From f7c44f89ed1b5f255c0f44b89fb0c2f9f5be3836 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Juan Marin Noguera <juan@mnpi.eu>
Date: Mon, 14 Nov 2022 16:55:23 +0100
Subject: Edición tema 1 AC
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 ac/n1.lyx | 1532 ++++++++++++++++++++++++++++++++-----------------------------
 1 file changed, 815 insertions(+), 717 deletions(-)

diff --git a/ac/n1.lyx b/ac/n1.lyx
index 488d056..b76855a 100644
--- a/ac/n1.lyx
+++ b/ac/n1.lyx
@@ -89,7 +89,7 @@ grupo abeliano
 \begin_inset Formula $(A,+)$
 \end_inset
 
- formada por un conjunto 
+ formado por un conjunto 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -151,134 +151,6 @@ producto
 \end_inset
 
 ).
- 
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Un anillo es 
-\series bold
-conmutativo
-\series default
- si su producto es conmutativo, y tiene 
-\series bold
-identidad
-\series default
- si este tiene elemento neutro 
-\begin_inset Formula $1\in A$
-\end_inset
-
- llamado 
-\series bold
-uno
-\series default
-.
- Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos
- a anillos conmutativos y con identidad.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
-\end_inset
-
- para 
-\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
-\end_inset
-
- son anillos con la suma y el producto usuales.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-Para 
-\begin_inset Formula $c\in\mathbb{C}$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[c]\coloneqq\left\{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n}\right\} _{a\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}}\subseteq\mathbb{C}$
-\end_inset
-
- es un anillo con la suma y el producto de complejos, y en particular lo
- es 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\text{i}]\coloneqq\{a+b\text{i}\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$
-\end_inset
-
-, el 
-\series bold
-anillo de los enteros de Gauss
-\series default
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-El conjunto de funciones 
-\begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
-\end_inset
-
- que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad
- con la suma y producto de funciones.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-Si 
-\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
-\end_inset
-
- son anillos, 
-\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$
-\end_inset
-
- es un anillo con las operaciones componente a componente, el 
-\series bold
-anillo producto
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
-\end_inset
-
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-Dado un anillo 
-\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$
-\end_inset
-
- es un anillo con la suma componente a componente y el producto 
-\begin_inset Formula $a\cdot b\coloneqq(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})_{n}$
-\end_inset
-
-, el 
-\series bold
-anillo de las series de potencias
-\series default
- sobre 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
-, y un 
-\begin_inset Formula $a\in A$
-\end_inset
-
- se suele escribir con la notación 
-\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$
-\end_inset
-
-.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -429,104 +301,313 @@ status open
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Dados dos anillos 
-\begin_inset Formula $A$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $B$
+Un anillo es 
+\series bold
+conmutativo
+\series default
+ si su producto es conmutativo, y tiene 
+\series bold
+identidad
+\series default
+ si este tiene elemento neutro 
+\begin_inset Formula $1\in A$
 \end_inset
 
-, un 
+ llamado 
 \series bold
-homomorfismo de anillos
+uno
 \series default
- es una 
-\begin_inset Formula $f:A\to B$
-\end_inset
+.
+ Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos
+ a anillos conmutativos y con identidad.
+\end_layout
 
- tal que 
-\begin_inset Formula $f(1)=1$
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
- y, para 
-\begin_inset Formula $x,y\in A$
+, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)$
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$
+, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
 \end_inset
 
-.
- Entonces 
-\begin_inset Formula $f(0)=0$
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
-
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-, pues 
-\begin_inset Formula $f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)=f(0)+0$
+ para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
 \end_inset
 
-,
+ son anillos con la suma y el producto usuales.
 \end_layout
 
+\begin_layout Enumerate
+Para 
+\begin_inset Formula $c\in\mathbb{C}$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $\forall a\in A,f(-a)=-f(a)$
+, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[c]\coloneqq\left\{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n}\right\} _{a\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}}\subseteq\mathbb{C}$
 \end_inset
 
+ es un anillo con la suma y el producto de complejos, y en particular lo
+ es 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\text{i}]\coloneqq\{a+b\text{i}\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$
+\end_inset
 
-\begin_inset Note Comment
-status open
+, el 
+\series bold
+anillo de los enteros de Gauss
+\series default
+.
+\end_layout
 
