#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Standard
David Hilbert (1862–1943) fue un influyente matemático alemán que formuló
 la teoría de los espacios de Hilbert.
 En 1900 publicó una lista de 23 problemas que marcarían en buena medida
 el progreso matemático en el siglo XX, y presentó 10 de ellos en el 
\emph on
\lang english
International Congress of Mathematicians
\emph default
\lang spanish
 de París de 1900.
 Fue editor jefe de 
\emph on
\lang ngerman
Mathematische Annalen
\emph default
\lang spanish
, una revista matemática muy prestigiosa por casi 150 años, y tuvo discípulos
 como 
\lang ngerman
Alfréd Haar, Erhard Schmidt, Hugo Steihaus, Hermann Weyl o Ernst Zermelo
\lang spanish
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle:H\times H\to\mathbb{K}$
\end_inset

 es una 
\series bold
forma hermitiana
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{K}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x,y,z\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle ax+by,z\rangle=a\langle x,z\rangle+b\langle y,z\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$
\end_inset

, y es 
\series bold
definida positiva
\series default
 si para 
\begin_inset Formula $x\in H\setminus0$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\langle x,x\rangle\in\mathbb{R}^{+}$
\end_inset

.
 Un 
\series bold
producto escalar
\series default
 es una forma hermitiana definida positiva, y un 
\series bold
espacio prehilbertiano
\series default
 es un par formado por un espacio vectorial y un producto escalar sobre
 este.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio prehilbertiano 
\begin_inset Formula $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Desigualdad de Cauchy-Schwartz:
\series default
 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,|\langle x,y\rangle|^{2}\leq\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle$
\end_inset

, con igualdad si y sólo si 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 son linealmente dependientes.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es un espacio normado con la norma 
\begin_inset Formula $\Vert x\Vert\coloneqq\sqrt{\langle x,x\rangle}$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $x,y\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert=\Vert x\Vert+\Vert y\Vert\iff x=0\lor y=0\lor\exists a>0:x=ay$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $a,b\in\mathbb{K}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x,y,z\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle x,ay+bz\rangle=\overline{a}\langle x,y\rangle+\overline{b}\langle x,z\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $x,y\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}+2\text{Re}\langle x,y\rangle$
\end_inset

.
\begin_inset Note Comment
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\overline{\langle x,y\rangle}+\langle y,y\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Identidades de polarización:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es un espacio prehilbertiano y 
\begin_inset Formula $x,y\in H$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert x-\text{i}y\Vert^{2})$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es real, 
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de von Neumann:
\series default
 Un espacio normado 
\begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$
\end_inset

 admite un producto escalar 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\langle x,x\rangle\equiv\Vert x\Vert^{2}$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$
\end_inset

 verifica la 
\series bold
ley del paralelogramo:
\series default

\begin_inset Formula 
\[
\forall x,y\in H,\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=\\
=\langle x,x\rangle\cancel{+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle}+\langle y,y\rangle+\langle x,x\rangle\cancel{-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle}+\langle y,y\rangle=2(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}).
\end{multline*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Definimos 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$
\end_inset

 según la identidad de polarización, y queremos ver que es un producto escalar
 cuya norma es la inicial.
 Se tiene
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\langle x,x\rangle & =\frac{1}{4}\left(\Vert2x\Vert^{2}-\Vert x-x\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+\text{i}x\Vert^{2}-\text{i}\Vert x-\text{i}x\Vert^{2}\right)=\\
 & =\frac{1}{4}\left(4\Vert x\Vert^{2}+\text{i}|1+\text{i}|^{2}\Vert x\Vert^{2}-\text{i}|1-\text{i}|^{2}\Vert x\Vert^{2}\right)=\Vert x\Vert^{2},
\end{align*}

\end_inset

y
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
4\langle x,y\rangle & =\Vert x+y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert x-\text{i}y\Vert^{2}\\
 & =\Vert y+x\Vert^{2}-\Vert y-x\Vert^{2}+\text{i}\Vert y-\text{i}x\Vert-\text{i}\Vert y+\text{i}x\Vert^{2}=4\overline{\langle y,x\rangle}\\
 & =\Vert-x-y\Vert^{2}-\Vert-x+y\Vert^{2}+\text{i}\Vert-x-\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert-x+\text{i}y\Vert^{2}=-4\langle-x,y\rangle\\
 & =\Vert\text{i}x+\text{i}y\Vert^{2}-\Vert\text{i}x-\text{i}y\Vert^{2}+\text{i}\Vert\text{i}x-y\Vert^{2}-\text{i}\Vert\text{i}x+y\Vert^{2}=4\frac{\langle\text{i}x,y\rangle}{\text{i}}.
\end{align*}

\end_inset

Para ver que 
\begin_inset Formula $\langle x+z,y\rangle=\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\Vert x+z+y\Vert^{2}-\Vert x+z-y\Vert^{2}=\left\Vert \left(x+\frac{y}{2}\right)+\left(z+\frac{y}{2}\right)\right\Vert ^{2}-\left\Vert \left(x+\frac{y}{2}\right)-\left(z+\frac{y}{2}\right)\right\Vert ^{2}=\\
=2\left\Vert x+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}+2\left\Vert z+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}\cancel{-\Vert x-z\Vert^{2}}-2\left\Vert x-\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-2\left\Vert z-\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}\cancel{+\Vert x-z\Vert^{2}},
\end{multline*}

\end_inset

de donde
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
4\langle x+z,y\rangle & = & \Vert x+z+y\Vert^{2}-\Vert x+z-y\Vert^{2}+\text{i}\Vert x+z+\text{i}y\Vert^{2}-\text{i}\Vert x+z-\text{i}y\Vert^{2}\\
 & = & 2\left(\left\Vert x+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert z+\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert z-\frac{y}{2}\right\Vert \right)\\
 &  & +2\text{i}\left(\left\Vert x+\text{i}\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}+\left\Vert z+\text{i}\frac{z}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-\text{i}\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}-\left\Vert z-\text{i}\frac{y}{2}\right\Vert ^{2}\right)\\
 & = & 8\left\langle x,\frac{y}{2}\right\rangle +8\left\langle z,\frac{y}{2}\right\rangle ,
\end{eqnarray*}

\end_inset

y por tanto
\begin_inset Formula 
\[
\langle x+z,y\rangle=2\left\langle x,\frac{y}{2}\right\rangle +2\left\langle z,\frac{y}{2}\right\rangle =\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle,
\]

\end_inset

donde en la segunda igualdad hemos usado la primera igualdad al revés con
 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

.
 Usando esto y que 
\begin_inset Formula $\langle-x,y\rangle=-\langle x,y\rangle$
\end_inset

 es fácil ver que 
\begin_inset Formula $\langle ax,y\rangle=a\langle x,y\rangle$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{Q}$
\end_inset

; para 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$
\end_inset

 se usa la continuidad de la norma y por tanto del producto escalar, y para
 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{C}$
\end_inset

 se usa 
\begin_inset Formula $\langle\text{i}x,y\rangle=\text{i}\langle x,y\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(\ell^{\infty},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{1})$
\end_inset

 son espacios normados no prehilbertianos.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dos espacios prehilbertianos 
\begin_inset Formula $(H_{1},\langle\cdot,\cdot\rangle_{1})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(H_{2},\langle\cdot,\cdot\rangle_{2})$
\end_inset

 son 
\series bold
equivalentes
\series default
 si existe un isomorfismo algebraico 
\begin_inset Formula $T:H_{1}\to H_{2}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle Tx,Ty\rangle_{2}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x,y\in H_{1}$
\end_inset

, si y sólo si existe un isomorfismo isométrico entre los espacios normados.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es un espacio prehilbertiano, 
\begin_inset Formula $x,y\in H$
\end_inset

 son 
\series bold
ortogonales
\series default
, 
\begin_inset Formula $x\bot y$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=0$
\end_inset

; 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

 es 
\series bold
ortogonal
\series default
 a 
\begin_inset Formula $M\subseteq H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\bot M$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $\forall y\in M,x\bot y$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $M^{\bot}\coloneqq\{x\in H\mid x\bot M\}$
\end_inset

.
 Una familia 
\begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq H$
\end_inset

 es 
\series bold
ortogonal
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall i,j\in I,(i\neq j\implies x_{i}\bot x_{j})$
\end_inset

, y es 
\series bold
ortonormal
\series default
 si además 
\begin_inset Formula $\forall i,\Vert x_{i}\Vert=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Teorema de Pitágoras:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $x\bot y$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert x+y\Vert^{2}=\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $(x_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 es una familia ortogonal de elementos no nulos, es una familia linealmente
 independiente.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $M\subseteq H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M^{\bot}$
\end_inset

 es un subespacio cerrado de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Lema de Gram-Schmidt:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 prehilbertiano, 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq H$
\end_inset

 una familia contable linealmente independiente y 
\begin_inset Formula $(u_{n})_{n}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$
\end_inset

 dadas por 
\begin_inset Formula $u_{n}\coloneqq\frac{y_{n}}{\Vert y_{n}\Vert}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq x_{0}$
\end_inset

 y para 
\begin_inset Formula $n\geq1$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
y_{n}\coloneqq x_{n}-\sum_{j<n}\langle x_{n},u_{j}\rangle u_{j},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $(u_{n})_{n}$
\end_inset

 es una sucesión ortonormal en 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 y, para cada 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\text{span}\{u_{1},\dots,u_{n}\}=\text{span}\{x_{1},\dots,x_{n}\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es un subespacio de dimensión finita del espacio prehilbertiano 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 tiene una base algebraica formada por vectores ortonormales.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es equivalente a 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}^{\dim M}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
espacio de Hilbert
\series default
 es un espacio prehilbertiano completo.
 Dado un espacio de medida 
\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L^{2}(\Omega,\Sigma,\mu)$
\end_inset

 es un espacio de Hilbert con
\begin_inset Formula 
\[
\langle f,g\rangle\coloneqq\int_{\Omega}f\overline{g}\dif\mu,
\]

