From 29eb708670963c0ca5bd315c83a3cec8dafef1a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Juan Marín Noguera <juan.marinn@um.es>
Date: Thu, 20 Feb 2020 13:15:34 +0100
Subject: Commit inicial, primer cuatrimestre.

---
 algl/n1.lyx | 3673 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 3673 insertions(+)
 create mode 100644 algl/n1.lyx

(limited to 'algl/n1.lyx')

diff --git a/algl/n1.lyx b/algl/n1.lyx
new file mode 100644
index 0000000..47d85c9
--- /dev/null
+++ b/algl/n1.lyx
@@ -0,0 +1,3673 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
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+\html_math_output 0
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Section
+Cuerpos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Conjunto 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ con dos operaciones, 
+\series bold
+suma
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $+$
+\end_inset
+
+) y 
+\series bold
+producto
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\cdot$
+\end_inset
+
+), tales que 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in K$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad asociativa de la suma: 
+\series default
+
+\begin_inset Formula $a+(b+c)=(a+b)+c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad conmutativa de la suma: 
+\begin_inset Formula $a+b=b+a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Elemento neutro para la suma
+\series default
+ o 
+\series bold
+nulo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists!0\in K:\forall a\in K,0+a=a$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Pongamos que existe otro 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $0'$
+\end_inset
+
+), entonces 
+\begin_inset Formula $0=0+0'=0'$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Inverso para la suma
+\series default
+ u 
+\series bold
+opuesto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in K,\exists!a':a+a'=0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $-a:=a'$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Pongamos que existe otro opuesto 
+\begin_inset Formula $a''$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a'=0+a'=(a''+a)+a'=a''+(a+a')=a''+0=a''$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad asociativa del producto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad conmutativa del producto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\cdot b=b\cdot a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Elemento neutro para el producto
+\series default
+ o 
+\series bold
+unidad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists!1\in K:\forall a\in K,1\cdot a=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Inverso para el producto:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall a\in K\backslash\{0\},\exists!a'':a\cdot a''=1$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $a^{-1}:=\frac{1}{a}:=a''$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Propiedad distributiva:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La congruencia 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}$
+\end_inset
+
+ con operaciones 
+\begin_inset Formula $0+0=1+1=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0+1=1+0=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $0\cdot0=0\cdot1=1\cdot0=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $1\cdot1=1$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo.
+ Siempre existe un cuerpo 
+\begin_inset Formula $F_{p^{n}}$
+\end_inset
+
+, formado por 
+\begin_inset Formula $p^{n}$
+\end_inset
+
+ elementos, donde 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ es primo.
+ Algunas propiedades: 
+\begin_inset Formula $\forall a,b,c\in K$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a+b=a+c\implies b=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0a=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(-a)b=a(-b)=-(ab)$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(-1)a=-a$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $(-a)(-b)=ab$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $ab=0\implies a=0\lor b=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $ab=ac\implies a=0\lor b=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+El cuerpo de los números complejos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si consideramos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
+\end_inset
+
+, obtenemos el cuerpo de los números complejos (
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+).
+ El conjunto de elementos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ con forma 
+\begin_inset Formula $(a,0)$
+\end_inset
+
+ es una copia del cuerpo 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\series bold
+unidad imaginaria
+\series default
+ a 
+\begin_inset Formula $i=(0,1)$
+\end_inset
+
+, de forma que 
+\begin_inset Formula $i^{2}=i\cdot i=(-1,0)=-1$
+\end_inset
+
+.
+ Dado que 
+\begin_inset Formula $(b,0)i=(0,b)$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $(b,0)$
+\end_inset
+
+ es el número real 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+, tenemos 
+\begin_inset Formula $(a,b)=a+bi$
+\end_inset
+
+, lo que denominamos la 
+\series bold
+forma binomial.
+
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+componente real,
+\series default
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ la 
+\series bold
+componente imaginaria.
+
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $z=a+bi$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+conjugado
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\overline{z}=a-bi$
+\end_inset
+
+, de forma que 
+\begin_inset Formula $z=\overline{z}\iff z\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos representar un número complejo 
+\begin_inset Formula $z=a+bi$
+\end_inset
+
+ como un punto del plano, con coordenadas 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+ La distancia del punto al origen de coordenadas, llamada 
+\series bold
+módulo
+\series default
+, es 
+\begin_inset Formula $r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{z\overline{z}}$
+\end_inset
+
+.
+ El ángulo con el eje 
+\begin_inset Formula $OX$
+\end_inset
+
+, llamado 
+\series bold
+argumento
+\series default
+, cumple que 
+\begin_inset Formula $a+bi=r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))$
+\end_inset
+
+.
+ Esta es la 
+\series bold
+forma polar
+\series default
+ o 
+\series bold
+módulo argumental
+\series default
+ del complejo.
+ La multiplicación en forma polar es: 
+\begin_inset Formula $[r(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))][r'(\cos(\alpha')+i\sin(\alpha'))]=rr'(\cos(\alpha+\alpha')+i\sin(\alpha+\alpha'))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+Teorema Fundamental del Álgebra
+\series default
+ nos dice que todo polinomio 
+\begin_inset Formula $P(x)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots+a_{n}X^{n}$
+\end_inset
+
+, con 
+\begin_inset Formula $n\geq1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{i}\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a_{n}\neq0$
+\end_inset
+
+, tiene raíz compleja.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Característica de un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+\forall a\in K,n\in\mathbb{N},na=\underset{n\text{ veces}}{a+a+\cdots+a}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En particular, 
+\begin_inset Formula 
+\[
+n1=\underset{n\text{ veces}}{1+1+\cdots+1}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto, 
+\begin_inset Formula $na=(n1)a$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $n1+m1=(n+m)1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(n1)(m1)=(nm)1$
+\end_inset
+
+ para cualquier cuerpo 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un cuerpo tiene 
+\series bold
+característica cero
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall n>0,n1\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ De lo contrario, se dice que tiene 
+\series bold
+característica 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\series default
+, siendo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ el menor natural tal que 
+\begin_inset Formula $n1=0$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $na=(n1)a\implies na=0$
+\end_inset
+
+.
