#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 544 \begin_document \begin_header \save_transient_properties true \origin unavailable \textclass book \begin_preamble \input{../defs} \usepackage{blkarray} \end_preamble \use_default_options true \begin_modules algorithm2e \end_modules \maintain_unincluded_children false \language spanish \language_package default \inputencoding auto \fontencoding global \font_roman "default" "default" \font_sans "default" "default" \font_typewriter "default" "default" \font_math "auto" "auto" \font_default_family default \use_non_tex_fonts false \font_sc false \font_osf false \font_sf_scale 100 100 \font_tt_scale 100 100 \use_microtype false \use_dash_ligatures true \graphics default \default_output_format default \output_sync 0 \bibtex_command default \index_command default \paperfontsize default \spacing single \use_hyperref false \papersize default \use_geometry false \use_package amsmath 1 \use_package amssymb 1 \use_package cancel 1 \use_package esint 1 \use_package mathdots 1 \use_package mathtools 1 \use_package mhchem 1 \use_package stackrel 1 \use_package stmaryrd 1 \use_package undertilde 1 \cite_engine basic \cite_engine_type default \biblio_style plain \use_bibtopic false \use_indices false \paperorientation portrait \suppress_date false \justification true \use_refstyle 1 \use_minted 0 \index Index \shortcut idx \color #008000 \end_index \secnumdepth 3 \tocdepth 3 \paragraph_separation indent \paragraph_indentation default \is_math_indent 0 \math_numbering_side default \quotes_style french \dynamic_quotes 0 \papercolumns 1 \papersides 1 \paperpagestyle default \tracking_changes false \output_changes false \html_math_output 0 \html_css_as_file 0 \html_be_strict false \end_header \begin_body \begin_layout Standard \series bold Teorema de los círculos de Gershgorin: \series default El conjunto de valores propios de \begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ \end_inset está contenido en \begin_inset Formula \[ \bigcup_{k=1}^{n}\overline{B}\left(a_{kk},\sum_{\begin{subarray}{c} j=1\\ j\neq k \end{subarray}}^{n}|a_{kj}|\right). \] \end_inset \series bold Demostración: \series default Si \begin_inset Formula $\lambda$ \end_inset no está contenido en este conjunto, para cada \begin_inset Formula $k$ \end_inset , \begin_inset Formula $|a_{kk}-\lambda|>\sum_{j\neq k}|a_{kj}|$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $A-\lambda I$ \end_inset tiene diagonal estrictamente dominante y por tanto es no singular y \begin_inset Formula $\lambda$ \end_inset no es valor propio de \begin_inset Formula $A$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Método de la potencia o del cociente de Rayleigh \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}(\mathbb{C})$ \end_inset con valores propios \begin_inset Formula $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ \end_inset dispuestos tal que \begin_inset Formula $|\lambda_{1}|\geq\dots\geq|\lambda_{n}|$ \end_inset y vectores propios respectivos \begin_inset Formula $v_{1},\dots,v_{n}$ \end_inset formando una base ortogonal de \begin_inset Formula $\mathbb{C}^{n}$ \end_inset , y \begin_inset Formula $p,y\in\mathbb{C}$ \end_inset , si \begin_inset Formula $\langle