#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Fijado un referencial ortonormal en un plano afín euclídeo, llamamos 
\series bold
cónica
\series default
 al conjunto de puntos 
\begin_inset Formula $(x,y)$
\end_inset

 con ecuación 
\begin_inset Formula 
\[
ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2ex+2fy+d=0
\]

\end_inset

 donde al menos uno de los valores 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 no es nulo.
 Distintas ecuaciones de este tipo pueden definir la misma cónica, como
 múltiplos de esta por 
\begin_inset Formula $\lambda\neq0$
\end_inset

, o las que dan lugar a la cónica vacía.
 Esta ecuación se puede expresar como
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{ccc}
x & y & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c}
a & b & e\\
b & c & f\\
\hline e & f & d
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
1
\end{array}\right)=0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
matriz 
\series default
(
\series bold
proyectiva
\series default
)
\series bold
 de la cónica
\series default
 a 
\begin_inset Formula 
\[
\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}
a & b & e\\
b & c & f\\
e & f & d
\end{array}\right)
\]

\end_inset

y 
\series bold
matriz principal de la cónica
\series default
 a 
\begin_inset Formula 
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
b & c
\end{array}\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\overline{A} & =\left(\begin{array}{c|c}
A & B\\
\hline B^{t} & d
\end{array}\right) & B & =\left(\begin{array}{c}
e\\
f
\end{array}\right) & X & =\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right) & \overline{X} & =\left(\begin{array}{c}
X\\
\hline 1
\end{array}\right)
\end{align*}

\end_inset

podemos expresar la ecuación como 
\begin_inset Formula $\overline{X}^{t}\overline{A}\overline{X}=0$
\end_inset

 o como 
\begin_inset Formula $X^{t}AX+2B^{t}X+d=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage pagebreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Forma reducida
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{GAE}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para cambiar coordenadas entre dos referenciales 
\begin_inset Formula $\Re=(O,{\cal B})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Re'=(O',{\cal B}')$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula ${\cal E}$
\end_inset

, si llamamos 
\begin_inset Formula $X_{0}\coloneqq [O]_{\Re'}=[\overrightarrow{O'O}]_{{\cal B}'}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M\coloneqq M_{{\cal B}'{\cal B}}$
\end_inset

, se tiene que:
\begin_inset Formula 
\[
\text{[...]}X'=\text{[...]}=X_{0}+MX
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Podemos emplear la expresión matricial equivalente:
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c}
X'\\
\hline 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c}
M & X_{0}\\
\hline 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
X\\
\hline 1
\end{array}\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{AlgL}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Los vectores propios de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 asociados a 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 son todos los vectores no nulos de 
\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f-\lambda Id)$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $V_{\lambda}=\text{Nuc}(f-\lambda Id)=\{v\in V\mid (f-\lambda Id)(v)=0\}=\{v\in V\mid f(v)=\lambda v\}$
\end_inset

 es el 
\series bold
subespacio propio
\series default
 o 
\series bold
característico
\series default
 correspondiente al valor propio 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $\lambda\in K$
\end_inset

 es un valor propio de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\det(f-\lambda Id)=0$
\end_inset

.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $P_{f}(x)\coloneqq \det(xId-f)$
\end_inset

 es el 
\series bold
polinomio característico
\series default
 de 
\series bold

\begin_inset Formula $f$
\end_inset


\series default
, y 
\begin_inset Formula $P_{A}(x)\coloneqq \det(xI_{n}-A)$
\end_inset

 es el polinomio característico de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Podemos comprobar que
\begin_inset Formula 
\[
P_{A}(x)=x^{n}-\text{tr}(A)x^{n-1}+\dots+(-1)^{n}\det(A)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de diagonalización:
\series default
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es diagonalizable si y sólo si
\begin_inset Formula 
\[
P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{d_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{d_{r}}
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}\in K$
\end_inset

 distintos dos a dos, y 
\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f))$
\end_inset

.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, para diagonalizar una matriz 
\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
\end_inset

 en matrices 
\begin_inset Formula $A=M_{{\cal CB}}DM_{{\cal BC}}$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 diagonal, obtenemos su polinomio característico, hallamos sus raíces, que
 serán los autovalores de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Si la suma de sus multiplicidades da 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, resolvemos cada ecuación 
\begin_inset Formula $(\lambda Id-f)X=0$
\end_inset

 para obtener las bases de los subespacios propios, cuya dimensión debería
 coincidir con la multiplicidad del autovalor si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es diagonalizable.
 Entonces añadimos cada raíz en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 tantas veces como sea su multiplicidad y razonamos que los vectores correspondi
entes de la base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