+ Dado que 
+\begin_inset Formula $ab=0\iff a=0\lor b=0$
+\end_inset
+
+, tenemos que 
+\begin_inset Formula $\exists p,q<n:n=pq\implies0=n1=(p1)(q1)\implies p1=0\lor q1=0$
+\end_inset
+
+, por lo que la característica de un cuerpo es cero o un nº primo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Espacios vectoriales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+espacio vectorial
+\series default
+ sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, o 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial, es una terna 
+\begin_inset Formula $(V,+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ donde 
+\begin_inset Formula $V\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $+$
+\end_inset
+
+ es una operación 
+\begin_inset Formula $V\times V\longrightarrow V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\cdot$
+\end_inset
+
+ es una operación 
+\begin_inset Formula $K\times V\longrightarrow V$
+\end_inset
+
+, tales que 
+\begin_inset Formula $\forall u,v,w\in V,\alpha,\beta\in K$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Suma asociativa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $u+(v+w)=(u+v)+w$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Suma conmutativa:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $u+v=v+u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Vector cero
+\series default
+ o 
+\series bold
+nulo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\exists0_{V}:\forall u\in V,0_{V}+u=u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Opuesto para la suma:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\forall u\in V,\exists u':u+u'=0_{V}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $u':=-u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\alpha\cdot(u+v)=\alpha\cdot u+\alpha\cdot v$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\alpha+\beta)\cdot u=\alpha\cdot u+\beta\cdot u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\alpha\cdot\beta)\cdot u=\alpha\cdot(\beta\cdot u)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $1_{K}\cdot u=u$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+vectores
+\series default
+ a los elementos de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+escalares
+\series default
+ a los de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+ Todo cuerpo es espacio vectorial sobre sí mismo.
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es espacio vectorial sobre 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El plano real 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{2}=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}$
+\end_inset
+
+, con las operaciones 
+\begin_inset Formula $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha(x,y)=(\alpha x,\alpha y)$
+\end_inset
+
+, es un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+ El conjunto 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ de las 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-uplas de elementos de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $K^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}|x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in K\}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial con las operaciones 
+\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})+(y_{1},\dots,y_{n})=(x_{1}+y_{1},\dots,x_{n}+y_{n})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha(x_{1},\dots x_{n})=(\alpha x_{1},\dots,\alpha x_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ También, si 
+\begin_inset Formula $V_{1},\dots,V_{n}$
+\end_inset
+
+ son 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacios vectoriales, el conjunto 
+\begin_inset Formula $V_{1}\times\dots\times V_{n}=\{(v_{1},v_{2},\dots,v_{n})|v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\dots,v_{n}\in V_{n}\}$
+\end_inset
+
+, con operaciones similares, es un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial llamado 
+\series bold
+espacio vectorial producto
+\series default
+ de los 
+\begin_inset Formula $V_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+matriz
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ de tamaño 
+\begin_inset Formula $m\times n$
+\end_inset
+
+ (con 
+\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+) sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es una disposición en 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ filas y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ columnas de 
+\begin_inset Formula $m\cdot n$
+\end_inset
+
+ elementos de 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+.
+ La matriz es 
+\series bold
+cuadrada
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $m=n$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+fila
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $m=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+columna
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $n=1$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos 
+\begin_inset Formula $M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ al conjunto de las matrices 
+\begin_inset Formula $m\times n$
+\end_inset
+
+ sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $M_{n,n}(K)=M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+.
+ Se representan de la siguiente forma:
+\begin_inset Formula 
+\[
+A=\left(\begin{array}{cccc}
+a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
+a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
+\end{array}\right),\,a_{ij}\in K\forall1\leq i\leq m,1\leq j\leq n
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\forall A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\in M_{m,n}(K),A+B=(c_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$
+\end_inset
+
+ para cada elemento de la matriz.
+ También, 
+\begin_inset Formula $\forall\alpha\in K,A\in M_{m,n}(K),\alpha A=(c_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $c_{ij}=\alpha a_{ij}$
+\end_inset
+
+.
+ Con estas operaciones, 
+\begin_inset Formula $M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un 
+\series bold
+polinomio
+\series default
+ en una 
+\series bold
+indeterminada
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ con 
+\series bold
+coeficientes
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ es una expresión de la forma
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dots+a_{n}X^{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Donde 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ es un entero no negativo, 
+\begin_inset Formula $a_{i}\in K\forall i=0,1,\dots n$
+\end_inset
+
+.