-\begin_layout Plain Layout
-, pues 
-\begin_inset Formula $f(-a)+f(a)=f(-a+a)=f(0)=0$
+\begin_layout Enumerate
+El conjunto de funciones 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
 \end_inset
 
-
+ que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad
+ con la suma y producto de funciones.
 \end_layout
 
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
 \end_inset
 
-.
- Un homomorfismo 
-\begin_inset Formula $f:A\to B$
+ son anillos, 
+\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$
 \end_inset
 
- es inyectivo si y sólo si 
-\begin_inset Formula $\ker f=0$
+ es un anillo con las operaciones componente a componente, el 
+\series bold
+anillo producto
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
 \begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
-status open
+Dado un anillo 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
 
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\implies]$
+, 
+\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ es un anillo con la suma componente a componente y el producto 
+\begin_inset Formula $a\cdot b\coloneqq(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})_{n}$
 \end_inset
 
+, el 
+\series bold
+anillo de las series de potencias
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
 
-\end_layout
+, y un 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
 
+ se suele denotar como 
+\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$
 \end_inset
 
-Obvio.
+.
 \end_layout
 
-\begin_layout Enumerate
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{ga}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $Y^{X}$
+\end_inset
+
+ al conjunto de funciones de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $Y$
+\end_inset
+
+.
+ [...] Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo [...], 
+\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$
+\end_inset
+
+ es un anillo [...].
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un anillo y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es un entero positivo, el conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$
+\end_inset
+
+ de matrices cuadradas en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ de tamaño 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es un anillo con la suma y el producto habituales.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+end{reminder}
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados dos anillos 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, un 
+\series bold
+homomorfismo de anillos
+\series default
+ es una 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(1)=1$
+\end_inset
+
+ y, para 
+\begin_inset Formula $x,y\in A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f(0)=0$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues 
+\begin_inset Formula $f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)=f(0)+0$
+\end_inset
+
+,
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\forall a\in A,f(-a)=-f(a)$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Note Comment
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+, pues 
+\begin_inset Formula $f(-a)+f(a)=f(-a+a)=f(0)=0$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+ Un homomorfismo 
+\begin_inset Formula $f:A\to B$
+\end_inset
+
+ es inyectivo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\ker f=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Obvio.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
 \begin_inset Argument item:1
 status open
 
@@ -551,7 +632,7 @@ Un
 \series bold
 isomorfismo de anillos
 \series default
- es un homomorfismo biyectivo, y entonces su inversa es un homomorfismo.
+ es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo.
  En efecto, sea 
 \begin_inset Formula $f:A\to B$
 \end_inset
@@ -621,7 +702,7 @@ trivial
 \begin_inset Formula $0$
 \end_inset
 
-, al único con un solo elemento, o en el que 
+, al único con un solo elemento, o el único con 
 \begin_inset Formula $1=0$
 \end_inset
 
@@ -870,7 +951,19 @@ nilpotente
 \begin_inset Formula $a^{n}=0$
 \end_inset
 
-, en cuyo caso es divisor de 0, pues tomando el menor 
+, en cuyo caso, si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ no es trivial, 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es divisor de cero, pues el 0 es claramente divisor de cero y, si 
+\begin_inset Formula $a\neq0$
+\end_inset
+
+, tomando el menor 
 \begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
@@ -904,11 +997,12 @@ nilradical
 \end_inset
 
  nilpotentes.
- El 1 es invertible y no nilpotente, y si 
+ El 1 es invertible.
+ El 0 es nilpotente y, si 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- es no trivial, el 0 es nilpotente y no unidad.
+ es no trivial, es no unidad.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -941,7 +1035,7 @@ Si
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $u+a\in U(A)$
+\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$
 \end_inset
 
 .
@@ -1070,7 +1164,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $m<0$
 \end_inset
 
- entonces 
+, 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}$
 \end_inset
 
@@ -1086,7 +1180,7 @@ Si
 \begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$
 \end_inset
 
- entonces 
+, 
 \begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$
 \end_inset
 
@@ -1198,115 +1292,142 @@ cuerpo
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-Para 
-\begin_inset Formula $n\geq2$
-\end_inset
+\begin_inset ERT
+status open
 
