diff options
Diffstat (limited to 'ts/n1.lyx')
| -rw-r--r-- | ts/n1.lyx | 241 |
1 files changed, 187 insertions, 54 deletions
@@ -678,9 +678,9 @@ toro \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -719,6 +719,7 @@ Tenemos \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -808,6 +809,11 @@ Dado \end_layout \end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate La \series bold @@ -1037,10 +1043,10 @@ suma \end_inset , con la topología usual. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout Como los abiertos en \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset @@ -1101,7 +1107,11 @@ y por tanto es abierto. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate El \series bold @@ -1116,10 +1126,10 @@ producto \end_inset , con la topología usual. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout Dado \begin_inset Formula $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset @@ -1174,7 +1184,11 @@ con lo que es abierto. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate La \series bold @@ -1189,10 +1203,10 @@ diagonal \end_inset , con la topología usual. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout Basta ver que, dada una bola \begin_inset Formula $B_{\infty}(y,r)$ \end_inset @@ -1217,9 +1231,46 @@ Basta ver que, dada una bola , que es abierto. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Una función +\begin_inset Formula $f:X\to\prod_{i\in I}Y_{i}$ +\end_inset + + es continua si y sólo si los componentes +\begin_inset Formula $f_{i}(x):=f(x)_{i}$ +\end_inset + + lo son. +\end_layout + \begin_layout Enumerate Los polinomios reales, con la topología usual. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Se pueden expresar como suma de restricciones del producto a una constante + (el coeficiente) aplicados a una potencia de la incógnita, teniendo en + cuenta el punto anterior, y ver que las potencias son continuas porque + la potencia +\begin_inset Formula $x\mapsto x^{0}=1$ +\end_inset + + lo es y +\begin_inset Formula $x^{n}=p(x^{n-1},x)=(p\circ((x\mapsto x^{n-1}),Id))(x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -1228,28 +1279,36 @@ El determinante \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Es un polinomio. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate La inversa matricial \begin_inset Formula $\text{inv}:GL(n,\mathbb{R})\to GL(n,\mathbb{R})$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Es una función racional en cada componente. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset CommandInset label LatexCommand label @@ -1257,7 +1316,7 @@ name "enu:angle" \end_inset -La aplicación +La aplicación suprayectiva \begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{3}\to{\cal SO}(3)$ \end_inset @@ -1286,10 +1345,10 @@ que asocia a \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout La función es continua porque lo es en cada componente, al serlo la suma y el producto. Dado @@ -1406,6 +1465,7 @@ Para . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Enumerate Rotamos sobre el eje \begin_inset Formula $Y$ @@ -1544,7 +1604,7 @@ D:=(BA)^{-1}=(BA)^{t}=\left(\begin{array}{ccc} \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Multiplicando todo, la matriz es \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} @@ -1590,9 +1650,31 @@ Claramente esta matriz es ortogonal especial por ser producto de matrices \end_inset , que también es ortogonal especial. + Por otro lado, como todo punto +\begin_inset Formula $(x,y,z)\in\mathbb{S}^{2}$ +\end_inset + + y ángulo +\begin_inset Formula $\theta\in[0,\pi)$ +\end_inset + + se pueden expresar como +\begin_inset Formula $(\cos\theta,x\sin\theta,y\sin\theta,z\sin\theta)\in\mathbb{R}^{3}$ +\end_inset + + y los elementos de +\begin_inset Formula ${\cal SO}(3)$ +\end_inset + + son todos rotaciones, esta aplicación es suprayectiva. \end_layout \end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate La aplicación \begin_inset Formula $f:\mathbb{S}^{2}\to{\cal SO}(3)$ @@ -1615,10 +1697,10 @@ que asocia a cada punto de la esfera la rotación de \end_inset alrededor de la recta que genera. -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Se obtiene tomando \begin_inset Formula $w=0$ \end_inset @@ -1636,7 +1718,11 @@ noprefix "false" y simplificando. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Base de una topología \end_layout @@ -1842,7 +1928,8 @@ Sean \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open \begin_layout Description \begin_inset Formula $[1\implies2]$ @@ -1921,6 +2008,11 @@ una unión de elementos de . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard \begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal P}(X)$ \end_inset @@ -2001,7 +2093,12 @@ topología del límite inferior \end_inset . - En efecto, + +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, \begin_inset Formula $[a,b)$ \end_inset @@ -2036,6 +2133,11 @@ topología del límite inferior . \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Axiomas de numerabilidad \end_layout @@ -2112,10 +2214,10 @@ Si \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Tomamos la base \begin_inset Formula $\{(p,q)\}_{p,q\in\mathbb{Q},p<q}$ \end_inset @@ -2160,7 +2262,11 @@ Tomamos la base . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$ \end_inset @@ -2170,10 +2276,10 @@ Tomamos la base \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Sea \begin_inset Formula ${\cal B}$ \end_inset @@ -2220,7 +2326,11 @@ Sea no es numerable. \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Dados \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ @@ -2276,7 +2386,18 @@ primer axioma de numerabilidad \end_inset tiene una base de entornos numerable. - Ejemplos: + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage newpage +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -2284,44 +2405,52 @@ primer axioma de numerabilidad \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{[x,x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Todo espacio métrico \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula ${\cal B}_{x}:=\{B_{d}(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Enumerate Todo espacio 2A \begin_inset Formula $\mathbb{N}$ \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout Dada una base \begin_inset Formula ${\cal B}$ \end_inset @@ -2353,6 +2482,10 @@ Dada una base . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \end_body \end_document |