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\begin_body

\begin_layout Section
Determinante de una matriz.
 Propiedades
\end_layout

\begin_layout Standard
Una aplicación 
\begin_inset Formula $f:U_{1}\times\dots\times U_{n}\rightarrow V$
\end_inset

 es una 
\series bold
aplicación multilineal
\series default
 si es lineal en cada una de las 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 variables, es decir, si 
\begin_inset Formula 
\[
f(u_{1},\dots,\alpha u_{i}+\beta u_{i}^{\prime},\dots,u_{n})=\alpha f(u_{1},\dots,u_{i},\dots,u_{n})+\beta f(u_{1},\dots,u_{i}^{\prime},\dots,u_{n})
\]

\end_inset

Una aplicación multilineal 
\begin_inset Formula $f:U^{n}\rightarrow V$
\end_inset

 se llama 
\series bold
aplicación 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-lineal
\series default
.
 Si además 
\begin_inset Formula $V=K$
\end_inset

 es una 
\series bold
forma 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-lineal
\series default
.
 Una forma 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-lineal 
\begin_inset Formula $f:U^{n}\rightarrow K$
\end_inset

 es 
\series bold
alternada
\series default
 si se anula en cada 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-upla con dos componentes iguales, es decir, tal que 
\begin_inset Formula $f(u_{1},\dots,u_{k},\dots,u_{l},\dots,u_{n})=0$
\end_inset

 cuando 
\begin_inset Formula $u_{k}=u_{l}$
\end_inset

 (con 
\begin_inset Formula $k\neq l$
\end_inset

).
\end_layout

\begin_layout Standard
Una 
\series bold
aplicación determinante
\series default
 
\begin_inset Formula $\det:M_{n}(K)\rightarrow K$
\end_inset

 es una forma 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-lineal alternada que a cada matriz cuadrada 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 le asigna un escalar, llamado 
\series bold
determinante
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, que denotamos 
\begin_inset Formula $\det(A)$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|A|$
\end_inset

 o 
\begin_inset Formula $\det(A_{1},\dots,A_{n})$
\end_inset

 (donde 
\begin_inset Formula $A_{i}$
\end_inset

 son las columnas de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

), tal que 
\begin_inset Formula $|I_{n}|=1$
\end_inset

.
 Algunas aplicaciones determinantes son:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
La aplicación 
\begin_inset Formula $||:M_{2}(K)\rightarrow K$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
La 
\series bold
regla de Sarrus
\series default
, aplicación 
\begin_inset Formula $||:M_{3}(K)\rightarrow K$
\end_inset

 dada por
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Las aplicaciones determinantes verifican que:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{n}
\end{array}\right|=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $\{e_{1},\dots,e_{n}\}$
\end_inset

 es la base canónica de 
\begin_inset Formula $K^{n}$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{n}
\end{array}\right|=\det(a_{1}e_{1},\dots,a_{n}e_{n})=a_{1}\cdots a_{n}\det(e_{1},\dots,e_{n})=a_{1}\cdots a_{n}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 tiene una columna nula entonces 
\begin_inset Formula $\det(A)=0$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $A_{i}=0$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0,A_{i+1},\dots,A_{n})=\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0+0,A_{i+1},\dots,A_{n})=\\
=\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0,A_{i+1},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{i-1},0,A_{i+1},\dots,A_{n})
\end{array}
\]

\end_inset

luego 
\begin_inset Formula $\det A=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Al intercambiar dos columnas, el determinante cambia de signo.
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
0=\det(A_{1},\dots,A_{i}+A_{j},\dots,A_{i}+A_{j},\dots,A_{n})=\\
=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{i},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})+\\
+\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{i},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=\\
=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})+\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{i},\dots,A_{n})
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si a una columna se le añade otra multiplicada por un escalar, el determinante
 no varía.
\begin_inset Newline newline
\end_inset


