#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \begin_preamble \input{../defs} \usepackage{commath} \end_preamble \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style french \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard David Hilbert (1862–1943) fue un influyente matemático alemán que formuló la teoría de los espacios de Hilbert. En 1900 publicó una lista de 23 problemas que marcarían en buena medida el progreso matemático en el siglo XX, y presentó 10 de ellos en el \emph on \lang english International Congress of Mathematicians \emph default \lang spanish de París de 1900. Fue editor jefe de \emph on \lang ngerman Mathematische Annalen \emph default \lang spanish , una revista matemática muy prestigiosa por casi 150 años, y tuvo discípulos como \lang ngerman Alfréd Haar, Erhard Schmidt, Hugo Steihaus, Hermann Weyl o Ernst Zermelo \lang spanish . \end_layout \begin_layout Standard Salvo que se indique lo contrario, al hablar de espacios vectoriales entenderemo s que lo son sobre \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset o \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset . Dados dos \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacios vectoriales \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , \begin_inset Formula $f:X\to Y$ \end_inset es \series bold lineal conjugada \series default si \begin_inset Formula $\forall a,b\in\mathbb{K},\forall x,y\in X,f(ax+by)=\overline{a}f(x)+\overline{b}f(y)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Espacios de Banach \end_layout \begin_layout Standard Dados un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio vectorial \begin_inset Formula $X$ \end_inset y \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset , llamamos \begin_inset Formula $\text{span}A$ \end_inset al menor subespacio vectorial de \begin_inset Formula $X$ \end_inset que contiene a \begin_inset Formula $A$ \end_inset , y decimos que una \begin_inset Formula $q:X\to\mathbb{R}$ \end_inset es: \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Subaditiva \series default si \begin_inset Formula $\forall x,y\in X,q(x+y)\leq q(x)+q(y)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Positivamente homogénea \series default si \begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K}\cap\mathbb{R}^{+},\forall x\in X,q(ax)=aq(x)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Absolutamente homogénea \series default si \begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K},\forall x\in X,q(ax)=|a|q(x)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Una \series bold seminorma \series default si es subaditiva y absolutamente homogénea. \end_layout \begin_layout Enumerate Una \series bold norma \series default si es una seminorma con \begin_inset Formula $q^{-1}(0)=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Toda norma es definida positiva \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout , pues si \begin_inset Formula $x\in X\setminus0$ \end_inset , \begin_inset Formula $q(x)=|-1|q(x)=q(-x)\neq0$ \end_inset , pero \begin_inset Formula $0=q(0)=q(x-x)\leq q(x)+q(-x)=2q(x)$ \end_inset y \begin_inset Formula $q(x)>0$ \end_inset \end_layout \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold espacio normado \series default es un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio vectorial \begin_inset Formula $X$ \end_inset con una norma \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert:X\to\mathbb{R}$ \end_inset . Todo espacio normado \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un espacio métrico con la distancia \begin_inset Formula $(x,y)\mapsto\Vert x-y\Vert$ \end_inset , y llamamos \begin_inset Formula $B_{X}\coloneqq B[0,1]=\overline{B(0,1)}=\{x\in X\mid\Vert x\Vert\leq1\}$ \end_inset y conjunto de \series bold vectores unitarios \series default a \begin_inset Formula $S_{X}\coloneqq\partial B(0,1)=\{x\in X\mid\Vert x\Vert=1\}$ \end_inset . La norma es uniformemente continua en este espacio métrico \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout , pues para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset , si \begin_inset Formula $x,y\in X$ \end_inset cumplen \begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\varepsilon$ \end_inset , por subaditividad es \begin_inset Formula $\Vert x\Vert\leq\Vert x-y\Vert+\Vert y\Vert$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $\left|\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\right|=\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\leq\Vert x-y\Vert<\varepsilon$ \end_inset \end_layout \end_inset . Un vector es \series bold unitario \series default si tiene norma 1. Un \series bold espacio de Banach \series default es un espacio normado completo. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{samepage} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio normado: \end_layout \begin_layout Enumerate Todo subespacio vectorial de \begin_inset Formula $X$ \end_inset es normado con la norma inducida. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $s:X\times X\to X$ \end_inset y \begin_inset Formula $p:\mathbb{K}\times X\to X$ \end_inset dadas por \begin_inset Formula $s(x,y)\coloneqq x+y$ \end_inset y \begin_inset Formula $p(a,x)\coloneqq ax$ \end_inset son continuas. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Sea \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset abierto, queremos ver que \begin_inset Formula $s^{-1}(A)$ \end_inset y \begin_inset Formula $p^{-1}(A)$ \end_inset son abiertos con la topología producto. Sean \begin_inset Formula $(x,y)\in s^{-1}(A)$ \end_inset y \begin_inset Formula $b\coloneqq s(x,y)$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$ \end_inset , pero entonces, para \begin_inset Formula $(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\times B(y,\frac{\varepsilon}{2})$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \Vert s(x',y')-b\Vert=\Vert\cancel{b}+(x'-x)+(y'-y)\cancel{-b}\Vert\leq\Vert x'-x\Vert+\Vert y'-y\Vert<\varepsilon, \] \end_inset luego \begin_inset Formula $s(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\subseteq A$ \end_inset . Sean \begin_inset Formula $(a,x)\subseteq p^{-1}(A)$ \end_inset y \begin_inset Formula $b\coloneqq p(a,x)$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$ \end_inset , pero entonces para \begin_inset Formula $(a',x')\in B(a,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})\times B(x,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})$ \end_inset , \begin_inset Formula \begin{align*} \Vert p(a',x')-b\Vert & =\Vert((a'-a)+a)((x'-x)+x)-ax\Vert=\\ & =|a'-a|\Vert x'-x\Vert+|a|\Vert x'-x\Vert+|a'-a|\Vert x\Vert<\\ & <\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}\left(\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}+|a|+\Vert x\Vert\right)\leq\varepsilon\frac{1+|a|+\Vert x\Vert}{|a|+\Vert x\Vert+1}=\varepsilon, \end{align*} \end_inset con lo que \begin_inset Formula $p(a',x')\in B(b,\varepsilon)\subseteq A$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $s_{y}:X\to X$ \end_inset con \begin_inset Formula $y\in X$ \end_inset y \begin_inset Formula $p_{a}:X\to X$ \end_inset con \begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}^{*}$ \end_inset dados por \begin_inset Formula $s_{y}(x)\coloneqq x+y$ \end_inset y \begin_inset Formula $p_{a}(x)\coloneqq ax$ \end_inset son homeomorfismos. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $s_{y}$ \end_inset es la composición de \begin_inset Formula $x\mapsto(x,y)$ \end_inset con la suma, por lo que es continua, y análogamente lo es \begin_inset Formula $p_{a}$ \end_inset , pero la inversa de \begin_inset Formula $s_{y}$ \end_inset es \begin_inset Formula $s_{-y}$ \end_inset y la de \begin_inset Formula $p_{a}$ \end_inset es \begin_inset Formula $p_{a^{-1}}$ \end_inset , que también son continuas. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate La suma de un abierto y un subconjunto cualquiera de \begin_inset Formula $X$ \end_inset es abierta en \begin_inset Formula $X$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Sean \begin_inset Formula $G\subseteq X$ \end_inset abierto y \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset . Todo \begin_inset Formula $p\in G+A$ \end_inset es de la forma \begin_inset Formula $p=g+a$ \end_inset con \begin_inset Formula $g\in G$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset , pero entonces \begin_inset Formula $G+a\subseteq G+A$ \end_inset es un entorno de \begin_inset Formula $g+a$ \end_inset por el homeomorfismo \begin_inset Formula $s_{a}$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate La suma de un cerrado y un compacto de \begin_inset Formula $X$ \end_inset es cerrada en \begin_inset Formula $X$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Sean \begin_inset Formula $F$ \end_inset el cerrado y \begin_inset Formula $K$ \end_inset el compacto, tomamos una sucesión convergente arbitraria en \begin_inset Formula $F+K$ \end_inset , \begin_inset Formula $(x_{n}+y_{n})_{n}$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $x_{n}\in F$ \end_inset y cada \begin_inset Formula $y_{n}\in K$ \end_inset , y \begin_inset Formula $z\coloneqq\lim_{n}(x_{n}+y_{n})$ \end_inset . Como \begin_inset Formula $K$ \end_inset es compacto, existe una subsucesión \begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$ \end_inset convergente a un \begin_inset Formula $x\in K$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $(y_{n_{k}})_{k}$ \end_inset converge a \begin_inset Formula $z-x\in F$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $z=(z-x)+x\in F+K$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $Y\subseteq X$ \end_inset es un subespacio vectorial también lo es \begin_inset Formula $\overline{Y}$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Dados \begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ \end_inset y \begin_inset Formula $x,y\in\overline{Y}$ \end_inset , \begin_inset Formula $x$ \end_inset e \begin_inset Formula $y$ \end_inset son límites de sucesiones respectivas \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n},\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $x+y=\lim_{n}(x_{n}+y_{n})\in\overline{Y}$ \end_inset y \begin_inset Formula $ax=\lim_{n}ax_{n}\in\overline{Y}$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Un subespacio vectorial de \begin_inset Formula $X$ \end_inset es propio si y sólo si su interior es vacío. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sea \begin_inset Formula $Y0$ \end_inset pero \begin_inset Formula $T(S)\subseteq Y$ \end_inset no está acotado, existe \begin_inset Formula $\{s_{n}\}_{n}\subseteq S$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $\Vert T(s_{n})\Vert\geq n$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $\Vert T(\frac{s_{n}}{n})\Vert=\frac{1}{n}\Vert T(s_{n})\Vert\geq1$ \end_inset , pero \begin_inset Formula $\Vert s_{n}\Vert0$ \end_inset , sean \begin_inset Formula $x,y\in X$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\frac{\varepsilon}{M}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\Vert T(x)-T(y)\Vert=\Vert T(x-y)\Vert\leq M\Vert x-y\Vert<\varepsilon$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $6\implies1]$ \end_inset Obvio. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)$ \end_inset es un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio vectorial con norma \begin_inset Formula \[ \Vert T\Vert\coloneqq\sup_{x\in B_{X}}\Vert T(x)\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert=\sup_{x\in B(0,1)}\Vert T(x)\Vert, \] \end_inset tomando \begin_inset Formula $\sup\emptyset\coloneqq0$ \end_inset , y si \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es un espacio de Banach, \begin_inset Formula $({\cal L}(X,Y),\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset también lo es. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Si \begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ \end_inset y \begin_inset Formula $S,T:X\to Y$ \end_inset son lineales y continuas, \begin_inset Formula $S+T$ \end_inset y \begin_inset Formula $aS$ \end_inset también son lineales y continuas. La igualdad entre los supremos se debe a que, para \begin_inset Formula $x\in S_{X}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert=\sup_{n\in\mathbb{N}^{*}}(1-\frac{1}{n})\Vert T(x)\Vert=\sup_{n\in\mathbb{N}^{*}}\Vert T((1-\frac{1}{n})x)\Vert\leq\sup_{x\in B(0,1)}\Vert T(x)\Vert$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $x\in B(0,1)$ \end_inset , si \begin_inset Formula $x=0$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert=0\leq\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert$ \end_inset y en otro caso \begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert=\Vert x\Vert\Vert T(\frac{x}{\Vert x\Vert})\Vert\overset{\Vert x\Vert\leq1}{\leq}\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert$ \end_inset , y \begin_inset Formula $B_{X}=S_{X}\cup B(0,1)$ \end_inset . Este supremo está bien definido, y queremos ver que es una norma: \end_layout \begin_layout Enumerate Subaditiva: \begin_inset Formula \begin{multline*} \Vert S+T\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert S(x)+T(x)\Vert\leq\sup_{x\in S_{X}}(\Vert S(x)\Vert+\Vert T(x)\Vert)\leq\\ \leq\sup_{x\in S_{X}}\Vert S(x)\Vert+\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert=\Vert S\Vert+\Vert T\Vert. \end{multline*} \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Positivamente homogénea: \begin_inset Formula \[ \Vert aS\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert aS(x)\Vert=\sup_{x\in S_{X}}|a|\Vert S(x)\Vert=|a|\sup_{x\in S_{X}}\Vert S(x)\Vert=|a|\Vert S\Vert. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Núcleo 0: Si \begin_inset Formula $\Vert S\Vert=0$ \end_inset entonces para \begin_inset Formula $p\in S_{X}$ \end_inset , \begin_inset Formula $0\leq\Vert S(p)\Vert\leq0$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $S(p)=0$ \end_inset , por lo que para \begin_inset Formula $x\in X\setminus0$ \end_inset es \begin_inset Formula $S(x)=S(\frac{x}{\Vert x\Vert}\Vert x\Vert)=\Vert x\Vert S(\frac{x}{\Vert x\Vert})=0$ \end_inset y ya sabemos que \begin_inset Formula $S(0)=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Plain Layout Finalmente, si \begin_inset Formula $\{T_{n}\}_{n}\subseteq{\cal L}(X,Y)$ \end_inset es una sucesión de Cauchy, para \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset , \begin_inset Formula $\{T_{n}(x)\}_{n}$ \end_inset también es de Cauchy, pues si \begin_inset Formula $x=0$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $T_{n}(x)\equiv0$ \end_inset y en otro caso para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Vert T_{n}-T_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{\Vert x\Vert}$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $\Vert T_{n}(x)-T_{m}(x)\Vert=\Vert(T_{n}-T_{m})(x)\Vert<\frac{\varepsilon}{\Vert x\Vert}\Vert x\Vert=\varepsilon$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es completo, \begin_inset Formula $\{T_{n}(x)\}_{n}$ \end_inset converge. Sea entonces \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $T(x)\coloneqq\lim_{n}T_{n}(x)$ \end_inset , tenemos que ver que \begin_inset Formula $T$ \end_inset es lineal y continua y que \begin_inset Formula $(T_{n})_{n}$ \end_inset converge a \begin_inset Formula $T$ \end_inset en \begin_inset Formula $({\cal L}(X,Y),\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset . Para ver que es lineal, sean \begin_inset Formula $x,y\in X$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ \end_inset , \begin_inset Formula \begin{align*} T(x+y) & =\lim_{n}T_{n}(x+y)=\lim_{n}(T_{n}(x)+T_{n}(y))=\lim_{n}T_{n}(x)+\lim_{n}T_{n}(y)=T(x)+T(y),\\ T(ax) & =\lim_{n}T_{n}(ax)=\lim_{n}aT_{n}(x)=a\lim_{n}T_{n}(x)=aT(x). \end{align*} \end_inset Para ver que es continua, como \begin_inset Formula $(T_{n})_{n}$ \end_inset es de Cauchy, \begin_inset Formula $\{\Vert T_{n}\Vert\}_{n}$ \end_inset es acotado por un cierto \begin_inset Formula $M>0$ \end_inset , de modo que para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in B(0,\frac{\varepsilon}{2M})$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert T_{n}(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $n$ \end_inset , pero como \begin_inset Formula $T_{n}(x)\to T(x)$ \end_inset existe \begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Vert T(x)-T_{n}(x)\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert\leq\Vert T_{n}(x)\Vert+\Vert T(x)-T_{n}(x)\Vert<\varepsilon$ \end_inset , por lo que en resumen para \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert x\Vert<\frac{\varepsilon}{2M}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert<\varepsilon$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $T$ \end_inset es continua en 0, por lo que es continua. \end_layout \begin_layout Plain Layout Finalmente, para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que, para \begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert T_{n}-T_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$ \end_inset , por lo que para todo \begin_inset Formula $x\in S_{X}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Vert T_{n}(x)-T_{m}(x)\Vert\leq\Vert T_{n}-T_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$ \end_inset y \begin_inset Formula \[ \Vert T_{n}(x)-T(x)\Vert=\Vert T_{n}(x)-\lim_{m}T_{m}(x)\Vert=\lim_{m}\Vert T_{n}(x)-T_{m}(x)\Vert\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon, \] \end_inset por lo que finalmente \begin_inset Formula $\Vert T_{n}-T\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert T_{n}(x)-T(x)\Vert<\varepsilon$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate La composición de operadores acotados es un operador acotado. \end_layout \begin_layout Enumerate En espacios de dimensión infinita hay operadores no acotados. