From 29eb708670963c0ca5bd315c83a3cec8dafef1a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Juan Marín Noguera <juan.marinn@um.es>
Date: Thu, 20 Feb 2020 13:15:34 +0100
Subject: Commit inicial, primer cuatrimestre.

---
 cyn/n5.lyx | 2359 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 2359 insertions(+)
 create mode 100644 cyn/n5.lyx

(limited to 'cyn/n5.lyx')

diff --git a/cyn/n5.lyx b/cyn/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..0315b5a
--- /dev/null
+++ b/cyn/n5.lyx
@@ -0,0 +1,2359 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
+\begin_document
+\begin_header
+\save_transient_properties true
+\origin unavailable
+\textclass book
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language spanish
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman "default" "default"
+\font_sans "default" "default"
+\font_typewriter "default" "default"
+\font_math "auto" "auto"
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100 100
+\font_tt_scale 100 100
+\use_microtype false
+\use_dash_ligatures true
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 1
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 1
+\use_minted 0
+\index Index
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\is_math_indent 0
+\math_numbering_side default
+\quotes_style swiss
+\dynamic_quotes 0
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Dos conjuntos son 
+\series bold
+equipotentes
+\series default
+ si existe una aplicación biyectiva entre ellos.
+ Al ser una relación reflexiva, simétrica y transitiva, podemos agrupar
+ a los conjuntos en 
+\begin_inset Quotes cld
+\end_inset
+
+clases de equipotencia
+\begin_inset Quotes crd
+\end_inset
+
+ que llamamos 
+\series bold
+cardinales
+\series default
+, y representamos con 
+\begin_inset Formula $|A|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+infinito
+\series default
+ si existe 
+\begin_inset Formula $B\subsetneq A$
+\end_inset
+
+ equipotente a 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ En caso contrario es 
+\series bold
+finito
+\series default
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es finito, 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ es inyectiva si y sólo si es suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Se 
+\begin_inset Formula $B=\text{Im}f\subseteq A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\hat{f}:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ la restricción a la imagen de 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ Esta es entonces biyectiva, y como 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es finito, el subconjunto 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ no puede ser propio, por lo que es 
+\begin_inset Formula $B=A$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $\text{Im}f=A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Para cualquier 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ se tiene que 
+\begin_inset Formula $f(\{a\})^{-1}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, por lo que existe 
+\begin_inset Formula $g:A\rightarrow A\in\prod_{a\in A}f(\{a\})^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $f(g(a))=a\forall a\in A$
+\end_inset
+
+, es decir, 
+\begin_inset Formula $f\circ g=1_{A}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es inyectiva y, por la implicación anterior, suprayectiva.
+ Si 
+\begin_inset Formula $a_{1},a_{2}\in A$
+\end_inset
+
+ verifican 
+\begin_inset Formula $f(a_{1})=f(a_{2})$
+\end_inset
+
+ entonces existen, por la suprayectividad de 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $b_{1},b_{2}\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g(b_{1})=a_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(b_{2})=a_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto 
+\begin_inset Formula $b_{1}=f(g(b_{1}))=f(a_{1})=f(a_{2})=f(g(b_{2}))=b_{2}$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $a_{1}=g(b_{1})=g(b_{2})=a_{2}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Igualmente, si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ son conjuntos finitos con 
+\begin_inset Formula $|A|=|B|$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $g:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ es inyectiva si y sólo si es suprayectiva.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Al existir una biyección 
+\begin_inset Formula $h:B\rightarrow A$
+\end_inset
+
+, podemos definir 
+\begin_inset Formula $f=h\circ g:A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es inyectiva, 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ también, por lo que 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es suprayectiva y 
+\begin_inset Formula $g=h^{-1}\circ f$
+\end_inset
+
+ también.