\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
\det(A_{1},\dots,A_{i}+\alpha A_{j},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=\\
=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})+\alpha\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=\\
=\det(A_{1},\dots,A_{i},\dots,A_{j},\dots,A_{n})
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Si las columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes, su
 determinante es 0.
 Por tanto una matriz no invertible tiene determinante 0.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Habrá una columna que será combinación lineal del resto: 
\begin_inset Formula $A_{k}=\sum_{j\neq k}\alpha_{j}A_{j}$
\end_inset

.
 Así,
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
\det(A_{1},\dots,A_{k},\dots,A_{n})=\det(A_{1},\dots,\sum_{j\neq k}\alpha_{j}A_{j},\dots,A_{n})=\\
=\sum_{j\neq k}\alpha_{j}\det(A_{1},\dots,A_{j},\dots,A_{n})=0
\end{array}
\]

\end_inset

Ya que cada matriz del último sumatorio tiene dos columnas iguales.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí podemos deducir que 
\begin_inset Formula $|E_{n}(i,j)|=-1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|E_{n}(\alpha[i])|=\alpha$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $|E_{n}([i]+\alpha[j])|=1$
\end_inset

, y que si 
\begin_inset Formula $A,E\in M_{n}(K)$
\end_inset

, siendo 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 una matriz elemental, entonces 
\begin_inset Formula $|AE|=|A||E|$
\end_inset

.
 Se deducen los siguientes teoremas:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Una matriz cuadrada 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es invertible si y sólo si 
\begin_inset Formula $|A|\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Toda matriz invertible es producto de matrices elementales, y por lo anterior,
 
\begin_inset Formula $|A|=|I_{n}E_{1}\cdots E_{k}|=|I_{n}||E_{1}|\cdots|E_{k}|=|E_{1}|\cdots|E_{k}|$
\end_inset

.
 Como ninguno de los factores es nulo, se tiene que 
\begin_inset Formula $|A|\neq0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Inmediato de la última propiedad.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
Si 
\begin_inset Formula $A,B\in M_{n}(K)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $|AB|=|A||B|$
\end_inset

.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

Si alguna de las dos no es invertible, su producto tampoco (pues si lo fuera,
 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 serían invertibles).
 En tal caso, 
\begin_inset Formula $|AB|=0=|A||B|$
\end_inset

.
 Si son ambas invertibles, existen matrices elementales 
\begin_inset Formula $E_{1},\dots,E_{k}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $B=E_{1}\cdots E_{k}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $|AB|=|AE_{1}\cdots E_{k}|=|A||E_{1}|\cdots|E_{k}|=|A||B|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
De aquí tenemos que 
\begin_inset Formula $|A^{-1}|=|A|^{-1}$
\end_inset

, pues 
\begin_inset Formula $1=|I_{n}|=|AA^{-1}|=|A||A^{-1}|$
\end_inset

.
 Tenemos también que la aplicación determinante es única, pues 
\begin_inset Formula $\det(A)=0$
\end_inset

 para matrices no invertibles y 
\begin_inset Formula $\det(A)=|E_{1}|\cdots|E_{k}|$
\end_inset

 para aquellas que sí lo son, y podemos entonces comprobar que esta operación
 está bien definida.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema:
\series default
 
\begin_inset Formula $|A^{t}|=|A|$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 no es invertible, 
\begin_inset Formula $A^{t}$
\end_inset

 tampoco, por lo que 
\begin_inset Formula $|A^{t}|=0=|A|$
\end_inset

.
 Si lo es, existen 
\begin_inset Formula $E_{1},\dots,E_{k}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A=E_{1}\cdots E_{k}$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $|A^{t}|=|(E_{1}\cdots E_{k})^{t}|=|E_{k}^{t}\cdots E_{1}^{t}|=|E_{k}^{t}|\cdots|E_{1}^{t}|=|E_{1}|\cdots|E_{k}|=|E_{1}\cdots E_{k}|=|A|$
\end_inset

.
 Esto significa que todo lo relativo a determinantes que se diga para columnas
 también es válido para filas.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{n}(K)$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $i,j\in\{1,\dots,n\}$
\end_inset

