#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Salvo que se indique lo contrario, los espacios vectoriales son sobre 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

.
 Dados dos 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacios vectoriales 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f:X\to Y$
\end_inset

 es 
\series bold
lineal conjugada
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall a,b\in\mathbb{K},\forall x,y\in X,f(ax+by)=\overline{a}f(x)+\overline{b}f(y)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Espacios vectoriales topológicos
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
espacio vectorial topológico
\series default
 (
\series bold
e.v.t.
\series default
) es un espacio topológico 
\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial y 
\begin_inset Formula $s:E\times E\to E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p:\mathbb{K}\times E\to E$
\end_inset

 dadas por 
\begin_inset Formula $s(x,y)\coloneqq x+y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p(\alpha,x)\coloneqq\alpha x$
\end_inset

 son continuas en la topología producto, y entonces 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 es una 
\series bold
topología vectorial
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacios vectoriales 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

, un 
\series bold
operador
\series default
 es una función lineal de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

, y llamamos 
\series bold
dual algebraico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 al conjunto de funciones de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

, las 
\series bold
formas lineales
\series default
 de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-e.v.t.s, 
\begin_inset Formula ${\cal L}(E,F)$
\end_inset

 es el conjunto de operadores continuos de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

, y llamamos 
\series bold
dual topológico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $E'\coloneqq{\cal L}(E,\mathbb{K})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados e.l.t.s 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T:E\to F$
\end_inset

 es un 
\series bold
isomorfismo topológico
\series default
 si es un isomorfismo y un homeomorfismo, y entonces 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 son 
\series bold
topológicamente isomorfos
\series default
.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
sremember{TEM}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
base de entornos
\series default
 de 
\begin_inset Formula $p\in X$
\end_inset

 es una subfamilia 
\begin_inset Formula ${\cal B}(p)\subseteq{\cal E}(p)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(p),\exists U\in{\cal B}(p):U\subseteq V$
\end_inset

.
 [...] Un espacio topológico [...] satisface el 
\series bold
primer axioma de numerabilidad
\series default
, o es 
\series bold
1AN
\series default
, si todo punto posee una base de entornos numerable [...].
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
eremember
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-e.v.t.:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $s_{a}:E\to E$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $y\in E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p_{\lambda}:E\to E$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}^{*}$
\end_inset

 dados por 
\begin_inset Formula $s_{a}(x)\coloneqq x+a$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p_{\lambda}(x)\coloneqq\lambda x$
\end_inset

 son homeomorfismos.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $s_{a}$
\end_inset

 es la composición de 
\begin_inset Formula $x\mapsto(x,a)$
\end_inset

 con la suma, por lo que es continua, y análogamente lo es 
\begin_inset Formula $p_{\lambda}$
\end_inset

, pero la inversa de 
\begin_inset Formula $s_{a}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $s_{-a}$
\end_inset

 y la de 
\begin_inset Formula $p_{\lambda}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $p_{\lambda^{-1}}$
\end_inset

, que también son continuas.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La suma de un abierto y un subconjunto cualquiera de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es abierta en 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $G\subseteq E$
\end_inset

 abierto y 
\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset

.
 Todo 
\begin_inset Formula $p\in G+A$
\end_inset

 es de la forma 
\begin_inset Formula $p=g+a$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $G+a\subseteq G+A$
\end_inset

 es un entorno de 
\begin_inset Formula $g+a$
\end_inset

 por el homeomorfismo 
\begin_inset Formula $s_{a}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La suma de un cerrado y un compacto de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es cerrada en 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 el cerrado y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 el compacto, tomamos una sucesión convergente arbitraria en 
\begin_inset Formula $F+K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(x_{n}+y_{n})_{n}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $x_{n}\in F$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $y_{n}\in K$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $z\coloneqq\lim_{n}(x_{n}+y_{n})$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es compacto, existe una subsucesión 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 convergente a un 
\begin_inset Formula $x\in K$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $(y_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $z-x\in F$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $z=(z-x)+x\in F+K$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un subespacio vectorial de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es propio si y sólo si su interior es vacío.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $Y<X$
\end_inset

 un subespacio vectorial propio y 
\begin_inset Formula $p\in X\setminus Y$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset

, por continuidad de la suma y el producto, 
\begin_inset Formula $\lim_{h\to0}(y+hp)=y$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $(y+\frac{p}{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
\end_inset

 es una sucesión de elementos de 
\begin_inset Formula $X\setminus Y$
\end_inset

 que converge a 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $y\notin\mathring{Y}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\mathring{Y}=\emptyset$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

El contrarrecíproco es trivial.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $F\subseteq E$
\end_inset

 es un subespacio vectorial también lo es 
\begin_inset Formula $\overline{F}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Dados 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x,y\in\overline{F}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 son límites de sucesiones respectivas 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n},\{y_{n}\}_{n}\subseteq F$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $x+y=\lim_{n}(x_{n}+y_{n})\in\overline{F}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $ax=\lim_{n}ax_{n}\in\overline{F}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 es otro e.v.t.
 y 
\begin_inset Formula $T:E\to F$
\end_inset

 es lineal, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es continua si y sólo si lo es en 0, y si 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es una forma lineal, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es continua si y sólo si 
\begin_inset Formula $\ker T\leq E$
\end_inset

 es cerrado.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset

 es 
\series bold
equilibrado
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall\alpha\in\mathbb{K},(|\alpha|\leq1\implies\alpha A\subseteq A)$
\end_inset

, es 
\series bold
absorbente
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x\in E,\exists\rho_{0}>0:\forall\rho\in\mathbb{K},(|\rho|\geq\rho_{0}\implies x\in\rho A)$
\end_inset

, y es 
\series bold
total
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\overline{\text{span}A}=E$
\end_inset

.
 Los entornos de 0 son absorbentes.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-e.v.t.
 y 
\begin_inset Formula ${\cal U}$
\end_inset

 una base de entornos de 0:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{K}^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x+\alpha{\cal U}$
\end_inset

 es base de entornos de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall M\subseteq E,\overline{M}=\bigcap_{U\in{\cal U}}(M+U)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal U},\exists V\in{\cal U}:V+V\subseteq U$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal U},\exists V\in{\cal U}:\forall\alpha\in\mathbb{K},(|\alpha|\leq1\implies\alpha V\subseteq U)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo 
\begin_inset Formula $U\in{\cal U}$
\end_inset

 es absorbente.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\tilde{{\cal U}}\coloneqq\left\{ \bigcup_{|\alpha|\leq1}\alpha U\right\} _{U\in{\cal U}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{{\cal U}}\coloneqq\{\overline{U}\}_{U\in{\cal U}}$
\end_inset

 son bases de entornos de 0, con lo que toda e.v.t.
 tiene una base de entornos del 0 formada por conjuntos absorbentes, equilibrado
s y cerrados.
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
base de filtro
\series default
 en un conjunto 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula ${\cal U}\subseteq{\cal P}(S)$
\end_inset

 no vacío tal que 
\begin_inset Formula $\forall U,V\in{\cal U},\exists W\in{\cal U}:W\subseteq U\cap V$
\end_inset

, y se puede definir una topología en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 tomando una base de filtros sobre cada punto, que actuará como base de
 entornos.
\end_layout

\begin_layout Section
Espacios localmente convexos
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 un espacio vectorial y 
\begin_inset Formula ${\cal U}$
\end_inset

 una base de filtro en 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 formada por conjuntos absorbentes y equilibrados y tal que 
\begin_inset Formula $\bigcap{\cal U}=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal U},\exists V\in{\cal U}:V+V\subseteq U$
\end_inset

, existe una única topología vectorial sobre 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $x\in E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{x+U\}_{U\in{\cal U}}$
\end_inset

 es base de entornos de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q:E\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\series bold
subaditiva
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in E,q(x+y)\leq q(x)+q(y)$
\end_inset

, 
\series bold
positivamente homogénea
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall\lambda\in\mathbb{R}^{+},\forall x\in E,q(\lambda x)=\lambda q(x)$
\end_inset

 y 
\series bold
absolutamente homogénea
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall\lambda\in\mathbb{K},\forall x\in E,q(\lambda x)=|\lambda|q(x)$
\end_inset

.
 Una 
\series bold
seminorma
\series default
 es una función 
\begin_inset Formula $E\to\mathbb{R}$
\end_inset

 subaditiva y absolutamente homogénea.
 Las seminormas son no negativas
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues si 
\begin_inset Formula $q:E\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es una seminorma y 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0=0q(x)=q(0x)=q(0)=q(x-x)\leq q(x)+q(-x)=q(x)+|-1|q(x)=2q(x)$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 un espacio vectorial y 
\begin_inset Formula ${\cal P}\subseteq\mathbb{R}^{E}$
\end_inset

 una familia de seminormas con 
\begin_inset Formula $\bigcap_{p\in{\cal P}}\{x\in E\mid p(x)=0\}=0$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
{\cal U}\coloneqq\left\{ \bigcap_{p\in{\cal F}}\{x\in E\mid p(x)<\varepsilon\}\right\} _{{\cal F}\subseteq{\cal P}\text{ finito},\varepsilon>0}
\]

