From c6f69b3f45b81d19b8eeb87184bf16e6de0fad24 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Juan Marín Noguera <juan.marinn@um.es>
Date: Thu, 20 Feb 2020 16:07:37 +0100
Subject: 2

---
 tem/n5.lyx | 1516 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 1516 insertions(+)
 create mode 100644 tem/n5.lyx

(limited to 'tem/n5.lyx')

diff --git a/tem/n5.lyx b/tem/n5.lyx
new file mode 100644
index 0000000..93b40a3
--- /dev/null
+++ b/tem/n5.lyx
@@ -0,0 +1,1516 @@
+#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 544
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+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Standard
+Una 
+\series bold
+separación por abiertos
+\series default
+ o 
+\series bold
+partición por abiertos
+\series default
+ de un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es un par 
+\begin_inset Formula $\{A,B\}$
+\end_inset
+
+ de subconjuntos abiertos no vacíos con 
+\begin_inset Formula $A\dot{\cup}B=X$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+conexo
+\series default
+ si no admite ninguna separación por abiertos, y de lo contrario es 
+\series bold
+disconexo
+\series default
+\SpecialChar endofsentence
+ Equivalentemente, 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si no existe ningún par de cerrados 
+\begin_inset Formula $\{C,D\}$
+\end_inset
+
+ no vacíos con 
+\begin_inset Formula $C\dot{\cup}D=X$
+\end_inset
+
+, si y sólo si los únicos subconjuntos de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ abiertos y cerrados al mismo tiempo son el total y el vacío.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si toda aplicación continua 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\{0,1\},{\cal T}_{D})$
+\end_inset
+
+ es constante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ conexo y supongamos que existe 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\{0,1\},{\cal T}_{D})$
+\end_inset
+
+ continua no constante.
+ Entonces existen 
+\begin_inset Formula $p,q\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(p)=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(q)=1$
+\end_inset
+
+.
+ Como 
+\begin_inset Formula $\{0\}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{1\}$
+\end_inset
+
+ son abiertos, 
+\begin_inset Formula $A=f^{-1}(\{0\})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B=f^{-1}(\{1\})$
+\end_inset
+
+ forman una separación por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ disconexo y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ abiertos no vacíos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A\dot{\cup}B=X$
+\end_inset
+
+.
+ Si definimos 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\{0,1\},{\cal T}_{D})$
+\end_inset
+
+ tal que 
+\begin_inset Formula $f(p)=0$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $p\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(p)=1$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $p\in B$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ es continua porque la imagen inversa de todo abierto es abierto, pero no
+ es constante.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si toda aplicación continua cumple que 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,c\in(f(x),f(y));\exists z\in X:f(z)=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Supongamos que existe 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ tal que existen 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $c\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x)<c<f(y)$
+\end_inset
+
+ pero 
+\begin_inset Formula $c\notin f(X)$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(-\infty,c)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(c,+\infty)$
+\end_inset
+
+ forman una separación por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ (ningún 
+\begin_inset Formula $x\in X$
+\end_inset
+
+ va a parar a 
+\begin_inset Formula $(-\infty,c)$
+\end_inset
+
+ y a 
+\begin_inset Formula $(c,+\infty)$
+\end_inset
+
+ a la vez).
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ disconexo, entonces existe 
+\begin_inset Formula $g:(X,{\cal T})\rightarrow(\{0,1\},{\cal T}_{D})$
+\end_inset
+
+ no constante.
+ Si componemos esto con la inclusión 
+\begin_inset Formula $\{0,1\}\looparrowright\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+, obtenemos 
+\begin_inset Formula $x,y\in X$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x)=0$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(y)=1$
+\end_inset
+
+, y si tomamos 
+\begin_inset Formula $c=\frac{1}{2}$
+\end_inset
+
+ entre 
+\begin_inset Formula $f(x)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(y)$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $c\notin f(X)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo y 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua entonces 
+\begin_inset Formula $(f(X),{\cal T}'|_{f(X)})$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sea 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ abierto y cerrado en 
+\begin_inset Formula $(f(X),{\cal T}'|_{f(X)})$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua, 
+\begin_inset Formula $f^{-1}(B)$
+\end_inset
+
+ es abierto y cerrado en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, por lo que es el total o el vacío y por tanto 
+\begin_inset Formula $B=f(X)$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $B=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ son homeomorfos y uno es conexo, el otro también, y si 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(Y,{\cal T}')$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo, la gráfica 
+\begin_inset Formula $\{(x,f(x))\}_{x\in X}$
+\end_inset
+
+ es conexa, pues es homeomorfa a 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Subespacios conexos de 
+\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El 
+\series bold
+teorema de Bolzano
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $f(a)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(b)$
+\end_inset
+
+ son de signos opuestos, existe 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x)=0$
+\end_inset
+
+.