+ El recíproco se prueba de forma análoga.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $A\subseteq B$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es infinito, 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ también lo es.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Existe 
+\begin_inset Formula $A_{0}\subsetneq A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f:A_{0}\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ biyectiva.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $B_{0}=A_{0}\dot{\cup}(B\backslash A)\subsetneq B$
+\end_inset
+
+, basta construir una biyección 
+\begin_inset Formula $f':B_{0}\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\in A_{0}\mapsto f(x)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x\in B\backslash A\mapsto x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números naturales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un cardinal es finito si tiene un representante finito.
+ De lo contrario es infinito.
+ Llamamos 
+\series bold
+números naturales
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+) a la colección de cardinales finitos.
+ El 
+\series bold
+axioma del infinito
+\series default
+ afirma que esta colección es un conjunto.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $n=|A|$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+sucesor
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $n^{*}=|A\cup\{x\}|$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\notin A$
+\end_inset
+
+.
+ Tenemos que 
+\begin_inset Formula $n^{*}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, y escribimos 
+\begin_inset Formula $n^{*}=n+1$
+\end_inset
+
+.
+ Podemos entonces definir 
+\begin_inset Formula $\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\sigma(n)=n^{*}$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ es inyectiva pero no suprayectiva y por tanto 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ es infinito.
+ Vemos que 
+\begin_inset Formula $0=|\emptyset|$
+\end_inset
+
+ es el único número natural que no es sucesor de ningún otro.
+ Escribimos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{*}=\mathbb{N}\backslash\{0\}$
+\end_inset
+
+, y entonces podemos definir intuitivamente la aplicación 
+\series bold
+antecesor
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $\hat{\sigma}^{-1}:\mathbb{N}^{*}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos 
+\begin_inset Formula $|A|\leq|B|\iff\exists f:A\rightarrow B\text{ inyectiva}$
+\end_inset
+
+, y vemos que 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{N},\leq)$
+\end_inset
+
+ es bien ordenado.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $n^{*}=\min\{x\in\mathbb{N}|n<x\}$
+\end_inset
+
+ y por tanto, si 
+\begin_inset Formula $a,n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ son tales que 
+\begin_inset Formula $n\leq a\leq n^{*}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $a=n$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $a=n^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $M_{n}=\{x\in\mathbb{N}|n<x\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $a=\min M_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ Sabemos que existen 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ representantes respectivos de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ junto con 
+\begin_inset Formula $f:N\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ inyectiva pero no suprayectiva.
+ Entonces existe 
+\begin_inset Formula $x\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x\notin\text{Im}f$
+\end_inset
+
+.
+ Sea 
+\begin_inset Formula $g:N\cup\{N\}\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $g(b)=f(b)$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $b\in N$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g(N)=x$
+\end_inset
+
+, podemos comprobar que 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ es inyectiva y por tanto 
+\begin_inset Formula $n^{*}\leq a$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $n^{*}=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+principio de inducción en los números naturales
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ cumple que 
+\begin_inset Formula $0\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\in A\implies n^{*}\in A$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $A=\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Esto puede modificarse tomando que para 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, si 
+\begin_inset Formula $k\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $k\leq n\in A\implies n^{*}\in A$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}|n\geq k\}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ La 
+\series bold
+inducción matemática
+\series default
+ es un método de demostración consistente en demostrar la validez de la
+ propiedad 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ y luego probar la validez de 
+\begin_inset Formula $P(n+1)$
+\end_inset
+
+ suponiendo la de 
+\begin_inset Formula $P(n)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+También, dados 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $k\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\forall m\in\mathbb{N},(k\leq m<n\implies m\in A)\implies n\in A$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $\{n\in\mathbb{N}|n\geq k\}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ La aplicación de esto se conoce como 
+\series bold
+inducción matemática fuerte
+\series default
+.
+ El principio de inducción, el del buen orden y el axioma de elección son
+ equivalentes.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo conjunto finito totalmente ordenado está bien ordenado y tiene máximo
+ y mínimo.