\end_inset

es una base de filtro formada por conjuntos convexos, absorbentes y equilibrados
, con intersección vacía y tal que para 
\begin_inset Formula $U\in{\cal U}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $V\in{\cal V}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $V+V\subseteq U$
\end_inset

, y llamamos 
\series bold
topología asociada a 
\begin_inset Formula ${\cal P}$
\end_inset


\series default
 a la única topología vectorial sobre 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 que tiene a 
\begin_inset Formula ${\cal U}$
\end_inset

 como base de entornos de 0.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial, 
\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset

 es 
\series bold
absolutamente convexo
\series default
 si es convexo y equilibrado, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in A,\forall\alpha,\beta\in\mathbb{K},(|\alpha|+|\beta|\leq1\implies\alpha x+\beta y\in A)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La intersección de conjuntos absolutamente convexos es absolutamente convexa,
 y llamamos 
\series bold
envoltura absolutamente convexa
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Gamma(A)$
\end_inset

 a la intersección de todos los conjuntos absolutamente convexos que contienen
 a 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
La intersección de conjuntos convexos es convexa, y llamamos 
\series bold
envoltura convexa
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{co}A$
\end_inset

, a la intersección de todos los convexos que contienen a 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, que es absolutamente convexa si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es equilibrado.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
espacio localmente convexo
\series default
 es un e.v.t.
 
\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
\end_inset

 con una base de entornos de 0 formada por conjuntos convexos, y entonces
 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 es 
\series bold
localmente convexa
\series default
.
 Todo e.l.c.
 tiene una base de entornos del origen formada por conjuntos absolutamente
 convexos y cerrados.
 Un 
\series bold
espacio de Fréchet
\series default
 es un e.l.c.
 metrizable y completo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un espacio vectorial 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset

 absorbente, llamamos 
\series bold
funcional de Minkowski
\series default
 asociado a 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $p_{A}:E\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $p_{A}(x)\coloneqq\inf\{t>0\mid x\in tA\}$
\end_inset

, y entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $p_{A}$
\end_inset

 es no negativa y positivamente homogénea.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es convexo, 
\begin_inset Formula $p_{A}$
\end_inset

 es subaditiva y 
\begin_inset Formula $\{p_{A}(x)<1\}\subseteq A\subseteq\{p_{A}(x)\leq1\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es absolutamente convexo, 
\begin_inset Formula $p_{A}$
\end_inset

 es una seminorma.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Toda seminorma 
\begin_inset Formula $p:E\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es el funcional de Minkowski asociado a 
\begin_inset Formula $\{x\in E\mid p(x)\leq1\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es un e.v.t.
 y 
\begin_inset Formula $C\subseteq E$
\end_inset

 es convexo y absorbente, 
\begin_inset Formula $0\in\mathring{C}$
\end_inset

 si y sólo si el funcional de Minkowski 
\begin_inset Formula $p_{C}$
\end_inset

 es continuo en 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $\mathring{C}=\{p_{C}(x)<1\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{C}=\{p_{C}(x)\leq1\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una seminorma 
\begin_inset Formula $p:E\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua si y sólo si 
\begin_inset Formula $\{x\in E\mid p(x)<1\}$
\end_inset

 es abierta, si y sólo si 
\begin_inset Formula $0\in\mathring{\overbrace{\{p(x)<1\}}}$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es continua en 0, si y sólo si existe una seminorma continua 
\begin_inset Formula $q:E\to\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $p\leq q$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, un e.v.t.
 
\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
\end_inset

 es localmente convexo si y sólo si 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 está asociada a una familia de seminormas.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados dos e.l.c.
 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T:E\to F$
\end_inset

 lineal es continua si y sólo si para toda seminorma continua 
\begin_inset Formula $q:F\to\mathbb{R}$
\end_inset

 existe una seminorma continua 
\begin_inset Formula $p:E\to\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $q\circ T\leq p$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es un e.v.t., 
\begin_inset Formula $E'\neq0$
\end_inset

 si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $U\in{\cal E}(0_{E})$
\end_inset

 convexo distinto de 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, un e.l.c.
 
\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
\end_inset

 es metrizable si y sólo si es 1AN, si y sólo si 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 es asociada a una familia numerable de seminormas continuas.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Ejemplos de espacios localmente convexos
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 es un conjunto y 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{Z}$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial, 
\begin_inset Formula $\{f\mapsto|f(z)|\}_{z\in Z}$
\end_inset

 es una familia de seminormas en 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{Z}$
\end_inset

 que define la 
\series bold
topología de convergencia puntual
\series default
, 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{p}}$
\end_inset

, sobre 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{Z}$
\end_inset

, en que una base de entornos en un 
\begin_inset Formula $f:Z\to\mathbb{K}$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \{g\in\mathbb{K}^{Z}\mid\forall z\in F,|f(z)-g(z)|<\varepsilon\}\right\} _{F\subseteq Z\text{ finito},\varepsilon>0}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio topológico, llamamos 
\begin_inset Formula $C(X)$
\end_inset

 al subespacio de 
\begin_inset Formula $(\mathbb{K}^{X},{\cal T}_{\text{p}})$
\end_inset

 de las funciones continuas y 
\begin_inset Formula $C_{\text{b}}(X)$
\end_inset

 al de las funciones continuas y acotadas.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es 
\series bold
completamente regular
\series default
 si para todo cerrado 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in X\setminus A$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $f:X\to\mathbb{R}$
\end_inset

 continua con 
\begin_inset Formula $f(A)=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f(x)=1$
\end_inset

, y entonces, si 
\begin_inset Formula ${\cal K}$
\end_inset

 es la familia de los compactos de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, la familia de seminormas 
\begin_inset Formula $\{f\mapsto\max_{x\in K}|f(x)|\}_{K\in{\cal K}}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $C(X)$
\end_inset

 tiene asociada una topología 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{K}}$
\end_inset

, la 
\series bold
topología de convergencia uniforme sobre compactos
\series default
, en que una base de entornos de 
\begin_inset Formula $f\in C(X)$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \{g\in C(X)\mid\forall x\in K,|f(x)-g(x)|<\varepsilon\}\right\} _{K\in{\cal K},\varepsilon>0}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
sucesión exhaustiva de compactos
\series default
 de un espacio topológico 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es una sucesión 
\begin_inset Formula $(K_{n})_{n}$
\end_inset

 de compactos con unión 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y tal que cada 
\begin_inset Formula $K_{n}\subseteq\mathring{K}_{n+1}$
\end_inset

.
 Todo abierto 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{K}^{k}$
\end_inset

 es completamente regular y admite una sucesión exhaustiva de compactos
 
\begin_inset Formula $(K_{n})_{n}$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{K}}$
\end_inset

 es la topología asociada a la familia 
\begin_inset Formula $\{f\mapsto\max_{x\in K_{n}}|f(x)|\}_{n}$
\end_inset

 y está asociada a la métrica
\begin_inset Formula 
\[
d(f,g)\coloneqq\sum_{n}\frac{1}{2^{n}}\frac{p_{K_{n}}(f-g)}{1+p_{K_{n}}(f-g)},
\]

\end_inset

y 
\begin_inset Formula $(C(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$
\end_inset

 es un espacio de Fréchet.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Weierstrass:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 es abierto, el límite de una sucesión de funciones holomorfas en 
\begin_inset Formula $({\cal C}(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$
\end_inset

 es holomorfa, y en particular 
\begin_inset Formula $({\cal H}(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$
\end_inset

 es un espacio de Fréchet.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{FVV2}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
soporte
\series default
 de una función 
\begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\text{sop}(g)\coloneqq\overline{\{g\neq0\}}$
\end_inset

[...].
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 abierto:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El conjunto de funciones 
\begin_inset Formula $f:\Omega\to\mathbb{R}$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 veces diferenciables con 
\begin_inset Formula $\dif^{\kern1pt{}m}\kern-2pt{}f$
\end_inset

 continua, 
\begin_inset Formula ${\cal E}^{m}(\Omega)\coloneqq{\cal C}^{m}(\Omega)$
\end_inset

, es un espacio de Fréchet con la 
\series bold
topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y sus
 derivadas hasta el grado 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset


\series default
, dada por la familia de seminormas
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ p_{K}^{m}(f)\coloneqq\sup_{\begin{subarray}{c}
\alpha\in\mathbb{N}^{n}\\
|\alpha|\coloneqq\alpha_{1}+\dots+\alpha_{n}\leq m
\end{subarray}}\sup_{x\in K}|\text{D}^{\alpha}f(x)|\right\} _{K\subseteq\Omega\text{ compacto}},
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula 
\[
\text{D}^{\alpha}f(x)\coloneqq\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal E}(\Omega)\coloneqq{\cal C}^{\infty}(\Omega)\coloneqq\bigcap_{m}{\cal C}^{m}(\Omega)$
\end_inset

 es un e.l.c.
 metrizable con la 
\series bold
topología de convergencia uniforme sobre compactos de las funciones y todas
 sus derivadas
\series default
, dada por la familia de seminormas 
\begin_inset Formula $\{p_{K}^{m}\}_{K\subseteq\Omega\text{ compacto},m\in\mathbb{N}}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si para 
\begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$
\end_inset

 compacto, 
\begin_inset Formula ${\cal D}_{K}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{\infty}(\Omega)\mid\text{sop}f\subseteq K\}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
base de distribuciones
\series default
 a 
\begin_inset Formula ${\cal D}(\Omega)\coloneqq\bigcup_{K\subseteq\Omega\text{ compacto}}{\cal D}_{K}(\Omega)\neq0$
\end_inset

 con la topología más fina que hace continuas las inclusiones 
\begin_inset Formula ${\cal D}_{K}(\Omega)\hookrightarrow{\cal D}(\Omega)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Espacios normados
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
norma
\series default
 es una seminorma 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $q^{-1}(0)=0$
\end_inset

.
 Un 
\series bold
espacio normado
\series default
 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 con una norma 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert:X\to\mathbb{R}$
\end_inset

.
 Todo espacio normado 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 es un e.l.c.
 metrizable con la distancia 
\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto\Vert x-y\Vert$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Claramente es una distancia y 
\begin_inset Formula $\{B(0,\frac{1}{n})\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 es una base de entornos convexos del 0.
 Sean 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

 abierto, 
\begin_inset Formula $s:X\times X\to X$
\end_inset

 la suma y 
\begin_inset Formula $p:\mathbb{K}\times X\to X$
\end_inset

 el producto, queremos ver que 
\begin_inset Formula $s^{-1}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{-1}(A)$
\end_inset

 son abiertos.
 Sean 
\begin_inset Formula $(x,y)\in s^{-1}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\coloneqq s(x,y)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$
\end_inset

, pero entonces, para 
\begin_inset Formula $(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\times B(y,\frac{\varepsilon}{2})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert s(x',y')-b\Vert=\Vert\cancel{b}+(x'-x)+(y'-y)\cancel{-b}\Vert\leq\Vert x'-x\Vert+\Vert y'-y\Vert<\varepsilon,
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $s(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\subseteq A$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $(a,x)\subseteq p^{-1}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\coloneqq p(a,x)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$
\end_inset

, pero entonces para 
\begin_inset Formula $(a',x')\in B(a,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})\times B(x,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\Vert p(a',x')-b\Vert & =\Vert((a'-a)+a)((x'-x)+x)-ax\Vert=\\
 & =|a'-a|\Vert x'-x\Vert+|a|\Vert x'-x\Vert+|a'-a|\Vert x\Vert<\\
 & <\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}\left(\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}+|a|+\Vert x\Vert\right)\leq\varepsilon\frac{1+|a|+\Vert x\Vert}{|a|+\Vert x\Vert+1}=\varepsilon,
\end{align*}

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $p(a',x')\in B(b,\varepsilon)\subseteq A$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un e.l.c.
 
\begin_inset Formula $(E,{\cal T})$
\end_inset

 es 
\series bold
normable
\series default
 si 
\begin_inset Formula ${\cal T}$
\end_inset

 es la topología asociada a una norma en 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 es un e.l.c., 
\begin_inset Formula $A\subseteq E$
\end_inset

 es 
\series bold
acotado
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall U\in{\cal E}(0),\exists\rho>0:A\subseteq\rho U$
\end_inset

, si y sólo si para toda seminorma 
\begin_inset Formula $p:E\to\mathbb{R}$
\end_inset

 continua es 
\begin_inset Formula $\sup\{p(x)\}_{x\in A}<\infty$
\end_inset

.
 
\series bold
Teorema de Kolmogoroff:
\series default
 Un e.l.c.
 es normable si y sólo si 
\begin_inset Formula $0_{E}$
\end_inset

 tiene un entorno acotado.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio normado, llamamos 
\begin_inset Formula $B_{X}\coloneqq B[0,1]=\overline{B(0,1)}=\{x\in X\mid\Vert x\Vert\leq1\}$
\end_inset

, que es equilibrado y absorbente, y conjunto de 
\series bold
vectores unitarios
\series default
 a 
\begin_inset Formula $S_{X}\coloneqq\partial B(0,1)=\{x\in X\mid\Vert x\Vert=1\}$
\end_inset

.
 La norma es uniformemente continua
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $x,y\in X$
\end_inset

 cumplen 
\begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, por subaditividad es 
\begin_inset Formula $\Vert x\Vert\leq\Vert x-y\Vert+\Vert y\Vert$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\left|\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\right|=\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\leq\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
 Todo subespacio vectorial de un espacio normado es normado con la norma
 inducida.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
espacio de Banach
\series default
 es un espacio normado completo.
 Sea 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio normado:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es completo si y sólo si toda sucesión 
\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert y_{n}\Vert$
\end_inset

 convergente cumple que 
\begin_inset Formula $\sum_{n}y_{n}$
\end_inset

 converge a un punto de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert y_{n}\Vert$
\end_inset

 es de Cauchy, pero 
\begin_inset Formula $\Vert y_{m}+\dots+y_{n}\Vert\leq\Vert y_{m}\Vert+\dots+\Vert y_{n}\Vert=\sum_{k=m}^{n}\Vert y_{k}\Vert$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\sum_{n}y_{n}$
\end_inset

 también es de Cauchy en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y por tanto convergente en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 completo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset

 una sucesión de Cauchy, existe 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}}\Vert\leq2^{-k}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\sum_{k}\Vert x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}}\Vert$
\end_inset

 es convergente y por tanto también lo es 
\begin_inset Formula $\sum_{k}(x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}})$
\end_inset

, que es 
\begin_inset Formula $(x_{n_{0}}-x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 es una subsucesión convergente de 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

, que es de Cauchy, por lo que 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 es convergente.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo subespacio vectorial de Banach de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es cerrado en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Toda sucesión de Cauchy en 
\begin_inset Formula $Y\leq X$
\end_inset

 converge a un punto de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $Y=\overline{Y}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es de Banach, todo subespacio vectorial cerrado es de Banach.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Toda sucesión de Cauchy en 
\begin_inset Formula $Y\leq X$
\end_inset

 es de Cauchy en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y converge en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es cerrado, el límite está en 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Operadores
\end_layout

\begin_layout Standard
Un operador entre espacios normados es 
\series bold
acotado
\series default
 si es continuo, y si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio normado, 
\begin_inset Formula $X^{*}\coloneqq X'={\cal L}(X,\mathbb{K})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacios normados:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 es lineal, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es continuo si y sólo si lo es en 0, si y sólo si para 
\begin_inset Formula $S\subseteq X$
\end_inset

 acotado, 
\begin_inset Formula $T(S)\subseteq Y$
\end_inset

 es acotado, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\Vert T(S_{X})\Vert\subseteq Y$
\end_inset

 es acotado, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\exists M\geq0:\forall x\in X,\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es uniformemente continuo.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Probamos el contrarrecíproco.
 Si 
\begin_inset Formula $S\subseteq X$
\end_inset

 está acotado por 
\begin_inset Formula $M>0$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $T(S)\subseteq Y$
\end_inset

 no está acotado, existe 
\begin_inset Formula $\{s_{n}\}_{n}\subseteq S$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $\Vert T(s_{n})\Vert\geq n$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $\Vert T(\frac{s_{n}}{n})\Vert=\frac{1}{n}\Vert T(s_{n})\Vert\geq1$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\Vert s_{n}\Vert<M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert\frac{s_{n}}{n}\Vert<\frac{M}{n}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $(\frac{s_{n}}{n})_{n}$
\end_inset

 converge a 0 pero 
\begin_inset Formula $T(\frac{s_{n}}{n})$
\end_inset

 no converge a 
\begin_inset Formula $T(0)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies4]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $4\implies5]$
\end_inset

 Sea 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 una cota superior de 
\begin_inset Formula $T(S_{X})$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert T(0)\Vert=\Vert0\Vert=0$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $x\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\left\Vert T\left(\frac{x}{\Vert x\Vert}\Vert x\Vert\right)\right\Vert =\Vert x\Vert\left\Vert T\left(\frac{x}{\Vert x\Vert}\right)\right\Vert \leq M\Vert x\Vert$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $\frac{x}{\Vert x\Vert}\in S_{X}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $5\implies6]$
\end_inset

 Para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $x,y\in X$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\frac{\varepsilon}{M}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)-T(y)\Vert=\Vert T(x-y)\Vert\leq M\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $6\implies1]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial con norma 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert T\Vert\coloneqq\sup_{x\in B_{X}}\Vert T(x)\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert=\sup_{x\in B(0,1)}\Vert T(x)\Vert,
\]