x_{0},v_{1}\rangle\neq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $\langle v_{1},y\rangle\neq0$ \end_inset , sean \begin_inset Formula $(x_{k})_{k}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(r_{k})_{k}$ \end_inset las sucesiones dadas por \begin_inset Formula $x_{0}\coloneqq p$ \end_inset , \begin_inset Formula $x_{k+1}\coloneqq Ax_{k}$ \end_inset y \begin_inset Formula $r_{k}\coloneqq \frac{\langle x_{k+1},y\rangle}{\langle x_{k},y\rangle}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $(r_{k})_{k}$ \end_inset está bien definida y converge a \begin_inset Formula $\lambda_{1}$ \end_inset , y \begin_inset Formula $\frac{x_{2k}}{\Vert x_{2k}\Vert}$ \end_inset converge a un múltiplo de \begin_inset Formula $v_{1}$ \end_inset . \series bold Demostración: \series default Sean \begin_inset Formula $\phi(x)\coloneqq \langle x,y\rangle$ \end_inset , \begin_inset Formula $p=:\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$ \end_inset , se tiene \begin_inset Formula $x_{k}=A^{k}p$ \end_inset , con lo que suponiendo \begin_inset Formula $|\lambda_{1}|>|\lambda_{2}|$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ x_{k}=\alpha_{1}\lambda_{1}^{k}v_{1}+\dots+\alpha_{n}\lambda_{n}^{k}v_{n}=\lambda_{1}^{k}\left(\alpha_{1}v_{1}+\sum_{j=2}^{n}\left(\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{1}}\right)^{k}\alpha_{j}v_{j}\right)=:\lambda_{1}^{k}(\alpha_{1}v_{1}+\varepsilon_{k}). \] \end_inset Es claro que \begin_inset Formula $\varepsilon_{k}\to0$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $\lim_{2k}\frac{x_{2k}}{\Vert x_{2k}\Vert}=\lim_{k}\frac{\alpha_{1}v_{1}+\varepsilon_{2k}}{\Vert\alpha_{1}v_{1}+\varepsilon_{2k}\Vert}=\frac{\alpha_{1}v_{1}}{\Vert\alpha_{1}v_{1}\Vert}$ \end_inset y por ser \begin_inset Formula $\phi$ \end_inset lineal, como \begin_inset Formula $\alpha_{1}\neq0$ \end_inset y \begin_inset Formula $\phi(v_{1})\neq0$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \lim_{k}r_{k}=\lim_{k}\frac{\phi(x_{k+1})}{\phi(x_{k})}=\lim_{k}\frac{\lambda_{1}^{k+1}\phi(\alpha_{1}v_{1}+\varepsilon_{k+1})}{\lambda_{1}^{k}\phi(\alpha_{1}v_{1}+\varepsilon_{k})}=\lambda_{1}\lim_{k}\frac{\alpha_{1}\phi(v_{1})+\phi(\varepsilon_{k+1})}{\alpha_{1}\phi(v_{1})+\phi(\varepsilon_{k+1})}=\lambda_{1}. \] \end_inset Es fácil ver cómo se generalizaría esto para cuando los \begin_inset Formula $j\in\{1,\dots,n\}$ \end_inset primeros valores propios tienen igual valor absoluto. \end_layout \begin_layout Standard El \series bold método de la potencia \series default o \series bold del cociente de Rayleigh \series default consiste en tomar \begin_inset Formula $p,y\in\mathbb{C}$ \end_inset arbitrarios en lo anterior, pues todavía no conocemos \begin_inset Formula $v_{1}$ \end_inset , e ir construyendo \begin_inset Formula $(x_{k})_{k}$ \end_inset y \begin_inset Formula $(r_{k})_{k}$ \end_inset para obtener el valor propio de \begin_inset Formula $A$ \end_inset con mayor valor absoluto. \end_layout \begin_layout Standard En la práctica no se calcula \begin_inset Formula $(x_{k})_{k}$ \end_inset directamente, pues puede tender a infinito o cero y esto da errores de condicionamiento. En su lugar se calcula \begin_inset Formula $(y_{k})_{k}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula $y_{0}\coloneqq \frac{x_{0}}{\Vert x_{0}\Vert}$ \end_inset e \begin_inset Formula $y_{k+1}\coloneqq \frac{Ay_{k}}{\Vert Ay_{k}\Vert}$ \end_inset , y entonces \begin_inset Formula $r_{k}=\frac{\langle Ay_{k},y\rangle}{\langle y_{k},y\rangle}$ \end_inset . En efecto, si \begin_inset Formula $y_{k}=\frac{x_{k}}{\Vert x_{k}\Vert}$ \end_inset , \begin_inset Formula $y_{k+1}=\frac{Ay_{k}}{\Vert Ay_{k}\Vert}=\frac{Ax_{k}}{\Vert Ax_{k}\Vert}=\frac{x_{k+1}}{\Vert x_{k+1}\Vert}$ \end_inset , luego por inducción esto ocurre para todo \begin_inset Formula $k$ \end_inset , y entonces, como \begin_inset Formula $\Vert x_{k+1}\Vert=\Vert Ax_{k}\Vert=\Vert Ay_{k}\Vert\Vert x_{k}\Vert$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ r_{k}=\frac{\langle x_{k+1},y\rangle}{\langle x_{k},y\rangle}=\frac{\Vert x_{k+1}\Vert\langle y_{k+1},y\rangle}{\Vert x_{k}\Vert\langle y_{k},y\rangle}=\frac{\Vert x_{k+1}\Vert\langle Ay_{k},y\rangle}{\Vert x_{k}\Vert\Vert Ay_{k}\Vert\langle y_{k},y\rangle}=\frac{\langle Ay_{k},y\rangle}{\langle y_{k},y\rangle}. \] \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $A$ \end_inset es invertible, el \series bold método de la potencia inversa \series default consiste en aplicar el método de la potencia a \begin_inset Formula $A^{-1}$ \end_inset , obteniendo el inverso del valor propio de \begin_inset Formula $A$ \end_inset con menor valor absoluto, pues \begin_inset Formula $Au=\lambda u\iff\lambda^{-1}u=A^{-1}u$ \end_inset . Para ello, se factoriza \begin_inset Formula $A$ \end_inset y bien se obtiene \begin_inset Formula $A^{-1}$ \end_inset resolviendo columna a columna o se resuelve en cada paso \begin_inset Formula $Ax_{k+1}=x_{k}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Los valores propios de \begin_inset Formula $A-\mu I$ \end_inset son de la forma \begin_inset Formula $\lambda-\mu$ \end_inset , siendo \begin_inset Formula $\lambda$ \end_inset un valor propio de \begin_inset Formula $A$ \end_inset , por lo que los métodos de la potencia y la potencia inversa sobre \begin_inset Formula $A-\mu I$ \end_inset , llamados de la potencia y la potencia inversa \series bold con desplazamiento \series default , nos darían respectivamente el valor propio más lejano y más cercano a \begin_inset Formula $\mu$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Método de Jacobi \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}(\mathbb{R})$ \end_inset simétrica, y por tanto diagonalizable. Entonces el problema de encontrar los valores y vectores propios de una matriz se puede traducir en el de encontrar una matriz ortogonal que diagonalic e \begin_inset Formula $A$ \end_inset , que en el caso de \begin_inset Formula $n=2$ \end_inset será un giro. El \series bold método de Jacobi \series default consiste en construir una sucesión \begin_inset Formula $(O_{k})_{k}$ \end_inset de giros en planos determinados por dos vectores de la base canónica de forma que \begin_inset Formula $(A_{k}\coloneqq (O_{1}\cdots O_{k})^{t}A(O_{1}\cdots O_{k}))_{k}$ \end_inset , que podemos obtener como \begin_inset Formula $A_{0}=A$ \end_inset y \begin_inset Formula $A_{k+1}=O_{k+1}^{t}A_{k}O_{k+1}$ \end_inset , converja a una matriz diagonal. \end_layout \begin_layout Standard Sean \begin_inset Formula $1\leq p0$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $\tan^{2}\theta+1=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\cos\theta=c$ \end_inset y \begin_inset Formula $\sin\theta=s$ \end_inset . Entonces los casos \begin_inset Formula $b_{pi}$ \end_inset , \begin_inset Formula $b_{qi}$ \end_inset , \begin_inset Formula $b_{ip}$ \end_inset y \begin_inset Formula $b_{iq}$ \end_inset son obvios, y \begin_inset Formula $b_{pq}$ \end_inset y \begin_inset Formula $b_{qp}$ \end_inset vienen dados por el ejercicio anterior. Finalmente, \begin_inset Formula \begin{align*} b_{pp} & =c(a_{pp}c-a_{qp}s)-s(a_{qp}c-a_{qq}s)=a_{pp}c^{2}+a_{qq}s^{2}-2csa_{pq}=\\ & =a_{pp}+s^{2}(a_{qq}-a_{pp})-2csa_{pq}=a_{pp}+\frac{t^{2}}{t^{2}+1}x2a_{pq}-\frac{2t}{t^{2}+1}a_{pq}=\\ & =a_{pp}+\frac{t(1-t^{2})}{t^{2}+1}a_{pq}-\frac{2t}{t^{2}+1}a_{pq}=a_{pp}-ta_{pq};\\ b_{qq} & =s(a_{pp}s+a_{pq}c)+c(a_{qp}s+a_{qq}c)=a_{pp}s^{2}+a_{qq}c^{2}+2csa_{pq}=\\ & =a_{qq}+s^{2}(a_{pp}-a_{qq})+2csa_{pq}=a_{qq}-\frac{t^{2}}{t^{2}+1}x2a_{pq}+\frac{2t}{t^{2}+1}a_{pq}=\\ & =a_{qq}-\frac{t(1-t^{2})}{t^{2}+1}a_{pq}+\frac{2t}{t^{2}+1}a_{pq}=a_{qq}+ta_{pq}. \end{align*} \end_inset \end_layout \end_deeper \begin_layout Standard \begin_inset Float algorithm wide false sideways false status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash Entrada{Matriz simétrica real $A \backslash coloneqq (a_{ij})$ de tamaño $n$ y nivel de tolerancia a errores $e>0$.} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash Salida{Vector $ \backslash lambda$ de tamaño $n$ que aproxima los valores propios de $A$ y matriz ortogonal $ \backslash Omega$ de tamaño $n$ cuyas columnas aproximan los correspondientes vectores propios.} \end_layout \begin_layout Plain Layout $ \backslash Omega \backslash gets I_n$ \backslash ; \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash Mientras{$ \backslash sum_{1 \backslash leq ie$}{ \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash tcp{{ \backslash rm Elegimos $p$ y $q$ por el { \backslash bf criterio de Jacobi clásico}, y \end_layout \begin_layout Plain Layout por la condición de parada elegida, $a_{pq}>0$.}} \end_layout \begin_layout Plain Layout Establecer $p0. \] \end_inset Existe un \begin_inset Formula $k_{0}\in\mathbb{N}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $k\geq k_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ x_{k}\in\bigcup_{k=1}^{M}B(a_{k},\epsilon), \] \end_inset pues en otro caso existiría una subsucesión \begin_inset Formula $(x_{k_{m}})_{m}$ \end_inset de \begin_inset Formula $(x_{k})_{k}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $x_{k_{m}}\notin\bigcup_{i=1}^{M}B(a_{k},\epsilon)$ \end_inset , pero esta subsucesión está en un espacio acotado y, por tanto, tiene un punto de acumulación. \begin_inset Formula $\#$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como \begin_inset Formula $\lim_{k}\Vert x_{k+1}-x_{k}\Vert=0$ \end_inset , existe \begin_inset Formula $k_{1}\geq k_{0}$ \end_inset tal que para \begin_inset Formula $k\geq k_{1}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert x_{k+1}-x_{k}\Vert<\epsilon$ \end_inset . Sea \begin_inset Formula $i_{0}$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $x_{k_{1}}\in