From de3e935e35f0fdad86aaf142e657cd9c0fbf0ef8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Juan Marin Noguera Date: Sat, 31 Dec 2022 13:13:32 +0100 Subject: Terminados apuntes de Álgebra Conmutativa MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ac/n.lyx | 82 + ac/n1.lyx | 2773 +--------------------------------- ac/n3.lyx | 4786 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------- ac/n4.lyx | 5011 +++++++++++++++++++++++++++++++++---------------------------- ac/n5.lyx | 4379 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ac/na.lyx | 1250 +++++++++++++++ ac/nb.lyx | 2735 +++++++++++++++++++++++++++++++++ ac/nc.lyx | 152 ++ 8 files changed, 14413 insertions(+), 6755 deletions(-) create mode 100644 ac/n5.lyx create mode 100644 ac/na.lyx create mode 100644 ac/nb.lyx create mode 100644 ac/nc.lyx diff --git a/ac/n.lyx b/ac/n.lyx index 5261b22..38e61b7 100644 --- a/ac/n.lyx +++ b/ac/n.lyx @@ -153,6 +153,31 @@ Alberto del Valle Robles. Clases de Manuel Saorín Castaño. \end_layout +\begin_layout Itemize +Manuel Saorín Castaño. + +\emph on +Capítulo IV: Módulos sobre dominios de ideales principales +\emph default +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize + +\lang english +Donald Knuth. + +\emph on +The Art of Computer Programming. + Volume 1: Fundamental Algorithms +\emph default +\lang spanish +, 3rd. + ed. + (1997), pp. + 45–87. +\end_layout + \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open @@ -236,6 +261,63 @@ filename "n4.lyx" \end_inset +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Endomorfismos vectoriales en dimensión finita +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "n5.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +\start_of_appendix +Grupos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "na.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Anillos de polinomios +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "nb.lyx" + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Chapter +Coeficientes binomiales +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset CommandInset include +LatexCommand input +filename "nc.lyx" + +\end_inset + + \end_layout \end_body diff --git a/ac/n1.lyx b/ac/n1.lyx index 2cd5d09..16e7e5f 100644 --- a/ac/n1.lyx +++ b/ac/n1.lyx @@ -519,7 +519,7 @@ status open \end_inset , definimos -\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq 0$ +\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq0$ \end_inset , y para @@ -527,16 +527,16 @@ status open \end_inset , -\begin_inset Formula $na\coloneqq (n-1)a+a$ +\begin_inset Formula $na\coloneqq(n-1)a+a$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq -(na)$ +\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq-(na)$ \end_inset . Definimos -\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq 1_{A}$ +\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq1_{A}$ \end_inset , para @@ -552,7 +552,7 @@ status open \end_inset es invertible, -\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq (a^{-1})^{n}$ +\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}$ \end_inset . @@ -2431,11 +2431,7 @@ Si \end_layout \begin_layout Standard -[...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un dominio +[...] Dado un dominio \begin_inset Formula $D$ \end_inset @@ -2493,7 +2489,7 @@ equivalentes \end_inset de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq \{1,\dots,n\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ \end_inset tal que para @@ -3284,7 +3280,7 @@ subanillo primo \end_inset a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq \{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset , el menor subanillo de @@ -4248,7 +4244,7 @@ Dado \end_inset , llamamos -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\coloneqq \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\coloneqq\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ \end_inset . @@ -8653,2757 +8649,6 @@ end{exinfo} \end_inset -\end_layout - -\begin_layout Section -Dominios euclídeos -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un dominio -\begin_inset Formula $D\neq0$ -\end_inset - -, una función -\begin_inset Formula $\delta:D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$ -\end_inset - - es -\series bold -euclídea -\series default - si cumple: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall a,b\in D\setminus\{0\},(a\mid b\implies\delta(a)\leq\delta(b))$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D\mid(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\series bold -dominio euclídeo -\series default - es uno que admite una función euclídea. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -El valor absoluto es una función euclídea en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -El cuadrado del módulo complejo es una función euclídea en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[i]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $\delta$ -\end_inset - - una función euclídea en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - un ideal de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in I\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula -\[ -I=(a)\iff\forall x\in I\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x). -\] - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Todo dominio euclídeo es DIP. - Si -\begin_inset Formula $\delta$ -\end_inset - - es una función euclídea en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, un elemento -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - - es una unidad si y sólo si -\begin_inset Formula $\delta(a)=\delta(1)$ -\end_inset - -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x\in D\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Section -Cuerpos de fracciones -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $D\neq0$ -\end_inset - - un dominio y -\begin_inset Formula $X\coloneqq D\times(D\setminus\{0\})$ -\end_inset - -, definimos la relación binaria -\begin_inset Formula -\[ -(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}. -\] - -\end_inset - - Esta relación es de equivalencia. - Llamamos -\begin_inset Formula $a/s\coloneqq \frac{a}{s}\coloneqq [(a,s)]\in Q(D)\coloneqq X/\sim$ -\end_inset - -, y las operaciones -\begin_inset Formula -\begin{align*} -\frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}}, -\end{align*} - -\end_inset - -están bien definidas. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $a,b\in D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{0}{1}\iff a=0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{1}{1}\iff a=s$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{at}{st}=\frac{a}{s}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{b}{s}\iff a=b$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{a}{s}+\frac{b}{s}=\frac{a+b}{s}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] -\begin_inset Formula $(Q(D),+,\cdot)$ -\end_inset - - es un cuerpo llamado -\series bold -cuerpo de fracciones -\series default - o -\series bold -de cocientes -\series default - de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - cuyo cero es -\begin_inset Formula $\frac{0}{1}$ -\end_inset - - y cuyo uno es -\begin_inset Formula $\frac{1}{1}$ -\end_inset - - . -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - - es el cuerpo de fracciones de -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - -. - [...] -\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ -\end_inset - - es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - como un subdominio de -\begin_inset Formula $Q(D)$ -\end_inset - - identificando a cada -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $a/1\in Q(D)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{samepage} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Propiedad universal del cuerpo de fracciones: -\series default - Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo y -\begin_inset Formula $f:D\to K$ -\end_inset - - un homomorfismo inyectivo, el único homomorfismo de cuerpos -\begin_inset Formula $\tilde{f}:Q(D)\to K$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ -\end_inset - - viene dado por -\begin_inset Formula $\tilde{f}(\frac{a}{s})=f(a)f(s)^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo no trivial y -\begin_inset Formula $g,h:Q(D)\to K$ -\end_inset - - homomorfismos que coinciden en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $g=h$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $F$ -\end_inset - - un cuerpo no trivial y -\begin_inset Formula $v:D\to F$ -\end_inset - - un homomorfismo inyectivo tal que para todo cuerpo -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - y homomorfismo inyectivo -\begin_inset Formula $f:D\to K$ -\end_inset - - existe un único homomorfismo -\begin_inset Formula $\tilde{f}:F\to K$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ -\end_inset - -, entonces existe un isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:F\to Q(D)$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $\phi\circ v=u$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{samepage} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un dominio, -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo no trivial y -\begin_inset Formula $f:D\to K$ -\end_inset - - un homomorfismo inyectivo, -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - contiene un subcuerpo isomorfo a -\begin_inset Formula $Q(D)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -De aquí, para -\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])\cong\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ -\end_inset - -, lo que nos permite identificar los elementos de -\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])$ -\end_inset - - con los de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo no trivial, existe un subcuerpo -\begin_inset Formula $K'$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - llamado -\series bold -subcuerpo primo -\series default - de -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - contenido en cualquier subcuerpo de -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -, y este es isomorfo a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ -\end_inset - - si la característica de -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - es un entero primo -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - o a -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - - en caso contrario. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Section -Polinomios -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un subanillo de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - identificando los elementos de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - con los -\series bold -polinomios constantes -\series default -, de la forma -\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$ -\end_inset - -. - Dado un ideal -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0}\in I\}$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $I[X]\coloneqq \{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ -\end_inset - - son ideales de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado -\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -grado -\series default - de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $\text{gr}(p)\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ -\end_inset - -, -\series bold -coeficiente -\series default - de -\series bold -grado -\series default - -\begin_inset Formula $k$ -\end_inset - - de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $p_{k}$ -\end_inset - -, -\series bold -coeficiente independiente -\series default - al de grado 0 y -\series bold -coeficiente principal -\series default - al de grado -\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ -\end_inset - -. - Un polinomio es -\series bold -mónico -\series default - si su coeficiente principal es 1. - El polinomio 0 tiene grado -\begin_inset Formula $-\infty$ -\end_inset - - por convención. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\series bold -monomio -\series default - es un polinomio de la forma -\begin_inset Formula $aX^{n}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - -. - Todo polinomio en -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - se escribe como suma finita de monomios de distinto grado de forma única - salvo orden. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - - tienen coeficientes principales respectivos -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $q$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$ -\end_inset - -, con desigualdad estricta si y sólo si -\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p+q=0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)\leq\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$ -\end_inset - -, con igualdad si y sólo si -\begin_inset Formula $pq\neq0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - no es un cuerpo. - Es un dominio si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, en cuyo caso llamamos -\series bold -cuerpo de las funciones racionales -\series default - sobre -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - al cuerpo de fracciones de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] -\series bold -Propiedad universal del anillo de polinomios -\series default - ( -\series bold -PUAP -\series default -) -\series bold -: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo y -\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$ -\end_inset - - el homomorfismo inclusión: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Para cada homomorfismo de anillos conmutativos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\in B$ -\end_inset - -, el único homomorfismo -\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X]\to B$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\tilde{f}(X)=b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ -\end_inset - - es -\begin_inset Formula -\[ -\tilde{f}\left(\sum_{n}p_{n}X^{n}\right):=\sum_{n}f(p_{n})b^{n}. -\] - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $u$ -\end_inset - - están determinados salvo isomorfismos por la propiedad universal: dados - un homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $v:A\to P$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $t\in P$ -\end_inset - - tales que, para cada homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\in B$ -\end_inset - -, existe un único -\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\tilde{f}(t)=b$ -\end_inset - -, existe un isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A[X]\to P$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\phi(X)=t$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un subanillo de -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\in B$ -\end_inset - -, el -\series bold -homomorfismo de sustitución -\series default - o -\series bold -de evaluación -\series default - en -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - es -\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to B$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula -\[ -S_{b}(p):=p(b):=\sum_{n}p_{n}b^{n}, -\] - -\end_inset - -y su imagen es el subanillo generado por -\begin_inset Formula $A\cup\{b\}$ -\end_inset - -, llamado -\begin_inset Formula $A[b]$ -\end_inset - -. - Todo -\begin_inset Formula $p\in A[X]$ -\end_inset - - induce una -\series bold -función polinómica -\series default - -\begin_inset Formula $\hat{p}:B\to B$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $\hat{p}(b)\coloneqq S_{b}(p)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dado -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, el homomorfismo de sustitución -\begin_inset Formula $S_{X+a}$ -\end_inset - - es un automorfismo de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - con inverso -\begin_inset Formula $S_{X-a}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo conmutativo, -\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Todo homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - induce un homomorfismo -\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X]\to B[X]$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula -\[ -\hat{f}(p)=\sum_{n}f(p_{n})X^{n}, -\] - -\end_inset - -que es inyectivo o suprayectivo si lo es -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un subanillo de -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - lo es de -\begin_inset Formula $B[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - es un ideal de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, el -\series bold -homomorfismo de reducción de coeficientes módulo -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - - -\series default - es -\begin_inset Formula $\tilde{\pi}:A[X]\to(A/I)[X]$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula -\[ -\tilde{\pi}(p):=\sum_{n}(p_{n}+I)X^{n}. -\] - -\end_inset - -Su núcleo es -\begin_inset Formula $I[X]$ -\end_inset - -, por lo que -\begin_inset Formula $(A/I)[X]\cong\frac{A[X]}{I[X]}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Sean -\begin_inset Formula $f,g\in A[X]$ -\end_inset - -, si el coeficiente principal de -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - - es invertible en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, existen dos únicos polinomios -\begin_inset Formula $q,r\in A[X]$ -\end_inset - -, llamados respectivamente -\series bold -cociente -\series default - y -\series bold -resto -\series default - de la -\series bold -división -\series default - de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - entre -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - -, tales que -\begin_inset Formula $f=gq+r$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(g)$ -\end_inset - - [...]. - En particular, el grado es una función euclídea. - -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Teorema del resto: -\series default - Dados -\begin_inset Formula $f\in A[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, el resto de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - entre -\begin_inset Formula $X-a$ -\end_inset - - es -\begin_inset Formula $f(a)$ -\end_inset - -. - De aquí se obtiene el -\series bold -teorema de Ruffini -\series default -, que dice que -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es divisible por -\begin_inset Formula $X-a$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $f(a)=0$ -\end_inset - -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es una -\series bold -raíz -\series default - de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $f\in A[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, existe -\begin_inset Formula $m\coloneqq \max\{k\in\mathbb{N}\mid(X-a)^{k}\mid f\}$ -\end_inset - -. - Llamamos a -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - -\series bold -multiplicidad -\series default - de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - -, y -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es raíz de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $m\geq1$ -\end_inset - -. - Decimos que -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es una -\series bold -raíz simple -\series default - de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $m=1$ -\end_inset - - y que es una -\series bold -raíz compuesta -\series default - si -\begin_inset Formula $m>1$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -La multiplicidad de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es el único natural -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$ -\end_inset - - para algún -\begin_inset Formula $g\in A[X]$ -\end_inset - - del que -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - no es raíz. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$ -\end_inset - - son -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - elementos de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$ -\end_inset - - para cada -\begin_inset Formula $k$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$ -\end_inset - -, por lo que -\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$ -\end_inset - - y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - -, y el número de raíces, no son superiores a -\begin_inset Formula $\text{gr}(f)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Principio de las identidades polinómicas: -\series default - Sea -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un dominio: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ -\end_inset - -, si las funciones polinómicas -\begin_inset Formula $f,g:D\to D$ -\end_inset - - coinciden en -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - - elementos de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$ -\end_inset - -, los polinomios -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - - son iguales. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - - define dos funciones polinómicas distintas en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo - -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -, todos los elementos de -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ -\end_inset - - son raíces de 0 y -\begin_inset Formula $X^{p}-X$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, definimos la -\series bold -derivada -\series default - de -\begin_inset Formula $P\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ -\end_inset - - como -\begin_inset Formula $P'\coloneqq D(P)\coloneqq \sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ -\end_inset - -, y escribimos -\begin_inset Formula $P^{(0)}\coloneqq P$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $P^{(n+1)}\coloneqq P^{(n)\prime}$ -\end_inset - -. - Dados -\begin_inset Formula $a,b\in A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - de característica 0, -\begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - -, la multiplicidad de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - - es el menor -\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - - es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un cuerpo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un dominio y -\begin_inset Formula $p\in D$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - si y sólo si lo es en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es primo en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -, lo es en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU, -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - si y sólo si lo es en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -, si y sólo si es primo en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, si y sólo si lo es en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un DFU, definimos -\begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\varphi(a)$ -\end_inset - - es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles - de -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -, contando repetidos, y para -\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU, -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - es su cuerpo de fracciones y -\begin_inset Formula $f\in D[X]$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -, es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -. - [...] -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU y -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - -\begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$ -\end_inset - - y, en particular, si -\begin_inset Formula $x\in D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $[x]$ -\end_inset - - es el conjunto de los asociados de -\begin_inset Formula $x$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. - Definimos -\begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$ -\end_inset - - como -\begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$ -\end_inset - -. - Esto está bien definido. - Además, -\begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Definimos -\begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$ -\end_inset - - tal que, para -\begin_inset Formula $p\coloneqq \sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq \{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ -\end_inset - -, y para -\begin_inset Formula $p\in K[X]$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$ -\end_inset - - cumple -\begin_inset Formula $ap\in D[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq a^{-1}c(ap)$ -\end_inset - -. - Esto está bien definido. - Si -\begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es el -\series bold -contenido -\series default - de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - ( -\begin_inset Formula $a=c(p)$ -\end_inset - -). -\end_layout - -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $a\in K$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p\in K[X]$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p\in D[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\mid p$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $a\mid c(p)$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un polinomio -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - - es -\series bold -primitivo -\series default - si -\begin_inset Formula $c(p)=1$ -\end_inset - -, esto es, si -\begin_inset Formula $p\in D[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Lema de Gauss: -\series default - Para -\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$ -\end_inset - -, y en particular -\begin_inset Formula $fg$ -\end_inset - - es primitivo si y sólo si -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset - - lo son. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado -\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$ -\end_inset - - primitivo, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - - si y sólo si lo es en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$ -\end_inset - -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -De aquí que si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU con cuerpo de fracciones -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -, los irreducibles de -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - - son precisamente los de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y los polinomios primitivos de -\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ -\end_inset - - irreducibles en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Sean -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - un cuerpo y -\begin_inset Formula $f\in K[X]$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - tiene una raíz en -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - no es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - - si y sólo si no tiene raíces en -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU con cuerpo de fracciones -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ -\end_inset - -, todas las raíces de -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - son de la forma -\begin_inset Formula $\frac{r}{s}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Criterio de reducción: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $\phi:D\to K$ -\end_inset - - un homomorfismo de anillos donde -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un DFU y -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - es un cuerpo, -\begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$ -\end_inset - - el homomorfismo inducido por -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - un polinomio primitivo de -\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $K[X]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -En particular, si -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es primo, -\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ -\end_inset - - es primitivo, -\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}(f)$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Criterio de Eisenstein: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - un DFU, -\begin_inset Formula $f\coloneqq \sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ -\end_inset - - primitivo y -\begin_inset Formula $n\coloneqq \text{gr}f$ -\end_inset - -, si existe un irreducible -\begin_inset Formula $p\in D$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - - es irreducible en -\begin_inset Formula $D[X]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - y existe -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - cuya multiplicidad en -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es 1, -\begin_inset Formula $X^{n}-a$ -\end_inset - - es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $n\geq3$ -\end_inset - -, llamamos -\series bold -raíces -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - --ésimas de la unidad -\series default - o -\series bold -de 1 -\series default - a las raíces de -\begin_inset Formula $X^{n}-1$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - -, que son los -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - vértices del -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - --ágono regular inscrito en el círculo unidad de -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - - con un vértice en el 1. - -\begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$ -\end_inset - -, donde -\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)\coloneqq X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ -\end_inset - - es el -\series bold - -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - --ésimo polinomio ciclotómico -\series default - y sus raíces en -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - - son las raíces -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - --ésimas de 1 distintas de 1. - En -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$ -\end_inset - -, pero si -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es primo, -\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$ -\end_inset - - es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\geq2$ -\end_inset - -, definimos el -\series bold -anillo de polinomios -\series default - en -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - indeterminadas con coeficientes en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - como -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]\coloneqq A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$ -\end_inset - -. - Llamamos -\series bold -indeterminadas -\series default - a los símbolos -\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$ -\end_inset - - y -\series bold -polinomios en -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - indeterminadas -\series default - a los elementos de -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - -. - Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - no es un cuerpo. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - es un dominio si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]^{*}=A^{*}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - es un DFU si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - es un DIP si y sólo si -\begin_inset Formula $n=1$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un cuerpo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $i\coloneqq (i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$ -\end_inset - -, llamamos a -\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - -\series bold -monomio -\series default - de -\series bold -tipo -\series default - -\begin_inset Formula $i$ -\end_inset - - y coeficiente -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - -. - Todo -\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - se escribe de forma única como suma de monomios de distinto tipo, -\begin_inset Formula -\[ -p:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}, -\] - -\end_inset - -con -\begin_inset Formula $p_{i}=0$ -\end_inset - - para casi todo -\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -PUAP en -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - indeterminadas: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo conmutativo, -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - la inclusión: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dados un homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ -\end_inset - -, existe un único homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\tilde{f}(X_{k})=b_{k}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $P$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}\in P$ -\end_inset - - y un homomorfismo -\begin_inset Formula $v:A\to P$ -\end_inset - - tales que, dados un homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ -\end_inset - -, existe un único homomorfismo -\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\tilde{f}(T_{k})=b_{k}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ -\end_inset - -, existe un isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to P$ -\end_inset - - tal que -\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\phi(X_{k})=T_{k}$ -\end_inset - - para cada -\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dados dos anillos conmutativos -\begin_inset Formula $A\subseteq B$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ -\end_inset - -, el -\series bold -homomorfismo de sustitución -\series default - -\begin_inset Formula $S:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ -\end_inset - - viene dado por -\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq S(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ -\end_inset - -. - Su imagen es el subanillo de -\begin_inset Formula $B$ -\end_inset - - generado por -\begin_inset Formula $A\cup\{b_{1},\dots,b_{n}\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$ -\end_inset - -, y dados dos homomorfismos de anillos -\begin_inset Formula $f,g:A[b_{1},\dots,b_{n}]\to C$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f=g$ -\end_inset - - si y sólo si -\begin_inset Formula $f|_{A}=g|_{A}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $f(b_{k})=g(b_{k})$ -\end_inset - - para todo -\begin_inset Formula $k$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo y -\begin_inset Formula $\sigma$ -\end_inset - - una permutación de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}$ -\end_inset - - con inversa -\begin_inset Formula $\tau\coloneqq \sigma^{-1}$ -\end_inset - -, tomando -\begin_inset Formula $B=A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b_{k}=X_{\sigma(k)}$ -\end_inset - - en el punto anterior obtenemos un automorfismo -\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - con inversa -\begin_inset Formula $\hat{\tau}$ -\end_inset - - que permuta las indeterminadas. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - -, por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Todo homomorfismo de anillos conmutativos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - induce un homomorfismo -\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula $\hat{f}(p)\coloneqq \sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\series bold -grado -\series default - de un monomio -\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $i_{1}+\dots+i_{n}$ -\end_inset - -, y grado de -\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\setminus0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ -\end_inset - -, al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios - de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -. - Entonces -\begin_inset Formula $\text{gr}(p+q)\leq\max\{\text{gr}(p),\text{gr}(q)\}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)\leq\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ -\end_inset - -. - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un polinomio es -\series bold -homogéneo -\series default - de grado -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - si es suma de monomios de grado -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - -. - Todo polinomio se escribe de modo único como suma de polinomios homogéneos - de distintos grados, sin más que agrupar los monomios de igual grado en - la expresión como suma de monomios. - Así, si -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)=\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ -\end_inset - - para cualesquiera -\begin_inset Formula $p,q\in D[X_{1},\dots,X_{n}]$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - \end_layout \end_body diff --git a/ac/n3.lyx b/ac/n3.lyx index 4da49b6..9f5500e 100644 --- a/ac/n3.lyx +++ b/ac/n3.lyx @@ -160,6 +160,55 @@ producto por escalares . \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Equivalentemente, el producto currificado es un homomorfismo de anillos + +\begin_inset Formula $A\to\text{End}(M)$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $\text{End}(M)$ +\end_inset + + es el anillo de los endomorfismos del grupo abeliano +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + con la suma por componentes y la composición como producto. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Propiedades: \end_layout @@ -304,7 +353,7 @@ anulador \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\coloneqq\{m\in M\mid Xm=0\}\leq_{A}M$ +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\coloneqq\{m\in M\mid Xm=0\}$ \end_inset . @@ -665,6 +714,10 @@ Si \begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\leq_{A}M$ \end_inset +, y en particular +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(X)\trianglelefteq A$ +\end_inset + . \end_layout @@ -675,6 +728,104 @@ Si . \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X\subseteq_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $IX\leq_{A}M$ +\end_inset + +, y en particular, para +\begin_inset Formula $m\in M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Im=\{bm\}_{b\in I}\leq_{A}M$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +9. +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $S\subseteq A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $SN\leq_{A}M$ +\end_inset + +, y en particular, para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $aN=\{an\}_{n\in N}\leq_{A}M$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ @@ -1109,6 +1260,103 @@ Un . \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Que dos submódulos de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + sean isomorfos no significa que lo sean los módulos cociente de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + entre ellos, ni al revés. + Por ejemplo, si +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}M\coloneqq\mathbb{Z}_{3}\oplus\mathbb{Z}_{9}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $K\coloneqq\mathbb{Z}_{3}\oplus0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N\coloneqq0\oplus\mathbb{Z}_{9}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $L=((0,6))$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $K\cong L$ +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $\frac{M}{K}\ncong\frac{M}{L}$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\frac{M}{K+L}\cong\frac{M}{N}$ +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $K+L\ncong N$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\phi:M\to M'$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-isomorfismo, para +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong\frac{M'}{\phi(N)}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Restricción de escalares \end_layout @@ -1616,37 +1864,125 @@ Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para \end_layout \end_deeper -\begin_layout Section -Teoremas de isomorfía +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} \end_layout -\begin_layout Standard +\end_inset -\series bold -Teorema de la correspondencia: -\series default - Si -\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $V$ \end_inset y -\begin_inset Formula $p:M\to M/N$ +\begin_inset Formula $W$ \end_inset - es la proyección canónica, -\begin_inset Formula -\[ -\rho:\{K\leq_{A}M\mid N\subseteq K\}\to\{L\leq_{A}M/N\} -\] + +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset +-espacios vectoriales y +\begin_inset Formula $f:V\to V$ \end_inset -dada por -\begin_inset Formula $\rho(K)\coloneqq K/N\coloneqq p(K)=\{k+N\}_{k\in K}$ + y +\begin_inset Formula $g:V\to V$ \end_inset - es una biyección que conserva la inclusión, y -\begin_inset Formula + +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-endomorfismos, un +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-homomorfismo entre los +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-módulos asociados a +\begin_inset Formula $(V,f)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(W,g)$ +\end_inset + + es precisamente una aplicación +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-lineal +\begin_inset Formula $\phi:V\to W$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\phi\circ f=g\circ\phi$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Teoremas de isomorfía +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de la correspondencia: +\series default + Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p:M\to M/N$ +\end_inset + + es la proyección canónica, +\begin_inset Formula +\[ +\rho:\{K\leq_{A}M\mid N\subseteq K\}\to\{L\leq_{A}M/N\} +\] + +\end_inset + +dada por +\begin_inset Formula $\rho(K)\coloneqq K/N\coloneqq p(K)=\{k+N\}_{k\in K}$ +\end_inset + + es una biyección que conserva la inclusión, y +\begin_inset Formula \[ p(K)=\frac{K+N}{N}. \] @@ -1928,8 +2264,73 @@ Sea \end_layout \end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +clase de isomorfía +\series default + es una clase de equivalencia por la relación +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +ser isomorfos +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $\frac{A}{I}\cong\frac{A}{J}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos entonces +\begin_inset Formula $I=J$ +\end_inset + +, pero esto no es válido si el isomorfismo es de anillos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section -Operaciones con submódulos +Sistemas generadores \end_layout \begin_layout Standard @@ -2291,550 +2692,521 @@ Si \end_deeper \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $\{N_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ -\end_inset - - y el homomorfismo de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_inset ERT +status open --módulos -\begin_inset Formula $\phi:\bigoplus_{i\in I}N_{i}\to M$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - dado por -\begin_inset Formula $\phi(m)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ -\end_inset -: +\backslash +begin{exinfo} \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset - es suprayectiva si y sólo si -\begin_inset Formula $M=\sum_{i}N_{i}$ -\end_inset -. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset - - es inyectiva si y sólo si los elementos de -\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ -\end_inset - - tienen una expresión única como -\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - con cada -\begin_inset Formula $n_{i}\in N_{i}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +9. +\end_layout - casi todos nulos, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall i,N_{i}\cap\sum_{j\neq i}N_{j}=0$ \end_inset -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ +Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset - es la -\series bold -suma directa interna -\series default - de -\begin_inset Formula $(N_{i})_{i}$ + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset -, escrita -\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}M_{i}$ + son finitamente generados, +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, que es isomorfa con la suma directa externa. + es finitamente generado. \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\iff2]$ -\end_inset - - Por definición de -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -. +\begin_layout Plain Layout +10. \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - Si -\begin_inset Formula $n_{i}=\sum_{j\neq i}n_{j}$ +Si +\begin_inset Formula $N,K\leq_{A}M$ \end_inset -, por unicidad es -\begin_inset Formula $n_{i}=0$ +, +\begin_inset Formula $N\cap K\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{r})$ \end_inset -. -\end_layout +, +\begin_inset Formula $N+K\eqqcolon(y_{1},\dots,y_{s})$ +\end_inset -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ + y, para +\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,s\}$ \end_inset - Para -\begin_inset Formula $n\in\bigoplus_{i}N_{i}$ +, +\begin_inset Formula $y_{j}\eqqcolon n_{j}+k_{j}$ \end_inset con -\begin_inset Formula $\phi(n)=\sum_{i}n_{i}=0$ +\begin_inset Formula $n_{j}\in N$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $i\in I$ + y +\begin_inset Formula $k_{j}\in K$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $n_{i}=-\sum_{j\neq i}n_{j}=0$ +, entonces +\begin_inset Formula $N=(x_{1},\dots,x_{r},n_{1},\dots,n_{s})$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $n=0$ + y +\begin_inset Formula $K=(x_{1},\dots,x_{r},k_{1},\dots,k_{s})$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset - - es la suma directa interna de los -\begin_inset Formula $N_{i}$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - si y sólo si -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +11. +\end_layout - es un isomorfismo, si y sólo si cada elemento de -\begin_inset Formula $M$ \end_inset - se escribe de forma única como -\begin_inset Formula $\sum_{i}m_{i}$ +Dado un entero +\begin_inset Formula $q\geq2$ \end_inset - con cada -\begin_inset Formula $m_{i}\in M_{i}$ +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\left[\frac{1}{q}\right]=\left\{ \frac{a}{q^{n}}\right\} _{a\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}}\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset - y casi todos nulos. + no es finitamente generado. + \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $N,N'\leq_{A}M$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +12. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N\oplus N'\land N\cap N'=0$ \end_inset -, y entonces: +Los epimorfismos conservan los conjuntos generadores. \end_layout -\begin_layout Enumerate -La +\begin_layout Standard + \series bold -proyección +Lema de Nakayama: \series default - -\begin_inset Formula $p:M\to N$ + Dados +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - dada por -\begin_inset Formula $p(x+x')\coloneqq x$ + y +\begin_inset Formula $J\leq A$ \end_inset - para -\begin_inset Formula $x\in N$ + con +\begin_inset Formula $J\subseteq\text{Jac}A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x'\in N'$ +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - es un homomorfismo suprayectivo con núcleo -\begin_inset Formula $N'$ + es finitamente generado y +\begin_inset Formula $JM=M$ \end_inset -. -\end_layout + entonces +\begin_inset Formula $M=0$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -La unicidad garantiza que está bien definida y el resto es trivial. -\end_layout +. + Esto no se cumple si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong N'$ + no es finitamente generado, pues por ejemplo +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset -. -\end_layout + visto como +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{(p)}$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Por el primer teorema de isomorfía en -\begin_inset Formula $p$ +-módulo cumple +\begin_inset Formula $\text{Jac}(\mathbb{Z}_{p}(\mathbb{Q}))=\mathbb{Q}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate +Si \begin_inset Formula $M$ \end_inset - es finitamente generado si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $N$ + es finitamente generado, el único +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $N'$ + con +\begin_inset Formula $M=JM+N$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $M$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +Si +\begin_inset Formula $(A,J,K)$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ + es un anillo local, +\begin_inset Formula $\frac{M}{JM}$ \end_inset + es anulado por +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset -\end_layout + ( +\begin_inset Formula $J\subseteq\text{ann}_{A}(\frac{M}{JM})$ +\end_inset +), luego es un +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -Por ser isomorfos a espacios cociente del módulo finitamente generado +-espacio vectorial. + Si además \begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es finitamente generado, +\begin_inset Formula $\frac{M}{JM}$ +\end_inset + + es de dimensión finita, y si +\begin_inset Formula $_{K}\frac{M}{JM}=(\overline{m_{1}},\dots,\overline{m_{n}})$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $_{A}M=(m_{1},\dots,m_{n})$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + \end_inset \end_layout +\begin_layout Section +Sumas directas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\{N_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset -La unión de un conjunto generador de -\begin_inset Formula $N$ + y el homomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y uno de -\begin_inset Formula $N'$ +-módulos +\begin_inset Formula $\phi:\bigoplus_{i\in I}N_{i}\to M$ \end_inset - es uno de -\begin_inset Formula $M$ + dado por +\begin_inset Formula $\phi(m)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ \end_inset -. +: \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset - es un -\series bold -sumando directo -\series default - de -\begin_inset Formula $M$ + es suprayectiva si y sólo si +\begin_inset Formula $M=\sum_{i}N_{i}$ \end_inset - si existe -\begin_inset Formula $N'\leq_{A}M$ -\end_inset +. +\end_layout - con -\begin_inset Formula $M=N\oplus N'$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset - llamado -\series bold -complemento directo -\series default - de -\begin_inset Formula $N$ + es inyectiva si y sólo si los elementos de +\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $M$ + tienen una expresión única como +\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ \end_inset -, si y sólo si la inclusión -\begin_inset Formula $\iota:N\hookrightarrow M$ + con cada +\begin_inset Formula $n_{i}\in N_{i}$ \end_inset - tiene un inverso por la izquierda, es decir, un -\begin_inset Formula $A$ + casi todos nulos, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall i,N_{i}\cap\sum_{j\neq i}N_{j}=0$ \end_inset --homomorfismo -\begin_inset Formula $h:M\to N$ +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{N}$ + es la +\series bold +suma directa interna +\series default + de +\begin_inset Formula $(N_{i})_{i}$ \end_inset -, que deja fijos los puntos de -\begin_inset Formula $N$ +, escrita +\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}M_{i}$ \end_inset -. +, que es isomorfa con la suma directa externa. \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\iff2]$ \end_inset + Por definición de +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset +. \end_layout +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset -La proyección -\begin_inset Formula $p:M\to N$ + Si +\begin_inset Formula $n_{i}=\sum_{j\neq i}n_{j}$ \end_inset - cumple -\begin_inset Formula $p\circ\iota=1_{N}$ +, por unicidad es +\begin_inset Formula $n_{i}=0$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset - -\end_layout - + Para +\begin_inset Formula $n\in\bigoplus_{i}N_{i}$ \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $N'\coloneqq\ker h$ + con +\begin_inset Formula $\phi(n)=\sum_{i}n_{i}=0$ \end_inset , para -\begin_inset Formula $x\in N\cap N'$ +\begin_inset Formula $i\in I$ \end_inset , -\begin_inset Formula $0=h(x)=h(\iota(x))=x$ +\begin_inset Formula $n_{i}=-\sum_{j\neq i}n_{j}=0$ \end_inset -, y para -\begin_inset Formula $x\in M$ +, luego +\begin_inset Formula $n=0$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $x=h(x)+(x-h(x))$ -\end_inset +. +\end_layout - con -\begin_inset Formula $h(x)\in N$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x-h(x)\in N'=\ker h$ + es la suma directa interna de los +\begin_inset Formula $N_{i}$ \end_inset - ya que -\begin_inset Formula $h(x-\iota(h(x)))=h(x)-h(x)=0$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -En general un submódulo de + es un isomorfismo, si y sólo si cada elemento de \begin_inset Formula $M$ \end_inset - no es isomorfo a un cociente de -\begin_inset Formula $M$ + se escribe de forma única como +\begin_inset Formula $\sum_{i}m_{i}$ \end_inset - ni al revés, pues el cociente -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ + con cada +\begin_inset Formula $m_{i}\in M_{i}$ \end_inset - no es isomorfo a un ideal de -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset + y casi todos nulos. +\end_layout - y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $N,N'\leq_{A}M$ \end_inset - no es isomorfo a un cociente de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +, +\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N\oplus N'\land N\cap N'=0$ \end_inset - ya que en todo cociente de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset +, y entonces: +\end_layout - cumple que para cada -\begin_inset Formula $x$ +\begin_layout Enumerate +La +\series bold +proyección +\series default + +\begin_inset Formula $p:M\to N$ \end_inset - hay un -\begin_inset Formula $y$ + dada por +\begin_inset Formula $p(x+x')\coloneqq x$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $x=y+y$ + para +\begin_inset Formula $x\in N$ \end_inset - ( -\begin_inset Formula $y=\frac{x}{2}$ + y +\begin_inset Formula $x'\in N'$ \end_inset -) y esto no ocurre en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ + es un homomorfismo suprayectivo con núcleo +\begin_inset Formula $N'$ \end_inset . - Si -\begin_inset Formula $M=\bigoplus_{i\in I}M_{i}$ -\end_inset - -, cada -\begin_inset Formula $M_{i}$ -\end_inset +\end_layout - es un sumando directo de -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset +\begin_deeper +\begin_layout Standard +La unicidad garantiza que está bien definida y el resto es trivial. +\end_layout - con complemento directo -\begin_inset Formula $\bigoplus_{j\in I\setminus\{i\}}M_{i}$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong N'$ \end_inset . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset Note Comment -status open +Por el primer teorema de isomorfía en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -Estaba en mis notas de clase y no sé que significa. +. \end_layout -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Quotes cld +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -Tenemos un isomorfismo -\begin_inset Formula $_{A}\text{Mod}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong M$ + es finitamente generado si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $N$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $\text{End}_{A}(M)\cong\text{End}_{A}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ + y +\begin_inset Formula $N'$ \end_inset . - Si -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ -\end_inset - - entonces la aplicación -\begin_inset Formula $\mu:\frac{A}{I}\to\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $\overline{a}\mapsto\mu_{\overline{a}}\coloneqq(\overline{b}\mapsto\overline{ab})$ -\end_inset +\end_layout - es un isomorfismo de anillos. - En efecto, -\begin_inset Formula $\ker\mu=\{\overline{a}:\mu_{\overline{a}}\equiv0\}=\{\overline{a}\in\frac{A}{I}:\forall\overline{b}\in\frac{A}{I},\overline{a}\overline{b}=\overline{0}\}$ -\end_inset +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -, con lo que -\begin_inset Formula $\ker\mu=0$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset - implica que -\begin_inset Formula $\mu$ -\end_inset - es inyectiva. - -\begin_inset Formula $\mu$ -\end_inset +\end_layout - suprayectiva: Sea -\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ \end_inset - ( -\begin_inset Formula $f:\frac{A}{I}\to\frac{A}{I}$ +Por ser isomorfos a espacios cociente del módulo finitamente generado +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -), sea -\begin_inset Formula $\overline{a}\coloneqq f(\overline{1})$ -\end_inset +. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $f(\overline{b})=f(\overline{b}\overline{1})=\overline{b}f(\overline{1})=\overline{b}\overline{a}$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -. -\begin_inset Quotes crd +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset @@ -2842,228 +3214,171 @@ Tenemos un isomorfismo \end_inset +La unión de un conjunto generador de +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $_{A}M$ + y uno de +\begin_inset Formula $N'$ \end_inset - es -\series bold -indescomponible -\series default - si sus únicos sumandos directos son 0 y + es uno de \begin_inset Formula $M$ \end_inset . - \end_layout -\begin_layout Enumerate -Todo subespacio -\begin_inset Formula $W$ -\end_inset +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - de un espacio vectorial -\begin_inset Formula $V$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - tiene complementos directos (no únicos). -\end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Una base de -\begin_inset Formula $W$ -\end_inset +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout - se completa a una de -\begin_inset Formula $V$ \end_inset - y el subespacio generado por los vectores que se añaden es un complemento - directo de -\begin_inset Formula $W$ +Si +\begin_inset Formula $J\trianglelefteq A$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $V$ + y +\begin_inset Formula $_{A}M=\bigoplus_{i\in I}M_{i}$ \end_inset -. +: \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate -Dada una familia -\begin_inset Formula $\{M_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}\text{Mod}$ +Dado un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, podemos identificar cada -\begin_inset Formula $M_{i}$ +-isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:M\to N$ \end_inset - con el submódulo de -\begin_inset Formula $\prod_{i}M_{i}$ +, +\begin_inset Formula $N=\bigoplus_{i\in I}f(M_{i})$ \end_inset - con entradas nulas en cada componente salvo la -\begin_inset Formula $i$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(J)=\bigoplus_{i\in I}\text{ann}_{M_{i}}(J)$ \end_inset - y entonces la familia -\begin_inset Formula $(M_{i})_{i}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=\bigcap_{i\in I}\text{ann}_{A}(M_{i})$ \end_inset - es independiente y su suma directa interna coincide con la suma directa - externa. +. \end_layout \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - tiene un elemento cancelable (no invertible), + es un DIP, \begin_inset Formula $I$ \end_inset - no es un sumando directo de -\begin_inset Formula $_{A}A$ + es finito y +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M_{i})=(b_{i})$ \end_inset -. - En particular, si -\begin_inset Formula $A$ + para cada +\begin_inset Formula $i\in I$ \end_inset - es un dominio, -\begin_inset Formula $_{A}A$ +, entonces +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=(\text{lcm}_{i\in I}b_{i})$ \end_inset - es indescomponible. +. \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Si tuviera complemento directo -\begin_inset Formula $J$ -\end_inset +\begin_inset ERT +status open -, este sería no nulo por ser -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - propio, luego si -\begin_inset Formula $b\in I$ -\end_inset - es cancelable y -\begin_inset Formula $c\in J\setminus\{0\}$ -\end_inset +\backslash +end{exinfo} +\end_layout -, -\begin_inset Formula $0\neq bc\in I\cap J\#$ \end_inset -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{r}\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - son primos distintos, -\begin_inset Formula $n\coloneqq\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $q_{i}\coloneqq\frac{n}{p_{i}^{m_{i}}}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}=\bigoplus_{i=1}^{r}q_{i}\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset -. \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Como -\begin_inset Formula $\gcd\{q_{1},\dots,q_{r}\}=1$ +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset -, hay una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}q_{i}=1$ + es un +\series bold +sumando directo +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y la suma de ideales es -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ + si existe +\begin_inset Formula $N'\leq_{A}M$ \end_inset -. - Para ver que es directa, si -\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=\sum_{j\neq i}q_{j}\overline{a_{j}}$ + con +\begin_inset Formula $M=N\oplus N'$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $q_{i}a_{i}=nb+\sum_{j\neq i}q_{j}a_{j}$ + llamado +\series bold +complemento directo +\series default + de +\begin_inset Formula $N$ \end_inset en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - para cierto -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -, y como -\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}$ -\end_inset - - divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la primera y -\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}\mid q_{i}a_{i}$ +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=0$ +, si y sólo si la inclusión +\begin_inset Formula $\iota:N\hookrightarrow M$ \end_inset - y la suma es directa. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Un + tiene un inverso por la izquierda, es decir, un \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulo cíclico -\begin_inset Formula $M\neq0$ -\end_inset - - es indescomponible si y sólo si los únicos idempotentes de -\begin_inset Formula $\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ +-homomorfismo +\begin_inset Formula $h:M\to N$ \end_inset - son -\begin_inset Formula $\overline{0}$ + con +\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{N}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{1}$ +, que deja fijos los puntos de +\begin_inset Formula $N$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open @@ -3077,2233 +3392,3354 @@ status open \end_inset -Probamos el contrarrecíproco. - Sea -\begin_inset Formula $m\in M\setminus0$ +La proyección +\begin_inset Formula $p:M\to N$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $M=(m)$ + cumple +\begin_inset Formula $p\circ\iota=1_{N}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=\{a\in A:am=0\}$ -\end_inset +. +\end_layout -, y si -\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ -\end_inset +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open - es un idempotente distinto de -\begin_inset Formula $\overline{0}$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{1}$ + +\end_layout + \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $\iota:(em)\to M$ +Sea +\begin_inset Formula $N'\coloneqq\ker h$ \end_inset - es la inclusión y -\begin_inset Formula $h:M\to(em)$ +, para +\begin_inset Formula $x\in N\cap N'$ \end_inset - el homomorfismo producto por -\begin_inset Formula $e$ +, +\begin_inset Formula $0=h(x)=h(\iota(x))=x$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $b\in M$ +, y para +\begin_inset Formula $x\in M$ \end_inset , -\begin_inset Formula $h(\iota(bem))=h(bem)=be^{2}m=bem$ +\begin_inset Formula $x=h(x)+(x-h(x))$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{(em)}$ + con +\begin_inset Formula $h(x)\in N$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(em)$ +\begin_inset Formula $x-h(x)\in N'=\ker h$ \end_inset - es sumando directo distinto de 0 y -\begin_inset Formula $M$ + ya que +\begin_inset Formula $h(x-\iota(h(x)))=h(x)-h(x)=0$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\begin_layout Standard +En general un submódulo de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - -\end_layout - + no es isomorfo a un cociente de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ + ni al revés, pues el cociente +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ \end_inset -, por el argumento anterior -\begin_inset Formula $(em)$ + no es isomorfo a un ideal de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - es un sumando directo, de modo que bien -\begin_inset Formula $(em)=0$ + y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $em=0$ + no es isomorfo a un cociente de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $e\in\text{ann}_{A}(M)$ + ya que en todo cociente de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{0}$ + cumple que para cada +\begin_inset Formula $x$ \end_inset -, bien -\begin_inset Formula $(em)=(m)$ + hay un +\begin_inset Formula $y$ \end_inset - y existe -\begin_inset Formula $b\in A$ + con +\begin_inset Formula $x=y+y$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $bem=m$ + ( +\begin_inset Formula $y=\frac{x}{2}$ \end_inset -, de modo que -\begin_inset Formula $(be-1)m=0$ +) y esto no ocurre en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{b}\overline{e}=\overline{1}$ +. + Si +\begin_inset Formula $M=\bigoplus_{i\in I}M_{i}$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $\overline{e}$ +, cada +\begin_inset Formula $M_{i}$ \end_inset - es una unidad con -\begin_inset Formula $\overline{e}\overline{e}=\overline{e}$ + es un sumando directo de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{1}$ + con complemento directo +\begin_inset Formula $\bigoplus_{j\in I\setminus\{i\}}M_{i}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $M\in\text{MaxSpec}(A)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ -\end_inset - -, el -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - --módulo -\begin_inset Formula $\frac{A}{M^{n}}$ -\end_inset - - es indescomponible. -\begin_inset Note Note +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout -TODO ejercicio Saorín 1 +Estaba en mis notas de clase y no sé que significa. \end_layout +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Quotes cld \end_inset +Tenemos un isomorfismo +\begin_inset Formula $_{A}\text{Mod}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong M$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ +, luego +\begin_inset Formula $\text{End}_{A}(M)\cong\text{End}_{A}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ \end_inset - es un DIP y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ +. + Si +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\frac{A}{(a)}$ + entonces la aplicación +\begin_inset Formula $\mu:\frac{A}{I}\to\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ \end_inset - es indescomponible si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ + dada por +\begin_inset Formula $\overline{a}\mapsto\mu_{\overline{a}}\coloneqq(\overline{b}\mapsto\overline{ab})$ \end_inset - es asociado a -\begin_inset Formula $p^{t}$ + es un isomorfismo de anillos. + En efecto, +\begin_inset Formula $\ker\mu=\{\overline{a}:\mu_{\overline{a}}\equiv0\}=\{\overline{a}\in\frac{A}{I}:\forall\overline{b}\in\frac{A}{I},\overline{a}\overline{b}=\overline{0}\}$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $p\in A$ +, con lo que +\begin_inset Formula $\ker\mu=0$ \end_inset - irreducible y -\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}^{*}$ + implica que +\begin_inset Formula $\mu$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open + es inyectiva. + +\begin_inset Formula $\mu$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -TODO ejercicio Saorín 2 -\end_layout + suprayectiva: Sea +\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ +\end_inset + ( +\begin_inset Formula $f:\frac{A}{I}\to\frac{A}{I}$ \end_inset +), sea +\begin_inset Formula $\overline{a}\coloneqq f(\overline{1})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(\overline{b})=f(\overline{b}\overline{1})=\overline{b}f(\overline{1})=\overline{b}\overline{a}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Quotes crd +\end_inset -\end_layout -\begin_layout Section -Módulos libres \end_layout -\begin_layout Standard -Dados -\begin_inset Formula $X\coloneqq\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ \end_inset -, el homomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ -\end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}$ -\end_inset +\end_layout -, -\begin_inset Formula $\phi$ +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - es suprayectivo si y sólo si -\begin_inset Formula $M=\sum_{i\in I}Am_{i}$ + es +\series bold +indescomponible +\series default + si sus únicos sumandos directos son 0 y +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, y es inyectivo si y sólo si cada elemento de -\begin_inset Formula $(X)$ -\end_inset +. + +\end_layout - se expresa de forma única como -\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ +\begin_layout Enumerate +Todo subespacio +\begin_inset Formula $W$ \end_inset - con los -\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ + de un espacio vectorial +\begin_inset Formula $V$ \end_inset - casi todos nulos, si y sólo si los submódulos -\begin_inset Formula $(Am_{i})_{i\in I}$ -\end_inset + tiene complementos directos (no únicos). +\end_layout - son independientes y para cada -\begin_inset Formula $i\in I$ +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Una base de +\begin_inset Formula $W$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ + se completa a una de +\begin_inset Formula $V$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $am_{i}\neq0$ + y el subespacio generado por los vectores que se añaden es un complemento + directo de +\begin_inset Formula $W$ \end_inset -, en cuyo caso decimos que -\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ + en +\begin_inset Formula $V$ \end_inset - es -\series bold -linealmente independiente -\series default . \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies2]$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dada una familia +\begin_inset Formula $\{M_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}\text{Mod}$ \end_inset - Si -\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}=\sum_{i}a'_{i}m_{i}$ +, podemos identificar cada +\begin_inset Formula $M_{i}$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $\phi(a)=\phi(a')$ + con el submódulo de +\begin_inset Formula $\prod_{i}M_{i}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a=a'$ + con entradas nulas en cada componente salvo la +\begin_inset Formula $i$ \end_inset -. + y entonces la familia +\begin_inset Formula $(M_{i})_{i}$ +\end_inset + + es independiente y su suma directa interna coincide con la suma directa + externa. \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset - La expresión de elementos de -\begin_inset Formula $(X)$ + tiene un elemento cancelable (no invertible), +\begin_inset Formula $I$ \end_inset - como -\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ + no es un sumando directo de +\begin_inset Formula $_{A}A$ \end_inset - con cada -\begin_inset Formula $n_{i}=a_{i}m_{i}\in Am_{i}$ +. + En particular, si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es única, luego los -\begin_inset Formula $Am_{i}$ + es un dominio, +\begin_inset Formula $_{A}A$ \end_inset - son independientes, y si hubiera -\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ + es indescomponible. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Si tuviera complemento directo +\begin_inset Formula $J$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $i\in I$ +, este sería no nulo por ser +\begin_inset Formula $I$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $am_{i}=0$ + propio, luego si +\begin_inset Formula $b\in I$ \end_inset - habría dos expresiones -\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ + es cancelable y +\begin_inset Formula $c\in J\setminus\{0\}$ \end_inset - para el -\begin_inset Formula $0\#$ +, +\begin_inset Formula $0\neq bc\in I\cap J\#$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ -\end_inset - - Si -\begin_inset Formula $\phi(a)=\sum_{i}a_{i}m_{i}=0$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{r}\in\mathbb{Z}$ \end_inset -, por lo primero cada -\begin_inset Formula $a_{i}m_{i}=0$ + son primos distintos, +\begin_inset Formula $n\coloneqq\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}$ \end_inset -, y por lo segundo cada -\begin_inset Formula $a_{i}=0$ + y +\begin_inset Formula $q_{i}\coloneqq\frac{n}{p_{i}^{m_{i}}}$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $a=0$ +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}=\bigoplus_{i=1}^{r}q_{i}\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -Una familia -\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ +Como +\begin_inset Formula $\gcd\{q_{1},\dots,q_{r}\}=1$ \end_inset - es una -\series bold -base -\series default - de -\begin_inset Formula $M$ +, hay una identidad de Bézout +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}q_{i}=1$ \end_inset - si es linealmente independiente y genera -\begin_inset Formula $M$ + y la suma de ideales es +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +. + Para ver que es directa, si +\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=\sum_{j\neq i}q_{j}\overline{a_{j}}$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ + entonces +\begin_inset Formula $q_{i}a_{i}=nb+\sum_{j\neq i}q_{j}a_{j}$ \end_inset - es biyectiva, si y sólo si para cada -\begin_inset Formula $m\in M$ + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - existe una única elección de coeficientes -\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ + para cierto +\begin_inset Formula $b$ \end_inset - casi todos nulos, llamados -\series bold -coordenadas -\series default - de -\begin_inset Formula $m$ +, y como +\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}$ \end_inset - la base, con -\begin_inset Formula $m=\sum_{i}a_{i}m_{i}$ + divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la primera y +\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}\mid q_{i}a_{i}$ \end_inset -. - Un módulo es -\series bold -libre -\series default - si tiene una base. -\end_layout +, con lo que +\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=0$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -El módulo 0 es libre con base vacía. + y la suma es directa. \end_layout +\end_deeper \begin_layout Enumerate -Los -\begin_inset Formula $A^{(I)}$ -\end_inset - - son libres con la -\series bold -base canónica -\series default - -\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ +Un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, donde cada -\begin_inset Formula $e_{i}$ +-módulo cíclico +\begin_inset Formula $M\neq0$ \end_inset - tiene 1 en la entrada -\begin_inset Formula $i$ + es indescomponible si y sólo si los únicos idempotentes de +\begin_inset Formula $\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ \end_inset - y un 0 en el resto. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Todo espacio vectorial es libre, y las bases coinciden con los conjuntos - linealmente independientes maximales y los conjuntos generadores minimales. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $_{A}A[X]$ + son +\begin_inset Formula $\overline{0}$ \end_inset - es libre con base -\begin_inset Formula $(X^{n})_{n\in\mathbb{N}}$ + y +\begin_inset Formula $\overline{1}$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[\text{i}]$ -\end_inset +\begin_deeper +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open - es libre con base -\begin_inset Formula $\{1,\text{i}\}$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset -. + \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset - no es libre. -\end_layout +Probamos el contrarrecíproco. + Sea +\begin_inset Formula $m\in M\setminus0$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $\frac{a}{r},\frac{b}{s}\in\mathbb{Q}$ + con +\begin_inset Formula $M=(m)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $br\frac{a}{r}-as\frac{b}{s}=0$ +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=\{a\in A:am=0\}$ \end_inset -, luego los conjuntos linealmente independientes son de un elemento, pero - estos no generan -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +, y si +\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ \end_inset -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $M$ + es un idempotente distinto de +\begin_inset Formula $\overline{0}$ \end_inset - es un grupo abeliano finito no nulo, -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}M$ + y +\begin_inset Formula $\overline{1}$ \end_inset - no es libre. -\end_layout +, sean +\begin_inset Formula $\iota:(em)\to M$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -No puede ser isomorfo a un -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{(I)}$ + es la inclusión y +\begin_inset Formula $h:M\to(em)$ \end_inset -. -\end_layout + el homomorfismo producto por +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open +, para +\begin_inset Formula $b\in M$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout +, +\begin_inset Formula $h(\iota(bem))=h(bem)=be^{2}m=bem$ +\end_inset +, luego +\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{(em)}$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout + y +\begin_inset Formula $(em)$ +\end_inset + es sumando directo distinto de 0 y +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -Los isomorfismos conservan bases. -\begin_inset ERT +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset -\backslash -end{exinfo} \end_layout \end_inset - -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $_{A}M$ +Sea +\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ \end_inset - es libre si y sólo si es isomorfo a -\begin_inset Formula $A^{(I)}$ +, por el argumento anterior +\begin_inset Formula $(em)$ \end_inset - para cierto -\begin_inset Formula $I$ + es un sumando directo, de modo que bien +\begin_inset Formula $(em)=0$ \end_inset -, en cuyo caso todas sus bases tienen cardinal -\begin_inset Formula $|I|$ + y por tanto +\begin_inset Formula $em=0$ \end_inset -, llamado el -\series bold -rango -\series default - de -\begin_inset Formula $M$ +, +\begin_inset Formula $e\in\text{ann}_{A}(M)$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $\text{rg}M$ + y +\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{0}$ \end_inset -, y en particular. - -\series bold -Demostración: -\series default - Si -\begin_inset Formula $_{A}M$ +, bien +\begin_inset Formula $(em)=(m)$ \end_inset - es libre con base -\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ + y existe +\begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset -, hay un isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ + con +\begin_inset Formula $bem=m$ \end_inset -, y si hay tal isomorfismo, -\begin_inset Formula $M$ +, de modo que +\begin_inset Formula $(be-1)m=0$ \end_inset - tiene la base resultante de llevar la base canónica de -\begin_inset Formula $A^{(I)}$ + y +\begin_inset Formula $\overline{b}\overline{e}=\overline{1}$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $M$ +, con lo que +\begin_inset Formula $\overline{e}$ \end_inset - por el isomorfismo. - Si -\begin_inset Formula $A=0$ + es una unidad con +\begin_inset Formula $\overline{e}\overline{e}=\overline{e}$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $M=0$ + y por tanto +\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{1}$ \end_inset - y el resultado es claro. - En otro caso existe -\begin_inset Formula $J\trianglelefteq_{\text{m}}A$ +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $M\in\text{MaxSpec}(A)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $JM$ +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - es un +, el \begin_inset Formula $A$ \end_inset --submódulo de -\begin_inset Formula $M$ +-módulo +\begin_inset Formula $\frac{A}{M^{n}}$ \end_inset -, luego si -\begin_inset Formula $\overline{M}\coloneqq\frac{M}{JM}$ -\end_inset + es indescomponible. +\begin_inset Note Note +status open -, los elementos de -\begin_inset Formula $J\overline{M}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio Saorín 1 +\end_layout - son sumas de elementos de la forma -\begin_inset Formula $j\overline{m}=jm+JM=JM$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $j\in J$ -\end_inset - y -\begin_inset Formula $m\in M$ -\end_inset - - y por tanto -\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ -\end_inset +\end_layout -. - Pero un +\begin_layout Enumerate +Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulo -\begin_inset Formula $\overline{M}$ + es un DIP y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ +, +\begin_inset Formula $\frac{A}{(a)}$ \end_inset - es -\begin_inset Quotes cld + es indescomponible si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -lo mismo -\begin_inset Quotes crd + es asociado a +\begin_inset Formula $p^{t}$ \end_inset - que un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ + para ciertos +\begin_inset Formula $p\in A$ \end_inset --módulo, luego -\begin_inset Formula $\overline{M}$ + irreducible y +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - es un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ -\end_inset +. +\begin_inset Note Note +status open --módulo y por tanto es un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio Saorín 2 +\end_layout --espacio vectorial. - Sea entonces -\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ \end_inset - una base de -\begin_inset Formula $_{A}M$ -\end_inset -, -\begin_inset Formula $\{\overline{m_{i}}\}_{i\in I}\subseteq\overline{M}$ -\end_inset +\end_layout - es un conjunto generador, y es linealmente independiente. - En efecto, si -\begin_inset Formula $\sum_{i}\overline{a_{i}}\overline{m_{i}}=\overline{0}$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - entonces -\begin_inset Formula $x\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}\in JM$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout -, luego -\begin_inset Formula $x=\sum_{j=1}^{n}b_{j}x_{j}$ -\end_inset - con cada -\begin_inset Formula $b_{j}\in J$ -\end_inset +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout - y cada -\begin_inset Formula $x_{j}\in M$ \end_inset - y, escribiendo cada -\begin_inset Formula $x_{j}$ -\end_inset - como -\begin_inset Formula $\sum_{i}c_{ji}m_{i}$ -\end_inset +\end_layout -, -\begin_inset Formula $x=\sum_{j}\sum_{i}b_{j}c_{ji}m_{i}=\sum_{i}\left(\sum_{j}b_{j}c_{ji}\right)m_{i}$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout -, y por la independencia lineal de los -\begin_inset Formula $m_{i}$ \end_inset -, cada -\begin_inset Formula $a_{i}=\sum_{j}b_{j}c_{ji}\in J$ +Si +\begin_inset Formula $e\in A$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\overline{a_{i}}=\overline{0}$ + es idempotente, +\begin_inset Formula $eM$ \end_inset -. - Haciendo esta operación con dos bases distintas de + es sumando directo de \begin_inset Formula $M$ \end_inset - con el mismo -\begin_inset Formula $J$ -\end_inset +. +\end_layout - se obtienen dos bases distintas del espacio vectorial -\begin_inset Formula $J\overline{M}$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open - que deben tener el mismo cardinal, lo que prueba la unicidad del rango. +\begin_layout Plain Layout +9. \end_layout -\begin_layout Standard -Un +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $f:M\to M$ +\end_inset + + es un \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulo libre es finitamente generado si y sólo si tiene rango finito, es - decir, si es isomorfo a un -\begin_inset Formula $A^{n}$ +-endomorfismo idempotente, +\begin_inset Formula $M=\ker f\oplus\text{Im}f$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset +\backslash +end{exinfo} \end_layout \end_inset -Sean -\begin_inset Formula $S\subseteq_{A}M$ -\end_inset - un generador finito de -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset +\end_layout -, -\begin_inset Formula $(b_{i})_{i\in I}$ -\end_inset +\begin_layout Section +Módulos libres +\end_layout - una base de -\begin_inset Formula $M$ +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $X\coloneqq\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ \end_inset - y +, el homomorfismo \begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ \end_inset - el isomorfismo asociado a la base, si -\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq\{i\in I:(\phi^{-1}(a))_{i}\neq0\}$ + dado por +\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $J\coloneqq\bigcup_{a\in S}f(a)$ +, +\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset - es finito, pero necesariamente -\begin_inset Formula $J=I$ + es suprayectivo si y sólo si +\begin_inset Formula $M=\sum_{i\in I}Am_{i}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +, y es inyectivo si y sólo si cada elemento de +\begin_inset Formula $(X)$ \end_inset + se expresa de forma única como +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ +\end_inset -\end_layout + con los +\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ +\end_inset + casi todos nulos, si y sólo si los submódulos +\begin_inset Formula $(Am_{i})_{i\in I}$ \end_inset -Obvio. -\end_layout + son independientes y para cada +\begin_inset Formula $i\in I$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual a un generador - del módulo, pues si -\begin_inset Formula $X$ + y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ \end_inset - es un generador de -\begin_inset Formula $M$ + es +\begin_inset Formula $am_{i}\neq0$ \end_inset - existe un epimorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{(X)}\twoheadrightarrow M$ +, en cuyo caso decimos que +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{x}a_{x}x$ + es +\series bold +linealmente independiente +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset - y, por el primer teorema de isomorfía, -\begin_inset Formula $\frac{A^{(X)}}{\ker\phi}\cong M$ + Si +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}=\sum_{i}a'_{i}m_{i}$ \end_inset -. - En particular todo módulo finitamente generado es cociente de un módulo - libre de rango finito y todo -\begin_inset Formula $A$ + entonces +\begin_inset Formula $\phi(a)=\phi(a')$ \end_inset --módulo cíclico es cociente de -\begin_inset Formula $_{A}A$ + y +\begin_inset Formula $a=a'$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $_{A}L=L_{1}\oplus\dots\oplus L_{t}$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - es una suma directa interna y cada -\begin_inset Formula $L_{i}$ + La expresión de elementos de +\begin_inset Formula $(X)$ \end_inset - es libre con base finita -\begin_inset Formula $X_{i}$ + como +\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $L$ + con cada +\begin_inset Formula $n_{i}=a_{i}m_{i}\in Am_{i}$ \end_inset - tiene como base la concatenación de las -\begin_inset Formula $X_{i}$ + es única, luego los +\begin_inset Formula $Am_{i}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\text{rg}L=\text{rg}L_{1}+\dots+\text{rg}L_{t}$ + son independientes, y si hubiera +\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ \end_inset -. - -\series bold -Demostración: -\series default - Para -\begin_inset Formula $t\leq1$ -\end_inset - - es obvio, y para -\begin_inset Formula $t>2$ + e +\begin_inset Formula $i\in I$ \end_inset - se ve por inducción. - Para -\begin_inset Formula $t=2$ + con +\begin_inset Formula $am_{i}=0$ \end_inset -, las uniones de conjuntos generadores generan el submódulo suma, y queda - ver que si -\begin_inset Formula $\{n_{1},\dots,n_{r}\}\subseteq L_{1}$ + habría dos expresiones +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\{k_{1},\dots,k_{s}\}\subseteq L_{2}$ + para el +\begin_inset Formula $0\#$ \end_inset - son linealmente independientes, la unión, que es disjunta, es linealmente - independiente. - Pero si -\begin_inset Formula $(a\coloneqq a_{1}n_{1}+\dots+a_{r}n_{r})+(b\coloneqq b_{1}k_{1}+\dots+b_{s}k_{s})=0$ -\end_inset +. +\end_layout - para ciertos -\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}\in A$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $a,b=0$ + Si +\begin_inset Formula $\phi(a)=\sum_{i}a_{i}m_{i}=0$ \end_inset - por ser -\begin_inset Formula $a\in L_{1}$ +, por lo primero cada +\begin_inset Formula $a_{i}m_{i}=0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b\in L_{2}$ +, y por lo segundo cada +\begin_inset Formula $a_{i}=0$ \end_inset -, luego cada -\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}=0$ +, luego +\begin_inset Formula $a=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +Una familia +\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ \end_inset - una base de -\begin_inset Formula $_{A}M$ + es una +\series bold +base +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\{n_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}N$ + si es linealmente independiente y genera +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, existe un único -\begin_inset Formula $A$ +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ \end_inset --homomorfismo -\begin_inset Formula $f:M\to N$ + dado por +\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ \end_inset - con cada -\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ + es biyectiva, si y sólo si para cada +\begin_inset Formula $m\in M$ \end_inset -. - + existe una única elección de coeficientes +\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ +\end_inset + + casi todos nulos, llamados \series bold -Demostración: +coordenadas \series default - Existe un -\begin_inset Formula $A$ + de +\begin_inset Formula $m$ \end_inset --isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ + la base, con +\begin_inset Formula $m=\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\phi(e_{i})=m_{i}$ +. + Un módulo es +\series bold +libre +\series default + si tiene una base. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El módulo 0 es libre con base vacía. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Los +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ \end_inset - para cada -\begin_inset Formula $e_{i}$ + son libres con la +\series bold +base canónica +\series default + +\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ \end_inset - de la base canónica y un -\begin_inset Formula $A$ +, donde cada +\begin_inset Formula $e_{i}$ \end_inset --homomorfismo -\begin_inset Formula $\psi:A^{(I)}\to N$ + tiene 1 en la entrada +\begin_inset Formula $i$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\psi(e_{i})=n_{i}$ + y un 0 en el resto. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo espacio vectorial es libre, y las bases coinciden con los conjuntos + linealmente independientes maximales y los conjuntos generadores minimales. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{A}A[X]$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $f\coloneqq\psi\circ\phi^{-1}:M\to N$ + es libre con base +\begin_inset Formula $(X^{n})_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset - es un -\begin_inset Formula $A$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[\text{i}]$ \end_inset --isomorfismo con cada -\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ + es libre con base +\begin_inset Formula $\{1,\text{i}\}$ \end_inset . - Para la unicidad, como -\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i}$ +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset - es un conjunto generador, dos -\begin_inset Formula $A$ + no es libre. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $\frac{a}{r},\frac{b}{s}\in\mathbb{Q}$ \end_inset --homomorfismos que actúen igual sobre sus elementos son iguales. +, +\begin_inset Formula $br\frac{a}{r}-as\frac{b}{s}=0$ +\end_inset + +, luego los conjuntos linealmente independientes son de un elemento, pero + estos no generan +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +. \end_layout -\begin_layout Section -Condiciones de cadena en módulos +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es un grupo abeliano finito no nulo, +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}M$ +\end_inset + + no es libre. \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $_{A}N\in{\cal L}(_{A}M)$ +No puede ser isomorfo a un +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{(I)}$ \end_inset - es compacto si y sólo si es finitamente generado. +. \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset +\backslash +begin{exinfo} \end_layout \end_inset -\begin_inset Formula $N=\bigvee_{n\in N}(n)$ -\end_inset +\end_layout -, por lo que existen -\begin_inset Formula $n_{1},\dots,n_{k}\in N$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout - con -\begin_inset Formula $N=(n_{1})\vee\dots\vee(n_{k})=(n_{1},\dots,n_{k})$ \end_inset -. +Los epimorfismos conservan la independencia lineal. \end_layout -\begin_layout Itemize +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset +9. +\end_layout +\end_inset +Los isomorfismos conservan bases. \end_layout -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -Sean -\begin_inset Formula $N\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{n})$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +10. +\end_layout - y -\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}(_{A}N)$ \end_inset - no vacío con -\begin_inset Formula $N=\bigvee S$ +Un +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset -, para cada -\begin_inset Formula $i$ +-submódulo de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset -, como -\begin_inset Formula $x_{i}\in N$ -\end_inset + es libre si y sólo si es cíclico, si y solo si es finitamente generado. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +11. +\end_layout + +\end_inset + +Un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un cuerpo si y sólo si todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo es libre. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es libre si y sólo si es isomorfo a +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +, en cuyo caso todas sus bases tienen cardinal +\begin_inset Formula $|I|$ +\end_inset + +, llamado el +\series bold +rango +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\text{rg}M$ +\end_inset + +, y en particular. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es libre con base +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + +, hay un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + +, y si hay tal isomorfismo, +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + tiene la base resultante de llevar la base canónica de +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + por el isomorfismo. + Si +\begin_inset Formula $A=0$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $M=0$ +\end_inset + + y el resultado es claro. + En otro caso existe +\begin_inset Formula $J\trianglelefteq_{\text{m}}A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $JM$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, luego si +\begin_inset Formula $\overline{M}\coloneqq\frac{M}{JM}$ +\end_inset + +, los elementos de +\begin_inset Formula $J\overline{M}$ +\end_inset + + son sumas de elementos de la forma +\begin_inset Formula $j\overline{m}=jm+JM=JM$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $j\in J$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m\in M$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ +\end_inset + +. + Pero un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo +\begin_inset Formula $\overline{M}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ +\end_inset + + es +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +lo mismo +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + que un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ +\end_inset + +-módulo, luego +\begin_inset Formula $\overline{M}$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ +\end_inset + +-módulo y por tanto es un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ +\end_inset + +-espacio vectorial. + Sea entonces +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{\overline{m_{i}}\}_{i\in I}\subseteq\overline{M}$ +\end_inset + + es un conjunto generador, y es linealmente independiente. + En efecto, si +\begin_inset Formula $\sum_{i}\overline{a_{i}}\overline{m_{i}}=\overline{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $x\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}\in JM$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $x=\sum_{j=1}^{n}b_{j}x_{j}$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $b_{j}\in J$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula $x_{j}\in M$ +\end_inset + + y, escribiendo cada +\begin_inset Formula $x_{j}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $\sum_{i}c_{ji}m_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x=\sum_{j}\sum_{i}b_{j}c_{ji}m_{i}=\sum_{i}\left(\sum_{j}b_{j}c_{ji}\right)m_{i}$ +\end_inset + +, y por la independencia lineal de los +\begin_inset Formula $m_{i}$ +\end_inset + +, cada +\begin_inset Formula $a_{i}=\sum_{j}b_{j}c_{ji}\in J$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\overline{a_{i}}=\overline{0}$ +\end_inset + +. + Haciendo esta operación con dos bases distintas de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + con el mismo +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + se obtienen dos bases distintas del espacio vectorial +\begin_inset Formula $J\overline{M}$ +\end_inset + + que deben tener el mismo cardinal, lo que prueba la unicidad del rango. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo libre es finitamente generado si y sólo si tiene rango finito, es + decir, si es isomorfo a un +\begin_inset Formula $A^{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $S\subseteq_{A}M$ +\end_inset + + un generador finito de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(b_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + + el isomorfismo asociado a la base, si +\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq\{i\in I:(\phi^{-1}(a))_{i}\neq0\}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $J\coloneqq\bigcup_{a\in S}f(a)$ +\end_inset + + es finito, pero necesariamente +\begin_inset Formula $J=I$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Obvio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual a un generador + del módulo, pues si +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un generador de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + existe un epimorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(X)}\twoheadrightarrow M$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{x}a_{x}x$ +\end_inset + + y, por el primer teorema de isomorfía, +\begin_inset Formula $\frac{A^{(X)}}{\ker\phi}\cong M$ +\end_inset + +. + En particular todo módulo finitamente generado es cociente de un módulo + libre de rango finito y todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo cíclico es cociente de +\begin_inset Formula $_{A}A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $_{A}L=L_{1}\oplus\dots\oplus L_{t}$ +\end_inset + + es una suma directa interna y cada +\begin_inset Formula $L_{i}$ +\end_inset + + es libre con base finita +\begin_inset Formula $X_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + tiene como base la concatenación de las +\begin_inset Formula $X_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{rg}L=\text{rg}L_{1}+\dots+\text{rg}L_{t}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $t\leq1$ +\end_inset + + es obvio, y para +\begin_inset Formula $t>2$ +\end_inset + + se ve por inducción. + Para +\begin_inset Formula $t=2$ +\end_inset + +, las uniones de conjuntos generadores generan el submódulo suma, y queda + ver que si +\begin_inset Formula $\{n_{1},\dots,n_{r}\}\subseteq L_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{k_{1},\dots,k_{s}\}\subseteq L_{2}$ +\end_inset + + son linealmente independientes, la unión, que es disjunta, es linealmente + independiente. + Pero si +\begin_inset Formula $(a\coloneqq a_{1}n_{1}+\dots+a_{r}n_{r})+(b\coloneqq b_{1}k_{1}+\dots+b_{s}k_{s})=0$ +\end_inset + + para ciertos +\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}\in A$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a,b=0$ +\end_inset + + por ser +\begin_inset Formula $a\in L_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in L_{2}$ +\end_inset + +, luego cada +\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{n_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}N$ +\end_inset + +, existe un único +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismo +\begin_inset Formula $f:M\to N$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Existe un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\phi(e_{i})=m_{i}$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $e_{i}$ +\end_inset + + de la base canónica y un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismo +\begin_inset Formula $\psi:A^{(I)}\to N$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\psi(e_{i})=n_{i}$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $f\coloneqq\psi\circ\phi^{-1}:M\to N$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-isomorfismo con cada +\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ +\end_inset + +. + Para la unicidad, como +\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i}$ +\end_inset + + es un conjunto generador, dos +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismos que actúen igual sobre sus elementos son iguales. +\end_layout + +\begin_layout Section +Condiciones de cadena en módulos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}N\in{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + + es compacto si y sólo si es finitamente generado. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $N=\bigvee_{n\in N}(n)$ +\end_inset + +, por lo que existen +\begin_inset Formula $n_{1},\dots,n_{k}\in N$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $N=(n_{1})\vee\dots\vee(n_{k})=(n_{1},\dots,n_{k})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $N\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{n})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}(_{A}N)$ +\end_inset + + no vacío con +\begin_inset Formula $N=\bigvee S$ +\end_inset + +, para cada +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $x_{i}\in N$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $L_{i1},\dots,L_{ik_{i}}\in S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{i1}\in L_{i1},\dots,p_{ik_{i}}\in L_{ik_{i}}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x_{i}=a_{i1}+\dots+a_{ik_{i}}$ +\end_inset + +, de modo que todo elemento de +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + se puede expresar como combinación lineal de los +\begin_inset Formula $a_{ij}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}L_{ij}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $_{A}N\in{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + + es +\series bold +finitamente cogenerado +\series default + si es cocompacto. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es +\series bold +noetheriano +\series default + si cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados, + y es +\series bold +artiniano +\series default + si cumple la DCC, con lo que un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano cuando lo es +\begin_inset Formula $_{A}A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Un espacio vectorial es noetheriano si y sólo si es artiniano, si y sólo + si es finitamente generado, si y sólo si es de dimensión finita. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies3]$ +\end_inset + + Por definición. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies4\implies1,2]$ +\end_inset + + Por álgebra lineal. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies4]$ +\end_inset + + Probamos el contrarrecíproco. + Si +\begin_inset Formula $(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + es una familia de vectores linealmente independiente y llamamos +\begin_inset Formula $V_{n}\coloneqq\text{span}\{v_{m}\}_{m\geq n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $V_{1}\supsetneq V_{2}\supsetneq V_{3}\supsetneq\dots$ +\end_inset + + viola la DCC. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ +\end_inset + + no es noetheriano ni artiniano. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\dots\subsetneq(4)\subsetneq(2)\subsetneq(1)\subsetneq(\frac{1}{2})\subsetneq(\frac{1}{4})\subsetneq\dots$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es un homomorfismo de anillos y vemos a un +\begin_inset Formula $_{B}M$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo por restricción de escalares sobre +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano también lo es +\begin_inset Formula $_{B}M$ +\end_inset + +. + En particular si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es cuerpo y +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + tiene dimensión finita, +\begin_inset Formula $_{B}M$ +\end_inset + + es noetheriano y artiniano. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + +, por lo que si en +\begin_inset Formula ${\cal L}({}_{A}M)$ +\end_inset + + no hay cadenas de cierta forma, en +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)$ +\end_inset + + tampoco. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +En el grupo +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\left(\overline{\frac{1}{n}}\right)=\left\{ \overline{\frac{0}{n}},\overline{\frac{1}{n}},\dots,\overline{\frac{n-1}{n}}\right\} \cong\mathbb{Z}_{n} +\] + +\end_inset + + admite como generadores unitarios los +\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{n}}$ +\end_inset + + en que la fracción es irreducible. + Si +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\coloneqq\left\{ \overline{\frac{a}{p^{n}}}\right\} _{a\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + es un subgrupo de +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ +\end_inset + + que es artiniano pero no noetheriano, y que no es finitamente generado + pero todos sus subgrupos propios son cíclicos de la forma +\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + + es la unión de la cadena de subgrupos +\begin_inset Formula +\[ +0=\left(\overline{\frac{1}{p^{0}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{2}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{3}}}\right)\subsetneq\dots, +\] + +\end_inset + + por lo que no es noetheriano. + Si +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}N\leq\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + + contiene una cantidad infinita de elementos +\begin_inset Formula $\overline{\frac{1}{p^{n}}}$ +\end_inset + +, contiene a todos los miembros de la cadena y +\begin_inset Formula $N=\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + +, y en otro caso, sea +\begin_inset Formula $n\coloneqq\max\left\{ n\in\mathbb{N}:\overline{\frac{1}{p^{n}}}\in\mathbb{N}\right\} $ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N=\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in N$ +\end_inset + + con la fracción irreducible, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es coprimo con +\begin_inset Formula $p^{m}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{m}}}\right)=\left(\overline{\frac{a}{p^{n}}}\right)\subseteq N$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $m\leq n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Obvio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como todos sus subgrupos son los de esta cadena, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + + es artiniano, y no es finitamente generado porque de serlo, como todos + sus subgrupos también lo son, sería noetheriano. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout -, existen -\begin_inset Formula $L_{i1},\dots,L_{ik_{i}}\in S$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $p_{i1}\in L_{i1},\dots,p_{ik_{i}}\in L_{ik_{i}}$ + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + \end_inset - con -\begin_inset Formula $x_{i}=a_{i1}+\dots+a_{ik_{i}}$ + +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}=\bigoplus_{p}\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ \end_inset -, de modo que todo elemento de -\begin_inset Formula $I$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +6. +\end_layout + \end_inset - se puede expresar como combinación lineal de los -\begin_inset Formula $a_{ij}$ +Si +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}L_{ij}$ + es noetheriano, todo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -. +-endomorfismo suprayectivo en +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es inyectivo. \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +7. +\end_layout + +\end_inset + +Si \begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - es -\series bold -noetheriano -\series default - si cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados, - y es -\series bold -artiniano -\series default - si cumple la DCC, con lo que un anillo + es artiniano, todo \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es noetheriano o artiniano cuando lo es -\begin_inset Formula $_{A}A$ +-endomorfismo inyectivo en +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -. + es suprayectivo. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Un espacio vectorial es noetheriano si y sólo si es artiniano, si y sólo - si es finitamente generado, si y sólo si es de dimensión finita. +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies3]$ \end_inset - Por definición. + \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies4\implies1,2]$ +\begin_layout Standard +Una +\series bold +sucesión exacta corta +\series default + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ \end_inset - Por álgebra lineal. + en la que +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + son homomorfismos y el núcleo de cada morfismo es la imagen del que le + precede tomando como homomorfismos +\begin_inset Formula $0\to L$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N\to0$ +\end_inset + + los únicos posibles, lo que equivale a que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + sea un monomorfismo y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + un epimorfismo con +\begin_inset Formula $\text{Im}f=\ker g$ +\end_inset + +. \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies4]$ +\begin_layout Standard +Toda sucesión exacta corta con término central +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - Probamos el contrarrecíproco. - Si -\begin_inset Formula $(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ + es isomorfa a una de la forma +\begin_inset Formula $0\to K\overset{\iota}{\hookrightarrow}M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{K}\to0$ \end_inset - es una familia de vectores linealmente independiente y llamamos -\begin_inset Formula $V_{n}\coloneqq\text{span}\{v_{m}\}_{m\geq n}$ +, donde +\begin_inset Formula $\iota$ +\end_inset + + es la inclusión y +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + la proyección canónica. + +\series bold +Demostración: +\series default + Dada +\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $K\coloneqq\text{Im}f$ +\end_inset + +, restringiendo +\begin_inset Formula $\hat{f}:L\to K$ +\end_inset + + tenemos un isomorfismo que nos permite cambiar +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\iota$ +\end_inset + + ya que +\begin_inset Formula $\iota\circ\hat{f}=f$ +\end_inset + +, y por el primer teorema de isomorfía en +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{M}{K}\cong N$ +\end_inset + +, por lo que cambiamos +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\frac{M}{K}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + ya que el isomorfismo de la prueba del teorema de isomorfía es +\begin_inset Formula $\overline{g}:\frac{M}{K}\to N$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\overline{g}(\overline{m})\coloneqq g(m)$ +\end_inset + + y claramente +\begin_inset Formula $\overline{g}\circ\pi=g$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset , -\begin_inset Formula $V_{1}\supsetneq V_{2}\supsetneq V_{3}\supsetneq\dots$ +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - viola la DCC. -\end_layout + es noetheriano o artiniano si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset - no es noetheriano ni artiniano. +. \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\dots\subsetneq(4)\subsetneq(2)\subsetneq(1)\subsetneq(\frac{1}{2})\subsetneq(\frac{1}{4})\subsetneq\dots$ +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset -. + \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate +\end_inset + Si -\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - es un homomorfismo de anillos y vemos a un -\begin_inset Formula $_{B}M$ + es noetheriano o artiniano, como +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}N)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset - como -\begin_inset Formula $A$ +, también lo es +\begin_inset Formula $N$ \end_inset --módulo por restricción de escalares sobre -\begin_inset Formula $f$ +, y como la biyección +\begin_inset Formula $\rho:\{K\in{\cal L}(_{A}M)\mid N\subseteq K\}\to{\cal L}(_{A}M/N)$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $_{A}M$ + del teorema de correspondencia conserva la inclusión, +\begin_inset Formula $\rho^{-1}({\cal L}(_{A}M/N))\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset - es noetheriano o artiniano también lo es -\begin_inset Formula $_{B}M$ + y también lo es +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset . - En particular si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\end_layout - es cuerpo y -\begin_inset Formula $_{A}M$ -\end_inset +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open - tiene dimensión finita, -\begin_inset Formula $_{B}M$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset - es noetheriano y artiniano. + \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset -, por lo que si en -\begin_inset Formula ${\cal L}({}_{A}M)$ +Si +\begin_inset Formula $P\subseteq Q$ \end_inset - no hay cadenas de cierta forma, en -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)$ + son submódulos de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - tampoco. -\end_layout + con +\begin_inset Formula $P\cap N=Q\cap N$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -En el grupo -\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ + y +\begin_inset Formula $P+N=Q+N$ \end_inset , para -\begin_inset Formula $n\geq2$ +\begin_inset Formula $q\in Q$ \end_inset , -\begin_inset Formula -\[ -\left(\overline{\frac{1}{n}}\right)=\left\{ \overline{\frac{0}{n}},\overline{\frac{1}{n}},\dots,\overline{\frac{n-1}{n}}\right\} \cong\mathbb{Z}_{n} -\] - +\begin_inset Formula $q\in Q+N=P+N$ \end_inset - admite como generadores unitarios los -\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{n}}$ + y por tanto +\begin_inset Formula $q=p+n$ \end_inset - en que la fracción es irreducible. - Si -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ + para ciertos +\begin_inset Formula $p\in P$ \end_inset - es primo, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\coloneqq\left\{ \overline{\frac{a}{p^{n}}}\right\} _{a\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}}$ + y +\begin_inset Formula $n\in N$ \end_inset - es un subgrupo de -\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ +, y +\begin_inset Formula $q-p=n\in Q\cap N=P\cap N\subseteq P$ \end_inset - que es artiniano pero no noetheriano, y que no es finitamente generado - pero todos sus subgrupos propios son cíclicos de la forma -\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +, luego +\begin_inset Formula $q=(q-p)+p\in P$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ + y se concluye que +\begin_inset Formula $P=Q$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ + Si +\begin_inset Formula $N$ \end_inset - es la unión de la cadena de subgrupos -\begin_inset Formula -\[ -0=\left(\overline{\frac{1}{p^{0}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{2}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{3}}}\right)\subsetneq\dots, -\] - + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset - por lo que no es noetheriano. - Si -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}N\leq\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ + son noetherianos o artinianos respectivamente, sea +\begin_inset Formula $(P_{n})_{n}$ \end_inset - contiene una cantidad infinita de elementos -\begin_inset Formula $\overline{\frac{1}{p^{n}}}$ + una cadena ascendente o descendente de submódulos de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, contiene a todos los miembros de la cadena y -\begin_inset Formula $N=\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +, los +\begin_inset Formula $P_{n}\cap N$ \end_inset -, y en otro caso, sea -\begin_inset Formula $n\coloneqq\max\left\{ n\in\mathbb{N}:\overline{\frac{1}{p^{n}}}\in\mathbb{N}\right\} $ + y los +\begin_inset Formula $\frac{P_{n}+N}{N}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $N=\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ + forman cadenas ascendentes o descendentes de submódulos de +\begin_inset Formula $N$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\subseteq]$ + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset - -\end_layout - + respectivamente, y por hipótesis ambas se estabilizan a partir de un +\begin_inset Formula $n_{0}$ \end_inset -Para -\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in N$ + que podemos suponer común, pero entonces, para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset - con la fracción irreducible, -\begin_inset Formula $a$ +, +\begin_inset Formula $P_{n}\subseteq P_{n+1}$ \end_inset - es coprimo con -\begin_inset Formula $p^{m}$ + con +\begin_inset Formula $P_{n}\cap N=P_{n+1}\cap N$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{m}}}\right)=\left(\overline{\frac{a}{p^{n}}}\right)\subseteq N$ + y +\begin_inset Formula $\frac{P_{n}\cap N}{N}=\frac{P_{n+1}+N}{N}$ \end_inset -, de donde -\begin_inset Formula $m\leq n$ +, por lo que +\begin_inset Formula $P_{n}=P_{n+1}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -. + es noetheriano o artiniano. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +\begin_layout Standard +La suma directa finita de módulos noetherianos o artinianos es respectivamente + noetheriana o artiniana. + En efecto, para +\begin_inset Formula $n\leq1$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\supseteq]$ + módulos es obvio, para +\begin_inset Formula $n=2$ \end_inset + se deduce de lo anterior y de que, si +\begin_inset Formula $M=N\oplus K$ +\end_inset -\end_layout +, +\begin_inset Formula $K\cong\frac{M}{N}$ +\end_inset +, y para +\begin_inset Formula $n>2$ \end_inset -Obvio. + se hace inducción. \end_layout \begin_layout Standard -Como todos sus subgrupos son los de esta cadena, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es artiniano, y no es finitamente generado porque de serlo, como todos - sus subgrupos también lo son, sería noetheriano. +: \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Standard -Una -\series bold -sucesión exacta corta -\series default - es una expresión de la forma -\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - en la que -\begin_inset Formula $L$ + es noetheriano o artiniano, respectivamente, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $n>0$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $M$ + con +\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ +\end_inset + + noetheriano o noetheriano, si y sólo si todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo finitamente generado es noetheriano o artiniano. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies3]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $N$ + Es fácil ver que los submódulos de +\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ \end_inset - son + son productos de submódulos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulos, -\begin_inset Formula $f$ +, que son ideales, pero si +\begin_inset Formula $(M_{k}\coloneqq I_{k1}\times\dots\times I_{kn})_{k}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $g$ + es una cadena ascendente de submódulos de +\begin_inset Formula $A^{n}$ \end_inset - son homomorfismos y el núcleo de cada morfismo es la imagen del que le - precede tomando como homomorfismos -\begin_inset Formula $0\to L$ +, cada cadena ascendente +\begin_inset Formula $(I_{ki})_{k}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $N\to0$ + se estabiliza en un punto, que podemos suponer común, y +\begin_inset Formula $(M_{k})_{k}$ \end_inset - los únicos posibles, lo que equivale a que -\begin_inset Formula $f$ + se estabiliza. + Entonces para +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - sea un monomorfismo y -\begin_inset Formula $g$ + finitamente generado existe un epimorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{n}\twoheadrightarrow M$ \end_inset - un epimorfismo con -\begin_inset Formula $\text{Im}f=\ker g$ + y las cadenas ascendentes de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -. + también se estabilizan. \end_layout -\begin_layout Standard -Toda sucesión exacta corta con término central -\begin_inset Formula $M$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies2]$ \end_inset - es isomorfa a una de la forma -\begin_inset Formula $0\to K\overset{\iota}{\hookrightarrow}M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{K}\to0$ -\end_inset + Obvio. +\end_layout -, donde -\begin_inset Formula $\iota$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies1]$ \end_inset - es la inclusión y -\begin_inset Formula $\pi$ + Si +\begin_inset Formula $A^{n}$ \end_inset - la proyección canónica. - -\series bold -Demostración: -\series default - Dada -\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ + es noetheriano para cierto +\begin_inset Formula $n>0$ \end_inset , sea -\begin_inset Formula $K\coloneqq\text{Im}f$ -\end_inset - -, restringiendo -\begin_inset Formula $\hat{f}:L\to K$ -\end_inset - - tenemos un isomorfismo que nos permite cambiar -\begin_inset Formula $L$ +\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $K$ + una cadena ascendente de ideales de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f$ +, +\begin_inset Formula $(I_{k},0,\dots,0)_{k}$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $\iota$ + es una cadena ascendente de submódulos de +\begin_inset Formula $A^{n}$ \end_inset - ya que -\begin_inset Formula $\iota\circ\hat{f}=f$ + y por tanto se estabiliza, luego +\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ \end_inset -, y por el primer teorema de isomorfía en -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset + también se estabiliza. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $\frac{M}{K}\cong N$ -\end_inset +\begin_layout Standard +Para artinianos es análogo. +\end_layout -, por lo que cambiamos -\begin_inset Formula $N$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dados un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $\frac{M}{K}$ + noetheriano o artiniano, respectivamente, y un homomorfismo +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $g$ + tal que +\begin_inset Formula $_{A}B$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $\pi$ + por restricción de escalares es finitamente generado, entonces +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - ya que el isomorfismo de la prueba del teorema de isomorfía es -\begin_inset Formula $\overline{g}:\frac{M}{K}\to N$ -\end_inset + es un anillo noetheriano o artiniano. +\end_layout - dado por -\begin_inset Formula $\overline{g}(\overline{m})\coloneqq g(m)$ +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Por lo anterior lo es +\begin_inset Formula $_{A}B$ \end_inset - y claramente -\begin_inset Formula $\overline{g}\circ\pi=g$ +, pero +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}B)\subseteq{\cal L}(_{A}B)$ \end_inset . \end_layout +\end_deeper \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\begin_inset Formula $A=A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $M$ + es un producto de anillos, todo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es noetheriano o artiniano si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $N$ +-módulo es isomorfo a un producto +\begin_inset Formula $M_{1}\times\dots\times M_{n}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +, donde cada +\begin_inset Formula $M_{i}$ \end_inset -. -\end_layout + es un +\begin_inset Formula $A_{i}$ +\end_inset -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 +-módulo, y en particular +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}M)\cong\prod_{i=1}^{m}{\cal L}(_{A_{i}}M_{i})$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +TODO ejercicio Saorín 4 +\end_layout + \end_inset \end_layout -\end_inset +\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $M$ +\series bold +Lema de Artin: +\series default + En un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es noetheriano o artiniano, como -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}N)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ + en que 0 es producto finito de ideales maximales, un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, también lo es -\begin_inset Formula $N$ +-módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si el número de ideales que hay que multiplicar es +\begin_inset Formula $n\leq1$ \end_inset -, y como la biyección -\begin_inset Formula $\rho:\{K\in{\cal L}(_{A}M)\mid N\subseteq K\}\to{\cal L}(_{A}M/N)$ +, +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - del teorema de correspondencia conserva la inclusión, -\begin_inset Formula $\rho^{-1}({\cal L}(_{A}M/N))\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ + es un cuerpo y sabemos que se cumple. + Para +\begin_inset Formula $n>1$ \end_inset - y también lo es -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +, por inducción, sean +\begin_inset Formula $0=J_{1}J_{2}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ + donde cada +\begin_inset Formula $J_{i}$ \end_inset - -\end_layout - + es producto de menos de +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -Si -\begin_inset Formula $P\subseteq Q$ + maximales. + Si por ejemplo +\begin_inset Formula $J_{1}=M_{1}\cdots M_{k}$ \end_inset - son submódulos de -\begin_inset Formula $M$ + con los +\begin_inset Formula $M_{i}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $P\cap N=Q\cap N$ + maximales, en +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $P+N=Q+N$ +, +\begin_inset Formula $0=\frac{J_{1}}{J_{1}}=\frac{M_{1}\cdots M_{k}}{J_{1}}=\frac{M_{1}}{J_{1}}\cdots\frac{M_{k}}{J_{1}}$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $q\in Q$ +, y como +\begin_inset Formula $J_{1}\subseteq M_{i}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $q\in Q+N=P+N$ + para cada +\begin_inset Formula $i$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $q=p+n$ +, +\begin_inset Formula $\frac{M_{i}}{J_{1}}\trianglelefteq_{\text{m}}\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $p\in P$ + y, en +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $n\in N$ +, 0 es producto de menos de +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $q-p=n\in Q\cap N=P\cap N\subseteq P$ + maximales y por tanto un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $q=(q-p)+p\in P$ +-módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano, y análogamente para un + +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ \end_inset - y se concluye que -\begin_inset Formula $P=Q$ +-módulo. + Dado +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset -. - Si -\begin_inset Formula $N$ +, +\begin_inset Formula $N\coloneqq J_{1}M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ + es anulado por +\begin_inset Formula $J_{2}$ \end_inset - son noetherianos o artinianos respectivamente, sea -\begin_inset Formula $(P_{n})_{n}$ + y por tanto se puede ver como un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ \end_inset - una cadena ascendente o descendente de submódulos de -\begin_inset Formula $M$ +-módulo con +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{2}}N)={\cal L}(_{A}N)$ \end_inset -, los -\begin_inset Formula $P_{n}\cap N$ + por restricción de escalares, mientras que +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}=\frac{M}{J_{1}M}$ \end_inset - y los -\begin_inset Formula $\frac{P_{n}+N}{N}$ + es anulado por +\begin_inset Formula $J_{1}$ \end_inset - forman cadenas ascendentes o descendentes de submódulos de -\begin_inset Formula $N$ + y se puede ver como un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +-módulo con +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{1}}M/N)={\cal L}(_{A}M/N)$ \end_inset - respectivamente, y por hipótesis ambas se estabilizan a partir de un -\begin_inset Formula $n_{0}$ +. + Entonces +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - que podemos suponer común, pero entonces, para -\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ + es noetheriano si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $_{A}M/N$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $P_{n}\subseteq P_{n+1}$ + y +\begin_inset Formula $_{A}N$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $P_{n}\cap N=P_{n+1}\cap N$ +, si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $_{A/J_{1}}M/N$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\frac{P_{n}\cap N}{N}=\frac{P_{n+1}+N}{N}$ +\begin_inset Formula $_{A/J_{2}}N$ \end_inset -, por lo que -\begin_inset Formula $P_{n}=P_{n+1}$ +, si y sólo si son artinianos, si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $_{A}M/N$ \end_inset y -\begin_inset Formula $M$ +\begin_inset Formula $_{A}N$ \end_inset - es noetheriano o artiniano. +, si y sólo si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es noetheriano. \end_layout \begin_layout Standard -La suma directa finita de módulos noetherianos o artinianos es respectivamente - noetheriana o artiniana. - En efecto, para -\begin_inset Formula $n\leq1$ -\end_inset - módulos es obvio, para -\begin_inset Formula $n=2$ -\end_inset +\series bold +Teorema de Akizuki: +\end_layout - se deduce de lo anterior y de que, si -\begin_inset Formula $M=N\oplus K$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +Un anillo es artiniano si y sólo si es noetheriano de dimensión 0. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $K\cong\frac{M}{N}$ -\end_inset +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -, y para -\begin_inset Formula $n>2$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset - se hace inducción. + \end_layout -\begin_layout Standard -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ \end_inset -: +Ya vimos que entonces es de dimensión 0 y el 0 es producto finito de maximales, + luego es noetheriano por el lema de Artin. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - es noetheriano o artiniano, respectivamente, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $n>0$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ -\end_inset - noetheriano o noetheriano, si y sólo si todo -\begin_inset Formula $A$ +\end_layout + \end_inset --módulo finitamente generado es noetheriano o artiniano. +Por ser noetheriano, 0 es producto finito de ideales primos, que son maximales + por ser de dimensión 0, luego el anillo es artiniano por el lema de Artin. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Un módulo de un anillo artiniano es artiniano si y sólo si es noetheriano, + si y sólo si es finitamente generado. \end_layout \begin_deeper \begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies3]$ +\begin_inset Formula $1\iff2]$ \end_inset - Es fácil ver que los submódulos de -\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ -\end_inset + Por el argumento anterior el 0 es producto finito de maximales y aplica + el lema de Artin. +\end_layout - son productos de submódulos de -\begin_inset Formula $A$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset -, que son ideales, pero si -\begin_inset Formula $(M_{k}\coloneqq I_{k1}\times\dots\times I_{kn})_{k}$ -\end_inset + Por definición. +\end_layout - es una cadena ascendente de submódulos de -\begin_inset Formula $A^{n}$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset -, cada cadena ascendente -\begin_inset Formula $(I_{ki})_{k}$ -\end_inset + Visto. +\end_layout - se estabiliza en un punto, que podemos suponer común, y -\begin_inset Formula $(M_{k})_{k}$ +\end_deeper +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - se estabiliza. - Entonces para -\begin_inset Formula $_{A}M$ +-módulo es +\series bold +de longitud finita +\series default + si es noetheriano y artiniano. + Un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - finitamente generado existe un epimorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{n}\twoheadrightarrow M$ + es artiniano si y sólo si todo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y las cadenas ascendentes de -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset +-módulo finitamente generado es de longitud finita. +\end_layout - también se estabilizan. +\begin_layout Section +Módulos y matrices \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies2]$ +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - Obvio. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies1]$ + y +\begin_inset Formula ${\cal C}_{m}$ \end_inset - Si -\begin_inset Formula $A^{n}$ + y +\begin_inset Formula ${\cal C}_{n}$ \end_inset - es noetheriano para cierto -\begin_inset Formula $n>0$ + las bases canónicas respectivas de los +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, sea -\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ +-módulos libres +\begin_inset Formula $A^{m}$ \end_inset - una cadena ascendente de ideales de -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $A^{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $(I_{k},0,\dots,0)_{k}$ +\begin_inset Formula $(f\mapsto M_{{\cal C}_{m}{\cal C}_{n}}(f)):\text{Hom}_{A}(A^{n},A^{m})\to{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset - es una cadena ascendente de submódulos de -\begin_inset Formula $A^{n}$ + es un isomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y por tanto se estabiliza, luego -\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ +-módulos con inversa +\begin_inset Formula $C\mapsto v\mapsto Cv$ \end_inset - también se estabiliza. -\end_layout +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula ${\cal C}_{n}\eqqcolon(e_{1},\dots,e_{n})$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Para artinianos es análogo. -\end_layout + y +\begin_inset Formula ${\cal C}_{m}\eqqcolon(f_{1},\dots,f_{m})$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Dados un anillo -\begin_inset Formula $A$ +, toda +\begin_inset Formula $f\in\text{Hom}_{A}(A^{n},A^{m})$ \end_inset - noetheriano o artiniano, respectivamente, y un homomorfismo -\begin_inset Formula $f:A\to B$ + viene dada por los valores que le asigna a los +\begin_inset Formula $e_{i}$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $_{A}B$ +, que se pueden expresar respecto a los +\begin_inset Formula $f_{j}$ \end_inset - por restricción de escalares es finitamente generado, entonces -\begin_inset Formula $B$ + dando lugar a +\begin_inset Formula $M\coloneqq M_{{\cal C}_{m}{\cal C}_{n}}(f)$ \end_inset - es un anillo noetheriano o artiniano. -\end_layout + cuyas columnas son los +\begin_inset Formula $f(e_{i})$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Por lo anterior lo es -\begin_inset Formula $_{A}B$ +, pero claramente +\begin_inset Formula $Me_{i}$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}B)\subseteq{\cal L}(_{A}B)$ + es la +\begin_inset Formula $i$ \end_inset -. -\end_layout +-ésima columna de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A=A_{1}\times\dots\times A_{n}$ +, y recíprocamente, si +\begin_inset Formula $M\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset - es un producto de anillos, todo -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $f$ \end_inset --módulo es isomorfo a un producto -\begin_inset Formula $M_{1}\times\dots\times M_{n}$ + viene dada por +\begin_inset Formula $f(v)\coloneqq Mv$ \end_inset -, donde cada -\begin_inset Formula $M_{i}$ +, las columnas de +\begin_inset Formula $M_{{\cal C}_{m}{\cal C}_{n}}(f)$ \end_inset - es un -\begin_inset Formula $A_{i}$ + son los +\begin_inset Formula $Me_{i}$ \end_inset --módulo, y en particular -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}M)\cong{\cal L}(_{A_{1}}M_{1})\times\dots\times{\cal L}(_{A_{n}}M_{n})$ + que son las columnas de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -TODO ejercicio Saorín 4 -\end_layout + Que es un isomorfismo es claro tomando +\begin_inset Formula $(b_{ij}\coloneqq\sum_{k}a_{k}e_{k}\mapsto a_{i}f_{j})_{i,j}$ +\end_inset + como base de +\begin_inset Formula $\text{Hom}_{A}(A^{n},A^{m})$ \end_inset + y viendo que conserva combinaciones lineales de los +\begin_inset Formula $b_{ij}$ +\end_inset +. \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\text{GL}_{s}(K)\coloneqq\{A\in{\cal M}_{s}(K)\mid\det A\neq0\}$ +\end_inset + +. + Dada +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ +\end_inset +, llamamos \series bold -Lema de Artin: -\series default - En un anillo + \begin_inset Formula $A$ \end_inset - en que 0 es producto finito de ideales maximales, un -\begin_inset Formula $A$ +-módulo asociado a +\begin_inset Formula $C$ \end_inset --módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano. - -\series bold -Demostración: + \series default - Si el número de ideales que hay que multiplicar es -\begin_inset Formula $n\leq1$ +, +\begin_inset Formula $M(C)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $A$ +, a +\begin_inset Formula $\frac{A^{m}}{\{Cv\}_{v\in A^{n}}}$ \end_inset - es un cuerpo y sabemos que se cumple. - Para -\begin_inset Formula $n>1$ +. + +\begin_inset Formula $B,C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset -, por inducción, sean -\begin_inset Formula $0=J_{1}J_{2}$ + son +\series bold +equivalentes +\series default + si existen +\begin_inset Formula $P\in\text{GL}_{m}(A)$ \end_inset - donde cada -\begin_inset Formula $J_{i}$ + y +\begin_inset Formula $Q\in\text{GL}_{n}(A)$ \end_inset - es producto de menos de -\begin_inset Formula $n$ + con +\begin_inset Formula $C=PBQ$ \end_inset - maximales. - Si por ejemplo -\begin_inset Formula $J_{1}=M_{1}\cdots M_{k}$ +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $M(B)\cong M(C)$ \end_inset - con los -\begin_inset Formula $M_{i}$ +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Se tiene +\begin_inset Formula $PB=CQ^{-1}$ \end_inset - maximales, en -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ +, luego llamando +\begin_inset Formula $f_{C}:A^{n}\to A^{m}$ +\end_inset + + al homomorfismo +\begin_inset Formula $f_{C}(v)\coloneqq Cv$ \end_inset , -\begin_inset Formula $0=\frac{J_{1}}{J_{1}}=\frac{M_{1}\cdots M_{k}}{J_{1}}=\frac{M_{1}}{J_{1}}\cdots\frac{M_{k}}{J_{1}}$ +\begin_inset Formula $f_{P}\circ f_{B}=f_{C}\circ f_{Q^{-1}}$ \end_inset -, y como -\begin_inset Formula $J_{1}\subseteq M_{i}$ +. + Definiendo el homomorfismo +\begin_inset Formula $\psi:M(B)\to M(C)$ \end_inset - para cada -\begin_inset Formula $i$ + como +\begin_inset Formula $\psi(\overline{a})=\overline{f_{P}(a)}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\frac{M_{i}}{J_{1}}\trianglelefteq_{\text{m}}\frac{A}{J_{1}}$ +\begin_inset Formula $\psi$ \end_inset - y, en -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ + está bien definido porque +\begin_inset Formula $a\in\text{Im}f_{B}\implies f_{P}(a)\in\text{Im}(f_{P}\circ f_{B})=\text{Im}(f_{C}\circ f_{Q^{-1}})=\text{Im}f_{C}$ \end_inset -, 0 es producto de menos de -\begin_inset Formula $n$ +, pero el homomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:M(C)\to M(B)$ \end_inset - maximales y por tanto un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ + dado por +\begin_inset Formula $\phi(\overline{c})\coloneqq\overline{f_{P^{-1}}(c)}$ \end_inset --módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano, y análogamente para un - -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ + también está bien definido porque +\begin_inset Formula $c\in\text{Im}f_{C}\implies f_{P^{-1}}(c)\in\text{Im}(f_{P^{-1}}\circ f_{C})=\text{Im}(f_{P^{-1}}\circ f_{C}\circ f_{Q^{-1}})=\text{Im}(f_{P})$ \end_inset --módulo. - Dado -\begin_inset Formula $_{A}M$ +, y +\begin_inset Formula $\phi=\psi^{-1}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $N\coloneqq J_{1}M$ -\end_inset +. +\end_layout - es anulado por -\begin_inset Formula $J_{2}$ +\begin_layout Standard +Una +\series bold +operación +\series default + o +\series bold +transformación elemental por filas +\series default + o +\series bold +columnas +\series default + en +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset - y por tanto se puede ver como un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ + consiste en intercambiar dos filas o columnas de +\begin_inset Formula $C$ \end_inset --módulo con -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{2}}N)={\cal L}(_{A}N)$ +, multiplicar una por un +\begin_inset Formula $\alpha\in A^{*}$ \end_inset - por restricción de escalares, mientras que -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}=\frac{M}{J_{1}M}$ + o sumarle a una otra multiplicada por un +\begin_inset Formula $\alpha\in A$ \end_inset - es anulado por -\begin_inset Formula $J_{1}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{AlgL} +\end_layout + \end_inset - y se puede ver como un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +matriz elemental +\series default + de tamaño +\begin_inset Formula $n$ \end_inset --módulo con -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{1}}M/N)={\cal L}(_{A}M/N)$ + a toda matriz obtenida al efectuar una operación elemental [...] en +\begin_inset Formula $I_{n}$ \end_inset . - Entonces -\begin_inset Formula $_{A}M$ + [...] Si +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - es noetheriano si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $_{A}M/N$ + se obtiene al realizar una operación elemental por filas en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $_{A}N$ +\begin_inset Formula $E$ \end_inset -, si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $_{A/J_{1}}M/N$ + al realizar la misma en +\begin_inset Formula $I_{m}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $_{A/J_{2}}N$ +, entonces +\begin_inset Formula $B=EA$ \end_inset -, si y sólo si son artinianos, si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $_{A}M/N$ +. + [...] Si +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $_{A}N$ + se obtiene de aplicar una operación elemental por columnas en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $_{A}M$ + y +\begin_inset Formula $E$ \end_inset - es noetheriano. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Teorema de Akizuki: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Un anillo es artiniano si y sólo si es noetheriano de dimensión 0. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ + al aplicarla a +\begin_inset Formula $I_{n}$ \end_inset - -\end_layout - +, entonces +\begin_inset Formula $B=AE$ \end_inset -Ya vimos que entonces es de dimensión 0 y el 0 es producto finito de maximales, - luego es noetheriano por el lema de Artin. +. + Así, realizar una serie de estas operaciones en una matriz equivale a multiplic +arla por uno o ambos lados por un producto de matrices elementales, el cual + es invertible. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset +\backslash +end{reminder} \end_layout \end_inset -Por ser noetheriano, 0 es producto finito de ideales primos, que son maximales - por ser de dimensión 0, luego el anillo es artiniano por el lema de Artin. -\end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Un módulo de un anillo artiniano es artiniano si y sólo si es noetheriano, - si y sólo si es finitamente generado. \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\iff2]$ +\begin_layout Standard +Las matrices elementales son las mismas por filas que por columnas. + Si +\begin_inset Formula $B,C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset - Por el argumento anterior el 0 es producto finito de maximales y aplica - el lema de Artin. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ + y +\begin_inset Formula $C$ \end_inset - Por definición. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ + se puede obtener aplicando a +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - Visto. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $A$ + una cantidad finita de transformaciones elementales por filas y por columnas, + entonces +\begin_inset Formula $B$ \end_inset --módulo es -\series bold -de longitud finita -\series default - si es noetheriano y artiniano. - Un anillo -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $C$ \end_inset - es artiniano si y sólo si todo -\begin_inset Formula $A$ + son equivalentes, pues aplicar transformaciones por filas y columnas a + +\begin_inset Formula $B$ \end_inset --módulo finitamente generado es de longitud finita. + equivale a multiplicarla a izquierda y derecha por matrices invertibles. \end_layout \end_body diff --git a/ac/n4.lyx b/ac/n4.lyx index 2479482..7d7e1b3 100644 --- a/ac/n4.lyx +++ b/ac/n4.lyx @@ -549,1157 +549,1151 @@ Demostración: \end_layout \begin_layout Section -Grupos abelianos +Submódulos de torsión \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - +Un +\begin_inset Formula $x\in_{A}M$ \end_inset - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos + es un \series bold -orden +elemento de torsión \series default - de [un grupo] -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - al cardinal del conjunto. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo, -\begin_inset Formula $(A,+)$ + si +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)\neq0$ \end_inset - es su +, y es un \series bold -grupo aditivo -\series default -, que es abeliano, y -\begin_inset Formula $(A^{*},\cdot)$ +elemento de +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - es su -\series bold -grupo de unidades -\series default -, que es abeliano cuando el anillo es conmutativo. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\series bold -orden +-torsión \series default - de -\begin_inset Formula $a\in G$ -\end_inset - - al orden de -\begin_inset Formula $\langle a\rangle$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $|a|\coloneqq|\langle a\rangle|$ -\end_inset - -, y escribimos -\begin_inset Formula $\langle a\rangle_{n}$ + para cierto +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ \end_inset - para referirnos a -\begin_inset Formula $\langle a\rangle$ + si existe +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}$ \end_inset - indicando que tiene orden -\begin_inset Formula $n$ + con +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)=(p^{t})$ \end_inset -. - El orden de -\begin_inset Formula $a$ +, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$ \end_inset - divide al de -\begin_inset Formula $G$ + con +\begin_inset Formula $p^{s}x=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to G$ +Llamamos +\series bold +submódulo de torsión +\series default + de +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - el homomorfismo dado por -\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq a^{n}$ -\end_inset + a +\begin_inset Formula +\[ +t(M)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de torsión}\}\leq_{A}M. +\] -, -\begin_inset Formula $\ker f=n\mathbb{Z}$ \end_inset - para algún -\begin_inset Formula $n\geq0$ + En efecto, para +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -. - Si -\begin_inset Formula $n=0$ + y +\begin_inset Formula $x,y\in t(M)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $f$ +, sean +\begin_inset Formula $b\in\text{ann}_{A}(x)\setminus0$ \end_inset - es inyectivo y -\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},+)\cong\langle a\rangle$ + y +\begin_inset Formula $c\in\text{ann}_{A}(y)\setminus0$ \end_inset -, y en otro caso -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\cong\langle a\rangle$ +, entonces +\begin_inset Formula $bc(x-y)=bcx-bcy=0-0=0$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $n=|a|$ +, luego +\begin_inset Formula $0\neq bc\in\text{ann}_{A}(x-y)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $a^{n}=1\iff|a|\mid n$ +\begin_inset Formula $x-y\in t(M)$ \end_inset -. - De aquí, -\begin_inset Formula $a^{k}=a^{l}\iff k\equiv l\bmod n$ +, y como +\begin_inset Formula $abx=0$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $|a|$ + y +\begin_inset Formula $ab\neq0$ \end_inset - es el menor entero positivo con -\begin_inset Formula $a^{n}=1$ +, +\begin_inset Formula $ax\in t(M)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $a$ +Para +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ \end_inset - tiene orden finito y -\begin_inset Formula $n>0$ +, llamamos +\series bold +subgrupo de +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -, +-torsión +\series default + de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + a \begin_inset Formula \[ -|a^{n}|=\frac{|a|}{\text{mcd}\{|a|,n\}}. +M(p)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de }p\text{-torsión}\}\leq_{A}M. \] \end_inset -Si -\begin_inset Formula $G=\langle a\rangle$ + En efecto, para +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $G$ + y +\begin_inset Formula $x,y\in M(p)$ \end_inset - tiene orden infinito, -\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z},+)\cong C_{\infty}$ +, existe +\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$ \end_inset - y los subgrupos de -\begin_inset Formula $G$ + con +\begin_inset Formula $p^{s}x=p^{s}y=0$ \end_inset - son los -\begin_inset Formula $\langle a^{n}\rangle$ + y entonces +\begin_inset Formula $ap^{s}x=0$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ + y +\begin_inset Formula $p^{s}(x+y)=0$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $|G|=n$ +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset , -\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z}_{n},+)\cong C_{n}$ +\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{p\in{\cal P}}M(p)$ \end_inset - y los subgrupos de -\begin_inset Formula $G$ +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Claramente +\begin_inset Formula $\sum_{p\in{\cal P}}M(p)\leq_{A}t(M)$ \end_inset - son exactamente uno de orden -\begin_inset Formula $d$ +. + Para ver que la suma es directa, sean +\begin_inset Formula $q\in{\cal P}$ \end_inset - por cada -\begin_inset Formula $d\mid n$ + y +\begin_inset Formula $x\in M(q)\cap\sum_{p\in{\cal P}\setminus\{q\}}M(p)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\langle a^{n/d}\rangle_{d}$ +, existen +\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$ \end_inset -. -\end_layout + con +\begin_inset Formula $q^{s}x=0$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Todos los subgrupos y grupos cociente de -\begin_inset Formula $G$ +, una descomposición +\begin_inset Formula $x=x_{1}+\dots+x_{r}$ \end_inset - son cíclicos. -\end_layout + con cada +\begin_inset Formula $x_{i}\in M(p_{i})$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Así, si -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}$ + para cierto +\begin_inset Formula $p_{i}\in{\cal P}\setminus\{q\}$ \end_inset - es primo, todos los grupos de orden -\begin_inset Formula $p$ + y, para cada +\begin_inset Formula $i$ \end_inset - son isomorfos a -\begin_inset Formula $(\mathbb{Z}_{p},+)$ +, +\begin_inset Formula $t_{i}\in\mathbb{N}$ \end_inset -. - Si -\begin_inset Formula $G=\langle g_{1},\dots,g_{n}\rangle$ + con +\begin_inset Formula $p_{i}^{t_{i}}x_{i}=0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $N\unlhd G$ +, con lo que si +\begin_inset Formula $a\coloneqq\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{t_{i}}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $G/N=\langle g_{1}N,\dots,g_{n}N\rangle$ +\begin_inset Formula $ax=0$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Teorema chino de los restos para grupos: -\end_layout +, pero +\begin_inset Formula $\gcd\{q^{s},a\}=1$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $G$ +, por lo que hay una identidad de Bézout +\begin_inset Formula $q^{s}b+ac=1$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $H$ + y por tanto +\begin_inset Formula $x=1x=q^{s}bx+acx=0$ \end_inset - son subgrupos cíclicos de órdenes respectivos -\begin_inset Formula $n$ +. + Queda ver que +\begin_inset Formula $t(M)\subseteq\sum_{p\in{\cal P}}M(p)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $m$ +. + Sea +\begin_inset Formula $x\in t(M)\setminus0$ \end_inset , -\begin_inset Formula $G\times H$ +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)\triangleleft A$ \end_inset - es cíclico si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ +, pero como +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $m$ + es un DIP existen +\begin_inset Formula $(b)\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ \end_inset - son coprimos. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $g,h\in G$ + con +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)=(b)$ \end_inset - tienen órdenes respectivos -\begin_inset Formula $n$ + y una factorización en irreducibles +\begin_inset Formula $b=up_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r}^{t_{r}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $m$ + con +\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ \end_inset - coprimos y -\begin_inset Formula $gh=hg$ +, los +\begin_inset Formula $p_{i}\in{\cal P}$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $\langle g,h\rangle$ + irreducibles distintos y los +\begin_inset Formula $t_{i}>0$ \end_inset - es cíclico de orden -\begin_inset Formula $nm$ +, y queremos ver que +\begin_inset Formula $x\in\sum_{i=1}^{r}M(p_{i})\subseteq\sum_{p\in{\cal P}}M(p)$ \end_inset . - [...] -\end_layout + Si +\begin_inset Formula $r=1$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Dados un grupo -\begin_inset Formula $G$ +, +\begin_inset Formula $x\in M(p_{1})$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a\in G$ + y hemos terminado. + Si +\begin_inset Formula $r>1$ \end_inset -, llamamos -\series bold -conjugado -\series default - de -\begin_inset Formula $g\in G$ +, por inducción, como +\begin_inset Formula $\gcd\{p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}},p_{r}^{t_{r}}\}=1$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $a$ +, existe una identidad de Bézout +\begin_inset Formula $p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}}b+p_{r}^{t_{r}}c=1$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $g^{a}\coloneqq a^{-1}ga$ + y +\begin_inset Formula $x=p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}}bx+p_{r}^{t_{r}}cx$ \end_inset -, y conjugado de -\begin_inset Formula $X\subseteq G$ +, donde el primer sumando es anulado por +\begin_inset Formula $p_{r}^{t_{r}}$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $a$ + y por tanto está en +\begin_inset Formula $M(p_{r})$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $X^{a}\coloneqq\{x^{a}\}_{x\in X}$ + y el segundo es anulado por +\begin_inset Formula $p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}}$ \end_inset -. - Dos elementos -\begin_inset Formula $x,y\in G$ + y por tanto está en +\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{r}M(p_{i})$ \end_inset - o conjuntos -\begin_inset Formula $x,y\subseteq G$ -\end_inset +. +\end_layout - son -\series bold -conjugados -\series default - en -\begin_inset Formula $G$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ \end_inset - si existe -\begin_inset Formula $a\in G$ + es finitamente generado, existen +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{r}\in{\cal P}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $x^{a}=y$ +, unívocamente determinados salvo permutación, tales que +\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{i=1}^{r}M(p_{i})$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $a\in G$ + y cada +\begin_inset Formula $M(p_{i})\neq0$ \end_inset -, llamamos +. + \series bold -automorfismo interno +Demostración: \series default - definido por -\begin_inset Formula $a$ + Como +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es noetheriano, +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - al automorfismo -\begin_inset Formula $\iota_{a}:G\to G$ + es noetheriano y +\begin_inset Formula $t(M)$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\iota_{a}(x)\coloneqq x^{a}$ + es finitamente generado. + Como +\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{p\in{\cal P}}M(p)$ \end_inset -. - Su inverso es -\begin_inset Formula $\iota_{a^{-1}}$ + es finitamente generado, digamos por +\begin_inset Formula $\{x_{1},\dots,x_{s}\}$ \end_inset -. - El conjugado por -\begin_inset Formula $a$ +, entendiendo la suma directa como externa, como cada +\begin_inset Formula $x_{i}$ \end_inset - de un subgrupo de -\begin_inset Formula $G$ + tiene una cantidad finita de elementos no nulos, +\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{s})$ \end_inset - es otro subgrupo de -\begin_inset Formula $G$ + tiene una cantidad finita de índices no nulos y casi todo +\begin_inset Formula $M(p)=0$ \end_inset - del mismo orden. - [...] -\end_layout +, luego +\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{i=1}^{r}M(p_{i})$ +\end_inset -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\forall g,a,b\in G,g^{ab}=(g^{a})^{b}$ + para ciertos +\begin_inset Formula $p_{i}$ \end_inset -, y [...] la relación de ser conjugados es de equivalencia. - Las clases de equivalencia se llaman -\series bold -clases de conjugación -\series default - de -\begin_inset Formula $G$ +. + La unicidad se sigue de que los +\begin_inset Formula $p_{i}$ \end_inset -, y llamamos -\begin_inset Formula $a^{G}\coloneqq[a]=\{a^{g}\}_{g\in G}$ + deben ser justo aquellos con +\begin_inset Formula $M(p_{i})\neq0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $X$ +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - un conjunto. - Una + es \series bold -acción por la izquierda +de torsión \series default - de -\begin_inset Formula $G$ + si +\begin_inset Formula $M=t(M)$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $X$ +, y es +\series bold +de +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - es una función -\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ +-torsión +\series default + para un +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $\forall x\in X,(\forall g,h\in G,(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\land1\cdot x=x)$ + si +\begin_inset Formula $M=M(p)$ \end_inset -, y una -\series bold -acción por la derecha -\series default - de +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si \begin_inset Formula $G$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $X$ + es un grupo abeliano, es finitamente generado de torsión si y sólo si es + finito, y para +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - es una función -\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$ + primo positivo, es de +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $\forall x\in X,(\forall g,h\in G,x\cdot(gh)=(x\cdot g)\cdot h\land x\cdot1=x)$ +-torsión finitamente generado si y sólo si es finito y +\begin_inset Formula $p^{m}M=0$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $m>0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + \end_inset - es una acción por la izquierda de -\begin_inset Formula $G$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $X$ +, +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x\in X$ +\begin_inset Formula $_{A}M\coloneqq\frac{A}{(p^{n})}$ \end_inset -, llamamos -\series bold -órbita -\series default - de -\begin_inset Formula $x$ +, para +\begin_inset Formula $k\in\{0,\dots,n-1\}$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $G$ + es +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{k})=\frac{(p^{n-k})}{(p^{n})}$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $G\cdot x\coloneqq\{g\cdot x\}_{g\in G}$ + y para +\begin_inset Formula $k\geq n$ \end_inset - y -\series bold -estabilizador -\series default - de -\begin_inset Formula $x$ + es +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{k})=M$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $G$ +, y +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p)$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ + es un +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$ \end_inset -. - Si -\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$ -\end_inset +-espacio vectorial de dimensión 1. +\end_layout - es una acción por la derecha de -\begin_inset Formula $G$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $Q$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $X$ + es el cuerpo de fracciones de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x\in X$ +\begin_inset Formula $N\leq_{A}Q$ \end_inset -, llamamos órbita de -\begin_inset Formula $x$ + es no nulo, +\begin_inset Formula $\frac{Q}{N}$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $G$ + es un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $x\cdot G\coloneqq\{x\cdot g\}_{g\in G}$ -\end_inset +-módulo de torsión. +\end_layout - y estabilizador de -\begin_inset Formula $x$ +\begin_layout Standard +Dado un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $G$ +-homomorfismo +\begin_inset Formula $f:M\to N$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq\{g\in G\mid x\cdot g=x\}$ +, +\begin_inset Formula $f(t(M))\subseteq t(N)$ \end_inset -. - Las órbitas forman una partición de -\begin_inset Formula $G$ +, y la inclusión puede ser estricta incluso cuando +\begin_inset Formula $f$ \end_inset -. + es un monomorfismo o un epimorfismo. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Llamamos -\series bold -acción por traslación a la izquierda -\series default - a la acción por la izquierda de -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - en -\begin_inset Formula $G/H$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - dada por -\begin_inset Formula $g\cdot xH=gxH$ -\end_inset -. - Entonces -\begin_inset Formula $G\cdot xH=G/H$ +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + \end_inset - y -\begin_inset Formula -\[ -\text{Estab}_{G}(xH)=[...]