, llamamos 
\series bold
menor complementario
\series default
 del elemento 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

 al determinante 
\begin_inset Formula $|A_{ij}|$
\end_inset

 de la matriz 
\begin_inset Formula $A_{ij}\in M_{n-1}(K)$
\end_inset

 resultado de eliminar la fila 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 y la columna 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Llamamos 
\series bold
adjunto
\series default
 de 
\begin_inset Formula $a_{ij}$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 al escalar 
\begin_inset Formula $\Delta_{ij}\coloneqq (-1)^{i+j}|A_{ij}|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema:
\series default
 Las aplicaciones 
\begin_inset Formula $||:M_{n}(K)\rightarrow K$
\end_inset

 definidas para 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $|(a)|=a$
\end_inset

 y para 
\begin_inset Formula $n>1$
\end_inset

 como 
\begin_inset Formula $|(a_{ij})|=a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}$
\end_inset

 son aplicaciones determinante.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $n=1$
\end_inset

 es trivial.
 Ahora supongamos que la aplicación determinante está definida para 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 y probamos que se cumplen las condiciones para 
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Multilineal: Sea 
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})=(A_{1},\dots,A_{n})\in M_{n}(K)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A^{\prime}=(a_{ij}^{\prime})=(A_{1},\dots,\alpha A_{k},\dots,A_{n})$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $a_{ik}^{\prime}=\alpha a_{ik}$
\end_inset

 y para 
\begin_inset Formula $j\neq k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{ij}^{\prime}=a_{ij}$
\end_inset

.
 Si llamamos 
\begin_inset Formula $\Delta_{ij}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\Delta_{ij}^{\prime}$
\end_inset

 a los correspondientes adjuntos, 
\begin_inset Formula $\Delta_{ik}^{\prime}=\Delta_{ik}$
\end_inset

 y para 
\begin_inset Formula $j\neq k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Delta_{ij}^{\prime}=\alpha\Delta_{ij}$
\end_inset

.
 Así,
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
|A^{\prime}|=a_{11}^{\prime}\Delta_{11}^{\prime}+\dots+a_{1n}^{\prime}\Delta_{1n}^{\prime}=\\
=a_{11}\alpha\Delta_{11}+\dots+a_{1(k-1)}\alpha\Delta_{1(k-1)}+\alpha a_{1k}\Delta_{ik}+a_{1(k+1)}\alpha\Delta_{i(k+1)}+\dots+a_{1n}\alpha\Delta_{in}=\\
=\alpha(a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n})=\alpha|A|
\end{array}
\]

\end_inset

Del mismo modo, sea 
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})=(A_{1},\dots,A_{k}^{\prime}+A_{k}^{\prime\prime},\dots,A_{n})$
\end_inset

 y sean 
\begin_inset Formula $A^{\prime}=(a_{ij}^{\prime})=(A_{1},\dots,A_{k}^{\prime},\dots,A_{n})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $A^{\prime\prime}=(a_{ij}^{\prime\prime})=(A_{1},\dots,A_{k}^{\prime\prime},\dots,A_{n})$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $a_{ik}=a_{ik}^{\prime}+a_{ik}^{\prime\prime}$
\end_inset

 y si 
\begin_inset Formula $j\neq k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $a_{ij}=a_{ij}^{\prime}=a_{ij}^{\prime\prime}$
\end_inset

.
 Del mismo modo, 
\begin_inset Formula $\Delta_{ik}=\Delta_{ik}^{\prime}=\Delta_{ik}^{\prime\prime}$
\end_inset

 y si 
\begin_inset Formula $j\neq k$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\Delta_{ij}=\Delta_{ij}^{\prime}+\Delta_{ij}^{\prime\prime}$
\end_inset