\end_inset

y en particular lo son 
\begin_inset Formula $\ell^{2}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle\coloneqq\sum_{n}x_{n}\overline{y_{n}}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\ell_{n}^{2}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle\coloneqq\sum_{i}x_{i}\overline{y_{i}}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Son espacios prehilbertianos no completos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $c_{00}$
\end_inset

 con el producto escalar de 
\begin_inset Formula $\ell^{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $C([a,b])$
\end_inset

 con el producto escalar de 
\begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$
\end_inset

 con la medida de Lebesgue, que es denso en 
\begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Mejor aproximación
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es un espacio vectorial, 
\begin_inset Formula $A\subseteq X$
\end_inset

 es 
\series bold
convexo
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall\lambda\in[0,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lambda A+(1-\lambda)A\subseteq A$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es normado, 
\begin_inset Formula $S\subseteq X$
\end_inset

 no vacío y 
\begin_inset Formula $x\in X$
\end_inset

, un 
\begin_inset Formula $y\in S$
\end_inset

 es un 
\series bold
vector de mejor aproximación
\series default
 de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\Vert x-y\Vert=\min_{z\in S}\Vert x-z\Vert$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de mejor aproximación:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es un espacio prehilbertiano y 
\begin_inset Formula $C\subseteq H$
\end_inset

 es no vacío, convexo y completo, para cada 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

 existe una mejor aproximación de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Podemos suponer por traslación que 
\begin_inset Formula $x=0$
\end_inset

, y llamamos 
\begin_inset Formula $\alpha\coloneqq\inf_{z\in C}\Vert z\Vert$
\end_inset

.
 Para la existencia tomamos una sucesión 
\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq C$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert y_{n}\Vert=\alpha$
\end_inset

 y probamos que es de Cauchy, pues entonces por completitud existe 
\begin_inset Formula $y\coloneqq\lim_{n}y_{n}\in C$
\end_inset

 y por continuidad de la norma es 
\begin_inset Formula $\Vert y\Vert=\alpha$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Vert y_{n}\Vert^{2}<\alpha^{2}+\varepsilon$
\end_inset

, y por la ley del paralelogramo es
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \frac{y_{n}-y_{m}}{2}\right\Vert ^{2}=\frac{1}{2}(\Vert y_{n}\Vert^{2}+\Vert y_{m}\Vert^{2})-\left\Vert \frac{y_{n}+y_{m}}{2}\right\Vert ^{2}\leq\frac{1}{2}(\alpha^{2}+\varepsilon+\alpha^{2}+\varepsilon)-\alpha^{2}=\varepsilon,
\]

\end_inset

pues por convexidad 
\begin_inset Formula $\frac{y_{n}+y_{m}}{2}\in S$
\end_inset

 y por tanto su norma es mayor o igual a 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

.
 Para la unicidad, si 
\begin_inset Formula $y,z\in C$
\end_inset

 cumplen 
\begin_inset Formula $\Vert y\Vert=\Vert z\Vert=\alpha$
\end_inset

, por un argumento como el anterior,
\begin_inset Formula 
\[
\left\Vert \frac{y-z}{2}\right\Vert ^{2}=\frac{1}{2}(\Vert y\Vert^{2}+\Vert z\Vert^{2})-\left\Vert \frac{y+z}{2}\right\Vert ^{2}\leq\frac{1}{2}(\alpha^{2}+\alpha^{2})-\alpha^{2}=0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es un subespacio de un espacio prehilbertiano 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset

 es de mejor aproximación de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $x-y\bot Y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $z\in Y$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $y-az\in Y$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\Vert x-y\Vert^{2}\leq\Vert x-y+az\Vert^{2}=\Vert x-y\Vert^{2}+2\text{Re}(a\langle z,x-y\rangle)+|a|^{2}\Vert z\Vert^{2},
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $0\leq2\text{Re}(a\langle z,x-y\rangle)+|a|^{2}\Vert z\Vert^{2}$
\end_inset

 y, haciendo 
\begin_inset Formula $a=t\langle x-y,z\rangle$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\leq2t|\langle x-y,z\rangle|^{2}+t^{2}|\langle x-y,z\rangle|^{2}\Vert z\Vert^{2}$
\end_inset

.
 Si fuera 
\begin_inset Formula $\langle x-y,z\rangle\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0\leq2t+t^{2}\Vert z\Vert^{2}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$
\end_inset

, pero si 
\begin_inset Formula $\Vert z\Vert^{2}=0$
\end_inset

, esto es negativo cuando 
\begin_inset Formula $t<0$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $\Vert z\Vert^{2}>0$
\end_inset

, es negativo al menos cuando 
\begin_inset Formula $t=-\frac{1}{\Vert z\Vert^{2}}\#$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x-y\bot z$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x-y\bot Y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $z\in Y$
\end_inset

, por el teorema de Pitágoras,
\begin_inset Formula 
\[
\Vert x-z\Vert^{2}=\Vert x-y+y-z\Vert^{2}=\Vert x-y\Vert^{2}+\Vert y-z\Vert^{2}\geq\Vert x-y\Vert^{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si existe una mejor aproximación de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

, es única.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $y,z\in Y$
\end_inset

 de mejor aproximación, como 
\begin_inset Formula $x-y,x-z\in Y^{\bot}$
\end_inset

, su diferencia 
\begin_inset Formula $y-z\in Y^{\bot}\cap Y$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\langle y-z,y-z\rangle=0$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y=z$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es completo, hay vector de mejor aproximación.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Por el teorema anterior (los subespacios son convexos).
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Determinante de Gram
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 prehilbertiano y 
\begin_inset Formula $M\leq H$
\end_inset

 de dimensión finita con base ortonormal 
\begin_inset Formula $(e_{i})_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

 existe un único vector de aproximación de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 dado por
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $d(x,M)^{2}=\Vert x\Vert^{2}-\sum_{i}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
determinante de Gram
\series default
 de 
\begin_inset Formula $(x_{i})_{i=1}^{n}$
\end_inset

 a
\begin_inset Formula 
\[
G(x_{1},\dots,x_{n})\coloneqq\det(\langle x_{j},x_{i}\rangle)_{1\leq i\leq n}^{1\leq j\leq n}.
\]

\end_inset

Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es prehilbertiano, 
\begin_inset Formula $M\leq H$
\end_inset

 de dimensión finita con base 
\begin_inset Formula $(b_{i})_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

, el vector de mejor aproximación de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\frac{-1}{G(b_{1},\dots,b_{n})}\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle & \langle x_{2},x_{1}\rangle & \cdots & \langle x_{n},x_{1}\rangle & \langle x,x_{1}\rangle\\
\langle x_{1},x_{2}\rangle & \langle x_{2},x_{2}\rangle & \cdots & \langle x_{n},x_{2}\rangle & \langle x,x_{2}\rangle\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
\langle x_{1},x_{n}\rangle & \langle x_{2},x_{n}\rangle & \cdots & \langle x_{n},x_{n}\rangle & \langle x,x_{n}\rangle\\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} & 0
\end{vmatrix},
\]

\end_inset

y
\begin_inset Formula 
\[
d(x,M)=\sqrt{\frac{G(x_{1},\dots,x_{n},x)}{G(x_{1},\dots,x_{n})}}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Algunas aplicaciones:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Resolución de sistemas sobre-dimensionados por mínimos cuadrados.

\series default
 Tenemos un fenómeno experimental que se puede modelar como una función
 lineal 
\begin_inset Formula $y(x)=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}$
\end_inset

, pero no conocemos los 
\begin_inset Formula $a_{i}$
\end_inset

.
 Hacemos 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 experimentos fijando un 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 en cada uno y midiendo 
\begin_inset Formula $y_{i}\coloneqq y(x_{i})$
\end_inset

 para plantear un sistema de 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 ecuaciones.
 Solo hacen falta 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 experimentos cuidando que los 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 sean linealmente independientes, pero en general conviene hacer más, 
\begin_inset Formula $m>n$
\end_inset

.
 Como las mediciones son aproximadas, el sistema puede ser incompatible,
 por lo que se eligen los 
\begin_inset Formula $a_{i}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 de forma que se minimice
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i\in\mathbb{N}_{m}}\left(y_{i}-\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}a_{j}x_{ij}\right)^{2}=\left\Vert y-\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}a_{j}X_{j}\right\Vert ^{2},
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $X_{j}\coloneqq(x_{1j},\dots,x_{mj})$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $X_{1},\dots,X_{n}$
\end_inset

 son linealmente independientes, sea 
\begin_inset Formula $M\coloneqq\text{span}\{X_{1},\dots,X_{n}\}<\mathbb{R}^{m}$
\end_inset

, buscamos el vector 
\begin_inset Formula $Z\in M$
\end_inset

 de mejor aproximación de 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 que, expresado respecto de la base 
\begin_inset Formula $(X_{1},\dots,X_{n})$
\end_inset

, nos dará el vector 
\begin_inset Formula $(a_{1},\dots,a_{n})$
\end_inset

 buscado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Ajustes polinómicos por mínimos cuadrados.

\series default
 Queremos modelar un fenómeno experimental como una función polinómica 
\begin_inset Formula $f:[a,b]\to\mathbb{R}$
\end_inset

, y tenemos 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 observaciones de la forma 
\begin_inset Formula $f(t_{i})=y_{i}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $t_{1}<\dots<t_{k}$
\end_inset

.
 Existe un polinomio de grado máximo 
\begin_inset Formula $k-1$
\end_inset

 que cumple esto, pero muchas veces 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 es muy grande y esto complica los cálculos y puede llevar al 
\emph on
\lang english
overfitting
\emph default
\lang spanish
 o fenómeno de Runge.
 Entonces buscamos un polinomio 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 de grado máximo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 bastante menor que 
\begin_inset Formula $k-1$
\end_inset

 que minimice
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i\in\mathbb{N}_{k}}|y_{i}-f(t_{i})|^{2}=\left\Vert y-\sum_{j=0}^{n}f_{j}t^{j}\right\Vert ^{2},
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $t^{j}\coloneqq(t_{1}^{j},\dots,t_{k}^{j})$
\end_inset

.
 Para ello, como para 
\begin_inset Formula $k\geq2$
\end_inset

 los 
\begin_inset Formula $t^{j}$
\end_inset

 son linealmente independientes, consideramos 
\begin_inset Formula $M\coloneqq\text{span}\{1,t,t^{2},\dots,t^{n}\}<\mathbb{R}^{n+1}$
\end_inset

 y buscamos la mejor aproximación de 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Teorema de la proyección
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de la proyección:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 un espacio de Hilbert con un subespacio cerrado 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P_{M}:H\to M$
\end_inset

 la 
\series bold
proyección ortogonal
\series default
 de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 que asigna a cada 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

 la mejor aproximación de 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es suma directa topológica de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M^{\bot}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P_{M}$
\end_inset

 es la proyección canónica y, si 
\begin_inset Formula $P_{M^{\bot}}:H\to M^{\bot}$
\end_inset

 es la otra proyección canónica, si 
\begin_inset Formula $M\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert P_{M}\Vert=1$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $M^{\bot}\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert P_{M^{\bot}}\Vert=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Por la definición de producto escalar, 
\begin_inset Formula $M^{\bot}\leq H$
\end_inset