\end_inset

tomando 
\begin_inset Formula $\sup\emptyset\coloneqq0$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es un espacio de Banach, 
\begin_inset Formula $({\cal L}(X,Y),\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 también.
 En 
\begin_inset Formula $X^{*}$
\end_inset

 esta norma se llama 
\series bold
norma dual
\series default
.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S,T:X\to Y$
\end_inset

 son lineales y continuas, 
\begin_inset Formula $S+T$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $aS$
\end_inset

 también son lineales y continuas.
 La igualdad entre los supremos se debe a que, para 
\begin_inset Formula $x\in S_{X}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert=\sup_{n\in\mathbb{N}^{*}}(1-\frac{1}{n})\Vert T(x)\Vert=\sup_{n\in\mathbb{N}^{*}}\Vert T((1-\frac{1}{n})x)\Vert\leq\sup_{x\in B(0,1)}\Vert T(x)\Vert$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $x\in B(0,1)$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert=0\leq\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert$
\end_inset

 y en otro caso 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert=\Vert x\Vert\Vert T(\frac{x}{\Vert x\Vert})\Vert\overset{\Vert x\Vert\leq1}{\leq}\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $B_{X}=S_{X}\cup B(0,1)$
\end_inset

.
 Este supremo está bien definido, y queremos ver que es una norma:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Subaditiva:
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\Vert S+T\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert S(x)+T(x)\Vert\leq\sup_{x\in S_{X}}(\Vert S(x)\Vert+\Vert T(x)\Vert)\leq\\
\leq\sup_{x\in S_{X}}\Vert S(x)\Vert+\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert=\Vert S\Vert+\Vert T\Vert.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Positivamente homogénea:
\begin_inset Formula 
\[
\Vert aS\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert aS(x)\Vert=\sup_{x\in S_{X}}|a|\Vert S(x)\Vert=|a|\sup_{x\in S_{X}}\Vert S(x)\Vert=|a|\Vert S\Vert.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Núcleo 0: Si 
\begin_inset Formula $\Vert S\Vert=0$
\end_inset

 entonces para 
\begin_inset Formula $p\in S_{X}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\leq\Vert S(p)\Vert\leq0$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $S(p)=0$
\end_inset

, por lo que para 
\begin_inset Formula $x\in X\setminus0$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $S(x)=S(\frac{x}{\Vert x\Vert}\Vert x\Vert)=\Vert x\Vert S(\frac{x}{\Vert x\Vert})=0$
\end_inset

 y ya sabemos que 
\begin_inset Formula $S(0)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Finalmente, si 
\begin_inset Formula $\{T_{n}\}_{n}\subseteq{\cal L}(X,Y)$
\end_inset

 es una sucesión de Cauchy, para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{T_{n}(x)\}_{n}$
\end_inset

 también es de Cauchy, pues si 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $T_{n}(x)\equiv0$
\end_inset

 y en otro caso para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}-T_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{\Vert x\Vert}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}(x)-T_{m}(x)\Vert=\Vert(T_{n}-T_{m})(x)\Vert<\frac{\varepsilon}{\Vert x\Vert}\Vert x\Vert=\varepsilon$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es completo, 
\begin_inset Formula $\{T_{n}(x)\}_{n}$
\end_inset

 converge.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $T(x)\coloneqq\lim_{n}T_{n}(x)$
\end_inset

, tenemos que ver que 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es lineal y continua y que 
\begin_inset Formula $(T_{n})_{n}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $({\cal L}(X,Y),\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

.
 Para ver que es lineal, sean 
\begin_inset Formula $x,y\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
T(x+y) & =\lim_{n}T_{n}(x+y)=\lim_{n}(T_{n}(x)+T_{n}(y))=\lim_{n}T_{n}(x)+\lim_{n}T_{n}(y)=T(x)+T(y),\\
T(ax) & =\lim_{n}T_{n}(ax)=\lim_{n}aT_{n}(x)=a\lim_{n}T_{n}(x)=aT(x).
\end{align*}

\end_inset

Para ver que es continua, como 
\begin_inset Formula $(T_{n})_{n}$
\end_inset

 es de Cauchy, 
\begin_inset Formula $\{\Vert T_{n}\Vert\}_{n}$
\end_inset

 es acotado por un cierto 
\begin_inset Formula $M>0$
\end_inset

, de modo que para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in B(0,\frac{\varepsilon}{2M})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $T_{n}(x)\to T(x)$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)-T_{n}(x)\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert\leq\Vert T_{n}(x)\Vert+\Vert T(x)-T_{n}(x)\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, por lo que en resumen para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x\Vert<\frac{\varepsilon}{2M}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert<\varepsilon$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es continua en 0, por lo que es continua.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Finalmente, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}-T_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, por lo que para todo 
\begin_inset Formula $x\in S_{X}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}(x)-T_{m}(x)\Vert\leq\Vert T_{n}-T_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert T_{n}(x)-T(x)\Vert=\Vert T_{n}(x)-\lim_{m}T_{m}(x)\Vert=\lim_{m}\Vert T_{n}(x)-T_{m}(x)\Vert\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon,
\]

\end_inset

por lo que finalmente 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}-T\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert T_{n}(x)-T(x)\Vert<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La composición de operadores acotados es un operador acotado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En espacios de dimensión infinita hay operadores no acotados.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 un espacio normado de dimensión infinita, 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 un espacio normado no nulo, 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset

 una sucesión de vectores linealmente independientes con norma 1, 
\begin_inset Formula $y\in Y\setminus0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(z_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}(z_{i})_{i}$
\end_inset

 es una base de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 un operador dado por 
\begin_inset Formula $Tx_{n}\coloneqq ny$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Tz_{i}\coloneqq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert Tx_{n}\Vert=n\Vert y\Vert$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\{\Vert T(x)\Vert\}_{x\in S_{X}}$
\end_inset

 no tiene cota superior.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Isomorfismos topológicos
\end_layout

\begin_layout Standard
Una función 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 entre espacios normados es un isomorfismo topológico si y sólo si es lineal,
 suprayectiva y 
\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x,m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Claramente es lineal y suprayectiva, y las acotaciones se obtienen de que
 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $T^{-1}$
\end_inset

 son funciones lineales continuas.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T(x)=0\implies m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert=0\implies\Vert x\Vert=0\implies x=0$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es inyectiva y por tanto biyectiva, luego es un isomorfismo porque la inversa
 de una aplicación lineal es lineal, y las acotaciones implican que 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $T^{-1}$
\end_inset

 son continuas.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dos espacios normados son 
\series bold
isométricamente isomorfos
\series default
 si entre ellos hay un isomorfismo topológico 
\series bold
isométrico
\series default
, es decir, que conserve distancias o, equivalentemente, normas.
 Dos normas 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert,|\cdot|:X\to\mathbb{R}$
\end_inset

 son 
\series bold
equivalentes
\series default
 si 
\begin_inset Formula $1_{X}:(X,\Vert\cdot\Vert)\to(X,|\cdot|)$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x\in X,m|x|\leq\Vert x\Vert\leq M|x|$
\end_inset

, en cuyo caso ambas definen la misma topología.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 son espacios normados topológicamente isomorfos, la completitud de uno
 equivale a la del otro.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
En efecto, si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es completo, 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico e 
\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}$
\end_inset

 es una sucesión de Cauchy, entonces 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\coloneqq T^{-1}(y_{n})\}_{n}$
\end_inset

 es de Cauchy, pues para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m\geq0$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert y_{n}-y_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{\Vert T^{-1}\Vert}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x_{m}\Vert=\Vert T^{-1}(y_{n}-y_{m})\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 es convergente y existe 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x\Vert\leq\frac{\varepsilon}{\Vert T\Vert}$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $\Vert y_{n}-T(x)\Vert<\varepsilon$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $T(x)\in Y$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para todo espacio normado 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 existen un espacio de Banach 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

 y un operador isométrico 
\begin_inset Formula $J:X\to\hat{X}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $J(X)$
\end_inset

 es denso en 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

, y llamamos a 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

 la 
\series bold
compleción
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $A\subseteq X^{\mathbb{N}}$
\end_inset

 es el conjunto de sucesiones de Cauchy en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, definimos la relación de equivalencia en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $x\equiv y\iff\lim_{n}(x_{n}-y_{n})=0$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $\hat{X}\coloneqq X/\equiv$
\end_inset

 con la suma y producto componente a componente y la norma dada por el límite
 de las normas.
 Estas operaciones están bien definidas.
 En efecto, si 
\begin_inset Formula $x\equiv x'$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y\equiv y'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}((x_{n}+y_{n})-(x'_{n}+y'_{n}))=\lim_{n}((x_{n}-x'_{n})+(y_{n}-y'_{n}))=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x+x'\equiv y+y'$
\end_inset

, y si además 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}(ax_{n}-ax'_{n})=a\lim_{n}(x_{n}-x'_{n})=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $ax\equiv ax'$
\end_inset

.
 Finalmente, la norma existe porque la sucesión de normas es convergente
 y por tanto de Cauchy si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}(x_{n}-x'_{n})=0$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\left|\Vert x_{n}\Vert-\Vert x'_{n}\Vert\right|\leq\Vert x_{n}-x'_{n}\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}\Vert-\Vert x'_{n}\Vert\to0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}\Vert=\Vert x'_{n}\Vert$
\end_inset