, por lo que
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
|A|=a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}=\\
=a_{11}(\Delta_{11}^{\prime}+\Delta_{11}^{\prime\prime})+\dots+a_{1(k-1)}(\Delta_{1(k-1)}^{\prime}+\Delta_{1(k-1)}^{\prime\prime})+(a_{1k}^{\prime}+a_{1k}^{\prime\prime})\Delta_{1k}+\\
+a_{1(k+1)}(\Delta_{1(k+1)}^{\prime}+\Delta_{1(k+1)}^{\prime\prime})+\dots+a_{1n}(\Delta_{1n}^{\prime}+\Delta_{1n}^{\prime\prime})=\\
=a_{11}^{\prime}\Delta_{11}^{\prime}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}^{\prime}+a_{11}^{\prime\prime}\Delta_{11}^{\prime\prime}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}^{\prime\prime}=|A^{\prime}|+|A^{\prime\prime}|
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
Alternada: Sea 
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})=(A_{1},\dots,A_{n})\in M_{n}(K)$
\end_inset

.
 Si para 
\begin_inset Formula $r<s$
\end_inset

 se tiene que 
\begin_inset Formula $A_{r}=A_{s}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $a_{r}=a_{s}$
\end_inset

 y para 
\begin_inset Formula $j\neq r,s$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $\Delta_{1j}=0$
\end_inset

, pues el menor complementario posee dos columnas iguales, por lo que 
\begin_inset Formula $|A|=a_{11}\Delta_{11}+\dots+a_{1n}\Delta_{1n}=a_{1r}\Delta_{1r}+a_{1s}\Delta_{1s}$
\end_inset

.
 Por otro lado, si llamamos 
\begin_inset Formula $A_{j}^{\prime}$
\end_inset

 al elemento de 
\begin_inset Formula $A_{j}$
\end_inset

 resultado de eliminar 
\begin_inset Formula $a_{1j}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
|A_{1s}|=|(A_{1}^{\prime},\dots,A_{r-1}^{\prime},A_{r}^{\prime},A_{r+1}^{\prime},\dots,A_{s-1}^{\prime},A_{s+1}^{\prime},\dots,A_{n}^{\prime})|=\\
=-|(A_{1}^{\prime},\dots,A_{r-1}^{\prime},A_{r+1}^{\prime},A_{r}^{\prime},\dots,A_{s-1}^{\prime},A_{s+1}^{\prime},\dots,A_{n}^{\prime})|=\dots=\\
=(-1)^{s-r-1}|(A_{1}^{\prime},\dots,A_{r-1}^{\prime},A_{r+1}^{\prime},\dots,A_{s-1}^{\prime},A_{r}^{\prime},A_{s+1}^{\prime},\dots,A_{n})|=(-1)^{s-r-1}|A_{1r}|
\end{array}
\]

\end_inset

pues 
\begin_inset Formula $A_{r}^{\prime}=A_{s}^{\prime}$
\end_inset

.
 Por tanto
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
|A|=a_{1r}(-1)^{1+r}|A_{1r}|+a_{1s}(-1)^{1+s}(-1)^{s-r-1}|A_{1r}|=\\
=a_{1r}|A_{1r}|((-1)^{1+r}+(-1)^{1+2s-r-1})=a_{1r}|A_{1r}|((-1)^{1+r}+(-1)^{-r})=0
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $|I_{n}|=\delta_{11}\Delta_{11}+\dots+\delta_{1n}\Delta_{1n}=\Delta_{11}=(-1)^{1+1}|I_{n-1}|=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se puede probar que, para 
\begin_inset Formula $1\leq i\leq n$
\end_inset

, cada aplicación dada por 
\begin_inset Formula $|A|=a_{i1}\Delta_{i1}+\dots+a_{in}\Delta_{in}$
\end_inset

, que llamamos 
\series bold
desarrollo del determinante
\series default
 de la matriz 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 por la 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-ésima fila, también cumple las condiciones.
 Por otro lado, como 
\begin_inset Formula $|A|=|A^{t}|$
\end_inset

, también se puede desarrollar por filas.
 En la práctica se pueden hacer operaciones elementales para obtener ceros
 en una fila o columna y luego desarrollar por ella.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Determinantes de Vandermonde:
\series default
 Restando a cada fila la anterior por 
\begin_inset Formula $x_{1}$
\end_inset

