From 8e44c44aff96736ab0d529c44cfcd5cfdac68dfa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Juan Marin Noguera Date: Wed, 25 Jan 2023 12:53:51 +0100 Subject: Erratas MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Esta vez en algunas asignaturas no llegué a comprobar erratas: - En funcional a partir de 2.11 - En DSI - En conmutativa a partir de la enumeración antes del lema de Artin en 3.8 --- ac/n1.lyx | 3616 ++++++++++++++++++++++++----------------------------------- ac/n2.lyx | 35 +- ac/n3.lyx | 364 +++--- ac/n4.lyx | 10 +- af/n1.lyx | 355 +++--- af/n2.lyx | 333 +++--- mc/n1.lyx | 25 +- mc/n2.1.dot | 4 +- mc/n2.1.tex | 4 +- mc/n2.lyx | 351 +++--- mc/n3.lyx | 200 ++-- mc/n4.lyx | 37 +- mc/n5.lyx | 125 ++- mc/n6.lyx | 39 +- mc/n7.lyx | 153 ++- mc/n8.lyx | 88 +- pia/n4.lyx | 630 +++++++---- pia/n5.lyx | 214 +++- pia/n6.lyx | 53 +- pia/n7.lyx | 45 +- 20 files changed, 2976 insertions(+), 3705 deletions(-) diff --git a/ac/n1.lyx b/ac/n1.lyx index 16e7e5f..8cb8008 100644 --- a/ac/n1.lyx +++ b/ac/n1.lyx @@ -187,8 +187,12 @@ El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos \begin_inset Formula $(n+1)a\coloneqq na+a$ \end_inset - y +, \begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq a^{n}a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(-na)\coloneqq-(na)$ \end_inset . @@ -212,8 +216,8 @@ identidad uno \series default . - Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos - a anillos conmutativos y con identidad. + Salvo que se indique lo contrario, los anillos serán conmutativos y con + identidad. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -230,10 +234,6 @@ uno y \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset son anillos con la suma y el producto usuales. @@ -265,25 +265,25 @@ El conjunto de funciones \begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset - que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad + que se anulan en casi todo punto es un anillo conmutativo sin identidad con la suma y producto de funciones. \end_layout \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset - son anillos, -\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ + es una familia de anillos, +\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$ \end_inset es un anillo con las operaciones componente a componente, el \series bold anillo producto \series default - de -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ + de los +\begin_inset Formula $A_{i}$ \end_inset . @@ -351,15 +351,7 @@ Llamamos \end_inset . - [...] Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo [...], -\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ -\end_inset - - es un anillo [...]. + [...]. Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -368,19 +360,11 @@ Llamamos \begin_inset Formula $n$ \end_inset - es un entero positivo, el conjunto + es un entero positivo, [...] \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ \end_inset - de matrices cuadradas en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - de tamaño -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es un anillo con la suma y el producto habituales. + [...] es un anillo con la suma y el producto habituales. \end_layout \begin_layout Standard @@ -480,87 +464,8 @@ status open . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -8. -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son invertibles si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $ab$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $ba$ -\end_inset - -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, definimos -\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq0$ -\end_inset - -, y para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $na\coloneqq(n-1)a+a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq-(na)$ -\end_inset - -. - Definimos -\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq1_{A}$ -\end_inset - -, para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a^{n}\coloneqq a^{n-1}a$ -\end_inset - -, y si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es invertible, -\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}$ -\end_inset - -. - -\end_layout - \begin_layout Standard -Dados un anillo +[...] Dados un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -596,52 +501,57 @@ Dados un anillo . \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $n,m\geq0$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open -, -\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout -, y si -\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es invertible, esto se cumple para -\begin_inset Formula $n$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados dos anillos +\begin_inset Formula $A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $m$ +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - enteros arbitrarios. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si [...] -\begin_inset Formula $n\geq0$ +, un +\series bold +homomorfismo de anillos +\series default + es una +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ + tal que +\begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset -, y si [...] -\begin_inset Formula $a$ + y, para +\begin_inset Formula $x,y\in A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b$ +, +\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)$ \end_inset - son invertibles, esto se cumple para todo entero -\begin_inset Formula $n$ + y +\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$ \end_inset . + \end_layout \begin_layout Standard @@ -652,7 +562,7 @@ status open \backslash -end{reminder} +begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset @@ -661,249 +571,215 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard -Un anillo es -\series bold -conmutativo -\series default - si su producto es conmutativo, y tiene +Un \series bold -identidad +automorfismo \series default - si este tiene elemento neutro -\begin_inset Formula $1\in A$ + de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - llamado -\series bold -uno -\series default -. - Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos - a anillos conmutativos y con identidad. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ + es un isomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +. + [...] Sean +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ + un homomorfismo de anillos y +\begin_inset Formula $a,b,a_{1},\dots,a_{n}\in A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset +: +\end_layout - para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(0)=0$ \end_inset - son anillos con la suma y el producto usuales. +. \end_layout \begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $c\in\mathbb{C}$ +\begin_inset Formula $f(-a)=-f(a)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[c]\coloneqq\left\{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n}\right\} _{a\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}}\subseteq\mathbb{C}$ -\end_inset +. +\end_layout - es un anillo con la suma y el producto de complejos, y en particular lo - es -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\text{i}]\coloneqq\{a+b\text{i}\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(a-b)=f(a)-f(b)$ \end_inset -, el -\series bold -anillo de los enteros de Gauss -\series default . \end_layout \begin_layout Enumerate -El conjunto de funciones -\begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad - con la suma y producto de funciones. +\begin_layout Plain Layout +5. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset - son anillos, -\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ -\end_inset - es un anillo con las operaciones componente a componente, el -\series bold -anillo producto -\series default - de -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\begin_inset Formula $f(na)=nf(a)$ \end_inset . \end_layout +\begin_layout Standard +[...] Ejemplos: +\end_layout + \begin_layout Enumerate -Dado un anillo +Dados anillos \begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ \end_inset , -\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - es un anillo con la suma componente a componente y el producto -\begin_inset Formula $a\cdot b\coloneqq(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})_{n}$ + dada por +\begin_inset Formula $f(a)=0$ \end_inset -, el -\series bold -anillo de las series de potencias -\series default - sobre -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, y un -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - se suele denotar como -\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$ + es un homomorfismo si y sólo si +\begin_inset Formula $B=0$ \end_inset . + [...] \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} +3. \end_layout \end_inset +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\begin_inset Formula $Y^{X}$ +, +\begin_inset Formula $\mu:\mathbb{Z}\to A$ \end_inset - al conjunto de funciones de -\begin_inset Formula $X$ + dada por +\begin_inset Formula $\mu(n)\coloneqq n1$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $Y$ + es el único homomorfismo de anillos de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset -. - [...] Si + en \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un anillo [...], -\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ -\end_inset +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout - es un anillo [...]. - Si -\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un anillo y -\begin_inset Formula $n$ +Dada una familia de anillos +\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset - es un entero positivo, el conjunto -\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ + y +\begin_inset Formula $j\in I$ \end_inset - de matrices cuadradas en -\begin_inset Formula $A$ +, la +\series bold +proyección +\series default + +\begin_inset Formula $p_{j}:\prod_{i\in I}A_{i}\to A_{j}$ \end_inset - de tamaño -\begin_inset Formula $n$ + dada por +\begin_inset Formula $p_{j}(a)\coloneqq a_{j}$ \end_inset - es un anillo con la suma y el producto habituales. + es un homomorfismo. \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} +5. \end_layout \end_inset +La +\series bold +conjugación +\series default + de complejos, dada por +\begin_inset Formula $\overline{a+bi}\coloneqq a-bi$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados dos anillos -\begin_inset Formula $A$ + para +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $B$ +, es un automorfismo en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset -, un -\series bold -homomorfismo de anillos -\series default - es una -\begin_inset Formula $f:A\to B$ +. + [...] Si +\begin_inset Formula $d$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $f(1)=1$ + es un entero que no es un cuadrado, definiendo el conjugado de +\begin_inset Formula $a+b\sqrt{d}$ \end_inset - y, para -\begin_inset Formula $x,y\in A$ + como +\begin_inset Formula $a-b\sqrt{d}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)$ + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$ + o en +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ \end_inset -. - + tenemos un automorfismo. \end_layout \begin_layout Standard @@ -914,7 +790,7 @@ status open \backslash -begin{reminder}{GyA} +end{reminder} \end_layout \end_inset @@ -923,53 +799,47 @@ begin{reminder}{GyA} \end_layout \begin_layout Standard -Un -\series bold -automorfismo -\series default - de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_inset ERT +status open - es un isomorfismo de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset -. - [...] Sean -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset +\backslash +begin{samepage} +\end_layout - un homomorfismo de anillos y -\begin_inset Formula $a,b,a_{1},\dots,a_{n}\in A$ \end_inset -: + \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $f(0)=0$ +\begin_layout Standard +Un homomorfismo +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es inyectivo si y sólo si +\begin_inset Formula $\ker f=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $f(-a)=-f(a)$ +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset -. + \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $f(a-b)=f(a)-f(b)$ \end_inset -. +Obvio. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -977,289 +847,86 @@ automorfismo status open \begin_layout Plain Layout -5. +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + \end_layout \end_inset -\begin_inset Formula $f(na)=nf(a)$ +\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies0=f(a)-f(b)=f(a-b)\implies a-b=0\implies a=b$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -6. -\end_layout -\end_inset -Si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset +\backslash +end{samepage} +\end_layout - es invertible, -\begin_inset Formula $f(a)$ \end_inset - también lo es y -\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ -\end_inset -. \end_layout \begin_layout Standard -[...] Ejemplos: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dados anillos -\begin_inset Formula $A$ +Un +\series bold +isomorfismo de anillos +\series default + es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo. + En efecto, sea +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $B$ + un isomorfismo, como +\begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\begin_inset Formula $f^{-1}(1)=1$ \end_inset - dada por -\begin_inset Formula $f(a)=0$ +; si +\begin_inset Formula $b,b'\in B$ \end_inset - es un homomorfismo si y sólo si -\begin_inset Formula $B=0$ +, sean +\begin_inset Formula $a\coloneqq f^{-1}(b)$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sea -\begin_inset Formula $B$ + y +\begin_inset Formula $a'\coloneqq f^{-1}(b')$ \end_inset - un subanillo de -\begin_inset Formula $A$ +, entonces +\begin_inset Formula $f(a+a')=f(a)+f(a')=b+b'$ \end_inset -, la inclusión -\begin_inset Formula $i:B\to A$ +, luego +\begin_inset Formula $f^{-1}(b+b')=a+a'=f^{-1}(b)+f^{-1}(b')$ \end_inset - es un homomorfismo. -\end_layout +, y análogamente +\begin_inset Formula $f^{-1}(bb')=f^{-1}(b)f^{-1}(b')$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Dado un anillo +. + Dos anillos \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mu:\mathbb{Z}\to A$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $\mu(n)\coloneqq n1$ -\end_inset - - es el único homomorfismo de anillos de -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dada una familia de anillos -\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $j\in I$ -\end_inset - -, la -\series bold -proyección -\series default - -\begin_inset Formula $p_{j}:\prod_{i\in I}A_{i}\to A_{j}$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $p_{j}(a)\coloneqq a_{j}$ -\end_inset - - es un homomorfismo. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -La -\series bold -conjugación -\series default - de complejos, dada por -\begin_inset Formula $\overline{a+bi}\coloneqq a-bi$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$ -\end_inset - -, es un automorfismo en -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - -. - [...] Si -\begin_inset Formula $d$ -\end_inset - - es un entero que no es un cuadrado, definiendo el conjugado de -\begin_inset Formula $a+b\sqrt{d}$ -\end_inset - - como -\begin_inset Formula $a-b\sqrt{d}$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ -\end_inset - - o en -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ -\end_inset - - tenemos un automorfismo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un homomorfismo -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - es inyectivo si y sólo si -\begin_inset Formula $\ker f=0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Obvio. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies0=f(a)-f(b)=f(a-b)\implies a-b=0\implies a=b$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\series bold -isomorfismo de anillos -\series default - es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo. - En efecto, sea -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - un isomorfismo, como -\begin_inset Formula $f(1)=1$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f^{-1}(1)=1$ -\end_inset - -; si -\begin_inset Formula $b,b'\in B$ -\end_inset - -, sean -\begin_inset Formula $a\coloneqq f^{-1}(b)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a'\coloneqq f^{-1}(b')$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $f(a+a')=f(a)+f(a')=b+b'$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $f^{-1}(b+b')=a+a'=f^{-1}(b)+f^{-1}(b')$ -\end_inset - -, y análogamente -\begin_inset Formula $f^{-1}(bb')=f^{-1}(b)f^{-1}(b')$ -\end_inset - -. - Dos anillos -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $B$ + y +\begin_inset Formula $B$ \end_inset son @@ -1396,70 +1063,214 @@ grupo de las unidades \begin_inset Formula $xy\in A^{*}\iff x,y\in A^{*}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es -\series bold -cancelable -\series default - si -\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(ax=ay\implies x=y)$ -\end_inset - -, si y sólo si no es divisor de cero. - Toda unidad es cancelable, pues podemos cancelar multiplicando por el inverso. - Si -\begin_inset Formula $A$ +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ \end_inset - es finito se da el recíproco, pues -\begin_inset Formula $x\mapsto ax$ +. + Para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset - es inyectiva y por tanto suprayectiva y existe -\begin_inset Formula $x$ + y +\begin_inset Formula $a\in A^{*}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $ax=1$ +, llamamos +\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}=(a^{n})^{-1}$ \end_inset . - Para -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\end_layout - infinito esto no es cierto en general, pues -\begin_inset Formula $2$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - es cancelable en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - pero no es unidad. + +\backslash +begin{reminder}{GyA} \end_layout -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - es -\series bold -divisor de cero -\series default - si existe -\begin_inset Formula $c\in A\setminus\{0\}$ -\end_inset - con +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $n,m\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, esto se cumple para +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + enteros arbitrarios. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + +\end_inset + +Si [...] +\begin_inset Formula $n\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ +\end_inset + +, y si [...] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son invertibles, esto se cumple para todo entero +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +6. +\end_layout + +\end_inset + +Si [ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es un homomorfismo de anillos y] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, +\begin_inset Formula $f(a)$ +\end_inset + + también lo es y +\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + es +\series bold +cancelable +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(ax=ay\implies x=y)$ +\end_inset + +. + Toda unidad es cancelable, pues podemos cancelar multiplicando por el inverso. + Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es finito se da el recíproco, pues +\begin_inset Formula $x\mapsto ax$ +\end_inset + + es inyectiva y por tanto suprayectiva y existe +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $ax=1$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + infinito esto no es cierto en general, pues +\begin_inset Formula $2$ +\end_inset + + es cancelable en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + pero no es unidad. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + es +\series bold +divisor de cero +\series default + si existe +\begin_inset Formula $c\in A\setminus\{0\}$ +\end_inset + + con \begin_inset Formula $ac=0$ \end_inset @@ -1605,26 +1416,6 @@ begin{exinfo} \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es nilpotente entonces -\begin_inset Formula $1+(a)\subseteq A^{*}$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ -\end_inset - -. -\end_layout - \begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $e\in A$ @@ -1681,14 +1472,10 @@ Dado un homomorfismo \begin_layout Standard Dados anillos \begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a=(a_{1},\dots,a_{n})\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a$ +\begin_inset Formula $a\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset es invertible, cancelable, divisor de cero, nilpotente o idempotente en @@ -1761,11 +1548,11 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$ +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}|>2$ \end_inset , -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$ +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}|=|\mathbb{N}|$ \end_inset . @@ -1788,802 +1575,417 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Section -Dominios +Subanillos \end_layout \begin_layout Standard -Un anillo es +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, un +\begin_inset Formula $S\subseteq A$ +\end_inset + + es un \series bold -reducido +subanillo \series default - si no tiene elementos nilpotentes distintos de 0, si y sólo si todo elemento - no nulo tiene cuadrado no nulo. -\end_layout + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open + si es un anillo con las mismas operaciones y el mismo uno que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +, si y sólo si es la imagen de un homomorfismo +\begin_inset Formula $B\to A$ \end_inset +, si y sólo si +\begin_inset Formula $1\in S$ +\end_inset -\end_layout + y para +\begin_inset Formula $x,y\in S$ +\end_inset +, +\begin_inset Formula $x-y,xy\in S$ \end_inset -Trivial. +. \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset - + Basta tomar el homomorfismo inclusión. \end_layout +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset -Si hubiera -\begin_inset Formula $b\in\text{Nil}(A)\setminus\{0\}$ + Sea +\begin_inset Formula $f:B\to A$ \end_inset -, sea -\begin_inset Formula $n>0$ -\end_inset - - mínimo con -\begin_inset Formula $b^{n}=0$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un -\series bold -dominio -\series default - si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo - es cancelable, y es un -\series bold -cuerpo -\series default - si todo elemento no nulo es unidad. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. - Los recíprocos no se cumplen, pues -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es un dominio que no es un cuerpo y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ -\end_inset - - es un anillo reducido que no es un dominio. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - -Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular - lo es todo dominio finito. -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a,b\in D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - -\series bold -divide a -\series default - -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ + el homomorfismo, +\begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset - es -\series bold -divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $b$ + y, si +\begin_inset Formula $x',y'\in B$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $b$ + cumplen +\begin_inset Formula $x=f(x')$ \end_inset - es -\series bold -múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $a$ + e +\begin_inset Formula $y=f(y')$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - -, si existe -\begin_inset Formula $c\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $ac=b$ -\end_inset - -. - Esta relación es reflexiva y transitiva, y para -\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\mid c$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ -\end_inset - -. - Dos elementos -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son -\series bold -asociados -\series default - si -\begin_inset Formula $a\mid b$ +\begin_inset Formula $x-y=f(x'-y')\in S$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b\mid a$ -\end_inset - -, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $b=au$ +\begin_inset Formula $xy=f(x'y')\in S$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $b=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=0$ -\end_inset - - y tomamos -\begin_inset Formula $u=1$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset -. - En otro caso, sean -\begin_inset Formula $c,d\in D$ + +\begin_inset Formula $1\in S$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $ac=b$ + y por tanto +\begin_inset Formula $1-1=0\in S$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $bd=a$ +, y para +\begin_inset Formula $a,b\in S$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $dc=1$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $c$ -\end_inset - - es unidad. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo [...] y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ +\begin_inset Formula $-a=0-a\in S$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es -\series bold -irreducible -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ -\end_inset - -, y es -\series bold -primo -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, todo primo es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Irreducible en un dominio no implica primo. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es irreducible si y sólo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es maximal entre los ideales principales no nulos de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, es decir, si -\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ +\begin_inset Formula $a+b=a-(-b)\in S$ \end_inset y -\begin_inset Formula $S\subseteq A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es un -\series bold -máximo común divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -[ -\begin_inset Formula $=\gcd S$ -\end_inset - -], si divide a cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un -\series bold -mínimo común múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - -[ -\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ -\end_inset - -], si es múltiplo de cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y divide a cada elemento que cumple esto. - Para -\begin_inset Formula $a,b\in A$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - - si y solo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es el menor ideal principal de -\begin_inset Formula $A$ +\begin_inset Formula $ab\in S$ \end_inset - que contiene a +, luego \begin_inset Formula $S$ \end_inset -. - En particular, si -\begin_inset Formula $(a)=(S)$ + es cerrado para suma, producto y opuesto. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +En la cadena +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +, cada anillo es subanillo de los que lo contienen, como pasa en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[\text{i}]\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $(a)$ +, el +\series bold +anillo +\series default + de los polinomios en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es el mayor ideal principal de +, +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +, es el subanillo de +\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket$ +\end_inset + + formado por las series con una cantidad finita de elementos no nulos, y + \begin_inset Formula $A$ \end_inset - contenido en -\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset -. - En particular, si -\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ + identificando +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ + con +\begin_inset Formula $(a,0,\dots,0,\dots)$ \end_inset -. + por isomorfismo. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open -, -\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - y -\begin_inset Formula $b$ +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + \end_inset - son asociados en + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset + es un subanillo de sí mismo, el +\series bold +subanillo impropio +\series default +, y el resto de subanillos son +\series bold +propios +\series default . + [...] \end_layout \begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open -, -\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +3. +\end_layout - si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b$ + +\begin_inset Formula $\{0\}$ \end_inset - son asociados en + es subanillo de \begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $A=\{0\}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - divide a todo elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - y -\begin_inset Formula $a\in(S)$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout -, entonces -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -. - En tal caso llamamos +Llamamos \series bold -identidad de Bézout +subanillo primo \series default - a una expresión de la forma -\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ + de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ + a +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset -, que existe porque -\begin_inset Formula $a\in(S)$ +, el menor subanillo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout - si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de -\begin_inset Formula $S$ \end_inset - son las unidades de +Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset -. -\end_layout + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $1\in(S)$ + son anillos y +\begin_inset Formula $B\neq0$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ +\begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$ +\end_inset + + es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de +\begin_inset Formula $A\times B$ \end_inset . + [...] \end_layout -\begin_layout Standard -[...] Dado un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -, una -\series bold -factorización en producto de irreducibles -\series default - de -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +7. +\end_layout - es una expresión de la forma -\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ \end_inset -, donde -\begin_inset Formula $u$ +Dado un espacio topológico +\begin_inset Formula $X$ \end_inset - es una unidad de -\begin_inset Formula $D$ +, +\begin_inset Formula $\{f\in\mathbb{R}^{X}\mid f\text{ continua}\}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{X}$ \end_inset - son irreducibles en -\begin_inset Formula $D$ + con la suma y el producto por elementos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout + \end_inset -. - Dos factorizaciones en producto de irreducibles de -\begin_inset Formula $a\in D$ +Dado un espacio vectorial +\begin_inset Formula $V$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ +\begin_inset Formula $\{f\in V^{V}\mid f\text{ lineal}\}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $(V^{V},+,\circ)$ \end_inset -, son -\series bold -equivalentes -\series default - si -\begin_inset Formula $m=n$ -\end_inset +. +\end_layout - y existe una permutación -\begin_inset Formula $\sigma$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open - de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +9. +\end_layout - tal que para -\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $p_{k}$ +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ + y un conjunto +\begin_inset Formula $X$ \end_inset - son asociados, en cuyo caso -\begin_inset Formula $u$ +, +\begin_inset Formula $\{f\in A^{X}\mid f\text{ constante}\}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $v$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A^{X}$ \end_inset - también lo son. +. \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un -\series bold -dominio de factorización -\series default - ( -\series bold -DF -\series default -) si todo elemento no nulo de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - admite una factorización en producto de irreducibles, y es un -\series bold -dominio de factorización única -\series default - ( -\series bold -DFU -\series default - o -\series bold -UFD -\series default -) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. -\end_layout +\begin_inset ERT +status open -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout -\series bold -Teorema Fundamental de la Aritmética: -\series default - -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - es un DFU. +\backslash +vspace{6pt} \end_layout -\begin_layout Enumerate -Dado -\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ +[...] Si [ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - es un DF. -\end_layout + es un homomorfismo y] +\begin_inset Formula $B'$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Un dominio -\begin_inset Formula $D$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de -\begin_inset Formula $D$ +, +\begin_inset Formula $f^{-1}(B')$ \end_inset - es producto de una unidad por primos, si y sólo si -\begin_inset Formula $D$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2602,89 +2004,129 @@ end{reminder} \end_layout -\begin_layout Standard -Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. - También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. +\begin_layout Section +Ideales \end_layout \begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $n\geq2$ +Un +\begin_inset Formula $I\subseteq A$ \end_inset -: -\end_layout + es un +\series bold +ideal +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ +, +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset - es unidad si y sólo si -\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ +, si es el núcleo de un homomorfismo +\begin_inset Formula $A\to B$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +, si y sólo si +\begin_inset Formula $0\in I$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x,y\in I$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x+y,ax\in I$ \end_inset . -\end_layout + En concreto, definiendo la relación de equivalencia +\series bold +módulo +\series default + +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ + como +\begin_inset Formula $a\equiv b\iff a-b\in I$ \end_inset +, el conjunto cociente +\begin_inset Formula $A\slash I\coloneqq A\slash\equiv$ +\end_inset -\end_layout + es un anillo con la suma +\begin_inset Formula $\overline{a}+\overline{b}\coloneqq\overline{a+b}$ +\end_inset +, el producto +\begin_inset Formula $\overline{a}\,\overline{b}\coloneqq\overline{ab}$ \end_inset -Si fuera -\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$ +, +\begin_inset Formula $0=\overline{0}$ \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$ +, +\begin_inset Formula $1=\overline{1}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $r=dr'$ +, +\begin_inset Formula $-\overline{a}=\overline{-a}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $n=dn'$ + y, si +\begin_inset Formula $a\in A^{*}$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$ +, +\begin_inset Formula $\overline{a}\in(A/I)^{*}$ \end_inset - pero -\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$ + y +\begin_inset Formula $\overline{a}^{-1}=\overline{a^{-1}}$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $r$ +, donde +\begin_inset Formula $\overline{a}$ \end_inset - es divisor de cero. -\begin_inset Formula $\#$ + es la clase de equivalencia de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +, y la +\series bold +proyección canónica +\series default + +\begin_inset Formula $p:A\to A/I$ \end_inset + es un homomorfismo con núcleo +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset +. \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset @@ -2692,40 +2134,36 @@ status open \end_inset -Una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $ar+bn=1$ +Sean +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - se traduce en que -\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$ + un homomorfismo, +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ + y +\begin_inset Formula $x,y\in\ker f$ \end_inset - es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de -\begin_inset Formula $n$ +. + Entonces +\begin_inset Formula $f(ax)=f(a)f(x)=f(a)0=0$ \end_inset - dividen a -\begin_inset Formula $r$ + y +\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset @@ -2734,727 +2172,785 @@ status open \end_inset Sean -\begin_inset Formula $m$ +\begin_inset Formula $a\equiv a',b\equiv b'\in A$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $x\coloneqq a-a',y\coloneqq b-b'\in I$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a+b=a'+x+b'+y=a'+b'+(x+y)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x+y\in I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a+b\equiv a'+b'$ +\end_inset + +. + Además +\begin_inset Formula $ab=(a'+x)(b'+y)=a'b'+a'y+b'x+xy$ \end_inset con -\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p$ +\begin_inset Formula $a'y+b'x+xy\in I$ \end_inset - un divisor primo de -\begin_inset Formula $n$ +, luego +\begin_inset Formula $ab\equiv a'+b'$ \end_inset -, como -\begin_inset Formula $n$ + y el producto está bien definido. + Entonces es fácil ver que +\begin_inset Formula $A/I$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ + es un anillo con los neutros y simétricos indicados. + Además, +\begin_inset Formula $p(1)=\overline{1}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $p$ +\begin_inset Formula $p(a+b)=\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}=p(a)+p(b)$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ + y del mismo modo +\begin_inset Formula $p(ab)=p(a)p(b)$ \end_inset - y por tanto a -\begin_inset Formula $r$ +, y +\begin_inset Formula $p(x)=\overline{x}=0\iff x-0=x\in I$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - +\begin_layout Standard +Llamamos +\begin_inset Formula ${\cal L}(A)$ \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$ + al conjunto de ideales de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - la descomposición prima de -\begin_inset Formula $n$ +. + Todo anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ + tiene al menos el +\series bold +ideal trivial +\series default + +\begin_inset Formula $0\coloneqq\{0\}$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r$ + y el +\series bold +ideal impropio +\series default + +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ +, el único que contiene una unidad. + En efecto, si +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $n$ + y existe +\begin_inset Formula $u\in I\cap A^{*}$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ +, para +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +, +\begin_inset Formula $a=(au^{-1})u\in I$ \end_inset , luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $I=A$ \end_inset . -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ + +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset - es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ + es +\series bold +propio +\series default +, +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset - es primo. +, si no es impropio. \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies2]$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - Visto. +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - Probamos el contrarrecíproco. - Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ +Dados anillos +\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $10$ +\end_inset + + mínimo con +\begin_inset Formula $b^{n}=0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ +\end_inset +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Todo anillo +\begin_layout Standard +Un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un subanillo de sí mismo, el + es un \series bold -subanillo impropio +dominio \series default -, y el resto de subanillos son + si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo + es cancelable, y es un \series bold -propios +cuerpo \series default -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -3. + si todo elemento no nulo es unidad. \end_layout +\begin_layout Standard +Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. + Los recíprocos no se cumplen, pues +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - -\begin_inset Formula $\{0\}$ + es un dominio que no es un cuerpo y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ \end_inset - es subanillo de -\begin_inset Formula $A$ + es un anillo reducido que no es un dominio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido + es reducido. + No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $A=\{0\}$ + es subanillo del cuerpo +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset -. + pero no es un cuerpo. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -4. + + +\backslash +begin{exinfo} \end_layout \end_inset -Llamamos -\series bold -subanillo primo -\series default - de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular + lo es todo dominio finito. +\begin_inset ERT +status open - a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout -, el menor subanillo de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset -. +\backslash +end{exinfo} \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +\end_inset + -\begin_layout Plain Layout -5. \end_layout +\begin_layout Standard +Dados un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -Si -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $a,b\in D$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $B$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - son anillos y -\begin_inset Formula $B\neq0$ + +\series bold +divide a +\series default + +\begin_inset Formula $b$ \end_inset , -\begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$ +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de -\begin_inset Formula $A\times B$ + es +\series bold +divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $b$ \end_inset -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -7. -\end_layout - + o +\begin_inset Formula $b$ \end_inset -Dado un espacio topológico -\begin_inset Formula $X$ + es +\series bold +múltiplo +\series default + de +\begin_inset Formula $a$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\{f\in\mathbb{R}^{X}\mid f\text{ continua}\}$ +\begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{X}$ +, si existe +\begin_inset Formula $c\in D$ \end_inset - con la suma y el producto por elementos. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -8. -\end_layout + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset +. + Esta relación es reflexiva y transitiva, y para +\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ \end_inset -Dado un espacio vectorial -\begin_inset Formula $V$ +, si +\begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\{f\in V^{V}\mid f\text{ lineal}\}$ + y +\begin_inset Formula $a\mid c$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $(V^{V},+,\circ)$ +, +\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -9. -\end_layout + Dos elementos +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + y +\begin_inset Formula $b$ \end_inset -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ + son +\series bold +asociados +\series default + si +\begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset - y un conjunto -\begin_inset Formula $X$ + y +\begin_inset Formula $b\mid a$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\{f\in A^{X}\mid f\text{ constante}\}$ +, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $A^{X}$ + con +\begin_inset Formula $b=au$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -[...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -9. +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + \end_layout \end_inset -Si -\begin_inset Formula $B'$ +Si +\begin_inset Formula $b=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + + y tomamos +\begin_inset Formula $u=1$ +\end_inset + +. + En otro caso, sean +\begin_inset Formula $c,d\in D$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $B$ + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $bd=a$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f^{-1}(B')$ +\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $A$ +, luego +\begin_inset Formula $dc=1$ \end_inset -. + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + es unidad. \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -10. +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + \end_layout \end_inset -Si -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - es un isomorfismo de anillos, -\begin_inset Formula $f^{-1}$ +\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ \end_inset - también. +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -3465,7 +2961,7 @@ status open \backslash -end{reminder} +begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset @@ -3474,528 +2970,503 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard -Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido - es reducido. - No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +Sean +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es subanillo del cuerpo -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ + un anillo [...] y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ \end_inset - pero no es un cuerpo. -\end_layout - -\begin_layout Section -Ideales -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $I\subseteq A$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es un + es \series bold -ideal +irreducible \series default - de + en \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ \end_inset -, si es el núcleo de un homomorfismo -\begin_inset Formula $A\to B$ +, y es +\series bold +primo +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $0\in I$ + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ \end_inset - y, para -\begin_inset Formula $a\in A$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x,y\in I$ + es un dominio, todo primo es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Irreducible en un dominio no implica primo. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $x+y,ax\in I$ + es un dominio, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -. - En concreto, definiendo la relación de equivalencia -\series bold -módulo -\series default - -\begin_inset Formula $I$ + es irreducible si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset - en + es maximal entre los ideales principales no nulos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset - como -\begin_inset Formula $a\equiv b\iff a-b\in I$ +, es decir, si +\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ \end_inset -, el conjunto cociente -\begin_inset Formula $A\slash I\coloneqq A\slash\equiv$ + y +\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ \end_inset - es un anillo con la suma -\begin_inset Formula $\overline{a}+\overline{b}\coloneqq\overline{a+b}$ -\end_inset +. + [...] +\end_layout -, el producto -\begin_inset Formula $\overline{a}\,\overline{b}\coloneqq\overline{ab}$ +\begin_layout Standard +Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $0=\overline{0}$ + y +\begin_inset Formula $S\subseteq A$ \end_inset , -\begin_inset Formula $1=\overline{1}$ +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $-\overline{a}=\overline{-a}$ + es un +\series bold +máximo común divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset - y, si -\begin_inset Formula $a\in A^{*}$ + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\overline{a}\in(A/I)^{*}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\overline{a}^{-1}=\overline{a^{-1}}$ +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -, donde -\begin_inset Formula $\overline{a}$ +[ +\begin_inset Formula $=\gcd S$ \end_inset - es la clase de equivalencia de -\begin_inset Formula $a$ +], si divide a cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset -, y la + y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un \series bold -proyección canónica +mínimo común múltiplo \series default - -\begin_inset Formula $p:A\to A/I$ + de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset - es un homomorfismo con núcleo -\begin_inset Formula $I$ + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -. -\end_layout +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open +[ +\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +], si es múltiplo de cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset + y divide a cada elemento que cumple esto. + Para +\begin_inset Formula $a,b\in A$ +\end_inset +: \end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -Sean -\begin_inset Formula $f:A\to B$ + si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset - un homomorfismo, -\begin_inset Formula $a\in A$ + es el menor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x,y\in\ker f$ + que contiene a +\begin_inset Formula $S$ \end_inset . - Entonces -\begin_inset Formula $f(ax)=f(a)f(x)=f(a)0=0$ + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=(S)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0$ +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Sean -\begin_inset Formula $a\equiv a',b\equiv b'\in A$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $x\coloneqq a-a',y\coloneqq b-b'\in I$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $a+b=a'+x+b'+y=a'+b'+(x+y)$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $x+y\in I$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $a+b\equiv a'+b'$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset - y la suma está bien definida. - Además -\begin_inset Formula $ab=(a'+x)(b'+y)=a'b'+a'y+b'x+xy$ + es el mayor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $a'y+b'x+xy\in I$ + contenido en +\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $ab\equiv a'+b'$ +. + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset - y el producto está bien definido. - Entonces es fácil ver que -\begin_inset Formula $A/I$ +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset - es un anillo con los neutros y simétricos indicados. - Además, -\begin_inset Formula $p(1)=\overline{1}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset , -\begin_inset Formula $p(a+b)=\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}=p(a)+p(b)$ +\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ \end_inset - y del mismo modo -\begin_inset Formula $p(ab)=p(a)p(b)$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $p(x)=\overline{x}=0\iff x-0=x\in I$ + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son asociados en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -Llamamos -\begin_inset Formula ${\cal L}(A)$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset - al conjunto de ideales de -\begin_inset Formula $A$ +, +\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ \end_inset -. - Todo anillo -\begin_inset Formula $A$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - tiene al menos el -\series bold -ideal trivial -\series default - -\begin_inset Formula $0\coloneqq\{0\}$ + y +\begin_inset Formula $b$ \end_inset - y el -\series bold -ideal impropio -\series default - + son asociados en \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, el único que contiene una unidad. - En efecto, si -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ -\end_inset +. +\end_layout - y existe -\begin_inset Formula $u\in I\cap A^{*}$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $a\in A$ + divide a todo elemento de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a=(au^{-1})u\in I$ + y +\begin_inset Formula $a\in(S)$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $I=A$ +, [...] +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset . - -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ -\end_inset - - es + En tal caso llamamos \series bold -propio +identidad de Bézout \series default -, -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ + a una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ \end_inset -, si no es impropio. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open + con +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout + y +\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ +\end_inset +, que existe porque +\begin_inset Formula $a\in(S)$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} +. \end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ \end_inset -Dados anillos -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ + si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset -, -\begin_inset Formula ${\cal L}(A_{1}\times\dots\times A_{n})=\{I_{1}\times\dots\times I_{n}\}_{I_{i}\trianglelefteq A_{i},\forall i}$ + son las unidades de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} \end_layout +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $1\in(S)$ \end_inset +, +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Section -Ideales finitamente generados +. \end_layout \begin_layout Standard -La intersección de una familia de ideales de -\begin_inset Formula $A$ +[...] Dado un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - es un ideal de -\begin_inset Formula $A$ +, una +\series bold +factorización en producto de irreducibles +\series default + de +\begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset -. - Dados un anillo -\begin_inset Formula $A$ + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ \end_inset - y un subconjunto -\begin_inset Formula $S\subseteq A$ +, donde +\begin_inset Formula $u$ \end_inset -, llamamos -\series bold -ideal de -\begin_inset Formula $A$ + es una unidad de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - generado por -\begin_inset Formula $S$ + y +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ \end_inset + son irreducibles en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset -\series default - a -\begin_inset Formula -\[ -(S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A\mid S\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}}, -\] +. + Dos factorizaciones en producto de irreducibles de +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset +, +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ \end_inset -y decimos que -\begin_inset Formula $S$ + y +\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ \end_inset - es un +, son \series bold -conjunto generador +equivalentes \series default - de -\begin_inset Formula $(S)$ + si +\begin_inset Formula $m=n$ \end_inset -. - En efecto, -\begin_inset Formula $\bigcap\{I\trianglelefteq A\mid S\subseteq I\}$ + y existe una permutación +\begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset - es un ideal de -\begin_inset Formula $A$ + de +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ \end_inset - que contiene a -\begin_inset Formula $S$ + tal que para +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ \end_inset - y es el menor de ellos, pero todo ideal de -\begin_inset Formula $A$ +, +\begin_inset Formula $p_{k}$ \end_inset - que contenga a -\begin_inset Formula $S$ + y +\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ \end_inset - debe contener a las combinaciones -\begin_inset Formula $A$ + son asociados, en cuyo caso +\begin_inset Formula $u$ \end_inset --lineales finitas de elementos de -\begin_inset Formula $S$ + y +\begin_inset Formula $v$ \end_inset -, y el conjunto de estas combinaciones es claramente un ideal, luego ambos - conjuntos son iguales. + también lo son. \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - es + es un \series bold -finitamente generado +dominio de factorización \series default - (FG) si existe -\begin_inset Formula $S\subseteq I$ -\end_inset - - finito tal que -\begin_inset Formula $I=(S)$ + ( +\series bold +DF +\series default +) si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, en cuyo caso, si -\begin_inset Formula $S=\{b_{1},\dots,b_{n}\}$ -\end_inset + admite una factorización en producto de irreducibles, y es un +\series bold +dominio de factorización única +\series default + ( +\series bold +DFU +\series default + o +\series bold +UFD +\series default +) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. +\end_layout -, escribimos -\begin_inset Formula $I\eqqcolon(b_{1},\dots,b_{n})$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate -. - Un \series bold -ideal principal +Teorema Fundamental de la Aritmética: \series default - de un anillo -\begin_inset Formula $A$ + +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - es uno de la forma -\begin_inset Formula $Ab\coloneqq(b)$ -\end_inset + es un DFU. +\end_layout - para algún -\begin_inset Formula $b\in A$ +\begin_layout Enumerate +Dado +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset -. - Por ejemplo, -\begin_inset Formula $0=(0)$ +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $A=(1)$ -\end_inset + es un DF. +\end_layout -. - Dados -\begin_inset Formula $b\in A$ +\begin_layout Standard +Un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ + es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $(b)\subseteq I$ + es producto de una unidad por primos, si y sólo si +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $b\in I$ -\end_inset + es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. +\end_layout -, y en particular para -\begin_inset Formula $b'\in A$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open -, -\begin_inset Formula $(b)\subseteq(b')$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - si y sólo si -\begin_inset Formula $b'\mid b$ -\end_inset -, y en un dominio -\begin_inset Formula $(b)=(b')$ -\end_inset +\backslash +end{reminder} +\end_layout - si y sólo si -\begin_inset Formula $b$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b'$ -\end_inset - son asociados. - +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. + También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4075,111 +3546,6 @@ status open \begin_layout Plain Layout -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\in A$ -\end_inset - - cancelable no invertible, -\begin_inset Formula $(b,X)$ -\end_inset - - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - -, y en particular -\begin_inset Formula $(X,Y)$ -\end_inset - - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $e\in A$ -\end_inset - - es idempotente, para -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $(e)$ -\end_inset - - es un anillo con identidad -\begin_inset Formula $e$ -\end_inset - -. -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -No todos los ideales son finitamente generados. - En efecto, dado un anillo no trivial -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, en -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ -\end_inset - - con las operaciones componente a componente, -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ -\end_inset - - formado por los elementos de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ -\end_inset - - con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ -\end_inset - -, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita - de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo - ceros y no generan elementos de -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ -\end_inset - - con un 1 después de esta posición. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout @@ -4406,11 +3772,7 @@ Sean \end_inset , como -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $n\mid r^{m}$ \end_inset , @@ -4450,35 +3812,15 @@ Sea \end_inset , como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}\mid r$ \end_inset -, si +, llamando \begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ -\end_inset - - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $n\mid p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}\mid r^{m}$ \end_inset . @@ -4510,14 +3852,10 @@ Sea Probamos el contrarrecíproco. Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $10\mid x\in tA\}$ \end_inset @@ -1253,7 +1285,7 @@ Si \end_inset es subaditiva y -\begin_inset Formula $\{x\in E\mid p_{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq\{x\in E\mid p_{A}(x)\leq1\}$ +\begin_inset Formula $\{p_{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq\{p_{A}(x)\leq1\}$ \end_inset . @@ -1336,11 +1368,11 @@ Si \end_inset , y entonces -\begin_inset Formula $\mathring{C}=\{x\in E\mid p_{C}(x)<1\}$ +\begin_inset Formula $\mathring{C}=\{p_{C}(x)<1\}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\overline{C}=\{x\in E\mid p_{C}(x)\leq1\}$ +\begin_inset Formula $\overline{C}=\{p_{C}(x)\leq1\}$ \end_inset . @@ -1366,7 +1398,7 @@ Una seminorma \end_inset es abierta, si y sólo si -\begin_inset Formula $0\in\mathring{\overbrace{\{x\in E\mid p(x)<1\}}}$ +\begin_inset Formula $0\in\mathring{\overbrace{\{p(x)<1\}}}$ \end_inset , si y sólo si @@ -1435,8 +1467,7 @@ Dados dos e.l.c. \begin_inset Formula $T:E\to F$ \end_inset - lineal es continua si y sólo si lo es en 0, si y sólo si para toda seminorma - continua + lineal es continua si y sólo si para toda seminorma continua \begin_inset Formula $q:F\to\mathbb{R}$ \end_inset @@ -1493,6 +1524,33 @@ nproof \end_inset +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, un e.l.c. + +\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$ +\end_inset + + es metrizable si y sólo si es 1AN, si y sólo si +\begin_inset Formula ${\cal T}$ +\end_inset + + es asociada a una familia numerable de seminormas continuas. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Section @@ -1574,11 +1632,7 @@ Si \begin_inset Formula $C_{\text{b}}(X)$ \end_inset - al subespacio de -\begin_inset Formula $(\mathbb{K}^{X},{\cal T}_{\text{p}})$ -\end_inset - - de las funciones continuas y acotadas. + al de las funciones continuas y acotadas. \end_layout \begin_layout Standard @@ -1705,7 +1759,7 @@ d(f,g)\coloneqq\sum_{n}\frac{1}{2^{n}}\frac{p_{K_{n}}(f-g)}{1+p_{K_{n}}(f-g)}, \end_inset -con lo que +y \begin_inset Formula $(C(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$ \end_inset @@ -1818,7 +1872,7 @@ El conjunto de funciones \end_inset veces diferenciables con -\begin_inset Formula $\dif^{(m)}f$ +\begin_inset Formula $\dif^{\kern1pt{}m}\kern-2pt{}f$ \end_inset continua, @@ -1840,7 +1894,7 @@ topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y sus \left\{ p_{K}^{m}(f)\coloneqq\sup_{\begin{subarray}{c} \alpha\in\mathbb{N}^{n}\\ |\alpha|\coloneqq\alpha_{1}+\dots+\alpha_{n}\leq m -\end{subarray}}\sup_{x\in K}|D^{\alpha}f(x)|\right\} _{K\subseteq\Omega\text{ compacto}}, +\end{subarray}}\sup_{x\in K}|\text{D}^{\alpha}f(x)|\right\} _{K\subseteq\Omega\text{ compacto}}, \] \end_inset @@ -1848,7 +1902,7 @@ topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y sus donde \begin_inset Formula \[ -D^{\alpha}f(x)\coloneqq\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}. +\text{D}^{\alpha}f(x)\coloneqq\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}. \] \end_inset @@ -2080,33 +2134,6 @@ con lo que \end_inset -\end_layout - -\begin_layout Standard -Como -\series bold -teorema -\series default -, un e.l.c. - -\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$ -\end_inset - - es metrizable si y sólo si es 1AN, si y sólo si -\begin_inset Formula ${\cal T}$ -\end_inset - - es asociada a una familia numerable de seminormas continuas. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - -\end_inset - - \end_layout \begin_layout Standard @@ -2234,10 +2261,7 @@ Un espacio de Banach \series default es un espacio normado completo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sea + Sea \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset @@ -2253,11 +2277,7 @@ Sea \end_inset es completo si y sólo si toda sucesión -\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $X$ +\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq X$ \end_inset con @@ -2450,7 +2470,7 @@ Operadores \end_layout \begin_layout Standard -Un operador entre espacios normados se dice +Un operador entre espacios normados es \series bold acotado \series default @@ -2462,7 +2482,7 @@ acotado \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset --espacio normado, llamamos +-espacio normado, \begin_inset Formula $X^{*}\coloneqq X'={\cal L}(X,\mathbb{K})$ \end_inset @@ -2684,16 +2704,12 @@ tomando \begin_inset Formula $({\cal L}(X,Y),\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset - también lo es. - Si -\begin_inset Formula $Y=\mathbb{K}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)=X^{*}$ + también. + En +\begin_inset Formula $X^{*}$ \end_inset - y esta norma se llama + esta norma se llama \series bold norma dual \series default @@ -3083,25 +3099,13 @@ Isomorfismos topológicos \end_layout \begin_layout Standard -Dados dos espacios normados -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $Y$ -\end_inset - -, una función -\begin_inset Formula $T:X\to Y$ +Una función +\begin_inset Formula $T$ \end_inset - es un -\series bold -isomorfismo topológico -\series default - si es un isomorfismo y un homeomorfismo, si y sólo si es lineal, suprayectiva - y -\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x\in X,m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$ + entre espacios normados es un isomorfismo topológico si y sólo si es lineal, + suprayectiva y +\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x,m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$ \end_inset . @@ -3176,27 +3180,15 @@ Para \end_layout \begin_layout Standard -Dos espacios normados -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $Y$ -\end_inset - - son -\series bold -topológicamente isomorfos -\series default - si existe un isomorfismo topológico entre ellos, y son +Dos espacios normados son \series bold isométricamente isomorfos \series default - si este se puede tomar + si entre ellos hay un isomorfismo topológico \series bold isométrico \series default -, que conserve distancias o, equivalentemente, normas. +, es decir, que conserve distancias o, equivalentemente, normas. Dos normas \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert,|\cdot|:X\to\mathbb{R}$ \end_inset @@ -3864,7 +3856,7 @@ Finalmente, si \end_layout \begin_layout Enumerate -La aplicación cociente +La proyección \begin_inset Formula $X\to X/Y$ \end_inset @@ -4165,14 +4157,10 @@ Desigualdad de Hölder: \series default Dados \begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}>0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p>1$ \end_inset y -\begin_inset Formula $q>1$ +\begin_inset Formula $p,q>1$ \end_inset con @@ -4613,11 +4601,20 @@ Por isomorfismo podemos suponer que el dominio es \series bold Teorema de Bolzano-Weierstrass: \series default - En espacio normados de dimensión finita, los conjuntos cerrados y acotados - son compactos, pues esto ocurre en + En espacios normados de dimensión finita, los cerrados acotados son compactos +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout +, pues esto ocurre en \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset + +\end_layout + +\end_inset + . \begin_inset Foot status open @@ -4637,15 +4634,15 @@ El teorema se suele enunciar como que toda sucesión en un cerrado acotado \series bold Lema de Riesz: \series default - Dados un subespacio normado + Dados un espacio normado \begin_inset Formula $X$ \end_inset -, un subespacio cerrado -\begin_inset Formula $Y\subsetneq X$ +, +\begin_inset Formula $Y0,\exists\delta>0:\forall\{z_{j}\}_{j\in\mathbb{N}_{n}}\subseteq X,\left(\sup_{S\subseteq\mathbb{N}_{n}}\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert <\delta\implies\sum_{j\in J}\Vert z_{j}\Vert<\varepsilon\right), +\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall\{z_{j}\}_{j\in\mathbb{N}_{n}}\subseteq X,\left(\sup_{S\subseteq\mathbb{N}_{n}}\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert <\delta\implies\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}\Vert z_{j}\Vert<\varepsilon\right), \] \end_inset @@ -6753,7 +6694,7 @@ si y sólo si toda serie sumable en es absolutamente convergente. \begin_inset Note Note -status open +status collapsed \begin_layout Plain Layout nproof diff --git a/af/n2.lyx b/af/n2.lyx index fc349c6..cee2d03 100644 --- a/af/n2.lyx +++ b/af/n2.lyx @@ -131,7 +131,7 @@ forma hermitiana \begin_inset Formula $x,y,z\in H$ \end_inset - se tiene +, \begin_inset Formula $\langle ax+by,z\rangle=a\langle x,z\rangle+b\langle y,z\rangle$ \end_inset @@ -160,7 +160,8 @@ producto escalar \series bold espacio prehilbertiano \series default - es par formado por un espacio vectorial y un producto escalar sobre este. + es un par formado por un espacio vectorial y un producto escalar sobre + este. \end_layout \begin_layout Standard @@ -256,17 +257,21 @@ Para \end_inset . -\end_layout +\begin_inset Note Comment +status open -\begin_deeper -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\overline{\langle x,y\rangle}+\langle y,y\rangle$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard \series bold @@ -305,11 +310,7 @@ Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset - se define sobre -\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ -\end_inset - -, + es real, \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2})$ \end_inset @@ -369,15 +370,11 @@ status open \end_inset -En general -\begin_inset Formula $\langle x,y+z\rangle=\overline{\langle y+z,x\rangle}=\overline{\langle y,x\rangle}+\overline{\langle z,x\rangle}=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$ -\end_inset -, de donde \begin_inset Formula \begin{multline*} \Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=\\ -=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle+\langle x,x\rangle-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}). +=\langle x,x\rangle\cancel{+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle}+\langle y,y\rangle+\langle x,x\rangle\cancel{-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle}+\langle y,y\rangle=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}). \end{multline*} \end_inset @@ -456,7 +453,8 @@ y por tanto \end_inset -donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad con +donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad al revés con + \begin_inset Formula $z=0$ \end_inset @@ -466,7 +464,7 @@ donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad con . Usando esto y que -\begin_inset Formula $\langle-x,y\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle-x,y\rangle=-\langle x,y\rangle$ \end_inset es fácil ver que @@ -532,7 +530,7 @@ equivalentes \end_inset con -\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle T(x),T(y)\rangle_{2}$ +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle Tx,Ty\rangle_{2}$ \end_inset para todo @@ -573,8 +571,7 @@ ortogonales \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=0$ \end_inset -. - Decimos que +; \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset @@ -595,7 +592,7 @@ ortogonal \end_inset , y llamamos -\begin_inset Formula $M^{\bot}\coloneqq\{x\in H:x\bot M\}$ +\begin_inset Formula $M^{\bot}\coloneqq\{x\in H\mid x\bot M\}$ \end_inset . @@ -620,7 +617,6 @@ ortonormal \end_inset . - Entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -898,11 +894,7 @@ nproof \begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ \end_inset - con la medida de Lebesgue, y entonces -\begin_inset Formula $C([a,b])$ -\end_inset - - es denso en + con la medida de Lebesgue, que es denso en \begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ \end_inset @@ -1178,11 +1170,7 @@ luego \end_inset . - Si hubiera -\begin_inset Formula $z\in Y$ -\end_inset - - con + Si fuera \begin_inset Formula $\langle x-y,z\rangle\neq0$ \end_inset @@ -1365,7 +1353,7 @@ determinante de Gram a \begin_inset Formula \[ -G(x_{1},\dots,G_{n})\coloneqq\det(\langle x_{j},x_{i}\rangle)_{1\leq i\leq n}^{1\leq j\leq n}. +G(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq\det(\langle x_{j},x_{i}\rangle)_{1\leq i\leq n}^{1\leq j\leq n}. \] \end_inset @@ -1626,11 +1614,11 @@ Teorema de la proyección \series bold Teorema de la proyección: \series default - Si + Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset - es un espacio de Hilbert con un subespacio cerrado + un espacio de Hilbert con un subespacio cerrado \begin_inset Formula $M$ \end_inset @@ -1805,11 +1793,7 @@ Por la definición de producto escalar, \begin_inset Formula $\Vert P_{M}(x)\Vert,\Vert P_{M^{\bot}}(x)\Vert\leq\Vert x\Vert=1$ \end_inset -, lo que prueba la continuidad y por tanto que -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset - - es topológica. +, lo que prueba la continuidad y por tanto que la suma directa es topológica. Además, si \begin_inset Formula $M\neq0$ \end_inset @@ -1855,11 +1839,11 @@ Para \end_inset , -\begin_inset Formula $\langle P_{M}(x),y\rangle=\langle x,P_{M}(y)\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle P_{M}x,y\rangle=\langle x,P_{M}y\rangle$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\langle P_{M^{\bot}}(x),y\rangle=\langle x,P_{M^{\bot}}(y)\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle P_{M^{\bot}}x,y\rangle=\langle x,P_{M^{\bot}}y\rangle$ \end_inset . @@ -2248,7 +2232,7 @@ nproof \end_inset es un espacio de Hilbert con el producto escalar -\begin_inset Formula $\langle f,g\rangle^{*}\coloneqq\langle T(g),T(f)\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle f,g\rangle^{*}\coloneqq\langle Tg,Tf\rangle$ \end_inset . @@ -2262,27 +2246,6 @@ nproof \end_inset -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $J:H\to H^{**}$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $J(x)(f)\coloneqq f(x)$ -\end_inset - - es un isomorfismo algebraico isométrico. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - -\end_inset - - \end_layout \begin_layout Standard @@ -2372,8 +2335,8 @@ Si \begin_inset Formula $B$ \end_inset - es bilineal o sesquilineal, es acotada si y sólo si es continua, y para - todo + es bilineal o sesquilineal sobre un espacio normado, es acotada si y sólo + si es continua, y para todo \begin_inset Formula $x$ \end_inset @@ -2421,7 +2384,7 @@ Teorema de Lax-Milgram: \end_inset tal que -\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,B(x,y)=\langle x,T(y)\rangle$ +\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,B(x,y)=\langle x,Ty\rangle$ \end_inset . @@ -2514,21 +2477,21 @@ Y\coloneqq\{y\in H\mid\exists z\in H:\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)\}, , \begin_inset Formula \[ -c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq B(S(y),S(y))=\langle S(y),y\rangle\in\mathbb{R}^{+}, +c\Vert Sy\Vert^{2}\leq B(Sy,Sy)=\langle Sy,y\rangle\in\mathbb{R}^{+}, \] \end_inset pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, -\begin_inset Formula $\langle S(y),y\rangle^{2}=|\langle S(y),y\rangle|^{2}\leq\Vert S(y)\Vert^{2}\Vert y\Vert^{2}$ +\begin_inset Formula $\langle Sy,y\rangle^{2}=|\langle Sy,y\rangle|^{2}\leq\Vert Sy\Vert^{2}\Vert y\Vert^{2}$ \end_inset , luego -\begin_inset Formula $c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq\langle S(y),y\rangle\leq\Vert S(y)\Vert\Vert y\Vert=\Vert S(y)\Vert$ +\begin_inset Formula $c\Vert Sy\Vert^{2}\leq\langle Sy,y\rangle\leq\Vert Sy\Vert\Vert y\Vert=\Vert Sy\Vert$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\Vert S(y)\Vert\leq\frac{1}{c}$ +\begin_inset Formula $\Vert Sy\Vert\leq\frac{1}{c}$ \end_inset , con lo que @@ -2540,8 +2503,8 @@ pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, \begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$ \end_inset - y existe -\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}\eqqcolon y\in H$ + tiene límite +\begin_inset Formula $y\in H$ \end_inset , por continuidad de @@ -2555,7 +2518,7 @@ pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, , \begin_inset Formula \[ -\langle x,y\rangle=\lim_{n}\langle x,y_{n}\rangle=\lim_{n}B(x,S(y_{n}))=B(x,S(y)), +\langle x,y\rangle=\lim_{n}\langle x,y_{n}\rangle=\lim_{n}B(x,Sy_{n})=B(x,Sy), \] \end_inset @@ -2623,11 +2586,11 @@ luego \end_inset con -\begin_inset Formula $B(\cdot z)=\langle\cdot,w\rangle$ +\begin_inset Formula $B(\cdot,z)=\langle\cdot,w\rangle$ \end_inset y por tanto -\begin_inset Formula $z=S(w)$ +\begin_inset Formula $z=Sw$ \end_inset , luego @@ -2636,7 +2599,7 @@ luego es suprayectiva. Si -\begin_inset Formula $S(y)=0$ +\begin_inset Formula $Sy=0$ \end_inset , para @@ -2644,7 +2607,7 @@ luego \end_inset , -\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=B(x,S(y))=0$ +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=B(x,Sy)=0$ \end_inset y por tanto @@ -2665,7 +2628,7 @@ luego \end_inset cumple -\begin_inset Formula $\langle x,T(y)\rangle=B(x,y)$ +\begin_inset Formula $\langle x,Ty\rangle\equiv B(x,y)$ \end_inset . @@ -2674,7 +2637,7 @@ luego \end_inset , -\begin_inset Formula $\Vert T(y)\Vert^{2}=\langle T(y),T(y)\rangle=B(T(y),y)\leq M\Vert T(y)\Vert\Vert y\Vert=M\Vert T(y)\Vert$ +\begin_inset Formula $\Vert Ty\Vert^{2}=\langle Ty,Ty\rangle=B(Ty,y)\leq M\Vert Ty\Vert\Vert y\Vert=M\Vert Ty\Vert$ \end_inset , siendo @@ -2722,7 +2685,7 @@ En particular, dado un espacio vectorial \end_inset de espacios de Hilbert con -\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle x,T(y)\rangle_{2}$ +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle x,Ty\rangle_{2}$ \end_inset . @@ -2838,7 +2801,7 @@ está bien definida y es continua porque, si \begin_inset Formula $\Vert u\Vert_{L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)}=1$ \end_inset -, +, usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, \begin_inset Formula \begin{align*} |Tu| & =\left|\int_{\Omega}u\dif\mu\right|\leq\int_{\Omega}|u|\dif\mu\leq\sqrt{\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\mu}+\sqrt{\int_{\Omega}\dif\mu}\leq\\ @@ -2858,16 +2821,16 @@ Por el teorema de representación de Riesz, existe , \begin_inset Formula \[ -Tu=\int_{\Omega}u\dif\mu=\int_{\Omega}uf\dif\sigma, +\int_{\Omega}u\dif\mu=Tu=\int_{\Omega}uf\dif\sigma, \] \end_inset -pero esta igualdad se da para cuando +pero esta igualdad se da cuando \begin_inset Formula $u=\chi_{A}$ \end_inset - para cualquier + para todo \begin_inset Formula $A\in{\cal F}$ \end_inset @@ -2906,7 +2869,7 @@ de modo que \end_inset o -\begin_inset Formula $A=\{x\mid f(x)>1\}$ +\begin_inset Formula $A=\{f(x)>1\}$ \end_inset , vemos que @@ -2917,8 +2880,8 @@ de modo que \begin_inset