#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 544
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass book
\begin_preamble
\input{../defs}
\end_preamble
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language spanish
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman "default" "default"
\font_sans "default" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "auto" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\use_microtype false
\use_dash_ligatures true
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\use_minted 0
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\is_math_indent 0
\math_numbering_side default
\quotes_style french
\dynamic_quotes 0
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Standard
Dado un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, un 
\series bold
módulo
\series default
 sobre 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 o 
\series bold

\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo
\series default
 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es una terna 
\begin_inset Formula $(M,+,\cdot)$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $(M,+)$
\end_inset

 es un grupo abeliano y 
\begin_inset Formula $\cdot:A\times M\to M$
\end_inset

 es una operación llamada 
\series bold
producto por escalares
\series default
 tal que para 
\begin_inset Formula $a,b\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m,n\in M$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $1m=m$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(ab)m=a(bm)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(a+b)m=am+bm$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a(m+n)=am+an$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Equivalentemente, el producto currificado es un homomorfismo de anillos
 
\begin_inset Formula $A\to\text{End}(M)$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $\text{End}(M)$
\end_inset

 es el anillo de los endomorfismos del grupo abeliano 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 con la suma por componentes y la composición como producto.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $0m=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $1m=(1+0)m=1m+0m$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a0=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $a0=a(0+0)=a0+a0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $-(am)=(-a)m=a(-m)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $am+(-a)m=(a-a)m=0m=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $am+a(-m)=a(m-m)=a0=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula $_{A}\text{Mod}$
\end_inset

 a la clase de los módulos sobre 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado un cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, la clase de espacios vectoriales sobre 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $_{K}\text{Vect}=_{K}\text{Mod}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La clase de grupos abelianos es 
\begin_inset Formula $\text{GrAb}=_{\mathbb{Z}}\text{Mod}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Un 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

-módulo es un grupo abeliano con un producto por escalares de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

 y este producto debe cumplir 
\begin_inset Formula $(a+1)m=am+a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(-a)m=a(-m)$
\end_inset

, por lo que se puede definir de una y sólo una forma.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Llamamos 
\series bold

\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo regular
\series default
 a 
\begin_inset Formula $_{A}A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Llamamos 
\series bold
anulador
\series default
 de 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X\subseteq A$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\coloneqq\{m\in M\mid Xm=0\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\{M_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 es una familia de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos, 
\begin_inset Formula $\prod_{i\in I}M_{i}$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo con las operaciones componente a componente, y también lo es la
 
\series bold
suma directa
\series default
 (
\series bold
externa
\series default
) 
\begin_inset Formula 
\[
\bigoplus_{i\in I}M_{i}\coloneqq\left\{ x\in\prod_{i\in I}M_{i}\;\middle|\;\{i\in I\mid x_{i}\neq0\}\text{ finito}\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados un conjunto 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 y un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $M^{I}\coloneqq\prod_{i\in I}M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M^{(I)}\coloneqq\bigoplus_{i\in I}M$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold

\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo libre de rango 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset


\series default
 a 
\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$
\end_inset

, que si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un cuerpo es el espacio vectorial 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Submódulos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $N\subseteq_{A}M$
\end_inset

 es un 
\series bold
submódulo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 o un 
\series bold

\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-submódulo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

, si es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 cerrado para el producto por escalares, si y sólo si 
\begin_inset Formula $0\in N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 es cerrado para 
\series bold
combinaciones 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-lineales
\series default
, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 es un módulo.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Obvio.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Claramente es cerrado para la suma y el producto, y también para el opuesto
 porque si 
\begin_inset Formula $n\in N$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $-n=(-1)n\in N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

 al conjunto de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-submódulos de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 ordenado por inclusión, que es un retículo en que el ínfimo es la intersección
 y el supremo es la suma, definida para 
\begin_inset Formula ${\cal S}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

 como
\begin_inset Formula 
\[
\sum{\cal S}\coloneqq\left\{ \sum_{N\in F}a_{N}\;\middle|\;F\subseteq{\cal S}\text{ finito},a_{N}\in N\right\} .
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado un cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-submódulo es un subespacio vectorial.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

-submódulo es un subgrupo abeliano.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo módulo 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 tiene al menos los submódulos 0 y 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

, y puede no haber más.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_{2}$
\end_inset

 no tiene más.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Los submódulos del módulo regular son los ideales, 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}A)={\cal L}(A)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es subanillo de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo tomando como producto por escalares el producto en 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

.
 En general 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}B)\neq{\cal L}(_{B}B)$
\end_inset

.
 Por ejemplo, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 solo tiene dos 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

-submódulos (sus ideales) pero tiene muchos 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

-submódulos (sus subgrupos), y dados un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{f\in A[X]\mid\text{gr}f\leq n\}$
\end_inset

 es un submódulo de 
\begin_inset Formula $_{A}A[X]$
\end_inset

 pero no de 
\begin_inset Formula $_{A[X]}A[X]$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(X)\leq_{A}M$
\end_inset

, y en particular 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(X)\trianglelefteq A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}M_{i}\leq_{A}\prod_{i\in I}M_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
8.
\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X\subseteq_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $IX\leq_{A}M$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $m\in M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Im=\{bm\}_{b\in I}\leq_{A}M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
9.
\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $S\subseteq A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $SN\leq_{A}M$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $aN=\{an\}_{n\in N}\leq_{A}M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M/N\coloneqq\{\overline{m}\coloneqq m+N\}_{m\in M}$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo con la suma y el producto heredados, el 
\series bold
módulo cociente
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $m,m',n,n'\in M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $m-m',n-n'\in N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{m}+\overline{n}=\overline{m+n}=\overline{m+n+(m'-m+n'-n)}=\overline{m'+n'}=\overline{m'}+\overline{n'}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\overline{m}=\overline{am}=\overline{am+a(m'-m)}=\overline{am'}=a\overline{m'}$
\end_inset

, por lo que las operaciones están bien definidas, y es fácil ver que se
 cumplen los axiomas de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado un cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, el módulo cociente de 
\begin_inset Formula $_{K}V$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $U\leq_{K}V$
\end_inset

 es el espacio vectorial cociente.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El módulo cociente de 
\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}G$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $H\leq_{\mathbb{Z}}G$
\end_inset

 es el grupo cociente.
\end_layout

\begin_layout Section
Homomorfismos
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
homomorfismo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos
\series default
, 
\series bold

\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo
\series default
 o 
\series bold
aplicación 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-lineal
\series default
 entre 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $_{A}N$
\end_inset

 es un homomorfismo de grupos abelianos 
\begin_inset Formula $f:M\to N$
\end_inset

 que conserva el producto por escalares, y llamamos 
\begin_inset Formula $\text{Hom}_{A}(M,N)$
\end_inset

 al conjunto de los 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismos de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

, que es un grupo abeliano con la suma.
 El 
\series bold
núcleo
\series default
 de un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\ker f\coloneqq f^{-1}(0)$
\end_inset

.
 Propiedades:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es inyectivo si y sólo si 
\begin_inset Formula $\ker f=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $f(x)=0=f(0)\implies x=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $f(a)=f(b)\implies f(a-b)=0\implies a-b=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $M'\leq_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(M')\leq_{A}N$
\end_inset

, y en particular 
\begin_inset Formula $f(M)\leq_{A}N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f(M')$
\end_inset

 contiene al 
\begin_inset Formula $0=f(0)$
\end_inset

 y sus combinaciones 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-lineales son la imagen de combinaciones 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-lineales en 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

, que están en 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $N'\leq_{A}N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f^{-1}(N')\leq_{A}M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f^{-1}(N')$
\end_inset

 contiene al 
\begin_inset Formula $0=f^{-1}(0)$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{k}\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m_{1},\dots,m_{k}\in f^{-1}(N')$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(a_{1}m_{1}+\dots+a_{k}m_{k})=a_{1}f(m_{1})+\dots+a_{k}f(m_{k})\in N'$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
La composición de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismos es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un homomorfismo es un 
\series bold
monomorfismo
\series default
 si es inyectivo, un 
\series bold
epimorfismo
\series default
 si es suprayectivo y un 
\series bold
isomorfismo
\series default
 si es biyectivo.
 Se suele indicar un monomorfismo con una flecha 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $\rightarrowtail$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 y un epimorfismo con 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset


\begin_inset Formula $\twoheadrightarrow$
\end_inset


\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Las proyecciones canónicas 
\begin_inset Formula $M\twoheadrightarrow M/N$
\end_inset

 son epimorfismos.
 Los inversos de isomorfismos son isomorfismos, y se dice que los módulos
 involucrados son 
\series bold
isomorfos
\series default
.
 En efecto, si 
\begin_inset Formula $f:M\to N$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-isomorfismo, 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n,n'\in N$
\end_inset

 con imágenes por 
\begin_inset Formula $f^{-1}$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $m,m'\in M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(m+m')=f(m)+f(m')=n+n'$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f^{-1}(n+n')=m+m'=f^{-1}(n)+f^{-1}(n')$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $f(am)=af(m)=an$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $f^{-1}(an)=am=af^{-1}(n)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En un cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-homomorfismo es una aplicación lineal.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

-homomorfismo es un homomorfismo de grupos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{2},\mathbb{Z}_{3})=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Que dos submódulos de 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 sean isomorfos no significa que lo sean los módulos cociente de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 entre ellos, ni al revés.
 Por ejemplo, si 
\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}M\coloneqq\mathbb{Z}_{3}\oplus\mathbb{Z}_{9}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K\coloneqq\mathbb{Z}_{3}\oplus0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N\coloneqq0\oplus\mathbb{Z}_{9}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L=((0,6))$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K\cong L$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $\frac{M}{K}\ncong\frac{M}{L}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\frac{M}{K+L}\cong\frac{M}{N}$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $K+L\ncong N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\phi:M\to M'$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-isomorfismo, para 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{M}{N}\cong\frac{M'}{\phi(N)}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Restricción de escalares
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

, cada 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

-módulo 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo definiendo 
\begin_inset Formula $am\coloneqq f(a)m$
\end_inset

, lo que se conoce como 
\series bold
restricción de escalares
\series default
.
 Entonces 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{Hom}_{B}(M,N)\subseteq\text{Hom}_{A}(M,N)$
\end_inset

 y ambos son igualdades cuando 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es suprayectivo.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Todo 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

-submódulo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-submódulo, y todo 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

-homomorfismo 
\begin_inset Formula $h:M\to N$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo ya que 
\begin_inset Formula $h(a\cdot_{_{A}M}m)=h(f(a)\cdot_{_{B}M}m)=f(a)\cdot_{_{B}N}h(m)=a\cdot_{_{A}N}h(m)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es suprayectivo y 
\begin_inset Formula $S\leq{}_{A}M$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s\in S$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(a)=b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $bs=f(a)s=as\in B$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $h:M\to N$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo, es un homomorfismo de grupos abelianos y, para 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m\in M$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(a)=b$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $h(bm)=h(am)=ah(m)=bh(m)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es el único homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\to A$
\end_inset

, la restricción de escalares de un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo es el grupo abeliano subyacente, y la de un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo es el homomorfismo de los grupos abelianos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\iota:A\hookrightarrow B$
\end_inset

 es una inclusión, restringir escalares es limitarse a los escalares de
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{Hom}_{\mathbb{R}[X]}(\mathbb{R}[X],\mathbb{R}[X])\subsetneq\text{Hom}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}[X],\mathbb{R}[X])$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
La inclusión es por restricción de escalares con la inclusión, y la derivada
 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

-homomorfismo (lleva 0 a 0 y conserva sumas y producto por escalares de
 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

) pero no es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}[X]$
\end_inset

-homomorfismo (no conserva producto por 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

).
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $I\trianglelefteq A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $_{A/I}\text{Mod}\equiv\{M\in_{A}\text{Mod}\mid IM=0\}$
\end_inset

 por la biyección 
\begin_inset Formula 
\[
(M,+,\cdot)\mapsto(M,+,(a,m)\mapsto\overline{a}m),
\]

\end_inset

 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/I}M)={\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{Hom}_{A/I}(M,N)=\text{Hom}_{A}(M,N)$
\end_inset

.
 En particular los 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
\end_inset

-módulos son grupos abelianos 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $nM=0$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es primo, los 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
\end_inset

-espacios vectoriales son grupos abelianos con 
\begin_inset Formula $pM=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $_{A/I}M$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo por restricción de escalares en la proyección canónica 
\begin_inset Formula $A\to A/I$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $am=\overline{a}m$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $IM=\overline{0}M=0$
\end_inset

 y las igualdades se tienen porque la proyección canónica es suprayectiva.
 Si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $IM=0$
\end_inset

, el producto 
\begin_inset Formula $\overline{a}m\coloneqq am$
\end_inset

 está bien definido y convierte a 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 en un 
\begin_inset Formula $(A/I)$
\end_inset

-módulo.
 Estos procesos son uno inverso del otro.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un cuerpo, 
\begin_inset Formula $_{K[X]}\text{Mod}\equiv\prod_{V\in_{K}\text{Vect}}\text{End}_{K}(V)$
\end_inset

 por la biyección
\begin_inset Formula 
\[
(V,+,\cdot)\mapsto((V,+,\cdot),v\mapsto Xv),
\]

\end_inset

y los 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

-submódulos de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 son sus 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-subespacios vectoriales 
\series bold

\begin_inset Formula $f$
\end_inset

-invariantes
\series default
 siendo 
\begin_inset Formula $f(v)\coloneqq vX$
\end_inset

, es decir, los 
\begin_inset Formula $W\leq V$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(W)\subseteq W$
\end_inset

.
 Decimos que 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 tiene 
\series bold
estructura de 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

-módulo asociada al endomorfismo
\series default
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $p\in K[X]$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $p(f):V\to V$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p(f)(v)\coloneqq\sum_{i}p_{i}f^{i}(v)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

-módulo, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

-endomorfismo, y por restricción de escalares 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-módulo o 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-endomorfismo (vectorial).
 Y si 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-endomorfismo, el producto 
\begin_inset Formula $K[X]\times V\to V$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)v\coloneqq\sum_{i}r_{i}f^{i}(v)$
\end_inset

 hereda las propiedades del producto escalar (identidad en el anillo, asociativi
dad y distributividad por ambos lados).
 Todas son obvias salvo la asociatividad, pero
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\left(\sum_{i}q_{i}X^{i}\right)\left(\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)v\right)=\left(\sum_{i}q_{i}X^{i}\right)\left(\sum_{i}r_{i}f^{i}(v)\right)=\\
=\sum_{i}q_{i}f^{i}\left(\sum_{j}r_{j}f^{j}(v)\right)=\sum_{i}\sum_{j}q_{i}r_{j}f^{i+j}(v)=\sum_{i}\sum_{k=0}^{i}q_{k}r_{i-k}f^{i}(v)=\\
=\left(\sum_{i}\sum_{k=0}^{i}q_{k}r_{i-k}X^{i}\right)v=\left(\left(\sum_{i}q_{i}X^{i}\right)\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)\right)v.
\end{multline*}

\end_inset

Finalmente, estas operaciones son inversas una de la otra, pues para 
\begin_inset Formula $p\in K[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\in K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

, partiendo del 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

-módulo, 
\begin_inset Formula $\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)v=\sum_{i}r_{i}f^{i}(v)=\sum_{i}r_{i}X^{i}v=\left(\sum_{i}r_{i}X^{i}\right)v$
\end_inset

 por asociatividad y distributividad del producto en el 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

-módulo, y partiendo del 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial y endomorfismo, 
\begin_inset Formula $a_{K[X]}v=af^{0}(v)=a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(v\mapsto Xv)(v)=Xv=f(v)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacios vectoriales y 
\begin_inset Formula $f:V\to V$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g:V\to V$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-endomorfismos, un 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

-homomorfismo entre los 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

-módulos asociados a 
\begin_inset Formula $(V,f)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(W,g)$
\end_inset

 es precisamente una aplicación 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-lineal 
\begin_inset Formula $\phi:V\to W$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\phi\circ f=g\circ\phi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Teoremas de isomorfía
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de la correspondencia:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p:M\to M/N$
\end_inset

 es la proyección canónica,
\begin_inset Formula 
\[
\rho:\{K\leq_{A}M\mid N\subseteq K\}\to\{L\leq_{A}M/N\}
\]

