#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Section
Cuerpos de fracciones
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $D\neq0$
\end_inset

 un dominio y 
\begin_inset Formula $X\coloneqq D\times(D\setminus\{0\})$
\end_inset

, definimos la relación binaria 
\begin_inset Formula 
\[
(a_{1},s_{1})\sim(a_{2},s_{2}):\iff a_{1}s_{2}=a_{2}s_{1}.
\]

\end_inset

 Esta relación es de equivalencia.
 Llamamos 
\begin_inset Formula $a/s\coloneqq\frac{a}{s}\coloneqq[(a,s)]\in Q(D)\coloneqq X/\sim$
\end_inset

, y las operaciones
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\frac{a_{1}}{s_{1}}+\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}s_{2}+a_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}, & \frac{a_{1}}{s_{1}}\cdot\frac{a_{2}}{s_{2}} & :=\frac{a_{1}a_{2}}{s_{1}s_{2}},
\end{align*}

\end_inset

están bien definidas.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $a,b\in D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s,t\in D\setminus\{0\}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{0}{1}\iff a=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{1}{1}\iff a=s$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\frac{at}{st}=\frac{a}{s}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\frac{a}{s}=\frac{b}{s}\iff a=b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\frac{a}{s}+\frac{b}{s}=\frac{a+b}{s}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
[...] 
\begin_inset Formula $(Q(D),+,\cdot)$
\end_inset

 es un cuerpo llamado 
\series bold
cuerpo de fracciones
\series default
 o 
\series bold
de cocientes
\series default
 de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 cuyo cero es 
\begin_inset Formula $\frac{0}{1}$
\end_inset

 y cuyo uno es 
\begin_inset Formula $\frac{1}{1}$
\end_inset

 .
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 es el cuerpo de fracciones de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}$
\end_inset

.
 [...] 
\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$
\end_inset

 es un homomorfismo inyectivo, por lo que podemos ver a 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 como un subdominio de 
\begin_inset Formula $Q(D)$
\end_inset

 identificando a cada 
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a/1\in Q(D)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Propiedad universal del cuerpo de fracciones:
\series default
 Dados un dominio 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u:D\to Q(D)$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $u(a)\coloneqq a/1$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sean 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo y 
\begin_inset Formula $f:D\to K$
\end_inset

 un homomorfismo inyectivo, el único homomorfismo de cuerpos 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:Q(D)\to K$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
\end_inset

 viene dado por 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(\frac{a}{s})=f(a)f(s)^{-1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sean 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo no trivial y 
\begin_inset Formula $g,h:Q(D)\to K$
\end_inset

 homomorfismos que coinciden en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $g=h$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sean 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 un cuerpo no trivial y 
\begin_inset Formula $v:D\to F$
\end_inset

 un homomorfismo inyectivo tal que para todo cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y homomorfismo inyectivo 
\begin_inset Formula $f:D\to K$
\end_inset

 existe un único homomorfismo 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:F\to K$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
\end_inset

, entonces existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:F\to Q(D)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\phi\circ v=u$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un dominio, 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo no trivial y 
\begin_inset Formula $f:D\to K$
\end_inset

 un homomorfismo inyectivo, 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 contiene un subcuerpo isomorfo a 
\begin_inset Formula $Q(D)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí, para 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{Z}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])\cong\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
\end_inset

, lo que nos permite identificar los elementos de 
\begin_inset Formula $Q(\mathbb{Z}[\sqrt{m}])$
\end_inset

 con los de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}[\sqrt{m}]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo no trivial, existe un subcuerpo 
\begin_inset Formula $K'$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 llamado 
\series bold
subcuerpo primo
\series default
 de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 contenido en cualquier subcuerpo de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, y este es isomorfo a 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
\end_inset

 si la característica de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un entero primo 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 o a 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

 en caso contrario.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Polinomios
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un subanillo de 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 identificando los elementos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 con los 
\series bold
polinomios constantes
\series default
, de la forma 
\begin_inset Formula $P(X)=a_{0}$
\end_inset

.
 Dado un ideal 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0}\in I\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $I[X]\coloneqq\{a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n}X^{n}\in A[X]\mid a_{0},\dots,a_{n}\in I\}$
\end_inset

 son ideales de 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $p\coloneqq\sum_{k\in\mathbb{N}}p_{k}X^{k}\in A[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
grado
\series default
 de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{gr}(p)\coloneqq\max\{k\in\mathbb{N}\mid p_{k}\neq0\}$
\end_inset

, 
\series bold
coeficiente
\series default
 de 
\series bold
grado
\series default
 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p_{k}$
\end_inset

