From d48cc1e1cd50b35323eb70c2dd43f0d3aee8c62e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Juan Marin Noguera Date: Tue, 15 Nov 2022 12:07:39 +0100 Subject: Añadida la mitad de GyA a los apuntes de AC MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ac/n1.lyx | 11049 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 7517 insertions(+), 3532 deletions(-) (limited to 'ac') diff --git a/ac/n1.lyx b/ac/n1.lyx index 1462a8d..7164316 100644 --- a/ac/n1.lyx +++ b/ac/n1.lyx @@ -194,112 +194,6 @@ El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos . \end_layout -\begin_layout Standard -Dados un anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $a,b,c\in A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a0=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -pues -\begin_inset Formula $a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0\implies0=a0$ -\end_inset - -; -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $-(-a)=a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -pues -\begin_inset Formula $x=-(-a)\implies0=x+(-a)\implies a=x+(-a)+a=x$ -\end_inset - -; -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $a-b=c\iff b+c=a$ -\end_inset - -, -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -pues -\begin_inset Formula $a-b=c\implies a=a-b+b=c+b=b+c$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $b+c=a\implies c=-b+b+c=-b+a=a-b$ -\end_inset - -; -\end_layout - -\end_inset - - -\begin_inset Formula $(a-b)c=ac-bc$ -\end_inset - - -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $(a-b)c+bc=ac-bc+bc=ac\implies ac-bc=(a-b)c$ -\end_inset - -, -\end_layout - -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(-a)b=-(ab)$ -\end_inset - - -\begin_inset Note Comment -status open - -\begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $(-a)b=(0-a)b=0b-ab=0-ab=-ab$ -\end_inset - - -\end_layout - -\end_inset - -. -\end_layout - \begin_layout Standard Un anillo es \series bold @@ -332,14 +226,10 @@ uno , \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset para @@ -439,7 +329,7 @@ status open \backslash -begin{reminder}{ga} +begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset @@ -494,98 +384,80 @@ Llamamos \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout +Sean +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + un anillo y +\begin_inset Formula $a,b,c\in A$ +\end_inset -\backslash -end{reminder} +: [...] \end_layout -\end_inset - +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open +\begin_layout Plain Layout +3. \end_layout -\begin_layout Standard -Dados dos anillos -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $B$ \end_inset -, un -\series bold -homomorfismo de anillos -\series default - es una -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset +[...] El 0 y el 1 son únicos. +\end_layout - tal que -\begin_inset Formula $f(1)=1$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open - y, para -\begin_inset Formula $x,y\in A$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$ +El opuesto de +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -. - Entonces -\begin_inset Formula $f(0)=0$ + es único, y si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset + es invertible, el inverso es único. +\end_layout -\begin_inset Note Comment +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)=f(0)+0$ -\end_inset - -, +5. \end_layout \end_inset - y -\begin_inset Formula $\forall a\in A,f(-a)=-f(a)$ + +\begin_inset Formula $0a=a0=0$ \end_inset +. +\end_layout -\begin_inset Note Comment +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -, pues -\begin_inset Formula $f(-a)+f(a)=f(-a+a)=f(0)=0$ -\end_inset - - +6. \end_layout \end_inset -. - Un homomorfismo -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - es inyectivo si y sólo si -\begin_inset Formula $\ker f=0$ +\begin_inset Formula $a(-b)=(-a)b=-(ab)$ \end_inset . @@ -596,15 +468,16 @@ status open status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset +7. +\end_layout +\end_inset -\end_layout +\begin_inset Formula $a(b-c)=ab-ac$ \end_inset -Obvio. +. \end_layout \begin_layout Enumerate @@ -612,579 +485,457 @@ Obvio. status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +8. +\end_layout + \end_inset -\end_layout +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + son invertibles si y sólo si lo son +\begin_inset Formula $ab$ \end_inset + y +\begin_inset Formula $ba$ +\end_inset -\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies0=f(a)-f(b)=f(a-b)\implies a-b=0\implies a=b$ +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Un -\series bold -isomorfismo de anillos -\series default - es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo. - En efecto, sea -\begin_inset Formula $f:A\to B$ +[...] Si +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - un isomorfismo, como -\begin_inset Formula $f(1)=1$ +, definimos +\begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a:=0$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f^{-1}(1)=1$ +\begin_inset Formula $na:=(n-1)a+a$ \end_inset -; si -\begin_inset Formula $b,b'\in B$ + y +\begin_inset Formula $(-n)a:=-(na)$ \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $a\coloneqq f^{-1}(b)$ +. + Definimos +\begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}:=1_{A}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a'\coloneqq f^{-1}(b')$ +, para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $f(a+a')=f(a)+f(a')=b+b'$ +, +\begin_inset Formula $a^{n}:=a^{n-1}a$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $f^{-1}(b+b')=a+a'=f^{-1}(b)+f^{-1}(b')$ +, y si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -, y análogamente -\begin_inset Formula $f^{-1}(bb')=f^{-1}(b)f^{-1}(b')$ + es invertible, +\begin_inset Formula $a^{-n}:=(a^{-1})^{n}$ \end_inset . - Dos anillos + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $B$ +, +\begin_inset Formula $a,b\in A$ \end_inset - son -\series bold -isomorfos -\series default -, -\begin_inset Formula $A\cong B$ + y +\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{Z}$ \end_inset -, si existe un isomorfismo entre ellos. +: \end_layout -\begin_layout Standard -Llamamos -\series bold -anillo cero -\series default - o -\series bold -trivial -\series default -, -\begin_inset Formula $0$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $n(a+b)=na+nb$ \end_inset -, al único con un solo elemento, o el único con -\begin_inset Formula $1=0$ -\end_inset - -, salvo isomorfismo. - En efecto, todo conjunto unipuntual es un anillo con la suma y producto - definidos de la única forma posible, la única función entre estos anillos - es un isomorfismo y, si el anillo -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset +. +\end_layout - cumple -\begin_inset Formula $1=0$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(n+m)a=na+ma$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset +. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $a=a1=a0=0$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $n(ma)=(nm)a$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Section -Elementos notables -\end_layout +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $n,m\geq0$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $A$ +, +\begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ \end_inset - un anillo. - Un -\begin_inset Formula $a\in A$ +, y si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es -\series bold -invertible -\series default - o -\series bold -unidad -\series default - si existe -\begin_inset Formula $b\in A$ + es invertible, esto se cumple para +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $ab=1$ + y +\begin_inset Formula $m$ \end_inset -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $b$ + enteros arbitrarios. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si [...] +\begin_inset Formula $n\geq0$ \end_inset - es único, pues -\begin_inset Formula $ac=1\implies b=bac=c$ +, +\begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ \end_inset -; lo llamamos -\series bold -inverso -\series default - de +, y si [...] \begin_inset Formula $a$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $a^{-1}$ + y +\begin_inset Formula $b$ \end_inset -, y -\begin_inset Formula $(a^{-1})^{-1}=a$ + son invertibles, esto se cumple para todo entero +\begin_inset Formula $n$ \end_inset . - Llamamos -\series bold -grupo de las unidades -\series default - de +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados dos anillos \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $U(A)$ + y +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $A^{*}$ +, un +\series bold +homomorfismo de anillos +\series default + es una +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset -, al grupo abeliano formado por las unidades de -\begin_inset Formula $A$ + tal que +\begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset - con el producto. - Para + y, para \begin_inset Formula $x,y\in A$ \end_inset , -\begin_inset Formula $xy\in A^{*}\iff x,y\in A^{*}$ +\begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$ \end_inset . + \end_layout \begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $a\in A$ +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + \end_inset - es + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un \series bold -cancelable +automorfismo \series default - si -\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(ax=ay\implies x=y)$ -\end_inset - -, si y sólo si no es divisor de cero. - Toda unidad es cancelable, pues podemos cancelar multiplicando por el inverso. - Si + de \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es finito se da el recíproco, pues -\begin_inset Formula $x\mapsto ax$ -\end_inset - - es inyectiva y por tanto suprayectiva y existe -\begin_inset Formula $x$ + es un isomorfismo de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $ax=1$ + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . - Para -\begin_inset Formula $A$ + [...] Sean +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - infinito esto no es cierto en general, pues -\begin_inset Formula $2$ + un homomorfismo de anillos y +\begin_inset Formula $a,b,a_{1},\dots,a_{n}\in A$ \end_inset - es cancelable en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(0)=0$ \end_inset - pero no es unidad. +. \end_layout -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $a\in A$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(-a)=-f(a)$ \end_inset - es -\series bold -divisor de cero -\series default - si existe -\begin_inset Formula $c\in A\setminus\{0\}$ -\end_inset +. +\end_layout - con -\begin_inset Formula $ac=0$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $f(a-b)=f(a)-f(b)$ \end_inset -, si y sólo si no es cancelable. +. \end_layout -\begin_layout Itemize +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset - - +5. \end_layout \end_inset -Si es cancelable, -\begin_inset Formula $ac=0=a0\implies c=0$ + +\begin_inset Formula $f(na)=nf(a)$ \end_inset -, luego no es divisor de cero. +. \end_layout -\begin_layout Itemize +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ -\end_inset - - +6. \end_layout \end_inset -Sean -\begin_inset Formula $x,y\in A$ -\end_inset - - distintos con -\begin_inset Formula $ax=ay$ +Si +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $a(x-y)=0$ + es invertible, +\begin_inset Formula $f(a)$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $x-y\neq0$ + también lo es y +\begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es -\series bold -nilpotente -\series default - si existe -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ -\end_inset - - con -\begin_inset Formula $a^{n}=0$ -\end_inset +[...] Ejemplos: +\end_layout -, en cuyo caso, si +\begin_layout Enumerate +Dados anillos \begin_inset Formula $A$ \end_inset - no es trivial, -\begin_inset Formula $a$ + y +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - es divisor de cero, pues el 0 es claramente divisor de cero y, si -\begin_inset Formula $a\neq0$ +, +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset -, tomando el menor -\begin_inset Formula $n$ + dada por +\begin_inset Formula $f(a)=0$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $a^{n}=0$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a^{n-1}\neq0$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $aa^{n-1}=0$ + es un homomorfismo si y sólo si +\begin_inset Formula $B=0$ \end_inset . - Llamamos -\series bold -nilradical -\series default - de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\text{Nil}(A)$ -\end_inset +\end_layout -, al conjunto de elementos de -\begin_inset Formula $A$ +\begin_layout Enumerate +Sea +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - nilpotentes. - El 1 es invertible. - El 0 es nilpotente y, si + un subanillo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset - es no trivial, es no unidad. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout - +, la inclusión +\begin_inset Formula $i:B\to A$ \end_inset - + es un homomorfismo. \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es nilpotente entonces -\begin_inset Formula $1+(a)\subseteq A^{*}$ -\end_inset - - y, para -\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ +\begin_layout Enumerate +Dado un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset , -\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un -\begin_inset Formula $e\in A$ -\end_inset - - es -\series bold -idempotente -\series default - si -\begin_inset Formula $e^{2}=e$ -\end_inset - -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $f\coloneqq1-e$ -\end_inset - - también lo es y -\begin_inset Formula $ef=0$ -\end_inset - -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dado un homomorfismo -\begin_inset Formula $f:A\to B$ -\end_inset - -, si -\begin_inset Formula $a\in A$ -\end_inset - - es invertible, nilpotente o idempotente, también lo es -\begin_inset Formula $f(a)\in B$ +\begin_inset Formula $\mu:\mathbb{Z}\to A$ \end_inset -. - Si además -\begin_inset Formula $f$ + dada por +\begin_inset Formula $\mu(n):=n1$ \end_inset - es inyectivo, si -\begin_inset Formula $f(a)\in B$ + es el único homomorfismo de anillos de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - es cancelable, nilpotente o idempotente, también lo es -\begin_inset Formula $a\in A$ + en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -Dados anillos -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\begin_layout Enumerate +Dada una familia de anillos +\begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $a=(a_{1},\dots,a_{n})\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ +\begin_inset Formula $j\in I$ \end_inset - es invertible, cancelable, divisor de cero, nilpotente o idempotente en +, la +\series bold +proyección +\series default -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si y sólo si lo es cada -\begin_inset Formula $a_{i}$ +\begin_inset Formula $p_{j}:\prod_{i\in I}A_{i}\to A_{j}$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $A_{i}$ + dada por +\begin_inset Formula $p_{j}(a):=a_{j}$ \end_inset -. + es un homomorfismo. \end_layout -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ -\end_inset - - no cuadrado, definimos la +\begin_layout Enumerate +La \series bold -norma +conjugación \series default - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ -\end_inset - - como -\begin_inset Formula $N:\mathbb{Z}[\sqrt{m}]\to\mathbb{Z}$ -\end_inset - - dada por -\begin_inset Formula $N(a+b\sqrt{m})\coloneqq a^{2}-mb^{2}$ + de complejos, dada por +\begin_inset Formula $\overline{a+bi}:=a-bi$ \end_inset para -\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$ +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$ \end_inset -, y entonces: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Las unidades de -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ +, es un automorfismo en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset - son los elementos de norma 1. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $m<0$ +. + [...] Si +\begin_inset Formula $d$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}$ + es un entero que no es un cuadrado, definiendo el conjugado de +\begin_inset Formula $a+b\sqrt{d}$ \end_inset - es finito. -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $m>0$ + como +\begin_inset Formula $a-b\sqrt{d}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$ + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$ + o en +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ \end_inset -. + tenemos un automorfismo. \end_layout \begin_layout Standard @@ -1195,7 +946,7 @@ status open \backslash -end{exinfo} +end{reminder} \end_layout \end_inset @@ -1203,20 +954,19 @@ end{exinfo} \end_layout -\begin_layout Section -Dominios -\end_layout - \begin_layout Standard -Un anillo es -\series bold -reducido -\series default - si no tiene elementos nilpotentes distintos de 0, si y sólo si todo elemento - no nulo tiene cuadrado no nulo. +Un homomorfismo +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + es inyectivo si y sólo si +\begin_inset Formula $\ker f=0$ +\end_inset + +. \end_layout -\begin_layout Itemize +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -1229,10 +979,10 @@ status open \end_inset -Trivial. +Obvio. \end_layout -\begin_layout Itemize +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open @@ -1245,239 +995,286 @@ status open \end_inset -Si hubiera -\begin_inset Formula $b\in\text{Nil}(A)\setminus\{0\}$ -\end_inset - -, sea -\begin_inset Formula $n>0$ -\end_inset - - mínimo con -\begin_inset Formula $b^{n}=0$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ -\end_inset - y -\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ +\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies0=f(a)-f(b)=f(a-b)\implies a-b=0\implies a=b$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -Un anillo es un -\series bold -dominio -\series default - si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo - es cancelable, y es un +Un \series bold -cuerpo +isomorfismo de anillos \series default - si todo elemento no nulo es unidad. - Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. - Los recíprocos no se cumplen, pues -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ + es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo. + En efecto, sea +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - es un dominio que no es un cuerpo y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ + un isomorfismo, como +\begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset - es un anillo reducido que no es un dominio. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout +, +\begin_inset Formula $f^{-1}(1)=1$ +\end_inset +; si +\begin_inset Formula $b,b'\in B$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout +, sean +\begin_inset Formula $a\coloneqq f^{-1}(b)$ +\end_inset + y +\begin_inset Formula $a'\coloneqq f^{-1}(b')$ \end_inset -Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular - lo es todo dominio finito. -\begin_inset ERT -status open +, entonces +\begin_inset Formula $f(a+a')=f(a)+f(a')=b+b'$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout +, luego +\begin_inset Formula $f^{-1}(b+b')=a+a'=f^{-1}(b)+f^{-1}(b')$ +\end_inset +, y análogamente +\begin_inset Formula $f^{-1}(bb')=f^{-1}(b)f^{-1}(b')$ +\end_inset -\backslash -end{exinfo} -\end_layout +. + Dos anillos +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + y +\begin_inset Formula $B$ \end_inset + son +\series bold +isomorfos +\series default +, +\begin_inset Formula $A\cong B$ +\end_inset +, si existe un isomorfismo entre ellos. \end_layout \begin_layout Standard -Dados un dominio -\begin_inset Formula $D$ +Llamamos +\series bold +anillo cero +\series default + o +\series bold +trivial +\series default +, +\begin_inset Formula $0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a,b\in D$ +, al único con un solo elemento, o el único con +\begin_inset Formula $1=0$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a$ +, salvo isomorfismo. + En efecto, todo conjunto unipuntual es un anillo con la suma y producto + definidos de la única forma posible, la única función entre estos anillos + es un isomorfismo y, si el anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - -\series bold -divide a -\series default - -\begin_inset Formula $b$ + cumple +\begin_inset Formula $1=0$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a$ +\begin_inset Formula $a=a1=a0=0$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Elementos notables +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + un anillo. + Un +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset es \series bold -divisor +invertible \series default - de -\begin_inset Formula $b$ + o +\series bold +unidad +\series default + si existe +\begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset - o + con +\begin_inset Formula $ab=1$ +\end_inset + +, en cuyo caso \begin_inset Formula $b$ \end_inset - es + es único, pues +\begin_inset Formula $ac=1\implies b=bac=c$ +\end_inset + +; lo llamamos \series bold -múltiplo +inverso \series default de \begin_inset Formula $a$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a\mid b$ + o +\begin_inset Formula $a^{-1}$ \end_inset -, si existe -\begin_inset Formula $c\in D$ +, y +\begin_inset Formula $(a^{-1})^{-1}=a$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $ac=b$ +. + Llamamos +\series bold +grupo de las unidades +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -. - Esta relación es reflexiva y transitiva, y para -\begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ +, +\begin_inset Formula $U(A)$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $a\mid b$ + o +\begin_inset Formula $A^{*}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $a\mid c$ +, al grupo abeliano formado por las unidades de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ + con el producto. + Para +\begin_inset Formula $x,y\in A$ \end_inset -. - Dos elementos -\begin_inset Formula $a$ +, +\begin_inset Formula $xy\in A^{*}\iff x,y\in A^{*}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - son + es \series bold -asociados +cancelable \series default si -\begin_inset Formula $a\mid b$ +\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(ax=ay\implies x=y)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b\mid a$ +, si y sólo si no es divisor de cero. + Toda unidad es cancelable, pues podemos cancelar multiplicando por el inverso. + Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si y sólo si existe -\begin_inset Formula $u\in D^{*}$ + es finito se da el recíproco, pues +\begin_inset Formula $x\mapsto ax$ +\end_inset + + es inyectiva y por tanto suprayectiva y existe +\begin_inset Formula $x$ \end_inset con -\begin_inset Formula $b=au$ +\begin_inset Formula $ax=1$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_layout Itemize -\begin_inset Argument item:1 -status open + Para +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ + infinito esto no es cierto en general, pues +\begin_inset Formula $2$ \end_inset + es cancelable en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ +\end_inset + pero no es unidad. \end_layout +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -Si -\begin_inset Formula $b=0$ + es +\series bold +divisor de cero +\series default + si existe +\begin_inset Formula $c\in A\setminus\{0\}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a=0$ + con +\begin_inset Formula $ac=0$ \end_inset - y tomamos -\begin_inset Formula $u=1$ -\end_inset +, si y sólo si no es cancelable. +\end_layout -. - En otro caso, sean -\begin_inset Formula $c,d\in D$ -\end_inset +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open - con -\begin_inset Formula $ac=b$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $bd=a$ -\end_inset -, -\begin_inset Formula $b=ac=bdc$ -\end_inset +\end_layout -, luego -\begin_inset Formula $dc=1$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $c$ +Si es cancelable, +\begin_inset Formula $ac=0=a0\implies c=0$ \end_inset - es unidad. +, luego no es divisor de cero. \end_layout \begin_layout Itemize @@ -1493,144 +1290,94 @@ status open \end_inset +Sean +\begin_inset Formula $x,y\in A$ +\end_inset -\begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ + distintos con +\begin_inset Formula $ax=ay$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{reminder}{GyA} -\end_layout - +, entonces +\begin_inset Formula $a(x-y)=0$ \end_inset +, pero +\begin_inset Formula $x-y\neq0$ +\end_inset +. \end_layout \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - un anillo [...] y -\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $a$ +Un +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset es \series bold -irreducible -\series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ -\end_inset - -, y es -\series bold -primo +nilpotente \series default - en -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset - - si -\begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ + si existe +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset -. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $A$ + con +\begin_inset Formula $a^{n}=0$ \end_inset - es un dominio, todo primo es irreducible. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Irreducible en un dominio no implica primo. - [...] -\end_layout - -\begin_layout Standard -Dados un anillo [...] +, en cuyo caso, si \begin_inset Formula $A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $S\subseteq A$ + no es trivial, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $a\in A$ + es divisor de cero, pues el 0 es claramente divisor de cero y, si +\begin_inset Formula $a\neq0$ \end_inset - es un -\series bold -máximo común divisor -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ +, tomando el menor +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $A$ + con +\begin_inset Formula $a^{n}=0$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ -\end_inset - -[ -\begin_inset Formula $=\gcd S$ +\begin_inset Formula $a^{n-1}\neq0$ \end_inset -], si divide a cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ + y +\begin_inset Formula $aa^{n-1}=0$ \end_inset - y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un +. + Llamamos \series bold -mínimo común múltiplo +nilradical \series default de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - en \begin_inset Formula $A$ \end_inset , -\begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ +\begin_inset Formula $\text{Nil}(A)$ \end_inset -[ -\begin_inset Formula $=\text{lcm}S$ +, al conjunto de elementos de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -], si es múltiplo de cada elemento de -\begin_inset Formula $S$ + nilpotentes. + El 1 es invertible. + El 0 es nilpotente y, si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y divide a cada elemento que cumple esto. + es no trivial, es no unidad. \end_layout \begin_layout Standard @@ -1641,7 +1388,7 @@ status open \backslash -end{reminder} +begin{exinfo} \end_layout \end_inset @@ -1650,225 +1397,217 @@ end{reminder} \end_layout \begin_layout Standard -Un -\series bold -dominio de factorización única -\series default - (DFU) es un dominio -\begin_inset Formula $D$ -\end_inset - - en el que, para -\begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ +Si +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset -, existen -\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in D$ + es nilpotente entonces +\begin_inset Formula $1+(a)\subseteq A^{*}$ \end_inset - irreducibles con -\begin_inset Formula $a=b_{1}\cdots b_{n}$ + y, para +\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ \end_inset -, y si -\begin_inset Formula $c_{1},\dots,c_{m}\in D$ +, +\begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ \end_inset - son irreducibles con -\begin_inset Formula $a=c_{1}\cdots c_{m}$ -\end_inset +. +\end_layout -, entonces -\begin_inset Formula $n=m$ +\begin_layout Standard +Un +\begin_inset Formula $e\in A$ \end_inset - y existe una permutación -\begin_inset Formula $\sigma\in{\cal S}_{n}$ + es +\series bold +idempotente +\series default + si +\begin_inset Formula $e^{2}=e$ \end_inset - tal que cada -\begin_inset Formula $b_{i}$ +, en cuyo caso +\begin_inset Formula $f\coloneqq1-e$ \end_inset - es asociado a -\begin_inset Formula $c_{\sigma(i)}$ + también lo es y +\begin_inset Formula $ef=0$ \end_inset . - Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. - También lo son -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ -\end_inset - - y los anillos de polinomios sobre un DFU. \end_layout \begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $n\geq2$ +Dado un homomorfismo +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset -: -\end_layout +, si +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ + es invertible, nilpotente o idempotente, también lo es +\begin_inset Formula $f(a)\in B$ \end_inset - es unidad si y sólo si -\begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ +. + Si además +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ + es inyectivo, si +\begin_inset Formula $f(a)\in B$ +\end_inset + + es cancelable, nilpotente o idempotente, también lo es +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +\begin_layout Standard +Dados anillos +\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset - -\end_layout - + y +\begin_inset Formula $a=(a_{1},\dots,a_{n})\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset -Si fuera -\begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$ + es invertible, cancelable, divisor de cero, nilpotente o idempotente en + +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $r=dr'$ + si y sólo si lo es cada +\begin_inset Formula $a_{i}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $n=dn'$ + en +\begin_inset Formula $A_{i}$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ \end_inset - pero -\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$ + no cuadrado, definimos la +\series bold +norma +\series default + en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $r$ + como +\begin_inset Formula $N:\mathbb{Z}[\sqrt{m}]\to\mathbb{Z}$ \end_inset - es divisor de cero. -\begin_inset Formula $\#$ + dada por +\begin_inset Formula $N(a+b\sqrt{m})\coloneqq a^{2}-mb^{2}$ \end_inset + para +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$ +\end_inset +, y entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +Las unidades de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ \end_inset - + son los elementos de norma 1. \end_layout +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $m<0$ \end_inset -Una identidad de Bézout -\begin_inset Formula $ar+bn=1$ -\end_inset - - se traduce en que -\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$ +, +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}$ \end_inset -. + es finito. \end_layout -\end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ +Si +\begin_inset Formula $m>0$ \end_inset - es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de -\begin_inset Formula $n$ + y +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$ \end_inset - dividen a -\begin_inset Formula $r$ +, +\begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ -\end_inset +\backslash +end{exinfo} \end_layout \end_inset -Sean -\begin_inset Formula $m$ -\end_inset - con -\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$ -\end_inset +\end_layout - y -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset +\begin_layout Section +Dominios +\end_layout - un divisor primo de -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset +\begin_layout Standard +Un anillo es +\series bold +reducido +\series default + si no tiene elementos nilpotentes distintos de 0, si y sólo si todo elemento + no nulo tiene cuadrado no nulo. +\end_layout -, como -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 +status open - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset +\end_layout - y por tanto a -\begin_inset Formula $r$ \end_inset -. +Trivial. \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open @@ -1881,183 +1620,201 @@ status open \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$ +Si hubiera +\begin_inset Formula $b\in\text{Nil}(A)\setminus\{0\}$ \end_inset - la descomposición prima de -\begin_inset Formula $n$ +, sea +\begin_inset Formula $n>0$ \end_inset -, como -\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ + mínimo con +\begin_inset Formula $b^{n}=0$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r$ +, entonces +\begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ + y +\begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset +. +\end_layout - divide a -\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ +\begin_layout Standard +Un anillo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - y este a -\begin_inset Formula $r^{m}$ -\end_inset + es un +\series bold +dominio +\series default + si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo + es cancelable, y es un +\series bold +cuerpo +\series default + si todo elemento no nulo es unidad. +\end_layout -, luego -\begin_inset Formula $n$ +\begin_layout Standard +Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. + Los recíprocos no se cumplen, pues +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset - divide a -\begin_inset Formula $r^{m}$ + es un dominio que no es un cuerpo y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ \end_inset -. + es un anillo reducido que no es un dominio. \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - - es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open - es primo. -\end_layout +\begin_layout Plain Layout -\begin_deeper -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies2]$ -\end_inset - Visto. +\backslash +begin{exinfo} \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - Probamos el contrarrecíproco. - Si existen -\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ -\end_inset +Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular + lo es todo dominio finito. +\begin_inset ERT +status open -, -\begin_inset Formula $11$ \end_inset - un homomorfismo de anillos, -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +, sean +\begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $p:A\to A/I$ + con +\begin_inset Formula $r=dr'$ \end_inset - la proyección canónica, existe un homomorfismo -\begin_inset Formula $\overline{f}:A/I\to B$ + y +\begin_inset Formula $n=dn'$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\overline{f}\circ p=f$ +, entonces +\begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $I\subseteq\ker f$ + pero +\begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$ \end_inset -, en cuyo caso -\begin_inset Formula $\overline{f}$ +, con lo que +\begin_inset Formula $r$ \end_inset - es único y -\begin_inset Formula $\ker\overline{f}=\ker f/I$ + es divisor de cero. +\begin_inset Formula $\#$ \end_inset -. + \end_layout -\begin_layout Itemize +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\implies]$ +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset @@ -4193,27 +3790,40 @@ status open \end_inset -Para -\begin_inset Formula $x\in I$ +Una identidad de Bézout +\begin_inset Formula $ar+bn=1$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $f(x)=\overline{f}(p(x))=h(0+I)=0$ -\end_inset + se traduce en que +\begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$ +\end_inset -, luego -\begin_inset Formula $I\subseteq\ker f$ +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + + es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + dividen a +\begin_inset Formula $r$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Itemize +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset @@ -4221,468 +3831,4590 @@ status open \end_inset -Sea -\begin_inset Formula $\overline{f}:A/I\to B$ +Sean +\begin_inset Formula $m$ \end_inset con -\begin_inset Formula $\overline{f}\circ p=f$ +\begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$ \end_inset -, para -\begin_inset Formula $a\in A$ + y +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\overline{f}(a+I)=f(a)$ + un divisor primo de +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -, lo que prueba la unicidad. - Para la existencia, si -\begin_inset Formula $a+I=b+I$ +, como +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + divide a +\begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $f(b)=f(a+b-a)=f(a)+f(b-a)=f(a)$ +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - porque -\begin_inset Formula $b-a\in I\subseteq\ker f$ + divide a +\begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset -. - Finalmente -\begin_inset Formula $x+I\in\ker\overline{f}\iff\overline{f}(x+I)=f(x)=0\iff x\in\ker f$ + y por tanto a +\begin_inset Formula $r$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + -\series bold -Teoremas de isomorfía: \end_layout -\begin_layout Enumerate -Para un homomorfismo de anillos -\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $A/\ker f\cong\text{Im}f$ +Sea +\begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$ \end_inset -. -\end_layout + la descomposición prima de +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset -\begin_deeper -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $B'\coloneqq\text{Im}f$ +, como +\begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $B$ + divide a +\begin_inset Formula $r$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $f:A\to B'$ +, si +\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ \end_inset - es un homomorfismo suprayectivo y, por el teorema del factor, existe -\begin_inset Formula $\overline{f}:A/\ker f\to B'$ +, +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\overline{f}\circ p=f$ + divide a +\begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\ker\overline{f}=\ker f/\ker f=0$ + y este a +\begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset -, que es pues inyectivo y es suprayectivo por serlo -\begin_inset Formula $f$ +, luego +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -, de modo que es un isomorfismo. + divide a +\begin_inset Formula $r^{m}$ +\end_inset + +. \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $S$ + es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - un subanillo de -\begin_inset Formula $A$ + es primo. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $I+S$ + Visto. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - es un subanillo de -\begin_inset Formula $A$ + Probamos el contrarrecíproco. + Si existen +\begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $I\cap S\trianglelefteq S$ +\begin_inset Formula $12$ +\end_inset + + se hace inducción. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}\trianglelefteq A$ +\end_inset + + son comaximales dos a dos, +\begin_inset Formula $I_{1}\cdots I_{n}=I_{1}\cap\dots\cap I_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $n\in\{0,1\}$ +\end_inset + + es claro. + Para +\begin_inset Formula $n=2$ +\end_inset + +, sea +\begin_inset Formula $x\in I_{1}\cap I_{2}$ +\end_inset + +, como existen +\begin_inset Formula $a\in I_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in I_{2}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a+b=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x=ax+bx$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $a\in I_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\in I_{2}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $ax\in I_{1}I_{2}$ +\end_inset + +, y del mismo modo +\begin_inset Formula $bx\in I_{1}I_{2}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{1}I_{2}$ +\end_inset + + y ya sabíamos que +\begin_inset Formula $I_{1}I_{2}\subseteq I_{1}\cap I_{2}$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $n>2$ +\end_inset + +, supuesto esto probado para +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + menor, por lo anterior +\begin_inset Formula $I_{1}\cdots I_{n-1}=I_{1}\cap\dots\cap I_{n-1}$ +\end_inset + + es comaximal con +\begin_inset Formula $I_{n}$ +\end_inset + + y basta usar el caso +\begin_inset Formula $n=2$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +3. +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ +\end_inset + + son comaximales si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(x+I)\cap(y+J)\neq\emptyset$ +\end_inset + +, en cuyo caso para +\begin_inset Formula $n,m\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $I^{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $J^{m}$ +\end_inset + + son comaximales. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema chino de los restos: +\series default + Dados anillos +\begin_inset Formula $A,B_{1},\dots,B_{n}$ +\end_inset + + y homomorfismos +\begin_inset Formula $g_{i}:A\to B_{i}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $K_{i}\coloneqq\ker g_{i}$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\phi:A\to B_{1}\times\dots\times B_{n}$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula $\phi(x)\coloneqq(g_{1}(x),\dots,g_{n}(x))$ +\end_inset + + es un homomorfismo con núcleo +\begin_inset Formula $K_{1}\cap\dots\cap K_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si los +\begin_inset Formula $g_{i}$ +\end_inset + + son suprayectivos y los +\begin_inset Formula $K_{i}$ +\end_inset + + son comaximales dos a dos, +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es suprayectivo, +\begin_inset Formula $\ker\phi=K_{1}\cdots K_{n}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $A/(K_{1}\cdots K_{n})\cong B_{1}\times\dots\times B_{n}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $n\in\{0,1\}$ +\end_inset + + es claro, por lo que suponemos +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + +. + Al ser los +\begin_inset Formula $K_{i}$ +\end_inset + + comaximales, +\begin_inset Formula $K_{1}$ +\end_inset + + es comaximal con +\begin_inset Formula $K_{2}\cap\dots\cap K_{n}$ +\end_inset + +. + Sean ahora +\begin_inset Formula $a\in K_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b\in K_{2}\cap\dots\cap K_{n}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a+b=1$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $g_{1}(a)=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $g_{1}(b)=g_{1}(a)+g_{1}(b)=g_{1}(a+b)=1$ +\end_inset + +, y para +\begin_inset Formula $j\in\{2,\dots,n\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $g_{j}(b)=0$ +\end_inset + +. + Sea ahora +\begin_inset Formula $x\in B_{1}$ +\end_inset + + arbitrario, por suprayectividad existe +\begin_inset Formula $u\in A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $g_{1}(u)=x$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $g_{1}(ub)=g_{1}(u)g_{1}(b)=x$ +\end_inset + + y, para +\begin_inset Formula $j\in\{2,\dots,n\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $g_{j}(ub)=g_{j}(u)g_{j}(b)=0$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $\phi(u)=(x,0,\dots,0)$ +\end_inset + +. + Por simetría, para cada +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\in B_{i}$ +\end_inset + + existe +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\phi(u)=(0,\dots,0,x,0,\dots,0)$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + en la +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +-ésima posición, y como todo elemento de +\begin_inset Formula $B_{1}\times\dots\times B_{n}$ +\end_inset + + es suma de elementos de esta forma, +\begin_inset Formula $\phi$ +\end_inset + + es suprayectiva. + Entonces +\begin_inset Formula $\ker\phi=K_{1}\cap\dots\cap K_{n}=K_{1}\cdots K_{n}$ +\end_inset + +, y para la última afirmación basta aplicar el primer teorema de isomorfía. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Ideales maximales +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ +\end_inset + + es +\series bold +maximal +\series default + en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq_{\text{m}}A$ +\end_inset + +, si es maximal en el conjunto de ideales propios de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $A/I$ +\end_inset + + es un cuerpo. + +\series bold +Demostración: +\series default + Como +\begin_inset Formula $J\mapsto J/I$ +\end_inset + + conserva la inclusión, +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es maximal si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $I/I=0$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $A/I$ +\end_inset + + no es trivial y no tiene ideales propios no nulos (si tuviera alguno, contendrí +a a 0 y 0 no sería maximal), si y sólo si es un cuerpo no trivial, pero + sabemos que +\begin_inset Formula $A/I$ +\end_inset + + es no trivial porque +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + es propio. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +espectro maximal +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\text{MaxSpec}(A)$ +\end_inset + +, al conjunto de ideales maximales de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\end_inset + +, la biyección +\begin_inset Formula $\{J\in{\cal L}(A):I\subseteq J\}\to{\cal L}(A/I)$ +\end_inset + + del teorema de la correspondencia se restringe a una biyección +\begin_inset Formula $\{J\in\text{MaxSpec}(A):I\subseteq J\}\to\text{MaxSpec}(A/I)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\end_inset + + es maximal en +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $I+(X)$ +\end_inset + + lo es en +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $I[X]$ +\end_inset + + nunca es maximal en +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +. +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Una +\series bold +cadena +\series default + en un conjunto ordenado es un subconjunto que, con el mismo orden, es totalment +e ordenado. + Un conjunto ordenado es +\series bold +inductivo +\series default + si toda cadena no vacía tiene cota superior. + +\series bold +Lema de Zorn: +\series default + Todo conjunto inductivo no vacío tiene un elemento maximal. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ +\end_inset + +, existe un ideal maximal de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +, y en particular todo anillo no trivial tiene al menos un elemento maximal. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $\Omega\coloneqq\{J\triangleleft A:I\subseteq J\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$ +\end_inset + + porque +\begin_inset Formula $I\in\Omega$ +\end_inset + +. + Considerándolo ordenado por inclusión, si +\begin_inset Formula ${\cal C}$ +\end_inset + + es una cadena no vacía en +\begin_inset Formula $\Omega$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\bigcup{\cal C}$ +\end_inset + + es una cota superior, pues si +\begin_inset Formula $x,y\in\bigcup{\cal C}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $I,J\in{\cal C}$ +\end_inset + + tales que +\begin_inset Formula $x\in I$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y\in J$ +\end_inset + +, entonces por ejemplo +\begin_inset Formula $I\subseteq J$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $x,y\in J\subseteq\bigcup{\cal C}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x+y,ax,ay\in J\subseteq\bigcup{\cal C}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $\bigcup{\cal C}$ +\end_inset + + es un ideal, contiene a +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + y no es propio porque ninguno de los elementos de +\begin_inset Formula ${\cal C}$ +\end_inset + + contiene a 1. + Entonces, por el lema de Zorn, +\begin_inset Formula $\Omega$ +\end_inset + + tiene un elemento maximal +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + +, que es un ideal propio que contiene a +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + y es maximal porque, para +\begin_inset Formula $J'\triangleleft A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $J\subseteq J'$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $J'\in\Omega$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $J'=J$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + +Llamamos +\series bold +radical de Jacobson +\series default + de un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)\coloneqq\bigcap\text{MaxSpec}(A)=\{a\in A:1+(a)\subseteq A^{*}\}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)$ +\end_inset + + no contiene idempotentes no nulos. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un anillo +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + tiene un único ideal maximal +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + si y sólo si +\begin_inset Formula $A\setminus A^{*}$ +\end_inset + + es un ideal, en cuyo caso +\begin_inset Formula $M=A\setminus A^{*}$ +\end_inset + +, y entonces decimos que +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $(A,M)$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $(A,M,A/M)$ +\end_inset + + es un +\series bold +anillo local +\series default +, y +\begin_inset Formula $1+M$ +\end_inset + + es un subgrupo multiplicativo de +\begin_inset Formula $A^{*}$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + + es un anillo local si y sólo si +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es potencia de primo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}^{+}$ +\end_inset + + primo y +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{(p)}$ +\end_inset + + el subconjunto de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + de los racionales en cuya expresión como fracción irreducible el denominador + no es múltiplo de +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $(\mathbb{Z}_{(p)},(\frac{p}{1}))$ +\end_inset + + es un subanillo local de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{(p)}/(\frac{p}{1})\cong\mathbb{Z}_{p}$ +\end_inset + +, y es un DFU en el que +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es el único irreducible salvo asociados. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $(A,(p))$ +\end_inset + + es un anillo local con +\begin_inset Formula $p\neq0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(p)^{n}=0$ +\end_inset + +, cada +\begin_inset Formula $a\in A\setminus0$ +\end_inset + + es de la forma +\begin_inset Formula $up^{n}$ +\end_inset + + para ciertos +\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + +, y en particular +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un DIP con un único irreducible salvo asociados. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados anillos locales +\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ +\end_inset + +, los idempotentes de +\begin_inset Formula $A_{1}\times\dots\times A_{n}$ +\end_inset + + son las +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + +-uplas +\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n})$ +\end_inset + + con cada +\begin_inset Formula $e_{i}\in\{0,1\}$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $n\geq2$ +\end_inset + + con factorización prima +\begin_inset Formula $p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{t}^{m_{t}}$ +\end_inset + + (con los +\begin_inset Formula $p_{i}$ +\end_inset + + distintos y los +\begin_inset Formula $t_{i}\geq1$ +\end_inset + +), +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ +\end_inset + + tiene +\begin_inset Formula $2^{t}$ +\end_inset + + idempotentes dados por los sistemas de ecuaciones diofánticas +\begin_inset Formula +\[ +\left\{ \begin{array}{rl} +e_{I} & \equiv0\mod\left(q\coloneqq\prod_{i\in I}p_{i}^{m_{i}}\right),\\ +e_{I} & \equiv1\mod\left(r\coloneqq\prod_{i\notin I}p_{i}^{m_{i}}\right), +\end{array}\right. +\] + +\end_inset + +para +\begin_inset Formula $I\subseteq\{1,\dots,t\}$ +\end_inset + +. + En concreto existen +\begin_inset Formula $s,t\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x=1+qt=rs$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $rs-qt=1$ +\end_inset + + y, como +\begin_inset Formula $q$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $r$ +\end_inset + + son coprimos, se pueden obtener +\begin_inset Formula $s$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $t$ +\end_inset + + con una identidad de Bézout. + Para obtener una identidad de Bézout: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, usando + la recurrencia +\begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq q$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq r$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $q_{i-1}=r_{i}q_{i}+q_{i+1}$ +\end_inset + +, con +\begin_inset Formula $r_{i},q_{i+1}\in\mathbb{Z}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $0\leq q_{i+1}1$ +\end_inset + +, suponemos esto probado para +\begin_inset Formula $n-1$ +\end_inset + +, y suponemos por reducción al absurdo que +\begin_inset Formula $I\nsubseteq J_{k}$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + +. + Para cada +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $I\subseteq J_{k}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $k\neq i$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $I\nsubseteq\bigcup_{k\neq i}J_{k}$ +\end_inset + + y existe +\begin_inset Formula $a_{i}\in I$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $a_{i}\notin\bigcup_{k\neq i}J_{k}$ +\end_inset + +, por lo que +\begin_inset Formula $a_{i}\in J_{i}$ +\end_inset + +. + Sea entonces +\begin_inset Formula $b_{i}\coloneqq\prod_{k\neq i}a_{k}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $b_{i}\in I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $b_{i}\in\bigcap_{k\neq i}J_{k}$ +\end_inset + +, pero +\begin_inset Formula $b_{i}\notin J_{i}$ +\end_inset + + porque es el producto de elementos fuera de +\begin_inset Formula $J_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $J_{i}$ +\end_inset + + es primo. + Entonces +\begin_inset Formula $b\coloneqq\sum_{k=1}^{n}b_{k}\in I=\bigcup_{k=1}^{n}J_{k}$ +\end_inset + + y debe haber un +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $b\in J_{k}$ +\end_inset + +, pero de ser así, como +\begin_inset Formula $b_{i}\in J_{k}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $i\neq k$ +\end_inset + +, sería +\begin_inset Formula $b-\sum_{i\neq k}b_{i}=b_{k}\in J_{k}\#$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +3. +\end_layout + +\end_inset + +Si todo ideal principal de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es primo, +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un cuerpo. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +4. +\end_layout + +\end_inset + +Si +\begin_inset Formula $\forall x\in A,\exists k\geq2:x^{k}=x$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $\text{Spec}(A)=\text{MaxSpec}(A)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open + +\begin_layout Plain Layout +5. +\end_layout + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\end_inset + + es primo si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $I[X]$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +, si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $I+(X)$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $A[X]$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +vspace{6pt} +\end_layout + +\end_inset + +Dados un homomorfismo +\begin_inset Formula $f:A\to B$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P\trianglelefteq_{\text{p}}B$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f^{-1}(P)\trianglelefteq_{\text{p}}A$ +\end_inset + +, y el recíproco se cumple si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es suprayectivo. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{exinfo} +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un conjunto ordenado +\begin_inset Formula $(S,\leq)$ +\end_inset + +, su +\series bold +opuesto +\series default + es +\begin_inset Formula $(S,\leq)^{\text{op}}\coloneqq(S,\geq)$ +\end_inset + +. + +\begin_inset Formula $(S,\leq)$ +\end_inset + + es +\series bold +contra-inductivo +\series default + si su opuesto es inductivo, es decir, si toda subcadena no vacía tiene + una cota inferior. + +\series bold +Lema de Zorn dual: +\series default + Todo conjunto contra-inductivo no vacío tiene al menos un elemento minimal. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un +\series bold +primo minimal +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + es un elemento minimal de +\begin_inset Formula $\text{Spec}(A)$ +\end_inset + +. + Llamamos +\begin_inset Formula $\text{MinSpec}(A)$ +\end_inset + + al conjunto de primos minimales de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $I\subseteq Q$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + contiene un +\series bold +primo minimal sobre +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + +\series default +, un minimal entre los ideales primos que contienen a +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +, y en particular todo +\begin_inset Formula $Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$ +\end_inset + + contiene un primo minimal. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula $\Omega\coloneqq\{P\trianglelefteq_{\text{p}}A:I\subseteq P\subseteq Q\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$ +\end_inset + + porque +\begin_inset Formula $Q\in\Omega$ +\end_inset + +. + Sea entonces +\begin_inset Formula ${\cal C}$ +\end_inset + + una cadena no vacía en +\begin_inset Formula $\Omega$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\bigcap{\cal C}\in\Omega$ +\end_inset + +, pues es un ideal propio entre +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + + y, usando el contrarrecíproco de la definición de primo, si +\begin_inset Formula $x,y\notin\bigcap{\cal C}$ +\end_inset + +, sean +\begin_inset Formula $J_{1},J_{2}\in{\cal C}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x\notin J_{1}$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y\notin J_{2}$ +\end_inset + +, si por ejemplo +\begin_inset Formula $J_{1}\subseteq J_{2}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $x,y\notin J_{1}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $xy\notin J_{1}$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $xy\notin\bigcap{\cal C}$ +\end_inset + +. + Entonces, por el lema de Zorn dual, +\begin_inset Formula $\Omega$ +\end_inset + + tiene un minimal +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + +, que es un ideal primo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + entre +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $Q$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $J'$ +\end_inset + + es un ideal primo de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + + que contiene a +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $J'\subseteq J$ +\end_inset + +, entonces +\begin_inset Formula $J'\subseteq Q$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $J'\in\Omega$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $J'=J$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $J$ +\end_inset + + es minimal sobre +\begin_inset Formula $I$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Section +Radicales +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\end_inset + + es un +\series bold +radical +\series default + de +\begin_inset Formula $A$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $I\trianglelefteq_{\text{r}}A$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $\forall x\in A,\forall n\in\mathbb{N},(x^{n}\in I\implies x\in I)$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall x\in A,(x^{2}\in I\implies x\in I)$ +\end_inset + +, si y sólo si +\begin_inset Formula $A/I$ +\end_inset + + es reducido. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ +\end_inset + + Obvio. +\end_layout + +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies1]$ +\end_inset + + Sean +\begin_inset Formula $x\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $x^{n}\in I$ +\end_inset + +, si +\begin_inset Formula $n=0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $1\in I$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\in I$ +\end_inset + +, y si +\begin_inset Formula $n=1$ +\end_inset + + es obvio. + En otro caso, si +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + es par, +\begin_inset Formula $x^{n/2}\in I$ +\end_inset + +, y si es impar, +\begin_inset Formula $x^{n+1}=xx^{n}\in I$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $x^{(n+1)/2}\in I$ +\end_inset + +. + En cualquier caso +\begin_inset Formula $x^{k}\in I$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $1\leq k2$ + es una unidad si y sólo si +\begin_inset Formula $\delta(a)=\delta(1)$ \end_inset - se hace inducción. +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall x\in D\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x)$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{reminder} \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}\trianglelefteq A$ \end_inset - son comaximales dos a dos, -\begin_inset Formula $I_{1}\cdots I_{n}=I_{1}\cap\dots\cap I_{n}$ + +\end_layout + +\begin_layout Section +Cuerpos de fracciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + \end_inset -. + \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $n\in\{0,1\}$ +Sean +\begin_inset Formula $D\neq0$ \end_inset - es claro. - Para -\begin_inset Formula $n=2$ + un dominio y +\begin_inset Formula $X:=D\times(D\setminus\{0\})$ \end_inset -, sea -\begin_inset Formula $x\in I_{1}\cap I_{2}$ -\end_inset +, definimos la relación binaria +\begin_inset Formula +\[ +(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}. +\] -, existen -\begin_inset Formula $a\in I_{1}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b\in I_{2}$ + Esta relación es de equivalencia. + Llamamos +\begin_inset Formula $a/s:=\frac{a}{s}:=[(a,s)]\in Q(D):=X/\sim$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $a+b=1$ -\end_inset +, y las operaciones +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}}, +\end{align*} -, luego -\begin_inset Formula $x=ax+bx$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $a\in I_{1}$ +están bien definidas. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $a,b\in D$ \end_inset y -\begin_inset Formula $x\in I_{2}$ +\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $ax\in I_{1}I_{2}$ -\end_inset +: +\end_layout -, y del mismo modo -\begin_inset Formula $bx\in I_{1}I_{2}$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{0}{1}\iff a=0$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{1}I_{2}$ -\end_inset +. +\end_layout - y ya sabíamos que -\begin_inset Formula $I_{1}I_{2}\subseteq I_{1}\cap I_{2}$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{1}{1}\iff a=s$ \end_inset . - Para -\begin_inset Formula $n>2$ -\end_inset +\end_layout -, supuesto esto probado para -\begin_inset Formula $n$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{at}{st}=\frac{a}{s}$ \end_inset - menor, por lo anterior -\begin_inset Formula $I_{1}\cdots I_{n-1}=I_{1}\cap\dots\cap I_{n-1}$ -\end_inset +. +\end_layout - es comaximal con -\begin_inset Formula $I_{n}$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{b}{s}\iff a=b$ \end_inset - y basta usar el caso -\begin_inset Formula $n=2$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\frac{a}{s}+\frac{b}{s}=\frac{a+b}{s}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - +[...] +\begin_inset Formula $(Q(D),+,\cdot)$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout + es un cuerpo llamado +\series bold +cuerpo de fracciones +\series default + o +\series bold +de cocientes +\series default + de +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + cuyo cero es +\begin_inset Formula $\frac{0}{1}$ \end_inset + y cuyo uno es +\begin_inset Formula $\frac{1}{1}$ +\end_inset + . \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open - -\begin_layout Plain Layout -3. -\end_layout +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +\end_inset + es el cuerpo de fracciones de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset +. + [...] +\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ +\end_inset -\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ + dada por +\begin_inset Formula $u(a):=a/1$ \end_inset - son comaximales si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(x+I)\cap(y+J)\neq\emptyset$ + es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, en cuyo caso para -\begin_inset Formula $n,m\in\mathbb{N}$ + como un subdominio de +\begin_inset Formula $Q(D)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $I^{n}$ + identificando a cada +\begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $J^{m}$ + con +\begin_inset Formula $a/1\in Q(D)$ \end_inset - son comaximales. +. \end_layout \begin_layout Standard @@ -4693,7 +8425,7 @@ status open \backslash -end{exinfo} +begin{samepage} \end_layout \end_inset @@ -4704,2172 +8436,2425 @@ end{exinfo} \begin_layout Standard \series bold -Teorema chino de los restos: +Propiedad universal del cuerpo de fracciones: \series default - Dados anillos -\begin_inset Formula $A,B_{1},\dots,B_{n}$ + Dados un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - y homomorfismos -\begin_inset Formula $g_{i}:A\to B_{i}$ + y +\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $K_{i}\coloneqq\ker g_{i}$ + dada por +\begin_inset Formula $u(a):=a/1$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\phi:A\to B_{1}\times\dots\times B_{n}$ +Sean +\begin_inset Formula $K$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $\phi(x)=(g_{1}(x),\dots,g_{n}(x))$ + un cuerpo y +\begin_inset Formula $f:D\to K$ \end_inset - es un homomorfismo con núcleo -\begin_inset Formula $K_{1}\cap\dots\cap K_{n}$ + un homomorfismo inyectivo, el único homomorfismo de cuerpos +\begin_inset Formula $\tilde{f}:Q(D)\to K$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ +\end_inset + + viene dado por +\begin_inset Formula $\tilde{f}(\frac{a}{s})=f(a)f(s)^{-1}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate -Si los -\begin_inset Formula $g_{i}$ -\end_inset - - son suprayectivos y los -\begin_inset Formula $K_{i}$ +Sean +\begin_inset Formula $K$ \end_inset - son comaximales dos a dos, -\begin_inset Formula $\phi$ + un cuerpo no trivial y +\begin_inset Formula $g,h:Q(D)\to K$ \end_inset - es suprayectivo, -\begin_inset Formula $\ker\phi=K_{1}\cdots K_{n}$ + homomorfismos que coinciden en +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $A/(K_{1}\cdots K_{n})\cong B_{1}\times\dots\times B_{n}$ +, entonces +\begin_inset Formula $g=h$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $n\in\{0,1\}$ +\begin_layout Enumerate +Sean +\begin_inset Formula $F$ \end_inset - es claro, por lo que suponemos -\begin_inset Formula $n\geq2$ + un cuerpo no trivial y +\begin_inset Formula $v:D\to F$ \end_inset -. - Al ser los -\begin_inset Formula $K_{i}$ + un homomorfismo inyectivo tal que para todo cuerpo +\begin_inset Formula $K$ \end_inset - comaximales, -\begin_inset Formula $K_{1}$ + y homomorfismo inyectivo +\begin_inset Formula $f:D\to K$ \end_inset - es comaximal con -\begin_inset Formula $K_{2}\cap\dots\cap K_{n}$ + existe un único homomorfismo +\begin_inset Formula $\tilde{f}:F\to K$ \end_inset -. - Sean ahora -\begin_inset Formula $a\in K_{1}$ + con +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b\in K_{2}\cap\dots\cap K_{n}$ +, entonces existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:F\to Q(D)$ \end_inset con -\begin_inset Formula $a+b=1$ +\begin_inset Formula $\phi\circ v=u$ \end_inset -, como -\begin_inset Formula $g_{1}(a)=0$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +end{samepage} +\end_layout + \end_inset -, -\begin_inset Formula $g_{1}(b)=g_{1}(a)+g_{1}(b)=g_{1}(a+b)=1$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, y para -\begin_inset Formula $j\in\{2,\dots,n\}$ + un dominio, +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $g_{j}(b)=0$ + un cuerpo no trivial y +\begin_inset Formula $f:D\to K$ +\end_inset + + un homomorfismo inyectivo, +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + + contiene un subcuerpo isomorfo a +\begin_inset Formula $Q(D)$ \end_inset . - Sea ahora -\begin_inset Formula $x\in B_{1}$ +\end_layout + +\begin_layout Standard +De aquí, para +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ \end_inset - arbitrario, por suprayectividad existe -\begin_inset Formula $u\in A$ +, +\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])\cong\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $g_{1}(u)=x$ +, lo que nos permite identificar los elementos de +\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])$ \end_inset -, con lo que -\begin_inset Formula $g_{1}(ub)=g_{1}(u)g_{1}(b)=x$ + con los de +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$ \end_inset - y, para -\begin_inset Formula $j\in\{2,\dots,n\}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sea +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $g_{j}(ub)=g_{j}(u)g_{j}(b)=0$ + un cuerpo no trivial, existe un subcuerpo +\begin_inset Formula $K'$ \end_inset -, de modo que -\begin_inset Formula $\phi(u)=(x,0,\dots,0)$ + de +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -. - Por simetría, para cada -\begin_inset Formula $i$ + llamado +\series bold +subcuerpo primo +\series default + de +\begin_inset Formula $K$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x\in B_{i}$ + contenido en cualquier subcuerpo de +\begin_inset Formula $K$ \end_inset - existe -\begin_inset Formula $u$ +, y este es isomorfo a +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $\phi(u)=(0,\dots,0,x,0,\dots,0)$ + si la característica de +\begin_inset Formula $K$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $x$ + es un entero primo +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + o a +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset - en la -\begin_inset Formula $i$ -\end_inset + en caso contrario. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout --ésima posición, y como todo elemento de -\begin_inset Formula $B_{1}\times\dots\times B_{n}$ -\end_inset - es suma de elementos de esta forma, -\begin_inset Formula $\phi$ -\end_inset +\backslash +end{reminder} +\end_layout - es suprayectiva. - Entonces -\begin_inset Formula $\ker\phi=K_{1}\cap\dots\cap K_{n}=K_{1}\cdots K_{n}$ \end_inset -, y para la última afirmación basta aplicar el primer teorema de isomorfía. + \end_layout -\end_deeper \begin_layout Section -Ideales maximales +Polinomios \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ +\begin_inset ERT +status open + +\begin_layout Plain Layout + + +\backslash +begin{reminder}{GyA} +\end_layout + \end_inset - es -\series bold -maximal -\series default - en + +\end_layout + +\begin_layout Standard \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq_{\text{m}}A$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset -, si es maximal en el conjunto de ideales propios de + identificando los elementos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $A/I$ -\end_inset - - es un cuerpo. - + con los \series bold -Demostración: +polinomios constantes \series default - Como -\begin_inset Formula $J\mapsto J/I$ +, de la forma +\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$ \end_inset - conserva la inclusión, +. + Dado un ideal \begin_inset Formula $I$ \end_inset - es maximal si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $I/I=0$ + de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $A/I$ +, +\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0}\in I\}$ \end_inset - no es trivial y no tiene ideales propios no nulos (si tuviera alguno, contendrí -a a 0 y 0 no sería maximal), si y sólo si es un cuerpo no trivial, pero - sabemos que -\begin_inset Formula $A/I$ + e +\begin_inset Formula $I[X]:=\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]:a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$ \end_inset - es no trivial porque -\begin_inset Formula $I$ + son ideales de +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset - es propio. +. \end_layout \begin_layout Standard -Llamamos +Dado +\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, llamamos \series bold -espectro maximal +grado \series default de -\begin_inset Formula $A$ +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\text{MaxSpec}(A)$ + a +\begin_inset Formula $\text{gr}(p):=\max\{k\in\mathbb{N}:p_{k}\neq0\}$ \end_inset -, al conjunto de ideales maximales de -\begin_inset Formula $A$ +, +\series bold +coeficiente +\series default + de +\series bold +grado +\series default + +\begin_inset Formula $k$ \end_inset -. - Para -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ + de +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -, la biyección -\begin_inset Formula $\{J\in{\cal L}(A):I\subseteq J\}\to{\cal L}(A/I)$ + a +\begin_inset Formula $p_{k}$ \end_inset - del teorema de la correspondencia se restringe a una biyección -\begin_inset Formula $\{J\in\text{MaxSpec}(A):I\subseteq J\}\to\text{MaxSpec}(A/I)$ +, +\series bold +coeficiente independiente +\series default + al de grado 0 y +\series bold +coeficiente principal +\series default + al de grado +\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ \end_inset . + Un polinomio es +\series bold +mónico +\series default + si su coeficiente princial es 1. + El polinomio 0 tiene grado +\begin_inset Formula $-\infty$ +\end_inset + + por convención. \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout +Un +\series bold +monomio +\series default + es un polinomio de la forma +\begin_inset Formula $aX^{n}$ +\end_inset + con +\begin_inset Formula $a\in A$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +\end_inset +. + Todo polinomio en +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset + se escribe como suma finita de monomios de distinto grado de forma única + salvo orden. +\end_layout -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$ \end_inset - es maximal en -\begin_inset Formula $A$ + tienen coeficientes principales respectivos +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - si y sólo si -\begin_inset Formula $I+(X)$ + y +\begin_inset Formula $q$ \end_inset - lo es en -\begin_inset Formula $A[X]$ +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $I[X]$ +, con desigualdad estricta si y sólo si +\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$ \end_inset - nunca es maximal en -\begin_inset Formula $A[X]$ + y +\begin_inset Formula $p+q=0$ \end_inset . -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -end{exinfo} \end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)\leq\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$ \end_inset +, con igualdad si y sólo si +\begin_inset Formula $pq\neq0$ +\end_inset +. \end_layout \begin_layout Standard -Una -\series bold -cadena -\series default - en un conjunto ordenado es un subconjunto que, con el mismo orden, es totalment -e ordenado. - Un conjunto ordenado es -\series bold -inductivo -\series default - si toda cadena no vacía tiene cota superior. - -\series bold -Lema de Zorn: -\series default - Todo conjunto inductivo no vacío tiene un elemento maximal. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset -, existe un ideal maximal de + no es un cuerpo. + Es un dominio si y sólo si lo es \begin_inset Formula $A$ \end_inset - que contiene a -\begin_inset Formula $I$ -\end_inset - -, y en particular todo anillo no trivial tiene al menos un elemento maximal. - +, en cuyo caso llamamos \series bold -Demostración: +cuerpo de las funciones racionales \series default - Sea -\begin_inset Formula $\Omega\coloneqq\{J\triangleleft A:I\subseteq J\}$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$ + sobre +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - porque -\begin_inset Formula $I\in\Omega$ + al cuerpo de fracciones de +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset . - Considerándolo ordenado por inclusión, si -\begin_inset Formula ${\cal C}$ -\end_inset +\end_layout - es una cadena no vacía en -\begin_inset Formula $\Omega$ +\begin_layout Standard +[...] +\series bold +Propiedad universal del anillo de polinomios +\series default + ( +\series bold +PUAP +\series default +) +\series bold +: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\bigcup{\cal C}$ + un anillo y +\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$ \end_inset - es una cota superior, pues si -\begin_inset Formula $x,y\in\bigcup{\cal C}$ + el homomorfismo inclusión: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para cada homomorfismo de anillos conmutativos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset y -\begin_inset Formula $a\in A$ +\begin_inset Formula $b\in B$ \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $I,J\in{\cal C}$ +, el único homomorfismo +\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X]\to B$ \end_inset - tales que -\begin_inset Formula $x\in I$ + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}(X)=b$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $y\in J$ + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ \end_inset -, entonces por ejemplo -\begin_inset Formula $I\subseteq J$ -\end_inset + es +\begin_inset Formula +\[ +\tilde{f}\left(\sum_{n}p_{n}X^{n}\right):=\sum_{n}f(p_{n})b^{n}. +\] -, luego -\begin_inset Formula $x,y\in J\subseteq\bigcup{\cal C}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x+y,ax,ay\in J\subseteq\bigcup{\cal C}$ + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset - para -\begin_inset Formula $a\in A$ + y +\begin_inset Formula $u$ \end_inset -, de modo que -\begin_inset Formula $\bigcup{\cal C}$ + están determinados salvo isomorfismos por la propiedad universal: dados + un homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $v:A\to P$ \end_inset - es un ideal, contiene a -\begin_inset Formula $I$ + y +\begin_inset Formula $t\in P$ \end_inset - y no es propio porque ninguno de los elementos de -\begin_inset Formula ${\cal C}$ + tales que, para cada homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - contiene a 1. - Entonces, por el lema de Zorn, -\begin_inset Formula $\Omega$ + y +\begin_inset Formula $b\in B$ \end_inset - tiene un elemento maximal -\begin_inset Formula $J$ +, existe un único +\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ \end_inset -, que es un ideal propio que contiene a -\begin_inset Formula $I$ + tal que +\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ \end_inset - y es maximal porque, para -\begin_inset Formula $J'\triangleleft A$ + y +\begin_inset Formula $\tilde{f}(t)=b$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $J\subseteq J'$ +, existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $\phi:A[X]\to P$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $J'\in\Omega$ + tal que +\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $J'=J$ + y +\begin_inset Formula $\phi(X)=t$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -begin{exinfo} +Así: \end_layout -\end_inset - -Llamamos -\series bold -radical de Jacobson -\series default - de un anillo +\begin_layout Enumerate +Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)\coloneqq\bigcap\text{MaxSpec}(A)=\{a\in A:1+(a)\subseteq A^{*}\}$ -\end_inset - -. - -\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $B$ \end_inset - no contiene idempotentes no nulos. -\end_layout - -\begin_layout Standard -Un anillo -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $b\in B$ \end_inset - es +, el \series bold -local +homomorfismo de sustitución \series default - si tiene un único ideal maximal -\begin_inset Formula $M$ + o +\series bold +de evaluación +\series default + en +\begin_inset Formula $b$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $A\setminus A^{*}$ + es +\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to B$ \end_inset - es un ideal, en cuyo caso -\begin_inset Formula $M=A\setminus A^{*}$ + dado por +\begin_inset Formula +\[ +S_{b}(p):=p(b):=\sum_{n}p_{n}b^{n}, +\] + \end_inset -. - Entonces decimos que -\begin_inset Formula $(A,M)$ +y su imagen es el subanillo generado por +\begin_inset Formula $A\cup\{b\}$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $(A,M,A/M)$ +, llamado +\begin_inset Formula $A[b]$ \end_inset - es un -\series bold -anillo local -\series default . - Si -\begin_inset Formula $(A,M)$ + Todo +\begin_inset Formula $p\in A[X]$ \end_inset - es un anillo local, -\begin_inset Formula $1+M$ + induce una +\series bold +función polinómica +\series default + +\begin_inset Formula $\hat{p}:B\to B$ \end_inset - es un subgrupo multiplicativo de -\begin_inset Formula $A^{*}$ + dada por +\begin_inset Formula $\hat{p}(b):=S_{b}(p)$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}^{+}$ -\end_inset - - primo y -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{(p)}$ -\end_inset - - el subconjunto de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ -\end_inset - - de los racionales en cuya expresión como fracción irreducible el denominador - no es múltiplo de -\begin_inset Formula $p$ -\end_inset - -, entonces -\begin_inset Formula $(\mathbb{Z}_{(p)},(\frac{p}{1}))$ +\begin_layout Enumerate +Dado +\begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset - es un subanillo local de -\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ +, el homomorfismo de sustitución +\begin_inset Formula $S_{X+a}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{(p)}/(\frac{p}{1})\cong\mathbb{Z}_{p}$ + es un automorfismo de +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset -, y es un DFU en el que -\begin_inset Formula $p$ + con inverso +\begin_inset Formula $S_{X-a}$ \end_inset - es el único irreducible salvo asociados. - +. \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $(A,(p))$ +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - es un anillo local con -\begin_inset Formula $p\neq0$ + es un anillo conmutativo, +\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(p)^{n}=0$ -\end_inset +. +\end_layout -, cada -\begin_inset Formula $a\in A\setminus0$ +\begin_layout Enumerate +Todo homomorfismo de anillos +\begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset - es de la forma -\begin_inset Formula $up^{n}$ + induce un homomorfismo +\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X]\to B[X]$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $u\in A^{*}$ -\end_inset + dado por +\begin_inset Formula +\[ +\hat{f}(p)=\sum_{n}f(p_{n})X^{n}, +\] - y -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset -, y en particular -\begin_inset Formula $A$ +que es inyectivo o suprayectivo si lo es +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - es un DIP con un único irreducible salvo asociados. +. \end_layout -\begin_layout Standard -Dados anillos locales -\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ -\end_inset - -, los idempotentes de -\begin_inset Formula $A_{1}\times\dots\times A_{n}$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - son las -\begin_inset Formula $n$ + es un subanillo de +\begin_inset Formula $B$ \end_inset --uplas -\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n})$ +, +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset - con cada -\begin_inset Formula $e_{i}\in\{0,1\}$ + lo es de +\begin_inset Formula $B[X]$ \end_inset . - Para -\begin_inset Formula $n\geq2$ -\end_inset +\end_layout - con factorización prima -\begin_inset Formula $p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{t}^{m_{t}}$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $I$ \end_inset - (con los -\begin_inset Formula $p_{i}$ + es un ideal de +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - distintos y los -\begin_inset Formula $t_{i}\geq1$ +, el +\series bold +homomorfismo de reducción de coeficientes módulo +\begin_inset Formula $I$ \end_inset -), -\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ -\end_inset - tiene -\begin_inset Formula $2^{t}$ +\series default + es +\begin_inset Formula $\tilde{\pi}:A[X]\to(A/I)[X]$ \end_inset - idempotentes dados por los sistemas de ecuaciones diofánticas + dado por \begin_inset Formula \[ -\left\{ \begin{array}{rl} -e_{I} & \equiv0\mod\left(q\coloneqq\prod_{i\in I}p_{i}^{m_{i}}\right),\\ -e_{I} & \equiv1\mod\left(r\coloneqq\prod_{i\notin I}p_{i}^{m_{i}}\right), -\end{array}\right. +\tilde{\pi}(p):=\sum_{n}(p_{n}+I)X^{n}. \] \end_inset -para -\begin_inset Formula $I\subseteq\{1,\dots,t\}$ +Su núcleo es +\begin_inset Formula $I[X]$ \end_inset -. - En concreto existen -\begin_inset Formula $s,t\in\mathbb{Z}$ +, por lo que +\begin_inset Formula $(A/I)[X]\cong\frac{A[X]}{I[X]}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $x=1+qt=rs$ -\end_inset +. +\end_layout -, de modo que -\begin_inset Formula $rs-qt=1$ +\begin_layout Standard +[...] Sean +\begin_inset Formula $f,g\in A[X]$ \end_inset - y, como -\begin_inset Formula $q$ +, si el coeficiente principal de +\begin_inset Formula $g$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $r$ + es invertible en +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - son coprimos, se pueden obtener -\begin_inset Formula $s$ +, existen dos únicos polinomios +\begin_inset Formula $q,r\in A[X]$ \end_inset +, llamados respectivamente +\series bold +cociente +\series default y -\begin_inset Formula $t$ -\end_inset - - con una identidad de Bézout. - Para obtener una identidad de Bézout: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, haciendo - -\begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq q$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq r$ +\series bold +resto +\series default + de la +\series bold +división +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - y la recurrencia -\begin_inset Formula $q_{i-1}=r_{i}q_{i}+q_{i+1}$ + entre +\begin_inset Formula $g$ \end_inset -, con -\begin_inset Formula $r_{i},q_{i+1}\in\mathbb{Z}$ +, tales que +\begin_inset Formula $f=gq+r$ \end_inset y -\begin_inset Formula $0\leq q_{i+1}1$ +\end_inset +. \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +La multiplicidad de +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - es -\series bold -nilpotente -\series default - si existe -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ + en +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $I^{n}=0$ + es el único natural +\begin_inset Formula $m$ \end_inset -, donde -\begin_inset Formula $I^{0}\coloneqq A$ + tal que +\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$ \end_inset - y, para -\begin_inset Formula $n>0$ + para algún +\begin_inset Formula $g\in A[X]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $I^{n}\coloneqq II^{n-1}$ + del que +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -. + no es raíz. \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open +Si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout + es un dominio, +\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$ +\end_inset +, +\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout + son +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + elementos de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -Todo ideal nil finitamente generado es nilpotente. -\begin_inset ERT -status open + y +\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout + con +\begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$ +\end_inset + para cada +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset -\backslash -end{exinfo} -\end_layout +, entonces +\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$ +\end_inset +, por lo que +\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$ \end_inset + y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset -\end_layout +, y el número de raíces, no son superiores a +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)$ +\end_inset -\begin_layout Section -Ideales primos +. \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ -\end_inset - es \series bold -primo +Principio de las identidades polinómicas: \series default -, -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq_{\text{p}}A$ + Sea +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(xy\in I\implies x\in I\lor y\in I)$ + un dominio: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\forall x_{1},\dots,x_{n}\in A,(x_{1}\cdots x_{n}\in I\implies\exists k:x_{k}\in I)$ +, si las funciones polinómicas +\begin_inset Formula $f,g:D\to D$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $A/I$ + coinciden en +\begin_inset Formula $m$ \end_inset - es un dominio, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall n\in\mathbb{N}^{*},\forall I_{1},\dots,I_{n}\trianglelefteq A,(I_{1}\cdots I_{n}\subseteq J\implies\exists k:I_{k}\subseteq J)$ + elementos de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -. -\end_layout + con +\begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$ +\end_inset -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\iff2]$ +, los polinomios +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - Trivial. + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset + + son iguales. \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\iff3]$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - Para -\begin_inset Formula $x,y\in A$ + es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $xy\in I\implies x\in I\lor y\in I$ + define dos funciones polinómicas distintas en +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - si y sólo si, en -\begin_inset Formula $A/I$ -\end_inset +. +\end_layout -, -\begin_inset Formula $\overline{x}\,\overline{y}=\overline{xy}=0\implies\overline{x}=0\lor\overline{y}=0$ +\begin_layout Standard +Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo + +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -, y que esto se de para todo -\begin_inset Formula $\overline{x},\overline{y}\in A/I$ +, todos los elementos de +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ \end_inset - equivale a que -\begin_inset Formula $A/I$ + son raíces de 0 y +\begin_inset Formula $X^{p}-X$ \end_inset - sea un dominio. +. \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies4]$ +\begin_layout Standard +Dado un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - Si fuera cada -\begin_inset Formula $I_{k}\nsubseteq J$ +, definimos la +\series bold +derivada +\series default + de +\begin_inset Formula $P:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ \end_inset -, sea -\begin_inset Formula $x_{k}\in I_{k}\setminus J$ + como +\begin_inset Formula $P':=D(P):=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ \end_inset - para cada -\begin_inset Formula $k$ +, y escribimos +\begin_inset Formula $P^{(0)}:=P$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $x_{1}\cdots x_{n}\in I_{1}\cdots I_{n}\subseteq J$ + y +\begin_inset Formula $P^{(n+1)}:=P^{(n)\prime}$ \end_inset -, pero si -\begin_inset Formula $J$ +. + Dados +\begin_inset Formula $a,b\in A$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$ \end_inset - es primo existe -\begin_inset Formula $k$ +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $x_{j}\in J\#$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $4\implies1]$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$ \end_inset - Sean -\begin_inset Formula $a_{1},a_{2}\in A$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dados un dominio +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $a_{1}a_{2}\in J$ + de característica 0, +\begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $(a_{1})(a_{2})=(a_{1}a_{2})\subseteq J$ + y +\begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset -, luego por hipótesis -\begin_inset Formula $(a_{1})\subseteq J$ +, la multiplicidad de +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $a_{1}\in J$ + en +\begin_inset Formula $P$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $(a_{2})\subseteq J$ + es el menor +\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $a_{2}\in J$ + con +\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$ \end_inset . + [...] \end_layout \begin_layout Standard -El -\series bold -espectro primo -\series default - de +Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\text{Spec}(A)$ +\begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset -, es el conjunto de todos los ideales primos. - -\begin_inset Formula $\text{MaxSpec}(A)\subseteq\text{Spec}(A)$ + es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si +\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, pues todo cuerpo es un dominio. - Para -\begin_inset Formula $I\triangleleft A$ -\end_inset + es un cuerpo. +\end_layout -, la biyección -\begin_inset Formula $\{J\in{\cal L}(A):I\subseteq J\}\to{\cal L}(A/I)$ +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - se restringe a una biyección -\begin_inset Formula $\{J\in\text{Spec}(A):I\subseteq J\}\to\text{Spec}(A/I)$ + un dominio y +\begin_inset Formula $p\in D$ \end_inset -. - En efecto, para -\begin_inset Formula $J\in{\cal L}(A)$ -\end_inset +: +\end_layout - con -\begin_inset Formula $I\subseteq J$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $(A/I)/(J/I)\cong A/J$ + es irreducible en +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - por el tercer teorema de isomorfía, con lo que -\begin_inset Formula $J$ + si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset - es primo si y sólo si -\begin_inset Formula $A/J$ -\end_inset +. + [...] +\end_layout - es un dominio, si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $(A/I)/(J/I)$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $J/I$ + es primo en +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset - es primo en -\begin_inset Formula $A/I$ +, lo es en +\begin_inset Formula $D$ \end_inset . + [...] \end_layout -\begin_layout Standard -En un anillo -\begin_inset Formula $A$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -: -\end_layout + es un DFU, +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}\trianglelefteq A$ + es irreducible en +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - con intersección -\begin_inset Formula $J$ + si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset - prima, algún -\begin_inset Formula $I_{k}=J$ +, si y sólo si es primo en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset . + [...] \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $J$ +Sea +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - está contenido en cada -\begin_inset Formula $I_{k}$ + un DFU, definimos +\begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$ \end_inset - y, como -\begin_inset Formula $I_{1}\cdots I_{n}\subseteq I_{1}\cap\dots\cap I_{n}=J$ + tal que +\begin_inset Formula $\varphi(a)$ \end_inset -, algún -\begin_inset Formula $I_{k}\subseteq J$ + es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles + de +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + +, contando repetidos, y para +\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$ \end_inset . \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $J_{1},\dots,J_{n}\trianglelefteq_{\text{p}}A$ + es un DFU, +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $I\subseteq J_{1}\cup\dots\cup J_{n}$ + es su cuerpo de fracciones y +\begin_inset Formula $f\in D[X]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $I$ + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset - está contenido en algún -\begin_inset Formula $J_{k}$ +, es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. + [...] +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + + es un DFU si y sólo si lo es +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset . \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Para -\begin_inset Formula $n=1$ +[...] Si +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - es trivial. - Si -\begin_inset Formula $n>1$ + es un DFU y +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -, supuesto esto probado para -\begin_inset Formula $n-1$ + es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -, si fuera -\begin_inset Formula $I\nsubseteq J_{k}$ + +\begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$ \end_inset - para todo -\begin_inset Formula $k$ +, con lo que +\begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$ \end_inset -, para cada -\begin_inset Formula $i$ + y, en particular, si +\begin_inset Formula $x\in D$ \end_inset , -\begin_inset Formula $I\subseteq J_{k}$ +\begin_inset Formula $[x]$ \end_inset - para -\begin_inset Formula $k\neq i$ + es el conjunto de los asociados de +\begin_inset Formula $x$ \end_inset - y por tanto existe -\begin_inset Formula $a_{i}\in I$ + en +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $a_{i}\notin\bigcup_{k\neq i}J_{k}$ +. + Definimos +\begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $a_{i}\in J_{i}$ + como +\begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$ \end_inset . - Sea entonces -\begin_inset Formula $b_{i}\coloneqq\prod_{k\neq i}a_{k}$ + Esto está bien definido. + Además, +\begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $b_{i}\in I$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Definimos +\begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $b_{i}\in\bigcap_{k\neq i}J_{k}$ + tal que, para +\begin_inset Formula $p:=\sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset -, pero -\begin_inset Formula $b_{i}\notin J_{i}$ +, +\begin_inset Formula $c(p):=\{x:x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ \end_inset - porque es el producto de elementos fuera de -\begin_inset Formula $J_{i}$ +, y para +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $J_{i}$ +, si +\begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$ \end_inset - es primo. - Entonces -\begin_inset Formula $b\coloneqq\sum_{k=1}^{n}b_{k}\in I=\bigcup_{k=1}^{n}J_{k}$ + cumple +\begin_inset Formula $ap\in D[X]$ \end_inset - y debe haber un -\begin_inset Formula $k$ +, +\begin_inset Formula $c(p):=a^{-1}c(ap)$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $b\in J_{k}$ +. + Esto está bien definido. + Si +\begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$ \end_inset -, pero de ser así, como -\begin_inset Formula $b_{i}\in J_{k}$ +, +\begin_inset Formula $a$ \end_inset - para -\begin_inset Formula $i\neq k$ + es el +\series bold +contenido +\series default + de +\begin_inset Formula $p$ \end_inset -, sería -\begin_inset Formula $b-\sum_{i\neq k}b_{i}=b_{k}\in J_{k}\#$ + ( +\begin_inset Formula $a=c(p)$ \end_inset -. +). \end_layout -\end_deeper \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open +Para +\begin_inset Formula $a\in K$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout + y +\begin_inset Formula $p\in K[X]$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a\in D$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $p\in D[X]$ +\end_inset +, +\begin_inset Formula $a\mid p$ +\end_inset -\backslash -begin{exinfo} -\end_layout + en +\begin_inset Formula $D[X]$ +\end_inset + si y sólo si +\begin_inset Formula $a\mid c(p)$ \end_inset + en +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset +. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open +\begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -3. +. \end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$ \end_inset -Si todo ideal principal de -\begin_inset Formula $A$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Un polinomio +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - es primo, -\begin_inset Formula $A$ + es +\series bold +primitivo +\series default + si +\begin_inset Formula $c(p)=1$ \end_inset - es un cuerpo. -\end_layout +, esto es, si +\begin_inset Formula $p\in D[X]$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open + y +\begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -4. +. \end_layout +\begin_layout Standard + +\series bold +Lema de Gauss: +\series default + Para +\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ \end_inset -Si -\begin_inset Formula $\forall x\in A,\exists k\geq2:x^{k}=x$ +, +\begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$ \end_inset - entonces -\begin_inset Formula $\text{Spec}(A)=\text{MaxSpec}(A)$ +, y en particular +\begin_inset Formula $fg$ \end_inset -. -\end_layout + es primitivo si y sólo si +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Argument item:1 -status open + y +\begin_inset Formula $g$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -5. + lo son. + [...] \end_layout +\begin_layout Standard +Dado +\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$ \end_inset - -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ + primitivo, +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - es primo si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $I[X]$ + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $A[X]$ + si y sólo si lo es en +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -, si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $I+(X)$ +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $A[X]$ +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$ \end_inset . + [...] \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout - - -\backslash -vspace{6pt} -\end_layout +De aquí que si +\begin_inset Formula $D$ +\end_inset + es un DFU con cuerpo de fracciones +\begin_inset Formula $K$ \end_inset -Dados un homomorfismo -\begin_inset Formula $f:A\to B$ +, los irreducibles de +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $P\trianglelefteq_{\text{p}}B$ + son precisamente los de +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $f^{-1}(P)\trianglelefteq_{\text{p}}A$ + y los polinomios primitivos de +\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ \end_inset -, y el recíproco se cumple si -\begin_inset Formula $f$ + irreducibles en +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset - es suprayectivo. +. \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset ERT -status open - -\begin_layout Plain Layout +[...] Sean +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + un cuerpo y +\begin_inset Formula $f\in K[X]$ +\end_inset -\backslash -end{exinfo} +: \end_layout +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f$ \end_inset + es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset +. \end_layout -\begin_layout Standard -Dado un conjunto ordenado -\begin_inset Formula $(S,\leq)$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$ \end_inset -, su -\series bold -opuesto -\series default - es -\begin_inset Formula $(S,\leq)^{\text{op}}\coloneqq(S,\geq)$ + y +\begin_inset Formula $f$ \end_inset -. - -\begin_inset Formula $(S,\leq)$ + tiene una raíz en +\begin_inset Formula $K$ \end_inset - es -\series bold -contra-inductivo -\series default - si su opuesto es inductivo, es decir, si toda subcadena no vacía tiene - una cota inferior. - -\series bold -Lema de Zorn dual: -\series default - Todo conjunto contra-inductivo tiene al menos un elemento minimal. +, +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + no es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ +\end_inset + +. \end_layout -\begin_layout Standard -Un -\series bold -primo minimal -\series default - de -\begin_inset Formula $A$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$ \end_inset - es un elemento minimal de -\begin_inset Formula $\text{Spec}(A)$ +, +\begin_inset Formula $f$ \end_inset -. - Llamamos -\begin_inset Formula $\text{MinSpec}(A)$ + es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset - al conjunto de primos minimales de -\begin_inset Formula $A$ + si y sólo si no tiene raíces en +\begin_inset Formula $K$ \end_inset . - Para -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ -\end_inset +\end_layout - y -\begin_inset Formula $Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $D$ \end_inset - contiene a -\begin_inset Formula $I$ + es un DFU con cuerpo de fracciones +\begin_inset Formula $K$ \end_inset , -\begin_inset Formula $Q$ +\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset - contiene un -\series bold -primo minimal sobre -\begin_inset Formula $I$ + y +\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ \end_inset - -\series default -, un minimal entre los ideales primos que contienen a -\begin_inset Formula $I$ +, todas las raíces de +\begin_inset Formula $f$ \end_inset -, y en particular todo -\begin_inset Formula $Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$ + en +\begin_inset Formula $K$ \end_inset - contiene un primo minimal. - -\series bold -Demostración: -\series default - Sea -\begin_inset Formula $\Omega\coloneqq\{P\trianglelefteq_{\text{p}}A:I\subseteq P\subseteq Q\}$ + son de la forma +\begin_inset Formula $\frac{r}{s}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$ + con +\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$ \end_inset - porque -\begin_inset Formula $Q\in\Omega$ + y +\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$ \end_inset . - Sea entonces -\begin_inset Formula ${\cal C}$ -\end_inset +\end_layout - una cadena no vacía en -\begin_inset Formula $\Omega$ +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio de reducción: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $\phi:D\to K$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\bigcap{\cal C}\in\Omega$ + un homomorfismo de anillos donde +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, pues es un ideal propio entre -\begin_inset Formula $I$ + es un DFU y +\begin_inset Formula $K$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $Q$ + es un cuerpo, +\begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$ \end_inset - y, usando el contrarrecíproco de la definición de primo, si -\begin_inset Formula $x,y\notin\bigcap{\cal C}$ + el homomorfismo inducido por +\begin_inset Formula $\phi$ \end_inset -, sean -\begin_inset Formula $J_{1},J_{2}\in{\cal C}$ + y +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $x\notin J_{1}$ + un polinomio primitivo de +\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $y\notin J_{2}$ +, si +\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$ \end_inset -, si por ejemplo -\begin_inset Formula $J_{1}\subseteq J_{2}$ + es irreducible en +\begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $x,y\notin J_{1}$ + y +\begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $xy\notin J_{1}$ +, entonces +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $xy\notin\bigcap{\cal C}$ + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset . - Entonces, por el lema de Zorn dual, -\begin_inset Formula $\Omega$ +\end_layout + +\begin_layout Standard +En particular, si +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ \end_inset - tiene un minimal -\begin_inset Formula $J$ + es primo, +\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ \end_inset -, que es un ideal primo de -\begin_inset Formula $A$ + es primitivo, +\begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ \end_inset - entre -\begin_inset Formula $I$ +, +\begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $Q$ +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - y, si -\begin_inset Formula $J'$ + es irreducible en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$ \end_inset - es un ideal primo de -\begin_inset Formula $A$ +, entonces +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - que contiene a -\begin_inset Formula $I$ + es irreducible en +\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $J'\subseteq J$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Criterio de Eisenstein: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $D$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $J'\subseteq Q$ + un DFU, +\begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $J'\in\Omega$ + primitivo y +\begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula $J'=J$ +, si existe un irreducible +\begin_inset Formula $p\in D$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $J$ +\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$ \end_inset - es minimal sobre -\begin_inset Formula $I$ +, entonces +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es irreducible en +\begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset . \end_layout -\begin_layout Section -Radicales +\begin_layout Standard +Así: \end_layout -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ \end_inset - es un -\series bold -radical -\series default - de -\begin_inset Formula $A$ + y existe +\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $I\trianglelefteq_{\text{r}}A$ + cuya multiplicidad en +\begin_inset Formula $a$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $\forall x\in A,\forall n\in\mathbb{N},(x^{n}\in I\implies x\in I)$ + es 1, +\begin_inset Formula $X^{n}-a$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x\in A,(x^{2}\in I\implies x\in I)$ -\end_inset + es irreducible. +\end_layout -, si y sólo si -\begin_inset Formula $A/I$ +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $n\geq3$ \end_inset - es reducido. -\end_layout - -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $1\implies2]$ +, llamamos +\series bold +raíces +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - Obvio. -\end_layout +-ésimas de la unidad +\series default + o +\series bold +de 1 +\series default + a las raíces de +\begin_inset Formula $X^{n}-1$ +\end_inset -\begin_layout Description -\begin_inset Formula $2\implies1]$ + en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset - Sean -\begin_inset Formula $x\in A$ +, que son los +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ + vértices del +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $x^{n}\in I$ +-ágono regular inscrito en el círculo unidad de +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $n=0$ + con un vértice en el 1. + +\begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $1\in I$ +, donde +\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X):=X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $x\in I$ + es el +\series bold + +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -, y si -\begin_inset Formula $n=1$ +-ésimo polinomio ciclotómico +\series default + y sus raíces en +\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset - es obvio. - En otro caso, si + son las raíces \begin_inset Formula $n$ \end_inset - es par, -\begin_inset Formula $x^{n/2}\in I$ +-ésimas de 1 distintas de 1. + En +\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset -, y si es impar, -\begin_inset Formula $x^{n+1}=xx^{n}\in I$ +, +\begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $x^{(n+1)/2}\in I$ +, pero si +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -. - En cualquier caso -\begin_inset Formula $x^{k}\in I$ + es primo, +\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$ \end_inset - para cierto -\begin_inset Formula $k$ + es irreducible. +\end_layout + +\begin_layout Standard +[...] Dados un anillo conmutativo +\begin_inset Formula $A$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $1\leq k