, y por tanto las correspondientes columnas de 
\begin_inset Formula $M_{{\cal CB}}$
\end_inset

, son los de la base de dicho subespacio propio.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $A\in M_{2}(\mathbb{R})$
\end_inset

 simétrica, existe una matriz ortogonal 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 de determinante 1 tal que 
\begin_inset Formula $Q^{t}AQ$
\end_inset

 es diagonal.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula 
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
b & c
\end{array}\right)\implies P_{A}(x)=\left|\begin{array}{cc}
a-x & b\\
b & c-x
\end{array}\right|=x^{2}-(a+c)x+(ac-b^{2})
\]

\end_inset

y el discriminante de 
\begin_inset Formula $P_{A}(x)=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(a-c)^{2}+4b^{2}$
\end_inset

, es siempre mayor que 0 salvo que 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 ya sea diagonal con 
\begin_inset Formula $a=c$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 tiene dos valores propios distintos y por tanto diagonaliza.
 Si 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 son vectores propios de valores propios respectivos 
\begin_inset Formula $\alpha\neq\beta$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\alpha(u\cdot v)=(\alpha u)\cdot v=f_{A}(u)\cdot v=(Au)^{t}v=u^{t}A^{t}v=u^{t}Av=u\cdot f_{A}(v)=u\cdot\beta v=\beta(u\cdot v)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $(\alpha-\beta)(u\cdot v)=0$
\end_inset

 y como 
\begin_inset Formula $\alpha\neq\beta$
\end_inset

 se tiene 
\begin_inset Formula $u\bot v$
\end_inset

, luego la base en que diagonaliza 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 se puede escoger ortonormal.
 Finalmente, si 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 es la matriz cuyas columnas son estos vectores propios y su determinante
 es 
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset

, podemos cambiar el signo de una de las columnas para que el determinante
 sea 1.
\end_layout

\begin_layout Standard
Con esto podemos hacer dos reducciones a cualquier cónica 
\begin_inset Formula ${\cal G}$
\end_inset

 y encontrar un referencial ortonormal en que esta tenga ecuación reducida.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para la primera reducción, sea 
\begin_inset Formula 
\[
\overline{A}=\left(\begin{array}{c|c}
A & B\\
\hline B^{t} & d
\end{array}\right)
\]

\end_inset

 la matriz de 
\begin_inset Formula ${\cal G}$
\end_inset

 en un referencial ortonormal 
\begin_inset Formula $\Re$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 una matriz ortogonal con 
\begin_inset Formula $|Q|=1$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $Q^{t}AQ=Q^{-1}AQ$
\end_inset

 sea diagonal.
 Entonces, si consideramos el referencial 
\begin_inset Formula $\Re'$
\end_inset

 tal que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c}
X\\
\hline 1
\end{array}\right)=N\left(\begin{array}{c}
X'\\
\hline 1
\end{array}\right) & \text{con} & N:=\left(\begin{array}{c|c}
Q & 0\\
\hline 0 & 1
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset

la ecuación de 
\begin_inset Formula ${\cal G}$
\end_inset

 queda como
\begin_inset Formula 
\[
\left(N\left(\begin{array}{c}
X'\\
\hline 1
\end{array}\right)\right)^{t}\overline{A}N\left(\begin{array}{c}
X'\\
\hline 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c}
X'^{t} & 1\end{array}\right)N^{t}\overline{A}N\left(\begin{array}{c}
X'\\
\hline 1
\end{array}\right)=0
\]

\end_inset

 y la matriz de 
\begin_inset Formula ${\cal G}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\Re'$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c|c}
A' & B'\\
\hline B'^{t} & d'
\end{array}\right)=N^{t}\overline{A}N=\left(\begin{array}{c|c}
Q^{t} & 0\\
\hline 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c}
A & B\\
\hline B^{t} & d
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c|c}
Q & 0\\
\hline 0 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c}
Q^{t}AQ & Q^{t}B\\
\hline B^{t}Q & d
\end{array}\right)
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $A'=Q^{t}AQ$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B'=Q^{t}B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d'=d$
\end_inset

 y el término 
\begin_inset Formula $xy$
\end_inset

 se anula en la ecuación de 
\begin_inset Formula ${\cal G}$
\end_inset

, lo que nos deja con 
\begin_inset Formula 
\[
\lambda_{1}x'^{2}+\lambda_{2}y'^{2}+2mx'+2ny'+d=0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Este cambio es solo vectorial, pues no modifica el origen de coordenadas,
 y como 
\begin_inset Formula $|Q|=1$
\end_inset

