From 2ffd2dd6bf328824dd2b47ba1f0d3b8d0eb2d332 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Juan Marin Noguera Date: Sun, 15 Jan 2023 18:08:28 +0100 Subject: Terminado análisis funcional (tema 3) MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- af/n2.lyx | 6779 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------------- 1 file changed, 4423 insertions(+), 2356 deletions(-) (limited to 'af/n2.lyx') diff --git a/af/n2.lyx b/af/n2.lyx index e043d8a..fc349c6 100644 --- a/af/n2.lyx +++ b/af/n2.lyx @@ -82,101 +82,113 @@ \begin_body \begin_layout Standard -Algunos operadores acotados en espacios de Hilbert: +David Hilbert (1862–1943) fue un influyente matemático alemán que formuló + la teoría de los espacios de Hilbert. + En 1900 publicó una lista de 23 problemas que marcarían en buena medida + el progreso matemático en el siglo XX, y presentó 10 de ellos en el +\emph on +\lang english +International Congress of Mathematicians +\emph default +\lang spanish + de París de 1900. + Fue editor jefe de +\emph on +\lang ngerman +Mathematische Annalen +\emph default +\lang spanish +, una revista matemática muy prestigiosa por casi 150 años, y tuvo discípulos + como +\lang ngerman +Alfréd Haar, Erhard Schmidt, Hugo Steihaus, Hermann Weyl o Ernst Zermelo +\lang spanish +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $G$ +\begin_layout Standard +Dado un +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset - y +-espacio vectorial \begin_inset Formula $H$ \end_inset - espacios prehilbertianos y -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - de dimensión finita con base -\begin_inset Formula $(e_{i})_{i}$ -\end_inset - -, todo homomorfismo -\begin_inset Formula $T:G\to H$ +, +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle:H\times H\to\mathbb{K}$ \end_inset - es acotado con -\begin_inset Formula -\[ -\Vert T\Vert\leq\sqrt{\sum_{i}\Vert Te_{i}\Vert^{2}}. -\] - + es una +\series bold +forma hermitiana +\series default + si para +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{K}$ \end_inset - -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - + y +\begin_inset Formula $x,y,z\in H$ \end_inset - -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $G$ + se tiene +\begin_inset Formula $\langle ax+by,z\rangle=a\langle x,z\rangle+b\langle y,z\rangle$ \end_inset y -\begin_inset Formula $H$ +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$ \end_inset - -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +, y es +\series bold +definida positiva +\series default + si para +\begin_inset Formula $x\in H\setminus0$ \end_inset --espacios de Hilbert de dimensión -\begin_inset Formula $\aleph_{0}$ + es +\begin_inset Formula $\langle x,x\rangle\in\mathbb{R}^{+}$ \end_inset - con bases ortonormales -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n}$ -\end_inset +. + Un +\series bold +producto escalar +\series default + es una forma hermitiana definida positiva, y un +\series bold +espacio prehilbertiano +\series default + es par formado por un espacio vectorial y un producto escalar sobre este. +\end_layout - y -\begin_inset Formula $(f_{n})_{n}$ +\begin_layout Standard +Dado un espacio prehilbertiano +\begin_inset Formula $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}\subseteq\mathbb{K}$ -\end_inset +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate - una sucesión acotada, el \series bold -operador diagonal +Desigualdad de Cauchy-Schwartz: \series default -\begin_inset Formula $T:G\to H$ +\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,|\langle x,y\rangle|^{2}\leq\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula -\[ -T(x)\coloneqq\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\langle x,e_{n}\rangle f_{n} -\] - +, con igualdad si y sólo si +\begin_inset Formula $x$ \end_inset -es acotado con -\begin_inset Formula $\Vert T\Vert=\sup_{n}|a_{n}|$ + e +\begin_inset Formula $y$ \end_inset -. + son linealmente dependientes. \begin_inset Note Note status open @@ -190,28 +202,19 @@ nproof \end_layout \begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $g\in L^{\infty}([a,b])$ -\end_inset - -, el -\series bold -operador multiplicación por -\begin_inset Formula $g$ +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - -\series default -, -\begin_inset Formula $T:L^{2}([a,b])\to L^{2}([a,b])$ + es un espacio normado con la norma +\begin_inset Formula $\Vert x\Vert\coloneqq\sqrt{\langle x,x\rangle}$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $Tf\coloneqq gf$ +, y para +\begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset -, es acotado con -\begin_inset Formula $\Vert T\Vert=\Vert g\Vert_{\infty}$ +, +\begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert=\Vert x\Vert+\Vert y\Vert\iff x=0\lor y=0\lor\exists a>0:x=ay$ \end_inset . @@ -228,94 +231,60 @@ nproof \end_layout \begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - - -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ -\end_inset - --espacios de Hilbert de dimensión -\begin_inset Formula $\aleph_{0}$ -\end_inset - - con bases ortonormales respectivas -\begin_inset Formula $(u_{n})_{n}$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $(v_{n})_{n}$ +Para +\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{K}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ -\end_inset - - una matriz infinita con -\begin_inset Formula $\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}<\infty$ +\begin_inset Formula $x,y,z\in H$ \end_inset , -\begin_inset Formula $T:G\to H$ +\begin_inset Formula $\langle x,ay+bz\rangle=\overline{a}\langle x,y\rangle+\overline{b}\langle x,z\rangle$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula -\[ -T(x)\coloneqq\sum_{i,j}a_{ij}\langle x,u_{i}\rangle v_{j} -\] +. +\end_layout +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset -es un operador acotado con -\begin_inset Formula $\Vert T\Vert\leq\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}$ +, +\begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}+2\text{Re}\langle x,y\rangle$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof \end_layout +\begin_deeper +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\overline{\langle x,y\rangle}+\langle y,y\rangle$ \end_inset - +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ -\end_inset +\end_deeper +\begin_layout Standard -, el \series bold -operador integral con núcleo -\begin_inset Formula $k$ -\end_inset - - +Identidades de polarización: \series default -, -\begin_inset Formula $K:L^{2}([a,b])\to L^{2}([a,b])$ + Si +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula -\[ -K(f)(t)\coloneqq\int_{a}^{b}k(t,s)f(s)\dif s, -\] - + es un espacio prehilbertiano y +\begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset -es acotado con -\begin_inset Formula $\Vert K\Vert\leq\sqrt{\iint_{[a,b]\times[a,b]}|k|^{2}}$ +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert x-\text{i}y\Vert^{2})$ \end_inset . @@ -332,215 +301,207 @@ nproof \end_layout \begin_layout Enumerate -Una matriz infinita -\begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ +Si +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - satisface el -\series bold -test de Schur -\series default - si existen -\begin_inset Formula $C,D\in\mathbb{R}$ + se define sobre +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset - tales que -\begin_inset Formula -\begin{align*} -\forall i\in\mathbb{N},\sum_{j}|a_{ij}| & \leq C, & \forall j\in\mathbb{N}, & \sum_{i}|a_{ij}|\leq D. -\end{align*} - +, +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2})$ \end_inset -Entonces, si -\begin_inset Formula $G$ -\end_inset +. +\end_layout - y -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset +\begin_layout Standard - son -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\series bold +Teorema de von Neumann: +\series default + Un espacio normado +\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset --espacios de Hilbert de dimensión -\begin_inset Formula $\aleph_{0}$ + admite un producto escalar +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ \end_inset - con bases ortonormales respectivas -\begin_inset Formula $(u_{n})_{n}$ + en +\begin_inset Formula $X$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $(v_{n})_{n}$ + con +\begin_inset Formula $\langle x,x\rangle\equiv\Vert x\Vert^{2}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $T:G\to H$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset - dada por + verifica la +\series bold +ley del paralelogramo: +\series default + \begin_inset Formula \[ -T(x)\coloneqq\sum_{i,j}a_{ij}\langle x,u_{i}\rangle v_{j} +\forall x,y\in H,\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}). \] \end_inset -es un operador acotado con -\begin_inset Formula $\Vert T\Vert\leq\sqrt{CD}$ -\end_inset -. -\begin_inset Note Note +\end_layout + +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout -\begin_layout Enumerate -Sean -\begin_inset Formula $k:[a,b]\times[a,b]\to\mathbb{K}$ \end_inset - medible y -\begin_inset Formula $C,D\in\mathbb{R}$ +En general +\begin_inset Formula $\langle x,y+z\rangle=\overline{\langle y+z,x\rangle}=\overline{\langle y,x\rangle}+\overline{\langle z,x\rangle}=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$ \end_inset - tales que +, de donde \begin_inset Formula -\begin{align*} -\forall t\in[a,b],\int_{a}^{b}|k(t,s)|\dif s & \leq C, & \forall s\in[a,b], & \int_{a}^{b}|k(t,s)|\dif t\leq D, -\end{align*} - -\end_inset +\begin{multline*} +\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=\\ +=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle+\langle x,x\rangle-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}). +\end{multline*} -entonces -\begin_inset Formula $K:L^{2}([a,b])\to L^{2}([a,b])$ \end_inset - dada por -\begin_inset Formula -\[ -K(f)(t)\coloneqq\int_{a}^{b}k(t,s)f(s)\dif s -\] - -\end_inset -es un operador acotado con -\begin_inset Formula $\Vert K\Vert\leq\sqrt{CD}$ -\end_inset +\end_layout -. -\begin_inset Note Note +\begin_layout Itemize +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $H$ \end_inset - es un espacio de Hilbert de dimensión -\begin_inset Formula $\aleph_{0}$ +Definimos +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ \end_inset - con base ortonormal -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n}$ + según la identidad de polarización, y queremos ver que es un producto escalar + cuya norma es la inicial. + Se tiene +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\langle x,x\rangle & =\frac{1}{4}\left(\Vert2x\Vert^{2}-\Vert x-x\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+\text{i}x\Vert^{2}-\text{i}\Vert x-\text{i}x\Vert^{2}\right)=\\ + & =\frac{1}{4}\left(4\Vert x\Vert^{2}+\text{i}|1+\text{i}|^{2}\Vert x\Vert^{2}-\text{i}|1-\text{i}|^{2}\Vert x\Vert^{2}\right)=\Vert x\Vert^{2}, +\end{align*} + \end_inset -, para -\begin_inset Formula $T\in L(H)$ +y +\begin_inset Formula +\begin{align*} +4\langle x,y\rangle & =\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert x-\text{i}y\Vert^{2}\\ + & =\Vert y+x\Vert^{2}-\Vert y-x\Vert^{2}+\text{i}\Vert y-\text{i}x\Vert-\text{i}\Vert y+\text{i}x\Vert^{2}=4\overline{\langle y,x\rangle}\\ + & =\Vert-x-y\Vert^{2}-\Vert-x+y\Vert^{2}+\text{i}\Vert-x-\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert-x+\text{i}y\Vert^{2}=-4\langle-x,y\rangle\\ + & =\Vert\text{i}x+\text{i}y\Vert^{2}-\Vert\text{i}x-\text{i}y\Vert^{2}+\text{i}\Vert\text{i}x-y\Vert^{2}-\text{i}\Vert\text{i}x+y\Vert^{2}=4\frac{\langle\text{i}x,y\rangle}{\text{i}}. +\end{align*} + \end_inset - y -\begin_inset Formula $x\in H$ +Para ver que +\begin_inset Formula $\langle x+z,y\rangle=\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle$ \end_inset , \begin_inset Formula -\[ -T(x)=\sum_{i,j}\langle x,e_{j}\rangle\langle Te_{j},e_{i}\rangle e_{i}, -\] +\begin{multline*} +\Vert x+z+y\Vert^{2}-\Vert x+z-y\Vert^{2}=\left\Vert \left(x+\frac{y}{2}\right)+\left(z+\frac{y}{2}\right)\right\Vert ^{2}-\left\Vert \left(x+\frac{y}{2}\right)-\left(z+\frac{y}{2}\right)\right\Vert ^{2}=\\ +=2\left\Vert x+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}+2\left\Vert z+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}\cancel{-\Vert x-z\Vert^{2}}-2\left\Vert x-\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-2\left\Vert z-\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}\cancel{+\Vert x-z\Vert^{2}}, +\end{multline*} \end_inset -con lo que -\begin_inset Formula $T$ -\end_inset +de donde +\begin_inset Formula +\begin{eqnarray*} +4\langle x+z,y\rangle & = & \Vert x+z+y\Vert^{2}-\Vert x+z-y\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+z+\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert x+z-\text{i}y\Vert^{2}\\ + & = & 2\left(\left\Vert x+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert z+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert z-\frac{y}{2}\right\Vert \right)\\ + & & +2\text{i}\left(\left\Vert x+\text{i}\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert z+\text{i}\frac{z}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-\text{i}\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert z-\text{i}\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}\right)\\ + & = & 8\left\langle x,\frac{y}{2}\right\rangle +8\left\langle z,\frac{y}{2}\right\rangle , +\end{eqnarray*} - admite una representación matricial -\begin_inset Formula $(\langle Te_{j},e_{i}\rangle)_{i,j}\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ \end_inset -. -\end_layout +y por tanto +\begin_inset Formula +\[ +\langle x+z,y\rangle=2\left\langle x,\frac{y}{2}\right\rangle +2\left\langle z,\frac{y}{2}\right\rangle =\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle, +\] -\begin_layout Standard -\begin_inset Formula $T\in L(X,Y)$ \end_inset - es -\series bold -de rango finito -\series default - si -\begin_inset Formula $\dim\text{Im}T<\infty$ +donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad con +\begin_inset Formula $z=0$ \end_inset -. - Dados espacios de Hilbert -\begin_inset Formula $G$ + o +\begin_inset Formula $x=0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $H$ +. + Usando esto y que +\begin_inset Formula $\langle-x,y\rangle$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $T\in L(G,H)$ + es fácil ver que +\begin_inset Formula $\langle ax,y\rangle=a\langle x,y\rangle$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $T$ + para +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Q}$ \end_inset - es de rango finito si y sólo si viene dada por -\begin_inset Formula $T(x)=\sum_{i=1}^{n}\langle x,u_{i}\rangle v_{i}$ +; para +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{n}\in G$ + se usa la continuidad de la norma y por tanto del producto escalar, y para + +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{C}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}\in H$ + se usa +\begin_inset Formula $\langle\text{i}x,y\rangle=\text{i}\langle x,y\rangle$ \end_inset -, en cuyo caso los -\begin_inset Formula $(v_{i})_{i}$ +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset Formula $(\ell^{\infty},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset - pueden tomarse de forma que sean una base de -\begin_inset Formula $\text{Im}T$ + y +\begin_inset Formula $({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{1})$ \end_inset -. + son espacios normados no prehilbertianos. \begin_inset Note Note status open @@ -553,102 +514,32 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Section -Inversión de operadores -\end_layout - \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula $Y$ -\end_inset - - son -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ -\end_inset - --espacios normados, -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $S\in{\cal L}(Y,X)$ -\end_inset - - cumplen -\begin_inset Formula $ST=1_{X}$ -\end_inset - - entonces -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - - es el -\series bold -inverso por la izquierda -\series default - de -\begin_inset Formula $T$ +Dos espacios prehilbertianos +\begin_inset Formula $(H_{1},\langle\cdot,\cdot\rangle_{1})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $T$ -\end_inset - - es el -\series bold -inverso por la derecha -\series default - de -\begin_inset Formula $S$ -\end_inset - -, y -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ +\begin_inset Formula $(H_{2},\langle\cdot,\cdot\rangle_{2})$ \end_inset - es + son \series bold -invertible +equivalentes \series default - si existe -\begin_inset Formula $T^{-1}\in{\cal L}(Y,X)$ -\end_inset - - inverso de -\begin_inset Formula $T$ -\end_inset - - por la izquierda y por la derecha. - Llamamos -\begin_inset Formula ${\cal L}(X)\coloneqq\text{End}_{\mathbb{K}}X={\cal L}(X,X)$ -\end_inset - - e -\begin_inset Formula -\[ -\text{Isom}X\coloneqq\text{Isom}_{\mathbb{K}}(X)\coloneqq\{T\in{\cal L}(X)\mid T\text{ invertible}\}. -\] - + si existe