+\begin_inset Formula $U'_{1}\coloneqq F^{-1}(U'_{2})$
\end_inset
es un entorno de
@@ -2095,7 +2095,7 @@ Sea
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $p:=X(q)$
+\begin_inset Formula $p\coloneqq X(q)$
\end_inset
, existe una parametrización
@@ -2104,11 +2104,11 @@ Sea
que cumple las condiciones.
Sean
-\begin_inset Formula $q':=U_{p}^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q'\coloneqq U_{p}^{-1}(p)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $V:=X(U)\cap X_{p}(U_{p})$
+\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)\cap X_{p}(U_{p})$
\end_inset
,
@@ -2533,11 +2533,11 @@ Queremos ver que
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}$
+\begin_inset Formula $\tilde{F}\coloneqq X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}$
\end_inset
es diferenciable en su dominio
-\begin_inset Formula $U:=U_{1}\cap X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}^{-1}(U_{2})))$
+\begin_inset Formula $U\coloneqq U_{1}\cap X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}^{-1}(U_{2})))$
\end_inset
, luego
@@ -2577,7 +2577,7 @@ Si
\end_inset
, entonces
-\begin_inset Formula $G:=F\circ X_{1}:U_{1}\to S_{2}$
+\begin_inset Formula $G\coloneqq F\circ X_{1}:U_{1}\to S_{2}$
\end_inset
es diferenciable.
@@ -2598,11 +2598,11 @@ Si
\end_inset
es continua, el dominio de la expresión en coordenadas
-\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ G$
+\begin_inset Formula $\tilde{F}\coloneqq X_{2}^{-1}\circ G$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $U:=U_{1}\cap G^{-1}(X_{2}(U_{2}))$
+\begin_inset Formula $U\coloneqq U_{1}\cap G^{-1}(X_{2}(U_{2}))$
\end_inset
, es un abierto no vacío.
@@ -2620,7 +2620,7 @@ Para cada
\end_inset
, si
-\begin_inset Formula $p:=G(q)\in V_{2}$
+\begin_inset Formula $p\coloneqq G(q)\in V_{2}$
\end_inset
, existe una parametrización
@@ -2628,7 +2628,7 @@ Para cada
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $p\in V_{p}:=X_{p}(U_{p})$
+\begin_inset Formula $p\in V_{p}\coloneqq X_{p}(U_{p})$
\end_inset
de tipo grafo, por ejemplo de la forma
@@ -2775,7 +2775,7 @@ Dado
\end_inset
las parametrizaciones mencionadas y
-\begin_inset Formula $U:=X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}(U_{2})))$
+\begin_inset Formula $U\coloneqq X_{1}^{-1}(F^{-1}(X_{2}(U_{2})))$
\end_inset
, que es abierto, entonces
@@ -2898,7 +2898,7 @@ localmente difeomorfa
Demostración:
\series default
Tomamos el plano
-\begin_inset Formula $\pi:=\mathbb{R}^{2}\times\{0\}$
+\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \mathbb{R}^{2}\times\{0\}$
\end_inset
.
@@ -2919,7 +2919,7 @@ Demostración:
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $V:=X(U)$
+\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)$
\end_inset
e
@@ -2927,11 +2927,11 @@ Demostración:
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $i(u,v):=(u,v,0)$
+\begin_inset Formula $i(u,v)\coloneqq (u,v,0)$
\end_inset
, tomamos
-\begin_inset Formula $f:=i\circ X^{-1}:V\to i(U)$
+\begin_inset Formula $f\coloneqq i\circ X^{-1}:V\to i(U)$
\end_inset
, y como
@@ -2980,11 +2980,11 @@ Sean
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $\alpha(I)\cap(V:=X(U))\neq\emptyset$
+\begin_inset Formula $\alpha(I)\cap(V\coloneqq X(U))\neq\emptyset$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $J:=\{t\in I\mid \alpha(t)\in V\}$
+\begin_inset Formula $J\coloneqq \{t\in I\mid \alpha(t)\in V\}$
\end_inset
, entonces
@@ -2992,7 +2992,7 @@ Sean
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t):=X^{-1}(\alpha(t))$
+\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t)\coloneqq X^{-1}(\alpha(t))$
\end_inset
es una curva en
@@ -3089,7 +3089,7 @@ plano tangente
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$
\end_inset
,
@@ -3133,7 +3133,7 @@ Sean
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t):=q+tw$
+\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}(t)\coloneqq q+tw$
\end_inset
definida en un entorno de la forma
@@ -3145,7 +3145,7 @@ Sean
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\alpha:=X\circ\tilde{\alpha}:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$
+\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq X\circ\tilde{\alpha}:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$
\end_inset
,
@@ -3306,7 +3306,7 @@ diferencial