\end_inset

dada por 
\begin_inset Formula $\rho(K)\coloneqq K/N\coloneqq p(K)=\{k+N\}_{k\in K}$
\end_inset

 es una biyección que conserva la inclusión, y 
\begin_inset Formula 
\[
p(K)=\frac{K+N}{N}.
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Que conserve la inclusión es claro, y que 
\begin_inset Formula $p(K)=p(K+N)$
\end_inset

 también.
 Si 
\begin_inset Formula $K\leq_{A}M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $N\subseteq K$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $k,l\in K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{0},\overline{k}+\overline{l}=\overline{k+l},a\overline{k}=\overline{ak}\in K/N$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $K/N\leq_{A}M/N$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $L\leq_{A}M/N$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $n\in N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p(n)=\overline{n}=\overline{0}\in L$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $N\subseteq p^{-1}(L)$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $k,l\in p^{-1}(L)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{k},\overline{l}\in L$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{ak}=a\overline{k},\overline{k+l}=\overline{k}+\overline{l}\in L$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $ak,k+l\in p^{-1}(L)$
\end_inset

.
 Queda ver que 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L\to p^{-1}(L)$
\end_inset

 son inversas una de la otra.
 Por teoría de conjuntos, para 
\begin_inset Formula $L\subseteq M/N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p(p^{-1}(L))=\{p(k)\in M\mid k\in p^{-1}(L)\}=\{p(k)\in M\mid p(k)\in L\}=L$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $K\subseteq M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p^{-1}(p(K))=\{k\in M\mid p(k)\in p(K)\}=\{k\in M\mid\exists k'\in K:p(k)=p(k')\}\supseteq K$
\end_inset

, y solo hay que ver que si 
\begin_inset Formula $K\leq_{A}M$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $p^{-1}(p(K))\subseteq K$
\end_inset

.
 Pero si 
\begin_inset Formula $k\in p^{-1}(p(K))$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $k'\in K$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p(k)=p(k')$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $p(k-k')=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $k-k'\in N\subseteq K$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $k=k'+(k-k')\in K$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teoremas de isomorfía:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f:M\to N$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo, 
\begin_inset Formula $\frac{M}{\ker f}\cong\text{Im}f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $N'\coloneqq\text{Im}f\leq_{A}N$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f:N\to N'$
\end_inset

 es un homomorfismo suprayectivo.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $\overline{f}:M/\ker f\to\text{Im}f$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\overline{f}(\overline{a})\coloneqq f(a)$
\end_inset

, que está bien definida porque para 
\begin_inset Formula $k\in\ker f$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\overline{f}(\overline{a+k})=f(a)+f(k)=f(a)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{f}(\overline{a})=f(a)=0\implies a\in\ker f\implies\overline{a}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\overline{f}$
\end_inset

 es inyectiva y suprayectiva y por tanto un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-isomorfismo.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $N,K\leq_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{N}{N\cap K}\cong\frac{N+K}{K}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $p:M\to M/K$
\end_inset

 la proyección canónica, 
\begin_inset Formula $p(N)=\frac{N+K}{K}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $f\coloneqq p|_{N}:N\to\frac{N+K}{K}$
\end_inset

 es suprayectiva y 
\begin_inset Formula $f(a)=0\iff f\in K$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\ker f=N\cap K$
\end_inset

 y el resultado se obtiene del primer teorema de isomorfía.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $N,K\leq_{A}M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $N\subseteq K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{M/N}{K/N}\cong\frac{M}{K}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $p:M\to M/K$
\end_inset

 la proyección canónica, como 
\begin_inset Formula $N\subseteq K=\ker p$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{p}:\frac{M}{N}\to\frac{M}{K}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\overline{p}(\overline{a})\coloneqq p(a)$
\end_inset

 está bien definida, es suprayectiva y su núcleo es 
\begin_inset Formula $\frac{K}{N}$
\end_inset

, y el resultado se obtiene del primer teorema de isomorfía.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
clase de isomorfía
\series default
 es una clase de equivalencia por la relación 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

ser isomorfos
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $I,J\trianglelefteq A$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\frac{A}{I}\cong\frac{A}{J}$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos entonces 
\begin_inset Formula $I=J$
\end_inset

, pero esto no es válido si el isomorfismo es de anillos.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Sistemas generadores
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X\subseteq_{A}M$
\end_inset

, llamamos 
\series bold

\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-submódulo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 generado por 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset


\series default
 a
\begin_inset Formula 
\[
(X)\coloneqq AX\coloneqq\min\{N\leq_{A}M\mid X\subseteq N\}=\{a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}\}_{a_{i}\in A,x_{i}\in X}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

El conjunto de combinaciones 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-lineales de elementos de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 contiene a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-submódulo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, por lo que contiene al mínimo de los 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-submódulos que cumplen esto.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Por definición todo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-submódulo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 que contiene a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 contiene a sus combinaciones 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-lineales, por lo que el conjunto de estas está en el ínfimo y es en sí
 un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-submódulo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 que contiene a 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Claramente 
\begin_inset Formula $(\emptyset)=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{n})=Ax_{1}+\dots+Ax_{n}$
\end_inset

, y llamamos 
\series bold
submódulo cíclico
\series default
 generado por 
\begin_inset Formula $m\in_{A}M$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Am\coloneqq(m)\coloneqq(\{m\})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
conjunto
\series default
 o 
\series bold
sistema generador
\series default
 de 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $X\subseteq M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $(X)=M$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $(M)=M$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es 
\series bold
finitamente generado
\series default
 si admite un conjunto generador finito, y es 
\series bold
cíclico
\series default
 si admite uno unipuntual.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo regular es cíclico, 
\begin_inset Formula $_{A}A=(1)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial es finitamente generado si y sólo si es de dimensión
 finita, y entonces los generadores minimales son bases y tienen todos el
 mismo número de elementos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
No siempre los generadores minimales finitos tienen igual número de elementos.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{\mathbb{Z}}$
\end_inset

 tiene generadores minimales 
\begin_inset Formula $\{1\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\{3,5\}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\{X_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal P}(M)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M=\sum_{i}(X_{i})$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $M=(\bigcup X_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f:M\twoheadrightarrow N$
\end_inset

 es un epimorfismo y 
\begin_inset Formula $M=(X)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N=(f(X))$
\end_inset

, luego si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es finitamente generado también lo es 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

, y en particular los cocientes de módulos finitamente generados son finitamente
 generados.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En general los submódulos de módulos finitamente generados no son finitamente
 generados.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}A)={\cal L}(A)$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $A=(1)$
\end_inset

 y puede contener ideales no finitamente generados.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

-módulo cíclico pero no es finitamente generado como 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $S\subseteq A[X]$
\end_inset

 es finito, 
\begin_inset Formula $X^{\max_{f\in S}\text{gr}f+1}\notin AS$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A[X]\neq AS$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 es cíclico como 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

-módulo pero no es finitamente generado como 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

-módulo.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $S\subseteq\mathbb{Q}$
\end_inset

 es finito y 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 es un primo que no divide a los denominadores de los elementos de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 en forma irreducible, 
\begin_inset Formula $\frac{1}{p}\notin\mathbb{Z}S$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
9.
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$
\end_inset

 son finitamente generados, 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es finitamente generado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
10.
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $N,K\leq_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N\cap K\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{r})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N+K\eqqcolon(n_{1}+k_{1},\dots,n_{s}+k_{s})$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $n_{j}\in N$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $k_{j}\in K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N=(x_{1},\dots,x_{r},n_{1},\dots,n_{s})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K=(x_{1},\dots,x_{r},k_{1},\dots,k_{s})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
11.
\end_layout

\end_inset

Dado un entero 
\begin_inset Formula $q\geq2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\left[\frac{1}{q}\right]=\left\{ \frac{a}{q^{n}}\right\} _{a\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}}\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$
\end_inset

 no es finitamente generado.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
12.
\end_layout

\end_inset

Los epimorfismos conservan los conjuntos generadores.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
vspace{1ex}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Lema de Nakayama:
\series default
 Dados 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $J\leq A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $J\subseteq\text{Jac}A$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es finitamente generado y 
\begin_inset Formula $JM=M$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $M=0$
\end_inset

