#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_body

\begin_layout Section
Semejanza de matrices
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $A,B\in M_{n}(K)$
\end_inset

 son 
\series bold
semejantes
\series default
 si 
\begin_inset Formula $\exists P\in M_{n}(K):B=P^{-1}AP$
\end_inset

.
 Esta relación es de equivalencia, y si dos matrices son semejantes también
 son equivalentes y por tanto tienen el mismo rango, si bien el recíproco
 no se cumple.
\end_layout

\begin_layout Standard
Sea 
\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
\end_inset

 una matriz formada por 
\series bold
bloques
\series default
 cuadrados en la diagonal y ceros en el resto:
\begin_inset Formula 
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
\boxed{A_{1}} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & \boxed{A_{t}}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $A_{i}\in M_{n_{i}}(K)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $n_{1}+\dots+n_{t}=n$
\end_inset

.
 Por el desarrollo de Laplace, su determinante es 
\begin_inset Formula $|A|=|A_{1}|\cdots|A_{t}|$
\end_inset

; su rango es la suma de los rangos de los 
\begin_inset Formula $A_{i}$
\end_inset

, y su potencia 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-ésima es
\begin_inset Formula 
\[
A^{k}=\left(\begin{array}{ccc}
\boxed{A_{1}^{k}} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & \boxed{A_{t}^{k}}
\end{array}\right)
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Entonces, si 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 es semejante a 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $|B|=|P^{-1}AP|=|P|^{-1}|A||P|=|A|$
\end_inset

, su rango es el de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 y
\begin_inset Formula 
\[
B^{k}=\underset{k\text{ veces}}{(P^{-1}AP)\cdots(P^{-1}AP)}=P^{-1}A^{k}P
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Subespacios invariantes
\end_layout

\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $W\leq V$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 es 
\series bold
invariante
\series default
 por 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $f(W)\subseteq W$
\end_inset

.
 Entonces la restricción de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 a 
\begin_inset Formula $W$
\end_inset

 es 
\begin_inset Formula $f|_{W}\in\text{End}_{K}(W)$
\end_inset

.
 También se tiene que 
\begin_inset Formula $\{0\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 son invariantes de cada 
\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$
\end_inset

, y la suma e intersección de subespacios invariantes por 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 también son subespacios invariantes por 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 Ahora supongamos que 
\begin_inset Formula $V=W_{1}\oplus\dots\oplus W_{t}$
\end_inset

, donde cada 
\begin_inset Formula $W_{i}$
\end_inset

 es un subespacio invariante no nulo por 
\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
\end_inset

.
 Si tomamos 
\begin_inset Formula ${\cal B}={\cal B}_{1}\cup\dots\cup{\cal B}_{t}$
\end_inset

, siendo cada 
\begin_inset Formula ${\cal B}_{i}$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $W_{i}$
\end_inset

, entonces
\begin_inset Formula 
\[
M_{{\cal B}}(f)=\left(\begin{array}{ccc}
\boxed{A_{1}} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & \boxed{A_{t}}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $A_{i}=M_{{\cal B}_{i}}(f|_{W})\in M_{n_{i}}(K)$
\end_inset

 para 
\begin_inset Formula $n_{i}=\dim(W_{i})$
\end_inset

.
 Recíprocamente, si 
\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
\end_inset

 tiene dicha forma y
\begin_inset Formula 
\[
{\cal B}=\{v_{1},\dots,v_{n_{1}},v_{n_{1}+1},\dots,v_{n_{1}+n_{2}},\dots,v_{n_{1}+\dots+n_{t-1}+1},\dots,v_{n_{1}+\dots+n_{t}}\}
\]

\end_inset

entonces 
\begin_inset Formula $W_{1}=<v_{1},\dots,v_{n_{1}}>$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $W_{2}=<v_{n_{1}+1},\dots,v_{n_{1}+n_{2}}>$
\end_inset