+ Por otro lado, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}=\{x\in\mathbb{N}|1\leq x\leq n\}$
+\end_inset
+
+ cumple que 
+\begin_inset Formula $|\mathbb{N}_{n}|=|\{1,\dots,n\}|=n$
+\end_inset
+
+ y por tanto es finito.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El conjunto de números naturales que hemos construido satisface los 
+\series bold
+axiomas de Peano
+\series default
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $0\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\exists\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\text{ inyectiva}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $0\notin\text{Im}\sigma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+Se cumple el principio de inducción.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Cualquier conjunto que cumpla estas condiciones es esencialmente igual a
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, lo que se conoce como 
+\series bold
+unicidad del sistema de Peano
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+suma
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $n+0=n$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n+m^{*}=(n+m)^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta cumple que 
+\begin_inset Formula $(n+1)+m=n+(m+1)$
+\end_inset
+
+, y verifica las propiedades de 
+\series bold
+conmutatividad
+\series default
+, 
+\series bold
+asociatividad
+\series default
+ y 
+\series bold
+cancelación
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $a+c=b+c\implies a=b$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos el 
+\series bold
+producto
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $\cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $n\cdot0=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $n\cdot m^{*}=n\cdot m+n$
+\end_inset
+
+, y escribimos 
+\begin_inset Formula $n\cdot m=nm$
+\end_inset
+
+.
+ Este cumple que 
+\begin_inset Formula $(n+1)m=nm+m$
+\end_inset
+
+, y verifica las propiedades de 
+\series bold
+conmutatividad
+\series default
+, 
+\series bold
+asociatividad
+\series default
+, 
+\series bold
+distributividad
+\series default
+ respecto de la suma y 
+\series bold
+cancelación
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $nm=0\iff n=0\lor m=0$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema
+\series default
+ para la relación del orden y las operaciones aritméticas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\leq b\iff\exists u\in\mathbb{N}:a+u=b$
+\end_inset
+
+; 
+\begin_inset Formula $a\leq a+u\forall u\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $B=\{n\in\mathbb{N}|a+n>b\}$
+\end_inset
+
+ y como 
+\begin_inset Formula $b^{*}\in B$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $B\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, por lo que existe 
+\begin_inset Formula $c:=\min B$
+\end_inset
+
+.
+ Sea entonces 
+\begin_inset Formula $u\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $u^{*}=c$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí, 
+\begin_inset Formula $a+u\leq b<a+u^{*}$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $a+u=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\leq b\implies a+c\leq b+c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a\leq b\implies ac\leq bc$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $a+u=b$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\begin_inset Formula $u=b-a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números enteros
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+números enteros
+\series default
+ al conjunto cociente 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\sim$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula 
+\[
+(a,b)\sim(n,m)\iff a+m=b+n
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Tenemos entonces que 
+\begin_inset Formula $\{(a,0)\}_{a\in\mathbb{N}}\dot{\cup}\{(0,b)\}_{b\in\mathbb{N}^{*}}$
+\end_inset
+
+ es un conjunto irredundante de representantes.
+ Así, si 
+\begin_inset Formula $n\geq m$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in[(n-m,0)]$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $n<m$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in[(0,m-n)]$
+\end_inset
+
+.
+ Denotamos con 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $[(n,0)]$
+\end_inset
+
+ y los identificamos con los naturales, y denotamos con 
+\begin_inset Formula $-n$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $[(0,n)]$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos también 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{+}=\{n\in\mathbb{Z}|0\neq n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{-}=\{-n\in\mathbb{Z}|0\neq n\in\mathbb{N}\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{*}=\mathbb{Z}\backslash\{0\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos 
+\begin_inset Formula $[(a,b)]\leq[(m,n)]\iff a+n\leq b+m$
+\end_inset
+
+, y de aquí que 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{Z},\leq)$
+\end_inset
+
+ es un conjunto totalmente ordenado en el que todo entero tiene predecesor
+ y sucesor.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la 
+\series bold
+suma
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $+:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $[(a,b)]+[(m,n)]=[(a+m,b+n)]$
+\end_inset
+
+.
