#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
Salvo que se indique lo contrario, al hablar de espacios vectoriales entenderemo
s que lo son sobre 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\mathbb{C}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Espacios de Banach
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $\text{span}A$
\end_inset

 al menor subespacio vectorial de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 que contiene a 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, y decimos que una 
\begin_inset Formula $q:X\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Subaditiva
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in X,q(x+y)\leq q(x)+q(y)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Positivamente homogénea
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K}\cap\mathbb{R}^{+},\forall x\in X,q(ax)=aq(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Absolutamente homogénea
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall a\in\mathbb{K},\forall x\in X,q(ax)=|a|q(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Una 
\series bold
seminorma
\series default
 si es subaditiva y absolutamente homogénea.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Una 
\series bold
norma
\series default
 si es una seminorma con 
\begin_inset Formula $q^{-1}(0)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Toda norma es definida positiva
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset

, pues si 
\begin_inset Formula $x\in X\setminus0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q(x)=|-1|q(x)=q(-x)\neq0$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $0=q(0)=q(x-x)\leq q(x)+q(-x)=2q(x)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q(x)>0$
\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
espacio normado
\series default
 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 con una norma 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert:X\to\mathbb{R}$
\end_inset

.
 Todo espacio normado 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 es un espacio métrico con la distancia 
\begin_inset Formula $(x,y)\mapsto\Vert x-y\Vert$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $B_{X}\coloneqq B[0,1]=\overline{B(0,1)}=\{x\in X:\Vert x\Vert\leq1\}$
\end_inset

 y conjunto de 
\series bold
vectores unitarios
\series default
 a 
\begin_inset Formula $S_{X}\coloneqq\partial B(0,1)=\{x\in X:\Vert x\Vert=1\}$
\end_inset

.
 La norma es uniformemente continua en este espacio métrico
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset

, pues para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $x,y\in X$
\end_inset

 cumplen 
\begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, por subaditividad es 
\begin_inset Formula $\Vert x\Vert\leq\Vert x-y\Vert+\Vert y\Vert$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\left|\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\right|=\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\leq\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset

.
 Un vector es 
\series bold
unitario
\series default
 si tiene norma 1.
 Un 
\series bold
espacio de Banach
\series default
 es un espacio normado completo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio normado:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo subespacio vectorial de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es normado con la norma inducida.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $s:X\times X\to X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p:\mathbb{K}\times X\to X$
\end_inset

 dadas por 
\begin_inset Formula $s(x,y)\coloneqq x+y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p(a,x)\coloneqq ax$
\end_inset

 son continuas.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

 abierto, queremos ver que 
\begin_inset Formula $s^{-1}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p^{-1}(A)$
\end_inset

 son abiertos con la topología producto.
 Sean 
\begin_inset Formula $(x,y)\in s^{-1}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\coloneqq s(x,y)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$
\end_inset

, pero entonces, para 
\begin_inset Formula $(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\times B(y,\frac{\varepsilon}{2})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert s(x',y')-b\Vert=\Vert\cancel{b}+(x'-x)+(y'-y)\cancel{-b}\Vert\leq\Vert x'-x\Vert+\Vert y'-y\Vert<\varepsilon,
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $s(x',y')\in B(x,\frac{\varepsilon}{2})\subseteq A$
\end_inset

.
 Sean 
\begin_inset Formula $(a,x)\subseteq p^{-1}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\coloneqq p(a,x)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $B(b,\varepsilon)\subseteq A$
\end_inset

, pero entonces para 
\begin_inset Formula $(a',x')\in B(a,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})\times B(x,\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\Vert p(a',x')-b\Vert & =\Vert((a'-a)+a)((x'-x)+x)-ax\Vert=\\
 & =|a'-a|\Vert x'-x\Vert+|a|\Vert x'-x\Vert+|a'-a|\Vert x\Vert<\\
 & <\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}\left(\frac{\varepsilon}{|a|+\Vert x\Vert+1}+|a|+\Vert x\Vert\right)\leq\varepsilon\frac{1+|a|+\Vert x\Vert}{|a|+\Vert x\Vert+1}=\varepsilon,
\end{align*}

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $p(a',x')\in B(b,\varepsilon)\subseteq A$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $s_{y}:X\to X$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $y\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p_{a}:X\to X$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}^{*}$
\end_inset

 dados por 
\begin_inset Formula $s_{y}(x)\coloneqq x+y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p_{a}(x)\coloneqq ax$
\end_inset

 son homeomorfismos.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $s_{y}$
\end_inset

 es la composición de 
\begin_inset Formula $x\mapsto(x,y)$
\end_inset

 con la suma, por lo que es continua, y análogamente lo es 
\begin_inset Formula $p_{a}$
\end_inset