, etc.
 son subespacios vectoriales invariantes por 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Endomorfismos y matrices diagonalizables
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$
\end_inset

 es 
\series bold
diagonalizable
\series default
 si existe una base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
\end_inset

 es diagonal, y una matriz cuadrada es diagonalizable si lo es el endomorfismo
 de 
\begin_inset Formula $K^{n}$
\end_inset

 que cuya matriz respecto a la base canónica es 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Equivalentemente, una matriz cuadrada es diagonalizable si y sólo si es
 semejante a una matriz diagonal, y un endomorfismo es diagonalizable si
 su matriz asociada respecto a cualquier base lo es.
 Denotamos las matrices diagonales como
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & \lambda_{n}
\end{array}\right)=\text{Diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
Vectores y valores propios
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula ${\cal B}=\{u_{1,}\dots,u_{n}\}$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)=\text{Diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $f(u_{i})=\lambda_{1}u_{1}$
\end_inset

.
 Así:
\end_layout

\begin_layout Itemize
Un 
\series bold
vector propio
\series default
, 
\series bold
autovector
\series default
 o 
\series bold
vector característico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un vector 
\begin_inset Formula $v\neq0$
\end_inset

 para el que existe un 
\begin_inset Formula $\lambda\in K$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $f(v)=\lambda v$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
Un 
\series bold
valor propio
\series default
, 
\series bold
autovalor
\series default
 o 
\series bold
valor característico
\series default
 de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es un escalar 
\begin_inset Formula $\lambda\in K$
\end_inset

 para el que existe un 
\begin_inset Formula $v\in V\backslash\{0\}$
\end_inset

 tal que 
\begin_inset Formula $f(v)=\lambda v$
\end_inset

.
 Decimos que 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 es 
\series bold
\emph on
el
\emph default
 valor propio asociado al vector propio 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset


\series default
, o que 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 es 
\series bold
\emph on
un
\emph default
 vector propio asociado al valor propio 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset


\series default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, 
\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
\end_inset

 es diagonalizable si y sólo si existe una base de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 formada por vectores propios de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Subespacios propios.
 Polinomio característico
\end_layout

\begin_layout Standard
Los vectores propios de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 asociados a 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 son todos los vectores no nulos de 
\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f-\lambda Id)$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $V_{\lambda}=\text{Nuc}(f-\lambda Id)=\{v\in V\mid (f-\lambda Id)(v)=0\}=\{v\in V\mid f(v)=\lambda v\}$
\end_inset

 es el 
\series bold
subespacio propio
\series default
 o 
\series bold
característico
\series default
 correspondiente al valor propio 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

.
 Así, 
\begin_inset Formula $\lambda\in K$
\end_inset

 es un valor propio de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 si y sólo si 
\begin_inset Formula $\det(f-\lambda Id)=0$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 
\begin_inset Formula $\lambda\in K$
\end_inset

 es valor propio si y sólo si existe 
\begin_inset Formula $0\neq v\in V_{\lambda}$
\end_inset

, es decir, si 
\begin_inset Formula $\text{Nuc}(f-\lambda Id)\neq\{0\}$
\end_inset

, pero entonces 
\begin_inset Formula $0<\dim(\text{Nuc}(\lambda Id-f))=\dim(V)-\text{rang}(\lambda Id-f)$
\end_inset

, es decir, 
\begin_inset Formula $\text{rang}(\lambda Id-f)<\dim(V)$
\end_inset

 o, equivalentemente, 
\begin_inset Formula $\det(\lambda Id-f)=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $P_{f}(x)\coloneqq \det(xId-f)$
\end_inset

 es el 
\series bold
polinomio característico
\series default
 de 
\series bold

\begin_inset Formula $f$
\end_inset


\series default
, y 
\begin_inset Formula $P_{A}(x)\coloneqq \det(xI_{n}-A)$
\end_inset

 es el polinomio característico de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Podemos comprobar que
\begin_inset Formula 
\[
P_{A}(x)=x^{n}-\text{tr}(A)x^{n-1}+\dots+(-1)^{n}\det(A)
\]