+ El conjunto de polinomios sobre 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+ se llama 
+\begin_inset Formula $K(X)$
+\end_inset
+
+ y es un espacio vectorial con las operaciones: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+(a_{0}+\dots+a_{n}X^{n})+(b_{0}+\dots+b_{n}X^{n}) & = & (a_{0}+b_{0})+\dots+(a_{n}+b_{n})X^{n}\\
+\alpha(a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}) & = & \alpha a_{0}+\alpha a_{1}X+\dots+\alpha a_{n}X^{n}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, el conjunto 
+\begin_inset Formula $\mathcal{F}(\mathcal{S},K)=\{f:\mathcal{S}\rightarrow K\}$
+\end_inset
+
+, formado por todas las aplicaciones de 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+, con operaciones 
+\begin_inset Formula $(f+g)(s)=f(s)+g(s)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(\alpha f)(s)=\alpha f(s)$
+\end_inset
+
+, es un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+ Con estas mismas operaciones, el conjunto 
+\begin_inset Formula $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})=\{f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}|f\text{ continua}\}$
+\end_inset
+
+ es un 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Propiedades de los espacios vectoriales: 
+\begin_inset Formula $\forall u,v,w\in V,\alpha,\beta\in K$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $u+v=u+w\implies v=w$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+u+v=u+w\implies(-u)+(u+v)=(-u)+(u+w)=((-u)+u)+v=((-u)+u)+w=v=w
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0u=0_{V}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+0u+0u=(0+0)u=0u=0u+0_{V}\implies0u=0_{V}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\alpha0_{V}=0_{V}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha0_{V}+0_{V}=\alpha0_{V}=\alpha(0_{V}+0_{V})=\alpha0_{V}+\alpha0_{V}\implies\alpha0_{V}=0_{V}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $u\in V,\alpha u=0_{V}\implies\alpha=0\lor u=0_{V}$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha u=\alpha v\implies\alpha=0\lor u=v$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $\alpha u=\beta u\implies\alpha=\beta\lor u=0_{V}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\alpha u=0_{V}\\
+\alpha\neq0
+\end{array}\implies u=(\alpha^{-1}\cdot\alpha)u=\alpha^{-1}(\alpha u)=\alpha^{-1}\cdot0_{V}=0_{V}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\alpha u=\alpha v\\
+\alpha\neq0
+\end{array}\implies\alpha^{-1}(\alpha u)=\alpha^{-1}(\alpha v)=1\cdot u=1\cdot v=u=v
+\]
+
+\end_inset
+
+Para la última demostración, usamos (5):
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+\begin{array}{c}
+\alpha u=\beta u\\
+u\neq0_{V}
+\end{array}\implies0_{V}=\alpha u+(-(\beta u))\overset{(5)}{=}\alpha u+(-\beta)u=(\alpha+(-\beta))u\implies\\
+\implies\alpha+(-\beta)=0\implies\alpha=\beta
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $u\in V,(-\alpha)u=\alpha(-u)=-(\alpha u)$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+(-\alpha)u+\alpha u=(-\alpha+\alpha)u=0u=0_{V}\implies(-\alpha)u=-(\alpha u)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha(-u)+\alpha u=\alpha(-u+u)=\alpha\cdot0_{V}=0_{V}\implies\alpha(-u)=-(\alpha u)
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También podemos llamar 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $0_{V}$
+\end_inset
+
+ si esto no conlleva ambigüedad.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Subespacios vectoriales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $U\subseteq V$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $U\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+) es un 
+\series bold
+subespacio vectorial
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $U\leq V$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\forall u,v\in U,u+v\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\forall u\in U,\alpha\in K,\alpha u\in U$
+\end_inset
+
+.
+ De esta forma 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es también un 
+\begin_inset Formula $K$
+\end_inset
+
+-espacio vectorial.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Los subconjuntos 
+\begin_inset Formula $\{0\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son subespacios vectoriales de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $\{(x_{1},\dots,x_{n})\in K^{n}|x_{1}+\dots+x_{n}=0\}$
+\end_inset
+
+ es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ El conjunto 
+\begin_inset Formula $\mathcal{P}_{n}$
+\end_inset
+
+ de polinomios con coeficientes reales con grado menor o igual a 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, junto con el 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+, es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
+\end_inset
+
+.
+ También lo es 
+\begin_inset Formula $U_{a,b}=\{f\in\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}):f(a)=f(b)\}$
+\end_inset
+
+ respecto de 
+\begin_inset Formula $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Combinaciones lineales.
+ Sistemas de generadores
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $u\in V$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+combinación lineal
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}\in V$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in K:u=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Se dice que es combinación lineal de vectores de 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ (con 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}\subseteq V$
+\end_inset
+
+) si 
+\begin_inset Formula $\exists n\in\mathbb{N},v_{1},\dots,v_{n}\in\mathcal{S}:u=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Los escalares 
+\begin_inset Formula $\alpha_{i}$
+\end_inset
+
+ se llaman 
+\series bold
+coeficientes
+\series default
+ de la combinación.
+ Así, un subconjunto no vacío 
+\begin_inset Formula $U\subseteq V$
+\end_inset
+
+ es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si cualquier combinación lineal de vectores de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ también está en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ es un subconjunto no vacío de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, el conjunto 
+\begin_inset Formula $<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+ de todas las combinaciones lineales de vectores en 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ es el menor subespacio vectorial tal que 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}\subseteq<{\cal S}>$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $u\in\mathcal{S}\implies1\cdot u\in<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $u,v\in<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+, entonces existirán 
+\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{k},v_{1},\dots,v_{l}\in\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots\alpha_{k},\beta_{1},\dots,\beta_{l}\in K$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $u=\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{k}u_{k}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $v=\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{l}+v_{l}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $u+v$
+\end_inset
+
+ también es combinación lineal de vectores en 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ y por tanto está en 
+\begin_inset Formula $<S>$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\alpha\in K$
+\end_inset
+
+, tenemos que 
+\begin_inset Formula $u=\alpha\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha\alpha_{k}u_{k}\in<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+.
