#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Una 
\series bold
forma bilineal
\series default
 en un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es una aplicación 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle:V\times V\rightarrow\mathbb{K}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall u,u_{1},u_{2},v,v_{1},v_{2}\in V,\lambda\in\mathbb{K}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\langle u_{1}+u_{2},v\rangle=\langle u_{1},v\rangle+\langle u_{2},v\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\langle u,v_{1}+v_{2}\rangle=\langle u,v_{1}\rangle+\langle u,v_{2}\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\langle\lambda u,v\rangle=\langle u,\lambda v\rangle=\lambda\langle u,v\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una forma bilineal es 
\series bold
simétrica
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall u,v\in V,\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$
\end_inset

, y es 
\series bold
alternada
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall u\in V,\langle u,u\rangle=0$
\end_inset

.
 En 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}=\mathbb{R}$
\end_inset

, una forma bilineal simétrica tal que 
\begin_inset Formula $\forall u\neq0,\langle u,u\rangle>0$
\end_inset

 es un 
\series bold
producto escalar
\series default
.
 Llamamos 
\series bold
espacio bilineal
\series default
 o 
\series bold
cuadrático
\series default
 a un par 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 formado por un espacio vectorial 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y una forma bilineal simétrica 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en él.
 Llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal B}(V)$
\end_inset

 al conjunto de formas bilineales simétricas en 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 una forma bilineal sobre el espacio vectorial 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 con base 
\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij}\coloneqq \langle e_{i},e_{j}\rangle)\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K})$
\end_inset

, entonces si 
\begin_inset Formula $x=\sum x_{i}e_{i}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y=\sum y_{i}e_{i}$
\end_inset

, se tiene 
\begin_inset Formula 
\[
\langle x,y\rangle=\langle\sum_{i}x_{i}e_{i},\sum_{j}y_{j}e_{j}\rangle=\sum_{i,j}\langle x_{i}e_{i},y_{j}e_{j}\rangle=\sum_{i,j}x_{i}y_{j}a_{ij}
\]

\end_inset

y por tanto 
\begin_inset Formula $\langle X,Y\rangle=X^{t}AY$
\end_inset

.
 La matriz 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es simétrica si 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 lo es, y se llama 
\series bold
matriz de la forma bilineal
\series default
 en la base dada.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
forma cuadrática
\series default
 en un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es una aplicación 
\begin_inset Formula $q:V\rightarrow\mathbb{K}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall u\in V,\lambda\in\mathbb{K}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $q(\lambda u)=\lambda^{2}q(u)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle:V\times V\rightarrow K$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\langle u,v\rangle\coloneqq \frac{1}{2}(q(u+v)-q(u)-q(v))$
\end_inset

 es una forma bilineal simétrica en 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, la 
\series bold
forma bilineal asociada
\series default
 o 
\series bold
forma polar
\series default
 de 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal Q}(V)$
\end_inset

 al conjunto de formas cuadráticas en 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 La aplicación 
\begin_inset Formula ${\cal Q}(V)\rightarrow{\cal B}(V)$
\end_inset

 que asocia a cada forma cuadrática su forma polar es biyectiva y su inversa
 asocia a cada forma bilineal simétrica la forma cuadrática dada por 
\begin_inset Formula $q(u)\coloneqq \langle u,u\rangle$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle\in{\cal B}(V)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q(u)\coloneqq \langle u,u\rangle$
\end_inset

, es claro que 
\begin_inset Formula $q(\lambda u)=\lambda^{2}q(u)$
\end_inset

.
 Por otra parte,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\frac{1}{2}(q(u+v)-q(u)-q(v))=\frac{1}{2}(\langle u+v,u+v\rangle-\langle u,u\rangle-\langle v,v\rangle)=\frac{1}{2}\cdot2\langle u,v\rangle=\langle u,v\rangle
\end{multline*}

\end_inset

Sean ahora 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 una forma cuadrática, 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 su forma bilineal asociada y 
\begin_inset Formula $q'\in{\cal Q}(V)$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $q'(u)=\langle u,u\rangle$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q'(u)=\langle u,u\rangle=\frac{1}{2}(q(2u)-q(u)-q(u))=\frac{1}{2}(4q(u)-2q(u))=q(u)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Esta correspondencia permite asociar una matriz 
\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K})$
\end_inset

 a una forma cuadrática 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 en un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial de dimensión 
\begin_inset Formula $n<+\infty$
\end_inset

, pues si 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es la forma polar de 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q(u)=\langle u,u\rangle=u^{t}Au$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Cambios de base
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 un espacio bilineal, 
\begin_inset Formula ${\cal C}\coloneqq (u_{1},\dots,u_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq (v_{1},\dots,v_{n})$
\end_inset

 bases de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 tiene matrices respectivas 
\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B\coloneqq (b_{ij})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 las matrices columna de las coordenadas de dos vectores en la base 
\begin_inset Formula ${\cal C}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X'$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y'$
\end_inset

 las de los mismos vectores en la base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 la matriz de cambio de base de 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula ${\cal C}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $X=PX'$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y=PY'$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $X^{t}AY=(PX')^{t}A(PY')=(X')^{t}(P^{t}AP)Y'$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $B=P^{t}AP$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos matrices 
\begin_inset Formula $A,B\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K})$
\end_inset

 son 
\series bold
congruentes
\series default
 si existe una matriz invertible 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $B=P^{t}AP$
\end_inset