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $df_{p}(v):=(f\circ\alpha)'(0)$
+\begin_inset Formula $df_{p}(v)\coloneqq (f\circ\alpha)'(0)$
\end_inset
, siendo
@@ -3339,7 +3339,7 @@ diferencial
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$
\end_inset
, entonces
@@ -3356,7 +3356,7 @@ Demostración:
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$
\end_inset
,
@@ -3372,7 +3372,7 @@ Demostración:
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=X^{-1}\circ\alpha:\alpha^{-1}(X(U))\to U$
+\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq X^{-1}\circ\alpha:\alpha^{-1}(X(U))\to U$
\end_inset
, entonces
@@ -3445,7 +3445,7 @@ Si
función altura
\series default
-\begin_inset Formula $h(p):=\langle p,v\rangle$
+\begin_inset Formula $h(p)\coloneqq \langle p,v\rangle$
\end_inset
representa la distancia de
@@ -3502,7 +3502,7 @@ Dado
\end_inset
, la función distancia
-\begin_inset Formula $g(p):=|p-p_{0}|$
+\begin_inset Formula $g(p)\coloneqq |p-p_{0}|$
\end_inset
es diferenciable en
@@ -3584,7 +3584,7 @@ función antípoda
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $A(p):=-p$
+\begin_inset Formula $A(p)\coloneqq -p$
\end_inset
es diferenciable con
@@ -3630,7 +3630,7 @@ Dado
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $F:=\hat{F}|_{\mathbb{S}^{2}}:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{S}^{2}$
+\begin_inset Formula $F\coloneqq \hat{F}|_{\mathbb{S}^{2}}:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{S}^{2}$
\end_inset
es diferenciable con
@@ -3649,7 +3649,7 @@ Es diferenciable por ser la restricción de una función diferenciable en
.
Tomando una curva
-\begin_inset Formula $\alpha(t):=(x(t),y(t),z(t))$
+\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq (x(t),y(t),z(t))$
\end_inset
apropiadamente,
@@ -3676,7 +3676,7 @@ Si
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $F(p):=p/|p|$
+\begin_inset Formula $F(p)\coloneqq p/|p|$
\end_inset
es diferenciable con
@@ -3743,11 +3743,11 @@ Dadas dos superficies regulares
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq X_{1}^{-1}(p)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(F(p))$
+\begin_inset Formula $q_{2}\coloneqq X_{2}^{-1}(F(p))$
\end_inset
, la matriz asociada a
@@ -3755,11 +3755,11 @@ Dadas dos superficies regulares
\end_inset
respecto de las bases
-\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}:=((X_{1})_{u}(q_{1}),(X_{1})_{v}(q_{1}))$
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{1}\coloneqq ((X_{1})_{u}(q_{1}),(X_{1})_{v}(q_{1}))$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}:=((X_{2})_{u}(q_{2}),(X_{2})_{v}(q_{2}))$
+\begin_inset Formula ${\cal B}_{2}\coloneqq ((X_{2})_{u}(q_{2}),(X_{2})_{v}(q_{2}))$
\end_inset
es el jacobiano de la expresión en coordenadas de
@@ -3776,7 +3776,7 @@ Dadas dos superficies regulares
Demostración:
\series default
Sea
-\begin_inset Formula $v:=v_{1}(X_{1})_{u}+v_{2}(X_{1})_{v}$
+\begin_inset Formula $v\coloneqq v_{1}(X_{1})_{u}+v_{2}(X_{1})_{v}$
\end_inset
, de modo que
@@ -3788,7 +3788,7 @@ Demostración:
\end_inset
, pero la expresión en coordenadas
-\begin_inset Formula $\tilde{F}:=X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}:U_{1}\to U_{2}$
+\begin_inset Formula $\tilde{F}\coloneqq X_{2}^{-1}\circ F\circ X_{1}:U_{1}\to U_{2}$
\end_inset
cumple
@@ -3884,7 +3884,7 @@ Demostración:
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\beta:=F\circ\alpha$
+\begin_inset Formula $\beta\coloneqq F\circ\alpha$
\end_inset
,
@@ -3960,7 +3960,7 @@ Teorema de la función inversa:
\end_inset
[y]
-\begin_inset Formula ${\cal V}\in{\cal E}(y_{0}:=f(x_{0}))$
+\begin_inset Formula ${\cal V}\in{\cal E}(y_{0}\coloneqq f(x_{0}))$
\end_inset
tales que
@@ -4081,19 +4081,19 @@ Demostración:
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $q_{1}:=X_{1}^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq X_{1}^{-1}(p)$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $q_{2}:=X_{2}^{-1}(F(p))$
+\begin_inset Formula $q_{2}\coloneqq X_{2}^{-1}(F(p))$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $V_{1}:=X_{1}(U_{1})$
+\begin_inset Formula $V_{1}\coloneqq X_{1}(U_{1})$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $V_{2}:=X_{2}(U_{2})$
+\begin_inset Formula $V_{2}\coloneqq X_{2}(U_{2})$
\end_inset
.