.
 Es fácil comprobar tomando representantes que se cumplen los axiomas de
 espacio vectorial con el 0 como la clase de las sucesión constante en 0
 y que la norma definida es subaditiva y absolutamente homogénea.
 Además, 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert\overline{x}\Vert=0\implies\Vert\overline{x}\Vert=\lim_{n}\Vert x_{n}\Vert=\left\Vert \lim_{n}x_{n}\right\Vert =0\implies(x_{n})_{n}\equiv0\implies\overline{x}=0.
\]

\end_inset

El operador isométrico 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 es el que lleva cada 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 a la clase de la sucesión constante en 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, que claramente es un operador isométrico.
 Para ver que 
\begin_inset Formula $J(X)$
\end_inset

 es denso en 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $\overline{x}\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}J(x_{n})=\overline{x}$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $\Vert J(x_{n})-\overline{x}\Vert=\lim_{m}\Vert x_{n}-x_{m}\Vert$
\end_inset

 pero como 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es de Cauchy, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 y tomando límites en 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\lim_{m}\Vert x_{n}-x_{m}\Vert\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$
\end_inset

.
 Para ver que 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

 es completo, sea 
\begin_inset Formula $\{\overline{x_{n}}\}_{n}\subseteq\hat{X}$
\end_inset

 de Cauchy, para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $y_{n}\in X$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x_{n}}-y_{n}\Vert<\frac{1}{n}$
\end_inset

.
 En efecto, existe 
\begin_inset Formula $m_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $k,m\geq m_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert x_{nk}-x_{nm}\Vert<\frac{1}{2n}$
\end_inset

, luego si 
\begin_inset Formula $y_{n}\coloneqq x_{nm_{0}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert x_{nk}-y_{n}\Vert<\frac{1}{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x_{n}}-y_{n}\Vert=\lim_{k}\Vert x_{nk}-y_{n}\Vert\leq\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}$
\end_inset

.
 Entonces, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $N\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\frac{1}{N}<\frac{\varepsilon}{4}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m>M$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x_{n}}-\overline{x_{m}}\Vert<\frac{\varepsilon}{3}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $n,m>\max\{N,M\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert y_{n}-y_{m}\Vert\leq\Vert y_{n}-\overline{u_{n}}\Vert+\Vert\overline{u_{n}}-\overline{u_{m}}\Vert+\Vert\overline{u_{m}}-y_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon,
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $y_{n}$
\end_inset

 es de Cauchy y solo queda que ver que 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $L\coloneqq\overline{(y_{n})_{n}}$
\end_inset

, pero por construcción es 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert y_{n}-L\Vert=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert\overline{x_{n}}-y_{n}\Vert\leq\lim_{n}\frac{1}{n}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert\overline{x_{n}}-L\Vert\leq\lim_{n}(\Vert\overline{x_{n}}-y_{n}\Vert+\Vert y_{n}-L\Vert)=0+0=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Espacios cociente
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{TS}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio topológico 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 y una relación de equivalencia 
\begin_inset Formula $\sim$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
topología cociente
\series default
 en 
\begin_inset Formula $X/\sim$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\{V\subseteq(X/\sim)\mid p^{-1}(V)\in{\cal T}\}$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $p:X\to X/\sim$
\end_inset

 es la 
\series bold
proyección canónica
\series default
 [...].
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio vectorial 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 con un subespacio 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
espacio vectorial cociente
\series default
 
\begin_inset Formula $X/Y$
\end_inset

 al conjunto cociente de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 bajo la relación de equivalencia 
\begin_inset Formula $x\equiv y\iff x-y\in Y$
\end_inset

 entendido como espacio vectorial con las operaciones heredadas de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, y llamamos 
\series bold
codimensión
\series default
 de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 a la dimensión de 
\begin_inset Formula $X/Y$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es normado e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es cerrado en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X/Y$
\end_inset

 es un espacio normado con la 
\series bold
norma cociente
\series default
 
\begin_inset Formula $\Vert x+Y\Vert\coloneqq\inf_{y\in Y}\Vert x+y\Vert$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $x,x'\in X$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $y,y'\in Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert x+y\Vert+\Vert x'+y'\Vert\geq\Vert(x+x')+(y+y')\Vert\geq\inf_{y\in Y}\Vert(x+x')+y\Vert=\Vert\overline{x+x'}\Vert,
\]

\end_inset

por lo que 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x}\Vert+\Vert\overline{x'}\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert x+y\Vert+\inf_{y'\in Y}\Vert x'+y'\Vert\geq\Vert\overline{x+x'}\Vert$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\leq\Vert0\overline{x}\Vert=\Vert0\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert y\Vert\leq0$
\end_inset

, y en otro caso 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert a\overline{x}\Vert=\Vert\overline{ax}\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert ax+y\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert ax+ay\Vert=|a|\inf_{y\in Y}\Vert x+y\Vert=|a|\Vert x\Vert.
\]

\end_inset

Finalmente, si 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x}\Vert=0$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $y_{n}\in Y$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x-y_{n}\Vert<\frac{1}{n}$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x\in Y$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 cerrado y 
\begin_inset Formula $\overline{x}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La proyección 
\begin_inset Formula $X\to X/Y$
\end_inset

 es lineal, continua y abierta.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 la aplicación, que claramente es lineal.
 Para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $x'\in B(\overline{x},\varepsilon)$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x}-\overline{x}'\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert x-x'+y\Vert\leq\Vert x-x'\Vert<\varepsilon$
\end_inset

.
 Para ver que es abierta, para 
\begin_inset Formula $x_{0}\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{x}\in Q(B(x_{0},\delta))$
\end_inset

 si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $x'\equiv x$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x'-x_{0}\Vert<\delta$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x}-\overline{x}_{0}\Vert<\delta$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\overline{x}\in B(\overline{x_{0}},\delta)$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La norma cociente genera la topología cociente.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Dado 
\begin_inset Formula $V\subseteq X/Y$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es abierto 
\begin_inset Formula $Q^{-1}(V)$
\end_inset

 también por continuidad, y si 
\begin_inset Formula $Q^{-1}(V)$
\end_inset

 es abierto, 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 también por ser 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 abierta.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es de Banach también lo es 
\begin_inset Formula $X/Y$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sea 
\begin_inset Formula $\{\overline{x_{n}}\}_{n}\subseteq X/Y$
\end_inset

 una sucesión con 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert\overline{x_{n}}\Vert$
\end_inset

 convergente, tomando 
\begin_inset Formula $y_{n}\in\overline{x_{n}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert y_{n}\Vert\leq\Vert\overline{x_{n}}\Vert+2^{-n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert y_{n}\Vert$
\end_inset

 converge, y como 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es completa también lo hace 
\begin_inset Formula $\sum_{n}y_{n}$
\end_inset

 converge, y por continuidad de 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\overline{x_{n}}=\sum_{n}Q(y_{n})=Q(\sum_{n}y_{n})$
\end_inset

 converge.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 un espacio normado e 
\begin_inset Formula $Y,Z\leq X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es la 
\series bold
suma directa topológica
\series default
 de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $X=Y\oplus Z$
\end_inset

 y las proyecciones canónicas 
\begin_inset Formula $y+z\mapsto y$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y+z\mapsto z$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z\in Z$
\end_inset

 son continuas, si y sólo si 
\begin_inset Formula $s:Y\times Z\to X$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $s(y,z)\coloneqq y+z$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 es un 
\series bold
complementario topológico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 respecto de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Es claramente un isomorfismo, es continua por serlo la suma y 
\begin_inset Formula $s^{-1}$
\end_inset

 también por serlo las proyecciones.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Que 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 sea biyectiva implica que 
\begin_inset Formula $X=Y\oplus Z$
\end_inset

.
 Además 
\begin_inset Formula $y+z\overset{s^{-1}}{\mapsto}(y,z)\overset{p}{\mapsto}y$
\end_inset

 es continua, y análogamente lo es la otra proyección.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Espacios normados de dimensión finita
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Desigualdad de Hölder:
\series default
 Dados 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p,q>1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{k}a_{k}b_{k}\leq\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k}b_{k}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

 es obvio.
 La exponencial es convexa, por lo que si 
\begin_inset Formula $a,b>0$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
ab=\text{e}^{\log ab}=\text{e}^{\frac{1}{p}\log a^{p}+\frac{1}{q}\log b^{q}}\leq\frac{1}{p}\text{e}^{\log a^{p}}+\frac{1}{q}\text{e}^{\log b^{q}}=\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q},
\]

\end_inset

y si 
\begin_inset Formula $A\coloneqq\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B\coloneqq\left(\sum_{k}b_{k}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}$
\end_inset

, haciendo 
\begin_inset Formula $a\coloneqq\frac{a_{k}}{A}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\coloneqq\frac{b_{k}}{B}$
\end_inset

 y sumando,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\sum_{k}a_{k}b_{k}}{AB}=\sum_{k}\frac{a_{k}}{A}\frac{b_{k}}{B}\leq\frac{1}{p}\left(\sum_{k}\frac{a_{k}^{p}}{A^{p}}\right)+\frac{1}{q}\left(\sum_{k}\frac{b_{k}^{q}}{B^{q}}\right)=1.
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
desigualdad de Schwarz
\series default
 es la desigualdad de Hölder con 
\begin_inset Formula $p=2$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Desigualdad de Minkowski:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}\geq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p\geq1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\left(\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $p=1$
\end_inset

 es obvio.
 Si 
\begin_inset Formula $p>1$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $q\coloneqq\frac{1}{1-\frac{1}{p}}$
\end_inset