, pero la inversa de 
\begin_inset Formula $s_{y}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $s_{-y}$
\end_inset

 y la de 
\begin_inset Formula $p_{a}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $p_{a^{-1}}$
\end_inset

, que también son continuas.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
La suma de un abierto y un subconjunto cualquiera de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es abierta en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $G\subseteq X$
\end_inset

 abierto y 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

.
 Todo 
\begin_inset Formula $p\in G+A$
\end_inset

 es de la forma 
\begin_inset Formula $p=g+a$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $g\in G$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $G+a\subseteq G+A$
\end_inset

 es un entorno de 
\begin_inset Formula $g+a$
\end_inset

 por el homeomorfismo 
\begin_inset Formula $s_{a}$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
La suma de un cerrado y un compacto de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es cerrada en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 el cerrado y 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 el compacto, tomamos una sucesión convergente arbitraria en 
\begin_inset Formula $F+K$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(x_{n}+y_{n})_{n}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $x_{n}\in F$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $y_{n}\in K$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $z\coloneqq\lim_{n}(x_{n}+y_{n})$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es compacto, existe una subsucesión 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 convergente a un 
\begin_inset Formula $x\in K$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $(y_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $z-x\in F$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $z=(z-x)+x\in F+K$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $Y\subseteq X$
\end_inset

 es un subespacio vectorial también lo es 
\begin_inset Formula $\overline{Y}$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x,y\in\overline{Y}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 son límites de sucesiones respectivas 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n},\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $x+y=\lim_{n}(x_{n}+y_{n})\in\overline{Y}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $ax=\lim_{n}ax_{n}\in\overline{Y}$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Un subespacio vectorial de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es propio si y sólo si su interior es vacío.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $Y<X$
\end_inset

 un subespacio vectorial propio y 
\begin_inset Formula $p\in X\setminus Y$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(y+\frac{p}{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
\end_inset

 es una sucesión de elementos de 
\begin_inset Formula $X\setminus Y$
\end_inset

 que converge a 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $y\notin\text{int}Y$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\text{int}Y=\emptyset$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

El contrarrecíproco es trivial.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es completo si y sólo si toda sucesión 
\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert y_{n}\Vert$
\end_inset

 convergente cumple que 
\begin_inset Formula $\sum_{n}y_{n}$
\end_inset

 converge a un punto de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert y_{n}\Vert$
\end_inset

 es de Cauchy, pero 
\begin_inset Formula $\Vert y_{m}+\dots+y_{n}\Vert\leq\Vert y_{m}\Vert+\dots+\Vert y_{n}\Vert=\sum_{k=m}^{n}\Vert y_{k}\Vert$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\sum_{n}y_{n}$
\end_inset

 también es de Cauchy en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y por tanto convergente en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 completo.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sea 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset

 una sucesión de Cauchy, existe 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}}\Vert\leq2^{-k}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\sum_{k}\Vert x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}}\Vert$
\end_inset

 es convergente y por tanto también lo es 
\begin_inset Formula $\sum_{k}(x_{n_{k}}-x_{n_{k+1}})$
\end_inset

, que es 
\begin_inset Formula $(x_{n_{0}}-x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 es una subsucesión convergente de 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

, que es de Cauchy, por lo que 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 es convergente.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Todo subespacio vectorial de Banach de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es cerrado en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Toda sucesión de Cauchy en 
\begin_inset Formula $Y\leq X$
\end_inset

 converge a un punto de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $Y=\overline{Y}$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es de Banach, todo subespacio vectorial cerrado es de Banach.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Toda sucesión de Cauchy en 
\begin_inset Formula $Y\leq X$
\end_inset

 es de Cauchy en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y converge en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es cerrado, el límite está en 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Subsection
Operadores continuos
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio normado 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

 es 
\series bold
acotado
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\{\Vert x\Vert\}_{x\in A}$
\end_inset

 está acotado superiormente.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados dos 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacios normados 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, un 
\series bold
operador
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es una función lineal de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, y se llama 
\series bold
acotado
\series default
 si es continuo.
 Llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)$
\end_inset

 al conjunto de operadores acotados de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacios normados:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 es lineal, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es continuo si y sólo si lo es en 0, si y sólo si para 
\begin_inset Formula $S\subseteq X$
\end_inset

 acotado, 
\begin_inset Formula $T(S)\subseteq Y$
\end_inset

 es acotado, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\Vert T(S_{X})\Vert\subseteq Y$
\end_inset

 es acotado, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\exists M\geq0:\forall x\in X,\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es uniformemente continuo.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Probamos el contrarrecíproco.
 Si 
\begin_inset Formula $S\subseteq X$
\end_inset

 está acotado por 
\begin_inset Formula $M>0$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $T(S)\subseteq Y$
\end_inset

 no está acotado, existe 
\begin_inset Formula $\{s_{n}\}_{n}\subseteq S$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $\Vert T(s_{n})\Vert\geq n$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $\Vert T(\frac{s_{n}}{n})\Vert=\frac{1}{n}\Vert T(s_{n})\Vert\geq1$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $\Vert s_{n}\Vert<M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert\frac{s_{n}}{n}\Vert<\frac{M}{n}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $(\frac{s_{n}}{n})_{n}$
\end_inset

 converge a 0 pero 
\begin_inset Formula $T(\frac{s_{n}}{n})$
\end_inset

 no converge a 
\begin_inset Formula $T(0)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies4]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $4\implies5]$
\end_inset