@@ -4114,7 +4114,7 @@ Demostración:
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $U:=X_{1}^{-1}(F^{-1}(V_{2}))$
+\begin_inset Formula $U\coloneqq X_{1}^{-1}(F^{-1}(V_{2}))$
\end_inset
el dominio de
@@ -4155,11 +4155,11 @@ Demostración:
es un difeomorfismo.
Sea
-\begin_inset Formula $V:=X_{1}(\tilde{U}_{1})$
+\begin_inset Formula $V\coloneqq X_{1}(\tilde{U}_{1})$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $F|_{V}:=(X_{2}\circ\tilde{F}\circ X_{1}^{-1})|_{V}:V\to F(V)$
+\begin_inset Formula $F|_{V}\coloneqq (X_{2}\circ\tilde{F}\circ X_{1}^{-1})|_{V}:V\to F(V)$
\end_inset
es un difeomorfismo por ser composición de difeomorfismos.
@@ -4304,7 +4304,7 @@ Sean
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $A:=\{p\in S\mid f(p)=a\}\neq\emptyset$
+\begin_inset Formula $A\coloneqq \{p\in S\mid f(p)=a\}\neq\emptyset$
\end_inset
, pues
@@ -4350,7 +4350,7 @@ Sean
\end_inset
es conexo,
-\begin_inset Formula $V:=X(U)$
+\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)$
\end_inset
y
@@ -4445,7 +4445,7 @@ Sea
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $h:=f\circ\alpha:I\to\mathbb{R}$
+\begin_inset Formula $h\coloneqq f\circ\alpha:I\to\mathbb{R}$
\end_inset
,
@@ -4482,7 +4482,7 @@ Dados una superficie regular
\end_inset
, definimos el producto escalar
-\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{p}:=\langle\cdot,\cdot\rangle|_{T_{p}S}$
+\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{p}\coloneqq \langle\cdot,\cdot\rangle|_{T_{p}S}$
\end_inset
como el producto escalar usual restringido al plano tangente.
@@ -4503,7 +4503,7 @@ primera forma fundamental
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula ${\cal I}_{p}(v):=\langle v,v\rangle_{p}$
+\begin_inset Formula ${\cal I}_{p}(v)\coloneqq \langle v,v\rangle_{p}$
\end_inset
.
@@ -4523,15 +4523,15 @@ coeficientes de la primera forma fundamental
\end_inset
a
-\begin_inset Formula $E:=\langle X_{u},X_{u}\rangle$
+\begin_inset Formula $E\coloneqq \langle X_{u},X_{u}\rangle$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $F:=\langle X_{u},X_{v}\rangle$
+\begin_inset Formula $F\coloneqq \langle X_{u},X_{v}\rangle$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $G:=\langle X_{v},X_{v}\rangle$
+\begin_inset Formula $G\coloneqq \langle X_{v},X_{v}\rangle$
\end_inset
, de modo que para
@@ -4539,7 +4539,7 @@ coeficientes de la primera forma fundamental
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $p:=X(q)$
+\begin_inset Formula $p\coloneqq X(q)$
\end_inset
y
@@ -4579,7 +4579,7 @@ Sean
\end_inset
diferenciable,
-\begin_inset Formula $S:=G(f)$
+\begin_inset Formula $S\coloneqq G(f)$
\end_inset
,
@@ -4591,15 +4591,15 @@ Sean
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$
+\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u,v,f(u,v))$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $f_{u}:=\frac{\partial f}{\partial u}$
+\begin_inset Formula $f_{u}\coloneqq \frac{\partial f}{\partial u}$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $f_{v}:=\frac{\partial f}{\partial v}$
+\begin_inset Formula $f_{v}\coloneqq \frac{\partial f}{\partial v}$
\end_inset
, entonces
@@ -4636,7 +4636,7 @@ Sean
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $S:=p+\langle v,w\rangle$
+\begin_inset Formula $S\coloneqq p+\langle v,w\rangle$
\end_inset
un plano y
@@ -4698,7 +4698,7 @@ Dados
\end_inset
, el cilindro
-\begin_inset Formula $C:=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$
+\begin_inset Formula $C\coloneqq \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$
\end_inset
y la parametrización
@@ -4710,11 +4710,11 @@ Dados
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $U:=(0,2\pi)\times\mathbb{R}$
+\begin_inset Formula $U\coloneqq (0,2\pi)\times\mathbb{R}$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $X(u,v):=(r\cos u,r\sin u,v)$
+\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (r\cos u,r\sin u,v)$
\end_inset
, entonces
@@ -4751,7 +4751,7 @@ Sean
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\alpha(u):=(\cos u,\sin u,au)$
+\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq (\cos u,\sin u,au)$
\end_inset
, el
@@ -4776,7 +4776,7 @@ helicoide
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $X(u,v):=(v\cos u,v\sin u,au)$
+\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (v\cos u,v\sin u,au)$
\end_inset
, y entonces
@@ -4909,11 +4909,11 @@ Sean
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}:=(u,v):I\to U$
+\begin_inset Formula $\tilde{\alpha}\coloneqq (u,v):I\to U$
\end_inset
su expresión en coordenadas y
-\begin_inset Formula $s(t):=L_{0}^{t}(\alpha)$
+\begin_inset Formula $s(t)\coloneqq L_{0}^{t}(\alpha)$
\end_inset
, entonces
@@ -4995,11 +4995,11 @@ curvas coordenadas
\end_inset
, dadas por
-\begin_inset Formula $\alpha(u):=X(u,v_{0})$
+\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq X(u,v_{0})$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\beta(v):=X(u_{0},v)$
+\begin_inset Formula $\beta(v)\coloneqq X(u_{0},v)$
\end_inset
.
