#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \begin_preamble \input{../defs} \end_preamble \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style french \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard Un \series bold grupo abeliano \series default es un par \begin_inset Formula $(A,+)$ \end_inset formado por un conjunto \begin_inset Formula $A$ \end_inset y una \series bold suma \series default \begin_inset Formula $+:A\times A\to A$ \end_inset asociativa, conmutativa, con un elemento neutro \begin_inset Formula $0\in A$ \end_inset llamado \series bold cero \series default y en el que cada \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset posee un simétrico u \series bold opuesto \series default \begin_inset Formula $-a$ \end_inset . Un \series bold anillo \series default es una terna \begin_inset Formula $(A,+,\cdot)$ \end_inset formada por un grupo abeliano \begin_inset Formula $(A,+)$ \end_inset y un \series bold producto \series default \begin_inset Formula $\cdot:A\times A\to A$ \end_inset asociativo y distributivo respecto a la suma ( \begin_inset Formula $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$ \end_inset y \begin_inset Formula $c\cdot(a+b)=(c\cdot a)+(c\cdot b)$ \end_inset ). \end_layout \begin_layout Standard El producto tiene precedencia sobre la suma, y escribimos \begin_inset Formula $a-b\coloneqq a+(-b)$ \end_inset y \begin_inset Formula $ab\coloneqq a\cdot b$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un anillo y \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , definimos \begin_inset Formula $0a=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $a^{0}=1$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula $(n+1)a\coloneqq na+a$ \end_inset y \begin_inset Formula $a^{n+1}\coloneqq a^{n}a$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un anillo es \series bold conmutativo \series default si su producto es conmutativo, y tiene \series bold identidad \series default si este tiene elemento neutro \begin_inset Formula $1\in A$ \end_inset llamado \series bold uno \series default . Salvo que se indique lo contrario, al hablar de anillos nos referiremos a anillos conmutativos y con identidad. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset son anillos con la suma y el producto usuales. \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $c\in\mathbb{C}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[c]\coloneqq\left\{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}c^{n}\right\} _{a\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}}\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset es un anillo con la suma y el producto de complejos, y en particular lo es \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\text{i}]\coloneqq\{a+b\text{i}\}_{a,b\in\mathbb{Z}}$ \end_inset , el \series bold anillo de los enteros de Gauss \series default . \end_layout \begin_layout Enumerate El conjunto de funciones \begin_inset Formula $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset que se anulan en casi todos los puntos es un anillo conmutativo sin identidad con la suma y producto de funciones. \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset son anillos, \begin_inset Formula $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ \end_inset es un anillo con las operaciones componente a componente, el \series bold anillo producto \series default de \begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket\coloneqq A^{\mathbb{N}}$ \end_inset es un anillo con la suma componente a componente y el producto \begin_inset Formula $a\cdot b\coloneqq(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})_{n}$ \end_inset , el \series bold anillo de las series de potencias \series default sobre \begin_inset Formula $A$ \end_inset , y un \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset se suele denotar como \begin_inset Formula $\sum_{n}a_{n}X^{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \begin_inset Formula $Y^{X}$ \end_inset al conjunto de funciones de \begin_inset Formula $X$ \end_inset a \begin_inset Formula $Y$ \end_inset . [...] Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un anillo [...], \begin_inset Formula $A^{X}=\prod_{x\in X}A$ \end_inset es un anillo [...]. Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un anillo y \begin_inset Formula $n$ \end_inset es un entero positivo, el conjunto \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(A)$ \end_inset de matrices cuadradas en \begin_inset Formula $A$ \end_inset de tamaño \begin_inset Formula $n$ \end_inset es un anillo con la suma y el producto habituales. \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset un anillo y \begin_inset Formula $a,b,c\in A$ \end_inset : [...] \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 3. \end_layout \end_inset [...] El 0 y el 1 son únicos. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 4. \end_layout \end_inset El opuesto de \begin_inset Formula $a$ \end_inset es único, y si \begin_inset Formula $a$ \end_inset es invertible, el inverso es único. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 5. \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $0a=a0=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 6. \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $a(-b)=(-a)b=-(ab)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 7. \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $a(b-c)=ab-ac$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 8. \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $a$ \end_inset y \begin_inset Formula $b$ \end_inset son invertibles si y sólo si lo son \begin_inset Formula $ab$ \end_inset y \begin_inset Formula $ba$ \end_inset , en cuyo caso \begin_inset Formula $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard [...] Si \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , definimos \begin_inset Formula $0_{\mathbb{Z}}a:=0$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset , \begin_inset Formula $na:=(n-1)a+a$ \end_inset y \begin_inset Formula $(-n)a:=-(na)$ \end_inset . Definimos \begin_inset Formula $a^{0_{\mathbb{Z}}}:=1_{A}$ \end_inset , para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset , \begin_inset Formula $a^{n}:=a^{n-1}a$ \end_inset , y si \begin_inset Formula $a$ \end_inset es invertible, \begin_inset Formula $a^{-n}:=(a^{-1})^{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dados un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $a,b\in A$ \end_inset y \begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{Z}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $n(a+b)=na+nb$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(n+m)a=na+ma$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $n(ma)=(nm)a$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $n,m\geq0$ \end_inset , \begin_inset Formula $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ \end_inset , y si \begin_inset Formula $a$ \end_inset es invertible, esto se cumple para \begin_inset Formula $n$ \end_inset y \begin_inset Formula $m$ \end_inset enteros arbitrarios. \end_layout \begin_layout Enumerate Si [...] \begin_inset Formula $n\geq0$ \end_inset , \begin_inset Formula $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ \end_inset , y si [...] \begin_inset Formula $a$ \end_inset y \begin_inset Formula $b$ \end_inset son invertibles, esto se cumple para todo entero \begin_inset Formula $n$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dados dos anillos \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset , un \series bold homomorfismo de anillos \series default es una \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $x,y\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)$ \end_inset y \begin_inset Formula $f(xy)=f(x)f(y)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold automorfismo \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un isomorfismo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset en \begin_inset Formula $A$ \end_inset . [...] Sean \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset un homomorfismo de anillos y \begin_inset Formula $a,b,a_{1},\dots,a_{n}\in A$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(0)=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(-a)=-f(a)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $f(a-b)=f(a)-f(b)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 5. \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $f(na)=nf(a)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 6. \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $a$ \end_inset es invertible, \begin_inset Formula $f(a)$ \end_inset también lo es y \begin_inset Formula $f(a)^{-1}=f(a^{-1})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard [...] Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate Dados anillos \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset , \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $f(a)=0$ \end_inset es un homomorfismo si y sólo si \begin_inset Formula $B=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Sea \begin_inset Formula $B$ \end_inset un subanillo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , la inclusión \begin_inset Formula $i:B\to A$ \end_inset es un homomorfismo. \end_layout \begin_layout Enumerate Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mu:\mathbb{Z}\to A$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $\mu(n):=n1$ \end_inset es el único homomorfismo de anillos de \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset en \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Dada una familia de anillos \begin_inset Formula $(A_{i})_{i\in I}$ \end_inset y \begin_inset Formula $j\in I$ \end_inset , la \series bold proyección \series default \begin_inset Formula $p_{j}:\prod_{i\in I}A_{i}\to A_{j}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $p_{j}(a):=a_{j}$ \end_inset es un homomorfismo. \end_layout \begin_layout Enumerate La \series bold conjugación \series default de complejos, dada por \begin_inset Formula $\overline{a+bi}:=a-bi$ \end_inset para \begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{R}$ \end_inset , es un automorfismo en \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset . [...] Si \begin_inset Formula $d$ \end_inset es un entero que no es un cuadrado, definiendo el conjugado de \begin_inset Formula $a+b\sqrt{d}$ \end_inset como \begin_inset Formula $a-b\sqrt{d}$ \end_inset en \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ \end_inset o en \begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ \end_inset tenemos un automorfismo. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un homomorfismo \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset es inyectivo si y sólo si \begin_inset Formula $\ker f=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Obvio. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies0=f(a)-f(b)=f(a-b)\implies a-b=0\implies a=b$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold isomorfismo de anillos \series default es un homomorfismo biyectivo, y su inverso es un homomorfismo. En efecto, sea \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset un isomorfismo, como \begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset , \begin_inset Formula $f^{-1}(1)=1$ \end_inset ; si \begin_inset Formula $b,b'\in B$ \end_inset , sean \begin_inset Formula $a\coloneqq f^{-1}(b)$ \end_inset y \begin_inset Formula $a'\coloneqq f^{-1}(b')$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $f(a+a')=f(a)+f(a')=b+b'$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $f^{-1}(b+b')=a+a'=f^{-1}(b)+f^{-1}(b')$ \end_inset , y análogamente \begin_inset Formula $f^{-1}(bb')=f^{-1}(b)f^{-1}(b')$ \end_inset . Dos anillos \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset son \series bold isomorfos \series default , \begin_inset Formula $A\cong B$ \end_inset , si existe un isomorfismo entre ellos. \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \series bold anillo cero \series default o \series bold trivial \series default , \begin_inset Formula $0$ \end_inset , al único con un solo elemento, o el único con \begin_inset Formula $1=0$ \end_inset , salvo isomorfismo. En efecto, todo conjunto unipuntual es un anillo con la suma y producto definidos de la única forma posible, la única función entre estos anillos es un isomorfismo y, si el anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset cumple \begin_inset Formula $1=0$ \end_inset , para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula $a=a1=a0=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Elementos notables \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $A$ \end_inset un anillo. Un \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset es \series bold invertible \series default o \series bold unidad \series default si existe \begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset con \begin_inset Formula $ab=1$ \end_inset , en cuyo caso \begin_inset Formula $b$ \end_inset es único, pues \begin_inset Formula $ac=1\implies b=bac=c$ \end_inset ; lo llamamos \series bold inverso \series default de \begin_inset Formula $a$ \end_inset o \begin_inset Formula $a^{-1}$ \end_inset , y \begin_inset Formula $(a^{-1})^{-1}=a$ \end_inset . Llamamos \series bold grupo de las unidades \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $U(A)$ \end_inset o \begin_inset Formula $A^{*}$ \end_inset , al grupo abeliano formado por las unidades de \begin_inset Formula $A$ \end_inset con el producto. Para \begin_inset Formula $x,y\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula $xy\in A^{*}\iff x,y\in A^{*}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset es \series bold cancelable \series default si \begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(ax=ay\implies x=y)$ \end_inset , si y sólo si no es divisor de cero. Toda unidad es cancelable, pues podemos cancelar multiplicando por el inverso. Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es finito se da el recíproco, pues \begin_inset Formula $x\mapsto ax$ \end_inset es inyectiva y por tanto suprayectiva y existe \begin_inset Formula $x$ \end_inset con \begin_inset Formula $ax=1$ \end_inset . Para \begin_inset Formula $A$ \end_inset infinito esto no es cierto en general, pues \begin_inset Formula $2$ \end_inset es cancelable en \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset pero no es unidad. \end_layout \begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset es \series bold divisor de cero \series default si existe \begin_inset Formula $c\in A\setminus\{0\}$ \end_inset con \begin_inset Formula $ac=0$ \end_inset , si y sólo si no es cancelable. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si es cancelable, \begin_inset Formula $ac=0=a0\implies c=0$ \end_inset , luego no es divisor de cero. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sean \begin_inset Formula $x,y\in A$ \end_inset distintos con \begin_inset Formula $ax=ay$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $a(x-y)=0$ \end_inset , pero \begin_inset Formula $x-y\neq0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset es \series bold nilpotente \series default si existe \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a^{n}=0$ \end_inset , en cuyo caso, si \begin_inset Formula $A$ \end_inset no es trivial, \begin_inset Formula $a$ \end_inset es divisor de cero, pues el 0 es claramente divisor de cero y, si \begin_inset Formula $a\neq0$ \end_inset , tomando el menor \begin_inset Formula $n$ \end_inset con \begin_inset Formula $a^{n}=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $a^{n-1}\neq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $aa^{n-1}=0$ \end_inset . Llamamos \series bold nilradical \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $\text{Nil}(A)$ \end_inset , al conjunto de elementos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset nilpotentes. El 1 es invertible. El 0 es nilpotente y, si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es no trivial, es no unidad. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset es nilpotente entonces \begin_inset Formula $1+(a)\subseteq A^{*}$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $u\in A^{*}$ \end_inset , \begin_inset Formula $u+a\in A^{*}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $e\in A$ \end_inset es \series bold idempotente \series default si \begin_inset Formula $e^{2}=e$ \end_inset , en cuyo caso \begin_inset Formula $f\coloneqq1-e$ \end_inset también lo es y \begin_inset Formula $ef=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dado un homomorfismo \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset , si \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset es invertible, nilpotente o idempotente, también lo es \begin_inset Formula $f(a)\in B$ \end_inset . Si además \begin_inset Formula $f$ \end_inset es inyectivo, si \begin_inset Formula $f(a)\in B$ \end_inset es cancelable, nilpotente o idempotente, también lo es \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dados anillos \begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $a=(a_{1},\dots,a_{n})\in A\coloneqq A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula $a$ \end_inset es invertible, cancelable, divisor de cero, nilpotente o idempotente en \begin_inset Formula $A$ \end_inset si y sólo si lo es cada \begin_inset Formula $a_{i}$ \end_inset en \begin_inset Formula $A_{i}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$ \end_inset no cuadrado, definimos la \series bold norma \series default en \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ \end_inset como \begin_inset Formula $N:\mathbb{Z}[\sqrt{m}]\to\mathbb{Z}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $N(a+b\sqrt{m})\coloneqq a^{2}-mb^{2}$ \end_inset para \begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{Z}$ \end_inset , y entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate Las unidades de \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ \end_inset son los elementos de norma 1. \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $m<0$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]^{*}$ \end_inset es finito. \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $m>0$ \end_inset y \begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}>2$ \end_inset , \begin_inset Formula $|\mathbb{Z}[\sqrt{m}]|^{*}=|\mathbb{N}|$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Dominios \end_layout \begin_layout Standard Un anillo es \series bold reducido \series default si no tiene elementos nilpotentes distintos de 0, si y sólo si todo elemento no nulo tiene cuadrado no nulo. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Trivial. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si hubiera \begin_inset Formula $b\in\text{Nil}(A)\setminus\{0\}$ \end_inset , sea \begin_inset Formula $n>0$ \end_inset mínimo con \begin_inset Formula $b^{n}=0$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $b^{n-1}\neq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $(b^{n-1})^{2}=b^{2n-2}=b^{n}b^{n-2}=0\#$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un \series bold dominio \series default si no tiene divisores de cero no nulos, si y sólo si todo elemento no nulo es cancelable, y es un \series bold cuerpo \series default si todo elemento no nulo es unidad. \end_layout \begin_layout Standard Todo cuerpo es dominio y todo dominio es reducido. Los recíprocos no se cumplen, pues \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset es un dominio que no es un cuerpo y \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{6}$ \end_inset es un anillo reducido que no es un dominio. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{exinfo} \end_layout \end_inset Todo dominio con un número finito de ideales es un cuerpo, y en particular lo es todo dominio finito. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dados un dominio \begin_inset Formula $D$ \end_inset y \begin_inset Formula $a,b\in D$ \end_inset , \begin_inset Formula $a$ \end_inset \series bold divide a \series default \begin_inset Formula $b$ \end_inset , \begin_inset Formula $a$ \end_inset es \series bold divisor \series default de \begin_inset Formula $b$ \end_inset o \begin_inset Formula $b$ \end_inset es \series bold múltiplo \series default de \begin_inset Formula $a$ \end_inset , \begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset , si existe \begin_inset Formula $c\in D$ \end_inset con \begin_inset Formula $ac=b$ \end_inset . Esta relación es reflexiva y transitiva, y para \begin_inset Formula $a,b,c,r,s\in D$ \end_inset , si \begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\mid c$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $a\mid rb+sc$ \end_inset . Dos elementos \begin_inset Formula $a$ \end_inset y \begin_inset Formula $b$ \end_inset son \series bold asociados \series default si \begin_inset Formula $a\mid b$ \end_inset y \begin_inset Formula $b\mid a$ \end_inset , si y sólo si existe \begin_inset Formula $u\in D^{*}$ \end_inset con \begin_inset Formula $b=au$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $b=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $a=0$ \end_inset y tomamos \begin_inset Formula $u=1$ \end_inset . En otro caso, sean \begin_inset Formula $c,d\in D$ \end_inset con \begin_inset Formula $ac=b$ \end_inset y \begin_inset Formula $bd=a$ \end_inset , \begin_inset Formula $b=ac=bdc$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $dc=1$ \end_inset y \begin_inset Formula $c$ \end_inset es unidad. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $a=bu^{-1}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Elementos primos e irreducibles \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset un anillo [...] y \begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$ \end_inset , \begin_inset Formula $a$ \end_inset es \series bold irreducible \series default en \begin_inset Formula $A$ \end_inset si \begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a=bc\implies b\in A^{*}\lor c\in A^{*})$ \end_inset , y es \series bold primo \series default en \begin_inset Formula $A$ \end_inset si \begin_inset Formula $\forall b,c\in A,(a\mid bc\implies a\mid b\lor a\mid c)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un dominio, todo primo es irreducible. \end_layout \begin_layout Standard Irreducible en un dominio no implica primo. [...] \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un dominio, \begin_inset Formula $a$ \end_inset es irreducible si y sólo si \begin_inset Formula $(a)$ \end_inset es maximal entre los ideales principales no nulos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , es decir, si \begin_inset Formula $(a)\neq0,A$ \end_inset y \begin_inset Formula $\forall b\in A,((a)\subseteq(b)\neq A\implies(a)=(b))$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Standard Dados un anillo conmutativo \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $S\subseteq A$ \end_inset , \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset es un \series bold máximo común divisor \series default de \begin_inset Formula $S$ \end_inset en \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset , si divide a cada elemento de \begin_inset Formula $S$ \end_inset y es múltiplo de cada elemento que cumple esto, y es un \series bold mínimo común múltiplo \series default de \begin_inset Formula $S$ \end_inset en \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset , si es múltiplo de cada elemento de \begin_inset Formula $S$ \end_inset y divide a cada elemento que cumple esto. Para \begin_inset Formula $a,b\in A$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset si y solo si \begin_inset Formula $(a)$ \end_inset es el menor ideal principal de \begin_inset Formula $A$ \end_inset que contiene a \begin_inset Formula $S$ \end_inset . En particular, si \begin_inset Formula $(a)=(S)$ \end_inset , \begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $(a)$ \end_inset es el mayor ideal principal de \begin_inset Formula $A$ \end_inset contenido en \begin_inset Formula $\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset . En particular, si \begin_inset Formula $(a)=\bigcap_{s\in S}(s)$ \end_inset , \begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset , \begin_inset Formula $b=\text{mcd}S$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $a$ \end_inset y \begin_inset Formula $b$ \end_inset son asociados en \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $a=\text{mcm}S$ \end_inset , \begin_inset Formula $b=\text{mcm}S$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $a$ \end_inset y \begin_inset Formula $b$ \end_inset son asociados en \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $a$ \end_inset divide a todo elemento de \begin_inset Formula $S$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\in(S)$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $a=\text{mcd}S$ \end_inset . En tal caso llamamos \series bold identidad de Bézout \series default a una expresión de la forma \begin_inset Formula $a=a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in A$ \end_inset y \begin_inset Formula $s_{1},\dots,s_{n}\in S$ \end_inset , que existe porque \begin_inset Formula $a\in(S)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ \end_inset si y sólo si los únicos divisores comunes de los elementos de \begin_inset Formula $S$ \end_inset son las unidades de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $1\in(S)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\text{mcd}S=1$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Dominios de factorización única \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dado un dominio \begin_inset Formula $D$ \end_inset , una \series bold factorización en producto de irreducibles \series default de \begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset es una expresión de la forma \begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{n}$ \end_inset , donde \begin_inset Formula $u$ \end_inset es una unidad de \begin_inset Formula $D$ \end_inset y \begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}$ \end_inset son irreducibles en \begin_inset Formula $D$ \end_inset . Dos factorizaciones en producto de irreducibles de \begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset , \begin_inset Formula $a=up_{1}\cdots p_{m}$ \end_inset y \begin_inset Formula $a=vq_{1}\cdots q_{n}$ \end_inset , son \series bold equivalentes \series default si \begin_inset Formula $m=n$ \end_inset y existe una permutación \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset de \begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}:=\{1,\dots,n\}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}_{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula $p_{k}$ \end_inset y \begin_inset Formula $q_{\sigma(k)}$ \end_inset son asociados, en cuyo caso \begin_inset Formula $u$ \end_inset y \begin_inset Formula $v$ \end_inset también lo son. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un \series bold dominio de factorización \series default ( \series bold DF \series default ) si todo elemento no nulo de \begin_inset Formula $D$ \end_inset admite una factorización en producto de irreducibles, y es un \series bold dominio de factorización única \series default ( \series bold DFU \series default o \series bold UFD \series default ) si, además, todas las factorizaciones de un mismo elemento son equivalentes. \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Teorema Fundamental de la Aritmética: \series default \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset es un DFU. \end_layout \begin_layout Enumerate Dado \begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ \end_inset es un DF. \end_layout \begin_layout Standard Un dominio \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un DFU si y sólo si todo elemento no nulo de \begin_inset Formula $D$ \end_inset es producto de una unidad por primos, si y sólo si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un dominio de factorización en el que todo elemento irreducible es primo. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Todo cuerpo es un DFU, pues no tiene elementos nulos no invertibles. También lo son los anillos de polinomios sobre un DFU. \end_layout \begin_layout Section Subanillos \end_layout \begin_layout Standard Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset , un \begin_inset Formula $S\subseteq A$ \end_inset es un \series bold subanillo \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset si es un anillo con las mismas operaciones y el mismo uno que \begin_inset Formula $A$ \end_inset , si y sólo si es la imagen de un homomorfismo \begin_inset Formula $B\to A$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $1\in S$ \end_inset y para \begin_inset Formula $x,y\in S$ \end_inset , \begin_inset Formula $x-y,xy\in S$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset Basta tomar el homomorfismo inclusión. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset Sea \begin_inset Formula $f:B\to A$ \end_inset el homomorfismo, \begin_inset Formula $f(1)=1$ \end_inset y, si \begin_inset Formula $x',y'\in B$ \end_inset cumplen \begin_inset Formula $x=f(x')$ \end_inset e \begin_inset Formula $y=f(y')$ \end_inset , \begin_inset Formula $x-y=f(x'-y')\in S$ \end_inset y \begin_inset Formula $xy=f(x'y')\in S$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset \begin_inset Formula $1\in S$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $1-1=0\in S$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $a,b\in S$ \end_inset , \begin_inset Formula $-a=0-a\in S$ \end_inset , \begin_inset Formula $a+b=a-(-b)\in S$ \end_inset y \begin_inset Formula $ab\in S$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $S$ \end_inset es cerrado para suma, producto y opuesto. \end_layout \begin_layout Standard Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate En la cadena \begin_inset Formula $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset , cada anillo es subanillo de los que lo contienen, como pasa en \begin_inset Formula $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[\text{i}]\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset , el \series bold anillo \series default de los polinomios en \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset , es el subanillo de \begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket$ \end_inset formado por las series con una cantidad finita de elementos no nulos, y \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un subanillo de \begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset identificando \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset con \begin_inset Formula $(a,0,\dots,0,\dots)$ \end_inset por isomorfismo. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Todo anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un subanillo de sí mismo, el \series bold subanillo impropio \series default , y el resto de subanillos son \series bold propios \series default . [...] \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 3. \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $\{0\}$ \end_inset es subanillo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $A=\{0\}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 4. \end_layout \end_inset Llamamos \series bold subanillo primo \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset a \begin_inset Formula $\mathbb{Z}1:=\{n1_{A}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset , el menor subanillo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 5. \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset son anillos y \begin_inset Formula $B\neq0$ \end_inset , \begin_inset Formula $A\times\{0_{B}\}$ \end_inset es cerrado para sumas y productos pero no es un subanillo de \begin_inset Formula $A\times B$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 7. \end_layout \end_inset Dado un espacio topológico \begin_inset Formula $X$ \end_inset , \begin_inset Formula $\{f\in\mathbb{R}^{X}:f\text{ continua}\}$ \end_inset es un subanillo de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{X}$ \end_inset con la suma y el producto por elementos. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 8. \end_layout \end_inset Dado un espacio vectorial \begin_inset Formula $V$ \end_inset , \begin_inset Formula $\{f\in V^{V}:f\text{ lineal}\}$ \end_inset es un subanillo de \begin_inset Formula $(V^{V},+,\circ)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 9. \end_layout \end_inset Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset y un conjunto \begin_inset Formula $X$ \end_inset , \begin_inset Formula $\{f\in A^{X}:f\text{ constante}\}$ \end_inset es un subanillo de \begin_inset Formula $A^{X}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard [...] \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 9. \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $B'$ \end_inset es un subanillo de \begin_inset Formula $B$ \end_inset , \begin_inset Formula $f^{-1}(B')$ \end_inset es un subanillo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 10. \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $f$ \end_inset es un isomorfismo de anillos, \begin_inset Formula $f^{-1}$ \end_inset también. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Todo subanillo de un dominio es dominio, y todo subanillo de un anillo reducido es reducido. No todo subanillo de un cuerpo es un cuerpo, pues \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset es subanillo del cuerpo \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset pero no es un cuerpo. \end_layout \begin_layout Section Ideales \end_layout \begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $I\subseteq A$ \end_inset es un \series bold ideal \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset , si es el núcleo de un homomorfismo \begin_inset Formula $A\to B$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $0\in I$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset y \begin_inset Formula $x,y\in I$ \end_inset , \begin_inset Formula $x+y,ax\in I$ \end_inset . En concreto, definiendo la relación de equivalencia \series bold módulo \series default \begin_inset Formula $I$ \end_inset en \begin_inset Formula $A$ \end_inset como \begin_inset Formula $a\equiv b\iff a-b\in I$ \end_inset , el conjunto cociente \begin_inset Formula $A\slash I\coloneqq A\slash\equiv$ \end_inset es un anillo con la suma \begin_inset Formula $\overline{a}+\overline{b}\coloneqq\overline{a+b}$ \end_inset , el producto \begin_inset Formula $\overline{a}\,\overline{b}\coloneqq\overline{ab}$ \end_inset , \begin_inset Formula $0=\overline{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula $1=\overline{1}$ \end_inset , \begin_inset Formula $-\overline{a}=\overline{-a}$ \end_inset y, si \begin_inset Formula $a\in A^{*}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\overline{a}\in(A/I)^{*}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\overline{a}^{-1}=\overline{a^{-1}}$ \end_inset , donde \begin_inset Formula $\overline{a}$ \end_inset es la clase de equivalencia de \begin_inset Formula $a$ \end_inset , y la \series bold proyección canónica \series default \begin_inset Formula $p:A\to A/I$ \end_inset es un homomorfismo con núcleo \begin_inset Formula $I$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sean \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset un homomorfismo, \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset y \begin_inset Formula $x,y\in\ker f$ \end_inset . Entonces \begin_inset Formula $f(ax)=f(a)f(x)=f(a)0=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sean \begin_inset Formula $a\equiv a',b\equiv b'\in A$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $x\coloneqq a-a',y\coloneqq b-b'\in I$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $a+b=a'+x+b'+y=a'+b'+(x+y)$ \end_inset con \begin_inset Formula $x+y\in I$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $a+b\equiv a'+b'$ \end_inset y la suma está bien definida. Además \begin_inset Formula $ab=(a'+x)(b'+y)=a'b'+a'y+b'x+xy$ \end_inset con \begin_inset Formula $a'y+b'x+xy\in I$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $ab\equiv a'+b'$ \end_inset y el producto está bien definido. Entonces es fácil ver que \begin_inset Formula $A/I$ \end_inset es un anillo con los neutros y simétricos indicados. Además, \begin_inset Formula $p(1)=\overline{1}$ \end_inset , \begin_inset Formula $p(a+b)=\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}=p(a)+p(b)$ \end_inset y del mismo modo \begin_inset Formula $p(ab)=p(a)p(b)$ \end_inset , y \begin_inset Formula $p(x)=\overline{x}=0\iff x-0=x\in I$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \begin_inset Formula ${\cal L}(A)$ \end_inset al conjunto de ideales de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . Todo anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset tiene al menos el \series bold ideal trivial \series default \begin_inset Formula $0\coloneqq\{0\}$ \end_inset y el \series bold ideal impropio \series default \begin_inset Formula $A$ \end_inset , el único que contiene una unidad. En efecto, si \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset y existe \begin_inset Formula $u\in I\cap A^{*}$ \end_inset , para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula $a=(au^{-1})u\in I$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $I=A$ \end_inset . \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset es \series bold propio \series default , \begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset , si no es impropio. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{exinfo} \end_layout \end_inset Dados anillos \begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula ${\cal L}(A_{1}\times\dots\times A_{n})=\{I_{1}\times\dots\times I_{n}\}_{I_{i}\trianglelefteq A_{i},\forall i}$ \end_inset . \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Ideales finitamente generados \end_layout \begin_layout Standard La intersección de una familia de ideales de \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un ideal de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . Dados un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset y un subconjunto \begin_inset Formula $S\subseteq A$ \end_inset , llamamos \series bold ideal de \begin_inset Formula $A$ \end_inset generado por \begin_inset Formula $S$ \end_inset \series default a \begin_inset Formula \[ (S)\coloneqq\bigcap\{I\trianglelefteq A:S\subseteq I\}=\{a_{1}s_{1}+\dots+a_{n}s_{n}\}_{n\in\mathbb{N},a\in A^{n},s\in S^{n}}, \] \end_inset y decimos que \begin_inset Formula $S$ \end_inset es un \series bold conjunto generador \series default de \begin_inset Formula $(S)$ \end_inset . En efecto, \begin_inset Formula $\bigcap\{I\trianglelefteq A:S\subseteq I\}$ \end_inset es un ideal de \begin_inset Formula $A$ \end_inset que contiene a \begin_inset Formula $S$ \end_inset y es el menor de ellos, pero todo ideal de \begin_inset Formula $A$ \end_inset que contenga a \begin_inset Formula $S$ \end_inset debe contener a las combinaciones \begin_inset Formula $A$ \end_inset -lineales finitas de elementos de \begin_inset Formula $S$ \end_inset , y el conjunto de estas combinaciones es claramente un ideal, luego ambos conjuntos son iguales. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset es \series bold finitamente generado \series default (FG) si existe \begin_inset Formula $S\subseteq I$ \end_inset finito tal que \begin_inset Formula $I=(S)$ \end_inset , en cuyo caso, si \begin_inset Formula $S=\{b_{1},\dots,b_{n}\}$ \end_inset , escribimos \begin_inset Formula $I\eqqcolon(b_{1},\dots,b_{n})$ \end_inset . Un \series bold ideal principal \series default de un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset es uno de la forma \begin_inset Formula $Ab\coloneqq(b)$ \end_inset para algún \begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset . Por ejemplo, \begin_inset Formula $0=(0)$ \end_inset y \begin_inset Formula $A=(1)$ \end_inset . Dados \begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset e \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset , \begin_inset Formula $(b)\subseteq I$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $b\in I$ \end_inset , y en particular para \begin_inset Formula $b'\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula $(b)\subseteq(b')$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $b'\mid b$ \end_inset , y en un dominio \begin_inset Formula $(b)=(b')$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $b$ \end_inset y \begin_inset Formula $b'$ \end_inset son asociados. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{exinfo} \end_layout \end_inset Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $b\in A$ \end_inset cancelable no invertible, \begin_inset Formula $(b,X)$ \end_inset no es un ideal principal de \begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset , y en particular \begin_inset Formula $(X,Y)$ \end_inset no es un ideal principal de \begin_inset Formula $A[X,Y]\coloneqq A[X][Y]$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $e\in A$ \end_inset es idempotente, para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , \begin_inset Formula $a\in(e)\iff a=ea$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $(e)$ \end_inset es un anillo con identidad \begin_inset Formula $e$ \end_inset . \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold dominio de ideales principales \series default (DIP) es uno en el que todos los ideales son principales. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un DIP y \begin_inset Formula $a\in D\setminus(D^{*}\cup\{0\})$ \end_inset , \begin_inset Formula $a$ \end_inset es irreducible si y solo si \begin_inset Formula $(a)$ \end_inset es un ideal maximal, si y solo si \begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ \end_inset es un cuerpo, si y solo si \begin_inset Formula $a$ \end_inset es primo, si y solo si \begin_inset Formula $(a)$ \end_inset es un ideal primo, si y solo si \begin_inset Formula $\frac{D}{(a)}$ \end_inset es un dominio. [...] Todo DIP es un DFU. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{exinfo} \end_layout \end_inset En un DIP, \begin_inset Formula $(a)+(b)=(\gcd\{a,b\})$ \end_inset y \begin_inset Formula $(a)\cap(b)=(\text{lcm}\{a,b\})$ \end_inset . \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard No todos los ideales son finitamente generados. En efecto, dado un anillo no trivial \begin_inset Formula $A$ \end_inset , en \begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ \end_inset con las operaciones componente a componente, \begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ \end_inset formado por los elementos de \begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ \end_inset con una cantidad finita de entradas no nulas es un ideal de \begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$ \end_inset , pero no es finitamente generado porque si tomamos una cantidad finita de elementos del ideal, hay un índice a partir del cual todos tienen solo ceros y no generan elementos de \begin_inset Formula $A^{(\mathbb{N})}$ \end_inset con un 1 después de esta posición. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un cuerpo si y sólo si los únicos ideales de \begin_inset Formula $A$ \end_inset son 0 y \begin_inset Formula $A$ \end_inset , si y sólo si todo homomorfismo de anillos \begin_inset Formula $A\to B$ \end_inset con \begin_inset Formula $B\neq0$ \end_inset es inyectivo. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Aritmética modular \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{GyA} \end_layout \end_inset Dado \begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset , llamamos \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}:=\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}=\{0+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}$ \end_inset . \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $n\geq2$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset es unidad si y sólo si \begin_inset Formula $\gcd\{r,n\}=1$ \end_inset en \begin_inset Formula $\mathbb{Z}$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Si fuera \begin_inset Formula $d\coloneqq\gcd\{r,n\}>1$ \end_inset , sean \begin_inset Formula $r',n'\in\mathbb{Z}$ \end_inset con \begin_inset Formula $r=dr'$ \end_inset y \begin_inset Formula $n=dn'$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $n'\not\equiv0\bmod n$ \end_inset pero \begin_inset Formula $rn'=dr'n'=r'n\equiv0\bmod n$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $r$ \end_inset es divisor de cero. \begin_inset Formula $\#$ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Una identidad de Bézout \begin_inset Formula $ar+bn=1$ \end_inset se traduce en que \begin_inset Formula $ar\equiv1\bmod n$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset es nilpotente si y sólo si todos los divisores primos de \begin_inset Formula $n$ \end_inset dividen a \begin_inset Formula $r$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sean \begin_inset Formula $m$ \end_inset con \begin_inset Formula $r^{m}\equiv0$ \end_inset y \begin_inset Formula $p$ \end_inset un divisor primo de \begin_inset Formula $n$ \end_inset , como \begin_inset Formula $n$ \end_inset divide a \begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset , \begin_inset Formula $p$ \end_inset divide a \begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset y por tanto a \begin_inset Formula $r$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{s}^{k_{s}}$ \end_inset la descomposición prima de \begin_inset Formula $n$ \end_inset , como \begin_inset Formula $p_{1}\cdots p_{s}$ \end_inset divide a \begin_inset Formula $r$ \end_inset , si \begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k_{1},\dots,k_{s}\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $n$ \end_inset divide a \begin_inset Formula $p_{1}^{m}\cdots p_{s}^{m}$ \end_inset y este a \begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $n$ \end_inset divide a \begin_inset Formula $r^{m}$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset es un cuerpo si y sólo si es un dominio, si y sólo si \begin_inset Formula $n$ \end_inset es primo. \end_layout \begin_deeper \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset Visto. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset Probamos el contrarrecíproco. Si existen \begin_inset Formula $p,q\in\mathbb{Z}$ \end_inset , \begin_inset Formula $12$ \end_inset se hace inducción. \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $I_{1},\dots,I_{n}\trianglelefteq A$ \end_inset son comaximales dos a dos, \begin_inset Formula $I_{1}\cdots I_{n}=I_{1}\cap\dots\cap I_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $n\in\{0,1\}$ \end_inset es claro. Para \begin_inset Formula $n=2$ \end_inset , sea \begin_inset Formula $x\in I_{1}\cap I_{2}$ \end_inset , como existen \begin_inset Formula $a\in I_{1}$ \end_inset y \begin_inset Formula $b\in I_{2}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a+b=1$ \end_inset , \begin_inset Formula $x=ax+bx$ \end_inset , pero \begin_inset Formula $a\in I_{1}$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in I_{2}$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $ax\in I_{1}I_{2}$ \end_inset , y del mismo modo \begin_inset Formula $bx\in I_{1}I_{2}$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{1}I_{2}$ \end_inset y ya sabíamos que \begin_inset Formula $I_{1}I_{2}\subseteq I_{1}\cap I_{2}$ \end_inset . Para \begin_inset Formula $n>2$ \end_inset , supuesto esto probado para \begin_inset Formula $n$ \end_inset menor, por lo anterior \begin_inset Formula $I_{1}\cdots I_{n-1}=I_{1}\cap\dots\cap I_{n-1}$ \end_inset es comaximal con \begin_inset Formula $I_{n}$ \end_inset y basta usar el caso \begin_inset Formula $n=2$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{samepage} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 3. \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$ \end_inset son comaximales si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(x+I)\cap(y+J)\neq\emptyset$ \end_inset , en cuyo caso para \begin_inset Formula $n,m\in\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula $I^{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $J^{m}$ \end_inset son comaximales. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema chino de los restos: \series default Dados anillos \begin_inset Formula $A,B_{1},\dots,B_{n}$ \end_inset y homomorfismos \begin_inset Formula $g_{i}:A\to B_{i}$ \end_inset con \begin_inset Formula $K_{i}\coloneqq\ker g_{i}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\phi:A\to B_{1}\times\dots\times B_{n}$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $\phi(x)\coloneqq(g_{1}(x),\dots,g_{n}(x))$ \end_inset es un homomorfismo con núcleo \begin_inset Formula $K_{1}\cap\dots\cap K_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si los \begin_inset Formula $g_{i}$ \end_inset son suprayectivos y los \begin_inset Formula $K_{i}$ \end_inset son comaximales dos a dos, \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset es suprayectivo, \begin_inset Formula $\ker\phi=K_{1}\cdots K_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $A/(K_{1}\cdots K_{n})\cong B_{1}\times\dots\times B_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $n\in\{0,1\}$ \end_inset es claro, por lo que suponemos \begin_inset Formula $n\geq2$ \end_inset . Al ser los \begin_inset Formula $K_{i}$ \end_inset comaximales, \begin_inset Formula $K_{1}$ \end_inset es comaximal con \begin_inset Formula $K_{2}\cap\dots\cap K_{n}$ \end_inset . Sean ahora \begin_inset Formula $a\in K_{1}$ \end_inset y \begin_inset Formula $b\in K_{2}\cap\dots\cap K_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $a+b=1$ \end_inset , como \begin_inset Formula $g_{1}(a)=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $g_{1}(b)=g_{1}(a)+g_{1}(b)=g_{1}(a+b)=1$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $j\in\{2,\dots,n\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $g_{j}(b)=0$ \end_inset . Sea ahora \begin_inset Formula $x\in B_{1}$ \end_inset arbitrario, por suprayectividad existe \begin_inset Formula $u\in A$ \end_inset con \begin_inset Formula $g_{1}(u)=x$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $g_{1}(ub)=g_{1}(u)g_{1}(b)=x$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $j\in\{2,\dots,n\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $g_{j}(ub)=g_{j}(u)g_{j}(b)=0$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $\phi(u)=(x,0,\dots,0)$ \end_inset . Por simetría, para cada \begin_inset Formula $i$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in B_{i}$ \end_inset existe \begin_inset Formula $u$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\phi(u)=(0,\dots,0,x,0,\dots,0)$ \end_inset con \begin_inset Formula $x$ \end_inset en la \begin_inset Formula $i$ \end_inset -ésima posición, y como todo elemento de \begin_inset Formula $B_{1}\times\dots\times B_{n}$ \end_inset es suma de elementos de esta forma, \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset es suprayectiva. Entonces \begin_inset Formula $\ker\phi=K_{1}\cap\dots\cap K_{n}=K_{1}\cdots K_{n}$ \end_inset , y para la última afirmación basta aplicar el primer teorema de isomorfía. \end_layout \end_deeper \begin_layout Section Ideales maximales \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset es \series bold maximal \series default en \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $I\trianglelefteq_{\text{m}}A$ \end_inset , si es maximal en el conjunto de ideales propios de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $A/I$ \end_inset es un cuerpo. \series bold Demostración: \series default Como \begin_inset Formula $J\mapsto J/I$ \end_inset conserva la inclusión, \begin_inset Formula $I$ \end_inset es maximal si y sólo si lo es \begin_inset Formula $I/I=0$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $A/I$ \end_inset no es trivial y no tiene ideales propios no nulos (si tuviera alguno, contendrí a a 0 y 0 no sería maximal), si y sólo si es un cuerpo no trivial, pero sabemos que \begin_inset Formula $A/I$ \end_inset es no trivial porque \begin_inset Formula $I$ \end_inset es propio. \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \series bold espectro maximal \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $\text{MaxSpec}(A)$ \end_inset , al conjunto de ideales maximales de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . Para \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset , la biyección \begin_inset Formula $\{J\in{\cal L}(A):I\subseteq J\}\to{\cal L}(A/I)$ \end_inset del teorema de la correspondencia se restringe a una biyección \begin_inset Formula $\{J\in\text{MaxSpec}(A):I\subseteq J\}\to\text{MaxSpec}(A/I)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{exinfo} \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset es maximal en \begin_inset Formula $A$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $I+(X)$ \end_inset lo es en \begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset , pero \begin_inset Formula $I[X]$ \end_inset nunca es maximal en \begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset . \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold cadena \series default en un conjunto ordenado es un subconjunto que, con el mismo orden, es totalment e ordenado. Un conjunto ordenado es \series bold inductivo \series default si toda cadena no vacía tiene cota superior. \series bold Lema de Zorn: \series default Todo conjunto inductivo no vacío tiene un elemento maximal. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $I\triangleleft A$ \end_inset , existe un ideal maximal de \begin_inset Formula $A$ \end_inset que contiene a \begin_inset Formula $I$ \end_inset , y en particular todo anillo no trivial tiene al menos un elemento maximal. \series bold Demostración: \series default Sea \begin_inset Formula $\Omega\coloneqq\{J\triangleleft A:I\subseteq J\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$ \end_inset porque \begin_inset Formula $I\in\Omega$ \end_inset . Considerándolo ordenado por inclusión, si \begin_inset Formula ${\cal C}$ \end_inset es una cadena no vacía en \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset , \begin_inset Formula $\bigcup{\cal C}$ \end_inset es una cota superior, pues si \begin_inset Formula $x,y\in\bigcup{\cal C}$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , sean \begin_inset Formula $I,J\in{\cal C}$ \end_inset tales que \begin_inset Formula $x\in I$ \end_inset e \begin_inset Formula $y\in J$ \end_inset , entonces por ejemplo \begin_inset Formula $I\subseteq J$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $x,y\in J\subseteq\bigcup{\cal C}$ \end_inset y \begin_inset Formula $x+y,ax,ay\in J\subseteq\bigcup{\cal C}$ \end_inset para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $\bigcup{\cal C}$ \end_inset es un ideal, contiene a \begin_inset Formula $I$ \end_inset y no es propio porque ninguno de los elementos de \begin_inset Formula ${\cal C}$ \end_inset contiene a 1. Entonces, por el lema de Zorn, \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset tiene un elemento maximal \begin_inset Formula $J$ \end_inset , que es un ideal propio que contiene a \begin_inset Formula $I$ \end_inset y es maximal porque, para \begin_inset Formula $J'\triangleleft A$ \end_inset con \begin_inset Formula $J\subseteq J'$ \end_inset , \begin_inset Formula $J'\in\Omega$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $J'=J$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{exinfo} \end_layout \end_inset Llamamos \series bold radical de Jacobson \series default de un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset a \begin_inset Formula $\text{Jac}(A)\coloneqq\bigcap\text{MaxSpec}(A)=\{a\in A:1+(a)\subseteq A^{*}\}$ \end_inset . \begin_inset Formula $\text{Jac}(A)$ \end_inset no contiene idempotentes no nulos. \end_layout \begin_layout Standard Un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset tiene un único ideal maximal \begin_inset Formula $M$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $A\setminus A^{*}$ \end_inset es un ideal, en cuyo caso \begin_inset Formula $M=A\setminus A^{*}$ \end_inset , y entonces decimos que \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $(A,M)$ \end_inset o \begin_inset Formula $(A,M,A/M)$ \end_inset es un \series bold anillo local \series default , y \begin_inset Formula $1+M$ \end_inset es un subgrupo multiplicativo de \begin_inset Formula $A^{*}$ \end_inset . \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset es un anillo local si y sólo si \begin_inset Formula $n$ \end_inset es potencia de primo. \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}^{+}$ \end_inset primo y \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{(p)}$ \end_inset el subconjunto de \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset de los racionales en cuya expresión como fracción irreducible el denominador no es múltiplo de \begin_inset Formula $p$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $(\mathbb{Z}_{(p)},(\frac{p}{1}))$ \end_inset es un subanillo local de \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{(p)}/(\frac{p}{1})\cong\mathbb{Z}_{p}$ \end_inset , y es un DFU en el que \begin_inset Formula $p$ \end_inset es el único irreducible salvo asociados. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $(A,(p))$ \end_inset es un anillo local con \begin_inset Formula $p\neq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(p)^{n}=0$ \end_inset , cada \begin_inset Formula $a\in A\setminus0$ \end_inset es de la forma \begin_inset Formula $up^{n}$ \end_inset para ciertos \begin_inset Formula $u\in A^{*}$ \end_inset y \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , y en particular \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un DIP con un único irreducible salvo asociados. \end_layout \begin_layout Standard Dados anillos locales \begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}$ \end_inset , los idempotentes de \begin_inset Formula $A_{1}\times\dots\times A_{n}$ \end_inset son las \begin_inset Formula $n$ \end_inset -uplas \begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n})$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $e_{i}\in\{0,1\}$ \end_inset . Para \begin_inset Formula $n\geq2$ \end_inset con factorización prima \begin_inset Formula $p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{t}^{m_{t}}$ \end_inset (con los \begin_inset Formula $p_{i}$ \end_inset distintos y los \begin_inset Formula $t_{i}\geq1$ \end_inset ), \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$ \end_inset tiene \begin_inset Formula $2^{t}$ \end_inset idempotentes dados por los sistemas de ecuaciones diofánticas \begin_inset Formula \[ \left\{ \begin{array}{rl} e_{I} & \equiv0\mod\left(q\coloneqq\prod_{i\in I}p_{i}^{m_{i}}\right),\\ e_{I} & \equiv1\mod\left(r\coloneqq\prod_{i\notin I}p_{i}^{m_{i}}\right), \end{array}\right. \] \end_inset para \begin_inset Formula $I\subseteq\{1,\dots,t\}$ \end_inset . En concreto existen \begin_inset Formula $s,t\in\mathbb{Z}$ \end_inset con \begin_inset Formula $x=1+qt=rs$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $rs-qt=1$ \end_inset y, como \begin_inset Formula $q$ \end_inset y \begin_inset Formula $r$ \end_inset son coprimos, se pueden obtener \begin_inset Formula $s$ \end_inset y \begin_inset Formula $t$ \end_inset con una identidad de Bézout. Para obtener una identidad de Bézout: \end_layout \begin_layout Enumerate Se calcula el máximo común divisor por el algoritmo de Euclides, usando la recurrencia \begin_inset Formula $q_{0}\coloneqq q$ \end_inset , \begin_inset Formula $q_{1}\coloneqq r$ \end_inset , \begin_inset Formula $q_{i-1}=r_{i}q_{i}+q_{i+1}$ \end_inset , con \begin_inset Formula $r_{i},q_{i+1}\in\mathbb{Z}$ \end_inset y \begin_inset Formula $0\leq q_{i+1}1$ \end_inset , suponemos esto probado para \begin_inset Formula $n-1$ \end_inset , y suponemos por reducción al absurdo que \begin_inset Formula $I\nsubseteq J_{k}$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $k$ \end_inset . Para cada \begin_inset Formula $i$ \end_inset , como \begin_inset Formula $I\subseteq J_{k}$ \end_inset para \begin_inset Formula $k\neq i$ \end_inset , \begin_inset Formula $I\nsubseteq\bigcup_{k\neq i}J_{k}$ \end_inset y existe \begin_inset Formula $a_{i}\in I$ \end_inset con \begin_inset Formula $a_{i}\notin\bigcup_{k\neq i}J_{k}$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $a_{i}\in J_{i}$ \end_inset . Sea entonces \begin_inset Formula $b_{i}\coloneqq\prod_{k\neq i}a_{k}$ \end_inset , \begin_inset Formula $b_{i}\in I$ \end_inset y \begin_inset Formula $b_{i}\in\bigcap_{k\neq i}J_{k}$ \end_inset , pero \begin_inset Formula $b_{i}\notin J_{i}$ \end_inset porque es el producto de elementos fuera de \begin_inset Formula $J_{i}$ \end_inset y \begin_inset Formula $J_{i}$ \end_inset es primo. Entonces \begin_inset Formula $b\coloneqq\sum_{k=1}^{n}b_{k}\in I=\bigcup_{k=1}^{n}J_{k}$ \end_inset y debe haber un \begin_inset Formula $k$ \end_inset con \begin_inset Formula $b\in J_{k}$ \end_inset , pero de ser así, como \begin_inset Formula $b_{i}\in J_{k}$ \end_inset para \begin_inset Formula $i\neq k$ \end_inset , sería \begin_inset Formula $b-\sum_{i\neq k}b_{i}=b_{k}\in J_{k}\#$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 3. \end_layout \end_inset Si todo ideal principal de \begin_inset Formula $A$ \end_inset es primo, \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un cuerpo. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 4. \end_layout \end_inset Si \begin_inset Formula $\forall x\in A,\exists k\geq2:x^{k}=x$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\text{Spec}(A)=\text{MaxSpec}(A)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout 5. \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset es primo si y sólo si lo es \begin_inset Formula $I[X]$ \end_inset en \begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset , si y sólo si lo es \begin_inset Formula $I+(X)$ \end_inset en \begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash vspace{6pt} \end_layout \end_inset Dados un homomorfismo \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset y \begin_inset Formula $P\trianglelefteq_{\text{p}}B$ \end_inset , \begin_inset Formula $f^{-1}(P)\trianglelefteq_{\text{p}}A$ \end_inset , y el recíproco se cumple si \begin_inset Formula $f$ \end_inset es suprayectivo. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{exinfo} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dado un conjunto ordenado \begin_inset Formula $(S,\leq)$ \end_inset , su \series bold opuesto \series default es \begin_inset Formula $(S,\leq)^{\text{op}}\coloneqq(S,\geq)$ \end_inset . \begin_inset Formula $(S,\leq)$ \end_inset es \series bold contra-inductivo \series default si su opuesto es inductivo, es decir, si toda subcadena no vacía tiene una cota inferior. \series bold Lema de Zorn dual: \series default Todo conjunto contra-inductivo no vacío tiene al menos un elemento minimal. \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold primo minimal \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un elemento minimal de \begin_inset Formula $\text{Spec}(A)$ \end_inset . Llamamos \begin_inset Formula $\text{MinSpec}(A)$ \end_inset al conjunto de primos minimales de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . Para \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset y \begin_inset Formula $Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$ \end_inset con \begin_inset Formula $I\subseteq Q$ \end_inset , \begin_inset Formula $Q$ \end_inset contiene un \series bold primo minimal sobre \begin_inset Formula $I$ \end_inset \series default , un minimal entre los ideales primos que contienen a \begin_inset Formula $I$ \end_inset , y en particular todo \begin_inset Formula $Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$ \end_inset contiene un primo minimal. \series bold Demostración: \series default Sea \begin_inset Formula $\Omega\coloneqq\{P\trianglelefteq_{\text{p}}A:I\subseteq P\subseteq Q\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$ \end_inset porque \begin_inset Formula $Q\in\Omega$ \end_inset . Sea entonces \begin_inset Formula ${\cal C}$ \end_inset una cadena no vacía en \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset , \begin_inset Formula $\bigcap{\cal C}\in\Omega$ \end_inset , pues es un ideal propio entre \begin_inset Formula $I$ \end_inset y \begin_inset Formula $Q$ \end_inset y, usando el contrarrecíproco de la definición de primo, si \begin_inset Formula $x,y\notin\bigcap{\cal C}$ \end_inset , sean \begin_inset Formula $J_{1},J_{2}\in{\cal C}$ \end_inset con \begin_inset Formula $x\notin J_{1}$ \end_inset e \begin_inset Formula $y\notin J_{2}$ \end_inset , si por ejemplo \begin_inset Formula $J_{1}\subseteq J_{2}$ \end_inset , \begin_inset Formula $x,y\notin J_{1}$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $xy\notin J_{1}$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $xy\notin\bigcap{\cal C}$ \end_inset . Entonces, por el lema de Zorn dual, \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset tiene un minimal \begin_inset Formula $J$ \end_inset , que es un ideal primo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset entre \begin_inset Formula $I$ \end_inset y \begin_inset Formula $Q$ \end_inset , y si \begin_inset Formula $J'$ \end_inset es un ideal primo de \begin_inset Formula $A$ \end_inset que contiene a \begin_inset Formula $I$ \end_inset con \begin_inset Formula $J'\subseteq J$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $J'\subseteq Q$ \end_inset y \begin_inset Formula $J'\in\Omega$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $J'=J$ \end_inset y \begin_inset Formula $J$ \end_inset es minimal sobre \begin_inset Formula $I$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Radicales \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$ \end_inset es un \series bold radical \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $I\trianglelefteq_{\text{r}}A$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\forall x\in A,\forall n\in\mathbb{N},(x^{n}\in I\implies x\in I)$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x\in A,(x^{2}\in I\implies x\in I)$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $A/I$ \end_inset es reducido. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset Obvio. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\implies1]$ \end_inset Sean \begin_inset Formula $x\in A$ \end_inset y \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset con \begin_inset Formula $x^{n}\in I$ \end_inset , si \begin_inset Formula $n=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $1\in I$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in I$ \end_inset , y si \begin_inset Formula $n=1$ \end_inset es obvio. En otro caso, si \begin_inset Formula $n$ \end_inset es par, \begin_inset Formula $x^{n/2}\in I$ \end_inset , y si es impar, \begin_inset Formula $x^{n+1}=xx^{n}\in I$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $x^{(n+1)/2}\in I$ \end_inset . En cualquier caso \begin_inset Formula $x^{k}\in I$ \end_inset para cierto \begin_inset Formula $k$ \end_inset con \begin_inset Formula $1\leq k1$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard La multiplicidad de \begin_inset Formula $a$ \end_inset en \begin_inset Formula $f$ \end_inset es el único natural \begin_inset Formula $m$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$ \end_inset para algún \begin_inset Formula $g\in A[X]$ \end_inset del que \begin_inset Formula $a$ \end_inset no es raíz. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un dominio, \begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$ \end_inset son \begin_inset Formula $n$ \end_inset elementos de \begin_inset Formula $D$ \end_inset y \begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$ \end_inset con \begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $k$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$ \end_inset y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de \begin_inset Formula $f$ \end_inset , y el número de raíces, no son superiores a \begin_inset Formula $\text{gr}(f)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Principio de las identidades polinómicas: \series default Sea \begin_inset Formula $D$ \end_inset un dominio: \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ \end_inset , si las funciones polinómicas \begin_inset Formula $f,g:D\to D$ \end_inset coinciden en \begin_inset Formula $m$ \end_inset elementos de \begin_inset Formula $D$ \end_inset con \begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$ \end_inset , los polinomios \begin_inset Formula $f$ \end_inset y \begin_inset Formula $g$ \end_inset son iguales. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $D$ \end_inset es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset define dos funciones polinómicas distintas en \begin_inset Formula $D$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo \begin_inset Formula $p$ \end_inset , todos los elementos de \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$ \end_inset son raíces de 0 y \begin_inset Formula $X^{p}-X$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dado un anillo conmutativo \begin_inset Formula $A$ \end_inset , definimos la \series bold derivada \series default de \begin_inset Formula $P:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$ \end_inset como \begin_inset Formula $P':=D(P):=\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$ \end_inset , y escribimos \begin_inset Formula $P^{(0)}:=P$ \end_inset y \begin_inset Formula $P^{(n+1)}:=P^{(n)\prime}$ \end_inset . Dados \begin_inset Formula $a,b\in A$ \end_inset y \begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dados un dominio \begin_inset Formula $D$ \end_inset de característica 0, \begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset , la multiplicidad de \begin_inset Formula $a$ \end_inset en \begin_inset Formula $P$ \end_inset es el menor \begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$ \end_inset con \begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Standard Dado un anillo \begin_inset Formula $A$ \end_inset , \begin_inset Formula $A[X]$ \end_inset es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un cuerpo. \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $D$ \end_inset un dominio y \begin_inset Formula $p\in D$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $p$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $D$ \end_inset si y sólo si lo es en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $p$ \end_inset es primo en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset , lo es en \begin_inset Formula $D$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un DFU, \begin_inset Formula $p$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $D$ \end_inset si y sólo si lo es en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset , si y sólo si es primo en \begin_inset Formula $D$ \end_inset , si y sólo si lo es en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $D$ \end_inset un DFU, definimos \begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\varphi(a)$ \end_inset es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles de \begin_inset Formula $a$ \end_inset en \begin_inset Formula $D$ \end_inset , contando repetidos, y para \begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un DFU, \begin_inset Formula $K$ \end_inset es su cuerpo de fracciones y \begin_inset Formula $f\in D[X]$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset , es irreducible en \begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset . [...] \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un DFU si y sólo si lo es \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard [...] Si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un DFU y \begin_inset Formula $K$ \end_inset es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en \begin_inset Formula $K$ \end_inset \begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$ \end_inset y, en particular, si \begin_inset Formula $x\in D$ \end_inset , \begin_inset Formula $[x]$ \end_inset es el conjunto de los asociados de \begin_inset Formula $x$ \end_inset en \begin_inset Formula $D$ \end_inset . Definimos \begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$ \end_inset como \begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$ \end_inset . Esto está bien definido. Además, \begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Definimos \begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$ \end_inset tal que, para \begin_inset Formula $p:=\sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset , \begin_inset Formula $c(p):=\{x:x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $p\in K[X]$ \end_inset , si \begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$ \end_inset cumple \begin_inset Formula $ap\in D[X]$ \end_inset , \begin_inset Formula $c(p):=a^{-1}c(ap)$ \end_inset . Esto está bien definido. Si \begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$ \end_inset , \begin_inset Formula $a$ \end_inset es el \series bold contenido \series default de \begin_inset Formula $p$ \end_inset ( \begin_inset Formula $a=c(p)$ \end_inset ). \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $a\in K$ \end_inset y \begin_inset Formula $p\in K[X]$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $a\in D$ \end_inset y \begin_inset Formula $p\in D[X]$ \end_inset , \begin_inset Formula $a\mid p$ \end_inset en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $a\mid c(p)$ \end_inset en \begin_inset Formula $D$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un polinomio \begin_inset Formula $p$ \end_inset es \series bold primitivo \series default si \begin_inset Formula $c(p)=1$ \end_inset , esto es, si \begin_inset Formula $p\in D[X]$ \end_inset y \begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Lema de Gauss: \series default Para \begin_inset Formula $f,g\in D[X]$ \end_inset , \begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$ \end_inset , y en particular \begin_inset Formula $fg$ \end_inset es primitivo si y sólo si \begin_inset Formula $f$ \end_inset y \begin_inset Formula $g$ \end_inset lo son. [...] \end_layout \begin_layout Standard Dado \begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$ \end_inset primitivo, \begin_inset Formula $f$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset si y sólo si lo es en \begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$ \end_inset . [...] \end_layout \begin_layout Standard De aquí que si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un DFU con cuerpo de fracciones \begin_inset Formula $K$ \end_inset , los irreducibles de \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset son precisamente los de \begin_inset Formula $D$ \end_inset y los polinomios primitivos de \begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ \end_inset irreducibles en \begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard [...] Sean \begin_inset Formula $K$ \end_inset un cuerpo y \begin_inset Formula $f\in K[X]$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$ \end_inset , \begin_inset Formula $f$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$ \end_inset y \begin_inset Formula $f$ \end_inset tiene una raíz en \begin_inset Formula $K$ \end_inset , \begin_inset Formula $f$ \end_inset no es irreducible en \begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $f$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset si y sólo si no tiene raíces en \begin_inset