#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \begin_preamble \input{../defs} \usepackage{commath} \end_preamble \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 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finita con base \begin_inset Formula $(e_{i})_{i}$ \end_inset , todo homomorfismo \begin_inset Formula $T:G\to H$ \end_inset es acotado con \begin_inset Formula \[ \Vert T\Vert\leq\sqrt{\sum_{i}\Vert Te_{i}\Vert^{2}}. \] \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Sean \begin_inset Formula $G$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacios de Hilbert de dimensión \begin_inset Formula $\aleph_{0}$ \end_inset con bases ortonormales \begin_inset Formula $(e_{n})_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(f_{n})_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{a_{n}\}_{n}\subseteq\mathbb{K}$ \end_inset una sucesión acotada, el \series bold operador diagonal \series default \begin_inset Formula $T:G\to H$ \end_inset dado por \begin_inset Formula \[ T(x)\coloneqq\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\langle x,e_{n}\rangle f_{n} \] \end_inset es acotado con \begin_inset Formula $\Vert T\Vert=\sup_{n}|a_{n}|$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $g\in L^{\infty}([a,b])$ \end_inset , el \series bold operador multiplicación por \begin_inset Formula $g$ \end_inset \series default , \begin_inset Formula $T:L^{2}([a,b])\to L^{2}([a,b])$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $Tf\coloneqq gf$ \end_inset , es acotado con \begin_inset Formula $\Vert T\Vert=\Vert g\Vert_{\infty}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Sean \begin_inset Formula $G$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacios de Hilbert de dimensión \begin_inset Formula $\aleph_{0}$ \end_inset con bases ortonormales respectivas \begin_inset Formula $(u_{n})_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(v_{n})_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ \end_inset una matriz infinita con \begin_inset Formula $\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}<\infty$ \end_inset , \begin_inset Formula $T:G\to H$ \end_inset dado por \begin_inset Formula \[ T(x)\coloneqq\sum_{i,j}a_{ij}\langle x,u_{i}\rangle v_{j} \] \end_inset es un operador acotado con \begin_inset Formula $\Vert T\Vert\leq\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset , el \series bold operador integral con núcleo \begin_inset Formula $k$ \end_inset \series default , \begin_inset Formula $K:L^{2}([a,b])\to L^{2}([a,b])$ \end_inset dado por \begin_inset Formula \[ K(f)(t)\coloneqq\int_{a}^{b}k(t,s)f(s)\dif s, \] \end_inset es acotado con \begin_inset Formula $\Vert K\Vert\leq\sqrt{\iint_{[a,b]\times[a,b]}|k|^{2}}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Una matriz infinita \begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ \end_inset satisface el \series bold test de Schur \series default si existen \begin_inset Formula $C,D\in\mathbb{R}$ \end_inset tales que \begin_inset Formula \begin{align*} \forall i\in\mathbb{N},\sum_{j}|a_{ij}| & \leq C, & \forall j\in\mathbb{N}, & \sum_{i}|a_{ij}|\leq D. \end{align*} \end_inset Entonces, si \begin_inset Formula $G$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset son \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacios de Hilbert de dimensión \begin_inset Formula $\aleph_{0}$ \end_inset con bases ortonormales respectivas \begin_inset Formula $(u_{n})_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(v_{n})_{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula $T:G\to H$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ T(x)\coloneqq\sum_{i,j}a_{ij}\langle x,u_{i}\rangle v_{j} \] \end_inset es un operador acotado con \begin_inset Formula $\Vert T\Vert\leq\sqrt{CD}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Sean \begin_inset Formula $k:[a,b]\times[a,b]\to\mathbb{K}$ \end_inset medible y \begin_inset Formula $C,D\in\mathbb{R}$ \end_inset tales que \begin_inset Formula \begin{align*} \forall t\in[a,b],\int_{a}^{b}|k(t,s)|\dif s & \leq C, & \forall s\in[a,b], & \int_{a}^{b}|k(t,s)|\dif t\leq D, \end{align*} \end_inset entonces \begin_inset Formula $K:L^{2}([a,b])\to L^{2}([a,b])$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ K(f)(t)\coloneqq\int_{a}^{b}k(t,s)f(s)\dif s \] \end_inset es un operador acotado con \begin_inset Formula $\Vert K\Vert\leq\sqrt{CD}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert de dimensión \begin_inset Formula $\aleph_{0}$ \end_inset con base ortonormal \begin_inset Formula $(e_{n})_{n}$ \end_inset , para \begin_inset Formula $T\in L(H)$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ T(x)=\sum_{i,j}\langle x,e_{j}\rangle\langle Te_{j},e_{i}\rangle e_{i}, \] \end_inset con lo que \begin_inset Formula $T$ \end_inset admite una representación matricial \begin_inset Formula $(\langle Te_{j},e_{i}\rangle)_{i,j}\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $T\in L(X,Y)$ \end_inset es \series bold de rango finito \series default si \begin_inset Formula $\dim\text{Im}T<\infty$ \end_inset . Dados espacios de Hilbert \begin_inset Formula $G$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset y \begin_inset Formula $T\in L(G,H)$ \end_inset , \begin_inset Formula $T$ \end_inset es de rango finito si y sólo si viene dada por \begin_inset Formula $T(x)=\sum_{i=1}^{n}\langle x,u_{i}\rangle v_{i}$ \end_inset para ciertos \begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{n}\in G$ \end_inset y \begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}\in H$ \end_inset , en cuyo caso los \begin_inset Formula $(v_{i})_{i}$ \end_inset pueden tomarse de forma que sean una base de \begin_inset Formula $\text{Im}T$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Inversión de operadores \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset son \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacios normados, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ \end_inset y \begin_inset Formula $S\in{\cal L}(Y,X)$ \end_inset cumplen \begin_inset Formula $ST=1_{X}$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $S$ \end_inset es el \series bold inverso por la izquierda \series default de \begin_inset Formula $T$ \end_inset y \begin_inset Formula $T$ \end_inset es el \series bold inverso por la derecha \series default de \begin_inset Formula $S$ \end_inset , y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ \end_inset es \series bold invertible \series default si existe \begin_inset Formula $T^{-1}\in{\cal L}(Y,X)$ \end_inset inverso de \begin_inset Formula $T$ \end_inset por la izquierda y por la derecha. Llamamos \begin_inset Formula ${\cal L}(X)\coloneqq\text{End}_{\mathbb{K}}X={\cal L}(X,X)$ \end_inset e \begin_inset Formula \[ \text{Isom}X\coloneqq\text{Isom}_{\mathbb{K}}(X)\coloneqq\{T\in{\cal L}(X)\mid T\text{ invertible}\}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de dimensión finita, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X)$ \end_inset tiene inverso por la izquierda si y sólo si lo tiene por la derecha, si y sólo si es invertible. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset Esto no es cierto en general en dimensión infinita; por ejemplo, el operador \series bold desplazamiento a derecha \series default , \begin_inset Formula $S_{\text{r}}\in\ell^{2}$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $S_{\text{r}}(x_{1},\dots,x_{n},\dots)\coloneqq(0,x_{1},\dots,x_{n},\dots)$ \end_inset , tiene como inverso por la izquierda el \series bold desplazamiento a izquierda \series default , \begin_inset Formula $S_{\text{l}}\in\ell^{2}$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $S_{\text{l}}(x_{1},\dots,x_{n},\dots)\coloneqq(x_{2},\dots,x_{n},\dots)$ \end_inset , pero no tiene inverso por la derecha. \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $T\in\text{End}_{\mathbb{K}}X$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}$ \end_inset es un \series bold valor regular \series default de \begin_inset Formula $T$ \end_inset si \begin_inset Formula $T-\lambda1_{X}$ \end_inset es invertible, un \series bold valor espectral \series default en otro caso, y un \series bold valor propio \series default si \begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{X})\neq0$ \end_inset , en cuyo caso llamamos \series bold subespacio propio \series default de \begin_inset Formula $T$ \end_inset correspondiente al valor propio \begin_inset Formula $\lambda$ \end_inset a \begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{X})$ \end_inset y \series bold valores propios \series default de \begin_inset Formula $T$ \end_inset correspondientes al valor propio \begin_inset Formula $\lambda$ \end_inset a los elementos no nulos de este subespacio. Llamamos \series bold resolvente \series default de \begin_inset Formula $T$ \end_inset al conjunto de sus valores regulares, \series bold espectro \series default de \begin_inset Formula $T$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sigma(T)$ \end_inset , al conjunto de sus valores espectrales y \series bold espectro puntual \series default de \begin_inset Formula $T$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)\subseteq\sigma(T)$ \end_inset , al conjunto de sus valores propios. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de dimensión finita, \begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)=\sigma(T)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset Sin embargo, \begin_inset Formula $0\in\sigma(S_{\text{r}})$ \end_inset pero \begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(S_{\text{r}})=\emptyset$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio de Banach y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X)$ \end_inset cumple \begin_inset Formula $\Vert T\Vert<1$ \end_inset , \begin_inset Formula $1_{X}-T$ \end_inset es invertible con inverso \begin_inset Formula $\sum_{n\in\mathbb{N}}T^{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert(1_{X}-T)^{-1}\Vert\leq\frac{1}{1-\Vert T\Vert}$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sum_{k=0}^{n}\Vert T^{k}\Vert\leq\sum_{k=0}^{n}\Vert T\Vert^{k}\leq\sum_{k\in\mathbb{N}}\Vert T\Vert^{n}=\frac{1}{1-\Vert T\Vert}$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert T^{n}\Vert$ \end_inset converge y, por ser \begin_inset Formula $X$ \end_inset de Banach, \begin_inset Formula $S\coloneqq\sum_{n}T^{n}$ \end_inset también, pero \begin_inset Formula $S(1_{X}-T)=S-ST=T^{0}=1_{X}$ \end_inset y análogamente \begin_inset Formula $(1_{X}-T)S=1_{X}$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $S=(1_{X}-T)^{-1}$ \end_inset , y finalmente \begin_inset Formula \[ \Vert(1_{X}-T)^{-1}\Vert=\left\Vert \sum_{n}T^{n}\right\Vert \leq\sum_{n}\Vert T\Vert^{n}=\frac{1}{1-\Vert T\Vert}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de von Neumann: \series default Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio de Banach, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X)$ \end_inset invertible y \begin_inset Formula $S\in{\cal L}(X)$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\Vert T-S\Vert<\frac{1}{\Vert T^{-1}\Vert}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $S$ \end_inset es invertible con \begin_inset Formula \begin{align*} S^{-1} & =\sum_{n\in\mathbb{N}}(T^{-1}(T-S))^{n}T^{-1}, & \left\Vert T^{-1}-S^{-1}\right\Vert & \leq\frac{\Vert T^{-1}\Vert^{2}\Vert T-S\Vert}{1-\Vert T^{-1}\Vert\Vert T-S\Vert}. \end{align*} \end_inset \series bold Demostración: \series default \begin_inset Formula $\Vert T^{-1}(T-S)\Vert=\Vert T-S\Vert\Vert T^{-1}\Vert<1$ \end_inset , luego por el teorema anterior \begin_inset Formula $1_{X}-T^{-1}(T-S)=T^{-1}S$ \end_inset es invertible con \begin_inset Formula \[ (T^{-1}S)^{-1}=\sum_{n}(T^{-1}(T-S))^{n}, \] \end_inset luego \begin_inset Formula $S=T(T^{-1}S)$ \end_inset es invertible con inversa \begin_inset Formula $(T^{-1}S)^{-1}T^{-1}$ \end_inset y \begin_inset Formula \begin{align*} \Vert T^{-1}-S^{-1}\Vert & =\Vert T^{-1}-(T^{-1}S)^{-1}T^{-1}\Vert=\Vert(1_{X}-(T^{-1}S)^{-1})T^{-1}\Vert\leq\\ & \leq\left\Vert \left(1_{X}-\sum_{n}(T^{-1}(T-S))^{n}\right)T^{-1}\right\Vert =\left\Vert \sum_{n\geq1}(T^{-1}(T-S))^{n}T^{-1}\right\Vert \leq\\ & \leq\sum_{n\geq1}\Vert(T^{-1}(T-S))^{n}\Vert\Vert T^{-1}\Vert\leq\frac{\Vert T^{-1}\Vert^{2}\Vert T-S\Vert}{1-\Vert T^{-1}\Vert\Vert T-S\Vert}. \end{align*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Así, si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio de Banach, \begin_inset Formula $\text{Isom}X$ \end_inset es un abierto de \begin_inset Formula ${\cal L}(X)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\cdot^{-1}:\text{Isom}X\to\text{Isom}X$ \end_inset es continua con la norma de \begin_inset Formula ${\cal L}(X)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{FVC} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Liouville: \series default Toda función [...][compleja holomorfa y] acotada es constante. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Gelfand: \series default Si \begin_inset Formula $_{\mathbb{C}}X$ \end_inset es de Banach y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X)$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sigma(T)$ \end_inset es compacto no vacío contenido en \begin_inset Formula $B(0,\Vert T\Vert)$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Si \begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{C}\setminus B[0,\Vert T\Vert]$ \end_inset , \begin_inset Formula $\frac{\Vert T\Vert}{|\lambda|}<1$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\lambda1_{X}-T=\lambda(1_{X}-\frac{T}{\lambda})$ \end_inset es invertible y \begin_inset Formula $\lambda\notin\sigma(T)$ \end_inset . La función \begin_inset Formula $\psi:\mathbb{C}\to{\cal L}(X)$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $\psi(\lambda)\coloneqq\lambda1_{X}-T$ \end_inset es continua y por tanto \begin_inset Formula $\mathbb{C}\setminus\sigma(T)=\psi^{-1}(\text{Isom}X)$ \end_inset es abierto, con lo que \begin_inset Formula $\sigma(T)$ \end_inset es cerrado acotado y por tanto compacto. Si fuera vacío, podemos definir \begin_inset Formula $\phi:\mathbb{C}\to\text{Isom}X$ \end_inset como \begin_inset Formula $\phi(\lambda)\coloneqq(\lambda1_{X}-T)^{-1}$ \end_inset , que es continua, pero para \begin_inset Formula $\lambda,h\in\mathbb{C}$ \end_inset , \begin_inset Formula \begin{multline*} \frac{\phi(\lambda+h)-\phi(\lambda)}{h}=\frac{((\lambda+h)1_{X}-T)^{-1}(\lambda1_{X}-T)^{-1}((\lambda1_{X}-T)-((\lambda+h)1_{X}-T))}{h}=\\ =-((\lambda+h)1_{X}-T)^{-1}(\lambda1_{X}-T)^{-1}, \end{multline*} \end_inset de donde \begin_inset Formula \[ \dot{\phi}(\lambda)=\lim_{h\to0}\frac{\phi(\lambda+h)-\phi(\lambda)}{h}=\lim_{h\to0}(-((\lambda+h)1_{X}-T)^{-1}(\lambda1_{X}-T)^{-1})=-((\lambda1_{X}-T)^{-1})^{2}, \] \end_inset con lo que \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset es holomorfa y \begin_inset Formula $\dot{\phi}\neq0$ \end_inset , pero \begin_inset Formula \[ \Vert\phi(\lambda)\Vert=\Vert(\lambda1_{X}-T)^{-1}\Vert=\frac{1}{|\lambda|}\left\Vert \left(1_{X}-\frac{T}{\lambda}\right)^{-1}\right\Vert =\frac{1}{|\lambda|}\left\Vert \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{T^{n}}{\lambda^{n}}\right\Vert \leq\frac{1}{|\lambda|}\frac{1}{1-\frac{\Vert T\Vert}{|\lambda|}}=\frac{1}{|\lambda|-\Vert T\Vert}, \] \end_inset con lo que \begin_inset Formula $\lim_{|\lambda|\to\infty}\Vert\phi(\lambda)\Vert=\infty$ \end_inset y por tanto, como \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset es continua, es acotada y, por el teorema de Liouville \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout Que todavía no hemos visto que se de para espacios vectoriales infinitos pero suponemos que se cumple. \end_layout \end_inset , \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset es constante y \begin_inset Formula $\dot{\phi}=0\#$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Dados \begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}<1$ \end_inset e \begin_inset Formula $y\in\ell^{2}$ \end_inset , el sistema \begin_inset Formula \begin{align*} x_{k}-\sum_{j\in\mathbb{N}}a_{kj}x_{j} & =y_{k}, & k & \in\mathbb{N}, \end{align*} \end_inset tiene solución única \begin_inset Formula $z\in\ell^{2}$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , el sistema truncado \begin_inset Formula \begin{align*} x_{k}-\sum_{j\in\mathbb{N}_{n}}a_{kj}x_{j} & =y_{k}, & k & \in\mathbb{N}_{n} \end{align*} \end_inset tiene una única solución \begin_inset Formula $z_{n}\in\mathbb{K}^{n}$ \end_inset de modo que, si \begin_inset Formula $J_{n}:\mathbb{K}^{n}\to\ell^{2}$ \end_inset es la inclusión canónica de \begin_inset Formula $\mathbb{K}^{n}$ \end_inset en las \begin_inset Formula $n$ \end_inset primeras coordenadas, \begin_inset Formula $\lim_{n}J_{n}(z_{n})=z$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert k\Vert_{2}<1$ \end_inset y \begin_inset Formula $g\in L^{2}([a,b])$ \end_inset , la ecuación \begin_inset Formula \begin{align*} f(t)-\int_{a}^{b}k(t,s)f(s)\dif s & =g(t), & t & \in[a,b], \end{align*} \end_inset tiene solución única que es de la forma \begin_inset Formula \[ g(t)+\int_{a}^{b}\tilde{k}(t,s)g(s)\dif s \] \end_inset para cierto \begin_inset Formula $\tilde{k}\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $K$ \end_inset es el operador integral con núcleo \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert k\Vert_{2}<1$ \end_inset y \begin_inset Formula \[ \forall t\in[a,b],\int_{a}^{b}|k(t,s)|^{2}\dif s\leq C, \] \end_inset para \begin_inset Formula $g\in L^{2}([a,b])$ \end_inset , la serie \begin_inset Formula $\sum_{n}K^{n}g$ \end_inset converge en \begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ \end_inset y converge absoluta y uniformemente en \begin_inset Formula $[a,b]$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Con todo esto, para \begin_inset Formula $g\in L^{2}([0,1])$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$ \end_inset , la ecuación integral \begin_inset Formula \[ f(t)-\lambda\int_{0}^{1}\text{e}^{t-s}f(s)\dif s=g(t) \] \end_inset tiene solución única \begin_inset Formula \[ f(t)=g(t)+\frac{\lambda}{1-\lambda}\int_{0}^{1}\text{e}^{t-s}g(s)\dif s. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Section Operador adjunto \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $G$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset son espacios de Hilbert y \begin_inset Formula $T\in L(G,H)$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula \[ \Vert T\Vert=\sup_{x,y\in\overline{B_{G}}}|\langle Tx,y\rangle|=\sup_{x,y\in B_{G}}|\langle Tx,y\rangle|. \] \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Existe un único \begin_inset Formula $T^{*}\in L(H,G)$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall x\in G,\forall y\in H,\langle Tx,y\rangle\equiv\langle x,T^{*}y\rangle$ \end_inset , el \series bold adjunto \series default de \begin_inset Formula $T$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\Vert T\Vert=\Vert T^{*}\Vert$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $G$ \end_inset , \begin_inset Formula $H$ \end_inset y \begin_inset Formula $J$ \end_inset \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacios de Hilbert, \begin_inset Formula $A,B\in L(G,H)$ \end_inset , \begin_inset Formula $C\in L(H,J)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{K}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(\alpha A)^{*}=\overline{\alpha}A^{*}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A^{**}=A$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(AC)^{*}=C^{*}A^{*}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es invertible, también lo es \begin_inset Formula $A^{*}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\Vert AA^{*}\Vert=\Vert A^{*}A\Vert=\Vert A\Vert^{2}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\ker A=(\text{Im}A^{*})^{\bot}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\ker A^{*}=(\text{Im}A)^{\bot}.$ \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(\ker A)^{\bot}=\overline{\text{Im}A^{*}}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(\ker A^{*})^{\bot}=\overline{\text{Im}A}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate En \begin_inset Formula $\ell^{2}$ \end_inset , el adjunto de \begin_inset Formula $S_{\text{r}}$ \end_inset es \begin_inset Formula $S_{\text{l}}$ \end_inset y viceversa. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert y \begin_inset Formula $K\in{\cal L}(H)$ \end_inset es un operador de rango finito dado por \begin_inset Formula $K(x)=\sum_{i=1}^{n}\langle x,u_{i}\rangle v_{i}$ \end_inset , su adjunto es de rango finito dado por \begin_inset Formula $K^{*}(x)=\sum_{i=1}^{n}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert con base \begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ \end_inset y \begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ \end_inset es un operador diagonal con \begin_inset Formula $A(e_{i})\coloneqq\lambda_{i}e_{i}$ \end_inset para ciertos \begin_inset Formula $\lambda_{i}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $A^{*}$ \end_inset es un operador diagonal con \begin_inset Formula $A^{*}(e_{i})=\overline{\lambda_{i}}e_{i}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $K\in{\cal L}(L^{2}([a,b]))$ \end_inset es el operador multiplicación por \begin_inset Formula $g\in L^{\infty}([a,b])$ \end_inset , \begin_inset Formula $K^{*}$ \end_inset es el operador multiplicación por \begin_inset Formula $\overline{g}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert separable con base hilbertiana \begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in I}$ \end_inset y \begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ \end_inset se expresa en dicha base como \begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{I\times I}$ \end_inset , \begin_inset Formula $A^{*}$ \end_inset se expresa en dicha base como \begin_inset Formula $(\overline{a_{ji}})\in\mathbb{K}^{I\times I}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $K\in{\cal L}(L^{2}([a,b]))$ \end_inset es el operador integral con núcleo \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset , \begin_inset Formula $K^{*}$ \end_inset es el operador integral con núcleo \begin_inset Formula $k^{*}(t,s)\coloneqq\overline{k(s,t)}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert, \begin_inset Formula $M\leq H$ \end_inset es cerrado e \begin_inset Formula $\iota:M\hookrightarrow H$ \end_inset es la inclusión, \begin_inset Formula $\iota^{*}:H\to M$ \end_inset es la proyección ortogonal. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard En general el adjunto no existe en espacios prehilbertianos. Por ejemplo, \begin_inset Formula $T:c_{00}\to c_{00}$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $T(x)\coloneqq\sum_{n\geq1}\frac{x_{n}}{n}(1,0,\dots)$ \end_inset no tiene adjunto en \begin_inset Formula $(c_{00},\langle\cdot,\cdot\rangle_{2})$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert, \begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ \end_inset es \series bold autoadjunto \series default o \series bold hermitiano \series default si \begin_inset Formula $A^{*}=A$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $A,B\in{\cal L}(H)$ \end_inset son autoadjuntos: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\Vert A\Vert=\sup_{x\in\overline{B_{H}}}|\langle Ax,x\rangle|=\sup_{x\in S_{H}}|\langle Ax,x\rangle|$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Los valores propios de \begin_inset Formula $A$ \end_inset son reales. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\forall x\in H,\langle Ax,x\rangle=0\implies A=0$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $H=\ker A\oplus\overline{\text{Im}A}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A+B$ \end_inset es autoadjunto, y \begin_inset Formula $AB$ \end_inset lo es si y sólo si \begin_inset Formula $AB=BA$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $_{\mathbb{C}}H$ \end_inset es un espacio de Hilbert y \begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A$ \end_inset es autoadjunto si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x\in H,\langle Ax,x\rangle\in\mathbb{R}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \backslash Existen únicos \begin_inset Formula $\text{Re}A,\text{Im}A\in{\cal L}(H)$ \end_inset autoadjuntos, la \series bold parte real \series default y la \series bold imaginaria \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , con \begin_inset Formula $A=\text{Re}A+\text{i}\text{Im}A$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\llbracket A\rrbracket\coloneqq\sup_{x\in S_{H}}|\langle Ax,x\rangle|$ \end_inset es una norma en \begin_inset Formula ${\cal L}(H)$ \end_inset equivalente a la usual. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert con base \begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate El operador diagonal \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset con \begin_inset Formula $T(e_{i})\eqqcolon\lambda_{i}e_{i}$ \end_inset es autoadjunto si y sólo si \begin_inset Formula $\{\lambda_{i}\}_{i\in I}\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es separable y \begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ \end_inset se representa respecto a la base como la matriz \begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{I\times I}$ \end_inset , \begin_inset Formula $A$ \end_inset es autoadjunto si y sólo si \begin_inset Formula $\forall i,j\in I,a_{ij}=\overline{a_{ji}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate El operador multiplicación por \begin_inset Formula $g\in L^{\infty}([a,b])$ \end_inset en \begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ \end_inset es autoadjunto si y sólo si \begin_inset Formula $g(t)$ \end_inset es real para casi todo \begin_inset Formula $t\in[a,b]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate El operador integral con núcleo \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset en \begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ \end_inset es autoadjunto si y sólo si \begin_inset Formula $k(t,s)=\overline{k(s,t)}$ \end_inset para casi todo \begin_inset Formula $(s,t)\in[a,b]\times[a,b]$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Una proyección ortogonal \begin_inset Formula $P:H\to H$ \end_inset sobre un subespacio cerrado es autoadjunto. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert, \begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ \end_inset es \series bold normal \series default si \begin_inset Formula $AA^{*}=A^{*}A$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x,y\in H,\langle Ax,Ay\rangle=\langle A^{*}x,A^{*}y\rangle$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x\in H,\Vert Ax\Vert=\Vert A^{*}x\Vert$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert complejo, \begin_inset Formula $A\in{\cal L}(H)$ \end_inset es normal si y sólo si \begin_inset Formula $\text{Re}A\circ\text{Im}A=\text{Im}A\circ\text{Re}A$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Todo operador diagonal es normal. \end_layout \begin_layout Enumerate El operador integral sobre \begin_inset Formula $L^{2}([a,b])$ \end_inset con núcleo \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset es normal si y sólo si \begin_inset Formula \[ \int_{a}^{b}\overline{k(s,t)}k(s,x)\dif s=\int_{a}^{b}k(t,s)\overline{k(x,s)}\dif s \] \end_inset para casi todo \begin_inset Formula $(t,x)\in[a,b]\times[a,b]$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold proyección \series default en un espacio normado \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un operador \begin_inset Formula $X\to X$ \end_inset idempotente. Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un espacio de Hilbert y \begin_inset Formula $P$ \end_inset es una proyección continua no nula en \begin_inset Formula $X$ \end_inset , \begin_inset Formula $P$ \end_inset es una proyección ortogonal si y sólo si \begin_inset Formula $\Vert P\Vert=1$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\text{Im}P=(\ker P)^{\bot}$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\ker P=(\text{Im}P)^{\bot}$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $P$ \end_inset es autoadjunto, si y sólo si es normal, si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x\in H,\langle Px,x\rangle=\Vert Px\Vert^{2}$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x\in H,\langle Px,x\rangle\geq0$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Existen proyecciones no ortogonales, como \begin_inset Formula $p:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $p(x,y)\coloneqq(x+y,0)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Hilbert, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lambda\in\sigma(T)\iff\overline{\lambda}\in\sigma(T^{*})$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset es normal: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\forall\lambda\in\mathbb{C}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{H})=\ker(T^{*}-\overline{\lambda}1_{H})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\forall\lambda,\mu\in\mathbb{C},(\lambda\neq\mu\implies\ker(T-\lambda1_{H})\bot\ker(T-\mu1_{H}))$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{H})$ \end_inset y \begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{H})^{\bot}$ \end_inset son \begin_inset Formula $T$ \end_inset -invariantes. \end_layout \begin_layout Section Operadores compactos \end_layout \begin_layout Standard Dado un espacio topológico \begin_inset Formula $X$ \end_inset , \begin_inset Formula $Y\subseteq X$ \end_inset es \series bold relativamente compacto \series default en \begin_inset Formula $X$ \end_inset si su clausura en \begin_inset Formula $X$ \end_inset es compacta. Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset espacios normados, una función lineal \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset es \series bold compacta \series default si \begin_inset Formula $T(B_{X})$ \end_inset es relativamente compacta en \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , si y sólo si para cada sucesión acotada \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$ \end_inset , \begin_inset Formula $(Tx_{n})_{n}$ \end_inset posee una subsucesión convergente, si y sólo si esto se cumple cuando cada \begin_inset Formula $\Vert x_{n}\Vert=1$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Los operadores de rango finito son compactos. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate El operador identidad en un espacio de dimensión infinita nunca es compacto. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Llamamos \begin_inset Formula ${\cal K}(X,Y)$ \end_inset al subespacio vectorial de \begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)$ \end_inset de los operadores compactos, que es cerrado si \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es de Banach. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $A\in{\cal L}(X,Y)$ \end_inset , \begin_inset Formula $T\in{\cal K}(Y,Z)$ \end_inset y \begin_inset Formula $B\in{\cal L}(Z,W)$ \end_inset , \begin_inset Formula $BTA\in{\cal K}(X,W)$ \end_inset , y en particular \begin_inset Formula ${\cal K}(X)\coloneqq{\cal K}(X,X)$ \end_inset es un ideal de \begin_inset Formula ${\cal L}(X)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $T\in{\cal K}(X,Y)$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\text{Im}T$ \end_inset es un subespacio separable de \begin_inset Formula $Y$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es de Hilbert, \begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}$ \end_inset es de dimensión infinita con base hilbertiana \begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula $P_{n}\in{\cal L}(Y)$ \end_inset es la proyección ortogonal sobre \begin_inset Formula $\text{span}\{e_{i}\}_{i\leq n}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $T=\lim_{n}P_{n}T\in{\cal L}(X,Y)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Así, si \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es de Hilbert, \begin_inset Formula ${\cal K}(X,Y)$ \end_inset es la clausura en \begin_inset Formula ${\cal L}(X,Y)$ \end_inset del conjunto de operadores acotados de rango finito. Esto no es cierto cuando \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es un espacio de Banach arbitrario. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $G$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset son espacios de Hilbert, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(G,H)$ \end_inset es compacto si y sólo si lo es \begin_inset Formula $T^{*}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Con esto: \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset son bases hilbertianas respectivas de \begin_inset Formula $G$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset y \begin_inset Formula $T:G\to H$ \end_inset es un operador diagonal dado por \begin_inset Formula $Te_{n}\coloneqq\lambda_{n}f_{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula $T$ \end_inset es compacto si y sólo si \begin_inset Formula $\lim_{n}\lambda_{n}=0$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate El operador multiplicación por \begin_inset Formula $g\in L^{\infty}([a,b])$ \end_inset es compacto si y sólo si \begin_inset Formula $g=0$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $G$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset son espacios de Hilbert de dimensión \begin_inset Formula $\aleph_{0}$ \end_inset y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(G,H)$ \end_inset se representa en ciertas bases de \begin_inset Formula $G$ \end_inset y \begin_inset Formula $H$ \end_inset como \begin_inset Formula $(a_{ij})\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}<\infty$ \end_inset , \begin_inset Formula $T$ \end_inset es compacto. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate El operador integral \begin_inset Formula $K\in{\cal L}(L^{2}([a,b]))$ \end_inset con núcleo \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset es compacto, \begin_inset Formula ${\cal C}([a,b])$ \end_inset es \begin_inset Formula $K$ \end_inset -invariante y \begin_inset Formula $K|_{{\cal C}([a,b])}:({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})\to({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset es compacto. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Teorema espectral \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Hilbert de dimensión finita y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset es autoadjunto: \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{m}$ \end_inset son los distintos valores propios de \begin_inset Formula $T$ \end_inset , \begin_inset Formula $H=\bigoplus_{k=1}^{m}\ker(T-\lambda_{k}I_{H})$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Existe una base ortonormal \begin_inset Formula $(e_{k})_{k}$ \end_inset de \begin_inset Formula $H$ \end_inset formada por vectores propios de \begin_inset Formula $T$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset , \begin_inset Formula $Tx=\sum_{k}\mu_{k}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}$ \end_inset , donde \begin_inset Formula $\mu_{k}$ \end_inset es el valor propio asociado a \begin_inset Formula $e_{k}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $T$ \end_inset es un operador compacto autoadjunto en el espacio de Hilbert \begin_inset Formula $H$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert T\Vert$ \end_inset o \begin_inset Formula $-\Vert T\Vert$ \end_inset es valor propio de \begin_inset Formula $T$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Todo operador normal compacto en un \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset -espacio de Hilbert tiene algún valor propio. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset es compacto en el \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Hilbert \begin_inset Formula $H$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}\setminus0$ \end_inset , \begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{H})$ \end_inset es de dimensión finita. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset espacios de Banach y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ \end_inset compacto, \begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)$ \end_inset es contable, contiene a \begin_inset Formula $\sigma(T)\setminus\{0\}$ \end_inset y, si es infinito, es una sucesión acotada con a lo sumo un punto de acumulació n, el 0, y si \begin_inset Formula $T$ \end_inset es normal el 0 es punto de acumulación. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos: \series default Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Hilbert y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset compacto normal: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\}$ \end_inset es contable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $P_{\lambda}\in{\cal L}(H)$ \end_inset es la proyección ortogonal sobre \begin_inset Formula $\ker(T-\lambda1_{H})$ \end_inset , \begin_inset Formula $T=\sum_{\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T)}\lambda P_{\lambda}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}=\bigoplus_{\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\}}\ker(T-\lambda1_{H})$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $H=\ker T\oplus\overline{\text{Im}T}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Existe una base ortonormal \begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in J}$ \end_inset de \begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset tales que, para \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula $(\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n})_{n\in J}$ \end_inset es sumable con suma \begin_inset Formula $Tx$ \end_inset , y entonces \begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\forall\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\},|\{n\in J\mid\mu_{n}=\lambda\}|=\dim\ker(T-\lambda1_{H})$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $P_{0}$ \end_inset es la proyección ortogonal sobre \begin_inset Formula $\ker T$ \end_inset , \begin_inset Formula $\forall x\in H,x=P_{0}x+\sum_{n\in J}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Hilbert, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset es compacto autoadjunto si y sólo si hay una familia ortonormal contable \begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq H$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset de modo que \begin_inset Formula $\forall x\in H,Tx=\sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ \end_inset y 0 es el único punto de acumulación de \begin_inset Formula $(\mu_{n})_{n}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de alternativa de Fredholm: \series default Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Hilbert, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset compacto autoadjunto, \begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in J}$ \end_inset una base ortonormal de \begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}$ \end_inset de modo que \begin_inset Formula $Tx\eqqcolon\sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ \end_inset para ciertos \begin_inset Formula $\mu_{n}\in\mathbb{K}$ \end_inset e \begin_inset Formula $y\in H$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}\setminus\{\sigma_{\text{p}}(T)\cup\{0\})$ \end_inset , la ecuación \begin_inset Formula $(\lambda1_{H}-T)x=y$ \end_inset tiene como única solución \begin_inset Formula \[ x=\frac{1}{\lambda}\left(y+\sum_{n\in J}\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}\right). \] \end_inset \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Si existe solución \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ (\lambda1_{H}-T)x=y\iff\lambda x=Tx+y\iff x=\frac{1}{\lambda}\left(\sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}+y\right), \] \end_inset pero entonces \begin_inset Formula $\langle x,e_{n}\rangle=\frac{1}{\lambda}(\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle+\langle y,e_{n}\rangle)$ \end_inset y \begin_inset Formula $(\lambda-\mu_{n})\langle x,e_{n}\rangle=\langle y,e_{n}\rangle$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $\lambda-\mu_{n}\neq0$ \end_inset , podemos sustituir \begin_inset Formula $\langle x,e_{n}\rangle=\frac{1}{\lambda-\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle$ \end_inset en lo anterior y queda la solución del enunciado. Queda ver que la serie converge, pero si \begin_inset Formula $\sigma_{\text{p}}(T)$ \end_inset es infinito, \begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n}\subseteq\sigma_{\text{p}}(T)$ \end_inset es acotado y por tanto lo es \begin_inset Formula $\left|\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\right|$ \end_inset y \begin_inset Formula \[ \sum_{n\in J}\left|\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\right|^{2}|\langle y,e_{n}\rangle|^{2}\leq\sup_{n\in J}\left|\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\right|^{2}\sum_{n\in J}|\langle y,e_{n}\rangle|^{2}<\infty. \] \end_inset \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T)\setminus\{0\}$ \end_inset , la ecuación \begin_inset Formula $(\lambda1_{H}-T)x=y$ \end_inset tiene solución si y sólo si \begin_inset Formula $y\bot\ker(\lambda1_{H}-T)$ \end_inset , en cuyo caso las soluciones son \begin_inset Formula \begin{align*} x & =\frac{1}{\lambda}\left(y+\sum_{\begin{subarray}{c} n\in J\\ \mu_{n}\neq\lambda \end{subarray}}\frac{\mu_{n}}{\lambda-\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}\right)+z, & z & \in\ker(\lambda1_{H}-T). \end{align*} \end_inset \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Si la ecuación tiene solución \begin_inset Formula $x$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $y=(\lambda1_{H}-T)x\in\text{Im}(\lambda1_{H}-T)\subseteq\overline{\text{Im}(\lambda1_{H}-T)}=\ker((\lambda1_{H}-T)^{*})^{\bot}=\ker(\lambda1_{H}-T)^{\bot}$ \end_inset por ser \begin_inset Formula $1_{H}$ \end_inset y \begin_inset Formula $T$ \end_inset autoadjuntos, y claramente dos soluciones difieren en un vector de \begin_inset Formula $\ker(\lambda1_{H}-T)$ \end_inset . Queda ver que, si \begin_inset Formula $y\in\ker(\lambda1_{H}-T)^{\bot}$ \end_inset , la \begin_inset Formula $x$ \end_inset del enunciado es solución, para lo cual hacemos la misma sustitución que al principio del primer apartado pero, cuando \begin_inset Formula $\lambda=\mu_{n}$ \end_inset , en su lugar vemos que \begin_inset Formula $(\lambda-\mu_{n})\langle x,e_{n}\rangle=\langle y,e_{n}\rangle$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $\langle y,e_{n}\rangle=0$ \end_inset , por lo que excluimos dicho factor de la serie, la cual converge por el mismo motivo que en el primer apartado y resulta en la solución del enunciado. \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $y=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $Tx=y$ \end_inset tiene solución si y sólo si \begin_inset Formula $y\bot\ker T$ \end_inset y \begin_inset Formula $\sum_{n\in J}\left|\frac{\langle y,e_{n}\rangle}{\mu_{n}}\right|^{2}<\infty$ \end_inset , en cuyo caso las soluciones son \begin_inset Formula \begin{align*} x & =\sum_{n\in