.
 Esto no se cumple si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 no es finitamente generado, pues por ejemplo 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 visto como 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{(p)}$
\end_inset

-módulo cumple 
\begin_inset Formula $\text{Jac}(\mathbb{Z}_{p}(\mathbb{Q}))=\mathbb{Q}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es finitamente generado, el único 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $M=JM+N$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $(A,J,K)$
\end_inset

 es un anillo local, 
\begin_inset Formula $\frac{M}{JM}$
\end_inset

 es anulado por 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $J\subseteq\text{ann}_{A}(\frac{M}{JM})$
\end_inset

), luego es un 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

-espacio vectorial.
 Si además 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es finitamente generado, 
\begin_inset Formula $\frac{M}{JM}$
\end_inset

 es de dimensión finita, y si 
\begin_inset Formula $_{K}\frac{M}{JM}=(\overline{m_{1}},\dots,\overline{m_{n}})$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $_{A}M=(m_{1},\dots,m_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Sumas directas
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\{N_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

 y el homomorfismo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos 
\begin_inset Formula $\phi:\bigoplus_{i\in I}N_{i}\to M$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\phi(m)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 es suprayectiva si y sólo si 
\begin_inset Formula $M=\sum_{i}N_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 es inyectiva si y sólo si los elementos de 
\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$
\end_inset

 tienen una expresión única como 
\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $n_{i}\in N_{i}$
\end_inset

 casi todos nulos, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall i,N_{i}\cap\sum_{j\neq i}N_{j}=0$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $\sum_{i}N_{i}$
\end_inset

 es la 
\series bold
suma directa interna
\series default
 de 
\begin_inset Formula $(N_{i})_{i}$
\end_inset

, escrita 
\begin_inset Formula $\bigoplus_{i}N_{i}$
\end_inset

, que es isomorfa con la suma directa externa.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\iff2]$
\end_inset

 Por definición de 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $n_{i}=\sum_{j\neq i}n_{j}$
\end_inset

, por unicidad es 
\begin_inset Formula $n_{i}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 Para 
\begin_inset Formula $n\in\sum_{i}N_{i}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\phi(n)=\sum_{i}n_{i}=0$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $i\in I$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n_{i}=-\sum_{j\neq i}n_{j}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es la suma directa interna de los 
\begin_inset Formula $N_{i}$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 es un isomorfismo, si y sólo si cada elemento de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 se escribe de forma única como 
\begin_inset Formula $\sum_{i}m_{i}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $m_{i}\in M_{i}$
\end_inset

 y casi todos nulos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $N,N'\leq_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M=N\oplus N'\iff M=N+N'\land N\cap N'=0$
\end_inset

, y entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La 
\series bold
proyección
\series default
 
\begin_inset Formula $p:M\to N$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $p(x+x')\coloneqq x$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $x\in N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x'\in N'$
\end_inset

 es un homomorfismo suprayectivo con núcleo 
\begin_inset Formula $N'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
La unicidad garantiza que está bien definida y el resto es trivial.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $N\cong\frac{M}{N'}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Por el primer teorema de isomorfía en 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es finitamente generado si y sólo si lo son 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Por ser isomorfos a espacios cociente del módulo finitamente generado 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

La unión de un conjunto generador de 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 y uno de 
\begin_inset Formula $N'$
\end_inset

 es uno de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $J\trianglelefteq A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $_{A}M=\bigoplus_{i\in I}M_{i}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:M\to N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N=\bigoplus_{i\in I}f(M_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(J)=\bigoplus_{i\in I}\text{ann}_{M_{i}}(J)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=\bigcap_{i\in I}\text{ann}_{A}(M_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un DIP, 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es finito y 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M_{i})=(b_{i})$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $i\in I$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=(\text{lcm}_{i\in I}b_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

 es un 
\series bold
sumando directo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 si existe 
\begin_inset Formula $N'\leq_{A}M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $M=N\oplus N'$
\end_inset

 llamado 
\series bold
complemento directo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, si y sólo si la inclusión 
\begin_inset Formula $\iota:N\hookrightarrow M$
\end_inset

 tiene un inverso por la izquierda, es decir, un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo 
\begin_inset Formula $h:M\to N$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{N}$
\end_inset

, que deja fijos los puntos de 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

La proyección 
\begin_inset Formula $p:M\to N$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $p\circ\iota=1_{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $N'\coloneqq\ker h$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $x\in N\cap N'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0=h(x)=h(\iota(x))=x$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $x\in M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x=h(x)+(x-h(x))$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $h(x)\in N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x-h(x)\in N'=\ker h$
\end_inset

 ya que 
\begin_inset Formula $h(x-\iota(h(x)))=h(x)-h(x)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
En general un submódulo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 no es isomorfo a un cociente de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 ni al revés, pues el cociente 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
\end_inset

 no es isomorfo a un ideal de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$
\end_inset

 no es isomorfo a un cociente de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 ya que todo cociente de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 cumple que para cada 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 hay un 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x=y+y$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $y=\frac{x}{2}$
\end_inset

) y esto no ocurre en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $M=\bigoplus_{i\in I}M_{i}$
\end_inset

, cada 
\begin_inset Formula $M_{i}$
\end_inset

 es un sumando directo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 con complemento directo 
\begin_inset Formula $\bigoplus_{j\in I\setminus\{i\}}M_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Estaba en mis notas de clase y no sé que significa.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

Tenemos un isomorfismo 
\begin_inset Formula $_{A}\text{Mod}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong M$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\text{End}_{A}(M)\cong\text{End}_{A}\left(\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}\right)\cong\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $I\triangleleft A$
\end_inset

 entonces la aplicación 
\begin_inset Formula $\mu:\frac{A}{I}\to\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\overline{a}\mapsto\mu_{\overline{a}}\coloneqq(\overline{b}\mapsto\overline{ab})$
\end_inset

 es un isomorfismo de anillos.
 En efecto, 
\begin_inset Formula $\ker\mu=\{\overline{a}:\mu_{\overline{a}}\equiv0\}=\{\overline{a}\in\frac{A}{I}:\forall\overline{b}\in\frac{A}{I},\overline{a}\overline{b}=\overline{0}\}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\ker\mu=0$
\end_inset

 implica que 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 es inyectiva.
 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 suprayectiva: Sea 
\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{A}(\frac{A}{I})$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $f:\frac{A}{I}\to\frac{A}{I}$
\end_inset

), sea 
\begin_inset Formula $\overline{a}\coloneqq f(\overline{1})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(\overline{b})=f(\overline{b}\overline{1})=\overline{b}f(\overline{1})=\overline{b}\overline{a}$
\end_inset

.
\begin_inset Quotes crd
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es 
\series bold
indescomponible
\series default
 si sus únicos sumandos directos son 0 y 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo subespacio de un espacio vectorial tiene complementos directos (no
 únicos).
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $V\leq_{K}V$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 cuerpo, una base de 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 se completa a una de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y el subespacio generado por los vectores que se añaden es un complemento
 directo de 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Dada una familia 
\begin_inset Formula $\{M_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}\text{Mod}$
\end_inset

, podemos identificar cada 
\begin_inset Formula $M_{i}$
\end_inset

 con el submódulo de 
\begin_inset Formula $\prod_{i}M_{i}$
\end_inset

 con entradas nulas en cada componente salvo la 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y entonces la familia 
\begin_inset Formula $(M_{i})_{i}$
\end_inset

 es independiente y su suma directa interna coincide con la suma directa
 externa.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $I\triangleleft A$
\end_inset

 tiene un elemento cancelable (no invertible), 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 no es un sumando directo de 
\begin_inset Formula $_{A}A$
\end_inset

.
 En particular, si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un dominio, 
\begin_inset Formula $_{A}A$
\end_inset

 es indescomponible.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si tuviera complemento directo 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

, este sería no nulo por ser 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 propio, luego si 
\begin_inset Formula $b\in I$
\end_inset

 es cancelable y 
\begin_inset Formula $c\in J\setminus\{0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\neq bc\in I\cap J\#$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{r}\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 son primos distintos, 
\begin_inset Formula $n\coloneqq\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q_{i}\coloneqq\frac{n}{p_{i}^{m_{i}}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}=\bigoplus_{i=1}^{r}q_{i}\mathbb{Z}_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Como 
\begin_inset Formula $\gcd\{q_{1},\dots,q_{r}\}=1$
\end_inset

