#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_body

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
ecuación lineal
\series default
 en las 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 
\series bold
incógnitas
\series default
 
\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}$
\end_inset

 sobre el cuerpo 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 es una expresión de la forma 
\begin_inset Formula $a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=b$
\end_inset

, con los 
\begin_inset Formula $a_{i}\in K$
\end_inset

 (
\series bold
coeficientes
\series default
) y 
\begin_inset Formula $b\in K$
\end_inset

 (
\series bold
término independiente
\series default
).
 Un 
\series bold
sistema de 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 ecuaciones lineales
\series default
 con 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 incógnitas sobre el cuerpo 
\series bold

\begin_inset Formula $K$
\end_inset


\series default
 tiene la forma
\begin_inset Formula 
\[
\left.\begin{array}{ccccccc}
a_{11}x_{1} & + & \dots & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1}\\
 &  &  &  &  & \vdots\\
a_{m1}x_{1} & + & \dots & + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m}
\end{array}\right\} 
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Puede expresarse matricialmente de la forma 
\begin_inset Formula $AX=B$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$
\end_inset

 es la 
\series bold
matriz de los coeficientes
\series default
, 
\begin_inset Formula $B=(b_{i})\in M_{m,1}(K)$
\end_inset

 es la 
\series bold
matriz de los términos independientes
\series default
 y 
\begin_inset Formula $X=(x_{i})\in M_{n,1}(K)$
\end_inset

 es la matriz de incógnitas.
 A la matriz 
\begin_inset Formula $(A|B)\in M_{m,n+1}(K)$
\end_inset

 se le llama 
\series bold
matriz ampliada
\series default
 del sistema.
 Un sistema es 
\series bold
homogéneo
\series default
 si 
\begin_inset Formula $B=0$
\end_inset

, y a cada sistema 
\begin_inset Formula $AX=B$
\end_inset

 se le puede asociar el sistema homogéneo 
\begin_inset Formula $AX=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se llama 
\series bold
solución
\series default
 a toda 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-upla 
\begin_inset Formula $(r_{1},\dots,r_{n})\in K^{n}$
\end_inset

 tal que si 
\begin_inset Formula $R=(r_{i})\in M_{n,1}(K)$
\end_inset

 entonces 
\begin_inset Formula $AR=B$
\end_inset

.
 Un sistema es 
\series bold
compatible
\series default
 si tiene alguna solución, 
\series bold
determinado
\series default
 si tiene solo una e 
\series bold
indeterminado
\series default
 si tiene más; o 
\series bold
incompatible
\series default
 si no tiene ninguna.
 
\series bold
Discutir
\series default
 un sistema es determinar su compatibilidad, y 
\series bold
resolverlo
\series default
 es encontrar las soluciones.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema:
\series default
 Si un sistema 
\begin_inset Formula $AX=B$
\end_inset

 tiene una solución 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

, todas las soluciones son de la forma 
\begin_inset Formula $P+M$
\end_inset

, donde 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es solución de 
\begin_inset Formula $AX=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Teorema de Rouché-Frobenius
\end_layout

\begin_layout Standard
Un sistema 
\begin_inset Formula $AX=B$
\end_inset

 es compatible si y sólo si 
\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\text{rang}(A|B)$
\end_inset

, en cuyo caso es determinado si 
\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=n$
\end_inset

.
 En concreto, si 
\begin_inset Formula $k=n-\text{rang}(A)>0$
\end_inset

, existen 
\begin_inset Formula $u_{1},\dots,u_{k}$
\end_inset

 soluciones linealmente independientes de 
\begin_inset Formula $AX=0$
\end_inset

 tales que cualquier solución del sistema es de la forma 
\begin_inset Formula $x_{0}+\lambda_{1}u_{1}+\dots+\lambda_{k}u_{k}$
\end_inset

.
 Decimos del sistema que 
\series bold
depende de 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 parámetros
\series default
 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{k}$
\end_inset

 o que tiene 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 
\series bold
grados de libertad
\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Demostración:
\series default
 Si tenemos la aplicación 
\begin_inset Formula $f_{A}:K^{n}\rightarrow K^{m}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $A=M_{{\cal C^{0}},{\cal C}}(f)$
\end_inset

, entonces si 
\begin_inset Formula $K^{n}=<u_{1},\dots,u_{n}>$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 es el vector definido por 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, el conjunto de soluciones es 
\begin_inset Formula $f^{-1}(v)=\{x\in K^{n}|f(x)=v\}$
\end_inset