@@ -5131,7 +5131,7 @@ Demostración:
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $h:=(\overline{u},\overline{v}):=\overline{X}^{-1}\circ X$
+\begin_inset Formula $h\coloneqq (\overline{u},\overline{v})\coloneqq \overline{X}^{-1}\circ X$
\end_inset
, como
@@ -5172,7 +5172,7 @@ Por tanto
\begin_layout Standard
El área del toro
-\begin_inset Formula $X(u,v):=((r\cos u+a)\cos v,(r\cos u+a)\sin v,r\sin u)$
+\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq ((r\cos u+a)\cos v,(r\cos u+a)\sin v,r\sin u)$
\end_inset
es
@@ -5211,11 +5211,11 @@ luego los coeficientes de la primera forma fundamental son
.
La parametrización dada con el abierto
-\begin_inset Formula $U:=(0,2\pi)\times(0,2\pi)$
+\begin_inset Formula $U\coloneqq (0,2\pi)\times(0,2\pi)$
\end_inset
no cubre todo el toro, pero si definimos la región
-\begin_inset Formula $R_{\varepsilon}:=X((\varepsilon,2\pi-\varepsilon)\times(\varepsilon,2\pi-\varepsilon))\subseteq X(U)$
+\begin_inset Formula $R_{\varepsilon}\coloneqq X((\varepsilon,2\pi-\varepsilon)\times(\varepsilon,2\pi-\varepsilon))\subseteq X(U)$
\end_inset
,
diff --git a/gcs/n3.lyx b/gcs/n3.lyx
index 4cdb4d4..8d8bd3a 100644
--- a/gcs/n3.lyx
+++ b/gcs/n3.lyx
@@ -193,7 +193,7 @@ orientable
\end_inset
, basta tomar la orientación
-\begin_inset Formula $N(p):=\xi(p)/|\xi(p)|$
+\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq \xi(p)/|\xi(p)|$
\end_inset
.
@@ -258,11 +258,11 @@ Claramente
\end_inset
es diferenciable, y es inyectiva en
-\begin_inset Formula $U_{1}:=(0,2\pi)\times(-1,1)$
+\begin_inset Formula $U_{1}\coloneqq (0,2\pi)\times(-1,1)$
\end_inset
y en
-\begin_inset Formula $U_{2}:=(-\pi,\pi)\times(-1,1)$
+\begin_inset Formula $U_{2}\coloneqq (-\pi,\pi)\times(-1,1)$
\end_inset
.
@@ -325,7 +325,7 @@ El plano
\end_inset
admite la orientación
-\begin_inset Formula $N(p):=v/|v|$
+\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq v/|v|$
\end_inset
.
