diff options
Diffstat (limited to 'ts')
| -rw-r--r-- | ts/n.lyx | 19 | ||||
| -rw-r--r-- | ts/n2.lyx | 1265 |
2 files changed, 1283 insertions, 1 deletions
@@ -150,6 +150,11 @@ https://repository.lboro.ac.uk/articles/Modelling_CPV/9523520 . \end_layout +\begin_layout Itemize +Essential Topology, Martin D. + Crossley (2005), Springer. +\end_layout + \begin_layout Chapter Espacios topológicos \end_layout @@ -164,5 +169,19 @@ filename "n1.lyx" \end_layout +\begin_layout Chapter +Propiedades topológicas +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n2.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + \end_body \end_document @@ -77,6 +77,35 @@ \begin_body +\begin_layout Standard +Una +\series bold +propiedad +\series default + de un espacio topológico es +\series bold +topológica +\series default + es invariante por homeomorfismos, y es +\series bold +hereditaria +\series default + si, cuando un espacio +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + la tiene, sus subespacios también. + Por ejemplo, los axiomas +\begin_inset Formula $\text{1A}\mathbb{N}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{2A}\mathbb{N}$ +\end_inset + + son hereditarios. +\end_layout + \begin_layout Section Conexión \end_layout @@ -633,7 +662,20 @@ En efecto, de no serlo existiría \end_inset - Así, si + Por tanto la conexión es una propiedad topológica, pero no es hereditaria + porque, por ejemplo, +\begin_inset Formula $[-1,1]$ +\end_inset + + es conexo pero su subespacio +\begin_inset Formula $\{-1,1\}$ +\end_inset + + no lo es. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si \begin_inset Formula $X\neq\emptyset$ \end_inset @@ -1780,5 +1822,1226 @@ estrellado Compacidad \end_layout +\begin_layout Standard +Un +\series bold +recubrimiento abierto +\series default + de +\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ +\end_inset + + es un conjunto +\begin_inset Formula ${\cal A}\subseteq{\cal T}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\bigcup{\cal A}=X$ +\end_inset + +, y entonces un +\series bold +subrecubrimiento +\series default + de +\begin_inset Formula ${\cal A}$ +\end_inset + + es un conjunto +\begin_inset Formula ${\cal B}\subseteq{\cal A}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\bigcup{\cal B}=X$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es +\series bold +compacto +\series default + si todo recubrimiento abierto de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + admite un subrecubrimiento finito. + Así: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\mathbb{S}^{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $[a,b]$ +\end_inset + +, no +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +, espacio topológico finito, discreto, +\begin_inset Formula $(a,b)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(a,b]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $[a,b)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(a,+\infty)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(-\infty,b)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo espacio topológico finito es compacto. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +Todo recubrimiento abierto es finito y, por tanto, un subrecubrimiento finito + de sí mismo. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Un espacio discreto es compacto si y sólo si es finito. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Dados el recubrimiento +\begin_inset Formula ${\cal A}:=\{\{x\}\}_{x\in X}$ +\end_inset + + y un subrecubrimiento finito +\begin_inset Formula ${\cal B}:=\{\{x_{1}\},\dots,\{x_{n}\}\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X=\bigcup{\cal B}=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Es el punto anterior. +\end_layout + +\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $Y\subseteq X$ +\end_inset + + es un +\series bold +subespacio compacto +\series default + de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}_{Y})$ +\end_inset + + es compacto. + Un +\series bold +recubrimiento +\series default + de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + por subconjuntos de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un conjunto +\begin_inset Formula ${\cal A}\subseteq{\cal T}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\bigcup{\cal A}\supseteq Y$ +\end_inset + +, y un subrecubrimiento de +\begin_inset Formula ${\cal A}$ +\end_inset + + es un subconjunto +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + suyo con +\begin_inset Formula $\bigcup{\cal B}\supseteq Y$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + es un subespacio compacto si y sólo si todo recubrimiento de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + por abiertos de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + admite un subrecubrimiento finito. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados dos espacios topológicos +\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $f:X\to Y$ +\end_inset + + es continua y +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es compacto, +\begin_inset Formula $f(X)$ +\end_inset + + es compacto. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + un recubrimiento de +\begin_inset Formula $f(X)$ +\end_inset + + por abiertos de +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\{f^{-1}(A_{i})\}_{i\in I}$ +\end_inset + + es un recubrimiento de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + que admite un subrecubrimiento finito +\begin_inset Formula $\{f^{-1}(A_{i_{1}}),\dots,f^{-1}(A_{i_{n}})\}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\{A_{i_{1}},\dots,A_{i_{n}}\}$ +\end_inset + + es un subrecubrimiento finito de +\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +La compacidad es una propiedad topológica no hereditaria. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, todo cerrado de un compacto es compacto. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + compacto, +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + un cerrado de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + un cubrimiento de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + por abiertos de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}\cup\{X\setminus C\}$ +\end_inset + + es un cubrimiento de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + que admite por tanto un subrecubrimiento finito +\begin_inset Formula $\{U_{1},\dots,U_{n}\}$ +\end_inset + +, pero entonces +\begin_inset Formula $\{U_{1},\dots,U_{n}\}\setminus\{X\setminus C\}$ +\end_inset + + es un subrecubrimiento finito de +\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Subsection +Compacidad en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +El cubo unidad +\begin_inset Formula $[0,1]^{n}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + es compacto. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + + un recubrimiento de +\begin_inset Formula $[0,1]^{n}$ +\end_inset + + y supongamos que no admite un subrecubrimiento finito. + Sea +\begin_inset Formula $I_{0}:=[0,1]^{n}$ +\end_inset + +, de los +\begin_inset Formula $2^{n}$ +\end_inset + + subconjuntos +\begin_inset Formula $\{[a_{1},a_{1}+\frac{1}{2}\times\cdots\times[a_{n},a_{n}+\frac{1}{2}]\}_{a_{1},\dots a_{n}\in\{0,\frac{1}{2}\}}$ +\end_inset + +, al menos uno, al que llamaremos +\begin_inset Formula $I_{1}$ +\end_inset + +, no admite un subrecubrimiento finito de +\begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset + +, pues si todos lo admitieran, +\begin_inset Formula $I_{0}$ +\end_inset + + también. + Repitiendo este proceso llegamos a una sucesión de intervalos encajados + +\begin_inset Formula $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq\dots$ +\end_inset + + en la que las longitudes en cada dimensión tienden a 0. + Entonces, si +\begin_inset Formula $I_{k}=:I_{k1}\times\cdots\times I_{kn}$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $j\in\{0,\dots,n\}$ +\end_inset + + existe un único +\begin_inset Formula $z_{i}\in\bigcap_{k}I_{kj}$ +\end_inset + +, luego existe un único +\begin_inset Formula $z:=(z_{1},\dots,z_{n})\in\bigcap_{k}I_{k}$ +\end_inset + +. + Entonces existe +\begin_inset Formula $i\in I$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $z\in A_{i}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $B(z,\varepsilon)\subseteq A_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $I_{n}\subseteq B(z,\varepsilon)$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + + admite el subrecubrimiento finito +\begin_inset Formula $\{A_{i}\}\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},b_{n}]$ +\end_inset + + intervalos cerrados y acotados de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},b_{n}]$ +\end_inset + + es compacto. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Basta considerar la función +\begin_inset Formula $f:[0,1]^{n}\to[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},b_{n}]$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $f(x):=((1-x_{j})a_{j}+x_{j}b_{j})_{j=1}^{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de Heine-Borel: +\series default + +\begin_inset Formula $X\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Como +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es acotado con la distancia +\begin_inset Formula $d_{\infty}$ +\end_inset + +, está contenido en un compacto +\begin_inset Formula $[a_{1},b_{1}]\times\cdots\times[a_{n},b_{n}]$ +\end_inset + +, luego es un cerrado dentro de un compacto y por tanto es compacto. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $\{(-k,k)^{n}\}_{k\in\mathbb{N}^{*}}$ +\end_inset + + un recubrimiento de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + y por tanto de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, existe un subrecubrimiento finito +\begin_inset Formula $\{(-k_{1},k_{1})^{n},\dots,(-k_{p},k_{p})^{n}\}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es acotado. + Para ver que es cerrado, si +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}\setminus X$ +\end_inset + + no fuera abierto, existiría +\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}^{n}\setminus X$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\forall\delta>0,B(z,\delta)\cap X\neq\emptyset$ +\end_inset + +. + Ahora bien, +\begin_inset Formula $\{U_{\delta}:=(-\infty,z-\delta)\cup(z+\delta,+\infty)\}_{\delta>0}$ +\end_inset + + es un recubrimiento de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + que admite por tanto un subrecubrimiento finito +\begin_inset Formula $\{U_{\delta_{1}},\dots,U_{\delta_{n}}\}$ +\end_inset + +. + Entonces, si +\begin_inset Formula $d:=\min_{k=1}^{n}\delta_{k}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\bigcup_{k=1}^{n}U_{\delta_{k}}=U_{d}\supseteq X$ +\end_inset + +, pero entonces +\begin_inset Formula $B(z,\delta)\cap X\subseteq B(z,\delta)\cap U_{d}=\emptyset\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí que, aunque la compacidad es una propiedad topológica, no es hereditaria. + Además, como +\series bold +teorema +\series default +, si +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es compacto, toda aplicación continua +\begin_inset Formula $f:X\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + alcanza sus extremos en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, esto es, existen +\begin_inset Formula $p,q\in X$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(p)=\min_{x\in X}f(x)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(q)=\max_{x\in X}f(x)$ +\end_inset + +. + En particular, el +\series bold +teorema de Bolzano +\series default + afirma que toda aplicación +\begin_inset Formula $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + continua alcanza sus extremos. +\end_layout + +\begin_layout Section +Axiomas de separación +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un espacio topológico +\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ +\end_inset + + es: +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $T_{2}$ +\end_inset + + o +\series bold +Hausdorff +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,(x\neq y\implies\exists U\in{\cal E}(x),V\in{\cal E}(y):U\cap V=\emptyset)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $T_{1}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,(x\neq y\implies{\cal E}(x)\nsubseteq{\cal E}(y)\land{\cal E}(y)\nsubseteq{\cal E}(x))$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Formula $T_{0}$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,(x\neq y\implies{\cal E}(x)\neq{\cal E}(y))$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Es claro que todo espacio +\begin_inset Formula $T_{2}$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $T_{1}$ +\end_inset + + y todo espacio +\begin_inset Formula $T_{1}$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $T_{0}$ +\end_inset + +, pero los recíprocos no se cumplen. + Ser Hausdorff es una propiedad hereditaria. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo espacio +\series bold +metrizable +\series default + (generado por algún espacio métrico) es Hausdorff. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, dados un espacio métrico +\begin_inset Formula $(X,d)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x,y\in X$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x\neq y$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $d:=d(x,y)>0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $B(x,\frac{d}{2})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B(y,\frac{d}{2})$ +\end_inset + + son entornos respectivos de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + disjuntos. +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\mathbb{R}_{\ell i}$ +\end_inset + + es Hausdorff +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues para +\begin_inset Formula $x,y\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x\neq y$ +\end_inset + +, si por ejemplo +\begin_inset Formula $x<y$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $[x,y)$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $[y,y+1)$ +\end_inset + + son entornos respectivos de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + disjuntos +\end_layout + +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un espacio +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $T_{1}$ +\end_inset + + si y sólo si para todo +\begin_inset Formula $x\in X$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{x\}$ +\end_inset + + es cerrado en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +. + En particular, todo subconjunto finito de un espacio +\begin_inset Formula $T_{1}$ +\end_inset + + es cerrado. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Dado +\begin_inset Formula $x\in X$ +\end_inset + +, para todo +\begin_inset Formula $y\neq x$ +\end_inset + + existe +\begin_inset Formula $U_{y}\in{\cal E}(y)$ +\end_inset + + que no contiene a +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\bigcup_{y\neq x}U_{y}=X\setminus\{x\}$ +\end_inset + + es abierto y por tanto +\begin_inset Formula $\{x\}$ +\end_inset + + es cerrado. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $x,y\in X$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x\neq y$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X\setminus\{x\}$ +\end_inset + + es un entorno de +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + que no lo es de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + y viceversa. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + Hausdorff y +\begin_inset Formula $f:X\to X$ +\end_inset + + continua, +\begin_inset Formula $\text{fix}f:=\{x\in X:f(x)=x\}$ +\end_inset + + es cerrado en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +. + En particular, si +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un espacio métrico, +\begin_inset Formula $\forall x\neq f(x),\exists\delta>0:B(x,\delta)\cap\text{fix}f=\emptyset$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Queremos ver que +\begin_inset Formula $S:=X\setminus\text{fix}f$ +\end_inset + + es abierto. + Sea +\begin_inset Formula $x_{0}\in S$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(x_{0})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V\in{\cal E}(f(x_{0}))$ +\end_inset + + disjuntos y +\begin_inset Formula $W\in{\cal E}(x_{0})$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $f(W)\subseteq V$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $U\cap W\subseteq S$ +\end_inset + +, pues para +\begin_inset Formula $z\in U\cap W$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $z\in W$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(z)\in V$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $z\in U$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $U$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + son disjuntos +\begin_inset Formula $z\neq f(z)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $f:X\to Y$ +\end_inset + + es continua e inyectiva e +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + es Hausdorff, +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + también lo es. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +En efecto, dados +\begin_inset Formula $x_{1},x_{2}\in X$ +\end_inset + + distintos, +\begin_inset Formula $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ +\end_inset + + y por tanto existen +\begin_inset Formula $V_{1}\in{\cal E}(f(x_{1}))$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V_{2}\in{\cal E}(f(x_{2}))$ +\end_inset + + disjuntos, luego +\begin_inset Formula $U_{1}:=f^{-1}(V_{1})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $U_{2}:=f^{-1}(V_{2})$ +\end_inset + + son entornos respectivos de +\begin_inset Formula $x_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x_{2}$ +\end_inset + + disjuntos. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, todo subespacio compacto de un espacio Hausdorff es cerrado. +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + Hausdorff y +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un subespacio compacto de +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, queremos ver que +\begin_inset Formula $K^{\complement}$ +\end_inset + + es abierto. + Sea +\begin_inset Formula $q\in K^{\complement}$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $p\in K$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $U_{p}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $V_{p}$ +\end_inset + + entornos respectivos de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + disjuntos, luego +\begin_inset Formula $\bigcup_{q\in K}U_{p}$ +\end_inset + + es un recubrimiento de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + por abiertos que admite pues un subrecubrimiento +\begin_inset Formula $\{U_{p_{1}},\dots,U_{p_{k}}\}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $A_{q}:=V_{p_{1}}\cap\dots\cap V_{p_{k}}\subseteq U_{p_{1}}^{\complement}\cap\dots\cap U_{p_{k}}^{\complement}=(U_{p_{1}}\cup\dots\cup U_{p_{k}})^{\complement}\subseteq K^{\complement}$ +\end_inset + + es un entorno de +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + contenido en +\begin_inset Formula $K^{\complement}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\bigcup_{q\in K^{\complement}}A_{q}=K^{\complement}$ +\end_inset + + es abierto. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \end_body \end_document |