=H^{x^{-1}}. -\] +\end_layout + +\begin_layout Section +Parte libre de torsión +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}F$ \end_inset -Análogamente llamamos + es \series bold -acción por traslación a la derecha +libre de torsión \series default - a la acción por la derecha de -\begin_inset Formula $G$ + si +\begin_inset Formula $t(F)=0$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $H\backslash G$ +. + Llamamos +\series bold +parte libre de torsión +\series default + de +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - dada por -\begin_inset Formula $Hx\cdot g=Hxg$ + a +\begin_inset Formula $\frac{M}{t(M)}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Cuando -\begin_inset Formula $H=1$ +, que es libre de torsión. + +\series bold +Demostración: +\series default + Queremos ver que, para +\begin_inset Formula $\overline{x}\in\frac{M}{t(M)}\setminus0$ \end_inset -, la acción de traslación es de -\begin_inset Formula $G$ + es +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(\overline{x})=0$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $G$ +. + Sean entonces +\begin_inset Formula $x\in M$ \end_inset -, con -\begin_inset Formula $G\cdot x=G$ + con +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(\overline{x})\neq0$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)=1$ +\begin_inset Formula $a\in A\setminus0$ \end_inset -. -\end_layout + con +\begin_inset Formula $a\overline{x}=0$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -La -\series bold -acción por conjugación -\series default - de -\begin_inset Formula $G$ +, entonces +\begin_inset Formula $ax\in t(M)$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $G$ + y existe +\begin_inset Formula $b\in A\setminus0$ \end_inset - es la acción por la derecha -\begin_inset Formula $x\cdot g\coloneqq x^{g}$ + con +\begin_inset Formula $bax=0$ \end_inset -. - Entonces -\begin_inset Formula $x\cdot G=x^{G}$ +, luego +\begin_inset Formula $x\in t(M)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)=C_{G}(x)$ +\begin_inset Formula $\overline{x}=0$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $S$ +\begin_layout Standard +Todo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es el conjunto de subgrupos de -\begin_inset Formula $G$ +-módulo libre es libre de torsión, pues es isomorfo a un +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ \end_inset -, la -\series bold -acción por conjugación de -\begin_inset Formula $G$ + y, si hubiera un +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - en sus subgrupos -\series default - es la acción por la derecha de -\begin_inset Formula $G$ + y un +\begin_inset Formula $v\in A^{(I)}$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $S$ + con +\begin_inset Formula $av=0$ \end_inset - -\begin_inset Formula $H\cdot g=H^{g}$ +, como estamos en un dominio, +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $v=0$ \end_inset . - [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +: \end_layout \begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +Un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset +-módulo es finitamente generado y libre de torsión si y sólo si es libre + de rango finito. +\end_layout - es un conjunto, -\begin_inset Formula $\cdot:S_{n}\times X^{n}\to X^{n}$ -\end_inset +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open - dada por -\begin_inset Formula $\sigma\cdot(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset - es una acción por la izquierda. + \end_layout -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ \end_inset - una acción por la izquierda, -\begin_inset Formula $H\leq G$ +Para +\begin_inset Formula $_{A}F=0$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $Y\subseteq X$ + es obvio. + Si +\begin_inset Formula $_{A}F\neq0$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $\forall h\in H,y\in Y,h\cdot y\in Y$ +, sean +\begin_inset Formula $X=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\cdot|_{H\times Y}$ + un generador finito de +\begin_inset Formula $F$ \end_inset - es una acción por la izquierda de -\begin_inset Formula $H$ + y +\begin_inset Formula $S=\{x_{1},\dots,x_{k}\}$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $Y$ + con +\begin_inset Formula $k\leq n$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $G$ + un subconjunto linealmente independiente maximal, +\begin_inset Formula $G\coloneqq(x_{1},\dots,x_{k})\leq_{A}F$ \end_inset - un grupo actuando sobre un conjunto -\begin_inset Formula $X$ + es libre con base +\begin_inset Formula $S$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $x\in X$ +. + +\begin_inset Formula $\frac{F}{G}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $g\in G$ + es finitamente generado, y queremos ver que es de torsión. + Para +\begin_inset Formula $x\in X\setminus S$ \end_inset -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\leq G$ +, +\begin_inset Formula $S\cup\{x\}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $[G:\text{Estab}_{G}(x)]=|G\cdot x|$ + no es linealmente independiente, luego existen +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{k},a\in A$ \end_inset -. - En particular, si -\begin_inset Formula $G$ + no todos nulos con +\begin_inset Formula $a_{1}x_{1}+\dots+a_{k}x_{k}=ax$ \end_inset - es finito, -\begin_inset Formula $|G\cdot x|\mid|G|$ +, lo que implica que +\begin_inset Formula $a\neq0$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si la acción es por la izquierda, -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(g\cdot x)=\text{Estab}_{G}(x)^{g^{-1}}$ + y que +\begin_inset Formula $ax\in(X)=G$ \end_inset -, y si es por la derecha, -\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x\cdot g)=\text{Estab}_{G}(x)^{g}$ +, luego +\begin_inset Formula $a\overline{x}=0$ \end_inset -. - En particular, si -\begin_inset Formula $x,g\in G$ + con +\begin_inset Formula $a\neq0$ \end_inset y -\begin_inset Formula $H\leq G$ +\begin_inset Formula $\overline{x}\in t(\frac{F}{G})$ +\end_inset + +. + Entonces, como +\begin_inset Formula $\frac{F}{G}=(\overline{X})=(\overline{x_{1}},\dots,\overline{x_{n}})=(\overline{0},\dots,\overline{0},\overline{x_{k+1}},\dots,\overline{x_{n}})=(\overline{X\setminus S})$ \end_inset , -\begin_inset Formula $C_{G}(x^{g})=C_{G}(x)^{g}$ +\begin_inset Formula $X\subseteq t(\frac{F}{G})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $N_{G}(H^{g})=N_{G}(H)^{g}$ +\begin_inset Formula $\frac{F}{G}=t(\frac{F}{G})$ \end_inset . -\end_layout + Por tanto, para +\begin_inset Formula $i\in\{k+1,\dots,n\}$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $R$ + existe +\begin_inset Formula $a_{i}\in A\setminus0$ \end_inset - es un conjunto irredundante de representantes de las órbitas, -\begin_inset Formula $|X|=\sum_{r\in R}|G\cdot r|=\sum_{r\in R}[G:\text{Estab}_{G}(r)]$ + con +\begin_inset Formula $a_{i}\overline{x_{i}}=0$ \end_inset -. -\end_layout +, luego +\begin_inset Formula $r\coloneqq a_{k+1}\cdots a_{n}\neq0$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Así, si -\begin_inset Formula $G$ + cumple +\begin_inset Formula $rx\in G$ \end_inset - es un grupo y -\begin_inset Formula $a\in G$ + para todo +\begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $|a^{G}|=[G:C_{G}(a)]$ + y por tanto +\begin_inset Formula $rF\subseteq G$ \end_inset -, y en particular -\begin_inset Formula $a^{G}$ +, pero +\begin_inset Formula $F\to rF$ \end_inset - es unipuntual si y sólo si -\begin_inset Formula $a\in Z(G)$ + dada por +\begin_inset Formula $z\mapsto rz$ \end_inset -. - -\series bold -Ecuación de clases: -\series default - Si -\begin_inset Formula $G$ + es un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es finito y -\begin_inset Formula $X\subseteq G$ +-isomorfismo ya que es un epimorfismo y, como +\begin_inset Formula $r$ \end_inset - contiene exactamente un elemento de cada clase de conjugación con al menos - dos elementos, entonces -\begin_inset Formula $|G|=|Z(G)|+\sum_{x\in X}[G:C_{G}(x)]$ + es libre de torsión, +\begin_inset Formula $z\neq0\implies rz\neq0$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un número primo -\begin_inset Formula $p$ + Entonces, como +\begin_inset Formula $G$ \end_inset -, un -\series bold - -\begin_inset Formula $p$ + es libre y +\begin_inset Formula $rF\leq_{A}G$ \end_inset --grupo -\series default - es un grupo en que todo elemento tiene orden potencia de -\begin_inset Formula $p$ +, +\begin_inset Formula $rF$ \end_inset -, y un grupo finito es un -\begin_inset Formula $p$ + es libre y por tanto +\begin_inset Formula $F$ \end_inset --grupo si y sólo si su orden es potencia de -\begin_inset Formula $p$ + también con +\begin_inset Formula $\text{rg}F\leq\text{rg}G=k$ \end_inset . - [...] \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -\series bold -Teorema de Cauchy: -\series default - Si -\begin_inset Formula $G$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset - es un grupo finito con orden múltiplo de un primo -\begin_inset Formula $p$ + +\end_layout + \end_inset -, -\begin_inset Formula $G$ +Es libre de torsión por ser libre y es finitamente generado por ser de rango + finito. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Todo +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - tiene un elemento de orden -\begin_inset Formula $p$ + finitamente generado admite una descomposición en suma directa interna + +\begin_inset Formula $M=t(M)\oplus L$ \end_inset -. - [...] + con +\begin_inset Formula $_{A}L$ +\end_inset + + libre de rango finito. \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -Dados un grupo finito -\begin_inset Formula $G$ +\begin_inset Formula $\frac{M}{t(M)}$ \end_inset - y un número primo -\begin_inset Formula $p$ + es finitamente generado y libre de torsión, y por el apartado anterior + es libre de rango finito, luego la proyección canónica +\begin_inset Formula $p:M\twoheadrightarrow\frac{M}{t(M)}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $H\leq G$ + tiene inversa por la derecha +\begin_inset Formula $\alpha:\frac{M}{t(M)}\to M$ \end_inset - es un -\series bold + y si +\begin_inset Formula $L\coloneqq\text{Im}\alpha\cong\frac{M}{t(M)}$ +\end_inset -\begin_inset Formula $p$ +, +\begin_inset Formula $M=\ker p\oplus\text{Im}\alpha=t(M)\oplus F$ \end_inset --subgrupo de Sylow -\series default - de -\begin_inset Formula $G$ + con +\begin_inset Formula $F$ \end_inset - si es un -\begin_inset Formula $p$ + libre de rango finito. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $_{A}F$ \end_inset --grupo y -\begin_inset Formula $[G:H]$ + es libre de rango finito, +\begin_inset Formula $|S|=\text{rg}F$ \end_inset - es coprimo con -\begin_inset Formula $p$ + para todo +\begin_inset Formula $S\subseteq F$ \end_inset -, si y sólo si es un -\begin_inset Formula $p$ + linealmente independiente maximal. + +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $S$ \end_inset --grupo y -\begin_inset Formula $|H|$ + es finito porque, de no serlo, +\begin_inset Formula $G\coloneqq(S)$ \end_inset - es la mayor potencia de -\begin_inset Formula $p$ + sería un submódulo libre de rango infinito de uno de rango finito, y como + +\begin_inset Formula $\frac{F}{G}$ \end_inset - que divide a -\begin_inset Formula $|G|$ + es finitamente generado con un cierto generador +\begin_inset Formula $\{\overline{y_{1}},\dots,\overline{y_{s}}\}$ \end_inset -. - Llamamos -\begin_inset Formula $s_{p}(G)$ +, +\begin_inset Formula $X\coloneqq S\cup\{y_{1},\dots,y_{s}\}$ \end_inset - al número de -\begin_inset Formula $p$ + es un generador finito de +\begin_inset Formula $F$ \end_inset --subgrupos de Sylow de -\begin_inset Formula $G$ + en que +\begin_inset Formula $S$ \end_inset -. -\end_layout + es linealmente independiente maximal. + Entonces, por un argumento como el del primer apartado, existe +\begin_inset Formula $r\in F$ +\end_inset -\begin_layout Standard + con +\begin_inset Formula $rF\leq_{A}G\leq_{A}F$ +\end_inset -\series bold -Teoremas de Sylow: -\series default - Sean -\begin_inset Formula $p$ + y +\begin_inset Formula $rF\cong F$ \end_inset - un número primo y +, pero como \begin_inset Formula $G$ \end_inset - un grupo finito de orden -\begin_inset Formula $n\coloneqq p^{k}m$ + es libre, +\begin_inset Formula $rF\cong F$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $k,m\in\mathbb{N}$ + también y +\begin_inset Formula $\text{rg}F\leq\text{rg}G$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $p\nmid m$ +, y como ahora +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + es libre, +\begin_inset Formula $\text{rg}G\leq\text{rg}F$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\text{rg}F=\text{rg}G=|S|$ \end_inset . - Entonces: \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $G$ +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + \end_inset - tiene al menos un -\begin_inset Formula $p$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula ${\cal T}$ \end_inset --subgrupo de Sylow, que tendrá orden -\begin_inset Formula $p^{k}$ + la clase de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -. +-módulos de torsión y +\begin_inset Formula ${\cal F}$ +\end_inset + + la de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos libres de torsión: \end_layout \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $P$ +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset - es un -\begin_inset Formula $p$ + y tanto +\begin_inset Formula $N$ \end_inset --subgrupo de Sylow de -\begin_inset Formula $G$ + como +\begin_inset Formula $\frac{N}{M}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $Q$ + están en una de las clases, entonces +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - es un -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset + también. +\end_layout --subgrupo de -\begin_inset Formula $G$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M\in{\cal T}$ \end_inset -, existe -\begin_inset Formula $g\in G$ + entonces +\begin_inset Formula $N,\frac{N}{M}\in{\cal T}$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $Q\subseteq P^{g}$ +, pero esto no se cumple para +\begin_inset Formula ${\cal F}$ \end_inset . - En particular, todos los -\begin_inset Formula $p$ +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $K,N\leq_{A}M$ \end_inset --subgrupos de Sylow de -\begin_inset Formula $G$ + y +\begin_inset Formula $K+N$ \end_inset - son conjugados en -\begin_inset Formula $G$ + está en una de las clases, +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -. + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + están también en la misma. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $s_{p}(G)\mid m$ +Si +\begin_inset Formula $K,N\leq_{A}M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $s_{p}(G)\equiv1\bmod p$ + con +\begin_inset Formula $K,N\in{\cal T}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $K+N\in{\cal T}$ +\end_inset + +, pero esto no se cumple para +\begin_inset Formula ${\cal F}$ \end_inset . - [...] \end_layout \begin_layout Standard @@ -1710,7 +1704,7 @@ status open \backslash -end{reminder} +end{exinfo} \end_layout \end_inset @@ -1719,1102 +1713,1365 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Section -Submódulos de torsión +Módulos finitamente generados de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-torsión sobre un DIP \end_layout \begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $x\in_{A}M$ +En un anillo conmutativo unitario +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un -\series bold -elemento de torsión -\series default - si -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)\neq0$ + arbitrario, +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset -, y es un + es un \series bold -elemento de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - --torsión +submódulo esencial \series default - para cierto -\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ + de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - si existe -\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}$ + si +\begin_inset Formula $\forall L\leq_{A}M,(L\neq0\implies L\cap N\neq0)$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)=(p^{t})$ +, y un monomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$ +-módulos +\begin_inset Formula $f:L\rightarrowtail M$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $p^{s}x=0$ + es un +\series bold +monomorfismo esencial +\series default + si su imagen es un submódulo esencial de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Llamamos -\series bold -submódulo de torsión -\series default - de -\begin_inset Formula $_{A}M$ -\end_inset - - a -\begin_inset Formula $t(M)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de torsión}\}\leq_{A}M$ +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -. - En efecto, para -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset + es un anillo conmutativo unitario arbitrario: +\end_layout - y -\begin_inset Formula $x,y\in t(M)$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $b\in\text{ann}_{A}(x)\setminus0$ +, un +\series bold +pseudocomplemento +\series default + de +\begin_inset Formula $N$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $c\in\text{ann}_{A}(y)\setminus0$ + en +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $bc(x-y)=bcx-bcy=0-0=0$ + es un elemento maximal +\begin_inset Formula $X$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $0\neq bc\in\text{ann}_{A}(x-y)$ + de +\begin_inset Formula ${\cal C}_{N}(M)\coloneqq\{L\leq_{A}M:L\cap N=0\}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x-y\in t(M)$ + por inclusión, que siempre existe. + El homomorfismo +\begin_inset Formula $f:N\hookrightarrow M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{X}$ \end_inset -, y como -\begin_inset Formula $abx=0$ + es un monomorfismo esencial, y es un isomorfismo si y sólo si +\begin_inset Formula $X$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $ab\neq0$ + es complemento directo de +\begin_inset Formula $N$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $ax\in t(M)$ + en +\begin_inset Formula $M$ \end_inset . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ +La existencia es por el lema de Zorn. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio de Saorín. +\end_layout + \end_inset -, llamamos -\series bold -subgrupo de -\begin_inset Formula $p$ + +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset --torsión -\series default - de -\begin_inset Formula $_{A}M$ + es un dominio, los ideales ( +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $M(p)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de }p\text{-torsión}\}\leq_{A}M$ +-submódulos) esenciales de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -. - En efecto, para -\begin_inset Formula $a\in A$ + son precisamente los ideales no nulos. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio de Saorín. +\end_layout + \end_inset - y -\begin_inset Formula $x,y\in M(p)$ + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, existe -\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$ + es un dominio, +\begin_inset Formula $_{A}F$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $p^{s}x=p^{s}y=0$ + es libre y +\begin_inset Formula $N\leq_{A}F$ \end_inset - y entonces -\begin_inset Formula $ap^{s}x=0$ + contiene un subconjunto linealmente independiente maximal de +\begin_inset Formula $F$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $p^{s}(x+y)=0$ + entonces +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + es un submódulo esencial de +\begin_inset Formula $F$ \end_inset . +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio de Saorín. +\end_layout + +\end_inset + + \end_layout \begin_layout Standard -Para \begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{p\in{\cal P}}M(p)$ + es finitamente generado de +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -. - -\series bold -Demostración: -\series default - Claramente -\begin_inset Formula $\sum_{p\in{\cal P}}M(p)\leq_{A}t(M)$ +-torsión para cierto +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ \end_inset -. - Para ver que la suma es directa, sean -\begin_inset Formula $q\in{\cal P}$ +, existen +\begin_inset Formula $r>0$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x\in M(q)\cap\sum_{p\in{\cal P}\setminus\{q\}}M(p)$ +\begin_inset Formula $00$ \end_inset - y, para cada -\begin_inset Formula $i$ +. + Sea +\begin_inset Formula $X=\{x_{1},\dots,x_{k}\}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $t_{i}\in\mathbb{N}$ + un generador de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $p_{i}^{t_{i}}x_{i}=0$ +, para la existencia hacemos inducción en +\begin_inset Formula $k$ \end_inset -, con lo que si -\begin_inset Formula $a\coloneqq\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{t_{i}}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $k=1$ \end_inset , -\begin_inset Formula $ax=0$ +\begin_inset Formula $M=(x_{1})$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $\gcd\{q^{s},a\}=1$ + y, como +\begin_inset Formula $x_{1}$ \end_inset -, por lo que hay una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $q^{s}b+ac=1$ + es de +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $x=1x=q^{s}bx+acx=0$ +-torsión, existe +\begin_inset Formula $n>0$ \end_inset -. - Queda ver que -\begin_inset Formula $t(M)\subseteq\sum_{p\in{\cal P}}M(p)$ + con +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x_{1})=(p^{n})$ \end_inset -. - Sea -\begin_inset Formula $x\in t(M)\setminus0$ +, luego +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n})}=\frac{A}{\text{ann}_{A}(x_{1})}\cong(x_{1})=M$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)\triangleleft A$ + por el primer teorema de isomorfía sobre +\begin_inset Formula $a\mapsto ax_{1}$ \end_inset -, pero como -\begin_inset Formula $A$ +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $k>1$ \end_inset - es un DIP existen -\begin_inset Formula $(b)\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ +, sea +\begin_inset Formula $n_{1}>0$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)=(b)$ + mínimo con +\begin_inset Formula $p^{n_{1}}x_{i}=0$ \end_inset - y una factorización en irreducibles -\begin_inset Formula $b=up_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r}^{t_{r}}$ + para todo +\begin_inset Formula $i$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ +, entonces +\begin_inset Formula $p^{n_{1}}M=0\neq p^{n_{1}-1}M$ \end_inset -, los -\begin_inset Formula $p_{i}\in{\cal P}$ +, y podemos suponer +\begin_inset Formula $p^{n_{1}-1}x_{1}\neq0$ \end_inset - irreducibles distintos y los -\begin_inset Formula $t_{i}>0$ +. + Sean ahora +\begin_inset Formula $Z$ \end_inset -, y queremos ver que -\begin_inset Formula $x\in\sum_{i=1}^{r}M(p_{i})\subseteq\sum_{p\in{\cal P}}M(p)$ + un pseudocomplemento de +\begin_inset Formula $(x_{1})$ \end_inset -. - Si -\begin_inset Formula $r=1$ + en +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $x\in M(p_{1})$ + y +\begin_inset Formula $f:(x_{1})\hookrightarrow M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{Z}$ \end_inset - y hemos terminado. - Si -\begin_inset Formula $r>1$ + un monomorfismo esencial, +\begin_inset Formula $p^{n_{1}}\frac{M}{Z}=\{\overline{p^{n_{1}}m}\}_{m\in\mathbb{Z}}=0$ \end_inset -, por inducción, como -\begin_inset Formula $\gcd\{p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}},p_{r}^{t_{r}}\}=1$ + y +\begin_inset Formula $p^{n_{1}-1}f(x_{1})=f(p^{n_{1}-1}x_{1})\neq0$ \end_inset -, existe una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}}b+p_{r}^{t_{r}}c=1$ -\end_inset +. + +\end_layout - y -\begin_inset Formula $x=p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}}bx+p_{r}^{t_{r}}cx$ +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Supongamos +\begin_inset Formula $(y_{1}\coloneqq f(x_{1}))\subsetneq\frac{M}{Z}$ \end_inset -, donde el primer sumando es anulado por -\begin_inset Formula $p_{r}^{t_{r}}$ +. + Sean +\begin_inset Formula $\xi\in M\setminus(y_{1})$ \end_inset - y por tanto está en -\begin_inset Formula $M(p_{r})$ + y +\begin_inset Formula $k\coloneqq\min\{i\in\mathbb{N}^{*}\mid p^{i}\xi\in(y_{1})\}$ \end_inset - y el segundo es anulado por -\begin_inset Formula $p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}}$ +, que existe porque +\begin_inset Formula $p^{n_{1}}\xi=0\in(y_{1})$ \end_inset - y por tanto está en -\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{r}M(p_{i})$ +, entonces +\begin_inset Formula $p^{k}\xi\in(y_{1})$ \end_inset -. -\end_layout + y +\begin_inset Formula $p^{k-1}\xi\notin(y_{1})$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ +, luego +\begin_inset Formula $z\coloneqq p^{k-1}\xi\in M\setminus(y_{1})$ \end_inset - es finitamente generado, existen -\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{r}\in{\cal P}$ + cumple +\begin_inset Formula $pz\in(y_{1})$ \end_inset -, unívocamente determinados salvo permutación, tales que -\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{i=1}^{r}M(p_{i})$ + y existe +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - y cada -\begin_inset Formula $M(p_{i})\neq0$ + con +\begin_inset Formula $pz=ay_{1}$ \end_inset . - -\series bold -Demostración: -\series default - Como -\begin_inset Formula $A$ + En la factorización +\begin_inset Formula $a\eqqcolon p^{t}b$ \end_inset - es noetheriano, -\begin_inset Formula $M$ + con +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}$ \end_inset - es noetheriano y -\begin_inset Formula $t(M)$ + y +\begin_inset Formula $p\nmid b$ \end_inset - es finitamente generado. - Como -\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{p\in{\cal P}}M(p)$ +, se tiene +\begin_inset Formula $t>0$ \end_inset - es finitamente generado, digamos por -\begin_inset Formula $\{x_{1},\dots,x_{s}\}$ +. + En efecto, si no lo fuera sería +\begin_inset Formula $pz=bx$ \end_inset -, entendiendo la suma directa como externa, como cada -\begin_inset Formula $x_{i}$ + con +\begin_inset Formula $b$ \end_inset - tiene una cantidad finita de elementos no nulos, -\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{s})$ + y +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - tiene una cantidad finita de índices no nulos y casi todo -\begin_inset Formula $M(p)=0$ + coprimos, pero como +\begin_inset Formula $p^{n_{1}}\frac{M}{Z}=0$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{i=1}^{r}M(p_{i})$ +, +\begin_inset Formula $\frac{M}{Z}$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $p_{i}$ + se puede ver como un +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n_{1}})}$ \end_inset -. - La unicidad se sigue de que los -\begin_inset Formula $p_{i}$ +-módulo y entonces +\begin_inset Formula $\overline{b}=b+(p^{n_{1}})$ \end_inset - deben ser justo aquellos con -\begin_inset Formula $M(p_{i})\neq0$ + es unidad de +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n_{1}})}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $_{A}M$ + y +\begin_inset Formula $(\overline{y_{1}})=(\overline{by_{1}})$ \end_inset - es -\series bold -de torsión -\series default - si -\begin_inset Formula $M=t(M)$ +, y por la correspondencia, +\begin_inset Formula $(y_{1})=(by_{1})$ \end_inset -, y es -\series bold -de -\begin_inset Formula $p$ +, con lo que existe +\begin_inset Formula $a$ \end_inset --torsión -\series default - para un -\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ + tal que +\begin_inset Formula $aby_{1}=y_{1}$ \end_inset - si -\begin_inset Formula $M=M(p)$ + y como +\begin_inset Formula $p^{n-1}y_{1}=p^{n-1}aby_{1}\neq0$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $G$ + es +\begin_inset Formula $p^{n}z=p^{n-1}by_{1}\neq0$ \end_inset - es un grupo abeliano, es finitamente generado de torsión si y sólo si es - finito, y para -\begin_inset Formula $p$ +, pero +\begin_inset Formula $p^{n}M=0\#$ \end_inset - primo positivo, es de -\begin_inset Formula $p$ +. + Por tanto +\begin_inset Formula $t>0$ \end_inset --torsión finitamente generado si y sólo si es finito y -\begin_inset Formula $p^{m}M=0$ +, luego +\begin_inset Formula $pz=p^{t}by_{1}$ \end_inset - para cierto -\begin_inset Formula $m>0$ + y +\begin_inset Formula $p(z-p^{t-1}by_{1})=0$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $K$ + Sea entonces +\begin_inset Formula $y'\coloneqq z-p^{t-1}by_{1}$ \end_inset - un cuerpo y -\begin_inset Formula $M_{(V,f)}$ +, +\begin_inset Formula $y'\notin(y_{1})$ \end_inset - el -\begin_inset Formula $K[X]$ + porque +\begin_inset Formula $z\notin(y_{1})$ \end_inset --módulo asociado a un par -\begin_inset Formula $(V,f)$ + y +\begin_inset Formula $py'=0$ \end_inset - de un espacio vectorial y un -\begin_inset Formula $K$ +, pero entonces +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}\to(y')$ \end_inset --endomorfismo -\begin_inset Formula $V\to V$ + dado por +\begin_inset Formula $a+(p)\mapsto ay'$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $M_{(V,f)}$ + es un isomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es de torsión finitamente generado si y sólo si -\begin_inset Formula $_{K}V$ +-módulos y los únicos submódulos de +\begin_inset Formula $(y')$ \end_inset - es de dimensión finita, y si -\begin_inset Formula $p\in K[X]$ + son 0 e +\begin_inset Formula $(y')$ \end_inset - es irreducible, -\begin_inset Formula $M_{(V,f)}$ +, pero +\begin_inset Formula $(y_{1})$ \end_inset - es finitamente generado de -\begin_inset Formula $p$ + es esencial por ser la imagen de un monomorfismo esencial, luego +\begin_inset Formula $(y_{1})\cap(y')\neq0$ \end_inset --torsión si y sólo si -\begin_inset Formula $_{K}V$ + y por tanto +\begin_inset Formula $(y_{1})\cap(y')=(y')$ \end_inset - es de dimensión finita y -\begin_inset Formula $p(f)^{m}=0\in\text{End}_{K}(V)$ + e +\begin_inset Formula $(y')\subseteq(y_{1})$ \end_inset - para cierto -\begin_inset Formula $m>0$ +, pero +\begin_inset Formula $y'\notin(y_{1})\#$ \end_inset . -\begin_inset Foot -status open - -\begin_layout Plain Layout -¿Qué será -\begin_inset Formula $p(f)^{m}$ + Por tanto +\begin_inset Formula $\frac{M}{Z}=(y_{1})$ \end_inset -? +. \end_layout +\begin_layout Standard +Con esto +\begin_inset Formula $f$ \end_inset + es un isomorfismo y +\begin_inset Formula $M=(x_{1})\oplus Z\cong\frac{A}{(p^{n_{1}})}\oplus Z$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Section -Parte libre de torsión de un módulo finitamente generado -\end_layout +, pero entonces +\begin_inset Formula $Z\cong\frac{(x_{1})\oplus Z}{(x_{1})}=\frac{M}{(x_{1})}$ +\end_inset -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $_{A}F$ +, que es un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es -\series bold -libre de torsión -\series default - si -\begin_inset Formula $t(F)=0$ +-módulo generado por +\begin_inset Formula $\{\overline{x_{2}},\dots,\overline{x_{k}}\}$ \end_inset -. - Llamamos -\series bold -parte libre de torsión -\series default - de -\begin_inset Formula $_{A}M$ +, y por hipótesis de inducción, +\begin_inset Formula $Z\cong\frac{A}{(p^{n_{2}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{n_{r}})}$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $\frac{M}{t(M)}$ + con +\begin_inset Formula $n_{2}\geq\dots\geq n_{r}>0$ \end_inset -, que es libre de torsión. - -\series bold -Demostración: -\series default - Queremos ver que, para -\begin_inset Formula $\overline{x}\in\frac{M}{t(M)}\setminus0$ + y se tiene +\begin_inset Formula $n_{2}=\min\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid p^{s}Z=0\}$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(\overline{x})=0$ +, pero +\begin_inset Formula $p^{n_{1}}Z\subseteq p^{n_{1}}M=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $n_{1}\geq n_{2}$ \end_inset . - Sean entonces -\begin_inset Formula $x\in M$ +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Para la unicidad, si +\begin_inset Formula $M\cong\frac{A}{(p^{n_{1}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{n_{r}})}\cong\frac{A}{(p^{m_{1}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{m_{s}})}$ \end_inset con -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(\overline{x})\neq0$ +\begin_inset Formula $r,s>0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $00$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $p^{j}M$ +\end_inset + + admite una descomposición en menos de +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + sumandos y +\begin_inset Formula $m_{1}$ +\end_inset + + también, luego +\begin_inset Formula $n_{1}=m_{1}$ \end_inset . + Por inducción en +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + +: \end_layout -\begin_layout Standard -Todo -\begin_inset Formula $A$ +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $r=1$ \end_inset --módulo libre es libre de torsión, pues es isomorfo a un -\begin_inset Formula $A^{(I)}$ + hemos terminado. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +Si +\begin_inset Formula $r>1$ \end_inset - y, si hubiera un -\begin_inset Formula $a\in A$ +, +\begin_inset Formula $p^{n_{1}}M\cong\bigoplus_{i\geq2}\frac{(p^{n_{1}})}{(p^{n_{i}})}\cong\bigoplus_{i}\frac{A}{(p^{n_{i}-n_{1}})}$ \end_inset - y un -\begin_inset Formula $v\in A^{(I)}$ + y del mismo modo +\begin_inset Formula $p^{n_{1}}M\cong\bigoplus_{i\geq2}\frac{A}{(p^{m_{i}-n_{1}})}$ +\end_inset + +, y tomando el mínimo +\begin_inset Formula $t$ \end_inset con -\begin_inset Formula $av=0$ +\begin_inset Formula $n_{t}>n_{1}$ \end_inset -, como estamos en un dominio, -\begin_inset Formula $a=0$ + y el mínimo +\begin_inset Formula $t'$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $v=0$ + con +\begin_inset Formula $n_{t'}>n_{1}$ +\end_inset + +, por hipótesis de inducción, +\begin_inset Formula $(n_{i}-n_{1})_{i\geq t}=(m_{i}-m_{1})_{i\geq t'}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $t=t'$ +\end_inset + + y hay exactamente +\begin_inset Formula $t-1$ +\end_inset + + apariciones de +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n_{1}})}$ +\end_inset + + y de +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{m_{1}})}$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $n_{1}=m_{1}$ +\end_inset + +, luego al final cada +\begin_inset Formula $n_{i}=m_{i}$ \end_inset . \end_layout +\begin_layout Section +Módulos finitamente generados sobre un DIP +\end_layout + \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default -: +, si +\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ +\end_inset + + es finitamente generado, existen un único +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, el +\series bold +rango libre de torsión +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, y una familia +\begin_inset Formula $p_{1}^{n_{11}},\dots,p_{1}^{n_{1r_{1}}},\dots,p_{k}^{n_{k1}},\dots p_{k}^{n_{kr_{k}}}$ +\end_inset + + de +\series bold +divisores elementales +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, única salvo asociados y orden de los +\begin_inset Formula $p_{i}$ +\end_inset + +, con los +\begin_inset Formula $p_{i}$ +\end_inset + + irreducibles no asociados dos a dos y +\begin_inset Formula $00$ + y, como cada +\begin_inset Formula $d_{j}\mid d_{t}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $00$ + es divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -. - Sea -\begin_inset Formula $X=\{x_{1},\dots,x_{k}\}$ + si y sólo si lo es de +\begin_inset Formula $d_{t}$ \end_inset - un generador de -\begin_inset Formula $M$ +, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $x\in M\setminus\{0\}$ \end_inset -, para la existencia hacemos inducción en -\begin_inset Formula $k$ + con +\begin_inset Formula $px=0$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -Si -\begin_inset Formula $k=1$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $M=(x_{1})$ -\end_inset - - y, como -\begin_inset Formula $x_{1}$ -\end_inset - - es de -\begin_inset Formula $p$ +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\iff2]$ \end_inset --torsión, existe -\begin_inset Formula $n>0$ + Si +\begin_inset Formula $(p_{ij})_{1\leq i\leq k}^{1\leq j\leq r_{i}}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x_{1})=(p^{n})$ + son los divisores elementales de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n})}=\frac{A}{\text{ann}_{A}(x_{1})}\cong(x_{1})=M$ +, +\begin_inset Formula $d_{t}=p_{1}^{n_{1r_{1}}}\cdots p_{k}^{n_{kr_{k}}}$ \end_inset - por el primer teorema de isomorfía sobre -\begin_inset Formula $a\mapsto ax_{1}$ +, luego los divisores irreducibles son los irreducibles de la factorización + irreducible de +\begin_inset Formula $d_{t}$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -Si -\begin_inset Formula $k>1$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies3]$ \end_inset -, sea -\begin_inset Formula $n_{1}>0$ + Si +\begin_inset Formula $M(p)\neq0$ \end_inset - mínimo con -\begin_inset Formula $p^{n_{1}}x_{i}=0$ +, sea +\begin_inset Formula $z\in M(p)\setminus\{0\}$ \end_inset - para todo -\begin_inset Formula $i$ + con +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(z)=(p^{s})$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $p^{n_{1}}M=0\neq p^{n_{1}-1}M$ + y +\begin_inset Formula $s$ \end_inset -, y podemos suponer -\begin_inset Formula $p^{n_{1}-1}x_{1}\neq0$ + mínimo, +\begin_inset Formula $s>0$ \end_inset -. - Sean ahora -\begin_inset Formula $Z$ + ya que de lo contrario sería +\begin_inset Formula $(p^{s})=A$ \end_inset - un pseudocomplemento de -\begin_inset Formula $(x_{1})$ + y +\begin_inset Formula $z=1z=0$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $M$ +, y +\begin_inset Formula $x\coloneqq p^{s-1}z\in M\setminus\{0\}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f:(x_{1})\hookrightarrow M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{Z}$ + cumple +\begin_inset Formula $px=0$ \end_inset - un monomorfismo esencial, -\begin_inset Formula $p^{n_{1}}\frac{M}{Z}=\{\overline{p^{n_{1}}m}\}_{m\in\mathbb{Z}}=0$ +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $p^{n_{1}-1}f(x_{1})=f(p^{n_{1}-1}x_{1})\neq0$ + +\begin_inset Formula $x\in M(p)\neq0$ \end_inset . - \end_layout -\begin_deeper +\end_deeper \begin_layout Standard -Supongamos -\begin_inset Formula $(y_{1}\coloneqq f(x_{1}))\subsetneq\frac{M}{Z}$ +Así, si +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -. - Sean -\begin_inset Formula $\xi\in M\setminus(y_{1})$ + es un grupo abeliano finito, los divisores irreducibles de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $k\coloneqq\min\{i\in\mathbb{N}^{*}\mid p^{i}\xi\in(y_{1})\}$ + son los +\begin_inset Formula $p>0$ \end_inset -, que existe porque -\begin_inset Formula $p^{n_{1}}\xi=0\in(y_{1})$ + que dividen a +\begin_inset Formula $|M|$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $p^{k}\xi\in(y_{1})$ -\end_inset +. +\end_layout - y -\begin_inset Formula $p^{k-1}\xi\notin(y_{1})$ +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $z\coloneqq p^{k-1}\xi\in M\setminus(y_{1})$ + finitamente generado de torsión, +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - cumple -\begin_inset Formula $pz\in(y_{1})$ + un divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y existe -\begin_inset Formula $a\in A$ + y +\begin_inset Formula $M(p)\cong\bigoplus_{j=0}^{r}\frac{A}{(p^{n_{j}})}$ \end_inset con -\begin_inset Formula $pz=ay_{1}$ +\begin_inset Formula $00$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}=\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid s\geq n_{r}\}$ \end_inset . - En efecto, si no lo fuera sería -\begin_inset Formula $pz=bx$ +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $b$ + +\end_layout + \end_inset - y -\begin_inset Formula $p$ +Para +\begin_inset Formula $s\geq n_{r}$ \end_inset - coprimos, pero como -\begin_inset Formula $p^{n_{1}}\frac{M}{Z}=0$ +, +\begin_inset Formula $M(p)\subseteq\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{s})\subseteq M(p)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\frac{M}{Z}$ + y +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})=M(p)$ \end_inset - se puede ver como un -\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n_{1}})}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ \end_inset --módulo y entonces -\begin_inset Formula $\overline{b}=b+(p^{n_{1}})$ + +\end_layout + \end_inset - es unidad de -\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n_{1}})}$ +Sea +\begin_inset Formula $X$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $(\overline{y_{1}})=(\overline{by_{1}})$ + el conjunto de la izquierda, queremos ver que si +\begin_inset Formula $s\in X$ \end_inset -, y por la correspondencia, -\begin_inset Formula $(y_{1})=(by_{1})$ + entonces +\begin_inset Formula $s+1\in X$ \end_inset -, con lo que existe -\begin_inset Formula $a$ +, de modo que si fuera +\begin_inset Formula $s0$ + y por tanto +\begin_inset Formula $px\in\text{ann}_{M}(p^{s+1})=\text{ann}_{M}(p^{s})$ \end_inset , luego -\begin_inset Formula $pz=p^{t}by_{1}$ +\begin_inset Formula $p^{s+1}x=p^{s}(px)=0$ \end_inset y -\begin_inset Formula $p(z-p^{t-1}by_{1})=0$ +\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M}(p^{s+1})$ \end_inset . - Sea entonces -\begin_inset Formula $y'\coloneqq z-p^{t-1}by_{1}$ -\end_inset + +\end_layout -, -\begin_inset Formula $y'\notin(y_{1})$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M(p)=\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})$ \end_inset - porque -\begin_inset Formula $z\notin(y_{1})$ -\end_inset +. +\end_layout - y -\begin_inset Formula $py'=0$ +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $(q_{i}^{m_{ij}})_{1\leq i\leq k}^{1\leq j\leq r_{i}}$ \end_inset -, pero entonces -\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}\to(y')$ + los divisores elementales de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $a+(p)\mapsto ay'$ + con +\begin_inset Formula $p=q_{1}$ \end_inset - es un isomorfismo de -\begin_inset Formula $A$ + y por tanto +\begin_inset Formula $r=r_{1}$ \end_inset --módulos y los únicos submódulos de -\begin_inset Formula $(y')$ + y +\begin_inset Formula $n_{j}=m_{1j}$ \end_inset - son 0 e -\begin_inset Formula $(y')$ +, hay un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{m_{ir_{i}}}\frac{A}{(q_{i}^{m_{ij}})}\to M$ \end_inset , pero -\begin_inset Formula $(y_{1})$ -\end_inset +\begin_inset Formula +\[ +X\coloneqq\text{ann}_{\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{m_{ir_{i}}}\frac{A}{(q_{i}^{m_{ij}})}}(p^{n_{r}})=\bigoplus_{j=1}^{n_{r}}\frac{A}{(p^{n_{j}})} +\] - es esencial por ser la imagen de un monomorfismo esencial, luego -\begin_inset Formula $(y_{1})\cap(y')\neq0$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $(y_{1})\cap(y')=(y')$ + ya que, si +\begin_inset Formula $i\neq1$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $(y')\subseteq(y_{1})$ +, +\begin_inset Formula $\text{ann}_{\frac{A}{(q_{i}^{s})}}(p^{n_{j}})=0$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $y'\notin(y_{1})\#$ + al ser +\begin_inset Formula $p^{n_{j}}+(q_{i}^{s})$ \end_inset -. - Por tanto -\begin_inset Formula $\frac{M}{Z}=(y_{1})$ + una unidad de +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p_{h}^{s})}$ \end_inset -. -\end_layout +, de modo que +\begin_inset Formula +\[ +\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})=\phi(X)=\phi\left(\bigoplus_{j=1}^{n_{r}}\frac{A}{(p^{n_{j}})}\right)=M(p). +\] -\begin_layout Standard -Con esto -\begin_inset Formula $f$ \end_inset - es un isomorfismo y -\begin_inset Formula $M=(x_{1})\oplus Z\cong\frac{A}{(p^{n_{1}})}\oplus Z$ -\end_inset -, pero entonces -\begin_inset Formula $Z\cong\frac{(x_{1})\oplus Z}{(x_{1})}=\frac{M}{(x_{1})}$ -\end_inset +\end_layout -, que es un -\begin_inset Formula $A$ +\end_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ \end_inset --módulo generado por -\begin_inset Formula $\{\overline{x_{2}},\dots,\overline{x_{k}}\}$ + finitamente generado de torsión, +\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$ \end_inset -, y por hipótesis de inducción, -\begin_inset Formula $Z\cong\frac{A}{(p^{n_{2}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{n_{r}})}$ + un divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $n_{2}\geq\dots\geq n_{r}>0$ + y, para +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - y se tiene -\begin_inset Formula $n_{2}=\min\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid p^{s}Z=0\}$ +, +\begin_inset Formula $\mu_{h}$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $p^{n_{1}}Z\subseteq p^{n_{1}}M=0$ + el número de divisores elementales de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $n_{1}\geq n_{2}$ + iguales a +\begin_inset Formula $p^{h}$ \end_inset -. +: \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Standard -Para la unicidad, si -\begin_inset Formula $M\cong\frac{A}{(p^{n_{1}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{n_{r}})}\cong\frac{A}{(p^{m_{1}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{m_{s}})}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $r,s>0$ +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $00$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $p^{j}M$ +, si +\begin_inset Formula $\delta_{h}\coloneqq\dim_{\frac{A}{(p)}}\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ \end_inset - admite una descomposición en menos de -\begin_inset Formula $r$ +, +\begin_inset Formula $\mu_{h}=\delta_{h}-\delta_{h+1}$ \end_inset - sumandos y -\begin_inset Formula $m_{1}$ -\end_inset +. +\end_layout - también, luego -\begin_inset Formula $n_{1}=m_{1}$ +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $n\coloneqq\min\{s>0\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}$ \end_inset . - Por inducción en -\begin_inset Formula $r$ + Para +\begin_inset Formula $h>n$ \end_inset -: -\end_layout +, +\begin_inset Formula $\mu_{h}=0$ +\end_inset -\begin_layout Itemize -Si -\begin_inset Formula $r=1$ + y, como +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s-1})=\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})$ \end_inset - hemos terminado. +, +\begin_inset Formula $\delta_{h}=\delta_{h+1}$ +\end_inset + +. \end_layout -\begin_layout Itemize -Si -\begin_inset Formula $r>1$ +\begin_layout Standard +Sea ahora +\begin_inset Formula $h\leq n$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $p^{n_{1}}M\cong\bigoplus_{i\geq2}\frac{(p^{n_{1}})}{(p^{n_{i}})}\cong\bigoplus_{i}\frac{A}{(p^{n_{i}-n_{1}})}$ +. + Si +\begin_inset Formula $\{p=p_{1},\dots,p_{k}\}$ \end_inset - y del mismo modo -\begin_inset Formula $p^{n_{1}}M\cong\bigoplus_{i\geq2}\frac{A}{(p^{m_{i}-n_{1}})}$ + son los divisores irreducibles (distintos) de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, y tomando el mínimo -\begin_inset Formula $t$ +, entonces +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{h})=\bigoplus_{i=1}^{k}\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $n_{t}>n_{1}$ +. + En efecto, si +\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$ \end_inset - y el mínimo -\begin_inset Formula $t'$ +, +\begin_inset Formula $p^{h}x=0$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $n_{t'}>n_{1}$ + en +\begin_inset Formula $M(p_{i})$ \end_inset -, por hipótesis de inducción, -\begin_inset Formula $(n_{i}-n_{1})_{i\geq t}=(m_{i}-m_{1})_{i\geq t'}$ + y por tanto en +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $t=t'$ +, y si +\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M}(p^{h})$ \end_inset - y hay exactamente -\begin_inset Formula $t-1$ +, si +\begin_inset Formula $x\eqqcolon x_{1}+\dots+x_{k}$ \end_inset - apariciones de -\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n_{1}})}$ + con cada +\begin_inset Formula $x_{i}\in M(p_{i})$ \end_inset - y de -\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{m_{1}})}$ +, entonces +\begin_inset Formula $0=p^{h}x=p^{h}x_{1}+\dots+p^{h}x_{k}$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $n_{1}=m_{1}$ + y cada +\begin_inset Formula $p^{h}x_{i}=0$ \end_inset -, luego al final cada -\begin_inset Formula $n_{i}=m_{i}$ +, luego +\begin_inset Formula $x\in\bigoplus_{i=1}^{k}\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_layout Section -Módulos finitamente generados sobre un DIP -\end_layout + Pero para +\begin_inset Formula $i>1$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Como -\series bold -teorema -\series default , si -\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ +\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$ \end_inset - es finitamente generado, existen un único -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}$ +, +\begin_inset Formula $p^{h}x=0$ \end_inset -, el -\series bold -rango libre de torsión -\series default - de -\begin_inset Formula $M$ +, +\begin_inset Formula $x\in M(p)$ \end_inset -, y una familia -\begin_inset Formula $p_{1}^{n_{11}},\dots,p_{1}^{n_{1r_{1}}},\dots,p_{k}^{n_{k1}},\dots p_{k}^{n_{kr_{k}}}$ + y +\begin_inset Formula $x\in M(p)\cap M(p_{i})=0$ \end_inset - de -\series bold -divisores elementales -\series default - de -\begin_inset Formula $M$ +, luego +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})=0$ \end_inset -, única salvo asociados y orden de los -\begin_inset Formula $p_{i}$ + y queda +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{h})=\text{ann}_{M(p)}(p^{h})$ \end_inset -, con los -\begin_inset Formula $p_{i}$ +, con lo que podemos suponer +\begin_inset Formula $M=M(p)$ \end_inset - irreducibles no asociados dos a dos y -\begin_inset Formula $01$ \end_inset -, y la parte de torsión isomorfa al sumando derecho y a -\begin_inset Formula $t(M)=M(p_{1})\oplus\dots\oplus M(p_{k})=M(q_{1})\oplus\dots\oplus M(q_{l})$ +, probado esto para +\begin_inset Formula $n-1$ \end_inset -, luego por unicidad queda -\begin_inset Formula $\{p_{1},\dots,p_{k}\}=\{q_{1},\dots,q_{l}\}$ +, para +\begin_inset Formula $x\in M_{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $k=l$ +\begin_inset Formula $\overline{x}\in\frac{M_{n}}{M_{n-1}}$ \end_inset - y, reordenando, cada -\begin_inset Formula $p_{i}=q_{i}$ + se escribe como +\begin_inset Formula $\overline{x}=\sum_{y\in X_{n}}a_{y}\overline{y}$ \end_inset -.Entonces, como cada -\begin_inset Formula $M(p_{i})$ + con los +\begin_inset Formula $a_{y}\in A$ \end_inset - es de -\begin_inset Formula $p_{i}$ + casi todos nulos, de modo que +\begin_inset Formula $x'\coloneqq x-\sum_{y\in X_{n}}a_{y}y\in M_{n-1}$ \end_inset --torsión, por la proposición anterior es -\begin_inset Formula $(n_{i1},\dots,n_{ir_{i}})=(m_{i1},\dots,m_{ir_{i}})$ + y, como +\begin_inset Formula $x'\in(\bigcup_{i=1}^{n-1}X_{i})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x\in(\bigcup_{i=1}^{n}X_{i})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Si +Como +\series bold +teorema +\series default +, si \begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - es finitamente generado, existe una descomposición -\begin_inset Formula $M=L\oplus\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}M_{ij}$ + es finitamente generado de torsión, +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - como suma directa interna con -\begin_inset Formula $L$ + es un divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - libre de rango igual al rango libre de torsión de -\begin_inset Formula $M$ +, +\begin_inset Formula $n\coloneqq\min\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}$ \end_inset - y cada -\begin_inset Formula $M_{ij}\cong\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})}$ + y +\begin_inset Formula $(F_{h})_{h=1}^{n}$ \end_inset -, siendo los -\begin_inset Formula $p_{i}^{n_{ij}}$ + es una familia de subconjuntos de +\begin_inset Formula $M(p)$ \end_inset - los divisores elementales de -\begin_inset Formula $M$ + tal que cada +\begin_inset Formula $F_{h}\subseteq\text{ann}_{M}(p^{h})$ \end_inset -. - En efecto, por el teorema hay un isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{r}\oplus\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})}\to M$ + y cada +\begin_inset Formula $F_{h}\cup pF_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$ \end_inset - y basta tomar -\begin_inset Formula $L\coloneqq\phi(A^{r})$ + es una unión disjunta que induce una base de +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $M_{ij}\coloneqq\phi(\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})})$ + como +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$ \end_inset -. +-espacio vectorial: \end_layout -\begin_layout Standard -Como -\series bold -teorema -\series default -, si -\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\forall x\in\bigcup_{i=1}^{n}F_{h},Ax\cong\frac{A}{(p^{h})}\iff x\in F_{h}$ \end_inset - es finitamente generado, existe un único -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}^{*}$ +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $Ax\cong\frac{A}{(p^{h})}$ \end_inset - y una única secuencia -\begin_inset Formula $d_{1},\dots,d_{t}\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)=p^{h}$ \end_inset - de -\series bold -factores invariantes -\series default - de -\begin_inset Formula $M$ +. + Ahora bien, si +\begin_inset Formula $x\in F_{h}\subseteq\text{ann}_{M}(p^{h})$ \end_inset -, única salvo asociados, tal que -\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$ +, +\begin_inset Formula $p^{h}\in\text{ann}_{A}(x)$ \end_inset y -\begin_inset Formula -\[ -M\cong A^{r}\oplus\bigoplus_{j=1}^{t}\frac{A}{(d_{j})}, -\] +\begin_inset Formula $(p^{h})\subseteq\text{ann}_{A}(x)$ +\end_inset +, pero si +\begin_inset Formula $a\in\text{ann}_{A}(x)$ \end_inset -y de hecho -\begin_inset Formula $r$ +, tomando +\begin_inset Formula $a\eqqcolon p^{s}b$ \end_inset - es el rango libre de torsión de -\begin_inset Formula $A$ + con +\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$ \end_inset - y si -\begin_inset Formula $(p_{i}^{n_{ij}})_{1\leq i\leq k}^{1\leq j\leq r_{i}}$ + y +\begin_inset Formula $b\nmid p$ \end_inset - son los divisores elementales de -\begin_inset Formula $M$ +, si fuera +\begin_inset Formula $s1$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $m_{kj}$ +, probado esto para +\begin_inset Formula $n-1$ \end_inset -, y claramente para cada -\begin_inset Formula $i$ +, sea +\begin_inset Formula $\sum_{h=1}^{n}\sum_{x\in F_{h}}a_{x}x=0$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $0\leq m_{i1}\leq\dots\leq m_{iu}$ +, +\begin_inset Formula $\sum_{x\in F_{n}}a_{x}x=-\sum_{h=1}^{n-1}\sum_{x\in F_{h}}a_{x}x\in(\bigcup_{h=1}^{n-1}F_{h})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{n-1})$ \end_inset -. - Por el teorema chino de los restos, -\begin_inset Formula $\frac{A}{(\delta_{j})}\cong\bigoplus_{i=1}^{k}\frac{A}{(p_{i}^{m_{ij}})}$ +, pero +\begin_inset Formula $F_{n}$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $t(M)\cong\bigoplus_{i,j}\frac{A}{(p_{i}^{m_{ij}})}$ + induce una base del +\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$ \end_inset -, lo que tras eliminar los sumandos nulos y reordenar debe coincidir con - la descomposición indescomponible de -\begin_inset Formula $t(M)$ +-espacio vectorial +\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{n})}{\text{ann}_{M}(p^{n-1})}$ \end_inset -, lo que junto a que -\begin_inset Formula $0\leq m_{i1}\leq\dots\leq m_{iu}$ + y, como +\begin_inset Formula $\sum_{x\in F_{n}}\overline{a_{x}}\overline{x}=0\in\frac{\text{ann}_{M}(p^{n})}{\text{ann}_{M}(p^{n-1})}$ \end_inset - determina los -\begin_inset Formula $m_{ij}$ +, cada +\begin_inset Formula $a_{x}\in(p)$ \end_inset - y por tanto los -\begin_inset Formula $\delta_{j}$ + y, llamando +\begin_inset Formula $a_{x}\coloneqq pa'_{x}$ \end_inset - salvo asociados. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Así, si -\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$ +, +\begin_inset Formula $\sum_{x\in F_{n}}a'_{x}(px)+\sum_{x\in\bigcup_{h=1}^{n-1}F_{h}}a_{x}x=0$ \end_inset - es finitamente generado, se puede expresar como suma directa interna de - la forma -\begin_inset Formula $L\oplus\bigoplus_{i=1}^{t}M_{i}$ +, pero llamando +\begin_inset Formula $F'_{h}\coloneqq F_{h}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $L$ + para +\begin_inset Formula $h0$ + y por tanto cada +\begin_inset Formula $v\in\mathbb{Z}^{n}$ \end_inset - ya que de lo contrario sería -\begin_inset Formula $(p^{s})=A$ + a +\begin_inset Formula $Cv$ \end_inset y -\begin_inset Formula $z=1z=0$ +\begin_inset Formula $M(C)=\frac{\mathbb{Z}^{m}}{\text{Im}(\phi\circ f)}=\frac{\phi(F)}{\phi(N)}\cong\frac{F}{N}$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $x\coloneqq p^{s-1}z\in M\setminus\{0\}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para encontrar la estructura de un grupo abeliano finitamente generado a + partir de su presentación por generadores y relatores: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Usar transformaciones elementales sobre la matriz +\begin_inset Formula $C$ \end_inset - cumple -\begin_inset Formula $px=0$ + asociada a la presentación hasta llegar a su forma normal +\begin_inset Formula $D=PCQ$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ -\end_inset - - -\begin_inset Formula $x\in M(p)\neq0$ +\begin_layout Enumerate +Obtener el rango libre de torsión de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Standard -Así, si -\begin_inset Formula $M$ +\begin_layout Enumerate +Obtener los factores invariantes +\begin_inset Formula $d_{j}$ \end_inset - es un grupo abeliano finito, los divisores irreducibles de -\begin_inset Formula $M$ + de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - son los -\begin_inset Formula $p>0$ + y usar el teorema chino de los restos para factorizar cada +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{d_{j}}$ \end_inset - que dividen a -\begin_inset Formula $|M|$ + en producto finito de grupos abelianos de la forma +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p_{i}^{n_{ij}}}$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $V\in_{K}\text{Vect}$ -\end_inset - - de dimensión finita y -\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$ -\end_inset - - con polinomio característico -\begin_inset Formula $\varphi\in K[X]$ +\begin_layout Enumerate +Una vez obtenida de aquí la descomposición primaria externa, convertirla + trivialmente en descomposición primaria interna de +\begin_inset Formula $M(D)$ \end_inset -: +. \end_layout \begin_layout Enumerate +Multiplicar cada sumando directo en esta descomposición por +\begin_inset Formula $P^{-1}$ +\end_inset -\series bold -Teorema de Cayley-Hamilton: -\series default - -\begin_inset Formula $\varphi_{f}(f)=0$ +, obteniendo una descomposición directa interna de +\begin_inset Formula $M(P^{-1}D)=M(CQ)=M(C)$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{n}(K)$ -\end_inset +\begin_inset ERT +status open - la matriz asociada a -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - bajo cualquier base de -\begin_inset Formula $V$ -\end_inset - e -\begin_inset Formula $I\coloneqq I_{n}$ -\end_inset +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout -, queremos ver que -\begin_inset Formula $\varphi=\det(XI-C)$ \end_inset - cumple -\begin_inset Formula $\sum_{i=0}^{n}\varphi_{i}C^{i}=0$ -\end_inset -. - Por la prueba de la fórmula de la matriz inversa, para toda matriz -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\end_layout - es -\begin_inset Formula $A\cdot\text{adj}(A)^{\intercal}=|A|I$ +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +determinante +\series default + del endomorfismo +\begin_inset Formula $g:\mathbb{Z}^{n}\to\mathbb{Z}^{n}$ \end_inset -, por lo que viendo -\begin_inset Formula $XI-C\in{\cal M}_{n}(K[X])$ +, +\begin_inset Formula $\det g$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $(XI-C)\text{adj}(XI-C)^{\intercal}=\varphi I$ +, a +\begin_inset Formula $\det M_{{\cal BB}}(g)$ \end_inset -. - Como las entradas de -\begin_inset Formula $\text{adj}(XI-C)^{\intercal}$ + para cualquier base +\begin_inset Formula ${\cal B}$ \end_inset - son polinomios de grado máximo -\begin_inset Formula $n-1$ + de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{n}$ \end_inset -, podemos escribir -\begin_inset Formula $\text{adj}(XI-C)^{t}\eqqcolon\sum_{i=0}^{n-1}B_{i}X^{i}$ +, que no depende de la base elegida, y entonces +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Z}^{n}}{\text{Im}g}$ \end_inset - con cada -\begin_inset Formula $B_{i}\in{\cal M}_{n}(K)$ + es finito si y sólo si +\begin_inset Formula $\det g\neq0$ \end_inset - y entonces -\begin_inset Formula $(XI-C)\sum_{i=0}^{n-1}B_{i}X^{i}=\sum_{i=0}^{n}\varphi_{i}I$ +, en cuyo caso su orden es el valor absoluto de +\begin_inset Formula $\det g$ \end_inset . - Viendo esta igualdad en -\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(K)[X]$ -\end_inset - -, igualando coeficientes, -\begin_inset Formula -\begin{align*} -B_{n-1} & =\varphi_{n}I, & B_{n-2}-CB_{n-1} & =\varphi_{n-1}I, & & \cdots, & B_{0}-B_{1}C & =\varphi_{1}I, & -B_{0}C & =\varphi_{0}I, -\end{align*} +\end_layout -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open -y multiplicando la primera igualdad por -\begin_inset Formula $C^{n}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout -, la segunda por -\begin_inset Formula $C^{n-1}$ -\end_inset -, etc., -\begin_inset Formula -\begin{align*} -C^{n}B_{n-1} & =\varphi_{n}I, & C^{n-1}B_{n-2}-C^{n}B_{n-1} & =\varphi_{n-1}I, & & \dots, -\end{align*} +\backslash +end{exinfo} +\end_layout \end_inset \end_layout -\end_deeper \end_body \end_document diff --git a/ac/n5.lyx b/ac/n5.lyx new file mode 100644 index 0000000..d9d19d9 --- /dev/null +++ b/ac/n5.lyx @@ -0,0 +1,4379 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\begin_preamble +\input{../defs} +\end_preamble +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package 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Formula $(V,f)$ +\end_inset + + de un espacio vectorial y un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-endomorfismo +\begin_inset Formula $V\to V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es de torsión finitamente generado si y sólo si +\begin_inset Formula $_{K}V$ +\end_inset + + es de dimensión finita, y si +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + + es irreducible, +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es finitamente generado de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-torsión si y sólo si +\begin_inset Formula $_{K}V$ +\end_inset + + es de dimensión finita y +\begin_inset Formula $p(f)^{m}=0\in\text{End}_{K}(V)$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $m>0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En el resto de la sección, salvo que se indique lo contrario, +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es un cuerpo, +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial de dimensión finita, +\begin_inset Formula $f:V\to V$ +\end_inset + + un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-endomorfismo y +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + el +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-módulo asociado a +\begin_inset Formula $(V,f)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teoremas de clasificación de endomorfismos de espacios vectoriales: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Existen +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{k}\in K[X]$ +\end_inset + + mónicos irreducibles distintos y +\begin_inset Formula $n_{ij}\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,k\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,r_{i}\}$ +\end_inset + +, unívocamente determinados, y vectores +\begin_inset Formula $v_{ij}\in V$ +\end_inset + +, tales que +\begin_inset Formula +\[ +\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}K\{f^{s}(v_{ij})\}_{s\geq0} +\] + +\end_inset + +es una descomposición de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + en suma directa interna de subespacios vectoriales +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +-in +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +va +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +rian +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +- +\end_layout + +\end_inset + +tes y cada +\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}}(v_{ij})=0\neq p_{i}(f)^{n_{ij}-1}(v_{ij})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $W\leq V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + el +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + asociado a +\begin_inset Formula $(W,f|_{W})$ +\end_inset + +, basta ver que +\begin_inset Formula $N\cong\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}$ +\end_inset + + si y sólo si existe +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $W=K\{f^{s}(v)_{s\geq0}\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}}(v)=0\neq p_{i}(f)^{n_{ij}-1}(v)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $\phi:\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}\to N$ +\end_inset + + el isomorfismo y +\begin_inset Formula $v\coloneqq\phi(\overline{1})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p_{i}^{n_{ij}}\overline{1}=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $0=p_{i}^{n_{ij}}\phi(\overline{1})=p_{i}^{n_{ij}}v=p_{i}(f)^{n_{ij}}(v)$ +\end_inset + + por la definición del +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-módulo, pero +\begin_inset Formula $p_{i}^{n_{ij}-1}\overline{1}\neq0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}-1}(v_{ij})\neq0$ +\end_inset + +. + Finalmente, como +\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}=K\{\overline{1},X\overline{1},\dots,X^{s}\overline{1},\dots\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M=K\{f^{s}(v)\}_{s\geq0}$ +\end_inset + + ya que +\begin_inset Formula $\phi(X^{s}\overline{1})=X^{s}\phi(\overline{1})=f^{s}(v)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Por la hipótesis y la definición de +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N=(v)$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + es anulado por +\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}}$ +\end_inset + + y por tanto hay un epimorfismo +\begin_inset Formula $\psi:\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}\twoheadrightarrow K[X]v=N$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\ker\psi\trianglelefteq\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}$ +\end_inset + +, pero los únicos ideales de +\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $(\overline{p_{i}}^{k})$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $k\in\{0,\dots,n_{ij}\}$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}-1}(v)\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\overline{p_{i}}^{n_{ij}-1}\notin\ker\psi$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\ker\psi=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\psi$ +\end_inset + + es un isomorfismo. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Existen polinomios mónicos no constantes +\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$ +\end_inset + + unívocamente determinados y vectores +\begin_inset Formula $v_{j}\in V$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $\bigoplus_{i=1}^{t}\text{span}\{f^{s}(v_{j})\}_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ +\end_inset + + es una descomposición de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + en subespacios +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +-invariantes y cada +\begin_inset Formula $d_{j}(f)(v_{j})=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $W\leq V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + el +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + asociado a +\begin_inset Formula $(W,f|_{W})$ +\end_inset + +, basta ver que +\begin_inset Formula $N\cong\frac{K[X]}{(d_{j})}$ +\end_inset + + si y sólo si existe +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\{f^{s}(v)\}{}_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial y +\begin_inset Formula $d_{j}(f)(v)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $\phi:\frac{K[X]}{(p_{i}^{n_{ij}})}\to N$ +\end_inset + + el isomorfismo y +\begin_inset Formula $v\coloneqq\phi(\overline{1})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $d_{j}\overline{1}=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $0=d_{j}\phi(\overline{1})=d_{j}v=d_{j}(f)(v)$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(d_{j})}=K\{\overline{1},X\overline{1},\dots,X^{\text{gr}d_{j}-1}\overline{1}\}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(X^{s}\overline{1})_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ +\end_inset + + linealmente independiente, +\begin_inset Formula $N=K\{f^{s}(v)\}_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(f^{s}(v))_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}$ +\end_inset + + linealmente independiente. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + es anulado por +\begin_inset Formula $p_{i}(f)^{n_{ij}}$ +\end_inset + + y por tanto hay un epimorfismo +\begin_inset Formula $\psi:\frac{K[X]}{(d_{j})}\twoheadrightarrow K[X]v=K\{f^{s}(v)\}_{s\in\mathbb{N}}=K\{f^{s}(v)\}_{s\in\mathbb{N}_{\text{gr}(d_{j})}}=N$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\text{gr}p<\text{gr}d_{j}$ +\end_inset + + cumple +\begin_inset Formula $\psi(\overline{p})=p(f)(v)=\sum_{i}p_{i}f^{i}(v)=0$ +\end_inset + +, como los +\begin_inset Formula $f^{i}(v)$ +\end_inset + + son linealmente independiente, cada +\begin_inset Formula $p_{i}=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p=0$ +\end_inset + +, y como cada elemento de +\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(d_{j})}$ +\end_inset + + tiene un representante de grado menor que el de +\begin_inset Formula $d_{j}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\ker\psi=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\psi$ +\end_inset + + es un isomorfismo. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Polinomio mínimo +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $\varphi\in K[X]$ +\end_inset + + el polinomio característico de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Teorema de Cayley-Hamilton: +\series default + +\begin_inset Formula $\varphi(f)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{n}(K)$ +\end_inset + + la matriz asociada a +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + bajo cualquier base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $I\coloneqq I_{n}$ +\end_inset + +, queremos ver que +\begin_inset Formula $\varphi=\det(XI-C)$ +\end_inset + + cumple +\begin_inset Formula $\sum_{i=0}^{n}\varphi_{i}C^{i}=0$ +\end_inset + +. + Por la prueba de la fórmula de la matriz inversa, para toda matriz +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $A\cdot\text{adj}(A)^{\intercal}=|A|I$ +\end_inset + +, por lo que viendo +\begin_inset Formula $XI-C\in{\cal M}_{n}(K[X])$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $(XI-C)\text{adj}(XI-C)^{\intercal}=\varphi I$ +\end_inset + +. + Como las entradas de +\begin_inset Formula $\text{adj}(XI-C)^{\intercal}$ +\end_inset + + son polinomios de grado máximo +\begin_inset Formula $n-1$ +\end_inset + +, podemos escribir +\begin_inset Formula $\text{adj}(XI-C)^{t}\eqqcolon\sum_{i=0}^{n-1}B_{i}X^{i}$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $B_{i}\in{\cal M}_{n}(K)$ +\end_inset + + y entonces +\begin_inset Formula $(XI-C)\sum_{i=0}^{n-1}B_{i}X^{i}=\sum_{i=0}^{n}\varphi_{i}I$ +\end_inset + +. + Viendo esta igualdad en +\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(K)[X]$ +\end_inset + +, igualando coeficientes, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +B_{n-1} & =\varphi_{n}I, & B_{n-2}-CB_{n-1} & =\varphi_{n-1}I, & & \cdots, & B_{0}-B_{1}C & =\varphi_{1}I, & -B_{0}C & =\varphi_{0}I, +\end{align*} + +\end_inset + +y multiplicando la primera igualdad por +\begin_inset Formula $C^{n}$ +\end_inset + +, la segunda por +\begin_inset Formula $C^{n-1}$ +\end_inset + +, etc., +\begin_inset Formula +\begin{align*} +C^{n}B_{n-1} & =\varphi_{n}C^{n}, & C^{n-1}B_{n-2}-C^{n}B_{n-1} & =\varphi_{n-1}C^{n-1}, & & \dots,\\ +CB_{0}-C^{2}B_{1} & =\varphi_{1}C, & -CB_{0} & =\varphi_{0}I, +\end{align*} + +\end_inset + +luego sumando es +\begin_inset Formula $0=\varphi_{n}C^{n}+\dots+\varphi_{1}C+\varphi_{0}=\varphi_{C}(C)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Los divisores irreducibles de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + son precisamente los divisores irreducibles de +\begin_inset Formula $\varphi$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + + irreducible es divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + si y sólo si existe +\begin_inset Formula $v\in M\setminus\{0\}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $pv=p(f)(v)=0$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\ker(p(f))\neq0$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $p(f):V\to V$ +\end_inset + + como endomorfismo no es un isomorfismo, si y sólo si +\begin_inset Formula $\det(p(f))=0$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $\overline{K}$ +\end_inset + + la clausura algebraica de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p=(X-\lambda_{1})\cdots(X-\lambda_{t})\in\overline{K}[X]$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $p\mid\varphi$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + la matriz asociada a +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + bajo cualquier base, los +\begin_inset Formula $\lambda_{i}$ +\end_inset + + son valores propios de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\overline{K}$ +\end_inset + + y por tanto existen +\begin_inset Formula $v_{i}\in\overline{K}^{n}\setminus\{0\}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $Cv_{i}=\lambda v_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(C-\lambda_{i}I)=0$ +\end_inset + +. + Pero +\begin_inset Formula $(C-\lambda_{i}I)(C-\lambda_{j}I)=C^{2}-\lambda_{i}I-\lambda_{j}I+\lambda_{i}\lambda_{j}I=(C-\lambda_{j}I)(C-\lambda_{i}I)$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $(C-\lambda_{i}I)(C-\lambda_{j}I)(v_{i})=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p(C)(v)=\left(\prod_{j}(C-\lambda_{j}I)\right)(v_{i})=0$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $\ker_{\overline{K}}(p(C))\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\det(p(C))=0$ +\end_inset + +, lo que no depende de si consideramos +\begin_inset Formula $p(C)$ +\end_inset + + sobre +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + o sobre +\begin_inset Formula $\overline{K}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, divide al mayor factor invariante de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $d_{t}$ +\end_inset + +, pero para +\begin_inset Formula $v\in M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\varphi v=\varphi(f)(v)=0$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $\varphi\in\text{ann}_{A}(M)=(d_{t})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p\mid d_{t}\mid\varphi$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{AlgL} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $A,B\in{\cal M}_{n}(K)$ +\end_inset + + son +\series bold +semejantes +\series default + si +\begin_inset Formula $\exists P\in{\cal M}_{n}(K):B=P^{-1}AP$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $C\coloneqq M_{{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f_{C}:K^{n}\to K^{n}$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $f_{C}(y)\coloneqq Cy$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:V\to K^{n}$ +\end_inset + + que lleva +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + a la base canónica induce un isomorfismo entre el +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-módulo asociado a +\begin_inset Formula $(V,f)$ +\end_inset + + y el asociado a +\begin_inset Formula $(K^{n},f_{C})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Claramente la biyección +\begin_inset Formula $\hat{\phi}$ +\end_inset + + inducida conserva la suma y el producto por escalares de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\hat{\phi}(Xv)=\phi(f(v))=\phi((\phi^{-1}\circ f_{C}\circ\phi)(v))=f_{C}(\phi(v))=X\phi(v)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + otro +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial, +\begin_inset Formula $g:W\to W$ +\end_inset + + un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-endomorfismo, +\begin_inset Formula $\phi:V\to W$ +\end_inset + + un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-isomorfismo con +\begin_inset Formula $\phi\circ f=g\circ\phi$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + la base correspondiente de +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + +, se tiene +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)=M_{{\cal B}'}(g)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula ${\cal B}\eqqcolon(b_{i})_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula ${\cal B}'=(\phi(b_{i}))_{i}$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + tiene como columnas los +\begin_inset Formula $f(b_{i})$ +\end_inset + + respecto de +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}'}(g)$ +\end_inset + + tiene como columnas los +\begin_inset Formula $g(\phi(b_{i}))=\phi(f(b_{i}))$ +\end_inset + + respecto de +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)=M_{{\cal B}'}(g)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + es otro +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial de dimensión finita y +\begin_inset Formula $g:W\to W$ +\end_inset + + un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-endomorfismo, los +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-módulos asociados a +\begin_inset Formula $(V,f)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(W,g)$ +\end_inset + + son isomorfos si y sólo si +\begin_inset Formula $\dim V=\dim W$ +\end_inset + + y existen bases respectivas +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $W$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}'}(g)$ +\end_inset + + son semejantes. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sea +\begin_inset Formula $\phi:M\to N$ +\end_inset + + el isomorfismo, claramente +\begin_inset Formula $\phi:V\to W$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-isomorfismo y por tanto +\begin_inset Formula $\dim_{K}V=\dim_{K}W$ +\end_inset + +, y basta tomar una base +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + y, como +\begin_inset Formula $\phi(f(v))=\phi(Xv)=X\phi(v)=g(\phi(v))$ +\end_inset + +, estamos en las condiciones del anterior apartado. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Por cambio de base podemos suponer +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)=M_{{\cal B}'}(g)\eqqcolon(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula ${\cal B}=(b_{1},\dots,b_{n})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula ${\cal B}'=(b'_{1},\dots,b'_{n})$ +\end_inset + +, tomando el isomorfismo vectorial +\begin_inset Formula $\phi:V\to W$ +\end_inset + + que lleva cada +\begin_inset Formula $b_{i}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $b'_{i}$ +\end_inset + + y viéndolo como un +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:M\to N$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\phi(Xb_{i})=\phi(f(b_{i}))=\phi(\sum_{j}a_{ji}b_{j})=\sum_{j}a_{ji}b'_{j}=g(b'_{i})=X\phi(b_{i})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es una matriz cuadrada, llamamos +\begin_inset Formula $\text{rk}A$ +\end_inset + + al rango de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $f:V\to V$ +\end_inset + + es un endomorfismo, +\begin_inset Formula $\text{rk}f\coloneqq\text{rk}M_{{\cal B}}(f)$ +\end_inset + + para cualquier base +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage pagebreak +\end_inset + +Llamamos +\series bold +polinomio mínimo +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + a su mayor factor invariante, elegido mónico. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $G\in K[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $j\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(G^{j})=\ker(G^{j}(f))$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $G^{j}\in\text{ann}_{K[X]}(M)\iff G^{j}(f)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $G^{j}\in\text{ann}_{K[X]}(M)\iff\text{ann}_{M}(G^{j})=\ker(G^{j}(f))=M\iff G^{j}(f)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +El polinomio mínimo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es el menor +\begin_inset Formula $d_{t}\in K[X]$ +\end_inset + + (por divisibilidad) con +\begin_inset Formula $d_{t}(f)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Si este es +\begin_inset Formula $d_{t}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(d_{t})=\text{ann}_{K[X]}(M)$ +\end_inset + +, y basta aplicar el apartado anterior. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\varphi$ +\end_inset + + es el polinomio característico de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $d_{t}\mid\varphi$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\varphi(f)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es divisor irreducible de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\coloneqq\min\{s\in\mathbb{N}\mid\ker(p(f)^{s})=\ker(p(f)^{s+1})\}=\min\{s\in\mathbb{N}\mid\text{rk}(p(f)^{s})=\text{rk}(p(f)^{s+1})\}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $M(p)=\ker(p(f)^{n})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\ker(p(f)^{s})=\ker(p(f)^{s+1})$ +\end_inset + + implica +\begin_inset Formula $\text{rk}(p(f)^{s})=\text{rk}(p(f)^{s+1})$ +\end_inset + +, y el recíproco se cumple porque entonces +\begin_inset Formula $\dim\ker(p(f)^{s})=\dim\ker(p(f)^{s+1})$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p(f)^{s}\subseteq p(f)^{s+1}$ +\end_inset + +. + Pero sabemos que +\begin_inset Formula $M(p)=\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})=\ker(p(f)^{n_{r}})$ +\end_inset + + siendo +\begin_inset Formula $n_{r}=\min\{s\in\mathbb{N}\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}=n$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +La multiplicidad de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + como factor irreducible de +\begin_inset Formula $\varphi$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $m\geq n$ +\end_inset + + y cumple +\begin_inset Formula $M(p)=\ker(p(f)^{m})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $\varphi\eqqcolon p^{m}G$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p\nmid G$ +\end_inset + +, la identidad de Bézout +\begin_inset Formula $1=p^{m}R+GS$ +\end_inset + + implica, evaluando en +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + sobre un +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + +, que +\begin_inset Formula +\[ +v=p(f)^{m}(R(f)(v))+G(f)(S(f)(v))=R(f)(p(f)^{m}(v))+S(f)(G(f)(v)), +\] + +\end_inset + +y por el teorema de Cayley-Hamilton, +\begin_inset Formula $(p^{m}G)(f)=p^{m}(f)\circ G(f)=G(f)\circ p^{m}(f)=0$ +\end_inset + + y entonces +\begin_inset Formula $p(f)^{m}(R(f)(v))\in\ker(G(f))$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $G(f)(S(f)(v))\in\ker(p(f)^{m})$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $V=\ker(p(f)^{m})+\ker(G(f))$ +\end_inset + + y si +\begin_inset Formula $v\in\ker(p(f)^{m})\cap\ker(G(f))$ +\end_inset + + la igualdad anterior nos da +\begin_inset Formula $v=0+0=0$ +\end_inset + +, con lo que la suma es directa y +\begin_inset Formula $V=\text{ann}_{M}(p^{m})\oplus\text{ann}_{M}(G)$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $M(p)=\text{ann}_{M}(p^{m})=\ker(p(f)^{m})$ +\end_inset + + y, por la afirmación anterior, +\begin_inset Formula $m\geq n$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Sea +\begin_inset Formula $V=V_{1}\oplus\dots\oplus V_{t}$ +\end_inset + + con los +\begin_inset Formula $V_{i}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +-invariantes, el polinomio mínimo de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es el mínimo común múltiplo de los polinomios mínimos de los +\begin_inset Formula $f|_{V_{i}}:V_{i}\to V_{i}$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\hat{f}_{i}\coloneqq f|_{V_{i}}:V_{i}\to V_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + el polinomio mínimo de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q_{i}$ +\end_inset + + el de +\begin_inset Formula $\hat{f}_{i}$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $P(\hat{f}_{i})=P(f)|_{V_{i}}=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Q_{i}\mid P$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $F\in K[X]$ +\end_inset + + es tal que +\begin_inset Formula $Q_{1},\dots,Q_{t}\mid F$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $v\eqqcolon v_{1}+\dots+v_{t}$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $v_{i}\in V_{i}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f(v)=f(v_{1})+\dots+f(v_{t})=\hat{f}_{1}(v_{1})+\dots+\hat{f}_{t}(v_{t})=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $F(f)=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P\mid F$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +7. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es nilpotente, su polinomio característico es +\begin_inset Formula $X^{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $n\coloneqq\dim V$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout + +\end_inset + +Dados +\begin_inset Formula $f,g\in\text{End}_{K}V$ +\end_inset + +, las matrices asociadas a +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + son semejantes si y solo si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + tienen el mismo polinomio característico con factorización irreducible + +\begin_inset Formula $\varphi=p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{k}^{m_{k}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{rk}(p_{i}(f)^{s})=\text{rk}(p_{i}(g)^{s})$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +, si y sólo si tienen el mismo polinomio mínimo con factorización irreducible + +\begin_inset Formula $d=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{k}^{n_{k}}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{rk}(p_{i}(f)^{s})=\text{rk}(p_{i}(g)^{s})$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Que dos endomorfismos tengan el mismo polinomio característico y el mismo + polinomio mínimo no implica que sus matrices asociadas bajo alguna base + sean semejantes. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Formas canónicas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $F\in K[X]$ +\end_inset + + mónico de grado +\begin_inset Formula $n>0$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +matriz compañera +\series default + de +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula +\[ +C(F)\coloneqq\begin{pmatrix} & & & -F_{0}\\ +1 & & & -F_{1}\\ + & \ddots & & \vdots\\ + & & 1 & -F_{n-1} +\end{pmatrix}\in{\cal M}_{n}(K), +\] + +\end_inset + +y para +\begin_inset Formula $r>0$ +\end_inset + + escribimos +\begin_inset Formula +\[ +C_{r}(F)=\begin{pmatrix}\boxed{C(F)} & \boxed{U}\\ + & \ddots & \ddots\\ + & & \ddots & \boxed{U}\\ + & & & \boxed{C(F)} +\end{pmatrix}\in{\cal M}_{rn}(K), +\] + +\end_inset + +donde +\begin_inset Formula +\[ +U\coloneqq\begin{pmatrix} & & 1\\ +\\ +\\ +\end{pmatrix}\in{\cal M}_{n}(K). +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +El polinomio característico de un +\begin_inset Formula $C_{r}(F)$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $F^{r}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Primero vemos que el de +\begin_inset Formula $C(F)$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $n\coloneqq\text{gr}F=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $C(F)=(-F_{0})\in{\cal M}_{1}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\det(XI-C(F))=X+F_{0}=F$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $n>1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\det(XI-C(F)) & =\begin{vmatrix}X & & & F_{0}\\ +-1 & \ddots & & \vdots\\ + & \ddots & X & F_{n-2}\\ + & & -1 & X+F_{n-1} +\end{vmatrix}=\\ + & =X\begin{vmatrix}X & & & F_{1}\\ +-1 & \ddots & & \vdots\\ + & \ddots & X & F_{n-2}\\ + & & -1 & X+F_{n-1} +\end{vmatrix}+(-1)^{n+1}F_{0}\begin{vmatrix}-1 & X\\ + & \ddots & \ddots\\ + & & \ddots & X\\ + & & & -1 +\end{vmatrix}=\\ + & =X(F_{1}+XF_{2}+\dots+X^{n-2}F_{n-1}+X^{n-1}F_{n})+(-1)^{n+1}(-1)^{n-1}F_{0}=F, +\end{align*} + +\end_inset + +donde para el primer sumando hemos usado la hipótesis de inducción. + Para +\begin_inset Formula $C_{r}F$ +\end_inset + +, el caso +\begin_inset Formula $r=1$ +\end_inset + + está hecho, y para +\begin_inset Formula $r>1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\det(XI-C_{r}(F))=\begin{vmatrix}\boxed{C(F)} & \boxed{U}\\ + & \ddots & \ddots\\ + & & \ddots & \boxed{U}\\ + & & & \boxed{C(F)} +\end{vmatrix}=\det(C(F))\det(C_{r-1}(F))=FF^{r-1}=F^{r}. +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + + un divisor irreducible del polinomio característico de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{t}\}\subseteq\ker(p(f)^{h})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(\overline{v_{1}},\dots,\overline{v_{t}})$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $\frac{\ker(p(f)^{h})}{\ker(p(f)^{h-1})}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(p)}$ +\end_inset + +-espacio vectorial si y sólo si +\begin_inset Formula $\left(\overline{f^{i}(v_{j})}\right)_{0\leq i0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M\cong\frac{K[X]}{(F^{r})}$ +\end_inset + + si y sólo si existe +\begin_inset Formula $v\in V$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $(f^{s}(v))_{s=0}^{rn-1}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $v$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $F(f)^{r}(v)=0$ +\end_inset + +, si y sólo si existe una base +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)=C_{r}(F)$ +\end_inset + +, en cuyo caso el polinomio mínimo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + coincide con el polinomio característico de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y es +\begin_inset Formula $F^{r}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies3]$ +\end_inset + + Sea +\begin_inset Formula ${\cal \tilde{B}}_{j}\coloneqq(\overline{F^{j}},\overline{XF^{j}},\dots,\overline{X^{n-1}F^{j}})$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $j\in\{0,\dots,r-1\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\star$ +\end_inset + + +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + la concatenación de secuencias, +\begin_inset Formula $\tilde{{\cal B}}\coloneqq\tilde{{\cal B}}_{r-1}\star\dots\star\tilde{{\cal B}}_{1}\star\tilde{{\cal B}}_{0}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(F^{r})}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial. + Para verlo, como +\begin_inset Formula $|\tilde{{\cal B}}|=rn=\dim\frac{K[X]}{(F^{r})}$ +\end_inset + +, basta ver que +\begin_inset Formula $\tilde{{\cal B}}$ +\end_inset + + es linealmente independiente. + Si +\begin_inset Formula $r=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\tilde{{\cal B}}=(\overline{1},\overline{X},\dots,\overline{X}^{n-1})$ +\end_inset + + y el resultado es claro. + Si +\begin_inset Formula $r>1$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{r-1}\lambda_{ij}X^{i}F^{j}=0\in\frac{K[X]}{(F^{r})}$ +\end_inset + + para ciertos +\begin_inset Formula $\lambda_{ij}\in K$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\sum_{ij}\lambda_{ij}X^{i}F^{j}=F^{r}G\in K[X]$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $G\in K[X]$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $\sum_{ij}\lambda_{ij}X^{i}F^{j}=\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_{i0}X^{i}+F(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{r-1}\lambda_{ij}X^{i}F^{j})$ +\end_inset + +, luego debe ser +\begin_inset Formula $F\mid\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_{i0}X^{i}$ +\end_inset + + y, como +\begin_inset Formula $\text{gr}F=n$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_{i0}X^{i}=0$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula $\lambda_{i0}=0$ +\end_inset + +. + Pero entonces, dividiendo por +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{r-1}\lambda_{ij}X^{i}F^{j-1}=F^{r-1}G$ +\end_inset + + y por hipótesis de inducción todos los +\begin_inset Formula $\lambda_{ij}=0$ +\end_inset + +. + Sea +\begin_inset Formula $g:\frac{K[X]}{(F^{r})}\to\frac{K[X]}{(F^{r})}$ +\end_inset + + el endomorfismo +\begin_inset Formula $G\mapsto XG$ +\end_inset + +, queremos ver que +\begin_inset Formula $C\coloneqq M_{{\cal B}}(g)=C_{r}(F)$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $j\in\{0,\dots,r-1\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $g(\tilde{{\cal B}}_{j})=(\overline{XF^{j}},\overline{X^{2}F^{j}},\dots,\overline{X^{n}F^{j}})$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula +\[ +\overline{F^{j+1}}-\overline{X^{n}F^{j}}=\overline{(F-X^{n})F^{j}}=\left(\sum_{i=0}^{n-1}F_{i}\overline{X^{i}}\right)\overline{F^{j}}=\sum_{i=0}^{n-1}F_{i}\overline{X^{i}F^{j}} +\] + +\end_inset + +y por tanto +\begin_inset Formula +\[ +\overline{X^{n}F^{j}}=\overline{F^{j+1}}-\sum_{i=0}^{n-1}F_{i}\overline{X^{i}F^{j}}. +\] + +\end_inset + +Entonces, para +\begin_inset Formula $j=r-1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\overline{F^{r+1}}=0$ +\end_inset + + y las primeras +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + columnas de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + solo tienen entradas no nulas en las primeras +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + filas y estas entradas son +\begin_inset Formula +\[ +\begin{pmatrix} & & & -F_{0}\\ +1 & & & -F_{1}\\ + & \ddots & & \vdots\\ + & & 1 & -F_{n-1} +\end{pmatrix}=C(F), +\] + +\end_inset + +mientras que para +\begin_inset Formula $j0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $\lambda\in K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $C(X-\lambda)=(\lambda)\in{\cal M}_{1}(K)$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $r>0$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +bloque de Jordan +\series default + de tamaño +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + asociado al valor propio +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $J_{r}(\lambda)\coloneqq C_{r}(X-\lambda)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de Jordan: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si el polinomio característico de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + se descompone completamente en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +, existe una base +\begin_inset Formula ${\cal B}$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula +\[ +M_{{\cal B}}(f)=\begin{pmatrix}\boxed{J_{h_{1}}(\lambda_{1})}\\ + & \ddots\\ + & & \boxed{J_{h_{t}}(\lambda_{t})} +\end{pmatrix} +\] + +\end_inset + +para ciertos +\begin_inset Formula $h_{i}>0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lambda_{i}\in K$ +\end_inset + +, siendo esta matriz unívocamente determinada por +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + salvo reordenación de bloques y formada por +\begin_inset Formula $\text{rk}((f-\lambda1_{V})^{h-1})+\text{rk}((f-\lambda1_{V})^{h+1})-2\text{rk}((f-\lambda1_{V})^{h})$ +\end_inset + + bloques +\begin_inset Formula $J_{h}(\lambda)$ +\end_inset + + para cada valor propio +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Por el teorema de clasificación de endomorfismos usando que los irreducibles + del polinomio característico son los +\begin_inset Formula $X-\lambda$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + valor propio de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y que el grado de estos es 1. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{n}(K)$ +\end_inset + + es una matriz cuadrada cuyo polinomio característico se descompone completament +e en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + es semejante a una matriz como la del apartado anterior, única salvo reordenaci +ón de bloques y formada por +\begin_inset Formula $\text{rk}((C-\lambda I)^{h-1})+\text{rk}((C-\lambda I)^{h+1})-2\text{rk}((C-\lambda I)^{h})$ +\end_inset + + bloques +\begin_inset Formula $J_{h}(\lambda)$ +\end_inset + + para cada valor propio +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\varphi$ +\end_inset + + el polinomio característico de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + un divisor mónico irreducible de grado +\begin_inset Formula $d$ +\end_inset + + y multiplicidad 1: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M(p)=\ker(p(f))\cong\frac{K[X]}{(p)}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Claramente +\begin_inset Formula $\ker(p(f))\subseteq M(p)$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $x\in M(p)$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $s>0$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p^{s}x=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\in\ker(p(f)^{s})$ +\end_inset + +, pero como la multiplicidad de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\varphi$ +\end_inset + + es 1, +\begin_inset Formula $\ker(p(f))=\ker(p(f)^{s})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Para todo +\begin_inset Formula $v\in M(p)\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq\{f^{s}(v)\}_{s\in\mathbb{N}_{d}}$ +\end_inset + + es una base de +\begin_inset Formula $\ker(p(f))$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f|_{M(p)}:M(p)\to M(p))=C_{1}(p)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\phi_{0}:\frac{K[X]}{(p)}\to M(p)$ +\end_inset + + un isomorfismo, +\begin_inset Formula $\overline{q}\coloneqq(\phi_{0})^{-1}(v)\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\pi:\frac{K[X]}{(p)}\twoheadrightarrow\frac{K[X]}{(p)}$ +\end_inset + + el epimorfismo +\begin_inset Formula $\pi(\overline{F})\coloneqq\overline{qF}$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $\gcd\{p,q\}=1$ +\end_inset + +, existe una identidad de Bézout +\begin_inset Formula $1=pR+qS$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $\overline{1}=\overline{qS}\in\text{Im}\pi$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + es un isomorfismo. + Por tanto +\begin_inset Formula $\phi\coloneqq\phi_{0}\circ\pi L\frac{K[X]}{(p)}\to M(p)$ +\end_inset + + es un isomorfismo con +\begin_inset Formula $\phi(\overline{1})=v$ +\end_inset + + y, como +\begin_inset Formula $(X^{s})_{s\in\mathbb{N}_{d}}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(p)}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial, +\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq(f^{s}(v))_{s\in\mathbb{N}_{d}}$ +\end_inset + + es base de +\begin_inset Formula $M(p)$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-espacio vectorial. + Ahora bien, si +\begin_inset Formula $b_{i}\coloneqq f^{i}(v)$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $i\in\{0,\dots,d-2\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(b_{i})=f(f^{i}(v))=f^{i+1}(v)=b_{i+1}$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $d-1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +f(b_{d-1})=f^{d}(v)=\phi(X^{d})=\phi(X^{d}-p)=\phi\left(-\sum_{i=0}^{d-1}p_{i}X^{i}\right)=\sum_{i=0}^{d-1}-p_{i}b_{i}, +\] + +\end_inset + +lo que nos da +\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)=C(p)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Análogamente, si +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{n}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + + es un irreducible con multiplicidad 1 en el polinomio característico de + +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + +, la forma canónica de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + tiene exactamente un bloque de la forma +\begin_inset Formula $C_{h}(p)$ +\end_inset + + que es precisamente +\begin_inset Formula $C(p)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + es un +\series bold +valor propio simple +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + o de +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{n}(K)$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $X-\lambda$ +\end_inset + + es divisor de su polinomio característico con multiplicidad 1, en cuyo + caso: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M(X-\lambda)=\ker((X-\lambda)(f))=\{v\in V\mid f(v)=\lambda v\}\cong\frac{K[X]}{(X-\lambda)}$ +\end_inset + + es el subespacio propio de +\begin_inset Formula $V$ +\end_inset + + asociado al valor propio +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para todo +\begin_inset Formula $v\in M(X-\lambda)\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M(X-\lambda)=(v)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f|_{(v)}$ +\end_inset + + es el producto por +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La forma canónica de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + tiene un único bloque de la forma +\begin_inset Formula $J_{h}(\lambda)$ +\end_inset + +, que es +\begin_inset Formula $J(\lambda)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Anillos de polinomios y matrices +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $B\in\text{GL}_{s}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula +\[ +C\coloneqq\begin{pmatrix} & \boxed{B} & \boxed{I_{s}}\\ + & & \ddots & \ddots\\ + & & & \ddots & \boxed{I_{s}}\\ + & & & & \boxed{B}\\ +\\ +\end{pmatrix}\in{\cal M}_{rs}(K), +\] + +\end_inset + +para +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,r-1\}$ +\end_inset + +, viendo +\begin_inset Formula $C^{k}$ +\end_inset + + por bloques como elemento de +\begin_inset Formula ${\cal M}_{r}({\cal M}_{s}(K))$ +\end_inset + +, su +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +-ésima diagonal por encima de la principal está formada por copias de +\begin_inset Formula $B^{k}$ +\end_inset + + y las de debajo de dicha diagonal son nulas, y +\begin_inset Formula $C^{r}=0\neq C^{r-1}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + +\begin_inset Formula $\phi:{\cal M}_{rs}(K)\to{\cal M}_{r}({\cal M}_{s}(K))$ +\end_inset + + que agrupa las matrices en bloques es un isomorfismo de anillos, pues clarament +e conserva la suma y la identidad y, para el producto, haciendo los índices + de matrices empezar por 0 por simplicidad, +\begin_inset Foot +status open + +\begin_layout Plain Layout +Como debería ser siempre. +\end_layout + +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $A,B\in{\cal M}_{rs}(K)$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $i,j\in\{0,\dots,r-1\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $k,l\in\{1,\dots,s\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +(\phi(A)\phi(B))_{ijkl} & =\left(\sum_{p\in\mathbb{N}_{r}}\phi(A)_{ir}\phi(B)_{rj}\right)_{kl}=\sum_{p\in\mathbb{N}_{r}}\left(\phi(A)_{ip}\phi(B)_{pj}\right)_{kl}=\\ + & =\sum_{p\in\mathbb{N}_{r}}\sum_{q\in\mathbb{N}_{s}}\phi(A)_{ipkq}\phi(B)_{pjql}=\sum_{p\in\mathbb{N}_{r}}\sum_{q\in\mathbb{N}_{s}}A_{is+k,ps+q}B_{ps+q,js+l}=\\ + & =\sum_{z\in\mathbb{N}_{rs}}A_{is+k,z}B_{z,js+l}=(AB)_{is+k,js+l}=\phi(AB)_{ijkl}. +\end{align*} + +\end_inset + +Entonces, si +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{r}({\cal M}_{s}(K))$ +\end_inset + +, queremos ver que cada +\begin_inset Formula $(C^{k})_{ij}=\binom{k}{2k+i-j}B^{2k+i-j}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $(C^{k})_{i,i+k}=\binom{k}{k}B^{k}=B^{k}$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $jk$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\binom{k}{2k+i-j}=0$ +\end_inset + +. + Por inducción, para +\begin_inset Formula $k=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $C_{i,i+1}=B=\binom{1}{1}B^{1}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $C_{i,i+2}=I_{s}=\binom{1}{0}B^{0}$ +\end_inset + + y el resto de entradas son nulas, y para +\begin_inset Formula $k>1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +(C^{k})_{ij} & =\sum_{l=1}^{r}(C^{k-1})_{il}C_{lj}=\sum_{l=1}^{r}\binom{k-1}{2k-2+i-l}\binom{1}{2+l-j}B^{2k-2+i-l+2-j+l}=\\ + & =\sum_{l}\binom{k-1}{(1-k-i)+l}\binom{1}{(2-j)+l}B^{2k+i-j}=\binom{k}{2k+i-j}B^{2k+i-j}, +\end{align*} + +\end_inset + +donde en la última igualdad hemos usado que +\begin_inset Formula $\sum_{k}\binom{r}{m+k}\binom{s}{n+k}=\binom{r+s}{r-m+n}$ +\end_inset + + y en la penúltima hemos usado que +\begin_inset Formula $(k-1)-(2k-2+i-l)=1-k-i+l$ +\end_inset + + y que podemos expandir el rango del sumatorio ya que, si el producto de + los dos coeficientes no se anula, entonces +\begin_inset Formula $2+l-j\in\{0,1\}\implies l\leq j-11$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{n}(K)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $P\in\text{GL}_{n}(K)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $C'\coloneqq PCP^{-1}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $F\in K[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F(C')=PF(C)P^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(PCP^{-1})^{k}=PC^{k}P^{-1}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $F(PCP^{-1})=\sum_{k}F_{k}PC^{k}P^{-1}\overset{F_{k}\in K}{=}P(\sum_{k}F_{k}C^{k})P^{-1}=PF(C)P^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $C'$ +\end_inset + + tienen el mismo polinomio mínimo. + +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Por lo anterior, usando que el polinomio mínimo de una matriz +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + es el menor +\begin_inset Formula $d_{t}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $d_{t}(C)=0$ +\end_inset + + y que +\begin_inset Formula $F(C')=PF(C)P^{-1}=0\iff F(C)=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Formas canónicas reales +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $(a,b)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r>0$ +\end_inset + +, llamamos +\begin_inset Formula +\begin{align*} +J(a,b) & \coloneqq\begin{pmatrix}a & -b\\ +b & a +\end{pmatrix}, +\end{align*} + +\end_inset + +con polinomio característico irreducible +\begin_inset Formula $p\coloneqq(X-a)^{2}+b^{2}$ +\end_inset + +, pues +\begin_inset Formula $p=X^{2}-2aX+a^{2}+b^{2}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(-2a)^{2}-4(a^{2}+b^{2})=-b^{2}<0$ +\end_inset + +. + Entonces, para +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +bloque de Jordan real +\series default + de tamaño +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + asociado a +\begin_inset Formula $(a,b)$ +\end_inset + + o a +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula +\[ +J_{r}(a,b)\coloneqq\begin{pmatrix}\boxed{J(a,b)} & \boxed{I_{2}}\\ + & \ddots & \ddots\\ + & & \ddots & \boxed{I_{2}}\\ + & & & \boxed{J(a,b)} +\end{pmatrix}\in{\cal M}_{2r}(\mathbb{R}). +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Toda +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ +\end_inset + + es semejante a una matriz de la forma +\begin_inset Formula +\[ +\begin{pmatrix}\boxed{J_{r_{1}}(a_{1},b_{1})}\\ + & \ddots\\ + & & \boxed{J_{r_{t}}(a_{t},b_{t})}\\ + & & & \boxed{J_{h_{1}}(\lambda_{1})}\\ + & & & & \ddots\\ + & & & & & \boxed{J_{h_{s}}(\lambda_{s})} +\end{pmatrix}, +\] + +\end_inset + +única salvo reordenación de bloques, formada por +\begin_inset Formula +\[ +\text{rk}((C-\lambda I)^{h-1})+\text{rk}((C-\lambda I)^{h+1})-2\text{rk}((C-\lambda I)^{h}) +\] + +\end_inset + +bloques +\begin_inset Formula $J_{h}(\lambda)$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\lambda$ +\end_inset + + valor propio real de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula +\[ +\frac{1}{2}(\text{rk}(p(C)^{r-1})+\text{rk}(p(C)^{r+1})-2\text{rk}(p(C)^{r}) +\] + +\end_inset + +bloques +\begin_inset Formula $J_{r}(a,b)$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p=(X-a)^{2}+b^{2}$ +\end_inset + + divisor irreducible cuadrático del polinomio característico de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Por el teorema de clasificación de matrices cuadradas y el hecho de que + todos los irreducibles en +\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$ +\end_inset + + son de grado 1 o 2, solo hay que ver que +\begin_inset Formula $J_{r}(a,b)$ +\end_inset + + es semejante a +\begin_inset Formula $C_{r}(p)$ +\end_inset + +, ambas con polinomio característico +\begin_inset Formula $p^{r}$ +\end_inset + +. + Pero si +\begin_inset Formula $J\coloneqq J_{r}(a,b)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(J-aI)=J_{r}(0,b)$ +\end_inset + + y, viendo +\begin_inset Formula $J_{r}(0,b)\in{\cal M}_{r}({\cal M}_{2}(K))$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +J_{r}(0,b)_{ij}=\begin{cases} +J(0,b), & j=i;\\ +I_{2}, & j=i+1;\\ +0, & \text{en otro caso}, +\end{cases} +\] + +\end_inset + +y como además +\begin_inset Formula $J(0,b)^{2}=-b^{2}I_{2}\in\text{GL}_{2}(\mathbb{R})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +(J_{r}(0,b)^{2})_{ij}=\begin{cases} +J(0,b)^{2}=-b^{2}I_{2}, & j=i;\\ +2J(0,b), & j=i+1;\\ +I_{2}, & j=i+2;\\ +0, & \text{en otro caso}, +\end{cases} +\] + +\end_inset + +con lo que +\begin_inset Formula $p(J)=(J-aI)^{2}+b^{2}$ +\end_inset + + tiene la forma de la matriz del resultado anterior y +\begin_inset Formula $p(J)^{r}=0\neq p(J)^{r-1}$ +\end_inset + +. + Entonces el +\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$ +\end_inset + +-módulo +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + asociado a +\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{2r},v\mapsto Jv)$ +\end_inset + + tiene un sumando directo isomorfo a +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{R}[X]}{(p^{r})}$ +\end_inset + +, y como +\begin_inset Formula $\dim_{\mathbb{R}}\frac{\mathbb{R}[X]}{(p^{r})}=2h=\dim_{\mathbb{R}}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M\cong\frac{\mathbb{R}[X]}{(p^{r})}$ +\end_inset + +. + Pero por el teorema de clasificación de endomorfismos, +\begin_inset Formula $v\mapsto Jv$ +\end_inset + + se expresa como +\begin_inset Formula $C_{r}(p)$ +\end_inset + + en alguna base de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2r}$ +\end_inset + + y por tanto en alguna de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Series de Taylor pero en álgebra y son un porro +\begin_inset Foot +status open + +\begin_layout Plain Layout +En realidad el porro es todo lo de antes. +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\lambda\in K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $r,k\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $J\coloneqq J_{r}(\lambda)$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $k1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $((J-\lambda I_{r})^{k})_{ij}=\sum_{l=1}^{r}\delta_{i-l,k-1}\delta_{l-j,1}=\delta_{i-j,k}$ +\end_inset + +, pues lo de dentro del sumatorio vale 1 si y sólo si +\begin_inset Formula $i-l=k-1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $l-j=1$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $l=j+1$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i=j+k$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $j+k\leq r$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $l\leq r$ +\end_inset + + está dentro de rango y hay exactamente un sumando en que se da esto, y + si +\begin_inset Formula $j+k>r$ +\end_inset + +, esto no se da en ningún sumando pero tampoco se da +\begin_inset Formula $i-j=k$ +\end_inset + + porque entonces sería +\begin_inset Formula $i>r$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\end_inset + + igual a +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $D\subseteq\mathbb{K}$ +\end_inset + + abierto, +\begin_inset Formula $\psi:D\to\mathbb{K}$ +\end_inset + + infinitamente derivable, +\begin_inset Formula $\lambda\in D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $J\coloneqq J_{r}(\lambda)$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +valor +\series default + o +\series bold +evaluación +\series default + de +\begin_inset Formula $\psi$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\psi(J)$ +\end_inset + +, que es un polinomio en +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + +. + En efecto, +\begin_inset Formula $\psi$ +\end_inset + + tiene una serie de Taylor +\begin_inset Formula $\psi(x)=\sum_{n\geq0}\frac{\psi^{(n)}(\lambda)}{n!}(x-\lambda)^{n}$ +\end_inset + + y entonces +\begin_inset Formula $\psi(J)=\sum_{n\geq0}\frac{\psi^{(n)}(\lambda)}{n!}(J-\lambda I)^{n}$ +\end_inset + +, pero para +\begin_inset Formula $n\geq r$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $(J-\lambda I)^{n}=0$ +\end_inset + +, por lo que queda una suma finita que es un polinomio en +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + +. + Además: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,r-1\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +(J^{k})_{ij}=\binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i}, +\] + +\end_inset + +tomando el criterio +\begin_inset Formula $0\cdot\infty=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $k=1$ +\end_inset + + es claro, pues para +\begin_inset Formula $j=i$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $J_{ij}=\lambda=\binom{1}{0}\lambda^{1}$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $j=i+1$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $J_{ij}=1=\binom{1}{1}\lambda^{0}$ +\end_inset + + y en otro caso la fórmula da 0, usando el criterio si fuese necesario. + Para +\begin_inset Formula $k>1$ +\end_inset + +, por inducción, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +(J^{k})_{ij} & =\sum_{l=1}^{r}(J^{k-1})_{il}J_{lj}=\sum_{l=1}^{r}\binom{k-1}{l-i}\binom{1}{j-l}\lambda^{(k-1-l+i)+(1-j+l)}=\\ + & =\sum_{l}\binom{k-1}{l-i}\binom{1}{(j-i)-(l-i)}\lambda^{k+i-j}=\binom{k}{j-i}\lambda^{k+i-j}, +\end{align*} + +\end_inset + +donde justificamos expandir el rango del sumatorio viendo que, si +\begin_inset Formula $0\leq l-i\leq k-1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $0\leq j-l\leq1$ +\end_inset + +, entonces por lo primero +\begin_inset Formula $i\leq l$ +\end_inset + + y por lo segundo +\begin_inset Formula $l\leq j$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $l\in\{1,\dots,r\}$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula +\[ +(\psi(J))_{ij}=\begin{cases} +\frac{\psi^{(j-i)}(\lambda)}{(j-i)!}, & j\geq i;\\ +0, & \text{en otro caso}. +\end{cases} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\psi(J)=\sum_{n\geq0}\frac{\psi^{(n)}(\lambda)}{n!}(J-\lambda I)^{n}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula +\[ +(\psi(J))_{ij}=\sum_{n\geq0}\frac{\psi^{(n)}(\lambda)}{n!}\delta_{j-i,n}=\begin{cases} +\frac{\psi^{(n)}(\lambda)}{n!}, & n\coloneqq j-i\geq0;\\ +0, & \text{en otro caso}. +\end{cases} +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P\in\text{GL}_{n}(\mathbb{K})$ +\end_inset + + son tales que +\begin_inset Formula $P^{-1}CP\eqqcolon\text{diag}(J_{1},\dots,J_{t})$ +\end_inset + + con los +\begin_inset Formula $J_{i}$ +\end_inset + + bloques de Jordan, +\begin_inset Formula $D\subseteq\mathbb{K}$ +\end_inset + + es un abierto que contiene a todos los valores propios de +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\psi:D\to\mathbb{K}$ +\end_inset + + es infinitamente derivable, llamamos +\series bold +valor +\series default + o +\series bold +evaluación +\series default + de +\begin_inset Formula $\psi$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\psi(C)\coloneqq P(\psi(J_{1})\oplus\dots\oplus\psi(J_{t}))P^{-1}$ +\end_inset + +, que no depende de la +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + elegida. +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/ac/na.lyx b/ac/na.lyx new file mode 100644 index 0000000..1f36678 --- /dev/null +++ b/ac/na.lyx @@ -0,0 +1,1250 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\begin_preamble +\input{../defs} +\end_preamble +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package 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bold +orden +\series default + de [un grupo] +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + al cardinal del conjunto. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un anillo, +\begin_inset Formula $(A,+)$ +\end_inset + + es su +\series bold +grupo aditivo +\series default +, que es abeliano, y +\begin_inset Formula $(A^{*},\cdot)$ +\end_inset + + es su +\series bold +grupo de unidades +\series default +, que es abeliano cuando el anillo es conmutativo. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +orden +\series default + de +\begin_inset Formula $a\in G$ +\end_inset + + al orden de +\begin_inset Formula $\langle a\rangle$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|a|\coloneqq|\langle a\rangle|$ +\end_inset + +, y escribimos +\begin_inset Formula $\langle a\rangle_{n}$ +\end_inset + + para referirnos a +\begin_inset Formula $\langle a\rangle$ +\end_inset + + indicando que tiene orden +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. + El orden de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + divide al de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}\to G$ +\end_inset + + el homomorfismo dado por +\begin_inset Formula $f(n)\coloneqq a^{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\ker f=n\mathbb{Z}$ +\end_inset + + para algún +\begin_inset Formula $n\geq0$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $n=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es inyectivo y +\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},+)\cong\langle a\rangle$ +\end_inset + +, y en otro caso +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}\cong\langle a\rangle$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $n=|a|$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a^{n}=1\iff|a|\mid n$ +\end_inset + +. + De aquí, +\begin_inset Formula $a^{k}=a^{l}\iff k\equiv l\bmod n$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $|a|$ +\end_inset + + es el menor entero positivo con +\begin_inset Formula $a^{n}=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + tiene orden finito y +\begin_inset Formula $n>0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +|a^{n}|=\frac{|a|}{\text{mcd}\{|a|,n\}}. +\] + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $G=\langle a\rangle$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + tiene orden infinito, +\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z},+)\cong C_{\infty}$ +\end_inset + + y los subgrupos de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + son los +\begin_inset Formula $\langle a^{n}\rangle$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $|G|=n$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $G\cong(\mathbb{Z}_{n},+)\cong C_{n}$ +\end_inset + + y los subgrupos de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + son exactamente uno de orden +\begin_inset Formula $d$ +\end_inset + + por cada +\begin_inset Formula $d\mid n$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\langle a^{n/d}\rangle_{d}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todos los subgrupos y grupos cociente de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + son cíclicos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, si +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + es primo, todos los grupos de orden +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + son isomorfos a +\begin_inset Formula $(\mathbb{Z}_{p},+)$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $G=\langle g_{1},\dots,g_{n}\rangle$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N\unlhd G$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $G/N=\langle g_{1}N,\dots,g_{n}N\rangle$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema chino de los restos para grupos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + son subgrupos cíclicos de órdenes respectivos +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $G\times H$ +\end_inset + + es cíclico si y sólo si +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + son coprimos. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $g,h\in G$ +\end_inset + + tienen órdenes respectivos +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + coprimos y +\begin_inset Formula $gh=hg$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $\langle g,h\rangle$ +\end_inset + + es cíclico de orden +\begin_inset Formula $nm$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un grupo +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in G$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +conjugado +\series default + de +\begin_inset Formula $g\in G$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $g^{a}\coloneqq a^{-1}ga$ +\end_inset + +, y conjugado de +\begin_inset Formula $X\subseteq G$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $X^{a}\coloneqq\{x^{a}\}_{x\in X}$ +\end_inset + +. + Dos elementos +\begin_inset Formula $x,y\in G$ +\end_inset + + o conjuntos +\begin_inset Formula $x,y\subseteq G$ +\end_inset + + son +\series bold +conjugados +\series default + en +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + si existe +\begin_inset Formula $a\in G$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x^{a}=y$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $a\in G$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +automorfismo interno +\series default + definido por +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + al automorfismo +\begin_inset Formula $\iota_{a}:G\to G$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\iota_{a}(x)\coloneqq x^{a}$ +\end_inset + +. + Su inverso es +\begin_inset Formula $\iota_{a^{-1}}$ +\end_inset + +. + El conjugado por +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + de un subgrupo de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + es otro subgrupo de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + del mismo orden. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\forall g,a,b\in G,g^{ab}=(g^{a})^{b}$ +\end_inset + +, y [...] la relación de ser conjugados es de equivalencia. + Las clases de equivalencia se llaman +\series bold +clases de conjugación +\series default + de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +, y llamamos +\begin_inset Formula $a^{G}\coloneqq[a]=\{a^{g}\}_{g\in G}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + un conjunto. + Una +\series bold +acción por la izquierda +\series default + de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es una función +\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\forall x\in X,(\forall g,h\in G,(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\land1\cdot x=x)$ +\end_inset + +, y una +\series bold +acción por la derecha +\series default + de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es una función +\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\forall x\in X,(\forall g,h\in G,x\cdot(gh)=(x\cdot g)\cdot h\land x\cdot1=x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ +\end_inset + + es una acción por la izquierda de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\in X$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +órbita +\series default + de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $G\cdot x\coloneqq\{g\cdot x\}_{g\in G}$ +\end_inset + + y +\series bold +estabilizador +\series default + de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $\cdot:X\times G\to X$ +\end_inset + + es una acción por la derecha de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\in X$ +\end_inset + +, llamamos órbita de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $x\cdot G\coloneqq\{x\cdot g\}_{g\in G}$ +\end_inset + + y estabilizador de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\coloneqq\{g\in G\mid x\cdot g=x\}$ +\end_inset + +. + Las órbitas forman una partición de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Llamamos +\series bold +acción por traslación a la izquierda +\series default + a la acción por la izquierda de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $G/H$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $g\cdot xH=gxH$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $G\cdot xH=G/H$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula +\[ +\text{Estab}_{G}(xH)=[...]=H^{x^{-1}}. +\] + +\end_inset + +Análogamente llamamos +\series bold +acción por traslación a la derecha +\series default + a la acción por la derecha de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $H\backslash G$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $Hx\cdot g=Hxg$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Cuando +\begin_inset Formula $H=1$ +\end_inset + +, la acción de traslación es de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +, con +\begin_inset Formula $G\cdot x=G$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +La +\series bold +acción por conjugación +\series default + de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + es la acción por la derecha +\begin_inset Formula $x\cdot g\coloneqq x^{g}$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $x\cdot G=x^{G}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)=C_{G}(x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es el conjunto de subgrupos de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +, la +\series bold +acción por conjugación de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en sus subgrupos +\series default + es la acción por la derecha de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $H\cdot g=H^{g}$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un conjunto, +\begin_inset Formula $\cdot:S_{n}\times X^{n}\to X^{n}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\sigma\cdot(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})$ +\end_inset + + es una acción por la izquierda. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $\cdot:G\times X\to X$ +\end_inset + + una acción por la izquierda, +\begin_inset Formula $H\leq G$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $Y\subseteq X$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $\forall h\in H,y\in Y,h\cdot y\in Y$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\cdot|_{H\times Y}$ +\end_inset + + es una acción por la izquierda de +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + un grupo actuando sobre un conjunto +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x\in X$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g\in G$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x)\leq G$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $[G:\text{Estab}_{G}(x)]=|G\cdot x|$ +\end_inset + +. + En particular, si +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + es finito, +\begin_inset Formula $|G\cdot x|\mid|G|$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si la acción es por la izquierda, +\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(g\cdot x)=\text{Estab}_{G}(x)^{g^{-1}}$ +\end_inset + +, y si es por la derecha, +\begin_inset Formula $\text{Estab}_{G}(x\cdot g)=\text{Estab}_{G}(x)^{g}$ +\end_inset + +. + En particular, si +\begin_inset Formula $x,g\in G$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $H\leq G$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $C_{G}(x^{g})=C_{G}(x)^{g}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N_{G}(H^{g})=N_{G}(H)^{g}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset + + es un conjunto irredundante de representantes de las órbitas, +\begin_inset Formula $|X|=\sum_{r\in R}|G\cdot r|=\sum_{r\in R}[G:\text{Estab}_{G}(r)]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, si +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + es un grupo y +\begin_inset Formula $a\in G$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $|a^{G}|=[G:C_{G}(a)]$ +\end_inset + +, y en particular +\begin_inset Formula $a^{G}$ +\end_inset + + es unipuntual si y sólo si +\begin_inset Formula $a\in Z(G)$ +\end_inset + +. + +\series bold +Ecuación de clases: +\series default + Si +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + es finito y +\begin_inset Formula $X\subseteq G$ +\end_inset + + contiene exactamente un elemento de cada clase de conjugación con al menos + dos elementos, entonces +\begin_inset Formula $|G|=|Z(G)|+\sum_{x\in X}[G:C_{G}(x)]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un número primo +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, un +\series bold + +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-grupo +\series default + es un grupo en que todo elemento tiene orden potencia de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, y un grupo finito es un +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-grupo si y sólo si su orden es potencia de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de Cauchy: +\series default + Si +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + es un grupo finito con orden múltiplo de un primo +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + tiene un elemento de orden +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un grupo finito +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + y un número primo +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $H\leq G$ +\end_inset + + es un +\series bold + +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-subgrupo de Sylow +\series default + de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + si es un +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-grupo y +\begin_inset Formula $[G:H]$ +\end_inset + + es coprimo con +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, si y sólo si es un +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-grupo y +\begin_inset Formula $|H|$ +\end_inset + + es la mayor potencia de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + que divide a +\begin_inset Formula $|G|$ +\end_inset + +. + Llamamos +\begin_inset Formula $s_{p}(G)$ +\end_inset + + al número de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-subgrupos de Sylow de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teoremas de Sylow: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + un número primo y +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + un grupo finito de orden +\begin_inset Formula $n\coloneqq p^{k}m$ +\end_inset + + para ciertos +\begin_inset Formula $k,m\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $p\nmid m$ +\end_inset + +. + Entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + tiene al menos un +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-subgrupo de Sylow, que tendrá orden +\begin_inset Formula $p^{k}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-subgrupo de Sylow de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-subgrupo de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $g\in G$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $Q\subseteq P^{g}$ +\end_inset + +. + En particular, todos los +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +-subgrupos de Sylow de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + + son conjugados en +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $s_{p}(G)\mid m$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s_{p}(G)\equiv1\bmod p$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/ac/nb.lyx b/ac/nb.lyx new file mode 100644 index 0000000..0db7de6 --- /dev/null +++ b/ac/nb.lyx @@ -0,0 +1,2735 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\begin_preamble +\input{../defs} +\end_preamble +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package 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+ +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $D\neq0$ +\end_inset + + un dominio y +\begin_inset Formula $X\coloneqq D\times(D\setminus\{0\})$ +\end_inset + +, definimos la relación binaria +\begin_inset Formula +\[ +(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}. +\] + +\end_inset + + Esta relación es de equivalencia. + Llamamos +\begin_inset Formula $a/s\coloneqq\frac{a}{s}\coloneqq[(a,s)]\in Q(D)\coloneqq X/\sim$ +\end_inset + +, y las operaciones +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}}, +\end{align*} + +\end_inset + +están bien definidas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $a,b\in D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{0}{1}\iff a=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{1}{1}\iff a=s$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{at}{st}=\frac{a}{s}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{b}{s}\iff a=b$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}+\frac{b}{s}=\frac{a+b}{s}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] +\begin_inset Formula $(Q(D),+,\cdot)$ +\end_inset + + es un cuerpo llamado +\series bold +cuerpo de fracciones +\series default + o +\series bold +de cocientes +\series default + de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + cuyo cero es +\begin_inset Formula $\frac{0}{1}$ +\end_inset + + y cuyo uno es +\begin_inset Formula $\frac{1}{1}$ +\end_inset + + . +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + es el cuerpo de fracciones de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + +. + [...] +\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ +\end_inset + + es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + como un subdominio de +\begin_inset Formula $Q(D)$ +\end_inset + + identificando a cada +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a/1\in Q(D)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Propiedad universal del cuerpo de fracciones: +\series default + Dados un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo y +\begin_inset Formula $f:D\to K$ +\end_inset + + un homomorfismo inyectivo, el único homomorfismo de cuerpos +\begin_inset Formula $\tilde{f}:Q(D)\to K$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ +\end_inset + + viene dado por +\begin_inset Formula $\tilde{f}(\frac{a}{s})=f(a)f(s)^{-1}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo no trivial y +\begin_inset Formula $g,h:Q(D)\to K$ +\end_inset + + homomorfismos que coinciden en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $g=h$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + un cuerpo no trivial y +\begin_inset Formula $v:D\to F$ +\end_inset + + un homomorfismo inyectivo tal que para todo cuerpo +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + y homomorfismo inyectivo +\begin_inset Formula $f:D\to K$ +\end_inset + + existe un único homomorfismo +\begin_inset Formula $\tilde{f}:F\to K$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ +\end_inset + +, entonces existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:F\to Q(D)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\phi\circ v=u$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un dominio, +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo no trivial y +\begin_inset Formula $f:D\to K$ +\end_inset + + un homomorfismo inyectivo, +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + contiene un subcuerpo isomorfo a +\begin_inset Formula $Q(D)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí, para +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])\cong\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ +\end_inset + +, lo que nos permite identificar los elementos de +\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])$ +\end_inset + + con los de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo no trivial, existe un subcuerpo +\begin_inset Formula $K'$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + llamado +\series bold +subcuerpo primo +\series default + de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + contenido en cualquier subcuerpo de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, y este es isomorfo a +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ +\end_inset + + si la característica de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es un entero primo +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + o a +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + en caso contrario. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Polinomios +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + identificando los elementos de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + con los +\series bold +polinomios constantes +\series default +, de la forma +\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$ +\end_inset + +. + Dado un ideal +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0}\in I\}$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $I[X]\coloneqq\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ +\end_inset + + son ideales de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $p\coloneqq\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +grado +\series default + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)\coloneqq\max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$ +\end_inset + +, +\series bold +coeficiente +\series default + de +\series bold +grado +\series default + +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $p_{k}$ +\end_inset + +, +\series bold +coeficiente independiente +\series default + al de grado 0 y +\series bold +coeficiente principal +\series default + al de grado +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ +\end_inset + +. + Un polinomio es +\series bold +mónico +\series default + si su coeficiente principal es 1. + El polinomio 0 tiene grado +\begin_inset Formula $-\infty$ +\end_inset + + por convención. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +monomio +\series default + es un polinomio de la forma +\begin_inset Formula $aX^{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. + Todo polinomio en +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + se escribe como suma finita de monomios de distinto grado de forma única + salvo orden. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + + tienen coeficientes principales respectivos +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$ +\end_inset + +, con desigualdad estricta si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p+q=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)\leq\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$ +\end_inset + +, con igualdad si y sólo si +\begin_inset Formula $pq\neq0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + no es un cuerpo. + Es un dominio si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, en cuyo caso llamamos +\series bold +cuerpo de las funciones racionales +\series default + sobre +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + al cuerpo de fracciones de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] +\series bold +Propiedad universal del anillo de polinomios +\series default + ( +\series bold +PUAP +\series default +) +\series bold +: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo y +\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$ +\end_inset + + el homomorfismo inclusión: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para cada homomorfismo de anillos conmutativos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in B$ +\end_inset + +, el único homomorfismo +\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X]\to B$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}(X)=b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula +\[ +\tilde{f}\left(\sum_{n}p_{n}X^{n}\right):=\sum_{n}f(p_{n})b^{n}. +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + están determinados salvo isomorfismos por la propiedad universal: dados + un homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $v:A\to P$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $t\in P$ +\end_inset + + tales que, para cada homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in B$ +\end_inset + +, existe un único +\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}(t)=b$ +\end_inset + +, existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A[X]\to P$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\phi(X)=t$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in B$ +\end_inset + +, el +\series bold +homomorfismo de sustitución +\series default + o +\series bold +de evaluación +\series default + en +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to B$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula +\[ +S_{b}(p):=p(b):=\sum_{n}p_{n}b^{n}, +\] + +\end_inset + +y su imagen es el subanillo generado por +\begin_inset Formula $A\cup\{b\}$ +\end_inset + +, llamado +\begin_inset Formula $A[b]$ +\end_inset + +. + Todo +\begin_inset Formula $p\in A[X]$ +\end_inset + + induce una +\series bold +función polinómica +\series default + +\begin_inset Formula $\hat{p}:B\to B$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula $\hat{p}(b)\coloneqq S_{b}(p)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dado +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, el homomorfismo de sustitución +\begin_inset Formula $S_{X+a}$ +\end_inset + + es un automorfismo de +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + con inverso +\begin_inset Formula $S_{X-a}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un anillo conmutativo, +\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + induce un homomorfismo +\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X]\to B[X]$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula +\[ +\hat{f}(p)=\sum_{n}f(p_{n})X^{n}, +\] + +\end_inset + +que es inyectivo o suprayectivo si lo es +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un subanillo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + lo es de +\begin_inset Formula $B[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es un ideal de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, el +\series bold +homomorfismo de reducción de coeficientes módulo +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + +\series default + es +\begin_inset Formula $\tilde{\pi}:A[X]\to(A/I)[X]$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula +\[ +\tilde{\pi}(p):=\sum_{n}(p_{n}+I)X^{n}. +\] + +\end_inset + +Su núcleo es +\begin_inset Formula $I[X]$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $(A/I)[X]\cong\frac{A[X]}{I[X]}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Newpage pagebreak +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Descomposiciones de polinomios en dominios +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $f,g\in A[X]$ +\end_inset + +, si el coeficiente principal de +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + es invertible en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, existen dos únicos polinomios +\begin_inset Formula $q,r\in A[X]$ +\end_inset + +, llamados respectivamente +\series bold +cociente +\series default + y +\series bold +resto +\series default + de la +\series bold +división +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + entre +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + +, tales que +\begin_inset Formula $f=gq+r$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(g)$ +\end_inset + + [...]. + En particular, el grado es una función euclídea. + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema del resto: +\series default + Dados +\begin_inset Formula $f\in A[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, el resto de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + entre +\begin_inset Formula $X-a$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $f(a)$ +\end_inset + +. + De aquí se obtiene el +\series bold +teorema de Ruffini +\series default +, que dice que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es divisible por +\begin_inset Formula $X-a$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $f(a)=0$ +\end_inset + +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es una +\series bold +raíz +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $f\in A[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k\in\mathbb{N}\mid(X-a)^{k}\mid f\}$ +\end_inset + +. + Llamamos a +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + +\series bold +multiplicidad +\series default + de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es raíz de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $m\geq1$ +\end_inset + +. + Decimos que +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es una +\series bold +raíz simple +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $m=1$ +\end_inset + + y que es una +\series bold +raíz compuesta +\series default + si +\begin_inset Formula $m>1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +La multiplicidad de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es el único natural +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$ +\end_inset + + para algún +\begin_inset Formula $g\in A[X]$ +\end_inset + + del que +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + no es raíz. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + elementos de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$ +\end_inset + + y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, y el número de raíces, no son superiores a +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Principio de las identidades polinómicas: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un dominio: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ +\end_inset + +, si las funciones polinómicas +\begin_inset Formula $f,g:D\to D$ +\end_inset + + coinciden en +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + elementos de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$ +\end_inset + +, los polinomios +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + son iguales. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + + define dos funciones polinómicas distintas en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo + +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, todos los elementos de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ +\end_inset + + son raíces de 0 y +\begin_inset Formula $X^{p}-X$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, definimos la +\series bold +derivada +\series default + de +\begin_inset Formula $P\coloneqq\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $P'\coloneqq D(P)\coloneqq\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ +\end_inset + +, y escribimos +\begin_inset Formula $P^{(0)}\coloneqq P$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P^{(n+1)}\coloneqq P^{(n)\prime}$ +\end_inset + +. + Dados +\begin_inset Formula $a,b\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un dominio +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + de característica 0, +\begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + +, la multiplicidad de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + + es el menor +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + + es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un cuerpo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un dominio y +\begin_inset Formula $p\in D$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es primo en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +, lo es en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU, +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +, si y sólo si es primo en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un DFU, definimos +\begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\varphi(a)$ +\end_inset + + es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles + de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, contando repetidos, y para +\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU, +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es su cuerpo de fracciones y +\begin_inset Formula $f\in D[X]$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +, es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. + [...] +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU y +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$ +\end_inset + + y, en particular, si +\begin_inset Formula $x\in D$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $[x]$ +\end_inset + + es el conjunto de los asociados de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. + Definimos +\begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$ +\end_inset + +. + Esto está bien definido. + Además, +\begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos +\begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$ +\end_inset + + tal que, para +\begin_inset Formula $p\coloneqq\sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq\{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$ +\end_inset + + cumple +\begin_inset Formula $ap\in D[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq a^{-1}c(ap)$ +\end_inset + +. + Esto está bien definido. + Si +\begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es el +\series bold +contenido +\series default + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + ( +\begin_inset Formula $a=c(p)$ +\end_inset + +). +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $a\in K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p\in D[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a\mid p$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $a\mid c(p)$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un polinomio +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es +\series bold +primitivo +\series default + si +\begin_inset Formula $c(p)=1$ +\end_inset + +, esto es, si +\begin_inset Formula $p\in D[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Lema de Gauss: +\series default + Para +\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$ +\end_inset + +, y en particular +\begin_inset Formula $fg$ +\end_inset + + es primitivo si y sólo si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + lo son. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$ +\end_inset + + primitivo, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + + si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$ +\end_inset + +. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí que si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU con cuerpo de fracciones +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, los irreducibles de +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + + son precisamente los de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + y los polinomios primitivos de +\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ +\end_inset + + irreducibles en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Sean +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + un cuerpo y +\begin_inset Formula $f\in K[X]$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + tiene una raíz en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + no es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + + si y sólo si no tiene raíces en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU con cuerpo de fracciones +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f\coloneqq\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\coloneqq\text{gr}(f)$ +\end_inset + +, todas las raíces de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + son de la forma +\begin_inset Formula $\frac{r}{s}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio de reducción: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $\phi:D\to K$ +\end_inset + + un homomorfismo de anillos donde +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU y +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + es un cuerpo, +\begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$ +\end_inset + + el homomorfismo inducido por +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + un polinomio primitivo de +\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En particular, si +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $f\coloneqq\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ +\end_inset + + es primitivo, +\begin_inset Formula $n\coloneqq\text{gr}(f)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio de Eisenstein: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + un DFU, +\begin_inset Formula $f\coloneqq\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ +\end_inset + + primitivo y +\begin_inset Formula $n\coloneqq\text{gr}f$ +\end_inset + +, si existe un irreducible +\begin_inset Formula $p\in D$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + y existe +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + cuya multiplicidad en +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es 1, +\begin_inset Formula $X^{n}-a$ +\end_inset + + es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $n\geq3$ +\end_inset + +, llamamos +\series bold +raíces +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésimas de la unidad +\series default + o +\series bold +de 1 +\series default + a las raíces de +\begin_inset Formula $X^{n}-1$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + +, que son los +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + vértices del +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ágono regular inscrito en el círculo unidad de +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + + con un vértice en el 1. + +\begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)\coloneqq X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ +\end_inset + + es el +\series bold + +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésimo polinomio ciclotómico +\series default + y sus raíces en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\end_inset + + son las raíces +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-ésimas de 1 distintas de 1. + En +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$ +\end_inset + +, pero si +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$ +\end_inset + + es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Polinomios en varias indeterminadas +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +, definimos el +\series bold +anillo de polinomios +\series default + en +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + indeterminadas con coeficientes en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]\coloneqq A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$ +\end_inset + +. + Llamamos +\series bold +indeterminadas +\series default + a los símbolos +\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$ +\end_inset + + y +\series bold +polinomios en +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + indeterminadas +\series default + a los elementos de +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + +. + Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + no es un cuerpo. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + es un dominio si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]^{*}=A^{*}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + es un DFU si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + es un DIP si y sólo si +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un cuerpo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $i\coloneqq(i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$ +\end_inset + +, llamamos a +\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + +\series bold +monomio +\series default + de +\series bold +tipo +\series default + +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y coeficiente +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +. + Todo +\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + se escribe de forma única como suma de monomios de distinto tipo, +\begin_inset Formula +\[ +p:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}, +\] + +\end_inset + +con +\begin_inset Formula $p_{i}=0$ +\end_inset + + para casi todo +\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +PUAP en +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + indeterminadas: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo conmutativo, +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + la inclusión: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados un homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ +\end_inset + +, existe un único homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}(X_{k})=b_{k}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $P$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}\in P$ +\end_inset + + y un homomorfismo +\begin_inset Formula $v:A\to P$ +\end_inset + + tales que, dados un homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ +\end_inset + +, existe un único homomorfismo +\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}(T_{k})=b_{k}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +, existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to P$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\phi(X_{k})=T_{k}$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Dados dos anillos conmutativos +\begin_inset Formula $A\subseteq B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ +\end_inset + +, el +\series bold +homomorfismo de sustitución +\series default + +\begin_inset Formula $S:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ +\end_inset + + viene dado por +\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq S(p)\coloneqq\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ +\end_inset + +. + Su imagen es el subanillo de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + generado por +\begin_inset Formula $A\cup\{b_{1},\dots,b_{n}\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$ +\end_inset + +, y dados dos homomorfismos de anillos +\begin_inset Formula $f,g:A[b_{1},\dots,b_{n}]\to C$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f=g$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $f|_{A}=g|_{A}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(b_{k})=g(b_{k})$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo y +\begin_inset Formula $\sigma$ +\end_inset + + una permutación de +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}$ +\end_inset + + con inversa +\begin_inset Formula $\tau\coloneqq\sigma^{-1}$ +\end_inset + +, tomando +\begin_inset Formula $B=A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{k}=X_{\sigma(k)}$ +\end_inset + + en el punto anterior obtenemos un automorfismo +\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + con inversa +\begin_inset Formula $\hat{\tau}$ +\end_inset + + que permuta las indeterminadas. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + +, por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo homomorfismo de anillos conmutativos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + induce un homomorfismo +\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\hat{f}(p)\coloneqq\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +grado +\series default + de un monomio +\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $i_{1}+\dots+i_{n}$ +\end_inset + +, y grado de +\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\setminus0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ +\end_inset + +, al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios + de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +. + Entonces +\begin_inset Formula $\text{gr}(p+q)\leq\max\{\text{gr}(p),\text{gr}(q)\}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)\leq\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un polinomio es +\series bold +homogéneo +\series default + de grado +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + si es suma de monomios de grado +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. + Todo polinomio se escribe de modo único como suma de polinomios homogéneos + de distintos grados, sin más que agrupar los monomios de igual grado en + la expresión como suma de monomios. + Así, si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un dominio, +\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)=\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ +\end_inset + + para cualesquiera +\begin_inset Formula $p,q\in D[X_{1},\dots,X_{n}]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document diff --git a/ac/nc.lyx b/ac/nc.lyx new file mode 100644 index 0000000..cfcca89 --- /dev/null +++ b/ac/nc.lyx @@ -0,0 +1,152 @@ +#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ +\lyxformat 544 +\begin_document +\begin_header +\save_transient_properties true +\origin unavailable +\textclass book +\begin_preamble +\input{../defs} +\end_preamble +\use_default_options true +\maintain_unincluded_children false +\language spanish +\language_package default +\inputencoding auto +\fontencoding global +\font_roman "default" "default" +\font_sans "default" "default" +\font_typewriter "default" "default" +\font_math "auto" "auto" +\font_default_family default +\use_non_tex_fonts false +\font_sc false +\font_osf false +\font_sf_scale 100 100 +\font_tt_scale 100 100 +\use_microtype false +\use_dash_ligatures true +\graphics default +\default_output_format default +\output_sync 0 +\bibtex_command default +\index_command default +\paperfontsize default +\spacing single +\use_hyperref false +\papersize default +\use_geometry false +\use_package amsmath 1 +\use_package amssymb 1 +\use_package cancel 1 +\use_package esint 1 +\use_package mathdots 1 +\use_package mathtools 1 +\use_package mhchem 1 +\use_package stackrel 1 +\use_package stmaryrd 1 +\use_package undertilde 1 +\cite_engine basic +\cite_engine_type default +\biblio_style plain +\use_bibtopic false +\use_indices false +\paperorientation portrait +\suppress_date false +\justification true +\use_refstyle 1 +\use_minted 0 +\index Index +\shortcut idx +\color #008000 +\end_index +\secnumdepth 3 +\tocdepth 3 +\paragraph_separation indent +\paragraph_indentation default +\is_math_indent 0 +\math_numbering_side default +\quotes_style french +\dynamic_quotes 0 +\papercolumns 1 +\papersides 1 +\paperpagestyle default +\tracking_changes false +\output_changes false +\html_math_output 0 +\html_css_as_file 0 +\html_be_strict false +\end_header + +\begin_body + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +kern-1em +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\binom{n}{k} & =\binom{n}{n-k}; & & & \binom{r}{k} & =(-1)^{k}\binom{k-r-1}{k};\\ +\binom{r}{k} & =\frac{r}{k}\binom{r-1}{k-1}, & k & \neq0; & \binom{n}{m} & =(-1)^{n-m}\binom{-(m+1)}{n-m}, & n & \geq0;\\ +\binom{r}{k} & =\frac{r}{r-k}\binom{r-1}{k}, & k & \neq r; & \sum_{k=0}^{n}\binom{r+k}{k} & =\binom{r+n+1}{n}, & n & \geq0;\\ +\binom{r}{k} & =\binom{r-1}{k}+\binom{r-1}{k-1}; & & & \sum_{k=0}^{n}\binom{k}{m} & =\binom{n+1}{m+1}, & m,n & \geq0; +\end{align*} + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\binom{r}{m}\binom{m}{k} & =\binom{r}{k}\binom{r-k}{m-k}, & \sum_{k}\binom{r}{k}\binom{s}{n-k} & =\binom{r+s}{n};\\ +\sum_{k}\binom{r}{m+k}\binom{s}{n+k} & =\binom{r+s}{r-m+n}, & \sum_{k}\binom{r}{k}\binom{s+k}{n}(-1)^{r-k} & =\binom{s}{n-r}, & r & \geq0; +\end{align*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\sum_{k=0}^{r}\binom{r-k}{m}\binom{s}{k-t}(-1)^{k-t} & =\binom{r-t-s}{r-t-m}, & t,r,m & \geq0;\\ +\sum_{k=0}^{r}\binom{r-k}{m}\binom{s+k}{n} & =\binom{r+s+1}{m+n+1}, & n\geq s & \geq0,\ m,r\geq0;\\ +\sum_{k\geq0}\binom{r-tk}{k}\binom{s-t(n-k)}{n-k}\frac{r}{r-tk} & =\binom{r+s-tn}{n}; +\end{align*} + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\sum_{k}\binom{n}{k}x(x-kz)^{k-1}(y+kz)^{n-k} & =(x+y)^{n}, & x & \neq0; +\end{align*} + +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\sum_{k}\binom{r}{k}x^{k}y^{r-k} & =(x+y)^{r}, & r & \geq0; & \sum_{k}\binom{r}{k}x^{k} & =(1+x)^{r}, & r & \geq0\text{ o }|x|<1; +\end{align*} + +\end_inset + + +\end_layout + +\end_body +\end_document -- cgit v1.2.3