@@ -349,7 +349,7 @@ Dados
\end_inset
, la superficie de nivel
-\begin_inset Formula $S:=f^{-1}(c)$
+\begin_inset Formula $S\coloneqq f^{-1}(c)$
\end_inset
admite la orientación
@@ -361,7 +361,7 @@ N(p):=\frac{\nabla f(p)}{|\nabla f(p)|},
\end_inset
donde
-\begin_inset Formula $\nabla f(p):=(\frac{\partial f}{\partial x}(p),\frac{\partial f}{\partial y}(p),\frac{\partial f}{\partial z}(p))$
+\begin_inset Formula $\nabla f(p)\coloneqq (\frac{\partial f}{\partial x}(p),\frac{\partial f}{\partial y}(p),\frac{\partial f}{\partial z}(p))$
\end_inset
es el
@@ -386,7 +386,7 @@ Sean
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\alpha:=(x,y,z):I\to S$
+\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq (x,y,z):I\to S$
\end_inset
una curva diferenciable con
@@ -394,7 +394,7 @@ Sean
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $v:=\alpha'(0)\in T_{p}S$
+\begin_inset Formula $v\coloneqq \alpha'(0)\in T_{p}S$
\end_inset
, para
@@ -456,7 +456,7 @@ Sean
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea
-\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
+\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
\end_inset
,
@@ -519,7 +519,7 @@ Dada
\end_inset
, el grafo
-\begin_inset Formula $S:=\{(x,y,f(x,y))\}_{x,y\in U}$
+\begin_inset Formula $S\coloneqq \{(x,y,f(x,y))\}_{x,y\in U}$
\end_inset
admite la orientación
@@ -535,7 +535,7 @@ Dada la parametrización
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $X(u,v):=(u,v,f(u,v))$
+\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u,v,f(u,v))$
\end_inset
,
@@ -576,11 +576,11 @@ Dos cartas
compatibles
\series default
si
-\begin_inset Formula $V:=X(U)$
+\begin_inset Formula $V\coloneqq X(U)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $V':=X'(U')$
+\begin_inset Formula $V'\coloneqq X'(U')$
\end_inset
son disjuntos o
@@ -635,7 +635,7 @@ status open
\end_inset
Sean
-\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{(U_{i},X_{i})\}_{i\in I}$
+\begin_inset Formula ${\cal A}\coloneqq \{(U_{i},X_{i})\}_{i\in I}$
\end_inset
un atlas de cartas compatibles en
@@ -680,7 +680,7 @@ N(X(u,v)):=N(u,v):=\frac{X_{u}\wedge X_{v}}{|X_{u}\wedge X_{v}|}(u,v),
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $\overline{N}(\overline{X}(u,v)):=\overline{N}(u,v):=\frac{\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}}{|\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}|}(u,v)$
+\begin_inset Formula $\overline{N}(\overline{X}(u,v))\coloneqq \overline{N}(u,v)\coloneqq \frac{\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}}{|\overline{X}_{u}\cap\overline{X}_{v}|}(u,v)$
\end_inset
y
@@ -802,7 +802,7 @@ Sea
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $V:=X_{a}(U_{a})\cap X_{b}(U_{b})\neq\emptyset$
+\begin_inset Formula $V\coloneqq X_{a}(U_{a})\cap X_{b}(U_{b})\neq\emptyset$
\end_inset
, queremos ver que el determinante del cambio de coordenadas
@@ -827,11 +827,11 @@ Sea
\end_inset
, sean
-\begin_inset Formula $q_{a}:=X_{a}^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q_{a}\coloneqq X_{a}^{-1}(p)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $q_{b}:=X_{b}^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q_{b}\coloneqq X_{b}^{-1}(p)$
\end_inset
, entonces
@@ -864,15 +864,15 @@ En adelante, cuando consideremos una parametrización
\end_inset
, escribiremos
-\begin_inset Formula $N(u,v):=N(X(u,v))$
+\begin_inset Formula $N(u,v)\coloneqq N(X(u,v))$
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $N_{u}:=\frac{\partial(N\circ X)}{\partial u}$
+\begin_inset Formula $N_{u}\coloneqq \frac{\partial(N\circ X)}{\partial u}$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $N_{v}:=\frac{\partial(N\circ X)}{\partial v}$
+\begin_inset Formula $N_{v}\coloneqq \frac{\partial(N\circ X)}{\partial v}$
\end_inset
.
@@ -881,7 +881,7 @@ En adelante, cuando consideremos una parametrización
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $f_{x_{i}}:=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$
+\begin_inset Formula $f_{x_{i}}\coloneqq \frac{\partial f}{\partial x_{i}}$
\end_inset
.
@@ -923,7 +923,7 @@ La imagen esférica de un plano es unipuntual.
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Dado el plano
-\begin_inset Formula $\Pi:=p_{0}+\langle v\rangle\subseteq\mathbb{R}^{3}$
+\begin_inset Formula $\Pi\coloneqq p_{0}+\langle v\rangle\subseteq\mathbb{R}^{3}$
\end_inset
, donde podemos suponer
@@ -931,7 +931,7 @@ Dado el plano
\end_inset
unitario, la imagen de
-\begin_inset Formula $N(p):=v$
+\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq v$
\end_inset
es
@@ -1006,7 +1006,7 @@ La imagen esférica de un cilindro es un circulo máximo de la esfera.