, desarrollando, dividiendo lo resultante por cada elemento de la primera
 fila y repitiendo el proceso, se tiene que:
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1\\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & x_{2}-x_{1} & \cdots & x_{n}-x_{1}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & x_{2}^{n-1}-x_{1}x_{2}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-1}-x_{1}x_{n}^{n-2}
\end{array}\right|=\\
=(x_{2}-x_{1})\cdots(x_{n}-x_{1})\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cdots & 1\\
x_{2} & \cdots & x_{n}\\
\vdots &  & \vdots\\
x_{2}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-2}
\end{array}\right|=\dots=\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_{i}-x_{j})
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Desarrollo de un determinante por menores, de
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

sa
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

rro
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

llo de Laplace
\end_layout

\begin_layout Standard
Se llama 
\series bold
submatriz
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 a la obtenida al eliminar determinadas filas y columnas de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Toda matriz es submatriz de sí misma.
 Un 
\series bold
menor de orden 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset


\series default
 es el determinante de una submatriz de tamaño 
\begin_inset Formula $n\times n$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es cuadrada, el 
\series bold
menor complementario
\series default
 
\begin_inset Formula $M^{\prime}$
\end_inset

 del menor 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es el determinante de la matriz formada por las filas y columnas restantes.
 Un menor es de 
\series bold
clase par
\series default
 o de 
\series bold
clase impar
\series default
 según lo sea la suma de los índices de sus filas (
\begin_inset Formula $i_{1},\dots,i_{p}$
\end_inset

) y columnas (
\begin_inset Formula $j_{1},\dots,j_{p}$
\end_inset

).
 La 
\series bold
signatura
\series default
 de un menor 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $\varepsilon(M)=(-1)^{(i_{1}+\dots+i_{p})+(j_{1}+\dots+j_{p})}$
\end_inset

.
 Como 
\begin_inset Formula $(1+\dots+n)+(1+\dots+n)$
\end_inset

 es par, todo menor tiene la misma signatura que su complementario.
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\begin_inset Formula $\chi_{r}$
\end_inset

 al conjunto de combinaciones de 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 filas o columnas:
\begin_inset Formula 
\[
\chi_{r}=\{(i_{1},\dots,i_{r})\mid 1\leq i_{1}<\dots<i_{r}\leq n\}
\]

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $I,J\in\chi_{r}$
\end_inset

, llamamos 
\begin_inset Formula $A_{IJ}$
\end_inset

 al menor determinado por las filas 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 y las columnas 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Entonces:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Dado 
\begin_inset Formula $I\in\chi_{r}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|A|=\sum_{J\in\chi_{r}}\varepsilon(A_{IJ})A_{IJ}A_{IJ}^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Dado 
\begin_inset Formula $J\in\chi_{r}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|A|=\sum_{I\in\chi_{r}}\varepsilon(A_{IJ})A_{IJ}A_{IJ}^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Esto es útil cuando 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 está formada por bloques de tamaño adecuado alguno de los cuales es nulo.
 De aquí se tiene que 
\begin_inset Formula $\left|\left(\begin{array}{c|c}
P & Q\\
\hline 0 & R
\end{array}\right)\right|=|P||R|$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Determinante de un endomorfismo
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}^{\prime}$
\end_inset

 son bases de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula 
\[
M_{{\cal B}}(f)=M_{{\cal B}{\cal B}^{\prime}}M_{{\cal B}^{\prime}}(f)M_{{\cal B}^{\prime}{\cal B}}=P^{-1}M_{{\cal B}^{\prime}}(f)P
\]

\end_inset

por lo que 
\begin_inset Formula $|M_{{\cal B}}(f)|=|P|^{-1}|M_{{\cal B}^{\prime}}(f)||P|=|M_{{\cal B}^{\prime}}(f)|$
\end_inset

.
 Así, llamamos 
\series bold
determinante del endomorfismo 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset


\series default
 al de la matriz asociada a 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 respecto de cualquier base de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Matriz adjunta.
 Aplicación al cálculo de la inversa
\end_layout

\begin_layout Standard
Llamamos 
\series bold
matriz adjunta
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 a la matriz 
\begin_inset Formula $\hat{A}=(\Delta_{ij})\in M_{n}(K)$
\end_inset

.
 