B(a_{i_{0}},\epsilon)$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\Vert x_{k_{1}+1}-a_{i_{0}}\Vert\leq\Vert x_{k_{1}+1}-x_{k_{1}}\Vert+\Vert x_{k_{1}}-a_{i_{0}}\Vert<2\epsilon$ \end_inset , y por la desigualdad triangular, \begin_inset Formula $\Vert x_{k_{1}+1}-a_{i}\Vert>\varepsilon$ \end_inset para \begin_inset Formula $i\neq i_{0}$ \end_inset . Por tanto \begin_inset Formula $x_{k_{1}+1}\in B(a_{i_{0}},\varepsilon)$ \end_inset , y por inducción, \begin_inset Formula $x_{k}\in B(a_{i_{0}},\varepsilon)$ \end_inset para todo \begin_inset Formula $k\geq k_{1}$ \end_inset , con lo que solo hay un punto de acumulación, \begin_inset Formula $a_{i_{0}}$ \end_inset , y entonces \begin_inset Formula $\lim_{k}x_{k}=a_{i_{0}}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Para la primera parte del teorema, sean \begin_inset Formula $A_{k}=:(a_{kij})_{ij}$ \end_inset y \begin_inset Formula $\varepsilon_{k}\coloneqq \sum_{i\neq j}(a_{kij})^{2}$ \end_inset . Dados los \begin_inset Formula $p$ \end_inset y \begin_inset Formula $q$ \end_inset de la iteración \begin_inset Formula $k$ \end_inset , restringiéndonos a la submatriz de \begin_inset Formula $A$ \end_inset formada por las filas y columnas \begin_inset Formula $p$ \end_inset y \begin_inset Formula $q$ \end_inset , la suma de los elementos de los 4 coeficientes se conserva tras el giro, luego \begin_inset Formula $2a_{kpq}^{2}+a_{kpp}^{2}+a_{kqq}^{2}=a_{(k+1)pp}^{2}+a_{(k+1)qq}^{2}$ \end_inset . Además, la suma de los cuadrados de los elementos de \begin_inset Formula $A$ \end_inset no cambia, y tampoco cambian los elementos de su diagonal distintos de \begin_inset Formula $p$ \end_inset y \begin_inset Formula $q$ \end_inset , y como \begin_inset Formula $\varepsilon_{k}$ \end_inset es la suma de los cuadrados de los elementos de \begin_inset Formula $A_{k}$ \end_inset fuera de la diagonal, \begin_inset Formula $\varepsilon_{k+1}=\varepsilon_{k}-2(a_{kpq})^{2}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Como \begin_inset Formula $a_{pq}=\max_{i\neq j}|a_{ij}|$ \end_inset , \begin_inset Formula $\varepsilon_{k}\leq n(n-1)a_{kpq}^{2}$ \end_inset , pues \begin_inset Formula $n(n-1)$ \end_inset es el número de elementos fuera de la diagonal principal. Así, \begin_inset Formula $a_{kpq}^{2}\geq\frac{\varepsilon_{k}}{n(n-1)}$ \end_inset y \begin_inset Formula \[ \varepsilon_{k+1}\leq\left(1-\frac{2}{n(n-1)}\right)\varepsilon_{k}, \] \end_inset de donde \begin_inset Formula $\lim_{k}\varepsilon_{k}=0$ \end_inset y los elementos de \begin_inset Formula $A_{k}$ \end_inset fuera de la diagonal convergen a 0, y queda ver que los elementos de la diagonal también convergen. \end_layout \begin_layout Standard Sea \begin_inset Formula $D_{k}\coloneqq \text{diag}(a_{k11},\dots,a_{knn})$ \end_inset . Si \begin_inset Formula $(D_{k_{m}})_{m}$ \end_inset una subsucesión de \begin_inset Formula $(D_{k})_{k}$ \end_inset , por continuidad, y como los elementos de \begin_inset Formula $A_{k_{m}}$ \end_inset fuera de la diagonal convergen a 0, \begin_inset Formula $\lim_{m}\det(\lambda I_{n}-A_{k_{m}})=\det(\lambda I_{n}-D)$ \end_inset . Pero \begin_inset Formula $A_{k}$ \end_inset y \begin_inset Formula $A$ \end_inset son semejantes, luego tienen el