+ Finalmente, si 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ que contiene a 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+, como toda combinación de vectores de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ está en 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $<\mathcal{S}>\subseteq U$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un subconjunto 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}\subseteq V$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+sistema de generadores
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $<\mathcal{S}>=V$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+de dimensión finita
+\series default
+ o 
+\series bold
+finitamente generado
+\series default
+ si tiene un sistema de generadores finito.
+ Estas definiciones también son válidas para subespacios vectoriales.
+ 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es el subespacio 
+\series bold
+generado
+\series default
+ por 
+\begin_inset Formula $\mathcal{S}$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $U=<\mathcal{S}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Dependencia e independencia lineal
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula ${\cal S}\subseteq V$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+linealmente independiente
+\series default
+ si la única forma de obtener el vector nulo como combinación lineal de
+ vectores de 
+\begin_inset Formula ${\cal S}$
+\end_inset
+
+ es tomando todos los coeficientes nulos.
+ De lo contrario es 
+\series bold
+linealmente dependiente
+\series default
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\{v\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente si y sólo si 
+\begin_inset Formula $v\neq0$
+\end_inset
+
+, con lo que cualquier conjunto 
+\begin_inset Formula $\{0\}\subseteq{\cal S}$
+\end_inset
+
+ es linealmente dependiente.
+ En 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C_{R}}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{1,i\}$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ con escalares reales) es linealmente independiente, mientras que en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C_{C}}$
+\end_inset
+
+ es linealmente dependiente porque 
+\begin_inset Formula $1+(i)i=0$
+\end_inset
+
+.
+ Un subconjunto de un conjunto linealmente independiente también es linealmente
+ dependiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ con al menos dos vectores es linealmente dependiente si y sólo si alguno
+ de ellos es combinación lineal del resto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Se tiene que existen 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}$
+\end_inset
+
+ no todos nulos con 
+\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}v_{i}=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Suponemos 
+\begin_inset Formula $\alpha_{j}\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{j}v_{j}=-\sum_{i=1,i\neq j}^{m}\alpha_{i}v_{i}=-\alpha_{1}v_{1}-\dots-\alpha_{j-1}v_{j-1}-\alpha_{j+1}v_{j+1}-\dots-\alpha_{m}v_{m}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $v_{j}=-\sum_{i=1,i\neq j}^{m}(\alpha_{j}^{-1}\alpha_{i}v_{i})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $v_{j}$
+\end_inset
+
+ es combinación lineal de 
+\begin_inset Formula $\{v_{i}\}_{1\leq i\leq m}$
+\end_inset
+
+, existen escalares 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\dots,\alpha_{m}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $v_{j}=\alpha_{1}v_{1}\dots,\alpha_{j-1}v_{j-1}+\alpha_{j+1}v_{j+1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=\sum_{i=1,i\neq j}^{m}\alpha_{i}v_{i}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $0=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{j-1}v_{j-1}+(-1)v_{j}+\alpha_{j+1}v_{j+1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Bases.
+ Dimensión
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+base
+\series default
+ de un espacio vectorial es un sistema de generadores linealmente independiente.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\{1\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $K_{K}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\{(1,0,\dots,0),(0,1,0,\dots,0),\dots,(0,0,\dots,0,1)\}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+base canónica
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{1,X,\dots,X^{n},\dots\}$
+\end_inset
+
+ lo es de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
+\end_inset
+
+.
+ Si llamamos 
+\begin_inset Formula $A_{ij}\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ a la matriz con un 1 en el lugar 
+\begin_inset Formula $ij$
+\end_inset
+
+ y 0 en el resto, entonces 
+\begin_inset Formula $\{A_{ij}:1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si y sólo si todo 
+\begin_inset Formula $v\in V$
+\end_inset
+
+ se expresa de modo único como combinación lineal de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Como 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base, es sistema de generadores, por lo que todo vector de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es combinación lineal de vectores de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora, sea 
+\begin_inset Formula $v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}v_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $0=(\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n})-(\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{n}v_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $0=(\alpha_{1}-\beta_{1})v_{1}+\dots+(\alpha_{n}-\beta_{n})v_{n}$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}-\beta_{1}=\dots=\alpha_{n}-\beta_{n}=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+ se expresa de modo único.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es entonces sistema de generadores y queda demostrar que es linealmente
+ dependiente.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{m}\in{\cal B}$
+\end_inset
+
+, como el 0 se representa de modo único, se tiene que si 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0=0v_{1}+\dots+0v_{m}$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{m}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $S=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto linealmente independiente y 
+\begin_inset Formula $u\notin<S>$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $S\cup\{u\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{m},\beta$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}+\beta u=0$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $\beta\neq0$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\beta u=-(\alpha v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m})$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $u=-\beta^{-1}\alpha_{1}v_{1}-\dots-\beta^{-1}\alpha_{m}v_{m}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $u\in<S>$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\beta=0$
+\end_inset
+
+, pero entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{m}v_{m}=0$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{m}=0$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $S\cup\{u\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Todo espacio vectorial 
+\begin_inset Formula $V\neq\{0\}$
+\end_inset
+
+ tiene una base.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+ para espacios finitamente generados.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $V=<u_{1},\dots,u_{m}>$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ el conjunto de subconjuntos 
+\begin_inset Formula ${\cal L}\subseteq\{u_{1},\dots,u_{m}\}$
+\end_inset
+
+ linealmente independientes.
+ Sabemos que 
+\begin_inset Formula ${\cal A}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ porque como 
+\begin_inset Formula $V\neq\{0\}$
+\end_inset
+
+ existe un 
+\begin_inset Formula $u_{i_{0}}\neq0$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $\{u_{i_{0}}\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente.