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Los cilindros se obtienen por un movimiento de
-\begin_inset Formula $S_{r}:=\{x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$
+\begin_inset Formula $S_{r}\coloneqq \{x^{2}+y^{2}=r^{2}\}$
\end_inset
para algún
@@ -1031,7 +1031,7 @@ El
catenoide
\series default
,
-\begin_inset Formula $C:=\{x^{2}+y^{2}=\cosh^{2}z\}$
+\begin_inset Formula $C\coloneqq \{x^{2}+y^{2}=\cosh^{2}z\}$
\end_inset
, tiene imagen esférica
@@ -1039,7 +1039,7 @@ catenoide
\end_inset
, donde
-\begin_inset Formula $\mathsf{N}:=(0,0,1)$
+\begin_inset Formula $\mathsf{N}\coloneqq (0,0,1)$
\end_inset
es el
@@ -1047,7 +1047,7 @@ catenoide
polo norte
\series default
y
-\begin_inset Formula $\mathsf{S}:=(0,0,-1)$
+\begin_inset Formula $\mathsf{S}\coloneqq (0,0,-1)$
\end_inset
es el
@@ -1060,7 +1060,7 @@ polo sur
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea
-\begin_inset Formula $f(x,y,z):=x^{2}+y^{2}-\cosh^{2}z$
+\begin_inset Formula $f(x,y,z)\coloneqq x^{2}+y^{2}-\cosh^{2}z$
\end_inset
, como
@@ -1110,7 +1110,7 @@ Como
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $z:=\arg\tanh(-\hat{z})$
+\begin_inset Formula $z\coloneqq \arg\tanh(-\hat{z})$
\end_inset
(que existe porque
@@ -1118,11 +1118,11 @@ Como
\end_inset
),
-\begin_inset Formula $x:=\hat{x}\cosh^{2}z$
+\begin_inset Formula $x\coloneqq \hat{x}\cosh^{2}z$
\end_inset
e
-\begin_inset Formula $y:=\hat{y}\cosh^{2}z$
+\begin_inset Formula $y\coloneqq \hat{y}\cosh^{2}z$
\end_inset
, es claro que
@@ -1197,7 +1197,7 @@ endomorfismo de Weingarten
\end_inset
a
-\begin_inset Formula $A_{p}:=-dN_{p}:T_{p}S\to T_{p}S$
+\begin_inset Formula $A_{p}\coloneqq -dN_{p}:T_{p}S\to T_{p}S$
\end_inset
.
@@ -1267,7 +1267,7 @@ Demostración:
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $q:=(u_{0},v_{0}):=X^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q\coloneqq (u_{0},v_{0})\coloneqq X^{-1}(p)$
\end_inset
, tomamos la base
@@ -1280,7 +1280,7 @@ Demostración:
.
Sea entonces
-\begin_inset Formula $\alpha(u):=X(u_{0}+u,v_{0})$
+\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq X(u_{0}+u,v_{0})$
\end_inset
,
@@ -1367,7 +1367,7 @@ Para el cilindro
\end_inset
con
-\begin_inset Formula $X(u,v):=(r\cos u,r\sin u,v)$
+\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (r\cos u,r\sin u,v)$
\end_inset
, si
@@ -1433,7 +1433,7 @@ paraboloide hiperbólico
silla de montar
\series default
,
-\begin_inset Formula $S:=\{y^{2}-x^{2}=z\}=\{(u,v,v^{2}-u^{2})\}_{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}}$
+\begin_inset Formula $S\coloneqq \{y^{2}-x^{2}=z\}=\{(u,v,v^{2}-u^{2})\}_{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}}$
\end_inset
,
@@ -1457,7 +1457,7 @@ silla de montar
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $f(u,v):=v^{2}-u^{2}$
+\begin_inset Formula $f(u,v)\coloneqq v^{2}-u^{2}$
\end_inset
.
@@ -1516,7 +1516,7 @@ El operador forma
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $\sigma_{p}(v,w):=\langle A_{p}v,w\rangle$
+\begin_inset Formula $\sigma_{p}(v,w)\coloneqq \langle A_{p}v,w\rangle$
\end_inset
, así como una forma cuadrática
@@ -1524,7 +1524,7 @@ El operador forma
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula ${\cal II}_{p}(v):=\sigma_{p}(v,v)=\langle A_{p}v,v\rangle$
+\begin_inset Formula ${\cal II}_{p}(v)\coloneqq \sigma_{p}(v,v)=\langle A_{p}v,v\rangle$
\end_inset
.