Formula $\omega\in\Omega$ \end_inset -, de modo que -\begin_inset Formula $\frac{1}{g}$ +, con lo que +\begin_inset Formula $\frac{1}{f}$ \end_inset es @@ -2970,14 +2933,10 @@ Teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos: \end_inset -forma bilineal simétrica, acotada y fuertemente positiva, -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - una -\begin_inset Formula $H$ +\begin_inset Formula $b\in H^{*}$ \end_inset --forma lineal continua y + y \begin_inset Formula $F:H\to\mathbb{R}$ \end_inset @@ -2993,20 +2952,15 @@ entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $w\in H$ -\end_inset - -, \begin_inset Formula $F$ \end_inset alcanza su mínimo en -\begin_inset Formula $w$ +\begin_inset Formula $w\in H$ \end_inset si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall y\in H,B(w,y)=b(y)$ +\begin_inset Formula $B(w,\cdot)=b$ \end_inset . @@ -3127,7 +3081,11 @@ Como \begin_inset Formula $H$ \end_inset -, y como existen +, y que es equivalente al de +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + ya que existen \begin_inset Formula $c,M>0$ \end_inset @@ -3135,14 +3093,6 @@ Como \begin_inset Formula $c\Vert x\Vert^{2}\leq B(x,x)\leq M\Vert x\Vert^{2}$ \end_inset -, el producto escalar -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - - es equivalente al de -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - , luego \begin_inset Formula $b$ \end_inset @@ -3274,15 +3224,11 @@ sucesión de Dirac \begin_inset Formula $(K_{m}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{\geq0})_{m}$ \end_inset - de funciones continuas con -\begin_inset Formula -\[ -\int_{\mathbb{R}^{n}}K_{n}=1 -\] - + de funciones continuas con integral 1 en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset -y tal que + y tal que \begin_inset Formula \[ \forall\varepsilon,\delta>0,\exists n_{0}:\forall n\geq n_{0},\int_{\mathbb{R}^{n}\setminus B(0,\delta)}K_{n}(x)\dif x<\varepsilon. @@ -3430,7 +3376,7 @@ teorema \end_inset es denso en -\begin_inset Formula $(C_{c}(G),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ +\begin_inset Formula $(C_{\text{c}}(G),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset y en @@ -3479,7 +3425,7 @@ entonces \begin_inset Formula $f=0$ \end_inset - en casi todo punto, y en particular, si + en casi todo punto y en particular, si \begin_inset Formula $f$ \end_inset @@ -3539,7 +3485,7 @@ armónica problema de Dirichlet \series default consiste en encontrar -\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(\overline{B_{X}})$ +\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(B_{X})$ \end_inset armónica con @@ -3643,7 +3589,7 @@ problema generalizado de valores frontera y \begin_inset Formula \[ -\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\frac{\partial v}{\partial x_{j}}\dif x\int_{G}fv. +\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}\sum_{j}\partial_{j}u\partial_{j}v\dif x=\int_{G}fv. \] \end_inset @@ -3712,7 +3658,7 @@ Si dada por \begin_inset Formula \[ -F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u(x))^{2}\dif x-\int_{G}fu, +F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u(x))^{2}\dif x-\int_{G}fu, \] \end_inset @@ -3814,7 +3760,7 @@ y para \end_inset llamamos -\begin_inset Formula $D^{\alpha}u\coloneqq\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u$ +\begin_inset Formula $\text{D}^{\alpha}u\coloneqq\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u$ \end_inset . @@ -3841,7 +3787,7 @@ espacio de Sobolev a \begin_inset Formula \[ -W^{k,p}(G)\coloneqq\{u\in L^{p}(G)\mid\forall\alpha\in\mathbb{N}^{n},(|\alpha|\leq k\implies\exists D^{\alpha}f\in L^{p}(G))\}. +W^{k,p}(G)\coloneqq\{u\in L^{p}(G)\mid\forall\alpha\in\mathbb{N}^{n},(|\alpha|\leq k\implies\exists\text{D}^{\alpha}f\in L^{p}(G))\}. \] \end_inset @@ -3867,9 +3813,39 @@ Si \end_inset como -\begin_inset Formula $f\sim g\iff\{x\in G\mid f(x)\neq g(x)\}\text{ es de medida nula}$ +\begin_inset Formula $f\sim g$ \end_inset + si y sólo si +\begin_inset Formula $\{f(x)\neq g(x)\}$ +\end_inset + + +\family roman +\series medium +\shape up +\size normal +\emph off +\bar no +\strikeout off +\xout off +\uuline off +\uwave off +\noun off +\color none +es de medida nula +\family default +\series default +\shape default +\size default +\emph default +\bar default +\strikeout default +\xout default +\uuline default +\uwave default +\noun default +\color inherit , y \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{1,2}:W^{1}(G)/\sim\to\mathbb{R}$ \end_inset @@ -3951,7 +3927,7 @@ Si \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset - es un abierto acotado no vacío y + es abierto acotado no vacío y \begin_inset Formula $u\in W^{1}(G)$ \end_inset @@ -4022,7 +3998,7 @@ Desigualdad de Poincaré-Friedrichs: , \begin_inset Formula \[ -C\int_{G}u^{2}\leq\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}. +C\int_{G}u^{2}\leq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}. \] \end_inset @@ -4086,7 +4062,7 @@ Para \begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset -,existe una sucesión +, existe una sucesión \begin_inset Formula $\{u_{m}\}_{m}\subseteq{\cal D}(G)$ \end_inset @@ -4141,25 +4117,25 @@ Principio de Dirichlet: dada por \begin_inset Formula \[ -F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu +F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu \] \end_inset alcanza su mínimo en un único punto, que es el único -\begin_inset Formula $u\in\text{Dom}f$ +\begin_inset Formula $u\in\text{Dom}F$ \end_inset tal que \begin_inset Formula \[ -\forall v\in H_{0}^{1}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv +\forall v\in H_{0}^{1}(G),\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv \] \end_inset -y la única solución en -\begin_inset Formula $\text{Dom}f$ +y es la única solución en +\begin_inset Formula $\text{Dom}F$ \end_inset del problema de valores frontera para la ecuación de Poisson @@ -4231,13 +4207,12 @@ y \begin_inset Formula $b_{0}$ \end_inset - es lineal y es acotada por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, y como además - + es lineal y es acotada por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, y como \begin_inset Formula $B$ \end_inset es bilineal y acotada, -\begin_inset Formula $b_{0}$ +\begin_inset Formula $b$ \end_inset es lineal acotada y se dan las condiciones del teorema principal de los @@ -4336,7 +4311,7 @@ operador diferencial lineal de coeficientes constantes es uno de la forma \begin_inset Formula \[ -L\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{\alpha}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}, +L\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\text{D}^{\alpha}, \] \end_inset @@ -4348,7 +4323,7 @@ operador adjunto es \begin_inset Formula \[ -L^{*}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}(-1)^{|\alpha|}\overline{a_{\alpha}}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{\alpha}. +L^{*}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}(-1)^{|\alpha|}\overline{a_{\alpha}}\text{D}^{\alpha}. \] \end_inset @@ -4366,7 +4341,7 @@ Si \end_inset y una de las dos tiene soporte compacto, entonces -\begin_inset Formula $\langle L\psi,\varphi\rangle=\langle\psi,L^{*}\varphi\rangle$ +\begin_inset Formula $\langle L\varphi,\psi\rangle=\langle\varphi,L^{*}\psi\rangle$ \end_inset . @@ -4602,8 +4577,8 @@ Demostración: , \begin_inset Formula \begin{align*} -\psi(x)^{2} & =\left(\int_{m}^{x_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|\cdot1\dif t\right)\leq\\ - & \leq\int_{m}^{x_{1}}\dif t\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\leq d\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}, +\psi(x)^{2} & =\left(\int_{m}^{x_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|\cdot1\dif t\right)^{2}\leq\\ + & \leq\int_{m}^{x_{1}}\dif t\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\leq d\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t, \end{align*} \end_inset @@ -4694,7 +4669,7 @@ donde \end_inset para todo -\begin_inset Formula $C$ +\begin_inset Formula $\psi$ \end_inset , de modo que @@ -4968,56 +4943,36 @@ Dados \end_inset , -\begin_inset Formula $c\Vert u\Vert\leq\Vert b\Vert$ +\begin_inset Formula $\Vert u\Vert\leq\frac{\Vert b\Vert}{c}$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - +, +\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert\leq\frac{d}{c}d(u,M_{n})$ \end_inset + y, si +\begin_inset Formula $\beta$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Enumerate + es cota inferior de +\begin_inset Formula $J(H)$ +\end_inset -\series bold -Razón de convergencia: -\series default - -\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert\leq\frac{d}{c}d(u,M_{n})$ +, +\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert^{2}\leq\frac{2}{c}(J(u_{n})-\beta)$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_layout Enumerate - -\series bold -Estimación del error: -\series default - Si -\begin_inset Formula $\beta\leq J(x)$ -\end_inset +\begin_inset Note Note +status open - para todo -\begin_inset Formula $x\in H$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout -, para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $\frac{c}{2}\Vert u-u_{n}\Vert^{2}\leq J(u_{n})-\beta$ -\end_inset -. \end_layout \begin_layout Standard @@ -5630,26 +5585,6 @@ Así, si Aproximaciones por polinomios \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{R}$ -\end_inset - - es un intervalo cerrado, llamamos -\begin_inset Formula ${\cal C}(I)$ -\end_inset - - al conjunto de funciones -\begin_inset Formula $I\to\mathbb{R}$ -\end_inset - - continuas en el interior de -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - -. -\end_layout - \begin_layout Standard \series bold diff --git a/mc/n1.lyx b/mc/n1.lyx index 24a340a..7ca4884 100644 --- a/mc/n1.lyx +++ b/mc/n1.lyx @@ -103,7 +103,7 @@ cadena \end_inset es un elemento de -\begin_inset Formula $\Sigma^{*}\coloneqq \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Sigma^{n}$ +\begin_inset Formula $\Sigma^{*}\coloneqq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Sigma^{n}$ \end_inset , que solemos escribir como @@ -136,7 +136,11 @@ concatenación \begin_inset Formula $\Sigma^{*}$ \end_inset - es un monoide con la concatenación de cadenas. + es un monoide con la concatenación de cadenas, y llamamos +\begin_inset Formula $\epsilon$ +\end_inset + + a su elemento neutro. Dada \begin_inset Formula $u=u_{1}\cdots u_{n}\in\Sigma^{*}$ \end_inset @@ -902,7 +906,7 @@ Para dibujar un NFA \begin_inset Formula $q\in Q$ \end_inset - con su etiqueta dentro, o un círculo doble si + con su etiqueta dentro, o un doble círculo si \begin_inset Formula $q\in F$ \end_inset @@ -966,7 +970,7 @@ También podemos representar un NFA con una tabla con un estado por fila, \begin_inset Formula $\epsilon$ \end_inset - cuyas celdas contienen los valores de la función de transición. +, cuyas celdas contienen los valores de la función de transición. \end_layout \begin_layout Section @@ -2154,7 +2158,7 @@ Demostración: es final. Finalmente, -\begin_inset Formula $L\cap M=\overline{\overline{L}\cap\overline{M}}$ +\begin_inset Formula $L\cap M=\overline{\overline{L}\cup\overline{M}}$ \end_inset y @@ -2248,7 +2252,7 @@ Demostración: \end_inset con -\begin_inset Formula $|w|\geq p$ +\begin_inset Formula $n\coloneqq|w|\geq p$ \end_inset y @@ -2259,7 +2263,8 @@ Demostración: \begin_inset Formula $q_{i+1}=\delta(q_{i},w_{i+1})$ \end_inset -, como +. + Como \begin_inset Formula $\{q_{0},\dots,q_{p}\}\subseteq Q$ \end_inset @@ -2293,7 +2298,7 @@ Demostración: \end_inset , -\begin_inset Formula $|y|\geq0$ +\begin_inset Formula $|y|>0$ \end_inset , @@ -2388,8 +2393,8 @@ pumping length \end_layout \begin_layout Standard -Los autómatas sencillos son demasiado sencillos como para teorizar sobre - lo computable o no computable debido a su falta de memoria. +Los autómatas finitos son demasiado sencillos para teorizar sobre lo computable + o no computable debido a su falta de memoria. \end_layout \end_body diff --git a/mc/n2.1.dot b/mc/n2.1.dot index c7c9b48..59eb2ff 100644 --- a/mc/n2.1.dot +++ b/mc/n2.1.dot @@ -5,8 +5,8 @@ digraph G { q4[shape=doublecircle, label=""] begin -> q1 q1 -> q2[label="e, e->$",texlbl="$\epsilon, \epsilon \to \$$"] - q2 -> q2[label="0, e->0",texlbl="$\begin{matrix}0, \epsilon \to 0\\1, \epsilon \to 1\\\ \end{matrix}$"] + q2 -> q2[label="0, e->#",texlbl="$0, \epsilon \to \#$"] q2 -> q3[label="c, e->e",texlbl="$c, \epsilon \to \epsilon$"] - q3 -> q3[label="0, 0->x",texlbl="$\begin{matrix}0, 0 \to \epsilon\\1, 1 \to \epsilon\\\ \end{matrix}$"] + q3 -> q3[label="1, #->e",texlbl="$1, \# \to \epsilon$"] q3 -> q4[label="e, $->e",texlbl="$\epsilon, \$ \to \epsilon$"] } diff --git a/mc/n2.1.tex b/mc/n2.1.tex index 3feb215..2a38805 100644 --- a/mc/n2.1.tex +++ b/mc/n2.1.tex @@ -9,13 +9,13 @@ \draw (120.6bp,29.5bp) node {$\epsilon, \epsilon \to \$$}; % Edge: q2 -> q2 \draw [->] (172.45bp,37.167bp) .. controls (169.37bp,47.664bp) and (172.76bp,58.0bp) .. (182.6bp,58.0bp) .. controls (189.06bp,58.0bp) and (192.74bp,53.549bp) .. (192.75bp,37.167bp); - \draw (182.6bp,65.5bp) node {$\begin{matrix}0, \epsilon \to 0\\1, \epsilon \to 1\\\ \end{matrix}$}; + \draw (182.6bp,65.5bp) node {$0, \epsilon \to \#$}; % Edge: q2 -> q3 \draw [->] (200.79bp,22.0bp) .. controls (220.49bp,22.0bp) and (253.02bp,22.0bp) .. (286.44bp,22.0bp); \draw (243.6bp,29.5bp) node {$c, \epsilon \to \epsilon$}; % Edge: q3 -> q3 \draw [->] (294.45bp,37.167bp) .. controls (291.37bp,47.664bp) and (294.76bp,58.0bp) .. (304.6bp,58.0bp) .. controls (311.06bp,58.0bp) and (314.74bp,53.549bp) .. (314.75bp,37.167bp); - \draw (304.6bp,65.5bp) node {$\begin{matrix}0, 0 \to \epsilon\\1, 1 \to \epsilon\\\ \end{matrix}$}; + \draw (304.6bp,65.5bp) node {$1, \# \to \epsilon$}; % Edge: q3 -> q4 \draw [->] (322.86bp,22.0bp) .. controls (342.7bp,22.0bp) and (375.68bp,22.0bp) .. (410.35bp,22.0bp); \draw (366.6bp,29.5bp) node {$\epsilon, \$ \to \epsilon$}; diff --git a/mc/n2.lyx b/mc/n2.lyx index 8d6a8db..d05fa25 100644 --- a/mc/n2.lyx +++ b/mc/n2.lyx @@ -196,7 +196,7 @@ PDA \series default ) es una tupla -\begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,A_{0},q_{0},F)$ +\begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,A_{0},q_{0})$ \end_inset similar a un PDA pero sin @@ -371,7 +371,8 @@ Podemos suponer que una transición añade o elimina más de un elemento de \begin_inset Formula $\delta:Q\times\Sigma_{\epsilon}\times\Gamma^{*})\to{\cal P}(Q\times\Gamma^{*})$ \end_inset -), lo que equivale a añadir algunos estados intermedios en la transición. +), lo que equivale a tener varios estados intermedios en la transición para + primero quitar elementos y luego añadir. \end_layout \begin_layout Standard @@ -544,31 +545,31 @@ GLC \begin_inset Formula $(V,\Sigma,{\cal R},S)$ \end_inset -, donde -\begin_inset Formula $\Sigma$ -\end_inset - - es un alfabeto de + formada por un \series bold -símbolos terminales +alfabeto de variables \series default -, + \begin_inset Formula $V$ \end_inset - es un alfabeto de +, un alfabeto de \series bold -variables +símbolos terminales \series default + +\begin_inset Formula $\Sigma$ +\end_inset + disjunto de \begin_inset Formula $V$ \end_inset -, +, un conjunto finito \begin_inset Formula ${\cal R}$ \end_inset - es un conjunto finito de + de \series bold reglas de producción \series default @@ -580,14 +581,14 @@ reglas de producción \begin_inset Formula $S\to w$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $S\in V$ -\end_inset - - es la +, y una \series bold variable inicial \series default + +\begin_inset Formula $S\in V$ +\end_inset + . Se puede representar con una línea por cada variable \begin_inset Formula $T\in V$ @@ -602,7 +603,7 @@ variable inicial \end_inset , donde -\begin_inset Formula $\{w_{1},\dots,w_{n}\}=\{w\mid(T,w)\in V\}$ +\begin_inset Formula $\{w_{1},\dots,w_{n}\}=\{w\mid(T,w)\in{\cal R}\}$ \end_inset . @@ -625,22 +626,6 @@ Dadas \begin_inset Formula $(R\to x)\in{\cal R}$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $v\Rightarrow^{*}w$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $v=w$ -\end_inset - - o existe -\begin_inset Formula $x\in(V\cup\Sigma)^{*}$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $v\Rightarrow x\Rightarrow^{*}w$ -\end_inset - . Una \series bold @@ -658,6 +643,18 @@ derivación \begin_inset Formula $v_{i}\Rightarrow v_{i+1}$ \end_inset +, y escribimos +\begin_inset Formula $v\Rightarrow w$ +\end_inset + + si existe una derivación que empieza por +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + y termina por +\begin_inset Formula $w$ +\end_inset + . El \series bold @@ -709,8 +706,8 @@ Dada una GLC \begin_inset Formula $uRv\Rightarrow uxv$ \end_inset - en la derivación de -\begin_inset Formula $S$ + en la derivación +\begin_inset Formula $S\Rightarrow^{*}w$ \end_inset , aristas de @@ -726,7 +723,7 @@ Dada una GLC \series bold derivación por la izquierda \series default - es una derivación en la que, en cada paso + es una en la que, en cada paso \begin_inset Formula $uRv\Rightarrow uxv$ \end_inset @@ -805,7 +802,7 @@ Para{$A \backslash to \backslash -lambda +epsilon \backslash in{ \backslash @@ -818,7 +815,7 @@ cal R}$}{ \backslash to \backslash -varepsilon$ de ${ +epsilon$ de ${ \backslash cal R}$ \backslash @@ -859,16 +856,11 @@ cal R}$ para cada $w'$ resultante de \begin_layout Plain Layout - excepción de que si habíamos eliminado $B + excepción de que no añadimos $B \backslash to \backslash -lambda$ no la -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - - volvemos a añadir +epsilon$ \backslash ; \end_layout @@ -1234,17 +1226,21 @@ in F$}{% \begin_layout Plain Layout - añadir $(q_{ + añadir $q \backslash -text a}, +to^{ \backslash -epsilon)$ a $ +epsilon, \backslash -delta(q, +epsilon \backslash -epsilon, +to +\backslash +epsilon}q_{ \backslash -epsilon)$} +text a}$ a $ +\backslash +delta$} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1275,17 +1271,21 @@ Gamma$}{% \begin_layout Plain Layout - añadir $(q_{ + añadir $q_{ \backslash -text a}, +text a} \backslash -epsilon)$ a $ +to^{ \backslash -delta(q_{ +epsilon,x \backslash -text a}, +to +\backslash +epsilon}q_{ +\backslash +text a}$ a $ \backslash -epsilon,x)$} +delta$} \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1532,19 +1532,23 @@ epsilon \begin_layout Plain Layout - (r,u) + p \backslash -in +to^{q, \backslash -delta(p,a, +epsilon \backslash -epsilon);(q, +to u}r,s \backslash -epsilon) +to^{b,u +\backslash +to +\backslash +epsilon}q \backslash in \backslash -delta(s,b,u)% +delta% \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1624,18 +1628,10 @@ Nótese que sólo probamos \end_inset equivale al PDAD -\begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\{\$\},\delta',\$,q_{0},F)$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula -\begin{align*} -\delta'(q,a\in\Sigma,\epsilon) & =\{(\delta(q,a),\epsilon)\}; & \delta'(q,a,x) & =\emptyset. -\end{align*} - +\begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\{\$\},\{(q,a,\epsilon,\delta(q,a),\epsilon)\}_{q\in Q}^{a\in\Sigma},\$,q_{0},F)$ \end_inset -(En esta notación se usa la primera expresión aplicable, por columnas.) +. \end_layout \begin_layout Description @@ -1646,7 +1642,21 @@ Nótese que sólo probamos \begin_inset Formula $L=\{0^{n}c1^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset - no es un lenguaje regular. + es reconocido por el PDAD +\size small +de la figura +\begin_inset CommandInset ref +LatexCommand ref +reference "fig:pdad" +plural "false" +caps "false" +noprefix "false" + +\end_inset + + +\size default +, pero no