, se tiene 
\begin_inset Formula $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(p-1)\frac{q}{p}=1$
\end_inset

, y por la desigualdad de Hölder,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\alpha & \coloneqq\sum_{k}(a_{k}+b_{k})^{p}=\sum_{k}a_{k}(a_{k}+b_{k})^{p-1}+\sum_{k}b_{k}(a_{k}+b_{k})^{p-1}\leq\\
 & \leq\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k}(a_{k}+b_{k})^{q(p-1)}\right)^{\frac{1}{q}}+\left(\sum_{k}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k}(a_{k}+b_{k})^{q(p-1)}\right)^{\frac{1}{q}}=\\
 & =\left(\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right)\left(\sum_{k}(a_{k}+b_{k})^{p}\right)^{\frac{1}{q}}=\alpha^{\frac{1}{q}}\left(\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right),
\end{align*}

\end_inset

y dividiendo entre 
\begin_inset Formula $\alpha^{\frac{1}{q}}$
\end_inset

 se obtiene el resultado.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 definimos los espacios normados:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{p}\coloneqq(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert_{p})$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$
\end_inset

, donde
\begin_inset Formula 
\[
\Vert x\Vert_{p}\coloneqq\left(\sum_{k\in\mathbb{N}_{n}}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{p}$
\end_inset

 es absolutamente homogénea y sólo vale 0 en el 0, y la desigualdad triangular
 se sigue de la de Minkowski usando que 
\begin_inset Formula $|a_{k}+b_{k}|\leq|a_{k}|+|b_{k}|$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{\infty}\coloneqq(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert_{p})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{\infty}\coloneqq\sup_{k=1}^{n}|x_{k}|$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$
\end_inset

 hereda las propiedades de norma de 
\begin_inset Formula $|\cdot|$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio normado de dimensión finita 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 con base 
\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T:\ell_{n}^{1}\to X$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $T(a_{1},\dots,a_{n})\coloneqq a_{1}e_{1}+\dots+a_{n}e_{n}$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico.
 
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold
Demostración:
\series default
 Claramente 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es un isomorfismo algebraico.
 Para 
\begin_inset Formula $a\in\ell_{n}^{1}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\Vert T(a)\Vert=\left\Vert \sum_{k}a_{k}e_{k}\right\Vert \leq\sum_{k}|a_{k}|\sup_{k}\{\Vert e_{k}\Vert\}=\sup_{k}\{\Vert e_{k}\Vert\}\Vert(a_{1},\dots,a_{n})\Vert_{1}.
\]

\end_inset

Para la otra cota, 
\begin_inset Formula $S_{\ell_{n}^{1}}$
\end_inset

 es compacto y 
\begin_inset Formula $f:S_{\ell_{n}^{1}}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq\Vert T(x)\Vert$
\end_inset

 es continua y sin ceros (
\begin_inset Formula $f(0)=0\implies T(x)=0\implies x=0$
\end_inset

), por lo que 
\begin_inset Formula $\beta\coloneqq\min\text{Im}f>0$
\end_inset

 y para 
\begin_inset Formula $a\in\ell_{n}^{1}\setminus0$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\beta\leq f\left(\frac{a}{\Vert a\Vert}\right)=\left\Vert T\left(\frac{a}{\Vert a\Vert}\right)\right\Vert =\frac{\Vert T(a)\Vert}{\Vert a\Vert}\implies\beta\Vert a\Vert\leq\Vert T(a)\Vert.
\]

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todos los espacios normados de igual dimensión finta son topológicamente
 isomorfos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todas las normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda norma en 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{n}$
\end_inset

 genera la topología producto.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Las bolas de 
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{\infty}$
\end_inset

 son rectángulos y toda norma de 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{n}$
\end_inset

 genera la misma topología.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo espacio de dimensión finita es de Banach.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Lo es 
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{\infty}$
\end_inset

 por tener topología producto.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo subespacio de dimensión finita de un espacio normado es cerrado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo operador entre espacios normados con dominio de dimensión finita es
 continuo.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Por isomorfismo podemos suponer que el dominio es 
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{1}$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $T:\ell_{n}^{1}\to Y$
\end_inset

 el operador y 
\begin_inset Formula $a_{i}\coloneqq T(e_{i})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sup_{x\in S_{\ell_{n}^{1}}}\Vert T(x)\Vert=\sup_{\{x\in\mathbb{K}^{n}\mid\sum_{i}x_{i}=1\}}\left\Vert \sum_{i}x_{i}a_{i}\right\Vert =\sup_{i=1}^{n}a_{i}<\infty$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Bolzano-Weierstrass:
\series default
 En espacios normados de dimensión finita, los cerrados acotados son compactos
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
, pues esto ocurre en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

.
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
El teorema se suele enunciar como que toda sucesión en un cerrado acotado
 posee una subsucesión convergente, pero esto es la compacidad por sucesiones.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Lema de Riesz:
\series default
 Dados un espacio normado 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Y<X$
\end_inset

 cerrado y 
\begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 unitario con 
\begin_inset Formula $d(x,Y)\geq1-\varepsilon$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $x_{0}\in X\setminus Y$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es cerrado, 
\begin_inset Formula $d\coloneqq d(x_{0},Y)>0$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $d<\frac{d}{1+\varepsilon}$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $y_{0}\in Y$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $d\leq\Vert x_{0}-y_{0}\Vert<\frac{d}{1-\varepsilon}$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $x\coloneqq\frac{x_{0}-y_{0}}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\Vert x-y\Vert & =\left\Vert \frac{x_{0}-y_{0}}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}-y\right\Vert =\frac{1}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}\left\Vert x_{0}-y_{0}-\Vert x_{0}-y_{0}\Vert y\right\Vert =\\
 & =\frac{\left\Vert x_{0}-(y_{0}+\Vert x_{0}-y_{0}\Vert y)\right\Vert }{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}\geq\frac{d}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}>1-\varepsilon,
\end{align*}

\end_inset

donde usamos que 
\begin_inset Formula $y_{0}+\Vert x_{0}-y_{0}\Vert y\in Y$
\end_inset

, y entonces 
\begin_inset Formula $d(x,Y)\geq1-\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio normado de dimensión infinita, existen una sucesión 
\begin_inset Formula $(M_{n})_{n}$
\end_inset

 de subespacios de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 de dimensión finita con cada 
\begin_inset Formula $M_{n}\subseteq M_{n+1}$
\end_inset

 y una sucesión de vectores unitarios 
\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $y_{n}\in M_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d(M_{n},y_{n+1})\geq\frac{1}{2}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $x_{n}\in M_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\ensuremath{d(M_{n},x_{n+1})\geq\frac{1}{2}}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Tomamos 
\begin_inset Formula $x_{1}\in X$
\end_inset

 unitario y por inducción, para 
\begin_inset Formula $n\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M_{n}\coloneqq\text{span}\{x_{1},\dots,x_{n}\}\neq X$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 de dimensión infinita, luego por el lema de Riesz existe 
\begin_inset Formula $x_{n+1}\in X$
\end_inset

 unitario con 
\begin_inset Formula $d(x_{n+1},M_{n})\geq\frac{1}{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\series bold
Teorema de Riesz:
\series default
 Un espacio normado 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es de dimensión finita si y sólo si todo cerrado y acotado de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es compacto, si y sólo si 
\begin_inset Formula $B_{X}$
\end_inset

 es compacta.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Visto.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies1]$
\end_inset

 Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 tuviera dimensión infinita, habría una sucesión 
\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq S_{X}\subseteq B_{X}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert y_{n}-y_{m}\Vert\geq\frac{1}{2}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $n\neq m$
\end_inset

 y por tanto no hay puntos de acumulación.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 abierto, 
\begin_inset Formula $({\cal H}(\Omega),{\cal T}_{\text{K}})$
\end_inset

 es un espacio de Fréchet que no es de Banach.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio normado 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $Y\leq X$
\end_inset

 es cerrado y 
\begin_inset Formula $Z\leq X$
\end_inset

 tiene dimensión finita, 
\begin_inset Formula $Y+Z\leq X$
\end_inset

 es cerrado.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Si 
\begin_inset Formula $Q:X\to\frac{X}{Y}$
\end_inset

 es la función cociente, 
\begin_inset Formula $Q(Z)$
\end_inset

 es de dimensión finita y por tanto cerrado, y por continuidad 
\begin_inset Formula $Q^{-1}(Q(Z))=Y+Z$
\end_inset

 es cerrado.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Sean 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 un espacio normado y 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 lineal con imagen de dimensión finita, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es continua si y sólo si 
\begin_inset Formula $\ker T$
\end_inset

 es cerrado.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $0\leq T(X)$
\end_inset

 es cerrado y por tanto 
\begin_inset Formula $T^{-1}(0)$
\end_inset

 también.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $Q:X\to\frac{X}{\ker T}$
\end_inset

 la función cociente e 
\begin_inset Formula $\iota:T(X)\hookrightarrow Y$
\end_inset

 la inclusión, ambas continuas, existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $J:\frac{X}{\ker T}\to T(X)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $T=\iota\circ J\circ Q$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $T(X)$
\end_inset

 es de dimensión finita, 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico, luego 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 es continua y también lo es 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es de Banach e 
\begin_inset Formula $Y\leq X$
\end_inset

 tiene codimensión finita, todo complementario algebraico 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es un complementario topológico.
\end_layout