+ El 
+\series bold
+teorema de los valores intermedios
+\series default
+ o 
+\series bold
+primer teorema de Weierstrass
+\series default
+ afirma que si 
+\begin_inset Formula $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ es continua y 
+\begin_inset Formula $c\in\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ cumple 
+\begin_inset Formula $f(a)\leq c\leq f(b)$
+\end_inset
+
+ entonces existe 
+\begin_inset Formula $x\in[a,b]$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $f(x)=c$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}$
+\end_inset
+
+ no vacío es un 
+\series bold
+intervalo
+\series default
+ si y sólo si 
+\begin_inset Formula $\forall x,y\in S,z\in\mathbb{R};(x<z<y\implies z\in S)$
+\end_inset
+
+.
+ Un subespacio de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si es un intervalo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Si 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ no es un intervalo, existen 
+\begin_inset Formula $x,y\in S$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $z\in\mathbb{R}\backslash S$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x<z<y$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $S\cap(-\infty,z)$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $S\cap(z,+\infty)$
+\end_inset
+
+ es una separación por abiertos no vacíos de 
+\begin_inset Formula $(S,{\cal T}_{u}|_{S})$
+\end_inset
+
+ y por tanto es disconexo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sea 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ un intervalo y supongamos que no es conexo.
+ Entonces existe 
+\begin_inset Formula $f:(S,{\cal T}_{u}|_{S})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ tal que existen 
+\begin_inset Formula $x,y\in S$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $f(x)\neq f(y)$
+\end_inset
+
+ y existe 
+\begin_inset Formula $c\in(f(x),f(y))$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $c\notin f(S)$
+\end_inset
+
+.
+ Pero entonces existe 
+\begin_inset Formula $f:([x,y],{\cal T}_{u}|_{[x,y]})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ que no cumple el teorema de los valores intermedios.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que si 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo y 
+\begin_inset Formula $f:(X,{\cal T})\rightarrow(\mathbb{R},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es continua entonces 
+\begin_inset Formula $f(X)$
+\end_inset
+
+ es un intervalo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Propiedades
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Si 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ es un subespacio conexo de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ entonces todo 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $H\subseteq S\subseteq\overline{H}$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos que existen abiertos no vacíos 
+\begin_inset Formula $A'$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B'$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(S,{\cal T}_{S})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $A'\dot{\cup}B'=S$
+\end_inset
+
+.
+ Entonces existen 
+\begin_inset Formula $A,B\in{\cal T}$
+\end_inset
+
+ no vacíos con 
+\begin_inset Formula $A'=A\cap S$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $B'=B\cap S$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $(A\cap H)\cap(B\cap H)=(A'\cap H)\cap(B'\cap H)=A'\cap B'\cap H=\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(A\cap H)\cup(B\cap H)=(A'\cap H)\cup(B'\cap H)=(A'\cup B')\cap H=S\cap H=H$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $(H,{\cal T}|_{H})$
+\end_inset
+
+ es conexo, debe ser 
+\begin_inset Formula $A\cap H=\emptyset$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $B\cap H=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ Si por ejemplo 
+\begin_inset Formula $A\cap H=\emptyset$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $A'\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $p\in A'=A\cap S\subseteq A\cap\overline{H}$
+\end_inset
+
+, pero 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es un entorno de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ que no corta a 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ por lo que 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ no puede estar en 
+\begin_inset Formula $\overline{H}$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+De aquí que la clausura de un subespacio conexo es conexa.
+ Veamos ahora el 
+\series bold
+criterio del peine
+\series default
+, que afirma que dado un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\{H_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ una familia de subespacios conexos para la que existe 
+\begin_inset Formula $i_{0}\in I$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $H_{i}\cap H_{i_{0}}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ para todo 
+\begin_inset Formula $i\in I$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $H:=\bigcup_{i\in I}H_{i}$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Primero vemos que dado 
+\begin_inset Formula $C\subseteq X$
+\end_inset
+
+ conexo y 
+\begin_inset Formula $\{A,B\}$
+\end_inset
+
+ una separación de 
+\begin_inset Formula $X$
+\end_inset
+
+ por abiertos entonces 
+\begin_inset Formula $C\subseteq A$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $C\subseteq B$
+\end_inset
+
+.