, se trata de un giro.
 Para la segunda reducción, sea 
\begin_inset Formula $\delta\coloneqq \lambda_{1}\lambda_{2}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

, podemos suponer 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\lambda_{2}>0$
\end_inset

 (de lo contrario cambiamos de signo la ecuación), y completando cuadrados
 tenemos que 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}x'^{2}+2mx'=\lambda_{1}(x'+\frac{m}{\lambda_{1}})^{2}-\frac{m^{2}}{\lambda_{1}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}y'^{2}+2ny=\lambda_{2}(y+\frac{n}{\lambda_{2}})^{2}-\frac{n^{2}}{\lambda_{2}}$
\end_inset

.
 Nos queda entonces 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}(x'+\frac{m}{\lambda_{1}})^{2}+\lambda_{2}(y'+\frac{n}{\lambda_{2}})^{2}-\frac{m^{2}}{\lambda_{1}}-\frac{n^{2}}{\lambda_{2}}+d=0$
\end_inset

 y, haciendo la traslación de vector 
\begin_inset Formula $(\frac{m}{\lambda_{1}},\frac{n}{\lambda_{2}})$
\end_inset

, nos queda 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}x''^{2}+\lambda_{2}y''^{2}=q$
\end_inset

, lo que nos deja con una cónica de 
\series bold
tipo elíptico
\series default
.
 Si 
\begin_inset Formula $q>0$
\end_inset

 es una 
\series bold
elipse real
\series default
, si 
\begin_inset Formula $q=0$
\end_inset

 es un 
\series bold
punto
\series default
 y si 
\begin_inset Formula $q<0$
\end_inset

 es una 
\series bold
elipse imaginaria
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $\delta<0$
\end_inset

, por el mismo procedimiento llegamos a que 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}x''^{2}+\lambda_{2}y''^{2}=:q$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}$
\end_inset

 tienen signos opuestos, la ecuación es de 
\series bold
tipo hiperbólico
\series default
.
 Si 
\begin_inset Formula $q=0$
\end_inset

 tenemos un 
\series bold
par de rectas que se cortan
\series default
, dadas por 
\begin_inset Formula $y''=\pm\sqrt{-\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}}x''$
\end_inset

; de lo contrario es una 
\series bold
hipérbola
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $\delta=0$
\end_inset

, podemos suponer 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}\neq0$
\end_inset

 (no pueden ser ambos 0 porque entonces sería 
\begin_inset Formula $A=0$
\end_inset

).
 Nos queda entonces que 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}y'^{2}+2mx'+2ny'+d=0$
\end_inset

 y, completando cuadrados, que 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}(y'+\frac{n}{\lambda_{2}})^{2}-\frac{n^{2}}{\lambda_{2}}+2mx'+d=0$
\end_inset

, una ecuación de 
\series bold
tipo parabólico
\series default
.
 Si 
\begin_inset Formula $m\neq0$
\end_inset

 podemos escribir la ecuación como 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}(y'+\frac{n}{\lambda_{2}})^{2}+2m(x'-\frac{n^{2}}{2m\lambda_{2}}+\frac{d}{2m})=0$
\end_inset

, y la traslación de vector 
\begin_inset Formula $(\frac{d}{2m}-\frac{n^{2}}{2m\lambda_{2}},\frac{n}{\lambda_{2}})$
\end_inset

 nos lleva la ecuación a 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}y''^{2}+2mx''=0$
\end_inset

, y tenemos una parábola.
 Si 
\begin_inset Formula $m=0$
\end_inset

, nos queda 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}(y'+\frac{n}{\lambda_{2}})^{2}-\frac{n^{2}}{\lambda_{2}}+d=0$
\end_inset

 y la traslación de vector 
\begin_inset Formula $(0,\frac{n}{\lambda_{2}})$
\end_inset

 nos lleva la ecuación a 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}y''^{2}=q$
\end_inset

, con lo que tenemos 
\series bold
dos rectas paralelas
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\frac{q}{\lambda_{2}}>0$
\end_inset