Formula $K$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un DFU con cuerpo de fracciones \begin_inset Formula $K$ \end_inset , \begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset y \begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ \end_inset , todas las raíces de \begin_inset Formula $f$ \end_inset en \begin_inset Formula $K$ \end_inset son de la forma \begin_inset Formula $\frac{r}{s}$ \end_inset con \begin_inset Formula $r\mid a_{0}$ \end_inset y \begin_inset Formula $s\mid a_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Criterio de reducción: \series default Sean \begin_inset Formula $\phi:D\to K$ \end_inset un homomorfismo de anillos donde \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un DFU y \begin_inset Formula $K$ \end_inset es un cuerpo, \begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$ \end_inset el homomorfismo inducido por \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset y \begin_inset Formula $f$ \end_inset un polinomio primitivo de \begin_inset Formula $D[X]\setminus D$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $K[X]$ \end_inset y \begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $f$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard En particular, si \begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ \end_inset es primo, \begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$ \end_inset es primitivo, \begin_inset Formula $n:=\text{gr}(f)$ \end_inset , \begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $f$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $f$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Criterio de Eisenstein: \series default Sean \begin_inset Formula $D$ \end_inset un DFU, \begin_inset Formula $f:=\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$ \end_inset primitivo y \begin_inset Formula $n:=\text{gr}f$ \end_inset , si existe un irreducible \begin_inset Formula $p\in D$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$ \end_inset y \begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $f$ \end_inset es irreducible en \begin_inset Formula $D[X]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Así: \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$ \end_inset y existe \begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$ \end_inset cuya multiplicidad en \begin_inset Formula $a$ \end_inset es 1, \begin_inset Formula $X^{n}-a$ \end_inset es irreducible. \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $n\geq3$ \end_inset , llamamos \series bold raíces \begin_inset Formula $n$ \end_inset -ésimas de la unidad \series default o \series bold de 1 \series default a las raíces de \begin_inset Formula $X^{n}-1$ \end_inset en \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset , que son los \begin_inset Formula $n$ \end_inset vértices del \begin_inset Formula $n$ \end_inset -ágono regular inscrito en el círculo unidad de \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset con un vértice en el 1. \begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$ \end_inset , donde \begin_inset Formula $\Phi_{n}(X):=X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$ \end_inset es el \series bold \begin_inset Formula $n$ \end_inset -ésimo polinomio ciclotómico \series default y sus raíces en \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset son las raíces \begin_inset Formula $n$ \end_inset -ésimas de 1 distintas de 1. En \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset , \begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$ \end_inset , pero si \begin_inset Formula $n$ \end_inset es primo, \begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$ \end_inset es irreducible. \end_layout \begin_layout Standard [...] Dados un anillo conmutativo \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $n\geq2$ \end_inset , definimos el \series bold anillo de polinomios \series default en \begin_inset Formula $n$ \end_inset indeterminadas con coeficientes en \begin_inset Formula $A$ \end_inset como \begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]:=A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$ \end_inset . Llamamos \series bold indeterminadas \series default a los símbolos \begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$ \end_inset y \series bold polinomios en \begin_inset Formula $n$ \end_inset indeterminadas \series default a los elementos de \begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset . Dados un anillo conmutativo \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset no es un cuerpo. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset es un dominio si y sólo si lo es \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un dominio, \begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]^{*}=A^{*}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset es un DFU si y sólo si lo es \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset es un DIP si y sólo si \begin_inset Formula $n=1$ \end_inset y \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un cuerpo. \end_layout \begin_layout Standard Dados \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset e \begin_inset Formula $i:=(i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$ \end_inset , llamamos a \begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset \series bold monomio \series default de \series bold tipo \series default \begin_inset Formula $i$ \end_inset y coeficiente \begin_inset Formula $a$ \end_inset . Todo \begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset se escribe de forma única como suma de monomios de distinto tipo, \begin_inset Formula \[ p:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}, \] \end_inset con \begin_inset Formula $p_{i}=0$ \end_inset para casi todo \begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold PUAP en \begin_inset Formula $n$ \end_inset indeterminadas: \series default Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset un anillo conmutativo, \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset y \begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset la inclusión: \end_layout \begin_layout Enumerate Dados un homomorfismo de anillos \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset y \begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ \end_inset , existe un único homomorfismo de anillos \begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$ \end_inset y \begin_inset Formula $\tilde{f}(X_{k})=b_{k}$ \end_inset para \begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Dados un anillo conmutativo \begin_inset Formula $P$ \end_inset , \begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}\in P$ \end_inset y un homomorfismo \begin_inset Formula $v:A\to P$ \end_inset tales que, dados un homomorfismo de anillos \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset y \begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ \end_inset , existe un único homomorfismo \begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$ \end_inset y \begin_inset Formula $\tilde{f}(T_{k})=b_{k}$ \end_inset para \begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset , existe un isomorfismo \begin_inset Formula $\phi:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to P$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\phi\circ u=v$ \end_inset y \begin_inset Formula $\phi(X_{k})=T_{k}$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Así: \end_layout \begin_layout Enumerate Dados dos anillos conmutativos \begin_inset Formula $A\subseteq B$ \end_inset y \begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$ \end_inset , el \series bold homomorfismo de sustitución \series default \begin_inset Formula $S:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$ \end_inset viene dado por \begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n}):=S(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$ \end_inset . Su imagen es el subanillo de \begin_inset Formula $B$ \end_inset generado por \begin_inset Formula $A\cup\{b_{1},\dots,b_{n}\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$ \end_inset , y dados dos homomorfismos de anillos \begin_inset Formula $f,g:A[b_{1},\dots,b_{n}]\to C$ \end_inset , \begin_inset Formula $f=g$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $f|_{A}=g|_{A}$ \end_inset y \begin_inset Formula $f(b_{k})=g(b_{k})$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $k$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Sean \begin_inset Formula $A$ \end_inset un anillo y \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset una permutación de \begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}$ \end_inset con inversa \begin_inset Formula $\tau:=\sigma^{-1}$ \end_inset , tomando \begin_inset Formula $B=A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset y \begin_inset Formula $b_{k}=X_{\sigma(k)}$ \end_inset en el punto anterior obtenemos un automorfismo \begin_inset Formula $\hat{\sigma}$ \end_inset en \begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset con inversa \begin_inset Formula $\hat{\tau}$ \end_inset que permuta las indeterminadas. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset , por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos. \end_layout \begin_layout Enumerate Todo homomorfismo de anillos conmutativos \begin_inset Formula $f:A\to B$ \end_inset induce un homomorfismo \begin_inset Formula $\hat{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $\hat{f}(p):=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \series bold grado \series default de un monomio \begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ \end_inset a \begin_inset Formula $i_{1}+\dots+i_{n}$ \end_inset , y grado de \begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\setminus0$ \end_inset , \begin_inset Formula $\text{gr}(p)$ \end_inset , al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios de \begin_inset Formula $p$ \end_inset . Entonces \begin_inset Formula $\text{gr}(p+q)\leq\max\{\text{gr}(p),\text{gr}(q)\}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\text{gr}(pq)\leq\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un polinomio es \series bold homogéneo \series default de grado \begin_inset Formula $n$ \end_inset si es suma de monomios de grado \begin_inset Formula $n$ \end_inset . Todo polinomio se escribe de modo único como suma de polinomios homogéneos de distintos grados, sin más que agrupar los monomios de igual grado en la expresión como suma de monomios. Así, si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un dominio, \begin_inset Formula $\text{gr}(pq)=\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$ \end_inset para cualesquiera \begin_inset Formula $p,q\in D[X_{1},\dots,X_{n}]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \end_body \end_document