#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Section
Retículos
\end_layout

\begin_layout Standard
Un conjunto ordenado 
\begin_inset Formula $(A,\leq)$
\end_inset

 cumple la 
\series bold
condición de cadena ascendente
\series default
 (
\series bold
ACC
\series default
, 
\emph on
\lang english
Ascending Chain Condition
\emph default
\lang spanish
) si para 
\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}\subseteq A$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $a_{n}\leq a_{n+1}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $a_{n}=a_{n_{0}}$
\end_inset

, si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $S\subseteq A$
\end_inset

 no vacío tiene un elemento maximal.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Probamos el contrarrecíproco.
 Si 
\begin_inset Formula $S\subseteq A$
\end_inset

 no tiene elementos maximales, sea 
\begin_inset Formula $s_{1}\in S$
\end_inset

 arbitrario, como 
\begin_inset Formula $s_{1}$
\end_inset

 no es maximal, existe 
\begin_inset Formula $s_{2}\in S$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $s_{1}<s_{2}$
\end_inset

, y por inducción se puede construir una secuencia 
\begin_inset Formula $\{s_{n}\}_{n}\subseteq S\subseteq A$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $s_{n}<s_{n+1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 no cumple la ACC.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dada 
\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}\subseteq A$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $a_{n}\leq a_{n+1}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}\neq\emptyset$
\end_inset

, tiene un maximal 
\begin_inset Formula $a_{n_{0}}$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{n}\geq a_{n_{0}}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $a_{n}=a_{n_{0}}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(A,\leq)$
\end_inset

 cumple la 
\series bold
condición de cadena descendente
\series default
 (
\series bold
DCC
\series default
, 
\emph on
\lang english
Descending Chain Condition
\emph default
\lang spanish
) si 
\begin_inset Formula $(A,\geq)$
\end_inset

 cumple la ACC, si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $S\subseteq A$
\end_inset

 no vacío tiene un elemento minimal.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
retículo
\series default
 es un conjunto parcialmente ordenado en que todo subconjunto de dos elementos
 tiene supremo e ínfimo, y es 
\series bold
completo
\series default
 si todo subconjunto tiene supremo e ínfimo.
 
\begin_inset Formula $({\cal L},\leq)$
\end_inset

 es un retículo completo si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $({\cal L},\geq)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 un retículo completo, para 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $\bigvee S\coloneqq\sup_{{\cal L}}S$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\bigwedge S\coloneqq\inf_{{\cal L}}S$
\end_inset

.
 Un 
\begin_inset Formula $x\in{\cal L}$
\end_inset

 es 
\series bold
compacto
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}$
\end_inset

 no vacío con 
\begin_inset Formula $x=\bigvee S$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $F\subseteq S$
\end_inset

 finito con 
\begin_inset Formula $x=\bigvee F$
\end_inset

, y es 
\series bold
cocompacto
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}$
\end_inset

 no vacío con 
\begin_inset Formula $x=\bigwedge S$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $F\subseteq S$
\end_inset

 finito con 
\begin_inset Formula $x=\bigwedge F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un retículo completo 
\begin_inset Formula $({\cal L},\leq)$
\end_inset

 cumple la ACC si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $x\in{\cal L}$
\end_inset

 es compacto.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $x\in{\cal L}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}$
\end_inset

 no vacío con 
\begin_inset Formula $x=\bigvee S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq\{\bigvee F\}_{F\subseteq S\text{ finito no vacío}}$
\end_inset

 tiene un elemento maximal 
\begin_inset Formula $\bigvee F$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $F\subseteq S$
\end_inset

 finito, y queremos ver que 
\begin_inset Formula $x=\bigvee F$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $t\in S$
\end_inset

 arbitrario y 
\begin_inset Formula $F'\coloneqq F'\cup\{t\}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\bigvee F\leq\bigvee F'$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $\bigvee F'\in\Sigma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\bigvee F$
\end_inset

 es maximal, 
\begin_inset Formula $\bigvee F=\bigvee F'$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $t\leq\bigvee F$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $t\in S$
\end_inset