-:
-\end_layout
+\begin_layout Plain Layout
 
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
-\end_inset
 
- es unidad si y sólo si 
-\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
-\end_inset
+\backslash
+begin{exinfo}
+\end_layout
 
- en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
-.
-\end_layout
-
-\begin_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
+Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular
+ lo es todo dominio finito.
+\begin_inset ERT
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\implies]$
-\end_inset
 
 
+\backslash
+end{exinfo}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
-Si fuera 
-\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$
-\end_inset
 
-, sean 
-\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$
-\end_inset
+\end_layout
 
- con 
-\begin_inset Formula $r=dr'$
+\begin_layout Standard
+Dados un dominio 
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
  y 
-\begin_inset Formula $n=dn'$
+\begin_inset Formula $a,b\in D$
 \end_inset
 
-, entonces 
-\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$
+, 
+\begin_inset Formula $a$
 \end_inset
 
- pero 
-\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$
+ 
+\series bold
+divide a
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $b$
 \end_inset
 
-, con lo que 
-\begin_inset Formula $r$
+, 
+\begin_inset Formula $a$
 \end_inset
 
- es divisor de 0.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\impliedby]$
+ es 
+\series bold
+divisor
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $b$
 \end_inset
 
+ o 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
 
-\end_layout
+ es 
+\series bold
+múltiplo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
 
+, 
+\begin_inset Formula $a\mid b$
 \end_inset
 
-Una identidad de Bézout 
-\begin_inset Formula $ar+bn=1$
+, si existe 
+\begin_inset Formula $c\in D$
 \end_inset
 
- se traduce en que 
-\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$
+ con 
+\begin_inset Formula $ac=b$
 \end_inset
 
 .
-\end_layout
+ Esta relación es reflexiva y transitiva, y para 
+\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$
+\end_inset
 
-\end_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
+, si 
+\begin_inset Formula $a\mid b$
 \end_inset
 
- es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de 
-\begin_inset Formula $n$
+ y 
+\begin_inset Formula $a\mid c$
 \end_inset
 
- dividen a 
-\begin_inset Formula $r$
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$
+\end_inset
+
+.
+ Dos elementos 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ son 
+\series bold
+asociados
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $a\mid b$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b\mid a$
+\end_inset
+
+, si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $u\in D^{*}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $b=au$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Enumerate
+\begin_layout Itemize
 \begin_inset Argument item:1
 status open
 
@@ -1319,46 +1440,47 @@ status open
 
 \end_inset
 
-Sean 
-\begin_inset Formula $m$
+Si 
+\begin_inset Formula $b=0$
 \end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$
+, 
+\begin_inset Formula $a=0$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $p$
+ y tomamos 
+\begin_inset Formula $u=1$
 \end_inset
 
- un divisor primo de 
-\begin_inset Formula $n$
+.
+ En otro caso, sean 
+\begin_inset Formula $c,d\in D$
 \end_inset
 
-, como 
-\begin_inset Formula $n$
+ con 
+\begin_inset Formula $ac=b$
 \end_inset
 
- divide a 
-\begin_inset Formula $r^{m}$
+ y 
+\begin_inset Formula $bd=a$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $p$
+\begin_inset Formula $b=ac=bdc$
 \end_inset
 
- divide a 
-\begin_inset Formula $r^{m}$
+, luego 
+\begin_inset Formula $dc=1$
 \end_inset
 
- y por tanto a 
-\begin_inset Formula $r$
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
 \end_inset
 
-.
+ es unidad.
 \end_layout
 
-\begin_layout Enumerate
+\begin_layout Itemize
 \begin_inset Argument item:1
 status open
 
@@ -1371,386 +1493,330 @@ status open
 
 \end_inset
 
-Sea 
-\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$
-\end_inset
 
- la descomposición prima de 
-\begin_inset Formula $n$
+\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$
 \end_inset
 
-, como 
-\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+begin{reminder}{GyA}
+\end_layout
+
 \end_inset
 
- divide a 
-\begin_inset Formula $r$
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, si 
-\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$
+ un anillo [...] y 
+\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $n$
+\begin_inset Formula $a$
 \end_inset
 
- divide a 
-\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$
+ es 
+\series bold
+irreducible
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- y este a 
-\begin_inset Formula $r$
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$
 \end_inset
 