, y escribimos 
\begin_inset Formula $A\sim B$
\end_inset

.
 Esta es una relación de equivalencia.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{AlgL}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A,B\in M_{n}(K)$
\end_inset

 son 
\series bold
semejantes
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\exists P\in M_{n}(K):B=P^{-1}AP$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dos formas bilineales 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $V'$
\end_inset

 son 
\series bold
equivalentes
\series default
, escrito 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle\sim\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

, si existen bases respectivas de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V'$
\end_inset

 respecto de las cuales las formas bilineales tiene la misma matriz asociada.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos espacios bilineales 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(V',\langle\cdot\rangle')$
\end_inset

 son 
\series bold
isométricos
\series default
 si existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V'$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall u,v\in V,\langle u,v\rangle=\langle f(u),f(v)\rangle'$
\end_inset

, y decimos que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es una 
\series bold
isometría
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados dos espacios bilineales 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(V',\langle\cdot\rangle')$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}'$
\end_inset

 son bases respectivas de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V'$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

 son las matrices respectivas de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

 respecto de 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}'$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
A\sim A'\iff\langle\cdot\rangle\sim\langle\cdot\rangle'\iff(V,\langle\cdot\rangle),(V',\langle\cdot\rangle')\text{ isométricos}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Existe 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 invertible tal que 
\begin_inset Formula $A'=P^{t}AP$
\end_inset

, luego en la base 
\begin_inset Formula ${\cal B}''$
\end_inset

 en la que 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es matriz de cambio de 
\begin_inset Formula ${\cal B}''$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 tiene matriz 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula ${\cal C}=:(v_{1},\dots,v_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal C}'=:(v'_{1},\dots,v'_{n})$
\end_inset

 son bases en las que 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

 tienen la misma matriz asociada 
\begin_inset Formula $C\coloneqq (c_{ij})$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\langle v_{i},v_{j}\rangle=c_{ij}=\langle v'_{i},v'_{j}\rangle$
\end_inset

, luego el isomorfismo 
\begin_inset Formula $v_{i}\mapsto v'_{i}$
\end_inset

 es una isometría.
\end_layout

\begin_layout Labeling
\labelwidthstring 00.00.0000
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 Sea 
\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V'$
\end_inset

 una isometría y 
\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq (v_{1},\dots,v_{n})$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula ${\cal B}'\coloneqq (f(v_{1}),\dots,f(v_{n}))$
\end_inset

 es una base de 
\begin_inset Formula $V'$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\langle v_{i},v_{j}\rangle=\langle f(v_{i}),f(v_{j})\rangle'=:c_{ij}$
\end_inset

, ambas formas bilineales tienen la misma matriz 
\begin_inset Formula $C\coloneqq (c_{ij})$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $A\sim C\sim A'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Ortogonalidad
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 un espacio bilineal y 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 un subespacio de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
subespacio ortogonal
\series default
 a 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 al subespacio 
\begin_inset Formula $E^{\bot}\coloneqq \{v\in V\mid \forall e\in E,\langle v,e\rangle=0\}$
\end_inset

.
 Dos vectores 
\begin_inset Formula $u,v\in V$
\end_inset

 son 
\series bold
ortogonales
\series default
, 
\series bold
perpendiculares
\series default
 o 
\series bold
conjugados
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\langle u,v\rangle=0$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
radical
\series default
 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Rad(V)\coloneqq V^{\bot}$
\end_inset

.
 Una forma bilineal simétrica 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es 
\series bold
no degenerada
\series default
 si 
\begin_inset Formula $Rad(V)=0$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es la matriz asociada a 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en la base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es no degenerada si y sólo si 
\begin_inset Formula $|A|\neq0$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula ${\cal B}=:(u_{1},\dots,u_{n})$
\end_inset

, un vector 
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
u:=\sum\alpha_{i}u_{i}\in Rad(V)\iff\langle u,v\rangle=0\forall v\in V\iff\langle u,u_{i}\rangle=0\forall i\iff\\
\iff\forall i,\left(\begin{array}{ccccc}
0 & \cdots & \overset{\underset{\downarrow}{i}}{1} & \cdots & 0\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{array}\right)=0
\end{multline*}

\end_inset

Por tanto el radical está formado por los vectores cuyas coordenadas constituyen
 el núcleo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, que se reduce al vector 0 si y sólo si 
\begin_inset Formula $|A|\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un vector es 
\series bold
isótropo
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\langle u,u\rangle=0$
\end_inset

, y un subespacio 
\begin_inset Formula $U\leq V$
\end_inset

 es (
\series bold
totalmente
\series default
) 
\series bold
isótropo
\series default
 si todo vector de 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

 es isótropo, y es 
\series bold
anisótropo
\series default
 si no contiene vectores isótropos no nulos.
 Si todos los vectores son isótropos, entonces 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es idénticamente nula, pues en tal caso 
\begin_inset Formula $0=\langle u+v,u+v\rangle=\langle u,u\rangle+\langle v,v\rangle+2\langle u,v\rangle=2\langle u,v\rangle$
\end_inset

 para cualesquiera 
\begin_inset Formula $u,v\in V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Diagonalización
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio bilineal 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $E\leq V$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle|_{E}$
\end_inset

 es no degenerada entonces 
\begin_inset Formula $V=E\oplus E^{\bot}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 La suma es directa porque 
\begin_inset Formula $E\cap E^{\bot}=Rad(E)=0$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula ${\cal B}\coloneqq (e_{1},\dots,e_{m})$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{m}(\mathbb{R})$
\end_inset

 la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle|_{E}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $|A|\neq0$
\end_inset

 y, dado 
\begin_inset Formula $u\in V$
\end_inset

, el sistema
\begin_inset Formula 
\[
A\left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{m}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\langle u,e_{1}\rangle\\
\vdots\\
\langle u,e_{m}\rangle
\end{array}\right)
\]