.
 Claramente 
\begin_inset Formula $M\cap M^{\bot}=0$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $x\in M$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $y\coloneqq P_{M}(x)$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $x-y\bot M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x=y+z$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $y\in M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z\coloneqq x-y\in M^{\bot}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $M+M^{\bot}=H$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es suma directa algebraica de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M^{\bot}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $P_{M}$
\end_inset

 es la proyección canónica porque, si 
\begin_inset Formula $y\in M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z\in M^{\bot}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(y+z)-y=z\bot M$
\end_inset

, y por unicidad de la mejor aproximación, 
\begin_inset Formula $P_{M}(y+z)=y$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $P_{M}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P_{M^{\bot}}$
\end_inset

 son lineales por ser proyecciones canónicas, y para 
\begin_inset Formula $x=y+z\in S_{H}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $y\in M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z\in M^{\bot}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert x\Vert^{2}=\Vert y\Vert^{2}+\Vert z\Vert^{2}=\Vert P_{M}(x)\Vert^{2}+\Vert P_{M^{\bot}}(x)\Vert^{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert P_{M}(x)\Vert,\Vert P_{M^{\bot}}(x)\Vert\leq\Vert x\Vert=1$
\end_inset

, lo que prueba la continuidad y por tanto que la suma directa es topológica.
 Además, si 
\begin_inset Formula $M\neq0$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $y\in S_{M}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert P_{M}(y)\Vert=\Vert y\Vert=1$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\Vert P_{M}\Vert=1$
\end_inset

, y análogamente para 
\begin_inset Formula $M^{\bot}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $P_{M}(H)=M$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\ker P_{M}=M^{\bot}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $P_{M^{\bot}}=1_{H}-P_{M}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $x,y\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle P_{M}x,y\rangle=\langle x,P_{M}y\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle P_{M^{\bot}}x,y\rangle=\langle x,P_{M^{\bot}}y\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $x=x_{1}+x_{2}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y=y_{1}+y_{2}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x_{1},y_{1}\in M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x_{2},y_{2}\in M^{\bot}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle P_{M}(x),y\rangle=\langle x_{1},y_{1}+y_{2}\rangle=\langle x_{1},y_{1}\rangle=\langle x_{1}+x_{2},y_{1}\rangle=\langle x,P_{M}(y)\rangle$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $P_{M^{\bot}}$
\end_inset

 es análogo.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $M^{\bot\bot}=M$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $x\in M$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $y\in M^{\bot}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x\in M^{\bot\bot}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $x\in M^{\bot\bot}\subseteq H$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $y\in M$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z\in M^{\bot}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $x=y+z$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $0=\langle x,z\rangle=\langle y,z\rangle+\langle z,z\rangle=\langle z,z\rangle=\Vert z\Vert^{2}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $x\in M$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
Esto no es cierto si 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 no es cerrado ni si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 no es completo.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un espacio normado es de Hilbert si y sólo si cada subespacio cerrado tiene
 un complementario topológico.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es un espacio de Hilbert, 
\begin_inset Formula $S\subseteq H$
\end_inset

 es total si y sólo si 
\begin_inset Formula $S^{\bot}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Dual de un espacio de Hilbert
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Riesz-Fréchet:
\series default
 Dados un espacio de Hilbert 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 y un operador 
\begin_inset Formula $f:H\to\mathbb{K}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es acotado si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $y\in H$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=\langle\cdot,y\rangle$
\end_inset

, en cuyo caso 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 es único y 
\begin_inset Formula $\Vert f\Vert=\Vert y\Vert$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para la unicidad, si 
\begin_inset Formula $f(x)=\langle x,y\rangle=\langle x,z\rangle$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle x,y-z\rangle=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $y-z\bot H$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $H^{\bot}=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $y=z$
\end_inset

.
 Para la existencia, si 
\begin_inset Formula $f=0$
\end_inset

 tomamos 
\begin_inset Formula $y=0$
\end_inset

, y en otro caso, 
\begin_inset Formula $Y\coloneqq\ker f$
\end_inset

 es un subespacio cerrado de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $H=Y\oplus Y^{\bot}$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $\dim Y^{\bot}=\dim\text{Im}f=1$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $z\in Y^{\bot}$
\end_inset

 unitario, la proyección ortogonal de un 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

 sobre 
\begin_inset Formula $Y^{\bot}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\langle x,z\rangle z$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $x-\langle x,z\rangle z\in Y$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
f(x)=f(x-\langle x,z\rangle z+\langle x,z\rangle z)=f(\langle x,z\rangle z)=\langle x,z\rangle f(z)=\langle x,\overline{f(z)}z\rangle\eqqcolon\langle x,y\rangle.
\]

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $x\in S_{H}$
\end_inset

, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, 
\begin_inset Formula $\Vert f(x)\Vert^{2}=|\langle x,y\rangle|^{2}\leq\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle=\Vert y\Vert^{2}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\Vert f\Vert\leq\Vert y\Vert$
\end_inset

, pero 
\begin_inset Formula $f(\frac{y}{\Vert y\Vert})=\frac{f(y)}{\Vert y\Vert}=\frac{\Vert y\Vert^{2}}{\Vert y\Vert}=\Vert y\Vert$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\Vert f\Vert=\Vert y\Vert$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $f\coloneqq\langle\cdot,y\rangle$
\end_inset

 es lineal, y es continua por el argumento anterior que prueba que 
\begin_inset Formula $\Vert f\Vert=\Vert y\Vert$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
El teorema no es válido si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 no es completo.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 un espacio de Hilbert y 
\begin_inset Formula $T:H^{*}\to H$
\end_inset

 que a cada 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 le asocia el 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f=\langle\cdot,y\rangle$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es biyectiva, isométrica y lineal conjugada.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $H^{*}$
\end_inset

 es un espacio de Hilbert con el producto escalar 
\begin_inset Formula $\langle f,g\rangle^{*}\coloneqq\langle Tg,Tf\rangle$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio vectorial 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $B:X\times X\to\mathbb{K}$
\end_inset

 es 
\series bold
bilineal
\series default
 si las 
\begin_inset Formula $B(\cdot,y)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B(x,\cdot)$
\end_inset

 son lineales, 
\series bold
sesquilineal
\series default
 si las 
\begin_inset Formula $B(\cdot,y)$
\end_inset

 son lineales y las 
\begin_inset Formula $B(x,\cdot)$
\end_inset

 son lineales conjugadas, 
\series bold
simétrica
\series default
 si 
\begin_inset Formula $B(x,y)\equiv B(y,x)$
\end_inset

 y 
\series bold
positiva
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\forall x\in X,B(x,x)\geq0$
\end_inset

.
 Si además 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 es normado, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es 
\series bold
acotada
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\exists M>0:\forall x,y\in X,|B(x,y)|\leq M\Vert x\Vert\Vert y\Vert$
\end_inset

, y es 
\series bold
fuertemente positiva
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\exists c>0:\forall x\in X,B(x,x)\geq c\Vert x\Vert^{2}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es bilineal o sesquilineal sobre un espacio normado, es acotada si y sólo
 si es continua, y para todo 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $2B(x,x)+2B(y,y)=B(x+y,x+y)+B(x-y,x-y)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Lax-Milgram:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 un espacio de Hilbert y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 una 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

-forma sesquilineal acotada y fuertemente positiva, existe un único isomorfismo
 de espacios de Hilbert 
\begin_inset Formula $T:H\to H$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,B(x,y)=\langle x,Ty\rangle$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea
\begin_inset Formula 
\[
Y\coloneqq\{y\in H\mid\exists z\in H:\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)\},
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $0\in Y$
\end_inset

 tomando 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 está unívocamente determinado por 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

, ya que si 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)=B(\cdot,z')$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $B(\cdot,z-z')=0$
\end_inset

 y en particular 
\begin_inset Formula $0=B(z-z',z-z')\geq c\Vert z-z'\Vert^{2}$
\end_inset

 para cierto 
\begin_inset Formula $c>0$
\end_inset

 por ser 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 fuertemente positiva, luego 
\begin_inset Formula $z=z'$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 son sesquilineales, 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es un espacio vectorial y 
\begin_inset Formula $S:Y\to H$
\end_inset

 que a cada 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 le asocia el 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,y\rangle=B(\cdot,z)$
\end_inset

 es lineal.
 Entonces, para 
\begin_inset Formula $y\in S_{Y}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
c\Vert Sy\Vert^{2}\leq B(Sy,Sy)=\langle Sy,y\rangle\in\mathbb{R}^{+},
\]

\end_inset

pero por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, 
\begin_inset Formula $\langle Sy,y\rangle^{2}=|\langle Sy,y\rangle|^{2}\leq\Vert Sy\Vert^{2}\Vert y\Vert^{2}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $c\Vert Sy\Vert^{2}\leq\langle Sy,y\rangle\leq\Vert Sy\Vert\Vert y\Vert=\Vert Sy\Vert$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Vert Sy\Vert\leq\frac{1}{c}$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es continua.
 Entonces, si 
\begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$
\end_inset

 tiene límite 
\begin_inset Formula $y\in H$
\end_inset

, por continuidad de 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 y de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\langle x,y\rangle=\lim_{n}\langle x,y_{n}\rangle=\lim_{n}B(x,Sy_{n})=B(x,Sy),
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $y\in Y$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y$
\end_inset

 es cerrado.
 Entonces, si 
\begin_inset Formula $z\in Y^{\bot}$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $B(\cdot,z):H\to\mathbb{K}$
\end_inset

 es continua, por el teorema de Riesz-Fréchet existe 
\begin_inset Formula $w\in H$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $B(\cdot,z)=\langle\cdot,w\rangle$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $w\in Y$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $B(z,z)=\langle z,w\rangle=0$
\end_inset

 y, por ser 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 fuertemente positiva, 
\begin_inset Formula $z=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $Y^{\bot}=0$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $Y=H$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $z\in H$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $B(\cdot,z)$
\end_inset

 es continua, existe 
\begin_inset Formula $w\in H$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $B(\cdot,z)=\langle\cdot,w\rangle$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $z=Sw$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es suprayectiva.
 Si 
\begin_inset Formula $Sy=0$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=B(x,Sy)=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $y=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es inyectiva.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 es biyectiva y 
\begin_inset Formula $T\coloneqq S^{-1}$
\end_inset

 cumple 
\begin_inset Formula $\langle x,Ty\rangle\equiv B(x,y)$
\end_inset

.
 Además, para 
\begin_inset Formula $y\in S_{H}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert Ty\Vert^{2}=\langle Ty,Ty\rangle=B(Ty,y)\leq M\Vert Ty\Vert\Vert y\Vert=M\Vert Ty\Vert$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 una cota de 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, de donde 
\begin_inset Formula $\Vert T\Vert\leq M$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula $\Vert T^{-1}\Vert=\Vert S\Vert\leq\frac{1}{c}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 es un isomorfismo topológico isométrico.
\end_layout

\begin_layout Standard
En particular, dado un espacio vectorial 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 con dos productos escalares 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{1}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{2}$
\end_inset

 equivalentes que hacen a 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 completo, existe un isomorfismo 
\begin_inset Formula $T:H\to H$
\end_inset

 de espacios de Hilbert con 
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle_{1}=\langle x,Ty\rangle_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un espacio medible 
\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$
\end_inset

 con medidas 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\nu$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\nu$
\end_inset

 es 
\series bold
absolutamente continua
\series default
 respecto de 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\forall A\in\Sigma,(\mu(A)=0\implies\nu(A)=0)$
\end_inset

, y es 
\series bold
finita
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\nu(\Omega)<\infty$
\end_inset

.
 