+ Sea 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{v_{1},\dots,v_{n}\}\in{\cal A}$
+\end_inset
+
+ un elemento de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ con un máximo de vectores, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si es sistema de generadores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $u_{i}$
+\end_inset
+
+ un elemento del conjunto de generadores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $u_{i}\in{\cal B}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $u_{i}\in<{\cal B}>$
+\end_inset
+
+.
+ Si no, entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal B}\cup\{u_{i}\}\subseteq\{u_{1},\dots,u_{m}\}$
+\end_inset
+
+ tiene un elemento más que 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+, que es un elemento de 
+\begin_inset Formula ${\cal A}$
+\end_inset
+
+ con el número máximo de vectores, por lo que 
+\begin_inset Formula ${\cal B}\cup\{u_{i}\}\notin{\cal A}$
+\end_inset
+
+ y será linealmente de
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+pen
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+dien
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+te, pero entonces 
+\begin_inset Formula $u_{i}\in<{\cal B}>$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+.
+ Acabamos de probar que 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{m}\}\subseteq<{\cal B}>$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $V=<u_{1},\dots,u_{m}>\subseteq<{\cal B}>\subseteq V$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $<{\cal B}>=V$
+\end_inset
+
+ y ya hemos demostrado que 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema de Steinitz:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto li
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+ne
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+al
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+men
+\begin_inset ERT
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+
+\backslash
+-
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+te independiente, entonces se pueden sustituir 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ vectores de 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ por los vectores 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ y obtener una nueva base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $m\le n$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Vemos que, como 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente, entonces 
+\begin_inset Formula $v_{1}\neq0$
+\end_inset
+
+, y tenemos que 
+\begin_inset Formula $v_{1}=\alpha_{1}u_{1}+\dots+a_{n}u_{n}$
+\end_inset
+
+ con algún 
+\begin_inset Formula $\alpha_{i}\neq0$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos suponer que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}\neq0$
+\end_inset
+
+, y queremos probar que 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base.
+ Primero probamos que es sistema de generadores: 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}=v_{1}-\alpha_{2}u_{2}-\dots-\alpha_{n}u_{n}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $u_{1}=\alpha_{1}^{-1}v_{1}-\alpha_{1}^{-1}\alpha_{2}u_{2}-\dots-\alpha_{1}^{-1}\alpha_{n}u_{n}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $u_{1}$
+\end_inset
+
+ es combinación lineal de 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $<v_{1},u_{2},\dots,u_{n}>$
+\end_inset
+
+ contiene un sistema de generadores, por lo que 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ Ahora bien, sean 
+\begin_inset Formula $\beta_{1},\dots,\beta_{n}$
+\end_inset
+
+ tales que 
+\begin_inset Formula $\beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{n}u_{n}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+0 & = & \beta_{1}v_{1}+\dots+\beta_{n}u_{n}\\
+ & = & \beta_{1}(\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{n}u_{n})+\beta_{2}u_{2}+\dots+\beta_{n}u_{n}\\
+ & = & \beta_{1}\alpha_{1}u_{1}+(\beta_{1}\alpha_{1}+\beta_{2})u_{2}+\dots+(\beta_{1}\alpha_{n}+\beta_{n})u_{n}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+Por tanto, como 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}\neq0$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\beta_{1}=0$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $\beta_{2}=\dots=\beta_{n}=0$
+\end_inset
+
+ y el nuevo conjunto es también linealmente independiente.
+ De aquí además podemos concluir que todo conjunto de vectores linealmente
+ independiente de un espacio vectorial puede completarse a una base (añadiendo
+ vectores fuera del subespacio generado por este conjunto).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Todas las bases de un espacio vectorial no nulo tienen el mismo número
+ de elementos.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ bases de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}$
+\end_inset
+
+ es linealmente independiente, por el teorema de Steinitz tenemos que 
+\begin_inset Formula $m\leq n$
+\end_inset
+
+.
+ Análogamente, como 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ también lo es, entonces 
+\begin_inset Formula $n\leq m$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $m=n$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+dimensión
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\dim_{K}(V)$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $\dim(V)$
+\end_inset
+
+) como el número de elementos de cualquier base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $V=\{0\}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\dim(V)=0$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ no es finitamente generado, entonces 
+\begin_inset Formula $\dim_{K}(V)=\infty$
+\end_inset
+
+.
+ Por ejemplo, 
+\begin_inset Formula $\dim_{K}(K)=1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\dim_{K}(K^{n})=n$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\dim(M_{m,n}(K))=mn$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\dim(\mathbb{R}[X])=\infty$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $\dim(V)=n$
+\end_inset
+
+ entonces:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo conjunto linealmente independiente de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ vectores es una base.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Consecuencia del teorema de Steinitz.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Todo conjunto de generadores de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ vectores es una base.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Siempre va a haber una base contenida en él y que va a tener 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ vectores.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Si 
+\begin_inset Formula $U\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ es un subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\dim(U)\leq n$
+\end_inset
+
+ y además 
+\begin_inset Formula $\dim(U)=n\iff U=V$
+\end_inset
+
+.
+\series bold
+
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\series default
+Si 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ entonces es un conjunto de vectores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ linealmente independiente y tiene como máximo 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ elementos, por lo que 
+\begin_inset Formula $\dim(U)\leq\dim(V)$
+\end_inset
+
+.