\end_inset

donde 
\begin_inset Formula $\text{tr}(A)$
\end_inset

 es la 
\series bold
traza
\series default
 de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, la suma de los elementos de su diagonal.
 Obtenemos como resultado que los valores propios de 
\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
\end_inset

 son las raíces de 
\begin_inset Formula $P_{f}(x)$
\end_inset

, y que 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 tiene a lo sumo 
\begin_inset Formula $\dim(V)$
\end_inset

 valores propios distintos.
\end_layout

\begin_layout Section
Independencia de los subespacios propios
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{s}$
\end_inset

 son valores propios de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 distintos dos a dos, entonces 
\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)+\dots+\text{Nuc}(\lambda_{s}Id-f)$
\end_inset

 es suma directa, y en particular, vectores propios correspondientes a valores
 propios distintos dos a dos son linealmente independientes.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Para 
\begin_inset Formula $s=2$
\end_inset

, sean 
\begin_inset Formula $v_{1}\in\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $v_{2}\in\text{Nuc}(\lambda_{2}Id-f)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $0=v_{1}+v_{2}$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $0=f(0)=f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}$
\end_inset

, pero también 
\begin_inset Formula $0=\lambda_{2}(v_{1}+v_{2})=\lambda_{2}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}$
\end_inset

.
 Restando, 
\begin_inset Formula $0=(\lambda_{2}-\lambda_{1})v_{1}$
\end_inset

, pero como 
\begin_inset Formula $\lambda_{2}\neq\lambda_{1}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $v_{1}=0$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $v_{2}$
\end_inset

 también.
 Ahora sea 
\begin_inset Formula $s>2$
\end_inset

 y supongamos el resultado cierto para 
\begin_inset Formula $s-1$
\end_inset

.
 Sean ahora 
\begin_inset Formula $v_{1}\in\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f),\dots,v_{s}\in\text{Nuc}(\lambda_{s}Id-f)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $0=v_{1}+\dots+v_{s}$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $0=f(0)=f(v_{1}+\dots+v_{s})=f(v_{1})+\dots+f(v_{s})=\lambda_{1}v_{1}+\dots+\lambda_{s}v_{s}$
\end_inset

, pero también 
\begin_inset Formula $0=\lambda_{s}v_{1}+\dots+\lambda_{s}v_{k-1}+\lambda_{s}v_{s}$
\end_inset

.
 Restando, 
\begin_inset Formula $0=(\lambda_{s}-\lambda_{1})v_{1}+\dots+(\lambda_{s}-\lambda_{s-1})v_{s-1}$
\end_inset

.
 Aplicando la hipótesis de inducción, queda que 
\begin_inset Formula $v_{1}=\dots=v_{s-1}=0$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $v_{s}=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
También, si 
\begin_inset Formula $f\in\text{End}(V)$
\end_inset

 tiene 
\begin_inset Formula $\dim(V)$
\end_inset

 autovalores, entonces es diagonalizable.
\series bold

\begin_inset Newline newline
\end_inset

Demostración:
\series default
 Si 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$
\end_inset

 son valores propios de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 distintos dos a dos y 
\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}$
\end_inset

 son vectores propios asociados a cada uno, entonces 
\begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}$
\end_inset

 son 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, por lo que constituyen una base formada por vectores propios de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Caracterización de los endomorfismos diagonalizables
\end_layout

\begin_layout Standard
Si 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

 es un polinomio con coeficientes en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda\in K$
\end_inset

 es una raíz de 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 tiene 
\series bold
multiplicidad
\series default
 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $P(x)$
\end_inset

 si 
\begin_inset Formula $(x-\lambda)^{m}|P(x)$
\end_inset

 pero 
\begin_inset Formula $\neg((x-\lambda)^{m+1}|P(x))$
\end_inset

.
 Si una raíz tiene multiplicidad 1, es una raíz 
\series bold
simple
\series default
\SpecialChar endofsentence
 De lo contrario es una raíz
\series bold
 múltiple
\series default
\SpecialChar endofsentence

\end_layout

\begin_layout Standard
Dado 
\begin_inset Formula $f\in\text{End}_{K}(V)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 un valor propio de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, si 
\begin_inset Formula $d=\dim(\text{Nuc}(\lambda Id-f))$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 es la multiplicidad de 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 en 
\begin_inset Formula $P_{f}(x)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $d\leq m$
\end_inset

.
 En particular, si el valor propio es una raíz simple, entonces 
\begin_inset Formula $d=m=1$
\end_inset

.
 