, hay una identidad de Bézout 
\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}q_{i}=1$
\end_inset

 y la suma de ideales es 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{n}$
\end_inset

.
 Para ver que es directa, si 
\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=\sum_{j\neq i}q_{j}\overline{a_{j}}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $q_{i}a_{i}=nb+\sum_{j\neq i}q_{j}a_{j}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}$
\end_inset

 divide a la parte derecha de la igualdad, debe dividir a la izquierda y
 
\begin_inset Formula $p_{i}^{m_{i}}\mid q_{i}a_{i}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $n=\prod_{j}p_{j}^{m_{j}}\mid q_{i}a_{i}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q_{i}\overline{a_{i}}=0$
\end_inset

 y la suma es directa.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo cíclico 
\begin_inset Formula $M\neq0$
\end_inset

 es indescomponible si y sólo si los únicos idempotentes de 
\begin_inset Formula $\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $\overline{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{1}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Probamos el contrarrecíproco.
 Sea 
\begin_inset Formula $m\in M\setminus0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $M=(m)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=\{a\in A:am=0\}$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $\overline{e}\in\frac{A}{\text{ann}_{A}(M)}$
\end_inset

 es un idempotente distinto de 
\begin_inset Formula $\overline{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{1}$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $\iota:(em)\to M$
\end_inset

 es la inclusión y 
\begin_inset Formula $h:M\to(em)$
\end_inset

 el homomorfismo producto por 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $b\in M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $h(\iota(bem))=h(bem)=be^{2}m=bem$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $h\circ\iota=1_{(em)}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(em)$
\end_inset

 es sumando directo distinto de 0 y 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO ejercicio Saorín
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $M\in\text{MaxSpec}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

, el 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo 
\begin_inset Formula $\frac{A}{M^{n}}$
\end_inset

 es indescomponible.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO ejercicio Saorín 1
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un DIP y 
\begin_inset Formula $a\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(a)}$
\end_inset

 es indescomponible si y sólo si 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es asociado a 
\begin_inset Formula $p^{t}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $p\in A$
\end_inset

 irreducible y 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO ejercicio Saorín 2
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
8.
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $e\in A$
\end_inset

 es idempotente, 
\begin_inset Formula $eM$
\end_inset

 es sumando directo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
9.
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $f:M\to M$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-endomorfismo idempotente, 
\begin_inset Formula $M=\ker f\oplus\text{Im}f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Módulos libres
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $X\coloneqq\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$
\end_inset

, el homomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}$
\end_inset

 es suprayectivo si y sólo si 
\begin_inset Formula $M=\sum_{i\in I}Am_{i}$
\end_inset

, y es inyectivo si y sólo si cada elemento de 
\begin_inset Formula $(X)$
\end_inset

 se expresa de forma única como 
\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$
\end_inset

 con los 
\begin_inset Formula $a_{i}\in A$
\end_inset

 casi todos nulos, si y sólo si los submódulos 
\begin_inset Formula $(Am_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 son independientes y para cada 
\begin_inset Formula $i\in I$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $am_{i}\neq0$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 es 
\series bold
linealmente independiente
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}=\sum_{i}a'_{i}m_{i}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\phi(a)=\phi(a')$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a=a'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 La expresión de elementos de 
\begin_inset Formula $(X)$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\sum_{i}n_{i}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $n_{i}=a_{i}m_{i}\in Am_{i}$
\end_inset

 es única, luego los 
\begin_inset Formula $Am_{i}$
\end_inset

 son independientes, y si hubiera 
\begin_inset Formula $a\in A\setminus\{0\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i\in I$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $am_{i}=0$
\end_inset

 habría dos expresiones 
\begin_inset Formula $\sum_{i}a_{i}m_{i}$
\end_inset

 para el 
\begin_inset Formula $0\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $\phi(a)=\sum_{i}a_{i}m_{i}=0$
\end_inset

, por lo primero cada 
\begin_inset Formula $a_{i}m_{i}=0$
\end_inset

, y por lo segundo cada 
\begin_inset Formula $a_{i}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una familia 
\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}M$
\end_inset

 es una 
\series bold
base
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 si es linealmente independiente y genera 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{i}m_{i}$
\end_inset

 es biyectiva, si y sólo si para cada 
\begin_inset Formula $m\in M$
\end_inset

 existe una única elección de coeficientes 
\begin_inset Formula $a_{i}\in A$
\end_inset

 casi todos nulos, llamados 
\series bold
coordenadas
\series default
 de 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 en la base, con 
\begin_inset Formula $m=\sum_{i}a_{i}m_{i}$
\end_inset

.
 Un módulo es 
\series bold
libre
\series default
 si tiene una base.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El módulo 0 es libre con base vacía.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Los 
\begin_inset Formula $A^{(I)}$
\end_inset

 son libres con la 
\series bold
base canónica
\series default
 
\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$
\end_inset

, donde cada 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 tiene un 1 en la entrada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y un 0 en el resto.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo espacio vectorial es libre, y las bases coinciden con los conjuntos
 linealmente independientes maximales y los conjuntos generadores minimales.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $_{A}A[X]$
\end_inset

 es libre con base 
\begin_inset Formula $(X^{n})_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[\text{i}]$
\end_inset

 es libre con base 
\begin_inset Formula $\{1,\text{i}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$
\end_inset

 no es libre.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $\frac{a}{r},\frac{b}{s}\in\mathbb{Q}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $br\frac{a}{r}-as\frac{b}{s}=0$
\end_inset

, luego los conjuntos linealmente independientes son de un elemento, pero
 estos no generan 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es un grupo abeliano finito no nulo, 
\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}M$
\end_inset

 no es libre.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
No puede ser isomorfo a un 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{(I)}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
8.
\end_layout

\end_inset

Los epimorfismos conservan la independencia lineal.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
9.
\end_layout

\end_inset

Los isomorfismos conservan bases.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
10.
\end_layout

\end_inset

Un 
\begin_inset Formula $M\leq_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$
\end_inset

 es libre si y sólo si es cíclico, si y solo si es finitamente generado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
11.
\end_layout

\end_inset

Un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un cuerpo si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo es libre.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es libre si y sólo si es isomorfo a 
\begin_inset Formula $A^{(I)}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

, en cuyo caso, si 
\begin_inset Formula $A\neq0$
\end_inset

, todas las bases tienen cardinal 
\begin_inset Formula $|I|$
\end_inset

, llamado el 
\series bold
rango
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\text{rg}M$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es libre con base 
\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$
\end_inset

, hay un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$
\end_inset

, y recíprocamente, si hay tal isomorfismo, 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 tiene la base resultante de llevar la base canónica de 
\begin_inset Formula $A^{(I)}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 por el isomorfismo.
 Si 
\begin_inset Formula $A\neq0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $J\trianglelefteq_{\text{m}}A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $JM\leq_{A}M$
\end_inset

, luego si 
\begin_inset Formula $\overline{M}\coloneqq\frac{M}{JM}$
\end_inset

, los elementos de 
\begin_inset Formula $J\overline{M}$
\end_inset

 son sumas de elementos de la forma 
\begin_inset Formula $j\overline{m}=jm+JM=JM$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $j\in J$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m\in M$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$
\end_inset

.
 Pero un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo 
\begin_inset Formula $\overline{M}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $J\overline{M}=0$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$
\end_inset

-módulo, luego 
\begin_inset Formula $\overline{M}$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$
\end_inset

-módulo y por tanto es un 
\begin_inset Formula $\frac{A}{J}$
\end_inset

-espacio vectorial.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{\overline{m_{i}}\}_{i\in I}\subseteq\overline{M}$
\end_inset

 es un conjunto generador, y es linealmente independiente.
 En efecto, si 
\begin_inset Formula $\sum_{i}\overline{a_{i}}\overline{m_{i}}=\overline{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $x\coloneqq\sum_{i}a_{i}m_{i}\in JM$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x=\sum_{j=1}^{n}b_{j}x_{j}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $b_{j}\in J$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $x_{j}\in M$
\end_inset

 y, escribiendo cada 
\begin_inset Formula $x_{j}$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\sum_{i}c_{ji}m_{i}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x=\sum_{j}\sum_{i}b_{j}c_{ji}m_{i}=\sum_{i}\left(\sum_{j}b_{j}c_{ji}\right)m_{i}$
\end_inset

