#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_body

\begin_layout Standard
En adelante, salvo que se indique lo contrario, 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un DIP y 
\begin_inset Formula ${\cal P}\subseteq A$
\end_inset

 es un conjunto irredundante de representantes salvo asociados de los elementos
 irreducibles o primos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Por ejemplo, si 
\begin_inset Formula $A=\mathbb{Z}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal P}$
\end_inset

 podría ser el conjunto de primos positivos, y cuando 
\begin_inset Formula $A=K[X]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 cuerpo, 
\begin_inset Formula ${\cal P}$
\end_inset

 podría ser el conjunto de polinomios mónicos irreducibles.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $G\leq_{A}F$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 libre, entonces 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es libre y 
\begin_inset Formula $\text{rg}G\leq\text{rg}F$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración
\series default
 cuando 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 tiene rango finito
\series bold
:
\series default

\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
Demostración general en 
\emph on
\lang english
Algebra
\emph default
\lang spanish
 de Thomas W.
 Hungerfor, IV.6.1, que usa propiedades de los números ordinales.
\end_layout

\end_inset

 Sean 
\begin_inset Formula $B=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $j\in\{0,\dots,n\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F_{j}\coloneqq\bigoplus_{i=1}^{j}Ax_{i}$
\end_inset

, tenemos una cadena estrictamente ascendente 
\begin_inset Formula $0=F_{0}\subsetneq\dots\subsetneq F_{n}=F$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $\frac{F_{j}}{F_{j-1}}\cong Ax_{j}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, pero el homomorfismo canónico 
\begin_inset Formula $A\to Ax_{j}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\mapsto ax_{j}$
\end_inset

, es un isomorfismo (por restricción de 
\begin_inset Formula $\phi:A^{n}\to F$
\end_inset

), luego todo submódulo de 
\begin_inset Formula $\frac{F_{j}}{F_{j-1}}$
\end_inset

 es isomorfo a un ideal de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, que será principal, y es pues nulo o un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo libre de rango 1.
 Intersecando los términos de esta cadena con 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0=G\cap F_{0}\subseteq G\cap F_{1}\subseteq\dots\subseteq G\cap F_{n}=G$
\end_inset

, y el homomorfismo 
\begin_inset Formula $f_{j}:G\cap F_{j}\hookrightarrow F_{j}\overset{\pi}{\to}\frac{F_{j}}{F_{j-1}}$
\end_inset

 tiene núcleo 
\begin_inset Formula $G\cap F_{j-1}$
\end_inset

, por lo que hay un monomorfismo 
\begin_inset Formula $\frac{G\cap F_{j}}{G\cap F_{j-1}}\rightarrowtail\frac{F_{j}}{F_{j-1}}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\frac{G\cap F_{j}}{G\cap F_{j-1}}=0$
\end_inset

 o es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo libre de rango 1.
 Tras eliminar términos repetidos de la cadena, existen 
\begin_inset Formula $k_{i}\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $k_{1}<\dots<k_{t}$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $0=G\cap F_{k_{0}}\subsetneq G\cap F_{k_{1}}\subsetneq\dots\subsetneq G\cap F_{k_{t}}=G$
\end_inset

 y donde cada 
\begin_inset Formula $\frac{G\cap F_{k_{i}}}{G\cap F_{k_{i-1}}}$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo libre de rango 1.
 Si 
\begin_inset Formula $t=0$
\end_inset

 hemos terminado.
 En otro caso, sean 
\begin_inset Formula $H_{i}\coloneqq G\cap F_{k_{i}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $y_{1}$
\end_inset

 un generador de 
\begin_inset Formula $H_{1}$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $i\in\{2,\dots,n\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $y_{i}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $y_{i}+H_{i-1}$
\end_inset

 sea un generador de 
\begin_inset Formula $\frac{H_{i}}{H_{i-1}}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $(y_{1},\dots,y_{i})$
\end_inset

 es base de 
\begin_inset Formula $H_{i}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $i=1$
\end_inset

 esto es claro.
 Para 
\begin_inset Formula $i>1$
\end_inset

, por inducción, para 
\begin_inset Formula $m\in H_{i}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 tal que, en 
\begin_inset Formula $\frac{H_{i}}{H_{i-1}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{a}\overline{y_{i}}=\overline{m}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $ay_{i}-m\in H_{i-1}$
\end_inset

, que por inducción se puede expresar unívocamente como combinación lineal
 de 
\begin_inset Formula $(y_{1},\dots,y_{i-1})$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $\{y_{1},\dots,y_{i}\}$
\end_inset

 es generador de 
\begin_inset Formula $H_{j}$
\end_inset

, y es linealmente independiente porque, al ser 
\begin_inset Formula $\frac{H_{i}}{H_{i-1}}=(\overline{y_{i}})$
\end_inset

 de rango 1, 
\begin_inset Formula $\phi:A\to(\overline{y_{i}})$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\phi(a)\coloneqq a\overline{y_{i}}$
\end_inset

 es un isomorfismo y, si 
\begin_inset Formula $n\in H_{i-1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 cumplen 
\begin_inset Formula $n+ay_{i}=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $ay_{i}=-n\in H_{i-1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\phi(a)=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

.
 Por tanto, para 
\begin_inset Formula $i=t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $H_{t}=G$
\end_inset

 tiene base 
\begin_inset Formula $(y_{1},\dots,y_{t})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todo epimorfismo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos 
\begin_inset Formula $p:M\twoheadrightarrow F$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 libre tiene inverso por la derecha, un 
\begin_inset Formula $f:F\to M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p\circ f=1_{F}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $M=\text{Im}f\oplus\ker p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M\cong F\times\ker p$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Dada una base 
\begin_inset Formula $X=\{x_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $i\in I$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m_{i}\in M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p(m_{i})=x_{i}$
\end_inset

, existe un único 
\begin_inset Formula $f:F\to M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(x_{i})=m_{i}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, luego el homomorfismo 
\begin_inset Formula $p\circ f$
\end_inset

 es la identidad sobre los elementos de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y por tanto sobre todos los de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 Para la descomposición, 
\begin_inset Formula $\text{Im}f\cap\ker p=0$
\end_inset

 porque sus elementos son de la forma 
\begin_inset Formula $f(x)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x\in F$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p(f(x))=0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $p(f(x))=x$
\end_inset

, e 
\begin_inset Formula $\text{Im}f+\ker p=M$
\end_inset

 porque, para 
\begin_inset Formula $m\in M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m=m-f(p(m))+f(p(m))$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(p(m))\in\text{Im}f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m-f(p(m))\in\ker p$
\end_inset

 ya que 
\begin_inset Formula $p(m-f(p(m)))=p(m)-p(m)=0$
\end_inset

.
 Finalmente, como 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es inyectiva, su restricción a la imagen es un isomorfismo e 
\begin_inset Formula $\text{Im}f\cong F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Submódulos de torsión
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\begin_inset Formula $x\in_{A}M$
\end_inset

 es un 
\series bold
elemento de torsión
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)\neq0$
\end_inset

, y es un 
\series bold
elemento de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-torsión
\series default
 para cierto 
\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$
\end_inset

 si existe 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)=(p^{t})$
\end_inset

, si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p^{s}x=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
submódulo de torsión
\series default
 de 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula 
\[
t(M)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de torsión}\}\leq_{A}M.
\]

\end_inset

 En efecto, para 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x,y\in t(M)$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $b\in\text{ann}_{A}(x)\setminus0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c\in\text{ann}_{A}(y)\setminus0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $bc(x-y)=bcx-bcy=0-0=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $0\neq bc\in\text{ann}_{A}(x-y)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x-y\in t(M)$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $abx=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $ab\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $ax\in t(M)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
subgrupo de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-torsión
\series default
 de 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula 
\[
M(p)\coloneqq\{x\in M\mid x\text{ es de }p\text{-torsión}\}\leq_{A}M.
\]

\end_inset

 En efecto, para 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x,y\in M(p)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p^{s}x=p^{s}y=0$
\end_inset

 y entonces 
\begin_inset Formula $ap^{s}x=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{s}(x+y)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{p\in{\cal P}}M(p)$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Claramente 
\begin_inset Formula $\sum_{p\in{\cal P}}M(p)\leq_{A}t(M)$
\end_inset

.
 Para ver que la suma es directa, sean 
\begin_inset Formula $q\in{\cal P}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in M(q)\cap\sum_{p\in{\cal P}\setminus\{q\}}M(p)$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $q^{s}x=0$
\end_inset