es regular. Si lo fuera, tendría una \emph on \lang english @@ -1686,18 +1696,18 @@ pumping length \end_inset . - Sin embargo, -\begin_inset Formula $L$ -\end_inset - -, es reconocido por el -\size small -PDAD \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard \align center +\begin_inset Float figure +wide false +sideways false +status open + +\begin_layout Plain Layout +\align center \begin_inset ERT status open @@ -1732,6 +1742,33 @@ end{tikzpicture} \end_inset +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Caption Standard + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset CommandInset label +LatexCommand label +name "fig:pdad" + +\end_inset + +PDAD de +\begin_inset Formula $\{0^{n}c1^{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \end_deeper @@ -1760,10 +1797,9 @@ end{tikzpicture} con \begin_inset Formula -\begin{align*} -\delta'(q_{\text{s}},\epsilon,\epsilon) & =\{(q_{0},A_{0})\}; & \delta'(q\in F,\epsilon,\epsilon) & =\delta(q,\epsilon,\epsilon)\cup\{(q_{\text{e}},\epsilon)\};\\ -\delta'(q_{\text{e}},\epsilon,x) & =\{(q_{\text{e}},\epsilon)\}; & \delta'(q\in Q,a,x) & =\delta(q,a,x); & \delta'(q,a,x) & =\emptyset. -\end{align*} +\[ +\delta'\coloneqq\delta\cup\{(q_{\text{s}},\epsilon,\epsilon,q_{0},A_{0})\}\cup\{(q,\epsilon,a,q_{\text{e}},\epsilon)\}_{q\in F\cup\{q_{\text{e}}\}}^{a\in\Gamma}. +\] \end_inset @@ -1922,10 +1958,9 @@ En efecto, si con \begin_inset Formula -\begin{align*} -\delta'(q_{\text{s}},\epsilon,\epsilon) & =\{(q_{0},A_{0})\}; & \delta'(q\in Q,a,x\in\Sigma\cup\{\epsilon\}) & =\delta(q,a,x);\\ -\delta'(q\in Q,\epsilon,\$) & =\{(q_{\text{e}},\epsilon)\}; & \delta'(q,a,x) & =\emptyset. -\end{align*} +\[ +\delta'\coloneqq\delta\cup\{(q_{\text{s}},\epsilon,\epsilon,q_{0},A_{0})\}\cup\{(q,\epsilon,\$,q_{\text{e}},\epsilon)\}_{q\in Q}. +\] \end_inset @@ -2056,7 +2091,7 @@ noprefix "false" , luego para que siempre que se acepte una cadena, se pueda aceptar con la pila vacía, y finalmente para que todas las transiciones añadan o eliminen - un elemento de la pila pero no ambos, usando estados intermedios. + un elemento de la pila pero no ambos. Entonces queremos ver que, para \begin_inset Formula $p,q\in Q$ \end_inset @@ -2385,10 +2420,9 @@ Si la secuencia de acciones tiene 0 pasos, debe ser de la forma con \begin_inset Formula -\begin{align*} -\delta(s,\epsilon,A_{0}) & =(l,A_{0}S); & \delta(l,\epsilon,x\in V) & =\{(l,w^{\text{R}})\}_{(x,w)\in{\cal R}};\\ -\delta(l,a,a) & =(l,\epsilon); & \delta(l,\epsilon,A_{0}) & =(e,\epsilon); & \delta(q,a,x) & =\emptyset -\end{align*} +\[ +\delta\coloneqq\{(s,\epsilon,A_{0},l,A_{0}S),(\ell,\epsilon,A_{0},e,\epsilon)\}\cup\{(\ell,a,a,\ell,\epsilon)\}_{a\in\Sigma}\cup\{(\ell,\epsilon,x,l,w^{\text{R}})\}_{(x,w)\in{\cal R}} +\] \end_inset @@ -2586,15 +2620,16 @@ Sean \series bold Lema del bombeo \series default - ( + o \series bold \emph on \lang english pumping lemma -\series default \emph default \lang spanish -): Si +: +\series default + Si \begin_inset Formula $L\in{\cal CF}$ \end_inset @@ -2647,11 +2682,11 @@ Demostración: \begin_inset Formula $b\coloneqq\max_{(A\to v)\in{\cal R}}|v|$ \end_inset -, en cualquier árbol de derivación por +, en cualquier árbol de derivación de \begin_inset Formula $G$ \end_inset -, ningún nodo tiene más de + ningún nodo tiene más de \begin_inset Formula $b$ \end_inset @@ -2700,7 +2735,7 @@ Demostración: \begin_inset Formula $w$ \end_inset - con número de nodos mínimo, cuya altura sera al menos + con número de nodos mínimo, cuya altura será al menos \begin_inset Formula $|V|+1$ \end_inset @@ -2834,7 +2869,7 @@ Demostración: \end_inset una descomposición en las condiciones de dicho lema. - Si o + Si \begin_inset Formula $v$ \end_inset @@ -2859,7 +2894,7 @@ Demostración: \end_inset contienen cada una un sólo tipo de símbolo y, como al menos una de las - 2 no es vacía y hay un tipo de símbolo no contenido en ninguna, + 2 no es vacía, hay un tipo de símbolo no contenido en ninguna, luego \begin_inset Formula $uv^{2}xy^{2}z\in L$ \end_inset @@ -2871,23 +2906,15 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -Dados -\begin_inset Formula $L_{1},L_{2}\in{\cal CF}$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $L_{1}\cup L_{2}\in{\cal CF}$ +\begin_inset Formula ${\cal CF}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Dadas gramáticas + es cerrado para la unión, concatenación y clausura. + +\series bold +Demostración: +\series default + Dadas gramáticas \begin_inset Formula $(V_{1},\Sigma_{1},{\cal R}_{1},S_{1})$ \end_inset @@ -2937,19 +2964,7 @@ Dadas gramáticas \end_inset . -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $L_{1}L_{2}\in{\cal CF}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -La gramática + \begin_inset Formula $G\coloneqq(V_{1}\sqcup V_{2}\sqcup\{S\},\Sigma_{1}\cup\Sigma_{2},{\cal R}_{1}\cup{\cal R}_{2}\cup\{S\to S_{1}S_{2}\},S)$ \end_inset @@ -3011,19 +3026,7 @@ La gramática \end_inset . -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $L_{1}^{*}\in{\cal CF}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -La gramática + Finalmente, \begin_inset Formula $G\coloneqq(V_{1}\sqcup\{S\},\Sigma_{1},{\cal R}_{1}\cup\{S\to S_{1}S,S\to\epsilon\},S)$ \end_inset @@ -3104,17 +3107,16 @@ La gramática . \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -En general -\begin_inset Formula $L_{1}\cap L_{2}\notin{\cal CF}$ +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula ${\cal CF}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard + no es cerrado para la intersección, el complemento y la diferencia. + +\series bold +Demostración: +\series default + \begin_inset Formula $L_{1}\coloneqq\{a^{n}b^{n}c^{m}\}_{n,m\in\mathbb{N}}$ \end_inset @@ -3153,49 +3155,18 @@ B & \to bBc\mid\epsilon \end_inset . -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -En general -\begin_inset Formula $\overline{L_{1}}\notin{\cal CF}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Si lo fuera, sería siempre -\begin_inset Formula $L_{1}\cap L_{2}=\overline{\overline{L_{1}}\cup\overline{L_{2}}}\in{\cal CF}\#$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -En general -\begin_inset Formula $L_{1}\setminus L_{2}\notin{\cal CF}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Si lo fuera, como -\begin_inset Formula $\Sigma^{*}\in{\cal CF}$ + Si fuera cerrado para la diferencia, lo sería para el complemento ya que + +\begin_inset Formula $\overline{L}=\Sigma^{*}\setminus L$ \end_inset - sería siempre -\begin_inset Formula $\overline{L_{1}}=\Sigma^{*}\setminus L_{1}\in{\cal CF}$ +, y entonces lo sería para la intersección ya que +\begin_inset Formula $L_{1}\cap L_{2}=\overline{\overline{L_{1}}\cup\overline{L_{2}}}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper \begin_layout Standard Los autómatas de pila no son un buen modelo de computación, pues un ordenador puede reconocer si una cadena está en diff --git a/mc/n3.lyx b/mc/n3.lyx index 22fb847..e3663c0 100644 --- a/mc/n3.lyx +++ b/mc/n3.lyx @@ -111,8 +111,7 @@ Cambridge \lang spanish probaron, de forma independiente, que no. Para ello tuvieron que definir formalmente este tipo de procesos, llamados - algoritmos. - Church a partir de su + algoritmos, Church a partir de su \series bold cálculo \series default @@ -312,37 +311,25 @@ posición de la cabeza de lectura/escritura . Podemos representar una configuración -\begin_inset Formula $(c_{0}\cdots c_{n}\text{BB}\cdots\text{B}\cdots,q,k)$ -\end_inset - -, donde -\begin_inset Formula $k\leq n$ -\end_inset - - y solo se da -\begin_inset Formula $c_{n}=\text{B}$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $c_{j}=\text{B}$ -\end_inset - - para todo -\begin_inset Formula $c_{j}\geq k$ +\begin_inset Formula $(c,q,p)$ \end_inset -, como + como \begin_inset Quotes cld \end_inset -\begin_inset Formula $c_{0}\cdots c_{k-1}qc_{k}\cdots c_{n}$ +\begin_inset Formula $c_{0}\cdots c_{p-1}qc_{p}\cdots c_{n}$ \end_inset \begin_inset Quotes crd \end_inset +, donde +\begin_inset Formula $n\ge\max(\{n\mid c_{n}\neq\text{B}\}\cup\{p-1\})$ +\end_inset + . \end_layout @@ -356,19 +343,7 @@ configuración inicial \end_inset es -\begin_inset Formula $(c,q_{0},0)$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $c_{0},\dots,c_{|w|-1}=w$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $c_{k}=\text{B}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $k\geq|w|$ +\begin_inset Formula $q_{0}w$ \end_inset . @@ -448,7 +423,7 @@ rechaza \begin_inset Formula $w$ \end_inset -, o bien no termina. +, y puede no terminar. \end_layout \begin_layout Standard @@ -556,11 +531,11 @@ Ejecutar una u otra instrucción según el símbolo leído y los \begin_inset Formula $n$ \end_inset - anteriores para cierto + anteriores para \begin_inset Formula $n$ \end_inset -. + fijo. \end_layout \begin_deeper @@ -586,7 +561,7 @@ Se mueve \begin_inset Formula $\overline{x_{1}x_{2}}$ \end_inset -, etc., hasta llegar a la posición inicial en el estado +, etc., hasta llegar al estado \begin_inset Formula $\overline{x_{1}\cdots x_{n}}$ \end_inset @@ -600,7 +575,7 @@ Ejecutar una instrucción mientras el símbolo leído cumpla una condición. \begin_deeper \begin_layout Standard -Para estos símbolos, pasar a la instrucción, que termina volviendo a la +Para estos símbolos, pasar a la instrucción, que al terminar vuelve a la comprobación. Para el resto, pasar a la siguiente. \end_layout @@ -629,7 +604,7 @@ Se añade un nuevo estado inicial \begin_inset Formula $\$$ \end_inset - y, en bucle, se mueve a la derecha y se escribe el símbolo en la posición + y, en bucle, se mueve a la derecha y se escribe el símbolo de la posición anterior, hasta que este sea B. Entonces se va moviendo a la izquierda hasta encontrar \begin_inset Formula $\$$ @@ -644,7 +619,7 @@ Se añade un nuevo estado inicial \begin_inset Formula $\$$ \end_inset - al principio, de modo que detectar el límite izquierdo de la cinta es detectar + al principio, con lo que detectar el límite izquierdo de la cinta es detectar \begin_inset Formula $\$$ \end_inset @@ -684,12 +659,8 @@ Se usan estados en ciclo. Mientras no se lea B, se pasa al estado siguiente si se lee el símbolo o al mismo en otro caso, y se mueve a la derecha. - En el último estado, antes de hacer esto, si se detecta el símbolo se hace - la acción a realizar cada -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - apariciones. + En el último estado, antes de hacer esto, se detecta si está el símbolo + y se actúa en consecuencia. \end_layout \end_deeper @@ -838,7 +809,7 @@ menos expresivo \begin_inset Formula $\text{MOD}_{1}$ \end_inset -; +, en cuyo caso es \series bold equivalente \series default @@ -851,10 +822,6 @@ equivalente \end_inset , si -\begin_inset Formula $\text{MOD}_{1}\preceq\text{MOD}_{2}$ -\end_inset - - y \begin_inset Formula $\text{MOD}_{2}\preceq\text{MOD}_{1}$ \end_inset @@ -870,15 +837,7 @@ estrictamente menos expresivo \begin_inset Formula $\text{MOD}_{1}\prec\text{MOD}_{2}$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $\text{MOD}_{1}\preceq\text{MOD}_{2}$ -\end_inset - - pero -\begin_inset Formula $\text{MOD}_{2}\npreceq\text{MOD}_{1}$ -\end_inset - -. +, en otro caso. \end_layout \begin_layout Standard @@ -944,7 +903,6 @@ stay \begin_deeper \begin_layout Standard -Claramente \begin_inset Formula $\text{MT}\subseteq\text{SMT}$ \end_inset @@ -956,7 +914,7 @@ Claramente \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset - sustituyendo una transición con S con una que primero se mueve a la derecha + cambiando cada transición con S por una que primero se mueve a la derecha y luego a la izquierda. \end_layout @@ -1136,60 +1094,56 @@ máquinas de Turing multicinta \end_inset es -\begin_inset Formula $(q_{0},w\text{B}\cdots,(\text{B}\cdots)^{k-1})$ +\begin_inset Formula $(q_{0},(w\text{B}\cdots,0),(\text{B}\cdots,0)^{k-1})$ \end_inset . - Definiendo -\begin_inset Formula $\nu:(\Gamma^{\mathbb{N}}\times\mathbb{N})\times(\Gamma\times\{\text{L},\text{R}\})\to\Gamma^{\mathbb{N}}\times\mathbb{N}$ -\end_inset - - de forma que, para -\begin_inset Formula $a,b\in\Gamma$ + Una configuración +\begin_inset Formula $(q,(u_{1},n_{1}),\dots,(u_{k},n_{k}))$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ + lleva a otra +\begin_inset Formula $(r,(v_{1},m_{1}),\dots,(v_{k},m_{k}))$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $u\in\Gamma^{n}$ + si, siendo +\begin_inset Formula $\delta(q,u_{1n_{1}},\dots,u_{kn_{k}})=(r,(c_{1},d_{1}),\dots,(c_{k},d_{k}))$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $v\in\Gamma^{\mathbb{N}}$ +, para +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,k\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\nu((uav,n),(b,\text{R}))=(ubv,n+1)$ +\begin_inset Formula $v_{i}$ \end_inset - y, si -\begin_inset Formula $n>0$ + es como +\begin_inset Formula $u_{i}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\nu((uav,n),(b,\text{L}))=(ubv,n-1)$ + pero cambiando el término +\begin_inset Formula $n_{i}$ \end_inset -, una configuración -\begin_inset Formula $(q,(u_{1},n_{1}),\dots,(u_{k},n_{k}))$ +-ésimo por +\begin_inset Formula $c$ \end_inset - lleva a otra -\begin_inset Formula $(r,(v_{1},m_{1}),\dots,(v_{k},m_{k}))$ + y, bien +\begin_inset Formula $d_{i}=\text{L}$ \end_inset - dada por -\begin_inset Formula $\delta(q,u_{1n_{1}},u_{2n_{2}},\dots,u_{kn_{k}})=(r,t_{1},\dots,t_{k})$ + y +\begin_inset Formula $m_{i}=n_{i}-1$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $(v_{i},m_{i})=\nu((u_{i},n_{i}),t_{i})$ +, bien +\begin_inset Formula $d_{i}=\text{R}$ \end_inset - para cada -\begin_inset Formula $i$ + y +\begin_inset Formula $m_{i}=n_{i}+1$ \end_inset . @@ -1261,7 +1215,7 @@ Claramente una \end_inset por -\begin_inset Formula $\#w(\#\dot{\text{B}})^{k-1}$ +\begin_inset Formula $\#\dot{w}_{1}w_{2}\cdots w_{|w|}(\#\dot{\text{B}})^{k-1}$ \end_inset , vuelve al principio y pasa a @@ -1325,7 +1279,7 @@ Si \end_inset por -\begin_inset Formula $a_{i}$ +\begin_inset Formula $s_{i}$ \end_inset . @@ -1346,6 +1300,22 @@ Si \begin_inset Formula $\dot{x}$ \end_inset +, o si +\begin_inset Formula $x=\#$ +\end_inset + +, rechazar si +\begin_inset Formula $d_{i}=\text{L}$ +\end_inset + + o insertar antes +\begin_inset Formula $\dot{\text{B}}$ +\end_inset + + desplazando el resto a la derecha si +\begin_inset Formula $d_{i}=\text{R}$ +\end_inset + . \end_layout @@ -1473,8 +1443,8 @@ Toda \begin_inset Formula $(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_{0},q_{\text{F}})$ \end_inset - e intentamos convertirla en una 3-MT, que guardará la entrada en la cinta - 1, simulará la + y la convertimos en una 3-MT, que guardará la entrada en la cinta 1, simulará + la \begin_inset Formula $\text{MTND}$ \end_inset @@ -1500,7 +1470,7 @@ Escribir \begin_inset Formula $c\gets\text{FALSE}$ \end_inset -en el estado del 3-MT. + en el estado. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -1510,7 +1480,7 @@ name "enu:begin-step" \end_inset -Copiar la cinta 1 en la cinta 2, escribiendo +Copiar la cinta 1 en la 2, escribiendo \begin_inset Formula $\#$ \end_inset @@ -1578,7 +1548,7 @@ noprefix "false" \begin_inset Formula $i>|\delta(q,a)|$ \end_inset -, escribir B y moverse a la izquierda en la cinta 3 e ir al paso +, escribir B, moverse a la izquierda en la cinta 3 e ir al paso \begin_inset CommandInset ref LatexCommand ref reference "enu:next-step" @@ -1725,7 +1695,7 @@ Kurt Gödel tesis de Church-Turing \series default , que afirma que esta definición de algoritmo se corresponde con la noción - intuitiva, o la máquina de Turing es el modelo de computación más expresivo + intuitiva, o que la máquina de Turing es el modelo de computación más expresivo posible y todos los modelos suficientemente expresivos son equivalentes a este. \end_layout @@ -1744,12 +1714,12 @@ máquinas con infinitos registros \series bold lenguaje S \series default - (simple), todas equivalentes a las máquinas de Turing. + (simple), todas equivalentes a MT. Un lenguaje de programación es \series bold Turing completo \series default - si es equivalente a las máquinas de Turing. + si es equivalente a MT. \end_layout \begin_layout Section @@ -1820,7 +1790,6 @@ Si se lee B, rechazar (longitud 0). \begin_layout Enumerate Si solo hay un 0, se acepta. - Se vuelve al principio. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -1879,7 +1848,7 @@ Se va leyendo la cadena de izquierda a derecha y, si hay una \begin_inset Formula $c$ \end_inset -, aceptando si no hay ninguno, se vuelve al principio de la cinta, se marca +, aceptando si no hay ninguna, se vuelve al principio de la cinta, se marca con \begin_inset Formula $\#$ \end_inset @@ -2112,8 +2081,7 @@ Tomamos una \begin_inset Formula $\text{MTND}$ \end_inset - que al inicio, de forma no determinista, se quede donde está ejecute una - + que al inicio, de forma no determinista, ejecute una \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset @@ -2121,7 +2089,7 @@ Tomamos una \begin_inset Formula $L_{1}$ \end_inset - o una que ejecute + o una que enumere \begin_inset Formula $L_{2}$ \end_inset @@ -2154,11 +2122,7 @@ Sean \begin_inset Formula ${\cal M}_{2}$ \end_inset - una -\begin_inset Formula $\text{MT}$ -\end_inset - - que enumera + una que enumera \begin_inset Formula $L_{2}$ \end_inset @@ -2171,7 +2135,7 @@ Sean \end_inset a la vez sobre dos copias de la entrada (alternándolas), aceptando cuando - ambas hayan aceptado y rechazando si una termina. + ambas hayan aceptado y rechazando si una rechaza. \end_layout \end_deeper @@ -2200,11 +2164,11 @@ Similar al caso decidible pero haciendo todas las simulaciones en paralelo: \begin_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $L_{1}^{*}=\{\lambda\}\cup(L_{1}\setminus\{\lambda\})^{*}$ +\begin_inset Formula $L_{1}^{*}=\{\epsilon\}\cup(L_{1}\setminus\{\epsilon\})^{*}$ \end_inset , por lo que si la entrada es -\begin_inset Formula $\lambda$ +\begin_inset Formula $\epsilon$ \end_inset aceptamos y, en otro caso, hacemos como en el caso anterior pero iterando @@ -2228,8 +2192,8 @@ Algoritmos \end_layout \begin_layout Standard -Las máquinas de Turing y mecanismos generales no solo permiten reconocer - cadenas, sino ejecutar algoritmos en general. +Las máquinas de Turing no solo permiten reconocer cadenas, sino ejecutar + algoritmos en general. La entrada siempre es una cadena, por lo que para que otro tipo de objeto actúe de entrada hay que representarla como una cadena y la máquina de Turing debe decodificar esta representación. @@ -2245,7 +2209,7 @@ Las máquinas de Turing y mecanismos generales no solo permiten reconocer \begin_inset Formula $O$ \end_inset -, y dados objetos + en cierta representación, y dados objetos \begin_inset Formula $O_{1},\dots,O_{n}$ \end_inset @@ -2257,7 +2221,7 @@ Las máquinas de Turing y mecanismos generales no solo permiten reconocer \begin_inset Formula $(O_{1},\dots,O_{n})$ \end_inset -, en cierta representación. +. La \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset diff --git a/mc/n4.lyx b/mc/n4.lyx index a4fb314..7e6efca 100644 --- a/mc/n4.lyx +++ b/mc/n4.lyx @@ -439,7 +439,7 @@ input \end_inset que reconoce -\begin_inset Formula $K\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid \text{la MT \ensuremath{{\cal A}} acepta \ensuremath{w}}\}$ +\begin_inset Formula $K\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid\text{la MT \ensuremath{{\cal A}} acepta \ensuremath{w}}\}$ \end_inset . @@ -1953,7 +1953,7 @@ Algunos lenguajes decidibles: \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{DFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid \text{el