\series bold
Teorema de Radon-Nicodym:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma)$
\end_inset

 es un espacio medible con medidas finitas 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\nu$
\end_inset

 siendo 
\begin_inset Formula $\nu$
\end_inset

 absolutamente continua respecto de 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $g:\Omega\to[0,+\infty]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

-integrable tal que
\begin_inset Formula 
\[
\forall A\in\Sigma,\nu(A)=\int_{A}g\dif\mu.
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $\sigma\coloneqq\mu+\nu$
\end_inset

 es una medida finita en 
\begin_inset Formula $X$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $\forall A\in\Sigma,(\sigma(A)=0\iff\mu(A)=0)$
\end_inset

, y la función lineal entre espacios de Hilbert 
\begin_inset Formula $T:L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
Tu\coloneqq\int_{\Omega}u\dif\mu
\]

\end_inset

está bien definida y es continua porque, si 
\begin_inset Formula $\Vert u\Vert_{L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)}=1$
\end_inset

, usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
|Tu| & =\left|\int_{\Omega}u\dif\mu\right|\leq\int_{\Omega}|u|\dif\mu\leq\sqrt{\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\mu}+\sqrt{\int_{\Omega}\dif\mu}\leq\\
 & \leq\sqrt{\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\mu+\int_{\Omega}|u|^{2}\dif\nu}+\sqrt{\int_{\Omega}\dif\mu+\int_{\Omega}\dif\nu}=1+\sqrt{\sigma(X)}.
\end{align*}

\end_inset

Por el teorema de representación de Riesz, existe 
\begin_inset Formula $f\in L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $u\in L^{2}(\Omega,\Sigma,\sigma)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{\Omega}u\dif\mu=Tu=\int_{\Omega}uf\dif\sigma,
\]

\end_inset

pero esta igualdad se da cuando 
\begin_inset Formula $u=\chi_{A}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $A\in{\cal F}$
\end_inset

 y por linealidad para cualquier función 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

-medible simple, y por el teorema de convergencia dominada también se da
 para cualquier función 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

-medible no negativa en casi todo punto.
 Además, para 
\begin_inset Formula $A\in\Sigma$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\mu(A)=\int_{\Omega}\chi_{A}f\dif\sigma=\int_{A}f\dif\sigma,
\]

\end_inset

de modo que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

-medible y, haciendo 
\begin_inset Formula $A=\{x\mid f(x)\leq0\}$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $A=\{f(x)>1\}$
\end_inset

, vemos que 
\begin_inset Formula $f(\omega)\in(0,1]$
\end_inset

 para casi todo 
\begin_inset Formula $\omega\in\Omega$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\frac{1}{f}$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\Sigma$
\end_inset

-medible no negativa en casi todo punto y, en casi todo punto, 
\begin_inset Formula $\frac{1}{f}f=1$
\end_inset

, con lo que para 
\begin_inset Formula $A\in\Sigma$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{A}\frac{1}{f}\dif\mu=\int_{A}\dif\sigma\implies\nu(A)=\sigma(A)-\mu(A)=\int_{A}\left(\frac{1}{f}-1\right)\dif\mu\eqqcolon\int_{A}g\dif\mu.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Problemas variacionales cuadráticos
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 un 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

-espacio de Hilbert, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 una 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

-forma bilineal simétrica, acotada y fuertemente positiva, 
\begin_inset Formula $b\in H^{*}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F:H\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
F(x)\coloneqq\frac{1}{2}B(x,x)-b(x),
\]

\end_inset

entonces:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 alcanza su mínimo en 
\begin_inset Formula $w\in H$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $B(w,\cdot)=b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Fijado 
\begin_inset Formula $y\in H$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{align*}
F(w+ty) & =\frac{1}{2}B(w+ty,w+ty)-b(w+ty)=\\
 & =\frac{1}{2}(B(w,w)+2tB(w,y)+t^{2}B(y,y))-b(w)-tb(y)=\\
 & =F(w)+t(B(w,y)-b(y))+\frac{1}{2}t^{2}B(y,y),
\end{align*}

\end_inset

pero por hipótesis 
\begin_inset Formula $F(w)\leq F(w+ty)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\varphi(t)\coloneqq F(w+ty)$
\end_inset

 tiene un mínimo en 
\begin_inset Formula $t=0$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $0=\varphi'(0)=B(w,y)-b(y)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $y\in H$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $t\in\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
F(w+ty)=F(w)+\cancel{t(B(w,y)-b(y))}^{=0}+\frac{1}{2}t^{2}B(y,y)\geq F(w).
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Existe un único 
\begin_inset Formula $w\in H$
\end_inset

 en el que 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 alcanza su mínimo.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Como 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es bilineal, simétrica y fuertemente positiva, es un producto escalar sobre
 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, y que es equivalente al de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 ya que existen 
\begin_inset Formula $c,M>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $c\Vert x\Vert^{2}\leq B(x,x)\leq M\Vert x\Vert^{2}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 es continua con el producto escalar 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 y por el teorema de Riesz-Fréchet existe un único 
\begin_inset Formula $w\in H$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $b=B(\cdot,w)=B(w,\cdot)$
\end_inset

, que es la condición del primer apartado.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
Convolución y aproximación de funciones
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un abierto 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es 
\series bold
localmente integrable
\series default
 si 
\begin_inset Formula $|f|$
\end_inset

 es integrable en todo compacto 
\begin_inset Formula $K\subseteq\Omega$
\end_inset

.
 Dadas dos funciones localmente integrables 
\begin_inset Formula $f,g:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$
\end_inset

, definimos su 
\series bold
producto de convolución
\series default
 como 
\begin_inset Formula $(f*g):D\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
(f*g)(a)\coloneqq\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)g(a-x)\dif x,
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $D\coloneqq\{a\in\mathbb{R}^{n}\mid x\mapsto f(x)g(a-x)\text{ integrable}\}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $f,g\in L^{2}(\mathbb{R}^{n})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f*g$
\end_inset

 está definida en todo 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 y es continua y uniformemente acotada con
\begin_inset Formula 
\[
\Vert f*g\Vert_{\infty}\leq\Vert f\Vert_{2}\Vert g\Vert_{2}.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset

El producto de convolución es conmutativo, y si 
\begin_inset Formula $f*g$
\end_inset

 está definida en casi todo punto, 
\begin_inset Formula $\text{sop}(f*g)\subseteq\overline{\text{sop}(f)+\text{sop}(g)}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
sucesión de Dirac
\series default
 es una sucesión 
\begin_inset Formula $(K_{m}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{\geq0})_{m}$
\end_inset

 de funciones continuas con integral 1 en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 y tal que
\begin_inset Formula 
\[
\forall\varepsilon,\delta>0,\exists n_{0}:\forall n\geq n_{0},\int_{\mathbb{R}^{n}\setminus B(0,\delta)}K_{n}(x)\dif x<\varepsilon.
\]

\end_inset

Por ejemplo, si 
\begin_inset Formula $K:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua, no negativa, con soporte compacto e integral 1, entonces 
\begin_inset Formula $(x\mapsto m^{n}K(mx))_{m\geq1}$
\end_inset

 es una sucesión de Dirac.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Las sucesiones de Dirac aproximan la 
\series bold
delta de Dirac
\series default
, una 
\begin_inset Quotes cld
\end_inset

función extendida
\begin_inset Quotes crd
\end_inset

 con integral 1 que vale 0 en todo punto salvo en el origen en que el valor
 es infinito.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua y acotada, la sucesión 
\begin_inset Formula $(f*K_{m})_{m}$
\end_inset

 tiende uniformemente a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 sobre subconjuntos compactos de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es localmente integrable y 
\begin_inset Formula $g\in{\cal D}^{k}(\mathbb{R}^{n})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f*g\in{\cal C}^{k}(\mathbb{R}^{n})$
\end_inset

 y para 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\sum_{i}\alpha_{i}\leq k$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\frac{\partial^{|\alpha|}(f*g)}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}=f*\left(\frac{\partial^{|\alpha|}g}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}\right),
\]

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $f*g$
\end_inset

 es una regularización de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a través de una función suave 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, dado un abierto 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula ${\cal D}(G)$
\end_inset

 es denso en 
\begin_inset Formula $(C_{\text{c}}(G),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$
\end_inset

 y en 
\begin_inset Formula $L^{p}(G)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 abierto y 
\begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$
\end_inset

, si para todo 
\begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\int_{G}f\psi=0
\]

\end_inset

entonces 
\begin_inset Formula $f=0$
\end_inset

 en casi todo punto y en particular, si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es continua, 
\begin_inset Formula $f=0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Principio de Dirichlet
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado un abierto 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(G)$
\end_inset

 es 
\series bold
armónica
\series default
 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $\triangle u\coloneqq\nabla^{2}u=0$
\end_inset

 en todo punto de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 Dada 
\begin_inset Formula $g\in{\cal C}(S_{\mathbb{C}})$
\end_inset

, el 
\series bold
problema de Dirichlet
\series default
 consiste en encontrar 
\begin_inset Formula $u\in{\cal D}^{2}(B_{X})$
\end_inset

 armónica con 
\begin_inset Formula $u|_{S_{\mathbb{C}}}=g$
\end_inset

.
 Para un abierto 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{m}(\overline{G})$
\end_inset

 al conjunto de funciones 
\begin_inset Formula $u:\overline{G}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $u|_{G}\in{\cal C}^{m}(G)$
\end_inset

 para las que las derivadas parciales de orden 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 admiten prolongación continua a 
\begin_inset Formula $\overline{G}$
\end_inset

.
 Escribimos 
\begin_inset Formula $\partial_{j}u\coloneqq\frac{\partial u}{\partial j}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{samepage}
\end_layout