@@ -1659,7 +1659,7 @@ la proyección de
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si
-\begin_inset Formula $\pi:=\pi_{T_{\alpha(t)}S}$
+\begin_inset Formula $\pi\coloneqq \pi_{T_{\alpha(t)}S}$
\end_inset
,
@@ -1805,7 +1805,7 @@ Sea
triedro de Darboux
\series default
es la base ortonormal positivamente orientada
-\begin_inset Formula $(\alpha'(s),J\alpha'(s):=\alpha'(s)\wedge N(\alpha(s)),N(\alpha(s))\rangle$
+\begin_inset Formula $(\alpha'(s),J\alpha'(s)\coloneqq \alpha'(s)\wedge N(\alpha(s)),N(\alpha(s))\rangle$
\end_inset
.
@@ -1818,7 +1818,7 @@ triedro de Darboux
\end_inset
donde
-\begin_inset Formula $\kappa_{g}:=\langle\alpha'',J\alpha'\rangle:I\to\mathbb{R}$
+\begin_inset Formula $\kappa_{g}\coloneqq \langle\alpha'',J\alpha'\rangle:I\to\mathbb{R}$
\end_inset
, es la
@@ -1917,7 +1917,7 @@ curvatura normal
\end_inset
a
-\begin_inset Formula $\kappa_{n}(v,p):={\cal II}_{p}(v)=\langle\alpha''(0),N(p)\rangle$
+\begin_inset Formula $\kappa_{n}(v,p)\coloneqq {\cal II}_{p}(v)=\langle\alpha''(0),N(p)\rangle$
\end_inset
, siendo
@@ -1992,7 +1992,7 @@ Dados
\end_inset
unitario y
-\begin_inset Formula $\Pi_{v}:=\text{span}\{v,N(p)\}$
+\begin_inset Formula $\Pi_{v}\coloneqq \text{span}\{v,N(p)\}$
\end_inset
, llamamos
@@ -2074,7 +2074,7 @@ Si
\end_inset
, siendo
-\begin_inset Formula $\kappa_{n}(s):=\kappa_{n}(\alpha'(s),\alpha(s))=\langle\alpha''(s),N(\alpha(s))\rangle$
+\begin_inset Formula $\kappa_{n}(s)\coloneqq \kappa_{n}(\alpha'(s),\alpha(s))=\langle\alpha''(s),N(\alpha(s))\rangle$
\end_inset
, luego
@@ -2275,7 +2275,7 @@ El cilindro
\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean
-\begin_inset Formula $C:=\{x^{2}+y^{2}=r^{2}\}=\{X(u,v)\mid =(r\cos u,r\sin u,v)\}_{u,v\in\mathbb{R}}$
+\begin_inset Formula $C\coloneqq \{x^{2}+y^{2}=r^{2}\}=\{X(u,v)\coloneqq (r\cos u,r\sin u,v)\}_{u,v\in\mathbb{R}}$
\end_inset
,
@@ -2283,7 +2283,7 @@ Sean
\end_inset
y la orientación
-\begin_inset Formula $N(p):=\frac{1}{r}(x,y,0)$
+\begin_inset Formula $N(p)\coloneqq \frac{1}{r}(x,y,0)$
\end_inset
, entonces
@@ -2494,7 +2494,7 @@ curvatura de Gauss
\end_inset
es
-\begin_inset Formula $K(p):=\det A_{p}=\kappa_{1}(p)\kappa_{2}(p)$
+\begin_inset Formula $K(p)\coloneqq \det A_{p}=\kappa_{1}(p)\kappa_{2}(p)$
\end_inset
, y la
@@ -2502,7 +2502,7 @@ curvatura de Gauss
curvatura media
\series default
es
-\begin_inset Formula $H(p):=\frac{1}{2}\text{tr}A_{p}=\frac{1}{2}(\kappa_{1}(p)+\kappa_{2}(p))$
+\begin_inset Formula $H(p)\coloneqq \frac{1}{2}\text{tr}A_{p}=\frac{1}{2}(\kappa_{1}(p)+\kappa_{2}(p))$
\end_inset
.
@@ -2635,7 +2635,7 @@ status open
\begin_layout Plain Layout
La superficie es el grafo
-\begin_inset Formula $S:=\{X(u,v)\mid =(u,v,(u^{2}+v^{2})^{2}\}_{u,v\in\mathbb{R}}$
+\begin_inset Formula $S\coloneqq \{X(u,v)\coloneqq (u,v,(u^{2}+v^{2})^{2}\}_{u,v\in\mathbb{R}}$
\end_inset
, de modo que
@@ -2772,11 +2772,11 @@ Demostración:
\end_inset
,
-\begin_inset Formula $q:=(u_{0},v_{0}):=X^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q\coloneqq (u_{0},v_{0})\coloneqq X^{-1}(p)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\alpha(u):=X(u_{0}+u,v_{0})$
+\begin_inset Formula $\alpha(u)\coloneqq X(u_{0}+u,v_{0})$
\end_inset
, como
@@ -2888,7 +2888,7 @@ Si
.