-, luego 
-\begin_inset Formula $n$
+, y es 
+\series bold
+primo
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- divide a 
-\begin_inset Formula $r^{m}$
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
-\end_inset
-
- es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si 
-\begin_inset Formula $n$
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- es primo.
+ es un dominio, todo primo es irreducible.
 \end_layout
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Description
-\begin_inset Formula $1\implies2]$
-\end_inset
-
- Obvio.
+\begin_layout Standard
+Irreducible en un dominio no implica primo.
+ [...]
 \end_layout
 
-\begin_layout Description
-\begin_inset Formula $2\implies3]$
-\end_inset
-
- Si 
-\begin_inset Formula $n$
+\begin_layout Standard
+Dados un anillo [...] 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- no fuera primo, existen 
-\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
+ y 
+\begin_inset Formula $S\subseteq A$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $1<p,q<n$
+\begin_inset Formula $a\in A$
 \end_inset
 
-, con 
-\begin_inset Formula $n=pq$
+ es un 
+\series bold
+máximo común divisor
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
-, luego 
-\begin_inset Formula $p$
+ en 
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- es divisor de 0 en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+, 
+\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
 \end_inset
 
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Description
-\begin_inset Formula $3\implies1]$
+[
+\begin_inset Formula $=\gcd S$
 \end_inset
 
- Para 
-\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}\setminus\{0\}$
+], si divide a cada elemento de 
+\begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
+ y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un 
+\series bold
+mínimo común múltiplo
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
  en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+\begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
- y por tanto 
-\begin_inset Formula $r$
+, 
+\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
 \end_inset
 
- es unidad.
-\end_layout
-
-\end_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+[
+\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$
 \end_inset
 
- es reducido si y sólo si 
-\begin_inset Formula $n$
+], si es múltiplo de cada elemento de 
+\begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
- es 
-\series bold
-libre de cuadrados
-\series default
-, es decir, si no tiene divisores cuadrados de primos.
+ y divide a cada elemento que cumple esto.
 \end_layout
 
-\begin_deeper
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
+\begin_layout Standard
+\begin_inset ERT
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\implies]$
-\end_inset
 
 
+\backslash
+end{reminder}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
-Si no fuera libre de cuadrados, sea 
-\begin_inset Formula $n=p^{2}q$
-\end_inset
-
- para ciertos 
-\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
-\end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $p$
-\end_inset
+\end_layout
 
- primo, en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+dominio de factorización única
+\series default
+ (DFU) es un dominio 
+\begin_inset Formula $D$
 \end_inset
 
- 
-\begin_inset Formula $pq\neq0$
+ en el que, para 
+\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
 \end_inset
 
- pero 
-\begin_inset Formula $(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=0$
+, existen 
+\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$
 \end_inset
 
-.
-\end_layout
-
-\begin_layout Enumerate
-\begin_inset Argument item:1
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-\begin_inset Formula $\impliedby]$
+ irreducibles con 
+\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$
 \end_inset
 
-
-\end_layout
-
+, y si 
+\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$
 \end_inset
 
-La descomposición en primos de 
-\begin_inset Formula $n$
+ son irreducibles con 
+\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$
 \end_inset
 
- es de la forma 
-\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
+, entonces 
+\begin_inset Formula $n=m$
 \end_inset
 
- con los 
-\begin_inset Formula $p_{i}$
+ y existe una permutación 
+\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$
 \end_inset
 
- distintos, y si 
-\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
+ tal que cada 
+\begin_inset Formula $b_{i}$
 \end_inset
 
- cumple 
-\begin_inset Formula $r^{2}=0$
+ es asociado a 
+\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$
 \end_inset
 
- entonces en 
+.
+ Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles.
+ También lo son 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
- cada 
-\begin_inset Formula $p_{i}$
-\end_inset
-
- divide a 
-\begin_inset Formula $r^{2}$
-\end_inset
+ y los anillos de polinomios sobre un DFU.
+\end_layout
 
- y por tanto a 
-\begin_inset Formula $r$
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $n\geq2$
 \end_inset
 
-, luego 
-\begin_inset Formula $n$
-\end_inset
+:
+\end_layout
 
- divide a 
-\begin_inset Formula $r$
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $r=0$
+ es unidad si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
 \end_inset
 
  en 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\end_deeper
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
-
-
-\backslash
-begin{exinfo}
-\end_layout
-
+\begin_inset Formula $\implies]$
 \end_inset
 
-Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular
- lo es todo dominio finito.
-\begin_inset ERT
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-
 
-\backslash
-end{exinfo}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
-
-\end_layout
-
-\begin_layout Standard
-Dados un dominio 
-\begin_inset Formula $D$
+Si fuera 
+\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $a,b\in D$
+, sean 
+\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $a$
+ con 
+\begin_inset Formula $r=dr'$
 \end_inset
 
- 
-\series bold
-divide a
-\series default
- 
-\begin_inset Formula $b$
+ y 
+\begin_inset Formula $n=dn'$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $a$
+, entonces 
+\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$
 \end_inset
 
- es 
-\series bold
-divisor
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $b$
+ pero 
+\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$
 \end_inset
 
- o 
-\begin_inset Formula $b$
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $r$
 \end_inset
 
- es 
-\series bold
-múltiplo
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $a$
+ es divisor de cero.
+\begin_inset Formula $\#$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $a\mid b$
-\end_inset
 
-, si existe 
-\begin_inset Formula $c\in D$
-\end_inset
+\end_layout
 
- con 
-\begin_inset Formula $ac=b$
-\end_inset
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
 
-.
- Esta relación es reflexiva y transitiva, y para 
-\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
 \end_inset
 
-, si 
-\begin_inset Formula $a\mid b$
-\end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $a\mid c$
-\end_inset
+\end_layout
 
-, entonces 
-\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$
 \end_inset
 
-.
- Dos elementos 
-\begin_inset Formula $a$
+Una identidad de Bézout 
+\begin_inset Formula $ar+bn=1$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $b$
+ se traduce en que 
+\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$
 \end_inset
 
- son 
-\series bold
-asociados
-\series default
- si 
-\begin_inset Formula $a\mid b$
-\end_inset
+.
+\end_layout
 
- y 
-\begin_inset Formula $b\mid a$
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
-, si y sólo si existe 
-\begin_inset Formula $u\in D^{*}$
+ es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de 
+\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $b=au$
+ dividen a 
+\begin_inset Formula $r$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\begin_layout Itemize
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
 \begin_inset Argument item:1
 status open
 
@@ -1763,47 +1829,46 @@ status open
 
 \end_inset
 
-Si 
-\begin_inset Formula $b=0$
+Sean 
+\begin_inset Formula $m$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $a=0$
+ con 
+\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$
 \end_inset
 
- y tomamos 
-\begin_inset Formula $u=1$
+ y 
+\begin_inset Formula $p$
 \end_inset
 
-.
- En otro caso, sean 
-\begin_inset Formula $c,d\in D$
+ un divisor primo de 
+\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- con 
-\begin_inset Formula $ac=b$
+, como 
+\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $bd=a$
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r^{m}$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $b=ac=bdc$
+\begin_inset Formula $p$
 \end_inset
 
-, luego 
-\begin_inset Formula $dc=1$
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r^{m}$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $c$
+ y por tanto a 
+\begin_inset Formula $r$
 \end_inset
 
- es unidad.
+.
 \end_layout
 
-\begin_layout Itemize
+\begin_layout Enumerate
 \begin_inset Argument item:1
 status open
 
@@ -1816,208 +1881,246 @@ status open
 
 \end_inset
 
+Sea 
+\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$
+\end_inset
 
-\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$
+ la descomposición prima de 
+\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
-.
-\end_layout
+, como 
+\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
+\end_inset
 
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
-status open
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
 
-\begin_layout Plain Layout
+, si 
+\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$
+\end_inset
 
+, 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
 
-\backslash
-begin{reminder}{GyA}
+ divide a 
+\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$
+\end_inset
+
+ y este a 
+\begin_inset Formula $r^{m}$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r^{m}$
+\end_inset
+
+.
 \end_layout
 
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
+ es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
 
+ es primo.
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
-Sean 
-\begin_inset Formula $A$
+\begin_deeper
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $1\implies2]$
 \end_inset
 
- un anillo [...] y 
-\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$
+ Visto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $2\implies3]$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $a$
+ Probamos el contrarrecíproco.
+ Si existen 
+\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
- es 
-\series bold
-irreducible
-\series default
- en 
-\begin_inset Formula $A$
+, 
+\begin_inset Formula $1<p,q<n$
 \end_inset
 