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset un espacio normado de dimensión infinita, \begin_inset Formula $Y$ \end_inset un espacio normado no nulo, \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$ \end_inset una sucesión de vectores linealmente independientes con norma 1, \begin_inset Formula $y\in Y\setminus0$ \end_inset , \begin_inset Formula $(z_{i})_{i\in I}$ \end_inset tales que \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}(z_{i})_{i}$ \end_inset es una base de \begin_inset Formula $X$ \end_inset y \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset un operador dado por \begin_inset Formula $Tx_{n}\coloneqq ny$ \end_inset y \begin_inset Formula $Tz_{i}\coloneqq0$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert Tx_{n}\Vert=n\Vert y\Vert$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $\{\Vert T(x)\Vert\}_{x\in S_{X}}$ \end_inset no tiene cota superior. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold forma lineal \series default en \begin_inset Formula $X$ \end_inset es una función lineal \begin_inset Formula $X\to\mathbb{K}$ \end_inset . Llamamos \series bold dual algebraico \series default de \begin_inset Formula $X$ \end_inset al conjunto de formas lineales de \begin_inset Formula $X$ \end_inset y \series bold dual topológico \series default de \begin_inset Formula $X$ \end_inset a \begin_inset Formula $X^{*}\coloneqq{\cal L}(X,\mathbb{K})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dados dos espacios normados \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , una función \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset es un \series bold isomorfismo topológico \series default si es un isomorfismo y un homeomorfismo, si y sólo si es lineal, suprayectiva y \begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x\in X,m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Claramente es lineal y suprayectiva, y las acotaciones se obtienen de que \begin_inset Formula $T$ \end_inset y \begin_inset Formula $T^{-1}$ \end_inset son funciones lineales continuas. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Para \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset , \begin_inset Formula $T(x)=0\implies m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert=0\implies\Vert x\Vert=0\implies x=0$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $T$ \end_inset es inyectiva y por tanto biyectiva, luego es un isomorfismo porque la inversa de una aplicación lineal es lineal, y las acotaciones implican que \begin_inset Formula $T$ \end_inset y \begin_inset Formula $T^{-1}$ \end_inset son continuas. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dos espacios normados \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset son \series bold topológicamente isomorfos \series default si existe un isomorfismo topológico entre ellos, y son \series bold isométricamente isomorfos \series default si este se puede tomar \series bold isométrico \series default , que conserve distancias o, equivalentemente, normas. Dos normas \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert,|\cdot|:X\to\mathbb{R}$ \end_inset son \series bold equivalentes \series default si \begin_inset Formula $1_{X}:(X,\Vert\cdot\Vert)\to(X,|\cdot|)$ \end_inset es un isomorfismo topológico, si y sólo si \begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x\in X,m|x|\leq\Vert x\Vert\leq M|x|$ \end_inset , en cuyo caso ambas definen la misma topología. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset son espacios normados topológicamente isomorfos, la completitud de uno equivale a la del otro. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout En efecto, si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es completo, \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset es un isomorfismo topológico e \begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}$ \end_inset es una sucesión de Cauchy, entonces \begin_inset Formula $\{x_{n}\coloneqq T^{-1}(y_{n})\}_{n}$ \end_inset es de Cauchy, pues para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $n,m\geq0$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Vert y_{n}-y_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{\Vert T^{-1}\Vert}$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x_{m}\Vert=\Vert T^{-1}(y_{n}-y_{m})\Vert<\varepsilon$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset es convergente y existe \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset tal que, para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x\Vert\leq\frac{\varepsilon}{\Vert T\Vert}$ \end_inset , pero entonces \begin_inset Formula $\Vert y_{n}-T(x)\Vert<\varepsilon$ \end_inset e \begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$ \end_inset converge a \begin_inset Formula $T(x)\in Y$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para todo espacio normado \begin_inset Formula $X$ \end_inset existen un espacio de Banach \begin_inset Formula $\hat{X}$ \end_inset y un operador isométrico \begin_inset Formula $J:X\to\hat{X}$ \end_inset tales que \begin_inset Formula $J(X)$ \end_inset es denso en \begin_inset Formula $\hat{X}$ \end_inset , y llamamos a \begin_inset Formula $\hat{X}$ \end_inset la \series bold compleción \series default de \begin_inset Formula $X$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \series bold Demostración: \series default Si \begin_inset Formula $A\subseteq X^{\mathbb{N}}$ \end_inset es el conjunto de sucesiones de Cauchy en \begin_inset Formula $X$ \end_inset , definimos la relación de equivalencia en \begin_inset Formula $A$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $x\equiv y\iff\lim_{n}(x_{n}-y_{n})=0$ \end_inset , y llamamos \begin_inset Formula $\hat{X}\coloneqq X/\equiv$ \end_inset con la suma y producto componente a componente y la norma dada por el límite de las normas. Estas operaciones están bien definidas. En efecto, si \begin_inset Formula $x\equiv x'$ \end_inset e \begin_inset Formula $y\equiv y'$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lim_{n}((x_{n}+y_{n})-(x'_{n}+y'_{n}))=\lim_{n}((x_{n}-x'_{n})+(y_{n}-y'_{n}))=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $x+x'\equiv y+y'$ \end_inset , y si además \begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lim_{n}(ax_{n}-ax'_{n})=a\lim_{n}(x_{n}-x'_{n})=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $ax\equiv ax'$ \end_inset . Finalmente, la norma existe porque la sucesión de normas es convergente y por tanto de Cauchy si \begin_inset Formula $\lim_{n}(x_{n}-x'_{n})=0$ \end_inset , para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que si \begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\left|\Vert x_{n}\Vert-\Vert x'_{n}\Vert\right|\leq\Vert x_{n}-x'_{n}\Vert<\varepsilon$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $\Vert x_{n}\Vert-\Vert x'_{n}\Vert\to0$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert x_{n}\Vert=\Vert x'_{n}\Vert$ \end_inset . Es fácil comprobar tomando representantes que se cumplen los axiomas de espacio vectorial con el 0 como la clase de las sucesión constante en 0 y que la norma definida es subaditiva y absolutamente homogénea. Además, \begin_inset Formula \[ \Vert\overline{x}\Vert=0\implies\Vert\overline{x}\Vert=\lim_{n}\Vert x_{n}\Vert=\left\Vert \lim_{n}x_{n}\right\Vert =0\implies(x_{n})_{n}\equiv0\implies\overline{x}=0. \] \end_inset El operador isométrico \begin_inset Formula $J$ \end_inset es el que lleva cada \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset a la clase de la sucesión constante en \begin_inset Formula $x$ \end_inset , que claramente es un operador isométrico. Para ver que \begin_inset Formula $J(X)$ \end_inset es denso en \begin_inset Formula $\hat{X}$ \end_inset , sea \begin_inset Formula $\overline{x}\in X$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lim_{n}J(x_{n})=\overline{x}$ \end_inset , pues \begin_inset Formula $\Vert J(x_{n})-\overline{x}\Vert=\lim_{m}\Vert x_{n}-x_{m}\Vert$ \end_inset pero como \begin_inset Formula $x$ \end_inset es de Cauchy, para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que si \begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$ \end_inset y tomando límites en \begin_inset Formula $m$ \end_inset es \begin_inset Formula $\lim_{m}\Vert x_{n}-x_{m}\Vert\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$ \end_inset . Para ver que \begin_inset Formula $\hat{X}$ \end_inset es completo, sea \begin_inset Formula $\{\overline{x_{n}}\}_{n}\subseteq\hat{X}$ \end_inset de Cauchy, para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset existe \begin_inset Formula $y_{n}\in X$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\Vert\overline{x_{n}}-y_{n}\Vert<\frac{1}{n}$ \end_inset . En efecto, existe \begin_inset Formula $m_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que, para \begin_inset Formula $k,m\geq m_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert x_{nk}-x_{nm}\Vert<\frac{1}{2n}$ \end_inset , luego si \begin_inset Formula $y_{n}\coloneqq x_{nm_{0}}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert x_{nk}-y_{n}\Vert<\frac{1}{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert\overline{x_{n}}-y_{n}\Vert=\lim_{k}\Vert x_{nk}-y_{n}\Vert\leq\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}$ \end_inset . Entonces, para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset , sean \begin_inset Formula $N\in\mathbb{N}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\frac{1}{N}<\frac{\varepsilon}{4}$ \end_inset y \begin_inset Formula $M\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $n,m>M$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Vert\overline{x_{n}}-\overline{x_{m}}\Vert<\frac{\varepsilon}{3}$ \end_inset , para \begin_inset Formula $n,m>\max\{N,M\}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \Vert y_{n}-y_{m}\Vert\leq\Vert y_{n}-\overline{u_{n}}\Vert+\Vert\overline{u_{n}}-\overline{u_{m}}\Vert+\Vert\overline{u_{m}}-y_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon, \] \end_inset luego \begin_inset Formula $y_{n}$ \end_inset es de Cauchy y solo queda que ver que \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset converge a \begin_inset Formula $L\coloneqq\overline{(y_{n})_{n}}$ \end_inset , pero por construcción es \begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert y_{n}-L\Vert=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert\overline{x_{n}}-y_{n}\Vert\leq\lim_{n}\frac{1}{n}=0$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert\overline{x_{n}}-L\Vert\leq\lim_{n}(\Vert\overline{x_{n}}-y_{n}\Vert+\Vert y_{n}-L\Vert)=0+0=0$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{TS} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dado un espacio topológico \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset y una relación de equivalencia \begin_inset Formula $\sim$ \end_inset en \begin_inset Formula $X$ \end_inset , llamamos \series bold topología cociente \series default en \begin_inset Formula $X/\sim$ \end_inset a \begin_inset Formula $\{V\subseteq(X/\sim)\mid p^{-1}(V)\in{\cal T}\}$ \end_inset , donde \begin_inset Formula $p:X\to X/\sim$ \end_inset es la \series bold proyección canónica \series default [...]. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dado un espacio vectorial \begin_inset Formula $X$ \end_inset con un subespacio \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , llamamos \series bold espacio vectorial cociente \series default \begin_inset Formula $X/Y$ \end_inset al conjunto cociente de \begin_inset Formula $X$ \end_inset bajo la relación de equivalencia \begin_inset Formula $x\equiv y\iff x-y\in Y$ \end_inset entendido como espacio vectorial con las operaciones heredadas de \begin_inset Formula $X$ \end_inset , y llamamos \series bold codimensión \series default de \begin_inset Formula $Y$ \end_inset en \begin_inset Formula $X$ \end_inset a la dimensión de \begin_inset Formula $X/Y$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es normado e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es cerrado en \begin_inset Formula $X$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $X/Y$ \end_inset es un espacio normado con la \series bold norma cociente \series default \begin_inset Formula $\Vert x+Y\Vert\coloneqq\inf_{y\in Y}\Vert x+y\Vert$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Si \begin_inset Formula $x,x'\in X$ \end_inset , para \begin_inset Formula $y,y'\in Y$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \Vert x+y\Vert+\Vert x'+y'\Vert\geq\Vert(x+x')+(y+y')\Vert\geq\inf_{y\in Y}\Vert(x+x')+y\Vert=\Vert\overline{x+x'}\Vert, \] \end_inset por lo que \begin_inset Formula $\Vert\overline{x}\Vert+\Vert\overline{x'}\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert x+y\Vert+\inf_{y'\in Y}\Vert x'+y'\Vert\geq\Vert\overline{x+x'}\Vert$ \end_inset . Para \begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ \end_inset , si \begin_inset Formula $a=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $0\leq\Vert0\overline{x}\Vert=\Vert0\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert y\Vert\leq0$ \end_inset , y en otro caso \begin_inset Formula \[ \Vert a\overline{x}\Vert=\Vert\overline{ax}\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert ax+y\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert ax+ay\Vert=|a|\inf_{y\in Y}\Vert x+y\Vert=|a|\Vert x\Vert. \] \end_inset Finalmente, si \begin_inset Formula $\Vert\overline{x}\Vert=0$ \end_inset , para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset existe \begin_inset Formula $y_{n}\in Y$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert x-y_{n}\Vert<\frac{1}{n}$ \end_inset , pero entonces \begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$ \end_inset converge a \begin_inset Formula $x$ \end_inset en \begin_inset Formula $X$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $x\in Y$ \end_inset por ser \begin_inset Formula $Y$ \end_inset cerrado y \begin_inset Formula $\overline{x}=0$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate La aplicación cociente \begin_inset Formula $X\to X/Y$ \end_inset es lineal, continua y abierta. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Sea \begin_inset Formula $Q$ \end_inset la aplicación, que claramente es lineal. Para \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset y \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset , si \begin_inset Formula $x'\in B(\overline{x},\varepsilon)$ \end_inset \begin_inset Formula $\Vert\overline{x}-\overline{x}'\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert x-x'+y\Vert\leq\Vert x-x'\Vert<\varepsilon$ \end_inset . Para ver que es abierta, para \begin_inset Formula $x_{0}\in X$ \end_inset y \begin_inset Formula $\delta>0$ \end_inset , \begin_inset Formula $\overline{x}\in Q(B(x_{0},\delta))$ \end_inset si y sólo si existe \begin_inset Formula $x'\equiv x$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert x'-x_{0}\Vert<\delta$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\Vert\overline{x}-\overline{x}_{0}\Vert<\delta$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\overline{x}\in B(\overline{x_{0}},\delta)$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate La norma cociente genera la topología cociente. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Dado \begin_inset Formula $V\subseteq X/Y$ \end_inset , si \begin_inset Formula $V$ \end_inset es abierto \begin_inset Formula $Q^{-1}(V)$ \end_inset también por continuidad, y si \begin_inset Formula $Q^{-1}(V)$ \end_inset es abierto, \begin_inset Formula $V$ \end_inset también por ser \begin_inset Formula $Q$ \end_inset abierta. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach también lo es \begin_inset Formula $X/Y$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Sea \begin_inset Formula $\{\overline{x_{n}}\}_{n}\subseteq X/Y$ \end_inset una sucesión con \begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert\overline{x_{n}}\Vert$ \end_inset convergente, tomando \begin_inset Formula $y_{n}\in\overline{x_{n}}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert y_{n}\Vert\leq\Vert\overline{x_{n}}\Vert+2^{-n}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert y_{n}\Vert$ \end_inset converge, y como \begin_inset Formula $X$ \end_inset es completa también lo hace \begin_inset Formula $\sum_{n}y_{n}$ \end_inset converge, y por continuidad de \begin_inset Formula $Q$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sum_{n}\overline{x_{n}}=\sum_{n}Q(y_{n})=Q(\sum_{n}y_{n})$ \end_inset converge. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset un espacio normado e \begin_inset Formula $Y,Z\leq X$ \end_inset , \begin_inset Formula $X$ \end_inset es la \series bold suma directa topológica \series default de \begin_inset Formula $Y$ \end_inset y \begin_inset Formula $Z$ \end_inset si \begin_inset Formula $X=Y\oplus Z$ \end_inset y las proyecciones canónicas \begin_inset Formula $y+z\mapsto y$ \end_inset e \begin_inset Formula $y+z\mapsto z$ \end_inset para \begin_inset Formula $y\in Y$ \end_inset y \begin_inset Formula $z\in Z$ \end_inset son continuas, si y sólo si \begin_inset Formula $s:Y\times Z\to X$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $s(y,z)\coloneqq y+z$ \end_inset es un isomorfismo topológico, en cuyo caso \begin_inset Formula $Z$ \end_inset es un \series bold complementario topológico \series default de \begin_inset Formula $Y$ \end_inset respecto de \begin_inset Formula $X$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Es claramente un isomorfismo, es continua por serlo la suma y \begin_inset Formula $s^{-1}$ \end_inset también por serlo las proyecciones. \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Que \begin_inset Formula $s$ \end_inset sea biyectiva implica que \begin_inset Formula $X=Y\oplus Z$ \end_inset . Además \begin_inset Formula $y+z\overset{s^{-1}}{\mapsto}(y,z)\overset{p}{\mapsto}y$ \end_inset es continua, y análogamente lo es la otra proyección. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Espacios normados de dimensión finita \end_layout \begin_layout Standard \series bold Desigualdad de Hölder: \series default Dados \begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}>0$ \end_inset , \begin_inset Formula $p>1$ \end_inset y \begin_inset Formula $q>1$ \end_inset con \begin_inset Formula $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \sum_{k}a_{k}b_{k}\leq\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k}b_{k}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}. \] \end_inset \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \series bold Demostración: \series default Para \begin_inset Formula $n=0$ \end_inset es obvio. La exponencial es convexa, por lo que si \begin_inset Formula $a,b>0$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ ab=\text{e}^{\log ab}=\text{e}^{\frac{1}{p}\log a^{p}+\frac{1}{q}\log b^{q}}\leq\frac{1}{p}\text{e}^{\log a^{p}}+\frac{1}{q}\text{e}^{\log b^{q}}=\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}, \] \end_inset y si \begin_inset Formula $A\coloneqq\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$ \end_inset y \begin_inset Formula $B\coloneqq\left(\sum_{k}b_{k}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}$ \end_inset , haciendo \begin_inset Formula $a\coloneqq\frac{a_{k}}{A}$ \end_inset y \begin_inset Formula $b\coloneqq\frac{b_{k}}{B}$ \end_inset y sumando, \begin_inset Formula \[ \frac{\sum_{k}a_{k}b_{k}}{AB}=\sum_{k}\frac{a_{k}}{A}\frac{b_{k}}{B}\leq\frac{1}{p}\left(\sum_{k}\frac{a_{k}^{p}}{A^{p}}\right)+\frac{1}{q}\left(\sum_{k}\frac{b_{k}^{q}}{B^{q}}\right)=1. \] \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard La \series bold desigualdad de Schwarz \series default es la desigualdad de Hölder con \begin_inset Formula $p=2$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Desigualdad de Minkowski: \series default Para \begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}\geq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $p\geq1$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \left(\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}. \] \end_inset \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \series bold Demostración: \series default Si \begin_inset Formula $p=1$ \end_inset es obvio. Si \begin_inset Formula $p>1$ \end_inset , sea \begin_inset Formula $q\coloneqq\frac{1}{1-\frac{1}{p}}$ \end_inset , se tiene \begin_inset Formula $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ \end_inset y \begin_inset Formula $(p-1)\frac{q}{p}=1$ \end_inset , y por la desigualdad de Hölder, \begin_inset Formula \begin{align*} \alpha & \coloneqq\sum_{k}(a_{k}+b_{k})^{p}=\sum_{k}a_{k}(a_{k}+b_{k})^{p-1}+\sum_{k}b_{k}(a_{k}+b_{k})^{p-1}\leq\\ & \leq\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k}(a_{k}+b_{k})^{q(p-1)}\right)^{\frac{1}{q}}+\left(\sum_{k}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k}(a_{k}+b_{k})^{q(p-1)}\right)^{\frac{1}{q}}=\\ & =\left(\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right)\left(\sum_{k}(a_{k}+b_{k})^{p}\right)^{\frac{1}{q}}=\alpha^{\frac{1}{q}}\left(\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right), \end{align*} \end_inset y dividiendo entre \begin_inset Formula $\alpha^{\frac{1}{q}}$ \end_inset se obtiene el resultado. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{samepage} \end_layout \end_inset Para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset definimos los espacios normados: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\ell_{n}^{p}\coloneqq(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert_{p})$ \end_inset para \begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$ \end_inset , donde \begin_inset Formula \[ \Vert x\Vert_{p}\coloneqq\left(\sum_{k\in\mathbb{N}_{n}}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}. \] \end_inset \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{p}$ \end_inset es absolutamente homogénea y sólo vale 0 en el 0, y la desigualdad triangular se sigue de la de Minkowski usando que \begin_inset Formula $|a_{k}+b_{k}|\leq|a_{k}|+|b_{k}|$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\ell_{n}^{\infty}\coloneqq(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert_{p})$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{\infty}\coloneqq\sup_{k=1}^{n}|x_{k}|$ \end_inset . \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$ \end_inset hereda las propiedades de norma de \begin_inset Formula $|\cdot|$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{samepage} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio normado de dimensión finita \begin_inset Formula $n$ \end_inset con base \begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n})$ \end_inset , \begin_inset Formula $T:\ell_{n}^{1}\to X$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $T(a_{1},\dots,a_{n})\coloneqq a_{1}e_{1}+\dots+a_{n}e_{n}$ \end_inset es un isomorfismo topológico. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout \series bold Demostración: \series default Claramente \begin_inset Formula $T$ \end_inset es un isomorfismo algebraico. Para \begin_inset Formula $a\in\ell_{n}^{1}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \Vert T(a)\Vert=\left\Vert \sum_{k}a_{k}e_{k}\right\Vert \leq\sum_{k}|a_{k}|\sup_{k}\{\Vert e_{k}\Vert\}=\sup_{k}\{\Vert e_{k}\Vert\}\Vert(a_{1},\dots,a_{n})\Vert_{1}. \] \end_inset Para la otra cota, \begin_inset Formula $S_{\ell_{n}^{1}}$ \end_inset es compacto y \begin_inset Formula $f:S_{\ell_{n}^{1}}\to\mathbb{R}$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $f(x)\coloneqq\Vert T(x)\Vert$ \end_inset es continua y sin ceros ( \begin_inset Formula $f(0)=0\implies T(x)=0\implies x=0$ \end_inset ), por lo que \begin_inset Formula $\beta\coloneqq\min\text{Im}f>0$ \end_inset y para \begin_inset Formula $a\in\ell_{n}^{1}\setminus0$ \end_inset es \begin_inset Formula \[ \beta\leq f\left(\frac{a}{\Vert a\Vert}\right)=\left\Vert T\left(\frac{a}{\Vert a\Vert}\right)\right\Vert =\frac{\Vert T(a)\Vert}{\Vert a\Vert}\implies\beta\Vert a\Vert\leq\Vert T(a)\Vert. \] \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Así: \end_layout \begin_layout Enumerate Todos los espacios normados de igual dimensión finta son topológicamente isomorfos. \end_layout \begin_layout Enumerate Todas las normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes. \end_layout \begin_layout Enumerate Toda norma en \begin_inset Formula $\mathbb{K}^{n}$ \end_inset genera la topología producto. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Las bolas de \begin_inset Formula $\ell_{n}^{\infty}$ \end_inset son rectángulos y toda norma de \begin_inset Formula $\mathbb{K}^{n}$ \end_inset genera la misma topología. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Todo espacio de dimensión finita es de Banach. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Lo es \begin_inset Formula $\ell_{n}^{\infty}$ \end_inset por tener topología producto. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Todo subespacio de dimensión finita de un espacio normado es cerrado. \end_layout \begin_layout Enumerate Todo operador entre espacios normados con dominio de dimensión finita es continuo. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Por isomorfismo podemos suponer que el dominio es \begin_inset Formula $\ell_{n}^{1}$ \end_inset . Sea entonces \begin_inset Formula $T:\ell_{n}^{1}\to Y$ \end_inset el operador y \begin_inset Formula $a_{i}\coloneqq T(e_{i})$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sup_{x\in S_{\ell_{n}^{1}}}\Vert T(x)\Vert=\sup_{\{x\in\mathbb{K}^{n}\mid\sum_{i}x_{i}=1\}}\left\Vert \sum_{i}x_{i}a_{i}\right\Vert =\sup_{i=1}^{n}a_{i}<\infty$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Bolzano-Weierstrass: \series default En espacio normados de dimensión finita, los conjuntos cerrados y acotados son compactos, pues esto ocurre en \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout El teorema se suele enunciar como que toda sucesión en un cerrado acotado posee una subsucesión convergente, pero esto es la compacidad por sucesiones. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Lema de Riesz: \series default Dados un subespacio normado \begin_inset Formula $X$ \end_inset , un subespacio cerrado \begin_inset Formula $Y\subsetneq X$ \end_inset y \begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset unitario con \begin_inset Formula $d(x,Y)\geq1-\varepsilon$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Sea \begin_inset Formula $x_{0}\in X\setminus Y$ \end_inset , como \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es cerrado, \begin_inset Formula $d\coloneqq d(x_{0},Y)>0$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $d<\frac{d}{1+\varepsilon}$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $y_{0}\in Y$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $d\leq\Vert x_{0}-y_{0}\Vert<\frac{d}{1-\varepsilon}$ \end_inset . Sea entonces \begin_inset Formula $x\coloneqq\frac{x_{0}-y_{0}}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}$ \end_inset , para \begin_inset Formula $y\in Y$ \end_inset es \begin_inset Formula \begin{align*} \Vert x-y\Vert & =\left\Vert \frac{x_{0}-y_{0}}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}-y\right\Vert =\frac{1}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}\left\Vert x_{0}-y_{0}-\Vert x_{0}-y_{0}\Vert y\right\Vert =\\ & =\frac{\left\Vert x_{0}-(y_{0}+\Vert x_{0}-y_{0}\Vert y)\right\Vert }{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}\geq\frac{d}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}>1-\varepsilon, \end{align*} \end_inset donde usamos que \begin_inset Formula $y_{0}+\Vert x_{0}-y_{0}\Vert y\in Y$ \end_inset , y entonces \begin_inset Formula $d(x,Y)\geq1-\varepsilon$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio normado de dimensión infinita, existen una sucesión \begin_inset Formula $(M_{n})_{n}$ \end_inset de subespacios de \begin_inset Formula $X$ \end_inset de dimensión finita con cada \begin_inset Formula $M_{n}\subseteq M_{n+1}$ \end_inset y una sucesión de vectores unitarios \begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq X$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $y_{n}\in M_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $d(M_{n},y_{n+1})\geq\frac{1}{2}$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $x_{n}\in M_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\ensuremath{d(M_{n},x_{n+1})\geq\frac{1}{2}}$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Tomamos \begin_inset Formula $x_{1}\in X$ \end_inset unitario y por inducción, para \begin_inset Formula $n\geq1$ \end_inset , \begin_inset Formula $M_{n}\coloneqq\text{span}\{x_{1},\dots,x_{n}\}\neq X$ \end_inset por ser \begin_inset Formula $X$ \end_inset de dimensión infinita, luego por el lema de Riesz existe \begin_inset Formula $x_{n+1}\in X$ \end_inset unitario con \begin_inset Formula $d(x_{n+1},M_{n})\geq\frac{1}{2}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{samepage} \end_layout \end_inset \series bold Teorema de Riesz: \series default Un espacio normado \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de dimensión finita si y sólo si todo cerrado y acotado de \begin_inset Formula $X$ \end_inset es compacto, si y sólo si \begin_inset Formula $B_{X}$ \end_inset es compacta. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset Visto. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset Obvio. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $3\implies1]$ \end_inset Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset tuviera dimensión infinita, habría una sucesión \begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\in S_{X}\subseteq B_{X}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert y_{n}-y_{m}\Vert\geq\frac{1}{2}$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $n\neq m$ \end_inset y por tanto no hay puntos de acumulación. \begin_inset Formula $\#$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{samepage} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dado un espacio normado \begin_inset Formula $X$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $Y\leq X$ \end_inset es cerrado y \begin_inset Formula $Z\leq X$ \end_inset tiene dimensión finita, \begin_inset Formula $Y+Z\leq X$ \end_inset es cerrado. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Si \begin_inset Formula $Q:X\to\frac{X}{Y}$ \end_inset es la función cociente, \begin_inset Formula $Q(Z)$ \end_inset es de dimensión finita y por tanto cerrado, y por continuidad \begin_inset Formula $Q^{-1}(Q(Z))=Y+Z$ \end_inset es cerrado. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Sean \begin_inset Formula $Y$ \end_inset un espacio normado y \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset una aplicación lineal con imagen de dimensión finita, \begin_inset Formula $T$ \end_inset es continua si y sólo si \begin_inset Formula $\ker T$ \end_inset es cerrado. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Formula $0\leq T(X)$ \end_inset es cerrado y por tanto \begin_inset Formula $T^{-1}(0)$ \end_inset también. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sean \begin_inset Formula $Q:X\to\frac{X}{\ker T}$ \end_inset la función cociente e \begin_inset Formula $\iota:T(X)\hookrightarrow Y$ \end_inset la inclusión, ambas continuas, existe un isomorfismo \begin_inset Formula $J:\frac{X}{\ker T}\to T(X)$ \end_inset con \begin_inset Formula $T=\iota\circ J\circ Q$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $T(X)$ \end_inset es de dimensión finita, \begin_inset Formula $J$ \end_inset es un isomorfismo topológico, luego \begin_inset Formula $J$ \end_inset es continua y también lo es \begin_inset Formula $T$ \end_inset . \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach e \begin_inset Formula $Y\leq X$ \end_inset tiene codimensión finita, todo complementario algebraico \begin_inset Formula $Z$ \end_inset de \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es un complementario topológico. \end_layout \begin_layout Section Ejemplos de espacios de Banach \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{TEM} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $D\subseteq X$ \end_inset es \series bold denso \series default en \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset si \begin_inset Formula $\overline{D}=X$ \end_inset , si y sólo si cualquier abierto no vacío corta a \begin_inset Formula $D$ \end_inset . \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset es \series bold separable \series default si admite un subconjunto denso y numerable. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{FVV2} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \series bold soporte \series default de una función \begin_inset Formula $g:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ \end_inset a \begin_inset Formula $\text{sop}(g)\coloneqq\overline{\{g\neq0\}}$ \end_inset [...]. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $S\neq\emptyset$ \end_inset , definimos \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{\infty}:\mathbb{K}^{S}\to[0,+\infty]$ \end_inset como \begin_inset Formula $\Vert f\Vert_{\infty}\coloneqq\sup_{s\in S}|f(s)|$ \end_inset y llamamos \series bold espacio de las funciones acotadas \series default en \begin_inset Formula $S$ \end_inset al espacio de Banach \begin_inset Formula $\ell^{\infty}(S)\coloneqq(\{f\in\mathbb{K}^{S}\mid\Vert f\Vert_{\infty}<\infty\},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \paragraph_spacing single Si además \begin_inset Formula $S$ \end_inset es un espacio topológico: \end_layout \begin_layout Enumerate El espacio \begin_inset Formula $C_{b}(S)$ \end_inset de funciones \begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$ \end_inset continuas y acotadas es un subespacio cerrado de \begin_inset Formula $\ell^{\infty}(S)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Una función \begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$ \end_inset \series bold se anula en el infinito \series default si \begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists K\subseteq S\text{ compacto}:\Vert f|_{S\setminus K}\Vert_{\infty}<\varepsilon$ \end_inset . El espacio \begin_inset Formula $C_{0}(S)$ \end_inset de funciones \begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$ \end_inset continuas que se anulan en el infinito es un subespacio cerrado de \begin_inset Formula $C_{b}(S)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $S$ \end_inset es localmente compacto y Hausdorff, el espacio \begin_inset Formula $C_{c}(S)$ \end_inset de funciones \begin_inset Formula $S\to\mathbb{K}$ \end_inset continuas con soporte compacto es un subespacio denso de \begin_inset Formula $C_{0}(S)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Llamando \begin_inset Formula $\ell^{\infty}\coloneqq\ell^{\infty}(\mathbb{N})$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\ell^{\infty}$ \end_inset es no separable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $c_{0}\coloneqq\{x\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\mid\lim_{n}|x_{n}|=0\}$ \end_inset y \begin_inset Formula $c\coloneqq\{x\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\mid\exists\lim_{n}x_{n}\}$ \end_inset son subespacios cerrados y separables de \begin_inset Formula $\ell^{\infty}$ \end_inset con \begin_inset Formula $c_{0}\subsetneq c\subsetneq\ell^{\infty}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dados un espacio métrico \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset y \begin_inset Formula $x_{0}\in X$ \end_inset , \begin_inset Formula $\phi:(X,d)\to\ell^{\infty}(X)$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $\phi(x)(y)\coloneqq d(x,y)-d(x_{0},y)$ \end_inset es una isometría. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{FVV2} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold álgebra de partes \series default de \begin_inset Formula $\Omega\neq\emptyset$ \end_inset es un conjunto no vacío \begin_inset Formula ${\cal A}\subseteq{\cal P}(\Omega)$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $A\in{\cal A}\implies A^{\complement}\in{\cal A}$ \end_inset y \begin_inset Formula $A,B\in{\cal A}\implies A\cup B\in{\cal A}$ \end_inset . [...] Una \series bold \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra de partes \series default de \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset es un álgebra \begin_inset Formula $\Sigma\subseteq{\cal P}(\Omega)$ \end_inset tal que si \begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n}\subseteq\Sigma$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\in\Sigma$ \end_inset [...]. [...] \end_layout \begin_layout Standard Dada una \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset -álgebra \begin_inset Formula $\Sigma$ \end_inset de partes de \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset , una función \begin_inset Formula $\mu:\Sigma\rightarrow[0,+\infty]$ \end_inset es una \series bold medida \series default [...] sobre \begin_inset Formula $\Sigma$ \end_inset si \begin_inset Formula $\mu(\emptyset)=0$ \end_inset y para toda familia \begin_inset Formula $\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\Sigma$ \end_inset de conjuntos disjuntos [...] \begin_inset Formula $\sigma(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n})=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_{n})$ \end_inset . Si existe [...] \begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$ \end_inset es un \series bold espacio medible \series default . \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold espacio de medida \series default es una terna \begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$ \end_inset donde \begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$ \end_inset es un espacio medible y \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset es una medida sobre este. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dados un espacio de medida \begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $p\geq1$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{p}:\mathbb{K}^{\Omega}\to[0,+\infty]$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ \Vert f\Vert_{p}\coloneqq\left(\int|f(x)|^{p}\dif\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}, \] \end_inset \begin_inset Formula $L^{p}(\Omega)\coloneqq L^{p}(\Omega,\Sigma,\mu)\coloneqq(\{f\in\mathbb{K}^{\Omega}\mid\Vert f\Vert_{p}<\infty\},\Vert\cdot\Vert_{p})$ \end_inset es un espacio de Banach. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset es un abierto de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset con la medida de Lebesgue inducida, \begin_inset Formula $C_{c}(\Omega)$ \end_inset es denso en \begin_inset Formula $L^{p}(\Omega)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $p\geq1$ \end_inset , llamamos \begin_inset Formula $\ell^{p}\coloneqq L^{p}(\mathbb{N})$ \end_inset , y entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\ell^{p}$ \end_inset es separable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate El \series bold espacio de las sucesiones finitamente no nulas \series default , \begin_inset Formula \[ c_{00}\coloneqq\{x\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\mid\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n\geq n_{0},x_{n}=0\}, \] \end_inset es un subespacio denso de \begin_inset Formula $\ell^{p}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $1\leq p0:x=ay$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{K}$ \end_inset y \begin_inset Formula $x,y,z\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula $\langle x,ay+bz\rangle=\overline{a}\langle x,y\rangle+\overline{b}\langle x,z\rangle$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}+2\text{Re}\langle x,y\rangle$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard \begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\overline{\langle x,y\rangle}+\langle y,y\rangle$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard \series bold Identidades de polarización: \series default Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio prehilbertiano y \begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert x-\text{i}y\Vert^{2})$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset se define sobre \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de von Neumann: \series default Un espacio normado \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset admite un producto escalar \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ \end_inset en \begin_inset Formula $X$ \end_inset con \begin_inset Formula $\langle x,x\rangle\equiv\Vert x\Vert^{2}$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset verifica la \series bold ley del paralelogramo: \series default \begin_inset Formula \[ \forall x,y\in H,\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}). \] \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset En general \begin_inset Formula $\langle x,y+z\rangle=\overline{\langle y+z,x\rangle}=\overline{\langle y,x\rangle}+\overline{\langle z,x\rangle}=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle$ \end_inset , de donde \begin_inset Formula \begin{multline*} \Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=\\ =\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle+\langle x,x\rangle-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}). \end{multline*} \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Definimos \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ \end_inset según la identidad de polarización, y queremos ver que es un producto escalar cuya norma es la inicial. Se tiene \begin_inset Formula \begin{align*} \langle x,x\rangle & =\frac{1}{4}\left(\Vert2x\Vert^{2}-\Vert x-x\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+\text{i}x\Vert^{2}-\text{i}\Vert x-\text{i}x\Vert^{2}\right)=\\ & =\frac{1}{4}\left(4\Vert x\Vert^{2}+\text{i}|1+\text{i}|^{2}\Vert x\Vert^{2}-\text{i}|1-\text{i}|^{2}\Vert x\Vert^{2}\right)=\Vert x\Vert^{2}, \end{align*} \end_inset y \begin_inset Formula \begin{align*} 4\langle x,y\rangle & =\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert x-\text{i}y\Vert^{2}\\ & =\Vert y+x\Vert^{2}-\Vert y-x\Vert^{2}+\text{i}\Vert y-\text{i}x\Vert-\text{i}\Vert y+\text{i}x\Vert^{2}=4\overline{\langle y,x\rangle}\\ & =\Vert-x-y\Vert^{2}-\Vert-x+y\Vert^{2}+\text{i}\Vert-x-\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert-x+\text{i}y\Vert^{2}=-4\langle-x,y\rangle\\ & =\Vert\text{i}x+\text{i}y\Vert^{2}-\Vert\text{i}x-\text{i}y\Vert^{2}+\text{i}\Vert\text{i}x-y\Vert^{2}-\text{i}\Vert\text{i}x+y\Vert^{2}=4\frac{\langle\text{i}x,y\rangle}{\text{i}}. \end{align*} \end_inset Para ver que \begin_inset Formula $\langle x+z,y\rangle=\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle$ \end_inset , \begin_inset Formula \begin{multline*} \Vert x+z+y\Vert^{2}-\Vert x+z-y\Vert^{2}=\left\Vert \left(x+\frac{y}{2}\right)+\left(z+\frac{y}{2}\right)\right\Vert ^{2}-\left\Vert \left(x+\frac{y}{2}\right)-\left(z+\frac{y}{2}\right)\right\Vert ^{2}=\\ =2\left\Vert x+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}+2\left\Vert z+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}\cancel{-\Vert x-z\Vert^{2}}-2\left\Vert x-\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-2\left\Vert z-\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}\cancel{+\Vert x-z\Vert^{2}}, \end{multline*} \end_inset de donde \begin_inset Formula \begin{eqnarray*} 4\langle x+z,y\rangle & = & \Vert x+z+y\Vert^{2}-\Vert x+z-y\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+z+\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert x+z-\text{i}y\Vert^{2}\\ & = & 2\left(\left\Vert x+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert z+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert z-\frac{y}{2}\right\Vert \right)\\ & & +2\text{i}\left(\left\Vert x+\text{i}\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert z+\text{i}\frac{z}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-\text{i}\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert z-\text{i}\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}\right)\\ & = & 8\left\langle x,\frac{y}{2}\right\rangle +8\left\langle z,\frac{y}{2}\right\rangle , \end{eqnarray*} \end_inset y por tanto \begin_inset Formula \[ \langle x+z,y\rangle=2\left\langle x,\frac{y}{2}\right\rangle +2\left\langle z,\frac{y}{2}\right\rangle =\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle, \] \end_inset donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad con \begin_inset Formula $z=0$ \end_inset o \begin_inset Formula $x=0$ \end_inset . Usando esto y que \begin_inset Formula $\langle-x,y\rangle$ \end_inset es fácil ver que \begin_inset Formula $\langle ax,y\rangle=a\langle x,y\rangle$ \end_inset para \begin_inset Formula $a\in\mathbb{Q}$ \end_inset ; para \begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$ \end_inset se usa la continuidad de la norma y por tanto del producto escalar, y para \begin_inset Formula $a\in\mathbb{C}$ \end_inset se usa \begin_inset Formula $\langle\text{i}x,y\rangle=\text{i}\langle x,y\rangle$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $(\ell^{\infty},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset y \begin_inset Formula $({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{1})$ \end_inset son espacios normados no prehilbertianos. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dos espacios prehilbertianos \begin_inset Formula $(H_{1},\langle\cdot,\cdot\rangle_{1})$ \end_inset y \begin_inset Formula $(H_{2},\langle\cdot,\cdot\rangle_{2})$ \end_inset son \series bold equivalentes \series default si existe un isomorfismo algebraico \begin_inset Formula $T:H_{1}\to H_{2}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle T(x),T(y)\rangle_{2}$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $x,y\in H_{1}$ \end_inset , si y sólo si existe un isomorfismo isométrico entre los espacios normados. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio prehilbertiano, \begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset son \series bold ortogonales \series default , \begin_inset Formula $x\bot y$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=0$ \end_inset . Decimos que \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset es \series bold ortogonal \series default a \begin_inset Formula $M\subseteq H$ \end_inset , \begin_inset Formula $x\bot M$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\forall y\in M,x\bot y$ \end_inset , y llamamos \begin_inset Formula $M^{\bot}\coloneqq\{x\in H:x\bot M\}$ \end_inset . Una familia \begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq H$ \end_inset es \series bold ortogonal \series default si \begin_inset Formula $\forall i,j\in I,(i\neq j\implies x_{i}\bot x_{j})$ \end_inset , y es \series bold ortonormal \series default si además \begin_inset Formula $\forall i,\Vert x_{i}\Vert=1$ \end_inset . Entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Teorema de Pitágoras: \series default Si \begin_inset Formula $x\bot y$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in I}$ \end_inset es una familia ortogonal de elementos no nulos, es una familia linealmente independiente. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $M\subseteq H$ \end_inset , \begin_inset Formula $M^{\bot}$ \end_inset es un subespacio cerrado de \begin_inset Formula $H$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Lema de Gram-Schmidt: \series default Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset prehilbertiano, \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq H$ \end_inset una familia contable linealmente independiente y \begin_inset Formula $(u_{n})_{n}$ \end_inset e \begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$ \end_inset dadas por \begin_inset Formula $u_{n}\coloneqq\frac{y_{n}}{\Vert y_{n}\Vert}$ \end_inset , \begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq x_{0}$ \end_inset y para \begin_inset Formula $n\geq1$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ y_{n}\coloneqq x_{n}-\sum_{j0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $n_{0}$ \end_inset tal que si \begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Vert y_{n}\Vert^{2}<\alpha^{2}+\varepsilon$ \end_inset , y por la ley del paralelogramo es \begin_inset Formula \[ \left\Vert \frac{y_{n}-y_{m}}{2}\right\Vert ^{2}=\frac{1}{2}(\Vert y_{n}\Vert^{2}+\Vert y_{m}\Vert^{2})-\left\Vert \frac{y_{n}+y_{m}}{2}\right\Vert ^{2}\leq\frac{1}{2}(\alpha^{2}+\varepsilon+\alpha^{2}+\varepsilon)-\alpha^{2}=\varepsilon, \] \end_inset pues por convexidad \begin_inset Formula $\frac{y_{n}+y_{m}}{2}\in S$ \end_inset y por tanto su norma es mayor o igual a \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset . Para la unicidad, si \begin_inset Formula $y,z\in C$ \end_inset cumplen \begin_inset Formula $\Vert y\Vert=\Vert z\Vert=\alpha$ \end_inset , por un argumento como el anterior, \begin_inset Formula \[ \left\Vert \frac{y-z}{2}\right\Vert ^{2}=\frac{1}{2}(\Vert y\Vert^{2}+\Vert z\Vert^{2})-\left\Vert \frac{y+z}{2}\right\Vert ^{2}\leq\frac{1}{2}(\alpha^{2}+\alpha^{2})-\alpha^{2}=0. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , si \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es un subespacio de un espacio prehilbertiano \begin_inset Formula $H$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $y\in Y$ \end_inset es de mejor aproximación de \begin_inset Formula $x$ \end_inset a \begin_inset Formula $Y$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $x-y\bot Y$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Para \begin_inset Formula $z\in Y$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ \end_inset , como \begin_inset Formula $y-az\in Y$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \Vert x-y\Vert^{2}\leq\Vert x-y+az\Vert^{2}=\Vert x-y\Vert^{2}+2\text{Re}(a\langle z,x-y\rangle)+|a|^{2}\Vert z\Vert^{2}, \] \end_inset luego \begin_inset Formula $0\leq2\text{Re}(a\langle z,x-y\rangle)+|a|^{2}\Vert z\Vert^{2}$ \end_inset y, haciendo \begin_inset Formula $a=t\langle x-y,z\rangle$ \end_inset con \begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ \end_inset , \begin_inset Formula $0\leq2t|\langle x-y,z\rangle|^{2}+t^{2}|\langle x-y,z\rangle|^{2}\Vert z\Vert^{2}$ \end_inset . Si hubiera \begin_inset Formula $z\in Y$ \end_inset con \begin_inset Formula $\langle x-y,z\rangle\neq0$ \end_inset , \begin_inset Formula $0\leq2t+t^{2}\Vert z\Vert^{2}$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ \end_inset , pero si \begin_inset Formula $\Vert z\Vert^{2}=0$ \end_inset , esto es negativo cuando \begin_inset Formula $t<0$ \end_inset , y si \begin_inset Formula $\Vert z\Vert^{2}>0$ \end_inset , es negativo al menos cuando \begin_inset Formula $t=-\frac{1}{\Vert z\Vert^{2}}\#$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $x-y\bot z$ \end_inset y \begin_inset Formula $x-y\bot Y$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Para \begin_inset Formula $z\in Y$ \end_inset , por el teorema de Pitágoras, \begin_inset Formula \[ \Vert x-z\Vert^{2}=\Vert x-y+y-z\Vert^{2}=\Vert x-y\Vert^{2}+\Vert y-z\Vert^{2}\geq\Vert x-y\Vert^{2}. \] \end_inset \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate Si existe una mejor aproximación de \begin_inset Formula $x$ \end_inset a \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , es única. \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $y,z\in Y$ \end_inset de mejor aproximación, como \begin_inset Formula $x-y,x-z\in Y^{\bot}$ \end_inset , su diferencia \begin_inset Formula $y-z\in Y^{\bot}\cap Y$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\langle y-z,y-z\rangle=0$ \end_inset e \begin_inset Formula $y=z$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es completo, hay vector de mejor aproximación. \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Por el teorema anterior (los subespacios son convexos). \end_layout \end_deeper \begin_layout Section Determinante de Gram \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset prehilbertiano y \begin_inset Formula $M\leq H$ \end_inset de dimensión finita con base ortonormal \begin_inset Formula $(e_{i})_{i}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset existe un único vector de aproximación de \begin_inset Formula $x$ \end_inset a \begin_inset Formula $M$ \end_inset dado por \begin_inset Formula \[ \sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $d(x,M)^{2}=\Vert x\Vert^{2}-\sum_{i}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \series bold determinante de Gram \series default de \begin_inset Formula $(x_{i})_{i=1}^{n}$ \end_inset a \begin_inset Formula \[ G(x_{1},\dots,G_{n})\coloneqq\det(\langle x_{j},x_{i}\rangle)_{1\leq i\leq n}^{1\leq j\leq n}. \] \end_inset Como \series bold teorema \series default , si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es prehilbertiano, \begin_inset Formula $M\leq H$ \end_inset de dimensión finita con base \begin_inset Formula $(b_{i})_{i}$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , el vector de mejor aproximación de \begin_inset Formula $x$ \end_inset a \begin_inset Formula $M$ \end_inset es \begin_inset Formula \[ \frac{-1}{G(b_{1},\dots,b_{n})}\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle & \langle x_{2},x_{1}\rangle & \cdots & \langle x_{n},x_{1}\rangle & \langle x,x_{1}\rangle\\ \langle x_{1},x_{2}\rangle & \langle x_{2},x_{2}\rangle & \cdots & \langle x_{n},x_{2}\rangle & \langle x,x_{2}\rangle\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \langle x_{1},x_{n}\rangle & \langle x_{2},x_{n}\rangle & \cdots & \langle x_{n},x_{n}\rangle & \langle x,x_{n}\rangle\\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} & 0 \end{vmatrix}, \] \end_inset y \begin_inset Formula \[ d(x,M)=\sqrt{\frac{G(x_{1},\dots,x_{n},x)}{G(x_{1},\dots,x_{n})}}. \] \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Algunas aplicaciones: \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Resolución de sistemas sobre-dimensionados por mínimos cuadrados. \series default Tenemos un fenómeno experimental que se puede modelar como una función lineal \begin_inset Formula $y(x)=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}$ \end_inset , pero no conocemos los \begin_inset Formula $a_{i}$ \end_inset . Hacemos \begin_inset Formula $m$ \end_inset experimentos fijando un \begin_inset Formula $x_{i}$ \end_inset en cada uno y midiendo \begin_inset Formula $y_{i}\coloneqq y(x_{i})$ \end_inset para plantear un sistema de \begin_inset Formula $m$ \end_inset ecuaciones. Solo hacen falta \begin_inset Formula $n$ \end_inset experimentos cuidando que los \begin_inset Formula $x_{i}$ \end_inset sean linealmente independientes, pero en general conviene hacer más, \begin_inset Formula $m>n$ \end_inset . Como las mediciones son aproximadas, el sistema puede ser incompatible, por lo que se eligen los \begin_inset Formula $a_{i}\in\mathbb{R}$ \end_inset de forma que se minimice \begin_inset Formula \[ \sum_{i\in\mathbb{N}_{m}}\left(y_{i}-\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}a_{j}x_{ij}\right)^{2}=\left\Vert y-\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}a_{j}X_{j}\right\Vert ^{2}, \] \end_inset donde \begin_inset Formula $X_{j}\coloneqq(x_{1j},\dots,x_{mj})$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$ \end_inset son linealmente independientes, sea \begin_inset Formula $M\coloneqq\text{span}\{X_{1},\dots,X_{n}\}<\mathbb{R}^{m}$ \end_inset , buscamos el vector \begin_inset Formula $Z\in M$ \end_inset de mejor aproximación de \begin_inset Formula $y$ \end_inset en \begin_inset Formula $M$ \end_inset que, expresado respecto de la base \begin_inset Formula $(X_{1},\dots,X_{n})$ \end_inset , nos dará el vector \begin_inset Formula $(a_{1},\dots,a_{n})$ \end_inset buscado. \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Ajustes polinómicos por mínimos cuadrados. \series default Queremos modelar un fenómeno experimental como una función polinómica \begin_inset Formula $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ \end_inset , y tenemos \begin_inset Formula $k$ \end_inset observaciones de la forma \begin_inset Formula $f(t_{i})=y_{i}$ \end_inset con \begin_inset Formula $t_{1}<\dots0:\forall x,y\in X,|B(x,y)|\leq M\Vert x\Vert\Vert y\Vert$ \end_inset , y es \series bold fuertemente positiva \series default si \begin_inset Formula $\exists c>0:\forall x\in X,B(x,x)\geq c\Vert x\Vert^{2}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $B$ \end_inset es bilineal o sesquilineal, es acotada si y sólo si es continua, y para todo \begin_inset Formula $x$ \end_inset e \begin_inset Formula $y$ \end_inset es \begin_inset Formula $2B(x,x)+2B(y,y)=B(x+y,x+y)+B(x-y,x-y)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Lax-Milgram: \series default Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset un espacio de Hilbert y \begin_inset Formula $B$ \end_inset una \begin_inset Formula $H$ \end_inset -forma sesquilineal acotada y fuertemente positiva, existe un único isomorfismo de espacios de Hilbert \begin_inset Formula $T:H\to H$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall x,y\in H,B(x,y)=\langle x,T(y)\rangle$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Sea \begin_inset Formula \[ Y\coloneqq\{y\in H\mid\exists z\in H:\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)\}, \] \end_inset \begin_inset Formula $0\in Y$ \end_inset tomando \begin_inset Formula $z=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $z$ \end_inset está unívocamente determinado por \begin_inset Formula $y$ \end_inset , ya que si \begin_inset Formula $\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)=B(\cdot,z')$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $B(\cdot,z-z')=0$ \end_inset y en particular \begin_inset Formula $0=B(z-z',z-z')\geq c\Vert z-z'\Vert^{2}$ \end_inset para cierto \begin_inset Formula $c>0$ \end_inset por ser \begin_inset Formula $B$ \end_inset fuertemente positiva, luego \begin_inset Formula $z=z'$ \end_inset . Como \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset son sesquilineales, \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es un espacio vectorial y \begin_inset Formula $S:Y\to H$ \end_inset que a cada \begin_inset Formula $y$ \end_inset le asocia el \begin_inset Formula $z$ \end_inset con \begin_inset Formula $\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)$ \end_inset es lineal. Entonces, para \begin_inset Formula $y\in S_{Y}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq B(S(y),S(y))=\langle S(y),y\rangle\in\mathbb{R}^{+}, \] \end_inset pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, \begin_inset Formula $\langle S(y),y\rangle^{2}=|\langle S(y),y\rangle|^{2}\leq\Vert S(y)\Vert^{2}\Vert y\Vert^{2}$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $c\Vert S(y)\Vert^{2}\leq\langle S(y),y\rangle\leq\Vert S(y)\Vert\Vert y\Vert=\Vert S(y)\Vert$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert S(y)\Vert\leq\frac{1}{c}$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $S$ \end_inset es continua. Entonces, si \begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$ \end_inset y existe \begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}\eqqcolon y\in H$ \end_inset , por continuidad de \begin_inset Formula $S$ \end_inset y de \begin_inset Formula $B$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \langle x,y\rangle=\lim_{n}\langle x,y_{n}\rangle=\lim_{n}B(x,S(y_{n}))=B(x,S(y)), \] \end_inset luego \begin_inset Formula $y\in Y$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es cerrado. Entonces, si \begin_inset Formula $z\in Y^{\bot}$ \end_inset , como \begin_inset Formula $B(\cdot,z):H\to\mathbb{K}$ \end_inset es continua, por el teorema de Riesz-Fréchet existe \begin_inset Formula $w\in H$ \end_inset con \begin_inset Formula $B(\cdot,z)=\langle\cdot,w\rangle$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $w\in Y$ \end_inset , pero entonces \begin_inset Formula $B(z,z)=\langle z,w\rangle=0$ \end_inset y, por ser \begin_inset Formula $B$ \end_inset fuertemente positiva, \begin_inset Formula $z=0$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $Y^{\bot}=0$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y=H$ \end_inset . Para \begin_inset Formula $z\in H$ \end_inset , como \begin_inset Formula $B(\cdot,z)$ \end_inset es continua, existe \begin_inset Formula $w\in H$ \end_inset con \begin_inset Formula $B(\cdot z)=\langle\cdot,w\rangle$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $z=S(w)$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $S$ \end_inset es suprayectiva. Si \begin_inset Formula $S(y)=0$ \end_inset , para \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=B(x,S(y))=0$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $y=0$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $S$ \end_inset es inyectiva. Por tanto \begin_inset Formula $S$ \end_inset es biyectiva y \begin_inset Formula $T\coloneqq S^{-1}$ \end_inset cumple \begin_inset Formula $\langle x,T(y)\rangle=B(x,y)$ \end_inset . Además, para \begin_inset Formula $y\in S_{H}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert T(y)\Vert^{2}=\langle T(y),T(y)\rangle=B(T(y),y)\leq M\Vert T(y)\Vert\Vert y\Vert=M\Vert T(y)\Vert$ \end_inset , siendo \begin_inset Formula $M$ \end_inset una cota de \begin_inset Formula $B$ \end_inset , de donde \begin_inset Formula $\Vert T\Vert\leq M$ \end_inset y, como \begin_inset Formula $\Vert T^{-1}\Vert=\Vert S\Vert\leq\frac{1}{c}$ \end_inset , \begin_inset Formula $T$ \end_inset es un isomorfismo topológico isométrico. \end_layout \begin_layout Standard En particular, dado un espacio vectorial \begin_inset Formula $H$ \end_inset con dos productos escalares \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{1}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{2}$ \end_inset equivalentes que hacen a \begin_inset Formula $H$ \end_inset completo, existe un isomorfismo \begin_inset Formula $T:H\to H$ \end_inset de espacios de Hilbert con \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle x,T(y)\rangle_{2}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dado un espacio medible \begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$ \end_inset con medidas \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset y \begin_inset Formula $\nu$ \end_inset , \begin_inset Formula $\nu$ \end_inset es \series bold absolutamente continua \series default respecto de \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset si \begin_inset Formula $\forall A\in\Sigma,(\mu(A)=0\implies\nu(A)=0)$ \end_inset , y es \series bold finita \series default si \begin_inset Formula $\nu(\Omega)<\infty$ \end_inset . \series bold Teorema de Radon-Nicodym: \series default Si \begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$ \end_inset es un espacio medible con medidas finitas \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset y \begin_inset Formula $\nu$ \end_inset siendo \begin_inset Formula $\nu$ \end_inset absolutamente continua respecto de \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $g:\Omega\to[0,+\infty]$ \end_inset \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset -integrable tal que \begin_inset Formula \[ \forall A\in\Sigma,\nu(A)=\int_{A}g\dif\mu. \] \end_inset \series bold Demostración: \series default \begin_inset Formula $\sigma\coloneqq\mu+\nu$ \end_inset es una medida finita en \begin_inset Formula $X$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall A\in\Sigma,(\sigma(A)=0\iff\mu(A)=0)$ \end_inset , y la función lineal entre espacios de Hilbert \begin_inset Formula $T:L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)\to\mathbb{R}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ Tu\coloneqq\int_{\Omega}u\dif\mu \] \end_inset está bien definida y es continua porque, si \begin_inset Formula $\Vert u\Vert_{L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)}=1$ \end_inset , \begin_inset Formula \begin{align*} |Tu| & =\left|\int_{\Omega}u\dif\mu\right|\leq\int_{\Omega}|u|\dif\mu\leq\sqrt{\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\mu}+\sqrt{\int_{\Omega}\dif\mu}\leq\\ & \leq\sqrt{\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\mu+\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\nu}+\sqrt{\int_{\Omega}\dif\mu+\int_{\Omega}\dif\nu}=1+\sqrt{\sigma(X)}. \end{align*} \end_inset Por el teorema de representación de Riesz, existe \begin_inset Formula $f\in L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)$ \end_inset tal que, para \begin_inset Formula $u\in L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ Tu=\int_{\Omega}u\dif\mu=\int_{\Omega}uf\dif\sigma, \] \end_inset pero esta igualdad se da para cuando \begin_inset Formula $u=\chi_{A}$ \end_inset para cualquier \begin_inset Formula $A\in{\cal F}$ \end_inset y por linealidad para cualquier función \begin_inset Formula $\Sigma$ \end_inset -medible simple, y por el teorema de convergencia dominada también se da para cualquier función \begin_inset Formula $\Sigma$ \end_inset -medible no negativa en casi todo punto. Además, para \begin_inset Formula $A\in\Sigma$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \mu(A)=\int_{\Omega}\chi_{A}f\dif\sigma=\int_{A}f\dif\sigma, \] \end_inset de modo que \begin_inset Formula $f$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Sigma$ \end_inset -medible y, haciendo \begin_inset Formula $A=\{x\mid f(x)\leq0\}$ \end_inset o \begin_inset Formula $A=\{x\mid f(x)>1\}$ \end_inset , vemos que \begin_inset Formula $f(\omega)\in(0,1]$ \end_inset para casi todo \begin_inset Formula $\omega\in\Omega$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $\frac{1}{g}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\Sigma$ \end_inset -medible no negativa en casi todo punto y, en casi todo punto, \begin_inset Formula $\frac{1}{f}f=1$ \end_inset , con lo que para \begin_inset Formula $A\in\Sigma$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \int_{A}\frac{1}{f}\dif\mu=\int_{A}\dif\sigma\implies\nu(A)=\sigma(A)-\mu(A)=\int_{A}\left(\frac{1}{f}-1\right)\dif\mu\eqqcolon\int_{A}g\dif\mu. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Section Problemas variacionales cuadráticos \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos: \series default Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset -espacio de Hilbert, \begin_inset Formula $B$ \end_inset una \begin_inset Formula $H$ \end_inset -forma bilineal simétrica, acotada y fuertemente positiva, \begin_inset Formula $b$ \end_inset una \begin_inset Formula $H$ \end_inset -forma lineal continua y \begin_inset Formula $F:H\to\mathbb{R}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ F(x)\coloneqq\frac{1}{2}B(x,x)-b(x), \] \end_inset entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $w\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula $F$ \end_inset alcanza su mínimo en \begin_inset Formula $w$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $\forall y\in H,B(w,y)=b(y)$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Fijado \begin_inset Formula $y\in H$ \end_inset , para \begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ \end_inset \begin_inset Formula \begin{align*} F(w+ty) & =\frac{1}{2}B(w+ty,w+ty)-b(w+ty)=\\ & =\frac{1}{2}(B(w,w)+2tB(w,y)+t^{2}B(y,y))-b(w)-tb(y)=\\ & =F(w)+t(B(w,y)-b(y))+\frac{1}{2}t^{2}B(y,y), \end{align*} \end_inset pero por hipótesis \begin_inset Formula $F(w)\leq F(w+ty)$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $\varphi(t)\coloneqq F(w+ty)$ \end_inset tiene un mínimo en \begin_inset Formula $t=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $0=\varphi'(0)=B(w,y)-b(y)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Para \begin_inset Formula $y\in H$ \end_inset y \begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ F(w+ty)=F(w)+\cancel{t(B(w,y)-b(y))}^{=0}+\frac{1}{2}t^{2}B(y,y)\geq F(w). \] \end_inset \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate Existe un único \begin_inset Formula $w\in H$ \end_inset en el que \begin_inset Formula $F$ \end_inset alcanza su mínimo. \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Como \begin_inset Formula $B$ \end_inset es bilineal, simétrica y fuertemente positiva, es un producto escalar sobre \begin_inset Formula $H$ \end_inset , y como existen \begin_inset Formula $c,M>0$ \end_inset con \begin_inset Formula $c\Vert x\Vert^{2}\leq B(x,x)\leq M\Vert x\Vert^{2}$ \end_inset , el producto escalar \begin_inset Formula $B$ \end_inset es equivalente al de \begin_inset Formula $H$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $b$ \end_inset es continua con el producto escalar \begin_inset Formula $B$ \end_inset y por el teorema de Riesz-Fréchet existe un único \begin_inset Formula $w\in H$ \end_inset con \begin_inset Formula $b=B(\cdot,w)=B(w,\cdot)$ \end_inset , que es la condición del primer apartado. \end_layout \end_deeper \begin_layout Section Convolución y aproximación de funciones \end_layout \begin_layout Standard Dado un abierto \begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ \end_inset es \series bold localmente integrable \series default si \begin_inset Formula $|f|$ \end_inset es integrable en todo compacto \begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$ \end_inset . Dadas dos funciones localmente integrables \begin_inset Formula $f,g:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ \end_inset , definimos su \series bold producto de convolución \series default como \begin_inset Formula $(f*g):D\to\mathbb{R}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ (f*g)(a)\coloneqq\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)g(a-x)\dif x, \] \end_inset donde \begin_inset Formula $D\coloneqq\{a\in\mathbb{R}^{n}\mid x\mapsto f(x)g(a-x)\text{ integrable}\}$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $f,g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ \end_inset , \begin_inset Formula $f*g$ \end_inset está definida en todo \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset y es continua y uniformemente acotada con \begin_inset Formula \[ \Vert f*g\Vert_{\infty}\leq\Vert f\Vert_{2}\Vert g\Vert_{2}. \] \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset El producto de convolución es conmutativo, y si \begin_inset Formula $f*g$ \end_inset está definida en casi todo punto, \begin_inset Formula $\text{sop}(f*g)\subseteq\overline{\text{sop}(f)+\text{sop}(g)}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold sucesión de Dirac \series default es una sucesión \begin_inset Formula $(K_{m}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{\geq0})_{m}$ \end_inset de funciones continuas con \begin_inset Formula \[ \int_{\mathbb{R}^{n}}K_{n}=1 \] \end_inset y tal que \begin_inset Formula \[ \forall\varepsilon,\delta>0,\exists n_{0}:\forall n\geq n_{0},\int_{\mathbb{R}^{n}\setminus B(0,\delta)}K_{n}(x)\dif x<\varepsilon. \] \end_inset Por ejemplo, si \begin_inset Formula $K:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ \end_inset es continua, no negativa, con soporte compacto e integral 1, entonces \begin_inset Formula $(x\mapsto m^{n}K(mx))_{m\geq1}$ \end_inset es una sucesión de Dirac. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Las sucesiones de Dirac aproximan la \series bold delta de Dirac \series default , una \begin_inset Quotes cld \end_inset función extendida \begin_inset Quotes crd \end_inset con integral 1 que vale 0 en todo punto salvo en el origen en que el valor es infinito. \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , si \begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ \end_inset es continua y acotada, la sucesión \begin_inset Formula $(f*K_{m})_{m}$ \end_inset tiende uniformemente a \begin_inset Formula $f$ \end_inset sobre subconjuntos compactos de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ \end_inset es localmente integrable y \begin_inset Formula $g\in{\cal D}^{k}(\mathbb{R}^{n})$ \end_inset , \begin_inset Formula $f*g\in{\cal C}^{k}(\mathbb{R}^{n})$ \end_inset y para \begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\sum_{i}\alpha_{i}\leq k$ \end_inset es \begin_inset Formula \[ \frac{\partial^{|\alpha|}(f*g)}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}=f*\left(\frac{\partial^{|\alpha|}g}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\right), \] \end_inset con lo que \begin_inset Formula $f*g$ \end_inset es una regularización de \begin_inset Formula $f$ \end_inset a través de una función suave \begin_inset Formula $g$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , dado un abierto \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula ${\cal D}(G)$ \end_inset es denso en \begin_inset Formula $(C_{c}(G),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset y en \begin_inset Formula $L^{p}(G)$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset abierto y \begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$ \end_inset , si para todo \begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$ \end_inset es \begin_inset Formula \[ \int_{G}f\psi=0 \] \end_inset entonces \begin_inset Formula $f=0$ \end_inset en casi todo punto, y en particular, si \begin_inset Formula $f$ \end_inset es continua, \begin_inset Formula $f=0$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Principio de Dirichlet \end_layout \begin_layout Standard Dado un abierto \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(G)$ \end_inset es \series bold armónica \series default en \begin_inset Formula $G$ \end_inset si \begin_inset Formula $\triangle u\coloneqq\nabla^{2}u=0$ \end_inset en todo punto de \begin_inset Formula $G$ \end_inset . Dada \begin_inset Formula $g\in{\cal C}(S_{\mathbb{C}})$ \end_inset , el \series bold problema de Dirichlet \series default consiste en encontrar \begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(\overline{B_{X}})$ \end_inset armónica con \begin_inset Formula $u|_{S_{\mathbb{C}}}=g$ \end_inset . Para un abierto \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset , llamamos \begin_inset Formula ${\cal C}^{m}(\overline{G})$ \end_inset al conjunto de funciones \begin_inset Formula $u:\overline{G}\to\mathbb{R}$ \end_inset con \begin_inset Formula $u|_{G}\in{\cal C}^{m}(G)$ \end_inset para las que las derivadas parciales de orden \begin_inset Formula $m$ \end_inset de \begin_inset Formula $u$ \end_inset en \begin_inset Formula $G$ \end_inset admiten prolongación continua a \begin_inset Formula $\overline{G}$ \end_inset . Escribimos \begin_inset Formula $\partial_{j}u\coloneqq\frac{\partial u}{\partial j}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{samepage} \end_layout \end_inset Dados un abierto \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset acotado y no vacío, \begin_inset Formula $f:G\to\mathbb{R}$ \end_inset y \begin_inset Formula $g:\partial G\to\mathbb{R}$ \end_inset , el \series bold problema de valores frontera para la ecuación de Poisson \series default consiste en encontrar \begin_inset Formula $u:\overline{G}\to\mathbb{R}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $-\triangle u|_{G}=f$ \end_inset y \begin_inset Formula $u|_{\partial G}=g$ \end_inset , y el \series bold problema generalizado de valores frontera \series default consiste en encontrar \begin_inset Formula $u:\overline{G}\to\mathbb{R}$ \end_inset con \begin_inset Formula $u|_{\partial G}=g$ \end_inset y \begin_inset Formula \[ \forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\frac{\partial v}{\partial x_{j}}\dif x\int_{G}fv. \] \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{samepage} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es un abierto acotado no vacío, \begin_inset Formula $f\in{\cal C}(\overline{G})$ \end_inset y \begin_inset Formula $g\in{\cal C}(\partial G)$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate Una \begin_inset Formula $w\in{\cal C}^{2}(\overline{G})$ \end_inset es solución del problema de valores frontera para la ecuación de Poisson y sólo si lo es del problema generalizado de valores frontera. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $w\in{\cal C}^{2}(\overline{G})$ \end_inset es solución del problema variacional consistente en encontrar el mínimo de \begin_inset Formula $F:\{u\in{\cal C}^{2}(\overline{G})\mid u|_{\partial G}=g\}\to\mathbb{R}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u(x))^{2}\dif x-\int_{G}fu, \] \end_inset entonces es solución de los dos problemas anteriores. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard El \series bold teorema de integración por partes en varias variables \series default afirma que, si \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es un abierto, \begin_inset Formula $u\in{\cal C}^{1}(G)$ \end_inset y \begin_inset Formula $v\in{\cal D}(G)$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \int_{G}u\partial_{j}v=-\int_{G}(\partial_{j}u)v. \] \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $G$ \end_inset es un abierto de \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $u,w\in L^{2}(G)$ \end_inset , \begin_inset Formula $w$ \end_inset es la \series bold derivada generalizada \begin_inset Formula $j$ \end_inset -ésima \series default de \begin_inset Formula $u$ \end_inset , \begin_inset Formula $w=\partial_{j}u$ \end_inset , si \begin_inset Formula \[ \forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}u\partial_{j}v=-\int_{G}wv, \] \end_inset y para \begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$ \end_inset llamamos \begin_inset Formula $D^{\alpha}u\coloneqq\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset abierto, \begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$ \end_inset y \begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$ \end_inset , llamamos \series bold espacio de Sobolev \series default a \begin_inset Formula \[ W^{k,p}(G)\coloneqq\{u\in L^{p}(G)\mid\forall\alpha\in\mathbb{N}^{n},(|\alpha|\leq k\implies\exists D^{\alpha}f\in L^{p}(G))\}. \] \end_inset Escribimos \begin_inset Formula $W^{k}(G)\coloneqq W^{k,2}(G)$ \end_inset , y generalmente consideramos el espacio de Sobolev \begin_inset Formula $W^{1}(G)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es abierto, definimos la relación de equivalencia en \begin_inset Formula $G\to\mathbb{R}$ \end_inset como \begin_inset Formula $f\sim g\iff\{x\in G\mid f(x)\neq g(x)\}\text{ es de medida nula}$ \end_inset , y \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{1,2}:W^{1}(G)/\sim\to\mathbb{R}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ \langle\overline{u},\overline{v}\rangle_{1,2}\coloneqq\int_{G}\left(uv+\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)\right) \] \end_inset es un producto escalar en \begin_inset Formula $W^{1}(G)/\sim$ \end_inset que lo convierte en un espacio de Hilbert. Identificamos \begin_inset Formula $W^{1}(G)$ \end_inset con \begin_inset Formula $W^{1}(G)/\sim$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \begin_inset Formula $H_{0}^{1}(G)$ \end_inset al espacio de Hilbert obtenido como la clausura de \begin_inset Formula ${\cal D}(G)$ \end_inset en \begin_inset Formula $W^{1}(G)$ \end_inset , que en general es un subespacio propio de \begin_inset Formula $W^{1}(G)$ \end_inset pero es igual a \begin_inset Formula $W^{1}(G)$ \end_inset si \begin_inset Formula $G=\mathbb{R}^{n}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es un abierto acotado no vacío y \begin_inset Formula $u\in W^{1}(G)$ \end_inset , \series bold \begin_inset Formula $u$ \end_inset se anula en la frontera de \begin_inset Formula $G$ \end_inset en sentido generalizado \series default , \begin_inset Formula $u=0$ \end_inset en \begin_inset Formula $\partial G$ \end_inset , si \begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $f,g\in W^{1}(G)$ \end_inset , \series bold \begin_inset Formula $f=g$ \end_inset en \begin_inset Formula $\partial G$ \end_inset en sentido generalizado \series default si \begin_inset Formula $f-g\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Desigualdad de Poincaré-Friedrichs: \series default Si \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset es un abierto acotado no vacío, existe \begin_inset Formula $C>0$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ C\int_{G}u^{2}\leq\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}. \] \end_inset \series bold Demostración: \series default Sean \begin_inset Formula $R\coloneqq\prod_{i}[a_{i},b_{i}]$ \end_inset con \begin_inset Formula $G\subseteq R$ \end_inset y \begin_inset Formula $u\in{\cal D}(G)$ \end_inset , y vemos \begin_inset Formula $u$ \end_inset como una función en \begin_inset Formula $R$ \end_inset que se anula fuera de \begin_inset Formula $G$ \end_inset y con valor indefinido en \begin_inset Formula $\partial G$ \end_inset , para \begin_inset Formula $x\in R$ \end_inset , por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, \begin_inset Formula \begin{align*} (u(x))^{2} & =\left(\int_{a_{n}}^{x_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{a_{n}}^{x_{n}}\dif t\right)\left(\int_{a_{n}}^{x_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t\right)\leq\\ & \leq(b_{n}-a_{n})\int_{a_{n}}^{b_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t, \end{align*} \end_inset luego \begin_inset Formula \begin{align*} \int_{G}u^{2} & =\int_{R}u^{2}\leq\int_{a_{1}}^{b_{1}}\cdots\int_{a_{n}}^{b_{n}}(b_{n}-a_{n})\int_{a_{n}}^{b_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t\dif x_{n}\cdots\dif x_{1}=\\ & =(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{a_{1}}^{b_{1}}\cdots\int_{a_{n}}^{b_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t\dif x_{n-1}\cdots\dif x_{1}=\\ & =(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{R}(\partial_{n}u)^{2}\dif x\leq(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{R}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}\dif x=(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}\dif x. \end{align*} \end_inset Para \begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset ,existe una sucesión \begin_inset Formula $\{u_{m}\}_{m}\subseteq{\cal D}(G)$ \end_inset con \begin_inset Formula $\lim_{m}\Vert u-u_{m}\Vert_{1,2}=0$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $\lim_{m}\Vert u-u_{m}\Vert_{2}=\lim_{m}\Vert\partial_{j}u-\partial_{j}u_{m}\Vert_{2}=0$ \end_inset , y tomando límites y usando que la norma \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}\leq\Vert\cdot\Vert_{1,2}$ \end_inset y por tanto es continua en \begin_inset Formula $W^{1}(G)$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ C\int_{G}u^{2}-\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}=C\Vert u\Vert_{2}^{2}-\sum_{j}\Vert\partial_{j}u\Vert_{2}^{2}=\lim_{m}\left(C\Vert u_{m}\Vert_{2}^{2}-\sum_{j}\Vert\partial_{j}u_{m}\Vert_{2}^{2}\right)\leq0. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Principio de Dirichlet: \series default Sean \begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$ \end_inset un abierto acotado no vacío, \begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$ \end_inset y \begin_inset Formula $g\in W^{1}(G)$ \end_inset , \begin_inset Formula $F:\{u\in W^{1}(G)\mid u-g\in H_{0}^{1}(G)\}\to\mathbb{R}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu \] \end_inset alcanza su mínimo en un único punto, que es el único \begin_inset Formula $u\in\text{Dom}f$ \end_inset tal que \begin_inset Formula \[ \forall v\in H_{0}^{1}(G),\int_{G}\sum_{j=1}^{n}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv \] \end_inset y la única solución en \begin_inset Formula $\text{Dom}f$ \end_inset del problema de valores frontera para la ecuación de Poisson \begin_inset Formula $-\nabla^{2}u=f$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Demostración: \series default Para \begin_inset Formula $u,v\in W^{1}(G)$ \end_inset definimos \begin_inset Formula \begin{align*} B(u,v) & \coloneqq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v), & b_{0}(v) & \coloneqq\int_{G}fv, & b(v) & \coloneqq b_{0}(v)-B(v,g). \end{align*} \end_inset \begin_inset Formula $B$ \end_inset es bilineal y simétrica, y es acotada porque \begin_inset Formula \[ |B(u,v)|=\left|\sum_{j}\int_{G}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)\right|\leq\sum_{j}\left|\int_{G}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)\right|\leq\sum_{j}\Vert\partial_{j}u\Vert_{2}\Vert\partial_{j}v\Vert_{2}\leq n\Vert u\Vert_{1,2}\Vert v\Vert_{1,2}. \] \end_inset Por la desigualdad de Poincaré-Friedrichs, existe \begin_inset Formula $C>0$ \end_inset tal que, para todo \begin_inset Formula $v\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ C\int_{G}v^{2}\leq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}v)^{2}, \] \end_inset luego \begin_inset Formula \[ C\Vert v\Vert_{1,2}^{2}=C\left(\int_{G}v^{2}+\sum_{j}(\partial_{j}v)^{2}\right)\leq(1+C)\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}v)^{2}=(1+C)B(v,v) \] \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset es fuertemente positiva. Además, \begin_inset Formula $b_{0}$ \end_inset es lineal y es acotada por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, y como además \begin_inset Formula $B$ \end_inset es bilineal y acotada, \begin_inset Formula $b_{0}$ \end_inset es lineal acotada y se dan las condiciones del teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos. Ahora bien, si \begin_inset Formula $w\coloneqq u-g\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset , \begin_inset Formula \begin{multline*} \frac{1}{2}B(w,w)-b(w)=\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}(u-g))^{2}-\int_{G}f(u-g)+\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}(u-g))(\partial_{j}(g))=\\ =\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}(u-g))(\partial_{j}(u+g))-\int_{G}f(u-g)=\\ =\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu+\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}g)^{2}+\int_{G}fg, \end{multline*} \end_inset luego minimizar \begin_inset Formula $F$ \end_inset equivale a minimizar \begin_inset Formula $\frac{1}{2}B(w,w)-b(w)$ \end_inset , y además \begin_inset Formula \begin{multline*} B(w,v)=b(v)\iff B(u,v)-B(g,v)=b_{0}(v)-B(v,g)\iff B(u,v)=b_{0}(v)\iff\\ \iff\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv. \end{multline*} \end_inset Para la última parte, si \begin_inset Formula $u_{0}$ \end_inset cumple esta última fórmula para todo \begin_inset Formula $v\in H_{0}^{1}(G)$ \end_inset , por integración por partes, \begin_inset Formula \[ 0=\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u_{0})(\partial_{j}v)-\int_{G}fv=-\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}\partial_{j}u_{0})v-\int_{G}fv=-\int_{G}(\nabla^{2}u_{0}+f)v, \] \end_inset con lo que \begin_inset Formula $(\nabla^{2}u_{0}+f)\bot H_{0}^{1}(G)$ \end_inset y, como \begin_inset Formula ${\cal D}(G)\subseteq H_{0}^{1}(G)$ \end_inset es denso en \begin_inset Formula $L^{2}(G)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\nabla^{2}u_{0}+f=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Soluciones débiles \end_layout \begin_layout Standard Dados \begin_inset Formula $k,n\in\mathbb{N}$ \end_inset y \begin_inset Formula $a_{\alpha}\in\mathbb{K}^{n}$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $|\alpha|0$ \end_inset tal que, para \begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert\psi\Vert_{2}\leq C\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $L^{*}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}$ \end_inset , llamando \begin_inset Formula $\psi(x)\coloneqq0$ \end_inset para \begin_inset Formula $x\notin G$ \end_inset , para \begin_inset Formula $x\in G$ \end_inset , como \begin_inset Formula $\text{sop}\psi\subseteq G$ \end_inset es compacto, sea \begin_inset Formula $m\coloneqq\inf_{x\in G}x_{1}$ \end_inset , \begin_inset Formula \begin{align*} \psi(x)^{2} & =\left(\int_{m}^{x_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|\cdot1\dif t\right)\leq\\ & \leq\int_{m}^{x_{1}}\dif t\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\leq d\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}, \end{align*} \end_inset donde \begin_inset Formula $d$ \end_inset es el diámetro de \begin_inset Formula $G$ \end_inset , e integrando de nuevo, \begin_inset Formula \begin{align*} \Vert\psi\Vert_{2}^{2} & =\int_{G}\psi(x)^{2}\dif x\leq d\int_{m}^{x_{1}}\int_{-\infty}^{x_{2}}\cdots\int_{-\infty}^{x_{n}}\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\dif x_{n}\cdots\dif x_{1}\leq\\ & \leq d^{2}\int_{G}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(x)\right|^{2}\dif x=d^{2}\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}^{2}. \end{align*} \end_inset Si \begin_inset Formula $L^{*}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}$ \end_inset para otro \begin_inset Formula $i$ \end_inset , es análogo, y si \begin_inset Formula $L^{*}=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{|\alpha|}$ \end_inset , por inducción, \begin_inset Formula $\Vert\psi\Vert_{2}\leq d^{|\alpha|}\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}$ \end_inset . Para \begin_inset Formula $L$ \end_inset arbitrario basta hacer combinaciones lineales. Visto esto, sean \begin_inset Formula $H_{0}\coloneqq({\cal D}(G),\langle\cdot,\cdot\rangle_{L})$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset su compleción, \begin_inset Formula $L^{*}:H_{0}\to L^{2}(G)$ \end_inset es lineal y continuo y por tanto admite una extensión lineal y continua \begin_inset Formula $\hat{L}^{*}:H\to L^{2}(G)$ \end_inset . Sea ahora \begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$ \end_inset y \begin_inset Formula $l_{0}:H_{0}\to\mathbb{K}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $l_{0}(\psi)\coloneqq\langle\psi,f\rangle_{2}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ |l_{0}(\psi)|=|\langle\psi,f\rangle_{2}|\leq\Vert\psi\Vert_{2}\Vert f\Vert_{2}\leq C\Vert f\Vert_{2}\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}, \] \end_inset donde \begin_inset Formula $C$ \end_inset es tal que \begin_inset Formula $\Vert\psi\Vert_{2}\leq C\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $C$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $l_{0}$ \end_inset es lineal continua por la cota \begin_inset