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diff --git a/graf/n1.lyx b/graf/n1.lyx
index ea6dcba..c547ff0 100644
--- a/graf/n1.lyx
+++ b/graf/n1.lyx
@@ -1102,24 +1102,6 @@ Sea
 \end_inset
 
 .
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula 
-\begin{align*}
-\sum_{i=1}^{k}o(i) & =\sum_{i=1}^{k}|\{j\in N(i):j\leq k\}|+\sum_{i=1}^{k}|\{j\in N(i):j>k\}|\\
- & =\sum_{i=1}^{k}o_{G_{\{1,\dots,k\}}}|N(i)|+\sum_{j=k+1}^{n}|\{i\in N(j):i\leq k\}|\leq2\binom{k}{2}+\sum_{j=k+1}^{n}\min\{k,d_{j}\}.
-\end{align*}
-
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-
 \end_layout
 
 \begin_layout Itemize
@@ -1892,15 +1874,23 @@ circuito
 \series bold
 camino
 \series default
- es un paseo en que 
-\begin_inset Formula $\forall i,j\in\{0,\dots,k\},(i\neq j\land\{i,j\}\neq\{0,k\}\implies v_{i}\neq v_{j})$
+ o 
+\series bold
+cadena
+\series default
+ es un paseo en que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\forall i,j\in\{0,\dots,k\},(i\neq j\land\{i,j\}\neq\{0,k\}\implies v_{i}\neq v_{j}),
+\]
+
 \end_inset
 
-, y un 
+ y un 
 \series bold
 ciclo
 \series default
- es un camino cerrado.
+ es un camino cerrado de longitud al menos 3.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -1960,14 +1950,55 @@ Sea
 
 \end_deeper
 \begin_layout Enumerate
-Todo paseo cerrado de longitud impar contiene un ciclo no trivial.
+Todo paseo cerrado de longitud impar contiene un ciclo.
 \end_layout
 
 \begin_deeper
 \begin_layout Standard
-Al tener longitud impar es no trivial y por tanto contiene un camino entre
- los vértices inicial y final, que son el mismo y por tanto el camino es
- un ciclo.
+Al tener longitud impar es no trivial, y como no tiene longitud 1 por ser
+ cerrado, su longitud es al menos 3.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $v_{0}v_{1}\cdots v_{k-1}v_{0}$
+\end_inset
+
+ su lista de vértices, si fuera 
+\begin_inset Formula $\{v_{0},\dots,v_{k-1}\}=\{v_{0},v_{1}\}$
+\end_inset
+
+ el ciclo sería de la forma 
+\begin_inset Formula $v_{0}v_{1}\cdots v_{1}v_{0}$
+\end_inset
+
+ y su longitud sería par, luego existe 
+\begin_inset Formula $i\geq2$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $v_{i}\neq v_{0},v_{1}$
+\end_inset
+
+, que podemos tomar mínimo.
+ Entonces los paseos 
+\begin_inset Formula $v_{1}\cdots v_{i}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $v_{i}\cdots v_{k-1}v_{0}$
+\end_inset
+
+ contienen caminos no triviales respectivos 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ entre los mismos nodos, de modo que 
+\begin_inset Formula $(v_{0},v_{1})PQ$
+\end_inset
+
+ es un ciclo.
 \end_layout
 
 \end_deeper
@@ -1993,10 +2024,17 @@ matriz de adyacencia
 \end_inset
 
  dada por 
-\begin_inset Formula $a_{ij}:=\chi_{E}(i,j)$
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{ij}:=\left\{ \begin{aligned}1, & (i,j)\in E;\\
+0, & \text{en otro caso}.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
 \end_inset
 
-.Como 
+Como 
 \series bold
 teorema
 \series default
@@ -2099,11 +2137,18 @@ matriz de incidencia
 \begin_inset Formula $(b_{ij})_{ij}\in{\cal M}_{n\times m}(\mathbb{Z})$
 \end_inset
 
- dada por 
-\begin_inset Formula $b_{ij}:=\chi_{\{(i,j):i\in e_{j}\}}(i,j)$
+ dada por
+\begin_inset Formula 
+\[
+b_{ij}:=\left\{ \begin{aligned}1, & i\in e_{j};\\
+0, & \text{en otro caso}.
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+
 \end_inset
 
-.
+
 \end_layout
 
 \end_body