DFA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{DFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid\text{el DFA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ \end_inset . @@ -2044,7 +2044,7 @@ fun m q0 finals w -> contains (==) (sim m w q0) finals \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{NFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid \text{el NFA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{NFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid\text{el NFA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ \end_inset . @@ -2275,7 +2275,7 @@ fun (states, syms, m, r0, finals) -> \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{PDA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid \text{el PDA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Acc}^{\text{PDA}}\coloneqq\{\langle{\cal A},w\rangle\mid\text{el PDA \ensuremath{{\cal A}} acepta la cadena \ensuremath{w}}\}$ \end_inset . @@ -2322,7 +2322,7 @@ forma normal de Chomsky \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{DFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid \text{el DFA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{DFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid\text{el DFA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ \end_inset . @@ -2433,7 +2433,7 @@ fun (trans, q0, finals) -> anystring trans finals nil (cons q0 nil) \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{NFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid \text{el NFA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{NFA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid\text{el NFA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ \end_inset . @@ -2446,7 +2446,7 @@ Análogo. \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{PDA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid \text{el PDA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ +\begin_inset Formula $\text{Empty}^{\text{PDA}}\coloneqq\{\langle{\cal A}\rangle\mid\text{el PDA }{\cal A}\text{ no acepta ninguna cadena}\}$ \end_inset . @@ -2580,7 +2580,7 @@ numeración de Gödel \series bold computables \series default -, es decir existe una +, es decir, existe una \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset @@ -2609,19 +2609,15 @@ Demostración: \begin_inset Formula $f:A\to{\cal P}(A)$ \end_inset -, sea +, sean \begin_inset Formula $B\coloneqq\{x\in A\mid x\notin f(x)\}$ \end_inset -, existe -\begin_inset Formula $y\in A$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $f(y)=B$ + e +\begin_inset Formula $Y\coloneqq f^{-1}(B)$ \end_inset -, pero si +, si \begin_inset Formula $y\in B$ \end_inset @@ -2641,7 +2637,7 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Standard -Existen lenguajes no recursivamente enumerables, pues el conjunto lenguajes +Existen lenguajes no recursivamente enumerables, pues el conjunto de lenguajes sobre un alfabeto \begin_inset Formula $\Sigma$ \end_inset @@ -2767,7 +2763,7 @@ status open \begin_layout Standard \begin_inset Formula \[ -K\coloneqq\{\langle{\cal M},w\rangle\mid \text{la MT }{\cal M}\text{ acepta con entrada }w\}\in{\cal RE}\setminus{\cal DEC}. +K\coloneqq\{\langle{\cal M},w\rangle\mid\text{la MT }{\cal M}\text{ acepta con entrada }w\}\in{\cal RE}\setminus{\cal DEC}. \] \end_inset @@ -2806,7 +2802,7 @@ Demostración: \end_inset que decide -\begin_inset Formula $\{\langle{\cal M}\rangle\mid {\cal H}\text{ rechaza }\langle{\cal M},\langle{\cal M}\rangle\rangle\}$ +\begin_inset Formula $\{\langle{\cal M}\rangle\mid{\cal H}\text{ rechaza }\langle{\cal M},\langle{\cal M}\rangle\rangle\}$ \end_inset , pero entonces @@ -2854,7 +2850,8 @@ Para un lenguaje \begin_inset Formula $\overline{L}$ \end_inset - hasta que una termine y aceptar o rechazar según cuál termine. + hasta que una termine y aceptar o rechazar según cuál termine y con qué + resultado. \end_layout \begin_layout Standard diff --git a/mc/n5.lyx b/mc/n5.lyx index 03d0675..3312684 100644 --- a/mc/n5.lyx +++ b/mc/n5.lyx @@ -80,48 +80,6 @@ \begin_body -\begin_layout Standard -Un -\series bold -oráculo -\series default - para un lenguaje -\begin_inset Formula $L$ -\end_inset - - es una caja negra que decide -\begin_inset Formula $L$ -\end_inset - -. - Un lenguaje -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - se -\series bold -reduce -\series default - a un lenguaje -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - - si existe una -\begin_inset Formula $\text{MT}$ -\end_inset - - que decide -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - usando un oráculo de -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - -. - -\end_layout - \begin_layout Standard Una \series bold @@ -144,26 +102,38 @@ reducción \end_inset . - Una función -\begin_inset Formula $f:\Sigma_{1}^{*}\to\Sigma_{2}^{*}$ + Una MT +\begin_inset Formula ${\cal M}$ \end_inset - es + \series bold -computable +computa \series default - si existe una -\begin_inset Formula $\text{MT}$ + una función +\begin_inset Formula $f:\Sigma_{1}^{*}\to\Sigma_{2}^{*}$ \end_inset - que siempre termina y que, para una entrada + si siempre termina y, para \begin_inset Formula $w\in\Sigma_{1}^{*}$ \end_inset -, termina conteniendo en su cinta únicamente +, +\begin_inset Formula ${\cal M}$ +\end_inset + + termina conteniendo en su cinta únicamente \begin_inset Formula $f(w)$ \end_inset +, y entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es +\series bold +computable +\series default . Una \series bold @@ -210,6 +180,46 @@ reducir , y esta relación es claramente transitiva. \end_layout +\begin_layout Standard +Equivalentemente, un +\series bold +oráculo +\series default + para un lenguaje +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + es una caja negra que decide +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + +, y un lenguaje +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + +\series bold +se reduce +\series default + a un lenguaje +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + si existe una +\begin_inset Formula $\text{MT}$ +\end_inset + + con un oráculo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + que decide +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + \begin_layout Standard \series bold @@ -327,7 +337,7 @@ Problema de la parada. \begin_inset Formula \[ -\text{HALT}^{\text{MT}}\coloneqq\{\langle{\cal M},w\rangle\mid {\cal M}\text{ es una MT que para con entrada }w\}\notin{\cal DEC}. +\text{HALT}^{\text{MT}}\coloneqq\{\langle{\cal M},w\rangle\mid{\cal M}\text{ es una MT que para con entrada }w\}\notin{\cal DEC}. \] \end_inset @@ -341,7 +351,7 @@ Sea \begin_inset Formula ${\cal M}'$ \end_inset - es una + una \begin_inset Formula $\text{MT}$ \end_inset @@ -380,7 +390,7 @@ mapping \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{EMPTY}^{\text{MT}}\coloneqq\{\langle{\cal M}\rangle\mid {\cal M}\text{ es una MT que no acepta ninguna cadena}\}\notin{\cal DEC}$ +\begin_inset Formula $\text{EMPTY}^{\text{MT}}\coloneqq\{\langle{\cal M}\rangle\mid{\cal M}\text{ es una MT que no acepta ninguna cadena}\}\notin{\cal DEC}$ \end_inset . @@ -454,7 +464,7 @@ mapping \end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Pass}\coloneqq\{\langle{\cal M},w,q\rangle\mid {\cal M}\text{ es una MT que, con entrada }w\text{, pasa por el estado \ensuremath{q}}\}\notin{\cal DEC}$ +\begin_inset Formula $\text{Pass}\coloneqq\{\langle{\cal M},w,q\rangle\mid{\cal M}\text{ es una MT que, con entrada }w\text{, pasa por el estado \ensuremath{q}}\}\notin{\cal DEC}$ \end_inset . @@ -512,7 +522,6 @@ mapping \end_deeper \begin_layout Standard -Un lenguaje \begin_inset Formula $L\in{\cal RE}$ \end_inset @@ -674,7 +683,7 @@ Teorema de Rice: no trivial, \begin_inset Formula \[ -{\cal L}_{P}\coloneqq\{\langle{\cal M}\rangle\mid {\cal M}\text{ es una MT con }L(M)\in P\}\notin{\cal DEC}. +{\cal L}_{P}\coloneqq\{\langle{\cal M}\rangle\mid{\cal M}\text{ es una MT con }L(M)\in P\}\notin{\cal DEC}. \] \end_inset @@ -713,7 +722,7 @@ Demostración: \end_inset . - Si, por ejemplo, + Si \begin_inset Formula $L_{2}=\emptyset$ \end_inset @@ -808,7 +817,7 @@ mapping \begin_inset Formula $L_{1}=\emptyset$ \end_inset - esto permite probar que + por este argumento \begin_inset Formula ${\cal RE}\setminus{\cal L}_{P}\notin{\cal DEC}$ \end_inset diff --git a/mc/n6.lyx b/mc/n6.lyx index 3adbae2..6dbb810 100644 --- a/mc/n6.lyx +++ b/mc/n6.lyx @@ -170,7 +170,7 @@ límite superior asintótico \begin_layout Standard Para -\begin_inset Formula $t:\mathbb{N}\to\mathbb{R}^{+}$ +\begin_inset Formula $t:\mathbb{N}\to\mathbb{R}^{\geq0}$ \end_inset , llamamos @@ -190,8 +190,7 @@ clase de complejidad \end_inset . - Nótese que esta magnitud se refiere al lenguaje o problema, no a un algoritmo - concreto. + Esta magnitud se refiere al lenguaje o problema, no a un algoritmo concreto. En general, la clase de complejidad de un problema depende del modelo de computación usado, aun para modelos equivalentes. Este orden no difiere mucho entre modelos deterministas, pero sí entre @@ -252,7 +251,7 @@ Demostración: y luego para aplicarla, actualizando el contenido de las celdas y las posicione s de los cursores. Cada cinta tiene tamaño como mucho -\begin_inset Formula $O(t(n))$ +\begin_inset Formula $O(\max\{t(n),n\})=O(t(n))$ \end_inset , pues en cada transición se añade como mucho un caracter en cada cinta, @@ -265,11 +264,7 @@ s de los cursores. \end_inset de estos, el tiempo total es -\begin_inset Formula $O(t(n)^{2}+n)=O(t(n)^{2})$ -\end_inset - -, usando que -\begin_inset Formula $t(n)\geq n$ +\begin_inset Formula $O(t(n)^{2})$ \end_inset . @@ -383,16 +378,7 @@ backtracking \lang spanish y para evitar la interferencia entre una simulación y la siguiente, por lo que el total de transiciones es como mucho -\begin_inset Formula $O(n+mc^{m})=O(n+f(n)c^{f(n)})$ -\end_inset - -, usando que -\begin_inset Formula $n\leq f(n)$ -\end_inset - -. - Entonces el total es -\begin_inset Formula $O(f(n)c^{f(n)})=O(2^{\log_{2}f(n)+f(n)\log_{2}c})=2^{O(\log_{2}f(n)+f(n)\log_{2}c})=2^{O(f(n))}$ +\begin_inset Formula $O(n+mc^{m})=O(n+f(n)c^{f(n)})=O(f(n)c^{f(n)})=O(2^{\log_{2}f(n)+f(n)\log_{2}c})=2^{O(\log_{2}f(n)+f(n)\log_{2}c)}=2^{O(f(n))}$ \end_inset , y por el teorema anterior, al simular esto en un @@ -419,16 +405,7 @@ Nótese que \begin_inset Formula $3^{n}\neq O(2^{n})$ \end_inset - pero -\begin_inset Formula $3^{n}=2^{\log_{2}3^{n}}=2^{n\log_{2}3}=2^{O(n)}$ -\end_inset - -. - En efecto, claramente -\begin_inset Formula $n\log_{2}3\in O(n)$ -\end_inset - -, pero para cualesquiera + porque para cualesquiera \begin_inset Formula $c,n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset @@ -444,6 +421,10 @@ Nótese que \begin_inset Formula $n>\log_{\frac{3}{2}}c$ \end_inset +, pero +\begin_inset Formula $3^{n}=2^{\log_{2}3^{n}}=2^{n\log_{2}3}=2^{O(n)}$ +\end_inset + . \end_layout diff --git a/mc/n7.lyx b/mc/n7.lyx index 2c77bac..f97eed9 100644 --- a/mc/n7.lyx +++ b/mc/n7.lyx @@ -135,31 +135,6 @@ Los problemas en esta clase se consideran tratables, y el resto intratables. \begin_layout Standard Una -\begin_inset Formula $\text{MT}$ -\end_inset - - -\series bold -computa -\series default - una función -\begin_inset Formula $f:D\subseteq\Sigma^{*}\to\Sigma^{*}$ -\end_inset - - si decide -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $w\in D$ -\end_inset - -, termina conteniendo solo -\begin_inset Formula $f(w)$ -\end_inset - - en su cinta. - Una \series bold función polinómica \series default @@ -219,10 +194,15 @@ representación interna Las formas que hemos usado para representar autómatas, grafos, etc. son razonables, pero no lo es la representación unaria de números, pues - es exponencialmente más larga que una representación en base 2 o más. + es exponencialmente más larga que una representación en base 2 o más que + sí es razonable. \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment +status open + +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Float algorithm wide false sideways false @@ -362,7 +342,7 @@ Suma \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Float algorithm wide false sideways false @@ -506,7 +486,7 @@ Resta saturada \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Float algorithm wide false sideways false @@ -648,7 +628,7 @@ Producto \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Plain Layout \begin_inset Float algorithm wide false sideways false @@ -842,6 +822,11 @@ Cociente entero \end_inset +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard @@ -886,7 +871,7 @@ in L(G)$, rechaza en otro caso.} \backslash SSi{$w= \backslash -lambda$}{ +epsilon$}{ \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -897,7 +882,7 @@ lSSi{$S \backslash to \backslash -lambda +epsilon \backslash in{ \backslash @@ -922,7 +907,17 @@ $T \backslash gets \backslash -emptyset$ +{((i,j), +\backslash +emptyset) +\backslash +}_{1 +\backslash +leq i +\backslash +leq j +\backslash +leq n}$ \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -931,15 +926,7 @@ emptyset$ \backslash tcp*{{ \backslash -rm Para $ -\backslash -{(i,j) -\backslash -}_{1 -\backslash -leq i + -> \emph on + +\begin_inset space ~ +\end_inset + resultado \family default \emph default @@ -1259,8 +1263,8 @@ estricta \series bold iguales \series default - si devuelven los mismos resultados para los mismos argumentos, y el compilador - es libre de cambiar una función por otra igual. + si devuelven los mismos resultados para los mismos argumentos, y entonces + el compilador es libre de cambiar una por otra. Normalmente las funciones están currificadas, pues esto reduce el número de paréntesis y permite aplicar una función de varios argumentos a menos argumentos para obtener otra función que puede ser útil por sí misma. @@ -1421,7 +1425,7 @@ tuplas \series bold listas \series default -, secuencias finitas de elementos del mismo tipo escrito entre corchetes, +, secuencias finitas de elementos del mismo tipo, escrito entre corchetes, y el \series bold tipo unidad @@ -1456,7 +1460,7 @@ atype /= \begin_inset Quotes crd \end_inset - type + type) \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -1563,7 +1567,12 @@ data \begin_inset Quotes crd \end_inset - constrs [deriving] + constrs +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + [deriving] \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1581,7 +1590,12 @@ constrs = constr *( \begin_layout Plain Layout -constr = conid *atype / (btype / +constr = conid *atype +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + / (btype / \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -1618,12 +1632,24 @@ constr se refiere al tipo producto de los \family typewriter atype +\family default + o +\family typewriter +btype \family default etiquetado con el \family typewriter conid \family default -, o bien a un tipo unipuntual con ese nombre, y el tipo + o +\family typewriter +conop +\family default +, o bien a un tipo unipuntual con nombre +\family typewriter +conid +\family default +, y el tipo \family typewriter simpletype \family default @@ -1741,7 +1767,7 @@ Cada var \family default define un campo del tipo producto, y por cada una se crea una función del - tipo definido al tipo de la variable que devuelve el valor en esa posición + tipo definido al tipo de la variable, que devuelve el valor en esa posición si la variable es de la variante \family typewriter con @@ -1755,8 +1781,8 @@ con \series bold tipo recursivo \series default - es uno que se tiene al mismo en la parte derecha de la definición, consiguiendo - valores recursivos. + es uno que se tiene a sí mismo en la parte derecha de la definición, consiguien +do valores recursivos. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2002,7 +2028,12 @@ inst = gtycon / \begin_inset Quotes crd \end_inset - / + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + / \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -2026,7 +2057,7 @@ inst = gtycon / \begin_inset Quotes crd \end_inset - / + \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -2130,7 +2161,7 @@ varid \family typewriter conid \family default - y debe aparecer alguna vez en el tipo. + y debe aparecer alguna vez en el tipo asignado. Una \series bold declaración de instancia @@ -2147,8 +2178,11 @@ inst \family typewriter qconid \family default - y da las definiciones de los vínculos establecidos por la clase cuando - el tipo + y da las definiciones, llamadas +\series bold +métodos +\series default +, de los vínculos establecidos por la clase cuando el tipo \family typewriter varid \family default @@ -2156,10 +2190,6 @@ varid \family typewriter inst \family default -, llamadas -\series bold -métodos -\series default . Los nombres de métodos son miembros de una única clase, lo que evita conflictos entre nombres. @@ -2302,7 +2332,7 @@ qconid . Esto es necesario cuando en la definición de una función se quieren usar funciones definidas en una clase, y de hecho el tipo de estas funciones - tiene una restricción en su contexto. + en el entorno global tiene una restricción en su contexto. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2313,8 +2343,12 @@ class ... \family typewriter - => + => \emph on + +\begin_inset space ~ +\end_inset + Foo a \family default \emph default @@ -2450,10 +2484,10 @@ Haskell tiene disciplina de tipos \series default , consistente en que toda expresión bien formada tiene un tipo deducible - a partir de sus subexpresiones y el contexto, y las expresiones a las que - no se puede asignar un tipo están mal formadas. + a partir de sus subexpresiones y los tipos de los vínculos en el contexto, + y las expresiones a las que no se puede asignar un tipo están mal formadas. Esto permite detectar errores antes de la evaluación y fuerza al programador - se plantearse tipos apropiados para los valores, ayudando a diseñar programas + a plantearse tipos apropiados para los valores, ayudando a diseñar programas claros y bien estructurados. \end_layout @@ -2656,114 +2690,7 @@ lexp qop infixexp (qop) lexp infixexp \family default , aunque realmente distintos operadores tienen distinta precedencia del - 0 al 9 y asociatividad. - El operador -\family typewriter -- -\family default - es el único unario, y representa la negación. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Una -\series bold -sección -\series default - es un operador con una expresión delante o detrás: -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset listings -inline false -status open - -\begin_layout Plain Layout - -aexp /= -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -( -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - - infixexp qop -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -) -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - - / -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -( -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - - ! -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - -- -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - - qop infixexp -\begin_inset Quotes cld -\end_inset - -) -\begin_inset Quotes crd -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\family typewriter -( -\emph on -infixexp qop -\emph default -) -\family default - equivale a -\family typewriter - -\backslash -y -> -\emph on -infixexp qop -\emph default - y -\family default - y -\family typewriter -( -\emph on -qop infixexp -\emph default -) -\family default - a -\family typewriter - -\backslash -x -> x -\emph on -qop infixexp -\family default -\emph default -. + 0 al 9 y asociatividad por la izquierda o la derecha. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2949,7 +2876,7 @@ La primera sintaxis indica una tupla, la segunda una lista de un tamaño \family typewriter () \family default - el tipo unidad, + el único elemento del tipo unidad, \family typewriter [] \family default @@ -2958,8 +2885,8 @@ La primera sintaxis indica una tupla, la segunda una lista de un tamaño qconid \family default es un constructor de tipo, que actúa como una función currificada que recibe - tantos parámetros como aparezcan en la definición y del tipo correcto y - devuelve un elemento del tipo definido. + tantos parámetros como aparezcan en su definición y del tipo correcto y + devuelve un elemento del tipo correspondiente. Finalmente, \family typewriter (:) :: a -> [a] -> [a] @@ -2999,6 +2926,141 @@ an . \end_layout +\begin_layout Standard +Una +\series bold +sección +\series default + es un operador con una expresión delante o detrás: +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset listings +inline false +status open + +\begin_layout Plain Layout + +aexp /= +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +( +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + infixexp qop +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +) +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + / +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +( +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + ! +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +- +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + qop infixexp +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +) +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{sloppypar} +\end_layout + +\end_inset + + +\family typewriter +( +\emph on +infixexp qop +\emph default +) +\family default + equivale a +\family typewriter + +\backslash +y -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + +\emph on +infixexp qop +\emph default + y +\family default + y +\family typewriter +( +\emph on +qop infixexp +\emph default +) +\family default + a +\family typewriter + +\backslash +x -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + +x +\emph on +qop infixexp +\family default +\emph default +. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{sloppypar} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Patrones \end_layout @@ -3060,7 +3122,7 @@ _ \begin_inset Quotes crd \end_inset - / gcon / + / gcon \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -3113,7 +3175,7 @@ _ \begin_inset Quotes crd \end_inset - / + \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -3542,7 +3604,7 @@ True \family typewriter gdpat \family default - en el mismo contexto y devuelve su valor, o bien devuelve + en el contexto extendido y devuelve su valor, o bien devuelve \begin_inset Formula $\bot$ \end_inset @@ -3557,14 +3619,22 @@ alt \family default de la forma \family typewriter --> +-> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on exp \family default \emph default equivale a \family typewriter -| True -> +| True -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on exp \family default @@ -3628,11 +3698,19 @@ case \emph on condition \emph default - of { True -> + of { True -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on when-true \emph default -; False -> +; False -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on when-false \emph default @@ -3724,20 +3802,37 @@ t \begin_inset Formula $_{1}$ \end_inset - -> -\family default + -> \emph default + +\begin_inset space ~ +\end_inset + + +\family default ... \family typewriter \emph on - -> t + -> +\emph default + +\begin_inset space ~ +\end_inset + + +\emph on +t \begin_inset Formula $_{n}$ \end_inset \emph default - -> + -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + + \emph on r \family default @@ -3777,6 +3872,12 @@ t \family default \emph default . + Los +\begin_inset Formula $\text{\emph{\texttt{t}}}_{i}$ +\end_inset + + y el contexto son los más generales posibles para que los patrones y la + expresión sean legales, salvo que se asigne un tipo más restringido. \end_layout \begin_layout Section @@ -4021,7 +4122,35 @@ z z \family default \emph default - sin incluirlo. + sin incluirlo, y +\family typewriter +[ +\emph on +x +\emph default +.. +\emph on +z +\emph default +] +\family default + equivale a +\family typewriter +[ +\emph on +x +\emph default +, +\emph on +x +\emph default ++1.. +\emph on +z +\emph default +] +\family default +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4163,7 +4292,7 @@ Q \emph default ] \family default -, para cada elemento de la lista + evalúa, para cada elemento de la lista \family typewriter \emph on f @@ -4175,7 +4304,7 @@ f p \family default \emph default -, evalúa +, \family typewriter [ \emph on @@ -4187,8 +4316,8 @@ Q \emph default ] \family default - en un entorno extendido por los vínculos del encaje, y concatena los resultados -, y +, en un entorno extendido por los vínculos del encaje, y concatena los resultado +s, y \family typewriter [ \emph on @@ -4381,7 +4510,11 @@ rest \emph on exp \emph default - >> do { + >> +\begin_inset space ~ +\end_inset + +do { \emph on rest \emph default @@ -4414,7 +4547,11 @@ exp \emph on pat \emph default - -> do { + -> +\begin_inset space ~ +\end_inset + +do { \emph on rest \emph default @@ -4439,8 +4576,8 @@ definición asignación de tipo \series default opcional, que indica el tipo de la variable, y una serie de ecuaciones. - La asignación del tipo debe corresponder o al tipo inferido o a una restricción -, no se puede dar más de una asignación a la misma variable y, si se asigna + La asignación del tipo debe corresponder o al tipo inferido o a una restricción. + No se puede dar más de una asignación a la misma variable y, si se asigna un tipo más restringido, no se puede usar la variable como si tuviera el tipo más general. \end_layout @@ -4818,7 +4955,12 @@ export = qvar / qconid [ \begin_inset Quotes crd \end_inset - / + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + / \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -4916,6 +5058,95 @@ module cname = var / con \end_layout +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Haskell organiza los elementos en módulos, uno por fichero, cada uno con + un nombre único y un contexto global formado por los vínculos establecidos + en el módulo y los que se importan de otros. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +entidad +\series default + es un vínculo importado o exportado por un módulo, con un nombre (que no + incluye el nombre del módulo) y un valor. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Se exportan las entidades indicadas por +\family typewriter +exports +\family default +: +\family typewriter +\emph on +qvar +\family default +\emph default + para una variable, +\family typewriter +\emph on +qconid +\family default +\emph default + para un tipo o clase, +\family typewriter +\emph on +qconid +\emph default +(..) +\family default + para el tipo y todos sus constructores o la clase y todos sus métodos; + +\family typewriter +\emph on +qconid +\emph default +( +\emph on +cname +\emph default +, +\family default +... +\family typewriter +) +\family default + para el tipo y los constructores indicados, y +\family typewriter +\emph on +qconid +\emph default +( +\emph on +qvar +\emph default +, +\family default +... +\family typewriter +) +\family default + para el tipo y los métodos indicados. + Si no hay un +\family typewriter +exports +\family default +, se exportan todos los vínculos definidos en el módulo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset listings +inline false +status open + \begin_layout Plain Layout body /= @@ -5135,85 +5366,6 @@ import = var / qconid[ \end_layout -\begin_layout Standard -Haskell organiza los elementos en módulos, uno por fichero, cada uno con - un nombre único y un contexto global formado por los vínculos establecidos - en el módulo y los que se importan de otros. - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Una -\series bold -entidad -\series default - es un vínculo importado o exportado por un módulo, con un nombre que no - incluye el nombre del módulo y un valor. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Se exportan las entidades indicadas por -\family typewriter -exports -\family default -: -\family typewriter -\emph on -qvar -\family default -\emph default - para una variable, -\family typewriter -\emph on -qconid -\family default -\emph default - para un tipo o clase, -\family typewriter -\emph on -qconid -\emph default -(..) -\family default - para el tipo y todos sus constructores o la clase y todos sus métodos; - -\family typewriter -\emph on -qconid -\emph default -( -\emph on -cname -\emph default -, -\family default -... -\family typewriter -) -\family default - para el tipo y los constructores indicados, y -\family typewriter -\emph on -qconid -\emph default -( -\emph on -qvar -\emph default -, -\family default -... -\family typewriter -) -\family default - para el tipo y los métodos indicados. - Si no hay un -\family typewriter -exports -\family default -, se exportan todos los vínculos definidos en el módulo. -\end_layout - \begin_layout Standard Una \family typewriter @@ -5264,12 +5416,12 @@ entidad módulo \family default \emph default - es el nombre del módulo del que se importa o el que se indica después de + es el nombre del módulo del que se importa o el que se indica detrás de \family typewriter as \family default - si aparece. + si este aparece. \end_layout \begin_layout Standard diff --git a/pia/n5.lyx b/pia/n5.lyx index c343e81..09332ee 100644 --- a/pia/n5.lyx +++ b/pia/n5.lyx @@ -153,7 +153,12 @@ Cuando se indica ... \family default - en código significa que no se puede definir en Haskell. + en código significa que no se puede definir en Haskell, y cuando se indica + con +\family typewriter +,,, +\family default + significa que sería demasiado engorroso. Si se define que un tipo es de una clase, también lo es de sus superclases, y si no se da la definición de la instancia de superclase es porque no se puede definir en Haskell. @@ -186,27 +191,31 @@ newtype \family typewriter (a,b) \family default - y +, \family typewriter (a,b,c) +\family default + y +\family typewriter +[a] \family default implementan \family typewriter Eq \family default -, + y \family typewriter Ord \family default - y + como se indica, las tres primeras implementan también \family typewriter Bounded \family default - como se indica, y + y \family typewriter () \family default - también implementa + implementa también \family typewriter Enum \family default @@ -234,6 +243,10 @@ class Eq a where {-# MINIMAL (==) | (/=) #-} (==), (/=) :: a -> a -> Bool \end_layout +\begin_layout Plain Layout + +\end_layout + \begin_layout Plain Layout x /= y = not (x == y) @@ -454,7 +467,7 @@ a b \family default \emph default -, + según la definición por defecto, \family typewriter \emph on a @@ -519,12 +532,7 @@ class Bounded a where \begin_layout Plain Layout - minBound :: a -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - - maxBound :: a + minBound, maxBound :: a \end_layout \end_inset @@ -1145,17 +1153,12 @@ until :: (a -> Bool) -> (a -> a) -> a -> a \begin_layout Plain Layout -until p f x -- until p f aplica f hasta que se cumple p +until p f x | p x = x \end_layout \begin_layout Plain Layout - | p x = x -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - - | otherwise = until p f (f x) + | otherwise = until p f (f x) \end_layout \end_inset @@ -1404,22 +1407,17 @@ class (Real a, Enum a) => Integral a where \begin_layout Plain Layout - divMod n d = if signum r == - signum d -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - - then (q-1, r+d) + divMod n d = let (q, r) = quotRem n d in \end_layout \begin_layout Plain Layout - else (q, r) + if signum r == - signum d then (q-1, r+d) \end_layout \begin_layout Plain Layout - where (q, r) = quotRem n d + else (q, r) \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1442,20 +1440,10 @@ class (Real a, Enum a) => Integral a where n `mod` d = r where (q, r) = divMod n d \end_layout -\end_inset - +\begin_layout Plain Layout \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset Newpage pagebreak -\end_inset - - -\begin_inset listings -inline false -status open - \begin_layout Plain Layout class (Num a) => Fractional a where @@ -1616,11 +1604,6 @@ gcd, lcm :: (Integral a) => a -> a -> a \begin_layout Plain Layout -gcd 0 0 = undefined -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - gcd x y = gcd' (abs x) (abs y) \end_layout @@ -1792,24 +1775,101 @@ type String = [Char] \end_layout +\begin_layout Section +Lectura y escritura +\end_layout + \begin_layout Standard -\begin_inset Note Note +\begin_inset listings +inline false status open \begin_layout Plain Layout -Complex, read + +instance Show Int where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Int where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show Integer where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Integer where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show Float where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Float where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show Double where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Double where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show () where show _ = +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +() +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read () where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Show Char where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance Read Char where ,,, \end_layout \begin_layout Plain Layout -Eq a => Eq [a] + +instance (Show a) => Show [a] where showsPrec _ = showList \end_layout \begin_layout Plain Layout -Ord a => Ord [a] + +instance (Read a) => Read [a] where readsPrec _ = readList \end_layout \begin_layout Plain Layout -putStr + +instance (Show a, Show b) => Show (a, b) where ,,, +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + +instance (Read a, Read b) => Read (a, b) where ,,, \end_layout \end_inset @@ -1817,5 +1877,61 @@ putStr \end_layout +\begin_layout Standard + +\family typewriter +Int +\family default + e +\family typewriter +Integer +\family default + se muestran como +\family typewriter + +\family default + en decimal, +\family typewriter +Float +\family default + y +\family typewriter +Double +\family default + como +\family typewriter + +\family default + y +\family typewriter +Char +\family default + como +\family typewriter + +\family default + en +\family typewriter +showsPrec +\family default + y +\family typewriter +readsPrec +\family default + y como +\family typewriter + +\family default + en +\family typewriter +showList +\family default + y +\family typewriter +readList +\family default +. +\end_layout + \end_body \end_document diff --git a/pia/n6.lyx b/pia/n6.lyx index 7409398..379ee51 100644 --- a/pia/n6.lyx +++ b/pia/n6.lyx @@ -363,7 +363,7 @@ take _ [] = [] \begin_layout Plain Layout -take (n+1) (x:xs) = x : take (n-1) xs +take n (x:xs) = x : take (n-1) xs \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -378,7 +378,7 @@ drop _ [] = [] \begin_layout Plain Layout -drop (n+1) (_:xs) = drop n xs +drop n (_:xs) = drop (n-1) xs \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -387,7 +387,7 @@ drop (n+1) (_:xs) = drop n xs \begin_layout Plain Layout -takeWhile :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] +takeWhile, dropWhile :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -402,15 +402,6 @@ takeWhile _ _ = [] \begin_layout Plain Layout -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - -dropWhile :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] -\end_layout - -\begin_layout Plain Layout - dropWhile p [] = [] \end_layout @@ -445,11 +436,7 @@ n xs devuelve el \family typewriter \emph on - -\begin_inset Formula $\text{\emph{\texttt{n}}}$ -\end_inset - - +n \family default \emph default -ésimo elemento de @@ -482,7 +469,7 @@ status open \begin_layout Plain Layout -(_:xs) !! (n+1) = xs !! n +(_:xs) !! n = xs !! (n-1) \end_layout \end_inset @@ -553,7 +540,7 @@ unzip xs = (map fst xs, map snd xs) \family typewriter foldl \emph on -f z xs +f a xs \family default \emph default aplica la función @@ -565,7 +552,7 @@ f de dos parámetros a \family typewriter \emph on -z +a \family default \emph default y al primer elemento de @@ -584,7 +571,7 @@ xs \family typewriter foldr \emph on -f a xs +f z xs \family default \emph default aplica @@ -629,12 +616,12 @@ foldl :: (a -> b -> a) -> a -> [b] -> a \begin_layout Plain Layout -foldl f z [] = z +foldl f a [] = a \end_layout \begin_layout Plain Layout -foldl f z (x:xs) = foldl f (f z x) xs +foldl f a (x:xs) = foldl f (f a x) xs \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -1074,20 +1061,6 @@ concatMap, iterate, repeat, replicate, cycle, splitAt, takeWhile, dropWhile, \end_inset -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -TODO instance (Show a) => Show [a], instance (Read a) => Read [a], instance - Show Char, instance Read Char -\end_layout - -\end_inset - - \end_layout \begin_layout Section @@ -1127,12 +1100,12 @@ instance Enum Float where \begin_layout Plain Layout - toEnum = fromIntegral + toEnum = fromIntegral \end_layout \begin_layout Plain Layout - fromEnum = fromInteger . + fromEnum = fromInteger . truncate \end_layout @@ -1173,7 +1146,7 @@ instance Enum Float where \begin_layout Plain Layout - | otherwise = (>= b + (n'-n)/2) + | otherwise = (>= b + (a'-a)/2) \end_layout \begin_layout Plain Layout diff --git a/pia/n7.lyx b/pia/n7.lyx index 0e78e74..4ff3ce7 100644 --- a/pia/n7.lyx +++ b/pia/n7.lyx @@ -469,7 +469,7 @@ sequence_ = foldr (>>) (return ()) \begin_layout Plain Layout -mapM_ :: Monad m => (a -> m b) -> [a] -> m [b] +mapM_ :: Monad m => (a -> m b) -> [a] -> m () \end_layout \begin_layout Plain Layout @@ -602,12 +602,17 @@ putStr, putStrLn :: String -> IO () \begin_layout Plain Layout -putStr s = map_ putChar s +putStr s = mapM_ putChar s \end_layout \begin_layout Plain Layout -putStrLn s = putStr s >> putStr +putStrLn s = do putStr s +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + putStr \begin_inset Quotes cld \end_inset @@ -645,9 +650,12 @@ getLine :: IO String \begin_layout Plain Layout -getLine = getChar >>= -\backslash -c -> if c == ' +getLine = do c <- getChar +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + if c == ' \backslash n' then return \begin_inset Quotes cld @@ -662,9 +670,12 @@ n' then return \begin_layout Plain Layout - else getLine >>= -\backslash -s -> return (c:s) + else do s <- getLine +\end_layout + +\begin_layout Plain Layout + + return (c:s) \end_layout \end_inset @@ -706,31 +717,29 @@ interact :: (String -> String) -> IO () \begin_layout Plain Layout -interact f = hSetBuffering stdin NoBuffering >>= +interact f = do hSetBuffering stdin NoBuffering \end_layout \begin_layout Plain Layout - hSetBuffering stdout NoBuffering >>= + hSetBuffering stdout NoBuffering \end_layout \begin_layout Plain Layout - s <- getContents >>= putStr (f s) + s <- getContents \end_layout \begin_layout Plain Layout - where hSetBuffering = ... + putStr (f s) \end_layout -\end_inset - +\begin_layout Plain Layout + where hSetBuffering = ... \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset Newpage pagebreak \end_inset @@ -802,7 +811,7 @@ Un programa en Haskell es una colección de módulos de los que uno es el \family typewriter main :: IO () \family default -, que se ejecuta al ejecutar el programa. +, que se ejecuta al iniciar el programa. \end_layout \end_body -- cgit v1.2.3