mismo polinomio característico y, por tanto, este coincide con el de \begin_inset Formula $D$ \end_inset . Así, los elementos de la diagonal de \begin_inset Formula $D$ \end_inset son los valores propios de \begin_inset Formula $A$ \end_inset y con las mismas multiplicidades. Por tanto, los puntos de acumulación de \begin_inset Formula $(D_{k})_{k}$ \end_inset son las diagonales formadas por los valores propios de \begin_inset Formula $A$ \end_inset en distinto orden, de las que hay un máximo de \begin_inset Formula $n!$ \end_inset , y en particular \begin_inset Formula $(D_{k})_{k}$ \end_inset tiene una cantidad finita de puntos de acumulación. \end_layout \begin_layout Standard Tenemos que \begin_inset Formula $\lim_{k}(D_{k+1}-D_{k})=0$ \end_inset . En efecto, \begin_inset Formula \[ a_{(k+1)ii}-a_{kii}=\begin{cases} 0, & i\neq p,q;\\ -\tan\theta_{k}a_{kpq}, & i=p;\\ \tan\theta_{k}a_{kpq}, & i=q; \end{cases} \] \end_inset pero \begin_inset Formula $|\tan\theta_{k}|\leq1$ \end_inset por ser \begin_inset Formula $\theta_{k}\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$ \end_inset , y \begin_inset Formula $|a_{kpq}|\leq\sqrt{\varepsilon_{k}}\to0$ \end_inset . Además, \begin_inset Formula $(D_{k})_{k}$ \end_inset está acotada, pues \begin_inset Formula $\Vert D_{k}\Vert_{E}\leq\Vert A_{k}\Vert_{E}=\Vert A\Vert_{E}$ \end_inset . Aplicando la propiedad al principio, \begin_inset Formula $(D_{k})_{k}$ \end_inset converge a una diagonal formada por los valores propios de \begin_inset Formula $A$ \end_inset en algún orden, y por tanto \begin_inset Formula $(A_{k})_{k}$ \end_inset también. \end_layout \begin_layout Standard Para la segunda parte, sea \begin_inset Formula $(\Omega_{k_{m}})_{m}$ \end_inset una subsucesión de \begin_inset Formula $(\Omega_{k})_{k}$ \end_inset que converge a un cierto punto acumulación \begin_inset Formula $P$ \end_inset de \begin_inset Formula $(\Omega_{k})_{k}$ \end_inset , entonces \begin_inset Formula $\Omega_{k_{m}}^{t}\to P^{t}$ \end_inset e \begin_inset Formula $I_{n}=\Omega_{k_{m}}^{t}\Omega_{k_{m}}\to P^{t}P$ \end_inset , luego \begin_inset Formula $P^{t}P=I_{n}$ \end_inset y \begin_inset Formula $P$ \end_inset es ortogonal. Como \begin_inset Formula $\Omega_{k}^{t}A\Omega_{k}\to D$ \end_inset , \begin_inset Formula $P^{t}AP=D$ \end_inset , lo que implica que las columnas de \begin_inset Formula $P$ \end_inset forman una base ortonormal de vectores propios asociados a los valores propios en \begin_inset Formula $D$ \end_inset . Como estamos suponiendo que todos los valores propios son distintos, cada uno tiene un subespacio propio de dimensión 1 y hay exactamente dos vectores propios ortonormales, uno opuesto del otro, para cada valor propio, pudiendo escribir \begin_inset Formula \[ P=:\begin{pmatrix}| & & |\\ \pm p_{1} & \cdots & \pm p_{n}\\ | & & | \end{pmatrix}, \] \end_inset con lo que los puntos de acumulación de \begin_inset Formula $(\Omega_{k})_{k}$ \end_inset solo se diferencian en el signo de las columnas y por tanto hay un máximo de \begin_inset Formula $2^{n}$ \end_inset , en particular una cantidad finita. \end_layout \begin_layout Standard Dada una matriz ortogonal \begin_inset Formula $O$ \end_inset , \begin_inset Formula $\Vert O\Vert_{2}=1$ \end_inset , y como todas las normas en \begin_inset Formula ${\cal M}_{n}(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{n^{2}}$ \end_inset son equivalentes, existe \begin_inset Formula $\beta>0$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\Vert O\Vert_{E}\leq\beta\Vert O\Vert_{2}=\beta$ \end_inset . Por tanto \begin_inset Formula $(\Omega_{k})_{k}$ \end_inset está acotada. \end_layout \begin_layout Standard Si \begin_inset Formula $\theta_{k}$ \end_inset es tal que \begin_inset Formula $t=\tan(2\theta_{k})$ \end_inset en la iteración \begin_inset Formula $k$ \end_inset , en esta iteración, \begin_inset Formula \[ \tan(2\theta_{k})=\frac{2a_{kpq}}{a_{kqq}-a_{kpp}}. \] \end_inset Como cada \begin_inset Formula $(a_{kii})_{k}$ \end_inset converge a un valor propio, existe \begin_inset Formula $k_{0}$ \end_inset tal que, para \begin_inset Formula $k\geq k_{0}$ \end_inset , \begin_inset Formula \[ \min_{i\neq j}|a_{kii}-a_{kjj}|\geq\frac{1}{2}\min_{i\neq j}|\lambda_{i}-\lambda_{j}|=:M>0, \] \end_inset con lo que \begin_inset Formula $|a_{kqq}-a_{kpp}|\geq M$ \end_inset y, como todos los elementos de \begin_inset Formula $A_{k}$ \end_inset fuera de la diagonal principal tienden a 0, \begin_inset Formula $(a_{kpq})_{k}$ \end_inset tiende a cero (aunque \begin_inset Formula $p$ \end_inset y \begin_inset Formula $q$ \end_inset cambien según \begin_inset Formula $k$ \end_inset ), \begin_inset Formula $\tan\theta_{k}\to0$ \end_inset y, como \begin_inset Formula $|\theta_{k}|\leq\frac{\pi}{4}$ \end_inset , \begin_inset Formula $\theta_{k}\to0$ \end_inset , luego si \begin_inset Formula $O_{k}$ \end_inset es el giro tal que \begin_inset Formula $\Omega_{k+1}=\Omega_{k}O_{k}$ \end_inset , \begin_inset Formula $O_{k}\to I_{n}$ \end_inset y, por tanto, \begin_inset Formula $\lim_{k}(\Omega_{k+1}-\Omega_{k})=\lim_{k}(O_{k}-I_{n})\Omega_{k}=0$ \end_inset , pues \begin_inset Formula $(\Omega_{k})_{k}$ \end_inset está acotada. Con esto, y aplicando la propiedad del principio, \begin_inset Formula $(\Omega_{k})_{k}$ \end_inset converge a una matriz, cuyas columnas formaran una base ortonormal de vectores propios en el mismo orden que los valores propios de \begin_inset Formula $D$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Método QR \end_layout \begin_layout Standard Dada una matriz \begin_inset Formula $A\in{\cal M}_{n}$ \end_inset , definimos la sucesión \begin_inset Formula $(A_{k})_{k}$ \end_inset como \begin_inset Formula $A_{0}\coloneqq A$ \end_inset y \begin_inset Formula $A_{k+1}\coloneqq R_{k}Q_{k}$ \end_inset , donde \begin_inset Formula $(Q_{k},R_{k})$ \end_inset es la descomposición QR de \begin_inset Formula $A_{k}$ \end_inset . Bajo ciertas condiciones, esta sucesión tiende a una matriz triangular superior, con los valores propios en la diagonal. \end_layout \begin_layout Standard Para obtener una aproximación de los valores propios a partir de una aproximació n \begin_inset Formula $A_{p}\coloneqq (u_{ij})$ \end_inset de dicha matriz, definimos una matriz \begin_inset Formula $V\coloneqq (v_{ij})\in{\cal M}_{n}$ \end_inset dada por \begin_inset Formula \[ v_{ij}:=\begin{cases} 1, & i=j;\\ 0, & i>j;\\ {\displaystyle -\frac{1}{u_{ii}-u_{jj}}\sum_{k=i+1}^{j}u_{ik}v_{kj}}, & i