 Sea 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 una cota superior de 
\begin_inset Formula $T(S_{X})$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert T(0)\Vert=\Vert0\Vert=0$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $x\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\left\Vert T\left(\frac{x}{\Vert x\Vert}\Vert x\Vert\right)\right\Vert =\Vert x\Vert\left\Vert T\left(\frac{x}{\Vert x\Vert}\right)\right\Vert \leq M\Vert x\Vert$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $\frac{x}{\Vert x\Vert}\in S_{X}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $5\implies6]$
\end_inset

 Para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $x,y\in X$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert<\frac{\varepsilon}{M}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)-T(y)\Vert=\Vert T(x-y)\Vert\leq M\Vert x-y\Vert<\varepsilon$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $6\implies1]$
\end_inset

 Obvio.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial con norma 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert T\Vert\coloneqq\sup_{x\in B_{X}}\Vert T(x)\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert=\sup_{x\in B(0,1)}\Vert T(x)\Vert,
\]

\end_inset

tomando 
\begin_inset Formula $\sup\emptyset\coloneqq0$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es un espacio de Banach, 
\begin_inset Formula $({\cal L}(X,Y),\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 también lo es.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $S,T:X\to Y$
\end_inset

 son lineales y continuas, 
\begin_inset Formula $S+T$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $aS$
\end_inset

 también son lineales y continuas.
 La igualdad entre los supremos se debe a que, para 
\begin_inset Formula $x\in S_{X}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert=\sup_{n\in\mathbb{N}^{*}}(1-\frac{1}{n})\Vert T(x)\Vert=\sup_{n\in\mathbb{N}^{*}}\Vert T((1-\frac{1}{n})x)\Vert\leq\sup_{x\in B(0,1)}\Vert T(x)\Vert$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $x\in B(0,1)$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert=0\leq\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert$
\end_inset

 y en otro caso 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert=\Vert x\Vert\Vert T(\frac{x}{\Vert x\Vert})\Vert\overset{\Vert x\Vert\leq1}{\leq}\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $B_{X}=S_{X}\cup B(0,1)$
\end_inset

.
 Este supremo está bien definido, y queremos ver que es una norma:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Subaditiva:
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\Vert S+T\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert S(x)+T(x)\Vert\leq\sup_{x\in S_{X}}(\Vert S(x)\Vert+\Vert T(x)\Vert)\leq\\
\leq\sup_{x\in S_{X}}\Vert S(x)\Vert+\sup_{x\in S_{X}}\Vert T(x)\Vert=\Vert S\Vert+\Vert T\Vert.
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Positivamente homogénea:
\begin_inset Formula 
\[
\Vert aS\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert aS(x)\Vert=\sup_{x\in S_{X}}|a|\Vert S(x)\Vert=|a|\sup_{x\in S_{X}}\Vert S(x)\Vert=|a|\Vert S\Vert.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Núcleo 0: Si 
\begin_inset Formula $\Vert S\Vert=0$
\end_inset

 entonces para 
\begin_inset Formula $p\in S_{X}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\leq\Vert S(p)\Vert\leq0$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $S(p)=0$
\end_inset

, por lo que para 
\begin_inset Formula $x\in X\setminus0$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $S(x)=S(\frac{x}{\Vert x\Vert}\Vert x\Vert)=\Vert x\Vert S(\frac{x}{\Vert x\Vert})=0$
\end_inset

 y ya sabemos que 
\begin_inset Formula $S(0)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Finalmente, si 
\begin_inset Formula $\{T_{n}\}_{n}\subseteq{\cal L}(X,Y)$
\end_inset

 es una sucesión de Cauchy, para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{T_{n}(x)\}_{n}$
\end_inset

 también es de Cauchy, pues si 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $T_{n}(x)\equiv0$
\end_inset

 y en otro caso para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}-T_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{\Vert x\Vert}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}(x)-T_{m}(x)\Vert=\Vert(T_{n}-T_{m})(x)\Vert<\frac{\varepsilon}{\Vert x\Vert}\Vert x\Vert=\varepsilon$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es completo, 
\begin_inset Formula $\{T_{n}(x)\}_{n}$
\end_inset

 converge.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $T(x)\coloneqq\lim_{n}T_{n}(x)$
\end_inset