, 
\series bold
coeficiente independiente
\series default
 al de grado 0 y 
\series bold
coeficiente principal
\series default
 al de grado 
\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$
\end_inset

.
 Un polinomio es 
\series bold
mónico
\series default
 si su coeficiente principal es 1.
 El polinomio 0 tiene grado 
\begin_inset Formula $-\infty$
\end_inset

 por convención.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
monomio
\series default
 es un polinomio de la forma 
\begin_inset Formula $aX^{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 Todo polinomio en 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 se escribe como suma finita de monomios de distinto grado de forma única
 salvo orden.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

 tienen coeficientes principales respectivos 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{gr}(P+Q)\leq\max\{\text{gr}(P),\text{gr}(Q)\}$
\end_inset

, con desigualdad estricta si y sólo si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(P)=\text{gr}(Q)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p+q=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\text{gr}(PQ)\leq\text{gr}(P)+\text{gr}(Q)$
\end_inset

, con igualdad si y sólo si 
\begin_inset Formula $pq\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 no es un cuerpo.
 Es un dominio si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, en cuyo caso llamamos 
\series bold
cuerpo de las funciones racionales
\series default
 sobre 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 al cuerpo de fracciones de 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
[...] 
\series bold
Propiedad universal del anillo de polinomios
\series default
 (
\series bold
PUAP
\series default
)
\series bold
:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 un anillo y 
\begin_inset Formula $u:A\to A[X]$
\end_inset

 el homomorfismo inclusión:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para cada homomorfismo de anillos conmutativos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

, el único homomorfismo 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X]\to B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(X)=b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\tilde{f}\left(\sum_{n}p_{n}X^{n}\right):=\sum_{n}f(p_{n})b^{n}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 están determinados salvo isomorfismos por la propiedad universal: dados
 un homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $v:A\to P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $t\in P$
\end_inset

 tales que, para cada homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

, existe un único 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(t)=b$
\end_inset

, existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A[X]\to P$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\phi(X)=t$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un subanillo de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\in B$
\end_inset

, el 
\series bold
homomorfismo de sustitución
\series default
 o 
\series bold
de evaluación
\series default
 en 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $S_{b}:A[X]\to B$
\end_inset

 dado por
\begin_inset Formula 
\[
S_{b}(p):=p(b):=\sum_{n}p_{n}b^{n},
\]

\end_inset

y su imagen es el subanillo generado por 
\begin_inset Formula $A\cup\{b\}$
\end_inset

, llamado 
\begin_inset Formula $A[b]$
\end_inset

.
 Todo 
\begin_inset Formula $p\in A[X]$
\end_inset

 induce una 
\series bold
función polinómica
\series default
 
\begin_inset Formula $\hat{p}:B\to B$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\hat{p}(b)\coloneqq S_{b}(p)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dado 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, el homomorfismo de sustitución 
\begin_inset Formula $S_{X+a}$
\end_inset

 es un automorfismo de 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 con inverso 
\begin_inset Formula $S_{X-a}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un anillo conmutativo, 
\begin_inset Formula $\frac{A[X]}{(X)}\cong A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 induce un homomorfismo 
\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X]\to B[X]$
\end_inset

 dado por
\begin_inset Formula 
\[
\hat{f}(p)=\sum_{n}f(p_{n})X^{n},
\]

\end_inset

que es inyectivo o suprayectivo si lo es 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un subanillo de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 lo es de 
\begin_inset Formula $B[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 es un ideal de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, el 
\series bold
homomorfismo de reducción de coeficientes módulo 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset


\series default
 es 
\begin_inset Formula $\tilde{\pi}:A[X]\to(A/I)[X]$
\end_inset

 dado por
\begin_inset Formula 
\[
\tilde{\pi}(p):=\sum_{n}(p_{n}+I)X^{n}.
\]

\end_inset

Su núcleo es 
\begin_inset Formula $I[X]$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $(A/I)[X]\cong\frac{A[X]}{I[X]}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Newpage pagebreak
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Descomposiciones de polinomios en dominios
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $f,g\in A[X]$
\end_inset

, si el coeficiente principal de 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 es invertible en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, existen dos únicos polinomios 
\begin_inset Formula $q,r\in A[X]$
\end_inset

, llamados respectivamente 
\series bold
cociente
\series default
 y 
\series bold
resto
\series default
 de la 
\series bold
división
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 entre 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

, tales que 
\begin_inset Formula $f=gq+r$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(r)<\text{gr}(g)$
\end_inset

 [...].
 En particular, el grado es una función euclídea.
 