, y por la independencia lineal de los 
\begin_inset Formula $m_{i}$
\end_inset

, cada 
\begin_inset Formula $a_{i}=\sum_{j}b_{j}c_{ji}\in J$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\overline{a_{i}}=\overline{0}$
\end_inset

.
 Haciendo esta operación con dos bases distintas de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 con el mismo 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 se obtienen dos bases distintas del espacio vectorial 
\begin_inset Formula $J\overline{M}$
\end_inset

 que deben tener el mismo cardinal.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo libre es finitamente generado si y sólo si tiene rango finito, es
 decir, si es isomorfo a un 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $S\subseteq_{A}M$
\end_inset

 un generador finito de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(b_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$
\end_inset

 el isomorfismo asociado a la base, si 
\begin_inset Formula $f(a)\coloneqq\{i\in I:(\phi^{-1}(a))_{i}\neq0\}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $J\coloneqq\bigcup_{a\in S}f(a)$
\end_inset

 es finito, pero necesariamente 
\begin_inset Formula $J=I$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Obvio.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todo módulo es cociente de un módulo libre de rango igual al cardinal de
 un generador del módulo, pues si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un generador de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 existe un epimorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A^{(X)}\twoheadrightarrow M$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq\sum_{x}a_{x}x$
\end_inset

 y, por el primer teorema de isomorfía, 
\begin_inset Formula $\frac{A^{(X)}}{\ker\phi}\cong M$
\end_inset

.
 En particular todo módulo finitamente generado es cociente de un módulo
 libre de rango finito y todo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo cíclico es cociente de 
\begin_inset Formula $_{A}A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $_{A}L=L_{1}\oplus\dots\oplus L_{t}$
\end_inset

 es una suma directa interna y cada 
\begin_inset Formula $L_{i}$
\end_inset

 es libre con base finita 
\begin_inset Formula $X_{i}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 tiene como base la concatenación de las 
\begin_inset Formula $X_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{rg}L=\text{rg}L_{1}+\dots+\text{rg}L_{t}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $t\leq1$
\end_inset

 es obvio, y para 
\begin_inset Formula $t>2$
\end_inset

 se ve por inducción.
 Para 
\begin_inset Formula $t=2$
\end_inset

, las uniones de conjuntos generadores generan el submódulo suma, y queda
 ver que si 
\begin_inset Formula $\{n_{1},\dots,n_{r}\}\subseteq L_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\{k_{1},\dots,k_{s}\}\subseteq L_{2}$
\end_inset

 son linealmente independientes, la unión, que es disjunta, es linealmente
 independiente.
 Pero si 
\begin_inset Formula $(a\coloneqq a_{1}n_{1}+\dots+a_{r}n_{r})+(b\coloneqq b_{1}k_{1}+\dots+b_{s}k_{s})=0$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}\in A$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $a,b=0$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $a\in L_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in L_{2}$
\end_inset

, luego cada 
\begin_inset Formula $a_{i},b_{j}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(m_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\{n_{i}\}_{i\in I}\subseteq_{A}N$
\end_inset

, existe un único 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo 
\begin_inset Formula $f:M\to N$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Existe un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A^{(I)}\to M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\phi(e_{i})=m_{i}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 de la base canónica y un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo 
\begin_inset Formula $\psi:A^{(I)}\to N$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\psi(e_{i})=n_{i}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $f\coloneqq\psi\circ\phi^{-1}:M\to N$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo con cada 
\begin_inset Formula $f(m_{i})=n_{i}$
\end_inset

.
 Para la unicidad, como 
\begin_inset Formula $\{m_{i}\}_{i}$
\end_inset

 es un conjunto generador, dos 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismos que actúen igual sobre sus elementos son iguales.
\end_layout

\begin_layout Section
Condiciones de cadena en módulos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $_{A}N\in{\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

 es compacto si y sólo si es finitamente generado.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $N=\bigvee_{n\in N}(n)$
\end_inset

, por lo que existen 
\begin_inset Formula $n_{1},\dots,n_{k}\in N$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $N=(n_{1})\vee\dots\vee(n_{k})=(n_{1},\dots,n_{k})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $N\eqqcolon(x_{1},\dots,x_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S\subseteq{\cal L}(_{A}N)$
\end_inset

 no vacío con 
\begin_inset Formula $N=\bigvee S$
\end_inset

, para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $x_{i}\in N$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $L_{i1},\dots,L_{ik_{i}}\in S$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p_{i1}\in L_{i1},\dots,p_{ik_{i}}\in L_{ik_{i}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x_{i}=a_{i1}+\dots+a_{ik_{i}}$
\end_inset

, de modo que todo elemento de 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 se puede expresar como combinación lineal de los 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $N=\bigvee_{ij}L_{ij}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $_{A}N\in{\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

 es 
\series bold
finitamente cogenerado
\series default
 si es cocompacto.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es 
\series bold
noetheriano
\series default
 si 
\begin_inset Formula $({\cal L}(_{A}M),\subseteq)$
\end_inset

 cumple la ACC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente generados,
 y es 
\series bold
artiniano
\series default
 si cumple la DCC, si y sólo si todos sus submódulos son finitamente cogenerados
, con lo que un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es noetheriano o artiniano cuando lo es 
\begin_inset Formula $_{A}A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un espacio vectorial es noetheriano si y sólo si es artiniano, si y sólo
 si es finitamente generado, si y sólo si es de dimensión finita.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies3]$
\end_inset

 Por definición.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies4\implies1,2]$
\end_inset

 Por álgebra lineal.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies4]$
\end_inset

 Probamos el contrarrecíproco.
 Si 
\begin_inset Formula $(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 es una familia de vectores linealmente independiente y llamamos 
\begin_inset Formula $V_{n}\coloneqq\text{span}\{v_{m}\}_{m\geq n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $V_{1}\supsetneq V_{2}\supsetneq V_{3}\supsetneq\dots$
\end_inset

 viola la DCC.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$
\end_inset

 no es noetheriano ni artiniano.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\dots\subsetneq(4)\subsetneq(2)\subsetneq(1)\subsetneq(\frac{1}{2})\subsetneq(\frac{1}{4})\subsetneq\dots$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 es un homomorfismo de anillos y vemos a un 
\begin_inset Formula $_{B}M$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo por restricción de escalares sobre 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es noetheriano o artiniano también lo es 
\begin_inset Formula $_{B}M$
\end_inset

.
 En particular si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es cuerpo y 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 tiene dimensión finita, 
\begin_inset Formula $_{B}M$
\end_inset

 es noetheriano y artiniano.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

, por lo que si en 
\begin_inset Formula ${\cal L}({}_{A}M)$
\end_inset

 no hay cadenas de cierta forma, en 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}M)$
\end_inset

 tampoco.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
En el grupo 
\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\left(\overline{\frac{1}{n}}\right)=\left\{ \overline{\frac{0}{n}},\overline{\frac{1}{n}},\dots,\overline{\frac{n-1}{n}}\right\} \cong\mathbb{Z}_{n}
\]

\end_inset

 admite como generadores unitarios los 
\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{n}}$
\end_inset

 en que la fracción es irreducible.
 Si 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 es primo, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\coloneqq\left\{ \overline{\frac{a}{p^{n}}}\right\} _{a\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 es un subgrupo de 
\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}$
\end_inset

 que es artiniano pero no noetheriano, y que no es finitamente generado
 pero todos sus subgrupos propios son cíclicos de la forma 
\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$
\end_inset

 es la unión de la cadena de subgrupos 
\begin_inset Formula 
\[
0=\left(\overline{\frac{1}{p^{0}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{2}}}\right)\subsetneq\left(\overline{\frac{1}{p^{3}}}\right)\subsetneq\dots,
\]