, tenemos que ver que 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es lineal y continua y que 
\begin_inset Formula $(T_{n})_{n}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $({\cal L}(X,Y),\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

.
 Para ver que es lineal, sean 
\begin_inset Formula $x,y\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
T(x+y) & =\lim_{n}T_{n}(x+y)=\lim_{n}(T_{n}(x)+T_{n}(y))=\lim_{n}T_{n}(x)+\lim_{n}T_{n}(y)=T(x)+T(y),\\
T(ax) & =\lim_{n}T_{n}(ax)=\lim_{n}aT_{n}(x)=a\lim_{n}T_{n}(x)=aT(x).
\end{align*}

\end_inset

Para ver que es continua, como 
\begin_inset Formula $(T_{n})_{n}$
\end_inset

 es de Cauchy, 
\begin_inset Formula $\{\Vert T_{n}\Vert\}_{n}$
\end_inset

 es acotado por un cierto 
\begin_inset Formula $M>0$
\end_inset

, de modo que para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in B(0,\frac{\varepsilon}{2M})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $T_{n}(x)\to T(x)$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)-T_{n}(x)\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert\leq\Vert T_{n}(x)\Vert+\Vert T(x)-T_{n}(x)\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, por lo que en resumen para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x\Vert<\frac{\varepsilon}{2M}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert T(x)\Vert<\varepsilon$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es continua en 0, por lo que es continua.
\end_layout

\begin_layout Standard
Finalmente, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}-T_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, por lo que para todo 
\begin_inset Formula $x\in S_{X}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}(x)-T_{m}(x)\Vert\leq\Vert T_{n}-T_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert T_{n}(x)-T(x)\Vert=\Vert T_{n}(x)-\lim_{m}T_{m}(x)\Vert=\lim_{m}\Vert T_{n}(x)-T_{m}(x)\Vert\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon,
\]

\end_inset

 por lo que finalmente 
\begin_inset Formula $\Vert T_{n}-T\Vert=\sup_{x\in S_{X}}\Vert T_{n}(x)-T(x)\Vert<\varepsilon$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
La composición de operadores acotados es un operador acotado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
En espacios de dimensión infinita hay operadores no acotados.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 un espacio normado de dimensión infinita, 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 un espacio normado no nulo, 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset

 una sucesión de vectores linealmente independientes con norma 1, 
\begin_inset Formula $y\in Y\setminus0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(z_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}(z_{i})_{i}$
\end_inset

 es una base de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 un operador dado por 
\begin_inset Formula $Tx_{n}\coloneqq ny$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Tz_{i}\coloneqq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert Tx_{n}\Vert=n\Vert y\Vert$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\{\Vert T(x)\Vert\}_{x\in S_{X}}$
\end_inset

 no tiene cota superior.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Una 
\series bold
forma lineal
\series default
 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es una función lineal 
\begin_inset Formula $X\to\mathbb{K}$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
dual algebraico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 al conjunto de formas lineales de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 y 
\series bold
dual topológico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $X^{*}\coloneqq{\cal L}(X,\mathbb{K})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Subsection
Isomorfismos topológicos
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados dos espacios normados 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, una función 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 es un 
\series bold
isomorfismo topológico
\series default
 si es un isomorfismo y un homeomorfismo, si y sólo si es lineal, suprayectiva
 y 
\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x\in X,m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert\leq M\Vert x\Vert$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Claramente es lineal y suprayectiva, y las acotaciones se obtienen de que
 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $T^{-1}$
\end_inset

 son funciones lineales continuas.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T(x)=0\implies m\Vert x\Vert\leq\Vert T(x)\Vert=0\implies\Vert x\Vert=0\implies x=0$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es inyectiva y por tanto biyectiva, luego es un isomorfismo porque la inversa
 de una aplicación lineal es lineal, y las acotaciones implican que 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $T^{-1}$
\end_inset

 son continuas.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dos espacios normados 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 son 
\series bold
topológicamente isomorfos
\series default
 si existe un isomorfismo topológico entre ellos, y son 
\series bold
isométricamente isomorfos
\series default
 si este se puede tomar 
\series bold
isométrico
\series default
, que conserve distancias o, equivalentemente, normas.
 Dos normas 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert,|\cdot|:X\to\mathbb{R}$
\end_inset

 son 
\series bold
equivalentes
\series default
 si 
\begin_inset Formula $1_{X}:(X,\Vert\cdot\Vert)\to(X,|\cdot|)$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\exists m,M>0:\forall x\in X,m|x|\leq\Vert x\Vert\leq M|x|$
\end_inset

, en cuyo caso ambas definen la misma topología.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 son espacios normados topológicamente isomorfos, la completitud de uno
 equivale a la del otro.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset

En efecto, si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es completo, 
\begin_inset Formula $T:X\to Y$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico e 
\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}$
\end_inset

 es una sucesión de Cauchy, entonces 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\coloneqq T^{-1}(y_{n})\}_{n}$
\end_inset

 es de Cauchy, pues para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m\geq0$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert y_{n}-y_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{\Vert T^{-1}\Vert}$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x_{m}\Vert=\Vert T^{-1}(y_{n}-y_{m})\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 es convergente y existe 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x\Vert\leq\frac{\varepsilon}{\Vert T\Vert}$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $\Vert y_{n}-T(x)\Vert<\varepsilon$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $T(x)\in Y$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Compleción
\end_layout

\begin_layout Standard
Para todo espacio normado 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 existen un espacio de Banach 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

 y un operador isométrico 
\begin_inset Formula $J:X\to\hat{X}$
\end_inset

 tales que 
\begin_inset Formula $J(X)$
\end_inset

 es denso en 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

, y llamamos a 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

 la 
\series bold
compleción
\series default
 de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $A\subseteq X^{\mathbb{N}}$
\end_inset

 es el conjunto de sucesiones de Cauchy en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, definimos la relación de equivalencia en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $x\equiv y\iff\lim_{n}(x_{n}-y_{n})=0$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $\hat{X}\coloneqq X/\equiv$
\end_inset

 con la suma y producto componente a componente y la norma dada por el límite
 de las normas.
 Estas operaciones están bien definidas.
 En efecto, si 
\begin_inset Formula $x\equiv x'$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y\equiv y'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}((x_{n}+y_{n})-(x'_{n}+y'_{n}))=\lim_{n}((x_{n}-x'_{n})+(y_{n}-y'_{n}))=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x+x'\equiv y+y'$
\end_inset

, y si además 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}(ax_{n}-ax'_{n})=a\lim_{n}(x_{n}-x'_{n})=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $ax\equiv ax'$
\end_inset

.
 Finalmente, la norma existe porque la sucesión de normas es convergente
 y por tanto de Cauchy si 
\begin_inset Formula $\lim_{n}(x_{n}-x'_{n})=0$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\left|\Vert x_{n}\Vert-\Vert x'_{n}\Vert\right|\leq\Vert x_{n}-x'_{n}\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}\Vert-\Vert x'_{n}\Vert\to0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}\Vert=\Vert x'_{n}\Vert$
\end_inset

.
 Es fácil comprobar tomando representantes que se cumplen los axiomas de
 espacio vectorial con el 0 como la clase de las sucesión constante en 0
 y que la norma definida es subaditiva y absolutamente homogénea.
 Además, 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert\overline{x}\Vert=0\implies\Vert\overline{x}\Vert=\lim_{n}\Vert x_{n}\Vert=\left\Vert \lim_{n}x_{n}\right\Vert =0\implies(x_{n})_{n}\equiv0\implies\overline{x}=0.
\]

\end_inset

 El operador isométrico 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 es el que lleva cada 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 a la clase de la sucesión constante en 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, que claramente es un operador isométrico.
 Para ver que 
\begin_inset Formula $J(X)$
\end_inset

 es denso en 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $\overline{x}\in X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}J(x_{n})=\overline{x}$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $\Vert J(x_{n})-\overline{x}\Vert=\lim_{m}\Vert x_{n}-x_{m}\Vert$
\end_inset

 pero como 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 es de Cauchy, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n,m\geq n_{0}$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

 y tomando límites en 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\lim_{m}\Vert x_{n}-x_{m}\Vert\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$
\end_inset

.
 Para ver que 
\begin_inset Formula $\hat{X}$
\end_inset

 es completo, sea 
\begin_inset Formula $\{\overline{x}_{n}\}_{n}\subseteq\hat{X}$
\end_inset

 de Cauchy, para 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $N_{k}\in\mathbb{N}$
\end_inset

, que podemos tomar mayor que 
\begin_inset Formula $N_{k-1}$
\end_inset

, tal que para 
\begin_inset Formula $n,m\geq N_{k}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert x_{kn}-x_{km}\Vert<\frac{1}{k}$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $y_{k}\coloneqq x_{kN_{k}}\in X$
\end_inset

.
 Queremos ver que 
\begin_inset Formula $(y_{k})_{k}$
\end_inset

 es de Cauchy y que 
\begin_inset Formula $\overline{x}_{n}\to\overline{y}$
\end_inset