 es arbitrario, 
\begin_inset Formula $\bigvee S\leq\bigvee F$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $x=\bigvee S=\bigvee F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $\{s_{n}\}_{n}\subseteq{\cal L}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $s_{n}\leq s_{n+1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\coloneqq\bigvee_{n}s_{n}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es compacto, 
\begin_inset Formula $x=\bigvee_{k=1}^{r}s_{n_{k}}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $n_{1}<\dots<n_{r}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x=s_{n_{r}}$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{r}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s_{n_{r}}\leq s_{n}$
\end_inset

 y por tanto, como 
\begin_inset Formula $s_{n_{r}}$
\end_inset

 es maximal, 
\begin_inset Formula $s_{n_{r}}=s_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Análogamente, 
\begin_inset Formula $({\cal L},\leq)$
\end_inset

 cumple la DCC si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $x\in{\cal L}$
\end_inset

 es cocompacto.
\end_layout

\begin_layout Section
Retículos de ideales
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $({\cal L}(A),\subseteq)$
\end_inset

 es un retículo completo con supremo 
\begin_inset Formula $\bigvee S=\sum S=\left(\bigcup S\right)$
\end_inset

 e ínfimo 
\begin_inset Formula $\bigwedge S=\bigcap S$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
\end_inset

 es compacto en 
\begin_inset Formula $({\cal L}(A),\subseteq)$
\end_inset

 si y sólo si es finitamente generado.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $I=\bigvee_{x\in I}(x)$
\end_inset

, por lo que existen 
\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}\in I$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $I=\bigvee_{i=1}^{n}(x_{i})=(\{x_{i}\}_{i=1}^{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $I\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}(A)$
\end_inset

 no vacío con 
\begin_inset Formula $I=\bigvee S$
\end_inset

, para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $x_{i}\in I$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $J_{i1},\dots,J_{ik_{i}}\in S$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a_{i1}\in J_{i1},\dots,a_{ik_{i}}\in J_{ik_{i}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x_{i}=a_{i1}+\dots+a_{ik_{i}}$
\end_inset

, de modo que todo elemento de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 se puede expresar como combinación lineal de los 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}J_{ij}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es 
\series bold
noetheriano
\series default
 si 
\begin_inset Formula ${\cal L}(A)$
\end_inset

 cumple la ACC, si y sólo si todos sus ideales son finitamente generados,
 y es 
\series bold
artiniano
\series default
 si cumple la DCC.
 Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si un anillo es noetheriano o artiniano, también lo es cualquier anillo
 cociente suyo.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
El teorema de la correspondencia establece una biyección entre los ideales
 de 
\begin_inset Formula $A/I$
\end_inset

 y los de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 que contienen a 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 que conserva la inclusión y por tanto las condiciones ACC y DCC.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Los anillos con una cantidad finita de ideales son noetherianos y artinianos,
 y en particular lo son los cuerpos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Los DIPs son noetherianos.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Todos sus ideales son finitamente generados.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Un anillo con un elemento cancelable y no invertible no es artiniano.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 el anillo y 
\begin_inset Formula $x\in A$
\end_inset

 el elemento, 
\begin_inset Formula $(x)\supsetneq(x^{2})\supsetneq\dots\supsetneq(x^{k})\supsetneq\dots$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Los dominios que no son cuerpos no son artinianos, y en particular los DIPs
 que no son cuerpos son noetherianos pero no artinianos.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Por ser dominios todos los elementos no nulos son cancelables, y por no
 ser cuerpo hay un elemento no nulo no invertible.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Los anillos de polinomios no son artinianos.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es cancelable y no invertible.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Dado un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 no trivial, 
\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A[X_{1},X_{2},\dots]$
\end_inset

 no son noetherianos ni artinianos.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $A^{\mathbb{N}}$
\end_inset

, los 
\begin_inset Formula $I_{n}\coloneqq\{a\mid\forall k>n,a_{k}=0\}$
\end_inset

 cumplen 
\begin_inset Formula $I_{1}\subsetneq I_{2}\subsetneq\dots$
\end_inset

 y los 
\begin_inset Formula $J_{n}\coloneqq\{a\mid\forall k<n,a_{k}=0\}$
\end_inset

 cumplen 
\begin_inset Formula $J_{1}\supsetneq J_{2}\supsetneq\dots$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $A[X_{1},X_{2},\dots]$
\end_inset

 esto ocurre con los 
\begin_inset Formula $I_{n}\coloneqq(X_{1},\dots,X_{n})$
\end_inset

 y los 
\begin_inset Formula $J_{n}\coloneqq(X_{n},X_{n+1},\dots)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si un anillo es un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial de dimensión finita en que todos los ideales son subespacios
 vectoriales entonces es noetheriano y artiniano.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si la dimensión es 
\begin_inset Formula $d\in\mathbb{N}$
\end_inset

, una cadena estricta de ideales tiene a lo sumo 
\begin_inset Formula $d+1$
\end_inset

 elementos.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Para todo cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{K[X]}{(X^{n})}$
\end_inset

 es noetheriano y artiniano.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Es un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial con base 
\begin_inset Formula $\overline{1},\overline{X},\dots,\overline{X}^{n-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Que un anillo sea noetheriano o artiniano no implica que sus subanillos
 lo sean.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $K[X_{1},X_{2},\dots]$
\end_inset

 no es noetheriano ni artiniano pero es subanillo de su cuerpo de fracciones.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Anillos noetherianos
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es noetheriano, todo 
\begin_inset Formula $X\subseteq A$
\end_inset

 admite un 
\begin_inset Formula $X_{0}\subseteq X$
\end_inset

 finito con 
\begin_inset Formula $(X_{0})=(X)$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $(X)=(b_{1},\dots,b_{m})$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $b_{i}=\sum_{j=1}^{k_{j}}a_{ij}x_{ij}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $a_{ij}\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{ij}\in X$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $(X)=(x_{11},\dots,x_{1j_{1}},\dots,x_{m1},\dots,x_{mk_{m}})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todo dominio noetheriano es un dominio de factorización.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Supongamos que 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es noetheriano pero no es un DF, de modo que el conjunto 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 de elementos no nulos de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 que no se factorizan, es decir, que no están en 
\begin_inset Formula $\{up_{1}\cdots p_{n}\}_{u\in D^{*}}^{p_{1},\dots,p_{n}\in D\text{ irreducibles}}$
\end_inset

, no es vacío.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\Omega\coloneqq\{(a)\}_{a\in S}$
\end_inset

 tiene un maximal 
\begin_inset Formula $(a)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a\in S$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 no es nulo, invertible ni irreducible, existen 
\begin_inset Formula $b,c\in D$
\end_inset

 no asociados de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a=bc$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $(b),(c)\supsetneq(a)$
\end_inset

 y por tanto no están en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $b,c\notin S$
\end_inset

, y claramente 
\begin_inset Formula $b,c\neq0$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 se factorizan y por tanto también lo hace 
\begin_inset Formula $a\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es noetheriano, todo ideal contiene un producto finito de ideales primos,
 y en particular 0 es un producto finito de ideales primos.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 De no ser así, el conjunto 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 de ideales que no contienen un producto finito de primos es no vacío y
 tiene un maximal 
\begin_inset Formula $I\in\Omega$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 no es primo, existen 
\begin_inset Formula $a,b\notin I$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $ab\in I$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $I+(a),I+(b)\supsetneq I$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $I+(a),I+(b)\notin\Omega$
\end_inset

, con lo que existen 
\begin_inset Formula $P_{i}\trianglelefteq_{\text{p}}A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q_{j}\trianglelefteq_{\text{p}}A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $P'\coloneqq\prod_{i}P_{i}\subseteq I+(a)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q'\coloneqq\prod_{i}Q_{i}\subseteq I+(b)$
\end_inset

.
 Ahora bien, los elementos de 
\begin_inset Formula $P'Q'$
\end_inset

 son suma de elementos 
\begin_inset Formula $pq$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p\in P'\subseteq I+(a)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q\in Q'\subseteq I+(b)$
\end_inset

, de modo que existen 
\begin_inset Formula $x,y\in I$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s,t\in A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p=x+sa$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b=y+tb$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $pq=(x+sa)(y+tb)=xy+(tb)x+(sa)y+(st)(ab)\in I$
\end_inset

, ya que 
\begin_inset Formula $ab\in I$
\end_inset

, y por tanto 
\begin_inset Formula $P'Q'\subseteq I\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es noetheriano:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo ideal suyo contiene una potencia de su radical.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $b\in A$
\end_inset

 es cancelable y no unidad, 
\begin_inset Formula $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(b^{n})$
\end_inset

 puede ser no trivial, pero no contiene elementos cancelables.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 tiene una cantidad finita de primos minimales.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de la base de Hilbert:
\series default
 Un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es noetheriano si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

, si y sólo si lo es cualquiera de los 
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Probamos el contrarrecíproco.
 Sea 
\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A[X]$
\end_inset

 no finitamente generado, por inducción y usando el buen orden de 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

 definimos una secuencia 
\begin_inset Formula $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty}\subseteq I$
\end_inset

 donde cada 
\begin_inset Formula $f_{i}$
\end_inset

 es un elemento de 
\begin_inset Formula $I\setminus(f_{1},\dots,f_{i-1})$
\end_inset

 de grado mínimo.
 Llamando 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

 al grado de 
\begin_inset Formula $f_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{i}$
\end_inset

 a su coeficiente principal, 
\begin_inset Formula $(b_{1})\subseteq(b_{1},b_{2})\subseteq(b_{1},b_{2},b_{3})\subseteq\dots$
\end_inset

 es una cadena ascendente de ideales de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, y queda ver que los contenidos son estrictos.
 En efecto, si fuera 
\begin_inset Formula $b_{k}\in(b_{1},\dots,b_{k-1})$
\end_inset

, digamos 
\begin_inset Formula $b_{k}=\sum_{i=1}^{k-1}a_{i}b_{i}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $a_{i}\in A$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $n_{1}\leq n_{2}\leq\dots$
\end_inset

, podemos tomar 
\begin_inset Formula $f_{k}-\sum_{i=1}^{k-1}a_{i}f_{i}X^{n_{k}-n_{i}}$
\end_inset

, que está en 
\begin_inset Formula $I\setminus(f_{1},\dots,f_{k-1})$
\end_inset

 y tiene grado menor que 
\begin_inset Formula $n_{k}\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies1]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $A\cong A[X]/(X)$
\end_inset

 es noetheriano.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\iff3]$
\end_inset

 Por inducción en 
\begin_inset Formula $[1\iff2]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, si 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un cuerpo, los anillos de la forma 
\begin_inset Formula $K[X_{1},\dots,X_{n}]/I$
\end_inset

 son noetherianos.
 Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un subanillo noetheriano de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$
\end_inset

 es noetheriano, pues la evaluación 
\begin_inset Formula $\epsilon_{b}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to A[b_{1},\dots,b_{n}]$
\end_inset

 es un homomorfismo y por tanto 
\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}]/\ker\epsilon_{b}$
\end_inset

.
 En particular los 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$
\end_inset

 son noetherianos, aunque muchos no son DFUs.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S\subseteq A$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $(I:S)=\{a\in A\mid aS\subseteq I\}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $I\subseteq(I:S)$
\end_inset

, pues para 
\begin_inset Formula $x\in I$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $xS\subseteq xA\subseteq I$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X,Y\subseteq A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{K_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\subseteq{\cal L}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\{Z_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\subseteq{\cal P}(A)$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(I:X)$
\end_inset

 es el mayor 
\begin_inset Formula $L\trianglelefteq A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $LX\subseteq I$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $I\subseteq J\implies(I:X)\subseteq(J:X)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X\subseteq Y\implies(I:Y)\subseteq(I:X)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(I:X)=(I:(X))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(I:A)=I$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(I:0)=A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(A:X)=A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $((I:X):Y)=(I:X\cdot Y)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\left(I:\bigcup_{\lambda}Z_{\lambda}\right)=\bigcap_{\lambda}(I:Z_{\lambda})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\left(I:\sum_{\lambda}K_{\lambda}\right)=\bigcap_{\lambda}(I:K_{\lambda})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\left(\bigcap_{\lambda}K_{\lambda}:J\right)=\bigcap_{\lambda}(K_{\lambda}:J)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X\neq\emptyset$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
anulador
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(X)\coloneqq(0:X)=\{a\in A\mid aX=0\}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $\text{ann}(X)=\text{ann}((X))$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{ann}\left(\bigcup_{\lambda}Z_{\lambda}\right)=\bigcap_{\lambda}\text{ann}(Z_{\lambda})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{ann}\left(\sum_{\lambda}K_{\lambda}\right)=\bigcap_{\lambda}\text{ann}(Z_{\lambda})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Cohen:
\series default
 Un anillo es noetheriano si y sólo si todos sus ideales primos son finitamente
 generados.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Obvio.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Probamos el contrarrecíproco.
 Sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 no noetheriano y 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 el conjunto de ideales de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 no finitamente generados, la unión de una cadena de elementos de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 está en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
 En efecto, dada una cadena 
\begin_inset Formula $\{I_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\subseteq\Omega$
\end_inset

, si fuera 
\begin_inset Formula $\bigcup_{\lambda}I_{\lambda}\eqqcolon(a_{1},\dots,a_{n})$
\end_inset

, por ser 
\begin_inset Formula $\{I_{\lambda}\}_{\lambda}$
\end_inset

 una cadena existe un 
\begin_inset Formula $\mu\in\Lambda$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}\in I_{\mu}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $(a_{1},\dots,a_{n})\subseteq I_{\mu}\subseteq(a_{1},\dots,a_{n})$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $I_{\mu}$
\end_inset

 es finitamente generado.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset

 Esto nos permite aplicar el lema de Zorn y obtener un elemento maximal
 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, y queda ver que 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es primo.
 Supongamos que no lo fuera.
 
\begin_inset Formula $P\neq A$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $A=(1)$
\end_inset

 es finitamente generado, luego existen 
\begin_inset Formula $a,b\notin P$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $ab\in P$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $P\subsetneq P+(a)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $P+(a)\notin\Omega$
\end_inset

 y existen 
\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{n}\in P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $r_{1},\dots,r_{n}\in A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $P+(a)=(p_{1}+r_{1}a,\dots,p_{n}+r_{n}a)=(p_{1},\dots,p_{n},a)$
\end_inset

.
 Para la segunda igualdad:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Cada 
\begin_inset Formula $p_{i}+r_{i}a\in(p_{i},a)\subseteq(p_{1},\dots,p_{n},a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Claramente 
\begin_inset Formula $a\in P+(a)$
\end_inset

, y entonces cada 
\begin_inset Formula $p_{i}=(p_{i}+r_{i}a)-r_{i}a\in P+(a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(P:(a))=\{c\in A\mid c(a)=(ca)\subseteq P\}=\{c\in A\mid ac\in P\}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $P\subsetneq(P:(a))$
\end_inset

 ya que 
\begin_inset Formula $ab\in P$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $b\notin P$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $(P:(a))=(q_{1},\dots,q_{m})$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $q_{1},\dots,q_{m}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $q_{j}a\in P$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $P=(p_{1},\dots,p_{n},q_{1}a,\dots,q_{m}a)$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $x\in P$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\in P+(a)=(p_{1},\dots,p_{n},a)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x=s_{1}p_{1}+\dots+s_{n}p_{n}+ra$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $s_{j},r\in A$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $x\in P$
\end_inset

 y los 
\begin_inset Formula $p_{i}\in P$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $ra\in P$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $ra\in(P:(a))=(q_{1},\dots,q_{m})$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $r=t_{1}q_{1}+\dots+t_{m}q_{m}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $t_{j}\in A$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $x=s_{1}p_{1}+\dots+s_{n}p_{n}+t_{1}q_{1}a+\dots+t_{m}q_{m}a\in(p_{1},\dots,p_{n},q_{1}a,\dots,q_{m}a)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Cada 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $q_{j}a$
\end_inset

 está en 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Con esto 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es finitamente generado.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es noetheriano si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $A\llbracket X\rrbracket$
\end_inset

, si y sólo si lo es cualquiera de los 
\begin_inset Formula $A\llbracket X_{1},\dots,X_{n}\rrbracket$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Sea 
\begin_inset Formula $P\trianglelefteq_{\text{p}}A\llbracket X\rrbracket$
\end_inset

 y queremos ver que 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es finitamente generado.
 Como la evaluación en 0 
\begin_inset Formula $\epsilon:A\llbracket X\rrbracket\to A$
\end_inset

 es suprayectiva, 
\begin_inset Formula $\varepsilon(P)$
\end_inset

 es un ideal de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y por tanto es finitamente generado, digamos 
\begin_inset Formula $\varepsilon(P)=(b_{1},\dots,b_{n})$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $b_{i}=\varepsilon(f_{i})$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $f_{i}\in P$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $X\in P$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $P=(b_{1},\dots,b_{n},X)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $f\in P$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f=gX+b$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $g\in A\llbracket X\rrbracket$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in\varepsilon(P)=(b_{1},\dots,b_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $X\in P$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $b_{i}=f_{i}-g_{i}X$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $g_{i}\in A\llbracket X\rrbracket$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $b_{i}\in P$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X\notin P$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $P=(f_{1},\dots,f_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $g\in P$
\end_inset