\end_inset

tiene solución única y 
\begin_inset Formula $x\coloneqq \sum x_{i}e_{i}\in E$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $v\coloneqq u-x$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $v\in E^{\bot}\iff\forall i,\langle e_{i},v\rangle=0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\langle e_{i},v\rangle=\langle e_{i},u\rangle-\sum_{j}x_{j}\langle e_{i},e_{j}\rangle=\langle e_{i},u\rangle-\sum_{j}a_{ij}x_{j}=0$
\end_inset

, luego todo vector 
\begin_inset Formula $u\in V$
\end_inset

 se puede descomponer en un vector 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

 y otro 
\begin_inset Formula $v\in E^{\bot}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, para todo espacio bilineal 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 existe una base ortogonal, y por tanto la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es siempre de la forma 
\begin_inset Formula $\text{diag}(d_{1},\dots,d_{m},0,\dots,0)$
\end_inset

 (matriz diagonal) con 
\begin_inset Formula $d_{i}\neq0\forall i\in\{1,\dots,m\}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 tiene dimensión 1 toda base es ortogonal.
 Supongamos que la dimensión de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

 y el teorema se cumple para dimensión 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es nula, toda base es ortogonal.
 De lo contrario existe un vector 
\begin_inset Formula $e_{1}$
\end_inset

 no isótropo y, si 
\begin_inset Formula $E\coloneqq <e_{1}>$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle|_{E}$
\end_inset

 es no degenerada, por lo que tenemos 
\begin_inset Formula $V=E\oplus E^{\bot}$
\end_inset

 y, por la hipótesis de inducción, 
\begin_inset Formula $E^{\bot}$
\end_inset

 tiene una base 
\begin_inset Formula $(e_{2},\dots,e_{n})$
\end_inset

 ortogonal y la base 
\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n})$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 también lo es.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A,B\in{\cal M}_{n}(\mathbb{K})$
\end_inset

 son congruentes si y sólo si una se puede obtener de la otra por operaciones
 elementales, las mismas por filas que por columnas.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Existe 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 invertible tal que 
\begin_inset Formula $P^{t}AP=B$
\end_inset

.
 Al ser invertible debe ser producto de matrices elementales, 
\begin_inset Formula $P^{t}=:E_{1}\cdots E_{k}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $B=E_{k}\cdots E_{1}AE_{1}^{t}\cdots E_{k}^{t}$
\end_inset

, pero la traspuesta de una matriz elemental que representa una operación
 por filas representa la misma operación por columnas.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $B=E_{k}\cdots E_{1}AE_{1}^{t}\cdots E_{k}^{t}$
\end_inset

, basta tomar 
\begin_inset Formula $P\coloneqq E_{1}^{t}\cdots E_{k}^{t}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, para obtener a partir de una matriz simétrica 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 una matriz diagonal congruente:
\end_layout

\begin_layout Standard

\family sans
\begin_inset Box Frameless
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "100col%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\series bold
operación
\series default
 diagonalizar(var 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(\mathbb{K})$
\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
si
\series default
 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

 
\series bold
y
\series default
 
\begin_inset Formula $A\neq0$
\end_inset

 
\series bold
entonces
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
si
\series default
 la primera columna es no nula 
\series bold
entonces
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
si
\series default
 no hay ningún 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{ii}\neq0$
\end_inset

 
\series bold
entonces
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Sumar a la fila 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 la fila 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, para algún 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{i1}\neq0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Sumar a la columna 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 la columna 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
finsi
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Tomar 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{ii}\neq0$
\end_inset

; intercambiar filas 1 e 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y columnas 1 e 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Hacer ceros en la primera columna con operaciones fila
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Hacer las mismas operaciones columna 
\begin_inset Formula $//$
\end_inset

 
\emph on
Lo que hace ceros en la primera fila
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
finsi
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

diagonalizar(A[2..n,2..n])
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
finsi
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para recordar los cambios, escribimos una matriz identidad al lado de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y registramos en ella las operaciones elementales de filas, o bien las
 de columnas.
 La 
\series bold
diagonalización por completación de cuadrados
\series default
 es igual pero trabajando con la forma cuadrática:
\end_layout

\begin_layout Standard

\family sans
\begin_inset Box Frameless
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "100col%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
thickness "0.4pt"
separation "3pt"
shadowsize "4pt"
framecolor "black"
backgroundcolor "none"
status open

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\series bold
operación
\series default
 diagonalizar(var 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula ${\cal Q}(\mathbb{K}^{n})$
\end_inset

) 
\begin_inset Formula $//$
\end_inset

 
\emph on
Trabajamos con coordenadas
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
si
\series default
 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

 
\series bold
y
\series default
 
\begin_inset Formula $q\neq0$
\end_inset

 
\series bold
entonces
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
si
\series default
 el valor de 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 depende de 
\begin_inset Formula $x_{1}$
\end_inset

 
\series bold
entonces
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
si
\series default
 no hay ningún elemento 
\begin_inset Formula $a_{ii}x_{i}^{2}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{ii}\neq0$
\end_inset

 
\series bold
entonces
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Tomar un término 
\begin_inset Formula $a_{ij}x_{i}x_{j}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{ij}\neq0$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Hacer el cambio 
\begin_inset Formula $x_{i}=:x'_{i}+x'_{j}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x_{j}=:x'_{i}-x'_{j}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{k}=:x'_{k},k\neq i,j$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
finsi
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Tomar 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{ii}\neq0$
\end_inset