.
 Para lo primero, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $M_{1}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m\geq M_{1}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert x_{n}-x_{m}\Vert=\lim_{k}\Vert x_{nk}-x_{mk}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, luego existe 
\begin_inset Formula $M_{2}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $i\geq M_{2}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert x_{ni}-x_{mi}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $M\coloneqq\max\{M_{1},M_{2}\}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $n,m\geq M$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $n,m\geq M_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $N_{n}\geq n\geq M_{2}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert x_{nN_{n}}-x_{mN_{n}}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert y_{n}-y_{m}\Vert=\Vert x_{nN_{n}}-x_{mN_{m}}\Vert\leq\Vert x_{nN_{n}}-x_{mN_{n}}\Vert+\Vert x_{mN_{n}}-x_{mN_{m}}\Vert<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
\]

\end_inset

Para lo segundo, para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $n,m\geq0$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert y_{n}-y_{m}\Vert<\frac{\varepsilon}{3}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $k\geq n_{0}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\frac{1}{k}<\frac{\varepsilon}{3}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $i\geq N_{k}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert x_{ki}-y_{k}\Vert=\Vert x_{ki}-x_{kN_{k}}\Vert<\frac{1}{k}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert\overline{x}_{k}-\overline{y}\Vert=\lim_{i}\Vert x_{ki}-y_{i}\Vert\leq\lim_{i}(\Vert x_{ki}-y_{k}\Vert+\Vert y_{k}-y_{i}\Vert)\leq\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon
\]

\end_inset

y la completitud queda probada.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Subsection
Espacios cociente
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{reminder}{TS}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio topológico 
\begin_inset Formula $(X,{\cal T})$
\end_inset

 y una relación de equivalencia 
\begin_inset Formula $\sim$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
topología cociente
\series default
 en 
\begin_inset Formula $X/\sim$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $\{V\subseteq(X/\sim):p^{-1}(V)\in{\cal T}\}$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $p:X\to X/\sim$
\end_inset

 es la 
\series bold
proyección canónica
\series default
 [...].
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{reminder}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio vectorial 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 con un subespacio 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
espacio vectorial cociente
\series default
 
\begin_inset Formula $X/Y$
\end_inset

 al conjunto cociente de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 bajo la relación de equivalencia 
\begin_inset Formula $x\equiv y\iff x-y\in Y$
\end_inset

 entendido como espacio vectorial con las operaciones heredadas de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es normado e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es cerrado en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $X/Y$
\end_inset

 es un espacio normado con la 
\series bold
norma cociente
\series default
 
\begin_inset Formula $\Vert x+Y\Vert\coloneqq\inf_{y\in Y}\Vert x+y\Vert$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $x,x'\in X$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $y,y'\in Y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert x+y\Vert+\Vert x'+y'\Vert\geq\Vert(x+x')+(y+y')\Vert\geq\inf_{y\in Y}\Vert(x+x')+y\Vert=\Vert\overline{x+x'}\Vert,
\]

\end_inset

por lo que 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x}\Vert+\Vert\overline{x'}\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert x+y\Vert+\inf_{y'\in Y}\Vert x'+y'\Vert\geq\Vert\overline{x+x'}\Vert$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $a=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\leq\Vert0\overline{x}\Vert=\Vert0\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert y\Vert\leq0$
\end_inset

, y en otro caso 
\begin_inset Formula 
\[
\Vert a\overline{x}\Vert=\Vert\overline{ax}\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert ax+y\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert ax+ay\Vert=|a|\inf_{y\in Y}\Vert x+y\Vert=|a|\Vert x\Vert.
\]

\end_inset

Finalmente, si 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x}\Vert=0$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $y_{n}\in Y$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x-y_{n}\Vert<\frac{1}{n}$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$
\end_inset

 converge a 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x\in Y$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 cerrado y 
\begin_inset Formula $\overline{x}=0$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
La aplicación cociente 
\begin_inset Formula $X\to X/Y$
\end_inset

 es lineal, continua y abierta.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 la aplicación, que claramente es lineal.
 Para 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $x'\in B(\overline{x},\varepsilon)$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x}-\overline{x}'\Vert=\inf_{y\in Y}\Vert x-x'+y\Vert\leq\Vert x-x'\Vert<\varepsilon$
\end_inset

.
 Para ver que es abierta, para 
\begin_inset Formula $x_{0}\in X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\delta>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\overline{x}\in Q(B(x_{0},\delta))$
\end_inset

 si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $x'\equiv x$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x'-x_{0}\Vert<\delta$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\Vert\overline{x}-\overline{x}_{0}\Vert<\delta$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\overline{x}\in B(\overline{x_{0}},\delta)$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
La norma cociente genera la topología cociente.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $V\subseteq X/Y$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 es abierto 
\begin_inset Formula $Q^{-1}(V)$
\end_inset

 también por continuidad, y si 
\begin_inset Formula $Q^{-1}(V)$
\end_inset

 es abierto, 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 también por ser 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 abierta.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es de Banach también lo es 
\begin_inset Formula $X/Y$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $\{\overline{x_{n}}\}_{n}\subseteq X/Y$
\end_inset