\series bold
Demostración:
\series default
 Sea 
\begin_inset Formula $\{v_{1},\dots,v_{d}\}$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\lambda Id-f)$
\end_inset

 y 
\begin_inset Formula ${\cal B}=\{v_{1},\dots,v_{d},v_{d+1},\dots,v_{n}\}$
\end_inset

 una base de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 Entonces 
\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
\end_inset

 tiene forma
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
\lambda &  & 0\\
 & \ddots &  & C\\
0 &  & \lambda\\
\hline  &  & \\
 & 0 &  & D\\
 &  & \\
\end{array}\right)
\]

\end_inset

por lo que 
\begin_inset Formula $P_{f}(x)=(x-\lambda)^{d}\det(xI_{n-d}-D)=(x-\lambda)^{d}Q(x)$
\end_inset

, por lo que 
\begin_inset Formula $d\leq m$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Teorema de diagonalización:
\series default
 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 es diagonalizable si y sólo si
\begin_inset Formula 
\[
P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{d_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{d_{r}}
\]

\end_inset

con 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}\in K$
\end_inset

 distintos dos a dos, y 
\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\implies]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Sean 
\begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}$
\end_inset

 los valores propios de 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

, existirá una base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

 de vectores propios en los que cada vector tendrá asociado un valor propio
 y pertenecerá por tanto al subespacio propio correspondiente.
 Agrupando, 
\begin_inset Formula $M_{{\cal B}}(f)$
\end_inset

 tendrá forma
\begin_inset Formula 
\[
\left(\begin{array}{ccccccc}
\lambda_{1}\\
 & \ddots &  &  &  & 0\\
 &  & \lambda_{1}\\
 &  &  & \ddots\\
 &  &  &  & \lambda_{r}\\
 & 0 &  &  &  & \ddots\\
 &  &  &  &  &  & \lambda_{r}
\end{array}\right)
\]

\end_inset

donde cada 
\begin_inset Formula $\lambda_{i}$
\end_inset

 se repetirá 
\begin_inset Formula $m_{i}$
\end_inset

 veces, el número de vectores propios de la base del subespacio.
 Por tanto, 
\begin_inset Formula $P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{m_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{m_{r}}$
\end_inset

 tiene todas sus raíces en 
\begin_inset Formula $K$
\end_inset

.
 Además, si 
\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f))$
\end_inset

, se tiene que 
\begin_inset Formula $\sum d_{i}=\dim(\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)\oplus\cdots\oplus\text{Nuc}(\lambda_{r}Id-f))\leq\dim(V)=n$
\end_inset

, y como en la base hay 
\begin_inset Formula $m_{i}$
\end_inset

 vectores linealmente independientes de 
\begin_inset Formula $\text{Nuc}(\lambda_{i}Id-f)$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $m_{i}\leq d_{i}$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $n=\text{gr}(P_{f}(x))=\sum m_{i}\leq\sum d_{i}\leq n$
\end_inset

 y por tanto 
\begin_inset Formula $m_{i}=d_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\impliedby]$
\end_inset


\end_layout

\end_inset

Si 
\begin_inset Formula $P_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{d_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{d_{r}}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $d_{i}=\dim(\text{Nuc}(f-\lambda Id))$
\end_inset

, entonces 
\begin_inset Formula $\dim(\text{Nuc}(\lambda_{1}Id-f)\oplus\cdots\oplus\text{Nuc}(\lambda_{r}Id-f))=d_{1}+\dots+d_{r}=\text{gr}(P_{f}(x))=\dim(V)$
\end_inset