; intercambiar 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Tomar 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $q(x_{1},\dots,x_{n})=:a_{11}x_{1}^{2}+x_{1}p(x_{2},\dots,x_{n})+r(x_{2},\dots,x_{n})$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Reescribir 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $a_{11}(x_{1}+\frac{p(x_{2},\dots,x_{n})}{2a_{11}})^{2}-\frac{p(x_{2},\dots,x_{n})}{4a_{11}}+r(x_{2},\dots,x_{n})$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

Hacer el cambio 
\begin_inset Formula $x'_{1}\coloneqq x_{1}+\frac{p(x_{2},\dots,x_{n})}{2a_{11}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x'_{j}\coloneqq x_{j},j\neq1$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
finsi
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset

diagonalizar(
\begin_inset Formula $q(0,x_{2},\dots,x_{n})$
\end_inset

)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

\family sans
\begin_inset space \hspace{}
\length 5ex
\end_inset


\series bold
finsi
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, todo endomorfismo simétrico 
\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
\end_inset

 diagonaliza con una base ortonormal de vectores propios.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}$
\end_inset

 los valores propios de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $U\coloneqq V_{(\alpha_{1})}\oplus\dots\oplus V_{(\alpha_{m})}$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $V_{(\alpha_{i})}$
\end_inset

 el subespacio propio correspondiente al valor propio 
\begin_inset Formula $\alpha_{i}$
\end_inset

.
 Para ver que 
\begin_inset Formula $U=V$
\end_inset

, primero observamos que 
\begin_inset Formula $f(U)\subseteq U$
\end_inset

, pues si 
\begin_inset Formula $v_{i}\in V_{(\alpha_{i})}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f(\sum\lambda_{i}v_{i})=\sum\lambda_{i}\alpha_{i}v_{i}\in U$
\end_inset

.
 Por otro lado, si 
\begin_inset Formula $u\in U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $w\in U^{\bot}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $f(u)\in U$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle f(w),u\rangle=0=\langle w,f(u)\rangle$
\end_inset

.
 Consideremos el endomorfismo simétrico 
\begin_inset Formula $f|_{U^{\bot}}$
\end_inset

.
 Como todos los vectores propios de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 están en 
\begin_inset Formula $U$
\end_inset

, el endomorfismo 
\begin_inset Formula $f|_{U^{\bot}}$
\end_inset

 no tiene vectores propios y por tanto 
\begin_inset Formula $U^{\bot}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $U=V$
\end_inset

.
 Si tomamos una base ortonormal de cada 
\begin_inset Formula $V_{(\alpha_{i})}$
\end_inset

, al juntarlas obtenemos una base de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 ortonormal.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí que toda matriz simétrica real 
\begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{m}(\mathbb{R})$
\end_inset

 admite una matriz ortogonal 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $P^{-1}AP=P^{t}AP$
\end_inset

 es diagonal.
\end_layout

\begin_layout Section
Rango
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 un espacio bilineal y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en cierta base, llamamos 
\series bold
rango
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{rg}(\langle\cdot\rangle)\coloneqq \text{rg}(A)=\dim(V)-\dim Rad(\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

.
 Dadas las formas bilineales 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle\sim\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

 en un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{rg}(\langle\cdot\rangle)=\text{rg}(\langle\cdot\rangle')$
\end_inset

 y, si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 son las matrices respectivas de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $|B|=\lambda^{2}|A|$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $A\sim B$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 invertible tal que 
\begin_inset Formula $B=P^{t}AP$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 tienen igual rango y 
\begin_inset Formula $|B|=\lambda^{2}|A|$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lambda\coloneqq |P|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

%
\backslash
begin{sloppypar}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un cuerpo es 
\series bold
algebraicamente cerrado
\series default
 si cualquier polinomio con coeficientes en 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

 tiene todas sus raíces en 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

.
 Como 
\series bold
teorema
\series default
, dos formas bilineales simétricas 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

 con igual rango en un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

 algebraicamente cerrado, son equivalentes.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sabemos que en cierta base, la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $D\coloneqq \text{diag}(d_{1},\dots,d_{m},0,\dots,0)$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $m\coloneqq \text{rg}(\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $d_{1},\dots,d_{m}\neq0$
\end_inset

.
 Tomando la matriz in
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

ver
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

ti
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

ble 
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
P:=\text{diag}(\frac{1}{\sqrt{d_{1}}},\dots,\frac{1}{\sqrt{d_{m}}},1,\dots,1)
\]

\end_inset

 tenemos que 
\begin_inset Formula 
\[
P^{t}DP=\text{diag}(\overset{m}{\overbrace{1,\dots,1}},0,\dots,0)
\]

\end_inset

Haciendo lo mismo con 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

 obtenemos que su matriz en cierta base también es congruente con esta misma
 matriz, luego ambas son congruentes.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por tanto, dadas dos matrices simétricas 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, 
\begin_inset Formula $A\sim B\iff\text{rg}(A)=\text{rg}(B)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Cuerpos ordenados y signatura
\end_layout

\begin_layout Standard
Un cuerpo 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

 es 
\series bold
ordenado
\series default
 si existe un 
\begin_inset Formula $P\subseteq\mathbb{K}$
\end_inset

, cuyos elementos se llaman 
\series bold
positivos
\series default
, tal que:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{K}=P\dot{\cup}\{0\}\dot{\cup}-P$
\end_inset