+ Además, si 
+\begin_inset Formula $\dim(U)=\dim(V)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ tiene 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ elementos y, por la primera propiedad, también es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $U=<{\cal B}'>=V$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos el 
+\series bold
+rango
+\series default
+ de un conjunto de vectores como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\text{rang}(\{u_{1},\dots,u_{m}\})=\dim(<u_{1},\dots,u_{m}>)
+\]
+
+\end_inset
+
+Así, si 
+\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{m}\}\subseteq V$
+\end_inset
+
+, es fácil comprobar que:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{j},\dots,v_{m}\})=\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{j},\dots,v_{i},\dots,v_{m}\})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\alpha\neq0\implies\text{rang}(\{v_{1},\dots v_{i},\dots,v_{m}\})=\text{rang}(\{v_{1},\dots,\alpha v_{i},\dots,v_{m}\})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{j},\dots,v_{m}\})=\text{rang}(\{v_{1},\dots,v_{i}+\alpha v_{j},\dots,v_{j},\dots,v_{m}\})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una forma de determinar el rango de un conjunto de vectores es ir haciendo
+ estas operaciones y eliminando posibles vectores nulos hasta encontrar
+ un conjunto linealmente independiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Operaciones elementales.
+ Matrices escalonadas.
+ Método Gauss-Jordan
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En una matriz 
+\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+, a intercambiar dos columnas, multiplicar una fila por un 
+\begin_inset Formula $0\neq\alpha\in K$
+\end_inset
+
+ o añadir una fila a otra multiplicada por un 
+\begin_inset Formula $\alpha\in K$
+\end_inset
+
+ se les llama 
+\series bold
+operaciones elementales por filas
+\series default
+.
+ Las 
+\series bold
+operaciones elementales por columnas
+\series default
+ se definen de forma análoga.
+ Si 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es la matriz resultante de aplicar una serie de operaciones elementales
+ por filas a 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, entonces el subespacio de 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ generado por las filas de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es el mismo que el generado por las filas de 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una matriz 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ está en forma 
+\series bold
+escalonada por filas
+\series default
+ si las filas nulas, de haberlas, son las últimas, el primer elemento no
+ nulo de cada fila no nula es un 1 (llamado 
+\series bold
+pivote
+\series default
+) y el pivote de cada fila no nula está en una columna posterior a la de
+ cada uno de los pivotes anteriores.
+ En las matrices escalonadas por filas, las filas no nulas son linealmente
+ independientes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si en cada columna que contenga un pivote el resto de elementos son nulos,
+ la matriz está en forma 
+\series bold
+escalonada reducida por filas
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+ Cambiando filas por columnas tendríamos una matriz en forma 
+\series bold
+escalonada por columnas
+\series default
+ o 
+\series bold
+escalonada reducida por columnas
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Método de eliminación Gauss-Jordan:
+\series default
+ Toda matriz se puede llevar a forma escalonada (también escalonada reducida)
+ mediante operaciones elementales por filas.
+ Algoritmo:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Encontrar el primer elemento 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ no nulo de la primera columna no nula e intercambiar su fila con la primera.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Multiplicarla por 
+\begin_inset Formula $a^{-1}$
+\end_inset
+
+ para obtener un pivote.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Hacer operaciones 
+\begin_inset Formula $Fila_{i}-cFila_{1}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ es el elemento de cada fila debajo del pivote.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Repetir el proceso con la matriz resultado de eliminar la primera fila hasta
+ terminar la matriz.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Para obtener la escalonada reducida, hacer operaciones 
+\begin_inset Formula $Fila_{i}-cFila_{k}$
+\end_inset
+
+, donde 
+\begin_inset Formula $i<k$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ es el elemento encima del pivote de la fila 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para obtener la base de un subespacio 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ generado por 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ vectores, escalonamos la matriz 
+\begin_inset Formula $m\times n$
+\end_inset
+
+ cuyas filas son los vectores generadores del subespacio, y los vectores
+ correspondientes a filas no nulas forman una base.
+ Los vectores fila de cada nueva matriz son combinaciones lineales de los
+ iniciales.
+ Para obtener los coeficientes de estas combinaciones, anexamos la matriz
+ identidad a la derecha de la original, separada por una línea, y le aplicamos
+ también las operaciones, sin considerar estos coeficientes como parte de
+ la matriz a escalonar.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Coordenadas.
+ Cambio de base
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las 
+\series bold
+coordenadas
+\series default
+ de un vector 
+\begin_inset Formula $v\in V$
+\end_inset
+
+ respecto a la base 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ son la única 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-upla 
+\begin_inset Formula $[v]_{{\cal B}}=(x_{1},\dots,x_{n})\in K^{n}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $v=x_{1}u_{1}+\dots+x_{n}u_{n}$
+\end_inset
+
+, de forma que dos vectores de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ son iguales si y solo si tienen las mismas coordenadas respecto a una base
+ 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+, y operar con vectores en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ es equivalente a operar en 
+\begin_inset Formula $K^{n}$
+\end_inset
+
+ con las 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-uplas de sus coordenadas, pues 
+\begin_inset Formula $[v+v']_{{\cal B}}=(x_{1}+x'_{1},\dots,x_{n}+x'_{n})=[v]_{{\cal B}}+[v']_{{\cal B}}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $[rv]_{{\cal B}}=(rx_{1},\dots,rx_{n})=r[v]_{{\cal B}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Cambio de coordenadas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'=\{u'_{1},\dots,u'_{n}\}$
+\end_inset
+
+ bases de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y llamamos 
+\begin_inset Formula $[u'_{j}]_{{\cal B}}=(p_{1j},\dots,p_{nj})$
+\end_inset
+
+, de forma que 
+\begin_inset Formula $u'_{j}=\sum_{i=1}^{n}p_{ij}u_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $[v]_{{\cal B}'}=(x'_{1},\dots,x'_{n})$
+\end_inset
+
+, entonces
+\begin_inset Formula 
+\[
+v=x'_{1}u'_{1}+\dots+x'_{n}u'_{n}=\sum_{j=1}^{n}x'_{j}u'_{j}=\sum_{j=1}^{n}x'_{j}\left(\sum_{i=1}^{n}p_{ij}u_{i}\right)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}x'_{j}p_{ij}u_{i}=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}x'_{j}p_{ij}\right)u_{i}
+\]
+
+\end_inset
+
+De forma que si 
+\begin_inset Formula $[v]_{{\cal B}}=(x_{1},\dots,x_{n})$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $x_{i}=\sum_{j=1}^{n}x'_{j}p_{ij}$
+\end_inset
+
+.