.
 Entonces,
\begin_inset Formula 
\begin{multline*}
\exists x\in U:f(x)=v\iff v\in\text{Im}(f)\iff<f(u_{1}),\dots,f(u_{n}),v>=<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>\iff\\
\iff\dim(<f(u_{1}),\dots,f(u_{n}),v>)=\dim(<f(u_{1}),\dots,f(u_{n})>)=\dim(\text{Im}(f))=\text{rang}(f)
\end{multline*}

\end_inset

Por tanto 
\begin_inset Formula $AX=B$
\end_inset

 es compatible si y sólo si 
\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=\text{rang}(A|B)$
\end_inset

.
 Por otro lado, si 
\begin_inset Formula $f(x_{0})=v$
\end_inset

, las soluciones serán 
\begin_inset Formula $f^{-1}(v)=\{u\in U|f(u)=v\}=x_{0}+\text{Nuc}(f)$
\end_inset

.
 Como además 
\begin_inset Formula $\dim(K^{n})=\text{rang}(f)+\dim(\text{Nuc}(f))$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $k\coloneqq \dim(\text{Nuc}(f))=n-\text{rang}(f)$
\end_inset

, por lo que existen 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 soluciones linealmente independientes de 
\begin_inset Formula $AX=0$
\end_inset

 (una base de 
\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f)$
\end_inset

).
 Por tanto las soluciones del sistema homogéneo serán combinaciones lineales
 de dicha base.
\end_layout

\begin_layout Section
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
 Método de Gauss
\end_layout

\begin_layout Standard
Dos sistemas de 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 ecuaciones lineales con 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 incógnitas sobre un mismo cuerpo son 
\series bold
e
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold

\backslash
-
\end_layout

\end_inset

qui
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold

\backslash
-
\end_layout

\end_inset

va
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold

\backslash
-
\end_layout

\end_inset

len
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

\series bold

\backslash
-
\end_layout

\end_inset

tes
\series default
 si tienen las mismas soluciones.
 Si 
\begin_inset Formula $P\in M_{m}(K)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(PA)X=PB$
\end_inset

 es equivalente a 
\begin_inset Formula $AX=B$
\end_inset

, y en particular, si 
\begin_inset Formula $E\in M_{m}(K)$
\end_inset

 es una matriz elemental, 
\begin_inset Formula $(EA)X=EB$
\end_inset

 también lo es, por lo que al hacer operaciones elementales por filas sobre
 
\begin_inset Formula $(A|B)$
\end_inset

 se obtiene un sistema con las mismas soluciones.
\end_layout

\begin_layout Standard
El 
\series bold
método de Gauss
\series default
 comienza por convertir la matriz ampliada a una escalonada reducida por
 filas 
\begin_inset Formula $(A'|B')$
\end_inset

.
 Si obtenemos que 
\begin_inset Formula $\text{rang}(A|B)>\text{rang}(A)$
\end_inset

, el sistema es incompatible.
 Si 
\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)=\text{rang}(A|B)$
\end_inset

, las filas nulas de 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

 lo son de 
\begin_inset Formula $B'$
\end_inset

.
 Reordenamos las incógnitas, lo que equivale a reordenar las columnas de
 
\begin_inset Formula $A'$
\end_inset

, para conseguir un sistema de la forma
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{c|c}
I_{r} & C\\
\hline 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{r}\\
\hline y_{r+1}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_{1}^{\prime}\\
\vdots\\
b_{r}^{\prime}\\
\hline 0\\
\vdots\\
0
\end{array}\right)
\]

\end_inset

Donde 
\begin_inset Formula $y_{1},\dots,y_{n}$
\end_inset

 son los 
\begin_inset Formula $x_{1},\dots,x_{n}$
\end_inset

 reordenados de la misma forma que las columnas.
 Esto equivale a
\begin_inset Formula 
\[
I_{r}\left(\begin{array}{c}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{r}
\end{array}\right)+C\left(\begin{array}{c}
y_{r+1}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_{1}^{\prime}\\
\vdots\\
b_{r}^{\prime}
\end{array}\right)\implies\left(\begin{array}{c}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{r}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_{1}^{\prime}\\
\vdots\\
b_{r}^{\prime}
\end{array}\right)-C\left(\begin{array}{c}
y_{r+1}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

De modo que al asignar valores arbitrarios a 
\begin_inset Formula $y_{r+1},\dots,y_{n}$
\end_inset

, que llamamos 
\series bold
incógnitas libres
\series default
, obtenemos valores de 
\begin_inset Formula $y_{1},\dots,y_{r}$
\end_inset

, que llamamos 
\series bold
incógnitas principales
\series default
.
\end_layout

\end_body
\end_document