.
 A los elementos de 
\begin_inset Formula $-P\coloneqq \{-x\}_{x\in P}$
\end_inset

 los llamamos 
\series bold
negativos
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $x,y\in P$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x+y,xy\in P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por ejemplo, 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 son ordenados, mientras que 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 no lo es.
 Escribimos 
\begin_inset Formula $x\geq0$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es positivo o 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

, y definimos la relación de orden total 
\begin_inset Formula $x\leq y:\iff y-x\geq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una forma bilineal 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

 ordenado, es:
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Semidefinida positiva
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall u\in V,\langle u,u\rangle\geq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Semidefinida negativa
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall u\in V,\langle u,u\rangle\leq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Definida positiva
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall u\neq0,\langle u,u\rangle>0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize

\series bold
Definida negativa
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall u\neq0,\langle u,u\rangle<0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Las mismas definiciones se aplican a una forma cuadrática.
 Sean 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 un espacio bilineal sobre un cuerpo 
\begin_inset Formula $\mathbb{\mathbb{K}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A\coloneqq (a_{ij})$
\end_inset

 la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en cierta base 
\begin_inset Formula ${\cal C}\coloneqq (e_{1},\dots,e_{n})$
\end_inset

 y definimos
\begin_inset Formula 
\[
d_{1}=a_{11},d_{2}=\left|\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|,\dots,d_{n}=|A|
\]

\end_inset

 Si los 
\begin_inset Formula $d_{1},\dots,d_{n}$
\end_inset

 son todos no nulos, hay una base en que la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\text{diag}(d_{1},\frac{d_{2}}{d_{1}},\dots,\frac{d_{n}}{d_{n-1}})$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $E\coloneqq <e_{1},\dots,e_{n-1}>$
\end_inset

, la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es la matriz 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 sin la última fila y columna, cuyo determinante es 
\begin_inset Formula $d_{n-1}\neq0$
\end_inset

, luego es no degenerada y 
\begin_inset Formula $V=E\oplus E^{\bot}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $v\in E^{\bot}\backslash\{0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n-1},v)$
\end_inset

 es una base de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

, y la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en esta base es
\begin_inset Formula 
\[
B:=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & \cdots & a_{1,n-1} & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,n-1} & 0\\
0 & \cdots & 0 & b
\end{array}\right)
\]

\end_inset

Tenemos 
\begin_inset Formula $A\sim B$
\end_inset

, luego existe 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 invertible con 
\begin_inset Formula $A=P^{t}BP$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $\lambda\coloneqq |P|$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|A|=\lambda^{2}|B|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d_{n}=\lambda^{2}d_{n-1}b$
\end_inset

, y entonces la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en la base 
\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n-1},w\coloneqq \lambda v)$
\end_inset

 es como 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 pero cambiando 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\frac{d_{n}}{d_{n-1}}$
\end_inset

.
 El resultado sigue por inducción.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí que, si además 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

 es ordenado, la forma bilineal es definida positiva si y sólo si 
\begin_inset Formula $d_{1},\dots,d_{n}>0$
\end_inset

, y es definida negativa si y sólo si 
\begin_inset Formula $d_{1}<0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d_{2}>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d_{3}<0$
\end_inset

, etc.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de Sylvester
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 es un espacio bilineal sobre un cuerpo 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

 ordenado, 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 se descompone en suma directa ortogonal como 
\begin_inset Formula $V=V_{+}\oplus V_{-}\oplus V_{0}$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 restringida a 
\begin_inset Formula $V_{+}$
\end_inset

, a 
\begin_inset Formula $V_{-}$
\end_inset

 y a 
\begin_inset Formula $V_{0}$
\end_inset

 es definida positiva, definida negativa y nula, respectivamente.
 Además, 
\begin_inset Formula $p\coloneqq \dim(V_{+})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m\coloneqq \dim(V_{-})$
\end_inset

 son únicos, y al par 
\begin_inset Formula $(p,m)$
\end_inset

 lo llamamos la 
\series bold
signatura
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula ${\cal C}\coloneqq (e_{1},\dots,e_{n})$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 donde la matriz de la forma bilineal es 
\begin_inset Formula 
\[
\text{diag}(d_{1},\dots,d_{p},d_{p+1},\dots,d_{p+m},0,\dots,0)
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $d_{i}>0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,p\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d_{i}<0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\in\{p+1,\dots,p+m\}$
\end_inset

.
 Es claro que la descomposición dada por 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
V_{+}:=<e_{1},\dots,e_{p}>, & V_{-}:=<e_{p+1},\dots,e_{p+m}>, & V_{0}:=<e_{p+m+1},\dots,e_{n}>
\end{eqnarray*}

\end_inset

 cumple las condiciones.
 Para la unicidad, supongamos 
\begin_inset Formula $V=V_{+}\oplus V_{-}\oplus V_{0}=W_{+}\oplus W_{-}\oplus W_{0}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $\pi_{+}:V\rightarrow V_{+}$
\end_inset

 la proyección canónica de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $V_{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\ker(\pi|_{W_{+}})=\ker(\pi)\cap W_{+}=(V_{-}\oplus V_{0})\cap W_{+}$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $u\in(V_{-}\oplus V_{0})\cap W_{+}$
\end_inset

, tenemos que 
\begin_inset Formula $u=u_{-}+u_{0}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $u_{-}\in V_{-}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u_{0}\in V_{0}$
\end_inset

 y como 
\begin_inset Formula $u\in W_{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle u,u\rangle\geq0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula 
\[
0\leq\langle u,u\rangle=\langle u_{-},u_{-}\rangle+2\langle u_{-},u_{0}\rangle+\langle u_{0},u_{0}\rangle=\langle u_{-},u_{-}\rangle\leq0
\]