- si 
-\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$
+, con 
+\begin_inset Formula $n=pq$
 \end_inset
 
-, y es 
-\series bold
-primo
-\series default
- en 
-\begin_inset Formula $A$
+, 
+\begin_inset Formula $p$
 \end_inset
 
- si 
-\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$
+ es divisor de 0 en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
 .
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
-Si 
-\begin_inset Formula $A$
+\begin_layout Description
+\begin_inset Formula $3\implies1]$
 \end_inset
 
- es un dominio, todo primo es irreducible.
-\end_layout
+ Para 
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}\setminus\{0\}$
+\end_inset
 
-\begin_layout Standard
-Irreducible en un dominio no implica primo.
- [...]
-\end_layout
+, 
+\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$
+\end_inset
 
-\begin_layout Standard
-Dados un anillo [...] 
-\begin_inset Formula $A$
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
- y 
-\begin_inset Formula $S\subseteq A$
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $r$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $a\in A$
+ es unidad.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
- es un 
+ es reducido si y sólo si 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es 
 \series bold
-máximo común divisor
+libre de cuadrados
 \series default
- de 
-\begin_inset Formula $S$
+, es decir, si no tiene divisores cuadrados de primos.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
 \end_inset
 
- en 
-\begin_inset Formula $A$
+
+\end_layout
+
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$
+Si no fuera libre de cuadrados, sea 
+\begin_inset Formula $n=p^{2}q$
 \end_inset
 
-, si divide a cada elemento de 
-\begin_inset Formula $S$
+ para ciertos 
+\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
- y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un 
-\series bold
-mínimo común múltiplo
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $S$
+ con 
+\begin_inset Formula $p$
 \end_inset
 
- en 
-\begin_inset Formula $A$
+ primo, en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$
+ 
+\begin_inset Formula $pq\neq0$
 \end_inset
 
-, si es múltiplo de cada elemento de 
-\begin_inset Formula $S$
+ pero 
+\begin_inset Formula $(pq)^{2}=p^{2}q^{2}=0$
 \end_inset
 
- y divide a cada elemento que cumple esto.
+.
 \end_layout
 
-\begin_layout Standard
-\begin_inset ERT
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Argument item:1
 status open
 
 \begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
 
 
-\backslash
-end{reminder}
 \end_layout
 
 \end_inset
 
+La descomposición en primos de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
 
-\end_layout
+ es de la forma 
+\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$
+\end_inset
 
-\begin_layout Standard
-Un 
-\series bold
-dominio de factorización única
-\series default
- (DFU) es un dominio 
-\begin_inset Formula $D$
+ con los 
+\begin_inset Formula $p_{i}$
 \end_inset
 
- en el que, para 
-\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$
+ distintos, y si 
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
-, existen 
-\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$
+ cumple 
+\begin_inset Formula $r^{2}=0$
 \end_inset
 
- irreducibles con 
-\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$
+ entonces en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
-, y si 
-\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$
+ cada 
+\begin_inset Formula $p_{i}$
 \end_inset
 
- son irreducibles con 
-\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r^{2}$
 \end_inset
 
-, entonces 
-\begin_inset Formula $n=m$
+ y por tanto a 
+\begin_inset Formula $r$
 \end_inset
 
- y existe una permutación 
-\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$
+, luego 
+\begin_inset Formula $n$
 \end_inset
 
- tal que cada 
-\begin_inset Formula $b_{i}$
+ divide a 
+\begin_inset Formula $r$
 \end_inset
 
- es asociado con 
-\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$
+ y 
+\begin_inset Formula $r=0$
 \end_inset
 
-.
- Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles.
- También lo son 
-\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
+ en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
 \end_inset
 
- y los anillos de polinomios sobre un DFU.
+.
 \end_layout
 
+\end_deeper
 \begin_layout Section
 Subanillos
 \end_layout
@@ -2066,7 +2169,7 @@ subanillo
 \begin_inset Formula $1\implies2]$
 \end_inset
 
- Basta tomar el homomorfismo identidad.
+ Basta tomar el homomorfismo inclusión.
 \end_layout
 
 \begin_layout Description
@@ -2169,11 +2272,11 @@ anillo
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $A[x]$
+\begin_inset Formula $A[X]$
 \end_inset
 