+ A las ecuaciones
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left.\begin{array}{ccccccc}
+x_{1} & = & p_{11}x'_{1} & + & \dots & + & p_{1n}x'_{n}\\
+ & \vdots\\
+x_{n} & = & p_{n1}x'_{1} & + & \dots & + & p_{nn}x'_{n}
+\end{array}\right\} 
+\]
+
+\end_inset
+
+las llamamos 
+\series bold
+ecuaciones del cambio de base de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Producto de matrices
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B=(b_{ij})\in M_{n,p}(K)$
+\end_inset
+
+, definimos 
+\begin_inset Formula $AB=(c_{ij})\in M_{m,p}(K)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$
+\end_inset
+
+.
+ En general no es conmutativo, aun si ambos productos se pueden efectuar
+ y fuesen matrices del mismo tamaño.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Asociativa: 
+\series default
+
+\begin_inset Formula $(AB)C=A(BC)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+\begin{array}{c}
+((AB)C)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}(AB)_{ik}C_{kj}=\sum_{k=1}^{p}\sum_{l=1}^{n}A_{il}B_{lk}C_{kj}=\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}A_{il}B_{lk}C_{kj}=\\
+=\sum_{l=1}^{n}A_{il}\left(\sum_{k=1}^{p}B_{lk}C_{kj}\right)=\sum_{l=1}^{n}A_{il}(BC)_{lj}=(A(BC))_{ij}
+\end{array}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Distributiva respecto de la suma:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $A(B+C)=AB+AC$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+La 
+\series bold
+matriz identidad
+\series default
+, 
+\begin_inset Formula $I_{n}=(\delta_{ij})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\delta_{ii}=1$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\delta_{ij}=0$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $i\neq j$
+\end_inset
+
+, satisface 
+\begin_inset Formula $AI_{n}=A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $I_{n}B=B$
+\end_inset
+
+ para cada 
+\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B\in M_{n,m}(K)$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+C_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}\delta_{kj}\underset{\text{(el resto son \ensuremath{=0})}}{=}A_{ij}\delta_{jj}=A_{ij}
+\]
+
+\end_inset
+
+La demostración de que 
+\begin_inset Formula $I_{n}B=B$
+\end_inset
+
+ es análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+invertible
+\series default
+ si existe 
+\begin_inset Formula $B\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $AB=BA=I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ es la 
+\series bold
+matriz inversa
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y se representa 
+\begin_inset Formula $A^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Supongamos que 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ son inversas de 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $C=CI_{n}=C(AB)=(CA)B=I_{n}B=B$
+\end_inset
+
+, por lo que la inversa es única.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $A,B\in M_{n}(K)$
+\end_inset
+
+ son invertibles, entonces 
+\begin_inset Formula $AB$
+\end_inset
+
+ es también invertible, y 
+\begin_inset Formula $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_{n}B=B^{-1}B=I_{n}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Las ecuaciones de cambio de base se pueden expresar como
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left(\begin{array}{c}
+x_{1}\\
+x_{2}\\
+\vdots\\
+x_{n}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
+p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\
+p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn}
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
+x'_{1}\\
+x'_{2}\\
+\vdots\\
+x'_{n}
+\end{array}\right)
+\]
+
+\end_inset
+
+donde las columnas de 
+\begin_inset Formula $(p_{ij})$
+\end_inset
+
+ son los vectores de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ respecto a 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+ Abreviadamente, 
+\begin_inset Formula $X_{{\cal B}}=M_{{\cal B}{\cal B}'}X'_{{\cal B}'}$
+\end_inset
+
+, donde a 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}{\cal B}'}$
+\end_inset
+
+ la llamamos 
+\series bold
+matriz de cambio de base
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula ${\cal B}'$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula ${\cal B}$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos deducir que 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}{\cal B}}=I_{n}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}''{\cal B}}=M_{{\cal B}''{\cal B}'}M_{{\cal B}'{\cal B}}$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $M_{{\cal B}'{\cal B}}M_{{\cal B}{\cal B}'}=M_{{\cal B}{\cal B}'}M_{{\cal B}'{\cal B}}=I_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Así, toda matriz de cambio de base es invertible, y viceversa.
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+¿Buscar la demostración de que si es invertible también es de cambio de
+ base?
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Operaciones con subespacios
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $\{U_{i}\}_{i\in I}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ es un conjunto de subespacios vectoriales de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}U_{i}$
+\end_inset
+
+ también es subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, pero en general 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i\in I}U_{i}$
+\end_inset
+
+ no es subespacio vectorial.
+ Llamamos 
+\series bold
+suma
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+ al subespacio
+\begin_inset Formula 
+\[
+U_{1}+U_{2}=\{u_{1}+u_{2}|u_{1}\in U_{1},u_{2}\in U_{2}\}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Este es el menor subespacio vectorial 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ que contiene a 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Si 
+\begin_inset Formula $u\in U_{1}$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $0\in U_{2}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $u=u+0\in U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+, y viceversa, de modo que 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cup U_{2}\subseteq U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+ y además 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Demostraremos ahora que es un espacio vectorial.