\end_inset

 por lo que no es noetheriano.
 Si 
\begin_inset Formula $_{\mathbb{Z}}N\leq\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$
\end_inset

 contiene una cantidad infinita de elementos 
\begin_inset Formula $\overline{\frac{1}{p^{n}}}$
\end_inset

, contiene a todos los miembros de la cadena y 
\begin_inset Formula $N=\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$
\end_inset

, y en otro caso, sea 
\begin_inset Formula $n\coloneqq\max\left\{ n\in\mathbb{N}:\overline{\frac{1}{p^{n}}}\in\mathbb{N}\right\} $
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N=\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in N$
\end_inset

 con la fracción irreducible, 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es coprimo con 
\begin_inset Formula $p^{m}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\left(\overline{\frac{1}{p^{m}}}\right)=\left(\overline{\frac{a}{p^{n}}}\right)\subseteq N$
\end_inset

, de donde 
\begin_inset Formula $m\leq n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{\frac{a}{p^{m}}}\in\left(\overline{\frac{1}{p^{n}}}\right)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Obvio.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como todos sus subgrupos son los de esta cadena, 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$
\end_inset

 es artiniano, y no es finitamente generado porque de serlo, como todos
 sus subgrupos propios lo son, sería noetheriano.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
5.
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{Z}}=\bigoplus_{p}\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
6.
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es noetheriano, todo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-endomorfismo suprayectivo en 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es inyectivo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
7.
\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es artiniano, todo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-endomorfismo inyectivo en 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es suprayectivo.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
sucesión exacta corta
\series default
 es una expresión de la forma 
\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$
\end_inset

 en la que 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos, cada flecha es un homomorfismo y el núcleo de cada morfismo es
 la imagen del que le precede, lo que equivale a que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 sea un monomorfismo y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 un epimorfismo con 
\begin_inset Formula $\text{Im}f=\ker g$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Toda sucesión exacta corta con término central 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es isomorfa a una de la forma 
\begin_inset Formula $0\to K\overset{\iota}{\hookrightarrow}M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{K}\to0$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $\iota$
\end_inset

 es la inclusión y 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 la proyección canónica.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Dada 
\begin_inset Formula $0\to L\overset{f}{\to}M\overset{g}{\to}N\to0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $K\coloneqq\text{Im}f$
\end_inset

, restringiendo 
\begin_inset Formula $\hat{f}:L\to K$
\end_inset

 tenemos un isomorfismo que nos permite cambiar 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\iota$
\end_inset

 ya que 
\begin_inset Formula $\iota\circ\hat{f}=f$
\end_inset

, y por el primer teorema de isomorfía en 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{M}{K}\cong N$
\end_inset

, por lo que cambiamos 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\frac{M}{K}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\pi$
\end_inset

 ya que el isomorfismo de la prueba del teorema de isomorfía es 
\begin_inset Formula $\overline{g}:\frac{M}{K}\to N$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\overline{g}(\overline{m})\coloneqq g(m)$
\end_inset

 y claramente 
\begin_inset Formula $\overline{g}\circ\pi=g$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es noetheriano o artiniano si y sólo si lo son 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es noetheriano o artiniano, como 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}N)\subseteq{\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

, también lo es 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

, y como la biyección 
\begin_inset Formula $\rho:\{K\in{\cal L}(_{A}M)\mid N\subseteq K\}\to{\cal L}(_{A}M/N)$
\end_inset

 del teorema de correspondencia conserva la inclusión, 
\begin_inset Formula $\rho^{-1}({\cal L}(_{A}M/N))\subseteq{\cal L}(_{A}M)$
\end_inset

 y también lo es 
\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $P\subseteq Q$
\end_inset

 son submódulos de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $P\cap N=Q\cap N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P+N=Q+N$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $q\in Q$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q\in Q+N=P+N$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $q=p+n$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $p\in P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\in N$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $q-p=n\in Q\cap N=P\cap N\subseteq P$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $q=(q-p)+p\in P$
\end_inset

 y se concluye 
\begin_inset Formula $P=Q$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$
\end_inset

 son noetherianos o artinianos respectivamente, sea 
\begin_inset Formula $(P_{n})_{n}$
\end_inset

 una cadena ascendente o descendente de submódulos de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, los 
\begin_inset Formula $P_{n}\cap N$
\end_inset

 y los 
\begin_inset Formula $\frac{P_{n}+N}{N}$
\end_inset

 forman cadenas ascendentes o descendentes de submódulos de 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{M}{N}$
\end_inset

 respectivamente, y por hipótesis ambas se estabilizan a partir de un 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 que podemos suponer común, pero entonces, para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P_{n}\subseteq P_{n+1}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $P_{n}\cap N=P_{n+1}\cap N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{P_{n}\cap N}{N}=\frac{P_{n+1}+N}{N}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $P_{n}=P_{n+1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es noetheriano o artiniano.
\end_layout

\begin_layout Standard
La suma directa finita de módulos noetherianos o artinianos es respectivamente
 noetheriana o artiniana.
 En efecto, para 
\begin_inset Formula $n\leq1$
\end_inset

 módulos es obvio, para 
\begin_inset Formula $n=2$
\end_inset

 se deduce de lo anterior y de que, si 
\begin_inset Formula $M=N\oplus K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $K\cong\frac{M}{N}$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $n>2$
\end_inset

 se hace inducción.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es noetheriano o artiniano, respectivamente, si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $n>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$
\end_inset

 noetheriano o noetheriano, si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo finitamente generado es noetheriano o artiniano.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies3]$
\end_inset

 Es fácil ver que los submódulos de 
\begin_inset Formula $_{A}A^{n}$
\end_inset

 son productos de submódulos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, que son ideales, pero si 
\begin_inset Formula $(M_{k}\coloneqq I_{k1}\times\dots\times I_{kn})_{k}$
\end_inset

 es una cadena ascendente de submódulos de 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

, cada cadena ascendente 
\begin_inset Formula $(I_{ki})_{k}$
\end_inset

 se estabiliza en un punto, que podemos suponer común, y 
\begin_inset Formula $(M_{k})_{k}$
\end_inset

 se estabiliza.
 Entonces para 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 finitamente generado existe un epimorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A^{n}\twoheadrightarrow M$
\end_inset

 y las cadenas ascendentes de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 también se estabilizan.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies2]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies1]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

 es noetheriano para cierto 
\begin_inset Formula $n>0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$
\end_inset

 una cadena ascendente de ideales de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(I_{k},0,\dots,0)_{k}$
\end_inset

 es una cadena ascendente de submódulos de 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

 y por tanto se estabiliza, luego 
\begin_inset Formula $(I_{k})_{k}$
\end_inset

 también se estabiliza.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para artinianos es análogo.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Dados un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 noetheriano o artiniano, respectivamente, y un homomorfismo 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $_{A}B$
\end_inset

 por restricción de escalares es finitamente generado, entonces 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es un anillo noetheriano o artiniano.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Por lo anterior lo es 
\begin_inset Formula $_{A}B$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{B}B)\subseteq{\cal L}(_{A}B)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A=A_{1}\times\dots\times A_{n}$
\end_inset

 es un producto de anillos, todo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo es isomorfo a un producto 
\begin_inset Formula $M_{1}\times\dots\times M_{n}$
\end_inset

, donde cada 
\begin_inset Formula $M_{i}$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A_{i}$
\end_inset

-módulo, y en particular 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A}M)\cong\prod_{i=1}^{m}{\cal L}(_{A_{i}}M_{i})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO ejercicio Saorín 4
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Lema de Artin:
\series default
 En un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 en que 0 es producto finito de ideales maximales, un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si el número de ideales que hay que multiplicar es 
\begin_inset Formula $n\leq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un cuerpo y sabemos que se cumple.
 Para 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

, por inducción, sean 
\begin_inset Formula $0=J_{1}J_{2}$
\end_inset

 donde cada 
\begin_inset Formula $J_{i}$
\end_inset

 es producto de menos de 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 maximales.
 Si por ejemplo 
\begin_inset Formula $J_{1}=M_{1}\cdots M_{k}$
\end_inset

 con los 
\begin_inset Formula $M_{i}$
\end_inset

 maximales, en 
\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0=\frac{J_{1}}{J_{1}}=\frac{M_{1}\cdots M_{k}}{J_{1}}=\frac{M_{1}}{J_{1}}\cdots\frac{M_{k}}{J_{1}}$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $J_{1}\subseteq M_{i}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{M_{i}}{J_{1}}\trianglelefteq_{\text{m}}\frac{A}{J_{1}}$
\end_inset

 y, en 
\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$
\end_inset

, 0 es producto de menos de 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 maximales y por tanto un 
\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$
\end_inset