 una sucesión con 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert\overline{x_{n}}\Vert$
\end_inset

 convergente, tomando 
\begin_inset Formula $y_{n}\in\overline{x_{n}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert y_{n}\Vert\leq\Vert\overline{x_{n}}\Vert+2^{-n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert y_{n}\Vert$
\end_inset

 converge, y como 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es completa también lo hace 
\begin_inset Formula $\sum_{n}y_{n}$
\end_inset

 converge, y por continuidad de 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\overline{x_{n}}=\sum_{n}Q(y_{n})=Q(\sum_{n}y_{n})$
\end_inset

 converge.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Subsection
Suma directa topológica
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 un espacio normado e 
\begin_inset Formula $Y,Z\leq X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es la 
\series bold
suma directa topológica
\series default
 de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $X=Y\oplus Z$
\end_inset

 y las proyecciones canónicas 
\begin_inset Formula $y+z\mapsto y$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y+z\mapsto z$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z\in Z$
\end_inset

 son continuas, si y sólo si 
\begin_inset Formula $s:Y\times Z\to X$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $s(y,z)\coloneqq y+z$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $Z$
\end_inset

 es un 
\series bold
complementario topológico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 respecto de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Es claramente un isomorfismo, es continua por serlo la suma y 
\begin_inset Formula $s^{-1}$
\end_inset

 también por serlo las proyecciones.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Que 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 sea biyectiva implica que 
\begin_inset Formula $X=Y\oplus Z$
\end_inset

.
 Además 
\begin_inset Formula $y+z\overset{s^{-1}}{\mapsto}(y,z)\overset{p}{\mapsto}y$
\end_inset

 es continua, y análogamente lo es la otra proyección.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{nproof}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Espacios normados de dimensión finita
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Desigualdad de Hölder:
\series default
 Dados 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p>1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $q>1$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}.
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

 es obvio.
 La exponencial es convexa, por lo que si 
\begin_inset Formula $a,b>0$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
ab=\text{e}^{\log ab}=\text{e}^{\frac{1}{p}\log a^{p}+\frac{1}{q}\log b^{q}}\leq\frac{1}{p}\text{e}^{\log a^{p}}+\frac{1}{q}\text{e}^{\log b^{q}}=\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q},
\]

\end_inset

y si 
\begin_inset Formula $A\coloneqq\left(\sum_{k}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B\coloneqq\left(\sum_{k}b_{k}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}$
\end_inset

, haciendo 
\begin_inset Formula $a\coloneqq\frac{a_{k}}{A}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $b\coloneqq\frac{b_{k}}{B}$
\end_inset

 y sumando,
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}{AB}=\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{A}\frac{b_{k}}{B}\leq\frac{1}{p}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}^{p}}{A^{p}}\right)+\frac{1}{q}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{b_{k}^{q}}{B^{q}}\right)=1.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La 
\series bold
desigualdad de Schwarz
\series default
 es la desigualdad de Hölder con 
\begin_inset Formula $p=2$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Desigualdad de Minkowski:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}\geq0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p\geq1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\left(\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}.
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $p=1$
\end_inset

 es obvio.
 Si 
\begin_inset Formula $p>1$
\end_inset

, sea 
\begin_inset Formula $q\coloneqq\frac{1}{1-\frac{1}{p}}$
\end_inset

, se tiene 
\begin_inset Formula $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(p-1)\frac{q}{p}=1$
\end_inset

, y por la desigualdad de Hölder,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\alpha & \coloneqq\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{p}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}(a_{k}+b_{k})^{p-1}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}(a_{k}+b_{k})^{p-1}\leq\\
 & \leq\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{q(p-1)}\right)^{\frac{1}{q}}+\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{q(p-1)}\right)^{\frac{1}{q}}=\\
 & =\left(\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{p}\right)^{\frac{1}{q}}=\alpha^{\frac{1}{q}}\left(\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right),
\end{align*}

\end_inset

y dividiendo entre 
\begin_inset Formula $\alpha^{\frac{1}{q}}$
\end_inset

 se obtiene el resultado.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 definimos los espacios normados:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{p}\coloneqq(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert_{p})$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$
\end_inset

