From de3e935e35f0fdad86aaf142e657cd9c0fbf0ef8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Juan Marin Noguera Date: Sat, 31 Dec 2022 13:13:32 +0100 Subject: Terminados apuntes de Álgebra Conmutativa MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ac/n3.lyx | 4786 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------- 1 file changed, 3111 insertions(+), 1675 deletions(-) (limited to 'ac/n3.lyx') diff --git a/ac/n3.lyx b/ac/n3.lyx index 4da49b6..9f5500e 100644 --- a/ac/n3.lyx +++ b/ac/n3.lyx @@ -160,6 +160,55 @@ producto por escalares . \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Equivalentemente, el producto currificado es un homomorfismo de anillos + +\begin_inset Formula $A\to\text{End}(M)$ +\end_inset + +, donde +\begin_inset Formula $\text{End}(M)$ +\end_inset + + es el anillo de los endomorfismos del grupo abeliano +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + con la suma por componentes y la composición como producto. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Propiedades: \end_layout @@ -304,7 +353,7 @@ anulador \end_inset a -\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\coloneqq\{m\in M\mid Xm=0\}\leq_{A}M$ +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\coloneqq\{m\in M\mid Xm=0\}$ \end_inset . @@ -665,6 +714,10 @@ Si \begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\leq_{A}M$ \end_inset +, y en particular +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(X)\trianglelefteq A$ +\end_inset + . \end_layout @@ -675,6 +728,104 @@ Si . \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $X\subseteq_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $IX\leq_{A}M$ +\end_inset + +, y en particular, para +\begin_inset Formula $m\in M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Im=\{bm\}_{b\in I}\leq_{A}M$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +9. +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $S\subseteq A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $SN\leq_{A}M$ +\end_inset + +, y en particular, para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $aN=\{an\}_{n\in N}\leq_{A}M$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ @@ -1109,6 +1260,103 @@ Un . \end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Que dos submódulos de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + sean isomorfos no significa que lo sean los módulos cociente de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + entre ellos, ni al revés. + Por ejemplo, si +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}M\coloneqq\mathbb{Z}_{3}\oplus\mathbb{Z}_{9}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $K\coloneqq\mathbb{Z}_{3}\oplus0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N\coloneqq0\oplus\mathbb{Z}_{9}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $L=((0,6))$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $K\cong L$ +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $\frac{M}{K}\ncong\frac{M}{L}$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $\frac{M}{K+L}\cong\frac{M}{N}$ +\end_inset + + pero +\begin_inset Formula $K+L\ncong N$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $\phi:M\to M'$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-isomorfismo, para +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong\frac{M'}{\phi(N)}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section Restricción de escalares \end_layout @@ -1616,37 +1864,125 @@ Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para \end_layout \end_deeper -\begin_layout Section -Teoremas de isomorfía +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} \end_layout -\begin_layout Standard +\end_inset -\series bold -Teorema de la correspondencia: -\series default - Si -\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $V$ \end_inset y -\begin_inset Formula $p:M\to M/N$ +\begin_inset Formula $W$ \end_inset - es la proyección canónica, -\begin_inset Formula -\[ -\rho:\{K\leq_{A}M\mid N\subseteq K\}\to\{L\leq_{A}M/N\} -\] + +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset +-espacios vectoriales y +\begin_inset Formula $f:V\to V$ \end_inset -dada por -\begin_inset Formula $\rho(K)\coloneqq K/N\coloneqq p(K)=\{k+N\}_{k\in K}$ + y +\begin_inset Formula $g:V\to V$ \end_inset - es una biyección que conserva la inclusión, y -\begin_inset Formula + +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-endomorfismos, un +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-homomorfismo entre los +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +-módulos asociados a +\begin_inset Formula $(V,f)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(W,g)$ +\end_inset + + es precisamente una aplicación +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +-lineal +\begin_inset Formula $\phi:V\to W$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\phi\circ f=g\circ\phi$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Teoremas de isomorfía +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de la correspondencia: +\series default + Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p:M\to M/N$ +\end_inset + + es la proyección canónica, +\begin_inset Formula +\[ +\rho:\{K\leq_{A}M\mid N\subseteq K\}\to\{L\leq_{A}M/N\} +\] + +\end_inset + +dada por +\begin_inset Formula $\rho(K)\coloneqq K/N\coloneqq p(K)=\{k+N\}_{k\in K}$ +\end_inset + + es una biyección que conserva la inclusión, y +\begin_inset Formula \[ p(K)=\frac{K+N}{N}. \] @@ -1928,8 +2264,73 @@ Sea \end_layout \end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +clase de isomorfía +\series default + es una clase de equivalencia por la relación +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +ser isomorfos +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $\frac{A}{I}\cong\frac{A}{J}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos entonces +\begin_inset Formula $I=J$ +\end_inset + +, pero esto no es válido si el isomorfismo es de anillos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + \begin_layout Section -Operaciones con submódulos +Sistemas generadores \end_layout \begin_layout Standard @@ -2291,550 +2692,521 @@ Si \end_deeper \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $\{N_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ -\end_inset - - y el homomorfismo de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_inset ERT +status open --módulos -\begin_inset Formula $\phi:\bigoplus_{i\in I}N_{i}\to M$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - dado por -\begin_inset Formula $\phi(m)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ -\end_inset -: +\backslash +begin{exinfo} \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset - es suprayectiva si y sólo si -\begin_inset Formula $M=\sum_{i}N_{i}$ -\end_inset -. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset - - es inyectiva si y sólo si los elementos de -\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ -\end_inset - - tienen una expresión única como -\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - con cada -\begin_inset Formula $n_{i}\in N_{i}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +9. +\end_layout - casi todos nulos, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall i,N_{i}\cap\sum_{j\neq i}N_{j}=0$ \end_inset -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ +Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset - es la -\series bold -suma directa interna -\series default - de -\begin_inset Formula $(N_{i})_{i}$ + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset -, escrita -\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}M_{i}$ + son finitamente generados, +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, que es isomorfa con la suma directa externa. + es finitamente generado. \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\iff2]$ -\end_inset - - Por definición de -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -. +\begin_layout Plain Layout +10. \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - Si -\begin_inset Formula $n_{i}=\sum_{j\neq i}n_{j}$ +Si +\begin_inset Formula $N,K\leq_{A}M$ \end_inset -, por unicidad es -\begin_inset Formula $n_{i}=0$ +, +\begin_inset Formula $N\cap K\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{r})$ \end_inset -. -\end_layout +, +\begin_inset Formula $N+K\eqqcolon(y_{1},\dots,y_{s})$ +\end_inset -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ + y, para +\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,s\}$ \end_inset - Para -\begin_inset Formula $n\in\bigoplus_{i}N_{i}$ +, +\begin_inset Formula $y_{j}\eqqcolon n_{j}+k_{j}$ \end_inset con -\begin_inset Formula $\phi(n)=\sum_{i}n_{i}=0$ +\begin_inset Formula $n_{j}\in N$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $i\in I$ + y +\begin_inset Formula $k_{j}\in K$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $n_{i}=-\sum_{j\neq i}n_{j}=0$ +, entonces +\begin_inset Formula $N=(x_{1},\dots,x_{r},n_{1},\dots,n_{s})$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $n=0$ + y +\begin_inset Formula $K=(x_{1},\dots,x_{r},k_{1},\dots,k_{s})$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset - - es la suma directa interna de los -\begin_inset Formula $N_{i}$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - si y sólo si -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +11. +\end_layout - es un isomorfismo, si y sólo si cada elemento de -\begin_inset Formula $M$ \end_inset - se escribe de forma única como -\begin_inset Formula $\sum_{i}m_{i}$ +Dado un entero +\begin_inset Formula $q\geq2$ \end_inset - con cada -\begin_inset Formula $m_{i}\in M_{i}$ +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\left[\frac{1}{q}\right]=\left\{ \frac{a}{q^{n}}\right\} _{a\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}}\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset - y casi todos nulos. + no es finitamente generado. + \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $N,N'\leq_{A}M$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +12. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N\oplus N'\land N\cap N'=0$ \end_inset -, y entonces: +Los epimorfismos conservan los conjuntos generadores. \end_layout -\begin_layout Enumerate -La +\begin_layout Standard + \series bold -proyección +Lema de Nakayama: \series default - -\begin_inset Formula $p:M\to N$ + Dados +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - dada por -\begin_inset Formula $p(x+x')\coloneqq x$ + y +\begin_inset Formula $J\leq A$ \end_inset - para -\begin_inset Formula $x\in N$ + con +\begin_inset Formula $J\subseteq\text{Jac}A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x'\in N'$ +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - es un homomorfismo suprayectivo con núcleo -\begin_inset Formula $N'$ + es finitamente generado y +\begin_inset Formula $JM=M$ \end_inset -. -\end_layout + entonces +\begin_inset Formula $M=0$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -La unicidad garantiza que está bien definida y el resto es trivial. -\end_layout +. + Esto no se cumple si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong N'$ + no es finitamente generado, pues por ejemplo +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset -. -\end_layout + visto como +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{(p)}$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Por el primer teorema de isomorfía en -\begin_inset Formula $p$ +-módulo cumple +\begin_inset Formula $\text{Jac}(\mathbb{Z}_{p}(\mathbb{Q}))=\mathbb{Q}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate +Si \begin_inset Formula $M$ \end_inset - es finitamente generado si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $N$ + es finitamente generado, el único +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $N'$ + con +\begin_inset Formula $M=JM+N$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $M$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +Si +\begin_inset Formula $(A,J,K)$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ + es un anillo local, +\begin_inset Formula $\frac{M}{JM}$ \end_inset + es anulado por +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset -\end_layout + ( +\begin_inset Formula $J\subseteq\text{ann}_{A}(\frac{M}{JM})$ +\end_inset +), luego es un +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -Por ser isomorfos a espacios cociente del módulo finitamente generado +-espacio vectorial. + Si además \begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es finitamente generado, +\begin_inset Formula $\frac{M}{JM}$ +\end_inset + + es de dimensión finita, y si +\begin_inset Formula $_{K}\frac{M}{JM}=(\overline{m_{1}},\dots,\overline{m_{n}})$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $_{A}M=(m_{1},\dots,m_{n})$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + \end_inset \end_layout +\begin_layout Section +Sumas directas +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $\{N_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset -La unión de un conjunto generador de -\begin_inset Formula $N$ + y el homomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y uno de -\begin_inset Formula $N'$ +-módulos +\begin_inset Formula $\phi:\bigoplus_{i\in I}N_{i}\to M$ \end_inset - es uno de -\begin_inset Formula $M$ + dado por +\begin_inset Formula $\phi(m)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ \end_inset -. +: \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset - es un -\series bold -sumando directo -\series default - de -\begin_inset Formula $M$ + es suprayectiva si y sólo si +\begin_inset Formula $M=\sum_{i}N_{i}$ \end_inset - si existe -\begin_inset Formula $N'\leq_{A}M$ -\end_inset +. +\end_layout - con -\begin_inset Formula $M=N\oplus N'$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset - llamado -\series bold -complemento directo -\series default - de -\begin_inset Formula $N$ + es inyectiva si y sólo si los elementos de +\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $M$ + tienen una expresión única como +\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ \end_inset -, si y sólo si la inclusión -\begin_inset Formula $\iota:N\hookrightarrow M$ + con cada +\begin_inset Formula $n_{i}\in N_{i}$ \end_inset - tiene un inverso por la izquierda, es decir, un -\begin_inset Formula $A$ + casi todos nulos, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall i,N_{i}\cap\sum_{j\neq i}N_{j}=0$ \end_inset --homomorfismo -\begin_inset Formula $h:M\to N$ +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{N}$ + es la +\series bold +suma directa interna +\series default + de +\begin_inset Formula $(N_{i})_{i}$ \end_inset -, que deja fijos los puntos de -\begin_inset Formula $N$ +, escrita +\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}M_{i}$ \end_inset -. +, que es isomorfa con la suma directa externa. \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\iff2]$ \end_inset + Por definición de +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset +. \end_layout +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset -La proyección -\begin_inset Formula $p:M\to N$ + Si +\begin_inset Formula $n_{i}=\sum_{j\neq i}n_{j}$ \end_inset - cumple -\begin_inset Formula $p\circ\iota=1_{N}$ +, por unicidad es +\begin_inset Formula $n_{i}=0$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset - -\end_layout - + Para +\begin_inset Formula $n\in\bigoplus_{i}N_{i}$ \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $N'\coloneqq\ker h$ + con +\begin_inset Formula $\phi(n)=\sum_{i}n_{i}=0$ \end_inset , para -\begin_inset Formula $x\in N\cap N'$ +\begin_inset Formula $i\in I$ \end_inset , -\begin_inset Formula $0=h(x)=h(\iota(x))=x$ +\begin_inset Formula $n_{i}=-\sum_{j\neq i}n_{j}=0$ \end_inset -, y para -\begin_inset Formula $x\in M$ +, luego +\begin_inset Formula $n=0$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $x=h(x)+(x-h(x))$ -\end_inset +. +\end_layout - con -\begin_inset Formula $h(x)\in N$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x-h(x)\in N'=\ker h$ + es la suma directa interna de los +\begin_inset Formula $N_{i}$ \end_inset - ya que -\begin_inset Formula $h(x-\iota(h(x)))=h(x)-h(x)=0$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -En general un submódulo de + es un isomorfismo, si y sólo si cada elemento de \begin_inset Formula $M$ \end_inset - no es isomorfo a un cociente de -\begin_inset Formula $M$ + se escribe de forma única como +\begin_inset Formula $\sum_{i}m_{i}$ \end_inset - ni al revés, pues el cociente -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ + con cada +\begin_inset Formula $m_{i}\in M_{i}$ \end_inset - no es isomorfo a un ideal de -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset + y casi todos nulos. +\end_layout - y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $N,N'\leq_{A}M$ \end_inset - no es isomorfo a un cociente de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +, +\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N\oplus N'\land N\cap N'=0$ \end_inset - ya que en todo cociente de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset +, y entonces: +\end_layout - cumple que para cada -\begin_inset Formula $x$ +\begin_layout Enumerate +La +\series bold +proyección +\series default + +\begin_inset Formula $p:M\to N$ \end_inset - hay un -\begin_inset Formula $y$ + dada por +\begin_inset Formula $p(x+x')\coloneqq x$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $x=y+y$ + para +\begin_inset Formula $x\in N$ \end_inset - ( -\begin_inset Formula $y=\frac{x}{2}$ + y +\begin_inset Formula $x'\in N'$ \end_inset -) y esto no ocurre en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ + es un homomorfismo suprayectivo con núcleo +\begin_inset Formula $N'$ \end_inset . - Si -\begin_inset Formula $M=\bigoplus_{i\in I}M_{i}$ -\end_inset - -, cada -\begin_inset Formula $M_{i}$ -\end_inset +\end_layout - es un sumando directo de -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset +\begin_deeper +\begin_layout Standard +La unicidad garantiza que está bien definida y el resto es trivial. +\end_layout - con complemento directo -\begin_inset Formula $\bigoplus_{j\in I\setminus\{i\}}M_{i}$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong N'$ \end_inset . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset Note Comment -status open +Por el primer teorema de isomorfía en +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -Estaba en mis notas de clase y no sé que significa. +. \end_layout -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Quotes cld +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -Tenemos un isomorfismo -\begin_inset Formula $_{A}\text{Mod}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong M$ + es finitamente generado si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $N$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $\text{End}_{A}(M)\cong\text{End}_{A}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ + y +\begin_inset Formula $N'$ \end_inset . - Si -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ -\end_inset - - entonces la aplicación -\begin_inset Formula $\mu:\frac{A}{I}\to\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $\overline{a}\mapsto\mu_{\overline{a}}\coloneqq(\overline{b}\mapsto\overline{ab})$ -\end_inset +\end_layout - es un isomorfismo de anillos. - En efecto, -\begin_inset Formula $\ker\mu=\{\overline{a}:\mu_{\overline{a}}\equiv0\}=\{\overline{a}\in\frac{A}{I}:\forall\overline{b}\in\frac{A}{I},\overline{a}\overline{b}=\overline{0}\}$ -\end_inset +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -, con lo que -\begin_inset Formula $\ker\mu=0$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset - implica que -\begin_inset Formula $\mu$ -\end_inset - es inyectiva. - -\begin_inset Formula $\mu$ -\end_inset +\end_layout - suprayectiva: Sea -\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ \end_inset - ( -\begin_inset Formula $f:\frac{A}{I}\to\frac{A}{I}$ +Por ser isomorfos a espacios cociente del módulo finitamente generado +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -), sea -\begin_inset Formula $\overline{a}\coloneqq f(\overline{1})$ -\end_inset +. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $f(\overline{b})=f(\overline{b}\overline{1})=\overline{b}f(\overline{1})=\overline{b}\overline{a}$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -. -\begin_inset Quotes crd +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset @@ -2842,228 +3214,171 @@ Tenemos un isomorfismo \end_inset +La unión de un conjunto generador de +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $_{A}M$ + y uno de +\begin_inset Formula $N'$ \end_inset - es -\series bold -indescomponible -\series default - si sus únicos sumandos directos son 0 y + es uno de \begin_inset Formula $M$ \end_inset . - \end_layout -\begin_layout Enumerate -Todo subespacio -\begin_inset Formula $W$ -\end_inset +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - de un espacio vectorial -\begin_inset Formula $V$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - tiene complementos directos (no únicos). -\end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Una base de -\begin_inset Formula $W$ -\end_inset +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout - se completa a una de -\begin_inset Formula $V$ \end_inset - y el subespacio generado por los vectores que se añaden es un complemento - directo de -\begin_inset Formula $W$ +Si +\begin_inset Formula $J\trianglelefteq A$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $V$ + y +\begin_inset Formula $_{A}M=\bigoplus_{i\in I}M_{i}$ \end_inset -. +: \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate -Dada una familia -\begin_inset Formula $\{M_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}\text{Mod}$ +Dado un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, podemos identificar cada -\begin_inset Formula $M_{i}$ +-isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:M\to N$ \end_inset - con el submódulo de -\begin_inset Formula $\prod_{i}M_{i}$ +, +\begin_inset Formula $N=\bigoplus_{i\in I}f(M_{i})$ \end_inset - con entradas nulas en cada componente salvo la -\begin_inset Formula $i$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(J)=\bigoplus_{i\in I}\text{ann}_{M_{i}}(J)$ \end_inset - y entonces la familia -\begin_inset Formula $(M_{i})_{i}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=\bigcap_{i\in I}\text{ann}_{A}(M_{i})$ \end_inset - es independiente y su suma directa interna coincide con la suma directa - externa. +. \end_layout \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - tiene un elemento cancelable (no invertible), + es un DIP, \begin_inset Formula $I$ \end_inset - no es un sumando directo de -\begin_inset Formula $_{A}A$ + es finito y +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M_{i})=(b_{i})$ \end_inset -. - En particular, si -\begin_inset Formula $A$ + para cada +\begin_inset Formula $i\in I$ \end_inset - es un dominio, -\begin_inset Formula $_{A}A$ +, entonces +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=(\text{lcm}_{i\in I}b_{i})$ \end_inset - es indescomponible. +. \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Si tuviera complemento directo -\begin_inset Formula $J$ -\end_inset +\begin_inset ERT +status open -, este sería no nulo por ser -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - propio, luego si -\begin_inset Formula $b\in I$ -\end_inset - es cancelable y -\begin_inset Formula $c\in J\setminus\{0\}$ -\end_inset +\backslash +end{exinfo} +\end_layout -, -\begin_inset Formula $0\neq bc\in I\cap J\#$ \end_inset -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{r}\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - son primos distintos, -\begin_inset Formula $n\coloneqq\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $q_{i}\coloneqq\frac{n}{p_{i}^{m_{i}}}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}=\bigoplus_{i=1}^{r}q_{i}\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset -. \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Como -\begin_inset Formula $\gcd\{q_{1},\dots,q_{r}\}=1$ +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset -, hay una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}q_{i}=1$ + es un +\series bold +sumando directo +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y la suma de ideales es -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ + si existe +\begin_inset Formula $N'\leq_{A}M$ \end_inset -. - Para ver que es directa, si -\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=\sum_{j\neq i}q_{j}\overline{a_{j}}$ + con +\begin_inset Formula $M=N\oplus N'$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $q_{i}a_{i}=nb+\sum_{j\neq i}q_{j}a_{j}$ + llamado +\series bold +complemento directo +\series default + de +\begin_inset Formula $N$ \end_inset en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - para cierto -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -, y como -\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}$ -\end_inset - - divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la primera y -\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}\mid q_{i}a_{i}$ +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=0$ +, si y sólo si la inclusión +\begin_inset Formula $\iota:N\hookrightarrow M$ \end_inset - y la suma es directa. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Un + tiene un inverso por la izquierda, es decir, un \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulo cíclico -\begin_inset Formula $M\neq0$ -\end_inset - - es indescomponible si y sólo si los únicos idempotentes de -\begin_inset Formula $\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ +-homomorfismo +\begin_inset Formula $h:M\to N$ \end_inset - son -\begin_inset Formula $\overline{0}$ + con +\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{N}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{1}$ +, que deja fijos los puntos de +\begin_inset Formula $N$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open @@ -3077,2233 +3392,3354 @@ status open \end_inset -Probamos el contrarrecíproco. - Sea -\begin_inset Formula $m\in M\setminus0$ +La proyección +\begin_inset Formula $p:M\to N$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $M=(m)$ + cumple +\begin_inset Formula $p\circ\iota=1_{N}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=\{a\in A:am=0\}$ -\end_inset +. +\end_layout -, y si -\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ -\end_inset +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open - es un idempotente distinto de -\begin_inset Formula $\overline{0}$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{1}$ + +\end_layout + \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $\iota:(em)\to M$ +Sea +\begin_inset Formula $N'\coloneqq\ker h$ \end_inset - es la inclusión y -\begin_inset Formula $h:M\to(em)$ +, para +\begin_inset Formula $x\in N\cap N'$ \end_inset - el homomorfismo producto por -\begin_inset Formula $e$ +, +\begin_inset Formula $0=h(x)=h(\iota(x))=x$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $b\in M$ +, y para +\begin_inset Formula $x\in M$ \end_inset , -\begin_inset Formula $h(\iota(bem))=h(bem)=be^{2}m=bem$ +\begin_inset Formula $x=h(x)+(x-h(x))$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{(em)}$ + con +\begin_inset Formula $h(x)\in N$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(em)$ +\begin_inset Formula $x-h(x)\in N'=\ker h$ \end_inset - es sumando directo distinto de 0 y -\begin_inset Formula $M$ + ya que +\begin_inset