-módulo es noetheriano si y sólo si es artiniano, y análogamente para un
 
\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$
\end_inset

-módulo.
 Dado 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N\coloneqq J_{1}M$
\end_inset

 es anulado por 
\begin_inset Formula $J_{2}$
\end_inset

 y por tanto se puede ver como un 
\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{2}}$
\end_inset

-módulo con 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{2}}N)={\cal L}(_{A}N)$
\end_inset

 por restricción de escalares, mientras que 
\begin_inset Formula $\frac{M}{N}=\frac{M}{J_{1}M}$
\end_inset

 es anulado por 
\begin_inset Formula $J_{1}$
\end_inset

 y se puede ver como un 
\begin_inset Formula $\frac{A}{J_{1}}$
\end_inset

-módulo con 
\begin_inset Formula ${\cal L}(_{A/J_{1}}M/N)={\cal L}(_{A}M/N)$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es noetheriano si y sólo si lo son 
\begin_inset Formula $_{A}M/N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $_{A}N$
\end_inset

, si y sólo si lo son 
\begin_inset Formula $_{A/J_{1}}M/N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $_{A/J_{2}}N$
\end_inset

, si y sólo si son artinianos, si y sólo si lo son 
\begin_inset Formula $_{A}M/N$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $_{A}N$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es noetheriano.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Akizuki:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un anillo es artiniano si y sólo si es noetheriano de dimensión 0.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Ya vimos que entonces es de dimensión 0 y el 0 es producto finito de maximales,
 luego es noetheriano por el lema de Artin.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Por ser noetheriano, 0 es producto finito de ideales primos, que son maximales
 por ser de dimensión 0, luego el anillo es artiniano por el lema de Artin.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Un módulo de un anillo artiniano es artiniano si y sólo si es noetheriano,
 si y sólo si es finitamente generado.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\iff2]$
\end_inset

 Por el argumento anterior el 0 es producto finito de maximales y aplica
 el lema de Artin.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Por definición.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 Visto.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo es 
\series bold
de longitud finita
\series default
 si es noetheriano y artiniano.
 Un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es artiniano si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo finitamente generado es de longitud finita.
\end_layout

\begin_layout Section
Módulos y matrices
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $m,n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{m}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{n}$
\end_inset

 las bases canónicas respectivas de los 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos libres 
\begin_inset Formula $A^{m}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(f\mapsto M_{{\cal C}_{m}{\cal C}_{n}}(f)):\text{Hom}_{A}(A^{n},A^{m})\to{\cal M}_{m\times n}(A)$
\end_inset

 es un isomorfismo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos con inversa 
\begin_inset Formula $C\mapsto v\mapsto Cv$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{n}\eqqcolon(e_{1},\dots,e_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{m}\eqqcolon(f_{1},\dots,f_{m})$
\end_inset

, toda 
\begin_inset Formula $f\in\text{Hom}_{A}(A^{n},A^{m})$
\end_inset

 viene dada por los valores que le asigna a los 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

, que se pueden expresar respecto a los 
\begin_inset Formula $f_{j}$
\end_inset

 dando lugar a 
\begin_inset Formula $M\coloneqq M_{{\cal C}_{m}{\cal C}_{n}}(f)$
\end_inset

 cuyas columnas son los 
\begin_inset Formula $f(e_{i})$
\end_inset

, pero claramente 
\begin_inset Formula $Me_{i}$
\end_inset

 es la 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-ésima columna de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, y recíprocamente, si 
\begin_inset Formula $M\in{\cal M}_{m\times n}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 viene dada por 
\begin_inset Formula $f(v)\coloneqq Mv$
\end_inset

, las columnas de 
\begin_inset Formula $M_{{\cal C}_{m}{\cal C}_{n}}(f)$
\end_inset

 son los 
\begin_inset Formula $Me_{i}$
\end_inset

 que son las columnas de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
 Que es un isomorfismo es claro tomando 
\begin_inset Formula $(b_{ij}\coloneqq\sum_{k}a_{k}e_{k}\mapsto a_{i}f_{j})_{i,j}$
\end_inset

 como base de 
\begin_inset Formula $\text{Hom}_{A}(A^{n},A^{m})$
\end_inset

 y viendo que conserva combinaciones lineales de los 
\begin_inset Formula $b_{ij}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\text{GL}_{s}(K)\coloneqq\{A\in{\cal M}_{s}(K)\mid\det A\neq0\}$
\end_inset

.
 Dada 
\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$
\end_inset

, llamamos 
\series bold

\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo asociado a 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset


\series default
, 
\begin_inset Formula $M(C)$
\end_inset

, a 
\begin_inset Formula $\frac{A^{m}}{\{Cv\}_{v\in A^{n}}}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $B,C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$
\end_inset

 son 
\series bold
equivalentes
\series default
 si existen 
\begin_inset Formula $P\in\text{GL}_{m}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q\in\text{GL}_{n}(A)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $C=PBQ$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $M(B)\cong M(C)$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Se tiene 
\begin_inset Formula $PB=CQ^{-1}$
\end_inset

, luego llamando 
\begin_inset Formula $f_{C}:A^{n}\to A^{m}$
\end_inset

 al homomorfismo 
\begin_inset Formula $f_{C}(v)\coloneqq Cv$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f_{P}\circ f_{B}=f_{C}\circ f_{Q^{-1}}$
\end_inset

.
 Definiendo el homomorfismo 
\begin_inset Formula $\psi:M(B)\to M(C)$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\psi(\overline{a})=\overline{f_{P}(a)}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 está bien definido porque 
\begin_inset Formula $a\in\text{Im}f_{B}\implies f_{P}(a)\in\text{Im}(f_{P}\circ f_{B})=\text{Im}(f_{C}\circ f_{Q^{-1}})=\text{Im}f_{C}$
\end_inset

, pero el homomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:M(C)\to M(B)$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\phi(\overline{c})\coloneqq\overline{f_{P^{-1}}(c)}$
\end_inset

 también está bien definido porque 
\begin_inset Formula $c\in\text{Im}f_{C}\implies f_{P^{-1}}(c)\in\text{Im}(f_{P^{-1}}\circ f_{C})=\text{Im}(f_{P^{-1}}\circ f_{C}\circ f_{Q^{-1}})=\text{Im}(f_{P})$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\phi=\psi^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
operación
\series default
 o 
\series bold
transformación elemental por filas
\series default
 o 
\series bold
columnas
\series default
 en 
\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$
\end_inset

 consiste en intercambiar dos filas o columnas de 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, multiplicar una por un 
\begin_inset Formula $\alpha\in A^{*}$
\end_inset

 o sumarle a una otra multiplicada por un 
\begin_inset Formula $\alpha\in A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{AlgL}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
matriz elemental
\series default
 de tamaño 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 a toda matriz obtenida al efectuar una operación elemental [...] en 
\begin_inset Formula $I_{n}$
\end_inset

.
 [...] Si 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 se obtiene al realizar una operación elemental por filas en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 al realizar la misma en 
\begin_inset Formula $I_{m}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $B=EA$
\end_inset

.
 [...] Si 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 se obtiene de aplicar una operación elemental por columnas en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 al aplicarla a 
\begin_inset Formula $I_{n}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $B=AE$
\end_inset

.
 Así, realizar una serie de estas operaciones en una matriz equivale a multiplic
arla por uno o ambos lados por un producto de matrices elementales, el cual
 es invertible.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Las matrices elementales son las mismas por filas que por columnas.
 Si 
\begin_inset Formula $B,C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 se puede obtener aplicando a 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 una cantidad finita de transformaciones elementales por filas y por columnas,
 entonces 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 son equivalentes, pues aplicar transformaciones por filas y columnas a
 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 equivale a multiplicarla a izquierda y derecha por matrices invertibles.
\end_layout

\end_body
\end_document