+ Esta está bien definida y verifica las propiedades conmutativa, asociativa,
+ existencia de 
+\series bold
+neutro
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $0=[(0,0)]$
+\end_inset
+
+ (
+\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},a+0=0$
+\end_inset
+
+) y existencia de 
+\series bold
+opuesto
+\series default
+ o 
+\series bold
+inverso bajo la suma
+\series default
+ (
+\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{Z},\exists a^{\prime}:a+a^{\prime}=0$
+\end_inset
+
+).
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+ de que está bien definida.
+ Sean 
+\begin_inset Formula $a,a',b,b',m,m',n,n'\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $[(a,b)]=[(a',b')]$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $[(m,n)]=[(m',n')]$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $a+b'=b+a'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $m+n'=n+m'$
+\end_inset
+
+, de donde 
+\begin_inset Formula $a+b'+m+n'=b+a'+n+m'$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $(a+m)+(b'+n')=(a'+m')+(b+n)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $[(a+m,b+n)]=[(a'+m',b'+n')]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos el 
+\series bold
+producto
+\series default
+ como 
+\begin_inset Formula $\cdot:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $[(a,b)]\cdot[(m,n)]=[(am+bn,an+bm)]$
+\end_inset
+
+.
+ Este está bien definido y verifica las propiedades conmutativa, asociativa,
+ distributiva respecto a la suma y existencia de neutro 
+\begin_inset Formula $1=[(1,0)]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números racionales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+números racionales
+\series default
+ al conjunto cociente 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^{*}/\sim$
+\end_inset
+
+ con
+\begin_inset Formula 
+\[
+[(a,b)]\sim[(n,m)]\iff am=bn
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Identificamos los enteros con los 
+\begin_inset Formula $[(n,1)]$
+\end_inset
+
+, escribimos 
+\begin_inset Formula $\frac{m}{n}:=[(m,n)]$
+\end_inset
+
+ y denotamos con 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\frac{m}{1}=[(m,1)]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos 
+\begin_inset Formula $\frac{n}{m}\leq\frac{a}{b}\iff nmb^{2}\leq abm^{2}$
+\end_inset
+
+, y decimos que un racional es 
+\series bold
+positivo
+\series default
+ si es mayor que 0 y 
+\series bold
+negativo
+\series default
+ si es menor.
+ Si 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ tienen el mismo signo, podemos considerar 
+\begin_inset Formula $\frac{n}{m}\leq\frac{a}{b}\iff nb\leq ma$
+\end_inset
+
+.
+ Se tiene que 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{Q},\leq)$
+\end_inset
+
+ es un conjunto totalmente ordenado.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Dados 
+\begin_inset Formula $\frac{n}{m}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{a}{b}$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $nb=ma$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $nb>ma$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $nb<ma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos la suma como 
+\begin_inset Formula $+:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\frac{a}{b}+\frac{m}{n}=\frac{an+bm}{bn}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta está bien definida, y verifica las propiedades de conmutatividad,
+ asociatividad, existencia de neutro 
+\begin_inset Formula $0=[(0,1)]$
+\end_inset
+
+ y existencia de opuesto.
+ Además, 
+\begin_inset Formula $\frac{-n}{m}=\frac{n}{-m}=-\frac{n}{m}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Definimos el producto como 
+\begin_inset Formula $\cdot:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\frac{a}{b}\cdot\frac{m}{n}=\frac{am}{bn}$
+\end_inset
+
+.
+ Este está bien definido y verifica las propiedades de conmutatividad, asociativ
+idad, existencia de neutro 
+\begin_inset Formula $1=[(1,1)]$
+\end_inset
+
+ y existencia de inverso para todo racional no cero (
+\begin_inset Formula $\forall\frac{m}{n}\in\mathbb{Q},\frac{m}{n}\cdot\frac{n}{m}=1$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Una sucesión de números naturales 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ (o de cualquier subconjunto de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+) es 
+\series bold
+eventualmente periódica
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $\exists m\in\mathbb{N},q\in\mathbb{N}^{*}:\forall i\geq m,a_{i}=a_{i+q}$
+\end_inset
+
+.