\end_inset

Dados un abierto 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 acotado y no vacío, 
\begin_inset Formula $f:G\to\mathbb{R}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g:\partial G\to\mathbb{R}$
\end_inset

, el 
\series bold
problema de valores frontera para la ecuación de Poisson
\series default
 consiste en encontrar 
\begin_inset Formula $u:\overline{G}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $-\triangle u|_{G}=f$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u|_{\partial G}=g$
\end_inset

, y el 
\series bold
problema generalizado de valores frontera
\series default
 consiste en encontrar 
\begin_inset Formula $u:\overline{G}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $u|_{\partial G}=g$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}\sum_{j}\partial_{j}u\partial_{j}v\dif x=\int_{G}fv.
\]

\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{samepage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es un abierto acotado no vacío, 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}(\overline{G})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g\in{\cal C}(\partial G)$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Una 
\begin_inset Formula $w\in{\cal C}^{2}(\overline{G})$
\end_inset

 es solución del problema de valores frontera para la ecuación de Poisson
 y sólo si lo es del problema generalizado de valores frontera.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $w\in{\cal C}^{2}(\overline{G})$
\end_inset

 es solución del problema variacional consistente en encontrar el mínimo
 de 
\begin_inset Formula $F:\{u\in{\cal C}^{2}(\overline{G})\mid u|_{\partial G}=g\}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u(x))^{2}\dif x-\int_{G}fu,
\]

\end_inset

entonces es solución de los dos problemas anteriores.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
teorema de integración por partes en varias variables
\series default
 afirma que, si 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es un abierto, 
\begin_inset Formula $u\in{\cal C}^{1}(G)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v\in{\cal D}(G)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{G}u\partial_{j}v=-\int_{G}(\partial_{j}u)v.
\]

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un abierto de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u,w\in L^{2}(G)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $w$
\end_inset

 es la 
\series bold
derivada generalizada 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

-ésima
\series default
 de 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $w=\partial_{j}u$
\end_inset

, si
\begin_inset Formula 
\[
\forall v\in{\cal D}(G),\int_{G}u\partial_{j}v=-\int_{G}wv,
\]

\end_inset

y para 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$
\end_inset

 llamamos 
\begin_inset Formula $\text{D}^{\alpha}u\coloneqq\partial_{1}^{\alpha_{1}}\cdots\partial_{n}^{\alpha_{n}}u$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 abierto, 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
espacio de Sobolev
\series default
 a
\begin_inset Formula 
\[
W^{k,p}(G)\coloneqq\{u\in L^{p}(G)\mid\forall\alpha\in\mathbb{N}^{n},(|\alpha|\leq k\implies\exists\text{D}^{\alpha}f\in L^{p}(G))\}.
\]

\end_inset

Escribimos 
\begin_inset Formula $W^{k}(G)\coloneqq W^{k,2}(G)$
\end_inset

, y generalmente consideramos el espacio de Sobolev 
\begin_inset Formula $W^{1}(G)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es abierto, definimos la relación de equivalencia en 
\begin_inset Formula $G\to\mathbb{R}$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $f\sim g$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\{f(x)\neq g(x)\}$
\end_inset

 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\strikeout off
\xout off
\uuline off
\uwave off
\noun off
\color none
es de medida nula
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\strikeout default
\xout default
\uuline default
\uwave default
\noun default
\color inherit
, y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{1,2}:W^{1}(G)/\sim\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\langle\overline{u},\overline{v}\rangle_{1,2}\coloneqq\int_{G}\left(uv+\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)\right)
\]

\end_inset

es un producto escalar en 
\begin_inset Formula $W^{1}(G)/\sim$
\end_inset

 que lo convierte en un espacio de Hilbert.
 Identificamos 
\begin_inset Formula $W^{1}(G)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $W^{1}(G)/\sim$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula $H_{0}^{1}(G)$
\end_inset

 al espacio de Hilbert obtenido como la clausura de 
\begin_inset Formula ${\cal D}(G)$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $W^{1}(G)$
\end_inset

, que en general es un subespacio propio de 
\begin_inset Formula $W^{1}(G)$
\end_inset

 pero es igual a 
\begin_inset Formula $W^{1}(G)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $G=\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es abierto acotado no vacío y 
\begin_inset Formula $u\in W^{1}(G)$
\end_inset

, 
\series bold

\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 se anula en la frontera de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 en sentido generalizado
\series default
, 
\begin_inset Formula $u=0$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\partial G$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $f,g\in W^{1}(G)$
\end_inset

, 
\series bold

\begin_inset Formula $f=g$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $\partial G$
\end_inset

 en sentido generalizado
\series default
 si 
\begin_inset Formula $f-g\in H_{0}^{1}(G)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Desigualdad de Poincaré-Friedrichs:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es un abierto acotado no vacío, existe 
\begin_inset Formula $C>0$
\end_inset

 tal que para 
\begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
C\int_{G}u^{2}\leq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}.
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $R\coloneqq\prod_{i}[a_{i},b_{i}]$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $G\subseteq R$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u\in{\cal D}(G)$
\end_inset

, y vemos 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 como una función en 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 que se anula fuera de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 y con valor indefinido en 
\begin_inset Formula $\partial G$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $x\in R$
\end_inset

, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
(u(x))^{2} & =\left(\int_{a_{n}}^{x_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{a_{n}}^{x_{n}}\dif t\right)\left(\int_{a_{n}}^{x_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t\right)\leq\\
 & \leq(b_{n}-a_{n})\int_{a_{n}}^{b_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t,
\end{align*}

\end_inset

luego
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\int_{G}u^{2} & =\int_{R}u^{2}\leq\int_{a_{1}}^{b_{1}}\cdots\int_{a_{n}}^{b_{n}}(b_{n}-a_{n})\int_{a_{n}}^{b_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t\dif x_{n}\cdots\dif x_{1}=\\
 & =(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{a_{1}}^{b_{1}}\cdots\int_{a_{n}}^{b_{n}}\partial_{n}u(x_{1},\dots,x_{n-1},t)^{2}\dif t\dif x_{n-1}\cdots\dif x_{1}=\\
 & =(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{R}(\partial_{n}u)^{2}\dif x\leq(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{R}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}\dif x=(b_{n}-a_{n})^{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}\dif x.
\end{align*}

\end_inset

Para 
\begin_inset Formula $u\in H_{0}^{1}(G)$
\end_inset

, existe una sucesión 
\begin_inset Formula $\{u_{m}\}_{m}\subseteq{\cal D}(G)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\lim_{m}\Vert u-u_{m}\Vert_{1,2}=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $\lim_{m}\Vert u-u_{m}\Vert_{2}=\lim_{m}\Vert\partial_{j}u-\partial_{j}u_{m}\Vert_{2}=0$
\end_inset

, y tomando límites y usando que la norma 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}\leq\Vert\cdot\Vert_{1,2}$
\end_inset

 y por tanto es continua en 
\begin_inset Formula $W^{1}(G)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
C\int_{G}u^{2}-\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}=C\Vert u\Vert_{2}^{2}-\sum_{j}\Vert\partial_{j}u\Vert_{2}^{2}=\lim_{m}\left(C\Vert u_{m}\Vert_{2}^{2}-\sum_{j}\Vert\partial_{j}u_{m}\Vert_{2}^{2}\right)\leq0.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Principio de Dirichlet:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 un abierto acotado no vacío, 
\begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $g\in W^{1}(G)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $F:\{u\in W^{1}(G)\mid u-g\in H_{0}^{1}(G)\}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula 
\[
F(u)\coloneqq\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu
\]

\end_inset

alcanza su mínimo en un único punto, que es el único 
\begin_inset Formula $u\in\text{Dom}F$
\end_inset

 tal que
\begin_inset Formula 
\[
\forall v\in H_{0}^{1}(G),\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv
\]

\end_inset

y es la única solución en 
\begin_inset Formula $\text{Dom}F$
\end_inset

 del problema de valores frontera para la ecuación de Poisson 
\begin_inset Formula $-\nabla^{2}u=f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $u,v\in W^{1}(G)$
\end_inset

 definimos 
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
B(u,v) & \coloneqq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v), & b_{0}(v) & \coloneqq\int_{G}fv, & b(v) & \coloneqq b_{0}(v)-B(v,g).
\end{align*}

\end_inset


\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es bilineal y simétrica, y es acotada porque
\begin_inset Formula 
\[
|B(u,v)|=\left|\sum_{j}\int_{G}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)\right|\leq\sum_{j}\left|\int_{G}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)\right|\leq\sum_{j}\Vert\partial_{j}u\Vert_{2}\Vert\partial_{j}v\Vert_{2}\leq n\Vert u\Vert_{1,2}\Vert v\Vert_{1,2}.
\]

\end_inset

Por la desigualdad de Poincaré-Friedrichs, existe 
\begin_inset Formula $C>0$
\end_inset

 tal que, para todo 
\begin_inset Formula $v\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula 
\[
C\int_{G}v^{2}\leq\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}v)^{2},
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula 
\[
C\Vert v\Vert_{1,2}^{2}=C\left(\int_{G}v^{2}+\sum_{j}(\partial_{j}v)^{2}\right)\leq(1+C)\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}v)^{2}=(1+C)B(v,v)
\]

\end_inset

y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es fuertemente positiva.
 Además, 
\begin_inset Formula $b_{0}$
\end_inset

 es lineal y es acotada por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, y como 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es bilineal y acotada, 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 es lineal acotada y se dan las condiciones del teorema principal de los
 problemas variacionales cuadráticos.
 Ahora bien, si 
\begin_inset Formula $w\coloneqq u-g\in H_{0}^{1}(G)$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\frac{1}{2}B(w,w)-b(w)=\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}(u-g))^{2}-\int_{G}f(u-g)+\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}(u-g))(\partial_{j}(g))=\\
=\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}(u-g))(\partial_{j}(u+g))-\int_{G}f(u-g)=\\
=\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)^{2}-\int_{G}fu+\frac{1}{2}\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}g)^{2}+\int_{G}fg,
\end{multline*}

\end_inset

luego minimizar 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 equivale a minimizar 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}B(w,w)-b(w)$
\end_inset

, y además
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
B(w,v)=b(v)\iff B(u,v)-B(g,v)=b_{0}(v)-B(v,g)\iff B(u,v)=b_{0}(v)\iff\\
\iff\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u)(\partial_{j}v)=\int_{G}fv.
\end{multline*}

\end_inset

Para la última parte, si 
\begin_inset Formula $u_{0}$
\end_inset

 cumple esta última fórmula para todo 
\begin_inset Formula $v\in H_{0}^{1}(G)$
\end_inset

, por integración por partes,
\begin_inset Formula 
\[
0=\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}u_{0})(\partial_{j}v)-\int_{G}fv=-\int_{G}\sum_{j}(\partial_{j}\partial_{j}u_{0})v-\int_{G}fv=-\int_{G}(\nabla^{2}u_{0}+f)v,
\]

\end_inset

con lo que 
\begin_inset Formula $(\nabla^{2}u_{0}+f)\bot H_{0}^{1}(G)$
\end_inset

 y, como 
\begin_inset Formula ${\cal D}(G)\subseteq H_{0}^{1}(G)$
\end_inset

 es denso en 
\begin_inset Formula $L^{2}(G)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\nabla^{2}u_{0}+f=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Soluciones débiles
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $k,n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a_{\alpha}\in\mathbb{K}^{n}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|\alpha|<k$
\end_inset

, un 
\series bold
operador diferencial lineal de coeficientes constantes
\series default
 es uno de la forma
\begin_inset Formula 
\[
L\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}\text{D}^{\alpha},
\]

\end_inset

y su 
\series bold
operador adjunto
\series default
 es
\begin_inset Formula 
\[
L^{*}\coloneqq\sum_{|\alpha|\leq k}(-1)^{|\alpha|}\overline{a_{\alpha}}\text{D}^{\alpha}.
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $G\subseteq\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 es abierto, 
\begin_inset Formula $\varphi,\psi\in L^{2}(G)$
\end_inset

 son de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{k}$
\end_inset

 y una de las dos tiene soporte compacto, entonces 
\begin_inset Formula $\langle L\varphi,\psi\rangle=\langle\varphi,L^{*}\psi\rangle$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así, si 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 es un abierto en 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f,u\in L^{2}(G)$
\end_inset

 son de clase 
\begin_inset Formula ${\cal C}^{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $Lu=f$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\langle f,\psi\rangle=\langle u,L^{*}\psi\rangle$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $u\in L^{2}(G)$
\end_inset

 es 
\series bold
solución débil
\series default
 de la ecuación en derivadas parciales 
\begin_inset Formula $Lu=f$
\end_inset

 si para todo 
\begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\langle f,\psi\rangle=\langle u,L^{*}\psi\rangle$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $L=\od{}{x}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $u,f\in L^{2}((0,1))$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $Lu=f$
\end_inset

 en sentido débil si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $F:(0,1)\to\mathbb{R}$
\end_inset

 absolutamente continua con 
\begin_inset Formula $F=u$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $F'=f$
\end_inset

 para casi todo 
\begin_inset Formula $x\in(0,1)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
La ecuación de ondas en una dimensión,
\begin_inset Formula 
\[
\left\{ \begin{array}{rlrl}
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} & =0, & t & \in[0,+\infty),\\
u(x,0) & \equiv f(x), & x & \in[0,\pi],\\
\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) & \equiv0,
\end{array}\right.
\]

\end_inset

siendo 
\begin_inset Formula $f:[0,\pi]\to\mathbb{R}$
\end_inset

 una función lineal a trozos, admite soluciones débiles que no son soluciones
 ordinarias.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Malgrange-Ehrenpreis:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 un abierto acotado de 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}^{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 un operador en derivadas parciales lineal con coeficientes constantes,
 existe un operador lineal continuo 
\begin_inset Formula $K:L^{2}(G)\to L^{2}(G)$
\end_inset

 tal que para todo 
\begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $u\coloneqq K(f)$
\end_inset

 es solución débil de 
\begin_inset Formula $Lu=f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Definimos 
\begin_inset Formula $\langle\varphi,\psi\rangle_{L}\coloneqq\langle L^{*}\varphi,L^{*}\psi\rangle_{2}$
\end_inset

, y para ver que es un producto escalar sobre 
\begin_inset Formula ${\cal D}(G)$
\end_inset

 vemos que existe 
\begin_inset Formula $C>0$
\end_inset

 tal que, para 
\begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert\psi\Vert_{2}\leq C\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $L^{*}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}$
\end_inset

, llamando 
\begin_inset Formula $\psi(x)\coloneqq0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $x\notin G$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $x\in G$
\end_inset

, como 
\begin_inset Formula $\text{sop}\psi\subseteq G$
\end_inset

 es compacto, sea 
\begin_inset Formula $m\coloneqq\inf_{x\in G}x_{1}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\psi(x)^{2} & =\left(\int_{m}^{x_{1}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\dif t\right)^{2}\leq\left(\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|\cdot1\dif t\right)^{2}\leq\\
 & \leq\int_{m}^{x_{1}}\dif t\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\leq d\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t,
\end{align*}

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 es el diámetro de 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, e integrando de nuevo,
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
\Vert\psi\Vert_{2}^{2} & =\int_{G}\psi(x)^{2}\dif x\leq d\int_{m}^{x_{1}}\int_{-\infty}^{x_{2}}\cdots\int_{-\infty}^{x_{n}}\int_{m}^{x_{1}}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(t,x_{2},\dots,x_{n})\right|^{2}\dif t\dif x_{n}\cdots\dif x_{1}\leq\\
 & \leq d^{2}\int_{G}\left|\frac{\partial\psi}{\partial x_{1}}(x)\right|^{2}\dif x=d^{2}\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}^{2}.
\end{align*}

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $L^{*}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}$
\end_inset

 para otro 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, es análogo, y si 
\begin_inset Formula $L^{*}=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{|\alpha|}$
\end_inset

, por inducción, 
\begin_inset Formula $\Vert\psi\Vert_{2}\leq d^{|\alpha|}\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 arbitrario basta hacer combinaciones lineales.
 Visto esto, sean 
\begin_inset Formula $H_{0}\coloneqq({\cal D}(G),\langle\cdot,\cdot\rangle_{L})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 su compleción, 
\begin_inset Formula $L^{*}:H_{0}\to L^{2}(G)$
\end_inset

 es lineal y continuo y por tanto admite una extensión lineal y continua
 
\begin_inset Formula $\hat{L}^{*}:H\to L^{2}(G)$
\end_inset

.
 Sea ahora 
\begin_inset Formula $f\in L^{2}(G)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $l_{0}:H_{0}\to\mathbb{K}$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $l_{0}(\psi)\coloneqq\langle\psi,f\rangle_{2}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
|l_{0}(\psi)|=|\langle\psi,f\rangle_{2}|\leq\Vert\psi\Vert_{2}\Vert f\Vert_{2}\leq C\Vert f\Vert_{2}\Vert L^{*}\psi\Vert_{2},
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 es tal que 
\begin_inset Formula $\Vert\psi\Vert_{2}\leq C\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

, de modo que 
\begin_inset Formula $l_{0}$
\end_inset

 es lineal continua por la cota 
\begin_inset Formula $C\Vert f\Vert_{2}$
\end_inset

 y se puede extender a una forma lineal y continua 
\begin_inset Formula $l:H\to\mathbb{K}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert l\Vert\leq C\Vert f\Vert_{2}$
\end_inset

.
 Por el teorema de Riesz, existe un único 
\begin_inset Formula $\hat{u}\in H$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $l(h)\equiv\langle h,\hat{u}\rangle_{L}$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $h\in H$
\end_inset

 y además 
\begin_inset Formula $\Vert\hat{u}\Vert_{H}=\Vert l\Vert_{H}$
\end_inset

, y tomando 
\begin_inset Formula $u\coloneqq\hat{L}^{*}\hat{u}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $l(h)=\langle\hat{L}^{*}h,\hat{L}^{*}\hat{u}\rangle=\langle\hat{L}^{*}h,u\rangle_{2}$
\end_inset

, pero para 
\begin_inset Formula $\psi\in{\cal D}(G)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $l(\psi)=\langle\psi,f\rangle_{2}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\hat{L}^{*}(\psi)=L^{*}\psi$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\langle L^{*}\psi,u\rangle_{2}=l(\psi)=\langle\psi,f\rangle_{2}$
\end_inset

, y basta llamar 
\begin_inset Formula $K(f)\coloneqq u$
\end_inset

.
 Para la continuidad de 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\Vert K(f)\Vert_{2}=\Vert u\Vert_{2}=\Vert\hat{L}^{*}\hat{u}\Vert_{2}=\Vert\hat{u}\Vert_{H}=\Vert l\Vert_{H}=\sup_{\Vert\psi\Vert_{H}=\Vert L^{*}\psi\Vert_{2}=1}|l(\psi)|\leq C\Vert f\Vert_{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Método de Galerkin
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq\dots\subseteq M_{n}\subseteq\dots$
\end_inset

 una sucesión de subespacios cerrados de un espacio de Hilbert 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 con unión densa en 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a:H\times H\to\mathbb{R}$
\end_inset

 bilineal, simétrica, continua y fuertemente positiva, 
\begin_inset Formula $b:H\to\mathbb{R}$
\end_inset

 lineal continua,
\begin_inset Formula 
\[
J(x)\coloneqq\frac{1}{2}a(x,x)-b(x)
\]

\end_inset

para 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $u\in H$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $J(u)$
\end_inset

 mínimo y, para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $u_{n}\in M_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $J(u_{n})$
\end_inset

 mínimo, de modo que 
\begin_inset Formula $a(x,u_{n})=b(x)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in M_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a(x,u)=b(x)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Teorema de Galerkin-Ritz:
\series default
 
\begin_inset Formula $\lim_{n}u_{n}=u$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $x\in M_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a(x,u_{n})=b(x)$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a(x,u)=f(x)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $a(x,u-u_{n})=b(x)-b(x)=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $x\in M_{n}$
\end_inset

.
 Pero 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 es un producto escalar equivalente al de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $u-u_{n}\bot M_{n}$
\end_inset

 y, si 
\begin_inset Formula $P_{n}:H\to M_{n}$
\end_inset

 es la proyección ortogonal, 
\begin_inset Formula $P_{n}(u)=u_{n}$
\end_inset

.
 Por el teorema de la proyección, 
\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert=\Vert u-P_{n}(u)\Vert=d(u,M_{n})$
\end_inset

, pero por la densidad es 
\begin_inset Formula $d(u,\bigcup_{n}M_{n})=0$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existen 
\begin_inset Formula $n_{0}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $y\in M_{n_{0}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert u-y\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, y como la sucesión es creciente, para 
\begin_inset Formula $n\geq n_{0}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert=d(u,M_{n})\leq d(u,M_{n_{0}})\leq\Vert u-y\Vert<\varepsilon$
\end_inset