, una 
\series bold
recta doble
\series default
 si 
\begin_inset Formula $q=0$
\end_inset

 o 
\series bold
dos rectas paralelas imaginarias
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\frac{q}{\lambda_{2}}<0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Nótese que la ecuación reducida obtenida no es exactamente como las que
 vimos en el tema anterior para las cónicas no degeneradas.
 Para obtener estas dividiríamos entre 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $\delta\neq0$
\end_inset

 o entre 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $\delta=0$
\end_inset

, intercambiaríamos coordenadas si fuera necesario (negando una de las dos
 para que el cambio sea ortonormal) y, para el caso de la parábola, la giraríamo
s 
\begin_inset Formula $\unit[180]{\mathring{}}$
\end_inset

 en su caso.
\end_layout

\begin_layout Section
Invariantes métricos
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una cónica con matriz proyectiva 
\begin_inset Formula $\overline{A}$
\end_inset

 y matriz principal 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, las cantidades 
\begin_inset Formula $\Delta\coloneqq |\overline{A}|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\delta\coloneqq |A|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s\coloneqq \text{tr}(A)$
\end_inset

, llamadas 
\series bold
invariantes métricos de la cónica
\series default
, se mantienen invariantes al cambiar a otro referencial ortonormal.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Consideremos el cambio de referencial dado por
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c}
X\\
\hline 1
\end{array}\right)=N\left(\begin{array}{c}
X'\\
\hline 1
\end{array}\right) & \text{con} & N:=\left(\begin{array}{c|c}
Q & R\\
\hline 0 & 1
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 ortogonal.
 Entonces la matriz de la cónica en la nueva referencia es 
\begin_inset Formula $N^{t}\overline{A}N$
\end_inset

 y la matriz principal es 
\begin_inset Formula $Q^{t}AQ$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $|N|=|Q|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q^{t}=Q^{-1}$
\end_inset

, se tiene 
\begin_inset Formula $|N^{t}\overline{A}N|=|Q^{t}\overline{A}Q|=|\overline{A}|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|Q^{t}AQ|=|A|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{tr}(Q^{t}AQ)=\text{tr}(A)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="4" columns="3">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="middle" width="24text%">
<column alignment="center" valignment="middle" width="33text%">
<column alignment="center" valignment="middle" width="33text%">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" bottomline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Delta\neq0$
\end_inset

: No degenerada
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Delta=0$
\end_inset

: Degenerada
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

: Ecuación elíptica
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Elipse, imaginaria si 
\begin_inset Formula $s\Delta>0$
\end_inset

 o real si 
\begin_inset Formula $s\Delta<0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Punto
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\delta<0$
\end_inset

: Ecuación hiperbólica
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Hipérbola
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Dos rectas secantes
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\delta=0$
\end_inset

: Ecuación parabólica
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Parábola
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Recta doble, o dos rectas paralelas reales o imaginarias
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Además, si 
\begin_inset Formula $\delta\neq0$
\end_inset

, la ecuación reducida es 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}x^{2}+\lambda_{2}y^{2}=-\frac{\Delta}{\delta}$
\end_inset

, mientras que si 
\begin_inset Formula $\delta=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Delta\neq0$
\end_inset

 la ecuación reducida es 
\begin_inset Formula $y^{2}+2\sqrt{-\frac{\Delta}{s^{3}}}x=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Consideremos 
\begin_inset Formula $\delta\neq0$
\end_inset

.
 Entonces tenemos una cónica de tipo elíptica o hiperbólica que tras la
 doble reducción es 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}x^{2}+\lambda_{2}y^{2}=q$
\end_inset

, con lo que
\begin_inset Formula 
\[
\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} &  & 0\\
 & \lambda_{2}\\
0 &  & -q
\end{array}\right|=-\lambda_{1}\lambda_{2}q=-\delta q
\]

\end_inset

y entonces 
\begin_inset Formula $q=-\frac{\Delta}{\delta}$
\end_inset

.
 Así, si 
\begin_inset Formula $\Delta=0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $q=0$
\end_inset

 y estamos en un caso degenerado, mientras que si 
\begin_inset Formula $\Delta\neq0$
\end_inset

 estamos en el correspondiente caso no degenerado.
 Si 
\begin_inset Formula $\delta=0$
\end_inset

, tras la primera reducción y suponiendo 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=0$
\end_inset

 tendríamos
\begin_inset Formula 
\[
\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & m\\
0 & \lambda_{2} & n\\
m & n & d
\end{array}\right|=-m^{2}\lambda_{2}
\]