Formula $C\Vert f\Vert_{2}$ \end_inset y se puede extender a una forma lineal y continua \begin_inset Formula $l:H\to\mathbb{K}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert l\Vert\leq C\Vert f\Vert_{2}$ \end_inset . Por el teorema de Riesz, existe un único \begin_inset Formula $\hat{u}\in H$ \end_inset con \begin_inset Formula $l(h)\equiv\langle h,\hat{u}\rangle_{L}$ \end_inset para \begin_inset Formula $h\in H$ \end_inset y además \begin_inset Formula $\Vert\hat{u}\Vert_{H}=\Vert l\Vert_{H}$ \end_inset , y tomando \begin_inset Formula $u\coloneqq\hat{L}^{*}\hat{u}$ \end_inset , \begin_inset Formula $l(h)=\langle\hat{L}^{*}h,\hat{L}^{*}\hat{u}\rangle=\langle\hat{L}^{*}h,u\rangle_{2}$ \end_inset , pero para \begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$ \end_inset , \begin_inset Formula $l(\psi)=\langle\psi,f\rangle_{2}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\hat{L}^{*}(\psi)=L^{*}\psi$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $\langle L^{*}\psi,u\rangle_{2}=l(\psi)=\langle\psi,f\rangle_{2}$ \end_inset , y basta llamar \begin_inset Formula $K(f)\coloneqq u$ \end_inset . Para la continuidad de \begin_inset Formula $K$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \Vert K(f)\Vert_{2}=\Vert u\Vert_{2}=\Vert\hat{L}^{*}\hat{u}\Vert_{2}=\Vert\hat{u}\Vert_{H}=\Vert l\Vert_{H}=\sup_{\Vert\psi\Vert_{H}=\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}=1}|l(\psi)|\leq C\Vert f\Vert_{2}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Section Método de Galerkin \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq\dots\subseteq M_{n}\subseteq\dots$ \end_inset una sucesión de subespacios cerrados de un espacio de Hilbert \begin_inset Formula $H$ \end_inset con unión densa en \begin_inset Formula $H$ \end_inset , \begin_inset Formula $a:H\times H\to\mathbb{R}$ \end_inset bilineal, simétrica, continua y fuertemente positiva, \begin_inset Formula $b:H\to\mathbb{R}$ \end_inset lineal continua, \begin_inset Formula \[ J(x)\coloneqq\frac{1}{2}a(x,x)-b(x) \] \end_inset para \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula $u\in H$ \end_inset con \begin_inset Formula $J(u)$ \end_inset mínimo y, para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula $u_{n}\in M_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $J(u_{n})$ \end_inset mínimo, de modo que \begin_inset Formula $a(x,u_{n})=b(x)$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $x\in M_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $a(x,u)=b(x)$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Teorema de Galerkin-Ritz: \series default \begin_inset Formula $\lim_{n}u_{n}=u$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $x\in M_{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula $a(x,u_{n})=b(x)$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula $a(x,u)=f(x)$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $a(x,u-u_{n})=b(x)-b(x)=0$ \end_inset para \begin_inset Formula $x\in M_{n}$ \end_inset . Pero \begin_inset Formula $a$ \end_inset es un producto escalar equivalente al de \begin_inset Formula $H$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $u-u_{n}\bot M_{n}$ \end_inset y, si \begin_inset Formula $P_{n}:H\to M_{n}$ \end_inset es la proyección ortogonal, \begin_inset Formula $P_{n}(u)=u_{n}$ \end_inset . Por el teorema de la proyección, \begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert=\Vert u-P_{n}(u)\Vert=d(u,M_{n})$ \end_inset , pero por la densidad es \begin_inset Formula $d(u,\bigcup_{n}M_{n})=0$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existen \begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset e \begin_inset Formula $y\in M_{n_{0}}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert u-y\Vert<\varepsilon$ \end_inset , y como la sucesión es creciente, para \begin_inset Formula $n\geq n_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert=d(u,M_{n})\leq d(u,M_{n_{0}})\leq\Vert u-y\Vert<\varepsilon$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $\lim_{n}u_{n}=u$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate Dados \begin_inset Formula $c,d>0$ \end_inset con \begin_inset Formula $a(x,y)\leq d\Vert x\Vert\Vert y\Vert$ \end_inset y \begin_inset Formula $c\Vert x\Vert^{2}\leq a(x,x)$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $x,y\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula $c\Vert u\Vert\leq\Vert b\Vert$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Razón de convergencia: \series default \begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert\leq\frac{d}{c}d(u,M_{n})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Estimación del error: \series default Si \begin_inset Formula $\beta\leq J(x)$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\frac{c}{2}\Vert u-u_{n}\Vert^{2}\leq J(u_{n})-\beta$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard El \series bold método de Galerkin \series default para resolver un problema de esta forma consiste en tomar en el teorema anterior los \begin_inset Formula $M_{n}$ \end_inset de dimensión finita y resolver los sistemas de ecuaciones lineales resultantes, con matriz de coeficientes simétrica y definida positiva de tamaño \begin_inset Formula $\dim M_{n}$ \end_inset . Tomando adecuadamente las bases de los \begin_inset Formula $M_{n}$ \end_inset se puede conseguir que las matrices tengan muchas entradas nulas. \end_layout \begin_layout Section Redes \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold conjunto dirigido \series default es un par \begin_inset Formula $(D,\geq)$ \end_inset formado por un conjunto \begin_inset Formula $D$ \end_inset y una relación \begin_inset Formula $\geq$ \end_inset transitiva reflexiva y tal que \begin_inset Formula $\forall i,j\in D,\exists k\in D:k\geq i,j$ \end_inset . Una \series bold red \series default en un conjunto \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es una función \begin_inset Formula $\phi:D\to Y$ \end_inset donde \begin_inset Formula $(D,\geq)$ \end_inset es un conjunto dirigido, que escribimos como \begin_inset Formula $\phi\eqqcolon\{\omega_{i}\}_{i\in D}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\omega_{i}\coloneqq\phi(i)$ \end_inset . Todo conjunto totalmente ordenado es dirigido, y en particular \begin_inset Formula $(\mathbb{N},\geq)$ \end_inset lo es y así las sucesiones son redes. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio topológico, la red \begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in D}\subseteq X$ \end_inset \series bold converge \series default a \begin_inset Formula $z\in T$ \end_inset (con \series bold convergencia de Moore-Smith \series default ) si \begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(z),\exists i_{0}\in D:\forall i\geq i_{0},x_{i}\in V$ \end_inset , y \begin_inset Formula $s\in X$ \end_inset es \series bold de aglomeración \series default de \begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in D}$ \end_inset si \begin_inset Formula $\forall V\in{\cal E}(s),\forall j\in D,\exists i\geq j:x_{i}\in V$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un espacio normado, una red \begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in D}\subseteq X$ \end_inset es \series bold de Cauchy \series default o satisface la \series bold condición de Cauchy \series default si \begin_inset Formula \[ \forall\varepsilon>0,\exists i_{0}\in D:\forall i,j\geq i_{0},\Vert x_{i}-x_{j}\Vert<\varepsilon. \] \end_inset Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach, toda red de Cauchy es convergente. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold subred \series default de la red \begin_inset Formula $\phi:D\to Y$ \end_inset es una red \begin_inset Formula $\phi\circ\rho:J\to Y$ \end_inset para cierta \begin_inset Formula $\rho:J\to D$ \end_inset que cumple que \begin_inset Formula $\forall i_{0}\in D,\exists j_{0}\in J:\forall j\geq j_{0},\rho(j)\geq i_{0}$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $D$ \end_inset es un conjunto dirigido, \begin_inset Formula $J\subseteq D$ \end_inset es \series bold cofinal \series default en \begin_inset Formula $D$ \end_inset si \begin_inset Formula $\forall i\in D,\exists j\in J:j\geq i$ \end_inset , y entonces, si \begin_inset Formula $(\omega_{i})_{i\in D}$ \end_inset es una red, \begin_inset Formula $(\omega_{i})_{i\in J}$ \end_inset es una subred suya. Si una red converge en un espacio topológico, toda subred suya converge al mismo punto. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $X$ \end_inset un espacio topológico: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Hausdorff si y sólo si toda red \begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in D}\subseteq X$ \end_inset convergente converge a un único \begin_inset Formula $z\in X$ \end_inset , en cuyo caso \begin_inset Formula $z$ \end_inset es el \series bold límite \series default de la red, \begin_inset Formula $\lim_{i\in D}x_{i}=z$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Un \begin_inset Formula $s\in X$ \end_inset es de aglomeración de una red en \begin_inset Formula $X$ \end_inset si y sólo si esta admite una subred convergente a \begin_inset Formula $s$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset es cerrado si y sólo si toda red convergente en \begin_inset Formula $A$ \end_inset tiene límite en \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $s\in X$ \end_inset y \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset , \begin_inset Formula $s\in\overline{A}$ \end_inset si y sólo si es límite de una red en \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es otro espacio topológico, \begin_inset Formula $f:X\to Y$ \end_inset es continua en \begin_inset Formula $a\in Y$ \end_inset si y sólo si lleva redes en \begin_inset Formula $X$ \end_inset convergentes a \begin_inset Formula $a$ \end_inset a redes en \begin_inset Formula $Y$ \end_inset convergentes a \begin_inset Formula $f(a)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset es compacto si y sólo si toda red en \begin_inset Formula $A$ \end_inset posee una subred convergente a un punto de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio métrico, \begin_inset Formula $s\in X$ \end_inset es de aglomeración de una sucesión si y sólo si esta posee una subsucesión convergente a \begin_inset Formula $s$ \end_inset , pero esto no es cierto en espacios topológicos arbitrarios. Sean \begin_inset Formula $X\coloneqq\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ \end_inset y \begin_inset Formula \[ {\cal T}\coloneqq\{\{x\}\}_{x\in X\setminus0}\cup\{V\subseteq X\mid(0,0)\in V\land\exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n\geq n_{0},\{m\in\mathbb{N}\mid(n,m)\notin V\}\text{ es finito}\}, \] \end_inset \begin_inset Formula $(X,{\cal T})$ \end_inset es un espacio de Hausdorff en el que ninguna sucesión converge a \begin_inset Formula $(0,0)$ \end_inset pero la sucesión resultante de enumerar \begin_inset Formula $A$ \end_inset según el proceso diagonal de Cantor tiene a \begin_inset Formula $(0,0)$ \end_inset como punto de aglomeración. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $Y\coloneqq[0,1]^{\mathbb{R}}$ \end_inset con la topología producto y, para \begin_inset Formula $y\in Y$ \end_inset , \begin_inset Formula $\text{sop}(y)\coloneqq\{\gamma\in\mathbb{R}\mid y_{\gamma}\neq0\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $D\coloneqq\{y\in Y\mid\text{sop}(x_{\gamma})_{\gamma\in\mathbb{R}}\text{ contable}\}$ \end_inset es denso en \begin_inset Formula $Y$ \end_inset y cerrado por sucesiones, y de hecho, toda sucesión en \begin_inset Formula $D$ \end_inset tiene una subsucesión convergente a un punto de \begin_inset Formula $D$ \end_inset , pero \begin_inset Formula $D$ \end_inset no es cerrado ni compacto. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Familias sumables \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $I\neq\emptyset$ \end_inset , llamamos \begin_inset Formula ${\cal P}_{0}(I)\coloneqq\{J\subseteq I\mid J\text{ finito}\}$ \end_inset , que es un conjunto dirigido por \begin_inset Formula $\supseteq$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un espacio normado e \begin_inset Formula $I\neq\emptyset$ \end_inset , \begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$ \end_inset es \series bold sumable \series default con \series bold suma \series default \begin_inset Formula $s\in X$ \end_inset si \begin_inset Formula $(\sum_{i\in J}x_{i})_{J\in{\cal P}_{0}(I)}$ \end_inset converge a \begin_inset Formula $s$ \end_inset , y es \series bold absolutamente sumable \series default si \begin_inset Formula $(\Vert x_{i}\Vert)_{i\in I}$ \end_inset es sumable en \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un espacio normado, \begin_inset Formula $I\neq\emptyset$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(\sum_{i\in J}x_{i})_{J\in{\cal P}_{0}(I)}$ \end_inset es de Cauchy si y sólo si \begin_inset Formula \[ \forall\varepsilon>0,\exists J_{0}\in{\cal P}_{0}(I):\forall J\in{\cal P}_{0}(I\setminus J_{0}),\left\Vert \sum_{i\in J}x_{i}\right\Vert <\varepsilon, \] \end_inset y entonces \begin_inset Formula $\{i\in I\mid x_{i}\neq0\}$ \end_inset es contable y \begin_inset Formula $\sup_{J\in{\cal P}_{0}(I)}\left\Vert \sum_{i\in J}x_{i}\right\Vert <\infty$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in I}$ \end_inset es absolutamente sumable si y sólo si \begin_inset Formula $\sup_{J\in{\cal P}_{0}(I)}\sum_{i\in J}\Vert x_{i}\Vert<\infty$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach, toda familia absolutamente sumable es sumable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach si y sólo si toda familia sumable es absolutamente sumable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un espacio de Banach, llamamos \begin_inset Formula \[ C(S)\coloneqq\sup\left\{ C\in[0,1)\;\middle|\;\forall n\in\mathbb{N},\forall z\in X^{n},\exists S\subseteq\mathbb{N}_{n}:C\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}\Vert z_{j}\Vert\leq\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert \right\} , \] \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset en \begin_inset Formula $X$ \end_inset tiene la \series bold propiedad S \series default si \begin_inset Formula $C(S)>0$ \end_inset . Por ejemplo \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$ \end_inset en \begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$ \end_inset tiene la propiedad S y \begin_inset Formula $C(S)\in[\frac{1}{2n\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}}]$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es de dimensión finita y \begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$ \end_inset no es vacía: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in I}$ \end_inset es absolutamente sumable si y sólo si es sumable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $I=(\mathbb{N},\geq)$ \end_inset , \begin_inset Formula $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset es sumable si y sólo si \begin_inset Formula $\sum_{n}x_{n}$ \end_inset es absolutamente convergente, si y sólo si \begin_inset Formula $\sup_{n\in\mathbb{N}}\sum_{i=1}^{n}\Vert x_{i}\Vert<\infty$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de reordenación de Riemann: \series default Si la serie real \begin_inset Formula $\sum_{n}x_{n}$ \end_inset es convergente pero no absolutamente convergente, para \begin_inset Formula $x\in[-\infty,\infty]$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $x=\sum_{n=1}^{\infty}x_{\pi(n)}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio de Banach y \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$ \end_inset es una sucesión, \begin_inset Formula $\sum_{n}x_{n}$ \end_inset es \series bold incondicionalmente convergente \series default si para \begin_inset Formula $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sum_{n}x_{\pi(n)}$ \end_inset converge. Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach, esto ocurre si y sólo si \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset es sumable, en cuyo caso todas las \begin_inset Formula $\sum_{n}x_{\pi(n)}$ \end_inset convergen al mismo número. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default ,un espacio de Banach \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es de dimensión finita si y sólo si tiene la propiedad \begin_inset Formula $S$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula \[ \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall\{z_{j}\}_{j\in\mathbb{N}_{n}}\subseteq X,\left(\sup_{S\subseteq\mathbb{N}_{n}}\left\Vert \sum_{j\in S}z_{j}\right\Vert <\delta\implies\sum_{j\in J}\Vert z_{j}\Vert<\varepsilon\right), \] \end_inset si y sólo si toda serie sumable en \begin_inset Formula $X$ \end_inset es absolutamente convergente. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Bases hilbertiana \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $(H_{i})_{i\in I}$ \end_inset una familia de \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacios de Hilbert, \begin_inset Formula $H_{0}\coloneqq\prod_{i\in I}H_{i}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle:H_{0}\times H_{0}\to[0,+\infty]$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ \langle x,y\rangle\coloneqq\sum_{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle_{H_{i}}, \] \end_inset llamamos \series bold suma directa hilbertiana \series default o \series bold suma \begin_inset Formula $\ell^{2}$ \end_inset \series default de \begin_inset Formula $\{H_{i}\}_{i\in I}$ \end_inset al espacio de Hilbert \begin_inset Formula \[ \bigoplus_{i\in I}H_{i}\coloneqq\ell^{2}((H_{i})_{i\in I})\coloneqq(\{x\in H_{0}\mid\langle x,x\rangle<\infty\},\langle\cdot,\cdot\rangle). \] \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Cada \begin_inset Formula $H_{i}$ \end_inset es isométricamente isomorfo al subespacio de \begin_inset Formula $H$ \end_inset de los vectores con todas las coordenadas nulas salvo la \begin_inset Formula $i$ \end_inset , los \begin_inset Formula $H_{i}$ \end_inset son mutuamente ortogonales en \begin_inset Formula $H$ \end_inset , \begin_inset Formula $H$ \end_inset es la clausura lineal cerrada de los \begin_inset Formula $H_{i}$ \end_inset y cada \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset se puede expresar de forma única como \begin_inset Formula $\sum_{i\in I}x_{i}$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $x_{i}\in H_{i}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Hilbert y \begin_inset Formula $(H_{i})_{i\in I}$ \end_inset es una familia de subespacios cerrados de \begin_inset Formula $H$ \end_inset mutuamente ortogonales con \begin_inset Formula $H=\overline{\text{span}\{H_{i}\}_{i\in I}}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $H$ \end_inset es isométricamente isomorfo a \begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}H_{i}$ \end_inset , e identificamos \begin_inset Formula $H$ \end_inset con \begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}H_{i}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Desigualdad de Bessel: \series default Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset un espacio prehilbertiano y \begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}\subseteq H$ \end_inset una familia ortonormal, para \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}\leq\Vert x\Vert^{2}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para un conjunto \begin_inset Formula $I$ \end_inset arbitrario, llamamos \begin_inset Formula $\ell^{2}(I)\coloneqq\bigoplus_{i\in I}\mathbb{K}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de la base hilbertiana: \series default Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset un espacio de Hilbert y \begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}\subseteq H$ \end_inset una familia ortonormal, \begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}$ \end_inset es ortonormal maximal (por inclusión) si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x\in H,(\forall i\in I,\langle x,e_{i}\rangle=0\implies x=0)$ \end_inset , si y sólo si es un conjunto total, si y sólo si \begin_inset Formula $\hat{}:H\to\ell^{2}(I)$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $\hat{x}\coloneqq(\langle x,e_{i}\rangle)_{i\in I}$ \end_inset es inyectiva, si y sólo si todo \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset admite un \series bold desarrollo de Fourier \series default \begin_inset Formula $x=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x,y\in H,\langle x,y\rangle=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle\overline{\langle y,e_{i}\rangle}$ \end_inset , si y sólo si todo \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset cumple la \series bold identidad de Parseval \series default , \begin_inset Formula $\Vert x\Vert^{2}=\sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}$ \end_inset , y entonces decimos que \begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ \end_inset es una \series bold base hilbertiana \series default de \begin_inset Formula $H$ \end_inset o un \series bold sistema ortonormal completo \series default . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\implies2]$ \end_inset Entonces \begin_inset Formula $x\bot\{e_{i}\}_{i\in I}$ \end_inset , por lo que si \begin_inset Formula $x\neq0$ \end_inset , \begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}\cup\{x\}$ \end_inset sería ortogonal. \begin_inset Formula $\#$ \end_inset \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\iff3]$ \end_inset Sabemos que un \begin_inset Formula $S\subseteq H$ \end_inset es total si y sólo si \begin_inset Formula $S^{\bot}=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\iff4]$ \end_inset Por ser \begin_inset Formula $\hat{}$ \end_inset lineal. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $4\implies5]$ \end_inset \begin_inset Formula $\widehat{\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}}=\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle\hat{e}_{i}=\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}=\hat{x}$ \end_inset , y por inyectividad \begin_inset Formula $x=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $5\implies6]$ \end_inset \begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\sum_{i,j\in I}\langle\langle x,e_{i}\rangle e_{i},\langle y,e_{j}\rangle e_{j}\rangle=\sum_{i,j\in I}\langle x,e_{i}\rangle\overline{\langle y,e_{j}\rangle}\langle e_{i},e_{j}\rangle=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle\overline{\langle y,e_{j}\rangle}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $6\implies7]$ \end_inset Basta tomar \begin_inset Formula $x=y$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $7\implies1]$ \end_inset Si fuera \begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i}\subsetneq M\subseteq H$ \end_inset con \begin_inset Formula $M$ \end_inset ortonormal, para \begin_inset Formula $x\in M\setminus\{e_{i}\}_{i}$ \end_inset , \begin_inset Formula $1=\Vert x\Vert^{2}=\sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}=0\#$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Primer teorema de Riesz-Fischer: \series default Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio prehilbertiano con una familia ortonormal \begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\hat{}:H\to\mathbb{K}^{I}$ \end_inset viene dada por \begin_inset Formula $\hat{x}\coloneqq(\langle x,e_{i}\rangle)_{i\in I}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\hat{}$ \end_inset es lineal y continua con imagen contenida en \begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$ \end_inset e igual a \begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$ \end_inset si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es de Hilbert. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert, todo espacio ortonormal de vectores en \begin_inset Formula $H$ \end_inset se puede completar a una base hilbertiana de \begin_inset Formula $H$ \end_inset , y en particular todo espacio de Hilbert posee una base hilbertiana y es isométricamente isomorfo a un \begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Los espacios de Hilbert \begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\ell^{2}(J)$ \end_inset son topológicamente isomorfos si y sólo si \begin_inset Formula $|I|=|J|$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \series bold dimensión hilbertiana \series default de un espacio de Hilbert al cardinal de cualquier base hilbertiana. \series bold Segundo teorema de Riesz-Fischer: \series default Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es de dimensión infinita, \begin_inset Formula $\dim H=\aleph_{0}\coloneqq|\mathbb{N}|$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $H\cong\ell^{2}$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es separable. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $1\iff2]$ \end_inset Por lo anterior. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $2\implies3]$ \end_inset Visto. \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $3\implies2]$ \end_inset Dado \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq H$ \end_inset denso, como \begin_inset Formula $H$ \end_inset es de dimensión infinita, existe una subsucesión \begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$ \end_inset linealmente independiente de \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\text{span}\{x_{n}\}_{n}=\text{span}\{x_{n_{k}}\}_{k}$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\overline{\text{span}\{x_{n_{k}}\}_{k}}=H$ \end_inset y el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt nos da una base hilbertiana numerable de \begin_inset Formula $H$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Así, si \begin_inset Formula $Z\leq_{\mathbb{K}}\ell^{2}$ \end_inset es cerrado de dimensión infinita, \begin_inset Formula $Z\cong\ell^{2}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Aproximaciones por polinomios \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset es un intervalo cerrado, llamamos \begin_inset Formula ${\cal C}(I)$ \end_inset al conjunto de funciones \begin_inset Formula $I\to\mathbb{R}$ \end_inset continuas en el interior de \begin_inset Formula $I$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Korovkin: \series default Sean \begin_inset Formula $p_{0},p_{1},p_{2}:[a,b]\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset dadas por \begin_inset Formula $p_{k}(t)\coloneqq t^{k}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(P_{n}:{\cal C}([a,b])\to{\cal C}([a,b]))_{n}$ \end_inset una sucesión de funciones lineales positivas ( \begin_inset Formula $\forall f\in{\cal C}([a,b]),(f\geq0\implies P_{n}(f)\geq0)$ \end_inset ) con \begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert P_{n}(p_{k})-p_{k}\Vert_{\infty}=0$ \end_inset para \begin_inset Formula $k\in\{0,1,2\}$ \end_inset , entonces, para \begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert P_{n}(f)-f\Vert_{\infty}=0$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Weierstrass: \series default El conjunto de polinomios en una variable es denso \begin_inset Formula $({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Así, para \begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset , se puede encontrar una sucesión de polinomios que converja uniformemente a \begin_inset Formula $f$ \end_inset . Hacerlo con polinomios de interpolación por nodos prefijados no es una buena estrategia ya que para toda secuencia de nodos de interpolación en \begin_inset Formula $[a,b]$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset para la que los polinomios de interpolación en dichos nodos no converge uniformemente a \begin_inset Formula $f$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset Si se hace con nodos equidistantes se da el fenómeno de Runge. \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Čebyšev: \series default Para \begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset y \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , si \begin_inset Formula $K_{n}\subseteq\mathbb{K}[X]$ \end_inset es el conjunto de polinomio de grado máximo \begin_inset Formula $n$ \end_inset , \begin_inset Formula $p:K_{n}\mapsto\Vert f-p\Vert_{\infty}$ \end_inset tiene un único mínimo \begin_inset Formula $p_{n}$ \end_inset , y \begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$ \end_inset converge uniformemente a \begin_inset Formula $f$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold polinomio trigonométrico real \series default es una función \begin_inset Formula $p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset de la forma \begin_inset Formula \[ p(x)\coloneqq\sum_{n=0}^{m}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)) \] \end_inset para ciertos \begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\in\mathbb{R}$ \end_inset . \series bold Teorema de Weierstrass: \series default Si \begin_inset Formula $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}$ \end_inset es continua con \begin_inset Formula $f(-\pi)=f(\pi)$ \end_inset , para cada \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe un polinomio trigonométrico real \begin_inset Formula $p$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert f-p\Vert_{\infty}<\varepsilon$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}$ \end_inset integrable y \begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}$ \end_inset , llamamos \series bold \begin_inset Formula $r$ \end_inset -ésimo coeficiente de Fourier \series default de \begin_inset Formula $f$ \end_inset a \begin_inset Formula \[ \hat{f}(r)\coloneqq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\text{e}^{-\text{i}rt}\dif t, \] \end_inset y \series bold serie de Fourier \series default de \begin_inset Formula $f$ \end_inset a la serie formal \begin_inset Formula \[ \sum_{r\in\mathbb{Z}}\hat{f}(r)\text{e}^{-\text{i}rt}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}$ \end_inset integrable y \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$ \end_inset , llamando \begin_inset Formula \begin{align*} a_{0} & \coloneqq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f, & a_{n} & \coloneqq\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\dif t, & b_{n} & \coloneqq\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\dif t, \end{align*} \end_inset la \series bold serie de Fourier real \series default de \begin_inset Formula $f$ \end_inset es \begin_inset Formula \[ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos(nt)+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nt). \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , sean \begin_inset Formula $([-\pi,\pi],\Sigma,\mu)$ \end_inset es el espacio de medida usual en \begin_inset Formula $[-\pi,\pi]$ \end_inset , \begin_inset Formula $M_{\mathbb{R}}\coloneqq L_{\mathbb{R}}^{2}([-\pi,\pi],\Sigma,\frac{\mu}{\pi})$ \end_inset y \begin_inset Formula $M_{\mathbb{C}}\coloneqq L_{\mathbb{C}}^{2}([-\pi,\pi],\Sigma,\frac{\mu}{2\pi})$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate El \series bold sistema trigonométrico \series default \begin_inset Formula $(\text{e}^{\text{i}rt})_{r\in\mathbb{Z}}$ \end_inset es una base hilbertiana de \begin_inset Formula $M_{\mathbb{C}}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(\cos(nt))_{n\in\mathbb{N}}\star(\sin(nt))_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ \end_inset es una base hilbertiana de \begin_inset Formula $M_{\mathbb{R}}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $f\in M_{\mathbb{C}}$ \end_inset , \begin_inset Formula $f$ \end_inset coincide con su serie de Fourier en \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $f\in M_{\mathbb{R}}$ \end_inset , \begin_inset Formula $f$ \end_inset coincide con su serie de Fourier real en \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula ${\cal F}:M_{\mathbb{C}}\to\ell^{2}(\mathbb{Z})$ \end_inset que asigna a cada función su familia de coeficientes de Fourier \begin_inset Formula $(\hat{f}(n))_{n\in\mathbb{Z}}$ \end_inset es un isomorfismo de espacios de Hilbert. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold peso \series default en un intervalo cerrado \begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset es una \begin_inset Formula $p\in{\cal C}(I)$ \end_inset estrictamente positiva tal que \begin_inset Formula \[ \forall n\in\mathbb{N},\int_{I}|t|^{n}p(t)\dif t<\infty. \] \end_inset Entonces \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle:{\cal C}(I)\times{\cal C}(I)\to[-\infty,+\infty]$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ \langle f,g\rangle\coloneqq\int_{I}f\overline{g}p \] \end_inset es un producto escalar en \begin_inset Formula $H_{p}\coloneqq\{f\in{\cal C}(I)\mid\langle f,f\rangle<\infty\}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \series bold sucesión de polinomios ortonormales \series default asociada a \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ \end_inset o al peso \begin_inset Formula $p$ \end_inset en \begin_inset Formula $I$ \end_inset a una sucesión \begin_inset Formula $\{P_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq H_{p}$ \end_inset de polinomios con \begin_inset Formula $\text{span}\{1,t,\dots,t^{n}\}=\text{span}\{P_{0},P_{1},\dots,P_{n}\}$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , y entonces, para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $P_{n}$ \end_inset es un polinomio de grado \begin_inset Formula $n$ \end_inset con coeficientes reales. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $P_{n}$ \end_inset es ortogonal en \begin_inset Formula $H_{p}$ \end_inset al subespacio de polinomios de grado menor que \begin_inset Formula $n$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $P_{n}$ \end_inset tiene \begin_inset Formula $n$ \end_inset raíces distintas en \begin_inset Formula $(a,b)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Polinomios de Legendre. \series default \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \begin_inset Formula \begin{align*} I & =[-1,1], & p(t) & =1, & P_{n}(t) & =\frac{\sqrt{\frac{2n+1}{2}}}{2^{n}n!}\od[n]{(t^{2}-1)^{n}}{t}. \end{align*} \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Polinomios de Laguerre. \series default \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \series bold \begin_inset Formula \begin{align*} I & =[0,\infty), & p(t) & =\text{e}^{-t}, & P_{n}(t) & =\frac{\text{e}^{t}}{n!}\od[n]{\text{e}^{-t}t^{n}}{t}. \end{align*} \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Polinomios de Hermite. \series default \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \begin_inset Formula \begin{align*} I & =(-\infty,\infty), & p(t) & =\text{e}^{-t^{2}}, & P_{n}(t) & =\frac{\text{e}^{t^{2}}}{\sqrt[4]{\pi}\sqrt{2^{n}n!}}\od[n]{\text{e}^{-t^{2}}}{t}. \end{align*} \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Polinomios de Čebyšev. \series default \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \begin_inset Formula \begin{align*} I & =[-1,1], & p(t) & =\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}, & P_{n}(t) & =\cos(n\arccos t), \end{align*} \end_inset siendo \begin_inset Formula $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Una sucesión de polinomios ortonormales asociada a un peso \begin_inset Formula $p$ \end_inset en un intervalo compacto es total en \begin_inset Formula $H_{p}$ \end_inset , y en particular los polinomios de Legendre forman una base hilbertiana en \begin_inset Formula $L^{2}([-1,1]).$ \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $p$ \end_inset es un peso en \begin_inset Formula $[a,b]$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\leq t_{1}<\dots0$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \left(z\mapsto\sqrt{\frac{n}{\pi}}R^{-n}z^{n-1}\right)_{n} \] \end_inset es base hilbertiana de \begin_inset Formula $A^{2}(D(0,R))$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \end_body \end_document