 , es el subanillo de 
-\begin_inset Formula $A\llbracket x\rrbracket$
+\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket$
 \end_inset
 
  formado por las series con una cantidad finita de elementos no nulos, y
@@ -2182,7 +2285,7 @@ anillo
 \end_inset
 
  es un subanillo de 
-\begin_inset Formula $A[x]$
+\begin_inset Formula $A[X]$
 \end_inset
 
  identificando 
@@ -2381,11 +2484,11 @@ Sean
 \begin_inset Formula $a\equiv a',b\equiv b'\in A$
 \end_inset
 
-, sean 
+, entonces 
 \begin_inset Formula $x\coloneqq a-a',y\coloneqq b-b'\in I$
 \end_inset
 
-, entonces 
+, luego 
 \begin_inset Formula $a+b=a'+x+b'+y=a'+b'+(x+y)$
 \end_inset
 
@@ -2417,11 +2520,11 @@ Sean
 
  es un anillo con los neutros y simétricos indicados.
  Además, 
-\begin_inset Formula $p(1)=[1]$
+\begin_inset Formula $p(1)=\overline{1}$
 \end_inset
 
 , 
-\begin_inset Formula $p(a+b)=[a+b]=[a]+[b]=p(a)+p(b)$
+\begin_inset Formula $p(a+b)=\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}=p(a)+p(b)$
 \end_inset
 
  y del mismo modo 
@@ -2429,7 +2532,7 @@ Sean
 \end_inset
 
 , y 
-\begin_inset Formula $p(x)=[x]=0\iff x-0=x\in I$
+\begin_inset Formula $p(x)=\overline{x}=0\iff x-0=x\in I$
 \end_inset
 
 .
@@ -2465,7 +2568,7 @@ ideal impropio
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
-, que es el único que contiene una unidad.
+, el único que contiene una unidad.
  En efecto, si 
 \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
 \end_inset
@@ -2482,6 +2585,10 @@ ideal impropio
 \begin_inset Formula $a=(au^{-1})u\in I$
 \end_inset
 
+, luego 
+\begin_inset Formula $I=A$
+\end_inset
+
 .
  
 \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
@@ -2519,27 +2626,6 @@ Dados anillos
 \begin_inset Formula ${\cal L}(A_{1}\times\dots\times A_{n})=\{I_{1}\times\dots\times I_{n}\}_{I_{i}\trianglelefteq A_{i},\forall i}$
 \end_inset
 
-.
- Si 
-\begin_inset Formula $e\in A$
-\end_inset
-
- es idempotente, para 
-\begin_inset Formula $a\in A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$
-\end_inset
-
-, con lo que 
-\begin_inset Formula $(e)$
-\end_inset
-
- es un anillo con identidad 
-\begin_inset Formula $e$
-\end_inset
-
 .
 \begin_inset ERT
 status open
@@ -2557,7 +2643,7 @@ end{exinfo}
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-La intersección de toda familia de ideales de 
+La intersección de una familia de ideales de 
 \begin_inset Formula $A$
 \end_inset
 
@@ -2581,7 +2667,7 @@ ideal de
 \end_inset
 
  generado por 
-\begin_inset Formula $G$
+\begin_inset Formula $S$
 \end_inset
 
 
@@ -2589,7 +2675,7 @@ ideal de
  a
 \begin_inset Formula 
 \[
-(S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A:G\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}},
+(S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A:S\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}},
 \]
 
 \end_inset
@@ -2718,7 +2804,7 @@ ideal principal
 \begin_inset Formula $b'\mid b$
 \end_inset
 
- y en un dominio 
+, y en un dominio 
 \begin_inset Formula $(b)=(b')$
 \end_inset
 
@@ -2767,8 +2853,29 @@ Dado un anillo
 \begin_inset Formula $(X,Y)$
 \end_inset
 
- no es principal de 
-\begin_inset Formula $A[X,Y]$
+ no es un ideal principal de 
+\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $e\in A$
+\end_inset
+
+ es idempotente, para 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $(e)$
+\end_inset
+
+ es un anillo con identidad 
+\begin_inset Formula $e$
 \end_inset
 
 .
@@ -2815,15 +2922,19 @@ Dado
 \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
 \end_inset
 