Formula $h(x-\iota(h(x)))=h(x)-h(x)=0$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\begin_layout Standard +En general un submódulo de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - -\end_layout - + no es isomorfo a un cociente de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ + ni al revés, pues el cociente +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ \end_inset -, por el argumento anterior -\begin_inset Formula $(em)$ + no es isomorfo a un ideal de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - es un sumando directo, de modo que bien -\begin_inset Formula $(em)=0$ + y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $em=0$ + no es isomorfo a un cociente de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $e\in\text{ann}_{A}(M)$ + ya que en todo cociente de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{0}$ + cumple que para cada +\begin_inset Formula $x$ \end_inset -, bien -\begin_inset Formula $(em)=(m)$ + hay un +\begin_inset Formula $y$ \end_inset - y existe -\begin_inset Formula $b\in A$ + con +\begin_inset Formula $x=y+y$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $bem=m$ + ( +\begin_inset Formula $y=\frac{x}{2}$ \end_inset -, de modo que -\begin_inset Formula $(be-1)m=0$ +) y esto no ocurre en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\overline{b}\overline{e}=\overline{1}$ +. + Si +\begin_inset Formula $M=\bigoplus_{i\in I}M_{i}$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $\overline{e}$ +, cada +\begin_inset Formula $M_{i}$ \end_inset - es una unidad con -\begin_inset Formula $\overline{e}\overline{e}=\overline{e}$ + es un sumando directo de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{1}$ + con complemento directo +\begin_inset Formula $\bigoplus_{j\in I\setminus\{i\}}M_{i}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $M\in\text{MaxSpec}(A)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ -\end_inset - -, el -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - --módulo -\begin_inset Formula $\frac{A}{M^{n}}$ -\end_inset - - es indescomponible. -\begin_inset Note Note +\begin_layout Standard +\begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout -TODO ejercicio Saorín 1 +Estaba en mis notas de clase y no sé que significa. \end_layout +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Quotes cld \end_inset +Tenemos un isomorfismo +\begin_inset Formula $_{A}\text{Mod}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong M$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ +, luego +\begin_inset Formula $\text{End}_{A}(M)\cong\text{End}_{A}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ \end_inset - es un DIP y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ +. + Si +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\frac{A}{(a)}$ + entonces la aplicación +\begin_inset Formula $\mu:\frac{A}{I}\to\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ \end_inset - es indescomponible si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ + dada por +\begin_inset Formula $\overline{a}\mapsto\mu_{\overline{a}}\coloneqq(\overline{b}\mapsto\overline{ab})$ \end_inset - es asociado a -\begin_inset Formula $p^{t}$ + es un isomorfismo de anillos. + En efecto, +\begin_inset Formula $\ker\mu=\{\overline{a}:\mu_{\overline{a}}\equiv0\}=\{\overline{a}\in\frac{A}{I}:\forall\overline{b}\in\frac{A}{I},\overline{a}\overline{b}=\overline{0}\}$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $p\in A$ +, con lo que +\begin_inset Formula $\ker\mu=0$ \end_inset - irreducible y -\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}^{*}$ + implica que +\begin_inset Formula $\mu$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open + es inyectiva. + +\begin_inset Formula $\mu$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -TODO ejercicio Saorín 2 -\end_layout + suprayectiva: Sea +\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$ +\end_inset + ( +\begin_inset Formula $f:\frac{A}{I}\to\frac{A}{I}$ \end_inset +), sea +\begin_inset Formula $\overline{a}\coloneqq f(\overline{1})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f(\overline{b})=f(\overline{b}\overline{1})=\overline{b}f(\overline{1})=\overline{b}\overline{a}$ +\end_inset + +. +\begin_inset Quotes crd +\end_inset -\end_layout -\begin_layout Section -Módulos libres \end_layout -\begin_layout Standard -Dados -\begin_inset Formula $X\coloneqq\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ \end_inset -, el homomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ -\end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}$ -\end_inset +\end_layout -, -\begin_inset Formula $\phi$ +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - es suprayectivo si y sólo si -\begin_inset Formula $M=\sum_{i\in I}Am_{i}$ + es +\series bold +indescomponible +\series default + si sus únicos sumandos directos son 0 y +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, y es inyectivo si y sólo si cada elemento de -\begin_inset Formula $(X)$ -\end_inset +. + +\end_layout - se expresa de forma única como -\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ +\begin_layout Enumerate +Todo subespacio +\begin_inset Formula $W$ \end_inset - con los -\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ + de un espacio vectorial +\begin_inset Formula $V$ \end_inset - casi todos nulos, si y sólo si los submódulos -\begin_inset Formula $(Am_{i})_{i\in I}$ -\end_inset + tiene complementos directos (no únicos). +\end_layout - son independientes y para cada -\begin_inset Formula $i\in I$ +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Una base de +\begin_inset Formula $W$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ + se completa a una de +\begin_inset Formula $V$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $am_{i}\neq0$ + y el subespacio generado por los vectores que se añaden es un complemento + directo de +\begin_inset Formula $W$ \end_inset -, en cuyo caso decimos que -\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ + en +\begin_inset Formula $V$ \end_inset - es -\series bold -linealmente independiente -\series default . \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies2]$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dada una familia +\begin_inset Formula $\{M_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}\text{Mod}$ \end_inset - Si -\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}=\sum_{i}a'_{i}m_{i}$ +, podemos identificar cada +\begin_inset Formula $M_{i}$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $\phi(a)=\phi(a')$ + con el submódulo de +\begin_inset Formula $\prod_{i}M_{i}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a=a'$ + con entradas nulas en cada componente salvo la +\begin_inset Formula $i$ \end_inset -. + y entonces la familia +\begin_inset Formula $(M_{i})_{i}$ +\end_inset + + es independiente y su suma directa interna coincide con la suma directa + externa. \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset - La expresión de elementos de -\begin_inset Formula $(X)$ + tiene un elemento cancelable (no invertible), +\begin_inset Formula $I$ \end_inset - como -\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ + no es un sumando directo de +\begin_inset Formula $_{A}A$ \end_inset - con cada -\begin_inset Formula $n_{i}=a_{i}m_{i}\in Am_{i}$ +. + En particular, si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es única, luego los -\begin_inset Formula $Am_{i}$ + es un dominio, +\begin_inset Formula $_{A}A$ \end_inset - son independientes, y si hubiera -\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ + es indescomponible. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Si tuviera complemento directo +\begin_inset Formula $J$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $i\in I$ +, este sería no nulo por ser +\begin_inset Formula $I$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $am_{i}=0$ + propio, luego si +\begin_inset Formula $b\in I$ \end_inset - habría dos expresiones -\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ + es cancelable y +\begin_inset Formula $c\in J\setminus\{0\}$ \end_inset - para el -\begin_inset Formula $0\#$ +, +\begin_inset Formula $0\neq bc\in I\cap J\#$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ -\end_inset - - Si -\begin_inset Formula $\phi(a)=\sum_{i}a_{i}m_{i}=0$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{r}\in\mathbb{Z}$ \end_inset -, por lo primero cada -\begin_inset Formula $a_{i}m_{i}=0$ + son primos distintos, +\begin_inset Formula $n\coloneqq\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}$ \end_inset -, y por lo segundo cada -\begin_inset Formula $a_{i}=0$ + y +\begin_inset Formula $q_{i}\coloneqq\frac{n}{p_{i}^{m_{i}}}$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $a=0$ +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}=\bigoplus_{i=1}^{r}q_{i}\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset . \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -Una familia -\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ +Como +\begin_inset Formula $\gcd\{q_{1},\dots,q_{r}\}=1$ \end_inset - es una -\series bold -base -\series default - de -\begin_inset Formula $M$ +, hay una identidad de Bézout +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}q_{i}=1$ \end_inset - si es linealmente independiente y genera -\begin_inset Formula $M$ + y la suma de ideales es +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +. + Para ver que es directa, si +\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=\sum_{j\neq i}q_{j}\overline{a_{j}}$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ + entonces +\begin_inset Formula $q_{i}a_{i}=nb+\sum_{j\neq i}q_{j}a_{j}$ \end_inset - es biyectiva, si y sólo si para cada -\begin_inset Formula $m\in M$ + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - existe una única elección de coeficientes -\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ + para cierto +\begin_inset Formula $b$ \end_inset - casi todos nulos, llamados -\series bold -coordenadas -\series default - de -\begin_inset Formula $m$ +, y como +\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}$ \end_inset - la base, con -\begin_inset Formula $m=\sum_{i}a_{i}m_{i}$ + divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la primera y +\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}\mid q_{i}a_{i}$ \end_inset -. - Un módulo es -\series bold -libre -\series default - si tiene una base. -\end_layout +, con lo que +\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=0$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -El módulo 0 es libre con base vacía. + y la suma es directa. \end_layout +\end_deeper \begin_layout Enumerate -Los -\begin_inset Formula $A^{(I)}$ -\end_inset - - son libres con la -\series bold -base canónica -\series default - -\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ +Un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, donde cada -\begin_inset Formula $e_{i}$ +-módulo cíclico +\begin_inset Formula $M\neq0$ \end_inset - tiene 1 en la entrada -\begin_inset Formula $i$ + es indescomponible si y sólo si los únicos idempotentes de +\begin_inset Formula $\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ \end_inset - y un 0 en el resto. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Todo espacio vectorial es libre, y las bases coinciden con los conjuntos - linealmente independientes maximales y los conjuntos generadores minimales. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $_{A}A[X]$ + son +\begin_inset Formula $\overline{0}$ \end_inset - es libre con base -\begin_inset Formula $(X^{n})_{n\in\mathbb{N}}$ + y +\begin_inset Formula $\overline{1}$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[\text{i}]$ -\end_inset +\begin_deeper +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open - es libre con base -\begin_inset Formula $\{1,\text{i}\}$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset -. + \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset - no es libre. -\end_layout +Probamos el contrarrecíproco. + Sea +\begin_inset Formula $m\in M\setminus0$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $\frac{a}{r},\frac{b}{s}\in\mathbb{Q}$ + con +\begin_inset Formula $M=(m)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $br\frac{a}{r}-as\frac{b}{s}=0$ +\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=\{a\in A:am=0\}$ \end_inset -, luego los conjuntos linealmente independientes son de un elemento, pero - estos no generan -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +, y si +\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ \end_inset -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $M$ + es un idempotente distinto de +\begin_inset Formula $\overline{0}$ \end_inset - es un grupo abeliano finito no nulo, -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}M$ + y +\begin_inset Formula $\overline{1}$ \end_inset - no es libre. -\end_layout +, sean +\begin_inset Formula $\iota:(em)\to M$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -No puede ser isomorfo a un -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{(I)}$ + es la inclusión y +\begin_inset Formula $h:M\to(em)$ \end_inset -. -\end_layout + el homomorfismo producto por +\begin_inset Formula $e$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open +, para +\begin_inset Formula $b\in M$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout +, +\begin_inset Formula $h(\iota(bem))=h(bem)=be^{2}m=bem$ +\end_inset +, luego +\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{(em)}$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout + y +\begin_inset Formula $(em)$ +\end_inset + es sumando directo distinto de 0 y +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -Los isomorfismos conservan