, una descomposición 
\begin_inset Formula $x=x_{1}+\dots+x_{r}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $x_{i}\in M(p_{i})$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $p_{i}\in{\cal P}\setminus\{q\}$
\end_inset

 y, para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $t_{i}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p_{i}^{t_{i}}x_{i}=0$
\end_inset

, con lo que si 
\begin_inset Formula $a\coloneqq\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{t_{i}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $ax=0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\gcd\{q^{s},a\}=1$
\end_inset

, por lo que hay una identidad de Bézout 
\begin_inset Formula $q^{s}b+ac=1$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $x=1x=q^{s}bx+acx=0$
\end_inset

.
 Queda ver que 
\begin_inset Formula $t(M)\subseteq\sum_{p\in{\cal P}}M(p)$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $x\in t(M)\setminus0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)\triangleleft A$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un DIP existen 
\begin_inset Formula $(b)\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)=(b)$
\end_inset

 y una factorización en irreducibles 
\begin_inset Formula $b=up_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r}^{t_{r}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $u\in A^{*}$
\end_inset

, los 
\begin_inset Formula $p_{i}\in{\cal P}$
\end_inset

 irreducibles distintos y los 
\begin_inset Formula $t_{i}>0$
\end_inset

, y queremos ver que 
\begin_inset Formula $x\in\sum_{i=1}^{r}M(p_{i})\subseteq\sum_{p\in{\cal P}}M(p)$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $r=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\in M(p_{1})$
\end_inset

 y hemos terminado.
 Si 
\begin_inset Formula $r>1$
\end_inset

, por inducción, como 
\begin_inset Formula $\gcd\{p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}},p_{r}^{t_{r}}\}=1$
\end_inset

, existe una identidad de Bézout 
\begin_inset Formula $p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}}b+p_{r}^{t_{r}}c=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x=p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}}bx+p_{r}^{t_{r}}cx$
\end_inset

, donde el primer sumando es anulado por 
\begin_inset Formula $p_{r}^{t_{r}}$
\end_inset

 y por tanto está en 
\begin_inset Formula $M(p_{r})$
\end_inset

 y el segundo es anulado por 
\begin_inset Formula $p_{1}^{t_{1}}\cdots p_{r-1}^{t_{r-1}}$
\end_inset

 y por tanto está en 
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{r}M(p_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$
\end_inset

 es finitamente generado, existen 
\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{r}\in{\cal P}$
\end_inset

, unívocamente determinados salvo permutación, tales que 
\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{i=1}^{r}M(p_{i})$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $M(p_{i})\neq0$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Como 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es noetheriano, 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es noetheriano y 
\begin_inset Formula $t(M)$
\end_inset

 es finitamente generado.
 Como 
\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{p\in{\cal P}}M(p)$
\end_inset

 es finitamente generado, digamos por 
\begin_inset Formula $\{x_{1},\dots,x_{s}\}$
\end_inset

, entendiendo la suma directa como externa, como cada 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 tiene una cantidad finita de elementos no nulos, 
\begin_inset Formula $(x_{1},\dots,x_{s})$
\end_inset

 tiene una cantidad finita de índices no nulos y casi todo 
\begin_inset Formula $M(p)=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $t(M)=\bigoplus_{i=1}^{r}M(p_{i})$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

.
 La unicidad se sigue de que los 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

 deben ser justo aquellos con 
\begin_inset Formula $M(p_{i})\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es 
\series bold
de torsión
\series default
 si 
\begin_inset Formula $M=t(M)$
\end_inset

, y es 
\series bold
de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-torsión
\series default
 para un 
\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $M=M(p)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un grupo abeliano, es finitamente generado de torsión si y sólo si es
 finito, y para 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 primo positivo, es de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-torsión finitamente generado si y sólo si es finito y 
\begin_inset Formula $p^{m}M=0$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $m>0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $_{A}M\coloneqq\frac{A}{(p^{n})}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $k\in\{0,\dots,n-1\}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{k})=\frac{(p^{n-k})}{(p^{n})}$
\end_inset

 y para 
\begin_inset Formula $k\geq n$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{k})=M$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p)$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$
\end_inset

-espacio vectorial de dimensión 1.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 es el cuerpo de fracciones de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}Q$
\end_inset

 es no nulo, 
\begin_inset Formula $\frac{Q}{N}$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo de torsión.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-homomorfismo 
\begin_inset Formula $f:M\to N$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f(t(M))\subseteq t(N)$
\end_inset

, y la inclusión puede ser estricta incluso cuando 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un monomorfismo o un epimorfismo.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Parte libre de torsión
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $_{A}F$
\end_inset

 es 
\series bold
libre de torsión
\series default
 si 
\begin_inset Formula $t(F)=0$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
parte libre de torsión
\series default
 de 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\frac{M}{t(M)}$
\end_inset

, que es libre de torsión.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Queremos ver que, para 
\begin_inset Formula $\overline{x}\in\frac{M}{t(M)}\setminus0$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(\overline{x})=0$
\end_inset

.
 Sean entonces 
\begin_inset Formula $x\in M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(\overline{x})\neq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A\setminus0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a\overline{x}=0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $ax\in t(M)$
\end_inset

 y existe 
\begin_inset Formula $b\in A\setminus0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $bax=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x\in t(M)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{x}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo libre es libre de torsión, pues es isomorfo a un 
\begin_inset Formula $A^{(I)}$
\end_inset

 y, si hubiera un 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 y un 
\begin_inset Formula $v\in A^{(I)}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $av=0$
\end_inset

, como estamos en un dominio, 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $v=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo es finitamente generado y libre de torsión si y sólo si es libre
 de rango finito.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $_{A}F=0$
\end_inset

 es obvio.
 Si 
\begin_inset Formula $_{A}F\neq0$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $X=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$
\end_inset

 un generador finito de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S=\{x_{1},\dots,x_{k}\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $k\leq n$
\end_inset

 un subconjunto linealmente independiente maximal, 
\begin_inset Formula $G\coloneqq(x_{1},\dots,x_{k})\leq_{A}F$
\end_inset

 es libre con base 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\frac{F}{G}$
\end_inset

 es finitamente generado, y queremos ver que es de torsión.
 Para 
\begin_inset Formula $x\in X\setminus S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $S\cup\{x\}$
\end_inset

 no es linealmente independiente, luego existen 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{k},a\in A$
\end_inset

 no todos nulos con 
\begin_inset Formula $a_{1}x_{1}+\dots+a_{k}x_{k}=ax$
\end_inset

, lo que implica que 
\begin_inset Formula $a\neq0$
\end_inset

 y que 
\begin_inset Formula $ax\in(X)=G$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a\overline{x}=0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a\neq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{x}\in t(\frac{F}{G})$
\end_inset

.
 Entonces, como 
\begin_inset Formula $\frac{F}{G}=(\overline{X})=(\overline{x_{1}},\dots,\overline{x_{n}})=(\overline{0},\dots,\overline{0},\overline{x_{k+1}},\dots,\overline{x_{n}})=(\overline{X\setminus S})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X\subseteq t(\frac{F}{G})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{F}{G}=t(\frac{F}{G})$
\end_inset

.
 Por tanto, para 
\begin_inset Formula $i\in\{k+1,\dots,n\}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $a_{i}\in A\setminus0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a_{i}\overline{x_{i}}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $r\coloneqq a_{k+1}\cdots a_{n}\neq0$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $rx\in G$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $rF\subseteq G$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $F\to rF$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $z\mapsto rz$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-isomorfismo ya que es un epimorfismo y, como 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 es libre de torsión, 
\begin_inset Formula $z\neq0\implies rz\neq0$
\end_inset

.
 Entonces, como 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es libre y 
\begin_inset Formula $rF\leq_{A}G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $rF$
\end_inset

 es libre y por tanto 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 también con 
\begin_inset Formula $\text{rg}F\leq\text{rg}G=k$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Es libre de torsión por ser libre y es finitamente generado por ser de rango
 finito.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Todo 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 finitamente generado admite una descomposición en suma directa interna
 