+ Al menor 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ que satisface la condición se le llama 
+\series bold
+término inicial del período
+\series default
+, y al menor 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+período
+\series default
+.
+ Una sucesión eventualmente periódica con 
+\begin_inset Formula $p=1$
+\end_inset
+
+ se dice que es 
+\series bold
+eventualmente constante
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+ Por otro lado, una sucesión de naturales 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+decimal
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $a_{n}\in\{0,\dots,9\}$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $n>0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ Para todo 
+\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\alpha\geq0$
+\end_inset
+
+, existe una única sucesión decimal eventualmente periódica de naturales
+ 
+\begin_inset Formula $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $0\leq\alpha-a_{0}-\frac{a_{1}}{10}-\dots-\frac{a_{n}}{10^{n}}<\frac{1}{10^{n}}$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ Esta relación determina una biyección entre los racionales positivos y
+ las sucesiones decimales eventualmente periódicas que no son eventualmente
+ constantes con término inicial 9.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Demostración.
+
+\series default
+ Tomamos 
+\begin_inset Formula $\alpha=\frac{k}{d}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $k\geq0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d>0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\text{mcd}(k,d)=1$
+\end_inset
+
+ y definimos 
+\begin_inset Formula $a_{0}=E(\alpha)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{0}$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $\alpha=a_{0}+\frac{r_{0}}{d}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $0\leq r_{0}<d$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos entonces por recurrencia 
+\begin_inset Formula $a_{n+1}=E(\frac{10r_{n}}{d})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\frac{10r_{n}}{d}=a_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}$
+\end_inset
+
+, de modo que 
+\begin_inset Formula $0\leq r_{n+1}<d$
+\end_inset
+
+, y también 
+\begin_inset Formula $S_{n}=a_{0}+a_{1}10^{-1}+\dots+a_{n}10^{-n}$
+\end_inset
+
+.
+ A continuación probamos las siguientes afirmaciones:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Decimal:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $0\leq a_{n}<10$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+0\leq a_{n+1}\leq a_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}=\frac{10r_{n}}{d}<10
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Lema:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\alpha=S_{n}+\frac{r_{n}}{d}10^{-n}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Para 
+\begin_inset Formula $n=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\alpha=a_{0}+\frac{r_{0}}{d}$
+\end_inset
+
+.
+ Ahora asumimos que esto se cumple para un cierto 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ y demostramos que se cumple también para 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\alpha=S_{n}+\frac{10r_{n}}{d}10^{-(n+1)}=S_{n}+\left(a_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}\right)10^{-(n+1)}=S_{n+1}+\frac{r_{n+1}}{d}10^{-(n+1)}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Aproximación:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $0\leq\alpha-S_{n}<10^{n}$
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula 
+\[
+0\leq\alpha-S_{n+1}=\frac{r_{n+1}}{d}10^{-(n+1)}<10^{-(n+1)}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Unicidad:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $a_{n+1}=E(10^{n+1}(\alpha-S_{n}))$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula 
+\[
+a_{n+1}=E\left(\frac{10r_{n}}{d}\right)=E\left(10^{n+1}10^{-n}\frac{r_{n}}{d}\right)=E(10^{n+1}(\alpha-S_{n}))
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Periodicidad:
+\series default
+ Como 
+\begin_inset Formula $0\leq r_{n}<d\forall n$
+\end_inset
+
+, los 
+\begin_inset Formula $r_{n}$
+\end_inset
+
+ deben repetirse, es decir, 
+\begin_inset Formula $\exists m,q\in\mathbb{N},q>0:r_{m}=r_{m+q}$
+\end_inset
+
+.
+ Vemos por inducción que 
+\begin_inset Formula $a_{i}=a_{i+q}\forall i\geq m+1$
+\end_inset
+
+.
