From 8e44c44aff96736ab0d529c44cfcd5cfdac68dfa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Juan Marin Noguera Date: Wed, 25 Jan 2023 12:53:51 +0100 Subject: Erratas MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Esta vez en algunas asignaturas no llegué a comprobar erratas: - En funcional a partir de 2.11 - En DSI - En conmutativa a partir de la enumeración antes del lema de Artin en 3.8 --- ac/n1.lyx | 3616 +++++++++++++++++++++++++------------------------------------ ac/n2.lyx | 35 +- ac/n3.lyx | 364 +++---- ac/n4.lyx | 10 +- 4 files changed, 1627 insertions(+), 2398 deletions(-) (limited to 'ac') diff --git a/ac/n1.lyx b/ac/n1.lyx index 16e7e5f..8cb8008 100644 --- a/ac/n1.lyx +++ b/ac/n1.lyx @@ -187,8 +187,12 @@ El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos \begin_inset Formula $(n+1)a\coloneqq na+a$ \end_inset - y +, \begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq a^{n}a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(-na)\coloneqq-(na)$ \end_inset . @@ -212,8 +216,8 @@ identidad uno \series default . - Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos - a anillos conmutativos y con identidad. + Salvo que se indique lo contrario, los anillos serán conmutativos y con + identidad. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -230,10 +234,6 @@ uno y \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset son anillos con la suma y el producto usuales. @@ -265,25 +265,25 @@ El conjunto de funciones \begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset - que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad + que se anulan en casi todo punto es un anillo conmutativo sin identidad con la suma y producto de funciones. \end_layout \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset - son anillos, -\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ + es una familia de anillos, +\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}A_{i}$ \end_inset es un anillo con las operaciones componente a componente, el \series bold anillo producto \series default - de -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ + de los +\begin_inset Formula $A_{i}$ \end_inset . @@ -351,15 +351,7 @@ Llamamos \end_inset . - [...] Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un anillo [...], -\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ -\end_inset - - es un anillo [...]. + [...]. Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -368,19 +360,11 @@ Llamamos \begin_inset Formula $n$ \end_inset - es un entero positivo, el conjunto + es un entero positivo, [...] \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ \end_inset - de matrices cuadradas en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - de tamaño -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - es un anillo con la suma y el producto habituales. + [...] es un anillo con la suma y el producto habituales. \end_layout \begin_layout Standard @@ -480,87 +464,8 @@ status open . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -8. -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son invertibles si y sólo si lo son -\begin_inset Formula $ab$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $ba$ -\end_inset - -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -[...] Si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, definimos -\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a\coloneqq0$ -\end_inset - -, y para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $na\coloneqq(n-1)a+a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(-n)a\coloneqq-(na)$ -\end_inset - -. - Definimos -\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}\coloneqq1_{A}$ -\end_inset - -, para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a^{n}\coloneqq a^{n-1}a$ -\end_inset - -, y si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es invertible, -\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}$ -\end_inset - -. - -\end_layout - \begin_layout Standard -Dados un anillo +[...] Dados un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset @@ -596,52 +501,57 @@ Dados un anillo . \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $n,m\geq0$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open -, -\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout -, y si -\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es invertible, esto se cumple para -\begin_inset Formula $n$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados dos anillos +\begin_inset Formula $A$ \end_inset y -\begin_inset Formula $m$ +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - enteros arbitrarios. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si [...] -\begin_inset Formula $n\geq0$ +, un +\series bold +homomorfismo de anillos +\series default + es una +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ + tal que +\begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset -, y si [...] -\begin_inset Formula $a$ + y, para +\begin_inset Formula $x,y\in A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b$ +, +\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)$ \end_inset - son invertibles, esto se cumple para todo entero -\begin_inset Formula $n$ + y +\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$ \end_inset . + \end_layout \begin_layout Standard @@ -652,7 +562,7 @@ status open \backslash -end{reminder} +begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset @@ -661,249 +571,215 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard -Un anillo es -\series bold -conmutativo -\series default - si su producto es conmutativo, y tiene +Un \series bold -identidad +automorfismo \series default - si este tiene elemento neutro -\begin_inset Formula $1\in A$ + de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - llamado -\series bold -uno -\series default -. - Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos - a anillos conmutativos y con identidad. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ + es un isomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +. + [...] Sean +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ + un homomorfismo de anillos y +\begin_inset Formula $a,b,a_{1},\dots,a_{n}\in A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset +: +\end_layout - para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(0)=0$ \end_inset - son anillos con la suma y el producto usuales. +. \end_layout \begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $c\in\mathbb{C}$ +\begin_inset Formula $f(-a)=-f(a)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[c]\coloneqq\left\{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n}\right\} _{a\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}}\subseteq\mathbb{C}$ -\end_inset +. +\end_layout - es un anillo con la suma y el producto de complejos, y en particular lo - es -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\text{i}]\coloneqq\{a+b\text{i}\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(a-b)=f(a)-f(b)$ \end_inset -, el -\series bold -anillo de los enteros de Gauss -\series default . \end_layout \begin_layout Enumerate -El conjunto de funciones -\begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad - con la suma y producto de funciones. +\begin_layout Plain Layout +5. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset - son anillos, -\begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ -\end_inset - es un anillo con las operaciones componente a componente, el -\series bold -anillo producto -\series default - de -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\begin_inset Formula $f(na)=nf(a)$ \end_inset . \end_layout +\begin_layout Standard +[...] Ejemplos: +\end_layout + \begin_layout Enumerate -Dado un anillo +Dados anillos \begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ \end_inset , -\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - es un anillo con la suma componente a componente y el producto -\begin_inset Formula $a\cdot b\coloneqq(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})_{n}$ + dada por +\begin_inset Formula $f(a)=0$ \end_inset -, el -\series bold -anillo de las series de potencias -\series default - sobre -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, y un -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - se suele denotar como -\begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$ + es un homomorfismo si y sólo si +\begin_inset Formula $B=0$ \end_inset . + [...] \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} +3. \end_layout \end_inset +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Standard -Llamamos -\begin_inset Formula $Y^{X}$ +, +\begin_inset Formula $\mu:\mathbb{Z}\to A$ \end_inset - al conjunto de funciones de -\begin_inset Formula $X$ + dada por +\begin_inset Formula $\mu(n)\coloneqq n1$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $Y$ + es el único homomorfismo de anillos de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset -. - [...] Si + en \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un anillo [...], -\begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ -\end_inset +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout - es un anillo [...]. - Si -\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un anillo y -\begin_inset Formula $n$ +Dada una familia de anillos +\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset - es un entero positivo, el conjunto -\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ + y +\begin_inset Formula $j\in I$ \end_inset - de matrices cuadradas en -\begin_inset Formula $A$ +, la +\series bold +proyección +\series default + +\begin_inset Formula $p_{j}:\prod_{i\in I}A_{i}\to A_{j}$ \end_inset - de tamaño -\begin_inset Formula $n$ + dada por +\begin_inset Formula $p_{j}(a)\coloneqq a_{j}$ \end_inset - es un anillo con la suma y el producto habituales. + es un homomorfismo. \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} +5. \end_layout \end_inset +La +\series bold +conjugación +\series default + de complejos, dada por +\begin_inset Formula $\overline{a+bi}\coloneqq a-bi$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados dos anillos -\begin_inset Formula $A$ + para +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $B$ +, es un automorfismo en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset -, un -\series bold -homomorfismo de anillos -\series default - es una -\begin_inset Formula $f:A\to B$ +. + [...] Si +\begin_inset Formula $d$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $f(1)=1$ + es un entero que no es un cuadrado, definiendo el conjugado de +\begin_inset Formula $a+b\sqrt{d}$ \end_inset - y, para -\begin_inset Formula $x,y\in A$ + como +\begin_inset Formula $a-b\sqrt{d}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)$ + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$ + o en +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ \end_inset -. - + tenemos un automorfismo. \end_layout \begin_layout Standard @@ -914,7 +790,7 @@ status open \backslash -begin{reminder}{GyA} +end{reminder} \end_layout \end_inset @@ -923,53 +799,47 @@ begin{reminder}{GyA} \end_layout \begin_layout Standard -Un -\series bold -automorfismo -\series default - de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_inset ERT +status open - es un isomorfismo de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset -. - [...] Sean -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset +\backslash +begin{samepage} +\end_layout - un homomorfismo de anillos y -\begin_inset Formula $a,b,a_{1},\dots,a_{n}\in A$ \end_inset -: + \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $f(0)=0$ +\begin_layout Standard +Un homomorfismo +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es inyectivo si y sólo si +\begin_inset Formula $\ker f=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $f(-a)=-f(a)$ +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset -. + \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $f(a-b)=f(a)-f(b)$ \end_inset -. +Obvio. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -977,289 +847,86 @@ automorfismo status open \begin_layout Plain Layout -5. +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + \end_layout \end_inset -\begin_inset Formula $f(na)=nf(a)$ +\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies0=f(a)-f(b)=f(a-b)\implies a-b=0\implies a=b$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -6. -\end_layout -\end_inset -Si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset +\backslash +end{samepage} +\end_layout - es invertible, -\begin_inset Formula $f(a)$ \end_inset - también lo es y -\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ -\end_inset -. \end_layout \begin_layout Standard -[...] Ejemplos: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dados anillos -\begin_inset Formula $A$ +Un +\series bold +isomorfismo de anillos +\series default + es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo. + En efecto, sea +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $B$ + un isomorfismo, como +\begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\begin_inset Formula $f^{-1}(1)=1$ \end_inset - dada por -\begin_inset Formula $f(a)=0$ +; si +\begin_inset Formula $b,b'\in B$ \end_inset - es un homomorfismo si y sólo si -\begin_inset Formula $B=0$ +, sean +\begin_inset Formula $a\coloneqq f^{-1}(b)$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sea -\begin_inset Formula $B$ + y +\begin_inset Formula $a'\coloneqq f^{-1}(b')$ \end_inset - un subanillo de -\begin_inset Formula $A$ +, entonces +\begin_inset Formula $f(a+a')=f(a)+f(a')=b+b'$ \end_inset -, la inclusión -\begin_inset Formula $i:B\to A$ +, luego +\begin_inset Formula $f^{-1}(b+b')=a+a'=f^{-1}(b)+f^{-1}(b')$ \end_inset - es un homomorfismo. -\end_layout +, y análogamente +\begin_inset Formula $f^{-1}(bb')=f^{-1}(b)f^{-1}(b')$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Dado un anillo +. + Dos anillos \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mu:\mathbb{Z}\to A$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $\mu(n)\coloneqq n1$ -\end_inset - - es el único homomorfismo de anillos de -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Dada una familia de anillos -\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $j\in I$ -\end_inset - -, la -\series bold -proyección -\series default - -\begin_inset Formula $p_{j}:\prod_{i\in I}A_{i}\to A_{j}$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $p_{j}(a)\coloneqq a_{j}$ -\end_inset - - es un homomorfismo. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -La -\series bold -conjugación -\series default - de complejos, dada por -\begin_inset Formula $\overline{a+bi}\coloneqq a-bi$ -\end_inset - - para -\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$ -\end_inset - -, es un automorfismo en -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - -. - [...] Si -\begin_inset Formula $d$ -\end_inset - - es un entero que no es un cuadrado, definiendo el conjugado de -\begin_inset Formula $a+b\sqrt{d}$ -\end_inset - - como -\begin_inset Formula $a-b\sqrt{d}$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ -\end_inset - - o en -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ -\end_inset - - tenemos un automorfismo. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{reminder} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un homomorfismo -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - es inyectivo si y sólo si -\begin_inset Formula $\ker f=0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Obvio. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies0=f(a)-f(b)=f(a-b)\implies a-b=0\implies a=b$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\series bold -isomorfismo de anillos -\series default - es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo. - En efecto, sea -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - - un isomorfismo, como -\begin_inset Formula $f(1)=1$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $f^{-1}(1)=1$ -\end_inset - -; si -\begin_inset Formula $b,b'\in B$ -\end_inset - -, sean -\begin_inset Formula $a\coloneqq f^{-1}(b)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a'\coloneqq f^{-1}(b')$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $f(a+a')=f(a)+f(a')=b+b'$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $f^{-1}(b+b')=a+a'=f^{-1}(b)+f^{-1}(b')$ -\end_inset - -, y análogamente -\begin_inset Formula $f^{-1}(bb')=f^{-1}(b)f^{-1}(b')$ -\end_inset - -. - Dos anillos -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $B$ + y +\begin_inset Formula $B$ \end_inset son @@ -1396,70 +1063,214 @@ grupo de las unidades \begin_inset Formula $xy\in A^{*}\iff x,y\in A^{*}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es -\series bold -cancelable -\series default - si -\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(ax=ay\implies x=y)$ -\end_inset - -, si y sólo si no es divisor de cero. - Toda unidad es cancelable, pues podemos cancelar multiplicando por el inverso. - Si -\begin_inset Formula $A$ +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ \end_inset - es finito se da el recíproco, pues -\begin_inset Formula $x\mapsto ax$ +. + Para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset - es inyectiva y por tanto suprayectiva y existe -\begin_inset Formula $x$ + y +\begin_inset Formula $a\in A^{*}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $ax=1$ +, llamamos +\begin_inset Formula $a^{-n}\coloneqq(a^{-1})^{n}=(a^{n})^{-1}$ \end_inset . - Para -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +\end_layout - infinito esto no es cierto en general, pues -\begin_inset Formula $2$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - es cancelable en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - pero no es unidad. + +\backslash +begin{reminder}{GyA} \end_layout -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - es -\series bold -divisor de cero -\series default - si existe -\begin_inset Formula $c\in A\setminus\{0\}$ -\end_inset - con +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $n,m\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, esto se cumple para +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + enteros arbitrarios. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + +\end_inset + +Si [...] +\begin_inset Formula $n\geq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ +\end_inset + +, y si [...] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son invertibles, esto se cumple para todo entero +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +6. +\end_layout + +\end_inset + +Si [ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es un homomorfismo de anillos y] +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + es invertible, +\begin_inset Formula $f(a)$ +\end_inset + + también lo es y +\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + es +\series bold +cancelable +\series default + si +\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(ax=ay\implies x=y)$ +\end_inset + +. + Toda unidad es cancelable, pues podemos cancelar multiplicando por el inverso. + Si +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es finito se da el recíproco, pues +\begin_inset Formula $x\mapsto ax$ +\end_inset + + es inyectiva y por tanto suprayectiva y existe +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $ax=1$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + infinito esto no es cierto en general, pues +\begin_inset Formula $2$ +\end_inset + + es cancelable en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + + pero no es unidad. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + es +\series bold +divisor de cero +\series default + si existe +\begin_inset Formula $c\in A\setminus\{0\}$ +\end_inset + + con \begin_inset Formula $ac=0$ \end_inset @@ -1605,26 +1416,6 @@ begin{exinfo} \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es nilpotente entonces -\begin_inset Formula $1+(a)\subseteq A^{*}$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ -\end_inset - -. -\end_layout - \begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $e\in A$ @@ -1681,14 +1472,10 @@ Dado un homomorfismo \begin_layout Standard Dados anillos \begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a=(a_{1},\dots,a_{n})\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a$ +\begin_inset Formula $a\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset es invertible, cancelable, divisor de cero, nilpotente o idempotente en @@ -1761,11 +1548,11 @@ Si \end_inset y -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$ +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}|>2$ \end_inset , -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$ +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}|=|\mathbb{N}|$ \end_inset . @@ -1788,802 +1575,417 @@ end{exinfo} \end_layout \begin_layout Section -Dominios +Subanillos \end_layout \begin_layout Standard -Un anillo es +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, un +\begin_inset Formula $S\subseteq A$ +\end_inset + + es un \series bold -reducido +subanillo \series default - si no tiene elementos nilpotentes distintos de 0, si y sólo si todo elemento - no nulo tiene cuadrado no nulo. -\end_layout + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open + si es un anillo con las mismas operaciones y el mismo uno que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +, si y sólo si es la imagen de un homomorfismo +\begin_inset Formula $B\to A$ \end_inset +, si y sólo si +\begin_inset Formula $1\in S$ +\end_inset -\end_layout + y para +\begin_inset Formula $x,y\in S$ +\end_inset +, +\begin_inset Formula $x-y,xy\in S$ \end_inset -Trivial. +. \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset - + Basta tomar el homomorfismo inclusión. \end_layout +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset -Si hubiera -\begin_inset Formula $b\in\text{Nil}(A)\setminus\{0\}$ + Sea +\begin_inset Formula $f:B\to A$ \end_inset -, sea -\begin_inset Formula $n>0$ -\end_inset - - mínimo con -\begin_inset Formula $b^{n}=0$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un -\series bold -dominio -\series default - si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo - es cancelable, y es un -\series bold -cuerpo -\series default - si todo elemento no nulo es unidad. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. - Los recíprocos no se cumplen, pues -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - es un dominio que no es un cuerpo y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ -\end_inset - - es un anillo reducido que no es un dominio. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - -Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular - lo es todo dominio finito. -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a,b\in D$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - -\series bold -divide a -\series default - -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ + el homomorfismo, +\begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset - es -\series bold -divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $b$ + y, si +\begin_inset Formula $x',y'\in B$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $b$ + cumplen +\begin_inset Formula $x=f(x')$ \end_inset - es -\series bold -múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $a$ + e +\begin_inset Formula $y=f(y')$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - -, si existe -\begin_inset Formula $c\in D$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $ac=b$ -\end_inset - -. - Esta relación es reflexiva y transitiva, y para -\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $a\mid b$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a\mid c$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ -\end_inset - -. - Dos elementos -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b$ -\end_inset - - son -\series bold -asociados -\series default - si -\begin_inset Formula $a\mid b$ +\begin_inset Formula $x-y=f(x'-y')\in S$ \end_inset y -\begin_inset Formula $b\mid a$ -\end_inset - -, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $b=au$ +\begin_inset Formula $xy=f(x'y')\in S$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Si -\begin_inset Formula $b=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=0$ -\end_inset - - y tomamos -\begin_inset Formula $u=1$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset -. - En otro caso, sean -\begin_inset Formula $c,d\in D$ + +\begin_inset Formula $1\in S$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $ac=b$ + y por tanto +\begin_inset Formula $1-1=0\in S$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $bd=a$ +, y para +\begin_inset Formula $a,b\in S$ \end_inset , -\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $dc=1$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $c$ -\end_inset - - es unidad. -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo [...] y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ +\begin_inset Formula $-a=0-a\in S$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es -\series bold -irreducible -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ -\end_inset - -, y es -\series bold -primo -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, todo primo es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Irreducible en un dominio no implica primo. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - es un dominio, -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - es irreducible si y sólo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es maximal entre los ideales principales no nulos de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, es decir, si -\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ -\end_inset - -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un anillo conmutativo -\begin_inset Formula $A$ +\begin_inset Formula $a+b=a-(-b)\in S$ \end_inset y -\begin_inset Formula $S\subseteq A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es un -\series bold -máximo común divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -[ -\begin_inset Formula $=\gcd S$ -\end_inset - -], si divide a cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un -\series bold -mínimo común múltiplo -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset - -[ -\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ -\end_inset - -], si es múltiplo de cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - y divide a cada elemento que cumple esto. - Para -\begin_inset Formula $a,b\in A$ -\end_inset - -: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - - si y solo si -\begin_inset Formula $(a)$ -\end_inset - - es el menor ideal principal de -\begin_inset Formula $A$ +\begin_inset Formula $ab\in S$ \end_inset - que contiene a +, luego \begin_inset Formula $S$ \end_inset -. - En particular, si -\begin_inset Formula $(a)=(S)$ + es cerrado para suma, producto y opuesto. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Ejemplos: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +En la cadena +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ +, cada anillo es subanillo de los que lo contienen, como pasa en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[\text{i}]\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $(a)$ +, el +\series bold +anillo +\series default + de los polinomios en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es el mayor ideal principal de +, +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +, es el subanillo de +\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket$ +\end_inset + + formado por las series con una cantidad finita de elementos no nulos, y + \begin_inset Formula $A$ \end_inset - contenido en -\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset -. - En particular, si -\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ + identificando +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ + con +\begin_inset Formula $(a,0,\dots,0,\dots)$ \end_inset -. + por isomorfismo. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open -, -\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - y -\begin_inset Formula $b$ +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + \end_inset - son asociados en + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Todo anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset + es un subanillo de sí mismo, el +\series bold +subanillo impropio +\series default +, y el resto de subanillos son +\series bold +propios +\series default . + [...] \end_layout \begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open -, -\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +3. +\end_layout - si y sólo si -\begin_inset Formula $a$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b$ + +\begin_inset Formula $\{0\}$ \end_inset - son asociados en + es subanillo de \begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $A=\{0\}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $a$ -\end_inset - - divide a todo elemento de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open - y -\begin_inset Formula $a\in(S)$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout -, entonces -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -. - En tal caso llamamos +Llamamos \series bold -identidad de Bézout +subanillo primo \series default - a una expresión de la forma -\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ + de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ + a +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset -, que existe porque -\begin_inset Formula $a\in(S)$ +, el menor subanillo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ -\end_inset +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout - si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de -\begin_inset Formula $S$ \end_inset - son las unidades de +Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset -. -\end_layout + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $1\in(S)$ + son anillos y +\begin_inset Formula $B\neq0$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ +\begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$ +\end_inset + + es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de +\begin_inset Formula $A\times B$ \end_inset . + [...] \end_layout -\begin_layout Standard -[...] Dado un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -, una -\series bold -factorización en producto de irreducibles -\series default - de -\begin_inset Formula $a\in D$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +7. +\end_layout - es una expresión de la forma -\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ \end_inset -, donde -\begin_inset Formula $u$ +Dado un espacio topológico +\begin_inset Formula $X$ \end_inset - es una unidad de -\begin_inset Formula $D$ +, +\begin_inset Formula $\{f\in\mathbb{R}^{X}\mid f\text{ continua}\}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{X}$ \end_inset - son irreducibles en -\begin_inset Formula $D$ + con la suma y el producto por elementos. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +8. +\end_layout + \end_inset -. - Dos factorizaciones en producto de irreducibles de -\begin_inset Formula $a\in D$ +Dado un espacio vectorial +\begin_inset Formula $V$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ +\begin_inset Formula $\{f\in V^{V}\mid f\text{ lineal}\}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $(V^{V},+,\circ)$ \end_inset -, son -\series bold -equivalentes -\series default - si -\begin_inset Formula $m=n$ -\end_inset +. +\end_layout - y existe una permutación -\begin_inset Formula $\sigma$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open - de -\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +9. +\end_layout - tal que para -\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $p_{k}$ +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ + y un conjunto +\begin_inset Formula $X$ \end_inset - son asociados, en cuyo caso -\begin_inset Formula $u$ +, +\begin_inset Formula $\{f\in A^{X}\mid f\text{ constante}\}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $v$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A^{X}$ \end_inset - también lo son. +. \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - es un -\series bold -dominio de factorización -\series default - ( -\series bold -DF -\series default -) si todo elemento no nulo de -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - admite una factorización en producto de irreducibles, y es un -\series bold -dominio de factorización única -\series default - ( -\series bold -DFU -\series default - o -\series bold -UFD -\series default -) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. -\end_layout +\begin_inset ERT +status open -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Plain Layout -\series bold -Teorema Fundamental de la Aritmética: -\series default - -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - es un DFU. +\backslash +vspace{6pt} \end_layout -\begin_layout Enumerate -Dado -\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ +[...] Si [ +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - es un DF. -\end_layout + es un homomorfismo y] +\begin_inset Formula $B'$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Un dominio -\begin_inset Formula $D$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de -\begin_inset Formula $D$ +, +\begin_inset Formula $f^{-1}(B')$ \end_inset - es producto de una unidad por primos, si y sólo si -\begin_inset Formula $D$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -2602,89 +2004,129 @@ end{reminder} \end_layout -\begin_layout Standard -Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. - También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. +\begin_layout Section +Ideales \end_layout \begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $n\geq2$ +Un +\begin_inset Formula $I\subseteq A$ \end_inset -: -\end_layout + es un +\series bold +ideal +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ +, +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset - es unidad si y sólo si -\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ +, si es el núcleo de un homomorfismo +\begin_inset Formula $A\to B$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +, si y sólo si +\begin_inset Formula $0\in I$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x,y\in I$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x+y,ax\in I$ \end_inset . -\end_layout + En concreto, definiendo la relación de equivalencia +\series bold +módulo +\series default + +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ + como +\begin_inset Formula $a\equiv b\iff a-b\in I$ \end_inset +, el conjunto cociente +\begin_inset Formula $A\slash I\coloneqq A\slash\equiv$ +\end_inset -\end_layout + es un anillo con la suma +\begin_inset Formula $\overline{a}+\overline{b}\coloneqq\overline{a+b}$ +\end_inset +, el producto +\begin_inset Formula $\overline{a}\,\overline{b}\coloneqq\overline{ab}$ \end_inset -Si fuera -\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$ +, +\begin_inset Formula $0=\overline{0}$ \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$ +, +\begin_inset Formula $1=\overline{1}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $r=dr'$ +, +\begin_inset Formula $-\overline{a}=\overline{-a}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $n=dn'$ + y, si +\begin_inset Formula $a\in A^{*}$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$ +, +\begin_inset Formula $\overline{a}\in(A/I)^{*}$ \end_inset - pero -\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$ + y +\begin_inset Formula $\overline{a}^{-1}=\overline{a^{-1}}$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $r$ +, donde +\begin_inset Formula $\overline{a}$ \end_inset - es divisor de cero. -\begin_inset Formula $\#$ + es la clase de equivalencia de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + +, y la +\series bold +proyección canónica +\series default + +\begin_inset Formula $p:A\to A/I$ \end_inset + es un homomorfismo con núcleo +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset +. \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset @@ -2692,40 +2134,36 @@ status open \end_inset -Una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $ar+bn=1$ +Sean +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - se traduce en que -\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$ + un homomorfismo, +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ + y +\begin_inset Formula $x,y\in\ker f$ \end_inset - es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de -\begin_inset Formula $n$ +. + Entonces +\begin_inset Formula $f(ax)=f(a)f(x)=f(a)0=0$ \end_inset - dividen a -\begin_inset Formula $r$ + y +\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset @@ -2734,727 +2172,785 @@ status open \end_inset Sean -\begin_inset Formula $m$ +\begin_inset Formula $a\equiv a',b\equiv b'\in A$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $x\coloneqq a-a',y\coloneqq b-b'\in I$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $a+b=a'+x+b'+y=a'+b'+(x+y)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x+y\in I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a+b\equiv a'+b'$ +\end_inset + +. + Además +\begin_inset Formula $ab=(a'+x)(b'+y)=a'b'+a'y+b'x+xy$ \end_inset con -\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $p$ +\begin_inset Formula $a'y+b'x+xy\in I$ \end_inset - un divisor primo de -\begin_inset Formula $n$ +, luego +\begin_inset Formula $ab\equiv a'+b'$ \end_inset -, como -\begin_inset Formula $n$ + y el producto está bien definido. + Entonces es fácil ver que +\begin_inset Formula $A/I$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ + es un anillo con los neutros y simétricos indicados. + Además, +\begin_inset Formula $p(1)=\overline{1}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $p$ +\begin_inset Formula $p(a+b)=\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}=p(a)+p(b)$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ + y del mismo modo +\begin_inset Formula $p(ab)=p(a)p(b)$ \end_inset - y por tanto a -\begin_inset Formula $r$ +, y +\begin_inset Formula $p(x)=\overline{x}=0\iff x-0=x\in I$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - +\begin_layout