\begin_inset Formula $M=t(M)\oplus L$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $_{A}L$
\end_inset

 libre de rango finito.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\frac{M}{t(M)}$
\end_inset

 es finitamente generado y libre de torsión, y por el apartado anterior
 es libre de rango finito, luego la proyección canónica 
\begin_inset Formula $p:M\twoheadrightarrow\frac{M}{t(M)}$
\end_inset

 tiene inversa por la derecha 
\begin_inset Formula $\alpha:\frac{M}{t(M)}\to M$
\end_inset

 y si 
\begin_inset Formula $L\coloneqq\text{Im}\alpha\cong\frac{M}{t(M)}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M=\ker p\oplus\text{Im}\alpha=t(M)\oplus F$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 libre de rango finito.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $_{A}F$
\end_inset

 es libre de rango finito, 
\begin_inset Formula $|S|=\text{rg}F$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $S\subseteq F$
\end_inset

 linealmente independiente maximal.
 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es finito porque, de no serlo, 
\begin_inset Formula $G\coloneqq(S)$
\end_inset

 sería un submódulo libre de rango infinito de uno de rango finito, y como
 
\begin_inset Formula $\frac{F}{G}$
\end_inset

 es finitamente generado con un cierto generador 
\begin_inset Formula $\{\overline{y_{1}},\dots,\overline{y_{s}}\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X\coloneqq S\cup\{y_{1},\dots,y_{s}\}$
\end_inset

 es un generador finito de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 en que 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es linealmente independiente maximal.
 Entonces, por un argumento como el del primer apartado, existe 
\begin_inset Formula $r\in F$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $rF\leq_{A}G\leq_{A}F$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $rF\cong F$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es libre, 
\begin_inset Formula $rF\cong F$
\end_inset

 también y 
\begin_inset Formula $\text{rg}F\leq\text{rg}G$
\end_inset

, y como ahora 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es libre, 
\begin_inset Formula $\text{rg}G\leq\text{rg}F$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\text{rg}F=\text{rg}G=|S|$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 la clase de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos de torsión y 
\begin_inset Formula ${\cal F}$
\end_inset

 la de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos libres de torsión:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

 y tanto 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\frac{N}{M}$
\end_inset

 están en una de las clases, entonces 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 también.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M\in{\cal T}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $N,\frac{N}{M}\in{\cal T}$
\end_inset

, pero esto no se cumple para 
\begin_inset Formula ${\cal F}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $K,N\leq_{A}M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $K+N$
\end_inset

 está en una de las clases, 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 están también en la misma.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $K,N\leq_{A}M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $K,N\in{\cal T}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $K+N\in{\cal T}$
\end_inset

, pero esto no se cumple para 
\begin_inset Formula ${\cal F}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Módulos finitamente generados de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-torsión sobre un DIP
\end_layout

\begin_layout Standard
En un anillo conmutativo unitario 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 arbitrario, 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

 es un 
\series bold
submódulo esencial
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall L\leq_{A}M,(L\neq0\implies L\cap N\neq0)$
\end_inset

, y un monomorfismo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos 
\begin_inset Formula $f:L\rightarrowtail M$
\end_inset

 es un 
\series bold
monomorfismo esencial
\series default
 si su imagen es un submódulo esencial de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un anillo conmutativo unitario arbitrario:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}M$
\end_inset

, un 
\series bold
pseudocomplemento
\series default
 de 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es un elemento maximal 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula ${\cal C}_{N}(M)\coloneqq\{L\leq_{A}M:L\cap N=0\}$
\end_inset

 por inclusión, que siempre existe.
 El homomorfismo 
\begin_inset Formula $f:N\hookrightarrow M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{X}$
\end_inset

 es un monomorfismo esencial, y es un isomorfismo si y sólo si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es complemento directo de 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
La existencia es por el lema de Zorn.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO ejercicio de Saorín.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un dominio, los ideales (
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-submódulos) esenciales de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 son precisamente los ideales no nulos.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO ejercicio de Saorín.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un dominio, 
\begin_inset Formula $_{A}F$
\end_inset

 es libre y 
\begin_inset Formula $N\leq_{A}F$
\end_inset

 contiene un subconjunto linealmente independiente maximal de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 es un submódulo esencial de 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO ejercicio de Saorín.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es finitamente generado de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-torsión para cierto 
\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $r>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $0<n_{1}\leq\dots\leq n_{r}$
\end_inset

 únicos tales que 
\begin_inset Formula $M\cong\frac{A}{(p^{n_{1}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{n_{r}})}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 El enunciado se puede reescribir cambiando 
\begin_inset Formula $0<n_{1}\leq\dots\leq n_{r}$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $n_{1}\geq\dots\geq n_{r}>0$
\end_inset

.
 Sea 
\begin_inset Formula $X=\{x_{1},\dots,x_{k}\}$
\end_inset

 un generador de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, para la existencia hacemos inducción en 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $k=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M=(x_{1})$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $x_{1}$
\end_inset

 es de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-torsión, existe 
\begin_inset Formula $n>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x_{1})=(p^{n})$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n})}=\frac{A}{\text{ann}_{A}(x_{1})}\cong(x_{1})=M$
\end_inset

 por el primer teorema de isomorfía sobre 
\begin_inset Formula $a\mapsto ax_{1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $k>1$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $n_{1}>0$
\end_inset

 mínimo con 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}}x_{i}=0$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}}M=0\neq p^{n_{1}-1}M$
\end_inset

, y podemos suponer 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}-1}x_{1}\neq0$
\end_inset

.
 Sean ahora 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 un pseudocomplemento de 
\begin_inset Formula $(x_{1})$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f:(x_{1})\hookrightarrow M\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\frac{M}{Z}$
\end_inset

 un monomorfismo esencial, 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}}\frac{M}{Z}=\{\overline{p^{n_{1}}m}\}_{m\in\mathbb{Z}}=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}-1}f(x_{1})=f(p^{n_{1}-1}x_{1})\neq0$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Supongamos 
\begin_inset Formula $(y_{1}\coloneqq f(x_{1}))\subsetneq\frac{M}{Z}$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $\xi\in M\setminus(y_{1})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $k\coloneqq\min\{i\in\mathbb{N}^{*}\mid p^{i}\xi\in(y_{1})\}$
\end_inset

, que existe porque 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}}\xi=0\in(y_{1})$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $p^{k}\xi\in(y_{1})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{k-1}\xi\notin(y_{1})$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $z\coloneqq p^{k-1}\xi\in M\setminus(y_{1})$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $pz\in(y_{1})$
\end_inset

 y existe 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $pz=ay_{1}$
\end_inset

.
 En la factorización 
\begin_inset Formula $a\eqqcolon p^{t}b$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p\nmid b$
\end_inset

, se tiene 
\begin_inset Formula $t>0$
\end_inset

.
 En efecto, si no lo fuera sería 
\begin_inset Formula $pz=bx$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 coprimos, pero como 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}}\frac{M}{Z}=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{M}{Z}$
\end_inset

 se puede ver como un 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n_{1}})}$
\end_inset

-módulo y entonces 
\begin_inset Formula $\overline{b}=b+(p^{n_{1}})$
\end_inset

 es unidad de 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n_{1}})}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(\overline{y_{1}})=(\overline{by_{1}})$
\end_inset

, y por la correspondencia, 
\begin_inset Formula $(y_{1})=(by_{1})$
\end_inset

, con lo que existe 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $aby_{1}=y_{1}$
\end_inset

 y como 
\begin_inset Formula $p^{n-1}y_{1}=p^{n-1}aby_{1}\neq0$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $p^{n}z=p^{n-1}by_{1}\neq0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $p^{n}M=0\#$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $t>0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $pz=p^{t}by_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p(z-p^{t-1}by_{1})=0$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $y'\coloneqq z-p^{t-1}by_{1}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $y'\notin(y_{1})$
\end_inset

 porque 
\begin_inset Formula $z\notin(y_{1})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $py'=0$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}\to(y')$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $a+(p)\mapsto ay'$
\end_inset

 es un isomorfismo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos y los únicos submódulos de 
\begin_inset Formula $(y')$
\end_inset

 son 0 e 
\begin_inset Formula $(y')$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $(y_{1})$
\end_inset

 es esencial por ser la imagen de un monomorfismo esencial, luego 
\begin_inset Formula $(y_{1})\cap(y')\neq0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $(y_{1})\cap(y')=(y')$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(y')\subseteq(y_{1})$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $y'\notin(y_{1})\#$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $\frac{M}{Z}=(y_{1})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Con esto 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un isomorfismo y 
\begin_inset Formula $M=(x_{1})\oplus Z\cong\frac{A}{(p^{n_{1}})}\oplus Z$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $Z\cong\frac{(x_{1})\oplus Z}{(x_{1})}=\frac{M}{(x_{1})}$
\end_inset