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema del resto:
\series default
 Dados 
\begin_inset Formula $f\in A[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, el resto de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 entre 
\begin_inset Formula $X-a$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $f(a)$
\end_inset

.
 De aquí se obtiene el 
\series bold
teorema de Ruffini
\series default
, que dice que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es divisible por 
\begin_inset Formula $X-a$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $f(a)=0$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es una 
\series bold
raíz
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $f\in A[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $m\coloneqq\max\{k\in\mathbb{N}\mid(X-a)^{k}\mid f\}$
\end_inset

.
 Llamamos a 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 
\series bold
multiplicidad
\series default
 de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es raíz de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $m\geq1$
\end_inset

.
 Decimos que 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es una 
\series bold
raíz simple
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $m=1$
\end_inset

 y que es una 
\series bold
raíz compuesta
\series default
 si 
\begin_inset Formula $m>1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La multiplicidad de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es el único natural 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f=(X-a)^{m}g$
\end_inset

 para algún 
\begin_inset Formula $g\in A[X]$
\end_inset

 del que 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 no es raíz.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un dominio, 
\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n}$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 elementos de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in\mathbb{Z}^{>0}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $(X-a_{k})^{\alpha_{k}}\mid f$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $(X-a_{1})^{\alpha_{1}}\cdots(X-a_{n})^{\alpha_{n}}\mid f$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\leq\text{gr}(f)$
\end_inset

 y, en particular, la suma de las multiplicidades de las raíces de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, y el número de raíces, no son superiores a 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Principio de las identidades polinómicas:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un dominio:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$
\end_inset

, si las funciones polinómicas 
\begin_inset Formula $f,g:D\to D$
\end_inset

 coinciden en 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 elementos de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $m>\text{gr}(f),\text{gr}(g)$
\end_inset

, los polinomios 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 son iguales.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es infinito si y sólo si cualquier par de polinomios distintos en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 define dos funciones polinómicas distintas en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como ejemplo de lo anterior, por el teorema pequeño de Fermat, dado un primo
 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

, todos los elementos de 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}$
\end_inset

 son raíces de 0 y 
\begin_inset Formula $X^{p}-X$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un anillo conmutativo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, definimos la 
\series bold
derivada
\series default
 de 
\begin_inset Formula $P\coloneqq\sum_{k}a_{k}X^{k}\in A[X]$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $P'\coloneqq D(P)\coloneqq\sum_{k\geq1}ka_{k}X^{k-1}$
\end_inset

, y escribimos 
\begin_inset Formula $P^{(0)}\coloneqq P$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P^{(n+1)}\coloneqq P^{(n)\prime}$
\end_inset

.
 Dados 
\begin_inset Formula $a,b\in A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P,Q\in A[X]$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(aP+bQ)'=aP'+bQ'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(PQ)'=P'Q+PQ'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(P^{n})'=nP^{n-1}P'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un dominio 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 de característica 0, 
\begin_inset Formula $P\in D[X]\setminus\{0\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset

, la multiplicidad de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 es el menor 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}_{0}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $P^{(m)}(a)\neq0$
\end_inset

.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un anillo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A[X]$
\end_inset

 es un dominio euclídeo si y sólo si es un DIP, si y sólo si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un cuerpo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un dominio y 
\begin_inset Formula $p\in D$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 si y sólo si lo es en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es primo en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

, lo es en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU, 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 si y sólo si lo es en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

, si y sólo si es primo en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, si y sólo si lo es en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un DFU, definimos 
\begin_inset Formula $\varphi:D\setminus0\to\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\varphi(a)$
\end_inset

 es el número de factores irreducibles en la factorización por irreducibles
 de 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, contando repetidos, y para 
\begin_inset Formula $a,b\in D\setminus\{0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\varphi(ab)=\varphi(a)+\varphi(b)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varphi(a)=0\iff a\in D^{*}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU, 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es su cuerpo de fracciones y 
\begin_inset Formula $f\in D[X]$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

, es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
 [...] 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
[...] Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es su cuerpo de fracciones, definimos la relación de equivalencia en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $x\sim y:\iff\exists u\in D^{*}:y=ux$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $[x]=xD^{*}$
\end_inset

 y, en particular, si 
\begin_inset Formula $x\in D$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $[x]$
\end_inset

 es el conjunto de los asociados de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
 Definimos 
\begin_inset Formula $\cdot:K\times(K/\sim)\to K/\sim$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $a(bD^{*})=(ab)D^{*}$
\end_inset

.
 Esto está bien definido.
 Además, 
\begin_inset Formula $a(b(cD^{*}))=(ab)(cD^{*})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Definimos 
\begin_inset Formula $c:K[X]\to K/\sim$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $p\coloneqq\sum_{k\geq0}p_{k}X^{k}\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq\{x\mid x=\text{mcd}_{k\geq0}p_{k}\}$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $p\in K[X]$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $a\in D\setminus\{0\}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $ap\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c(p)\coloneqq a^{-1}c(ap)$
\end_inset

