#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \begin_preamble \input{../defs} \usepackage{commath} \end_preamble \use_default_options true \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style french \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard Los \series bold principios fundamentales del análisis funcional \series default son el teorema de Hahn-Banach, el teorema de la acotación uniforme y el teorema de la gráfica cerrada. \end_layout \begin_layout Section Teorema de Hahn-Banach \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Tychonoff: \series default Si \begin_inset Formula $(X_{i})_{i\in I}$ \end_inset son espacios topológicos compactos, \begin_inset Formula $\prod_{i\in I}X_{i}$ \end_inset es compacto con la topología producto. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de extensión de Hann-Banach: \series default Sean \begin_inset Formula $Y\leq_{\mathbb{K}}X$ \end_inset , \begin_inset Formula $p:X\to\mathbb{R}$ \end_inset subaditiva y positivamente homogénea y \begin_inset Formula $f:Y\to\mathbb{K}$ \end_inset lineal con \begin_inset Formula $f\leq p|_{Y}$ \end_inset , \begin_inset Formula $f$ \end_inset se extiende a \begin_inset Formula $\hat{f}:X\to\mathbb{R}$ \end_inset lineal con \begin_inset Formula $\hat{f}\leq p$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \series bold Demostración \series default para \begin_inset Formula $Y$ \end_inset de codimensión 1 \series bold : \series default Sea \begin_inset Formula $x_{0}\in X\setminus Y$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $X=Y\oplus\text{span}\{x_{0}\}$ \end_inset y toda extensión lineal \begin_inset Formula $\hat{f}:X\to\mathbb{R}$ \end_inset se escribe como \begin_inset Formula $\hat{f}(y+ax_{0})=f(y)+a\hat{f}(x_{0})$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $y+ax_{0}\in X$ \end_inset con \begin_inset Formula $y\in Y$ \end_inset y \begin_inset Formula $a\in\mathbb{R}$ \end_inset , y queremos ver que existe \begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}$ \end_inset tal que si \begin_inset Formula $\hat{f}(x_{0})=\alpha$ \end_inset entonces \begin_inset Formula $\hat{f}\leq p$ \end_inset . Para \begin_inset Formula $a=0$ \end_inset esto siempre se cumple; para \begin_inset Formula $a>0$ \end_inset \begin_inset Formula \begin{multline*} \forall y\in Y,\hat{f}(y+ax_{0})=f(y)+a\alpha\leq p(y+ax_{0})\iff\forall y\in Y,f\left(\frac{y}{a}\right)+\alpha\leq p\left(\frac{y}{a}+x_{0}\right)\iff\\ \iff\forall z\in Y,\alpha\leq-f(z)+p(z+x_{0}), \end{multline*} \end_inset y para \begin_inset Formula $a<0$ \end_inset , \begin_inset Formula \begin{multline*} \forall y\in Y,\hat{f}(y+ax_{0})=f(y)+a\alpha\leq p(y+ax_{0})\iff\forall y\in Y,f\left(-\frac{y}{a}\right)-\alpha\leq p\left(-\frac{y}{a}-x_{0}\right)\iff\\ \iff\forall w\in Y,\alpha\geq f(w)-p(w-x_{0}), \end{multline*} \end_inset con lo que la condición equivale a que \begin_inset Formula $\forall z,w\in Y,f(w)-p(w-x_{0})\leq\alpha\leq-f(z)+p(z+x_{0})$ \end_inset , pero siempre existe tal \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset ya que, para \begin_inset Formula $z,w\in Y$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ f(z)+f(w)=f(z+w)\leq p(z+w)=p(z+x_{0}+w-x_{0})\leq p(z+x_{0})+p(w-x_{0}). \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard El teorema de Tychonoff equivale al axioma de elección y es estrictamente más fuerte que el teorema de Tychonoff para espacios compactos separados, el cual implica el teorema de extensión de Hann-Banach. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Hann-Banach ( \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset ) y Sobczyk ( \begin_inset Formula $\mathbb{C}$ \end_inset ): \series default Sean \begin_inset Formula $Y\leq_{\mathbb{K}}X$ \end_inset , \begin_inset Formula $p:X\to\mathbb{K}$ \end_inset una seminorma y \begin_inset Formula $f:Y\to\mathbb{K}$ \end_inset lineal con \begin_inset Formula $|f|\leq p|_{Y}$ \end_inset , \begin_inset Formula $f$ \end_inset se extiende a una \begin_inset Formula $\hat{f}:X\to\mathbb{K}$ \end_inset lineal con \begin_inset Formula $|\hat{f}|\leq p$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio normado e \begin_inset Formula $Y\leq X$ \end_inset , toda \begin_inset Formula $f\in Y^{*}$ \end_inset se extiende a una \begin_inset Formula $\hat{f}\in X^{*}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert\hat{f}\Vert=\Vert f\Vert$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default \begin_inset Formula $p:X\to\mathbb{R}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $p(x)\coloneqq\Vert f\Vert\Vert x\Vert$ \end_inset es subaditiva y positivamente homogénea con \begin_inset Formula $|f(x)|\leq\Vert f\Vert\Vert x\Vert=p(x)$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $f$ \end_inset se extiende a \begin_inset Formula $\hat{f}:X\to\mathbb{R}$ \end_inset lineal con \begin_inset Formula $|\hat{f}|\leq p$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $x\in S_{X}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert\hat{f}(x)\Vert\leq\Vert f\Vert$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $\Vert f\Vert\leq\Vert\hat{f}\Vert\leq\Vert f\Vert$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard El \series bold teorema de Hann-Banach \series default es el anterior cuando \begin_inset Formula $X$ \end_inset es real y separable. \series bold Demostración \series default sin usar cosas de esta sección no probadas \series bold : \series default Sean \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ \end_inset denso en \begin_inset Formula $X$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula $X_{n}\coloneqq\text{span}\{Y\cup\{x_{k}\}_{k\in\mathbb{N}_{n}}\}$ \end_inset , o \begin_inset Formula $X_{n}=X_{n+1}$ \end_inset o es un subespacio de \begin_inset Formula $X_{n+1}$ \end_inset de codimensión 1, y por inducción en lo anterior para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset existe \begin_inset Formula $f_{n}\in X_{n}^{*}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert f_{n}\Vert=\Vert f\Vert$ \end_inset y \begin_inset Formula $f_{n}=f_{n+1}|_{X_{n}^{*}}$ \end_inset , de modo que si \begin_inset Formula $Z\coloneqq\bigcup_{n}X_{n}$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $F\in Z^{*}$ \end_inset con \begin_inset Formula $f=F|_{Y}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert F\Vert=\Vert f\Vert$ \end_inset , pero para \begin_inset Formula $y\in X$ \end_inset existe \begin_inset Formula $\{z_{n}\}_{n}\subseteq Z$ \end_inset convergente a \begin_inset Formula $y$ \end_inset y, por continuidad de \begin_inset Formula $F$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $\hat{f}(y)\coloneqq\lim_{n}F(y_{n})$ \end_inset , con \begin_inset Formula $\hat{f}(y)$ \end_inset independiente de la sucesión elegida, con lo que podemos definir \begin_inset Formula $\hat{f}:X\to\mathbb{R}$ \end_inset de esta forma y claramente es lineal y continua con \begin_inset Formula $\Vert\hat{f}\Vert=\Vert F\Vert=\Vert f\Vert$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Sea entonces \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio normado: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\forall x\in X\setminus0,\exists f\in X^{*}:(\Vert f\Vert=1\land f(x)=\Vert x\Vert)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\forall x\in X,\Vert x\Vert=\max_{f\in B_{X^{*}}}|f(x)|$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $Y\leq X$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset con \begin_inset Formula $\delta\coloneqq d(x,Y)>0$ \end_inset , \begin_inset Formula $\exists f\in X^{*}:(f(Y)=0\land f(x)=1\land\Vert f\Vert=\delta^{-1})$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula \[ \forall Y\leq X,\overline{Y}=\bigcap_{\begin{subarray}{c} f\in X^{*}\\ Y\subseteq\ker f \end{subarray}}\ker f. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula \[ \forall S\subseteq X,\overline{\text{span}S}\coloneqq\bigcap_{\begin{subarray}{c} f\in X^{*}\\ S\subseteq\ker f \end{subarray}}\ker f. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $S\subseteq X$ \end_inset es total si y sólo si \begin_inset Formula $\forall f\in X^{*},(f(S)=0\implies f=0)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}\in X$ \end_inset son linealmente independientes, existen \begin_inset Formula $f_{1},\dots,f_{n}\in X^{*}$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $f_{i}(x_{j})=\delta_{ij}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Todo subespacio de \begin_inset Formula $X$ \end_inset de dimensión finita posee un complementario topológico. \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $Y\leq X$ \end_inset , la \series bold restricción \series default \begin_inset Formula $\psi:X^{*}\to Y^{*}$ \end_inset , \begin_inset Formula $f\mapsto f|_{Y}$ \end_inset , es lineal, continua, suprayectiva y abierta. \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $Y\leq X$ \end_inset y \begin_inset Formula $X^{*}$ \end_inset es separable, \begin_inset Formula $Y^{*}$ \end_inset también. \end_layout \begin_layout Subsection Versión geométrica \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , sean \begin_inset Formula $E$ \end_inset un e.l.c. y \begin_inset Formula $F\leq E$ \end_inset , toda \begin_inset Formula $u\in F'$ \end_inset se extiende a una \begin_inset Formula $f\in E'$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Así \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un e.l.c.: \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $F\leq E$ \end_inset , la restricción \begin_inset Formula $E'\to F'$ \end_inset , \begin_inset Formula $f\mapsto f|_{F}$ \end_inset , es suprayectiva. \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $x\in E\setminus0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $f\in E'$ \end_inset con \begin_inset Formula $f(x)\neq0$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\{x_{1},\dots,x_{n}\}\subseteq E$ \end_inset linealmente independiente, existen \begin_inset Formula $f_{1},\dots,f_{n}\in