, que es un 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulo generado por 
\begin_inset Formula $\{\overline{x_{2}},\dots,\overline{x_{k}}\}$
\end_inset

, y por hipótesis de inducción, 
\begin_inset Formula $Z\cong\frac{A}{(p^{n_{2}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{n_{r}})}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n_{2}\geq\dots\geq n_{r}>0$
\end_inset

 y se tiene 
\begin_inset Formula $n_{2}=\min\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid p^{s}Z=0\}$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}}Z\subseteq p^{n_{1}}M=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $n_{1}\geq n_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Para la unicidad, si 
\begin_inset Formula $M\cong\frac{A}{(p^{n_{1}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{n_{r}})}\cong\frac{A}{(p^{m_{1}})}\oplus\dots\oplus\frac{A}{(p^{m_{s}})}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r,s>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0<n_{1}\leq\dots\leq n_{r}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $0<m_{1}\leq\dots\leq m_{s}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M\cong\frac{A}{(p^{n_{1}})}\times\dots\times\frac{A}{(p^{n_{r}})}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{M}{pM}\cong\bigoplus_{i=1}^{r}\frac{A}{(p)}\cong\left(\frac{A}{(p)}\right)^{r}$
\end_inset

, y análogamente 
\begin_inset Formula $\frac{M}{pM}\cong\left(\frac{A}{(p)}\right)^{s}$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $(p)$
\end_inset

 es maximal, 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$
\end_inset

 es un cuerpo y los isomorfismos son entre 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$
\end_inset

-espacios vectoriales, luego 
\begin_inset Formula $r=s$
\end_inset

 por la unicidad de la dimensión entre espacios vectoriales.
 Entonces 
\begin_inset Formula $n_{1}$
\end_inset

 es el mínimo 
\begin_inset Formula $j>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $p^{j}M$
\end_inset

 admite una descomposición en menos de 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 sumandos y 
\begin_inset Formula $m_{1}$
\end_inset

 también, luego 
\begin_inset Formula $n_{1}=m_{1}$
\end_inset

.
 Por inducción en 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $r=1$
\end_inset

 hemos terminado.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Si 
\begin_inset Formula $r>1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}}M\cong\bigoplus_{i\geq2}\frac{(p^{n_{1}})}{(p^{n_{i}})}\cong\bigoplus_{i}\frac{A}{(p^{n_{i}-n_{1}})}$
\end_inset

 y del mismo modo 
\begin_inset Formula $p^{n_{1}}M\cong\bigoplus_{i\geq2}\frac{A}{(p^{m_{i}-n_{1}})}$
\end_inset

, y tomando el mínimo 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n_{t}>n_{1}$
\end_inset

 y el mínimo 
\begin_inset Formula $t'$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $n_{t'}>n_{1}$
\end_inset

, por hipótesis de inducción, 
\begin_inset Formula $(n_{i}-n_{1})_{i\geq t}=(m_{i}-m_{1})_{i\geq t'}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $t=t'$
\end_inset

 y hay exactamente 
\begin_inset Formula $t-1$
\end_inset

 apariciones de 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{n_{1}})}$
\end_inset

 y de 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p^{m_{1}})}$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $n_{1}=m_{1}$
\end_inset

, luego al final cada 
\begin_inset Formula $n_{i}=m_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Módulos finitamente generados sobre un DIP
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$
\end_inset

 es finitamente generado, existen un único 
\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}$
\end_inset

, el 
\series bold
rango libre de torsión
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, y una familia 
\begin_inset Formula $p_{1}^{n_{11}},\dots,p_{1}^{n_{1r_{1}}},\dots,p_{k}^{n_{k1}},\dots p_{k}^{n_{kr_{k}}}$
\end_inset

 de 
\series bold
divisores elementales
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, única salvo asociados y orden de los 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

, con los 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

 irreducibles no asociados dos a dos y 
\begin_inset Formula $0<n_{i1}\leq\dots\leq n_{ir_{i}}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, de forma que 
\begin_inset Formula 
\[
M\cong A^{r}\oplus\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})},
\]

\end_inset

lo que llamamos la 
\series bold
descomposición indescomponible
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $M\cong t(M)\oplus\frac{M}{t(M)}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\frac{M}{t(M)}$
\end_inset

 libre de rango finito 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $M\cong A^{r}\oplus t(M)$
\end_inset

.
 Ahora bien, existen irreducibles distintos 
\begin_inset Formula $p_{1},\dots,p_{k}\in{\cal P}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $t(M)=M(p_{1})\oplus\dots\oplus M(p_{k})$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $M(p_{i})\neq0$
\end_inset

, pero como cada 
\begin_inset Formula $M(p_{i})$
\end_inset

 es finitamente generado de 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

-torsión existen 
\begin_inset Formula $0<n_{i1}\leq\dots\leq n_{ir_{i}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $M(p_{i})\cong\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})}$
\end_inset

.
 Para la unicidad, si hay otra descomposición 
\begin_inset Formula $M\cong A^{s}\oplus\bigoplus_{i=1}^{l}\bigoplus_{j=1}^{s_{i}}\frac{A}{(q_{i}^{m_{ij}})}$
\end_inset

 de la misma forma, donde podemos suponer que los 
\begin_inset Formula $q_{i}\in{\cal P}$
\end_inset

, la parte libre de torsión de la suma es isomorfa a 
\begin_inset Formula $A^{s}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\frac{M}{t(M)}\cong A^{s}$
\end_inset

, y la parte de torsión isomorfa al sumando derecho y a 
\begin_inset Formula $t(M)=M(p_{1})\oplus\dots\oplus M(p_{k})=M(q_{1})\oplus\dots\oplus M(q_{l})$
\end_inset

, luego por unicidad queda 
\begin_inset Formula $\{p_{1},\dots,p_{k}\}=\{q_{1},\dots,q_{l}\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $k=l$
\end_inset

 y, reordenando, cada 
\begin_inset Formula $p_{i}=q_{i}$
\end_inset

.Entonces, como cada 
\begin_inset Formula $M(p_{i})$
\end_inset

 es de 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

-torsión, por la proposición anterior es 
\begin_inset Formula $(n_{i1},\dots,n_{ir_{i}})=(m_{i1},\dots,m_{ir_{i}})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es finitamente generado, existe una descomposición 
\begin_inset Formula $M=L\oplus\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}M_{ij}$
\end_inset

 como suma directa interna con 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 libre de rango igual al rango libre de torsión de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $M_{ij}\cong\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})}$
\end_inset

, siendo los 
\begin_inset Formula $p_{i}^{n_{ij}}$
\end_inset

 los divisores elementales de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
 En efecto, por el teorema hay un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A^{r}\oplus\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})}\to M$
\end_inset

 y basta tomar 
\begin_inset Formula $L\coloneqq\phi(A^{r})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M_{ij}\coloneqq\phi(\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$
\end_inset

 es finitamente generado, existe un único 
\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 y una única secuencia 
\begin_inset Formula $d_{1},\dots,d_{t}\in A\setminus(A^{*}\cup\{0\})$
\end_inset

 de 
\series bold
factores invariantes
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, única salvo asociados, tal que 
\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula 
\[
M\cong A^{r}\oplus\bigoplus_{j=1}^{t}\frac{A}{(d_{j})},
\]

\end_inset

y de hecho 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 es el rango libre de torsión de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y si 
\begin_inset Formula $(p_{i}^{n_{ij}})_{1\leq i\leq k}^{1\leq j\leq r_{i}}$
\end_inset

 son los divisores elementales de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $t\coloneqq\max_{i}r_{i}$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $d_{j}=\prod_{i}p_{i}^{n_{i,r_{i}-t+j}}$
\end_inset

, tomando 
\begin_inset Formula $n_{ij}\coloneqq0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $j<0$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Claramente 
\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(d_{j})}\cong\bigoplus_{i}\frac{A}{(p_{i}^{n_{i,r_{i}-t+j}})}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\bigoplus_{j=1}^{t}\frac{A}{(d_{j})}\cong\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})}$
\end_inset