+ Si 
+\begin_inset Formula $v,v'\in U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+, existirán 
+\begin_inset Formula $u_{1},u'_{1}\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{2},u'_{2}\in U_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $v=u_{1}+u_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $v'=u'_{1}+u'_{2}$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $\alpha,\alpha'\in K$
+\end_inset
+
+, se tiene que
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha v+\alpha'v'=\alpha u_{1}+\alpha u_{2}+\alpha'u'_{1}+\alpha'u'_{2}=(\alpha u_{1}+\alpha'u'_{1})+(\alpha u_{2}+\alpha'u'_{2})\in U_{1}+U_{2}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+La 
+\series bold
+fórmula de Grassmann
+\series default
+ o 
+\series bold
+teorema de Grassman
+\series default
+ nos dice que si 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+ son subespacios de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ tiene dimensión finita, entonces 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\dim(U_{1})+\dim(U_{2})=\dim(U_{1}\cap U_{2})+\dim(U_{1}+U_{2})
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración.
+
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t}\}$
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+, que completamos por un lado a la base 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},u_{t+1},\dots,u_{r}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y por otro a la base 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},u_{t+1},\dots,u_{r},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$
+\end_inset
+
+ es sistema de generadores de 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Queda ver que es además linealmente independiente.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Supongamos 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{t}u_{t}+\alpha_{t+1}u_{t+1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}+\beta_{t+1}v_{t+1}+\dots+\beta_{s}v_{s}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}=-\beta_{t+1}v_{t+1}-\dots-\beta_{s}v_{s}\in U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $-\beta_{t+1}v_{t+1}-\dots-\beta_{s}v_{s}=\gamma_{1}u_{1}+\dots+\gamma_{t}u_{t}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\gamma_{1}u_{1}+\dots+\gamma_{t}u_{t}+\beta_{t+1}v_{t+1}+\dots+\beta_{s}v_{s}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Al ser 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$
+\end_inset
+
+ base de 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\beta_{t+1}=\dots=\beta_{s}=0$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}u_{1}+\dots+\alpha_{r}u_{r}=0$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{r}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{r}=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Así, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{t},u_{t+1},\dots,u_{r},v_{t+1},\dots,v_{s}\}$
+\end_inset
+
+ es una familia linealmente independiente y por tanto una base del subespacio
+ 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+, que tendrá dimensión 
+\begin_inset Formula $\dim(U_{1}+U_{2})=r+s-t=\dim(U_{1})+\dim(U_{2})-\dim(U_{1}\cap U_{2})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+ subespacios de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ están en 
+\series bold
+suma directa
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+ Se dice entonces que 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+ es una suma directa y se representa 
+\begin_inset Formula $U_{1}\oplus U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $\dim(U_{1}\oplus U_{2})=\dim(U_{1})+\dim(U_{2})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una suma de subespacios 
+\begin_inset Formula $U_{1}+U_{2}$
+\end_inset
+
+ es directa si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall v\in U_{1}+U_{2},\exists!u_{1}\in U_{1},u_{2}\in U_{2}:v=u_{1}+u_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Llamamos a 
+\begin_inset Formula $u_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{2}$
+\end_inset
+
+ las 
+\series bold
+componentes
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $v$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $u_{1}+u_{2}=u'_{1}+u'_{2}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $u_{1},u'_{1}\in U_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{2},u'_{2}\in U_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $u_{1}-u'_{1}=u'_{2}-u_{2}\in U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $u_{1}-u'_{1}=u'_{2}-u_{2}=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{1}=u'_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $u_{2}=u'_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $u\in U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $u=u+0=0+u$
+\end_inset
+
+, pero como 
+\begin_inset Formula $u$
+\end_inset
+
+ se expresa de modo único como suma de un vector de 
+\begin_inset Formula $U_{1}$
+\end_inset
+
+ y otro de 
+\begin_inset Formula $U_{2}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $u=0$
+\end_inset
+
+, y por tanto 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ subespacio vectorial de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ existe 
+\begin_inset Formula $U'$
+\end_inset
+
+, llamado 
+\series bold
+complementario
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+, tal que 
+\begin_inset Formula $V=U\oplus U'$
+\end_inset
+
+, pues si expandimos la base 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{r}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ a una base 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{r},u_{r+1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $U'=<u_{r+1},\dots,u_{n}>$
+\end_inset
+
+ satisface la condición.
+ El complementario no tiene por qué ser único.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una suma 
+\begin_inset Formula $U_{1}+\dots+U_{k}$
+\end_inset
+
+ es suma directa si todo vector de la suma se expresa de modo único como
+ suma de un vector de cada 
+\begin_inset Formula $U_{i}$
+\end_inset
+
+, lo que ocurre si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall i\in\{1,\dots,k\},U_{i}\cap(\sum_{1\leq j\leq k,j\neq i}U_{j})=\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{k}\in V$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $<u_{1},\dots,u_{k}>=<u_{1}>+\dots+<u_{k}>$
+\end_inset
+
+.
+ Si además son linealmente independientes, entonces 
+\begin_inset Formula $<u_{1},\dots,u_{k}>=<u_{1}>\oplus\dots\oplus<u_{n}>$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $\{u_{1},\dots,u_{n}\}$
+\end_inset
+
+ es base de 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $V=<u_{1}>\oplus\dots\oplus<u_{n}>$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
-- 
cgit v1.2.3