, con lo que 
\begin_inset Formula $\lim_{n}u_{n}=u$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Dados 
\begin_inset Formula $c,d>0$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $a(x,y)\leq d\Vert x\Vert\Vert y\Vert$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $c\Vert x\Vert^{2}\leq a(x,x)$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset Formula $x,y\in H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert u\Vert\leq\frac{\Vert b\Vert}{c}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert\leq\frac{d}{c}d(u,M_{n})$
\end_inset

 y, si 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 es cota inferior de 
\begin_inset Formula $J(H)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Vert u-u_{n}\Vert^{2}\leq\frac{2}{c}(J(u_{n})-\beta)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
método de Galerkin
\series default
 para resolver un problema de esta forma consiste en tomar en el teorema
 anterior los 
\begin_inset Formula $M_{n}$
\end_inset

 de dimensión finita y resolver los sistemas de ecuaciones lineales resultantes,
 con matriz de coeficientes simétrica y definida positiva de tamaño 
\begin_inset Formula $\dim M_{n}$
\end_inset

.
 Tomando adecuadamente las bases de los 
\begin_inset Formula $M_{n}$
\end_inset

 se puede conseguir que las matrices tengan muchas entradas nulas.
\end_layout

\begin_layout Section
Bases hilbertianas
\end_layout

\begin_layout Standard
Sean 
\begin_inset Formula $(H_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 una familia de 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacios de Hilbert, 
\begin_inset Formula $H_{0}\coloneqq\prod_{i\in I}H_{i}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle:H_{0}\times H_{0}\to[0,+\infty]$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\langle x,y\rangle\coloneqq\sum_{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle_{H_{i}},
\]

\end_inset

llamamos 
\series bold
suma directa hilbertiana
\series default
 o 
\series bold
suma 
\begin_inset Formula $\ell^{2}$
\end_inset


\series default
 de 
\begin_inset Formula $\{H_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 al espacio de Hilbert 
\begin_inset Formula 
\[
\bigoplus_{i\in I}H_{i}\coloneqq\ell^{2}((H_{i})_{i\in I})\coloneqq(\{x\in H_{0}\mid\langle x,x\rangle<\infty\},\langle\cdot,\cdot\rangle).
\]

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Cada 
\begin_inset Formula $H_{i}$
\end_inset

 es isométricamente isomorfo al subespacio de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 de los vectores con todas las coordenadas nulas salvo la 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, los 
\begin_inset Formula $H_{i}$
\end_inset

 son mutuamente ortogonales en 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es la clausura lineal cerrada de los 
\begin_inset Formula $H_{i}$
\end_inset

 y cada 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

 se puede expresar de forma única como 
\begin_inset Formula $\sum_{i\in I}x_{i}$
\end_inset

 con cada 
\begin_inset Formula $x_{i}\in H_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es un 
\begin_inset Formula $\mathbb{K}$
\end_inset

-espacio de Hilbert y 
\begin_inset Formula $(H_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 es una familia de subespacios cerrados de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 mutuamente ortogonales con 
\begin_inset Formula $H=\overline{\text{span}\{H_{i}\}_{i\in I}}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es isométricamente isomorfo a 
\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}H_{i}$
\end_inset

, e identificamos 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\bigoplus_{i\in I}H_{i}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Desigualdad de Bessel:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 un espacio prehilbertiano y 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}\subseteq H$
\end_inset

 una familia ortonormal, para 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}\leq\Vert x\Vert^{2}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para un conjunto 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 arbitrario, llamamos 
\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)\coloneqq\bigoplus_{i\in I}\mathbb{K}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de la base hilbertiana:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 un espacio de Hilbert y 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}\subseteq H$
\end_inset

 una familia ortonormal, 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 es ortonormal maximal (por inclusión) si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall x\in H,(\forall i\in I,\langle x,e_{i}\rangle=0\implies x=0)$
\end_inset

, si y sólo si es un conjunto total, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\hat{}:H\to\ell^{2}(I)$
\end_inset

 dada por 
\begin_inset Formula $\hat{x}\coloneqq(\langle x,e_{i}\rangle)_{i\in I}$
\end_inset

 es inyectiva, si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

 admite un 
\series bold
desarrollo de Fourier
\series default
 
\begin_inset Formula $x=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $\forall x,y\in H,\langle x,y\rangle=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle\overline{\langle y,e_{i}\rangle}$
\end_inset

, si y sólo si todo 
\begin_inset Formula $x\in H$
\end_inset

 cumple la 
\series bold
identidad de Parseval
\series default
, 
\begin_inset Formula $\Vert x\Vert^{2}=\sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}$
\end_inset

, y entonces decimos que 
\begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$
\end_inset

 es una 
\series bold
base hilbertiana
\series default
 de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 o un 
\series bold
sistema ortonormal completo
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\implies2]$
\end_inset

 Entonces 
\begin_inset Formula $x\bot\{e_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

, por lo que si 
\begin_inset Formula $x\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}\cup\{x\}$
\end_inset

 sería ortogonal.
\begin_inset Formula $\#$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\iff3]$
\end_inset

 Sabemos que un 
\begin_inset Formula $S\subseteq H$
\end_inset

 es total si y sólo si 
\begin_inset Formula $S^{\bot}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\iff4]$
\end_inset

 Por ser 
\begin_inset Formula $\hat{}$
\end_inset

 lineal.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $4\implies5]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\widehat{\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}}=\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle\hat{e}_{i}=\sum_{i}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}=\hat{x}$
\end_inset

, y por inyectividad 
\begin_inset Formula $x=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $5\implies6]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\langle x,y\rangle=\sum_{i,j\in I}\langle\langle x,e_{i}\rangle e_{i},\langle y,e_{j}\rangle e_{j}\rangle=\sum_{i,j\in I}\langle x,e_{i}\rangle\overline{\langle y,e_{j}\rangle}\langle e_{i},e_{j}\rangle=\sum_{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle\overline{\langle y,e_{j}\rangle}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $6\implies7]$
\end_inset

 Basta tomar 
\begin_inset Formula $x=y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $7\implies1]$
\end_inset

 Si fuera 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i}\subsetneq M\subseteq H$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 ortonormal, para 
\begin_inset Formula $x\in M\setminus\{e_{i}\}_{i}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $1=\Vert x\Vert^{2}=\sum_{i\in I}|\langle x,e_{i}\rangle|^{2}=0\#$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Primer teorema de Riesz-Fischer:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es un espacio prehilbertiano con una familia ortonormal 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i\in I}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\hat{}:H\to\mathbb{K}^{I}$
\end_inset

 viene dada por 
\begin_inset Formula $\hat{x}\coloneqq(\langle x,e_{i}\rangle)_{i\in I}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\hat{}$
\end_inset

 es lineal y continua con imagen contenida en 
\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$
\end_inset

 e igual a 
\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es de Hilbert.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es un espacio de Hilbert, todo espacio ortonormal de vectores en 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 se puede completar a una base hilbertiana de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

, y en particular todo espacio de Hilbert posee una base hilbertiana y es
 isométricamente isomorfo a un 
\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Los espacios de Hilbert 
\begin_inset Formula $\ell^{2}(I)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\ell^{2}(J)$
\end_inset

 son topológicamente isomorfos si y sólo si 
\begin_inset Formula $|I|=|J|$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
dimensión hilbertiana
\series default
 de un espacio de Hilbert al cardinal de cualquier base hilbertiana.
 
\series bold
Segundo teorema de Riesz-Fischer:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es de dimensión infinita, 
\begin_inset Formula $\dim H=\aleph_{0}\coloneqq|\mathbb{N}|$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $H\cong\ell^{2}$
\end_inset

, si y sólo si 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es separable.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $1\iff2]$
\end_inset

 Por lo anterior.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $2\implies3]$
\end_inset

 Visto.
\end_layout

\begin_layout Description
\begin_inset Formula $3\implies2]$
\end_inset

 Dado 
\begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq H$
\end_inset

 denso, como 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 es de dimensión infinita, existe una subsucesión 
\begin_inset Formula $(x_{n_{k}})_{k}$
\end_inset

 linealmente independiente de 
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{span}\{x_{n}\}_{n}=\text{span}\{x_{n_{k}}\}_{k}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $\overline{\text{span}\{x_{n_{k}}\}_{k}}=H$
\end_inset

 y el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt nos da una base hilbertiana
 numerable de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, si 
\begin_inset Formula $Z\leq_{\mathbb{K}}\ell^{2}$
\end_inset

 es cerrado de dimensión infinita, 
\begin_inset Formula $Z\cong\ell^{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Aproximaciones por polinomios
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Korovkin:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $p_{0},p_{1},p_{2}:[a,b]\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 dadas por 
\begin_inset Formula $p_{k}(t)\coloneqq t^{k}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $(P_{n}:{\cal C}([a,b])\to{\cal C}([a,b]))_{n}$
\end_inset

 una sucesión de funciones lineales positivas (
\begin_inset Formula $\forall f\in{\cal C}([a,b]),(f\geq0\implies P_{n}(f)\geq0)$
\end_inset

) con 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert P_{n}(p_{k})-p_{k}\Vert_{\infty}=0$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $k\in\{0,1,2\}$
\end_inset

, entonces, para 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\lim_{n}\Vert P_{n}(f)-f\Vert_{\infty}=0$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Weierstrass:
\series default
 El conjunto de polinomios en una variable es denso 
\begin_inset Formula $({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$
\end_inset

, y en particular 
\begin_inset Formula $({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$
\end_inset

 es separable.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Así, para 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$
\end_inset

, se puede encontrar una sucesión de polinomios que converja uniformemente
 a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Hacerlo con polinomios de interpolación por nodos prefijados no es una
 buena estrategia ya que para toda secuencia de nodos de interpolación en
 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

, existe 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$
\end_inset

 para la que los polinomios de interpolación en dichos nodos no converge
 uniformemente a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset

 Si se hace con nodos equidistantes se da el fenómeno de Runge.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Čebyšev:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $K_{n}\subseteq\mathbb{K}[X]$
\end_inset

 es el conjunto de polinomio de grado máximo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p:K_{n}\mapsto\Vert f-p\Vert_{\infty}$
\end_inset

 tiene un único mínimo 
\begin_inset Formula $p_{n}$
\end_inset

, y 
\begin_inset Formula $(p_{n})_{n}$
\end_inset

 converge uniformemente a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
polinomio trigonométrico real
\series default
 es una función 
\begin_inset Formula $p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
\end_inset

 de la forma
\begin_inset Formula 
\[
p(x)\coloneqq\sum_{n=0}^{m}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))
\]

\end_inset

para ciertos 
\begin_inset Formula $a_{n},b_{n}\in\mathbb{R}$
\end_inset

.
 