.
 Para la unicidad, la de 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 es como en el teorema anterior, y para la del sumando derecho queremos
 ver que toda descomposición 
\begin_inset Formula $t(M)\cong\bigoplus_{j=1}^{u}\frac{A}{(\delta_{j})}$
\end_inset

 con los 
\begin_inset Formula $\delta_{j}\notin A^{*}\cup\{0\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta_{1}\mid\dots\mid\delta_{u}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $t=u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(\delta_{j})}\cong\frac{A}{(d_{j})}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $\delta_{j}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d_{j}$
\end_inset

 serán asociados.
 Cada 
\begin_inset Formula $\delta_{k}$
\end_inset

 debe ser suma de submódulos de los 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p_{i}^{n_{ij}})}$
\end_inset

, pero estos submódulos son de la forma 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p_{i}^{z})}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

, por lo que finalmente 
\begin_inset Formula $\delta_{j}$
\end_inset

 debe ser de la forma 
\begin_inset Formula $p_{1}^{m_{1j}}\cdots p_{k}^{m_{kj}}$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $m_{kj}$
\end_inset

, y claramente para cada 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $0\leq m_{i1}\leq\dots\leq m_{iu}$
\end_inset

.
 Por el teorema chino de los restos, 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(\delta_{j})}\cong\bigoplus_{i=1}^{k}\frac{A}{(p_{i}^{m_{ij}})}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $t(M)\cong\bigoplus_{i,j}\frac{A}{(p_{i}^{m_{ij}})}$
\end_inset

, lo que tras eliminar los sumandos nulos y reordenar debe coincidir con
 la descomposición indescomponible de 
\begin_inset Formula $t(M)$
\end_inset

, lo que junto a que 
\begin_inset Formula $0\leq m_{i1}\leq\dots\leq m_{iu}$
\end_inset

 determina los 
\begin_inset Formula $m_{ij}$
\end_inset

 y por tanto los 
\begin_inset Formula $\delta_{j}$
\end_inset

 salvo asociados.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, si 
\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$
\end_inset

 es finitamente generado, se puede expresar como suma directa interna de
 la forma 
\begin_inset Formula $L\oplus\bigoplus_{i=1}^{t}M_{i}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 libre de rango igual al rango libre de torsión de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $M_{i}\cong\frac{A}{(d_{i})}$
\end_inset

, siendo los 
\begin_inset Formula $d_{i}$
\end_inset

 los factores invariantes de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teoremas de estructura de los grupos abelianos finitos:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es un grupo abeliano finito:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Existen números primos 
\begin_inset Formula $1<p_{1}<\dots<p_{k}$
\end_inset

 y enteros 
\begin_inset Formula $0<n_{i1}\leq\dots\leq n_{ir_{i}}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,k\}$
\end_inset

, únicos, con 
\begin_inset Formula $M\cong\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{r_{i}}\mathbb{Z}_{p_{i}^{n_{ij}}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Existen enteros 
\begin_inset Formula $1<d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$
\end_inset

 únicos con 
\begin_inset Formula $M\cong\bigoplus_{j=1}^{t}\mathbb{Z}_{d_{j}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un grupo cíclico 
\begin_inset Formula $\langle a\rangle_{n}$
\end_inset

 es indescomponible si y sólo si tiene orden potencia de primo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un grupo 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
exponente
\series default
 o 
\series bold
periodo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{Exp}(G)$
\end_inset

, al menor 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall g\in G,g^{n}=1$
\end_inset

, o a 
\begin_inset Formula $\infty$
\end_inset

 si este no existe.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Si un grupo es finito tiene periodo finito, y si tiene periodo finito es
 periódico.
 Los recíprocos no se cumplen.
 Todo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

-grupo es periódico, pero no necesariamente finito.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un grupo abeliano, 
\begin_inset Formula $B\leq A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $na=0$
\end_inset

, en 
\begin_inset Formula $A/B$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $|a+B|\mid|a|$
\end_inset

.
 En general estos órdenes no coinciden.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados dos grupos abelianos finitos 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, una descomposición por suma directa de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y una de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 son 
\series bold
semejantes
\series default
 si existe una biyección entre los subgrupos en la descomposición de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y la de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 que a cada subgrupo de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 le asocia uno de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 isomorfo.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos grupos abelianos finitos son isomorfos si y sólo si tienen descomposiciones
 primarias semejantes, si y sólo si tienen descomposiciones invariantes
 semejantes, si y sólo si tienen la misma lista de divisores elementales,
 si y sólo si tienen la misma lista de factores invariantes.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Módulos de torsión finitamente generados
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es finitamente generado de torsión, llamamos 
\series bold
divisores irreducibles
\series default
 de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 a los 
\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $M(p)=0$
\end_inset

.
 Si además 
\begin_inset Formula $M\neq0$
\end_inset

 y sus factores invariantes son 
\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(M)=(d_{t})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $a\in\text{ann}_{A}(M)$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(d_{t})}$
\end_inset

 es isomorfo a un sumando directo de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\frac{A}{(d_{t})}=0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $a\frac{A}{(d_{t})}=\frac{(a)+(d_{t})}{(d_{t})}=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $(a)+(d_{t})\subseteq(d_{t})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in(d_{t})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $M\cong\bigoplus_{j=1}^{t}\frac{A}{(d_{j})}$
\end_inset

 y, como cada 
\begin_inset Formula $d_{j}\mid d_{t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d_{t}M=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $(d_{t})\subseteq\text{ann}_{A}(M)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Un 
\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$
\end_inset

 es divisor irreducible de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 si y sólo si lo es de 
\begin_inset Formula $d_{t}$
\end_inset

, si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $x\in M\setminus\{0\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $px=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\iff2]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $(p_{ij})_{1\leq i\leq k}^{1\leq j\leq r_{i}}$
\end_inset

 son los divisores elementales de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $d_{t}=p_{1}^{n_{1r_{1}}}\cdots p_{k}^{n_{kr_{k}}}$
\end_inset

, luego los divisores irreducibles son los irreducibles de la factorización
 irreducible de 
\begin_inset Formula $d_{t}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies3]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $M(p)\neq0$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $z\in M(p)\setminus\{0\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(z)=(p^{s})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 mínimo, 
\begin_inset Formula $s>0$
\end_inset

 ya que de lo contrario sería 
\begin_inset Formula $(p^{s})=A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z=1z=0$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $x\coloneqq p^{s-1}z\in M\setminus\{0\}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $px=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $x\in M(p)\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Así, si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es un grupo abeliano finito, los divisores irreducibles de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 son los 
\begin_inset Formula $p>0$
\end_inset

 que dividen a 
\begin_inset Formula $|M|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$
\end_inset

 finitamente generado de torsión, 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 un divisor irreducible de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M(p)\cong\bigoplus_{j=0}^{r}\frac{A}{(p^{n_{j}})}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $0<n_{1}\leq\dots\leq n_{r}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $0\neq\text{ann}_{M}(p_{i})\subseteq\text{ann}_{M}(p_{i}^{2})\subseteq\dots\subseteq\text{ann}_{M}(p_{i}^{s})\subseteq\dots$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}=\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid s\geq n_{r}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\supseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $s\geq n_{r}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M(p)\subseteq\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{s})\subseteq M(p)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})=M(p)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\subseteq]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 el conjunto de la izquierda, queremos ver que si 
\begin_inset Formula $s\in X$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $s+1\in X$
\end_inset

, de modo que si fuera 
\begin_inset Formula $s<n_{r}$
\end_inset

, por inducción sería 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})=M(p)\#$
\end_inset

.
 Sabemos que 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s+1})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{s+2})$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M}(p^{s+2})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p^{s+1}(px)=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $px\in\text{ann}_{M}(p^{s+1})=\text{ann}_{M}(p^{s})$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $p^{s+1}x=p^{s}(px)=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M}(p^{s+1})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $M(p)=\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(q_{i}^{m_{ij}})_{1\leq i\leq k}^{1\leq j\leq r_{i}}$
\end_inset

 los divisores elementales de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p=q_{1}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $r=r_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n_{j}=m_{1j}$
\end_inset

, hay un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{m_{ir_{i}}}\frac{A}{(q_{i}^{m_{ij}})}\to M$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula 
\[
X\coloneqq\text{ann}_{\bigoplus_{i=1}^{k}\bigoplus_{j=1}^{m_{ir_{i}}}\frac{A}{(q_{i}^{m_{ij}})}}(p^{n_{r}})=\bigoplus_{j=1}^{n_{r}}\frac{A}{(p^{n_{j}})}
\]