un isomorfismo algebraico +\begin_inset Formula $T:H_{1}\to H_{2}$ \end_inset - -\end_layout - -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $X$ + con +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle T(x),T(y)\rangle_{2}$ \end_inset - es de dimensión finita, -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X)$ + para todo +\begin_inset Formula $x,y\in H_{1}$ \end_inset - tiene inverso por la izquierda si y sólo si lo tiene por la derecha, si - y sólo si es invertible. +, si y sólo si existe un isomorfismo isométrico entre los espacios normados. \begin_inset Note Note status open @@ -658,129 +549,94 @@ nproof \end_inset - Esto no es cierto en general en dimensión infinita; por ejemplo, el operador - -\series bold -desplazamiento a derecha -\series default -, -\begin_inset Formula $S_{\text{r}}\in\ell^{2}$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula $S_{\text{r}}(x_{1},\dots,x_{n},\dots)\coloneqq(0,x_{1},\dots,x_{n},\dots)$ -\end_inset - -, tiene como inverso por la izquierda el -\series bold -desplazamiento a izquierda -\series default -, -\begin_inset Formula $S_{\text{l}}\in\ell^{2}$ -\end_inset - - dado por -\begin_inset Formula $S_{\text{l}}(x_{1},\dots,x_{n},\dots)\coloneqq(x_{2},\dots,x_{n},\dots)$ -\end_inset -, pero no tiene inverso por la derecha. \end_layout \begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $T\in\text{End}_{\mathbb{K}}X$ +Si +\begin_inset Formula $H$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}$ + es un espacio prehilbertiano, +\begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset - es un + son \series bold -valor regular +ortogonales \series default - de -\begin_inset Formula $T$ +, +\begin_inset Formula $x\bot y$ \end_inset - si -\begin_inset Formula $T-\lambda1_{X}$ +, si +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=0$ \end_inset - es invertible, un -\series bold -valor espectral -\series default - en otro caso, y un -\series bold -valor propio -\series default - si -\begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{X})\neq0$ +. + Decimos que +\begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset -, en cuyo caso llamamos + es \series bold -subespacio propio +ortogonal \series default - de -\begin_inset Formula $T$ + a +\begin_inset Formula $M\subseteq H$ \end_inset - correspondiente al valor propio -\begin_inset Formula $\lambda$ +, +\begin_inset Formula $x\bot M$ \end_inset - a -\begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{X})$ +, si +\begin_inset Formula $\forall y\in M,x\bot y$ \end_inset - y -\series bold -valores propios -\series default - de -\begin_inset Formula $T$ +, y llamamos +\begin_inset Formula $M^{\bot}\coloneqq\{x\in H:x\bot M\}$ \end_inset - correspondientes al valor propio -\begin_inset Formula $\lambda$ +. + Una familia +\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq H$ \end_inset - a los elementos no nulos de este subespacio. - Llamamos + es \series bold -resolvente +ortogonal \series default - de -\begin_inset Formula $T$ + si +\begin_inset Formula $\forall i,j\in I,(i\neq j\implies x_{i}\bot x_{j})$ \end_inset - al conjunto de sus valores regulares, +, y es \series bold -espectro +ortonormal \series default - de -\begin_inset Formula $T$ + si además +\begin_inset Formula $\forall i,\Vert x_{i}\Vert=1$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\sigma(T)$ -\end_inset +. + Entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate -, al conjunto de sus valores espectrales y \series bold -espectro puntual +Teorema de Pitágoras: \series default - de -\begin_inset Formula $T$ + Si +\begin_inset Formula $x\bot y$ \end_inset , -\begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)\subseteq\sigma(T)$ +\begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}$ \end_inset -, al conjunto de sus valores propios. +. \begin_inset Note Note status open @@ -793,16 +649,13 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Standard +\begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - - es de dimensión finita, -\begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)=\sigma(T)$ +\begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in I}$ \end_inset -. + es una familia ortogonal de elementos no nulos, es una familia linealmente + independiente. \begin_inset Note Note status open @@ -812,12 +665,20 @@ nproof \end_inset - Sin embargo, -\begin_inset Formula $0\in\sigma(S_{\text{r}})$ + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $M\subseteq H$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M^{\bot}$ \end_inset - pero -\begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(S_{\text{r}})=\emptyset$ + es un subespacio cerrado de +\begin_inset Formula $H$ \end_inset . @@ -834,76 +695,69 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -Como + \series bold -teorema +Lema de Gram-Schmidt: \series default -, si -\begin_inset Formula $X$ + Sean +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - es un espacio de Banach y -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X)$ + prehilbertiano, +\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq H$ \end_inset - cumple -\begin_inset Formula $\Vert T\Vert<1$ + una familia contable linealmente independiente y +\begin_inset Formula $(u_{n})_{n}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $1_{X}-T$ + e +\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$ \end_inset - es invertible con inverso -\begin_inset Formula $\sum_{n\in\mathbb{N}}T^{n}$ + dadas por +\begin_inset Formula $u_{n}\coloneqq\frac{y_{n}}{\Vert y_{n}\Vert}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\Vert(1_{X}-T)^{-1}\Vert\leq\frac{1}{1-\Vert T\Vert}$ +, +\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq x_{0}$ \end_inset -. - -\series bold -Demostración: -\series default - Para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ + y para +\begin_inset Formula $n\geq1$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\sum_{k=0}^{n}\Vert T^{k}\Vert\leq\sum_{k=0}^{n}\Vert T\Vert^{k}\leq\sum_{k\in\mathbb{N}}\Vert T\Vert^{n}=\frac{1}{1-\Vert T\Vert}$ -\end_inset +, +\begin_inset Formula +\[ +y_{n}\coloneqq x_{n}-\sum_{j0$ \end_inset -, y para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ + existe +\begin_inset Formula $n_{0}$ \end_inset -, el sistema truncado -\begin_inset Formula -\begin{align*} -x_{k}-\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}a_{kj}x_{j} & =y_{k}, & k & \in\mathbb{N}_{n} -\end{align*} - + tal que si +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset -tiene una única solución -\begin_inset Formula $z_{n}\in\mathbb{K}^{n}$ + es +\begin_inset Formula $\Vert y_{n}\Vert^{2}<\alpha^{2}+\varepsilon$ \end_inset - de modo que, si -\begin_inset Formula $J_{n}:\mathbb{K}^{n}\to\ell^{2}$ -\end_inset +, y por la ley del paralelogramo es +\begin_inset Formula +\[ +\left\Vert \frac{y_{n}-y_{m}}{2}\right\Vert ^{2}=\frac{1}{2}(\Vert y_{n}\Vert^{2}+\Vert y_{m}\Vert^{2})-\left\Vert \frac{y_{n}+y_{m}}{2}\right\Vert ^{2}\leq\frac{1}{2}(\alpha^{2}+\varepsilon+\alpha^{2}+\varepsilon)-\alpha^{2}=\varepsilon, +\] - es la inclusión canónica de -\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{n}$ \end_inset - en las -\begin_inset Formula $n$ +pues por convexidad +\begin_inset Formula $\frac{y_{n}+y_{m}}{2}\in S$ \end_inset - primeras coordenadas, -\begin_inset Formula $\lim_{n}J_{n}(z_{n})=z$ + y por tanto su norma es mayor o igual a +\begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open + Para la unicidad, si +\begin_inset Formula $y,z\in C$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + cumplen +\begin_inset Formula $\Vert y\Vert=\Vert z\Vert=\alpha$ +\end_inset + +, por un argumento como el anterior, +\begin_inset Formula +\[ +\left\Vert \frac{y-z}{2}\right\Vert ^{2}=\frac{1}{2}(\Vert y\Vert^{2}+\Vert z\Vert^{2})-\left\Vert \frac{y+z}{2}\right\Vert ^{2}\leq\frac{1}{2}(\alpha^{2}+\alpha^{2})-\alpha^{2}=0. +\] \end_inset @@ -1254,190 +1089,339 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ +Como +\series bold +teorema +\series default +, si +\begin_inset Formula $Y$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\Vert k\Vert_{2}<1$ + es un subespacio de un espacio prehilbertiano +\begin_inset Formula $H$ \end_inset y -\begin_inset Formula $g\in L^{2}([a,b])$ +\begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset -, la ecuación -\begin_inset Formula -\begin{align*} -f(t)-\int_{a}^{b}k(t,s)f(s)\dif s & =g(t), & t & \in[a,b], -\end{align*} +: +\end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $y\in Y$ \end_inset -tiene solución única que es de la forma -\begin_inset Formula -\[ -g(t)+\int_{a}^{b}\tilde{k}(t,s)g(s)\dif s -\] + es de mejor aproximación de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + a +\begin_inset Formula $Y$ \end_inset -para cierto -\begin_inset Formula $\tilde{k}\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $x-y\bot Y$ \end_inset . -\begin_inset Note Note +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - +\begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $K$ \end_inset - es el operador integral con núcleo -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ +Para +\begin_inset Formula $z\in Y$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\Vert k\Vert_{2}<1$ + y +\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ \end_inset - y +, como +\begin_inset Formula $y-az\in Y$ +\end_inset + +, \begin_inset Formula \[ -\forall t\in[a,b],\int_{a}^{b}|k(t,s)|^{2}\dif s\leq C, +\Vert x-y\Vert^{2}\leq\Vert x-y+az\Vert^{2}=\Vert x-y\Vert^{2}+2\text{Re}(a\langle z,x-y\rangle)+|a|^{2}\Vert z\Vert^{2}, \] \end_inset -para -\begin_inset Formula $g\in L^{2}([a,b])$ +luego +\begin_inset Formula $0\leq2\text{Re}(a\langle z,x-y\rangle)+|a|^{2}\Vert z\Vert^{2}$ \end_inset -, la serie -\begin_inset Formula $\sum_{n}K^{n}g$ + y, haciendo +\begin_inset Formula $a=t\langle x-y,z\rangle$ \end_inset - converge en -\begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ + con +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ \end_inset - y converge absoluta y uniformemente en -\begin_inset Formula $[a,b]$ +, +\begin_inset Formula $0\leq2t|\langle x-y,z\rangle|^{2}+t^{2}|\langle x-y,z\rangle|^{2}\Vert z\Vert^{2}$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - + Si hubiera +\begin_inset Formula $z\in Y$ \end_inset + con +\begin_inset Formula $\langle x-y,z\rangle\neq0$ +\end_inset -\end_layout +, +\begin_inset Formula $0\leq2t+t^{2}\Vert z\Vert^{2}$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Con todo esto, para -\begin_inset Formula $g\in L^{2}([0,1])$ + para todo +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ +, pero si +\begin_inset Formula $\Vert z\Vert^{2}=0$ \end_inset -, la ecuación integral -\begin_inset Formula -\[ -f(t)-\lambda\int_{0}^{1}\text{e}^{t-s}f(s)\dif s=g(t) -\] +, esto es negativo cuando +\begin_inset Formula $t<0$ +\end_inset +, y si +\begin_inset Formula $\Vert z\Vert^{2}>0$ \end_inset -tiene solución única -\begin_inset Formula -\[ -f(t)=g(t)+\frac{\lambda}{1-\lambda}\int_{0}^{1}\text{e}^{t-s}g(s)\dif s. -\] +, es negativo al menos cuando +\begin_inset Formula $t=-\frac{1}{\Vert z\Vert^{2}}\#$ +\end_inset +, luego +\begin_inset Formula $x-y\bot z$ \end_inset + y +\begin_inset Formula $x-y\bot Y$ +\end_inset +. \end_layout -\begin_layout Section -Operador adjunto -\end_layout +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 +status open -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $G$ +\begin_layout Plain Layout +\begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - son espacios de Hilbert y -\begin_inset Formula $T\in L(G,H)$ +\end_layout + \end_inset -: -\end_layout +Para +\begin_inset Formula $z\in Y$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate +, por el teorema de Pitágoras, \begin_inset Formula \[ -\Vert T\Vert=\sup_{x,y\in\overline{B_{G}}}|\langle Tx,y\rangle|=\sup_{x,y\in B_{G}}|\langle Tx,y\rangle|. +\Vert x-z\Vert^{2}=\Vert x-y+y-z\Vert^{2}=\Vert x-y\Vert^{2}+\Vert y-z\Vert^{2}\geq\Vert x-y\Vert^{2}. \] \end_inset -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof \end_layout +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si existe una mejor aproximación de +\begin_inset Formula $x$ \end_inset + a +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset +, es única. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Existe un único -\begin_inset Formula $T^{*}\in L(H,G)$ +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $y,z\in Y$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $\forall x\in G,\forall y\in H,\langle Tx,y\rangle\equiv\langle x,T^{*}y\rangle$ + de mejor aproximación, como +\begin_inset Formula $x-y,x-z\in Y^{\bot}$ \end_inset -, el -\series bold -adjunto -\series default - de -\begin_inset Formula $T$ +, su diferencia +\begin_inset Formula $y-z\in Y^{\bot}\cap Y$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open +, luego +\begin_inset Formula $\langle y-z,y-z\rangle=0$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y=z$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Si +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + es completo, hay vector de mejor aproximación. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Por el teorema anterior (los subespacios son convexos). +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Section +Determinante de Gram +\end_layout + +\begin_layout Standard +Sean +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + prehilbertiano y +\begin_inset Formula $M\leq H$ +\end_inset + + de dimensión finita con base ortonormal +\begin_inset Formula $(e_{i})_{i}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $x\in H$ +\end_inset + + existe un único vector de aproximación de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + dado por +\begin_inset Formula +\[ +\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}. +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $d(x,M)^{2}=\Vert x\Vert^{2}-\sum_{i}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Llamamos +\series bold +determinante de Gram +\series default + de +\begin_inset Formula $(x_{i})_{i=1}^{n}$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula +\[ +G(x_{1},\dots,G_{n})\coloneqq\det(\langle x_{j},x_{i}\rangle)_{1\leq i\leq n}^{1\leq j\leq n}. +\] + +\end_inset + +Como +\series bold +teorema +\series default +, si +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + es prehilbertiano, +\begin_inset Formula $M\leq H$ +\end_inset + + de dimensión finita con base +\begin_inset Formula $(b_{i})_{i}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $x\in H$ +\end_inset + +, el vector de mejor aproximación de +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + a +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula +\[ +\frac{-1}{G(b_{1},\dots,b_{n})}\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle & \langle x_{2},x_{1}\rangle & \cdots & \langle x_{n},x_{1}\rangle & \langle x,x_{1}\rangle\\ +\langle x_{1},x_{2}\rangle & \langle x_{2},x_{2}\rangle & \cdots & \langle x_{n},x_{2}\rangle & \langle x,x_{2}\rangle\\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ +\langle x_{1},x_{n}\rangle & \langle x_{2},x_{n}\rangle & \cdots & \langle x_{n},x_{n}\rangle & \langle x,x_{n}\rangle\\ +x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} & 0 +\end{vmatrix}, +\] + +\end_inset + +y +\begin_inset Formula +\[ +d(x,M)=\sqrt{\frac{G(x_{1},\dots,x_{n},x)}{G(x_{1},\dots,x_{n})}}. +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Note Note +status open \begin_layout Plain Layout nproof @@ -1446,96 +1430,1811 @@ nproof \end_inset -\end_layout +\end_layout + +\begin_layout Standard +Algunas aplicaciones: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Resolución de sistemas sobre-dimensionados por mínimos cuadrados. + +\series default + Tenemos un fenómeno experimental que se puede modelar como una función + lineal +\begin_inset Formula $y(x)=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}$ +\end_inset + +, pero no conocemos los +\begin_inset Formula $a_{i}$ +\end_inset + +. + Hacemos +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + experimentos fijando un +\begin_inset Formula $x_{i}$ +\end_inset + + en cada uno y midiendo +\begin_inset Formula $y_{i}\coloneqq y(x_{i})$ +\end_inset + + para plantear un sistema de +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset + + ecuaciones. + Solo hacen falta +\begin_inset Formula $n$ +\end_inset + + experimentos cuidando que los +\begin_inset Formula $x_{i}$ +\end_inset + + sean linealmente independientes, pero en general conviene hacer más, +\begin_inset Formula $m>n$ +\end_inset + +. + Como las mediciones son aproximadas, el sistema puede ser incompatible, + por lo que se eligen los +\begin_inset Formula $a_{i}\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + de forma que se minimice +\begin_inset Formula +\[ +\sum_{i\in\mathbb{N}_{m}}\left(y_{i}-\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}a_{j}x_{ij}\right)^{2}=\left\Vert y-\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}a_{j}X_{j}\right\Vert ^{2}, +\] + +\end_inset + +donde +\begin_inset Formula $X_{j}\coloneqq(x_{1j},\dots,x_{mj})$ +\end_inset + +. + Si +\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$ +\end_inset + + son linealmente independientes, sea +\begin_inset Formula $M\coloneqq\text{span}\{X_{1},\dots,X_{n}\}<\mathbb{R}^{m}$ +\end_inset + +, buscamos el vector +\begin_inset Formula $Z\in M$ +\end_inset + + de mejor aproximación de +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + en +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + que, expresado respecto de la base +\begin_inset Formula $(X_{1},\dots,X_{n})$ +\end_inset + +, nos dará el vector +\begin_inset Formula $(a_{1},\dots,a_{n})$ +\end_inset + + buscado. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Ajustes polinómicos por mínimos cuadrados. + +\series default + Queremos modelar un fenómeno experimental como una función polinómica +\begin_inset Formula $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ +\end_inset + +, y tenemos +\begin_inset Formula $k$ +\end_inset + + observaciones de la forma +\begin_inset Formula $f(t_{i})=y_{i}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $t_{1}<\dots0:\forall x,y\in X,|B(x,y)|\leq M\Vert x\Vert\Vert y\Vert$ +\end_inset + +, y es +\series bold +fuertemente positiva +\series default + si +\begin_inset Formula $\exists c>0:\forall x\in X,B(x,x)\geq c\Vert x\Vert^{2}$ +\end_inset + +. + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es bilineal o sesquilineal, es acotada si y sólo si es continua, y para + todo +\begin_inset Formula $x$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $2B(x,x)+2B(y,y)=B(x+y,x+y)+B(x-y,x-y)$ +\end_inset + +. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema de Lax-Milgram: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + un espacio de Hilbert y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + una +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + +-forma sesquilineal acotada y fuertemente positiva, existe un único isomorfismo + de espacios de Hilbert +\begin_inset Formula $T:H\to H$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,B(x,y)=\langle x,T(y)\rangle$ +\end_inset + +. + +\series bold +Demostración: +\series default + Sea +\begin_inset Formula +\[ +Y\coloneqq\{y\in H\mid\exists z\in H:\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)\}, +\] + +\end_inset + + +\begin_inset Formula $0\in Y$ +\end_inset + + tomando +\begin_inset Formula $z=0$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $z$ +\end_inset + + está unívocamente determinado por +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + +, ya que si +\begin_inset Formula $\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)=B(\cdot,z')$ +\end_inset + + entonces +\begin_inset Formula $B(\cdot,z-z')=0$ +\end_inset + + y en particular +\begin_inset Formula $0=B(z-z',z-z')\geq c\Vert z-z'\Vert^{2}$ +\end_inset + + para cierto +\begin_inset Formula $c>0$ +\end_inset + + por ser +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + fuertemente positiva, luego +\begin_inset Formula $z=z'$ +\end_inset + +. + Como +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + son sesquilineales, +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + es un espacio vectorial y +\begin_inset Formula $S:Y\to H$ +\end_inset + + que a cada +\begin_inset Formula $y$ +\end_inset + + le asocia el +\begin_inset Formula $z$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)$ +\end_inset + + es lineal. + Entonces, para +\begin_inset Formula $y\in S_{Y}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq B(S(y),S(y))=\langle S(y),y\rangle\in\mathbb{R}^{+}, +\] + +\end_inset + +pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, +\begin_inset Formula $\langle S(y),y\rangle^{2}=|\langle S(y),y\rangle|^{2}\leq\Vert S(y)\Vert^{2}\Vert y\Vert^{2}$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq\langle S(y),y\rangle\leq\Vert S(y)\Vert\Vert y\Vert=\Vert S(y)\Vert$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\Vert S(y)\Vert\leq\frac{1}{c}$ +\end_inset + +, con lo que +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es continua. + Entonces, si +\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$ +\end_inset + + y existe +\begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}\eqqcolon y\in H$ +\end_inset + +, por continuidad de +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + y de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\langle x,y\rangle=\lim_{n}\langle x,y_{n}\rangle=\lim_{n}B(x,S(y_{n}))=B(x,S(y)), +\] + +\end_inset + +luego +\begin_inset Formula $y\in Y$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $Y$ +\end_inset + + es cerrado. + Entonces, si +\begin_inset Formula $z\in Y^{\bot}$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $B(\cdot,z):H\to\mathbb{K}$ +\end_inset + + es continua, por el teorema de Riesz-Fréchet existe +\begin_inset Formula $w\in H$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $B(\cdot,z)=\langle\cdot,w\rangle$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $w\in Y$ +\end_inset + +, pero entonces +\begin_inset Formula $B(z,z)=\langle z,w\rangle=0$ +\end_inset + + y, por ser +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + fuertemente positiva, +\begin_inset Formula $z=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $Y^{\bot}=0$ +\end_inset + + e +\begin_inset Formula $Y=H$ +\end_inset + +. + Para +\begin_inset Formula $z\in H$ +\end_inset + +, como +\begin_inset Formula $B(\cdot,z)$ +\end_inset + + es continua, existe +\begin_inset Formula $w\in H$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $B(\cdot z)=\langle\cdot,w\rangle$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $z=S(w)$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es suprayectiva. + Si +\begin_inset Formula $S(y)=0$ +\end_inset + +, para +\begin_inset Formula $x\in H$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=B(x,S(y))=0$ +\end_inset + + y por tanto +\begin_inset Formula $y=0$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es inyectiva. + Por tanto +\begin_inset Formula $S$ +\end_inset + + es biyectiva y +\begin_inset Formula $T\coloneqq S^{-1}$ +\end_inset + + cumple +\begin_inset Formula $\langle x,T(y)\rangle=B(x,y)$ +\end_inset + +. + Además, para +\begin_inset Formula $y\in S_{H}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\Vert T(y)\Vert^{2}=\langle T(y),T(y)\rangle=B(T(y),y)\leq M\Vert T(y)\Vert\Vert y\Vert=M\Vert T(y)\Vert$ +\end_inset + +, siendo +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + una cota de +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + +, de donde +\begin_inset Formula $\Vert T\Vert\leq M$ +\end_inset + + y, como +\begin_inset Formula $\Vert T^{-1}\Vert=\Vert S\Vert\leq\frac{1}{c}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $T$ +\end_inset + + es un isomorfismo topológico isométrico. +\end_layout + +\begin_layout Standard +En particular, dado un espacio vectorial +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + con dos productos escalares +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{1}$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{2}$ +\end_inset + + equivalentes que hacen a +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + completo, existe un isomorfismo +\begin_inset Formula $T:H\to H$ +\end_inset + + de espacios de Hilbert con +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle x,T(y)\rangle_{2}$ +\end_inset + +. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un espacio medible +\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$ +\end_inset + + con medidas +\begin_inset Formula $\mu$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\nu$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\nu$ +\end_inset + + es +\series bold +absolutamente continua +\series default + respecto de +\begin_inset Formula $\mu$ +\end_inset + + si +\begin_inset Formula $\forall A\in\Sigma,(\mu(A)=0\implies\nu(A)=0)$ +\end_inset + +, y es +\series bold +finita +\series default + si +\begin_inset Formula $\nu(\Omega)<\infty$ +\end_inset + +. + +\series bold +Teorema de Radon-Nicodym: +\series default + Si +\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$ +\end_inset + + es un espacio medible con medidas finitas +\begin_inset Formula $\mu$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $\nu$ +\end_inset + + siendo +\begin_inset Formula $\nu$ +\end_inset + + absolutamente continua respecto de +\begin_inset Formula $\mu$ +\end_inset + +, existe +\begin_inset Formula $g:\Omega\to[0,+\infty]$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula $\mu$ +\end_inset + +-integrable tal que +\begin_inset Formula +\[ +\forall A\in\Sigma,\nu(A)=\int_{A}g\dif\mu. +\] + +\end_inset + + +\series bold +Demostración: +\series default + +\begin_inset Formula $\sigma\coloneqq\mu+\nu$ +\end_inset + + es una medida finita en +\begin_inset Formula $X$ +\end_inset + + tal que +\begin_inset Formula $\forall A\in\Sigma,(\sigma(A)=0\iff\mu(A)=0)$ +\end_inset + +, y la función lineal entre espacios de Hilbert +\begin_inset Formula $T:L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula +\[ +Tu\coloneqq\int_{\Omega}u\dif\mu +\] + +\end_inset + +está bien definida y es continua porque, si +\begin_inset Formula $\Vert u\Vert_{L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)}=1$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +|Tu| & =\left|\int_{\Omega}u\dif\mu\right|\leq\int_{\Omega}|u|\dif\mu\leq\sqrt{\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\mu}+\sqrt{\int_{\Omega}\dif\mu}\leq\\ + & \leq\sqrt{\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\mu+\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\nu}+\sqrt{\int_{\Omega}\dif\mu+\int_{\Omega}\dif\nu}=1+\sqrt{\sigma(X)}. +\end{align*} + +\end_inset + +Por el teorema de representación de Riesz, existe +\begin_inset Formula $f\in L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)$ +\end_inset + + tal que, para +\begin_inset Formula $u\in L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +Tu=\int_{\Omega}u\dif\mu=\int_{\Omega}uf\dif\sigma, +\] + +\end_inset + +pero esta igualdad se da para cuando +\begin_inset Formula $u=\chi_{A}$ +\end_inset + + para cualquier +\begin_inset Formula $A\in{\cal F}$ +\end_inset + + y por linealidad para cualquier función +\begin_inset Formula $\Sigma$ +\end_inset + +-medible simple, y por el teorema de convergencia dominada también se da + para cualquier función +\begin_inset Formula $\Sigma$ +\end_inset + +-medible no negativa en casi todo punto. + Además, para +\begin_inset Formula $A\in\Sigma$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\mu(A)=\int_{\Omega}\chi_{A}f\dif\sigma=\int_{A}f\dif\sigma, +\] + +\end_inset + +de modo que +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $\Sigma$ +\end_inset + +-medible y, haciendo +\begin_inset Formula $A=\{x\mid f(x)\leq0\}$ +\end_inset + + o +\begin_inset Formula $A=\{x\mid f(x)>1\}$ +\end_inset + +, vemos que +\begin_inset Formula $f(\omega)\in(0,1]$ +\end_inset + + para casi todo +\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $\frac{1}{g}$ +\end_inset + + es +\begin_inset Formula $\Sigma$ +\end_inset + +-medible no negativa en casi todo punto y, en casi todo punto, +\begin_inset Formula $\frac{1}{f}f=1$ +\end_inset + +, con lo que para +\begin_inset Formula $A\in\Sigma$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\int_{A}\frac{1}{f}\dif\mu=\int_{A}\dif\sigma\implies\nu(A)=\sigma(A)-\mu(A)=\int_{A}\left(\frac{1}{f}-1\right)\dif\mu\eqqcolon\int_{A}g\dif\mu. +\] + +\end_inset + + +\end_layout + +\begin_layout Section +Problemas variacionales cuadráticos +\end_layout + +\begin_layout Standard + +\series bold +Teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + un +\begin_inset Formula $\mathbb{R}$ +\end_inset + +-espacio de Hilbert, +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + una +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + +-forma bilineal simétrica, acotada y fuertemente positiva, +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + una +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + +-forma lineal continua y +\begin_inset Formula $F:H\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula +\[ +F(x)\coloneqq\frac{1}{2}B(x,x)-b(x), +\] + +\end_inset + +entonces: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $w\in H$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset + + alcanza su mínimo en +\begin_inset Formula $w$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\Vert T\Vert=\Vert T^{*}\Vert$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall y\in H,B(w,y)=b(y)$ \end_inset . -\begin_inset Note Note +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -nproof +\begin_inset Formula $\implies]$ +\end_inset + + \end_layout \end_inset +Fijado +\begin_inset Formula $y\in H$ +\end_inset -\end_layout +, para +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ +\end_inset + + +\begin_inset Formula +\begin{align*} +F(w+ty) & =\frac{1}{2}B(w+ty,w+ty)-b(w+ty)=\\ + & =\frac{1}{2}(B(w,w)+2tB(w,y)+t^{2}B(y,y))-b(w)-tb(y)=\\ + & =F(w)+t(B(w,y)-b(y))+\frac{1}{2}t^{2}B(y,y), +\end{align*} -\begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $G$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $H$ +pero por hipótesis +\begin_inset Formula $F(w)\leq F(w+ty)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $J$ + para todo +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ \end_inset - -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +, luego +\begin_inset Formula $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset --espacios de Hilbert, -\begin_inset Formula $A,B\in L(G,H)$ + dada por +\begin_inset Formula $\varphi(t)\coloneqq F(w+ty)$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $C\in L(H,J)$ + tiene un mínimo en +\begin_inset Formula $t=0$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{K}$ +\begin_inset Formula $0=\varphi'(0)=B(w,y)-b(y)$ \end_inset -: +. \end_layout \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ -\end_inset - -. -\begin_inset Note Note +\begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout -nproof +\begin_inset Formula $\impliedby]$ +\end_inset + + \end_layout \end_inset +Para +\begin_inset Formula $y\in H$ +\end_inset + + y +\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +F(w+ty)=F(w)+\cancel{t(B(w,y)-b(y))}^{=0}+\frac{1}{2}t^{2}B(y,y)\geq F(w). +\] + +\end_inset + \end_layout +\end_deeper \begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(\alpha A)^{*}=\overline{\alpha}A^{*}$ +Existe un único +\begin_inset Formula $w\in H$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open + en el que +\begin_inset Formula $F$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof + alcanza su mínimo. \end_layout +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Como +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es bilineal, simétrica y fuertemente positiva, es un producto escalar sobre + +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + +, y como existen +\begin_inset Formula $c,M>0$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $c\Vert x\Vert^{2}\leq B(x,x)\leq M\Vert x\Vert^{2}$ +\end_inset + +, el producto escalar +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es equivalente al de +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + +, luego +\begin_inset Formula $b$ +\end_inset + + es continua con el producto escalar +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + y por el teorema de Riesz-Fréchet existe un único +\begin_inset Formula $w\in H$ \end_inset + con +\begin_inset Formula $b=B(\cdot,w)=B(w,\cdot)$ +\end_inset +, que es la condición del primer apartado. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A^{**}=A$ +\end_deeper +\begin_layout Section +Convolución y aproximación de funciones +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un abierto +\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + es +\series bold +localmente integrable +\series default + si +\begin_inset Formula $|f|$ +\end_inset + + es integrable en todo compacto +\begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$ +\end_inset + +. + Dadas dos funciones localmente integrables +\begin_inset Formula $f,g:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ +\end_inset + +, definimos su +\series bold +producto de convolución +\series default + como +\begin_inset Formula $(f*g):D\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula +\[ +(f*g)(a)\coloneqq\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)g(a-x)\dif x, +\] + +\end_inset + +donde +\begin_inset Formula $D\coloneqq\{a\in\mathbb{R}^{n}\mid x\mapsto f(x)g(a-x)\text{ integrable}\}$ \end_inset . + Si +\begin_inset Formula $f,g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $f*g$ +\end_inset + + está definida en todo +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + y es continua y uniformemente acotada con +\begin_inset Formula +\[ +\Vert f*g\Vert_{\infty}\leq\Vert f\Vert_{2}\Vert g\Vert_{2}. +\] + +\end_inset + + \begin_inset Note Note status open @@ -1545,11 +3244,12 @@ nproof \end_inset +El producto de convolución es conmutativo, y si +\begin_inset Formula $f*g$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(AC)^{*}=C^{*}A^{*}$ + está definida en casi todo punto, +\begin_inset Formula $\text{sop}(f*g)\subseteq\overline{\text{sop}(f)+\text{sop}(g)}$ \end_inset . @@ -1565,20 +3265,40 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $A$ +\begin_layout Standard +Una +\series bold +sucesión de Dirac +\series default + es una sucesión +\begin_inset Formula $(K_{m}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{\geq0})_{m}$ +\end_inset + + de funciones continuas con +\begin_inset Formula +\[ +\int_{\mathbb{R}^{n}}K_{n}=1 +\] + +\end_inset + +y tal que +\begin_inset Formula +\[ +\forall\varepsilon,\delta>0,\exists n_{0}:\forall n\geq n_{0},\int_{\mathbb{R}^{n}\setminus B(0,\delta)}K_{n}(x)\dif x<\varepsilon. +\] + \end_inset - es invertible, también lo es -\begin_inset Formula $A^{*}$ +Por ejemplo, si +\begin_inset Formula $K:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$ + es continua, no negativa, con soporte compacto e integral 1, entonces +\begin_inset Formula $(x\mapsto m^{n}K(mx))_{m\geq1}$ \end_inset -. + es una sucesión de Dirac. \begin_inset Note Note status open @@ -1591,8 +3311,42 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\Vert AA^{*}\Vert=\Vert A^{*}A\Vert=\Vert A\Vert^{2}$ +\begin_layout Standard +Las sucesiones de Dirac aproximan la +\series bold +delta de Dirac +\series default +, una +\begin_inset Quotes cld +\end_inset + +función extendida +\begin_inset Quotes crd +\end_inset + + con integral 1 que vale 0 en todo punto salvo en el origen en que el valor + es infinito. +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, si +\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + es continua y acotada, la sucesión +\begin_inset Formula $(f*K_{m})_{m}$ +\end_inset + + tiende uniformemente a +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + sobre subconjuntos compactos de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . @@ -1608,33 +3362,45 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\ker A=(\text{Im}A^{*})^{\bot}$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\ker A^{*}=(\text{Im}A)^{\bot}.$ + es localmente integrable y +\begin_inset Formula $g\in{\cal D}^{k}(\mathbb{R}^{n})$ \end_inset +, +\begin_inset Formula $f*g\in{\cal C}^{k}(\mathbb{R}^{n})$ +\end_inset -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + y para +\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$ +\end_inset + con +\begin_inset Formula $\sum_{i}\alpha_{i}\leq k$ \end_inset + es +\begin_inset Formula +\[ +\frac{\partial^{|\alpha|}(f*g)}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}=f*\left(\frac{\partial^{|\alpha|}g}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\right), +\] -\end_layout +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $(\ker A)^{\bot}=\overline{\text{Im}A^{*}}$ +con lo que +\begin_inset Formula $f*g$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $(\ker A^{*})^{\bot}=\overline{\text{Im}A}$ + es una regularización de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset + + a través de una función suave +\begin_inset Formula $g$ \end_inset . @@ -1651,23 +3417,31 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -Ejemplos: -\end_layout +Como +\series bold +teorema +\series default +, dado un abierto +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -En -\begin_inset Formula $\ell^{2}$ +, +\begin_inset Formula ${\cal D}(G)$ \end_inset -, el adjunto de -\begin_inset Formula $S_{\text{r}}$ + es denso en +\begin_inset Formula $(C_{c}(G),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $S_{\text{l}}$ + y en +\begin_inset Formula $L^{p}(G)$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$ \end_inset - y viceversa. +. \begin_inset Note Note status open @@ -1680,21 +3454,37 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $H$ +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + abierto y +\begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$ \end_inset - es un espacio de Hilbert y -\begin_inset Formula $K\in{\cal L}(H)$ +, si para todo +\begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$ \end_inset - es un operador de rango finito dado por -\begin_inset Formula $K(x)=\sum_{i=1}^{n}\langle x,u_{i}\rangle v_{i}$ + es +\begin_inset Formula +\[ +\int_{G}f\psi=0 +\] + +\end_inset + +entonces +\begin_inset Formula $f=0$ +\end_inset + + en casi todo punto, y en particular, si +\begin_inset Formula $f$ \end_inset -, su adjunto es de rango finito dado por -\begin_inset Formula $K^{*}(x)=\sum_{i=1}^{n}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}$ + es continua, +\begin_inset Formula $f=0$ \end_inset . @@ -1710,109 +3500,163 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $H$ +\begin_layout Section +Principio de Dirichlet +\end_layout + +\begin_layout Standard +Dado un abierto +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset - es un espacio de Hilbert con base -\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ +, +\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(G)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ + es +\series bold +armónica +\series default + en +\begin_inset Formula $G$ \end_inset - es un operador diagonal con -\begin_inset Formula $A(e_{i})\coloneqq\lambda_{i}e_{i}$ + si +\begin_inset Formula $\triangle u\coloneqq\nabla^{2}u=0$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $\lambda_{i}$ + en todo punto de +\begin_inset Formula $G$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $A^{*}$ +. + Dada +\begin_inset Formula $g\in{\cal C}(S_{\mathbb{C}})$ +\end_inset + +, el +\series bold +problema de Dirichlet +\series default + consiste en encontrar +\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(\overline{B_{X}})$ \end_inset - es un operador diagonal con -\begin_inset Formula $A^{*}(e_{i})=\overline{\lambda_{i}}e_{i}$ + armónica con +\begin_inset Formula $u|_{S_{\mathbb{C}}}=g$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open + Para un abierto +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +, llamamos +\begin_inset Formula ${\cal C}^{m}(\overline{G})$ +\end_inset + al conjunto de funciones +\begin_inset Formula $u:\overline{G}\to\mathbb{R}$ \end_inset + con +\begin_inset Formula $u|_{G}\in{\cal C}^{m}(G)$ +\end_inset -\end_layout + para las que las derivadas parciales de orden +\begin_inset Formula $m$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $K\in{\cal L}(L^{2}([a,b]))$ + de +\begin_inset Formula $u$ \end_inset - es el operador multiplicación por -\begin_inset Formula $g\in L^{\infty}([a,b])$ + en +\begin_inset Formula $G$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $K^{*}$ + admiten prolongación continua a +\begin_inset Formula $\overline{G}$ \end_inset - es el operador multiplicación por -\begin_inset Formula $\overline{g}$ +. + Escribimos +\begin_inset Formula $\partial_{j}u\coloneqq\frac{\partial u}{\partial j}$ \end_inset . -\begin_inset Note Note +\end_layout + +\begin_layout Standard +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -nproof + + +\backslash +begin{samepage} \end_layout \end_inset +Dados un abierto +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset + + acotado y no vacío, +\begin_inset Formula $f:G\to\mathbb{R}$ +\end_inset -\end_layout + y +\begin_inset Formula $g:\partial G\to\mathbb{R}$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $H$ +, el +\series bold +problema de valores frontera para la ecuación de Poisson +\series default + consiste en encontrar +\begin_inset Formula $u:\overline{G}\to\mathbb{R}$ \end_inset - es un espacio de Hilbert separable con base hilbertiana -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in I}$ + tal que +\begin_inset Formula $-\triangle u|_{G}=f$ \end_inset y -\begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ +\begin_inset Formula $u|_{\partial G}=g$ \end_inset - se expresa en dicha base como -\begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{I\times I}$ +, y el +\series bold +problema generalizado de valores frontera +\series default + consiste en encontrar +\begin_inset Formula $u:\overline{G}\to\mathbb{R}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $A^{*}$ + con +\begin_inset Formula $u|_{\partial G}=g$ \end_inset - se expresa en dicha base como -\begin_inset Formula $(\overline{a_{ji}})\in\mathbb{K}^{I\times I}$ + y +\begin_inset Formula +\[ +\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\frac{\partial v}{\partial x_{j}}\dif x\int_{G}fv. +\] + \end_inset -. -\begin_inset Note Note + +\begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout -nproof + + +\backslash +end{samepage} \end_layout \end_inset @@ -1820,24 +3664,29 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $K\in{\cal L}(L^{2}([a,b]))$ +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset - es el operador integral con núcleo -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ + es un abierto acotado no vacío, +\begin_inset Formula $f\in{\cal C}(\overline{G})$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $K^{*}$ + y +\begin_inset Formula $g\in{\cal C}(\partial G)$ \end_inset - es el operador integral con núcleo -\begin_inset Formula $k^{*}(t,s)\coloneqq\overline{k(s,t)}$ +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +Una +\begin_inset Formula $w\in{\cal C}^{2}(\overline{G})$ \end_inset -. + es solución del problema de valores frontera para la ecuación de Poisson + y sólo si lo es del problema generalizado de valores frontera. \begin_inset Note Note status open @@ -1852,22 +3701,23 @@ nproof \begin_layout Enumerate Si -\begin_inset Formula $H$ +\begin_inset Formula $w\in{\cal C}^{2}(\overline{G})$ \end_inset - es un espacio de Hilbert, -\begin_inset Formula $M\leq H$ + es solución del problema variacional consistente en encontrar el mínimo + de +\begin_inset Formula $F:\{u\in{\cal C}^{2}(\overline{G})\mid u|_{\partial G}=g\}\to\mathbb{R}$ \end_inset - es cerrado e -\begin_inset Formula $\iota:M\hookrightarrow H$ -\end_inset + dada por +\begin_inset Formula +\[ +F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u(x))^{2}\dif x-\int_{G}fu, +\] - es la inclusión, -\begin_inset Formula $\iota^{*}:H\to M$ \end_inset - es la proyección ortogonal. +entonces es solución de los dos problemas anteriores. \begin_inset Note Note status open @@ -1881,20 +3731,31 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -En general el adjunto no existe en espacios prehilbertianos. - Por ejemplo, -\begin_inset Formula $T:c_{00}\to c_{00}$ +El +\series bold +teorema de integración por partes en varias variables +\series default + afirma que, si +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset - dado por -\begin_inset Formula $T(x)\coloneqq\sum_{n\geq1}\frac{x_{n}}{n}(1,0,\dots)$ + es un abierto, +\begin_inset Formula $u\in{\cal C}^{1}(G)$ \end_inset - no tiene adjunto en -\begin_inset Formula $(c_{00},\langle\cdot,\cdot\rangle_{2})$ + y +\begin_inset Formula $v\in{\cal D}(G)$ \end_inset -. +, +\begin_inset Formula +\[ +\int_{G}u\partial_{j}v=-\int_{G}(\partial_{j}u)v. +\] + +\end_inset + + \begin_inset Note Note status open @@ -1909,112 +3770,129 @@ nproof \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $H$ +\begin_inset Formula $G$ \end_inset - es un espacio de Hilbert, -\begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ + es un abierto de +\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset - es -\series bold -autoadjunto -\series default - o -\series bold -hermitiano -\series default - si -\begin_inset Formula $A^{*}=A$ + y +\begin_inset Formula $u,w\in L^{2}(G)$ \end_inset -. - Si -\begin_inset Formula $A,B\in{\cal L}(H)$ +, +\begin_inset Formula $w$ \end_inset - son autoadjuntos: -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\Vert A\Vert=\sup_{x\in\overline{B_{H}}}|\langle Ax,x\rangle|=\sup_{x\in S_{H}}|\langle Ax,x\rangle|$ + es la +\series bold +derivada generalizada +\begin_inset Formula $j$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +-ésima +\series default + de +\begin_inset Formula $u$ +\end_inset +, +\begin_inset Formula $w=\partial_{j}u$ \end_inset +, si +\begin_inset Formula +\[ +\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}u\partial_{j}v=-\int_{G}wv, +\] -\end_layout +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Los valores propios de -\begin_inset Formula $A$ +y para +\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$ \end_inset - son reales. -\begin_inset Note Note -status open + llamamos +\begin_inset Formula $D^{\alpha}u\coloneqq\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof +. + \end_layout +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset + abierto, +\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ +\end_inset -\end_layout - -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\forall x\in H,\langle Ax,x\rangle=0\implies A=0$ + y +\begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open +, llamamos +\series bold +espacio de Sobolev +\series default + a +\begin_inset Formula +\[ +W^{k,p}(G)\coloneqq\{u\in L^{p}(G)\mid\forall\alpha\in\mathbb{N}^{n},(|\alpha|\leq k\implies\exists D^{\alpha}f\in L^{p}(G))\}. +\] -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +\end_inset +Escribimos +\begin_inset Formula $W^{k}(G)\coloneqq W^{k,2}(G)$ \end_inset +, y generalmente consideramos el espacio de Sobolev +\begin_inset Formula $W^{1}(G)$ +\end_inset +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $H=\ker A\oplus\overline{\text{Im}A}$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open + es abierto, definimos la relación de equivalencia en +\begin_inset Formula $G\to\mathbb{R}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + como +\begin_inset Formula $f\sim g\iff\{x\in G\mid f(x)\neq g(x)\}\text{ es de medida nula}$ +\end_inset +, y +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{1,2}:W^{1}(G)/\sim\to\mathbb{R}$ \end_inset + dada por +\begin_inset Formula +\[ +\langle\overline{u},\overline{v}\rangle_{1,2}\coloneqq\int_{G}\left(uv+\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)\right) +\] -\end_layout +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A+B$ +es un producto escalar en +\begin_inset Formula $W^{1}(G)/\sim$ \end_inset - es autoadjunto, y -\begin_inset Formula $AB$ + que lo convierte en un espacio de Hilbert. + Identificamos +\begin_inset Formula $W^{1}(G)$ \end_inset - lo es si y sólo si -\begin_inset Formula $AB=BA$ + con +\begin_inset Formula $W^{1}(G)/\sim$ \end_inset . @@ -2031,23 +3909,28 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $_{\mathbb{C}}H$ +Llamamos +\begin_inset Formula $H_{0}^{1}(G)$ \end_inset - es un espacio de Hilbert y -\begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ + al espacio de Hilbert obtenido como la clausura de +\begin_inset Formula ${\cal D}(G)$ \end_inset -: -\end_layout + en +\begin_inset Formula $W^{1}(G)$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A$ +, que en general es un subespacio propio de +\begin_inset Formula $W^{1}(G)$ +\end_inset + + pero es igual a +\begin_inset Formula $W^{1}(G)$ \end_inset - es autoadjunto si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x\in H,\langle Ax,x\rangle\in\mathbb{R}$ + si +\begin_inset Formula $G=\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . @@ -2063,157 +3946,171 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ +\end_inset -\backslash -Existen únicos -\begin_inset Formula $\text{Re}A,\text{Im}A\in{\cal L}(H)$ + es un abierto acotado no vacío y +\begin_inset Formula $u\in W^{1}(G)$ \end_inset - autoadjuntos, la -\series bold -parte real -\series default - y la +, \series bold -imaginaria -\series default - de -\begin_inset Formula $A$ -\end_inset -, con -\begin_inset Formula $A=\text{Re}A+\text{i}\text{Im}A$ +\begin_inset Formula $u$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout - + se anula en la frontera de +\begin_inset Formula $G$ \end_inset + en sentido generalizado +\series default +, +\begin_inset Formula $u=0$ +\end_inset -\end_layout + en +\begin_inset Formula $\partial G$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\llbracket A\rrbracket\coloneqq\sup_{x\in S_{H}}|\langle Ax,x\rangle|$ +, si +\begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset - es una norma en -\begin_inset Formula ${\cal L}(H)$ +, y para +\begin_inset Formula $f,g\in W^{1}(G)$ \end_inset - equivalente a la usual. -\end_layout +, +\series bold -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $H$ +\begin_inset Formula $f=g$ \end_inset - es un espacio de Hilbert con base -\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ + en +\begin_inset Formula $\partial G$ \end_inset -: + en sentido generalizado +\series default + si +\begin_inset Formula $f-g\in H_{0}^{1}(G)$ +\end_inset + +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -El operador diagonal -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ +\begin_layout Standard + +\series bold +Desigualdad de Poincaré-Friedrichs: +\series default + Si +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $T(e_{i})\eqqcolon\lambda_{i}e_{i}$ + es un abierto acotado no vacío, existe +\begin_inset Formula $C>0$ \end_inset - es autoadjunto si y sólo si -\begin_inset Formula $\{\lambda_{i}\}_{i\in I}\subseteq\mathbb{R}$ + tal que para +\begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset -. -\end_layout +, +\begin_inset Formula +\[ +C\int_{G}u^{2}\leq\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}. +\] -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $H$ \end_inset - es separable y -\begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ + +\series bold +Demostración: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $R\coloneqq\prod_{i}[a_{i},b_{i}]$ \end_inset - se representa respecto a la base como la matriz -\begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{I\times I}$ + con +\begin_inset Formula $G\subseteq R$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $A$ + y +\begin_inset Formula $u\in{\cal D}(G)$ \end_inset - es autoadjunto si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall i,j\in I,a_{ij}=\overline{a_{ji}}$ +, y vemos +\begin_inset Formula $u$ \end_inset -. -\end_layout + como una función en +\begin_inset Formula $R$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -El operador multiplicación por -\begin_inset Formula $g\in L^{\infty}([a,b])$ + que se anula fuera de +\begin_inset Formula $G$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ + y con valor indefinido en +\begin_inset Formula $\partial G$ \end_inset - es autoadjunto si y sólo si -\begin_inset Formula $g(t)$ +, para +\begin_inset Formula $x\in R$ \end_inset - es real para casi todo -\begin_inset Formula $t\in[a,b]$ +, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +(u(x))^{2} & =\left(\int_{a_{n}}^{x_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{a_{n}}^{x_{n}}\dif t\right)\left(\int_{a_{n}}^{x_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t\right)\leq\\ + & \leq(b_{n}-a_{n})\int_{a_{n}}^{b_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t, +\end{align*} + \end_inset -. -\end_layout +luego +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\int_{G}u^{2} & =\int_{R}u^{2}\leq\int_{a_{1}}^{b_{1}}\cdots\int_{a_{n}}^{b_{n}}(b_{n}-a_{n})\int_{a_{n}}^{b_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t\dif x_{n}\cdots\dif x_{1}=\\ + & =(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{a_{1}}^{b_{1}}\cdots\int_{a_{n}}^{b_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t\dif x_{n-1}\cdots\dif x_{1}=\\ + & =(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{R}(\partial_{n}u)^{2}\dif x\leq(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{R}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}\dif x=(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}\dif x. +\end{align*} -\begin_layout Enumerate -El operador integral con núcleo -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset - en -\begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ +Para +\begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset - es autoadjunto si y sólo si -\begin_inset Formula $k(t,s)=\overline{k(s,t)}$ +,existe una sucesión +\begin_inset Formula $\{u_{m}\}_{m}\subseteq{\cal D}(G)$ \end_inset - para casi todo -\begin_inset Formula $(s,t)\in[a,b]\times[a,b]$ + con +\begin_inset Formula $\lim_{m}\Vert u-u_{m}\Vert_{1,2}=0$ \end_inset -. -\end_layout + y por tanto +\begin_inset Formula $\lim_{m}\Vert u-u_{m}\Vert_{2}=\lim_{m}\Vert\partial_{j}u-\partial_{j}u_{m}\Vert_{2}=0$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Una proyección ortogonal -\begin_inset Formula $P:H\to H$ +, y tomando límites y usando que la norma +\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}\leq\Vert\cdot\Vert_{1,2}$ \end_inset - sobre un subespacio cerrado es autoadjunto. -\begin_inset Note Note -status open + y por tanto es continua en +\begin_inset Formula $W^{1}(G)$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +, +\begin_inset Formula +\[ +C\int_{G}u^{2}-\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}=C\Vert u\Vert_{2}^{2}-\sum_{j}\Vert\partial_{j}u\Vert_{2}^{2}=\lim_{m}\left(C\Vert u_{m}\Vert_{2}^{2}-\sum_{j}\Vert\partial_{j}u_{m}\Vert_{2}^{2}\right)\leq0. +\] \end_inset @@ -2221,205 +4118,255 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - - es un espacio de Hilbert, -\begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ -\end_inset - es \series bold -normal +Principio de Dirichlet: \series default - si -\begin_inset Formula $AA^{*}=A^{*}A$ + Sean +\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,\langle Ax,Ay\rangle=\langle A^{*}x,A^{*}y\rangle$ + un abierto acotado no vacío, +\begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x\in H,\Vert Ax\Vert=\Vert A^{*}x\Vert$ + y +\begin_inset Formula $g\in W^{1}(G)$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open +, +\begin_inset Formula $F:\{u\in W^{1}(G)\mid u-g\in H_{0}^{1}(G)\}\to\mathbb{R}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + dada por +\begin_inset Formula +\[ +F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu +\] \end_inset +alcanza su mínimo en un único punto, que es el único +\begin_inset Formula $u\in\text{Dom}f$ +\end_inset -\end_layout + tal que +\begin_inset Formula +\[ +\forall v\in H_{0}^{1}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv +\] -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $H$ \end_inset - es un espacio de Hilbert complejo, -\begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ +y la única solución en +\begin_inset Formula $\text{Dom}f$ \end_inset - es normal si y sólo si -\begin_inset Formula $\text{Re}A\circ\text{Im}A=\text{Im}A\circ\text{Re}A$ + del problema de valores frontera para la ecuación de Poisson +\begin_inset Formula $-\nabla^{2}u=f$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof \end_layout +\begin_layout Standard + +\series bold +Demostración: +\series default + Para +\begin_inset Formula $u,v\in W^{1}(G)$ \end_inset + definimos +\begin_inset Formula +\begin{align*} +B(u,v) & \coloneqq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v), & b_{0}(v) & \coloneqq\int_{G}fv, & b(v) & \coloneqq b_{0}(v)-B(v,g). +\end{align*} -\end_layout +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Todo operador diagonal es normal. -\end_layout -\begin_layout Enumerate -El operador integral sobre -\begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + + es bilineal y simétrica, y es acotada porque +\begin_inset Formula +\[ +|B(u,v)|=\left|\sum_{j}\int_{G}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)\right|\leq\sum_{j}\left|\int_{G}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)\right|\leq\sum_{j}\Vert\partial_{j}u\Vert_{2}\Vert\partial_{j}v\Vert_{2}\leq n\Vert u\Vert_{1,2}\Vert v\Vert_{1,2}. +\] + +\end_inset + +Por la desigualdad de Poincaré-Friedrichs, existe +\begin_inset Formula $C>0$ \end_inset - con núcleo -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ + tal que, para todo +\begin_inset Formula $v\in H$ \end_inset - es normal si y sólo si +, \begin_inset Formula \[ -\int_{a}^{b}\overline{k(s,t)}k(s,x)\dif s=\int_{a}^{b}k(t,s)\overline{k(x,s)}\dif s +C\int_{G}v^{2}\leq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}v)^{2}, \] \end_inset -para casi todo -\begin_inset Formula $(t,x)\in[a,b]\times[a,b]$ -\end_inset +luego +\begin_inset Formula +\[ +C\Vert v\Vert_{1,2}^{2}=C\left(\int_{G}v^{2}+\sum_{j}(\partial_{j}v)^{2}\right)\leq(1+C)\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}v)^{2}=(1+C)B(v,v) +\] -. -\begin_inset Note Note -status open +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +y +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset + es fuertemente positiva. + Además, +\begin_inset Formula $b_{0}$ \end_inset + es lineal y es acotada por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, y como además + +\begin_inset Formula $B$ +\end_inset -\end_layout + es bilineal y acotada, +\begin_inset Formula $b_{0}$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Una -\series bold -proyección -\series default - en un espacio normado -\begin_inset Formula $X$ + es lineal acotada y se dan las condiciones del teorema principal de los + problemas variacionales cuadráticos. + Ahora bien, si +\begin_inset Formula $w\coloneqq u-g\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset - es un operador -\begin_inset Formula $X\to X$ +, +\begin_inset Formula +\begin{multline*} +\frac{1}{2}B(w,w)-b(w)=\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}(u-g))^{2}-\int_{G}f(u-g)+\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}(u-g))(\partial_{j}(g))=\\ +=\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}(u-g))(\partial_{j}(u+g))-\int_{G}f(u-g)=\\ +=\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu+\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}g)^{2}+\int_{G}fg, +\end{multline*} + \end_inset - idempotente. - Si -\begin_inset Formula $H$ +luego minimizar +\begin_inset Formula $F$ \end_inset - es un espacio de Hilbert y -\begin_inset Formula $P$ + equivale a minimizar +\begin_inset Formula $\frac{1}{2}B(w,w)-b(w)$ \end_inset - es una proyección continua no nula en -\begin_inset Formula $X$ +, y además +\begin_inset Formula +\begin{multline*} +B(w,v)=b(v)\iff B(u,v)-B(g,v)=b_{0}(v)-B(v,g)\iff B(u,v)=b_{0}(v)\iff\\ +\iff\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv. +\end{multline*} + \end_inset -, -\begin_inset Formula $P$ +Para la última parte, si +\begin_inset Formula $u_{0}$ \end_inset - es una proyección ortogonal si y sólo si -\begin_inset Formula $\Vert P\Vert=1$ + cumple esta última fórmula para todo +\begin_inset Formula $v\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\text{Im}P=(\ker P)^{\bot}$ +, por integración por partes, +\begin_inset Formula +\[ +0=\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u_{0})(\partial_{j}v)-\int_{G}fv=-\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}\partial_{j}u_{0})v-\int_{G}fv=-\int_{G}(\nabla^{2}u_{0}+f)v, +\] + \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\ker P=(\text{Im}P)^{\bot}$ +con lo que +\begin_inset Formula $(\nabla^{2}u_{0}+f)\bot H_{0}^{1}(G)$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $P$ + y, como +\begin_inset Formula ${\cal D}(G)\subseteq H_{0}^{1}(G)$ \end_inset - es autoadjunto, si y sólo si es normal, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x\in H,\langle Px,x\rangle=\Vert Px\Vert^{2}$ + es denso en +\begin_inset Formula $L^{2}(G)$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x\in H,\langle Px,x\rangle\geq0$ +, +\begin_inset Formula $\nabla^{2}u_{0}+f=0$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open +\end_layout -\begin_layout Plain Layout -nproof +\begin_layout Section +Soluciones débiles \end_layout +\begin_layout Standard +Dados +\begin_inset Formula $k,n\in\mathbb{N}$ \end_inset + y +\begin_inset Formula $a_{\alpha}\in\mathbb{K}^{n}$ +\end_inset -\end_layout + para cada +\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Existen proyecciones no ortogonales, como -\begin_inset Formula $p:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ + con +\begin_inset Formula $|\alpha|0$ +\end_inset + + tal que, para +\begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$ \end_inset , -\begin_inset Formula $BTA\in{\cal K}(X,W)$ +\begin_inset Formula $\Vert\psi\Vert_{2}\leq C\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}$ \end_inset -, y en particular -\begin_inset Formula ${\cal K}(X)\coloneqq{\cal K}(X,X)$ +. + Si +\begin_inset Formula $L^{*}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}$ \end_inset - es un ideal de -\begin_inset Formula ${\cal L}(X)$ +, llamando +\begin_inset Formula $\psi(x)\coloneqq0$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open + para +\begin_inset Formula $x\notin G$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +, para +\begin_inset Formula $x\in G$ +\end_inset +, como +\begin_inset Formula $\text{sop}\psi\subseteq G$ \end_inset + es compacto, sea +\begin_inset Formula $m\coloneqq\inf_{x\in G}x_{1}$ +\end_inset -\end_layout +, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\psi(x)^{2} & =\left(\int_{m}^{x_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|\cdot1\dif t\right)\leq\\ + & \leq\int_{m}^{x_{1}}\dif t\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\leq d\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}, +\end{align*} + +\end_inset + +donde +\begin_inset Formula $d$ +\end_inset + + es el diámetro de +\begin_inset Formula $G$ +\end_inset + +, e integrando de nuevo, +\begin_inset Formula +\begin{align*} +\Vert\psi\Vert_{2}^{2} & =\int_{G}\psi(x)^{2}\dif x\leq d\int_{m}^{x_{1}}\int_{-\infty}^{x_{2}}\cdots\int_{-\infty}^{x_{n}}\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\dif x_{n}\cdots\dif x_{1}\leq\\ + & \leq d^{2}\int_{G}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(x)\right|^{2}\dif x=d^{2}\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}^{2}. +\end{align*} + +\end_inset -\begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $T\in{\cal K}(X,Y)$ +\begin_inset Formula $L^{*}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}$ \end_inset -: -\end_layout + para otro +\begin_inset Formula $i$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\text{Im}T$ +, es análogo, y si +\begin_inset Formula $L^{*}=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{|\alpha|}$ \end_inset - es un subespacio separable de -\begin_inset Formula $Y$ +, por inducción, +\begin_inset Formula $\Vert\psi\Vert_{2}\leq d^{|\alpha|}\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open + Para +\begin_inset Formula $L$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + arbitrario basta hacer combinaciones lineales. + Visto esto, sean +\begin_inset Formula $H_{0}\coloneqq({\cal D}(G),\langle\cdot,\cdot\rangle_{L})$ +\end_inset + y +\begin_inset Formula $H$ \end_inset + su compleción, +\begin_inset Formula $L^{*}:H_{0}\to L^{2}(G)$ +\end_inset -\end_layout + es lineal y continuo y por tanto admite una extensión lineal y continua + +\begin_inset Formula $\hat{L}^{*}:H\to L^{2}(G)$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $Y$ +. + Sea ahora +\begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$ \end_inset - es de Hilbert, -\begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}$ + y +\begin_inset Formula $l_{0}:H_{0}\to\mathbb{K}$ \end_inset - es de dimensión infinita con base hilbertiana -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ + dada por +\begin_inset Formula $l_{0}(\psi)\coloneqq\langle\psi,f\rangle_{2}$ \end_inset - y, para -\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ +, +\begin_inset Formula +\[ +|l_{0}(\psi)|=|\langle\psi,f\rangle_{2}|\leq\Vert\psi\Vert_{2}\Vert f\Vert_{2}\leq C\Vert f\Vert_{2}\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}, +\] + \end_inset -, -\begin_inset Formula $P_{n}\in{\cal L}(Y)$ +donde +\begin_inset Formula $C$ \end_inset - es la proyección ortogonal sobre -\begin_inset Formula $\text{span}\{e_{i}\}_{i\leq n}$ + es tal que +\begin_inset Formula $\Vert\psi\Vert_{2}\leq C\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}$ \end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $T=\lim_{n}P_{n}T\in{\cal L}(X,Y)$ + para todo +\begin_inset Formula $C$ +\end_inset + +, de modo que +\begin_inset Formula $l_{0}$ +\end_inset + + es lineal continua por la cota +\begin_inset Formula $C\Vert f\Vert_{2}$ +\end_inset + + y se puede extender a una forma lineal y continua +\begin_inset Formula $l:H\to\mathbb{K}$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\Vert l\Vert\leq C\Vert f\Vert_{2}$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open + Por el teorema de Riesz, existe un único +\begin_inset Formula $\hat{u}\in H$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + con +\begin_inset Formula $l(h)\equiv\langle h,\hat{u}\rangle_{L}$ +\end_inset + + para +\begin_inset Formula $h\in H$ +\end_inset + y además +\begin_inset Formula $\Vert\hat{u}\Vert_{H}=\Vert l\Vert_{H}$ \end_inset +, y tomando +\begin_inset Formula $u\coloneqq\hat{L}^{*}\hat{u}$ +\end_inset -\end_layout +, +\begin_inset Formula $l(h)=\langle\hat{L}^{*}h,\hat{L}^{*}\hat{u}\rangle=\langle\hat{L}^{*}h,u\rangle_{2}$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Así, si -\begin_inset Formula $Y$ +, pero para +\begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$ \end_inset - es de Hilbert, -\begin_inset Formula ${\cal K}(X,Y)$ +, +\begin_inset Formula $l(\psi)=\langle\psi,f\rangle_{2}$ \end_inset - es la clausura en -\begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)$ + y +\begin_inset Formula $\hat{L}^{*}(\psi)=L^{*}\psi$ \end_inset - del conjunto de operadores acotados de rango finito. - Esto no es cierto cuando -\begin_inset Formula $Y$ +, con lo que +\begin_inset Formula $\langle L^{*}\psi,u\rangle_{2}=l(\psi)=\langle\psi,f\rangle_{2}$ \end_inset - es un espacio de Banach arbitrario. -\begin_inset Note Note -status open +, y basta llamar +\begin_inset Formula $K(f)\coloneqq u$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +. + Para la continuidad de +\begin_inset Formula $K$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula +\[ +\Vert K(f)\Vert_{2}=\Vert u\Vert_{2}=\Vert\hat{L}^{*}\hat{u}\Vert_{2}=\Vert\hat{u}\Vert_{H}=\Vert l\Vert_{H}=\sup_{\Vert\psi\Vert_{H}=\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}=1}|l(\psi)|\leq C\Vert f\Vert_{2}. +\] \end_inset \end_layout +\begin_layout Section +Método de Galerkin +\end_layout + \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $G$ +Sean +\begin_inset Formula $M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq\dots\subseteq M_{n}\subseteq\dots$ \end_inset - y + una sucesión de subespacios cerrados de un espacio de Hilbert \begin_inset Formula $H$ \end_inset - son espacios de Hilbert, -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(G,H)$ + con unión densa en +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - es compacto si y sólo si lo es -\begin_inset Formula $T^{*}$ +, +\begin_inset Formula $a:H\times H\to\mathbb{R}$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open + bilineal, simétrica, continua y fuertemente positiva, +\begin_inset Formula $b:H\to\mathbb{R}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + lineal continua, +\begin_inset Formula +\[ +J(x)\coloneqq\frac{1}{2}a(x,x)-b(x) +\] \end_inset - -\end_layout +para +\begin_inset Formula $x\in H$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Con esto: -\end_layout +, +\begin_inset Formula $u\in H$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ + con +\begin_inset Formula $J(u)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ + mínimo y, para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset - son bases hilbertianas respectivas de -\begin_inset Formula $G$ +, +\begin_inset Formula $u_{n}\in M_{n}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $H$ + con +\begin_inset Formula $J(u_{n})$ +\end_inset + + mínimo, de modo que +\begin_inset Formula $a(x,u_{n})=b(x)$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $x\in M_{n}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $T:G\to H$ +\begin_inset Formula $a(x,u)=b(x)$ +\end_inset + + para todo +\begin_inset Formula $x\in H$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Teorema de Galerkin-Ritz: +\series default + +\begin_inset Formula $\lim_{n}u_{n}=u$ \end_inset - es un operador diagonal dado por -\begin_inset Formula $Te_{n}\coloneqq\lambda_{n}f_{n}$ +. +\end_layout + +\begin_deeper +\begin_layout Standard +Para +\begin_inset Formula $x\in M_{n}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $T$ +\begin_inset Formula $a(x,u_{n})=b(x)$ \end_inset - es compacto si y sólo si -\begin_inset Formula $\lim_{n}\lambda_{n}=0$ +, y para +\begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open +, +\begin_inset Formula $a(x,u)=f(x)$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +, luego +\begin_inset Formula $a(x,u-u_{n})=b(x)-b(x)=0$ +\end_inset + para +\begin_inset Formula $x\in M_{n}$ \end_inset +. + Pero +\begin_inset Formula $a$ +\end_inset -\end_layout + es un producto escalar equivalente al de +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -El operador multiplicación por -\begin_inset Formula $g\in L^{\infty}([a,b])$ +, luego +\begin_inset Formula $u-u_{n}\bot M_{n}$ +\end_inset + + y, si +\begin_inset Formula $P_{n}:H\to M_{n}$ \end_inset - es compacto si y sólo si -\begin_inset Formula $g=0$ + es la proyección ortogonal, +\begin_inset Formula $P_{n}(u)=u_{n}$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open + Por el teorema de la proyección, +\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert=\Vert u-P_{n}(u)\Vert=d(u,M_{n})$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +, pero por la densidad es +\begin_inset Formula $d(u,\bigcup_{n}M_{n})=0$ +\end_inset +, y para +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset + existen +\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ +\end_inset -\end_layout + e +\begin_inset Formula $y\in M_{n_{0}}$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $G$ + con +\begin_inset Formula $\Vert u-y\Vert<\varepsilon$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $H$ +, y como la sucesión es creciente, para +\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset - son espacios de Hilbert de dimensión -\begin_inset Formula $\aleph_{0}$ +, +\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert=d(u,M_{n})\leq d(u,M_{n_{0}})\leq\Vert u-y\Vert<\varepsilon$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(G,H)$ +, con lo que +\begin_inset Formula $\lim_{n}u_{n}=u$ \end_inset - se representa en ciertas bases de -\begin_inset Formula $G$ +. +\end_layout + +\end_deeper +\begin_layout Enumerate +Dados +\begin_inset Formula $c,d>0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $H$ + con +\begin_inset Formula $a(x,y)\leq d\Vert x\Vert\Vert y\Vert$ \end_inset - como -\begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ + y +\begin_inset Formula $c\Vert x\Vert^{2}\leq a(x,x)$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}<\infty$ + para todo +\begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset , -\begin_inset Formula $T$ +\begin_inset Formula $c\Vert u\Vert\leq\Vert b\Vert$ \end_inset - es compacto. +. \begin_inset Note Note status open @@ -2899,77 +4985,118 @@ nproof \end_layout \begin_layout Enumerate -El operador integral -\begin_inset Formula $K\in{\cal L}(L^{2}([a,b]))$ -\end_inset - con núcleo -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ +\series bold +Razón de convergencia: +\series default + +\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert\leq\frac{d}{c}d(u,M_{n})$ \end_inset - es compacto, -\begin_inset Formula ${\cal C}([a,b])$ +. +\end_layout + +\begin_layout Enumerate + +\series bold +Estimación del error: +\series default + Si +\begin_inset Formula $\beta\leq J(x)$ \end_inset - es -\begin_inset Formula $K$ + para todo +\begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset --invariante y -\begin_inset Formula $K|_{{\cal C}([a,b])}:({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})\to({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ +, para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset - es compacto. -\begin_inset Note Note -status open + es +\begin_inset Formula $\frac{c}{2}\Vert u-u_{n}\Vert^{2}\leq J(u_{n})-\beta$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof +. \end_layout +\begin_layout Standard +El +\series bold +método de Galerkin +\series default + para resolver un problema de esta forma consiste en tomar en el teorema + anterior los +\begin_inset Formula $M_{n}$ +\end_inset + + de dimensión finita y resolver los sistemas de ecuaciones lineales resultantes, + con matriz de coeficientes simétrica y definida positiva de tamaño +\begin_inset Formula $\dim M_{n}$ \end_inset +. + Tomando adecuadamente las bases de los +\begin_inset Formula $M_{n}$ +\end_inset + se puede conseguir que las matrices tengan muchas entradas nulas. \end_layout \begin_layout Section -Teorema espectral +Bases hilbertianas \end_layout \begin_layout Standard -Como -\series bold -teorema -\series default -, si -\begin_inset Formula $H$ +Sean +\begin_inset Formula $(H_{i})_{i\in I}$ \end_inset - es un + una familia de \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset --espacio de Hilbert de dimensión finita y -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ +-espacios de Hilbert, +\begin_inset Formula $H_{0}\coloneqq\prod_{i\in I}H_{i}$ \end_inset - es autoadjunto: -\end_layout + y +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle:H_{0}\times H_{0}\to[0,+\infty]$ +\end_inset + + dada por +\begin_inset Formula +\[ +\langle x,y\rangle\coloneqq\sum_{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle_{H_{i}}, +\] -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{m}$ \end_inset - son los distintos valores propios de -\begin_inset Formula $T$ +llamamos +\series bold +suma directa hilbertiana +\series default + o +\series bold +suma +\begin_inset Formula $\ell^{2}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $H=\bigoplus_{k=1}^{m}\ker(T-\lambda_{k}I_{H})$ + +\series default + de +\begin_inset Formula $\{H_{i}\}_{i\in I}$ \end_inset -. + al espacio de Hilbert +\begin_inset Formula +\[ +\bigoplus_{i\in I}H_{i}\coloneqq\ell^{2}((H_{i})_{i\in I})\coloneqq(\{x\in H_{0}\mid\langle x,x\rangle<\infty\},\langle\cdot,\cdot\rangle). +\] + +\end_inset + + \begin_inset Note Note status open @@ -2982,37 +5109,45 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate -Existe una base ortonormal -\begin_inset Formula $(e_{k})_{k}$ +\begin_layout Standard +Cada +\begin_inset Formula $H_{i}$ \end_inset - de + es isométricamente isomorfo al subespacio de \begin_inset Formula $H$ \end_inset - formada por vectores propios de -\begin_inset Formula $T$ + de los vectores con todas las coordenadas nulas salvo la +\begin_inset Formula $i$ \end_inset -. -\end_layout +, los +\begin_inset Formula $H_{i}$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $x\in X$ + son mutuamente ortogonales en +\begin_inset Formula $H$ \end_inset , -\begin_inset Formula $Tx=\sum_{k}\mu_{k}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}$ +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + + es la clausura lineal cerrada de los +\begin_inset Formula $H_{i}$ +\end_inset + + y cada +\begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset -, donde -\begin_inset Formula $\mu_{k}$ + se puede expresar de forma única como +\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}x_{i}$ \end_inset - es el valor propio asociado a -\begin_inset Formula $e_{k}$ + con cada +\begin_inset Formula $x_{i}\in H_{i}$ \end_inset . @@ -3020,44 +5155,42 @@ Para \begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $T$ -\end_inset - - es un operador compacto autoadjunto en el espacio de Hilbert \begin_inset Formula $H$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\Vert T\Vert$ + es un +\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset - o -\begin_inset Formula $-\Vert T\Vert$ +-espacio de Hilbert y +\begin_inset Formula $(H_{i})_{i\in I}$ \end_inset - es valor propio de -\begin_inset Formula $T$ + es una familia de subespacios cerrados de +\begin_inset Formula $H$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + mutuamente ortogonales con +\begin_inset Formula $H=\overline{\text{span}\{H_{i}\}_{i\in I}}$ +\end_inset +, entonces +\begin_inset Formula $H$ \end_inset + es isométricamente isomorfo a +\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}H_{i}$ +\end_inset -\end_layout +, e identificamos +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset -\begin_layout Standard -Todo operador normal compacto en un -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ + con +\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}H_{i}$ \end_inset --espacio de Hilbert tiene algún valor propio. +. \begin_inset Note Note status open @@ -3071,209 +5204,268 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ -\end_inset - es compacto en el -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\series bold +Desigualdad de Bessel: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $H$ \end_inset --espacio de Hilbert -\begin_inset Formula $H$ + un espacio prehilbertiano y +\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}\subseteq H$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}\setminus0$ + una familia ortonormal, para +\begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{H})$ +, +\begin_inset Formula +\[ +\sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}\leq\Vert x\Vert^{2}. +\] + \end_inset - es de dimensión finita. -\begin_inset Note Note -status open -\begin_layout Plain Layout -nproof \end_layout +\begin_layout Standard +Para un conjunto +\begin_inset Formula $I$ \end_inset + arbitrario, llamamos +\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)\coloneqq\bigoplus_{i\in I}\mathbb{K}$ +\end_inset +. \end_layout \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $X$ -\end_inset - e -\begin_inset Formula $Y$ +\series bold +Teorema de la base hilbertiana: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - espacios de Banach y -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ + un espacio de Hilbert y +\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}\subseteq H$ \end_inset - compacto, -\begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)$ + una familia ortonormal, +\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}$ \end_inset - es contable, contiene a -\begin_inset Formula $\sigma(T)\setminus\{0\}$ + es ortonormal maximal (por inclusión) si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall x\in H,(\forall i\in I,\langle x,e_{i}\rangle=0\implies x=0)$ \end_inset - y, si es infinito, es una sucesión acotada con a lo sumo un punto de acumulació -n, el 0, y si -\begin_inset Formula $T$ +, si y sólo si es un conjunto total, si y sólo si +\begin_inset Formula $\hat{}:H\to\ell^{2}(I)$ \end_inset - es normal el 0 es punto de acumulación. -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + dada por +\begin_inset Formula $\hat{x}\coloneqq(\langle x,e_{i}\rangle)_{i\in I}$ +\end_inset + es inyectiva, si y sólo si todo +\begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset + admite un +\series bold +desarrollo de Fourier +\series default + +\begin_inset Formula $x=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}$ +\end_inset -\end_layout +, si y sólo si +\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,\langle x,y\rangle=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle\overline{\langle y,e_{i}\rangle}$ +\end_inset -\begin_layout Standard +, si y sólo si todo +\begin_inset Formula $x\in H$ +\end_inset + cumple la \series bold -Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos: +identidad de Parseval \series default - Sean -\begin_inset Formula $H$ +, +\begin_inset Formula $\Vert x\Vert^{2}=\sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}$ \end_inset - un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +, y entonces decimos que +\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ \end_inset --espacio de Hilbert y -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ + es una +\series bold +base hilbertiana +\series default + de +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - compacto normal: + o un +\series bold +sistema ortonormal completo +\series default +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\}$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset - es contable. -\begin_inset Note Note -status open + Entonces +\begin_inset Formula $x\bot\{e_{i}\}_{i\in I}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout +, por lo que si +\begin_inset Formula $x\neq0$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}\cup\{x\}$ +\end_inset + sería ortogonal. +\begin_inset Formula $\#$ \end_inset \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $P_{\lambda}\in{\cal L}(H)$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\iff3]$ \end_inset - es la proyección ortogonal sobre -\begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{H})$ + Sabemos que un +\begin_inset Formula $S\subseteq H$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $T=\sum_{\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T)}\lambda P_{\lambda}$ + es total si y sólo si +\begin_inset Formula $S^{\bot}=0$ \end_inset . -\begin_inset Note Note -status open - -\begin_layout Plain Layout -nproof \end_layout +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\iff4]$ \end_inset + Por ser +\begin_inset Formula $\hat{}$ +\end_inset + lineal. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}=\bigoplus_{\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\}}\ker(T-\lambda1_{H})$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $4\implies5]$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open + +\begin_inset Formula $\widehat{\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}}=\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle\hat{e}_{i}=\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}=\hat{x}$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof +, y por inyectividad +\begin_inset Formula $x=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}$ +\end_inset + +. \end_layout +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $5\implies6]$ \end_inset + +\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\sum_{i,j\in I}\langle\langle x,e_{i}\rangle e_{i},\langle y,e_{j}\rangle e_{j}\rangle=\sum_{i,j\in I}\langle x,e_{i}\rangle\overline{\langle y,e_{j}\rangle}\langle e_{i},e_{j}\rangle=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle\overline{\langle y,e_{j}\rangle}$ +\end_inset +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $H=\ker T\oplus\overline{\text{Im}T}$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $6\implies7]$ \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open + Basta tomar +\begin_inset Formula $x=y$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof +. \end_layout +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $7\implies1]$ \end_inset + Si fuera +\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i}\subsetneq M\subseteq H$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $M$ +\end_inset + + ortonormal, para +\begin_inset Formula $x\in M\setminus\{e_{i}\}_{i}$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $1=\Vert x\Vert^{2}=\sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}=0\#$ +\end_inset +. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Existe una base ortonormal -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in J}$ +\begin_layout Standard + +\series bold +Primer teorema de Riesz-Fischer: +\series default + Si +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - de -\begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}$ + es un espacio prehilbertiano con una familia ortonormal +\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{C}$ +\begin_inset Formula $\hat{}:H\to\mathbb{K}^{I}$ \end_inset - tales que, para -\begin_inset Formula $x\in H$ + viene dada por +\begin_inset Formula $\hat{x}\coloneqq(\langle x,e_{i}\rangle)_{i\in I}$ \end_inset , -\begin_inset Formula $(\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n})_{n\in J}$ +\begin_inset Formula $\hat{}$ \end_inset - es sumable con suma -\begin_inset Formula $Tx$ + es lineal y continua con imagen contenida en +\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$ \end_inset -, y entonces -\begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\}$ + e igual a +\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\forall\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\},|\{n\in J\mid\mu_{n}=\lambda\}|=\dim\ker(T-\lambda1_{H})$ + si +\begin_inset Formula $H$ \end_inset -. + es de Hilbert. \begin_inset Note Note status open @@ -3286,17 +5478,22 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate +\begin_layout Standard Si -\begin_inset Formula $P_{0}$ +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - es la proyección ortogonal sobre -\begin_inset Formula $\ker T$ + es un espacio de Hilbert, todo espacio ortonormal de vectores en +\begin_inset Formula $H$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $\forall x\in H,x=P_{0}x+\sum_{n\in J}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ + se puede completar a una base hilbertiana de +\begin_inset Formula $H$ +\end_inset + +, y en particular todo espacio de Hilbert posee una base hilbertiana y es + isométricamente isomorfo a un +\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$ \end_inset . @@ -3313,33 +5510,16 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - - es un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ -\end_inset - --espacio de Hilbert, -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ -\end_inset - - es compacto autoadjunto si y sólo si hay una familia ortonormal contable - -\begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq H$ +Los espacios de Hilbert +\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$ \end_inset y -\begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}$ -\end_inset - - de modo que -\begin_inset Formula $\forall x\in H,Tx=\sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ +\begin_inset Formula $\ell^{2}(J)$ \end_inset - y 0 es el único punto de acumulación de -\begin_inset Formula $(\mu_{n})_{n}$ + son topológicamente isomorfos si y sólo si +\begin_inset Formula $|I|=|J|$ \end_inset . @@ -3356,313 +5536,270 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard - +Llamamos \series bold -Teorema de alternativa de Fredholm: +dimensión hilbertiana \series default - Sean + de un espacio de Hilbert al cardinal de cualquier base hilbertiana. + +\series bold +Segundo teorema de Riesz-Fischer: +\series default + Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset - un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ -\end_inset - --espacio de Hilbert, -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ -\end_inset - - compacto autoadjunto, -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in J}$ -\end_inset - - una base ortonormal de -\begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}$ -\end_inset - - de modo que -\begin_inset Formula $Tx\eqqcolon\sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ + es de dimensión infinita, +\begin_inset Formula $\dim H=\aleph_{0}\coloneqq|\mathbb{N}|$ \end_inset - para ciertos -\begin_inset Formula $\mu_{n}\in\mathbb{K}$ + si y sólo si +\begin_inset Formula $H\cong\ell^{2}$ \end_inset - e -\begin_inset Formula $y\in H$ +, si y sólo si +\begin_inset Formula $H$ \end_inset -: + es separable. \end_layout -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}\setminus\{\sigma_{\text{p}}(T)\cup\{0\})$ -\end_inset - -, la ecuación -\begin_inset Formula $(\lambda1_{H}-T)x=y$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $1\iff2]$ \end_inset - tiene como única solución -\begin_inset Formula -\[ -x=\frac{1}{\lambda}\left(y+\sum_{n\in J}\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}\right). -\] + Por lo anterior. +\end_layout +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset - + Visto. \end_layout -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Si existe solución -\begin_inset Formula $x\in H$ +\begin_layout Description +\begin_inset Formula $3\implies2]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula -\[ -(\lambda1_{H}-T)x=y\iff\lambda x=Tx+y\iff x=\frac{1}{\lambda}\left(\sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}+y\right), -\] - + Dado +\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq H$ \end_inset -pero entonces -\begin_inset Formula $\langle x,e_{n}\rangle=\frac{1}{\lambda}(\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle+\langle y,e_{n}\rangle)$ + denso, como +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $(\lambda-\mu_{n})\langle x,e_{n}\rangle=\langle y,e_{n}\rangle$ + es de dimensión infinita, existe una subsucesión +\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$ \end_inset -, y como -\begin_inset Formula $\lambda-\mu_{n}\neq0$ + linealmente independiente de +\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset -, podemos sustituir -\begin_inset Formula $\langle x,e_{n}\rangle=\frac{1}{\lambda-\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle$ + con +\begin_inset Formula $\text{span}\{x_{n}\}_{n}=\text{span}\{x_{n_{k}}\}_{k}$ \end_inset - en lo anterior y queda la solución del enunciado. - Queda ver que la serie converge, pero si -\begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)$ +, luego +\begin_inset Formula $\overline{\text{span}\{x_{n_{k}}\}_{k}}=H$ \end_inset - es infinito, -\begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n}\subseteq\sigma_{\text{p}}(T)$ + y el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt nos da una base hilbertiana + numerable de +\begin_inset Formula $H$ \end_inset - es acotado y por tanto lo es -\begin_inset Formula $\left|\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\right|$ -\end_inset +. +\end_layout - y -\begin_inset Formula -\[ -\sum_{n\in J}\left|\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\right|^{2}|\langle y,e_{n}\rangle|^{2}\leq\sup_{n\in J}\left|\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\right|^{2}\sum_{n\in J}|\langle y,e_{n}\rangle|^{2}<\infty. -\] +\begin_layout Standard +Así, si +\begin_inset Formula $Z\leq_{\mathbb{K}}\ell^{2}$ +\end_inset + es cerrado de dimensión infinita, +\begin_inset Formula $Z\cong\ell^{2}$ \end_inset +. +\end_layout +\begin_layout Section +Aproximaciones por polinomios \end_layout -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\}$ +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset -, la ecuación -\begin_inset Formula $(\lambda1_{H}-T)x=y$ + es un intervalo cerrado, llamamos +\begin_inset Formula ${\cal C}(I)$ \end_inset - tiene solución si y sólo si -\begin_inset Formula $y\bot\ker(\lambda1_{H}-T)$ + al conjunto de funciones +\begin_inset Formula $I\to\mathbb{R}$ \end_inset -, en cuyo caso las soluciones son -\begin_inset Formula -\begin{align*} -x & =\frac{1}{\lambda}\left(y+\sum_{\begin{subarray}{c} -n\in J\\ -\mu_{n}\neq\lambda -\end{subarray}}\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}\right)+z, & z & \in\ker(\lambda1_{H}-T). -\end{align*} - + continuas en el interior de +\begin_inset Formula $I$ \end_inset - +. \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Si la ecuación tiene solución -\begin_inset Formula $x$ -\end_inset -, entonces -\begin_inset Formula $y=(\lambda1_{H}-T)x\in\text{Im}(\lambda1_{H}-T)\subseteq\overline{\text{Im}(\lambda1_{H}-T)}=\ker((\lambda1_{H}-T)^{*})^{\bot}=\ker(\lambda1_{H}-T)^{\bot}$ +\series bold +Teorema de Korovkin: +\series default + Sean +\begin_inset Formula $p_{0},p_{1},p_{2}:[a,b]\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset - por ser -\begin_inset Formula $1_{H}$ + dadas por +\begin_inset Formula $p_{k}(t)\coloneqq t^{k}$ \end_inset y -\begin_inset Formula $T$ -\end_inset - - autoadjuntos, y claramente dos soluciones difieren en un vector de -\begin_inset Formula $\ker(\lambda1_{H}-T)$ -\end_inset - -. - Queda ver que, si -\begin_inset Formula $y\in\ker(\lambda1_{H}-T)^{\bot}$ -\end_inset - -, la -\begin_inset Formula $x$ +\begin_inset Formula $(P_{n}:{\cal C}([a,b])\to{\cal C}([a,b]))_{n}$ \end_inset - del enunciado es solución, para lo cual hacemos la misma sustitución que - al principio del primer apartado pero, cuando -\begin_inset Formula $\lambda=\mu_{n}$ + una sucesión de funciones lineales positivas ( +\begin_inset Formula $\forall f\in{\cal C}([a,b]),(f\geq0\implies P_{n}(f)\geq0)$ \end_inset -, en su lugar vemos que -\begin_inset Formula $(\lambda-\mu_{n})\langle x,e_{n}\rangle=\langle y,e_{n}\rangle$ +) con +\begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert P_{n}(p_{k})-p_{k}\Vert_{\infty}=0$ \end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\langle y,e_{n}\rangle=0$ + para +\begin_inset Formula $k\in\{0,1,2\}$ \end_inset -, por lo que excluimos dicho factor de la serie, la cual converge por el - mismo motivo que en el primer apartado y resulta en la solución del enunciado. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Para -\begin_inset Formula $y=0$ +, entonces, para +\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset , -\begin_inset Formula $Tx=y$ -\end_inset - - tiene solución si y sólo si -\begin_inset Formula $y\bot\ker T$ +\begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert P_{n}(f)-f\Vert_{\infty}=0$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\sum_{n\in J}\left|\frac{\langle y,e_{n}\rangle}{\mu_{n}}\right|^{2}<\infty$ -\end_inset +. +\begin_inset Note Note +status open -, en cuyo caso las soluciones son -\begin_inset Formula -\begin{align*} -x & =\sum_{n\in J}\frac{1}{\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}+z, & z & \in\ker T. -\end{align*} +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout \end_inset \end_layout -\begin_deeper \begin_layout Standard -Si la ecuación tiene solución -\begin_inset Formula $x$ + +\series bold +Teorema de Weierstrass: +\series default + El conjunto de polinomios en una variable es denso +\begin_inset Formula $({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $y\in\text{Im}T\subseteq(\ker T)^{\bot}$ +, y en particular +\begin_inset Formula $({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset - y -\begin_inset Formula -\[ -\sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}=Tx=y=\sum_{n\in J}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}, -\] + es separable. +\begin_inset Note Note +status open -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout -con lo que -\begin_inset Formula $\langle x,e_{n}\rangle=\frac{1}{\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle$ \end_inset - para cada -\begin_inset Formula $n$ -\end_inset - y por tanto -\begin_inset Formula $\sum_{n\in J}\left|\frac{\langle y,e_{n}\rangle}{\mu_{n}}\right|^{2}=\Vert x\Vert^{2}<\infty$ +\end_layout + +\begin_layout Standard +Así, para +\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset -, y como -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n}$ +, se puede encontrar una sucesión de polinomios que converja uniformemente + a +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - es base de -\begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}$ +. + Hacerlo con polinomios de interpolación por nodos prefijados no es una + buena estrategia ya que para toda secuencia de nodos de interpolación en + +\begin_inset Formula $[a,b]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $x\in\sum_{n\in J}\frac{1}{\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}+\overline{\text{Im}T}^{\bot}$ +, existe +\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}^{\bot}=\ker T$ + para la que los polinomios de interpolación en dichos nodos no converge + uniformemente a +\begin_inset Formula $f$ \end_inset . - Finalmente, si esta condición se cumple, -\begin_inset Formula $y\in\overline{\text{Im}T}$ -\end_inset +\begin_inset Note Note +status open -, la serie del enunciado converge y -\begin_inset Formula -\[ -T\left(\sum_{n\in J}\frac{1}{\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}+z\right)=\sum_{n\in J}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}+0=y. -\] +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout \end_inset - + Si se hace con nodos equidistantes se da el fenómeno de Runge. \end_layout -\end_deeper \begin_layout Standard -Sea -\begin_inset Formula $A$ + +\series bold +Teorema de Čebyšev: +\series default + Para +\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset - un operador en un espacio de Hilbert -\begin_inset Formula $H$ + y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset -: -\end_layout +, si +\begin_inset Formula $K_{n}\subseteq\mathbb{K}[X]$ +\end_inset -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A$ + es el conjunto de polinomio de grado máximo +\begin_inset Formula $n$ \end_inset - es una isometría si y sólo si -\begin_inset Formula $A^{*}$ +, +\begin_inset Formula $p:K_{n}\mapsto\Vert f-p\Vert_{\infty}$ \end_inset - es inverso por la izquierda de -\begin_inset Formula $A$ + tiene un único mínimo +\begin_inset Formula $p_{n}$ \end_inset -, si y sólo si -\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,\langle Ax,Ay\rangle=\langle x,y\rangle$ +, y +\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$ +\end_inset + + converge uniformemente a +\begin_inset Formula $f$ \end_inset . @@ -3678,27 +5815,52 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate -\begin_inset Formula $A$ +\begin_layout Standard +Un +\series bold +polinomio trigonométrico real +\series default + es una función +\begin_inset Formula $p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset - es un isomorfismo isométrico, si y sólo si es una isometría suprayectiva, - si y sólo si -\begin_inset Formula $A^{*}$ -\end_inset + de la forma +\begin_inset Formula +\[ +p(x)\coloneqq\sum_{n=0}^{m}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)) +\] - es inverso de -\begin_inset Formula $A$ \end_inset -, y entonces decimos que -\begin_inset Formula $A$ +para ciertos +\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\in\mathbb{R}$ \end_inset - es +. + \series bold -unitario +Teorema de Weierstrass: \series default + Si +\begin_inset Formula $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}$ +\end_inset + + es continua con +\begin_inset Formula $f(-\pi)=f(\pi)$ +\end_inset + +, para cada +\begin_inset Formula $\varepsilon>0$ +\end_inset + + existe un polinomio trigonométrico real +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + con +\begin_inset Formula $\Vert f-p\Vert_{\infty}<\varepsilon$ +\end_inset + . \begin_inset Note Note status open @@ -3713,37 +5875,47 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -Sean -\begin_inset Formula $H$ +Para +\begin_inset Formula $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}$ \end_inset - un -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ + integrable y +\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}$ \end_inset --espacio de Hilbert y -\begin_inset Formula $S,T\in{\cal L}(H)$ -\end_inset +, llamamos +\series bold - compactos autoadjuntos, -\begin_inset Formula $\forall\lambda\in\mathbb{K},\dim\ker(T-\lambda1_{H})=\dim\ker(S-\lambda1_{H})$ +\begin_inset Formula $r$ \end_inset - si y sólo si existe -\begin_inset Formula $U\in{\cal L}(H)$ +-ésimo coeficiente de Fourier +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - unitario con -\begin_inset Formula $U^{*}SU=T$ + a +\begin_inset Formula +\[ +\hat{f}(r)\coloneqq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\text{e}^{-\text{i}rt}\dif t, +\] + \end_inset -. -\begin_inset Note Note -status open +y +\series bold +serie de Fourier +\series default + de +\begin_inset Formula $f$ +\end_inset -\begin_layout Plain Layout -nproof -\end_layout + a la serie formal +\begin_inset Formula +\[ +\sum_{r\in\mathbb{Z}}\hat{f}(r)\text{e}^{-\text{i}rt}. +\] \end_inset @@ -3751,47 +5923,76 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -\begin_inset Formula $S,T\in{\cal L}(H)$ +Para +\begin_inset Formula $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}$ \end_inset - en el -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ + integrable y +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset --espacio de Hilbert -\begin_inset Formula $H$ +, llamando +\begin_inset Formula +\begin{align*} +a_{0} & \coloneqq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f, & a_{n} & \coloneqq\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\dif t, & b_{n} & \coloneqq\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\dif t, +\end{align*} + \end_inset - son +la \series bold -simultáneamente diagonalizables +serie de Fourier real \series default - si existe una familia ortonormal -\begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq H$ -\end_inset - - y -\begin_inset Formula $\{\alpha_{n}\}_{n\in J},\{\beta_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{K}$ + de +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - tal que + es \begin_inset Formula \[ -\forall x\in H,\left(Sx=\sum_{n\in J}\alpha_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}\land Tx=\sum_{n\in J}\beta_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}\right). +\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos(nt)+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nt). \] \end_inset -Si -\begin_inset Formula $S$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Como +\series bold +teorema +\series default +, sean +\begin_inset Formula $([-\pi,\pi],\Sigma,\mu)$ +\end_inset + + es el espacio de medida usual en +\begin_inset Formula $[-\pi,\pi]$ +\end_inset + +, +\begin_inset Formula $M_{\mathbb{R}}\coloneqq L_{\mathbb{R}}^{2}([-\pi,\pi],\Sigma,\frac{\mu}{\pi})$ \end_inset y -\begin_inset Formula $T$ +\begin_inset Formula $M_{\mathbb{C}}\coloneqq L_{\mathbb{C}}^{2}([-\pi,\pi],\Sigma,\frac{\mu}{2\pi})$ +\end_inset + +: +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +El +\series bold +sistema trigonométrico +\series default + +\begin_inset Formula $(\text{e}^{\text{i}rt})_{r\in\mathbb{Z}}$ \end_inset - son compactos y autoadjuntos esto equivale a que -\begin_inset Formula $ST=TS$ + es una base hilbertiana de +\begin_inset Formula $M_{\mathbb{C}}$ \end_inset . @@ -3807,24 +6008,15 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Standard - -\series bold -Teorema espectral para operadores compactos normales: -\series default - Si -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - - es un -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $(\cos(nt))_{n\in\mathbb{N}}\star(\sin(nt))_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset --espacio de Hilbert y -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ + es una base hilbertiana de +\begin_inset Formula $M_{\mathbb{R}}$ \end_inset - compacto normal, ocurre lo mismo que en el anterior teorema espectral. +. \begin_inset Note Note status open @@ -3837,29 +6029,17 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $H$ -\end_inset - - es un -\begin_inset Formula $\mathbb{C}$ -\end_inset - --espacio de Hilbert, -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ -\end_inset - - es compacto normal si y sólo si hay una familia ortonormal contable -\begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq H$ +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $f\in M_{\mathbb{C}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{C}$ +, +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - con 0 como único punto de acumulación de modo que -\begin_inset Formula $\forall x\in H,Tx=\sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ + coincide con su serie de Fourier en +\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$ \end_inset . @@ -3875,32 +6055,41 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Standard -Un operador entre -\begin_inset Formula $\mathbb{K}$ +\begin_layout Enumerate +Para +\begin_inset Formula $f\in M_{\mathbb{R}}$ \end_inset --espacios de Hilbert -\begin_inset Formula $T\in{\cal L}(G,H)$ +, +\begin_inset Formula $f$ \end_inset - es compacto si y sólo si hay una familia contable -\begin_inset Formula $\{\nu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}^{+}$ + coincide con su serie de Fourier real en +\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$ \end_inset - con 0 como punto de acumulación, -\begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq G$ +. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout + \end_inset - y -\begin_inset Formula $\{f_{n}\}_{n\in J}\subseteq H$ + +\end_layout + +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula ${\cal F}:M_{\mathbb{C}}\to\ell^{2}(\mathbb{Z})$ \end_inset - tales que -\begin_inset Formula $\forall x\in H,Tx=\sum_{n\in J}\nu_{n}\langle x,e_{n}\rangle f_{n}$ + que asigna a cada función su familia de coeficientes de Fourier +\begin_inset Formula $(\hat{f}(n))_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset -. + es un isomorfismo de espacios de Hilbert. \begin_inset Note Note status open @@ -3913,135 +6102,123 @@ nproof \end_layout -\begin_layout Section -Ecuaciones integrales de Fredholm -\end_layout - \begin_layout Standard -Una +Un \series bold -ecuación integral de Fredholm +peso \series default - es una de la forma + en un intervalo cerrado +\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{R}$ +\end_inset + + es una +\begin_inset Formula $p\in{\cal C}(I)$ +\end_inset + + estrictamente positiva tal que \begin_inset Formula \[ -x(t)-\mu\int_{a}^{b}k(t,s)x(s)\dif s=g(t), +\forall n\in\mathbb{N},\int_{I}|t|^{n}p(t)\dif t<\infty. \] \end_inset -donde -\begin_inset Formula $x,g\in L^{2}([a,b])$ +Entonces +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle:{\cal C}(I)\times{\cal C}(I)\to[-\infty,+\infty]$ \end_inset -, -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ + dada por +\begin_inset Formula +\[ +\langle f,g\rangle\coloneqq\int_{I}f\overline{g}p +\] + \end_inset - y la incógnita es -\begin_inset Formula $x$ +es un producto escalar en +\begin_inset Formula $H_{p}\coloneqq\{f\in{\cal C}(I)\mid\langle f,f\rangle<\infty\}$ \end_inset . - +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +nproof \end_layout -\begin_layout Standard -Un núcleo -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset - es -\series bold -simétrico -\series default - si -\begin_inset Formula $k(t,s)=\overline{k(s,t)}$ -\end_inset - para casi todo -\begin_inset Formula $s,t\in[a,b]$ -\end_inset +\end_layout -. - +\begin_layout Standard +Llamamos \series bold -Teorema de alternativa de Fredholm: +sucesión de polinomios ortonormales \series default - Sean -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ -\end_inset - - un núcleo simétrico, -\begin_inset Formula $K$ -\end_inset - - el operador integral asociado y -\begin_inset Formula $g\in L^{2}([a,b])$ + asociada a +\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ \end_inset -, si -\begin_inset Formula $Kx=\sum_{n\in J}\mu_{j}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ + o al peso +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - para cierta base hilbertiana contable -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in J}$ + en +\begin_inset Formula $I$ \end_inset - de -\begin_inset Formula $\overline{\text{Im}K}$ + a una sucesión +\begin_inset Formula $\{P_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq H_{p}$ \end_inset -, ciertos -\begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}$ + de polinomios con +\begin_inset Formula $\text{span}\{1,t,\dots,t^{n}\}=\text{span}\{P_{0},P_{1},\dots,P_{n}\}$ \end_inset - y todo -\begin_inset Formula $x\in X$ + para cada +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset -, considerando la ecuación integral de Fredholm de arriba, -\begin_inset Formula $x-Kx=g$ +, y entonces, para +\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\mu=0$ +\begin_inset Formula $P_{n}$ \end_inset -, la ecuación tiene como única solución -\begin_inset Formula $x=g$ + es un polinomio de grado +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -. + con coeficientes reales. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +nproof \end_layout -\begin_layout Enumerate -Si -\begin_inset Formula $\frac{1}{\mu}\notin\{\mu_{n}\}_{n}$ \end_inset -, la ecuación tiene como única solución -\begin_inset Formula -\[ -x(t)=g(t)+\mu\left(\sum_{n}\frac{\mu_{n}}{1-\mu\mu_{n}}\left(\int_{a}^{b}g\overline{e_{n}}\right)e_{n}(t)\right), -\] -\end_inset +\end_layout -y existe -\begin_inset Formula $\alpha>0$ +\begin_layout Enumerate +\begin_inset Formula $P_{n}$ \end_inset - que depende solo de -\begin_inset Formula $k$ + es ortogonal en +\begin_inset Formula $H_{p}$ \end_inset - tal que -\begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{2}\leq\alpha\Vert g\Vert_{2}$ + al subespacio de polinomios de grado menor que +\begin_inset Formula $n$ \end_inset . @@ -4058,26 +6235,24 @@ nproof \end_layout \begin_layout Enumerate -Si existe -\begin_inset Formula $n\in J$ +\begin_inset Formula $P_{n}$ \end_inset - con -\begin_inset Formula $\mu_{n}=\frac{1}{\mu}$ + tiene +\begin_inset Formula $n$ \end_inset -, la ecuación tiene solución si y sólo si -\begin_inset Formula $g\bot\ker(\frac{1_{L^{2}([a,b])}}{\mu}-K)$ + raíces distintas en +\begin_inset Formula $(a,b)$ \end_inset -, y entonces las soluciones son -\begin_inset Formula -\begin{align*} -x(t) & =g(t)+\mu\sum_{\begin{subarray}{c} -n\in J\\ -\mu_{n}\neq\frac{1}{\mu} -\end{subarray}}\frac{\mu_{n}}{1-\mu\mu_{n}}\left(\int g\overline{e_{n}}\right)e_{j}+u, & u & \in\ker(\tfrac{1_{L^{2}([a,b])}}{\mu}-K). -\end{align*} +. +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout \end_inset @@ -4085,167 +6260,118 @@ n\in J\\ \end_layout \begin_layout Standard -La convergencia de las series es de media cuadrática, pero en ciertos casos - puede ser uniforme. +Ejemplos: \end_layout -\begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ -\end_inset - - es un núcleo simétrico con -\begin_inset Formula -\[ -\sup_{t\in[a,b]}\int_{a}^{b}|k(t,s)|^{2}\dif s<\infty, -\] +\begin_layout Enumerate +\series bold +Polinomios de Legendre: +\series default + +\begin_inset Formula $I=[-1,1]$ \end_inset - -\begin_inset Formula $K$ +, +\begin_inset Formula $p(t)=1$ \end_inset - es el operador integral asociado y hay una base hilbertiana -\begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in J}$ +, +\begin_inset Formula $P_{n}(t)=\frac{\sqrt{\frac{2n+1}{2}}}{2^{n}n!}\od[n]{(t^{2}-1)^{n}}{t}$ \end_inset - de -\begin_inset Formula $\overline{\text{Im}K}$ -\end_inset +. +\begin_inset Note Note +status open - y -\begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout - y tales que -\begin_inset Formula $Kx=\sum_{n}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ \end_inset -: + \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold -Teorema de Hilbert-Schmidt: +Polinomios de Laguerre: \series default - Para -\begin_inset Formula $x\in L^{2}([a,b])$ -\end_inset - -, -\begin_inset Formula -\[ -\int_{a}^{b}k(t,s)x(s)\dif s=\sum_{n\in J}\mu_{n}\left(\int_{a}^{b}x\overline{e_{n}}\right)e_{n}(t) -\] - -\end_inset - -para casi todo -\begin_inset Formula $t\in[a,b]$ + +\begin_inset Formula $I=[0,\infty)$ \end_inset -, y si -\begin_inset Formula $J$ +, +\begin_inset Formula $p(t)=\text{e}^{-t}$ \end_inset - es numerable la serie converge absoluta y uniformemente en -\begin_inset Formula $[a,b]$ +, +\begin_inset Formula $P_{n}(t)=\frac{\text{e}^{t}}{n!}\od[n]{\text{e}^{-t}t^{n}}{t}$ \end_inset . -\end_layout - -\begin_deeper -\begin_layout Standard -Para la primera parte basta tomar en el teorema anterior un -\begin_inset Formula $\mu\neq0$ -\end_inset +\begin_inset Note Note +status open - tal que -\begin_inset Formula $\frac{1}{\mu}$ -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout - no sea valor propio y despejar. - Para la segunda podemos suponer -\begin_inset Formula $J=(\mathbb{N},\geq)$ \end_inset -, y queremos ver que -\begin_inset Formula -\[ -\sum_{n}\left|\mu_{n}\left(\int_{a}^{b}x\overline{e_{n}}\right)e_{n}(t)\right|=\sum_{n}|\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}(t)| -\] - -\end_inset -es uniformemente de Cauchy en -\begin_inset Formula $[a,b]$ -\end_inset +\end_layout -. - Por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, -\begin_inset Formula -\[ -\sum_{n=p}^{q}|\mu_{n}e_{n}(t)||\langle x,e_{n}\rangle|\leq\sqrt{\sum_{n=p}^{q}|\mu_{n}e_{n}(t)|^{2}\sum_{n=p}^{q}|\langle x,e_{n}\rangle|^{2}}, -\] +\begin_layout Enumerate +\series bold +Polinomios de Hermite: +\series default + +\begin_inset Formula $I=\mathbb{R}$ \end_inset -pero para -\begin_inset Formula $n\in J$ +, +\begin_inset Formula $p(t)=\text{e}^{-t^{2}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $t\in[a,b]$ +, +\begin_inset Formula $P_{n}(t)=\frac{\text{e}^{t^{2}}}{\sqrt[4]{\pi}\sqrt{2^{n}n!}}\od[n]{\text{e}^{-t^{2}}}{t}$ \end_inset -, -\begin_inset Formula -\[ -\mu_{n}e_{n}(t)=K(e_{n})(t)=\int_{a}^{b}k(t,s)e_{k}(s)\dif s=\langle e_{k},\overline{k_{t}}\rangle, -\] +. +\begin_inset Note Note +status open -\end_inset +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout -donde -\begin_inset Formula $k_{t}(s)\coloneqq k(t,s)$ \end_inset -, luego -\begin_inset Formula -\[ -\sqrt{\sum_{n=p}^{q}|\mu_{n}e_{n}(t)|^{2}}=\sqrt{\sum_{n=p}^{q}|\langle e_{n},\overline{k_{t}}\rangle|^{2}}\leq\Vert k_{t}\Vert_{2}\leq\sup_{t\in[a,b]}\Vert k_{t}\Vert_{2}<\infty, -\] -\end_inset +\end_layout -con lo que esto está acotado superiormente por un valor independiente de - -\begin_inset Formula $t$ -\end_inset +\begin_layout Enumerate - y el resultado sale de que -\begin_inset Formula $|\langle x,e_{n}\rangle|^{2}$ +\series bold +Polinomios de Čebyšev: +\series default + +\begin_inset Formula $I=[-1,1]$ \end_inset - tampoco depende de -\begin_inset Formula $t$ +, +\begin_inset Formula $p(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\lim_{p,q}\sum_{n=p}^{q}|\langle x,e_{n}\rangle|^{2}=0$ +, +\begin_inset Formula $P_{n}(t)=\cos(n\arccos t)$ \end_inset -. -\end_layout - -\end_deeper -\begin_layout Enumerate -Las series del teorema de alternativa de Fredholm convergen absoluta y uniformem -ente en -\begin_inset Formula $[a,b]$ +, siendo +\begin_inset Formula $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$ \end_inset . @@ -4262,43 +6388,70 @@ nproof \end_layout \begin_layout Standard -Si -\begin_inset Formula $k\in{\cal C}([a,b]\times[a,b])$ +Una sucesión de polinomios ortonormales asociada a un peso +\begin_inset Formula $p$ \end_inset - es un núcleo simétrico, existen una familia ortonormal contable -\begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{2})$ + en un intervalo compacto es total en +\begin_inset Formula $H_{p}$ \end_inset - y -\begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}$ +, y en particular los polinomios de Legendre forman una base hilbertiana + en +\begin_inset Formula $L^{2}([-1,1]).$ \end_inset - tales que, si -\begin_inset Formula $K$ + +\begin_inset Note Note +status open + +\begin_layout Plain Layout +nproof +\end_layout + \end_inset - es el operador integral asociado a -\begin_inset Formula $k$ + +\end_layout + +\begin_layout Standard +Si +\begin_inset Formula $p$ +\end_inset + + es un peso en +\begin_inset Formula $[a,b]$ \end_inset y -\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ +\begin_inset Formula $a\leq t_{1}<\dots0$ \end_inset -, y entonces las soluciones son -\begin_inset Formula -\begin{align*} -x(t) & =\alpha u_{k}+\sum_{n\in\mathbb{N}\setminus\{k\}}\frac{1}{\nu_{n}-\lambda}\left(\int_{a}^{b}yu_{n}\right)u_{n}(t), & \alpha & \in\mathbb{C}, -\end{align*} - +, +\begin_inset Formula $\left(z\mapsto\sqrt{\frac{n}{\pi}}R^{-n}z^{n-1}\right)_{n}$ \end_inset -donde la serie converge absoluta y uniformemente para -\begin_inset Formula $t\in[a,b]$ + es base hilbertiana de +\begin_inset Formula $A^{2}(D(0,R))$ \end_inset . -- cgit v1.2.3