\begin_layout Section
Ejemplos de espacios de Banach
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{TEM}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $D\subseteq X$
\end_inset

 es 
\series bold
denso
\series default
 en 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\overline{D}=X$
\end_inset

, si y sólo si cualquier abierto no vacío corta a 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 es 
\series bold
separable
\series default
 si admite un subconjunto denso y numerable.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $S\neq\emptyset$
\end_inset

, definimos 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{\infty}:\mathbb{K}^{S}\to[0,+\infty]$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $\Vert f\Vert_{\infty}\coloneqq\sup_{s\in S}|f(s)|$
\end_inset

 y llamamos 
\series bold
espacio de las funciones acotadas
\series default
 en 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 al espacio de Banach 
\begin_inset Formula $\ell^{\infty}(S)\coloneqq(\{f\in\mathbb{K}^{S}\mid\Vert f\Vert_{\infty}<\infty\},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$
\end_inset

 y 
\series bold
topología de convergencia uniforme
\series default
 a la topología asociada a esta norma.
 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing single
Si además 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es un espacio topológico:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $C_{\text{b}}(S)$
\end_inset

 es un subespacio cerrado de 
\begin_inset Formula $\ell^{\infty}(S)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f:S\to\mathbb{K}$
\end_inset

 
\series bold
se anula en el infinito
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists K\subseteq S\text{ compacto}:\Vert f|_{S\setminus K}\Vert_{\infty}<\varepsilon$
\end_inset

.
 El espacio 
\begin_inset Formula $C_{0}(S)$
\end_inset

 de funciones 
\begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$
\end_inset

 continuas que se anulan en el infinito es un subespacio cerrado de 
\begin_inset Formula $C_{\text{b}}(S)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es localmente compacto y Hausdorff, el espacio 
\begin_inset Formula $C_{\text{c}}(S)$
\end_inset

 de funciones 
\begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$
\end_inset

 continuas con soporte compacto es un subespacio denso de 
\begin_inset Formula $C_{0}(S)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamando 
\begin_inset Formula $\ell^{\infty}\coloneqq\ell^{\infty}(\mathbb{N})$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\ell^{\infty}$
\end_inset

 no es separable.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $c_{0}\coloneqq\{x\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\mid\lim_{n}|x_{n}|=0\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c\coloneqq\{x\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\mid\exists\lim_{n}x_{n}\}$
\end_inset

 son subespacios cerrados y separables de 
\begin_inset Formula $\ell^{\infty}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $c_{0}<c<\ell^{\infty}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un espacio métrico 
\begin_inset Formula $(X,d)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{0}\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\phi:(X,d)\to\ell^{\infty}(X)$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $\phi(x)(y)\coloneqq d(x,y)-d(x_{0},y)$
\end_inset

 es una isometría.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{FVV2}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
álgebra de partes
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$
\end_inset

 es un conjunto no vacío 
\begin_inset Formula ${\cal A}\subseteq{\cal P}(\Omega)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $A\in{\cal A}\implies A^{\complement}\in{\cal A}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A,B\in{\cal A}\implies A\cup B\in{\cal A}$
\end_inset

.
 [...] Una 
\series bold

\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

-álgebra de partes
\series default
 de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 es un álgebra 
\begin_inset Formula $\Sigma\subseteq{\cal P}(\Omega)$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\in\Sigma$
\end_inset

 [...].
 [...]
\end_layout

\begin_layout Standard
Dada una 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

-álgebra 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

 de partes de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, una función 
\begin_inset Formula $\mu:\Sigma\rightarrow[0,+\infty]$
\end_inset

 es una 
\series bold
medida
\series default
 [...] sobre 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\mu(\emptyset)=0$
\end_inset

 y para toda familia 
\begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\Sigma$
\end_inset

 de conjuntos disjuntos [...] 
\begin_inset Formula $\sigma(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_{n})$
\end_inset

.
 Si existe [...] 
\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$
\end_inset

 es un 
\series bold
espacio medible
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
espacio de medida
\series default
 es una terna 
\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$
\end_inset

 es un espacio medible y 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 es una medida sobre este.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un espacio de medida 
\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $p\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{p}:\mathbb{K}^{\Omega}\to[0,+\infty]$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\Vert f\Vert_{p}\coloneqq\left(\int|f(x)|^{p}\dif\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}},
\]

\end_inset

 
\begin_inset Formula $L^{p}(\Omega)\coloneqq L^{p}(\Omega,\Sigma,\mu)\coloneqq(\{f\in\mathbb{K}^{\Omega}\mid\Vert f\Vert_{p}<\infty\},\Vert\cdot\Vert_{p})$
\end_inset

 es un espacio de Banach.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

 es un abierto de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 con la medida de Lebesgue inducida, 
\begin_inset Formula $C_{\text{c}}(\Omega)$
\end_inset

 es denso en 
\begin_inset Formula $L^{p}(\Omega)$
\end_inset

 .
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $p\geq1$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $\ell^{p}\coloneqq L^{p}(\mathbb{N})$
\end_inset

, y entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\ell^{p}$
\end_inset

 es separable.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
espacio de las sucesiones finitamente no nulas
\series default
, 
\begin_inset Formula 
\[
c_{00}\coloneqq\{x\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\mid\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n\geq n_{0},x_{n}=0\},
\]

\end_inset

es un subespacio denso de 
\begin_inset Formula $\ell^{p}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $1\leq p<q$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\ell^{p}\subsetneq\ell^{q}\subsetneq c_{0}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La suma de subespacios cerrados puede no ser un subespacio cerrado.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 un abierto no vacío, 
\begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$
\end_inset

 compacto y, para 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{m}:{\cal C}^{m}(\Omega)\to[0,+\infty)$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\Vert f\Vert_{m}\coloneqq\sup_{x\in\Omega}\sup_{\begin{subarray}{c}
\alpha\in\mathbb{N}^{n}\\
|\alpha|\coloneqq\alpha_{1}+\dots+\alpha_{n}\leq m
\end{subarray}}\left|\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\right|,
\]

\end_inset

entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $({\cal D}_{K}^{m}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{m}(\Omega)\mid\text{sop}f\subseteq K\},\Vert\cdot\Vert_{m})$
\end_inset

 es un espacio de Banach.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal D}^{m}(\Omega)\coloneqq(\{f\in{\cal C}^{m}(\Omega)\mid\text{sop}f\text{ compacto}\},\Vert\cdot\Vert_{m})$
\end_inset

 es un espacio normado.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal D}(\Omega)\coloneqq\{f\in{\cal C}^{\infty}(\Omega)\mid\text{sop}f\text{ compacto}\}<\text{\ensuremath{{\cal D}}}^{m}(\Omega)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $D\coloneqq\{x\in\mathbb{C}:|x|<1\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal H}(D)$
\end_inset

 el espacio de funciones holomorfas 
\begin_inset Formula $D\to\mathbb{C}$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $p\geq1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{H_{p}},\Vert\cdot\Vert_{H_{\infty}}:{\cal H}(D)\to[0,\infty]$
\end_inset

 dadas por
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\Vert f\Vert_{H_{p}} & \coloneqq\sup_{r\in(0,1)}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(r\text{e}^{\text{i}\theta})|^{p}\dif\theta\right)^{\frac{1}{p}}, & \Vert f\Vert_{H_{\infty}} & \coloneqq\Vert f\Vert_{\infty},
\end{align*}

\end_inset

para 
\begin_inset Formula $p\in[1,\infty]$
\end_inset

, el 
\series bold
espacio de Hardy
\series default
 
\begin_inset Formula $H^{p}(D)\coloneqq(\{f\in{\cal H}(D)\mid\Vert f\Vert_{H_{p}}<\infty\},\Vert\cdot\Vert_{H_{p}})$
\end_inset

 es un espacio de Banach.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Redes
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
conjunto preordenado
\series default
 es un par 
\begin_inset Formula $(C,\apprle)$
\end_inset

 formado por un conjunto 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 y un 
\series bold
preorden
\series default
 
\begin_inset Formula $\apprle$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

, una relación reflexiva y transitiva.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
conjunto dirigido
\series default
 es un conjunto preordenado 
\begin_inset Formula $(D,\leq)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall i,j\in D,\exists k\in D:k\geq i,j$
\end_inset