E'$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $f_{i}(x_{j})=\delta_{ij}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset -e.v.t., \begin_inset Formula $f\in E'\setminus0$ \end_inset y \begin_inset Formula $A\subseteq E$ \end_inset es un abierto convexo no vacío, \begin_inset Formula $f(A)\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset es un intervalo abierto. \series bold Demostración: \series default Si fuera \begin_inset Formula $f(A)=\{p\}$ \end_inset para cierto \begin_inset Formula $p\in\mathbb{R}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $A\subseteq\ker(f-p)$ \end_inset , pero como \begin_inset Formula $f\neq0$ \end_inset , \begin_inset Formula $\ker(f-p)0$ \end_inset tal que, para \begin_inset Formula $\rho>\rho_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\phi(-1)\in\rho(A-x)$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\phi(-\frac{1}{\rho}),\phi(\frac{2}{\rho})\in A-x$ \end_inset y \begin_inset Formula $\psi((-\frac{1}{\rho},1))=\phi((-\frac{1}{\rho},1))+x\subseteq A$ \end_inset y, como \begin_inset Formula $f\circ\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ \end_inset es afín no degenerada y por tanto un homeomorfismo, \begin_inset Formula $f(\psi((-\frac{1}{\rho},1)))\subseteq f(A)$ \end_inset es un entorno abierto de \begin_inset Formula $x$ \end_inset , pero análogamente hay un entorno abierto de \begin_inset Formula $y$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $f(A)$ \end_inset tiene al menos dos puntos distintos, queda que \begin_inset Formula $f(A)$ \end_inset es abierta. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $\psi([0,1])\subseteq A$ \end_inset y \begin_inset Formula $\psi|_{[0,1]}:[0,1]\to\psi([0,1])$ \end_inset es un homeomorfismo, luego \begin_inset Formula $f\circ\psi:[0,1]\to\mathbb{R}$ \end_inset es continua y, para \begin_inset Formula $z\in(f(x),f(y))$ \end_inset , por el teorema de Bolzano existe \begin_inset Formula $t\in[0,1]$ \end_inset con \begin_inset Formula $z=f(\psi(t))\in f(A)$ \end_inset . Como \begin_inset Formula $A$ \end_inset es abierto, \begin_inset Formula $A-x$ \end_inset es un entorno del 0, luego es absorbente y existe \begin_inset Formula $\rho_{0}>0$ \end_inset tal que, para \begin_inset Formula $\rho>\rho_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\psi(-1)\in\rho(A-x)$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $\psi(-\frac{1}{\rho})\in A$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $(-\frac{1}{\rho_{0}},1)\subseteq A$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un espacio vectorial, un \series bold hiperplano \series default de \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un subespacio propio de \begin_inset Formula $E$ \end_inset y una \series bold variedad afín \series default de \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un conjunto \begin_inset Formula $x_{0}+F$ \end_inset con \begin_inset Formula $x_{0}\in E$ \end_inset y \begin_inset Formula $F\leq E$ \end_inset , que se llama \series bold hiperplano afín \series default de \begin_inset Formula $E$ \end_inset si \begin_inset Formula $F$ \end_inset es un hiperplano de \begin_inset Formula $E$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un e.v.t., \begin_inset Formula $M\subseteq E$ \end_inset es un hiperplano afín si y sólo si existen \begin_inset Formula $f:E\to\mathbb{K}$ \end_inset lineal y \begin_inset Formula $a\in\mathbb{K}$ \end_inset con \begin_inset Formula $M=\{x\in X\mid f(x)=a\}$ \end_inset , y entonces \begin_inset Formula $M$ \end_inset es cerrado si y sólo si \begin_inset Formula $f$ \end_inset es continua. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Mazur: \series default Sean \begin_inset Formula $E$ \end_inset un e.v.t., \begin_inset Formula $M\subseteq E$ \end_inset una variedad afín y \begin_inset Formula $A\subseteq E$ \end_inset un abierto convexo no vacío disjunto de \begin_inset Formula $M$ \end_inset , existe un hiperplano afín cerrado de \begin_inset Formula $E$ \end_inset disjunto de \begin_inset Formula $A$ \end_inset que contiene a \begin_inset Formula $M$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Podemos suponer por traslación que \begin_inset Formula $0\in A$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $A$ \end_inset es absorbente y tiene asociado un funcional de Minkowski \begin_inset Formula $p$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $A=\{x\in E\mid p(x)<1\}$ \end_inset y, como \begin_inset Formula $A$ \end_inset es abierto, \begin_inset Formula $p$ \end_inset es continua. Sean entonces \begin_inset Formula $x_{0}\in E$ \end_inset y \begin_inset Formula $F\leq E$ \end_inset con \begin_inset Formula $M=x_{0}+F$ \end_inset , \begin_inset Formula $x_{0}\notin F$ \end_inset ya que de serlo sería \begin_inset Formula $M=F\ni0$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $F\cap\text{span}\{x_{0}\}=0$ \end_inset y podemos definir \begin_inset Formula $u:F\oplus\text{span}\{x_{0}\}\to\mathbb{K}$ \end_inset como \begin_inset Formula $u(y+\lambda x_{0})\coloneqq\lambda$ \end_inset para \begin_inset Formula $y\in F$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lambda\in\mathbb{K}$ \end_inset , que es lineal. Ahora bien, para \begin_inset Formula $\lambda\neq0$ \end_inset es \begin_inset Formula $|u(y+\lambda x_{0})|=|\lambda|\leq|\lambda|p(\tfrac{y}{\lambda}+x_{0})\leq p(y+\lambda x_{0})$ \end_inset , donde en la primera desigualdad usamos que \begin_inset Formula $\frac{y}{\lambda}+x_{0}\in M\subseteq A^{\complement}$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $p(\frac{y}{\lambda}+x_{0})\geq1$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $\lambda=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $|u(y)|=0\leq p(y)$ \end_inset , de modo que \begin_inset Formula $|u|\leq p|_{F\oplus\text{span}\{x_{0}\}}$ \end_inset y, por el teorema de Sobczyk, \begin_inset Formula $u$ \end_inset se extiende a una \begin_inset Formula $f:E\to\mathbb{K}$ \end_inset lineal con \begin_inset Formula $|f|\leq p$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $f$ \end_inset es continua y, si \begin_inset Formula $H\coloneqq\{x\in E\mid f(x)=1\}$ \end_inset , \begin_inset Formula $f(E)=1$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $E\subseteq H$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $x\in H$ \end_inset , \begin_inset Formula $f(x)=1\leq p(x)$ \end_inset y por tanto \begin_inset Formula $x\notin A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $E$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset -e.v.t., \begin_inset Formula $f\in E'$ \end_inset y \begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{R}$ \end_inset , llamamos \series bold semiespacios abiertos \series default determinados por \begin_inset Formula $f$ \end_inset y \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset a \begin_inset Formula $\{x\in E\mid f(x)<\alpha\}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{x\in E\mid f(x)>\alpha\}$ \end_inset , y \series bold semiespacios cerrados \series default determinados por \begin_inset Formula $f$ \end_inset y \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset a \begin_inset Formula $\{x\in E\mid f(x)\leq\alpha\}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{x\in E\mid f(x)\geq\alpha\}$ \end_inset , y \begin_inset Formula $H\coloneqq\{x\in E\mid f(x)=\alpha\}$ \end_inset \series bold separa \series default \begin_inset Formula $A,B\subseteq E$ \end_inset si cada uno está en un semiespacio cerrado distinto de \begin_inset Formula $f$ \end_inset y \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset , en cuyo caso \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset están \series bold separados \series default , y \series bold separa estrictamente \series default \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset si cada uno está en un semiespacio abierto distinto de \begin_inset Formula $f$ \end_inset y \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset , en cuyo caso \begin_inset Formula $A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B$ \end_inset están estrictamente separados. \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teoremas de separación: \end_layout \begin_layout Enumerate En un \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset -e.v.t. todo par de abiertos convexos disjuntos no vacíos está separado. \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $E$ \end_inset el \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset -e.v.t. y \begin_inset Formula $A,B\subseteq E$ \end_inset tales conjuntos, \begin_inset Formula $A-B$ \end_inset es un abierto no vacío que no contiene al 0, con lo que el teorema de Mizur nos da un hiperplano cerrado \begin_inset Formula $H=\{x\in E\mid f(x)=\beta\}$ \end_inset , con \begin_inset Formula $f\in E'$ \end_inset y \begin_inset Formula $\beta\in\mathbb{R}$ \end_inset , que contiene al 0 y es disjunto de \begin_inset Formula $A-B$ \end_inset . \begin_inset Formula $f(A-B)\subseteq\mathbb{R}$ \end_inset es convexo. Como \begin_inset Formula $\beta=f(0)=0$ \end_inset , \begin_inset Formula $0\notin f(A-B)$ \end_inset , pero \begin_inset Formula $f(A-B)$ \end_inset es un intervalo, luego \begin_inset Formula $f(A-B)\subseteq\mathbb{R}^{+}$ \end_inset o \begin_inset Formula $f(A-B)\subseteq\mathbb{R}^{-}$ \end_inset . Si, por ejemplo, \begin_inset Formula $f(A-B)\subseteq\mathbb{R}^{-}$ \end_inset , para \begin_inset Formula $a\in A$ \end_inset y \begin_inset Formula $b\in B$ \end_inset , \begin_inset Formula $f(a)0$ \end_inset con \begin_inset Formula $f(y)\leq\alpha-\varepsilon<\alphan$ \end_inset conjuntos convexos es no vacía si y sólo si la intersección de cada \begin_inset Formula $n+1$ \end_inset de ellos es no vacía. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dados un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio normado \begin_inset Formula $X$ \end_inset y familias \begin_inset Formula $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq X$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{r_{i}\}_{i\in I}\subseteq\mathbb{R}^{+}$ \end_inset , la familia de bolas cerradas \begin_inset Formula $(\overline{B(x_{i},r_{i})})_{i\in I}$ \end_inset tiene la \series bold propiedad de intersección débil \series default si \begin_inset Formula $\forall f\in B_{X^{*}},\bigcap_{i\in I}B(f(x_{i}),r_{i})\neq\emptyset$ \end_inset , si y sólo si para \begin_inset Formula $J\subseteq I$ \end_inset finito y \begin_inset Formula $\{a_{j}\}_{j\in J}\subseteq\mathbb{K}$ \end_inset con \begin_inset Formula $\sum_{j\in J}a_{j}=0$ \end_inset es \begin_inset Formula \[ \left\Vert \sum_{j\in J}a_{j}x_{j}\right\Vert \leq\sum_{j\in J}|a_{j}|r_{j}. \] \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ \end_inset , esto equivale a que las bolas se corten dos a dos. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ \end_inset , la segunda definición se puede restringir sólo a los \begin_inset Formula $J\subseteq I$ \end_inset con \begin_inset Formula $|J|=3$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio normado \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset cumple: \end_layout \begin_layout Enumerate La \series bold propiedad de extensión \series default , si para cada \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio normado \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , \begin_inset Formula $Y_{0}\leq Y$ \end_inset y \begin_inset Formula $T_{0}\in{\cal L}(Y_{0},X)$ \end_inset , \begin_inset Formula $T_{0}$ \end_inset se extiende a una \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(Y,X)$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert T\Vert=\Vert T_{0}\Vert$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate La \series bold propiedad de extensión \begin_inset Quotes cld \end_inset inmediata \begin_inset Quotes crd \end_inset \series default , si cumple la de extensión pero considerando sólo el caso en que \begin_inset Formula $Y_{0}$ \end_inset es de codimensión 1 en \begin_inset Formula $Y$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate La \series bold propiedad de intersección \series default si toda familia de bolas cerradas de \begin_inset Formula $X$ \end_inset que cumple la propiedad de intersección débil tiene intersección no vacía. \end_layout \begin_layout Enumerate La \series bold propiedad de intersección binaria \series default si toda familia de bolas cerradas de \begin_inset Formula $X$ \end_inset que se cortan dos a dos tiene intersección no vacía. \end_layout \begin_layout Enumerate La \series bold propiedad de proyección \series default si para todo \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio normado que contiene a \begin_inset Formula $X$ \end_inset como subespacio existe \begin_inset Formula $P\in{\cal L}(Y,X)$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert P\Vert=1$ \end_inset suprayectiva e idempotente, que llamamos una \series bold proyección \series default de \begin_inset Formula $Y$ \end_inset sobre \begin_inset Formula $X$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $X$ \end_inset cumple la propiedad de extensión si y sólo si cumple la propiedad de extensión inmediata, en cuyo caso \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un espacio compacto \begin_inset Formula $K$ \end_inset es \series bold stoniano \series default si la clausura de cada abierto de \begin_inset Formula $K$ \end_inset es un abierto. \end_layout \begin_layout Standard Dado un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Banach \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate Las propiedades de extensión, intersección y proyección son equivalentes. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Teorema de Nachbin-Goodner-Kelly-Hasumi: \series default Estas propiedades equivalen a que \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset sea isométricamente isomorfo a \begin_inset Formula $({\cal C}(K,\mathbb{K}),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset para algún compacto stoniano \begin_inset Formula $K$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ \end_inset , estas equivalen a la propiedad de intersección binaria. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ \end_inset , estas equivalen a la propiedad de intersección pero limitando las subfamilias de las familias de bolas a que sean de cardinal 3. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Teorema de la acotación uniforme \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $X$ \end_inset un espacio topológico, \begin_inset Formula $S\subseteq X$ \end_inset es \series bold denso en ninguna parte \series default o \series bold raro \series default si su clausura tiene interior vacío, \begin_inset Formula $\mathring{\overline{S}}=\emptyset$ \end_inset , \series bold de primera categoría \series default si es unión numerable de conjuntos raros, \series bold de segunda categoría \series default en otro caso y \series bold \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset \series default si es intersección numerable de abiertos. \begin_inset Formula $T$ \end_inset es de segunda categoría en sí mismo si y sólo si la intersección numerable de abiertos densos en no vacía. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un espacio topológico es \series bold de Baire \series default si la intersección numerable de abiertos densos es densa, en cuyo caso es de segunda categoría en sí mismo. \series bold Teorema de Baire: \series default Todo espacio métrico completo es de Baire. \series bold Demostración: \series default Sean \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset un espacio métrico, \begin_inset Formula $(G_{n})_{n}$ \end_inset una sucesión de abiertos densos y \begin_inset Formula $V\subseteq M$ \end_inset abierto arbitrario, queremos definir una sucesión de bolas \begin_inset Formula $(\overline{B(x_{n},r_{n})})_{n}$ \end_inset cada una contenida en \begin_inset Formula $V\cap G_{n}\cap\overline{B(x_{n-1},r_{n-1})}$ \end_inset y con \begin_inset Formula $r_{n}<\frac{1}{2^{n}}$ \end_inset . Como \begin_inset Formula $G_{0}$ \end_inset es denso, \begin_inset Formula $V\cap G_{0}\neq\emptyset$ \end_inset y existen \begin_inset Formula $x_{0}\in M$ \end_inset y \begin_inset Formula $r_{0}\in(0,1)$ \end_inset con \begin_inset Formula $\overline{B(x_{0},r_{0})}\subseteq V\cap G_{0}$ \end_inset , y para \begin_inset Formula $n>0$ \end_inset , como \begin_inset Formula $G_{n}$ \end_inset es denso, por inducción existen \begin_inset Formula $x_{n}\in M$ \end_inset y \begin_inset Formula $r_{n}\in(0,\frac{1}{2^{n}})$ \end_inset con \begin_inset Formula $\overline{B(x_{n},r_{n})}\subseteq V\cap B(x_{n-1},r_{n-1})\cap G_{n}$ \end_inset . Entonces \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset es de Cauchy por ser \begin_inset Formula $x_{m}\in B(x_{n},r_{n})$ \end_inset para \begin_inset Formula $m\geq n$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lim_{n}r_{n}=0$ \end_inset , luego existe \begin_inset Formula $L\coloneqq\lim_{n}x_{n}\in V\cap\bigcap_{n}G_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\bigcap_{n}G_{n}$ \end_inset es denso. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $(X,d)$ \end_inset no es completo esto no se cumple; por ejemplo, en \begin_inset Formula $\mathbb{Q}$ \end_inset con la métrica inducida por la de \begin_inset Formula $\mathbb{R}$ \end_inset , para cada \begin_inset Formula $q\in\mathbb{Q}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\mathbb{Q}\setminus\{q\}$ \end_inset es denso, pero la intersección numerable \begin_inset Formula $\bigcap_{q\in\mathbb{Q}}\mathbb{Q}\setminus\{q\}=\emptyset$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Con esto, si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach, su dimensión algebraica es finita o no numerable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de la acotación uniforme: \series default Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset espacios normados, \begin_inset Formula $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq{\cal L}(X,Y)$ \end_inset y \begin_inset Formula $B\coloneqq\{x\in X\mid\sup_{i\in I}\Vert A_{i}(x)\Vert<\infty\}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $B$ \end_inset es de segunda categoría, \begin_inset Formula $\sup_{i\in I}\Vert A_{i}\Vert<\infty$ \end_inset y \begin_inset Formula $B=\emptyset$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach, bien \begin_inset Formula $\sup_{i\in I}\Vert A_{i}\Vert<\infty$ \end_inset o \begin_inset Formula $B^{\complement}$ \end_inset es \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset denso en \begin_inset Formula $X$ \end_inset , de modo que o \begin_inset Formula $\sup_{i\in I}\Vert A_{i}\Vert<\infty$ \end_inset o \begin_inset Formula $B$ \end_inset es de primera categoría en \begin_inset Formula $X$ \end_inset , pero no ambas. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard La completitud es necesaria para la segunda parte del teorema, pues \begin_inset Formula $\{f_{n}\}_{n}\subseteq(c_{00},\Vert\cdot\Vert_{\infty})^{*}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $f_{n}(x)\coloneqq\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ \end_inset es puntualmente acotada pero cada \begin_inset Formula $\Vert f_{n}\Vert=n$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio de Banach, \begin_inset Formula $Y$ \end_inset un espacio completo y \begin_inset Formula $\{T_{n}\}_{n}\subseteq{\cal L}(X,Y)$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset existe \begin_inset Formula $T(x)\coloneqq\lim_{n}T_{n}(x)$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Teorema de Banach-Steinhaus: \series default \begin_inset Formula $T$ \end_inset es lineal y continua con \begin_inset Formula \[ \Vert T\Vert\leq\liminf_{n}\Vert T_{n}\Vert\leq\sup_{n}\Vert T_{n}\Vert<\infty. \] \end_inset \end_layout \begin_deeper \begin_layout Standard Es lineal por serlo el límite. \begin_inset Formula $(T_{n}x)_{n}$ \end_inset es acotada para \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset y, por el teorema de la acotación uniforme, \begin_inset Formula $\sup_{n}\Vert T_{n}\Vert<\infty$ \end_inset , y si \begin_inset Formula $x\in B_{X}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert Tx\Vert=\lim_{n}\Vert T_{n}x\Vert\leq\liminf_{n}\Vert T_{n}\Vert\leq\sup_{n}\Vert T_{n}\Vert$ \end_inset . \end_layout \end_deeper \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(T_{n})_{n}$ \end_inset converge uniformemente a \begin_inset Formula $T$ \end_inset en los subconjuntos compactos de \begin_inset Formula $X$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset espacios normados: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset es acotado si y sólo si para \begin_inset Formula $f\in X^{*}$ \end_inset , \begin_inset Formula $f(A)$ \end_inset es acotado. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach, \begin_inset Formula $A\subseteq X^{*}$ \end_inset es acotado si y sólo si \begin_inset Formula $\{f(x)\}_{f\in A}$ \end_inset es acotado. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset es lineal, \begin_inset Formula $T$ \end_inset es continua si y sólo si \begin_inset Formula $\forall g\in Y^{*},g\circ T\in X^{*}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Funciones holomorfas vectoriales \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset abierto y \begin_inset Formula $(_{\mathbb{C}}X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset de Banach, \begin_inset Formula $f:\Omega\to X$ \end_inset es \series bold débilmente holomorfa \series default en \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset si para \begin_inset Formula $g\in X^{*}$ \end_inset , \begin_inset Formula $g\circ f:\Omega\to\mathbb{C}$ \end_inset es holomorfa, y es \series bold holomorfa \series default en \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset si \begin_inset Formula \[ \forall a\in\Omega,\exists f'(a)\coloneqq\lim_{z\to a}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}. \] \end_inset \series bold Teorema de Dunford: \series default \begin_inset Formula $f$ \end_inset es holomorfa si y sólo si es débilmente holomorfa. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\implies]$ \end_inset \end_layout \end_inset Para \begin_inset Formula $g\in X^{*}$ \end_inset y \begin_inset Formula $z_{0}\in\Omega$ \end_inset , por linealidad y continuidad de \begin_inset Formula $g$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ (g\circ f)'(z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}\frac{g(f(z))-g(f(z_{0}))}{z-z_{0}}=\lim_{z\to z_{0}}g\left(\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\right)=g(f'(z_{0})). \] \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize \begin_inset Argument item:1 status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\impliedby]$ \end_inset \end_layout \end_inset Sean \begin_inset Formula $z_{0}\in\Omega$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $z,w\in\Omega\setminus\{z_{0}\}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ G(z,w)\coloneqq\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}-\frac{f(w)-f(z_{0})}{w-z_{0}}, \] \end_inset queremos ver que existen \begin_inset Formula $V\in{\cal E}(z_{0})$ \end_inset y \begin_inset Formula $M>0$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert G(z,w)\Vert\leq M|z-w|$ \end_inset , de modo que se cumple la condición de Cauchy y existe \begin_inset Formula $\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}$ \end_inset . Sean \begin_inset Formula $r>0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $B(z_{0},r)\subseteq\Omega$ \end_inset y \begin_inset Formula $g\in X^{*}$ \end_inset , \begin_inset Formula $g\circ f\in{\cal H}(\Omega)$ \end_inset y para \begin_inset Formula $z\in B(z_{0},r)$ \end_inset se tiene la fórmula de Cauchy \begin_inset Formula \[ (g\circ f)(z)=\frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\Gamma}\frac{g(f(s))}{s-z}\dif s, \] \end_inset donde \begin_inset Formula $\Gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{C}$ \end_inset es la curva \begin_inset Formula $\Gamma(\theta)\coloneqq z_{0}+r\text{e}^{\text{i}\theta}$ \end_inset . \begin_inset Formula $\Gamma([0,2\pi])$ \end_inset es compacto y por tanto, para todo \begin_inset Formula $g\in X^{*}$ \end_inset , como \begin_inset Formula $g\circ f$ \end_inset es continua, \begin_inset Formula $g(f(\Gamma([0,2\pi])))$ \end_inset es compacto y en particular es acotado, de modo que \begin_inset Formula $f(\Gamma([0,2\pi]))$ \end_inset es acotado y existe \begin_inset Formula $\alpha\coloneqq\sup_{\theta\in[0,2\pi]}|f(\Gamma(\theta))|$ \end_inset . Además, para \begin_inset Formula $z,w\in B(x_{0},\frac{r}{2})$ \end_inset , por un corolario del teorema de Hann-Banach, existe \begin_inset Formula $g\in S_{X^{*}}$ \end_inset con \begin_inset Formula $g(G(z,w))=\Vert G(z,w)\Vert$ \end_inset , pero \begin_inset Formula \begin{multline*} g(G(z,w))=\frac{g(f(z))-g(f(z_{0}))}{z-z_{0}}-\frac{g(f(w))-g(f(z_{0}))}{w-z_{0}}=\\ =\frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\Gamma}\left(\frac{\frac{g(f(s))}{s-z}-\frac{g(f(s))}{s-z_{0}}}{z-z_{0}}-\frac{\frac{g(f(s))}{s-w}-\frac{g(f(s))}{s-z_{0}}}{w-z_{0}}\right)\dif s=\\ =\frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\Gamma}\left(\frac{g(f(s))}{(s-z)(s-z_{0})}-\frac{g(f(s))}{(s-w)(s-z_{0})}\right)\dif s=\frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\Gamma}\frac{g(f(s))(z-w)}{(s-z)(s-w)(s-z_{0})}\dif s, \end{multline*} \end_inset con lo que \begin_inset Formula \[ \Vert G(z,w)\Vert=|g(G(z,w))|\leq\frac{1}{2\pi}\frac{\sup_{\theta\in[0,2\pi]}g(f(\theta))|z-w|}{\frac{r}{2}\frac{r}{2}r}2\pi r=\frac{4}{r^{2}}\alpha|z-w|. \] \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Liouville: \series default Si \begin_inset Formula $(_{\mathbb{C}}X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es de Banach y \begin_inset Formula $f:\mathbb{C}\to X$ \end_inset es holomorfa con \begin_inset Formula $g\circ f$ \end_inset acotada para cada \begin_inset Formula $g\in X^{*}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $f$ \end_inset es constante. \begin_inset Note Comment status open \begin_layout Plain Layout Como \begin_inset Formula $f$ \end_inset es débilmente holomorfa, para \begin_inset Formula $g\in X^{*}$ \end_inset , \begin_inset Formula $g\circ f$ \end_inset es holomorfa acotada y, por el teorema de Liouville entre espacios complejos, es constante y \begin_inset Formula $g(f(\Omega))$ \end_inset es unipuntual, pero como \begin_inset Formula $X^{*}$ \end_inset separa los puntos de \begin_inset Formula $X$ \end_inset , \begin_inset Formula $f(\Omega)$ \end_inset es unipuntual y \begin_inset Formula $f$ \end_inset es constante. \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{FVC} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Toda curva \begin_inset Formula $\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}^{*}$ \end_inset tiene argumentos continuos, y si \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset y \begin_inset Formula $\theta'$ \end_inset son argumentos continuos de \begin_inset Formula $\gamma$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\theta(b)-\theta(a)=\theta'(b)-\theta'(a)$ \end_inset . [...] Sean \begin_inset Formula $\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$ \end_inset una curva, \begin_inset Formula $z\notin\gamma^{*}$ \end_inset [ \begin_inset Formula $\coloneqq\text{Im}\gamma$ \end_inset ] y \begin_inset Formula $\theta$ \end_inset un argumento de \begin_inset Formula $\gamma-z$ \end_inset , llamamos [...] \series bold índice \series default de \begin_inset Formula $\gamma$ \end_inset respecto de \begin_inset Formula $z$ \end_inset a \begin_inset Formula \[ \text{Ind}_{\gamma}(z):=\frac{\theta(b)-\theta(a)}{2\pi}. \] \end_inset [...] Una \series bold cadena \series default es una expresión de la forma \begin_inset Formula $\Gamma\coloneqq m_{1}\gamma_{1}+\dots+m_{q}\gamma_{q}$ \end_inset donde los \begin_inset Formula $m_{i}$ \end_inset son enteros y los \begin_inset Formula $\gamma_{i}$ \end_inset son caminos. Llamamos \series bold soporte \series default de \begin_inset Formula $\Gamma$ \end_inset a \begin_inset Formula $\Gamma^{*}\coloneqq\bigcup_{k}\gamma_{k}^{*}$ \end_inset [...]. Un \series bold ciclo \series default es una cadena formada por caminos cerrados, y llamamos \series bold índice \series default de \begin_inset Formula $z\notin\Gamma^{*}$ \end_inset respecto al ciclo \begin_inset Formula $\Gamma$ \end_inset a \begin_inset Formula $\text{Ind}_{\Gamma}(z)\coloneqq\sum_{k}m_{k}\text{Ind}_{\gamma_{k}}(z)$ \end_inset . [...] Dado un abierto \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset , un ciclo \begin_inset Formula $\Gamma$ \end_inset en \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset es \series bold nulhomólogo \series default respecto de \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset si \begin_inset Formula $\forall z\in\mathbb{C}\setminus\Omega,\text{Ind}_{\Gamma}(z)=0$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \series bold teorema \series default , sean \begin_inset Formula $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ \end_inset abierto, \begin_inset Formula $_{\mathbb{C}}X$ \end_inset de Banach y \begin_inset Formula $f:\Omega\to X$ \end_inset holomorfa: \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Teorema de Cauchy: \series default Sea \begin_inset Formula $\Gamma$ \end_inset un ciclo \begin_inset Formula $\Omega$ \end_inset -nulhomólogo, \begin_inset Formula \[ \int_{\Gamma}f=0. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Fórmula de Cauchy: \series default Para \begin_inset Formula $z\in\mathbb{C}\setminus\text{Im}\Gamma$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ f(z)\text{Ind}_{\Gamma}(z)=\frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\Gamma}\frac{f(w)}{w-z}\dif w. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $a\in\Omega$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $ $ \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $a\in\Omega$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\Gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{C}$ \end_inset viene dado por \begin_inset Formula $\Gamma(\theta)=a+\rho\text{e}^{\text{i}\theta}$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ a_{n}\coloneqq\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=\frac{1}{2\pi\text{i}}\int_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\dif w\in X, \] \end_inset existe \begin_inset Formula $\rho>0$ \end_inset con \begin_inset Formula $\overline{B(a,\rho)}\subseteq\Omega$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $f(z)=\sum_{n}a_{n}(z-a)^{n}$ \end_inset , y la serie converge uniforme y absolutamente en compactos de \begin_inset Formula $B(a,\rho)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Subsection Métodos de sumabilidad \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $A\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ \end_inset , la sucesión \begin_inset Formula $(x_{m})_{m}$ \end_inset en \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset es \series bold \begin_inset Formula $A$ \end_inset -convergente \series default a \begin_inset Formula $z\in\mathbb{K}$ \end_inset si para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sum_{m}A_{nm}x_{m}$ \end_inset converge a un cierto \begin_inset Formula $y_{n}$ \end_inset e \begin_inset Formula $(y_{n})_{n}$ \end_inset converge a \begin_inset Formula $z$ \end_inset , y \begin_inset Formula $A$ \end_inset es un \series bold método de sumabilidad permanente \series default si para \begin_inset Formula $\{x_{m}\}_{m}\subseteq\mathbb{K}$ \end_inset convergente, \begin_inset Formula $(\sum_{m}A_{nm}x_{m})_{n}$ \end_inset es convergente y \begin_inset Formula $\lim_{n}y_{n}=\lim_{m}x_{m}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard La \series bold sucesión de medias de Césaro \series default de una sucesión \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset es \begin_inset Formula \[ \left(\frac{x_{1}+\dots+x_{n}}{n}\right)_{n}, \] \end_inset y \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset es \series bold convergente Césaro \series default si su sucesión de medias de Césaro converge. Toda sucesión convergente es convergente Césaro, pero el recíproco no se cumple. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Así, la \series bold matriz de Césaro \series default , \begin_inset Formula \[ \left(\frac{1}{i}\chi_{\{j\leq i\}}\right)_{i,j\geq1}=\begin{pmatrix}1\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}, \] \end_inset es un método de sumabilidad permanente. \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Toeplitsz: \series default \begin_inset Formula $A\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ \end_inset es un método de sumabilidad permanente si y sólo si \begin_inset Formula $\sup_{n}\sum_{m}|A_{nm}|<\infty$ \end_inset , \begin_inset Formula $\forall m\in\mathbb{N},\lim_{n}A_{nm}=0$ \end_inset y \begin_inset Formula $\lim_{n}\sum_{m}A_{nm}=1$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Convergencia puntual de series de Fourier de funciones continuas \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $X\coloneqq\{f\in{\cal C}([-\pi,\pi])\mid f(\pi)=f(-\pi)\}$ \end_inset ; para \begin_inset Formula $k\in\mathbb{Z}$ \end_inset y \begin_inset Formula $f\in L^{2}([-\pi,\pi])$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \hat{f}(k)\coloneqq\sum_{k=-n}^{n}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\text{e}^{-\text{i}kt}\dif t \] \end_inset el \begin_inset Formula $k$ \end_inset -ésimo coeficiente de Fourier de \begin_inset Formula $f$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$ \end_inset , \begin_inset Formula $s_{n}:L^{2}([-\pi,\pi])\to\mathbb{R}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ s_{n}(f)(x)\coloneqq\sum_{k=-n}^{n}\hat{f}(k)\text{e}^{\text{i}kx}, \] \end_inset entonces: \end_layout \begin_layout Enumerate Como \series bold teorema \series default , existe \begin_inset Formula $F$ \end_inset \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset denso en \begin_inset Formula $X$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $f\in F$ \end_inset , \begin_inset Formula $\{x\in[-\pi,\pi]\mid\sup_{n}|s_{n}(f)(x)|\}$ \end_inset es \begin_inset Formula $G_{\delta}$ \end_inset no numerable y denso en \begin_inset Formula $[-\pi,\pi]$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Para \begin_inset Formula $f\in X$ \end_inset de clase \begin_inset Formula ${\cal C}^{1}$ \end_inset y \begin_inset Formula $x\in[-\pi,\pi]$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lim_{n}s_{n}(f)(x)=f(x)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Para todo \begin_inset Formula $f\in L^{2}([-\pi,\pi])$ \end_inset y casi todo \begin_inset Formula $x\in[-\pi,\pi]$ \end_inset , \begin_inset Formula $\lim_{n}s_{n}(f)(x)=f(x)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Teorema de la aplicación abierta \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio normado, \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset es \series bold CS-compacto \series default si para \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq A$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{\lambda_{n}\}_{n}\subseteq[0,1]$ \end_inset con \begin_inset Formula $\sum_{n}\lambda_{n}=1$ \end_inset , \begin_inset Formula $\sum_{n}\lambda_{n}x_{n}$ \end_inset converge a un punto de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , y es \series bold CS-cerrado \series default si para \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq A$ \end_inset y \begin_inset Formula $\{\lambda_{n}\}_{n}\subseteq[0,1]$ \end_inset con \begin_inset Formula $\sum_{n}\lambda_{n}=1$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\sum_{n}\lambda_{n}x_{n}$ \end_inset converge, lo hace un punto de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio normado: \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach, \begin_inset Formula $B_{X}$ \end_inset es CS-compacta. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Todo cerrado convexo es CS-cerrado. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Todo CS-compacto es CS-cerrado y acotado, y el recíproco se cumple si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset es CS-cerrado, \begin_inset Formula $\mathring{A}=\mathring{\overline{A}}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset espacios normados y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ \end_inset , si \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset es CS-compacto, \begin_inset Formula $T(A)$ \end_inset también. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de la aplicación abierta: \series default Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio de Banach, \begin_inset Formula $Y$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacio normado y \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\text{Im}T$ \end_inset es de segunda categoría en \begin_inset Formula $Y$ \end_inset , \begin_inset Formula $T$ \end_inset es suprayectiva y abierta e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset es un espacio de Banach. \series bold Demostración: \series default Como \begin_inset Formula $B_{X}$ \end_inset es CS-compacto, \begin_inset Formula $T(B_{X})$ \end_inset también y por tanto es CS-cerrado, y si fuera raro, como el producto por un \begin_inset Formula $n>0$ \end_inset es un homeomorfismo, \begin_inset Formula $nT(B_{X})$ \end_inset sería raro y \begin_inset Formula $T(X)=T(\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}nB_{X})=\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}nT(B_{X})$ \end_inset sería de primera categoría \begin_inset Formula $\#$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $\mathring{\overbrace{T(B_{X})}}=\mathring{\overline{T(B_{X})}}\neq\emptyset$ \end_inset y existen \begin_inset Formula $y_{0}\in Y$ \end_inset y \begin_inset Formula $r>0$ \end_inset con \begin_inset Formula $B(y_{0},r)\subseteq T(B_{X})$ \end_inset , pero una bola cerrada en el origen es simétrica y \begin_inset Formula $T$ \end_inset conserva simetrías, luego \begin_inset Formula $B(-y_{0},r)\subseteq T(B_{X})$ \end_inset y \begin_inset Formula $B(0,r)\subseteq\frac{1}{2}B_{Y}(-y_{0},r)+\frac{1}{2}B_{Y}(y_{0},r)\subseteq\frac{1}{2}T(B_{X})+\frac{1}{2}T(B_{X})\subseteq T(B_{X})$ \end_inset . Así, si \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset es abierto, para \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset existe \begin_inset Formula $\delta>0$ \end_inset con \begin_inset Formula $\overline{B(x,\delta)}=x+\delta B_{X}\subseteq A$ \end_inset y \begin_inset Formula $B(Tx,\delta r)=Tx+\delta B(0,r)\subseteq Tx+\delta T(B_{X})=T(x+\delta B_{X})\subseteq T(A)$ \end_inset , por lo que \begin_inset Formula $T$ \end_inset es abierta, y para \begin_inset Formula $y\in Y$ \end_inset , \begin_inset Formula $y\in B(0,2\Vert y\Vert)=\frac{2\Vert y\Vert}{r}B(0,r)\subseteq T(\frac{2}{r}\Vert y\Vert B_{X})\subseteq T(X)$ \end_inset y \begin_inset Formula $T$ \end_inset es suprayectiva. Finalmente, sea \begin_inset Formula $\{y_{n}\}_{n}\subseteq Y$ \end_inset con \begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert y_{n}\Vert<\infty$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq X$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $Tx_{n}=y_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert x_{n}\Vert\leq\frac{2}{r}\Vert y_{n}\Vert$ \end_inset , con lo que \begin_inset Formula $\sum_{n}\Vert x_{n}\Vert<\infty$ \end_inset y, por ser \begin_inset Formula $X$ \end_inset completo, existe \begin_inset Formula $x'\coloneqq\sum_{n}x_{n}$ \end_inset , y por la continuidad de \begin_inset Formula $T$ \end_inset , \begin_inset Formula $Tx'=\sum_{n}y_{n}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Entonces, si \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset son de Banach, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ \end_inset es suprayectiva si y sólo si es abierta. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Para esto último hace falta que \begin_inset Formula $Y$ \end_inset sea completo; la identidad \begin_inset Formula $I\in{\cal L}({\cal C}^{1}([0,1]),|\cdot|),({\cal C}^{1}([0,1]),\Vert\cdot\Vert_{\infty}))$ \end_inset con \begin_inset Formula $|x|\coloneqq\Vert x\Vert_{\infty}+\Vert x'\Vert_{\infty}$ \end_inset , el dominio es completo e \begin_inset Formula $I$ \end_inset es suprayectiva pero no abierta. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard También hace falta que \begin_inset Formula $X$ \end_inset sea completo; si \begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ \end_inset es una base algebraica no numerable de \begin_inset Formula $\ell^{p}$ \end_inset y \begin_inset Formula $X$ \end_inset es \begin_inset Formula $\ell^{p}$ \end_inset con la norma \begin_inset Formula $\left|\sum_{i}a_{i}e_{i}\right|\coloneqq\sum_{i}|a_{i}|$ \end_inset , donde la suma es finita, la identidad \begin_inset Formula $I\in{\cal L}(X,\ell^{p})$ \end_inset es suprayectiva pero no abierta. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema del homomorfismo de Banach: \series default Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset un espacio de Banach e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset un espacio normado, \begin_inset Formula $T\in{\cal L}(X,Y)$ \end_inset es un \series bold homomorfismo topológico \series default si la restricción a la imagen \begin_inset Formula $T:X\to\text{Im}T$ \end_inset es abierta, si y sólo si \begin_inset Formula $\text{Im}T$ \end_inset es completo. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{reminder}{TS} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula ${\cal T}$ \end_inset y \begin_inset Formula ${\cal T}'$ \end_inset son \series bold comparables \series default si \begin_inset Formula ${\cal T}\subseteq{\cal T}'$ \end_inset o \begin_inset Formula ${\cal T}'\subseteq{\cal T}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{reminder} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset son espacios de Banach y \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset es un isomorfismo algebraico continuo o abierto, \begin_inset Formula $T$ \end_inset es un isomorfismo topológico. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Dos normas completas en \begin_inset Formula $X$ \end_inset que definen topologías comparables son equivalentes. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si un espacio de Banach \begin_inset Formula $X$ \end_inset es suma directa interna \begin_inset Formula $M\oplus N$ \end_inset con \begin_inset Formula $M$ \end_inset y \begin_inset Formula $N$ \end_inset cerrados, entonces \begin_inset Formula $X$ \end_inset es suma directa topológica de \begin_inset Formula $M$ \end_inset y \begin_inset Formula $N$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Técnica de perturbaciones \end_layout \begin_layout Standard El problema de Cauchy \begin_inset Formula \[ \left\{ \begin{array}{rl} a_{n}(t)x^{(n)}(t)+\dots+a_{1}(t)\dot{x}(t)+a_{0}x(t) & =y(t),\\ x(a),\dot{x}(a),\dots,x^{(n-1)}(a) & =0 \end{array}\right. \] \end_inset con \begin_inset Formula $a_{i},y\in{\cal C}([a,b])$ \end_inset tiene solución única \begin_inset Formula $x\in{\cal C}^{(n)}([a,b])$ \end_inset y sus soluciones dependen continuamente del término independiente. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Teorema de la gráfica cerrada \end_layout \begin_layout Standard Una función \begin_inset Formula $f:X\to Y$ \end_inset entre espacios topológicos Hausdorff tiene \series bold gráfica cerrada \series default si \begin_inset Formula $\text{Graf}f\coloneqq\{(x,f(x))\}_{x\in X}$ \end_inset es cerrado en \begin_inset Formula $X\times Y$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $f$ \end_inset es continua, tiene gráfica cerrada. El recíproco no es cierto; si \begin_inset Formula $X$ \end_inset tiene dos topologías Hausdorff \begin_inset Formula ${\cal T}\prec{\cal S}$ \end_inset , \begin_inset Formula $1_{X}:(X,{\cal T})\to(X,{\cal S})$ \end_inset no es continua pero tiene gráfica cerrada. \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de la gráfica cerrada: \series default Sean \begin_inset Formula $X$ \end_inset e \begin_inset Formula $Y$ \end_inset espacios de Banach, \begin_inset Formula $T:X\to Y$ \end_inset lineal es continua si y sólo si tiene gráfica cerrada. \series bold Demostración: \series default Como \begin_inset Formula $x\mapsto(x,Tx)$ \end_inset es lineal, \begin_inset Formula $\text{Graf}T$ \end_inset es un espacio vectorial, las proyecciones canónicas \begin_inset Formula $P_{1}:\text{Graf}T\to X$ \end_inset y \begin_inset Formula $P_{2}:\text{Graf}T\to Y$ \end_inset son lineales y continuas en \begin_inset Formula $X\times Y$ \end_inset con la topología producto generada por \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert_{1}$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $P_{1}$ \end_inset es biyectiva y por tanto un isomorfismo algebraico, si \begin_inset Formula $\text{Graf}T$ \end_inset es cerrada, es completa al serlo \begin_inset Formula $X\times Y$ \end_inset y \begin_inset Formula $P_{1}$ \end_inset es un isomorfismo topológico, con lo que \begin_inset Formula $T=P_{2}\circ P_{1}^{-1}$ \end_inset es continua. \end_layout \begin_layout Standard Aquí hace falta que \begin_inset Formula $X$ \end_inset sea completo; la derivada \begin_inset Formula $T:({\cal C}^{1}([0,1]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})\to({\cal C}([0,1]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset es lineal con gráfica cerrada pero no continua. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard También hace falta que \begin_inset Formula $Y$ \end_inset sea completo; si \begin_inset Formula $(e_{i})_{i\in I}$ \end_inset es una base algebraica no numerable de \begin_inset Formula $\ell^{p}$ \end_inset con cada \begin_inset Formula $\Vert e_{i}\Vert=1$ \end_inset y \begin_inset Formula $X$ \end_inset es \begin_inset Formula $\ell^{p}$ \end_inset con la norma \begin_inset Formula $\left|\sum_{i}a_{i}e_{i}\right|\coloneqq\sum_{i}|a_{i}|$ \end_inset siendo la suma finita, la identidad \begin_inset Formula $\ell^{p}\to X$ \end_inset tiene gráfica cerrada pero no es continua. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Separación de puntos \end_layout \begin_layout Standard Un conjunto de funciones \begin_inset Formula $F\subseteq B^{A}$ \end_inset \series bold separa \series default los puntos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset si \begin_inset Formula $\forall x,y\in A,(x\neq y\implies\exists f\in F:f(x)\neq f(y))$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach con las normas \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert'$ \end_inset y \begin_inset Formula $F\subseteq(X,\Vert\cdot\Vert)^{*}\cap(X,\Vert\cdot\Vert')^{*}$ \end_inset separa los puntos de \begin_inset Formula $X$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert'$ \end_inset son equivalentes, y en particular \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)^{*}=(X,\Vert\cdot\Vert')^{*}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dos normas completas en el mismo espacio vectorial producen el mismo dual topológico si y sólo si son equivalentes. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Bases de Schauder \end_layout \begin_layout Standard Una \series bold base de Schauder \series default en un espacio normado \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es una sucesión \begin_inset Formula $\{x_{n}\}_{n}\subseteq S_{X}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall x\in X,\exists!\{\lambda_{n}\}_{n}\subseteq\mathbb{K}:x=\sum_{n}\lambda_{n}x_{n}$ \end_inset . La sucesión \begin_inset Formula $(e_{n})_{n}$ \end_inset de vectores que valen 1 en la coordenada \begin_inset Formula $n$ \end_inset -ésima y 0 en el resto es base de Schauder de \begin_inset Formula $c_{0}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\ell^{p}$ \end_inset para \begin_inset Formula $p\in[1,\infty)$ \end_inset , y \begin_inset Formula $({\cal C}([0,1]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset y \begin_inset Formula $(L^{p}([0,1]),\Vert\cdot\Vert_{p})$ \end_inset también admiten bases de Schauder. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Todo espacio normado con base de Schauder es separable, pero el recíproco no se cumple. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de las bases de Schauder de Banach: \series default Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio de Banach con base de Schauder \begin_inset Formula $(x_{n})_{n}$ \end_inset , las \series bold funciones coordenada \series default \begin_inset Formula $f_{n}:X\to\mathbb{K}$ \end_inset dadas por \begin_inset Formula $f_{n}(\sum_{n}\lambda_{n}x_{n})\coloneqq\lambda_{n}$ \end_inset son continuas, y de hecho existe \begin_inset Formula $M>0$ \end_inset con \begin_inset Formula $\Vert f_{n}\Vert\leq M$ \end_inset para cada \begin_inset Formula $n$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Pares duales \end_layout \begin_layout Standard Un \series bold par dual \series default es un par \begin_inset Formula $\langle F,G\rangle$ \end_inset de \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -espacios vectoriales con una función bilineal \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle:F\times G\to\mathbb{K}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\forall y\in G,(\langle\cdot,y\rangle=0\implies y=0)$ \end_inset y \begin_inset Formula $\forall x\in G,(\langle x,\cdot\rangle=0\implies x=0)$ \end_inset . Llamamos \series bold topología débil de \begin_inset Formula $F$ \end_inset inducida por \begin_inset Formula $G$ \end_inset \series default , \begin_inset Formula $\sigma(F,G)$ \end_inset , a la topología más gruesa en \begin_inset Formula $F$ \end_inset para la que las \begin_inset Formula $\{\langle\cdot,y\rangle\}_{y\in G}$ \end_inset son continuas, generada por la familia