Sean ahora
-\begin_inset Formula $\phi(p):=\langle p,a\rangle$
+\begin_inset Formula $\phi(p)\coloneqq \langle p,a\rangle$
\end_inset
,
@@ -2956,7 +2956,7 @@ Si
\end_inset
la función diferenciable dada por
-\begin_inset Formula $\phi(p):=p+\frac{1}{c}N(p)$
+\begin_inset Formula $\phi(p)\coloneqq p+\frac{1}{c}N(p)$
\end_inset
, para
@@ -3068,7 +3068,7 @@ y para
\end_inset
, si
-\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$
\end_inset
y
@@ -3117,7 +3117,7 @@ Demostración:
\begin_layout Standard
Sea
-\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)=(u(0),v(0))$
+\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)=(u(0),v(0))$
\end_inset
, por linealidad
@@ -3535,11 +3535,11 @@ eremember
\begin_layout Standard
Existe una isometría local entre el plano
-\begin_inset Formula $\Pi:=\{z=0\}$
+\begin_inset Formula $\Pi\coloneqq \{z=0\}$
\end_inset
y el cilindro
-\begin_inset Formula $C:=\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{R}$
+\begin_inset Formula $C\coloneqq \mathbb{S}^{1}\times\mathbb{R}$
\end_inset
, pero las superficies no son globalmente isométricas.
@@ -3571,7 +3571,7 @@ Demostración:
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $\phi(x,y,0):=(\cos x,\sin x,y)$
+\begin_inset Formula $\phi(x,y,0)\coloneqq (\cos x,\sin x,y)$
\end_inset
, que es diferenciable.
@@ -3592,7 +3592,7 @@ Demostración:
\end_inset
dada por
-\begin_inset Formula $\alpha(t):=p+tv$
+\begin_inset Formula $\alpha(t)\coloneqq p+tv$
\end_inset
,
@@ -3689,7 +3689,7 @@ Demostración:
\end_inset
es un difeomorfismo, por lo que si
-\begin_inset Formula $U:=X^{-1}(V)\subseteq\tilde{U}$
+\begin_inset Formula $U\coloneqq X^{-1}(V)\subseteq\tilde{U}$
\end_inset
, restringiendo
@@ -3714,7 +3714,7 @@ Demostración:
.
Entonces, si
-\begin_inset Formula $q:=X^{-1}(p)$
+\begin_inset Formula $q\coloneqq X^{-1}(p)$
\end_inset
,
@@ -3779,7 +3779,7 @@ teorema
\end_inset
con los mismos parámetros de la primera forma fundamental, entonces
-\begin_inset Formula $\phi:=\overline{X}\circ X^{-1}:X(U)\to\overline{X}(U)$
+\begin_inset Formula $\phi\coloneqq \overline{X}\circ X^{-1}:X(U)\to\overline{X}(U)$
\end_inset
es una isometría.
@@ -3794,7 +3794,7 @@ Demostración:
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $p:=X(q)$
+\begin_inset Formula $p\coloneqq X(q)$
\end_inset
,
@@ -4219,11 +4219,11 @@ Demostración:
\end_inset
lo suficientemente pequeña para que
-\begin_inset Formula $\phi|_{V:=X(U)}:V\to\phi(V)$
+\begin_inset Formula $\phi|_{V\coloneqq X(U)}:V\to\phi(V)$
\end_inset
sea un difeomorfismo, entonces
-\begin_inset Formula $(U,\overline{X}:=\phi\circ X)$
+\begin_inset Formula $(U,\overline{X}\coloneqq \phi\circ X)$
\end_inset
es una parametrización de
@@ -4280,11 +4280,11 @@ Demostración:
\end_inset
parametrizadas por
-\begin_inset Formula $X(u,v):=(u\cos v,u\sin v,\log u)$
+\begin_inset Formula $X(u,v)\coloneqq (u\cos v,u\sin v,\log u)$
\end_inset
y
-\begin_inset Formula $\overline{X}(u,v):=(u\cos v,u\sin v,v)$
+\begin_inset Formula $\overline{X}(u,v)\coloneqq (u\cos v,u\sin v,v)$
\end_inset
, entonces
@@ -4332,7 +4332,7 @@ luego
y por tanto tienen igual determinante, que será la curvatura de Gauss.
Sin embargo,
-\begin_inset Formula $\phi:=\overline{X}\circ X^{-1}=((x,y,z)\mapsto(x,y,e^{z}))$
+\begin_inset Formula $\phi\coloneqq \overline{X}\circ X^{-1}=((x,y,z)\mapsto(x,y,e^{z}))$
\end_inset
no es una isometría.
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