+ En efecto, si no fuera así se tendría 
+\begin_inset Formula $C\cap A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C\cap B\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+, y 
+\begin_inset Formula $C=(C\cap A)\cup(C\cap B)$
+\end_inset
+
+ siendo 
+\begin_inset Formula $C\cap A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $C\cap B$
+\end_inset
+
+ abiertos en 
+\begin_inset Formula $(C,{\cal T}_{C})$
+\end_inset
+
+ no vacíos con 
+\begin_inset Formula $(C\cap A)\cap(C\cap B)=C\cap(A\cap B)=\emptyset$
+\end_inset
+
+, contradiciendo que 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ sea conexo.
+ Ahora bien, si 
+\begin_inset Formula $\{A,B\}$
+\end_inset
+
+ es una separación por abiertos de 
+\begin_inset Formula $(H,{\cal T}_{H})$
+\end_inset
+
+, dado 
+\begin_inset Formula $i\in I$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $H_{i}\subseteq B$
+\end_inset
+
+ o 
+\begin_inset Formula $H_{i}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ Supongamos 
+\begin_inset Formula $H_{i_{0}}\subseteq A$
+\end_inset
+
+.
+ Como para cualquier 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ se tiene 
+\begin_inset Formula $H_{i}\cap H_{i_{0}}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A\cap B=\emptyset$
+\end_inset
+
+ no puede ser 
+\begin_inset Formula $H_{i}\subseteq B$
+\end_inset
+
+, luego cada 
+\begin_inset Formula $H_{i}\subseteq A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H=\bigcup_{i\in I}H_{i}\subseteq A$
+\end_inset
+
+, con lo que 
+\begin_inset Formula $B=\emptyset$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+En particular, si 
+\begin_inset Formula $\{H_{i}\}_{i\in I}$
+\end_inset
+
+ es una familia de subespacios conexos de 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\bigcap_{i\in I}H_{i}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $H:=\bigcup_{i\in I}H_{i}$
+\end_inset
+
+ es conexo, y si 
+\begin_inset Formula $H_{1}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $H_{2}$
+\end_inset
+
+ son conexos con 
+\begin_inset Formula $H_{1}\cap H_{2}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ entonces 
+\begin_inset Formula $H_{1}\cup H_{2}$
+\end_inset
+
+ es conexo.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El espacio producto 
+\begin_inset Formula $(X_{1}\times X_{2},{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+ es conexo si y sólo si 
+\begin_inset Formula $(X_{1},{\cal T}_{1})$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $(X_{2},{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+ son conexos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\implies]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Se deriva de que las proyecciones son continuas.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Argument item:1
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\impliedby]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+Sean 
+\begin_inset Formula $X_{1},X_{2}\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ (de lo contrario 
+\begin_inset Formula $X_{1}\times X_{2}=\emptyset$
+\end_inset
+
+ y la propiedad es cierta), dado 
+\begin_inset Formula $p_{2}\in X_{2}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $X_{1}\times\{p_{2}\}$
+\end_inset
+
+ es homeomorfo a 
+\begin_inset Formula $(X_{1},{\cal T}_{1})$
+\end_inset
+
+ y por tanto conexo, y lo mismo ocurre con 
+\begin_inset Formula $\{p_{1}\}\times X_{2}$
+\end_inset
+
+ dado 
+\begin_inset Formula $p_{1}\in X_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ La unión de espacios conexos 
+\begin_inset Formula $\bigcup_{p_{1}\in X_{1}}\{p_{1}\}\times X_{2}\cup\bigcup_{p_{2}\in X_{2}}X_{1}\times\{p_{2}\}$
+\end_inset
+
+ da 
+\begin_inset Formula $(X_{1}\times X_{2},{\cal T}_{1}\times{\cal T}_{2})$
+\end_inset
+
+, y basta aplicar el criterio del peine.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+Conexión por arcos
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Dados 
+\begin_inset Formula $p,q\in X$
+\end_inset
+
+, un 
+\series bold
+arco
+\series default
+ de 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ a 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es una aplicación continua 
+\begin_inset Formula $\sigma:([0,1],{\cal T}_{u})\rightarrow(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $\sigma(0)=p$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sigma(1)=q$
+\end_inset
+
+.
+ Un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+conexo por arcos
+\series default
+ o 
+\series bold
+por caminos
+\series default
+ si cualquier par de puntos pueden ser conectados por un arco.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Un subconjunto 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+convexo
+\series default
+ si para cualesquiera 
+\begin_inset Formula $x,y\in S$
+\end_inset
+
+, el 
+\series bold
+segmento
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $L_{xy}:=\{(1-t)x+ty\}_{t\in[0,1]}$
+\end_inset
+
+ es un subconjunto de 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ Todo subconjunto convexo de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es conexo por arcos.