Standard +Llamamos +\begin_inset Formula ${\cal L}(A)$ \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$ + al conjunto de ideales de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - la descomposición prima de -\begin_inset Formula $n$ +. + Todo anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ + tiene al menos el +\series bold +ideal trivial +\series default + +\begin_inset Formula $0\coloneqq\{0\}$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r$ + y el +\series bold +ideal impropio +\series default + +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ +, el único que contiene una unidad. + En efecto, si +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $n$ + y existe +\begin_inset Formula $u\in I\cap A^{*}$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ +, para +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +, +\begin_inset Formula $a=(au^{-1})u\in I$ \end_inset , luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $I=A$ \end_inset . -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ + +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset - es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ + es +\series bold +propio +\series default +, +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset - es primo. +, si no es impropio. \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies2]$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - Visto. +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - Probamos el contrarrecíproco. - Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ +Dados anillos +\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $10$ +\end_inset + + mínimo con +\begin_inset Formula $b^{n}=0$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ +\end_inset +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Todo anillo +\begin_layout Standard +Un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un subanillo de sí mismo, el + es un \series bold -subanillo impropio +dominio \series default -, y el resto de subanillos son + si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo + es cancelable, y es un \series bold -propios +cuerpo \series default -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -3. + si todo elemento no nulo es unidad. \end_layout +\begin_layout Standard +Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. + Los recíprocos no se cumplen, pues +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - -\begin_inset Formula $\{0\}$ + es un dominio que no es un cuerpo y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ \end_inset - es subanillo de -\begin_inset Formula $A$ + es un anillo reducido que no es un dominio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido + es reducido. + No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $A=\{0\}$ + es subanillo del cuerpo +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset -. + pero no es un cuerpo. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -4. + + +\backslash +begin{exinfo} \end_layout \end_inset -Llamamos -\series bold -subanillo primo -\series default - de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular + lo es todo dominio finito. +\begin_inset ERT +status open - a -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}1\coloneqq\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout -, el menor subanillo de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset -. +\backslash +end{exinfo} \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +\end_inset + -\begin_layout Plain Layout -5. \end_layout +\begin_layout Standard +Dados un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -Si -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $a,b\in D$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $B$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - son anillos y -\begin_inset Formula $B\neq0$ + +\series bold +divide a +\series default + +\begin_inset Formula $b$ \end_inset , -\begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$ +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de -\begin_inset Formula $A\times B$ + es +\series bold +divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $b$ \end_inset -. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -7. -\end_layout - + o +\begin_inset Formula $b$ \end_inset -Dado un espacio topológico -\begin_inset Formula $X$ + es +\series bold +múltiplo +\series default + de +\begin_inset Formula $a$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\{f\in\mathbb{R}^{X}\mid f\text{ continua}\}$ +\begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{X}$ +, si existe +\begin_inset Formula $c\in D$ \end_inset - con la suma y el producto por elementos. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -8. -\end_layout + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset +. + Esta relación es reflexiva y transitiva, y para +\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ \end_inset -Dado un espacio vectorial -\begin_inset Formula $V$ +, si +\begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\{f\in V^{V}\mid f\text{ lineal}\}$ + y +\begin_inset Formula $a\mid c$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $(V^{V},+,\circ)$ +, +\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -9. -\end_layout + Dos elementos +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + y +\begin_inset Formula $b$ \end_inset -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ + son +\series bold +asociados +\series default + si +\begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset - y un conjunto -\begin_inset Formula $X$ + y +\begin_inset Formula $b\mid a$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\{f\in A^{X}\mid f\text{ constante}\}$ +, si y sólo si existe +\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $A^{X}$ + con +\begin_inset Formula $b=au$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -[...] -\end_layout - -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -9. +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + \end_layout \end_inset -Si -\begin_inset Formula $B'$ +Si +\begin_inset Formula $b=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $a=0$ +\end_inset + + y tomamos +\begin_inset Formula $u=1$ +\end_inset + +. + En otro caso, sean +\begin_inset Formula $c,d\in D$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $B$ + con +\begin_inset Formula $ac=b$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $bd=a$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f^{-1}(B')$ +\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $A$ +, luego +\begin_inset Formula $dc=1$ \end_inset -. + y +\begin_inset Formula $c$ +\end_inset + + es unidad. \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -10. +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + \end_layout \end_inset -Si -\begin_inset Formula $f$ -\end_inset - es un isomorfismo de anillos, -\begin_inset Formula $f^{-1}$ +\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ \end_inset - también. +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -3465,7 +2961,7 @@ status open \backslash -end{reminder} +begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset @@ -3474,528 +2970,503 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard -Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido - es reducido. - No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +Sean +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es subanillo del cuerpo -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ + un anillo [...] y +\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ \end_inset - pero no es un cuerpo. -\end_layout - -\begin_layout Section -Ideales -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $I\subseteq A$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es un + es \series bold -ideal +irreducible \series default - de + en \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ \end_inset -, si es el núcleo de un homomorfismo -\begin_inset Formula $A\to B$ +, y es +\series bold +primo +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $0\in I$ + si +\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ \end_inset - y, para -\begin_inset Formula $a\in A$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x,y\in I$ + es un dominio, todo primo es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Irreducible en un dominio no implica primo. + [...] +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $x+y,ax\in I$ + es un dominio, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -. - En concreto, definiendo la relación de equivalencia -\series bold -módulo -\series default - -\begin_inset Formula $I$ + es irreducible si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset - en + es maximal entre los ideales principales no nulos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset - como -\begin_inset Formula $a\equiv b\iff a-b\in I$ +, es decir, si +\begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ \end_inset -, el conjunto cociente -\begin_inset Formula $A\slash I\coloneqq A\slash\equiv$ + y +\begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ \end_inset - es un anillo con la suma -\begin_inset Formula $\overline{a}+\overline{b}\coloneqq\overline{a+b}$ -\end_inset +. + [...] +\end_layout -, el producto -\begin_inset Formula $\overline{a}\,\overline{b}\coloneqq\overline{ab}$ +\begin_layout Standard +Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $0=\overline{0}$ + y +\begin_inset Formula $S\subseteq A$ \end_inset , -\begin_inset Formula $1=\overline{1}$ +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $-\overline{a}=\overline{-a}$ + es un +\series bold +máximo común divisor +\series default + de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset - y, si -\begin_inset Formula $a\in A^{*}$ + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\overline{a}\in(A/I)^{*}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\overline{a}^{-1}=\overline{a^{-1}}$ +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -, donde -\begin_inset Formula $\overline{a}$ +[ +\begin_inset Formula $=\gcd S$ \end_inset - es la clase de equivalencia de -\begin_inset Formula $a$ +], si divide a cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset -, y la + y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un \series bold -proyección canónica +mínimo común múltiplo \series default - -\begin_inset Formula $p:A\to A/I$ + de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset - es un homomorfismo con núcleo -\begin_inset Formula $I$ + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -. -\end_layout +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\end_inset -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open +[ +\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +], si es múltiplo de cada elemento de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset + y divide a cada elemento que cumple esto. + Para +\begin_inset Formula $a,b\in A$ +\end_inset +: \end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset -Sean -\begin_inset Formula $f:A\to B$ + si y solo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset - un homomorfismo, -\begin_inset Formula $a\in A$ + es el menor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x,y\in\ker f$ + que contiene a +\begin_inset Formula $S$ \end_inset . - Entonces -\begin_inset Formula $f(ax)=f(a)f(x)=f(a)0=0$ + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=(S)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0$ +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -Sean -\begin_inset Formula $a\equiv a',b\equiv b'\in A$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $x\coloneqq a-a',y\coloneqq b-b'\in I$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $a+b=a'+x+b'+y=a'+b'+(x+y)$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $x+y\in I$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $a+b\equiv a'+b'$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $(a)$ \end_inset - y la suma está bien definida. - Además -\begin_inset Formula $ab=(a'+x)(b'+y)=a'b'+a'y+b'x+xy$ + es el mayor ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $a'y+b'x+xy\in I$ + contenido en +\begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $ab\equiv a'+b'$ +. + En particular, si +\begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset - y el producto está bien definido. - Entonces es fácil ver que -\begin_inset Formula $A/I$ +, +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset - es un anillo con los neutros y simétricos indicados. - Además, -\begin_inset Formula $p(1)=\overline{1}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset , -\begin_inset Formula $p(a+b)=\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}=p(a)+p(b)$ +\begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ \end_inset - y del mismo modo -\begin_inset Formula $p(ab)=p(a)p(b)$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $p(x)=\overline{x}=0\iff x-0=x\in I$ + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + son asociados en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -Llamamos -\begin_inset Formula ${\cal L}(A)$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset - al conjunto de ideales de -\begin_inset Formula $A$ +, +\begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ \end_inset -. - Todo anillo -\begin_inset Formula $A$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - tiene al menos el -\series bold -ideal trivial -\series default - -\begin_inset Formula $0\coloneqq\{0\}$ + y +\begin_inset Formula $b$ \end_inset - y el -\series bold -ideal impropio -\series default - + son asociados en \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, el único que contiene una unidad. - En efecto, si -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ -\end_inset +. +\end_layout - y existe -\begin_inset Formula $u\in I\cap A^{*}$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $a\in A$ + divide a todo elemento de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a=(au^{-1})u\in I$ + y +\begin_inset Formula $a\in(S)$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $I=A$ +, [...] +\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset . - -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ -\end_inset - - es + En tal caso llamamos \series bold -propio +identidad de Bézout \series default -, -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ + a una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ \end_inset -, si no es impropio. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open + con +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout + y +\begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ +\end_inset +, que existe porque +\begin_inset Formula $a\in(S)$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} +. \end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ \end_inset -Dados anillos -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ + si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de +\begin_inset Formula $S$ \end_inset -, -\begin_inset Formula ${\cal L}(A_{1}\times\dots\times A_{n})=\{I_{1}\times\dots\times I_{n}\}_{I_{i}\trianglelefteq A_{i},\forall i}$ + son las unidades de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} \end_layout +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $1\in(S)$ \end_inset +, +\begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Section -Ideales finitamente generados +. \end_layout \begin_layout Standard -La intersección de una familia de ideales de -\begin_inset Formula $A$ +[...] Dado un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - es un ideal de -\begin_inset Formula $A$ +, una +\series bold +factorización en producto de irreducibles +\series default + de +\begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset -. - Dados un anillo -\begin_inset Formula $A$ + es una expresión de la forma +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ \end_inset - y un subconjunto -\begin_inset Formula $S\subseteq A$ +, donde +\begin_inset Formula $u$ \end_inset -, llamamos -\series bold -ideal de -\begin_inset Formula $A$ + es una unidad de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - generado por -\begin_inset Formula $S$ + y +\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ \end_inset + son irreducibles en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset -\series default - a -\begin_inset Formula -\[ -(S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A\mid S\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}}, -\] +. + Dos factorizaciones en producto de irreducibles de +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset +, +\begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ \end_inset -y decimos que -\begin_inset Formula $S$ + y +\begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ \end_inset - es un +, son \series bold -conjunto generador +equivalentes \series default - de -\begin_inset Formula $(S)$ + si +\begin_inset Formula $m=n$ \end_inset -. - En efecto, -\begin_inset Formula $\bigcap\{I\trianglelefteq A\mid S\subseteq I\}$ + y existe una permutación +\begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset - es un ideal de -\begin_inset Formula $A$ + de +\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}\coloneqq\{1,\dots,n\}$ \end_inset - que contiene a -\begin_inset Formula $S$ + tal que para +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ \end_inset - y es el menor de ellos, pero todo ideal de -\begin_inset Formula $A$ +, +\begin_inset Formula $p_{k}$ \end_inset - que contenga a -\begin_inset Formula $S$ + y +\begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ \end_inset - debe contener a las combinaciones -\begin_inset Formula $A$ + son asociados, en cuyo caso +\begin_inset Formula $u$ \end_inset --lineales finitas de elementos de -\begin_inset Formula $S$ + y +\begin_inset Formula $v$ \end_inset -, y el conjunto de estas combinaciones es claramente un ideal, luego ambos - conjuntos son iguales. + también lo son. \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - es + es un \series bold -finitamente generado +dominio de factorización \series default - (FG) si existe -\begin_inset Formula $S\subseteq I$ -\end_inset - - finito tal que -\begin_inset Formula $I=(S)$ + ( +\series bold +DF +\series default +) si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, en cuyo caso, si -\begin_inset Formula $S=\{b_{1},\dots,b_{n}\}$ -\end_inset + admite una factorización en producto de irreducibles, y es un +\series bold +dominio de factorización única +\series default + ( +\series bold +DFU +\series default + o +\series bold +UFD +\series default +) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. +\end_layout -, escribimos -\begin_inset Formula $I\eqqcolon(b_{1},\dots,b_{n})$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate -. - Un \series bold -ideal principal +Teorema Fundamental de la Aritmética: \series default - de un anillo -\begin_inset Formula $A$ + +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - es uno de la forma -\begin_inset Formula $Ab\coloneqq(b)$ -\end_inset + es un DFU. +\end_layout - para algún -\begin_inset Formula $b\in A$ +\begin_layout Enumerate +Dado +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset -. - Por ejemplo, -\begin_inset Formula $0=(0)$ +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $A=(1)$ -\end_inset + es un DF. +\end_layout -. - Dados -\begin_inset Formula $b\in A$ +\begin_layout Standard +Un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ + es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $(b)\subseteq I$ + es producto de una unidad por primos, si y sólo si +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $b\in I$ -\end_inset + es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. +\end_layout -, y en particular para -\begin_inset Formula $b'\in A$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open -, -\begin_inset Formula $(b)\subseteq(b')$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout - si y sólo si -\begin_inset Formula $b'\mid b$ -\end_inset -, y en un dominio -\begin_inset Formula $(b)=(b')$ -\end_inset +\backslash +end{reminder} +\end_layout - si y sólo si -\begin_inset Formula $b$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b'$ -\end_inset - son asociados. - +\end_layout + +\begin_layout Standard +Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. + También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4075,111 +3546,6 @@ status open \begin_layout Plain Layout -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - -Dado un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b\in A$ -\end_inset - - cancelable no invertible, -\begin_inset Formula $(b,X)$ -\end_inset - - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X]$ -\end_inset - -, y en particular -\begin_inset Formula $(X,Y)$ -\end_inset - - no es un ideal principal de -\begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ -\end_inset - -. - Si -\begin_inset Formula $e\in A$ -\end_inset - - es idempotente, para -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ -\end_inset - -, con lo que -\begin_inset Formula $(e)$ -\end_inset - - es un anillo con identidad -\begin_inset Formula $e$ -\end_inset - -. -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} -\end_layout - -\end_inset - - -\end_layout - -\begin_layout Standard -No todos los ideales son finitamente generados. - En efecto, dado un anillo no trivial -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, en -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ -\end_inset - - con las operaciones componente a componente, -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ -\end_inset - - formado por los elementos de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ -\end_inset - - con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de -\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ -\end_inset - -, pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita - de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo - ceros y no generan elementos de -\begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ -\end_inset - - con un 1 después de esta posición. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout @@ -4406,11 +3772,7 @@ Sean \end_inset , como -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $n\mid r^{m}$ \end_inset , @@ -4450,35 +3812,15 @@ Sea \end_inset , como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r$ +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}\mid r$ \end_inset -, si +, llamando \begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ -\end_inset - - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset - -, luego -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_inset Formula $n\mid p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}\mid r^{m}$ \end_inset . @@ -4510,14 +3852,10 @@ Sea Probamos el contrarrecíproco. Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $1