#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_body

\begin_layout Section
Retículos
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
conjunto ordenado
\series default
 
\begin_inset Formula $(A,\leq)$
\end_inset

 cumple la 
\series bold
condición de cadena ascendente
\series default
 (
\series bold
ACC
\series default
, 
\emph on
\lang english
Ascending Chain Condition
\emph default
\lang spanish
) si para 
\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}\subseteq A$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $a_{n}\leq a_{n+1}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $a_{n}=a_{n_{0}}$
\end_inset

, si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $S\subseteq A$
\end_inset

 no vacío tiene un elemento maximal.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Probamos el contrarrecíproco.
 Si 
\begin_inset Formula $S\subseteq A$
\end_inset

 no tiene elementos maximales, sea 
\begin_inset Formula $s_{1}\in S$
\end_inset

 arbitrario, como 
\begin_inset Formula $s_{1}$
\end_inset

 no es maximal, existe 
\begin_inset Formula $s_{2}\in S$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $s_{1}<s_{2}$
\end_inset

, y por inducción se puede construir una secuencia 
\begin_inset Formula $\{s_{n}\}_{n}\subseteq S\subseteq A$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $s_{n}<s_{n+1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 no cumple la ACC.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Dada 
\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}\subseteq A$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $a_{n}\leq a_{n+1}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}\neq\emptyset$
\end_inset

, tiene un maximal 
\begin_inset Formula $a_{n_{0}}$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{n}\geq a_{n_{0}}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $a_{n}=a_{n_{0}}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(A,\leq)$
\end_inset

 cumple la 
\series bold
condición de cadena descendente
\series default
 (
\series bold
DCC
\series default
, 
\emph on
\lang english
Descending Chain Condition
\emph default
\lang spanish
) si 
\begin_inset Formula $(A,\geq)$
\end_inset

 cumple la ACC, si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $S\subseteq A$
\end_inset

 no vacío tiene un elemento minimal.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
retículo
\series default
 es un conjunto parcialmente ordenado en que todo subconjunto de dos elementos
 tiene supremo e ínfimo, y es 
\series bold
completo
\series default
 si todo subconjunto tiene supremo e ínfimo.
 
\begin_inset Formula $({\cal L},\leq)$
\end_inset

 es un retículo completo si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $({\cal L},\geq)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula ${\cal L}$
\end_inset

 un retículo completo, para 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $\bigvee S\coloneqq\sup_{{\cal L}}S$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\bigwedge S\coloneqq\inf_{{\cal L}}S$
\end_inset

.
 Un 
\begin_inset Formula $x\in{\cal L}$
\end_inset

 es 
\series bold
compacto
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}$
\end_inset

 no vacío con 
\begin_inset Formula $x=\bigvee S$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $F\subseteq S$
\end_inset

 finito con 
\begin_inset Formula $x=\bigvee F$
\end_inset

, y es 
\series bold
cocompacto
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}$
\end_inset

 no vacío con 
\begin_inset Formula $x=\bigwedge S$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $F\subseteq S$
\end_inset

 finito con 
\begin_inset Formula $x=\bigwedge F$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}$
\end_inset

 tiene un maximal
\end_layout

\begin_layout Standard
Un retículo completo 
\begin_inset Formula $({\cal L},\leq)$
\end_inset

 cumple la ACC si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $x\in{\cal L}$
\end_inset

 es compacto.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $x\in{\cal L}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}$
\end_inset

 no vacío con 
\begin_inset Formula $x=\bigvee S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Sigma\coloneqq\{\bigvee F\}_{F\subseteq S\text{ finito no vacío}}$
\end_inset

 tiene un elemento maximal 
\begin_inset Formula $\bigvee F$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $F\subseteq S$
\end_inset

 finito, y queremos ver que 
\begin_inset Formula $x=\bigvee F$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $t\in S$
\end_inset

 arbitrario y 
\begin_inset Formula $F'\coloneqq F'\cup\{t\}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\bigvee F\leq\bigvee F'$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $\bigvee F'\in\Sigma$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\bigvee F$
\end_inset

 es maximal, 
\begin_inset Formula $\bigvee F=\bigvee F'$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $t\leq\bigvee F$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $t\in S$
\end_inset

 es arbitrario, 
\begin_inset Formula $\bigvee S\leq\bigvee F$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $x=\bigvee S=\bigvee F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $\{s_{n}\}_{n}\subseteq{\cal L}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $s_{n}\leq s_{n+1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\coloneqq\bigvee_{n}s_{n}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es compacto, 
\begin_inset Formula $x=\bigvee_{k=1}^{r}s_{n_{k}}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $n_{1}<\dots<n_{r}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x=s_{n_{r}}$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{r}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s_{n_{r}}\leq s_{n}$
\end_inset

 y por tanto, como 
\begin_inset Formula $s_{n_{r}}$
\end_inset

 es maximal, 
\begin_inset Formula $s_{n_{r}}=s_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Análogamente, 
\begin_inset Formula $({\cal L},\leq)$
\end_inset

 cumple la DCC si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $x\in{\cal L}$
\end_inset

 es cocompacto.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $({\cal L}(A),\subseteq)$
\end_inset

 es un retículo completo con supremo 
\begin_inset Formula $\bigvee S=\sum S=\{a_{1}+\dots+a_{n}\}_{n\in\mathbb{N},\{a_{1},\dots,a_{n}\}\subseteq\bigcup S}$
\end_inset

 e ínfimo 
\begin_inset Formula $\inf S=\bigcap S$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
\end_inset

 es compacto en 
\begin_inset Formula $({\cal L}(A),\subseteq)$
\end_inset

 si y sólo si es finitamente generado.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $I=\bigvee_{x\in I}(x)$
\end_inset

, por lo que existen 
\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}\in I$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $I=\bigvee_{i=1}^{n}(x_{i})=(\{x_{i}\}_{i=1}^{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $I\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}(A)$
\end_inset

 no vacío con 
\begin_inset Formula $I=\bigvee S$
\end_inset

, para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $x_{i}\in I$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $a_{i1}\in J_{i1},\dots,a_{ik_{i}}\in J_{ik_{i}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x_{i}=a_{i1}+\dots+a_{ik_{i}}$
\end_inset

, de modo que todo elemento de 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 se puede expresar como combinación lineal de los 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $I=\bigvee_{ij}J_{ij}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Anillos noetherianos y artinianos
\end_layout

\begin_layout Standard
Un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es 
\series bold
noetheriano
\series default
 si 
\begin_inset Formula ${\cal L}(A)$
\end_inset

 cumple la ACC y 
\series bold
artiniano
\series default
 si cumple la DCC.
 Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si un anillo es noetheriano o artiniano, también lo es cualquier anillo
 cociente suyo.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
El teorema de la correspondencia establece una biyección que conserva la
 inclusión entre los ideales de 
\begin_inset Formula $A/I$
\end_inset

 y los de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 que contienen a 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

, conservando la ACC o DCC.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Un anillo
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO pg 28 (22)
\end_layout

\end_inset


\end_layout

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\end_document