, luego 
\begin_inset Formula $V=\text{Nuc}(f-\lambda_{1}Id)\oplus\cdots\oplus\text{Nuc}(f-\lambda_{r}Id)$
\end_inset

 y la unión de las bases de cada subespacio será una base de 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 formada por vectores propios.
\end_layout

\begin_layout Standard
Así, para diagonalizar una matriz 
\begin_inset Formula $A\in M_{n}(K)$
\end_inset

 en matrices 
\begin_inset Formula $A=M_{{\cal CB}}DM_{{\cal BC}}$
\end_inset

, con 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 diagonal, obtenemos su polinomio característico, hallamos sus raíces, que
 serán los autovalores de 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 Si la suma de sus multiplicidades da 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, resolvemos cada ecuación 
\begin_inset Formula $(\lambda Id-f)X=0$
\end_inset

 para obtener las bases de los subespacios propios, cuya dimensión debería
 coincidir con la multiplicidad del autovalor si 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 es diagonalizable.
 Entonces añadimos cada raíz en 
\begin_inset Formula $D$
\end_inset

 tantas veces como sea su multiplicidad y razonamos que los vectores correspondi
entes de la base 
\begin_inset Formula ${\cal B}$
\end_inset

, y por tanto las correspondientes columnas de 
\begin_inset Formula $M_{{\cal CB}}$
\end_inset

, son los de la base de dicho subespacio propio.
\end_layout

\begin_layout Section
Aplicaciones
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $(x_{n})_{n}\subseteq K$
\end_inset

 verifica una 
\series bold
ecuación en diferencias lineales con coeficientes constantes
\series default
 (homogénea) si para todo 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 satisface que 
\begin_inset Formula $x_{n+r}+a_{1}x_{n+r-1}+\dots+a_{r}x_{n}=0$
\end_inset

.
 Llamamos a 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 el 
\series bold
orden
\series default
 de la ecuación.
 Podemos definir entonces una sucesión auxiliar 
\begin_inset Formula $(Y_{n})_{n}\subseteq M_{r,1}(K)$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $(Y_{n})_{i}=x_{n+r-i}$
\end_inset

.
 Se tiene entonces que 
\begin_inset Formula $x_{n+r}=-a_{1}x_{n+r-1}-\dots-a_{r}x_{n}$
\end_inset

, luego
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{c}
Y_{n+1}=\left(\begin{array}{c}
x_{n+r}\\
\vdots\\
x_{n+1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-a_{1}x_{n+r-1}-\dots-a_{r}x_{n}\\
x_{n+r-1}\\
\vdots\\
x_{n+1}
\end{array}\right)=\\
=\left(\begin{array}{cccc}
-a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{r}\\
1 &  & 0 & 0\\
 & \ddots &  & \vdots\\
0 &  & 1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{n+r-1}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{array}\right)=AY_{n}
\end{array}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Un 
\series bold
sistema de ecuaciones en diferencias lineales de primer orden con coeficientes
 constantes
\series default
 (homogéneo) es una relación entre los términos de unas sucesiones y sus
 términos inmediatamente anteriores:
\begin_inset Formula 
\[
\left.\begin{array}{ccc}
x_{n+1} & = & a_{11}x_{n}+a_{12}y_{n}+a_{13}z_{n}\\
y_{n+1} & = & a_{21}x_{n}+a_{22}y_{n}+a_{23}z_{n}\\
z_{n+1} & = & a_{31}x_{n}+a_{32}y_{n}+a_{33}z_{n}
\end{array}\right\} 
\]

\end_inset

Estos pueden expresarme matricialmente de la forma 
\begin_inset Formula $Y_{n+1}=AY_{n}$
\end_inset

 con 
\begin_inset Formula $A=(a_{ij})$
\end_inset

.
 Por re
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

cu
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

rren
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
-
\end_layout

\end_inset

cia, en ambos casos se tiene que 
\begin_inset Formula $Y_{n}=A^{n-1}Y_{1}=A^{n}Y_{0}$
\end_inset

.
 Entonces es útil diagonalizar 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, si es posible, para poder calcular las potencias rápidamente.
\end_layout

\end_body
\end_document