\end_inset

 ya que, si 
\begin_inset Formula $i\neq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{\frac{A}{(q_{i}^{s})}}(p^{n_{j}})=0$
\end_inset

 al ser 
\begin_inset Formula $p^{n_{j}}+(q_{i}^{s})$
\end_inset

 una unidad de 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p_{h}^{s})}$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula 
\[
\text{ann}_{M}(p^{n_{r}})=\phi(X)=\phi\left(\bigoplus_{j=1}^{n_{r}}\frac{A}{(p^{n_{j}})}\right)=M(p).
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $_{A}M\neq0$
\end_inset

 finitamente generado de torsión, 
\begin_inset Formula $p\in{\cal P}$
\end_inset

 un divisor irreducible de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mu_{h}$
\end_inset

 el número de divisores elementales de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 iguales a 
\begin_inset Formula $p^{h}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$
\end_inset

-espacio vectorial.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Como 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es primo en un DIP, 
\begin_inset Formula $(p)$
\end_inset

 es maximal, luego 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$
\end_inset

 es un cuerpo, y el resultado se sigue de que 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 anula a 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $h\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\delta_{h}\coloneqq\dim_{\frac{A}{(p)}}\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mu_{h}=\delta_{h}-\delta_{h+1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $n\coloneqq\min\{s>0\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $h>n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\mu_{h}=0$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{s-1})=\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\delta_{h}=\delta_{h+1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea ahora 
\begin_inset Formula $h\leq n$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\{p=p_{1},\dots,p_{k}\}$
\end_inset

 son los divisores irreducibles (distintos) de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{h})=\bigoplus_{i=1}^{k}\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$
\end_inset

.
 En efecto, si 
\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p^{h}x=0$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $M(p_{i})$
\end_inset

 y por tanto en 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M}(p^{h})$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $x\eqqcolon x_{1}+\dots+x_{k}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $x_{i}\in M(p_{i})$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $0=p^{h}x=p^{h}x_{1}+\dots+p^{h}x_{k}$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $p^{h}x_{i}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x\in\bigoplus_{i=1}^{k}\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$
\end_inset

.
 Pero para 
\begin_inset Formula $i>1$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $x\in\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p^{h}x=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\in M(p)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in M(p)\cap M(p_{i})=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M(p_{i})}(p^{h})=0$
\end_inset

 y queda 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{h})=\text{ann}_{M(p)}(p^{h})$
\end_inset

, con lo que podemos suponer 
\begin_inset Formula $M=M(p)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $h\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, como
\begin_inset Formula 
\[
M\cong\bigoplus_{i=1}^{n}\left(\frac{A}{(p^{i})}\right)^{\mu_{i}}\eqqcolon M'\oplus\left(\frac{A}{(p^{h})}\right)^{\mu_{h}}\oplus\dots\oplus\left(\frac{A}{(p^{n})}\right)^{\mu_{n}},
\]

\end_inset

se tiene
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\text{ann}_{M}(p^{n-h}) & =M'\oplus\left(\frac{A}{(p^{h})}\right)^{\mu_{h}}\oplus\left(\frac{(p)}{(p^{h+1})}\right)^{\mu_{h+1}}\oplus\dots\oplus\left(\frac{(p^{n-h})}{(p^{n})}\right)^{\mu_{n}},\\
\text{ann}_{M}(p^{n-h-1}) & =M'\oplus\left(\frac{(p)}{(p^{h})}\right)^{\mu_{h}}\oplus\left(\frac{(p^{2})}{(p^{h+1})}\right)^{\mu_{h+1}}\oplus\dots\oplus\left(\frac{(p^{n-h+1})}{(p^{n})}\right)^{\mu_{n}}.
\end{align*}

\end_inset

El sumando directo 
\begin_inset Formula $M''$
\end_inset

 se cancela en 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{n-h})}{\text{ann}_{M}(p^{n-h-1})}$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\left(\frac{(p^{i})}{(p^{h+i})}\right)^{\mu_{h+i}}}{\left(\frac{(p^{i+1})}{(p^{h+i})}\right)^{\mu_{h+i}}}\cong\left(\frac{(p^{i})}{(p^{i+1})}\right)^{\mu_{h+i}}\cong\left(\frac{A}{(p)}\right)^{\mu_{h+i}},
\]

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{n-h})}{\text{ann}_{M}(p^{n-h-1})}\cong\left(\frac{A}{(p)}\right)^{\mu_{h}+\mu_{h+1}+\dots+\mu_{n}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta_{h}=\sum_{i=h}^{n}\mu_{i}$
\end_inset

, de donde se obtiene 
\begin_inset Formula $\mu_{h}=\delta_{h}-\delta_{h+1}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 un anillo arbitrario, 
\begin_inset Formula $0=M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq\dots\subseteq M_{n}$
\end_inset

 una cadena de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

-módulos y, para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X_{i}\subseteq M_{i}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\frac{M_{i}}{M_{i-1}}=(\overline{X_{i}})$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $M_{n}=(\bigcup_{i=1}^{n}X_{i})$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

 es obvio.
 Si 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

, la proyección canónica 
\begin_inset Formula $M_{1}\to\frac{M_{1}}{M_{0}}$
\end_inset

 es un isomorfismo y ya estaría.
 Si 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

, probado esto para 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $x\in M_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{x}\in\frac{M_{n}}{M_{n-1}}$
\end_inset

 se escribe como 
\begin_inset Formula $\overline{x}=\sum_{y\in X_{n}}a_{y}\overline{y}$
\end_inset

 con los 
\begin_inset Formula $a_{y}\in A$
\end_inset

 casi todos nulos, de modo que 
\begin_inset Formula $x'\coloneqq x-\sum_{y\in X_{n}}a_{y}y\in M_{n-1}$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $x'\in(\bigcup_{i=1}^{n-1}X_{i})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\in(\bigcup_{i=1}^{n}X_{i})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $_{A}M$
\end_inset

 es finitamente generado de torsión, 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es un divisor irreducible de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n\coloneqq\min\{s\in\mathbb{N}^{*}\mid\text{ann}_{M}(p^{s})=\text{ann}_{M}(p^{s+1})\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(F_{h})_{h=1}^{n}$
\end_inset

 es una familia de subconjuntos de 
\begin_inset Formula $M(p)$
\end_inset

 tal que cada 
\begin_inset Formula $F_{h}\subseteq\text{ann}_{M}(p^{h})$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $F_{h}\cup pF_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$
\end_inset

 es una unión disjunta que induce una base de 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$
\end_inset

-espacio vectorial:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall x\in\bigcup_{i=1}^{n}F_{h},Ax\cong\frac{A}{(p^{h})}\iff x\in F_{h}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $Ax\cong\frac{A}{(p^{h})}$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)=p^{h}$
\end_inset

.
 Ahora bien, si 
\begin_inset Formula $x\in F_{h}\subseteq\text{ann}_{M}(p^{h})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p^{h}\in\text{ann}_{A}(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(p^{h})\subseteq\text{ann}_{A}(x)$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $a\in\text{ann}_{A}(x)$
\end_inset

, tomando 
\begin_inset Formula $a\eqqcolon p^{s}b$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $s\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\nmid p$
\end_inset

, si fuera 
\begin_inset Formula $s<h$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{p^{s}x}\in p^{s}F_{h}$
\end_inset

 es elemento de una base de 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h-s})}{\text{ann}_{M}(p^{h-s-1})}$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $ax=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\overline{bp^{s}x}=\overline{ax}=0$
\end_inset

, se tiene 
\begin_inset Formula $\overline{b}=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in(p)\#$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $s\geq h$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\in(p^{h})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{A}(x)\subseteq(p^{h})$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $M(p)=\bigoplus_{h=1}^{n}\bigoplus_{x\in F_{h}}Ax$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $0=\text{ann}_{M}(p^{0})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{1})\subseteq\dots\subseteq\text{ann}_{M}(p^{n})=M(p)$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $X_{h}\coloneqq F_{h}\cup pF_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$
\end_inset

, cada 
\begin_inset Formula $\overline{X_{h}}$
\end_inset

 genera 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $X\coloneqq\bigcup_{h=1}^{n}X_{h}$
\end_inset

 genera 
\begin_inset Formula $M(p)$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $X\subseteq(\bigcup_{i=1}^{n}F_{i})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{x\in F_{i}}Ax$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $M(p)=\sum_{h=1}^{n}\sum_{x\in F_{h}}Ax$
\end_inset