\series bold
Teorema de Weierstrass:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}$
\end_inset

 es continua con 
\begin_inset Formula $f(-\pi)=f(\pi)$
\end_inset

, para cada 
\begin_inset Formula $\varepsilon>0$
\end_inset

 existe un polinomio trigonométrico real 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\Vert f-p\Vert_{\infty}<\varepsilon$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}$
\end_inset

 integrable y 
\begin_inset Formula $r\in\mathbb{Z}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold

\begin_inset Formula $r$
\end_inset

-ésimo coeficiente de Fourier
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a
\begin_inset Formula 
\[
\hat{f}(r)\coloneqq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\text{e}^{-\text{i}rt}\dif t,
\]

\end_inset

y 
\series bold
serie de Fourier
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a la serie formal
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{r\in\mathbb{Z}}\hat{f}(r)\text{e}^{-\text{i}rt}.
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset Formula $f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}$
\end_inset

 integrable y 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

, llamando
\begin_inset Formula 
\begin{align*}
a_{0} & \coloneqq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f, & a_{n} & \coloneqq\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\dif t, & b_{n} & \coloneqq\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\dif t,
\end{align*}

\end_inset

la 
\series bold
serie de Fourier real
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es
\begin_inset Formula 
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos(nt)+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nt).
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, sean 
\begin_inset Formula $([-\pi,\pi],\Sigma,\mu)$
\end_inset

 es el espacio de medida usual en 
\begin_inset Formula $[-\pi,\pi]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $M_{\mathbb{R}}\coloneqq L_{\mathbb{R}}^{2}([-\pi,\pi],\Sigma,\frac{\mu}{\pi})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M_{\mathbb{C}}\coloneqq L_{\mathbb{C}}^{2}([-\pi,\pi],\Sigma,\frac{\mu}{2\pi})$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
El 
\series bold
sistema trigonométrico
\series default
 
\begin_inset Formula $(\text{e}^{\text{i}rt})_{r\in\mathbb{Z}}$
\end_inset

 es una base hilbertiana de 
\begin_inset Formula $M_{\mathbb{C}}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(\cos(nt))_{n\in\mathbb{N}}\star(\sin(nt))_{n\in\mathbb{N}^{*}}$
\end_inset

 es una base hilbertiana de 
\begin_inset Formula $M_{\mathbb{R}}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $f\in M_{\mathbb{C}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 coincide con su serie de Fourier en 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Para 
\begin_inset Formula $f\in M_{\mathbb{R}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 coincide con su serie de Fourier real en 
\begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{2}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\cal F}:M_{\mathbb{C}}\to\ell^{2}(\mathbb{Z})$
\end_inset

 que asigna a cada función su familia de coeficientes de Fourier 
\begin_inset Formula $(\hat{f}(n))_{n\in\mathbb{Z}}$
\end_inset

 es un isomorfismo de espacios de Hilbert.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
peso
\series default
 en un intervalo cerrado 
\begin_inset Formula $I\subseteq\mathbb{R}$
\end_inset

 es una 
\begin_inset Formula $p\in{\cal C}(I)$
\end_inset

 estrictamente positiva tal que
\begin_inset Formula 
\[
\forall n\in\mathbb{N},\int_{I}|t|^{n}p(t)\dif t<\infty.
\]

\end_inset

Entonces 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle:{\cal C}(I)\times{\cal C}(I)\to[-\infty,+\infty]$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\langle f,g\rangle\coloneqq\int_{I}f\overline{g}p
\]

\end_inset

es un producto escalar en 
\begin_inset Formula $H_{p}\coloneqq\{f\in{\cal C}(I)\mid\langle f,f\rangle<\infty\}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
sucesión de polinomios ortonormales
\series default
 asociada a 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$
\end_inset

 o al peso 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 a una sucesión 
\begin_inset Formula $\{P_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq H_{p}$
\end_inset

 de polinomios con 
\begin_inset Formula $\text{span}\{1,t,\dots,t^{n}\}=\text{span}\{P_{0},P_{1},\dots,P_{n}\}$
\end_inset

 para cada 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, y entonces, para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $P_{n}$
\end_inset

 es un polinomio de grado 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 con coeficientes reales.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $P_{n}$
\end_inset

 es ortogonal en 
\begin_inset Formula $H_{p}$
\end_inset

 al subespacio de polinomios de grado menor que 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $P_{n}$
\end_inset

 tiene 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 raíces distintas en 
\begin_inset Formula $(a,b)$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ejemplos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Polinomios de Legendre:
\series default
 
\begin_inset Formula $I=[-1,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p(t)=1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P_{n}(t)=\frac{\sqrt{\frac{2n+1}{2}}}{2^{n}n!}\od[n]{(t^{2}-1)^{n}}{t}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Polinomios de Laguerre:
\series default
 
\begin_inset Formula $I=[0,\infty)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p(t)=\text{e}^{-t}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P_{n}(t)=\frac{\text{e}^{t}}{n!}\od[n]{\text{e}^{-t}t^{n}}{t}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Polinomios de Hermite:
\series default
 
\begin_inset Formula $I=\mathbb{R}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p(t)=\text{e}^{-t^{2}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P_{n}(t)=\frac{\text{e}^{t^{2}}}{\sqrt[4]{\pi}\sqrt{2^{n}n!}}\od[n]{\text{e}^{-t^{2}}}{t}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
Polinomios de Čebyšev:
\series default
 
\begin_inset Formula $I=[-1,1]$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $p(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $P_{n}(t)=\cos(n\arccos t)$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Una sucesión de polinomios ortonormales asociada a un peso 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 en un intervalo compacto es total en 
\begin_inset Formula $H_{p}$
\end_inset

, y en particular los polinomios de Legendre forman una base hilbertiana
 en 
\begin_inset Formula $L^{2}([-1,1]).$
\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 es un peso en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $a\leq t_{1}<\dots<t_{n}\leq b$
\end_inset

, se tiene una 
\series bold
fórmula de cuadratura gaussiana
\series default
, 
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}fp\approx\sum_{k=1}^{n}A_{k}f(t_{k})
\]

\end_inset

para ciertos 
\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}\in\mathbb{R}$
\end_inset

, y se alcanza la igualdad si 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un polinomio de grado menor que 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Gauss:
\series default
 Dados un peso 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 con una sucesión de polinomios ortonormales 
\begin_inset Formula $(P_{n})_{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}^{*}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a<t_{1}<\dots<t_{n}<b$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{n}\in\mathbb{R}$
\end_inset

, si
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}fp=\sum_{k=1}^{n}A_{k}f(t_{k})
\]

\end_inset

para todo polinomio 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 de grado menor que 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, esta fórmula se para polinomios de grado menor que 
\begin_inset Formula $2n$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $t_{1},\dots,t_{n}$
\end_inset

 son los ceros de 
\begin_inset Formula $P_{n}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de Stieltjes:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 un peso en 
\begin_inset Formula $[a,b]$
\end_inset

 con una sucesión de polinomios ortonormales 
\begin_inset Formula $(P_{n})_{n}$
\end_inset

 y, para 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $t_{n1}<\dots<t_{nn}$
\end_inset

 los ceros de 
\begin_inset Formula $P_{n}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A_{n1},\dots,A_{nn}\in\mathbb{R}$
\end_inset

 los correspondientes coeficientes en la fórmula de cuadratura gaussiana,
 para 
\begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\int_{a}^{b}fp=\lim_{n}\sum_{k=1}^{n}A_{nk}f(t_{nk}).
\]

\end_inset


\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
El espacio de Bergman
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula $D(a,r)\coloneqq B(a,r)\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 es abierto, 
\begin_inset Formula ${\cal H}(\Omega)$
\end_inset

 es el conjunto de las funciones holomorfas en 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

, y para 
\begin_inset Formula $f\in{\cal H}(\Omega)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\overline{D(a,r)}\subseteq\Omega$
\end_inset

, la serie 
\begin_inset Formula $\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}(z-a)^{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $z\in D(a,r)$
\end_inset

 converge uniformemente a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en compactos de 
\begin_inset Formula $D(a,r)$
\end_inset

 para ciertos 
\begin_inset Formula $a_{n}\in\mathbb{C}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 es abierto, llamamos 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{K}}$
\end_inset

 a la topología en 
\begin_inset Formula ${\cal H}(\Omega)$
\end_inset

 de convergencia uniforme sobre compactos, y 
\series bold
espacio de Bergman
\series default
 en el abierto 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 a
\begin_inset Formula 
\[
A^{2}(\Omega)\coloneqq\left\{ f\in{\cal H}(\Omega)\;\middle|\;\int_{\Omega}|f|^{2}<\infty\right\} ,
\]

\end_inset

un subespacio cerrado y separable de 
\begin_inset Formula $L^{2}(\Omega)$
\end_inset

 que es pues un espacio de Hilbert numerable con 
\begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle_{2}$
\end_inset

, y en el que la topología inducida por 
\begin_inset Formula $L^{2}(\Omega)$
\end_inset

 es más fina que la inducida por 
\begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{K}}$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
\end_inset

 es abierto, 
\begin_inset Formula $(\omega_{n})_{n}$
\end_inset

 es base hilbertiana de 
\begin_inset Formula $A^{2}(\Omega)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in A^{2}(\Omega)$
\end_inset

, el desarrollo en serie de Fourier de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\sum_{n}\langle f,\omega_{n}\rangle\omega_{n}$
\end_inset

, converge uniformemente a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 en compactos de 
\begin_inset Formula $\Omega$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\psi_{n}(z)\coloneqq(z-a)^{n}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\frac{\psi_{n}}{\Vert\psi_{n}\Vert})_{n}$
\end_inset

 es una base hilbertiana de 
\begin_inset Formula $A^{2}(D(a,r))$
\end_inset

, y el desarrollo en serie de potencias es el desarrollo en serie de Fourier
 sobre esta base.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Como 
\series bold
teorema
\series default
, si 
\begin_inset Formula $\Omega\subsetneq\mathbb{C}$
\end_inset

 es un abierto simplemente conexo y 
\begin_inset Formula $f:\Omega\to D(0,1)$
\end_inset

 es un isomorfismo, 
\begin_inset Formula $\left(z\mapsto\sqrt{\frac{n}{\pi}}(f(z))^{n-1}\dot{f}(z)\right)_{n}$
\end_inset

 es base hilbertiana de 
\begin_inset Formula $A^{2}(\Omega)$
\end_inset

, y en particular para 
\begin_inset Formula $R>0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\left(z\mapsto\sqrt{\frac{n}{\pi}}R^{-n}z^{n-1}\right)_{n}$
\end_inset

 es base hilbertiana de 
\begin_inset Formula $A^{2}(D(0,R))$
\end_inset

.
\begin_inset Note Note
status open

\begin_layout Plain Layout
nproof
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document