\end_inset

Así, si 
\begin_inset Formula $\Delta=0$
\end_inset

 tenemos 
\begin_inset Formula $m=0$
\end_inset

 y estamos en un caso degenerado, mientras que si 
\begin_inset Formula $\Delta\neq0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $m^{2}\neq0$
\end_inset

 y la ecuación se reduce a 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}y^{2}+2mx=0$
\end_inset

, es decir, 
\begin_inset Formula $y^{2}+2\frac{m}{\lambda_{2}}x=0$
\end_inset

, y la ecuación se debe a que 
\begin_inset Formula $\frac{m}{\lambda_{2}}=\frac{1}{\lambda_{2}}\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_{2}}}=\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_{2}^{3}}}=\sqrt{-\frac{\Delta}{s^{3}}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Elementos geométricos
\end_layout

\begin_layout Standard
Una cónica es 
\series bold
centrada
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\delta\neq0$
\end_inset

, y llamamos 
\series bold
centro de simetría
\series default
 de una cónica a todo punto 
\begin_inset Formula $(x_{0},y_{0})$
\end_inset

 tal que la traslación dada por 
\begin_inset Formula $x'=x-x_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y'=y-y_{0}$
\end_inset

 elimina los términos en 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 de la ecuación.
 Una cónica centrada tiene un único centro de simetría que es la solución
 del sistema
\begin_inset Formula 
\[
AX=-B
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Si escribimos la traslación como
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c}
X\\
\hline 1
\end{array}\right)=N\left(\begin{array}{c}
X'\\
\hline 1
\end{array}\right) & N=\left(\begin{array}{c|c}
I & X_{0}\\
\hline 0 & 1
\end{array}\right) & X_{0}=\left(\begin{array}{c}
x_{0}\\
y_{0}
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}

\end_inset

la matriz de la cónica tras la traslación es
\begin_inset Formula 
\[
N^{t}\overline{A}N=\left(\begin{array}{c|c}
* & AX_{0}+B\\
\hline * & *
\end{array}\right)
\]

\end_inset

luego debe ser 
\begin_inset Formula $AX_{0}+B=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $AX=-B$
\end_inset

, sistema que tiene solución única porque 
\begin_inset Formula $|A|\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
ejes
\series default
 de una cónica a los del referencial ortonormal en que la cónica tiene ecuación
 reducida.
 Las direcciones de los ejes son los subespacios propios de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Las direcciones de los ejes tras la doble reducción son 
\begin_inset Formula $<(1,0)>$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $<(0,1)>$
\end_inset

 y multiplicando por la matriz de cambio de base 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

, cuyas columnas son los vectores propios de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, obtenemos los ejes en el referencial actual.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una elipse real o hipérbola 
\begin_inset Formula ${\cal G}$
\end_inset

 de matriz 
\begin_inset Formula $\overline{A}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\lambda_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}$
\end_inset

 son los valores propios de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, los semiejes principal y secundario de la cónica son 
\begin_inset Formula $\{a,b\}=\left\{ \sqrt{\left|\frac{\Delta}{\delta\lambda_{1}}\right|},\sqrt{\left|\frac{\Delta}{\delta\lambda_{1}}\right|}\right\} $
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Llevamos 
\begin_inset Formula ${\cal G}$
\end_inset

 a un referencial ortonormal donde 
\begin_inset Formula ${\cal G}\equiv\lambda_{1}x^{2}+\lambda_{2}y^{2}=q$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $q\neq0$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\frac{x^{2}}{\frac{q}{\lambda_{1}}}+\frac{y^{2}}{\frac{q}{\lambda_{2}}}=1$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\{a,b\}=\left\{ \sqrt{\left|\frac{q}{\lambda_{1}}\right|},\sqrt{\left|\frac{q}{\lambda_{2}}\right|}\right\} $
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $q=-\frac{\Delta}{\delta}$
\end_inset

, de donde se deduce la ecuación.
\end_layout

\begin_layout Standard
El eje de una parábola tiene por dirección el subespacio de vectores propios
 correspondiente al valor propio nulo.
 Para hallar el vértice, si el eje tiene pendiente 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, lo más fácil es derivar implícitamente 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 en función de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 y buscar un punto de la parábola en el que esta valga 
\begin_inset Formula $-\frac{1}{k}$
\end_inset

.
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
La validez de este procedimiento se desprende del teorema de la función
 implícita, estudiado en FVV3.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document