+ Por tanto las bolas en 
+\begin_inset Formula $d_{T}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $d_{E}$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $d_{\infty}$
+\end_inset
+
+, tanto abiertas como cerradas, y los rectángulos, son conexos por arcos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo espacio topológico conexo por arcos es conexo.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Supongamos que existe una separación 
+\begin_inset Formula $\{A,B\}$
+\end_inset
+
+ por abiertos no vacíos del espacio 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ conexo por arcos.
+ Entonces podemos tomar 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $b\in B$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ un arco de 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ hasta 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+.
+ Pero como 
+\begin_inset Formula $\sigma([0,1])$
+\end_inset
+
+ es conexo, debe estar contenido en 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ o en 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+.
+\begin_inset Formula $\#$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+El recíproco no se cumple, pues 
+\begin_inset Formula $([0,1]\times\{0\})\cup(\{\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\times[0,1])\cup\{(0,1)\}$
+\end_inset
+
+ en 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{2},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es conexo pero no conexo por arcos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Sean 
+\begin_inset Formula $\sigma_{1},\sigma_{2}:[0,1]\rightarrow X$
+\end_inset
+
+ dos arcos en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ que unen, respectivamente, 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ e 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+, llamamos 
+\series bold
+unión
+\series default
+, 
+\series bold
+producto
+\series default
+ o 
+\series bold
+composición de arcos
+\series default
+, escrito 
+\begin_inset Formula $\sigma_{1}\ast\sigma_{2}$
+\end_inset
+
+, a la aplicación 
+\begin_inset Formula $\tau:[0,1]\rightarrow X$
+\end_inset
+
+ dada por
+\begin_inset Formula 
+\[
+\tau(t)=\begin{cases}
+\sigma_{1}(2t) & \text{si }t\in[0,\frac{1}{2}]\\
+\sigma_{2}(2t-1) & \text{si }t\in[\frac{1}{2},1]
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+que es un arco que une 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Decimos que un subconjunto 
+\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{R}^{n}$
+\end_inset
+
+ es 
+\series bold
+estrellado
+\series default
+ en 
+\begin_inset Formula $p\in S$
+\end_inset
+
+ si 
+\begin_inset Formula $\forall x\in S,L_{px}\subseteq S$
+\end_inset
+
+.
+ Un espacio topológico 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+ es conexo por arcos si y sólo si existe 
+\begin_inset Formula $p\in X$
+\end_inset
+
+ tal que cualquier 
+\begin_inset Formula $q\in X$
+\end_inset
+
+ se pueda unir con 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ por un arco en 
+\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
+\end_inset
+
+, y en particular los subconjuntos estrellados son conexos por arcos.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Todo subconjunto abierto y conexo de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+ es conexo por arcos.
+ 
+\series bold
+Demostración:
+\series default
+ Sean 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ un abierto conexo de 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{R}^{n},{\cal T}_{u})$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $p\in U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ el subconjunto de los puntos de 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ que se pueden unir con 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ Si 
+\begin_inset Formula $y\in A$
+\end_inset
+
+, como 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es abierto, existe 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B(y;r)\subseteq U$
+\end_inset
+
+ y si 
+\begin_inset Formula $z\in B(y;r)$
+\end_inset
+
+, la unión del arco que une 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ y el radio que une 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ es un arco que une 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $B(y;r)\subseteq A$
+\end_inset
+
+ y, como 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es arbitrario, 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es abierto.
+ Ahora bien, sea 
+\begin_inset Formula $y\in U\backslash A$
+\end_inset
+
+, existe 
+\begin_inset Formula $r>0$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $B(y;r)\subseteq U$
+\end_inset
+
+.
+ Pero si existiera 
+\begin_inset Formula $z\in B(y;r)$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z\in A$
+\end_inset
+
+, la unión del arco que une 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ y el radio que une 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es un arco que une 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ con 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ y por tanto 
+\begin_inset Formula $y\in A\#$
+\end_inset
+
+, luego 
+\begin_inset Formula $B(y;r)\subseteq U\backslash A$
+\end_inset
+
+, y como 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ es arbitrario, 
+\begin_inset Formula $U\backslash A$
+\end_inset
+
+ es abierto y 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es cerrado.
+ Como 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ es abierto y cerrado en un espacio conexo y 
+\begin_inset Formula $A\neq\emptyset$
+\end_inset
+
+ porque 
+\begin_inset Formula $p\in A$
+\end_inset
+
+, entonces 
+\begin_inset Formula $A=U$
+\end_inset
+
+ y 
+\begin_inset Formula $U$
+\end_inset
+
+ es conexo por arcos.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
-- 
cgit v1.2.3