, donde
\begin_inset Formula 
\[
\Vert x\Vert_{p}\coloneqq\left(\sum_{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{p}$
\end_inset

 es absolutamente homogénea y sólo vale 0 en el 0, y la desigualdad triangular
 se sigue de la de Minkowski usando que 
\begin_inset Formula $|a_{k}+b_{k}|\leq|a_{k}|+|b_{k}|$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{\infty}\coloneqq(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert_{p})$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{\infty}\coloneqq\sup_{k=1}^{n}|x_{k}|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$
\end_inset

 hereda las propiedades de norma de 
\begin_inset Formula $|\cdot|$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio normado de dimensión finita 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 con base 
\begin_inset Formula $(e_{1},\dots,e_{n})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T:\ell_{n}^{1}\to X$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $T(a_{1},\dots,a_{n})\coloneqq a_{1}e_{1}+\dots+a_{n}e_{n}$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Claramente 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es un isomorfismo algebraico.
 Para 
\begin_inset Formula $a\in\ell_{n}^{1}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\Vert T(a)\Vert=\left\Vert \sum_{k=1}^{n}a_{k}e_{k}\right\Vert \leq\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|\sup_{k=1}^{n}\{\Vert e_{k}\Vert\}=\sup_{k=1}^{n}\{\Vert e_{k}\Vert\}\Vert(a_{1},\dots,a_{n})\Vert_{1}.
\]

\end_inset

Para la otra cota, 
\begin_inset Formula $S_{\ell_{n}^{1}}$
\end_inset

 es compacto y 
\begin_inset Formula $f:S_{\ell_{n}^{1}}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dado por 
\begin_inset Formula $f(x)\coloneqq\Vert T(x)\Vert$
\end_inset

 es continua y sin ceros (
\begin_inset Formula $f(0)=0\implies T(x)=0\implies x=0$
\end_inset

), por lo que 
\begin_inset Formula $\beta\coloneqq\min\text{Im}f>0$
\end_inset

 y para 
\begin_inset Formula $a\in\ell_{n}^{1}\setminus0$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\beta\leq f\left(\frac{a}{\Vert a\Vert}\right)=\left\Vert T\left(\frac{a}{\Vert a\Vert}\right)\right\Vert =\frac{\Vert T(a)\Vert}{\Vert a\Vert}\implies\beta\Vert a\Vert\leq\Vert T(a)\Vert.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todos los espacios normados de igual dimensión finta son topológicamente
 isomorfos.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todas las normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Toda norma en 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{n}$
\end_inset

 genera la topología producto.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Las bolas de 
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{\infty}$
\end_inset

 son rectángulos y toda norma de 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{n}$
\end_inset

 genera la misma topología.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Todo espacio de dimensión finita es de Banach.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Lo es 
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{\infty}$
\end_inset

 por tener topología producto.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Todo subespacio de dimensión finita de un espacio normado es cerrado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Todo operador entre espacios normados con dominio de dimensión finita es
 continuo.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Por isomorfismo podemos suponer que el dominio es 
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{1}$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $T:\ell_{n}^{1}\to Y$
\end_inset

 el operador y 
\begin_inset Formula $a_{i}\coloneqq T(e_{i})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sup_{x\in S_{\ell_{n}^{1}}}\Vert T(x)\Vert=\sup_{\{x\in\mathbb{K}^{n}:\sum_{i}x_{i}=1\}}\left\Vert \sum_{i}x_{i}a_{i}\right\Vert =\sup_{i=1}^{n}a_{i}<\infty$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Bolzano-Weierstrass:
\series default
 En espacio normados de dimensión finita, los conjuntos cerrados y acotados
 son compactos, pues esto ocurre en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Foot
status open

\begin_layout Plain Layout
El teorema se suele enunciar como que toda sucesión en un cerrado acotado
 posee una subsucesión convergente, pero esto es la compacidad por sucesiones.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Lema de Riesz:
\series default
 Dados un subespacio normado 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, un subespacio cerrado 
\begin_inset Formula $Y\subsetneq X$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\varepsilon\in(0,1)$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

 unitario con 
\begin_inset Formula $d(x,Y)\geq1-\varepsilon$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $x_{0}\in X\setminus Y$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es cerrado, 
\begin_inset Formula $d\coloneqq d(x_{0},Y)>0$
\end_inset

, y como 
\begin_inset Formula $d<\frac{d}{1+\varepsilon}$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $y_{0}\in Y$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $d\leq\Vert x_{0}-y_{0}\Vert<\frac{d}{1-\varepsilon}$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $x\coloneqq\frac{x_{0}-y_{0}}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset

 es
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\Vert x-y\Vert=\left\Vert \frac{x_{0}-y_{0}}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}-y\right\Vert =\frac{1}{\Vert x_{0}-y_{0}\Vert}\left\Vert x_{0}-y_{0}-\Vert x_{0}-y_{0}\Vert y\right\Vert \geq
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio normado de dimensión infinita, existen una sucesión 
\begin_inset Formula $(M_{n})_{n}$
\end_inset

 de subespacios de 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 de dimensión finita con cada 
\begin_inset Formula $M_{n}\subseteq M_{n+1}$
\end_inset

 y una sucesión de vectores unitarios 
\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq X$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $y_{n}\in M_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $d(M_{n},y_{n+1})\geq\frac{1}{2}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
TODO
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document