+ Para 
+\begin_inset Formula $i=m+1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $a_{m+1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{m+1}$
+\end_inset
+
+ son cociente y resto de 
+\begin_inset Formula $10r_{m}/d$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $a_{(m+q)+1}=a_{(m+1)+q}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{(m+q)+1}=r_{(m+1)+q}$
+\end_inset
+
+ son cociente y resto de 
+\begin_inset Formula $10r_{m+q}/d=10r_{m}/d$
+\end_inset
+
+, por lo que 
+\begin_inset Formula $a_{m+1}=a_{(m+1)+q}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{m+1}=r_{(m+1)+q}$
+\end_inset
+
+.
+ El paso de inducción es análogo, partiendo de que 
+\begin_inset Formula $r_{i}=r_{i+q}$
+\end_inset
+
+ para obtener que 
+\begin_inset Formula $a_{i+1}=a_{(i+q)+1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $r_{i+1}=r_{(i+q)+1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Estructuras algebraicas
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ con una operación suma 
+\begin_inset Formula $+:A\times A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ es un 
+\series bold
+grupo abeliano
+\series default
+ si la suma es conmutativa, asociativa, existe un elemento neutro 
+\begin_inset Formula $0\in A$
+\end_inset
+
+ y todo 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ tiene opuesto (
+\begin_inset Formula $b\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $a+b=0$
+\end_inset
+
+).
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si además tiene una operación producto 
+\begin_inset Formula $\cdot:A\times A\rightarrow A$
+\end_inset
+
+, decimos que es un 
+\series bold
+anillo
+\series default
+ si con la suma es un grupo abeliano, el producto es asociativo, distribuye
+ a la suma y tiene neutro 
+\begin_inset Formula $1\in A$
+\end_inset
+
+.
+ Un anillo en que el producto es conmutativo es un 
+\series bold
+anillo conmutativo
+\series default
+, y si además todo 
+\begin_inset Formula $a\in A\backslash\{0\}$
+\end_inset
+
+ tiene inverso (
+\begin_inset Formula $b\in A$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $ab=1$
+\end_inset
+
+), decimos que es un 
+\series bold
+cuerpo
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números reales
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Podemos construirlos partiendo de los racionales de 3 formas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Identificándolos con los desarrollos decimales infinitos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Mediante las 
+\series bold
+cortaduras de Dedekind
+\series default
+, conjuntos 
+\begin_inset Formula $\emptyset\neq\beta\subsetneq\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+ acotados superiormente y sin máximo tales que 
+\begin_inset Formula $y<x\in\beta\implies y\in\beta$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+Considerando el conjunto cociente de cierta relación de equivalencia de
+ las sucesiones de Cauchy en 
+\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Asumimos que es un conjunto no vacío 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ que contiene a los racionales y satisface los siguientes axiomas:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Axiomas de cuerpo:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},+,\cdot)$
+\end_inset
+
+ es un cuerpo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Axiomas de orden:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ está totalmente ordenado, 
+\begin_inset Formula $x<y\implies x+z<y+z$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $x,y>0\implies xy>0$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $x\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es positivo si 
+\begin_inset Formula $x>0$
+\end_inset
+
+ y negativo si 
+\begin_inset Formula $x<0$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí se tiene que si 
+\begin_inset Formula $x>0$
+\end_inset
+
+, su opuesto 
+\begin_inset Formula $-x<0$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $x>0\implies x-x>0-x\implies0>-x$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Axiomas de completitud:
+\series default
+ Todo subconjunto no vacío de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ acotado superiormente posee supremo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Números complejos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+números complejos
+\series default
+ al cuerpo definido por
+\begin_inset Formula 
+\[
+\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}
+\]
+
+\end_inset
+
+junto con las operaciones 
+\begin_inset Formula $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
+\end_inset
+
+.
+ Se representan en el plano cartesiano en las coordenadas 
+\begin_inset Formula $(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+ Identificamos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\{(a,0)\}_{a\in\mathbb{R}}$
+\end_inset
+
+.