\end_inset

de donde 
\begin_inset Formula $\langle u,u\rangle=0$
\end_inset

 y, por ser 
\begin_inset Formula $u\in W_{+}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $u=0$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $\pi|_{W_{+}}$
\end_inset

 es inyectiva y 
\begin_inset Formula $\dim W_{+}\leq\dim V_{+}$
\end_inset

.
 De forma parecida podemos probar que 
\begin_inset Formula $\dim W_{-}\leq\dim V_{-}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\dim W_{0}\leq\dim W_{0}$
\end_inset

, probando el teorema.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí que, si 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle')$
\end_inset

 son espacios bilineales isométricos sobre un cuerpo 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

 ordenado, entonces 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

 tienen la misma signatura.
 La 
\series bold
ley de inercia de Sylvester
\series default
 afirma que, si 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}=\mathbb{R}$
\end_inset

, el recíproco de esto también se cumple.
 En efecto, si 
\begin_inset Formula $(p,m)$
\end_inset

 es la signatura de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

, existe una base de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 en que la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\text{diag}(d_{1},\dots,d_{p},d_{p+1},\dots,d_{p+m},0,\dots,0)$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $d_{1},\dots,d_{p}>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d_{p+1},\dots,d_{p+m}<0$
\end_inset

, pero los positivos difieren de 1 en un cuadrado y los negativos de 
\begin_inset Formula $-1$
\end_inset

 en un cuadrado, por lo que hay una base en que la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula 
\[
D:=\text{diag}(\overset{p}{\overbrace{1,\dots,1}},\overset{m}{\overbrace{-1,\dots,-1}},0,\dots,0)
\]

\end_inset

y, análogamente, hay una base en que la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle'$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Descomposición de Witt
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 un espacio bilineal, llamamos 
\series bold
simetría respecto al vector
\series default
 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

 no isótropo a la isometría 
\begin_inset Formula $s_{v}:V\rightarrow V$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
s_{v}(u)=-u+2\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $u,v\in V$
\end_inset

 no isótropos con 
\begin_inset Formula $\langle u,u\rangle=\langle v,v\rangle$
\end_inset

, existe una isometría 
\begin_inset Formula $f:V\rightarrow V$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(u)=v$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $u+v$
\end_inset

 es no isótropo,
\begin_inset Formula 
\[
s_{u+v}(u)=-u+\frac{2\langle u,u\rangle+2\langle u,v\rangle}{\langle u,u\rangle+\langle v,v\rangle+2\langle u,v\rangle}(u+v)=-u+\frac{2\langle u,u\rangle+2\langle u,v\rangle}{2\langle u,u\rangle+2\langle u,v\rangle}(u+v)=v
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $u+v$
\end_inset

 es isótropo, 
\begin_inset Formula $u-v$
\end_inset

 no lo es, pues 
\begin_inset Formula $\langle u+v,u+v\rangle+\langle u-v,u-v\rangle=4\langle u,u\rangle\neq0$
\end_inset

, y entonces definimos 
\begin_inset Formula $t(w)\coloneqq -w$
\end_inset

 y vemos que 
\begin_inset Formula $(t\circ s_{u-v})(u)=v$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $D_{1}\coloneqq \text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},b_{r+1},\dots,b_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $D_{2}\coloneqq \text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},c_{r+1},\dots,c_{n})$
\end_inset

 son matrices con 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{r}\neq0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $D_{1}$
\end_inset

 es congruente con 
\begin_inset Formula $D_{2}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\text{diag}(b_{r+1},\dots,b_{n})$
\end_inset

 lo es con 
\begin_inset Formula $\text{diag}(c_{r+1},\dots,c_{n})$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Basta ver que esto se cumple con 
\begin_inset Formula $r=1$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $D_{1}=\text{diag}(a,b_{2},\dots,b_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $D_{2}=\text{diag}(a,c_{2},\dots,c_{n})$
\end_inset

 matrices de una forma bilineal 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en las bases 
\begin_inset Formula $(u_{1},\dots,u_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(v_{1},\dots,v_{n})$
\end_inset

, respectivamente.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\langle u_{1},u_{1}\rangle=a=\langle v_{1},v_{1}\rangle\neq0$
\end_inset

 y existe una isometría 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $s(u_{1})=v_{1}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\{s(u_{1}),\dots,s(u_{n})\}$
\end_inset

 es base ortogonal de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $E\coloneqq <s(u_{2}),\dots,s(u_{n})>=<s(u_{1})>^{\bot}=<v_{1}>^{\bot}=<v_{2},\dots,v_{n}>$
\end_inset

.
 La matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle|_{E}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\text{diag}(b_{2},\dots,b_{n})$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $(s(u_{2}),\dots,s(u_{n}))$
\end_inset

 y es 
\begin_inset Formula $\text{diag}(c_{2},\dots,c_{n})$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $(v_{2},\dots,v_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
corolario de cancelación de Witt
\series default
 afirma que si 
\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\leq V$
\end_inset

 son tales que 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle|_{U_{1}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle|_{U_{2}}$
\end_inset

 son no degeneradas y 
\begin_inset Formula $U_{1}$
\end_inset

 es isométrico a 
\begin_inset Formula $U_{2}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $U_{1}^{\bot}$
\end_inset

 es isométrico a 
\begin_inset Formula $U_{2}^{\bot}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Tenemos 
\begin_inset Formula $V=U_{1}\oplus U_{1}^{\bot}=U_{2}\oplus U_{2}^{\bot}$
\end_inset