, queremos ver que existen 
\begin_inset Formula $(a_{ij})_{1\leq i\leq n}^{j\in\mathbb{N}}\in A\llbracket X\rrbracket$
\end_inset

 tales que, para 
\begin_inset Formula $j\in\mathbb{N}$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $g'\in P$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=a_{1j}f_{1}+\dots+a_{nj}f_{n}+g'X^{j}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a_{kj}$
\end_inset

 tienen los mismos coeficientes hasta el de grado 
\begin_inset Formula $\min\{i,k\}-1$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $j=0$
\end_inset

, tomamos los 
\begin_inset Formula $a_{i0}=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g'=g$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $j>0$
\end_inset

, probado esto para 
\begin_inset Formula $j-1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g=a_{1,k-1}f_{1}+\dots+a_{n,k-1}f_{n}+g'X^{j-1}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g'\in P$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $\epsilon(g')\in\epsilon(P)$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\epsilon(g')\eqqcolon\sum_{i=1}^{n}x_{i}b_{i}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $h_{0}\coloneqq g'-\sum_{i=1}^{n}x_{i}f_{i}$
\end_inset

 está en 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y tiene término independiente 0, luego 
\begin_inset Formula $h_{0}=hX$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $h\in P$
\end_inset

 ya que 
\begin_inset Formula $X\notin P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es primo, y como 
\begin_inset Formula $g'=hX+\sum_{i=1}^{n}x_{i}f_{i}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $g=(a_{1,j-1}+x_{1}X^{j-1})f_{1}+\dots+(a_{n,j-1}+x_{n}X^{j-1})f_{n}+hX^{j}$
\end_inset

, y hacemos los 
\begin_inset Formula $a_{ij}\coloneqq a_{i,j-1}+x_{i}X^{j-1}$
\end_inset

.
 Con esto, para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

 definimos 
\begin_inset Formula $c_{i}\in A\llbracket X\rrbracket$
\end_inset

 de modo que 
\begin_inset Formula $c_{ik}\coloneqq a_{i,k+1,k}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $g=\sum_{i=1}^{n}c_{i}f_{i}$
\end_inset

.
 En efecto, para el coeficiente de grado 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(\sum_{i=1}^{n}c_{i}f_{i}\right)_{j}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}c_{ik}f_{i,j-k}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}a_{i,k+1,k}f_{i,j-k}=\\
=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}a_{i,j+1,k}f_{i,j-k}=\sum_{i=1}^{n}(a_{i,j+1}f_{i})_{j}=g_{j}.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Todo 
\begin_inset Formula $f_{i}\in P$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies1]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $A\cong A\llbracket X\rrbracket/(X)$
\end_inset

, que es noetheriano.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\iff3]$
\end_inset

 Por inducción en 
\begin_inset Formula $[1\iff2]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Anillos artinianos
\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
dimensión de Krull
\series default
 de un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\dim A\coloneqq\text{Kdim}A\coloneqq\sup\{n\in\mathbb{N}\mid\exists P_{0},\dots,P_{n}\trianglelefteq_{\text{p}}A\mid P_{0}\subsetneq\dots\subsetneq P_{n}\}\in\mathbb{N}\cup\{\infty\},
\]

\end_inset

y se tiene 
\begin_inset Formula $\text{Spec}A=\text{MaxSpec}A\iff\dim A=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si existen 
\begin_inset Formula $P,Q\trianglelefteq_{\text{p}}A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $P\subsetneq Q$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P\in\text{Spec}A\setminus\text{MaxSpec}A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si existe 
\begin_inset Formula $P\in\text{Spec}A\setminus\text{MaxSpec}A$
\end_inset

, sabemos que 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 está contenido (estrictamente) en un maximal 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

, que debe ser primo, luego 
\begin_inset Formula $P\subsetneq Q$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\dim A\geq1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Los DIPs que no son cuerpos tienen dimensión 1, pues el único primo que
 no es maximal es 
\begin_inset Formula $(0)$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 cancelable no invertible, 
\begin_inset Formula $(0)\subsetneq(b)$
\end_inset