+ Definimos 
+\begin_inset Formula $i^{2}=-1$
+\end_inset
+
+ y escribimos 
+\begin_inset Formula $a+bi=(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $i^{n}=i^{m}\iff4|n-m$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Llamamos 
+\series bold
+conjugado
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $z=a+bi\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $\overline{z}=a-bi$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overline{\overline{z}}=z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $z\neq0\implies\overline{z^{-1}}=\overline{z}^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}\iff\overline{z}=z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dado 
+\begin_inset Formula $z=a+bi\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+, su 
+\series bold
+parte real
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{Re}(z)=a$
+\end_inset
+
+, su 
+\series bold
+parte imaginaria
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{Im}(z)=b$
+\end_inset
+
+, su 
+\series bold
+módulo
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
+\end_inset
+
+ y su 
+\series bold
+argumento
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $\text{Arg}(z)=\theta=\arctan\frac{b}{a}$
+\end_inset
+
+, estableciendo primero el cuadrante de forma que 
+\begin_inset Formula $\cos(\theta)=\frac{a}{|z|}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sin(\theta)=\frac{b}{|z|}$
+\end_inset
+
+, y es único salvo múltiplos de 
+\begin_inset Formula $2\pi$
+\end_inset
+
+.
+ Propiedades:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|z|^{2}=z\overline{z}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|z|=|\overline{z}|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|zw|=|z||w|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|z^{-1}|=|z|^{-1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $|\text{Re}(z)|\leq|z|$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+Desigualdad triangular:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $|z+w|\leq|z|+|w|$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+Como 
+\begin_inset Formula $z\overline{w}=\overline{\overline{z}w}$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $z\overline{w}+\overline{z}w=2\text{Re}(z\overline{w})$
+\end_inset
+
+.
+ Así, 
+\begin_inset Formula $|z+w|^{2}=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=z\overline{z}+w\overline{w}+z\overline{w}+\overline{z}w=|z|^{2}+|w|^{2}+2\text{Re}(z\overline{w})\leq|z|^{2}+|w|^{2}+2|z\overline{w}|=(|z|+|w|)^{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sea 
+\begin_inset Formula $z=a+bi$
+\end_inset
+
+ con módulo 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ y argumento 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+, la 
+\series bold
+representación polar
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ es 
+\begin_inset Formula $z\mapsto(r,\theta)$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ es la distancia al centro cartesiano y 
+\begin_inset Formula $\theta$
+\end_inset
+
+ el ángulo respecto del eje de abscisas.
+ Así, su 
+\series bold
+representación trigonométrica
+\series default
+ es 
+\begin_inset Formula $z\mapsto r(\cos\theta+i\sin\theta)$
+\end_inset
+
+, y si 
+\begin_inset Formula $z=(r,\theta)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $w=(s,\sigma)$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $zw=(rs,\theta+\sigma)$
+\end_inset
+
+.
+ De aquí se deduce el 
+\series bold
+teorema de De Moivre:
+\series default
+ Dado 
+\begin_inset Formula $z=(r,\theta)$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $z^{n}=(r^{n},n\theta)$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto, si 
+\begin_inset Formula $z^{n}=(s,\alpha)$
+\end_inset
+
+, se tiene que 
+\begin_inset Formula $r=\sqrt[n]{s}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\theta=\frac{\alpha+2k\pi}{n},k\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+, con lo que todo número complejo tiene exactamente 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ raíces 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimas complejas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Para 
+\begin_inset Formula $n\geq2$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\omega\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ es una raíz 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésima de la unidad si 
+\begin_inset Formula $\omega^{n}=1$
+\end_inset
+
+, y es una 
+\series bold
+raíz 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésima primitiva de la unidad
+\series default
+ si además 
+\begin_inset Formula $\omega^{m}\neq1$
+\end_inset
+
+ para 
+\begin_inset Formula $0<m<n$
+\end_inset
+
+.
+ Así, todo número complejo tiene
+\begin_inset Formula 
+\[
+\phi(n)=|\{m\in\{1,\dots,n-1\}:\text{mcd}(m,n)=1\}|
+\]
+
+\end_inset
+
+raíces 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ésimas primitivas.