.
 Para ver que la suma es directa, si 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M(p)=\text{ann}_{M}(p)$
\end_inset

 es un espacio vectorial con base 
\begin_inset Formula $F_{1}$
\end_inset

 ya que la proyección canónica 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p)\to\frac{\text{ann}_{M}(p)}{\text{ann}_{M}(1)}$
\end_inset

 es un isomorfismo.
 Si 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

, probado esto para 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $\sum_{h=1}^{n}\sum_{x\in F_{h}}a_{x}x=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{x\in F_{n}}a_{x}x=-\sum_{h=1}^{n-1}\sum_{x\in F_{h}}a_{x}x\in(\bigcup_{h=1}^{n-1}F_{h})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{n-1})$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $F_{n}$
\end_inset

 induce una base del 
\begin_inset Formula $\frac{A}{(p)}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{n})}{\text{ann}_{M}(p^{n-1})}$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\sum_{x\in F_{n}}\overline{a_{x}}\overline{x}=0\in\frac{\text{ann}_{M}(p^{n})}{\text{ann}_{M}(p^{n-1})}$
\end_inset

, cada 
\begin_inset Formula $a_{x}\in(p)$
\end_inset

 y, llamando 
\begin_inset Formula $a_{x}\coloneqq pa'_{x}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{x\in F_{n}}a'_{x}(px)+\sum_{x\in\bigcup_{h=1}^{n-1}F_{h}}a_{x}x=0$
\end_inset

, pero llamando 
\begin_inset Formula $F'_{h}\coloneqq F_{h}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $h<n-1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F'_{n-1}\coloneqq F_{n-1}\cup pF_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(F'_{h})_{h=1}^{n-1}$
\end_inset

 cumple respecto a 
\begin_inset Formula $\text{ann}_{M}(p^{n-1})$
\end_inset

 las mismas propiedades de 
\begin_inset Formula $(F_{h})_{h=1}^{n}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $M(p)$
\end_inset

, y por hipótesis de inducción los submódulos 
\begin_inset Formula $\{Apx\}_{x\in F_{n}}\cup\bigcup_{h=1}^{n-1}\{Ax\}_{x\in F_{h}}$
\end_inset

 son independientes, con lo que los 
\begin_inset Formula $a_{x}$
\end_inset

 son todos nulos.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $|F_{h}|$
\end_inset

 es el número de divisores elementales de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 iguales a 
\begin_inset Formula $p^{h}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $M(p)\cong\bigoplus_{h=1}^{n}\bigoplus_{x\in F_{h}}\frac{A}{(p^{h})}=\bigoplus_{h=1}^{n}\left(\frac{A}{(p^{h})}\right)^{|F_{h}|}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Podemos encontrar tal familia tomando una base 
\begin_inset Formula $(\overline{x_{i}})_{i}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$
\end_inset

, haciendo 
\begin_inset Formula $F_{n}\coloneqq\{x_{i}\}_{i}$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 hasta 1, completando el conjunto linealmente independiente de 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$
\end_inset

 inducido por 
\begin_inset Formula $pF_{h+1}\cup p^{2}F_{h+2}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$
\end_inset

 con vectores 
\begin_inset Formula $(\overline{x_{i}})_{i}$
\end_inset

 para formar una base y haciendo 
\begin_inset Formula $F_{h}\coloneqq\{x_{i}\}_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $h=n$
\end_inset

, la 
\begin_inset Formula $F_{n}$
\end_inset

 definida cumple las propiedades.
 Si 
\begin_inset Formula $h<n$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F_{h+1},\dots,F_{n}$
\end_inset

 cumplen las propiedades, 
\begin_inset Formula $pF_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$
\end_inset

 es una unión disjunta ya que, si hubiera 
\begin_inset Formula $i,j\in\{h+1,\dots,n\}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $i<j$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{i-h}F_{i}\cap p^{j-h}F_{j}\neq\emptyset$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $x\in F_{i}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y\in F_{j}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p^{i-h}x=p^{j-h}y$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $p^{i-h}(x-p^{j-i}y)=0$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $x-p^{j-i}y\in\text{ann}_{M}(p^{j-h})\subseteq\text{ann}_{M}(p^{j-1})$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{j-i}y$
\end_inset

 son elementos de una base de 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{j})}{\text{ann}_{M}(p^{j-1})}\#$
\end_inset

.
 Además, 
\begin_inset Formula $\phi:\frac{\text{ann}_{M}(p^{h+1})}{\text{ann}_{M}(p^{h})}\rightarrowtail\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\phi(\overline{z})\coloneqq p\overline{z}$
\end_inset

 es un monomorfismo ya que 
\begin_inset Formula $p\overline{z}=0\iff pz\in\text{ann}_{M}(p^{h-1})\iff z\in\text{ann}_{M}(p^{h})\iff\overline{z}=0$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $F_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h-1}F_{n}$
\end_inset

 induce una base de 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h+1})}{\text{ann}_{M}(p^{h})}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $pF_{h+1}\cup\dots\cup p^{n-h}F_{n}$
\end_inset

 induce una familia linealmente independiente en 
\begin_inset Formula $\frac{\text{ann}_{M}(p^{h})}{\text{ann}_{M}(p^{h-1})}$
\end_inset

.
 Completamos esta familia para formar una base y ahora la unión sigue siendo
 disjunta por inducir una base.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Descomposiciones en dominios euclídeos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un dominio 
\begin_inset Formula $D\neq0$
\end_inset

, una función 
\begin_inset Formula $\delta:D\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$
\end_inset

 es 
\series bold
euclídea
\series default
 si cumple:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall a,b\in D\setminus\{0\},(a\mid b\implies\delta(a)\leq\delta(b))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall a\in D,b\in D\setminus\{0\},\exists q,r\in D\mid(a=bq+r\land(r=0\lor\delta(r)<\delta(b)))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
dominio euclídeo
\series default
 es uno que admite una función euclídea.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El valor absoluto es una función euclídea en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El cuadrado del módulo complejo es una función euclídea en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[i]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset

 una función euclídea en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 un ideal de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in I\setminus\{0\}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula 
\[
I=(a)\iff\forall x\in I\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
[...] Todo dominio euclídeo es DIP.
 Si 
\begin_inset Formula $\delta$
\end_inset

 es una función euclídea en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, un elemento 
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset

 es una unidad si y sólo si 
\begin_inset Formula $\delta(a)=\delta(1)$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall x\in D\setminus\{0\},\delta(a)\leq\delta(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 un dominio euclídeo, 
\begin_inset Formula $C\in{\cal M}_{m\times n}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A^{r}\oplus\bigoplus_{i=1}^{t}\frac{A}{(d_{i})}$
\end_inset

 la descomposición invariante externa de 
\begin_inset Formula $M(C)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 es equivalente a
\begin_inset Formula 
\[
\begin{pmatrix}\boxed{I_{m-r-t}}\\
 & d_{1}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & d_{t}\\
 &  &  &  & \phantom{0}
\end{pmatrix}\in{\cal M}_{m\times n}(A),
\]

\end_inset

llamada 
\series bold
forma normal
\series default
 de 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 y a la que se puede llegar desde 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 por transformaciones elementales.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Primero vemos que 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 se puede llevar a una matriz 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 de la forma dada con 
\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$
\end_inset

 y luego que 
\begin_inset Formula $M(D)$
\end_inset

 tiene la descomposición invariante indicada, y el resultado se obtiene
 de que 
\begin_inset Formula $M(C)\cong M(D)$
\end_inset

 y de la unicidad de la descomposición invariante.
 Para lo primero, si 
\begin_inset Formula $C=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m=0$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

 no hay que hacer nada.
 En otro caso, sean 
\begin_inset Formula ${\cal C}\subseteq{\cal M}_{m\times n}(A)$
\end_inset

 el conjunto de matrices alcanzables desde 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 por transformaciones elementales en filas y columnas, 
\begin_inset Formula $\delta:A\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$
\end_inset

 una función euclídea y 
\begin_inset Formula $X\in{\cal C}$
\end_inset

 e índices 
\begin_inset Formula $i,j$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\delta_{0}\coloneqq\delta(X_{ij})$
\end_inset

 mínimo, por intercambio de filas 1 e 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y de columnas 1 y 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 podemos suponer 
\begin_inset Formula $i=j=1$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $j\in\{2,\dots,n\}$
\end_inset

, si fuera 
\begin_inset Formula $X_{11}\nmid X_{1j}$
\end_inset

 sería 
\begin_inset Formula $X_{1j}\eqqcolon qX_{11}+r$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r\neq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta(r)<\delta(X_{11})$
\end_inset