bases. -\begin_inset ERT +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset -\backslash -end{exinfo} \end_layout \end_inset - -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $_{A}M$ +Sea +\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$ \end_inset - es libre si y sólo si es isomorfo a -\begin_inset Formula $A^{(I)}$ +, por el argumento anterior +\begin_inset Formula $(em)$ \end_inset - para cierto -\begin_inset Formula $I$ + es un sumando directo, de modo que bien +\begin_inset Formula $(em)=0$ \end_inset -, en cuyo caso todas sus bases tienen cardinal -\begin_inset Formula $|I|$ + y por tanto +\begin_inset Formula $em=0$ \end_inset -, llamado el -\series bold -rango -\series default - de -\begin_inset Formula $M$ +, +\begin_inset Formula $e\in\text{ann}_{A}(M)$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $\text{rg}M$ + y +\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{0}$ \end_inset -, y en particular. - -\series bold -Demostración: -\series default - Si -\begin_inset Formula $_{A}M$ +, bien +\begin_inset Formula $(em)=(m)$ \end_inset - es libre con base -\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ + y existe +\begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset -, hay un isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ + con +\begin_inset Formula $bem=m$ \end_inset -, y si hay tal isomorfismo, -\begin_inset Formula $M$ +, de modo que +\begin_inset Formula $(be-1)m=0$ \end_inset - tiene la base resultante de llevar la base canónica de -\begin_inset Formula $A^{(I)}$ + y +\begin_inset Formula $\overline{b}\overline{e}=\overline{1}$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $M$ +, con lo que +\begin_inset Formula $\overline{e}$ \end_inset - por el isomorfismo. - Si -\begin_inset Formula $A=0$ + es una unidad con +\begin_inset Formula $\overline{e}\overline{e}=\overline{e}$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $M=0$ + y por tanto +\begin_inset Formula $\overline{e}=\overline{1}$ \end_inset - y el resultado es claro. - En otro caso existe -\begin_inset Formula $J\trianglelefteq_{\text{m}}A$ +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $M\in\text{MaxSpec}(A)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $JM$ +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - es un +, el \begin_inset Formula $A$ \end_inset --submódulo de -\begin_inset Formula $M$ +-módulo +\begin_inset Formula $\frac{A}{M^{n}}$ \end_inset -, luego si -\begin_inset Formula $\overline{M}\coloneqq\frac{M}{JM}$ -\end_inset + es indescomponible. +\begin_inset Note Note +status open -, los elementos de -\begin_inset Formula $J\overline{M}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio Saorín 1 +\end_layout - son sumas de elementos de la forma -\begin_inset Formula $j\overline{m}=jm+JM=JM$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $j\in J$ -\end_inset - y -\begin_inset Formula $m\in M$ -\end_inset - - y por tanto -\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ -\end_inset +\end_layout -. - Pero un +\begin_layout Enumerate +Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulo -\begin_inset Formula $\overline{M}$ + es un DIP y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ +, +\begin_inset Formula $\frac{A}{(a)}$ \end_inset - es -\begin_inset Quotes cld + es indescomponible si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -lo mismo -\begin_inset Quotes crd + es asociado a +\begin_inset Formula $p^{t}$ \end_inset - que un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ + para ciertos +\begin_inset Formula $p\in A$ \end_inset --módulo, luego -\begin_inset Formula $\overline{M}$ + irreducible y +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - es un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ -\end_inset +. +\begin_inset Note Note +status open --módulo y por tanto es un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +TODO ejercicio Saorín 2 +\end_layout --espacio vectorial. - Sea entonces -\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ \end_inset - una base de -\begin_inset Formula $_{A}M$ -\end_inset -, -\begin_inset Formula $\{\overline{m_{i}}\}_{i\in I}\subseteq\overline{M}$ -\end_inset +\end_layout - es un conjunto generador, y es linealmente independiente. - En efecto, si -\begin_inset Formula $\sum_{i}\overline{a_{i}}\overline{m_{i}}=\overline{0}$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - entonces -\begin_inset Formula $x\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}\in JM$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout -, luego -\begin_inset Formula $x=\sum_{j=1}^{n}b_{j}x_{j}$ -\end_inset - con cada -\begin_inset Formula $b_{j}\in J$ -\end_inset +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout - y cada -\begin_inset Formula $x_{j}\in M$ \end_inset - y, escribiendo cada -\begin_inset Formula $x_{j}$ -\end_inset - como -\begin_inset Formula $\sum_{i}c_{ji}m_{i}$ -\end_inset +\end_layout -, -\begin_inset Formula $x=\sum_{j}\sum_{i}b_{j}c_{ji}m_{i}=\sum_{i}\left(\sum_{j}b_{j}c_{ji}\right)m_{i}$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout -, y por la independencia lineal de los -\begin_inset Formula $m_{i}$ \end_inset -, cada -\begin_inset Formula $a_{i}=\sum_{j}b_{j}c_{ji}\in J$ +Si +\begin_inset Formula $e\in A$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\overline{a_{i}}=\overline{0}$ + es idempotente, +\begin_inset Formula $eM$ \end_inset -. - Haciendo esta operación con dos bases distintas de + es sumando directo de \begin_inset Formula $M$ \end_inset - con el mismo -\begin_inset Formula $J$ -\end_inset +. +\end_layout - se obtienen dos bases distintas del espacio vectorial -\begin_inset Formula $J\overline{M}$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open - que deben tener el mismo cardinal, lo que prueba la unicidad del rango. +\begin_layout Plain Layout +9. \end_layout -\begin_layout Standard -Un +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $f:M\to M$ +\end_inset + + es un \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulo libre es finitamente generado si y sólo si tiene rango finito, es - decir, si es isomorfo a un -\begin_inset Formula $A^{n}$ +-endomorfismo idempotente, +\begin_inset Formula $M=\ker f\oplus\text{Im}f$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset +\backslash +end{exinfo} \end_layout \end_inset -Sean -\begin_inset Formula $S\subseteq_{A}M$ -\end_inset - un generador finito de -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset +\end_layout -, -\begin_inset Formula $(b_{i})_{i\in I}$ -\end_inset +\begin_layout Section +Módulos libres +\end_layout - una base de -\begin_inset Formula $M$ +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $X\coloneqq\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ \end_inset - y +, el homomorfismo \begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ \end_inset - el isomorfismo asociado a la base, si -\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq\{i\in I:(\phi^{-1}(a))_{i}\neq0\}$ + dado por +\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $J\coloneqq\bigcup_{a\in S}f(a)$ +, +\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset - es finito, pero necesariamente -\begin_inset Formula $J=I$ + es suprayectivo si y sólo si +\begin_inset Formula $M=\sum_{i\in I}Am_{i}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +, y es inyectivo si y sólo si cada elemento de +\begin_inset Formula $(X)$ \end_inset + se expresa de forma única como +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ +\end_inset -\end_layout + con los +\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ +\end_inset + casi todos nulos, si y sólo si los submódulos +\begin_inset Formula $(Am_{i})_{i\in I}$ \end_inset -Obvio. -\end_layout + son independientes y para cada +\begin_inset Formula $i\in I$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual a un generador - del módulo, pues si -\begin_inset Formula $X$ + y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ \end_inset - es un generador de -\begin_inset Formula $M$ + es +\begin_inset Formula $am_{i}\neq0$ \end_inset - existe un epimorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{(X)}\twoheadrightarrow M$ +, en cuyo caso decimos que +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{x}a_{x}x$ + es +\series bold +linealmente independiente +\series default +. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset - y, por el primer teorema de isomorfía, -\begin_inset Formula $\frac{A^{(X)}}{\ker\phi}\cong M$ + Si +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}=\sum_{i}a'_{i}m_{i}$ \end_inset -. - En particular todo módulo finitamente generado es cociente de un módulo - libre de rango finito y todo -\begin_inset Formula $A$ + entonces +\begin_inset Formula $\phi(a)=\phi(a')$ \end_inset --módulo cíclico es cociente de -\begin_inset Formula $_{A}A$ + y +\begin_inset Formula $a=a'$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $_{A}L=L_{1}\oplus\dots\oplus L_{t}$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - es una suma directa interna y cada -\begin_inset Formula $L_{i}$ + La expresión de elementos de +\begin_inset Formula $(X)$ \end_inset - es libre con base finita -\begin_inset Formula $X_{i}$ + como +\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $L$ + con cada +\begin_inset Formula $n_{i}=a_{i}m_{i}\in Am_{i}$ \end_inset - tiene como base la concatenación de las -\begin_inset Formula $X_{i}$ + es única, luego los +\begin_inset Formula $Am_{i}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\text{rg}L=\text{rg}L_{1}+\dots+\text{rg}L_{t}$ + son independientes, y si hubiera +\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$ \end_inset -. - -\series bold -Demostración: -\series default - Para -\begin_inset Formula $t\leq1$ -\end_inset - - es obvio, y para -\begin_inset Formula $t>2$ + e +\begin_inset Formula $i\in I$ \end_inset - se ve por inducción. - Para -\begin_inset Formula $t=2$ + con +\begin_inset Formula $am_{i}=0$ \end_inset -, las uniones de conjuntos generadores generan el submódulo suma, y queda - ver que si -\begin_inset Formula $\{n_{1},\dots,n_{r}\}\subseteq L_{1}$ + habría dos expresiones +\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\{k_{1},\dots,k_{s}\}\subseteq L_{2}$ + para el +\begin_inset Formula $0\#$ \end_inset - son linealmente independientes, la unión, que es disjunta, es linealmente - independiente. - Pero si -\begin_inset Formula $(a\coloneqq a_{1}n_{1}+\dots+a_{r}n_{r})+(b\coloneqq b_{1}k_{1}+\dots+b_{s}k_{s})=0$ -\end_inset +. +\end_layout - para ciertos -\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}\in A$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $a,b=0$ + Si +\begin_inset Formula $\phi(a)=\sum_{i}a_{i}m_{i}=0$ \end_inset - por ser -\begin_inset Formula $a\in L_{1}$ +, por lo primero cada +\begin_inset Formula $a_{i}m_{i}=0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b\in L_{2}$ +, y por lo segundo cada +\begin_inset Formula $a_{i}=0$ \end_inset -, luego cada -\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}=0$ +, luego +\begin_inset Formula $a=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +Una familia +\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$ \end_inset - una base de -\begin_inset Formula $_{A}M$ + es una +\series bold +base +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\{n_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}N$ + si es linealmente independiente y genera +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, existe un único -\begin_inset Formula $A$ +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ \end_inset --homomorfismo -\begin_inset Formula $f:M\to N$ + dado por +\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$ \end_inset - con cada -\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ + es biyectiva, si y sólo si para cada +\begin_inset Formula $m\in M$ \end_inset -. - + existe una única elección de coeficientes +\begin_inset Formula $a_{i}\in A$ +\end_inset + + casi todos nulos, llamados \series bold -Demostración: +coordenadas \series default - Existe un -\begin_inset Formula $A$ + de +\begin_inset Formula $m$ \end_inset --isomorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ + la base, con +\begin_inset Formula $m=\sum_{i}a_{i}m_{i}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\phi(e_{i})=m_{i}$ +. + Un módulo es +\series bold +libre +\series default + si tiene una base. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El módulo 0 es libre con base vacía. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Los +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ \end_inset - para cada -\begin_inset Formula $e_{i}$ + son libres con la +\series bold +base canónica +\series default + +\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ \end_inset - de la base canónica y un -\begin_inset Formula $A$ +, donde cada +\begin_inset Formula $e_{i}$ \end_inset --homomorfismo -\begin_inset Formula $\psi:A^{(I)}\to N$ + tiene 1 en la entrada +\begin_inset Formula $i$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\psi(e_{i})=n_{i}$ + y un 0 en el resto. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo espacio vectorial es libre, y las bases coinciden con los conjuntos + linealmente independientes maximales y los conjuntos generadores minimales. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{A}A[X]$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $f\coloneqq\psi\circ\phi^{-1}:M\to N$ + es libre con base +\begin_inset Formula $(X^{n})_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset - es un -\begin_inset Formula $A$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[\text{i}]$ \end_inset --isomorfismo con cada -\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ + es libre con base +\begin_inset Formula $\{1,\text{i}\}$ \end_inset . - Para la unicidad, como -\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i}$ +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ \end_inset - es un conjunto generador, dos -\begin_inset Formula $A$ + no es libre. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $\frac{a}{r},\frac{b}{s}\in\mathbb{Q}$ \end_inset --homomorfismos que actúen igual sobre sus elementos son iguales. +, +\begin_inset Formula $br\frac{a}{r}-as\frac{b}{s}=0$ +\end_inset + +, luego los conjuntos linealmente independientes son de un elemento, pero + estos no generan +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + +. \end_layout -\begin_layout Section -Condiciones de cadena en módulos +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es un grupo abeliano finito no nulo, +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}M$ +\end_inset + + no es libre. \end_layout +\begin_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $_{A}N\in{\cal L}(_{A}M)$ +No puede ser isomorfo a un +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{(I)}$ \end_inset - es compacto si y sólo si es finitamente generado. +. \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset +\backslash +begin{exinfo} \end_layout \end_inset -\begin_inset Formula $N=\bigvee_{n\in N}(n)$ -\end_inset +\end_layout -, por lo que existen -\begin_inset Formula $n_{1},\dots,n_{k}\in N$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout - con -\begin_inset Formula $N=(n_{1})\vee\dots\vee(n_{k})=(n_{1},\dots,n_{k})$ \end_inset -. +Los epimorfismos conservan la independencia lineal. \end_layout -\begin_layout Itemize +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset +9. +\end_layout +\end_inset +Los isomorfismos conservan bases. \end_layout -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -Sean -\begin_inset Formula $N\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{n})$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +10. +\end_layout - y -\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}(_{A}N)$ \end_inset - no vacío con -\begin_inset Formula $N=\bigvee S$ +Un +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset -, para cada -\begin_inset Formula $i$ +-submódulo de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset -, como -\begin_inset Formula $x_{i}\in N$ -\end_inset + es libre si y sólo si es cíclico, si y solo si es finitamente generado. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +11. +\end_layout + +\end_inset + +Un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un cuerpo si y sólo si todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo es libre. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es libre si y sólo si es isomorfo a +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +, en cuyo caso todas sus bases tienen cardinal +\begin_inset Formula $|I|$ +\end_inset + +, llamado el +\series bold +rango +\series default + de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $\text{rg}M$ +\end_inset + +, y en particular. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es libre con base +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + +, hay un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + +, y si hay tal isomorfismo, +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + tiene la base resultante de llevar la base canónica de +\begin_inset Formula $A^{(I)}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + por el isomorfismo. + Si +\begin_inset Formula $A=0$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $M=0$ +\end_inset + + y el resultado es claro. + En otro caso existe +\begin_inset Formula $J\trianglelefteq_{\text{m}}A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $JM$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-submódulo de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, luego si +\begin_inset Formula $\overline{M}\coloneqq\frac{M}{JM}$ +\end_inset + +, los elementos de +\begin_inset Formula $J\overline{M}$ +\end_inset + + son sumas de elementos de la forma +\begin_inset Formula $j\overline{m}=jm+JM=JM$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $j\in J$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m\in M$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ +\end_inset + +. + Pero un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo +\begin_inset Formula $\overline{M}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$ +\end_inset + + es +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +lo mismo +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + que un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ +\end_inset + +-módulo, luego +\begin_inset Formula $\overline{M}$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ +\end_inset + +-módulo y por tanto es un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$ +\end_inset + +-espacio vectorial. + Sea entonces +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{\overline{m_{i}}\}_{i\in I}\subseteq\overline{M}$ +\end_inset + + es un conjunto generador, y es linealmente independiente. + En efecto, si +\begin_inset Formula $\sum_{i}\overline{a_{i}}\overline{m_{i}}=\overline{0}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $x\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}\in JM$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $x=\sum_{j=1}^{n}b_{j}x_{j}$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $b_{j}\in J$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula $x_{j}\in M$ +\end_inset + + y, escribiendo cada +\begin_inset Formula $x_{j}$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $\sum_{i}c_{ji}m_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x=\sum_{j}\sum_{i}b_{j}c_{ji}m_{i}=\sum_{i}\left(\sum_{j}b_{j}c_{ji}\right)m_{i}$ +\end_inset + +, y por la independencia lineal de los +\begin_inset Formula $m_{i}$ +\end_inset + +, cada +\begin_inset Formula $a_{i}=\sum_{j}b_{j}c_{ji}\in J$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\overline{a_{i}}=\overline{0}$ +\end_inset + +. + Haciendo esta operación con dos bases distintas de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + con el mismo +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + se obtienen dos bases distintas del espacio vectorial +\begin_inset Formula $J\overline{M}$ +\end_inset + + que deben tener el mismo cardinal, lo que prueba la unicidad del rango. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo libre es finitamente generado si y sólo si tiene rango finito, es + decir, si es isomorfo a un +\begin_inset Formula $A^{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $S\subseteq_{A}M$ +\end_inset + + un generador finito de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(b_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + + el isomorfismo asociado a la base, si +\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq\{i\in I:(\phi^{-1}(a))_{i}\neq0\}$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $J\coloneqq\bigcup_{a\in S}f(a)$ +\end_inset + + es finito, pero necesariamente +\begin_inset Formula $J=I$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Obvio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual a un generador + del módulo, pues si +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + es un generador de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + existe un epimorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(X)}\twoheadrightarrow M$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{x}a_{x}x$ +\end_inset + + y, por el primer teorema de isomorfía, +\begin_inset Formula $\frac{A^{(X)}}{\ker\phi}\cong M$ +\end_inset + +. + En particular todo módulo finitamente generado es cociente de un módulo + libre de rango finito y todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo cíclico es cociente de +\begin_inset Formula $_{A}A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $_{A}L=L_{1}\oplus\dots\oplus L_{t}$ +\end_inset + + es una suma directa interna y cada +\begin_inset Formula $L_{i}$ +\end_inset + + es libre con base finita +\begin_inset Formula $X_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + tiene como base la concatenación de las +\begin_inset Formula $X_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\text{rg}L=\text{rg}L_{1}+\dots+\text{rg}L_{t}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $t\leq1$ +\end_inset + + es obvio, y para +\begin_inset Formula $t>2$ +\end_inset + + se ve por inducción. + Para +\begin_inset Formula $t=2$ +\end_inset + +, las uniones de conjuntos generadores generan el submódulo suma, y queda + ver que si +\begin_inset Formula $\{n_{1},\dots,n_{r}\}\subseteq L_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{k_{1},\dots,k_{s}\}\subseteq L_{2}$ +\end_inset + + son linealmente independientes, la unión, que es disjunta, es linealmente + independiente. + Pero si +\begin_inset Formula $(a\coloneqq a_{1}n_{1}+\dots+a_{r}n_{r})+(b\coloneqq b_{1}k_{1}+\dots+b_{s}k_{s})=0$ +\end_inset + + para ciertos +\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}\in A$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $a,b=0$ +\end_inset + + por ser +\begin_inset Formula $a\in L_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in L_{2}$ +\end_inset + +, luego cada +\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$ +\end_inset + + una base de +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\{n_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}N$ +\end_inset + +, existe un único +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismo +\begin_inset Formula $f:M\to N$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Existe un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\phi(e_{i})=m_{i}$ +\end_inset + + para cada +\begin_inset Formula $e_{i}$ +\end_inset + + de la base canónica y un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismo +\begin_inset Formula $\psi:A^{(I)}\to N$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\psi(e_{i})=n_{i}$ +\end_inset + +, y +\begin_inset Formula $f\coloneqq\psi\circ\phi^{-1}:M\to N$ +\end_inset + + es un +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-isomorfismo con cada +\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$ +\end_inset + +. + Para la unicidad, como +\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i}$ +\end_inset + + es un conjunto generador, dos +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-homomorfismos que actúen igual sobre sus elementos son iguales. +\end_layout + +\begin_layout Section +Condiciones de cadena en módulos +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}N\in{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + + es compacto si y sólo si es finitamente generado. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $N=\bigvee_{n\in N}(n)$ +\end_inset + +, por lo que existen +\begin_inset Formula $n_{1},\dots,n_{k}\in N$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $N=(n_{1})\vee\dots\vee(n_{k})=(n_{1},\dots,n_{k})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Sean +\begin_inset Formula $N\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{n})$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}(_{A}N)$ +\end_inset + + no vacío con +\begin_inset Formula $N=\bigvee S$ +\end_inset + +, para cada +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $x_{i}\in N$ +\end_inset + +, existen +\begin_inset Formula $L_{i1},\dots,L_{ik_{i}}\in S$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p_{i1}\in L_{i1},\dots,p_{ik_{i}}\in L_{ik_{i}}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x_{i}=a_{i1}+\dots+a_{ik_{i}}$ +\end_inset + +, de modo que todo elemento de +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + se puede expresar como combinación lineal de los +\begin_inset Formula $a_{ij}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}L_{ij}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $_{A}N\in{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + + es +\series bold +finitamente cogenerado +\series default + si es cocompacto. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es +\series bold +noetheriano +\series default + si cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados, + y es +\series bold +artiniano +\series default + si cumple la DCC, con lo que un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano cuando lo es +\begin_inset Formula $_{A}A$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Un espacio vectorial es noetheriano si y sólo si es artiniano, si y sólo + si es finitamente generado, si y sólo si es de dimensión finita. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies3]$ +\end_inset + + Por definición. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies4\implies1,2]$ +\end_inset + + Por álgebra lineal. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies4]$ +\end_inset + + Probamos el contrarrecíproco. + Si +\begin_inset Formula $(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + es una familia de vectores linealmente independiente y llamamos +\begin_inset Formula $V_{n}\coloneqq\text{span}\{v_{m}\}_{m\geq n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $V_{1}\supsetneq V_{2}\supsetneq V_{3}\supsetneq\dots$ +\end_inset + + viola la DCC. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ +\end_inset + + no es noetheriano ni artiniano. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\dots\subsetneq(4)\subsetneq(2)\subsetneq(1)\subsetneq(\frac{1}{2})\subsetneq(\frac{1}{4})\subsetneq\dots$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es un homomorfismo de anillos y vemos a un +\begin_inset Formula $_{B}M$ +\end_inset + + como +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo por restricción de escalares sobre +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es noetheriano o artiniano también lo es +\begin_inset Formula $_{B}M$ +\end_inset + +. + En particular si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es cuerpo y +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + tiene dimensión finita, +\begin_inset Formula $_{B}M$ +\end_inset + + es noetheriano y artiniano. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ +\end_inset + +, por lo que si en +\begin_inset Formula ${\cal L}({}_{A}M)$ +\end_inset + + no hay cadenas de cierta forma, en +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)$ +\end_inset + + tampoco. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +En el grupo +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\left(\overline{\frac{1}{n}}\right)=\left\{ \overline{\frac{0}{n}},\overline{\frac{1}{n}},\dots,\overline{\frac{n-1}{n}}\right\} \cong\mathbb{Z}_{n} +\] + +\end_inset + + admite como generadores unitarios los +\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{n}}$ +\end_inset + + en que la fracción es irreducible. + Si +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\coloneqq\left\{ \overline{\frac{a}{p^{n}}}\right\} _{a\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}}$ +\end_inset + + es un subgrupo de +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ +\end_inset + + que es artiniano pero no noetheriano, y que no es finitamente generado + pero todos sus subgrupos propios son cíclicos de la forma +\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + + es la unión de la cadena de subgrupos +\begin_inset Formula +\[ +0=\left(\overline{\frac{1}{p^{0}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{2}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{3}}}\right)\subsetneq\dots, +\] + +\end_inset + + por lo que no es noetheriano. + Si +\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}N\leq\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + + contiene una cantidad infinita de elementos +\begin_inset Formula $\overline{\frac{1}{p^{n}}}$ +\end_inset + +, contiene a todos los miembros de la cadena y +\begin_inset Formula $N=\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + +, y en otro caso, sea +\begin_inset Formula $n\coloneqq\max\left\{ n\in\mathbb{N}:\overline{\frac{1}{p^{n}}}\in\mathbb{N}\right\} $ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $N=\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\subseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Para +\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in N$ +\end_inset + + con la fracción irreducible, +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es coprimo con +\begin_inset Formula $p^{m}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{m}}}\right)=\left(\overline{\frac{a}{p^{n}}}\right)\subseteq N$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $m\leq n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\supseteq]$ +\end_inset + + +\end_layout + +\end_inset + +Obvio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como todos sus subgrupos son los de esta cadena, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +\end_inset + + es artiniano, y no es finitamente generado porque de serlo, como todos + sus subgrupos también lo son, sería noetheriano. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout -, existen -\begin_inset Formula $L_{i1},\dots,L_{ik_{i}}\in S$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $p_{i1}\in L_{i1},\dots,p_{ik_{i}}\in L_{ik_{i}}$ + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + \end_inset - con -\begin_inset Formula $x_{i}=a_{i1}+\dots+a_{ik_{i}}$ + +\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}=\bigoplus_{p}\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ \end_inset -, de modo que todo elemento de -\begin_inset Formula $I$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +6. +\end_layout + \end_inset - se puede expresar como combinación lineal de los -\begin_inset Formula $a_{ij}$ +Si +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}L_{ij}$ + es noetheriano, todo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -. +-endomorfismo suprayectivo en +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es inyectivo. \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +7. +\end_layout + +\end_inset + +Si \begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - es -\series bold -noetheriano -\series default - si cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados, - y es -\series bold -artiniano -\series default - si cumple la DCC, con lo que un anillo + es artiniano, todo \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es noetheriano o artiniano cuando lo es -\begin_inset Formula $_{A}A$ +-endomorfismo inyectivo en +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -. + es suprayectivo. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Un espacio vectorial es noetheriano si y sólo si es artiniano, si y sólo - si es finitamente generado, si y sólo si es de dimensión finita. +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies3]$ \end_inset - Por definición. + \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies4\implies1,2]$ +\begin_layout Standard +Una +\series bold +sucesión exacta corta +\series default + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ \end_inset - Por álgebra lineal. + en la que +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + son +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulos, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + son homomorfismos y el núcleo de cada morfismo es la imagen del que le + precede tomando como homomorfismos +\begin_inset Formula $0\to L$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $N\to0$ +\end_inset + + los únicos posibles, lo que equivale a que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + sea un monomorfismo y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + un epimorfismo con +\begin_inset Formula $\text{Im}f=\ker g$ +\end_inset + +. \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies4]$ +\begin_layout Standard +Toda sucesión exacta corta con término central +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - Probamos el contrarrecíproco. - Si -\begin_inset Formula $(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ + es isomorfa a una de la forma +\begin_inset Formula $0\to K\overset{\iota}{\hookrightarrow}M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{K}\to0$ \end_inset - es una familia de vectores linealmente independiente y llamamos -\begin_inset Formula $V_{n}\coloneqq\text{span}\{v_{m}\}_{m\geq n}$ +, donde +\begin_inset Formula $\iota$ +\end_inset + + es la inclusión y +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + la proyección canónica. + +\series bold +Demostración: +\series default + Dada +\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $K\coloneqq\text{Im}f$ +\end_inset + +, restringiendo +\begin_inset Formula $\hat{f}:L\to K$ +\end_inset + + tenemos un isomorfismo que nos permite cambiar +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\iota$ +\end_inset + + ya que +\begin_inset Formula $\iota\circ\hat{f}=f$ +\end_inset + +, y por el primer teorema de isomorfía en +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\frac{M}{K}\cong N$ +\end_inset + +, por lo que cambiamos +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\frac{M}{K}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + por +\begin_inset Formula $\pi$ +\end_inset + + ya que el isomorfismo de la prueba del teorema de isomorfía es +\begin_inset Formula $\overline{g}:\frac{M}{K}\to N$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\overline{g}(\overline{m})\coloneqq g(m)$ +\end_inset + + y claramente +\begin_inset Formula $\overline{g}\circ\pi=g$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ \end_inset , -\begin_inset Formula $V_{1}\supsetneq V_{2}\supsetneq V_{3}\supsetneq\dots$ +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - viola la DCC. -\end_layout + es noetheriano o artiniano si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $N$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset - no es noetheriano ni artiniano. +. \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\dots\subsetneq(4)\subsetneq(2)\subsetneq(1)\subsetneq(\frac{1}{2})\subsetneq(\frac{1}{4})\subsetneq\dots$ +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset -. + \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate +\end_inset + Si -\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - es un homomorfismo de anillos y vemos a un -\begin_inset Formula $_{B}M$ + es noetheriano o artiniano, como +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}N)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset - como -\begin_inset Formula $A$ +, también lo es +\begin_inset Formula $N$ \end_inset --módulo por restricción de escalares sobre -\begin_inset Formula $f$ +, y como la biyección +\begin_inset Formula $\rho:\{K\in{\cal L}(_{A}M)\mid N\subseteq K\}\to{\cal L}(_{A}M/N)$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $_{A}M$ + del teorema de correspondencia conserva la inclusión, +\begin_inset Formula $\rho^{-1}({\cal L}(_{A}M/N))\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset - es noetheriano o artiniano también lo es -\begin_inset Formula $_{B}M$ + y también lo es +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset . - En particular si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\end_layout - es cuerpo y -\begin_inset Formula $_{A}M$ -\end_inset +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open - tiene dimensión finita, -\begin_inset Formula $_{B}M$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset - es noetheriano y artiniano. + \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ \end_inset -, por lo que si en -\begin_inset Formula ${\cal L}({}_{A}M)$ +Si +\begin_inset Formula $P\subseteq Q$ \end_inset - no hay cadenas de cierta forma, en -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)$ + son submódulos de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset - tampoco. -\end_layout + con +\begin_inset Formula $P\cap N=Q\cap N$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -En el grupo -\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ + y +\begin_inset Formula $P+N=Q+N$ \end_inset , para -\begin_inset Formula $n\geq2$ +\begin_inset Formula $q\in Q$ \end_inset , -\begin_inset Formula -\[ -\left(\overline{\frac{1}{n}}\right)=\left\{ \overline{\frac{0}{n}},\overline{\frac{1}{n}},\dots,\overline{\frac{n-1}{n}}\right\} \cong\mathbb{Z}_{n} -\] - +\begin_inset Formula $q\in Q+N=P+N$ \end_inset - admite como generadores unitarios los -\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{n}}$ + y por tanto +\begin_inset Formula $q=p+n$ \end_inset - en que la fracción es irreducible. - Si -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ + para ciertos +\begin_inset Formula $p\in P$ \end_inset - es primo, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\coloneqq\left\{ \overline{\frac{a}{p^{n}}}\right\} _{a\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}}$ + y +\begin_inset Formula $n\in N$ \end_inset - es un subgrupo de -\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$ +, y +\begin_inset Formula $q-p=n\in Q\cap N=P\cap N\subseteq P$ \end_inset - que es artiniano pero no noetheriano, y que no es finitamente generado - pero todos sus subgrupos propios son cíclicos de la forma -\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +, luego +\begin_inset Formula $q=(q-p)+p\in P$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ + y se concluye que +\begin_inset Formula $P=Q$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ + Si +\begin_inset Formula $N$ \end_inset - es la unión de la cadena de subgrupos -\begin_inset Formula -\[ -0=\left(\overline{\frac{1}{p^{0}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{2}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{3}}}\right)\subsetneq\dots, -\] - + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset - por lo que no es noetheriano. - Si -\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}N\leq\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ + son noetherianos o artinianos respectivamente, sea +\begin_inset Formula $(P_{n})_{n}$ \end_inset - contiene una cantidad infinita de elementos -\begin_inset Formula $\overline{\frac{1}{p^{n}}}$ + una cadena ascendente o descendente de submódulos de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -, contiene a todos los miembros de la cadena y -\begin_inset Formula $N=\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +, los +\begin_inset Formula $P_{n}\cap N$ \end_inset -, y en otro caso, sea -\begin_inset Formula $n\coloneqq\max\left\{ n\in\mathbb{N}:\overline{\frac{1}{p^{n}}}\in\mathbb{N}\right\} $ + y los +\begin_inset Formula $\frac{P_{n}+N}{N}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $N=\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ + forman cadenas ascendentes o descendentes de submódulos de +\begin_inset Formula $N$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\subseteq]$ + y +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ \end_inset - -\end_layout - + respectivamente, y por hipótesis ambas se estabilizan a partir de un +\begin_inset Formula $n_{0}$ \end_inset -Para -\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in N$ + que podemos suponer común, pero entonces, para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset - con la fracción irreducible, -\begin_inset Formula $a$ +, +\begin_inset Formula $P_{n}\subseteq P_{n+1}$ \end_inset - es coprimo con -\begin_inset Formula $p^{m}$ + con +\begin_inset Formula $P_{n}\cap N=P_{n+1}\cap N$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{m}}}\right)=\left(\overline{\frac{a}{p^{n}}}\right)\subseteq N$ + y +\begin_inset Formula $\frac{P_{n}\cap N}{N}=\frac{P_{n+1}+N}{N}$ \end_inset -, de donde -\begin_inset Formula $m\leq n$ +, por lo que +\begin_inset Formula $P_{n}=P_{n+1}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$ +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -. + es noetheriano o artiniano. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +\begin_layout Standard +La suma directa finita de módulos noetherianos o artinianos es respectivamente + noetheriana o artiniana. + En efecto, para +\begin_inset Formula $n\leq1$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\supseteq]$ + módulos es obvio, para +\begin_inset Formula $n=2$ \end_inset + se deduce de lo anterior y de que, si +\begin_inset Formula $M=N\oplus K$ +\end_inset -\end_layout +, +\begin_inset Formula $K\cong\frac{M}{N}$ +\end_inset +, y para +\begin_inset Formula $n>2$ \end_inset -Obvio. + se hace inducción. \end_layout \begin_layout Standard -Como todos sus subgrupos son los de esta cadena, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es artiniano, y no es finitamente generado porque de serlo, como todos - sus subgrupos también lo son, sería noetheriano. +: \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Standard -Una -\series bold -sucesión exacta corta -\series default - es una expresión de la forma -\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - en la que -\begin_inset Formula $L$ + es noetheriano o artiniano, respectivamente, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $n>0$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $M$ + con +\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ +\end_inset + + noetheriano o noetheriano, si y sólo si todo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +-módulo finitamente generado es noetheriano o artiniano. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies3]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $N$ + Es fácil ver que los submódulos de +\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ \end_inset - son + son productos de submódulos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset --módulos, -\begin_inset Formula $f$ +, que son ideales, pero si +\begin_inset Formula $(M_{k}\coloneqq I_{k1}\times\dots\times I_{kn})_{k}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $g$ + es una cadena ascendente de submódulos de +\begin_inset Formula $A^{n}$ \end_inset - son homomorfismos y el núcleo de cada morfismo es la imagen del que le - precede tomando como homomorfismos -\begin_inset Formula $0\to L$ +, cada cadena ascendente +\begin_inset Formula $(I_{ki})_{k}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $N\to0$ + se estabiliza en un punto, que podemos suponer común, y +\begin_inset Formula $(M_{k})_{k}$ \end_inset - los únicos posibles, lo que equivale a que -\begin_inset Formula $f$ + se estabiliza. + Entonces para +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - sea un monomorfismo y -\begin_inset Formula $g$ + finitamente generado existe un epimorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A^{n}\twoheadrightarrow M$ \end_inset - un epimorfismo con -\begin_inset Formula $\text{Im}f=\ker g$ + y las cadenas ascendentes de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset -. + también se estabilizan. \end_layout -\begin_layout Standard -Toda sucesión exacta corta con término central -\begin_inset Formula $M$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies2]$ \end_inset - es isomorfa a una de la forma -\begin_inset Formula $0\to K\overset{\iota}{\hookrightarrow}M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{K}\to0$ -\end_inset + Obvio. +\end_layout -, donde -\begin_inset Formula $\iota$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies1]$ \end_inset - es la inclusión y -\begin_inset Formula $\pi$ + Si +\begin_inset Formula $A^{n}$ \end_inset - la proyección canónica. - -\series bold -Demostración: -\series default - Dada -\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$ + es noetheriano para cierto +\begin_inset Formula $n>0$ \end_inset , sea -\begin_inset Formula $K\coloneqq\text{Im}f$ -\end_inset - -, restringiendo -\begin_inset Formula $\hat{f}:L\to K$ -\end_inset - - tenemos un isomorfismo que nos permite cambiar -\begin_inset Formula $L$ +\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $K$ + una cadena ascendente de ideales de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f$ +, +\begin_inset Formula $(I_{k},0,\dots,0)_{k}$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $\iota$ + es una cadena ascendente de submódulos de +\begin_inset Formula $A^{n}$ \end_inset - ya que -\begin_inset Formula $\iota\circ\hat{f}=f$ + y por tanto se estabiliza, luego +\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ \end_inset -, y por el primer teorema de isomorfía en -\begin_inset Formula $g$ -\end_inset + también se estabiliza. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $\frac{M}{K}\cong N$ -\end_inset +\begin_layout Standard +Para artinianos es análogo. +\end_layout -, por lo que cambiamos -\begin_inset Formula $N$ +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dados un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $\frac{M}{K}$ + noetheriano o artiniano, respectivamente, y un homomorfismo +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $g$ + tal que +\begin_inset Formula $_{A}B$ \end_inset - por -\begin_inset Formula $\pi$ + por restricción de escalares es finitamente generado, entonces +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - ya que el isomorfismo de la prueba del teorema de isomorfía es -\begin_inset Formula $\overline{g}:\frac{M}{K}\to N$ -\end_inset + es un anillo noetheriano o artiniano. +\end_layout - dado por -\begin_inset Formula $\overline{g}(\overline{m})\coloneqq g(m)$ +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Por lo anterior lo es +\begin_inset Formula $_{A}B$ \end_inset - y claramente -\begin_inset Formula $\overline{g}\circ\pi=g$ +, pero +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}B)\subseteq{\cal L}(_{A}B)$ \end_inset . \end_layout +\end_deeper \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$ +\begin_inset Formula $A=A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $M$ + es un producto de anillos, todo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es noetheriano o artiniano si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $N$ +-módulo es isomorfo a un producto +\begin_inset Formula $M_{1}\times\dots\times M_{n}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +, donde cada +\begin_inset Formula $M_{i}$ \end_inset -. -\end_layout + es un +\begin_inset Formula $A_{i}$ +\end_inset -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 +-módulo, y en particular +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}M)\cong\prod_{i=1}^{m}{\cal L}(_{A_{i}}M_{i})$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +TODO ejercicio Saorín 4 +\end_layout + \end_inset \end_layout -\end_inset +\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $M$ +\series bold +Lema de Artin: +\series default + En un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es noetheriano o artiniano, como -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}N)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ + en que 0 es producto finito de ideales maximales, un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, también lo es -\begin_inset Formula $N$ +-módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano. + +\series bold +Demostración: +\series default + Si el número de ideales que hay que multiplicar es +\begin_inset Formula $n\leq1$ \end_inset -, y como la biyección -\begin_inset Formula $\rho:\{K\in{\cal L}(_{A}M)\mid N\subseteq K\}\to{\cal L}(_{A}M/N)$ +, +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - del teorema de correspondencia conserva la inclusión, -\begin_inset Formula $\rho^{-1}({\cal L}(_{A}M/N))\subseteq{\cal L}(_{A}M)$ + es un cuerpo y sabemos que se cumple. + Para +\begin_inset Formula $n>1$ \end_inset - y también lo es -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +, por inducción, sean +\begin_inset Formula $0=J_{1}J_{2}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ + donde cada +\begin_inset Formula $J_{i}$ \end_inset - -\end_layout - + es producto de menos de +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -Si -\begin_inset Formula $P\subseteq Q$ + maximales. + Si por ejemplo +\begin_inset Formula $J_{1}=M_{1}\cdots M_{k}$ \end_inset - son submódulos de -\begin_inset Formula $M$ + con los +\begin_inset Formula $M_{i}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $P\cap N=Q\cap N$ + maximales, en +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $P+N=Q+N$ +, +\begin_inset Formula $0=\frac{J_{1}}{J_{1}}=\frac{M_{1}\cdots M_{k}}{J_{1}}=\frac{M_{1}}{J_{1}}\cdots\frac{M_{k}}{J_{1}}$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $q\in Q$ +, y como +\begin_inset Formula $J_{1}\subseteq M_{i}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $q\in Q+N=P+N$ + para cada +\begin_inset Formula $i$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $q=p+n$ +, +\begin_inset Formula $\frac{M_{i}}{J_{1}}\trianglelefteq_{\text{m}}\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $p\in P$ + y, en +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $n\in N$ +, 0 es producto de menos de +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $q-p=n\in Q\cap N=P\cap N\subseteq P$ + maximales y por tanto un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $q=(q-p)+p\in P$ +-módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano, y análogamente para un + +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ \end_inset - y se concluye que -\begin_inset Formula $P=Q$ +-módulo. + Dado +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset -. - Si -\begin_inset Formula $N$ +, +\begin_inset Formula $N\coloneqq J_{1}M$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ + es anulado por +\begin_inset Formula $J_{2}$ \end_inset - son noetherianos o artinianos respectivamente, sea -\begin_inset Formula $(P_{n})_{n}$ + y por tanto se puede ver como un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ \end_inset - una cadena ascendente o descendente de submódulos de -\begin_inset Formula $M$ +-módulo con +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{2}}N)={\cal L}(_{A}N)$ \end_inset -, los -\begin_inset Formula $P_{n}\cap N$ + por restricción de escalares, mientras que +\begin_inset Formula $\frac{M}{N}=\frac{M}{J_{1}M}$ \end_inset - y los -\begin_inset Formula $\frac{P_{n}+N}{N}$ + es anulado por +\begin_inset Formula $J_{1}$ \end_inset - forman cadenas ascendentes o descendentes de submódulos de -\begin_inset Formula $N$ + y se puede ver como un +\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$ +-módulo con +\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{1}}M/N)={\cal L}(_{A}M/N)$ \end_inset - respectivamente, y por hipótesis ambas se estabilizan a partir de un -\begin_inset Formula $n_{0}$ +. + Entonces +\begin_inset Formula $_{A}M$ \end_inset - que podemos suponer común, pero entonces, para -\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ + es noetheriano si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $_{A}M/N$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $P_{n}\subseteq P_{n+1}$ + y +\begin_inset Formula $_{A}N$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $P_{n}\cap N=P_{n+1}\cap N$ +, si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $_{A/J_{1}}M/N$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\frac{P_{n}\cap N}{N}=\frac{P_{n+1}+N}{N}$ +\begin_inset Formula $_{A/J_{2}}N$ \end_inset -, por lo que -\begin_inset Formula $P_{n}=P_{n+1}$ +, si y sólo si son artinianos, si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $_{A}M/N$ \end_inset y -\begin_inset Formula $M$ +\begin_inset Formula $_{A}N$ \end_inset - es noetheriano o artiniano. +, si y sólo si +\begin_inset Formula $_{A}M$ +\end_inset + + es noetheriano. \end_layout \begin_layout Standard -La suma directa finita de módulos noetherianos o artinianos es respectivamente - noetheriana o artiniana. - En efecto, para -\begin_inset Formula $n\leq1$ -\end_inset - módulos es obvio, para -\begin_inset Formula $n=2$ -\end_inset +\series bold +Teorema de Akizuki: +\end_layout - se deduce de lo anterior y de que, si -\begin_inset Formula $M=N\oplus K$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +Un anillo es artiniano si y sólo si es noetheriano de dimensión 0. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $K\cong\frac{M}{N}$ -\end_inset +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -, y para -\begin_inset Formula $n>2$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset - se hace inducción. + \end_layout -\begin_layout Standard -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ \end_inset -: +Ya vimos que entonces es de dimensión 0 y el 0 es producto finito de maximales, + luego es noetheriano por el lema de Artin. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - es noetheriano o artiniano, respectivamente, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $n>0$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ -\end_inset - noetheriano o noetheriano, si y sólo si todo -\begin_inset Formula $A$ +\end_layout + \end_inset --módulo finitamente generado es noetheriano o artiniano. +Por ser noetheriano, 0 es producto finito de ideales primos, que son maximales + por ser de dimensión 0, luego el anillo es artiniano por el lema de Artin. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Un módulo de un anillo artiniano es artiniano si y sólo si es noetheriano, + si y sólo si es finitamente generado. \end_layout \begin_deeper \begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies3]$ +\begin_inset Formula $1\iff2]$ \end_inset - Es fácil ver que los submódulos de -\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$ -\end_inset + Por el argumento anterior el 0 es producto finito de maximales y aplica + el lema de Artin. +\end_layout - son productos de submódulos de -\begin_inset Formula $A$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset -, que son ideales, pero si -\begin_inset Formula $(M_{k}\coloneqq I_{k1}\times\dots\times I_{kn})_{k}$ -\end_inset + Por definición. +\end_layout - es una cadena ascendente de submódulos de -\begin_inset Formula $A^{n}$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset -, cada cadena ascendente -\begin_inset Formula $(I_{ki})_{k}$ -\end_inset + Visto. +\end_layout - se estabiliza en un punto, que podemos suponer común, y -\begin_inset Formula $(M_{k})_{k}$ +\end_deeper +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - se estabiliza. - Entonces para -\begin_inset Formula $_{A}M$ +-módulo es +\series bold +de longitud finita +\series default + si es noetheriano y artiniano. + Un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - finitamente generado existe un epimorfismo -\begin_inset Formula $\phi:A^{n}\twoheadrightarrow M$ + es artiniano si y sólo si todo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y las cadenas ascendentes de -\begin_inset Formula $M$ -\end_inset +-módulo finitamente generado es de longitud finita. +\end_layout - también se estabilizan. +\begin_layout Section +Módulos y matrices \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies2]$ +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset - Obvio. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies1]$ + y +\begin_inset Formula ${\cal C}_{m}$ \end_inset - Si -\begin_inset Formula $A^{n}$ + y +\begin_inset Formula ${\cal C}_{n}$ \end_inset - es noetheriano para cierto -\begin_inset Formula $n>0$ + las bases canónicas respectivas de los +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, sea -\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ +-módulos libres +\begin_inset Formula $A^{m}$ \end_inset - una cadena ascendente de ideales de -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $A^{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $(I_{k},0,\dots,0)_{k}$ +\begin_inset Formula $(f\mapsto M_{{\cal C}_{m}{\cal C}_{n}}(f)):\text{Hom}_{A}(A^{n},A^{m})\to{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset - es una cadena ascendente de submódulos de -\begin_inset Formula $A^{n}$ + es un isomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y por tanto se estabiliza, luego -\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$ +-módulos con inversa +\begin_inset Formula $C\mapsto v\mapsto Cv$ \end_inset - también se estabiliza. -\end_layout +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula ${\cal C}_{n}\eqqcolon(e_{1},\dots,e_{n})$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Para artinianos es análogo. -\end_layout + y +\begin_inset Formula ${\cal C}_{m}\eqqcolon(f_{1},\dots,f_{m})$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Dados un anillo -\begin_inset Formula $A$ +, toda +\begin_inset Formula $f\in\text{Hom}_{A}(A^{n},A^{m})$ \end_inset - noetheriano o artiniano, respectivamente, y un homomorfismo -\begin_inset Formula $f:A\to B$ + viene dada por los valores que le asigna a los +\begin_inset Formula $e_{i}$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $_{A}B$ +, que se pueden expresar respecto a los +\begin_inset Formula $f_{j}$ \end_inset - por restricción de escalares es finitamente generado, entonces -\begin_inset Formula $B$ + dando lugar a +\begin_inset Formula $M\coloneqq M_{{\cal C}_{m}{\cal C}_{n}}(f)$ \end_inset - es un anillo noetheriano o artiniano. -\end_layout + cuyas columnas son los +\begin_inset Formula $f(e_{i})$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Por lo anterior lo es -\begin_inset Formula $_{A}B$ +, pero claramente +\begin_inset Formula $Me_{i}$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}B)\subseteq{\cal L}(_{A}B)$ + es la +\begin_inset Formula $i$ \end_inset -. -\end_layout +-ésima columna de +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset -\end_deeper -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A=A_{1}\times\dots\times A_{n}$ +, y recíprocamente, si +\begin_inset Formula $M\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset - es un producto de anillos, todo -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $f$ \end_inset --módulo es isomorfo a un producto -\begin_inset Formula $M_{1}\times\dots\times M_{n}$ + viene dada por +\begin_inset Formula $f(v)\coloneqq Mv$ \end_inset -, donde cada -\begin_inset Formula $M_{i}$ +, las columnas de +\begin_inset Formula $M_{{\cal C}_{m}{\cal C}_{n}}(f)$ \end_inset - es un -\begin_inset Formula $A_{i}$ + son los +\begin_inset Formula $Me_{i}$ \end_inset --módulo, y en particular -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}M)\cong{\cal L}(_{A_{1}}M_{1})\times\dots\times{\cal L}(_{A_{n}}M_{n})$ + que son las columnas de +\begin_inset Formula $M$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -TODO ejercicio Saorín 4 -\end_layout + Que es un isomorfismo es claro tomando +\begin_inset Formula $(b_{ij}\coloneqq\sum_{k}a_{k}e_{k}\mapsto a_{i}f_{j})_{i,j}$ +\end_inset + como base de +\begin_inset Formula $\text{Hom}_{A}(A^{n},A^{m})$ \end_inset + y viendo que conserva combinaciones lineales de los +\begin_inset Formula $b_{ij}$ +\end_inset +. \end_layout \begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\text{GL}_{s}(K)\coloneqq\{A\in{\cal M}_{s}(K)\mid\det A\neq0\}$ +\end_inset + +. + Dada +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ +\end_inset +, llamamos \series bold -Lema de Artin: -\series default - En un anillo + \begin_inset Formula $A$ \end_inset - en que 0 es producto finito de ideales maximales, un -\begin_inset Formula $A$ +-módulo asociado a +\begin_inset Formula $C$ \end_inset --módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano. - -\series bold -Demostración: + \series default - Si el número de ideales que hay que multiplicar es -\begin_inset Formula $n\leq1$ +, +\begin_inset Formula $M(C)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $A$ +, a +\begin_inset Formula $\frac{A^{m}}{\{Cv\}_{v\in A^{n}}}$ \end_inset - es un cuerpo y sabemos que se cumple. - Para -\begin_inset Formula $n>1$ +. + +\begin_inset Formula $B,C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset -, por inducción, sean -\begin_inset Formula $0=J_{1}J_{2}$ + son +\series bold +equivalentes +\series default + si existen +\begin_inset Formula $P\in\text{GL}_{m}(A)$ \end_inset - donde cada -\begin_inset Formula $J_{i}$ + y +\begin_inset Formula $Q\in\text{GL}_{n}(A)$ \end_inset - es producto de menos de -\begin_inset Formula $n$ + con +\begin_inset Formula $C=PBQ$ \end_inset - maximales. - Si por ejemplo -\begin_inset Formula $J_{1}=M_{1}\cdots M_{k}$ +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $M(B)\cong M(C)$ \end_inset - con los -\begin_inset Formula $M_{i}$ +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Se tiene +\begin_inset Formula $PB=CQ^{-1}$ \end_inset - maximales, en -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ +, luego llamando +\begin_inset Formula $f_{C}:A^{n}\to A^{m}$ +\end_inset + + al homomorfismo +\begin_inset Formula $f_{C}(v)\coloneqq Cv$ \end_inset , -\begin_inset Formula $0=\frac{J_{1}}{J_{1}}=\frac{M_{1}\cdots M_{k}}{J_{1}}=\frac{M_{1}}{J_{1}}\cdots\frac{M_{k}}{J_{1}}$ +\begin_inset Formula $f_{P}\circ f_{B}=f_{C}\circ f_{Q^{-1}}$ \end_inset -, y como -\begin_inset Formula $J_{1}\subseteq M_{i}$ +. + Definiendo el homomorfismo +\begin_inset Formula $\psi:M(B)\to M(C)$ \end_inset - para cada -\begin_inset Formula $i$ + como +\begin_inset Formula $\psi(\overline{a})=\overline{f_{P}(a)}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\frac{M_{i}}{J_{1}}\trianglelefteq_{\text{m}}\frac{A}{J_{1}}$ +\begin_inset Formula $\psi$ \end_inset - y, en -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ + está bien definido porque +\begin_inset Formula $a\in\text{Im}f_{B}\implies f_{P}(a)\in\text{Im}(f_{P}\circ f_{B})=\text{Im}(f_{C}\circ f_{Q^{-1}})=\text{Im}f_{C}$ \end_inset -, 0 es producto de menos de -\begin_inset Formula $n$ +, pero el homomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:M(C)\to M(B)$ \end_inset - maximales y por tanto un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ + dado por +\begin_inset Formula $\phi(\overline{c})\coloneqq\overline{f_{P^{-1}}(c)}$ \end_inset --módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano, y análogamente para un - -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ + también está bien definido porque +\begin_inset Formula $c\in\text{Im}f_{C}\implies f_{P^{-1}}(c)\in\text{Im}(f_{P^{-1}}\circ f_{C})=\text{Im}(f_{P^{-1}}\circ f_{C}\circ f_{Q^{-1}})=\text{Im}(f_{P})$ \end_inset --módulo. - Dado -\begin_inset Formula $_{A}M$ +, y +\begin_inset Formula $\phi=\psi^{-1}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $N\coloneqq J_{1}M$ -\end_inset +. +\end_layout - es anulado por -\begin_inset Formula $J_{2}$ +\begin_layout Standard +Una +\series bold +operación +\series default + o +\series bold +transformación elemental por filas +\series default + o +\series bold +columnas +\series default + en +\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset - y por tanto se puede ver como un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$ + consiste en intercambiar dos filas o columnas de +\begin_inset Formula $C$ \end_inset --módulo con -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{2}}N)={\cal L}(_{A}N)$ +, multiplicar una por un +\begin_inset Formula $\alpha\in A^{*}$ \end_inset - por restricción de escalares, mientras que -\begin_inset Formula $\frac{M}{N}=\frac{M}{J_{1}M}$ + o sumarle a una otra multiplicada por un +\begin_inset Formula $\alpha\in A$ \end_inset - es anulado por -\begin_inset Formula $J_{1}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{AlgL} +\end_layout + \end_inset - y se puede ver como un -\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +matriz elemental +\series default + de tamaño +\begin_inset Formula $n$ \end_inset --módulo con -\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{1}}M/N)={\cal L}(_{A}M/N)$ + a toda matriz obtenida al efectuar una operación elemental [...] en +\begin_inset Formula $I_{n}$ \end_inset . - Entonces -\begin_inset Formula $_{A}M$ + [...] Si +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - es noetheriano si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $_{A}M/N$ + se obtiene al realizar una operación elemental por filas en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $_{A}N$ +\begin_inset Formula $E$ \end_inset -, si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $_{A/J_{1}}M/N$ + al realizar la misma en +\begin_inset Formula $I_{m}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $_{A/J_{2}}N$ +, entonces +\begin_inset Formula $B=EA$ \end_inset -, si y sólo si son artinianos, si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $_{A}M/N$ +. + [...] Si +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $_{A}N$ + se obtiene de aplicar una operación elemental por columnas en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $_{A}M$ + y +\begin_inset Formula $E$ \end_inset - es noetheriano. -\end_layout - -\begin_layout Standard - -\series bold -Teorema de Akizuki: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Un anillo es artiniano si y sólo si es noetheriano de dimensión 0. -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ + al aplicarla a +\begin_inset Formula $I_{n}$ \end_inset - -\end_layout - +, entonces +\begin_inset Formula $B=AE$ \end_inset -Ya vimos que entonces es de dimensión 0 y el 0 es producto finito de maximales, - luego es noetheriano por el lema de Artin. +. + Así, realizar una serie de estas operaciones en una matriz equivale a multiplic +arla por uno o ambos lados por un producto de matrices elementales, el cual + es invertible. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset +\backslash +end{reminder} \end_layout \end_inset -Por ser noetheriano, 0 es producto finito de ideales primos, que son maximales - por ser de dimensión 0, luego el anillo es artiniano por el lema de Artin. -\end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Un módulo de un anillo artiniano es artiniano si y sólo si es noetheriano, - si y sólo si es finitamente generado. \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\iff2]$ +\begin_layout Standard +Las matrices elementales son las mismas por filas que por columnas. + Si +\begin_inset Formula $B,C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$ \end_inset - Por el argumento anterior el 0 es producto finito de maximales y aplica - el lema de Artin. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ + y +\begin_inset Formula $C$ \end_inset - Por definición. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $3\implies1]$ + se puede obtener aplicando a +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - Visto. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $A$ + una cantidad finita de transformaciones elementales por filas y por columnas, + entonces +\begin_inset Formula $B$ \end_inset --módulo es -\series bold -de longitud finita -\series default - si es noetheriano y artiniano. - Un anillo -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $C$ \end_inset - es artiniano si y sólo si todo -\begin_inset Formula $A$ + son equivalentes, pues aplicar transformaciones por filas y columnas a + +\begin_inset Formula $B$ \end_inset --módulo finitamente generado es de longitud finita. + equivale a multiplicarla a izquierda y derecha por matrices invertibles. \end_layout \end_body -- cgit v1.2.3