+ Esta función se conoce como 
+\series bold
+función 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ de Euler
+\series default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Se tiene que
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} & \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!} & \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Por tanto tiene sentido definir que 
+\begin_inset Formula $e^{ip}=\cos p+i\sin p$
+\end_inset
+
+, pues 
+\begin_inset Formula $e^{ip}=1+ip+\frac{(ip)^{2}}{2!}+\dots=1+ip-\frac{p^{2}}{2!}-\frac{ip^{3}}{3!}+\frac{p^{4}}{4!}+\dots=\cos p+i\sin p$
+\end_inset
+
+.
+ Por tanto, podemos escribir 
+\begin_inset Formula $z=(r,\theta)\in\mathbb{C}$
+\end_inset
+
+ como 
+\begin_inset Formula $z=re^{\theta i}$
+\end_inset
+
+, y obtenemos la 
+\series bold
+identidad de Euler
+\series default
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+e^{\pi i}+1=0
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conjuntos numerables y no numerables
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un conjunto 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+a lo más numerable
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $|A|\leq|\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+, 
+\series bold
+numerable
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $|A|=|\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+ y 
+\series bold
+más que numerable
+\series default
+ si 
+\begin_inset Formula $|A|>|\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Teorema de Bernstein
+\series default
+ o 
+\series bold
+de Cantor-Schröeder-Bernstein (CSB):
+\series default
+ Dados dos conjuntos 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ tales que existen 
+\begin_inset Formula $f:A\rightarrow B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $g:B\rightarrow A$
+\end_inset
+
+ inyectivas, entonces existe una biyección entre ellos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times\mathbb{N}|$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Para simplificar, interpretamos 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ sin el 0.
+ Ordenamos las parejas de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ en orden lexicográfico y luego vamos contando en diagonal.
+ Entonces en cada diagonal de 
+\begin_inset Formula $(1,n)$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $(n,1)$
+\end_inset
+
+ están los pares cuyas coordenadas suman 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+, y al terminar la diagonal habremos contado 
+\begin_inset Formula $S(n)=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$
+\end_inset
+
+ pares.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $(1,n)\mapsto S(n-1)+1$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $(2,n-1)\mapsto S(n-1)+2$
+\end_inset
+
+, etc.
+ Así, definimos 
+\begin_inset Formula $\varphi:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\varphi(i,j)=\frac{(i+j-1)(i+j-2)}{2}+i$
+\end_inset
+
+ y vemos que es una biyección.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\series bold
+Teorema:
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Q}|<(0,1)=|\mathbb{R}|$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+Demostración
+\series default
+ de que 
+\begin_inset Formula $|\mathbb{N}|<(0,1)$
+\end_inset
+
+: La aplicación 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow(0,1)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(n)=\frac{1}{n+1}$
+\end_inset
+
+ es inyectiva.
+ Para ver que no hay aplicaciones inyectivas 
+\begin_inset Formula $(0,1)\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ usamos el 
+\series bold
+método de la diagonal de Cantor
+\series default
+.
+ Supongamos que existe y hemos numerado todos los elementos en 
+\begin_inset Formula $(0,1)$
+\end_inset
+
+.
+ Si los escribimos en su forma decimal, tenemos
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{1} & = & 0,x_{11}x_{12}x_{13}\cdots\\
+x_{2} & = & 0,x_{21}x_{22}x_{23}\cdots\\
+x_{3} & = & 0,x_{31}x_{32}x_{33}\cdots
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+etcétera.
+ Ahora, sea 
+\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$
+\end_inset
+
+ una secuencia de dígitos con 
+\begin_inset Formula $y_{n}\in\{0,\dots,9\}\backslash\{x_{nn}\}$
+\end_inset
+
+ e
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+
+\begin_inset Formula $y_{1}=\{1,\dots,8\}\backslash\{x_{nn}\}$
+\end_inset
+
+ (para evitar que el número formado sea 0 o 1).
+ Entonces este número difiere con cada uno de la lista en al menos un dígito.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
-- 
cgit v1.2.3