, existen bases respectivas 
\begin_inset Formula $(u_{1},\dots,u_{r})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(v_{1},\dots,v_{r})$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $U_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $U_{2}$
\end_inset

 respecto de las cuales la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle|_{U_{1}}$
\end_inset

 y de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle|_{U_{2}}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\text{diag}(a_{1},\dots,a_{r})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{r}\neq0$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $(u_{r+1},\dots,u_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(v_{r+1},\dots,v_{n})$
\end_inset

 bases respectivas de 
\begin_inset Formula $U_{1}^{\bot}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $U_{2}^{\bot}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $D_{1}\coloneqq \text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},b_{r+1},\dots,b_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $D_{2}\coloneqq \text{diag}(a_{1},\dots,a_{r},c_{r+1},\dots,c_{n})$
\end_inset

 son las matrices de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 res
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

pec
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

to de 
\begin_inset Formula $(u_{1},\dots,u_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(v_{1},\dots,v_{n})$
\end_inset

, respectivamente, entonces 
\begin_inset Formula $D_{1}\sim D_{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{diag}(b_{r+1},\dots,b_{n})\sim\text{diag}(c_{r+1},\dots,c_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
plano hiperbólico
\series default
 es un espacio bilineal 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 de dimensión 2 donde 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 contiene vectores isótropos no nulos y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es no degenerada.
 Un espacio bilineal 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 de dimensión 2 es un plano hiperbólico si y sólo si existe una base de
 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 respecto la cual la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\text{diag}(1,-1)$
\end_inset

.
 Por tanto todos los planos hiperbólicos sobre un mismo cuerpo son isométricos.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $u\neq0$
\end_inset

 isótropo, 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $(u,v)$
\end_inset

 es una base y 
\begin_inset Formula $v'\coloneqq \frac{v}{\langle u,v\rangle}$
\end_inset

, la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $(u,v')$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
A:=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & a
\end{array}\right)
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $a\coloneqq \langle v',v'\rangle$
\end_inset

.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $w\coloneqq xu+v'$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\langle w,w\rangle=1$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $1=\langle xu+v',xu+v'\rangle=x^{2}\langle u,u\rangle+\langle v',v'\rangle+2x\langle u,v'\rangle=a+2x$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $w=\frac{1-a}{2}u+v'$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $w'\in<w>^{\bot}$
\end_inset

, la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en la base 
\begin_inset Formula $(w,w')$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
B:=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & b
\end{array}\right)
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $b\coloneqq \langle w',w'\rangle$
\end_inset

.
 Las matrices 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 son congruentes, luego sus determinantes difieren en un cuadrado y 
\begin_inset Formula $b=-\lambda^{2}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $w''=\frac{w'}{\lambda}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle w'',w''\rangle=-1$
\end_inset

 y la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $(w,w'')$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si identificamos los vectores con sus coordenadas respecto a la base en
 la que la matriz de 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\text{diag}(1,-1)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $(1,-1)$
\end_inset

 es isótropo no nulo y, si hubiera un 
\begin_inset Formula $v\coloneqq (v_{1},v_{2})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\langle u,v\rangle=0\forall u$
\end_inset

, en particular 
\begin_inset Formula $\langle(1,0),v\rangle=v_{1}=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle(0,1),v\rangle=-v_{2}=0$
\end_inset

 y sería 
\begin_inset Formula $v=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es no degenerada.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\dim(V)\geq2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 contiene vectores isótropos no nulos y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 es no degenerada, entonces 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 contiene un plano hiperbólico.
 En efecto, sea 
\begin_inset Formula $u\neq0$
\end_inset

 isótropo, existe 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\langle u,v\rangle=0$
\end_inset

, pues de lo contrario 
\begin_inset Formula $u\in\text{Rad}(V)=0$
\end_inset

, y podemos ver que 
\begin_inset Formula $<u,v>$
\end_inset

 es un plano hiperbólico.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de descomposición de Witt
\series default
 afirma que, sea 
\begin_inset Formula $(V,\langle\cdot\rangle)$
\end_inset

 un espacio bilineal con 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle$
\end_inset

 no degenerada, entonces 
\begin_inset Formula 
\[
V=:P_{1}\oplus\dots\oplus P_{s}\oplus W
\]

\end_inset

siendo 
\begin_inset Formula $P_{1},\dots,P_{k}$
\end_inset

 planos hiperbólicos y 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 anisótropo, y si 
\begin_inset Formula $V=Q_{1}\oplus\dots\oplus Q_{t}\oplus W'$
\end_inset

 es otra descomposición ortogonal de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $Q_{1},\dots,Q_{t}$
\end_inset

 planos hiperbólicos y 
\begin_inset Formula $W'$
\end_inset

 anisótropo, entonces 
\begin_inset Formula $s=t$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 es isométrico a 
\begin_inset Formula $W'$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
descomposición de Witt
\series default
 a cualquiera de este tipo, y llamamos a 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 el 
\series bold
índice de Witt
\series default
.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $\dim(V)=1$
\end_inset