J}\frac{1}{\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}+z, & z & \in\ker T. \end{align*} \end_inset \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Si la ecuación tiene solución \begin_inset Formula $x$ \end_inset , \begin_inset Formula $y\in\text{Im}T\subseteq(\ker T)^{\bot}$ \end_inset y \begin_inset Formula \[ \sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}=Tx=y=\sum_{n\in J}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}, \] \end_inset con lo que \begin_inset Formula $\langle x,e_{n}\rangle=\frac{1}{\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $n$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $\sum_{n\in J}\left|\frac{\langle y,e_{n}\rangle}{\mu_{n}}\right|^{2}=\Vert x\Vert^{2}<\infty$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $(e_{n})_{n}$ \end_inset es base de \begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}$ \end_inset , \begin_inset Formula $x\in\sum_{n\in J}\frac{1}{\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}+\overline{\text{Im}T}^{\bot}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\overline{\text{Im}T}^{\bot}=\ker T$ \end_inset . Finalmente, si esta condición se cumple, \begin_inset Formula $y\in\overline{\text{Im}T}$ \end_inset , la serie del enunciado converge y \begin_inset Formula \[ T\left(\sum_{n\in J}\frac{1}{\mu_{n}}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}+z\right)=\sum_{n\in J}\langle y,e_{n}\rangle e_{n}+0=y. \] \end_inset \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $A$ \end_inset un operador en un espacio de Hilbert \begin_inset Formula $H$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A$ \end_inset es una isometría si y sólo si \begin_inset Formula $A^{*}$ \end_inset es inverso por la izquierda de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $\forall x,y\in H,\langle Ax,Ay\rangle=\langle x,y\rangle$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un isomorfismo isométrico, si y sólo si es una isometría suprayectiva, si y sólo si \begin_inset Formula $A^{*}$ \end_inset es inverso de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , y entonces decimos que \begin_inset Formula $A$ \end_inset es \series bold unitario \series default . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $H$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Hilbert y \begin_inset Formula $S,T\in{\cal L}(H)$ \end_inset compactos autoadjuntos, \begin_inset Formula $\forall\lambda\in\mathbb{K},\dim\ker(T-\lambda1_{H})=\dim\ker(S-\lambda1_{H})$ \end_inset si y sólo si existe \begin_inset Formula $U\in{\cal L}(H)$ \end_inset unitario con \begin_inset Formula $U^{*}SU=T$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $S,T\in{\cal L}(H)$ \end_inset en el \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Hilbert \begin_inset Formula $H$ \end_inset son \series bold simultáneamente diagonalizables \series default si existe una familia ortonormal \begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq H$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{\alpha_{n}\}_{n\in J},\{\beta_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{K}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula \[ \forall x\in H,\left(Sx=\sum_{n\in J}\alpha_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}\land Tx=\sum_{n\in J}\beta_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}\right). \] \end_inset Si \begin_inset Formula $S$ \end_inset y \begin_inset Formula $T$ \end_inset son compactos y autoadjuntos esto equivale a que \begin_inset Formula $ST=TS$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema espectral para operadores compactos normales: \series default Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset -espacio de Hilbert y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset compacto normal, ocurre lo mismo que en el anterior teorema espectral. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $H$ \end_inset es un \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset -espacio de Hilbert, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(H)$ \end_inset es compacto normal si y sólo si hay una familia ortonormal contable \begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq H$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset con 0 como único punto de acumulación de modo que \begin_inset Formula $\forall x\in H,Tx=\sum_{n\in J}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un operador entre \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacios de Hilbert \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(G,H)$ \end_inset es compacto si y sólo si hay una familia contable \begin_inset Formula $\{\nu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}^{+}$ \end_inset con 0 como punto de acumulación, \begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq G$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{f_{n}\}_{n\in J}\subseteq H$ \end_inset tales que \begin_inset Formula $\forall x\in H,Tx=\sum_{n\in J}\nu_{n}\langle x,e_{n}\rangle f_{n}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Ecuaciones integrales de Fredholm \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold ecuación integral de Fredholm \series default es una de la forma \begin_inset Formula \[ x(t)-\mu\int_{a}^{b}k(t,s)x(s)\dif s=g(t), \] \end_inset donde \begin_inset Formula $x,g\in L^{2}([a,b])$ \end_inset , \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset y la incógnita es \begin_inset Formula $x$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Un núcleo \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset es \series bold simétrico \series default si \begin_inset Formula $k(t,s)=\overline{k(s,t)}$ \end_inset para casi todo \begin_inset Formula $s,t\in[a,b]$ \end_inset . \series bold Teorema de alternativa de Fredholm: \series default Sean \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset un núcleo simétrico, \begin_inset Formula $K$ \end_inset el operador integral asociado y \begin_inset Formula $g\in L^{2}([a,b])$ \end_inset , si \begin_inset Formula $Kx=\sum_{n\in J}\mu_{j}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ \end_inset para cierta base hilbertiana contable \begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in J}$ \end_inset de \begin_inset Formula $\overline{\text{Im}K}$ \end_inset , ciertos \begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset y todo \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset , considerando la ecuación integral de Fredholm de arriba, \begin_inset Formula $x-Kx=g$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\mu=0$ \end_inset , la ecuación tiene como única solución \begin_inset Formula $x=g$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\frac{1}{\mu}\notin\{\mu_{n}\}_{n}$ \end_inset , la ecuación tiene como única solución \begin_inset Formula \[ x(t)=g(t)+\mu\left(\sum_{n}\frac{\mu_{n}}{1-\mu\mu_{n}}\left(\int_{a}^{b}g\overline{e_{n}}\right)e_{n}(t)\right), \] \end_inset y existe \begin_inset Formula $\alpha>0$ \end_inset que depende solo de \begin_inset Formula $k$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\Vert x\Vert_{2}\leq\alpha\Vert g\Vert_{2}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si existe \begin_inset Formula $n\in J$ \end_inset con \begin_inset Formula $\mu_{n}=\frac{1}{\mu}$ \end_inset , la ecuación tiene solución si y sólo si \begin_inset Formula $g\bot\ker(\frac{1_{L^{2}([a,b])}}{\mu}-K)$ \end_inset , y entonces las soluciones son \begin_inset Formula \begin{align*} x(t) & =g(t)+\mu\sum_{\begin{subarray}{c} n\in J\\ \mu_{n}\neq\frac{1}{\mu} \end{subarray}}\frac{\mu_{n}}{1-\mu\mu_{n}}\left(\int g\overline{e_{n}}\right)e_{j}+u, & u & \in\ker(\tfrac{1_{L^{2}([a,b])}}{\mu}-K). \end{align*} \end_inset \end_layout \begin_layout Standard La convergencia de las series es de media cuadrática, pero en ciertos casos puede ser uniforme. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $k\in L^{2}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset es un núcleo simétrico con \begin_inset Formula \[ \sup_{t\in[a,b]}\int_{a}^{b}|k(t,s)|^{2}\dif s<\infty, \] \end_inset \begin_inset Formula $K$ \end_inset es el operador integral asociado y hay una base hilbertiana \begin_inset Formula $(e_{n})_{n\in J}$ \end_inset de \begin_inset Formula $\overline{\text{Im}K}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset y tales que \begin_inset Formula $Kx=\sum_{n}\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Teorema de Hilbert-Schmidt: \series default Para \begin_inset Formula $x\in L^{2}([a,b])$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \int_{a}^{b}k(t,s)x(s)\dif s=\sum_{n\in J}\mu_{n}\left(\int_{a}^{b}x\overline{e_{n}}\right)e_{n}(t) \] \end_inset para casi todo \begin_inset Formula $t\in[a,b]$ \end_inset , y si \begin_inset Formula $J$ \end_inset es numerable la serie converge absoluta y uniformemente en \begin_inset Formula $[a,b]$ \end_inset . \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Para la primera parte basta tomar en el teorema anterior un \begin_inset Formula $\mu\neq0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\frac{1}{\mu}$ \end_inset no sea valor propio y despejar. Para la segunda podemos suponer \begin_inset Formula $J=(\mathbb{N},\geq)$ \end_inset , y queremos ver que \begin_inset Formula \[ \sum_{n}\left|\mu_{n}\left(\int_{a}^{b}x\overline{e_{n}}\right)e_{n}(t)\right|=\sum_{n}|\mu_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}(t)| \] \end_inset es uniformemente de Cauchy en \begin_inset Formula $[a,b]$ \end_inset . Por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, \begin_inset Formula \[ \sum_{n=p}^{q}|\mu_{n}e_{n}(t)||\langle x,e_{n}\rangle|\leq\sqrt{\sum_{n=p}^{q}|\mu_{n}e_{n}(t)|^{2}\sum_{n=p}^{q}|\langle x,e_{n}\rangle|^{2}}, \] \end_inset pero para \begin_inset Formula $n\in J$ \end_inset y \begin_inset Formula $t\in[a,b]$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \mu_{n}e_{n}(t)=K(e_{n})(t)=\int_{a}^{b}k(t,s)e_{k}(s)\dif s=\langle e_{k},\overline{k_{t}}\rangle, \] \end_inset donde \begin_inset Formula $k_{t}(s)\coloneqq k(t,s)$ \end_inset , luego \begin_inset Formula \[ \sqrt{\sum_{n=p}^{q}|\mu_{n}e_{n}(t)|^{2}}=\sqrt{\sum_{n=p}^{q}|\langle e_{n},\overline{k_{t}}\rangle|^{2}}\leq\Vert k_{t}\Vert_{2}\leq\sup_{t\in[a,b]}\Vert k_{t}\Vert_{2}<\infty, \] \end_inset con lo que esto está acotado superiormente por un valor independiente de \begin_inset Formula $t$ \end_inset y el resultado sale de que \begin_inset Formula $|\langle x,e_{n}\rangle|^{2}$ \end_inset tampoco depende de \begin_inset Formula $t$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lim_{p,q}\sum_{n=p}^{q}|\langle x,e_{n}\rangle|^{2}=0$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate Las series del teorema de alternativa de Fredholm convergen absoluta y uniformem ente en \begin_inset Formula $[a,b]$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $k\in{\cal C}([a,b]\times[a,b])$ \end_inset es un núcleo simétrico, existen una familia ortonormal contable \begin_inset Formula $\{e_{n}\}_{n\in J}\subseteq({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{2})$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{\mu_{n}\}_{n\in J}\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset tales que, si \begin_inset Formula $K$ \end_inset es el operador integral asociado a \begin_inset Formula $k$ \end_inset y \begin_inset Formula $f\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ Kf(t)=\sum_{n\in J}\mu_{n}\left(\int_{a}^{b}f\overline{e_{n}}\right)e_{n}(t) \] \end_inset para todo \begin_inset Formula $t\in[a,b]$ \end_inset y la convergencia de la serie es absoluta y uniforme. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Problemas de Sturm-Liouville \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold problema regular de Sturm-Liouville \series default \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout La forma general del problema tiene como ecuación \begin_inset Formula $\od{}{x}(p\dot{x})+qx+\lambda\sigma x+y=0$ \end_inset con \begin_inset Formula $p$ \end_inset y \begin_inset Formula $\sigma$ \end_inset continuas y estrictamente positivas. Aquí tomamos \begin_inset Formula $p$ \end_inset y \begin_inset Formula $q$ \end_inset constantes en 1. \end_layout \end_inset es uno de la forma \begin_inset Formula \begin{align*} -\ddot{x}+qx-\lambda x & =y, & \alpha x(a)+\beta\dot{x}(a) & =0, & \gamma x(b)+\delta\dot{x}(b) & =0, \end{align*} \end_inset donde \begin_inset Formula $q\in{\cal C}([a,b],\mathbb{R})$ \end_inset , \begin_inset Formula $y\in{\cal C}([a,b],\mathbb{C})$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{C}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$ \end_inset con \begin_inset Formula $|\alpha|+|\beta|,|\gamma|+|\delta|\neq0$ \end_inset y la incógnita \begin_inset Formula $x\in{\cal C}^{2}([a,b],\mathbb{C})$ \end_inset . Su \series bold operador de Sturm-Liouville \series default asociado es \begin_inset Formula $S\in{\cal L}(D_{S},{\cal C}([a,b],\mathbb{C}))$ \end_inset dado por \begin_inset Formula $S(x)\coloneqq-\ddot{x}+qx$ \end_inset , donde \begin_inset Formula \[ D_{S}\coloneqq\{x\in{\cal C}^{2}([a,b],\mathbb{C})\mid\alpha x(a)+\beta\dot{x}(a)=\gamma x(b)+\delta\dot{x}(b)=0\}, \] \end_inset y entonces el problema anterior es \begin_inset Formula $(S-\mu1_{D_{S}})x=y$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Para \begin_inset Formula $q\in{\cal C}([a,b],\mathbb{R})$ \end_inset e \begin_inset Formula $y_{0},y_{1}\in\mathbb{R}$ \end_inset , el problema de Cauchy \begin_inset Formula \begin{align*} -\ddot{x}+qx & =0, & x(a) & =y_{0}, & \dot{x}(a) & =y_{1} \end{align*} \end_inset tiene una única solución real, y para \begin_inset Formula $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ \end_inset con \begin_inset Formula $|\alpha|+|\beta|\neq0$ \end_inset , si \begin_inset Formula $(y_{0},y_{1})\in\mathbb{R}^{2}$ \end_inset recorre la recta \begin_inset Formula $\alpha y_{0}+\beta y_{1}=0$ \end_inset , la correspondiente solución del problema recorre una recta (subespacio de dimensión 1) de \begin_inset Formula ${\cal C}^{2}([a,b])$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard El \series bold determinante wronskiano \series default de \begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}\in{\cal C}^{n-1}([a,b],\mathbb{K})$ \end_inset es \begin_inset Formula $W(x_{1},\dots,x_{n}):[a,b]\to\mathbb{K}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $t\mapsto\det(x_{j}^{(i)}(t))_{0\leq i