, pero restando a la columna 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 la primera por 
\begin_inset Formula $q_{1j}$
\end_inset

 quedaría una matriz 
\begin_inset Formula $X'$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\delta(X'_{1j})<\delta(X_{11})=\delta_{0}\#$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $X_{11}\mid X_{1j}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 y, análogamente, 
\begin_inset Formula $X_{11}\mid X_{1i}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

.
 Si ahora definimos 
\begin_inset Formula $q_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s_{j}$
\end_inset

 de modo que cada 
\begin_inset Formula $X_{i1}=q_{i}X_{11}$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $X_{1j}=s_{j}X_{11}$
\end_inset

, restando a la fila 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 la primera por 
\begin_inset Formula $q_{i}$
\end_inset

 y a la columna 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 la primera por 
\begin_inset Formula $s_{j}$
\end_inset

 queda una matriz
\begin_inset Formula 
\[
Y=\left(\begin{array}{c|c}
X_{11} & 0\\
\hline 0 & B
\end{array}\right),
\]

\end_inset

pero para 
\begin_inset Formula $i,j\geq2$
\end_inset

, si fuera 
\begin_inset Formula $X_{11}\nmid Y_{ij}$
\end_inset

, sumando a la primera fila la 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-ésima quedaría una matriz 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $Z_{11}=X_{11}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Z_{1j}=Y_{1j}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $Z_{1j}=qZ_{11}+r$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r\neq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta(r)<\delta(Z_{11})=\delta(X_{11})=\delta_{0}$
\end_inset

, y restando a la 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-ésima fila la primera por 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 se obtendría una matriz 
\begin_inset Formula $Z'$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\delta(Z'_{1j})<\delta_{0}\#$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $X_{11}$
\end_inset

 divide a todo elemento de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $B\eqqcolon XB'$
\end_inset

, por inducción 
\begin_inset Formula $B'$
\end_inset

 es semejante a una matriz de la forma original y por tanto 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 también lo es e 
\begin_inset Formula $Y_{11}\mid Y_{22}\mid\dots$
\end_inset

, pero como los 
\begin_inset Formula $Y_{ii}$
\end_inset

 nulos están al final de la 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

diagonal
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 y los invertibles están al principio, si hay digamos 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 invertibles, multiplicando 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 por 
\begin_inset Formula $\text{diag}(Y_{11}^{-1},\dots,Y_{kk}^{-1},1,\dots,1)$
\end_inset

 se obtiene la matriz 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
 Para la segunda parte, sean 
\begin_inset Formula $s\coloneqq m-r-t$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(e_{i})_{i=1}^{n}$
\end_inset

 la base canónica de 
\begin_inset Formula $A^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(f_{i})_{i=1}^{m}$
\end_inset

 la de 
\begin_inset Formula $A^{m}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f_{D}\coloneqq(v\mapsto Dv):A^{n}\to A^{m}$
\end_inset

 lleva a cada 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $f_{i}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,s\}$
\end_inset

, a cada 
\begin_inset Formula $e_{s+i}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $d_{i}f_{s+i}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $i\in\{1,\dots,t\}$
\end_inset

 y al resto de elementos de la base canónica a 0, luego descomponiendo 
\begin_inset Formula $A^{n}=A^{s}\oplus A^{t}\oplus A^{n-s-t}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A^{m}=A^{s}\oplus A^{t}\oplus A^{r}$
\end_inset

 se puede descomponer 
\begin_inset Formula $f_{D}=1_{A^{s}}\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{t}(a\mapsto d_{i}a)\right)\oplus0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $0:A^{n-s-t}\to A^{r}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula 
\[
\frac{A}{M(D)}=\frac{A}{\text{Im}f_{D}}\cong\frac{A^{s}}{A^{s}}\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{t}\frac{A}{(d_{i})}\right)\oplus\frac{A^{r}}{0}\cong A^{r}\oplus\bigoplus_{i=1}^{t}\frac{A}{(d_{i})}
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $d_{1}\mid\dots\mid d_{t}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un dominio euclídeo:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La forma normal de 
\begin_inset Formula $P\in\text{GL}_{k}(A)$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $I_{k}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Es de la forma 
\begin_inset Formula $\text{diag}(1,\dots,1,d_{1},\dots,d_{t},0,\dots,0)$
\end_inset

 con los 
\begin_inset Formula $d_{i}$
\end_inset

 no invertibles, pero es invertible y una matriz diagonal invertible debe
 tener todos los elementos de la diagonal invertibles.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $C,D\in{\cal M}_{m\times n}(A)$
\end_inset

 son equivalentes, es posible llegar de 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 por transformaciones elementales en filas y columnas.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Existen matrices invertibles 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $D=PCQ$
\end_inset

, pero desde 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 se puede llegar a su forma normal, que es la identidad, por transformaciones
 elementales, de modo que 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 son productos de matrices elementales.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Presentaciones de grupos abelianos finitamente generados
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
presentación
\series default
 de un grupo abeliano finitamente generado 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es una expresión 
\begin_inset Formula 
\[
(x_{1},\dots,x_{m}/\rho_{1},\dots,\rho_{n}),
\]

\end_inset

 donde los 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 son variables o 
\series bold
generadores
\series default
 y los 
\begin_inset Formula $\rho_{j}=\sum_{i=1}^{m}c_{ij}x_{i}$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

-combinaciones lineales de dichas variables o 
\series bold
relatores
\series default
, de forma que 
\begin_inset Formula $M\cong\frac{F}{N}$
\end_inset

 siendo 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 el grupo abeliano libre con base 
\begin_inset Formula $\{x_{1},\dots,x_{n}\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 su subgrupo generado por los 
\begin_inset Formula $\rho_{j}$
\end_inset

, o equivalentemente, 
\begin_inset Formula $M\cong M(C)$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $C=(c_{ij})\in{\cal M}_{m\times n}(\mathbb{Z})$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Existe un único homomorfismo 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{Z}^{n}\to F$
\end_inset

 que lleva cada 
\begin_inset Formula $e_{j}$
\end_inset

 de la base canónica de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{n}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\rho_{j}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\text{Im}f=N$
\end_inset

, y un único isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:F\to\mathbb{Z}^{m}$
\end_inset

 que lleva cada 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 al elemento 
\begin_inset Formula $\hat{e}_{i}$
\end_inset

 de la base canónica de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{m}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\phi\circ f$
\end_inset

 lleva cada 
\begin_inset Formula $e_{j}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $(c_{1j},\dots,c_{mj})$
\end_inset

 y por tanto cada 
\begin_inset Formula $v\in\mathbb{Z}^{n}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Cv$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M(C)=\frac{\mathbb{Z}^{m}}{\text{Im}(\phi\circ f)}=\frac{\phi(F)}{\phi(N)}\cong\frac{F}{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para encontrar la estructura de un grupo abeliano finitamente generado a
 partir de su presentación por generadores y relatores:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Usar transformaciones elementales sobre la matriz 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 asociada a la presentación hasta llegar a su forma normal 
\begin_inset Formula $D=PCQ$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Obtener el rango libre de torsión de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Obtener los factores invariantes 
\begin_inset Formula $d_{j}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 y usar el teorema chino de los restos para factorizar cada 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{d_{j}}$
\end_inset

 en producto finito de grupos abelianos de la forma 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p_{i}^{n_{ij}}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Una vez obtenida de aquí la descomposición primaria externa, convertirla
 trivialmente en descomposición primaria interna de 
\begin_inset Formula $M(D)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Multiplicar cada sumando directo en esta descomposición por 
\begin_inset Formula $P^{-1}$
\end_inset

, obteniendo una descomposición directa interna de 
\begin_inset Formula $M(P^{-1}D)=M(CQ)=M(C)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
determinante
\series default
 del endomorfismo 
\begin_inset Formula $g:\mathbb{Z}^{n}\to\mathbb{Z}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\det g$
\end_inset

, a 
\begin_inset Formula $\det M_{{\cal BB}}(g)$
\end_inset

 para cualquier base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}^{n}$
\end_inset

, que no depende de la base elegida, y entonces 
\begin_inset Formula $\frac{\mathbb{Z}^{n}}{\text{Im}g}$
\end_inset

 es finito si y sólo si 
\begin_inset Formula $\det g\neq0$
\end_inset

, en cuyo caso su orden es el valor absoluto de 
\begin_inset Formula $\det g$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{exinfo}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document