de seminormas \begin_inset Formula $\{|\langle\cdot,y\rangle|\}_{y\in G}$ \end_inset , y \series bold topología débil de \begin_inset Formula $G$ \end_inset inducida por \begin_inset Formula $F$ \end_inset \series default , \begin_inset Formula $\sigma(G,F)$ \end_inset , a la topología más gruesa en \begin_inset Formula $F$ \end_inset para la que las \begin_inset Formula $\{\langle x,\cdot\rangle\}_{x\in F}$ \end_inset son continuas, generada por la familia de seminormas \begin_inset Formula $\{|\langle f,\cdot\rangle|\}_{x\in F}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un espacio vectorial y \begin_inset Formula $E^{*}$ \end_inset su dual algebraico, \begin_inset Formula $\langle E,E^{*}\rangle$ \end_inset es un par dual con la \series bold aplicación bilineal natural \series default \begin_inset Formula $\langle x,f\rangle\coloneqq f(x)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un e.l.c., \begin_inset Formula $\langle E,E'\rangle$ \end_inset es un par dual con la aplicación bilineal natural, el \series bold par dual canónico \series default , y llamamos \series bold topología débil de \begin_inset Formula $E$ \end_inset \series default a \begin_inset Formula $\sigma(E,E')$ \end_inset y \series bold topología débil* de \begin_inset Formula $E'$ \end_inset \series default a \begin_inset Formula $\sigma(E',E)$ \end_inset , que es Hausdorff e inducida por \begin_inset Formula ${\cal T}_{\text{p}}(E)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $I$ \end_inset es un conjunto, \begin_inset Formula $\langle\mathbb{K}^{I},\mathbb{K}^{(I)}\rangle$ \end_inset es un par dual con \begin_inset Formula $\langle(\lambda_{i})_{i\in I},(\xi_{i})_{i\in I}\rangle=\sum_{i\in I}\lambda_{i}\xi_{i}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $K$ \end_inset es compacto, \begin_inset Formula $E\coloneqq(C(K),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset y \begin_inset Formula $F\coloneqq\text{span}\{f\mapsto f(x)\}_{x\in K}\leq(C(K),\Vert\cdot\Vert_{\infty})^{*}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\langle E,F\rangle$ \end_inset es un par dual con la aplicación bilineal natural, y \begin_inset Formula $\sigma(E,F)={\cal T}_{\text{p}}(K)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\langle F,G\rangle$ \end_inset es un par dual, una forma lineal \begin_inset Formula $f:F\to\mathbb{K}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\sigma(F,G)$ \end_inset -continua si y sólo si existe \begin_inset Formula $y\in G$ \end_inset , necesariamente único, con \begin_inset Formula $f=\langle\cdot,y\rangle$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un e.l.c., \begin_inset Formula $(E,\sigma(E,E'))'=E'$ \end_inset e, identificando \begin_inset Formula $x\in E$ \end_inset con \begin_inset Formula $\hat{x}\in E''$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $\hat{x}(f)\coloneqq f(x)$ \end_inset , \begin_inset Formula $(E',\sigma(E',E))'=E$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\langle F,G\rangle$ \end_inset es un par dual con función bilineal \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ \end_inset y \begin_inset Formula $H\leq G$ \end_inset , \begin_inset Formula $\langle\cdot,\cdot\rangle$ \end_inset induce un par dual en \begin_inset Formula $\langle F,H\rangle$ \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula $G=\overline{H}$ \end_inset en \begin_inset Formula $\sigma(G,F)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un e.l.c., \begin_inset Formula $E'$ \end_inset es \begin_inset Formula $\sigma(E^{*},E)$ \end_inset -denso en el dual algebraico \begin_inset Formula $E^{*}$ \end_inset , con lo que las formas lineales se aproximan por formas lineales continuas. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Dado un par dual \begin_inset Formula $\langle F,G\rangle$ \end_inset , llamamos \series bold polar \series default ( \series bold absoluta \series default ) de \begin_inset Formula $A\subseteq F$ \end_inset a \begin_inset Formula $A^{\circ}\coloneqq\{y\in G\mid\sup_{x\in A}|\langle x,y\rangle|\leq1\}$ \end_inset y \series bold bipolar \series default de \begin_inset Formula $A$ \end_inset a \begin_inset Formula $A^{\circ\circ}\subseteq F$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un espacio normado, \begin_inset Formula $B_{X}^{\circ}=B_{X^{*}}$ \end_inset y \begin_inset Formula $B_{X}^{\circ\circ}=B_{X}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $\langle F,G\rangle$ \end_inset es un par dual y \begin_inset Formula $M\leq F$ \end_inset , \begin_inset Formula $M^{\circ}=\{y\in G\mid\langle M,y\rangle=0\}\eqqcolon M^{\bot}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $\langle F,G\rangle$ \end_inset un \begin_inset Formula $\mathbb{K}$ \end_inset -par dual, \begin_inset Formula $A,B,A_{i}\subseteq F$ \end_inset para \begin_inset Formula $i\in I$ \end_inset y \begin_inset Formula $\alpha\in\mathbb{K}^{*}$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A^{\circ}$ \end_inset es absolutamente convexo y cerrado en \begin_inset Formula $\sigma(G,F)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $B\subseteq A\implies A^{\circ}\subseteq B^{\circ}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(\alpha A)^{\circ}=\alpha^{-1}A^{\circ}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A\subseteq A^{\circ\circ}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A^{\circ}\subseteq A^{\circ\circ\circ}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(\bigcup_{i\in I}A_{i})^{\circ}=\bigcap_{i\in I}A_{i}^{\circ}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema del bipolar: \series default Si \begin_inset Formula $\langle F,G\rangle$ \end_inset es un par dual y \begin_inset Formula $A\subseteq F$ \end_inset , \begin_inset Formula $A^{\circ\circ}=\overline{\Gamma(A)}$ \end_inset en \begin_inset Formula $\sigma(F,G)$ \end_inset (la envoltura absolutamente convexa cerrada). \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un e.l.c., \begin_inset Formula $M\subseteq E'$ \end_inset es \series bold equicontinuo \series default si \begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists U\in{\cal E}(0_{E}):\forall f\in M,\forall x\in U,|f(x)|<\varepsilon$ \end_inset , y una \series bold familia fundamental de equicontinuos \series default es un \begin_inset Formula ${\cal E}\subseteq{\cal P}(E')$ \end_inset con los elementos equicontinuos tal que para \begin_inset Formula $M\subseteq E'$ \end_inset equicontinuo existe \begin_inset Formula $N\in{\cal E}$ \end_inset que contiene a \begin_inset Formula $M$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $(E,{\cal T})$ \end_inset es un e.l.c.: \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $U\in{\cal E}(0)$ \end_inset , \begin_inset Formula $U^{\circ}\subseteq E'$ \end_inset es equicontinuo, y si \begin_inset Formula $M\subseteq E'$ \end_inset es equicontinuo, \begin_inset Formula $M^{\circ}\in{\cal E}(0)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula ${\cal U}$ \end_inset es base de entornos de 0 en \begin_inset Formula $E$ \end_inset , \begin_inset Formula $\{U^{\circ}\}_{U\in{\cal U}}$ \end_inset es una familia fundamental de equicontinuos. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula ${\cal E}$ \end_inset es una familia fundamental de equicontinuos, \begin_inset Formula $\{M^{\circ}\}_{M\in{\cal E}}$ \end_inset es una base de entornos de 0. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula ${\cal T}$ \end_inset es la topología de convergencia uniforme sobre los equicontinuos de \begin_inset Formula $E'$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $\langle F,G\rangle$ \end_inset un par dual y \begin_inset Formula ${\cal S}\subseteq{\cal P}(G)$ \end_inset una familia de subconjuntos \begin_inset Formula $\sigma(F,G)$ \end_inset -cerrados absolutamente convexos, en \begin_inset Formula $\sigma(F,G)$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \left(\bigcap{\cal S}\right)^{\circ}=\overline{\Gamma\left(\bigcup_{S\in{\cal S}}S^{\circ}\right)}. \] \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Alaoglu-Bourbaki: \series default Si \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un e.l.c., todo equicontinuo \begin_inset Formula $H$ \end_inset de \begin_inset Formula $E'$ \end_inset es relativamente compacto en \begin_inset Formula $\sigma(E',E)$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Así, si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un espacio normado, \begin_inset Formula $B_{X^{*}}$ \end_inset es compacta en \begin_inset Formula $\sigma(X^{*},X)$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \series bold Lema de aproximación: \series default Sean \begin_inset Formula $E$ \end_inset es un e.l.c., \begin_inset Formula $S\subseteq E$ \end_inset cerrado y absolutamente convexo y \begin_inset Formula $f:E\to\mathbb{K}$ \end_inset lineal, \begin_inset Formula $f|_{S}$ \end_inset es continua si y sólo si \begin_inset Formula $\forall\varepsilon>0,\exists g\in E':\sup_{x\in S}|g(x)-f(x)|<\varepsilon$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de completitud de Grothendieck: \series default Sean \begin_inset Formula $E$ \end_inset un e.l.c. y \begin_inset Formula ${\cal E}$ \end_inset el conjunto de los equicontinuos de \begin_inset Formula $E'$ \end_inset , \begin_inset Formula $\hat{E}\coloneqq\{x\in(E')^{*}\mid\forall M\in{\cal E},x|_{M}\text{ continuo en }\sigma(E',E)\}$ \end_inset con la topología de convergencia uniforme sobre \begin_inset Formula ${\cal E}$ \end_inset es un modelo para la compleción de \begin_inset Formula $E$ \end_inset , es decir, \begin_inset Formula $E$ \end_inset es denso en \begin_inset Formula $\hat{E}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\hat{E}$ \end_inset es completo. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Así: \end_layout \begin_layout Enumerate Un e.l.c. \begin_inset Formula $E$ \end_inset es completo si y sólo si toda \begin_inset Formula $y:E'\to\mathbb{K}$ \end_inset lineal \begin_inset Formula $\sigma(E',E)$ \end_inset -continua sobre los equicontinuos de \begin_inset Formula $E'$ \end_inset es \begin_inset Formula $\sigma(E',E)$ \end_inset -continua en \begin_inset Formula $E'$ \end_inset , si y sólo si está en \begin_inset Formula $E$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Un \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset normado es de Banach si y sólo si toda \begin_inset Formula $x:X^{*}\to\mathbb{K}$ \end_inset lineal \begin_inset Formula $\sigma(X^{*},X)$ \end_inset -continua en \begin_inset Formula $B_{X^{*}}$ \end_inset es \begin_inset Formula $\sigma(X^{*},X)$ \end_inset -continua en \begin_inset Formula $X^{*}$ \end_inset , si y sólo si está en \begin_inset Formula $E$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es normado, \begin_inset Formula $K\coloneqq(B_{X^{*}},\sigma(X^{*},X))$ \end_inset e \begin_inset Formula $\iota:X\hookrightarrow C(K)$ \end_inset es la identificación estándar en el bidual: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\iota:(X,\Vert\cdot\Vert)\hookrightarrow(C(K),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset e \begin_inset Formula $\iota:(X,\Vert\cdot\Vert)\hookrightarrow(C(K),{\cal T}_{\text{p}}(K))$ \end_inset son isomorfismos isométricos sobre su imagen. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es de Banach, \begin_inset Formula $(X,\sigma(X,X^{*}))$ \end_inset se identifica con un subespacio cerrado de \begin_inset Formula $(C(K),{\cal T}_{\text{p}}(K))$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Espacios reflexivos \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es un espacio normado y \begin_inset Formula ${\cal T}$ \end_inset la topología asociada a \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\sigma(X,X^{*})$ \end_inset es más gruesa que \begin_inset Formula ${\cal T}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\sigma(X^{*},X)$ \end_inset es más gruesa que la asociada a la norma dual. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\sigma(X,X^{*})$ \end_inset es metrizable si y sólo si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es dimensión finita, en cuyo caso es igual a \begin_inset Formula ${\cal T}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $A\subseteq X$ \end_inset convexo es cerrado en \begin_inset Formula $\sigma(X,X^{*})$ \end_inset si y sólo si lo es en \begin_inset Formula ${\cal T}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un espacio de Banach es \series bold reflexivo \series default si la identificación estándar \begin_inset Formula $\hat{}:X\to X^{**}$ \end_inset es suprayectiva. \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $p\in(1,\infty)$ \end_inset y \begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$ \end_inset es un espacio de medida, \begin_inset Formula $(L^{p}(\mu),\Vert\cdot\Vert_{p})$ \end_inset es reflexivo. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $(c_{0},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset no es reflexivo. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Goldstine: \series default Sea \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset normado, \begin_inset Formula $B_{X}$ \end_inset es denso en \begin_inset Formula $(B_{X^{**}},\sigma(X^{**},X^{*}))$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de caracterización de la reflexividad: \series default Un espacio de Banach \begin_inset Formula $X$ \end_inset es reflexivo si y sólo si \begin_inset Formula $B_{X}$ \end_inset es compacta en \begin_inset Formula $\sigma(X,X^{*})$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio de Banach: \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $X$ \end_inset es separable si y sólo si \begin_inset Formula $(B_{X^{*}},\sigma(X^{*},X))$ \end_inset es metrizable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $X^{*}$ \end_inset es separable si y solo si \begin_inset Formula $(B_{X},\sigma(X,X^{*}))$ \end_inset es metrizable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Si \begin_inset Formula $X^{*}$ \end_inset es separable, \begin_inset Formula $X$ \end_inset es separable. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio reflexivo: \end_layout \begin_layout Enumerate Todo subespacio cerrado es reflexivo. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $X$ \end_inset es separable si y sólo si lo es \begin_inset Formula $X^{*}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un espacio de Banach \begin_inset Formula $X$ \end_inset es reflexivo si y sólo si lo es \begin_inset Formula $X^{*}$ \end_inset con la norma dual. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Ejemplos: \end_layout \begin_layout Enumerate Todo espacio de dimensión finita es reflexivo. \end_layout \begin_layout Enumerate \begin_inset Formula $\ell^{1}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\ell^{\infty}$ \end_inset son reflexivos. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Ni \begin_inset Formula $({\cal C}([a,b]),\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ \end_inset ni su dual son reflexivos. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Ni \begin_inset Formula $L^{1}([a,b])$ \end_inset ni \begin_inset Formula $L^{\infty}([a,b])$ \end_inset son reflexivos. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un espacio normado \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es \series bold uniformemente convexo \series default si \begin_inset Formula \[ \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\forall x,y\in B_{X},\left(\Vert x-y\Vert\geq\varepsilon\implies\left\Vert \frac{x+y}{2}\right\Vert \leq1-\delta\right), \] \end_inset si y sólo si \begin_inset Formula \[ \forall\{x_{n}\}_{n},\{y_{n}\}_{n}\subseteq B_{X},\left(\lim_{n}\left\Vert \frac{x_{n}+y_{n}}{2}\right\Vert =1\implies\lim_{n}\Vert x_{n}-y_{n}\Vert=0\right), \] \end_inset en cuyo caso \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset es \series bold uniformemente convexa \series default . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Toda norma uniformemente convexa es estrictamente convexa. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Enumerate Todo espacio prehilbertiano es uniformemente convexo. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard En un espacio normado \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset , \begin_inset Formula $f:X\to\mathbb{R}$ \end_inset es \series bold uniformemente diferenciable Fréchet \series default en \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset si existe \begin_inset Formula $\lim_{t\to0}\sup_{h\in B_{X}}\frac{f(x+th)-f(x)}{t}$ \end_inset . \series bold Primer teorema de Šmulian: \series default Un espacio de Banach \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es uniformemente convexo si y sólo si para \begin_inset Formula $f\in B_{X^{*}}$ \end_inset , la norma dual es uniformemente diferenciable Fréchet en todo \begin_inset Formula $B_{X^{*}}$ \end_inset . \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Teorema de Milman: \series default Todo espacio de Banach con norma uniformemente convexa es reflexivo. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $X$ \end_inset es un espacio de Banach y \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset , un \series bold \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset -árbol diádico \series default con \series bold raíz \series default \begin_inset Formula $x\in X$ \end_inset de longitud \begin_inset Formula $N\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ \end_inset es una familia \begin_inset Formula $\{x_{s}\}_{s\in\bigcup_{i=0}^{n}\{\pm1\}^{n}}\subseteq X$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $x_{\emptyset}=x$ \end_inset y, para \begin_inset Formula $s\in\bigcup_{i=0}^{n-1}\{\pm1\}^{n}$ \end_inset , \begin_inset Formula $x_{s}=\frac{x_{s(-1)}+x_{s1}}{2}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\Vert x_{s(-1)}-x_{s1}\Vert\geq\varepsilon$ \end_inset . Un espacio de Banach \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es \series bold superreflexivo \series default si para \begin_inset Formula $\varepsilon>0$ \end_inset existe \begin_inset Formula $N\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que todo \begin_inset Formula $\varepsilon$ \end_inset -árbol diádico contenido en \begin_inset Formula $B_{X}$ \end_inset tiene longitud máxima \begin_inset Formula $N$ \end_inset , si y sólo si \begin_inset Formula $X$ \end_inset admite una norma uniformemente convexa equivalente a \begin_inset Formula $\Vert\cdot\Vert$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $p\in(1,\infty)$ \end_inset y \begin_inset Formula $(\Omega,\Sigma,\mu)$ \end_inset es un espacio de medida, \begin_inset Formula $L^{p}(\Omega,\Sigma,\mu)$ \end_inset es uniformemente convexo y reflexivo, y si \begin_inset Formula $q\in(1,\infty)$ \end_inset es tal que \begin_inset Formula $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Phi:L^{q}(\mu)\to L^{p}(\mu)^{*}$ \end_inset dado por \begin_inset Formula \[ \Phi(g)(f)\coloneqq\int_{\Omega}fg\dif\mu \] \end_inset es un isomorfismo isométrico. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Propiedad de Schur: \series default En \begin_inset Formula $\ell^{1}$ \end_inset , las sucesiones convergentes en la topología asociada a la norma y en \begin_inset Formula $\sigma(\ell^{1},\ell^{\infty})$ \end_inset son las mismas, pese a que son topologías distintas. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \series bold Segundo teorema de Šmulian: \series default Si \begin_inset Formula $(X,\Vert\cdot\Vert)$ \end_inset es normado, un subespacio de \begin_inset Formula $(X,\sigma(X,X^{*}))$ \end_inset es compacto si y sólo si es compacto por sucesiones. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Un subconjunto de \begin_inset Formula $(\ell^{1},\Vert\cdot\Vert_{1})$ \end_inset es débilmente compacto (compacto con la topología débil) si y sólo si es compacto. \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout nproof \end_layout \end_inset \end_layout \end_body \end_document