.
 Esto está bien definido.
 Si 
\begin_inset Formula $c(p)=aD^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es el 
\series bold
contenido
\series default
 de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 (
\begin_inset Formula $a=c(p)$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $a\in K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p\in K[X]$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $a\in D$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a\mid p$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $a\mid c(p)$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $c(ap)=ac(p)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $p\in D[X]\iff c(p)\in D$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un polinomio 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es 
\series bold
primitivo
\series default
 si 
\begin_inset Formula $c(p)=1$
\end_inset

, esto es, si 
\begin_inset Formula $p\in D[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{mcd}_{k}p_{k}=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Lema de Gauss:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $f,g\in D[X]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $c(fg)=c(f)c(g)$
\end_inset

, y en particular 
\begin_inset Formula $fg$
\end_inset

 es primitivo si y sólo si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 lo son.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $f\in D[X]\setminus D$
\end_inset

 primitivo, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 si y sólo si lo es en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall G,H\in K[X],(f=GH\implies\text{gr}(G)=0\lor\text{gr}(H)=0)$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall g,h\in D[X],(f=gh\implies\text{gr}(g)=0\lor\text{gr}(h)=0)$
\end_inset

.
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí que si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU con cuerpo de fracciones 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, los irreducibles de 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

 son precisamente los de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 y los polinomios primitivos de 
\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$
\end_inset

 irreducibles en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
[...] Sean 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 un cuerpo y 
\begin_inset Formula $f\in K[X]$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)>1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene una raíz en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 no es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $\text{gr}(f)\in\{2,3\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 si y sólo si no tiene raíces en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU con cuerpo de fracciones 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f\coloneqq\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\coloneqq\text{gr}(f)$
\end_inset

, todas las raíces de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 son de la forma 
\begin_inset Formula $\frac{r}{s}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $r\mid a_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $s\mid a_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Criterio de reducción:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $\phi:D\to K$
\end_inset

 un homomorfismo de anillos donde 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un DFU y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es un cuerpo, 
\begin_inset Formula $\hat{\phi}:D[X]\to K[X]$
\end_inset

 el homomorfismo inducido por 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 un polinomio primitivo de 
\begin_inset Formula $D[X]\setminus D$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\hat{\phi}(f)$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $K[X]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(\hat{\phi}(f))=\text{gr}(f)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
En particular, si 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 es primo, 
\begin_inset Formula $f\coloneqq\sum_{k}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]$
\end_inset

 es primitivo, 
\begin_inset Formula $n\coloneqq\text{gr}(f)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p\nmid a_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}_{p}[X]$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $\mathbb{Z}[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Criterio de Eisenstein:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 un DFU, 
\begin_inset Formula $f\coloneqq\sum_{k}a_{k}X^{k}\in D[X]$
\end_inset

 primitivo y 
\begin_inset Formula $n\coloneqq\text{gr}f$
\end_inset

, si existe un irreducible 
\begin_inset Formula $p\in D$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall k\in\{0,\dots,n-1\},p\mid a_{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{2}\nmid a_{0}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es irreducible en 
\begin_inset Formula $D[X]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 y existe 
\begin_inset Formula $p\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 cuya multiplicidad en 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es 1, 
\begin_inset Formula $X^{n}-a$
\end_inset

 es irreducible.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $n\geq3$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
raíces 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésimas de la unidad
\series default
 o 
\series bold
de 1
\series default
 a las raíces de 
\begin_inset Formula $X^{n}-1$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

, que son los 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 vértices del 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ágono regular inscrito en el círculo unidad de 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 con un vértice en el 1.
 
\begin_inset Formula $X^{n}-1=(X-1)\Phi_{n}(X)$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)\coloneqq X^{n-1}+X^{n-2}+\dots+X+1$
\end_inset

 es el 
\series bold

\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésimo polinomio ciclotómico
\series default
 y sus raíces en 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

 son las raíces 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ésimas de 1 distintas de 1.
 En 
\begin_inset Formula $\mathbb{Q}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X+1\mid\Phi_{4}(X)$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 es primo, 
\begin_inset Formula $\Phi_{n}(X)$
\end_inset

 es irreducible.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Polinomios en varias indeterminadas
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{GyA}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un anillo conmutativo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\geq2$
\end_inset