.
 Dado un anillo artiniano 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\dim A=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $P\trianglelefteq_{\text{p}}A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A/P$
\end_inset

 es un dominio por ser 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 primo y es artiniano por serlo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, pero los dominios no cuerpos no son artinianos, luego 
\begin_inset Formula $A/P$
\end_inset

 es un cuerpo y por tanto 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es maximal y 
\begin_inset Formula $\text{Spec}A=\text{MaxSpec}A$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{Spec}A=\text{MaxSpec}A$
\end_inset

 es finito.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\Omega\coloneqq\{\bigcap{\cal M}\}_{{\cal M}\subseteq\text{MaxSpec}A}\neq\emptyset$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $\emptyset\neq\text{MaxSpec}A\subseteq\Omega$
\end_inset

, con lo que tiene un minimal 
\begin_inset Formula $I\coloneqq M_{1}\cap\dots\cap M_{k}\in\Omega$
\end_inset

 con los 
\begin_inset Formula $M_{i}\trianglelefteq_{\text{m}}A$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $M\trianglelefteq_{\text{m}}A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M\cap I=M\cap M_{1}\cap\dots\cap M_{k}\in\Omega$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $M\cap I\subseteq I$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $I\subseteq M$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $M_{1}\cdots M_{k}\subseteq M_{1}\cap\dots\cap M_{k}=I\subseteq M$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es primo, algún 
\begin_inset Formula $M_{i}\subseteq M$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $M_{i}=M$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 maximal y 
\begin_inset Formula $\text{MaxSpec}(A)=\{M_{1},\dots,M_{k}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)=\text{Nil}(A)$
\end_inset

 es nilpotente.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $J\coloneqq\text{Jac}(A)=\bigcap\text{MaxSpec}(A)=\bigcap\text{Spec}(A)=\text{Nil}(A)$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es artiniano, la cadena 
\begin_inset Formula $J\supseteq J^{2}\supseteq J^{3}\supseteq\dots$
\end_inset

 se estabiliza en un cierto 
\begin_inset Formula $I=J^{n}$
\end_inset

, y queremos ver que 
\begin_inset Formula $I=0$
\end_inset

.
 Si no lo fuera, 
\begin_inset Formula $\Omega\coloneqq\{K\trianglelefteq A\mid KI\neq0\}\neq\emptyset$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $A\in\Omega$
\end_inset

, con lo que tiene un minimal 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $KI\neq0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $x\in K$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $xI=(x)I\neq0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $(x)\in\Omega$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $(x)\subseteq K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K=(x)$
\end_inset

.
 Ahora bien, 
\begin_inset Formula $I^{2}=J^{2n}=J^{n}=I$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $0\neq xI=xI^{2}=(xI)I$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $xI\in\Omega$
\end_inset

 y está contenido en 
\begin_inset Formula $(x)$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $xI=(x)$
\end_inset

.
 En particular 
\begin_inset Formula $x\in xI$
\end_inset

, luego existe 
\begin_inset Formula $y\in I$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x=xy$
\end_inset

, y por inducción 
\begin_inset Formula $x=xy^{n}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, pues si 
\begin_inset Formula $x=xy^{n-1}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $x=(xy)y^{n-1}=xy^{n}$
\end_inset

.
 Ahora bien, 
\begin_inset Formula $y\in I\subseteq J=\text{Nil}(A)$
\end_inset

, luego existe 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $y^{n}=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $x=xy^{n}=0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $xI\neq0\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
0 es producto finito de ideales maximales.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\text{MaxSpec}(A)$
\end_inset

 es finito, digamos 
\begin_inset Formula $\text{MaxSpec}(A)=\{M_{1},\dots,M_{r}\}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)=M_{1}\cap\dots\cap M_{r}=M_{1}\cdots M_{r}$
\end_inset

 por ser los 
\begin_inset Formula $M_{i}$
\end_inset

 comaximales dos a dos, pero existe 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)^{n}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $0=M_{1}^{n}\cdots M_{r}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset

Dado un anillo artiniano 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $\text{Spec}(A)=\{M_{1},\dots,M_{k}\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{Jac}(A)^{n}=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A\cong\frac{A}{M_{1}^{n}}\times\dots\times\frac{A}{M_{k}^{n}}$
\end_inset

, con cada 
\begin_inset Formula $\frac{A}{M_{i}^{k}}$
\end_inset

 local y artiniano.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document