-, si existe 
+, si 
+\begin_inset Formula $I\neq0$
+\end_inset
+
+, existe 
 \begin_inset Formula $e\in I\setminus\{0\}$
 \end_inset
 
-, 
-\begin_inset Formula $1=e^{-1}e\in I$
+, pero 
+\begin_inset Formula $e$
 \end_inset
 
- e 
+ es unidad, luego 
 \begin_inset Formula $I=A$
 \end_inset
 
@@ -2875,12 +2986,12 @@ Un
 \series bold
 dominio de ideales principales
 \series default
- (DIP) es uno en que todos los ideales son principales, como 
+ (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales, como 
 \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
 \end_inset
 
  y 
-\begin_inset Formula $\mathbb{K}[x]$
+\begin_inset Formula $\mathbb{K}[X]$
 \end_inset
 
  para todo cuerpo 
@@ -2981,8 +3092,8 @@ Dados subconjuntos
 \end_inset
 
 .
- Si 
-\begin_inset Formula $S_{1}\eqqcolon\{a\}$
+ Para 
+\begin_inset Formula $a\in A$
 \end_inset
 
 , llamamos 
@@ -3019,50 +3130,7 @@ Dados subconjuntos
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
-El 
-\series bold
-ideal suma
-\series default
- de 
-\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
-\end_inset
-
- es el ideal 
-\begin_inset Formula $I+J$
-\end_inset
-
-
-\begin_inset Note Comment
-status open
-
-\begin_layout Plain Layout
-, pues si 
-\begin_inset Formula $a\in A$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $x,x'\in I$
-\end_inset
-
- e 
-\begin_inset Formula $y,y'\in J$
-\end_inset
-
-, 
-\begin_inset Formula $(x+y)+(x'+y')=(x+x')+(y+y')\in I+J$
-\end_inset
-
- y 
-\begin_inset Formula $a(x+y)=ax+ay\in I+J$
-\end_inset
-
-
-\end_layout
-
-\end_inset
-
-.
- Si 
+Si 
 \begin_inset Formula $S_{1},S_{2}\subseteq A$
 \end_inset
 
@@ -3070,10 +3138,6 @@ status open
 \begin_inset Formula $(S_{1})+(S_{2})=(S_{1}\cup S_{2})$
 \end_inset
 
-, con lo que 
-\begin_inset Formula $I+J=(I\cup J)$
-\end_inset
-
 .
 \begin_inset Note Comment
 status open
@@ -3188,7 +3252,19 @@ Sea
 
 \end_inset
 
+ Llamamos 
+\series bold
+ideal suma
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $I+J=(I\cup J)$
+\end_inset
 
+.
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -3273,7 +3349,7 @@ ideal producto
  es 
 \begin_inset Formula 
 \[
-IJ\coloneqq(I\cdot J)=\{x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}\}_{n\in\mathbb{N},x\in I^{n},y\in J^{n}}\subseteq I\cap J.
+IJ\coloneqq(I\cdot J)=\{x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}\}_{x_{i}\in I,y_{i}\in J,\forall i}\subseteq I\cap J.
 \]
 
 \end_inset
@@ -3350,6 +3426,32 @@ status open
 \end_inset
 
 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\begin_inset Formula $I^{0}\coloneqq A$
+\end_inset
+
+ y, para 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $I^{n+1}\coloneqq II^{n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+Here
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Standard
@@ -3397,23 +3499,19 @@ Usando combinaciones lineales, los elementos de
 \begin_inset Formula $y_{j}\in S_{2}$
 \end_inset
 
-, pero entonces 
+, pero 
 \begin_inset Formula $x_{i}y_{j}\in S_{1}\cdot S_{2}$
 \end_inset
 
- y, como 
-\begin_inset Formula $(S_{1}\cdot S_{2})$
-\end_inset
-
- es un ideal, 
-\begin_inset Formula $(a_{i}b_{j})(x_{i}y_{j})$
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $a_{i}b_{j}x_{i}y_{j}$
 \end_inset
 
  está en 
 \begin_inset Formula $(S_{1}\cdot S_{2})$
 \end_inset
 
- y la suma de estos elementos también.
+, y la suma de elementos de este tipo también.
 \end_layout
 
 \begin_layout Itemize
-- 
cgit v1.2.3