, definimos el 
\series bold
anillo de polinomios
\series default
 en 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 indeterminadas con coeficientes en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]\coloneqq A[X_{1},\dots,X_{n-1}][X_{n}]$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
indeterminadas
\series default
 a los símbolos 
\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$
\end_inset

 y 
\series bold
polinomios en 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 indeterminadas
\series default
 a los elementos de 
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

.
 Dados un anillo conmutativo 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 no es un cuerpo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 es un dominio si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un dominio, 
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]^{*}=A^{*}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 es un DFU si y sólo si lo es 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 es un DIP si y sólo si 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es un cuerpo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i\coloneqq(i_{1},\dots,i_{n})\in\mathbb{N}^{n}$
\end_inset

, llamamos a 
\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 
\series bold
monomio
\series default
 de 
\series bold
tipo
\series default
 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y coeficiente 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
 Todo 
\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 se escribe de forma única como suma de monomios de distinto tipo,
\begin_inset Formula 
\[
p:=\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}},
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $p_{i}=0$
\end_inset

 para casi todo 
\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}^{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
PUAP en 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 indeterminadas:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 un anillo conmutativo, 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u:A\to A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 la inclusión:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados un homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
\end_inset

, existe un único homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ u=f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(X_{k})=b_{k}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados un anillo conmutativo 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T_{1},\dots,T_{n}\in P$
\end_inset

 y un homomorfismo 
\begin_inset Formula $v:A\to P$
\end_inset

 tales que, dados un homomorfismo de anillos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
\end_inset

, existe un único homomorfismo 
\begin_inset Formula $\tilde{f}:P\to B$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\tilde{f}\circ v=f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\tilde{f}(T_{k})=b_{k}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $\phi:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to P$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\phi\circ u=v$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\phi(X_{k})=T_{k}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $k\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Dados dos anillos conmutativos 
\begin_inset Formula $A\subseteq B$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{1},\dots,b_{n}\in B$
\end_inset

, el 
\series bold
homomorfismo de sustitución
\series default
 
\begin_inset Formula $S:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B$
\end_inset

 viene dado por 
\begin_inset Formula $p(b_{1},\dots,b_{n})\coloneqq S(p)\coloneqq\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}p_{i}b_{1}^{i_{1}}\cdots b_{n}^{i_{n}}$
\end_inset

.
 Su imagen es el subanillo de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 generado por 
\begin_inset Formula $A\cup\{b_{1},\dots,b_{n}\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A[b_{1},\dots,b_{n}]$
\end_inset

, y dados dos homomorfismos de anillos 
\begin_inset Formula $f,g:A[b_{1},\dots,b_{n}]\to C$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f=g$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $f|_{A}=g|_{A}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(b_{k})=g(b_{k})$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sean 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 un anillo y 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 una permutación de 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}_{n}$
\end_inset

 con inversa 
\begin_inset Formula $\tau\coloneqq\sigma^{-1}$
\end_inset

, tomando 
\begin_inset Formula $B=A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b_{k}=X_{\sigma(k)}$
\end_inset

 en el punto anterior obtenemos un automorfismo 
\begin_inset Formula $\hat{\sigma}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 con inversa 
\begin_inset Formula $\hat{\tau}$
\end_inset

 que permuta las indeterminadas.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A[X_{1},\dots,X_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[X_{1},\dots,X_{n}][Y_{1},\dots,Y_{m}]\cong A[Y_{1},\dots,Y_{m}][X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

, por lo que en la práctica no distinguimos entre estos anillos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo homomorfismo de anillos conmutativos 
\begin_inset Formula $f:A\to B$
\end_inset

 induce un homomorfismo 
\begin_inset Formula $\hat{f}:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to B[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\hat{f}(p)\coloneqq\sum_{i\in\mathbb{N}^{n}}f(p_{i})X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
grado
\series default
 de un monomio 
\begin_inset Formula $aX_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $i_{1}+\dots+i_{n}$
\end_inset

, y grado de 
\begin_inset Formula $p\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\setminus0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(p)$
\end_inset

, al mayor de los grados de los monomios no nulos en la expresión por monomios
 de 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $\text{gr}(p+q)\leq\max\{\text{gr}(p),\text{gr}(q)\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)\leq\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Un polinomio es 
\series bold
homogéneo
\series default
 de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 si es suma de monomios de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 Todo polinomio se escribe de modo único como suma de polinomios homogéneos
 de distintos grados, sin más que agrupar los monomios de igual grado en
 la expresión como suma de monomios.
 Así, si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un dominio, 
\begin_inset Formula $\text{gr}(pq)=\text{gr}(p)+\text{gr}(q)$
\end_inset

 para cualesquiera 
\begin_inset Formula $p,q\in D[X_{1},\dots,X_{n}]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document