\series bold
Teorema:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $A\cdot\hat{A}^{t}=\hat{A}^{t}\cdot A=|A|I_{n}$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\hat{A}=(\Delta_{ij})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\hat{A}^{t}=(b_{ij})$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $b_{ij}=\Delta_{ji}$
\end_inset

.
 Sea entonces 
\begin_inset Formula $C=(c_{ij})=A\cdot\hat{A}^{t}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\Delta_{jk}$
\end_inset

.
 Para 
\begin_inset Formula $i\neq j$
\end_inset

, esto corresponde al desarrollo por la fila 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

-ésima del determinante de la matriz que se diferencia de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 en que tiene la fila 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

-ésima copiada en la 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

-ésima, por lo que entonces 
\begin_inset Formula $c_{ij}=0$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $i\neq j$
\end_inset

, este es el desarrollo por la fila 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

-ésima de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $c_{ii}=|A|$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $C=|A|I_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Como consecuencia, se tiene el 
\series bold
teorema
\series default
 de que 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es invertible si y sólo si 
\begin_inset Formula $|A|\neq0$
\end_inset

 y entonces
\begin_inset Formula 
\[
A^{-1}=\frac{1}{|A|}\hat{A}^{t}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Cálculo del rango de una matriz por determinantes
\end_layout

\begin_layout Standard
El rango de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es el mayor de los órdenes de los menores no nulos de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sean 
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A\neq0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $r=\text{rang}(A)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 el mayor de los tamaños de los menores no nulos, que existe si 
\begin_inset Formula $A\neq0$
\end_inset

.
 Si 
\begin_inset Formula $A^{\prime}$
\end_inset

 es una submatriz cuadrada de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 de tamaño 
\begin_inset Formula $p\times p$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $|A^{\prime}|\neq0$
\end_inset

, entonces la submatriz 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 formada por las filas de 
\begin_inset Formula $A^{\prime}$
\end_inset

 pero con todas las columnas de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 tiene 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 columnas linealmente independientes (las de 
\begin_inset Formula $A^{\prime}$
\end_inset

) y por tanto también tiene 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 filas linealmente independientes, pero entonces 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 tiene al menos 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 filas linealmente independientes y 
\begin_inset Formula $r\geq p$
\end_inset

.
 Por otro lado, si 
\begin_inset Formula $A_{i_{1}},\dots,A_{i_{r}}$
\end_inset

 son filas linealmente independientes de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y tomamos la submatriz 
\begin_inset Formula $B\in M_{r,n}(K)$
\end_inset

 formada por estas filas y todas las columnas, 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 tendrá rango 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

, luego tendrá 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 columnas 
\begin_inset Formula $j_{1},\dots,j_{r}$
\end_inset

 linealmente independientes.
 Si tomamos la submatriz 
\begin_inset Formula $A^{\prime}\in M_{r}(K)$
\end_inset

 formada por estas columnas, al ser linealmente independientes, 
\begin_inset Formula $|A^{\prime}|\neq0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $p\geq r$
\end_inset

.
 Por tanto 
\begin_inset Formula $p=r$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Dados 
\begin_inset Formula $A_{i}=(a_{1i},\dots,a_{ni})\in K^{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{r}$
\end_inset

 linealmente independientes y
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{ccc}
a_{i_{1}1} & \cdots & a_{i_{1}r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r}
\end{array}\right|\neq0
\]