, si hubiera un vector 
\begin_inset Formula $u\neq0$
\end_inset

 isótropo, sería 
\begin_inset Formula $\langle\lambda u,u\rangle=0$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\text{Rad}(V)\neq0\#$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es anisótropo.
 Si 
\begin_inset Formula $n\coloneqq \dim(V)\geq2$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 no es anisótropo, debe contener un plano hiperbólico 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V=P\oplus P^{\bot}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\langle\cdot\rangle|_{P^{\bot}}$
\end_inset

 es no degenerada y por tanto el resultado sigue por inducción.
 Para la unicidad, sea 
\begin_inset Formula $V=P_{1}\oplus\dots\oplus P_{s}\oplus W=Q_{1}\oplus\dots\oplus Q_{t}\oplus W'$
\end_inset

 y supongamos 
\begin_inset Formula $t\geq s$
\end_inset

.
 Como todos los planos hiperbólicos sobre un mismo cuerpo son isométricos,
 
\begin_inset Formula $P_{1}\oplus\dots\oplus P_{s}$
\end_inset

 es isométrico a 
\begin_inset Formula $Q_{1}\oplus\dots\oplus Q_{s}$
\end_inset

 y, por el teorema de cancelación de Witt, 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 es isométrico a 
\begin_inset Formula $Q_{s+1}\oplus\dots\oplus Q_{t}\oplus W'$
\end_inset

.
 Entonces debe ser 
\begin_inset Formula $t=s$
\end_inset

 porque de lo contrario tendríamos un subespacio anisótropo isométrico a
 uno que no lo es, y por tanto 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 debe ser isométrico a 
\begin_inset Formula $W'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Cónicas proyectivas y formas cuadráticas
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
cónica proyectiva
\series default
 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})$
\end_inset

 es una clase de equivalencia en el conjunto de polinomios homogéneos de
 grado 2 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}[x,y,z]$
\end_inset

, o de formas cuadráticas no nulas de dimensión 3, bajo la relación 
\begin_inset Formula $q\sim q':\iff\exists\lambda\in\mathbb{K}\backslash\{0\}:q'=\lambda q$
\end_inset

.
 Escribimos 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{q}\coloneqq [q]$
\end_inset

, y la identificamos con el conjunto de puntos 
\begin_inset Formula $[a,b,c]$
\end_inset

 en los que 
\begin_inset Formula $q(a,b,c)=0$
\end_inset

.
 En 
\begin_inset Formula $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{R})$
\end_inset

, una cónica proyectiva es la ampliación proyectiva de una cónica afín de
 matriz proyectiva igual a la matriz de la forma cuadrática:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Dada una elipse de ecuación 
\begin_inset Formula $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
\end_inset

, su homogeneización es 
\begin_inset Formula $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2}$
\end_inset

.
 Los puntos del infinito son aquellos en que 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

, siendo la única solución cuando 
\begin_inset Formula $x=y=0$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $[0,0,0]$
\end_inset

 no existe, la elipse no tiene puntos en el infinito.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Dada una hipérbola de ecuación 
\begin_inset Formula $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
\end_inset

, su homogeneización es 
\begin_inset Formula $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2}$
\end_inset

 y vemos que sus puntos del infinito son aquellos en que 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $x=\pm\frac{a}{b}y$
\end_inset

, con lo que la hipérbola tiene dos puntos del infinito correspondientes
 a sus asíntotas.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Dada una parábola de ecuación 
\begin_inset Formula $y^{2}=2px$
\end_inset

, su homogeneización es 
\begin_inset Formula $y^{2}=2pxz$
\end_inset

, siendo los puntos en el infinito aquellos en que 
\begin_inset Formula $y=z=0$
\end_inset

, con lo que la parábola tiene un punto en el infinito correspondiente a
 su eje.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos puntos 
\begin_inset Formula $P,Q\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})$
\end_inset

 son 
\series bold
conjugados
\series default
 respecto de una cónica proyectiva de matriz proyectiva 
\begin_inset Formula $\overline{A}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $[P]^{t}\overline{A}[Q]=0$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $P\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})$
\end_inset

 es un punto 
\series bold
singular
\series default
 respecto de una cónica proyectiva si es conjugado de cualquier 
\begin_inset Formula $Q\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})$
\end_inset

, y es 
\series bold
regular
\series default
 en caso contrario.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula ${\cal Q}$
\end_inset

 una cónica no degenerada de matriz 
\begin_inset Formula $\overline{A}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
recta polar
\series default
 de 
\begin_inset Formula $P\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})$
\end_inset

 respecto de 
\begin_inset Formula ${\cal Q}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $r_{P}\coloneqq \{X\in\mathbb{P}^{2}(\mathbb{K})\mid [P]^{t}\overline{A}[X]=0\}$
\end_inset

, y decimos que 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es el 
\series bold
polo
\series default
 de la recta 
\begin_inset Formula $r_{P}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una recta es 
\series bold
tangente
\series default
 a una cónica si la corta en un único punto.
 Por el principio de dua
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

li
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

dad del plano proyectivo, podemos describir una cónica mediante los puntos
 que le pertenecen o como el conjunto de todas sus tangentes.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una cónica es 
\series bold
no degenerada
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\Delta\coloneqq |\overline{A}|\neq0$
\end_inset

.
 Dos cónicas 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{q}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{q'}$
\end_inset

 son 
\series bold
proyectivamente equivalentes
\series default
 si podemos transformar una en la otra mediante un cambio de coordenadas
 proyectivas, si y sólo si la signatura de la forma bilineal asociada a
 una es igual u opuesta a la de la otra.
 Esto resulta en los siguientes tipos de cónicas:
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="6" columns="4">
<features tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Rango
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Signatura
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Ecuación reducida
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Tipo de cónica
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(3,0)/(0,3)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
No degenerada imaginaria
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell multirow="4" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(2,1)/(1,2)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
No degenerada real
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell multirow="3" alignment="center" valignment="middle" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(2,0)/(0,2)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $x^{2}+y^{2}=0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Punto
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell multirow="4" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(1,1)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $x^{2}-y^{2}=0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Par de rectas distintas
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $(1,0)/(0,1)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $x^{2}=0$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
Recta doble
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document