.
 Una 
\series bold
red
\series default
 en un conjunto 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es una función 
\begin_inset Formula $\phi:D\to Y$
\end_inset

 donde 
\begin_inset Formula $(D,\leq)$
\end_inset

 es un conjunto dirigido, que escribimos como 
\begin_inset Formula $\phi\eqqcolon\{\omega_{i}\}_{i\in D}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\omega_{i}\coloneqq\phi(i)$
\end_inset

.
 Todo conjunto totalmente ordenado es dirigido, y en particular 
\begin_inset Formula $(\mathbb{N},\leq)$
\end_inset

 lo es y así las sucesiones son redes.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio topológico, la red 
\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in D}\subseteq X$
\end_inset

 
\series bold
converge
\series default
 a 
\begin_inset Formula $z\in T$
\end_inset

 (con 
\series bold
convergencia de Moore-Smith
\series default
) si 
\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(z),\exists i_{0}\in D:\forall i\geq i_{0},x_{i}\in V$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $s\in X$
\end_inset

 es 
\series bold
de aglomeración
\series default
 de 
\begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in D}$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(s),\forall j\in D,\exists i\geq j:x_{i}\in V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 es un espacio normado, una red 
\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in D}\subseteq X$
\end_inset

 es 
\series bold
de Cauchy
\series default
 o satisface la 
\series bold
condición de Cauchy
\series default
 si 
\begin_inset Formula 
\[
\forall\varepsilon>0,\exists i_{0}\in D:\forall i,j\geq i_{0},\Vert x_{i}-x_{j}\Vert<\varepsilon.
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es de Banach, toda red de Cauchy es convergente.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
subred
\series default
 de la red 
\begin_inset Formula $\phi:D\to Y$
\end_inset

 es una red 
\begin_inset Formula $\phi\circ\rho:J\to Y$
\end_inset

 para cierta 
\begin_inset Formula $\rho:J\to D$
\end_inset

 que cumple que 
\begin_inset Formula $\forall i_{0}\in D,\exists j_{0}\in J:\forall j\geq j_{0},\rho(j)\geq i_{0}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 es un conjunto dirigido, 
\begin_inset Formula $J\subseteq D$
\end_inset

 es 
\series bold
cofinal
\series default
 en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall i\in D,\exists j\in J:j\geq i$
\end_inset

, y entonces, si 
\begin_inset Formula $(\omega_{i})_{i\in D}$
\end_inset

 es una red, 
\begin_inset Formula $(\omega_{i})_{i\in J}$
\end_inset

 es una subred suya.
 Si una red converge en un espacio topológico, toda subred suya converge
 al mismo punto.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 un espacio topológico:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es de Hausdorff si y sólo si toda red 
\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in D}\subseteq X$
\end_inset

 convergente converge a un único 
\begin_inset Formula $z\in X$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 es el 
\series bold
límite
\series default
 de la red, 
\begin_inset Formula $\lim_{i\in D}x_{i}=z$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Un 
\begin_inset Formula $s\in X$
\end_inset

 es de aglomeración de una red en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 si y sólo si esta admite una subred convergente a 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

 es cerrado si y sólo si toda red convergente en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 tiene límite en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $s\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s\in\overline{A}$
\end_inset

 si y sólo si es límite de una red en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es otro espacio topológico, 
\begin_inset Formula $f:X\to Y$
\end_inset

 es continua en 
\begin_inset Formula $a\in Y$
\end_inset

 si y sólo si lleva redes en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 convergentes a 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 a redes en 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 convergentes a 
\begin_inset Formula $f(a)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

 es compacto si y sólo si toda red en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 posee una subred convergente a un punto de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio métrico, 
\begin_inset Formula $s\in X$
\end_inset

 es de aglomeración de una sucesión si y sólo si esta posee una subsucesión
 convergente a 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

, pero esto no es cierto en espacios topológicos arbitrarios.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $X\coloneqq\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula 
\[
{\cal T}\coloneqq\{\{x\}\}_{x\in X\setminus0}\cup\{V\subseteq X\mid(0,0)\in V\land\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n\geq n_{0},\{m\in\mathbb{N}\mid(n,m)\notin V\}\text{ es finito}\},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 es un espacio de Hausdorff en el que ninguna sucesión converge a 
\begin_inset Formula $(0,0)$
\end_inset

 pero la sucesión resultante de enumerar 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 según el proceso diagonal de Cantor tiene a 
\begin_inset Formula $(0,0)$
\end_inset

 como punto de aglomeración.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Plain Layout
Sean 
\begin_inset Formula $Y\coloneqq[0,1]^{\mathbb{R}}$
\end_inset

 con la topología producto y, para 
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{sop}(y)\coloneqq\{\gamma\in\mathbb{R}\mid y_{\gamma}\neq0\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $D\coloneqq\{y\in Y\mid\text{sop}(x_{\gamma})_{\gamma\in\mathbb{R}}\text{ contable}\}$
\end_inset

 es denso en 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 y cerrado por sucesiones, y de hecho, toda sucesión en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 tiene una subsucesión convergente a un punto de 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 no es cerrado ni compacto.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Familias sumables
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $I\neq\emptyset$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal P}_{0}(I)\coloneqq\{J\subseteq I\mid J\text{ finito}\}$
\end_inset

, que es un conjunto dirigido por 
\begin_inset Formula $\subseteq$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 es un espacio normado e 
\begin_inset Formula $I\neq\emptyset$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$
\end_inset

 es 
\series bold
sumable
\series default
 con 
\series bold
suma
\series default
 
\begin_inset Formula $s\in X$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $(\sum_{i\in J}x_{i})_{J\in{\cal P}_{0}(I)}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

, y es 
\series bold
absolutamente sumable
\series default
 si 
\begin_inset Formula $(\Vert x_{i}\Vert)_{i\in I}$
\end_inset

 es sumable en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 es un espacio normado y 
\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$
\end_inset

 es no vacía:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(\sum_{i\in J}x_{i})_{J\in{\cal P}_{0}(I)}$
\end_inset

 es de Cauchy si y sólo si 
\begin_inset Formula 
\[
\forall\varepsilon>0,\exists J_{0}\in{\cal P}_{0}(I):\forall J\in{\cal P}_{0}(I\setminus J_{0}),\left\Vert \sum_{i\in J}x_{i}\right\Vert <\varepsilon,
\]

\end_inset

y entonces 
\begin_inset Formula $\{i\in I\mid x_{i}\neq0\}$
\end_inset

 es contable y 
\begin_inset Formula $\sup_{J\in{\cal P}_{0}(I)}\left\Vert \sum_{i\in J}x_{i}\right\Vert <\infty$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 es absolutamente sumable si y sólo si 
\begin_inset Formula $\sup_{J\in{\cal P}_{0}(I)}\sum_{i\in J}\Vert x_{i}\Vert<\infty$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es de Banach si y sólo si toda familia sumable es absolutamente sumable,
 y entonces toda familia absolutamente sumable es sumable.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 es un espacio de Banach, llamamos
\begin_inset Formula 
\[
C(S)\coloneqq\sup\left\{ C\in[0,1)\;\middle|\;\forall n\in\mathbb{N},\forall z\in X^{n},\exists S\subseteq\mathbb{N}_{n}:C\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}\Vert z_{j}\Vert\leq\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert \right\} ,
\]

\end_inset

y 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 tiene la 
\series bold
propiedad S
\series default
 si 
\begin_inset Formula $C(S)>0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
Por ejemplo 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 tiene la propiedad S y 
\begin_inset Formula $C(S)\in[\frac{1}{2n\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}}]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 es de dimensión finita, 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$
\end_inset

 es sumable si y sólo si 
\begin_inset Formula $\sum_{n}x_{n}$
\end_inset

 es absolutamente convergente, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\sup_{n}\sum_{i\in\mathbb{N}_{n}}\Vert x_{i}\Vert<\infty$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de reordenación de Riemann:
\series default
 Si la serie real 
\begin_inset Formula $\sum_{n}x_{n}$
\end_inset

 es convergente pero no absolutamente convergente, para 
\begin_inset Formula $x\in[-\infty,\infty]$
\end_inset

, existe una biyección 
\begin_inset Formula $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $x=\sum_{n=1}^{\infty}x_{\pi(n)}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio de Banach y 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset

 es una sucesión, 
\begin_inset Formula $\sum_{n}x_{n}$
\end_inset

 es 
\series bold
incondicionalmente convergente
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{n}x_{\pi(n)}$
\end_inset

 converge, si y sólo si 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 es sumable, en cuyo caso todas las 
\begin_inset Formula $\sum_{n}x_{\pi(n)}$
\end_inset

 convergen al mismo número.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
,un espacio de Banach 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 es de dimensión finita si y sólo si tiene la propiedad 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, si y sólo si
\begin_inset Formula 
\[
\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall\{z_{j}\}_{j\in\mathbb{N}_{n}}\subseteq X,\left(\sup_{S\subseteq\mathbb{N}_{n}}\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert <\delta\implies\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}\Vert z_{j}\Vert<\varepsilon\right),
\]

\end_inset

si y sólo si toda serie sumable en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es absolutamente convergente.
\begin_inset Note Note
status collapsed

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document