\end_inset


\begin_inset Formula $B=(b_{1},\dots,b_{n})$
\end_inset

 es combinación lineal de 
\begin_inset Formula $A_{1},\dots,A_{r}$
\end_inset

 si y sólo si para todo 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

,
\begin_inset Formula 
\[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{i_{1}1} & \dots & a_{i_{1}r} & b_{i_{1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r} & b_{i_{r}}\\
a_{j1} & \cdots & a_{jr} & b_{j}
\end{array}\right|=0
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si son linealmente dependientes, los determinantes son nulos.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si todos son nulos, desarrollando por la última fila, se obtiene, para cada
 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

, que
\begin_inset Formula 
\[
a_{j1}\left|\begin{array}{cccc}
a_{i_{1}2} & \cdots & a_{i_{1}r} & b_{i_{1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{i_{r}2} & \cdots & a_{i_{r}r} & b_{i_{r}}
\end{array}\right|\pm\dots\pm b_{j}\left|\begin{array}{ccc}
a_{i_{1}1} & \cdots & a_{i_{1}r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r}
\end{array}\right|=0
\]

\end_inset

Por lo que
\begin_inset Formula 
\[
b_{j}=\frac{1}{\left|\begin{array}{ccc}
a_{i_{1}1} & \cdots & a_{i_{1}r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i_{r}1} & \cdots & a_{i_{r}r}
\end{array}\right|}\left(\pm a_{j1}\left|\begin{array}{ccc}
a_{i_{1}2} & \cdots & b_{i_{1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i_{r}2} & \cdots & b_{i_{r}}
\end{array}\right|\pm\dots\pm a_{j_{r}}\left|\begin{array}{ccc}
a_{i_{1}1} & \cdots & b_{i1}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i_{r}1} & \cdots & b_{i_{r}}
\end{array}\right|\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A efectos prácticos, esto significa que, una vez encontrado un menor no
 nulo de orden 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 en una matriz 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, podemos 
\emph on
orlarlo
\emph default
 (obtener otro añadiendo una fila y una columna a la submatriz) de todas
 las formas posibles y, si todos los menores resultantes son nulos, entonces
 
\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=k$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Regla de Cramer
\end_layout

\begin_layout Standard
Un sistema de ecuaciones lineales 
\begin_inset Formula $AX=B$
\end_inset

 es un 
\series bold
sistema de Cramer
\series default
 si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es invertible.
 En tal caso tiene solución única 
\begin_inset Formula $X=A^{-1}B$
\end_inset

.
 
\series bold
Regla de Cramer:
\series default
 si las columnas de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $(A_{1},\dots,A_{n})$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
x_{i}=\frac{\det(A_{1},\dots,A_{i-1},B,A_{i+1},\dots,A_{n})}{\det(A)}
\]

\end_inset


\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\hat{A}^{t}$
\end_inset

, y si 
\begin_inset Formula $X=(x_{i})$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\hat{A}=(\Delta_{ij})$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $x_{i}=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{|A|}\Delta_{ji}b_{j}=\frac{1}{|A|}\sum_{j=1}^{n}\Delta_{ji}b_{j}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $A\in M_{m,n}(K)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $\text{rang}(A)=r$
\end_inset

, habrá un menor 
\begin_inset Formula $M\neq0$
\end_inset

 de orden 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

, por lo que las 
\begin_inset Formula $n-r$
\end_inset

 últimas filas serán combinaciones lineales de las 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 primeras, y moviendo al lado derecho los 
\begin_inset Formula $m-r$
\end_inset

 coeficientes que no están en la submatriz de 
\begin_inset Formula $M$
\end_inset

, nos queda el sistema
\begin_inset Formula 
\[
\left.\begin{array}{ccc}
a_{11}x_{1}+\dots+a_{1r}x_{r} & = & b_{1}-(a_{1r+1}x_{r+1}+\dots+a_{1n}x_{n})\\
 & \vdots\\
a_{r1}x_{1}+\dots+a_{rr}x_{r} & = & b_{r}-(a_{rr+1}x_{r+1}+\dots+a_{rn}x_{n})
\end{array}\right\} 
\]

\end_inset

que podemos resolver por Cramer.
\end_layout

\end_body
\end_document